Katholieke hogeschool Kempen Peter Slaets1 Hoofdstuk 3 Vereenvoudigen van logische functies.

Katholieke hogeschool Kempen

Peter Slaets 1

Hoofdstuk 3

Vereenvoudigen van logische functies


Peter Slaets 2

3. Vereenvoudigen van logische functies

• 3.1 Minimalisatie volgens de booleaanse algebra

• 3.2 Minimalisatie met behulp van een Karnaughkaart

• 3.3 Minimalisatie met behulp van Quine-McCluskey

• 3.4 Reduceren van het aantal componenten

• 3.5 Toepassingen


Peter Slaets 3

3.1 Minimalisatie volgens de booleaanse algebra

• 3.1.1 Theorema’s met 1 veranderlijke• 3.1.2 Commutatieve en associatieve theorema’s• 3.1.3 Distributieve theorema’s• 3.1.4 Absorptietheorema’s• 3.1.5 Theorema’s van de Morgan• 3.1.6 Consensustheorema’s• 3.1.7 Samenvatting van de belangrijkste

vereenvoudigingsregels• 3.1.8 Conclusie met betrekking tot de Booleaanse

vereenvoudigingsregels• 3.1.9 Enkele opgeloste voorbeelden


Peter Slaets 4

3.1.1 Theorema’s met 1 veranderlijke

Zodra alle ingangen van een OR of AND-poort met elkaar worden verbonden, Zodra alle ingangen van een OR of AND-poort met elkaar worden verbonden, volgt de uitgang het aangelegde ingangsniveau. volgt de uitgang het aangelegde ingangsniveau.

Zodra één ingang van de OR-poort constant op 1 staat, Zodra één ingang van de OR-poort constant op 1 staat, blijft de uitgang constant hoog.blijft de uitgang constant hoog.


Peter Slaets 5


Zodra één ingang van de AND-poort constant op 0 staat, Zodra één ingang van de AND-poort constant op 0 staat, blijft de uitgang constant laag.blijft de uitgang constant laag.

Zodra één of meerdere ingangen van de OR-poortOR-poort constant 00 zijn, volgt de uitgang het ingangssignaal.Zodra één of meerdere ingangen van de AND-poortAND-poort constant 11 zijn, volgt de uitgang het ingangssignaal.


Peter Slaets 6


Na een dubbele inversie behoudt de uitgang het niveau van de ingang.Na een dubbele inversie behoudt de uitgang het niveau van de ingang.


Peter Slaets 7

3.1.2 Commutatieve en associatieve theorema’s

• Men mag verschillende parameters van plaats veranderen

• Haakjes kunnen worden toegevoegd en weggelaten


Peter Slaets 8

3.1.3 Distributieve theorema’s• Prioriteit bij bewerkingen:Prioriteit bij bewerkingen:

– Invertoren– Haakjes– EXOR & EXNOR– AND– OR

A.A=A en A.1=A

A + 1 = 1


Peter Slaets 9

3.1.4 Absorptietheorema’s

Bewijs:

A./A=0

A+1=1

A+/A=1


Peter Slaets 10

3.1.5 Theorema’s van de Morgan

• Geven een flexibele overgang tussen AND, NAND, OR en NOR

• Zeer frequent toegepast


Peter Slaets 11

3.1.5 Theorema’s van de MorganBewijs:


Peter Slaets 12

3.1.6 Consensustheorema’s

• Zijn het moeilijkst op te sporen binnen de logische functie

• Eerst wordt de functie geëxpandeerd en vervolgens gereduceerd


Peter Slaets 13

3.1.6 Consensustheorema’sB.C.1 = B.C en A+/A=1

A+1=1

A.A=A

A+1=1

/A.A=0 en A.A=A

/A.A=0


Peter Slaets 14

3.1.7 Samenvatting van de belangrijkste vereenvoudigingsregels


Peter Slaets 15

3.1.8 Conclusie met betrekking tot de Booleaanse vereenvoudigingsregels

• Prioriteiten binnen logische functie:Prioriteiten binnen logische functie:– Invertor– Haakjes– EXOR & EXNOR– AND– OR.. van AND-relatie weglaten: A.B wordt AB

• Elke veranderlijke kan een deelfunctie bevatten:


Peter Slaets 16


• Niet-gebruikte ingangen mogen in de praktijk NOOITNOOIT loshangen!!– Niet-gebruikte ingangen op een AND- en NAND-poort

verbinden met Ucc of met een gebruikte ingang.– Niet-gebruikte ingangen op een OR- en NOR-poort

verbinden met GND of met een gebruikte ingang.


Peter Slaets 17



Peter Slaets 18


• Men heeft 4-input OR-poort hebben, maar enkel 2-input verkrijgbaar vergelijking opsplitsen over meerdere OR-poorten


Peter Slaets 19


• In vorig voorbeeld is F2 beter, want reageert sneller dan F1


Peter Slaets 20


• Men mag elke productterm meerdere keren gebruiken tijdens de vereenvoudiging (A+A=A en A.A=A)– Voorbeeld:


Peter Slaets 21

3.1.9 Enkele opgeloste voorbeelden

De Morgan

De Morgan

A.A=A

/A en BC afzonderen en A+1=1


Peter Slaets 22


De Morgan

A+/AB=A+B enDe MorganA.A=A

ABC(1+/D)=ABC

AB+BC+/AC=AB+/AC


Peter Slaets 23


De Morgan

De Morgan en /(A+/A) = /1=0De Morgan

/A/C(1+B)+ABC

A+/AB=A+B


Peter Slaets 24

3.2 Minimalisatie met behulp van een Karnaughkaart

• 3.2.1 Karnaughkaart tot en met 4 veranderlijken

• 3.2.2 Invullen van de Karnaughkaart

• 3.2.3 Vereenvoudigen van een Karnaughkaart

• 3.2.4 Onvolledige functies

• 3.2.5 Karnaughkaart voor 5 en 6 veranderlijken


Peter Slaets 25

3.2.1 Karnaughkaart tot en met 4 veranderlijken

• Grafische voorstelling van een functie• Karnaughkaart opgebouwd uit cellen

Elke cel is 1 regel uit waarheidstabel• Aantal cellen = aantal veranderlijken binnen de functie

tot de 2de macht. (2n)


Peter Slaets 26

3.2.1.1 2 veranderlijken F(A,B)

(1): A=0 en B=0(2): A=0 en B=1


Peter Slaets 27

3.2.1.2 3 veranderlijken F(A,B,C)

• 8 cellen• LET OP:LET OP: Naast elkaar liggende cellen mogen, Naast elkaar liggende cellen mogen,

voor de vereenvoudiging, maar één bit van voor de vereenvoudiging, maar één bit van elkaar verschillen. elkaar verschillen.

(3): A=0, B=1 en C=1


Peter Slaets 28

3.2.1.3 4 veranderlijken F(A,B,C,D)

• 16 cellen

(4): A=1, B=0, C=1 en D=0


Peter Slaets 29

3.2.2 Invullen van de Karnaughkaart

• Gebeurt langs de waarheidstabel of functie• Schrijf de waarheidstabel over in de

Karnaughkaart• Herwerk de functie, met de Booleaanse algebra,

tot een som van producttermen en ga dan over naar de Karnaughkaart

• Karnaughkaart bevat enkel de enen, de nullen worden weggelaten voor leesbaarheid


Peter Slaets 30

3.2.2.1 Van waarheidstabel naar Karnaughkaart


Peter Slaets 31

3.2.2.2 Van logische functie naar Karnaughkaart

Elke term aanvullen met resterende veranderlijken (A+/A=1)


Peter Slaets 32

3.2.3 Vereenvoudigen van een Karnaughkaart

• Naast elkaar gegroepeerde enen selecteren– Combineer enkel horizontaal of vertikaal, NOOITNOOIT schuin– Aantal enen binnen selectie is macht van 2– Buitenste cellen mogen als aangrenzend worden beschouwd


Peter Slaets 33


Met booleaanse algebra:

Grafisch:


Peter Slaets 34


• Neem de vereenvoudigingslussen zo groot mogelijk


Peter Slaets 35


• Een goed vereenvoudigde vergelijking langs de Karnaughkaart kan nooit verder vereenvoudigd worden met de Booleaanse algebra

Slecht vereenvoudigd met Karnaugh

Goed vereenvoudigd met Karnaugh


Peter Slaets 36


• U ziet ook dadelijk of er meerdere oplossingen mogelijk zijn


Peter Slaets 37

3.2.4 Onvolledige functies

• Soms kan het zijn dat bepaalde combinaties niet kunnen verwezenlijkt worden voorgesteld door ‘XX’ (don’t caredon’t care)

• Of bepaalde combinaties mogen nooit voorkomen ‘--’ (verboden toestandverboden toestand)

• Een verboden toestand en een don't care nemen aan een vereenvoudigingslus deel indien we de lus hiermee kunnen vergroten.


Peter Slaets 38

3.2.4 Onvolledige functies

• Voorbeeld:Voorbeeld: Vier schakelaars (A,B,C,D) bedienen 1 lamp (L). Lamp brandt als meer dan 1 schakelaar gesloten is. A en B mogen niet tegelijk open zijn.


Peter Slaets 39

3.2.5 Karnaughkaart met 5 en 6 veranderlijken

• 2 kaarten van 16 cellen voor 5 variabelen• Over 2 kaarten heen vereenvoudigen kan als

selectie kan gespiegeld worden rond scheidingslijn


Peter Slaets 40

3.2.5 Karnaughkaart met 5 en 6 veranderlijken

• 4 kaarten van 16 cellen voor 6 variabelen


Peter Slaets 41

3.3 Minimalisatie met behulp van Quine-McCluskey

• 3.3.1 Herschikken van de gedragstafel

• 3.3.2 Opzoeken van de onmisbare termen

• 3.3.3 Opzoeken van de absoluut onmisbare termen

• 3.3.4 Bijkomend uitgewerkt voorbeeld


Peter Slaets 42


• Meer dan 5 variabelen Karnaughkaart niet meer praktisch

• Quine-McCluskey methode is een tabellenmethode die uit onmisbare termen een vereenvoudigde functie afleidt

• 3 delen:– Herschikken van de gedragstafel– Opzoeken van onmisbare termen– Opzoeken van absoluut onmisbare termen


Peter Slaets 43


• Voorbeeld:Voorbeeld:

f(A,B,C,D) = m(2,3,4,5,9,10,11,13)


Peter Slaets 44

3.3.1 Herschikken van de gedragstafel

• Termen met hetzelfde aantal enen groeperen


Peter Slaets 45

3.3.2 Opzoeken van de onmisbare termen

• Termen uit verschillende groepen vergelijken.• Als termen slechts in 1 veranderlijke verschillen, worden

ze vervangen door het ‘-’ teken• Onmisbare termen = termen die niet meer kunnen

samengenomen worden


Peter Slaets 46

3.3.3 Opzoeken van de absoluut onmisbare termen

• Tabel maken met aanduiding welke mintermen in onmisbare termen voorkomen

De functie onder haar eenvoudigste vorm is aldus


Peter Slaets 47

3.3.4 Bijkomend uitgewerkt voorbeeld


Peter Slaets 48


• Herschikken van de gedragstafel


Peter Slaets 49


• Opzoeken van de onmisbare termen


Peter Slaets 50


• Opzoeken van de absoluut onmisbare termen

F = a+b+d+e+f = /AD/E + /ABC + A/CE + /ACE + /A/B/C/E


Peter Slaets 51

3.4 Reduceren van het aantal componenten

• 3.4.1 NAND- en NOR-poort als universele component

• 3.4.2 Reductie van het aantal IC’s


Peter Slaets 52

3.4.1 NAND- en NOR-poort als universele component

• Alle vergelijkingen zijn als NAND- en NOR-schema’s te tekenen


Peter Slaets 53

3.4.2 Reductie van het aantal IC’s

• Voorbeeld:Voorbeeld:


Peter Slaets 54

3.4.2.1 Oplossing met elementaire basispoorten

• F = B/C + BD + ACD


Peter Slaets 55

3.4.2.2 Oplossing met NOR-poorten

Geen componentenbesparing!!


Peter Slaets 56

3.4.2.3 Oplossing met NAND-poorten


Peter Slaets 57

3.4.2.3 Oplossing met NAND-poorten

Katholieke hogeschool Kempen Peter Slaets1 Hoofdstuk 3 Vereenvoudigen van logische functies.

Documents

Transcript of Katholieke hogeschool Kempen Peter Slaets1 Hoofdstuk 3 Vereenvoudigen van logische functies.