Basiswiskunde Hoorcollege 1313 oktober 2014 Gerrit Oomens Basiswiskunde Hoorcollege 13 Van Q naar R...

Basiswiskunde Hoorcollege 13Extra: constructie van de reële getallen

Gerrit [email protected]

Korteweg-de Vries Instituut voor WiskundeFaculteit der Natuurwetenschappen, Wiskunde en Informatica

Universiteit van Amsterdam

13 oktober 2014

Gerrit Oomens Basiswiskunde Hoorcollege 13

Van Q naar R

In dit college gaan we R construeren.

Het idee is dat ieder reëel getal willekeurig goed te benaderenis door rationale getallen.

Of anders gezegd, er zijn rijen rationale getallen die lijken teconvergeren, maar geen limiet binnen Q hebben.Dit betekent dat Q “gaten” heeft, die we gaan opvullen.Rijen die lijken te convergeren zijn Cauchy-rijen in Q.Dit soort Cauchy-rijen corresponderen met reële getallen.

Probleem: er zijn heel veel Cauchy-rijen die met hetzelfdereële getal corresponderen.

Deze kunnen we identificeren met een equivalentierelatie.


Van Q naar R

In dit college gaan we R construeren.Het idee is dat ieder reëel getal willekeurig goed te benaderenis door rationale getallen.





Van Q naar R


Of anders gezegd, er zijn rijen rationale getallen die lijken teconvergeren, maar geen limiet binnen Q hebben.

Dit betekent dat Q “gaten” heeft, die we gaan opvullen.Rijen die lijken te convergeren zijn Cauchy-rijen in Q.Dit soort Cauchy-rijen corresponderen met reële getallen.




Van Q naar R


Of anders gezegd, er zijn rijen rationale getallen die lijken teconvergeren, maar geen limiet binnen Q hebben.Dit betekent dat Q “gaten” heeft, die we gaan opvullen.

Rijen die lijken te convergeren zijn Cauchy-rijen in Q.Dit soort Cauchy-rijen corresponderen met reële getallen.




Van Q naar R


Of anders gezegd, er zijn rijen rationale getallen die lijken teconvergeren, maar geen limiet binnen Q hebben.Dit betekent dat Q “gaten” heeft, die we gaan opvullen.Rijen die lijken te convergeren zijn Cauchy-rijen in Q.

Dit soort Cauchy-rijen corresponderen met reële getallen.




Van Q naar R






Cauchy-rijen in Q

Definitie

We noemen een rij (rn)n van rationale getallen een Cauchy-rij alsvoor elke rationale � > 0 er een N ∈ N is zodat |rn − rm| < � voorn,m ≥ N.

De rij (rn)n heet rationaal convergent als er een r ∈ Q iszodat voor elke � > 0 er een N ∈ N is zodat |r − rn| < � als n ≥ N.

Niet iedere Cauchy-rij in Q is rationaal convergent. Bekijk bijv.√

2 = 1.4142135623730950488016887242096980786 . . .

Dan geeft r1 = 1.4, r2 = 1.41, r3 = 1.414 een niet-convergente rij.

Andere bekende eigenschappen uit de analyse gelden wel:

Convergente rijen zijn Cauchy.

Cauchy-rijen zijn begrensd.

Som en product van Cauchy-rijen zijn weer Cauchy.


Cauchy-rijen in Q

Definitie

We noemen een rij (rn)n van rationale getallen een Cauchy-rij alsvoor elke rationale � > 0 er een N ∈ N is zodat |rn − rm| < � voorn,m ≥ N. De rij (rn)n heet rationaal convergent als er een r ∈ Q iszodat voor elke � > 0 er een N ∈ N is zodat |r − rn| < � als n ≥ N.


2 = 1.4142135623730950488016887242096980786 . . .







Cauchy-rijen in Q

Definitie


Niet iedere Cauchy-rij in Q is rationaal convergent.

Bekijk bijv.

√2 = 1.4142135623730950488016887242096980786 . . .







Cauchy-rijen in Q

Definitie



2 = 1.4142135623730950488016887242096980786 . . .







Cauchy-rijen in Q

Definitie



2 = 1.4142135623730950488016887242096980786 . . .

Dan geeft r1 = 1.4, r2 = 1.41, r3 = 1.414

een niet-convergente rij.






Cauchy-rijen in Q

Definitie



2 = 1.4142135623730950488016887242096980786 . . .







Rekenen met Cauchy-rijen

We kunnen optelling en vermenigvuldiging definiëren opCauchy-rijen:

(rn)n + (sn)n := (rn + sn)n

(rn)n · (sn)n := (rn · sn)n.

Een rationaal convergente rij met limiet 0 noemen we een nulrij.Bekijk nu de equivalentierelatie ∼ op de verzameling rationaleCauchy-rijen gegeven door

(rn)n ∼ (sn)n ⇔ rn − sn is een nulrij.

De verzameling equivalentieklassen noemen we R. Een r ∈ R is dusde equivalentieklasse [(rn)n] van een Cauchy-rij (rn)n. We hebben

[(rn)n] = {(rn + νn)n : (νn)n is een nulrij}.




(rn)n + (sn)n

:= (rn + sn)n

(rn)n · (sn)n := (rn · sn)n.









(rn)n · (sn)n := (rn · sn)n.









(rn)n · (sn)n

:= (rn · sn)n.









(rn)n · (sn)n := (rn · sn)n.









(rn)n · (sn)n := (rn · sn)n.

Een rationaal convergente rij met limiet 0 noemen we een nulrij.

Bekijk nu de equivalentierelatie ∼ op de verzameling rationaleCauchy-rijen gegeven door








(rn)n · (sn)n := (rn · sn)n.


(rn)n ∼ (sn)n

⇔ rn − sn is een nulrij.







(rn)n · (sn)n := (rn · sn)n.









(rn)n · (sn)n := (rn · sn)n.



De verzameling equivalentieklassen noemen we R.

Een r ∈ R is dusde equivalentieklasse [(rn)n] van een Cauchy-rij (rn)n. We hebben






(rn)n · (sn)n := (rn · sn)n.



De verzameling equivalentieklassen noemen we R. Een r ∈ R is dusde equivalentieklasse [(rn)n]

van een Cauchy-rij (rn)n. We hebben






(rn)n · (sn)n := (rn · sn)n.



De verzameling equivalentieklassen noemen we R. Een r ∈ R is dusde equivalentieklasse [(rn)n] van een Cauchy-rij (rn)n.

We hebben






(rn)n · (sn)n := (rn · sn)n.




[(rn)n]

= {(rn + νn)n : (νn)n is een nulrij}.





(rn)n · (sn)n := (rn · sn)n.






Rekenen met reële getallen

Zij R de verzameling van equivalentieklassen van Cauchy-rijen inQ, waarbij rijen equivalent zijn als hun verschil naar 0 convergeert.

Laat s, r ∈ R. Dan s = [(sn)n] en r = [(rn)n]. We kunnen nudefiniëren

s + r := [(sn + rn)n].

We kiezen hier representanten (sn)n en (rn)n van s en r . Is hetresultaat onafhankelijk van deze keuze? Dus: stel dat

(sn)n ∼ (s ′n)n, (rn)n ∼ (r ′n)n,

geldt dan

[(sn + rn)n] = [(s′n + r

′n)n]?

Ja: we hebben sn − s ′n → 0 en rn − r ′n → 0, dus ook

(sn + rn)− (s ′n + r ′n) = (sn − s ′n) + (rn − r ′n)→ 0.




Laat s, r ∈ R.

Dan s = [(sn)n] en r = [(rn)n]. We kunnen nudefiniëren

s + r := [(sn + rn)n].


(sn)n ∼ (s ′n)n, (rn)n ∼ (r ′n)n,

geldt dan

[(sn + rn)n] = [(s′n + r

′n)n]?






Laat s, r ∈ R. Dan s = [(sn)n] en r = [(rn)n].

We kunnen nudefiniëren

s + r := [(sn + rn)n].


(sn)n ∼ (s ′n)n, (rn)n ∼ (r ′n)n,

geldt dan

[(sn + rn)n] = [(s′n + r

′n)n]?







s + r

:= [(sn + rn)n].


(sn)n ∼ (s ′n)n, (rn)n ∼ (r ′n)n,

geldt dan

[(sn + rn)n] = [(s′n + r

′n)n]?







s + r := [(sn + rn)n].


(sn)n ∼ (s ′n)n, (rn)n ∼ (r ′n)n,

geldt dan

[(sn + rn)n] = [(s′n + r

′n)n]?







s + r := [(sn + rn)n].

We kiezen hier representanten (sn)n en (rn)n van s en r .

Is hetresultaat onafhankelijk van deze keuze? Dus: stel dat

(sn)n ∼ (s ′n)n, (rn)n ∼ (r ′n)n,

geldt dan

[(sn + rn)n] = [(s′n + r

′n)n]?







s + r := [(sn + rn)n].

We kiezen hier representanten (sn)n en (rn)n van s en r . Is hetresultaat onafhankelijk van deze keuze?

Dus: stel dat

(sn)n ∼ (s ′n)n, (rn)n ∼ (r ′n)n,

geldt dan

[(sn + rn)n] = [(s′n + r

′n)n]?







s + r := [(sn + rn)n].


(sn)n ∼ (s ′n)n, (rn)n ∼ (r ′n)n,

geldt dan

[(sn + rn)n] = [(s′n + r

′n)n]?







s + r := [(sn + rn)n].


(sn)n ∼ (s ′n)n, (rn)n ∼ (r ′n)n,

geldt dan

[(sn + rn)n] = [(s′n + r

′n)n] ⇔ (sn + rn)n ∼ (s ′n + r ′n)n?







s + r := [(sn + rn)n].


(sn)n ∼ (s ′n)n, (rn)n ∼ (r ′n)n,

geldt dan

[(sn + rn)n] = [(s′n + r

′n)n] ⇔ (sn + rn)n ∼ (s ′n + r ′n)n?

Ja

: we hebben sn − s ′n → 0 en rn − r ′n → 0, dus ook






s + r := [(sn + rn)n].


(sn)n ∼ (s ′n)n, (rn)n ∼ (r ′n)n,

geldt dan

[(sn + rn)n] = [(s′n + r

′n)n] ⇔ (sn + rn)n ∼ (s ′n + r ′n)n?

Ja: we hebben sn − s ′n → 0 en rn − r ′n → 0

, dus ook






s + r := [(sn + rn)n].


(sn)n ∼ (s ′n)n, (rn)n ∼ (r ′n)n,

geldt dan

[(sn + rn)n] = [(s′n + r

′n)n] ⇔ (sn + rn)n ∼ (s ′n + r ′n)n?


(sn + rn)− (s ′n + r ′n)

= (sn − s ′n) + (rn − r ′n)→ 0.





s + r := [(sn + rn)n].


(sn)n ∼ (s ′n)n, (rn)n ∼ (r ′n)n,

geldt dan

[(sn + rn)n] = [(s′n + r

′n)n] ⇔ (sn + rn)n ∼ (s ′n + r ′n)n?


(sn + rn)− (s ′n + r ′n) = (sn − s ′n) + (rn − r ′n)

→ 0.





s + r := [(sn + rn)n].


(sn)n ∼ (s ′n)n, (rn)n ∼ (r ′n)n,

geldt dan

[(sn + rn)n] = [(s′n + r

′n)n] ⇔ (sn + rn)n ∼ (s ′n + r ′n)n?




Q is een deelverzameling van R


Hoe kunnen we een q ∈ Q opvatten als een element van R?Definieer

i(q) = [(rn)n], met rn = q voor alle n.

Dit geeft een afbeelding i : Q→ R die injectief is. Het getal 2 ∈ Ris dus de equivalentieklasse van de rij

(2, 2, 2, 2, . . .),

en dit is dezelfde klasse als die van bijvoorbeeld(2 + 12 , 2 +

13 , 2 +

14 , 2 +

15 , . . .).




Hoe kunnen we een q ∈ Q opvatten als een element van R?

Definieer



(2, 2, 2, 2, . . .),


13 , 2 +

14 , 2 +

15 , . . .).





i(q)

= [(rn)n], met rn = q voor alle n.


(2, 2, 2, 2, . . .),


13 , 2 +

14 , 2 +

15 , . . .).





i(q) = [(rn)n]

, met rn = q voor alle n.


(2, 2, 2, 2, . . .),


13 , 2 +

14 , 2 +

15 , . . .).







(2, 2, 2, 2, . . .),


13 , 2 +

14 , 2 +

15 , . . .).






Dit geeft een afbeelding i : Q→ R

die injectief is. Het getal 2 ∈ Ris dus de equivalentieklasse van de rij

(2, 2, 2, 2, . . .),


13 , 2 +

14 , 2 +

15 , . . .).






Dit geeft een afbeelding i : Q→ R die injectief is.

Het getal 2 ∈ Ris dus de equivalentieklasse van de rij

(2, 2, 2, 2, . . .),


13 , 2 +

14 , 2 +

15 , . . .).






Dit geeft een afbeelding i : Q→ R die injectief is. Het getal 2 ∈ R

is dus de equivalentieklasse van de rij

(2, 2, 2, 2, . . .),


13 , 2 +

14 , 2 +

15 , . . .).







(2, 2, 2, 2, . . .),


13 , 2 +

14 , 2 +

15 , . . .).


Kwadraat

We bekijken g =[(rn)n

]7→

[(r2n )n

].

Claim

De afbeelding g : R→ R is goedgedefinieerd.

Stel dat (rn)n ∼ (sn)n

, dus rn − sn → 0.

We willen aantonen dat r2n − s2n → 0

, zodat (r2n )n ∼ (s2n)n.

Er geldt∣∣r2n − s2n ∣∣

=∣∣(rn + sn)(rn − sn)∣∣

= |rn + sn||rn − sn| ≤ C |rn − sn| → 0,

waarbij we gebruiken dat (rn)n en (sn)n begrensde rijen zijn,en dus |rn + sn| ≤ |rn|+ |sn| ≤ C voor zekere C en alle n.


Kwadraat


]7→

[(r2n )n

].

Claim


Stel dat (rn)n ∼ (sn)n

, dus rn − sn → 0.We willen aantonen dat r2n − s2n → 0



=∣∣(rn + sn)(rn − sn)∣∣

= |rn + sn||rn − sn| ≤ C |rn − sn| → 0,



Kwadraat


]7→

[(r2n )n

].

Claim


Stel dat (rn)n ∼ (sn)n, dus rn − sn → 0.

We willen aantonen dat r2n − s2n → 0



=∣∣(rn + sn)(rn − sn)∣∣

= |rn + sn||rn − sn| ≤ C |rn − sn| → 0,



Kwadraat


]7→

[(r2n )n

].

Claim


Stel dat (rn)n ∼ (sn)n, dus rn − sn → 0.We willen aantonen dat r2n − s2n → 0

, zodat (r2n )n ∼ (s2n)n.Er geldt∣∣r2n − s2n ∣∣

=∣∣(rn + sn)(rn − sn)∣∣

= |rn + sn||rn − sn| ≤ C |rn − sn| → 0,



Kwadraat


]7→

[(r2n )n

].

Claim


Stel dat (rn)n ∼ (sn)n, dus rn − sn → 0.We willen aantonen dat r2n − s2n → 0, zodat (r2n )n ∼ (s2n)n.


=∣∣(rn + sn)(rn − sn)∣∣

= |rn + sn||rn − sn| ≤ C |rn − sn| → 0,



Kwadraat


]7→

[(r2n )n

].

Claim


Stel dat (rn)n ∼ (sn)n, dus rn − sn → 0.We willen aantonen dat r2n − s2n → 0, zodat (r2n )n ∼ (s2n)n.Er geldt∣∣r2n − s2n ∣∣

=∣∣(rn + sn)(rn − sn)∣∣

= |rn + sn||rn − sn| ≤ C |rn − sn| → 0,



Kwadraat


]7→

[(r2n )n

].

Claim


Stel dat (rn)n ∼ (sn)n, dus rn − sn → 0.We willen aantonen dat r2n − s2n → 0, zodat (r2n )n ∼ (s2n)n.Er geldt∣∣r2n − s2n ∣∣ = ∣∣(rn + sn)(rn − sn)∣∣

= |rn + sn||rn − sn| ≤ C |rn − sn| → 0,



Kwadraat


]7→

[(r2n )n

].

Claim



= |rn + sn||rn − sn|

≤ C |rn − sn| → 0,



Kwadraat


]7→

[(r2n )n

].

Claim



= |rn + sn||rn − sn| ≤ C |rn − sn|

→ 0,



Kwadraat


]7→

[(r2n )n

].

Claim



= |rn + sn||rn − sn| ≤ C |rn − sn| → 0,



Kwadraat


]7→

[(r2n )n

].

Claim



= |rn + sn||rn − sn| ≤ C |rn − sn| → 0,

waarbij we gebruiken dat (rn)n en (sn)n begrensde rijen zijn

,en dus |rn + sn| ≤ |rn|+ |sn| ≤ C voor zekere C en alle n.


Kwadraat


]7→

[(r2n )n

].

Claim



= |rn + sn||rn − sn| ≤ C |rn − sn| → 0,

waarbij we gebruiken dat (rn)n en (sn)n begrensde rijen zijn,en dus |rn + sn|

≤ |rn|+ |sn| ≤ C voor zekere C en alle n.


Kwadraat


]7→

[(r2n )n

].

Claim



= |rn + sn||rn − sn| ≤ C |rn − sn| → 0,

waarbij we gebruiken dat (rn)n en (sn)n begrensde rijen zijn,en dus |rn + sn| ≤ |rn|+ |sn|

≤ C voor zekere C en alle n.


Kwadraat


]7→

[(r2n )n

].

Claim



= |rn + sn||rn − sn| ≤ C |rn − sn| → 0,

waarbij we gebruiken dat (rn)n en (sn)n begrensde rijen zijn,en dus |rn + sn| ≤ |rn|+ |sn| ≤ C

voor zekere C en alle n.


Kwadraat


]7→

[(r2n )n

].

Claim



= |rn + sn||rn − sn| ≤ C |rn − sn| → 0,

waarbij we gebruiken dat (rn)n en (sn)n begrensde rijen zijn,en dus |rn + sn| ≤ |rn|+ |sn| ≤ C voor zekere C

en alle n.


Kwadraat


]7→

[(r2n )n

].

Claim



= |rn + sn||rn − sn| ≤ C |rn − sn| → 0,



Worteltrekken

Laat an ∈ Q≥0 zodat a2n ∈(2− 1n , 2 +

1n

).

Claim

De rij (an)n is een Cauchy-rij in Q.

Laat m, n ≥ N

, dan geldt

a2m ∈(2− 1m , 2 +

1m

)⊆

(2− 1N , 2 +

1N

),

en evenzo a2n ∈(2− 1N , 2 +

1N

).

Er volgt dat∣∣a2n − a2m∣∣ < 2N .

We weten |a2n − a2m| = |an − am||an + am|

, dus

|an − am| =∣∣a2n − a2m∣∣|an + am|

≤∣∣a2n − a2m∣∣

2<

2

2N=

1

N.

Dus voor N ≥ 1/�

geldt er |an − am| < �.


Worteltrekken


1n

).

Claim


Laat m, n ≥ N, dan geldt

a2m ∈(2− 1m , 2 +

1m

)

⊆(2− 1N , 2 +

1N

),


1N

).



, dus

|an − am| =∣∣a2n − a2m∣∣|an + am|

≤∣∣a2n − a2m∣∣

2<

2

2N=

1

N.




Worteltrekken


1n

).

Claim



a2m ∈(2− 1m , 2 +

1m

)⊆

(2− 1N , 2 +

1N

),


1N

).



, dus

|an − am| =∣∣a2n − a2m∣∣|an + am|

≤∣∣a2n − a2m∣∣

2<

2

2N=

1

N.




Worteltrekken


1n

).

Claim



a2m ∈(2− 1m , 2 +

1m

)⊆

(2− 1N , 2 +

1N

),


1N

).


We weten |a2n − a2m| = |an − am||an + am|, dus

|an − am| =∣∣a2n − a2m∣∣|an + am|

≤∣∣a2n − a2m∣∣

2<

2

2N=

1

N.




Worteltrekken


1n

).

Claim



a2m ∈(2− 1m , 2 +

1m

)⊆

(2− 1N , 2 +

1N

),


1N

).



|an − am| =∣∣a2n − a2m∣∣|an + am|

≤∣∣a2n − a2m∣∣

2

<2

2N=

1

N.




Worteltrekken


1n

).

Claim



a2m ∈(2− 1m , 2 +

1m

)⊆

(2− 1N , 2 +

1N

),


1N

).



|an − am| =∣∣a2n − a2m∣∣|an + am|

≤∣∣a2n − a2m∣∣

2<

2

2N

=1

N.




Worteltrekken


1n

).

Claim



a2m ∈(2− 1m , 2 +

1m

)⊆

(2− 1N , 2 +

1N

),


1N

).



|an − am| =∣∣a2n − a2m∣∣|an + am|

≤∣∣a2n − a2m∣∣

2<

2

2N=

1

N.




Worteltrekken


]7→

[(r2n )n

]. Laat verder an ∈ Q≥0 met

a2n ∈(2− 1n , 2 +

1n

).

Claim (bewezen)

De rij (an)n een Cauchy-rij.

We schrijven√

2 :=[(an)n

]∈ R.

Claim

Er geldt g(√

2) =[(a2n)n

]= 2 :=

[(2)n

].

We moeten bewijzen dat (2)n ∼ (a2n)n

, dus dat a2n − 2→ 0.

Er geldt a2n − 2 ∈(− 1n ,

1n

).

Dus∣∣a2n − 2∣∣ < 1n .

Er volgt dat a2n − 2→ 0.


Worteltrekken


]7→

[(r2n )n


a2n ∈(2− 1n , 2 +

1n

).

Claim (bewezen)


We schrijven√

2 :=[(an)n

]∈ R.

Claim

Er geldt g(√

2) =[(a2n)n

]= 2 :=

[(2)n

].

We moeten bewijzen dat (2)n ∼ (a2n)n

, dus dat a2n − 2→ 0.Er geldt a2n − 2 ∈

(− 1n ,

1n

).

Dus∣∣a2n − 2∣∣ < 1n .



Worteltrekken


]7→

[(r2n )n


a2n ∈(2− 1n , 2 +

1n

).

Claim (bewezen)


We schrijven√

2 :=[(an)n

]∈ R.

Claim

Er geldt g(√

2) =[(a2n)n

]= 2 :=

[(2)n

].

We moeten bewijzen dat (2)n ∼ (a2n)n, dus dat a2n − 2→ 0.

Er geldt a2n − 2 ∈(− 1n ,

1n

).

Dus∣∣a2n − 2∣∣ < 1n .



Worteltrekken


]7→

[(r2n )n


a2n ∈(2− 1n , 2 +

1n

).

Claim (bewezen)


We schrijven√

2 :=[(an)n

]∈ R.

Claim

Er geldt g(√

2) =[(a2n)n

]= 2 :=

[(2)n

].

We moeten bewijzen dat (2)n ∼ (a2n)n, dus dat a2n − 2→ 0.Er geldt a2n − 2 ∈

(− 1n ,

1n

).

Dus∣∣a2n − 2∣∣ < 1n .



Worteltrekken


]7→

[(r2n )n


a2n ∈(2− 1n , 2 +

1n

).

Claim (bewezen)


We schrijven√

2 :=[(an)n

]∈ R.

Claim

Er geldt g(√

2) =[(a2n)n

]= 2 :=

[(2)n

].

We moeten bewijzen dat (2)n ∼ (a2n)n, dus dat a2n − 2→ 0.Er geldt a2n − 2 ∈

(− 1n ,

1n

).

Dus∣∣a2n − 2∣∣ < 1n . Er volgt dat a2n − 2→ 0.


Ordeningen

We noemen een Cauchy-rij (rn)n positief als er een � > 0 en eenN ∈ N zijn zodat rn > � voor alle n ≥ N. We noemen een “reëelgetal” r = [(rn)n] ∈ R positief als een representant positief is.

Definitie

Definieer de relatie ≤ op R door x ≤ y ⇔ y − x is positief of 0.

Dit geeft een totale ordening op R:Er geldt x ≤ x voor alle x ∈ R (reflexiviteit).Als x ≤ y en y ≤ x , dan x = y (antisymmetrie).Als x ≤ y en y ≤ z , dan x ≤ z (transitiviteit).Voor x , y ∈ R geldt x ≤ y of y ≤ x (totaliteit).


Ordeningen

We noemen een Cauchy-rij (rn)n positief als er een � > 0 en eenN ∈ N zijn zodat rn > � voor alle n ≥ N.

We noemen een “reëelgetal” r = [(rn)n] ∈ R positief als een representant positief is.

Definitie




Ordeningen


Definitie




Ordeningen


Definitie


Dit geeft een totale ordening op R:

Er geldt x ≤ x voor alle x ∈ R (reflexiviteit).Als x ≤ y en y ≤ x , dan x = y (antisymmetrie).Als x ≤ y en y ≤ z , dan x ≤ z (transitiviteit).Voor x , y ∈ R geldt x ≤ y of y ≤ x (totaliteit).


Ordeningen


Definitie


Dit geeft een totale ordening op R:Er geldt x ≤ x voor alle x ∈ R (reflexiviteit).

Als x ≤ y en y ≤ x , dan x = y (antisymmetrie).Als x ≤ y en y ≤ z , dan x ≤ z (transitiviteit).Voor x , y ∈ R geldt x ≤ y of y ≤ x (totaliteit).


Ordeningen


Definitie


Dit geeft een totale ordening op R:Er geldt x ≤ x voor alle x ∈ R (reflexiviteit).Als x ≤ y en y ≤ x , dan x = y (antisymmetrie).

Als x ≤ y en y ≤ z , dan x ≤ z (transitiviteit).Voor x , y ∈ R geldt x ≤ y of y ≤ x (totaliteit).


Ordeningen


Definitie


Dit geeft een totale ordening op R:Er geldt x ≤ x voor alle x ∈ R (reflexiviteit).Als x ≤ y en y ≤ x , dan x = y (antisymmetrie).Als x ≤ y en y ≤ z , dan x ≤ z (transitiviteit).

Voor x , y ∈ R geldt x ≤ y of y ≤ x (totaliteit).


Ordeningen


Definitie




Supremum

Stelling

Zij X ⊆ R een niet-lege van boven begrensde verzameling. Danheeft X een kleinste bovengrens.

Zij b ∈ Q een bovengrens voor X .Er bestaat x ∈ X .

Kies l1 ∈ Q met l1 < x . Kies verder r1 = b.

We construeren met inductie rijen (ln)n en (rn)n:

ln rnmn = (ln + rn)/2

Definieer

als mn bovengrens van X : ln+1 = ln rn+1 = mn

anders: ln+1 = mn rn+1 = rn

Voor elke n is rn een bovengrens

en ln niet.

Definieer l = [(ln)n] ∈ R en r = [(rn)n] ∈ R.Dan geldt l = r

en dit is de kleinste bovengrens.


Supremum

Stelling


Zij b ∈ Q een bovengrens voor X .

Er bestaat x ∈ X .

Kies l1 ∈ Q met l1 < x . Kies verder r1 = b.



Definieer




en ln niet.




Supremum

Stelling


Zij b ∈ Q een bovengrens voor X .Er bestaat x ∈ X .

Kies l1 ∈ Q met l1 < x . Kies verder r1 = b.We construeren met inductie rijen (ln)n en (rn)n:


Definieer




en ln niet.




Supremum

Stelling


Zij b ∈ Q een bovengrens voor X .Er bestaat x ∈ X . Kies l1 ∈ Q met l1 < x .

Kies verder r1 = b.We construeren met inductie rijen (ln)n en (rn)n:


Definieer




en ln niet.




Supremum

Stelling


Zij b ∈ Q een bovengrens voor X .Er bestaat x ∈ X . Kies l1 ∈ Q met l1 < x . Kies verder r1 = b.



Definieer




en ln niet.




Supremum

Stelling


Zij b ∈ Q een bovengrens voor X .Er bestaat x ∈ X . Kies l1 ∈ Q met l1 < x . Kies verder r1 = b.We construeren met inductie rijen (ln)n en (rn)n:


Definieer




en ln niet.




Supremum

Stelling




Definieer




en ln niet.Definieer l = [(ln)n] ∈ R en r = [(rn)n] ∈ R.Dan geldt l = r



Supremum

Stelling




Definieer



Voor elke n is rn een bovengrens en ln niet.




Supremum

Stelling




Definieer



Voor elke n is rn een bovengrens en ln niet.Definieer l = [(ln)n] ∈ R en r = [(rn)n] ∈ R.

Dan geldt l = r



Supremum

Stelling




Definieer



Voor elke n is rn een bovengrens en ln niet.Definieer l = [(ln)n] ∈ R en r = [(rn)n] ∈ R.Dan geldt l = r



Supremum

Stelling




Definieer



Voor elke n is rn een bovengrens en ln niet.Definieer l = [(ln)n] ∈ R en r = [(rn)n] ∈ R.Dan geldt l = r en dit is de kleinste bovengrens.


Basiswiskunde Hoorcollege 1313 oktober 2014 Gerrit Oomens Basiswiskunde Hoorcollege 13 Van Q naar R...

Documents

Transcript of Basiswiskunde Hoorcollege 1313 oktober 2014 Gerrit Oomens Basiswiskunde Hoorcollege 13 Van Q naar R...