MEETKUNDE
leerweg 5
4
Philip Bogaert
Filip Geeurickx
Marc Muylaert
Roger Van Nieuwenhuyze
Erik Willockx
m.m.v. Björn Carreyn
CaRTooNs
Dave Vanroye
1Definities vind je op een rode achtergrond, methodes staan in een oranje kader.
2Eigenschappen vind je op een groene achtergrond.
3Hier vind je uitleg over de geschiedenis van de wiskunde en herkomst van begrippen.
4We stimuleren het gebruik van wiskundesoftware zoals GeoGebra.
5Aan het einde van elke paragraaf vind je een samenvatting.
TE ONTHOUDEN
pictogrammen
BETEKENIS
GESCHIEDENIS
REKENMACHINE
ICT
124
7 ) Meetkundige plaatsen
Een meetkundige plaats is een verzameling van punten die aan een bepaalde voorwaarde moeten voldoen.
meetkundige plaats
Voorbeelden:
• Een middelloodlijn van een lijnstuk is de meetkundige plaats van alle punten die even ver van twee gegeven
punten liggen.
• De bissectrices van twee snijdende rechten is de meetkundige plaats van alle punten die even ver van twee
gegeven rechten liggen.
• Ook een parabool is een meetkundige plaats.
Gegeven: a ↔ y = –3
A(4, –1)
Gevraagd: Bepaal de verzameling van alle punten P(x, y) zodat d(P, A) = d(P, a)
y
x
a
Oplossing: d(P, A) = d(P, a) B
2+2 1x y4– +_ _i i = 23y +_ i B beide leden kwadrateren
(x – 4)2 + (y + 1)2 = (y + 3)2
B x2 – 8x + 16 + y2 + 2y + 1 = y2 + 6y + 9
B
4y = x2 – 8x + 8
B
y = x x1 2 24 – +2
De grafiek met als vergelijking y = x x2 241 – +2 is een parabool waarbij we A het brandpunt noemen
en a de richtlijn.
10 ) Samenvatting
• Je kent de definitie van afstand tussen een punt en een rechte.
• Je kunt de afstand tussen twee punten berekenen.
co(P) = (x1, y1) en co(Q) = (x2, y2): |PQ| = 2 2x x y y– –+12 12_ _i i
• Je kunt de afstand van een punt tot een rechte analytisch bepalen.
Als m ↔ ax + by + c = 0 (met a ≠ 0 en b ≠ 0) en A(x1, y1), dan is d(A, m) = 2a b
ax by c+
+ +112
• Je kunt een normaalvergelijking van een rechte opstellen.
Als m ↔ ax + by + c = 0, dan is a b
ax by c+
+ +2 2 = 0 een normaalvergelijking van m.
• Je weet wat een meetkundige plaats is.
002_092-147_Vbtl4MeetkLw5.indd 124 3/04/12 20:59
24
3 ) Supplementaire hoeken
Supplementaire hoeken zijn hoeken waarvan de som 180° is.
Dus:
a + (180° – a) = 180°
supplementaire hoeken
Voorbeelden: hoek Supplementaire hoek
30° 150°
–114° 294°
a 180° – a
We berekenen nu met de rekenmachine:
sin 30° = 0,5
sin 150° = 0,5
cos 30° = 0,866025
cos 150° = –0,866025
tan 30° = 0,577350
tan 150° = –0,577350
sin 114° = 0,913545
sin 66° = 0,913545
cos 114° = –0,406737
cos 66° = 0,406737
tan 114° = –2,246037
tan 66° = 2,246037
Uit deze voorbeelden blijkt dat supplementaire hoeken gelijke sinussen, tegengestelde cosinussen en tegenge-
stelde tangenten hebben.
Supplementaire hoeken hebben gelijke sinussen en tegengestelde cosinussen.
Gegeven: de hoek ate bewijzen: sin (180° – a) = sin a cos (180° – a) = –cos aBewijs: A is het beeldpunt van de hoek a op de goniometrische cirkel.
E'
O
B
y
xαE
A
DCE"
180o – α
B is het beeldpunt van 180° – a op de goniometrische cirkel.
EOWB + BOWE'' = 180°
L
180° – a + BOWE'' = 180°
L
BOWE'' = a
Dit betekent ook dat E'OWB = 90° – a = AOWE' en dus is
de y-as de deellijn van AOWB.
L
B = sy (A) want |OB| = |OA| = 1 en D OAB is dus gelijkbenig en in een gelijkbenige driehoek is de deellijn uit de tophoek tevens middelloodlijn.
In D OBC en D OAD geldt: CW = DW = 90° ZHH
BOWC = AOWD = a P D OBC , D OAD
|OB| = |OA| = 1 4
Ldefinitie congruente driehoeken
|OC| = |OD| en |BC| = |AD|
L
–cos (180° – a) = cos a en sin (180° – a) = sin a L
cos (180° – a) = –cos a en sin (180° – a) = sin a
Opmerking:
Supplementaire hoeken hebben beeldpunten die symmetrisch liggen t.o.v. de y-as.
1
5
63
hoofdstuk 1 • driehoeksmeting en de cirkel
6 ) Koordenvierhoek
ABCd noemen we een koordenvierhoek.
D
B
C
A
Een koordenvierhoek is een vierhoek waarvan de vier hoekpunten op één cirkel liggen. de vier zijden zijn dus
koorden van deze omgeschreven cirkel.
koordenvierhoek
In een koordenvierhoek zijn de overstaande hoeken supplementair.
A
B
C
M
21
D
gegeven: ingeschreven vierhoek ABCd
R is de straal van de omgeschreven van D ABC.
te bewijzen: AW + CW = BW + dW = 180°
Bewijs: AW = 21 MX1
omtrekshoeken en
middelpuntshoeken op BCD& CW = 2
1 MX2 4 P AW + CW = 21 · 360° = 180°
MX1 = MX2 = 360° omtrekshoeken en
middelpuntshoeken op BAD&
stelling van Ptolemeus
Ptolemeus leefde in Alexandrië in de tweede eeuw na Christus.
Het product van de diagonalen van een (convexe) koordenvierhoek is gelijk aan de som van de
producten van de overstaande zijden.
ABCD is een korordenvierhoek F |AC|· |BD| = |AB| · |CD| + |AD| · |BC|
De bovenstaande formule bewijst Ptolemeus in zijn werk 'Hè Megalè Syntaxis' (De grote
samenvatting). Later kreeg dit werk, langs Arabische vertalingen om, de naam 'Almagest'.
3
40
3 ) Sinusregel
Onderzoek met bestaande wiskundesoftware
dat in elke D ABC geldt:
A
BC
a
bc
sina
AW = sin
bBW =
sinc
CW
In elke driehoek ABC geldt: sin
aAW =
sinb
BW = sin
cCW
of:
In elke driehoek zijn de zijden evenredig met de sinussen van de overstaande hoeken.
sinusregel
We bewijzen hier de sinusregel in een scherphoekige driehoek.
Gegeven: D ABC is scherphoekig
Tebewijzen: sin
aAW =
sinb
BW = sin
cCW
Bewijs: Teken de hoogtelijn [AD].A
BC a
b c
D
In D ADC: sin CW = ADb en in D ADB: sin BW =
ADc
L
|AD| = b · sin CW en |AD| = c · sin BW L
b · sin CW = c · sin BW L
sin
bBW =
sinc
CW
Analoog bewijst men (teken de hoogtelijn uit C): sin
bBW =
sina
AWEr geldt dus:
sina
AW = sin
bBW =
sinc
CW
4
185
hoofdstuk 3 • ruimtemeetkunde
5 ) Criterium van loodrechte stand van een rechte en een vlak
omgekeerd stelt zich de vraag:
Wanneer kunnen we met zekerheid beweren dat een rechte a loodrecht op een vlak a staat?
We kunnen onmogelijk nagaan of a loodrecht op alle rechten van a zou staan. We gaan onderzoeken op hoeveel
rechten van a a loodrecht moet staan, opdat a een loodlijn op a zou zijn.
Beschouw de kubus ABCDEFGHd n.
A
B
D
C
E
F
H
G
- op hoeveel rechten door A, gelegen in het grondvlak, staat Af loodrecht?
- Welke?
- staat Af loodrecht op het grondvlak?
We zien dat de loodrechte stand van een rechte t.o.v. één rechte in een vlak
niet volstaat opdat de eerste loodrecht op dat vlak zou staan.
- de rechte AE staat loodrecht op de rechten AB en Ad.
We weten dat AE loodrecht staat op het grondvlak.
opdracht: teken op een blad papier twee snijdende rechten a en b. Leg je tekendriehoek in het vlak van het blad zodanig
dat een rechthoekszijde langs a valt.
t
b
a
10
20
30
40
5060
7080
9080
7060
5040302010
01
23
45
67
89
10
11
12
34
56
78
910
11
t
b
a
de andere rechthoekszijde t van de tekendriehoek staat dus loodrecht op a, maar niet loodrecht op b.
Je ziet duidelijk dat t niet loodrecht op het vlak staat. draai nu de tekendriehoek rond a totdat hij ook
loodrecht staat op b.
Je merkt dat t nu wel loodrecht op het vlak staat.
in woorden:
Een rechte staat loodrecht op een vlak als en slechts als ze loodrecht staat op twee snijdende rechten van dat
vlak.
in symbolen:
a, b ⊂ a en {s} = a ∩ b 4
⇒ p ⊥ ap ⊥ a en p ⊥ b
criterium loodrechte stand rechte - vlak
S
p
a
b
2
VOORWOORD
6Bij sommige
oefeningen vind je een of twee sterretjes. Dit duidt de
moeilijkheidsgraad aan.
7Achteraan het boek vind je
een trefwoordenregister.
8Elk hoofdstuk eindigt met
een vaardigheid.
9Hier wordt uitgelegd hoe
een grafische rekenmachine je kan
helpen.
ISBN: 978 90 4861 333 5
Kon. Bib.: D/2012/0147/14
Bestelnr.: 94 505 0071
NUR: 126
Lay-out en opmaak: die Keure
Druk: die Keure
Niets uit deze uitgave mag verveelvoudigd en/of openbaar gemaakt worden door middel van druk, fotokopie, microfilm of op welke wijze ook zonder voorafgaande schriftelijke toestemming van de uitgever.No part of this book may be reproduced in any form by print, photoprint, microfilm or any other means without written permission from the publisher.
Foto’s: shutterstock, fotostock die Keure.
Copyright by die Keure Brugge
Verantwoordelijke uitgever: N.V. die Keure, Kleine Pathoekeweg 3 - 8000 Brugge - België - H.R. Brugge 12.225
Druk: 2012
Je hebt er wellicht al van gehoord in de les aardrijkskunde: lengtecirkels (ook meridianen genoemd)
en breedtecirkels.
nulmedridiaan
NoorderbreedteOosterlengte
ZuiderbreedteOosterlengte
ZuiderbreedteWesterlengte
NoorderbreedteWesterlengte
NB
evenaar
nulmeridiaan
WL
OL
Laat ons nog even herhalen.
Je verdeelt de aardbol in 360°. De lengtecirkels lopen van de noordpool naar de zuidpool en worden beschreven
in graden ten oosten of ten westen van de nulmeridiaan (door Greenwich). Voor de breedte verdeel je de aardbol
aan weerszijden van de evenaar in 90 schijven. Deze breedtecirkels lopen evenwijdig met de evenaar en worden
beschreven in graden ten noorden of ten zuiden van de evenaar. De grootste breedtecirkel is dus de evenaar zelf.
Voor de onderstaande oefeningen ga je ervan uit dat de aarde een perfecte bol is met een straal r = 6378 km.
synthese opdracht: hoe ver is de horizon?
Opdracht 1:
a Bereken de omtrek van de aarde
b Bereken de afstand van de evenaar tot de zuidpool als het
traject over land wordt afgelegd.
c Bereken de omtrek van de poolcirkel die zich op 66° 33'
zuiderbreedte bevindt en van de kreeftskeerkring die zich
op 23° 27' noorderbreedte bevindt.
d Twee steden A en B zijn verbonden door een perfect
rechtlijnige weg. Stel dat men door de aarde een
rechtlijnige tunnel wil bouwen van A naar B.
- Hoeveel korter is de tunnel dan de weg?
- Hoeveel meter onder de begane grond
bevindt de tunnel zich op zijn diepste punt?
Stel: rechtlijnige weg AB%
= 100 km
|AB| is de lengte van de tunnel
p is de grootste diepte.
Synthese opdracht:hoe ver is de horizon?
198
r
r
OEVENAAR 23o27'
66o33'
NOORDPOOL
ZUIDPOOL
kreeftskeerkring
poolcirkelO
A
B
xx—2
r
r
p
8
45
hoofdstuk 1 • driehoeksmeting en de cirkel
Voorbeeld 2: ZhZ
gegeven: Δ ABC
a = 5
b = 4
CW = 37° 15'
gevraagd: AW, BW en c (tot op 10–2 nauwkeurig) b
A
aC B
c
oplossing: c = ?
c2 = a2 + b2 – 2ab · cos CW = 25 + 16 – 40 · cos 37° 15'
= 9,159920
c = 3,03 * Als we de waarde van c verder gebruiken, maak je
best gebruik van de sto toets.
b AW = ?
a2 = b2 + c2 – 2bc · cos AW L *
cos AW = 2 22
bca b c
2–– –
L
cos AW = 2 4 ,,
3 02653625 16 9 159920
–– –$ $
L 0° Õ AV Õ 180°
AW = 89° 37' 18"
c BW = ?
BW = 180° – ( AW + CW) = 180° – (89° 37' 18" + 37° 15') = 53° 7' 42"
Voorbeeld 3: hZh
gegeven: Δ ABC
AW = 24° 13' 56"
BW = 46° 14' 31"
c = 24
gevraagd: a, b (tot op 10–2 nauwkeurig) en CW
b
A
a
C
B c
oplossing: CW = ?
CW = 180° – AW – BW = 180° – 24° 13' 56" – 46° 14' 31"
= 109° 31' 33"
b a = ?
sin
aAW =
sinc
CW L
a = sin
sinc $C
AWW = ° '24 ° ' "
sinsin
109 31 3324 13 56$ = 10,45
c b = ?
sin
bBW =
sinc
CW L
b = sin
sinc $C
BWW = ° ' "24 ° ' "
sinsin
109 31 3346 14 31$ = 18,39
9
hoofdstuk 2 • analytische meetkunde
117
14 Gegeven: a(–2, –2), B(3, 5) en c(6, –6) a stel de vergelijkingen op van de drie hoogtelijnen.
b Bepaal de coördinaat van het snijpunt h van de drie hoogtelijnen.
c stel de vergelijkingen op van de drie middelloodlijnen.
d Bepaal de coördinaat van het snijpunt M van de drie middelloodlijnen.
e stel de vergelijkingen op van de drie zwaartelijnen.
f Bepaal de coördinaat van het zwaartepunt Z.
g toon aan dat deze drie punten (h en M en Z) op één rechte liggen (= de rechte van euler).
h toon aan dat |hZ| = 2 · |ZM|.
i Bepaal de grootte van de hoek in A.
j Bereken de omtrek van driehoek ABC.
k Bereken de oppervlakte van driehoek ABC.
15 Gegeven: a(1, 4), B(–4, –3) en c(6, 2) a stel de vergelijkingen op van de rechten en AB, BC en CA.
b stel de vergelijkingen op van de drie hoogtelijnen.
c Zoek de coördinaat van het voetpunt van de hoogtelijn uit elk hoekpunt.
d Bereken de lengte van de hoogte uit elk hoekpunt.
e Bereken de oppervlakte D ABC.
16 Gegeven: B(3, –2) en c(–1, 3) Bepaal de punten op d ↔ x – y – 1 = 0 die met B en c een rechthoekige driehoek bepalen.
17 Op de zijden [aB], [Bc], [cd] en [da] van het vierkant aBcd, neemt men respectievelijk de punten P, Q, R, s zodat
|aP| = |BQ| = |cR| = |ds|. toon analytisch aan dat PR ⊥ Qs.
18 in een driehoek aBc trekt men de hoogtelijnen ad en Be (d C Bc en e C ac). het midden m van [aB] wordt met het
midden n van [de] verbonden. Bewijs analytisch dat mn ⊥ de.
19 Bewijs analytisch dat de middelloodlijnen van een driehoek concurrent zijn.
20 de middens van de zijden van een driehoek aBc en het voetpunt van een hoogtelijn zijn hoekpunten van een gelijk-
benige trapezium. Bewijs dit analytisch. neem voor a(–2, 0), B(4, 1) en c(2, 5).
21 Bewijs analytisch dat in een vierkant de diagonalen elkaar loodrecht middendoor delen en even lang zijn.
22 twee rechten met vergelijking y = ax en y = bx met a Œ 0 en b Œ 0 maken een scherpe
O x
y
αβ
y = ax
y = bx hoek, respectievelijk a en b, met de x-as zodanig dat a + b = 90°. hieruit volgt:
a a + b = 1 b a + b = 2 c ab = 1 d a = 2b e a = 4b
VWO 2009, tweede ronde, probleem 17 © Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw
★★
★
★
★
002_092-147_Vbtl4MeetkLw5.indd 117 3/04/12 20:29
6
201
Aafstand punt – rechte > 118afstand tussen twee punten > 118anticomplementaire hoeken > 28antisupplementaire hoeken > 25apothema > 56Archimedes > 91
Bbinnenomtrekshoek > 77buitenomtrekshoek > 77
Ccartesiaanse vergelijking cirkel > 128cavalièreperspectief > 150cirkel > 56cirkelboog > 85cirkelsector > 85complementaire hoeken > 27cosecans > 13cosinus > 9cosinusregel > 41cotangens > 11criterium loodrechte stand > 99
Ddeellijn > 39Descartes > 114dodecaëder > 191
EEscher > 148
Fformule van Heroon > 49
Ggelijke hoeken > 22genormeerde vector > 96georiënteerd > 8georiënteerd lijnstuk > 96goniometrische cirkel > 9grondformule goniometrie > 14
HHeroon > 50hoogtelijn > 37hoogtepunt > 37
Iicosaëder > 191isometrisch perspectief > 150
Kkimduiking > 199koorde > 56koordenvierhoek > 63kruisende rechten > 182kwadrant > 9
Lloodrecht > 182loodvlakken > 186
Mmacht van een punt t.o.v. een cirkel > 69meetkundige plaats > 124, 145middellijn > 56middelloodlijn > 38middelpuntshoek > 60midden > 104middenparallel > 39
Nnatuurlijk perspectief > 150norm van een vector > 96normaal > 64normaalvergelijking > 122
Ooctaëder > 191omtrekshoek > 60orthogonaal > 111, 182
TREFWOORDEN-REGISTER
7
Zoals je op de foto kunt zien is wiskunde een eeuwenoude wetenschap. Bij de bouw van deze 4000 jaar oude piramides, kwam er al heel wat wiskunde kijken. Ze bevinden zich in Egypte, niet zover van Caïro, de stad die je op de achtergrond ziet. Driehoeksmeting en een ruime kennis van ruimtemeetkunde waren nodig om het graf van koning Cheops (de grootste van de drie piramides) op te trekken. als basis een vierkant met een zijde van 230 m. Inwendig een trapconstructie die zorgt voor stabiliteit en waarlangs men de steenmassa naar boven sleur-de, tot zelfs oorspronkelijk 146 m hoog! Hiervoor werd gebruik
gemaakt van schuin oplopende vlakken, onder een welbepaal-de hellingshoek waarop de blokken op sleeën werden voortge-trokken. En hadden ze toen het hoofdstuk 'cirkels' gekend, dan konden ze gebruik maken van wieltransport. Nadien werden de horizontale 'trappen' met stenen volgebouwd zodat de pira-mide volwaardige zijvlakken kreeg onder een hoek van 51° 50' met zijn grondvlak.De auteurs van dit boek hebben getracht om je leerstof op een boeiende en realistische wijze voor te stellen. Veel plezier met het doorworstelen ervan.
InhOuD
1 Driehoeksmetingendecirkel
1.1 Goniometrische getallen > 8 1.2 Goniometrische getallen en verwante hoeken > 22 1.3 Willekeurige driehoeken > 36 1.4 De cirkel > 56 1.5 Regelmatige veelhoeken > 80
Vaardigheden: Wiskunde en Archimedes > 91
2 Analytischemeetkunde
2.1 Vectoren > 94 2.2 Punten en rechten > 104 2.3 afstanden in het vlak > 118 2.4 Vergelijking van een cirkel > 128 Vaardigheden: Wiskundige woordenschat > 144 ICT: meetkundige plaatsen > 145
3 Ruimtemeetkunde
3.1 Punten, rechten, vlakken > 150 3.2 Evenwijdige stand van rechten en vlakken > 166 3.3 Doorsneden > 173 3.4 Loodrechte stand van rechten en vlakken > 182 3.5 Eigenschappen van vlakke figuren gebruiken in ruimtelijke situaties > 190
Syntheseoefening: De horizon en kimduiking > 198
Trefwoordenregister > 201
Net over de grens, voorbij Maastricht, vind je dit ver-keersbord aan de Keutenberg, die de steilste helling van Nederland aankondigt. Deze helling maakt deel uit van de amstel Gold Race.op het bord merk je dat de zwarte driehoek geen correcte wiskundige weergave. Zo moet de rechte hoek onderaan zitten en hoort het getal 22 bij de kortste rechthoekszijde en 100 bij de andere recht-
hoekszijde. Maar zo’n correcte weergave zou het bord plots minder leesbaar maken.Met al deze gegevens is het mogelijk om ook alle hoeken van de driehoek terug te vinden. ook als je de hoeken gegeven hebt, kun je afstanden terugvinden. Deze driehoeksmeting lukt dankzij de kennis van de goniometrische waarden: sinus, cosinus en tangens.
1.1 Goniometrischegetallen 1 Hoofdwaarde van een goniometrische hoek > 8 2 De goniometrische cirkel > 9 3 Goniometrische getallen: sinus en cosinus > 9 4 Goniometrische getallen: tangens > 10 5 Goniometrische getallen: cotangens > 11 6 Goniometrische getallen: secans en cosecans > 13 7 Grondformule van de goniometrie > 14 8 Bewijzen van identiteiten > 15 9 Bijzondere hoeken > 15 10 samenvatting > 17 11 oefeningen > 18
1.2 Goniometrischegetallenenverwantehoeken
1 Gelijke hoeken > 22 2 Tegengestelde hoeken > 23 3 supplementaire hoeken > 24 4 antisupplementaire hoeken > 25 5 Complementaire hoeken > 27 6 anticomplementaire hoeken > 28 7 Herleiden naar het eerste kwadrant > 29 8 Hoek bepalen als het goniometrisch getal gegeven is > 30 9 samenvatting > 31 10 oefeningen > 32
1.3 Willekeurigedriehoeken 1 Weet je nog… formules in een rechthoekige driehoek > 36 2 Weet je nog… bijzondere lijnen in een driehoek > 37 3 sinusregel > 40 4 Cosinusregel > 41 5 oplossen van willekeurige driehoeken > 43 6 Toepassingen > 47 7 oppervlakte van een driehoek > 49 8 samenvatting > 50 9 oefeningen > 51
1.4 Decirkel 1 Terminologie > 56 2 Eigenschappen i.v.m. middellijnen en koorden > 58 3 Middelpuntshoek en omtrekshoek > 60 4 Eigenschappen i.v.m. middelpuntshoeken en omtrekshoeken > 60 5 Toepassingen > 61 6 Koordenvierhoek > 63 7 Raaklijn aan een cirkel > 64 8 Constructies > 65 9 Gemeenschappelijke uitwendige raaklijn aan twee cirkels > 66 10 Gemeenschappelijke inwendige raaklijn aan twee cirkels > 67 11 Raakomtrekshoek > 68 12 Macht van een punt t.o.v. een cirkel > 69 13 samenvatting > 70 14 oefeningen > 72
1.5 Regelmatigeveelhoeken 1 Begrippen en eigenschappen > 80 2 Grootte van een hoek van een regelmatige veelhoek > 81 3 Zijde en omtrek van een regelmatige veelhoek > 82 4 oppervlakte van een regelmatige veelhoek > 83 5 De cirkel als regelmatige veelhoek > 84 6 Het getal p > 84 7 oppervlakte van een cirkel > 85 8 Cirkelboog en cirkelsector > 85 9 samenvatting > 86 10 oefeningen > 87
Vaardigheden Wiskunde & archimedes > 91
1Driehoeksmetingendecirkel
1.1
8
Goniometrischegetallen
1 )hoofdwaardevaneengeoriënteerdehoek
Een hoek kan op twee manieren doorlopen of georiënteerd worden.
in positieve zin:
60°O
A
B in negatieve zin:
–60°O
A
B
Het been [oa kan op [oB afgebeeld worden door oneindig veel draaiingen.
Zo is r(o, 60°)
= r(o, 420°)
= r(o, 60° + 360°)�
1211
109
8
7 65
43
2
1
60
5040
30
2010
60
5040
30
2010
0
8
6 4
2
WIJZERZIN= NEGATIEF
TEGENWIJZERZIN= POSITIEF = r
(o, 780°) = r
(o, 60° + 2 · 360°)
= r(o, 1140°)
= r(o, 60° + 3 · 360°)
= r(o, –300°)
= r(o, 60° + (–1) · 360°)
= r(o, 60° + k · 360°)�
met k C Ž
Het been [oB kan op [oa afgebeeld worden door:
Zo is r(o, –60°)
= r(o, 300°)
= r(o, –60° + 360°)
= r(o, 660°)
= r(o, –60° + 2 · 360°)
= r(o, –420°)
= r(o, –60° – 360°)
= r(o, –60° + k · 360°)��
met k C Ž
Besluit:Een georiënteerde hoek heeft oneindig veel waarden. als a een waarde is van de hoek, dan zijn a + k · 360° (met k C Ž) alle waarden voor die hoek. De hoofdwaarde van een georiënteerde hoek is die waarde die behoort tot ]–180°, 180°].
Voorbeelden:
hoek a a + k · 360° hoofdwaarde
428° 428° – 360° 68°
–237° –237° + 360° 123°
–2670° –2670° + 7 · 360° –150°
–400° –400° + 360° –40°
9
HooFDsTUK 1 • DRIEHOEKSMETING EN DE CIRKEl
2 )Degoniometrischecirkel
Een goniometrische cirkel is een cirkel waarvan het middelpunt de oorsprong is van
een orthonormaal assenstelsel en waarvan de straal als eenheid wordt gekozen.
goniometrische cirkel
1
1
0–1
–1
III
III IV
x
y
De assen van het orthonormaal assenstelsel verdelen de cirkel in vier gebieden, kwadranten
genoemd.
om een georiënteerde hoek in een goniometrische cirkel voor te stellen, kiezen we als begin-
been steeds het positieve gedeelte van de x-as.
op de goniometrische cirkel kunnen we een punt F
aanduiden zodat EOFW = PAQW .
Het snijpunt F van het eindbeen van de georiënteerde
hoek met de goniometrische cirkel noemen we het
beeldpunt van PAQW op de goniometrische cirkel.
Elke hoek heeft zo precies één beeldpunt.
P
Q
A
F
EO
y
x
3 )Goniometrischegetallen:sinusencosinus
In 'VBTL 3 Meetkunde' hebben we de sinus en cosinus van een scherpe hoek in een rechthoekige driehoek gedefinieerd.
BCAC
schuine zijdeoverstaande rechthoekszijde
BCAB
schuine zijdeaanliggende rechthoekszijde
sin
cos
ab
ac
=
=
B
B
= =
= =
W
WAB
C
ab
c
op de onderstaande goniometrische cirkel is M het beeldpunt van een georiënteerde hoek a.
M
EO
E'
N
1
–1
–1
10 x
y
D oMN is rechthoekig ( NX = 90°).
OMON ON
ONcos 1a= = = OMMN MN
MNsin 1a= = =
cos a is dus het eerste coördinaatgetal van M en
sin a is het tweede coördinaatgetal van M.
We breiden dit uit tot de volgende twee definities:
De cosinus van een hoek is het eerste coördinaatgetal van het beeldpunt van die hoek op de goniometrische
cirkel.
cosinus
De sinus van een hoek is het tweede coördinaatgetal van het beeldpunt van die hoek op de goniometrische
cirkel.
sinus
opmerking:
Voor een beeldpunt M van een hoek a schrijven we: co(M) = (cos a, sin a)
10
x
y
1
1
O 0
M
x
y
1
1
O 0
M
x
y
1
1
O x
y
1
1
O
NN
N N
M
M
00
Gevolgen:
• Tekentabel:
a I II III IV
cos a + – – +
sin a + + – –
• Bijzondere hoeken:
a 0° 90° 180° –90°
cos a 1 0 –1 0
sin a 0 1 0 –1
• Merk op dat |oN| = |cos a|
|MN| = |sin a|
• –1 Æ cos a Æ 1 en –1 Æ sin a Æ 1
of: zowel cos a als sin a behoren tot [–1, 1].
4 )Goniometrischegetallen:tangens
Vorig jaar werd de tangens van een scherpe hoek in een rechthoekige driehoek gedefinieerd:
ABAC
aanliggende rechthoekszijdeoverstaande rechthoekszijde
tan cbB= = =W
AB
C
ab
c
op de onderstaande goniometrische cirkel is M het beeldpunt van een georiënteerde hoek a.
x
y
ENO
M1
1
D oMN is rechthoekig ( NX = 90°).
Er geldt dus:
ONMN
tan cossina a
a= =
We breiden dit uit tot de volgende definitie.
De tangens van een hoek a (a ≠ 90° + k · 180°) is het quotiënt van de sinus van die hoek a en de cosinus van die
hoek a.
tan a = cossin
aa met cos a ≠ 0
tangens
Hoe kun je tan a aflezen op de goniometrische cirkel?
oM gaat door de oorsprong o(0, 0) en door M(cos a, sin a)
x
y
EO
E'1
1
oM ↔ y = cossin
aa · x
oM ↔ y = tan a · x
Hieruit leiden we af dat tan a de rico is van oM.
Tekenen we nu de raaklijn in E aan de goniometrische cirkel, dan kunnen we
de coördinaat van P bepalen.
co(P) = (1, tan a)
11
HooFDsTUK 1 • DRIEHOEKSMETING EN DE CIRKEl
Besluit:
x
y
E(1, 0)
tan α
O
E'(0, 1)Msin α
cos α
P(1, tan α)
• De tangens van een hoek a met als beeldpunt M op de goniometrische cirkel,
lezen we af als het tweede coördinaatgetal van het punt dat we verkrijgen als
snijpunt van de raaklijn in het punt (1, 0) aan de goniometrische cirkel en de
rechte oM.
• De tangens van de hoek a is de richtingscoëfficiënt van oM.
x
y (1, tan α)
x
y
x
y
x
y
(1, tan α)
(1, tan α)
(1, tan α)
1
10
1
10
1
10
1
10
Gevolgen:
• Merk op dat tan 90° en tan (90° + k · 180°) met k C Z
niet bestaan aangezien cos (90° + k · 180°) = 0 en je
dus in de noemer 0 krijgt. De raaklijn in (1, 0) snijdt
de rechte oM niet.
• tan a C R (a ≠ 90° + k · 180° met k C Z)
• Tekentabel:
a I II III IV
tan a + – + -
• Bijzondere hoeken:
a 0° 90° 180° –90°
tan a 0 Ç R 0 Ç R
5 )Goniometrischegetallen:cotangens
cot a = sincos
aa (met sin a ≠ 0) cot a = tan
1a (met tan a ≠ 0)
cotangens
Gevolg: In een rechthoekige driehoek geldt: B
CA b
ca
cot a = overstaande rechthoekszijdeaanliggende rechthoekszijde
= ACAB c
b=
op de goniometrische cirkel is M het beeldpunt van een georiënteerde hoek a.
M
Nx
y
cos α
sin α1
10
MNON
cot sincosa a
a= =
(met sin a ≠ 0)
12
Hoe kun je cot a aflezen op de goniometrische cirkel?
x
y
O
M (cos α, sin α)
cos α cot α
P (cot α, 1)
Q
E’
E
1
oM ↔ y = tan a · x
Tekenen we nu de raaklijn in E' aan de goniometrische cirkel dan kunnen we co(P) bepalen.
Het tweede coördinaatgetal van P is 1.
P C oM dus is: 1 = tan a · x
L
tan cotx 1a a= =
en dus is cot a het eerste coördinaatgetal van P.
P co(P) = (cot a, 1)
Besluit:
De cotangens van een hoek a, met als beeldpunt M op de goniometrische cirkel, lezen we af als het eerste coördi-
naatgetal van het punt dat we verkrijgen als snijpunt van de raaklijn in het punt (0, 1) aan de goniometrische cirkel
en de rechte oM.
Gevolgen: - Merk op dat cot (k · 180°) (met k C Z ) niet bestaat omdat de raaklijn in (0, 1) de rechte oM
niet snijdt. Bij deze hoeken is de sinus ook altijd 0!
- cot a C R (a ≠ k · 180°) - Tekentabel:
a I II III IV
cot a + – + -
- Bijzondere hoeken:
a 0° 90° 180° –90°
cot a Ç R 0 Ç R 0
samenvatting:
I II III IV
sin a + + – –cos a + – – +tan a + – + –cot a + – + –
+
+
+
+
–
–
–
+
––
+
+
–
–
+
–y y y y
x x x xO O O O
1
1
1
1
1
1
1
1
13
HooFDsTUK 1 • DRIEHOEKSMETING EN DE CIRKEl
6 )Goniometrischegetallen:secansencosecans
sec a = cos1
a (cos a ≠ 0) csc a = sin1
a (sin a ≠ 0)
secans, cosecans
Gevolgen:
- cos a en sec a hebben hetzelfde teken. ook sin a en csc a hebben hetzelfde teken.
- omdat sin a en cos a beiden tot het interval [–1, 1] behoren, geldt voor de reële getallen csc a en sec a dat zij
elementen zijn van ]–∞, –1] ∪ [1, +∞[.
Waar vinden we de sec a en csc a op de goniometrische cirkel terug?
P
Q
S
x
y
(0, csc α)
(sec α, 0)O a
1
1
Construeer de raaklijn a in P die de x-as in Q en de y-as snijdt in s.
In D oPQ geldt: cos a = OQOP
L
|oQ| = cos1
a = sec a
als P het beeldpunt is van a op de goniometrische cirkel en a
de raaklijn aan de cirkel in P, dan is sec a het eerste coördi-
naatgetal van het snijpunt van a met de x-as.
In DoPs geldt: sW = a hebben beiden QV als complement
sin a = sin sW = OSOP
L
|os| = sin1
a = csc a csc a is het tweede coördinaatgetal van het snijpunt van a met de y-as.
14
7 )Grondformulevandegoniometrie
Bereken met je rekenmachine: sin2 (41° 5' 11") + cos2 (41° 5' 11")
Vorig jaar leerde je de grondformule sin2a + cos2a = 1 voor scherpe hoeken.
Deze formule zullen we nu veralgemenen voor elke willekeurige, georiënteerde hoek.
sin2a + cos2a = 1
grondformule goniometrie
We bewijzen de stelling voor een hoek die behoort tot ]90°, 180[.
x
y
OB
A(cos α, sin α) 1
1
Gegeven: willekeurige hoek a in het tweede kwadrant met beeldpunt a
Te bewijzen: sin2a + cos2a = 1
Bewijs: D oaB is rechthoekig
L |aB|2 + |oB|2 = |oa|2
L (sin a)2 + (|cos a|)2 = 1 L sin2a + cos2a = 1
Uit de grondformule leiden we af:
sin2 a + cos2 a = 1 L
a2
2
2a
2
asinsin
sin1a =cos+ (indien sin a ≠ 0) en a
2a
2
2aa2
cossin cos
cos1+ = (indien cos a ≠ 0)
L 1 + cot2 a = csc2 a en 1 + tan2 a = sec2 a
1 + cot2a = csc2a 1 + tan2a = sec2a
afgeleide formules:
Toepassingen:Bepaal de cos a en tan a (zonder deze hoek te berekenen) als de hoek a behoort tot het eerste kwadrant en als sin a = 0,2.
Oplossing:
cos a = ? sin2a + cos2a = 1 (grondformule) L cos a = 2a1 sin– (vermits a behoort tot het eerste
L kwadrant is cos a Œ 0)
cos a = 21 0,2– L cos a =
21 5
1– d n L cos a = 25
24
L cos a = 5
2 6
b tan a = ?
tan a = cossin
aa =
52 6
51
= 126
Bepaal cos a en sin a als de hoek a behoort tot het derde kwadrant en als tan a = 3 .
Oplossing:
cos a = ? 1 + tan2a = sec2a L sec2a = 1 + ( 3 )2
L
sec2a = 4 L 2a
1cos = 4
L cos2 a = 4
1
L cos a = 2
1– (vermits a behoort tot het derde
kwadrant is cos a Õ 0)
b sin a = ?
tan a = cossin
aa
L
sin a = tan a · cos a = 3 · 2
1–a k
= 23–
15
HooFDsTUK 1 • DRIEHOEKSMETING EN DE CIRKEl
8 )Bewijzenvanidentiteiten
Voorbeeld 1:
Toon aan dat voor elke a waarvoor de goniometrische getallen bestaan geldt:
cos sin tan cos1+a a a
a=$
Bewijs:
We starten in het linkerlid en proberen het rechterlid te bekomen.
2
2
2
2
cos sin tan cos sin cossin
coscos sin
cos sincos
cos
1 1
1
1
+ +
+
+
a a a a aaa
aa a
a aa
a
=
=
$ $
=
=
cos a=
Voorbeeld 2:
Toon aan dat voor elke a waarvoor de goniometrische getallen bestaan geldt:
(tan a + cot a)2 = sec2 a + csc2 a
Bewijs:
We trachten de identiteit te bewijzen door beide leden tegelijkertijd om te vormen.
(tan a + cot a)2 = sec2 a + csc2 a B tan2 a + 2 tan a · cot a + cot2 a = (1 + tan2 a) + (1 + cot2 a) B
tan2 a + 2 + cot2 a = 2 + tan2 a + cot2 a De gelijkheid is waar.
9 )Bijzonderehoeken
y
x
C A
BO45o
1 Goniometrische getallen van een hoek van 45°
sin 45° = cos 45° (D oaB is rechthoekig en gelijkbenig)
sin2 45° + cos2 45° = 1 (grondformule)
L*
2 sin2 45° = 1
L
sin2 45° = 21
L
sin 45° = cos 45° = 21 = 2
2 (sin 45° en cos 45° zijn beide positief)
tan 45° = cot 45° = 1
sin 45° = 22 tan 45° = 1
cos 45° = 22 cot 45° = 1
16
2 Goniometrische getallen van een hoek van 60°
y
x
P A
BO60o
Q
omdat |oa| = |oB| = 1, is D oaB gelijkbenig, dus aW = BW aW + BW + oW = 180°
L
aW + aW + 60° = 180°
L
2 aW = 120°
L
aW = 60° = BWDus: D oaB is gelijkzijdig.
Nu: |oQ| = |QB| = 21 (in een gelijkbenige driehoek is de hoogtelijn tevens zwaartelijn en |oQ| = cos 60°)
Dus: cos 60° = 21
sin2 60° + cos2 60° = 1 (grondformule)
L
sin2 60° + 41 = 1
L
sin2 60° = 43 tan 60° = °
°cossin
6060 = 2
3 : 21 = 3
L
sin 60° = 23 (sin 60° is positief) cot 60° = °
°sincos
6060 = 2
1 : 23 =
31 = 3
3
sin 60° = 32 tan 60° = 3
cos 60° = 21 cot 60° = 3
3
3 Goniometrische getallen van een hoek van 30°
omdat |oa| = |oE'| = 1, is D oE'a gelijkbenig, dus oaWE' = oE’Xa
oaWE' + oE’Xa + aoWE' = 180°
y
x
P A
EO30o
Q
E'
L
2oaWE' + (90° – 30°) = 180°
L
oaWE' = 60°
Dus: D oE'a is gelijkzijdig
Nu: |oP| = |PE'| = 21 (in een gelijkbenige driehoek is de
hoogtelijn tevens de zwaartelijn)
Dus: sin 30° = 21
sin2 30° + cos2 30° = 1 (grondformule) tan 30° = °°
cossin
3030 = 2
1 : 23 =
31 = 3
3
L
41 + cos2 30° = 1
L
cos2 30° = 43 cot 30° = °
°sincos
3030 = 2
3 : 21 = 3
L
cos 30° = 23 (cos 30° is positief)
sin 30° = 21 tan 30° = 3
3
cos 30° = 23 cot 30° = 3
17
HooFDsTUK 1 • DRIEHOEKSMETING EN DE CIRKEl
10 )Samenvatting
• Je kent de betekenis van de hoofdwaarde van een georiënteerde hoek.
De hoofdwaarde van een georiënteerde hoek a is die waarde die behoort tot ]–180°, 180°].
als a de hoofdwaarde is van een georiënteerde hoek, dan stelt a + k · 360° (k C Z) alle waarden van de
hoek voor.
• Je kent de betekenis van een goniometrische cirkel en kunt voor elke hoek het beeldpunt aanduiden op
deze cirkel.
Een goniometrische cirkel is een cirkel waarvan het middelpunt de oorsprong is van een orthogonaal
assenstelsel en waarvan de straal als een eenheid wordt gekozen.
• Je kunt de cosinus, sinus, tangens en cotangens terugvinden op de goniometrische cirkel.
sin α
cos α
tan α
cot αM
0 1
1
I II III IV
cos a + – – +
sin a + + – –
tan a + – + –
cot a + – + -
- De cosinus van een hoek is het eerste coördinaatgetal van het beeldpunt van de hoek op de gonio-
metrische cirkel.
- De sinus van een hoek is het tweede coördinaatgetal van het beeldpunt van die hoek op de gonio-
metrische cirkel.
- De tangens van een hoek met als beeldpunt M op de goniometrische cirkel lezen we af als het twee-
de coördinaatgetal van het punt dat we verkrijgen als snijpunt van de raaklijn in het punt (1, 0) aan
de goniometrische cirkel en de rechte oM. tan a = cossinaa .
- De cotangens van een hoek met als beeldpunt M op de goniometrische cirkel, lezen we af als het
eerste coördinaatgetal van het punt dat we verkrijgen als snijpunt van de raaklijn in het punt (0, 1) aan de goniometrische cirkel en de rechte oM. cot a = sin
cosaa .
• Je kent de definities van secans en cosecans.
sec a = cos1
a (cos a ≠ 0) csc a = sin1
a (sin a ≠ 0)
• Je kunt de grondformule van de goniometrie, alsook de afgeleide formules.
sin2 a + cos2 a = 1 1 + cot2 a = csc2 a 1 + tan2 a = sec2 a
• Je kunt de goniometrische getallen van een hoek berekenen als je weet in welk kwadrant de hoek ligt en
als je één goniometrische waarde gegeven hebt.
• Je kent de goniometrische getallen van bijzondere hoeken.
a 0° 30° 45° 60° 90° 180° 270° 360°
sin a 0 21
22
23 1 0 –1 0
cos a 1 23
22
21 0 –1 0 1
tan a 0 33 1 3 Ç R 0 Ç R 0
cot a Ç R 3 1 33 0 Ç R 0 Ç R
18
11 )Oefeningen
1 Een hulpmiddeltje? Om de goniometrische getallen van enkele bijzondere hoeken uit het hoofd te leren, kun je on-
derstaand hulpmiddeltje gebruiken.
a Probeer de verschillende stappen te begrijpen.
b Leid ook volgende goniometrische getallen af voor sec a, csc a, tan a en cot a.
stap 1 a 0° 30° 45° 60° 90°
sin a 0 1 2 3 4
cos a 4 3 2 1 0
stap 2 a 0° 30° 45° 60° 90°
sin a 20
21
22
23
24
cos a 24
23
22
21
20
stap 3 a 0° 30° 45° 60° 90°
sin a 0 21
22
23 1
cos a 1 23
22
21 0
2 Bepaal de hoofdwaarde van volgende georiënteerde hoeken.
a 75°
b 210°
c –145°
d –300°
e –760°
f 340°
g –761°
h –3428°
i 6228° 16'
j 278° 19' 34"
k –612° 26' 31"
l –455° 15' 42"
3 Bereken (tot op 5 decimalen) met je rekenmachine.
a cos 35° 17' 48"
b sin (–122° 1' 38")
c tan 92° 1' 38"
d sec 138° 17' 02"
e csc 108° 44'
f cot 55° 33' 11"
g sin 123°
h cos (–10° 20' 30")
i tan 246° 08'
j cot 357° 19'
k csc (–100° 1' 10")
l sec 100° 1' 10"
4 Bereken (tot op 5 decimalen) met je rekenmachine als je weet dat a = 57° 12' 04" en b = 30° 11' 23".
a sin (a + b)
b sin a + sin b
c cos (2a)
d 2cos a
e tan (a – b)
f tan (b – a)
g tan a – tan b
h sin2 a
i cos (2a – 3b)
j tan
sin cos–+α β
α β_ i
k cot (2b)
l 2sec (3b)
HooFDsTUK 1 • DRIEHOEKSMETING EN DE CIRKEl
19
5 Bepaal.
a sin bb cos ac |oN'|
d cos 0°
e cos 90°
f |oM|
g |oP|
h |oQ|
i tan aj sin 0°
k cos 180°
l cos bm sin an sin 90°
o sin 180°
p |oN|
q cot br |oN| – |oN'|
s sec at csc b
x
y
O
P
N'
M'(–0,6; 0,8)
N
Q
βα
M ,23
21d n
6 Teken een goniometrische cirkel (eenheidstraal 5 cm), teken hierin een georiënteerde hoek van –35° en stel de
sinus, cosinus, tangens en cotangens van deze hoek grafisch voor.
7 Bepaal het teken van de sinus, cosinus, tangens en contangens van volgende hoeken.
a sin a cos a tan a cot a
280° – + – –
a 220°
b 80°
c 160°
d –50°
e –200°
f –140°
8 Bepaal de beeldpunten van de hoeken waarvan de volgende goniometrische getallen gegeven zijn.
a cos a = 0,5
b sin a = 0,5
c cos a = 32–
d sin a = 43
e |cos a| = 43
f tan a = 21
g tan a = 23–
h |tan a| = 34
i cot a = 65–
j (tan a)–1 = 21–
k tan2 a = 4
l cot2 a = 9
m sec a = 3
n csc a = –2
o |csc a| = 25
9 Onderzoek op de goniometrische cirkel welke waarden tan a in de volgende gevallen aanneemt.
a a = 45°
b 0° Æ a Æ 45°
c 45° Æ a Æ 90°
d 90° Õ a Æ 135°
e 135° Õ a Æ 180°
f –45° Æ a Æ 0°
g –90° Õ a Õ –45°
h –135° Æ a Æ –90°
i –180° Æ a Õ –135°
10 Bestaan er hoeken a waarvoor geldt:
a sin a = 1,3 · tan 74°
b cos a = 32– · tan 20°
Verklaar telkens je antwoord.
20
11 Bereken zonder rekenmachine:
a sin 30° · cos 60° + cos 30° · sin 60°
b (cos 60° – sin 60°) · (cos 60° + sin 60°)c cos 60° · cos 90° + sin 60° · sin 90°
d cos 60° · sin 45° · tan 45° + tan 30° · cos 45° · sin 60°
e 3 sec2 30° – 4 sin2 30° + tan2 60° + cot 45°
12 Bepaal zonder a te berekenen de goniometrische getallen van a.
gegeven a in kwadrant gegeven a in kwadrant
a
b
c
d
e
sin a = 13
cos a = –0,5
sin a = 41–
cos a =53
csc a = 3
I
II
III
IV
I
f
g
h
i
j
sec a = –5
tan a = 5
cot a = 33–
sec a = –3
csc a = 2 2
III
I
IV
II
II
13 Bereken 3 tan a – 5 cos a + 2 als sin a = 54 en a tot het eerste kwadrant behoort.
14 Gegeven: sin a = 3 cos a. Bereken nu:
a tan a + cot a b sin a · cos a
15 Vereenvoudig.
a cossin
sincos+a
aaa
b (1– cos2 a) · cot2 a
c 2 – sin2 a – (2 + cos2 a)
d (1 – cos a) · (1 + cos a) + (cos a – sin a)2
16 Een parallellogram heeft zijden 7 en 3 en oppervlakte 18. Als a de kleinste hoek is tussen de zijden dan geldt:
a sin a = 76 b tan a = 7
6 c tan a = 37 d cot a = 3
7 e cos a = 76
VWO 2011, tweede ronde, probleem 15 © Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw
17 In driehoek ABC zien we de hoogtelijnen uit A en B. De rechte BD deelt het lijnstuk [AE] middendoor zoals in de fi-
guur. Zij b= ABC\ en c = BCA\ . Dan is tan b · tan γ gelijk aan:
a 21 b 1 c 2 d 3 e 4
C BE
D
A
VWO 2011, tweede ronde, probleem 25 © Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw
★
HooFDsTUK 1 • DRIEHOEKSMETING EN DE CIRKEl
21
18 Toon volgende gelijkheden aan.
a sin a · cot a = cos a
b tan a · cot a = 1
c sin4 a + 2 · sin2 a · cos2 a + cos4 a =1
d (sin a + cos a)2 + (sin a – cos a)2 = 2
e tan a + cot a = sin cos1
a a$
f 21 tantan– a
a = 22cos sinsin cos
–a aa a$
g (1 + tan a) · sin cossin
+a aa = tan a
h (sin a + cos a +1) · (sin a + cos a – 1) = 2 · sin a · cos a
i sin2 a = 2
2
1 tantan+ a
a
j 1sin
cos+a
a = cossin
1 – aa
k sin a – sin3 a = sin a · cos2 a
l (1 + cot2 a) · (1 – cos2 a) = 1
m sin4 a – cos4 a = 1 – 2cos2 a
n sec2 a + csc2 a = sec2 a · csc2 a
o (sec a + tan a – 1)(sec a – tan a + 1) = 2tan a
p tan2 a + csc2 a = cot2 a + sec2 a
★ q cotsin
tancos
1 1– –+aa a
a = sin a + cos a
★ r 2
22
2
cot cscsec tan
––
aaa a = –1
★ s cos a + cos a · sin2a + 4 a
cossin
a = sec a
★ t cos a · (2 + tan a) · (1 + 2 tan a) = cos2
a + 5 sin a
★ u (1 – tan a)2 + (1 – cot a)2 = (sec a – csc a)2
★ v (sec a + csc a) · (sin a + cos a) = sec a · csc a + 2
1.2
22
Goniometrischegetallenenverwantehoeken
1 )Gelijkehoeken
α
A
O B
y
x
α + 360o
De beeldpunten van a en van b = a + k · 360° (met k C R) vallen samen op de
goniometrische cirkel in het punt a.
Er geldt dus: A k C Z:
sin (a + k · 360°) = sin acos (a + k · 360°) = cos atan (a + k · 360°) = tan acot (a + k · 360°) = cot a
Voorbeelden:
sin 730° = sin(10° + 2 · 360°) = sin 10°
cos (–320°) = cos(–320° + 1 · 360°) = cos 40°
tan (–210°) = tan(–210° + 360°) = tan 150°
Goniometrie
In de tweede eeuw na Christus bevatte de Almagest, het grote werk van de Alexandrijnse sterrenkundige Claudius Ptolemeus
(85-165) belangrijke goniometrische methoden.
De formule sin2 a + cos2 a = 1 werd al door de Hindoes gebruikt, zij het onder een andere vorm, en verscheen in Arabische
vertaling in de achtste eeuw.
Het woord sinus komt het eerst voor bij de Italiaan Gerard Van Cremona (114-1187), die in 1175 in Toledo een Latijnse vertaling
maakte van de Arabische vertaling van de Almagest. Het Arabische woord 'jiba' (halve koorde) zou hierbij verward geworden zijn
met het Arabische woord 'jaib' (golf), wat tot het Latijnse woord 'sinus' (golf) zou geleid hebben.
Het woord cosinus komt voor het eerst voor in 1620 bij de Engelse sterrenkundige Gunter (1561-1626), tevens de maker van de
eerste rekenlat (Gunterschaal). Vanaf die tijd begint men de woorden sinus en cosinus af te korten. De eerste afkortingen waren
s, si, sin voor sinus en sco, sico, cos voor cosinus. Vanaf 1753 gebruikte de Zwitserse wiskundige Euler (1707-1783) nog alleen de
afkorting sin en cos en worden deze algemeen aanvaard. Het is ook Euler die in 1763 de betekenis van een sinus of een cosinus
vastlegde zoals we die nu kennen met de grondformule sin2 a+ cos2 a = 1.
De goniometrie krijgt vanaf 1763 haar hedendaagse gedaante.
Het woord tangens is een verouderde benaming voor 'raaklijn' en komt van het Latijnse 'tangere' (raken). Het woord secans
houdt verband met het Latijnse 'secare' (snijden).
Cosinus, cotangens en cosecans zijn gevormd uit sinus, tangens, secans van het complement.
23
HooFDsTUK 1 • DRIEHOEKSMETING EN DE CIRKEl
2 )Tegengesteldehoeken
Beschouwen we in de goniometrische
cirkel een georiënteerde hoek a.
α
A
O B
y
x
–α
A'
C
1
1
De hoek –a kunnen we bepalen door [oa
te spiegelen t.o.v. de x-as.
aangezien de x-as een symmetrieas is
van de cirkel geldt: BoWa = a'oWB.
a + (–a) = 0°
Bijgevolg is D oaC , D oa'C
en cos(–a) = cos a en sin(–a) = –sin a.
Uit tan(–a) = cossin
––
aa__ii leiden we af dat tan (–a) = –tan a.
Besluit:
sin α
y
xcos α = cos (–α)
–sin α= sin (–α)
(1, tan (–α))= (1, – tan α)
(1, tan α)
α
–α
1
10
sin (–a) = –sin acos (–a) = cos atan (–a) = –tan acot (–a) = –cot a
Tegengestelde hoeken hebben gelijke cosinussen en tegengestelde sinussen.
Gevolg:
Uit de eigenschap leiden we af dat tegengestelde hoeken een tegengestelde tangens en cotangens hebben.
Voorbeeld:
cos (–70°) = cos 70°
sin (–120°) = –sin 120°
tan (–34°) = –tan 34°
cos a = 43 F a = 41° 24' 35" + k · 360° (k C Z) of
a = –41° 24' 35" + k · 360° (k C Z)
opmerking:
Tegengestelde hoeken hebben beeldpunten die symmetrisch liggen
t.o.v. de x-as.
24
3 )Supplementairehoeken
Supplementaire hoeken zijn hoeken waarvan de som 180° is.
Dus:
a + (180° – a) = 180°
supplementaire hoeken
Voorbeelden: HOEK SUpplEMENTAIRE HOEK
30° 150°
–114° 294°
a 180° – a
We berekenen nu met de rekenmachine:
sin 30° = 0,5
sin 150° = 0,5
cos 30° = 0,866025
cos 150° = –0,866025
tan 30° = 0,577350
tan 150° = –0,577350
sin 114° = 0,913545
sin 66° = 0,913545
cos 114° = –0,406737
cos 66° = 0,406737
tan 114° = –2,246037
tan 66° = 2,246037
Uit deze voorbeelden blijkt dat supplementaire hoeken gelijke sinussen, tegengestelde cosinussen en tegenge-
stelde tangenten hebben.
supplementaire hoeken hebben gelijke sinussen en tegengestelde cosinussen.
Gegeven: de hoek aTe bewijzen: sin (180° – a) = sin a cos (180° – a) = –cos aBewijs: a is het beeldpunt van de hoek a op de goniometrische cirkel.
E'
O
B
y
xαE
A
DCE"
180o – α
B is het beeldpunt van 180° – a op de goniometrische cirkel.
EoWB + BoWE'' = 180°
L
180° – a + BoWE'' = 180°
L
BoWE'' = a
Dit betekent ook dat E'oWB = 90° – a = aoWE' en dus is
de y-as de deellijn van aoWB.
L
B = sy (a) want |oB| = |oa| = 1 en D oaB is dus gelijkbenig en in een gelijkbenige driehoek is de deellijn uit de tophoek tevens middelloodlijn.
In D oBC en D oaD geldt: CW = DW = 90° ZHH
BoWC = aoWD = a P D oBC , D oaD
|oB| = |oa| = 1 4
Ldefinitie congruente driehoeken
|oC| = |oD| en |BC| = |aD|
L
–cos (180° – a) = cos a en sin (180° – a) = sin a L
cos (180° – a) = –cos a en sin (180° – a) = sin a
opmerking:
supplementaire hoeken hebben beeldpunten die symmetrisch liggen t.o.v. de y-as.
25
HooFDsTUK 1 • DRIEHOEKSMETING EN DE CIRKEl
Gevolg:
supplementaire hoeken hebben tegengestelde tangenten.
Inderdaad, tan (180° – a) = °°
cossin
180180
––
aa
__
ii = cos
sin– a
a = –tan a
opmerking:
als a = 90°, dan is cos a = 0 en dan is tan a niet gedefinieerd.
Besluit:
sin (180° – a) = sin acos (180° – a) = –cos atan (180° – a) = –tan acot (180° – a) = –cot a
α
y
x
180o – α
–cos α = cos (180o – α)
sin α= sin (180o – α)
(1, tan (180o – α))= (1, –tan α)
(1, tan α)
0 1
Voorbeelden:
sin 150° = sin (180° – 150°) = sin 30°
cos 20° = –cos (180° – 20°) = –cos 160°
tan (–140°) = –tan 140° = tan (180° – 140°) = tan 40°
sin a = 32 F a = 41° 48' 37" + k · 360° (k C Z) of
a = 138° 11' 23" + k · 360° (k C Z)
4 )Antisupplementairehoeken
Antisupplementaire hoeken zijn hoeken waarvan het verschil 180° is.
Dus:
(a + 180°) – a = 180°
antisupplementaire hoeken
Voorbeelden: HOEK ANTISUpplEMENTAIRE HOEK
30° 210°
–35° 145°
a 180° + a
We berekenen nu met de rekenmachine:
sin 30° = 0,5
sin 210° = –0,5
cos 30° = 0,866025
cos 210° = –0,866025
tan 30° = 0,577350
tan 210° = 0,577350
sin (–35°) = –0,573576
sin 145° = 0,573576
cos (–35°) = 0,819152
cos 145° = –0,819152
tan (–35°) = –0,700208
tan 145° = –0,700208
Uit deze voorbeelden blijkt dat antisupplementaire hoeken een gelijke tangens en een tegengestelde cosinus en
sinus hebben.
26
antisupplementaire hoeken hebben tegengestelde sinussen en tegengestelde cosinussen.
Gegeven: de hoek aTe bewijzen: sin (180° + a) = –sin a cos (180° + a) = –cos aBewijs: a is het beeldpunt van de hoek a op de goniometrische cirkel.
B is het beeldpunt van 180° + a op de goniometrische cirkel.
O
y
xα
A
DC
180o + α
B
1
1
In D aDo en D BCo geldt:
|oa| = |oB| = 1
aoWD = BoWC (overstaande hoeken)
DW = CW = 90° \
L ZHH
D aDo , D BCo L definitie congruente driehoeken
|aD| = |BC| en |oD| = |oC| L
sin a = –sin (180° + a) en cos a = –cos (180° + a) L
sin (180° + a) = –sin a en cos (180° + a) = –cos a
Gevolg:
antisupplementaire hoeken die niet recht zijn, hebben gelijke tangenten.
Inderdaad, tan (180° + a) = °°
cossin
180180
++
aa
__
ii = cos
sin––
aa = tan a
opmerking:
anitsupplementaire hoeken hebben beeldpunten die symmetrisch liggen t.o.v. o.
Besluit:
sin (180° + a) = –sin acos (180° + a) = –cos atan (180° + a) = tan acot (180° + a) = cot a
y
xα
180o + α
(1, tan α)= (1, tan (180o + α))
–cos α= cos (180o + α)
–sin α= sin (180o + α)
1
1O cos α
sin α
Voorbeelden:
tan 224° = tan (180° + 44°) = tan 44°
sin 320° = –sin 140°
cos (–40°) = –cos 140°
tan a = 45 F a = 51° 20' 25" + k · 360° (k C Z) of
a = 231° 20' 25" + k · 360° (k C Z)� � � � of korter: a = 51° 20' 25" + k · 180° (k C Z)
27
HooFDsTUK 1 • DRIEHOEKSMETING EN DE CIRKEl
5 )Complementairehoeken
Complementaire hoeken zijn hoeken waarvan de som 90° is.
Dus:
a + (90° – a) = 90°
Complementaire hoeken
Voorbeelden: HOEK COMplEMENTAIRE HOEK
30° 60°
150° –60°
a 90° – a
We berekenen nu met de rekenmachine:
sin 30° = 0,5
cos 60° = 0,5
cos 30° = 0,866025
sin 60° = 0,866025
tan 30° = 0,577350
cot 60° = 0,577350
Uit deze voorbeelden blijkt dat de sinus van een hoek gelijk is aan de cosinus van zijn complement, dat de cosinus
van een hoek gelijk is aan de sinus van zijn complement, dat de tangens van een hoek gelijk is aan de cotangens van
zijn complement en dat de contangens van een hoek gelijk is aan de tangens van zijn complement.
De sinus van een hoek is gelijk aan de cosinus van zijn complement.
De cosinus van een hoek is gelijk aan de sinus van zijn complement.
Gegeven: De hoek aTe bewijzen: sin a = cos (90° – a) cos a = sin (90° – a)Bewijs: a is het beeldpunt van de hoek a op de goniometrische cirkel.
B is het beeldpunt van 90° – a op de goniometrische cirkel.
BoWE' + EoWB = 90° L
BoWE' + 90° – a = 90° L
BoWE' = a
E'
O
B
y
xαE
A
D
S
90o – αα
We tekenen de eerste bissectrice van het assenkruis met vergelijking y = x.
os is deellijn van aoWB want
aoWs = EoWs – a = 45° – a oWB = soWE' – a = 45° – a D aoB is gelijkbenig want |ao| = |oB| = 1
os is ook een middelloodlijn in D aoB, dus is B = sos (a)
co(a) = (cos a, sin a) co(B) = (sin a, cos a) want B = sos (a) maar:
co(B) = (cos(90° – a), sin(90° – a)) dus:
sin a = cos (90° – a) cos a = sin (90° – a)opmerking: De beeldpunten van complementaire hoeken zijn elkaars spiegelbeeld t.o.v. de eerste bissectrice.
Gevolg: tan (90° – a) = °°
cossin
00
99
––
aa
__
ii = sin
cosaa = cot a
28
Besluit:
sin (90° – a) = cos acos (90° – a) = sin atan (90° – a) = cot acot (90° – a) = tan a
y
xα90o – α
(cot α, 1)
(1, tan (90o – α))= (1, cot α)
cos (90o – α)= sin α
sin (90o – α)= cos α
sin α
cos α
1
10
6 )Anticomplementairehoeken
Anticomplementaire hoeken zijn hoeken waarvan het verschil 90° is.
Anticomplementaire hoeken
Voorbeeld: 156° en 66° zijn anticomplementaire heoeken want 156° – 66° = 90°
We berekenen nu met de rekenmachine:
sin 156° = 0,406737
cos 66° = 0,406737
cos 156° = –0,913545
sin 66° = 0,913545
tan 156° = –0,445229
cot 66° = 0,445229
Uit voorbeelden merken we op:
sin (90° + a) = cos acos (90° + a) = –sin a
Gegeven: de hoek aTe bewijzen: sin (90° + a) = cos a cos (90° + a) = –sin aBewijs: a is het beeldpunt van de hoek a op de goniometrische cirkel.
B is het beeldpunt van 90° + a op de goniometrische cirkel.
F
O
B
y
xα
A
DC
90o + α
sin (90o + α)sin α
cos α cos (90o + α)
1
1
In D oBF en D oaD geldt:
|oB| = |oa| = 1
FoWB = DoWa
FW = DW = 90° \
L ZHH
D oBF , D oaD L definitie congruente driehoeken
|Fo| = |oD| en |BF| = |aD| L |BC| = |oD| en |oC| = |aD| L
sin (90° + a) = cos a en cos (90° + a) = –sin a
29
HooFDsTUK 1 • DRIEHOEKSMETING EN DE CIRKEl
Gevolg: tan (90° + a) = °°sin
cos 9090
++
aa
__
ii = sin
cos– a
a = –cot aBesluit:
y
xα90o + α
(cot α, 1)
(1, tan α)
(1, tan (90o + α))= (1, –cot α)
cos α
sin α
sin (90o + α)= cos α
cos (90o + α)= –sin α
(–tan α, 1) =(cot (90o + α), 1)
1
10
sin (90° + a) = cos acos (90° + a) = –sin atan (90° + a) = –cot acot (90° + a) = –tan a
Voorbeelden:
sin 120° = cos 30°
cos 170° = –sin 80°
tan 40° = –cot 130°
7 )herleidennaarheteerstekwadrant
Door te steunen op de formules van verwante hoeken kan men de goniometrische getallen van hoeken waarvan
het beeldpunt niet tot het eerste kwadrant behoort, herleiden tot goniometrische getallen van hoeken waarvan het
beeldpunt wel tot het eerste kwadrant behoort.
Deze methode wordt ook 'herleiden naar het eerste kwadrant' genoemd.
Voorbeelden:
sin 160° = sin (180° – 160°) = sin 20° behoort tot behoort tot het tweede kwadrant het eerste kwadrant
tan (–85°) = –tan 85° behoort tot behoort tot het vierde kwadrant het eerste kwadrant
1 Herleiden van het tweede kwadrant naar het eerste kwadrant
Door een geheel aantal keren 360° bij de gegeven hoek bij te tellen of af te trekken, kan men altijd een hoekgrootte
krijgen tussen 90° en 180°.
Daarna gebruikt men de formules voor supplementaire hoeken.
Voorbeelden:
cos 165° = –cos 15°
cot 828° = cot (828° – 720°) = cot 108° = –cot 72°
sin (–225°) = sin (–225° + 360°) = sin 135° = sin 45°
30
2 Herleiden van het derde kwadrant naar het eerste kwadrant
Door een geheel aantal keren 360° bij de gegeven hoek op te tellen of af te trekken, kan men altijd een hoekgrootte
krijgen tussen 180° en 270°.
Daarna gebruikt men de formules voor antisupplementaire hoeken.
Voorbeelden:
tan 220° = tan (180° + 40°) = tan 40°
cos (–107°) = cos (–107° + 360°) = cos 253° = cos (180° + 73°) = –cos 73°
3 Herleiden van het vierde kwadrant naar het eerste kwadrant
Door een geheel getal aantal keren 360° bij de gegeven hoek op te tellen of af te trekken, kan men altijd een hoek-
grootte krijgen tussen –90° en 0°.
Daarna gebruikt men de formules voor tegengestelde hoeken.
Voorbeelden:
cot (–65°) = –cot 65°
cos 700°� = cos (700° – 720°) = cos (–20°) = cos 20°
8 )hoekbepalenalshetgoniometrischgetalgegevenis
Voorbeeld 1: algemeen:
sin x = 23
B
sin x = sin 60°
B supplementaire hoeken
x = 60° + k · 360° of x = 120° + k · 360°
sin x = sin a B
x = a + k · 360° of x = 180° – a + k · 360°
met k C Z
Voorbeeld 2: algemeen:
cos x = 21–
B
cos x = cos 120°
B tegengestelde hoeken
x = 120° + k · 360° of x = –120° + k · 360°
cos x = cos a B
x = a + k · 360° of x = –a + k · 360°
met k C Z
Voorbeeld 3: algemeen:
tan x = 3
B
tan x = tan 60°
B antisupplementaire hoeken
x = 60° + k · 360° of x = 180° + 60° + k · 360°
B
x = 60° + 2k · 180° of x = 60° + (2k + 1) · 180°
B
x = 60° + k' · 180°
tan x = tan a B
x = a + k · 360° of x = 180° + a + k · 360°
B
x = a + 2k · 180° of x = a + (2k + 1) · 180°
B
x = a + k' · 180°
met k, k' C Z
31
HooFDsTUK 1 • DRIEHOEKSMETING EN DE CIRKEl
Voorbeeld 4: algemeen:
cot x = –1
B
cot x = cot (–45°) B antisupplementaire hoeken
x = –45° + k · 360° of x = –45° + 180° + k · 360°
B
x = –45° + 2k · 180° of x = –45° + (2k + 1) · 180°
B
x = –45° + k' · 180°
cot x = cot a B
x = a + k · 360° of x = 180° + a + k · 360°
B
x = a + 2k · 180° of x = a + (2k + 1) · 180°
B
x = a + k' · 180°
met k, k' C Z
sin x = sin a B x = a + k · 360° of x = 180° – a + k · 360°
tan x = tan a B x = a + k · 180° met k C Z
cos x = cos a B x = a + k · 360° of x = –a + k · 360°
cot x = cot a B x = a + k ·180° met k C Z
9 )Samenvatting
• Je kent de betekenis van tegengestelde, supplementaire, antisupplementaire, complementaire en anticom-
plementaire hoeken.
Tegengestelde hoeken zijn hoeken waarbij enkel het toestandsteken verschilt.
supplementaire hoeken zijn hoeken waarvan de som 180° is.
antisupplementaire hoeken zijn hoeken waarvan het verschil 180° is.
Complementaire hoeken zijn hoeken waarvan de som 90° is.
anticomplementaire hoeken zijn hoeken waarvan het verschil 90° is.
• Je kent het verband tussen deze hoeken en hun goniometrische getallen.
gelijke
hoeken
a + k · 360°
tegengestelde
hoeken
–a
supplemen-
taire hoeken
180° – a
antisupple-
mentaire
hoeken
180° + a
complemen-
taire hoeken
90° – a
anticomple-
mentaire
hoeken
90° + a
sin … sin a – sin a sin a –sin a cos a cos a
cos … cos a cos a –cos a –cos a sin a –sin a
tan … tan a –tan a –tan a tan a cot a –cot a
cot … cot a –cot a –cot a cot a tan a –tan a
• Je kunt de hoeken herleiden naar het eerste kwadrant.
• Je kunt een hoek berekenen als een goniometrisch getal gegeven is. (k C Z) sin x = sin a F x = a + k · 360° of x = 180° – a + k · 360° cos x = cos a F x = a + k · 360° of x = –a + k · 360° tan x = tan a F x = a + k · 180° cot x = cot a F x = a + k · 180°
32
10 )Oefeningen
1 Vul volgende tabel aan:
aTEGEN-
GESTElDESUpplEMENT ANTISUpplEMENT COMplEMENT
a 68°
b 134°
c 222°
d 281°
e –37°
f –100°
g 90°
h 180°
i b + 10°
j 20° – b
k b – 30°
l b – 2γ
2 Vereenvoudig.
a sin (360° + a)b cos (a – 180°)c tan (360° – a)d cot (a – 90°)e sec (540° + a)
f csc (540° – a)g sin (270° – a)h cos (a – 360°)i tan (a + 90°)j cot (a – 270°)
k sec (810° + a)l csc (720° – a)m sin (900° + a)n tan (990° – a)o cot (990° + a)
3 Herleid naar een goniometrisch getal van een hoek die tot het eerste kwadrant behoort.
a sin 130°
b cos 340°
c tan 410°
d cot 100°
e sin (–43°)
f cos (–67° 20' 31")g tan 110° 40' 38"
h cot (–60 14' 33")i sin 428° 18' 31"
j cos (–92° 59' 59")
k tan 96° 34' 22"
l cot 640° 22' 31"
m sec 200° 40' 30"
n csc (–43° 25' 31")
4 Bereken volgende goniometrische getallen zonder GRM door eerst te herleiden naar een goniometrisch getal van
een hoek die tot het eerste kwadrant behoort.
a sin 210°
b cos 300°
c tan (–45°)d cot 390°
e sin 120°
f cos 225°
g tan (–120°)h cot (–60°)i sin 135°
j cos 330°
k tan 405°
l cot (–150°)
m sin 315°
n cos –135°
o tan 150°
p cot –30°
q sin 420°
r cos 240°
HooFDsTUK 1 • THAlES EN GElIjKVORMIGHEDEN
5 Gegeven: sin 23° = 0,390731
Gevraagd: Bereken zonder rekenmachine en verklaar.
a sin 157° b cos 67° c cos 113°
6 Gegeven: sin 75° = 46 2+
Gevraagd: Bereken zonder rekenmachine en verantwoord:
a cos 15° c sin 105°
b cos 165° d sin (–75°)
7 Gegeven: y
xα
β
δγ
O
Vul aan:
a a en b zijn _________________
b a en γ zijn _________________
c a en δ zijn _________________
d b en γ zijn _________________
e b en δ zijn _________________
f γ + δ = _________________
8 Waar of niet waar? Verklaar je antwoord.
a De sinus is een hoek tussen –1 en 1.
b In het eerste kwadrant wordt de sinus groter naarmate de hoek groter wordt.
c Met elke hoek komt één cosinuswaarde overeen en omgekeerd.
d als de tangens van een hoek 1 is, is die hoek gelijk aan 45° (op 360° na). e De cosecans van een hoek is in absolute waarde groter of gelijk aan 1.
f Bij een rechte hoek is de sinus gelijk aan de cosecans en omgekeerd.
g Cosinus en sinus van een hoek hebben altijd hetzelfde teken.
h als de secans van een hoek negatief is en de cosecans van een hoek positief, dan ligt de hoek in het vierde kwadrant.
i supplementaire hoeken hebben gelijke sinussen.
j In het tweede kwadrant wordt de cosinus groter naarmate de hoek kleiner wordt.
k De cosinus van de anticomplementaire hoek van een hoek is gelijk aan de sinus van die hoek.
l als de sinus van een hoek –1 is, is die hoek gelijk aan –450° + k · 360°.
m De tangens is de inverse van de cotangens.
n als de sinus en de cosinus van een hoek gelijk zijn, ligt deze hoek in het eerste of derde kwadrant.
o secans kwadraat van een hoek plus één is gelijk aan de tangens kwadraat van die hoek.
p Gelijke hoeken zijn hoeken die dezelfde sinus hebben.
q als de cosinus van een hoek negatief is en de cotangens van die hoek positief, dan ligt die hoek in het derde kwadrant.
r Tegengestelde hoeken hebben tegengestelde cosinussen.
s als de tangens en de cotangens van een hoek gelijk zijn, ligt deze hoek in het eerste of derde kwadrant.
t De cosinus van een hoek is de omgekeerde van de secans van die hoek.
9 Gegeven: sin a = 53 en cos a Õ 0
Gevraagd: a Bereken de tangens van de supplementaire hoek.
b Bereken de cotangens van de complementaire hoek.
c Bereken de cosinus van de antisupplementaire hoek.
d Bereken de secans van de tegengestelde hoek.
e Bereken de cosecans van de anticomplementaire hoek.
33
34
10 Vereenvoudig.
a sin a · cos (180° – a) + cos a · sin (180° – a)
b sin a · sin (180° – a) – cos a · cos (180° – a)
c cos (90° + a) + cos (90° – a) + cos (a – 90°) + cos (360° – a)
d cos (a – 180°) + cos (360° – a) + cos (90° – a) + cos (180° + a)
e tan (180° + a) + tan (90° + a) + tan (a – 90°) + tan (180° – a)
f ° °
180° °cos cot
sin tan90 270
180– – –
–+a a
a a$$
_ __ _
i ii i
★ g 2° ° ° °° 180° ° 360°
cot cot csc cossin cos sec tan
270 540 1080 180720 90– – –
– – ++a a a a
a a a a+$ $ $
$ $ $_ _ _ __ _ _ _
i i i ii i i i
★ h tan tan csc
sin cos sec270 540 630540 90 360
° – – – ° – °° ° – – °+a a a
a a a
$ $$ $
_ _ __ _ _
i i ii i i
★ i csc tan
sin secsin900
180 450 360– ° –
° ° – °+ + +a a
a a a
$$ $_ _
_ _ _i i
i i i
★ j °
270° °° 180°
° °cot sec
sin tantan cotcos csc
180450
180630 720
– ––
–– –
–+
+a aa a
a aa a
$$
$$
_ __ _
_ __ _
i ii i
i ii i
★ k °
° °° °
° °°sin cos
tan cotcos secsin sec
540 270720 270
90 9090 360
–– –
– –++
+ +a a
a a
a a
a a
$$
$$
_ __ _
_ __ _
i ii i
i ii i
11 Verklaar volgende gelijkheden:
a sin (70° – a) = cos(20° + a) b cos (65° + a) = sin (a + 155°) c tan (48° – (a + b)) = cot (42° + a + b)
12 Toon volgende gelijkheden aan.
a cos a + cos(180° – a) = 0
b 2 · sin a + sin(180° – a) = 3 · sin a ★ c tan(36° + a) · tan(54° – a) = sin2(20° + a) + sin2(70° – a) ★ d sin(5° – a) · tan(85° + a) · sec(5° – a) = 1
13 Als a en b elkaars complement zijn, bewijs dan dat:
a sin2 a + sin2 b = 1
b tan a · tan b = 1
c cos2 a + cos2 b = 1
HooFDsTUK 1 • DRIEHOEKSMETING EN DE CIRKEl
35
14 Toon aan:
a 4 · sin3 120° + 3 · sin 240° = 0 c cos2 30° + cos3 70° + cos3 110° + cos3 150° = 0
b 3 · sin2 120° + 2 · cos3 240° = 2 d 3 · tan2 30° + tan3 80° + tan 225° + tan3 280° = 2
15 Toon aan:
a + b = 90°
4
2 6βα
16 Bepaal a als:
a sin a = 0,25
b cos a = –0,38
c tan a = –15,62
d cos a = 0,5
e cot a = –1
f sin a = 23
g cos a = 21–
h cot a = 3
17 Bepaal op de goniometrische cirkel de gevraagde hoeken zodat:
a 1
–1
–1
1
M
α0
c 1
–1
–1
1
M
α0
b1 = a + 180°b2 = –a + 90°b3 = –a – 180°b4 = 180° – ab5 = –a – 90°
b 1
–1
–1
1
Mα
0
d 1
–1
–1
1
M
α
0
18 Als a, b en γ de hoeken zijn van een driehoek, vereenvoudig dan tan
sin sin+
+ +β γ
α β γ__ii.
C
B
A
D
1
1
0
y
x
19 Als B het beeldpunt is van een georiënteerde hoek van 120° en D het beeldpunt is
van –30°, bereken dan de oppervlakte van de vierhoek ABCD.
★
★
Top Related