Algebra en Bewijzen 1

DT

Les 3

Gerard van Alst

Maart 2015

Doelen.

• Bepalen van het aantal delers van een

getal.

• Vierkantsgetallen , rechthoeksgetallen en

driehoeksgetallen.

• Hoofdstuk 3: vergelijkingen,

richtingscoëfficient. (paragraaf 3.1 en 3.2)

• Par. 3.3: GGD en bepaling GGD m.b.v.

priemfactorontbinding.

Huiswerkbespreking

• Zijn er nog vragen over het huiswerk?

Priemfactorontbinding

• Bij het vinden van de priemfactorontbinding van 2069 hebben we ons afgevraagd: hoe lang moeten we door gaan voordat we de conclusie kunnen trekken dat een getal een priemgetal is?

• Als 2069 = n x k dan moet n of k kleiner of

gelijk zijn aan 2069, want als zowel n als k

groter is dan 2069, dan is n x k groter dan 2069. Dus moeten kijken of de priemgetallen

tot en met 2069 controleren of ze een deler

zijn van 2069.

Het aantal delers van een getal.

• Beschouw het getal 720 = 24x32x5.

• Als we een deler hebben van 720, dan

hebben we een aantal keer 2 (max.4), een

aantal keer 3 (max.2) en een aantal keer 5

(max.1): elke weg bepaalt een deler!

Het aantal delers (2)

• De delers zijn:203050 =1, 203051 =5, 203150=3, 203151=15, 203250=9, 203251, 213050, 213051

etc.. Dus elke weg bepaalt een deler.

• Hoeveel delers krijgen we zo?

• 5x3x2=30.

• Maak opgave 2.3.5 en 2.3.6 e:• Opgave 2.3.5: Pas die regel toe op 1024 en 729.

• Opgave 2.3.6

Ontbind in priemfactoren, dus schrijf de priemfactor-

ontbinding op en bepaal het aantal positieve delers

van: 8 • 1080

Opgave.

• Opgave 2.3.10

• Bewijs of weerleg de volgende bewering:

Als een natuurlijk getal n dat groter is dan

1 te schrijven is als het kwadraat van een

ander natuurlijk getal m, dan heeft het een

oneven aantal positieve delers.

Vierkantsgetallen, rechthoeksgetallen en

driehoeksgetallen.

• De vierkantsgetallen zijn de kwadraten: dus 1,4, 9, 16 etc. Als we 16 stippen hebben dan kunnen we die in een vierkant plaatsen:

• Een rechthoeksgetal is een getal waarbij het aantal stippen in een rechthoek te plaatsen is, waarbij het aantal kolommen één meer is dan het aantal rijen: bijvoorbeeld 2 of 12: dus rn =n (n+1).

Vierkantsgetallen, rechthoeksgetallen en

driehoeksgetallen.

• Driehoeksgetallen: Het aantal punten is in

een driehoek te plaatsen elke volgende rij

heeft één punt meer dan de vorige rij, te

beginnen met één punt bovenaan:

Driehoeksgetallen.

• Als dn het n-de driehoeksgetal is, dan

geldt:

• Hoe kunnen we nu het 50e driehoeksgetal

uitrekenen, zonder veel werk?

1 2 3 4 ..... .nd n

Formeel bewijs driehoeksgetallen.

Opgaven.

Opgave 2.4.4

Bewijs de volgende beweringen:

a) Het verschil van twee opeenvolgende vierkantsgetallen is oneven.

b) Ieder natuurlijk getal dat groter is dan 1 is te schrijven als het verschil van twee opeenvolgende driehoeksgetallen.

c) Ieder kwadraat vanaf 1 is te schrijven als de som van twee opeenvolgende driehoeksgetallen.

Opgaven.

Vergelijkingen (H3)

Wat zijn lineaire Diophantische

vergelijkingen?

lineair maar coëfficiënten niet geheel.

vergelijking van Pythagoras: niet lineair

vergelijking van ISIS: niet lineair (vanwege xy)

lineaire vergelijking in twee variabelen

lineaire vergelijking in drie variabelen

3 8 2x 2 2 2x y z

2 2xy x y

3 6 1x y

3 6 3x y z

1 1 2 2 3 3

1 2 3

lineaire Diophantische

  met

heet een .

Gevraagd is e geheen oplossing , , ,

vergeli

e

jkin

ltal

g

l

,

ig ,e  

n n i

n

a x a x a x a x b a

x x x

b

x

Lineaire vergelijkingen met gehele coëfficiënten noemen we

lineaire Diophantische vergelijkingen:

Oplossingen en lijnen.

Even proberen

• Vind een oplossing van 10𝑥 + 3𝑦 = 18

• Vind een oplossing van 3𝑥 + 6𝑦 = 17

• Vragen:

– Wanneer is er een oplossing?

– Hoe vind ik een oplossing?

– Hoe vind ik alle oplossingen?

Grootste gemene deler.• Gemeen staat hier voor gemeenschappelijke.

• Bijv. ggd(24,56)=8.

• Het vinden van de ggd kan o.a. met de

priemfactorontbinding:

Opgave.

• Bepaal op deze manier de ggd van 120 en

568.

Huiswerk.

• Maak de overige opgaven van paragraaf

2.3, 2.4 en paragraaf 3.2 tot en met blz.

28. (tot Euclides)