1.

2. Voorwoord

Bijna 50 bewijzen vanbuiten kennen. Het lijkt praktisch onmogelijk en geloof me, makkelijk is het zeker niet. Het wordt nog moeilijker wanneer je dan ook overal in de cursus de bewijzen moet gaan zoeken. Maar zelfs al vind je ze, van tussenstappen schrijven heeft Prof. Temst niet veel kaas gegeten.

Dit document heb ik dus gemaakt in de hoop het mensen makkelijker te maken. Versta mij nu wel niet verkeerd, dit document is geen garantie op slagen. Al ken ik een aantal mensen die enkel deze bewijzen hadden gestudeerd en geslaagd zijn, toch raad ik dit zeker niet aan. Maar wanneer je in tijdsnood zit, door welke reden dan ook, dan zijn mijn tips:

Studeer vooral de werkzittingen; de helft van de punten gaan op oefeningen en meestal zijn de oefeningen op de examens minsten even moeilijk of zelfs makkelijker dan op de werkzittingen.

Studeer deze bewijzen. Maar print deze bundel af voor het schooljaar en schrijf tijdens de lessen de uitleg erbij. Deze is namelijk ook noodzakelijk op het examen. Elke stap moet er uitgelegd worden.

Voor de rest wil ik er nog op wijzen dat er hier en daar een aantal foutjes instaan (vooral het vergeten van vectorstreepjes; niets al te groot), dit is mij al lang bekend, maar ik doe geen moeite meer aan het verbeteren hiervan. Mij hiervoor mails sturen om dit aan te passen is dus nutteloos. Het staat in de Word-extensie, dus hoop ik dat er na mij een persoon komt die hier eens verbeterd en het zo een echte studentencursus van kan maken.

Veel studiegenot

Thomas Bogaerts

3.

2Thomas

1. Inhoud 1. Voorwoord.....................................................................................................................................2

1. Inhoud............................................................................................................................................3

1. Versnelling: Tangentiële en normale..............................................................................................5

2. Tweede Wet Newton in functie van impuls....................................................................................6

3. Kracht op een stroomvoerende geleider........................................................................................7

4. Moment op stroomvoerend kader.................................................................................................8

5. Elektron in homogeen elektrisch veld............................................................................................9

6. Kathodestraalbuis.........................................................................................................................11

7. Beweging geladen deeltje in magnetisch veld..............................................................................12

8. Deeltjesversneller cyclotron.........................................................................................................14

9. Exponentiële relaxatie..................................................................................................................15

10. Halveringstijd............................................................................................................................17

11. Impuls van een stelsel van deeltjes..........................................................................................18

12. Behoud van impuls...................................................................................................................19

13. Tijdsafgelijde van impulsmoment.............................................................................................20

14. Traagheidsmoment..................................................................................................................21

15. Behoud van impulsmoment.....................................................................................................22

16. Statica.......................................................................................................................................23

17. Kinetische energie van een puntmassa....................................................................................24

18. Wet van arbeid en energie.......................................................................................................25

19. Kinetische energie systeem van punten...................................................................................26

20. Kracht afleiden uit potentiele energie......................................................................................28

21. Elektrische potentiaal in puntlading.........................................................................................29

22. Energie van een puntmassa......................................................................................................30

23. Energie van een systeem..........................................................................................................31

24. Macroscopische beschrijving van ideale gaswet......................................................................32

25. Temperatuur............................................................................................................................33

26. Niet-elastische centrale botsing...............................................................................................34

27. Eendimensionale elastische botsing.........................................................................................35

28. Wetten van Ohm......................................................................................................................37

a. Microscopische vorm...................................................................................................................37

29. Temperatuursafhankelijkheid van soortelijke weerstanden....................................................39

3Thomas

30. Vermogen van een kring...........................................................................................................40

31. Verband bron en kringsspanning..............................................................................................41

32. Opladen en ontladen van condensator....................................................................................42

33. Brug van Wheatstone...............................................................................................................44

34. Kring met enkel weerstand.......................................................................................................45

35. Kring met enkel condensator....................................................................................................46

36. Hoog en laagfrequentie filters..................................................................................................47

37. Diffusie.....................................................................................................................................48

38. Diffusiespanning.......................................................................................................................49

39. dipool.......................................................................................................................................51

40. Elektrocardiogram....................................................................................................................53

41. Prikkel langs zenuw..................................................................................................................54

42. Kabelvergelijking......................................................................................................................55

43. Warmteuitwisseling zonder verandering..................................................................................57

44. Warmteuitwisseling met verandering van toestand.................................................................58

45. Warmtetransport.....................................................................................................................59

46. Eerste wet van thermodynamica..............................................................................................60

47. Tweede wet van thermodynamica...........................................................................................61

4Thomas

1. Versnelling: Tangentiële en normale

(1) vv⃗=Rωsnelheid vaneen punt dat eencirkelbeweging beschrijft

(2) a⃗=d (Rω )dt

(3) ∆ e⃗ t=|∆θ|richtingsverandering vaneenheidsvector

(4) limt2−t 1

|∆θ|∆ t

=ω

(5) 2 β+∆θ=π somhoeken vaneendriehoek

β= π2−∆θ2

(6) limt en θ→0

β= π2

(7) ∆ e⃗ t⊥ e⃗ t ∆ e⃗ t blijft altijd naar hetmiddelpunt gericht

(8) a⃗=dvdt

e⃗ t+Rω2 e⃗ n

Tangentiële versnelling : at=dvdt

grooteverandering

v↓ : tegengestelde richtingv↑ : zelfderichting

Normale ver snallingan=Rω ²= v2

Rrichtingsverandering>0

5Thomas

6Thomas

2. Tweede Wet Newton in functie van impuls

(1) F=dpdt

Verandering van impulshoeveelheid beweging is gelijk aandekracht

Fdt=dp

∫t1

t2

Fdt=p (t2 )−P ( t1 )

Fg= 1t 2−t1

∫t1

t2

Fdt

Fg=mv (t 2 )−mv (t1 )

t2−t 1verandering impuls per tijdseenheid

(2) p=mvdefinitie impuls

(1) + (2) = f=dpdt

7Thomas

3. Kracht op een stroomvoerende geleider

I=Stroom

dFm=magnetische kracht

dr=verplaatsing langs geleider∈richting

B=magnetische inductieveld

dt: tijdsinterval waarin alle ladingen doorheen A gaan

dQ: lading

v: snelheid ladingen in dr

(1) dQ=Idt

(2) d r⃗= v⃗ dtd F⃗m=dQ v⃗ x B⃗¿ Idt v⃗ x B⃗¿ I v⃗ dt x B⃗d F⃗m=I d r⃗ x B⃗ op een stukje

(3) F⃗m=I∫ d r⃗ x B⃗ op totale geleider

(4) F⃗m=I∫ d r⃗ x B⃗

¿ I∫d r⃗ x ( e⃗ t x B⃗ )¿ I ( e⃗ t x B⃗ )∫d r⃗

¿ I ( e⃗ t x B⃗ ) l

(5) F⃗m=B Il op rechte geleider

8Thomas

9Thomas

4. Moment op stroomvoerend kader

F⃗ ab=F⃗ cd=I B sin (90 °−θ )

F⃗ bc=F⃗ da=I l B sin (90° )

(1) M=r⃗ da∗F⃗ da+ r⃗ bc∗F⃗ bc moment van krachtenFdaen Fbc ¿ ( r⃗ da+r⃗ bc )∗F⃗ da

(2) F⃗ da=I l1 ( l⃗ I∗B⃗ )kracht inductieveld opgeleider

(1) + (2) M=l2Fda sin θ

M=l2 l1 I B sinθ

M=A I B sin θ

10Thomas

5. Elektron in homogeen elektrisch veld

E⃗⊥ v⃗0

E⃗⊥Platen

I Binnen(1) F⃗ e=−e E⃗ kracht∈elektrisch veld ope−¿ is tegengesteld ¿

(2)ay=−e E⃗me

versnelling enkel volgens de y−as

(3) v y1=a y td y−component vansnelheid bij verlaten van platen

¿ −ed E⃗me v0

vz=v0 z−component van snelheid

(4) y1=a y t ² d2

¿ −ed ²2me v0²

E⃗y

II Buiten e−¿¿ondervindt geen kracht meer en v=cst(5) tan α=

v y

v0hoek waaronder straalwordt afgebogen

11Thomas

¿ −e dme v0 ²

E⃗ y

¿y2D

(6) y2=−e dDme v0²

E⃗ y

(4) + (6)

y= y1+ y2

y= −e d ²2me v0 ²

E⃗ y+−edDmev0 ²

E⃗ y

y= −e dme v0

2 E⃗ y (D+ d2 ) => hoe groter E, hoe groter y: ze zijn rechtevenredig

12Thomas

6.

Kathodestraalbuis

Onderdeel van oscilloscoop: meet fluctuaties van elektrische stroom en spanning

Buis is luchtledig

(1) Elektronenkanon: e−¿¿worden gevormd en versneld tot e−¿¿-straal met dezelfde snelheid(2) Horizontaal elektrisch veld: e−¿¿-straal wordt horizontaal afgebogen(3) Verticaal elektrisch veld: e−¿¿-straal wordt verticaal afgebogen

E⃗=elektrisch veld

F⃗=−e E⃗=kracht van E⃗ ope−¿¿

a⃗= F⃗m

=−e E⃗m

=versnelling enmogelijkeafbuiging

13Thomas

7. Beweging geladen deeltje in magnetisch veld (1) F⃗m=ma⃗ tweedewet van Newton

F⃗m=e v⃗∗B⃗

(2) an=ev∗Bm

= v ²rprojectie opn−en t−assen

a t=0

(1)+(2)

Fm=man=evB=mv2

r Snelheidsfilter

14Thomas

E⃗⊥ B⃗E⃗⊥ v⃗0v⃗0∥ B⃗F⃗m en F⃗ e werkenelkaar

tegen

(1) F⃗=q ( E⃗+ v⃗+ B⃗ ) totalekrachtF⃗=F⃗m+ F⃗ e

(2) a⃗=qm

( E⃗+ v⃗∗B⃗ )versnelling vandeeltjemet lading

q enmassam

(3) a⃗=0als deeltje rechtdoor gaatals E=−(v∗B )=B∗v

als v0=EB

→Verhouding EBregelen :deeltjesmet bepaalde snelheid selecteren

⇒ v0<EB:Fe>Fm⇒wijkt af naar beneden

⇒ v0>EB:Fe<Fm⇒wijkt af naar beneden

Massaspectrometer

15Thomas

(1) Ionisatiekamer: mengsel ioniseren door valentie-elektronen weg te slagen door beschieting met elektronen

(2) Analysator : scheidt verschillende componenten door magnetisch en elektrisch veld

B⃗=homogeenv⃗⊥ B⃗

(1) r= mv¿q∨B

ladingenbeschrijven eencirkelbeweging

(2) Alle grootheden = contanten=>ladingen scheiden

mbv≠m :m↑=r ↓m↓=r ↑ massaonderscheid de ladingen

(3) F⃗m=q v⃗∗B⃗F⃗m⊥ B⃗B⃗∨¿ v⃗

⇒ F⃗m⊥ v⃗

(4) F⃗m=¿q∨vB¿manVersnellingheeft enkelnormaal component∈een

F⃗m=mv2

rhomogeenmagnetisch veld

r= mv¿q∨B

16Thomas

8. Deeltjesversneller cyclotron

Onderzoeken van samenstelling van materie

Hoe kleiner de deeltjes, hoe energierijker de botsingen

Ladingen die kromme baan beschrijven zenden magnetische straling uit

Bron SDoelwit TA :alternatorE⃗ :versnelt de ladingenB⃗: buigt de ladingenaf

(1) Ladingen vertrekken in S, worden versneld door E⃗ en beschrijven een kromme met

r= mv¿q∨B

(2) Alternator keert E⃗ om zodat ladingen blijven versnellen met een grotere cirkelboog

(3) Bij verlaten gemikt op T

⇒bij lage snelheid :w= vr=qB

m=cst

frequentie A=cst⇒bij hoge snelheid : frequentie snelheidafhankelijk

17Thomas

9. Exponentiële relaxatie a. Geen aandrijving

f (t )=dxdt

+αx=0

(1)dxdt

=−αx

∫ dxdt

=∫−αt

ln x=¿−αt+C ¿e ln x=e−αt+¿ eC

x (t )=A e−αt

(2) Voor alle waarden van t geldt:

1ex (t )= A e−αt

e¿ Ae−αt−1

¿ Ae−α(t−1α )

¿ x (t+ 1α )T : tijdsconstante : intervalwaarmee t moet toenemenomx

met 1ete reduceren

b. Trapfunctie

f ( t )=dxdt

+αx=αXd=cst

(1)dxdt

=−α (−Xd+x)

dxdt

=dXddt

=0want Xd=cst

dxdt

=dydt

(2)dydt

=−αy

18Thomas

y ( t )=A e−αt

x (t )−Xd=A e−αt

x (t )=A e−αt+Xd

19Thomas

(3) Beginvoorwaarden: x (0 )=A+XdA=x (0 )−Xd

x (t )=( x (0 )−Xd )e−αt+Xdovergangsrespons : geleidelijke aanpassing aan plotse verandering

20Thomas

10. Halveringstijd

dxdt

=−αx

dN ( t )dt

=−α N ( t )uitdrukkingradioactief vervalmet deevenredigheidsfactor

(1) Scheiden van variabelendN (t )N (t)

=−α dt

(2) Integreer

∫ dN ( t )N (t )

=∫−α dt

∫ dN ( t )N (t )

=−α∫dt

ln N (t )=−α t+Ce lnN (t )=e−α t eC

N ( t )=Ce−α t beginwaarde N (t )=N (0 )=0N ( t )=N0 e

−αt

⇒halveringstijd

(1) N ( t )=N0 e−αt

(2)12N ( t )=N (t+ t 1

2)

(1)+(2)

12N0 e

−αt=N 0 e−α( t+t 12 )

12e−αt=e−αt e

−αt 12

12=e

−αt 12

ln 2=αt 12

t 12= ln 2

α=T ln 2

21Thomas

11. Impuls van een stelsel van deeltjes

p=mv

(1) p=∑i=1

n

p i

¿∑i=1

n

mi vi

¿∑i=1

n

mi

d ridt

¿d (∑i=1

n

mi ri)dt

(2) m'=∑i=1

n

mi totalemassa

(3) m' ri=∑i=1

n

mir idefinitie massacentrum

(4) dmr idt

=d (∑i=1

n

mi r i)dt

¿ pp=mvmc

22Thomas

12. Behoud van impuls

(1) dpdt

=∑i=1

n

F1

dpdt

=Ruitwendig

(2) ∫t1

t2

Ruitw=p ( t2 )−p (t 1)

(3) Ruitw=0

p=∑i=1

n

p i=cst

⇒ alle componentengelijk aannulimpuls=cst

∑i=1

n

mi v i (t 1)=∑i=1

n

mi v i ( t2 )

⇒ als1vande componentengelijk is aannul

∑i=1

n

mi v i (t 1)=∑i=1

n

mi v i ( t2 )

23Thomas

13. Tijdsafgelijde van impulsmoment

(1) d L⃗dt

=d ( r⃗∗mv⃗ )

dt

¿ d r⃗dt

∗m v⃗+ r⃗∗d (m v⃗ )dt

(2) F⃗=d (m v⃗ )dt

vectoren∥ d r⃗dt

∗m v⃗=0

(1)+(2)

d L⃗dt

=r⃗∗F⃗=M⃗

⇒ voor eensysteem : d L⃗dt

=∑i=1

n

( r⃗i∗F⃗ i)

d L⃗dt

=M⃗ uitw

24Thomas

14. Traagheidsmoment

(1) Lz=(∑i=1n

mi (r i) ²)wz niet vervormbaar systeemdraait om vasteas

(2) Lz=∑i=1

n

( r⃗ i∗mi∗v⃗ i) z

¿∑i=1

n

( (a⃗ i+ r⃗ ' i )∗mi∗v⃗ i ) z

¿∑i=1

n

( (a⃗i∗mi∗v⃗ i ) z∗(r⃗ 'imi v⃗ i)z )⊥op z−as :valt weg

¿∑i=1

n

( r⃗ ' imi v⃗i )

¿∑i=1

n

(r ' imi r ' 1w z )

¿∑i=1

n

¿¿

Lz=¿

(3) I=∑i=1

n

mi(r '¿¿1) ² traagheidsmoment ¿

25Thomas

15. Behoud van impulsmoment

(1) Fuitw=0enM uitw=0

(2) d L⃗dt

=∑i=1

n

( r⃗ i∗F⃗ i )dLdt

=0

L=cstmet Lz=cst

26Thomas

16. Statica Als Fuitw=0, kunnen we het referentiepunt om moment te berekenen kiezen omdat rond geen enkel punt een rotatie-as mag ontstaan

∑i=1

n

M⃗ i , 01=∑i=1

n

r⃗i ,01∗F⃗ i

¿∑i=1

n

(r⃗i ,02+r⃗02,01)∗F⃗i

¿∑i=1

n

r⃗i , 02∗F⃗i+∑i=1

n

r⃗ 02,01∗F⃗i

¿∑i=1

n

r⃗i , 02∗F⃗i+r⃗ 02,01∗∑i=1

n

F⃗imaar∑i=1

n

F⃗ i=0

¿∑i=1

n

r⃗i , 02∗F⃗i

∑i=1

n

M⃗ i , 01=∑i=1

n

M⃗ i ,02

27Thomas

17. Kinetische energie van een puntmassa

(1) Tweede wet van Newton

∑i=1

n

F⃗ i=m a⃗

(2) Vermenigvuldigen met infinitesimale verplaatsing d r⃗

(∑i=1n

F⃗ i=m a⃗)d r⃗=(m a⃗ )d r⃗

δW=m d v⃗dt

d r⃗

δW=md v⃗ d r⃗dt

δW=md v⃗ v⃗

(3) Willekeurige verctorenv⃗ v⃗=v⃗ 2cosθ¿ v ²d ( v⃗ v⃗)=dv ²d ( v⃗ ) v⃗+d ( v⃗ ) v⃗=dv ²2d ( v⃗ ) v⃗=dv ²

d ( v⃗ ) v⃗=d v2

2

(2)+(3)

δW=d (mv2

2 )Ekin=

mv2

2

28Thomas

18. Wet van arbeid en energie

(1) Verplaatsing tussen punten 1 en 2

W 12=∫⃗r1

r⃗2

(∑i=1

n

F i)d r⃗W 12=∫⃗

r1

r⃗2

d (mv2

2 )W 12=

mv22

2−mv1

2

2

(2) Ekin=mv2

2= p2

2m

(1)+(2)W 12=E kin ,2−E kin ,1

29Thomas

19. Kinetische energie systeem van punten

a. Translatie

Ekin=∑i=1

n mi v i2

2

Ekin=∑i=1

n mi v ²2

Ekin=mv2

2

b. Algemene beweging (1) r⃗ i, 0=r⃗ c, 0+r⃗i ,c plaatsvector massacentrumen plaatsvector punt

(2) v⃗i , 0= v⃗c ,0+v⃗ i , c

(3) v⃗i , 0 ²= v⃗ i ,0 v⃗ i , 0¿ ( v⃗c, 0+v⃗ i , c) ( v⃗c ,0+ v⃗i , c )¿ v⃗c, 0 v⃗c ,0+2 v⃗c ,0 v⃗ i , c+ v⃗ i ,c v⃗ i ,c

¿ v⃗c, 0 ²+2 v⃗c ,0 v⃗ i , c+ v⃗ i ,c ²

(4) Ekin=∑i=1

n mi v i , 0²2

¿∑i=1

n mi ( v⃗c ,0 ²+2 v⃗c ,0 v⃗ i , c+ v⃗ i ,c ² )2

¿∑i=1

n mi v⃗c, 0 ²2

+∑i=1

n 2mi v⃗c, 0 v⃗ i ,c

2+∑

i=1

n mi v⃗ i , c ²2

¿mvr ,0

2

2+v⃗c , 0∑

i=1

n

mi v⃗ i , c+∑i=1

n mi v⃗ i ,c2

2=0

Ekin=mvr ,0 ²2

+∑i=1

n mi v i , r ²2

30Thomas

c. Rotatie van een onvervormbaar voorwerp

Rotatie van een onvervormbaar voorwerp met symmetrische rotatie-as

(1) Massacentrum op symmetrie-as

vi , rot=r ' iω r 'i=afω=hoeksnelheid

(2) Ekin , rot=∑i=1

n mi v i , rot ²2

¿∑i=1

n mi (r 'iω ) ²2

¿(∑i=1

n

mi r 'i ²)ω ²2

traagheidsmoment I=∑i=1

n

mir 'i ²

(3) Ekin , rot=I ω2

2(4) Ek=Ekin ,tran+E kin ,rot

Ek=mvr ,0 ²2

+ I ω2

2

31Thomas

20. Kracht afleiden uit potentiele energie (1) Kracht in elk punt van de ruimte

Ep(x , y , z )

(2) Definitie potentiële energie−d Epot=F⃗ d r⃗−d Epot=F xd x+F y d y+F zdz

(3) {F x=−∂ Ep

∂ x

F y=−∂E p

∂ y

F z=−∂ Ep

∂z

partiël afgeleiden

(4) F⃗=−∇⃗ Ep −∇⃗= ∂ f∂ x

, ∂ f∂ y

, ∂ f∂ z

32Thomas

21. Elektrische potentiaal in puntlading

∆ E p=1

4 π ε0 (qq0r2

−qq0r1 )

V (r2 )−V (r 1)=q04 π ε0

1r2

− 1r1

V (r )=q04 π ε0

1r

33Thomas

22. Energie van een puntmassa

(1) Conservatieve krachten: ∑i=1

k

F⃗ inw , c

Niet conservatieve krachten:∑i=1

m

F⃗ inw, nc

(2) W 12=∑i=1

k

∫⃗r1

r⃗2

F⃗ inw , cd r⃗+∑i=1

m

∫⃗r1

r⃗2

F⃗ inw ,nc d r⃗

¿>∑i=1

k

∫⃗r 1

r⃗ 2

F inw, cd r⃗=−∑i=1

k

(E p2 ( F⃗ inw , c)−Ep1 ( F⃗ inw, c))

¿>W 12nc=∆ Ekin=Ekin ,2−E kin ,1

(1)+(2) Ekin , 2−Ekin , 1=−∑i=1

k

(Ep2 ( F⃗inw ,c )−E p1 ( F⃗ inw, c ))+W 12nc

(3) W 12nc=(Ekin , 2+∑

i=1

k

(Ep2 ))−(Ekin ,1+∑i=1

k

(E p1))(4) E=Ekin+∑

i=1

k

(E p )mechanischeenergie

(3)+(4)E2−E1=W 12

ncWet vanarbeid enmechanischeenergieW 12

nc=0→E2=E1Wet vanbehoud vanmechanischeenergie

34Thomas

23. Energie van een systeem

(1) Ekin=mvc , 0

2

2+∑

i=1

n mi v i ,c2

2translatie rotatie

Ekin , trE kin ,rot=I w2

2

(2) Ekin=Ekin ,tr+E kin ,rot+E kin ,inw

(3) Ekin=Ekin ,uitw+Ekin ,inw

(4) Ekin , 2−Ekin , 1=W 12uitw , c+W 12

nc+W 12inw ,c

(5) {W 12uitw ,c=−(Epot , 2

uitw −Epot , 1uitw )

W 12uitw ,c=−(Epot , 2

inw −Epot , 1inw )

W 12nc=E kin ,2

uitw +Ekin ,2inw +E pot ,2

uitw +Epot ,2inw −(Ekin , 1

uitw +Ekin ,1inw +Epot , 1

uitw +E pot ,1inw )

W 12nc=(E2uitw+U 2 )−(E1uitw+U1 )

E=Euitw+U

35Thomas

24. Macroscopische beschrijving van ideale gaswet

(1) Gay-Lussac: V=cst p T

(2) Boyle en mariotte: T=cst pV=cst

(3) Charles: p=cst V T

⇒ pV=cst TpV=n RT molaire gasconstante

36Thomas

25. Temperatuur

(1) pV=23Nu

(2) pV=nRT

(1)+(2)

nRT=23Nu

u=32nN

RT N=n N A

u=32

RN A

T constante van Boltzman :kb

u=32kbT

u≈Tm0 vg ²2

=32kbT

37Thomas

26. Niet-elastische centrale botsing

(1) Wet van behoud van impulsm1 v1i+m2 v2i=(m1+m2 )v finaal

(2) Wet van behoud van energieEkin , i+Enm,i=Ekin ,f +Enm, f Enm ,i=0 12m1 v1, i ²+

12m2 v2 , i²=

12 (m1+m2) v f ²+Enm,f

(3) Snelheid beide deeltjes na de botsing

v f=m1 v1 ,i+m2 v2 ,i

m1+m2

(4) Verlies van Ekin: tweede deeltje in rust: v2, i=0

Ekin , i=m1 v ²1 , i2

Ekin , f=¿¿Ekin , f−Ekin ,i=¿¿

¿(m1+m2 )2

m12v1 , i2

(m1+m2 ) ²−

(m1 v21 ,i)

2

Ekin , f−Ekin ,i=−m1m2

m1+m2

v1 ,i2

2∆ E k<0⇒Ekin , f<E kin ,i⇒ verlies

38Thomas

27. Eendimensionale elastische botsing

(1) Behoud van impulsm1 v1 x+m2 v2x=m1 v1 ' x+m2 v2 ' x

m1 (v1 x−v1' x)=m2 (v2' x−v2 x)

v1 x+v1' x=v2

' x+v2x

(2) Behoud van kinetische energiem1 v ²1 x2

+m2 v ²2 x2

=m1 v ' ²1 x2

+m2v ' ²2 x2

m1 v ²1 x−m1 v ' ²1 x=m2 v ' ²2 x−m2 v ²2 xm1 (v1 x−v '1 x ) (v1 x+v '1 x)=m2 (v ' 2 x−v2 x ) (v ' 2 x+v2 x )

(3) v1' =

(m1−m2 ) v1 x+2m2v2 xm1+m2

v2' =

−(m1−m2) v2 x+2m1 v1 xm1+m2

¿>m1=m2=m

v ' 1 x=v2 x→de deeltjesnemennadebotsing elkaars snelheid¿v ' 2 x=v1 x

¿>m2=∞⇒m1

m2≪1⇒m2≫m1

v ' 1 x=(m1

m2−1)v1 x+2 v2 x

m1

m2+1

v ' 2 x=−(m1

m2−1)v2 x+2(m1m2 ) v1 x

m1m2

+1

v '1 x=−v1 x+2v2 xv ' 2 x=v2 x }de snelheid vande zwaremassa verandert niet

(4) Energieoverdracht: stel v2 x=0

v ' 1 x=(m1−m2 )v1 x

m1+m2

39Thomas

v ' 2 x=2m1 v1 xm1+m2

40Thomas

(5) Verandering Ekin1

Ekin , 1 ,finaal−Ekin ,1 ,initiëel=m1

2v ' ²1 x−

m1

2v ²1x

¿m12 (v ' ²1 x−v ²1 x )

¿m12 (( (m1−m2 ) v1 x

m1+m2 )2

−v ²1 x)¿m1 v ²12

x (( (m1−m2 )m1+m2 )

2

−1)¿m1 v ²12

x (−4m1m2

(m1+m2 )2 )Ekin , 1 ,finaal−Ekin ,1 ,initiëel=

m1 v ²12

x (−4m1m2(m1+m2 )2 )

41Thomas

28. Wetten van Ohm

(1)Gemiddelde stroomI g=

∆Q∆ t

(2)Ogenblikkelijke stroomI (t )=dQ

dt

(3)Stroom van positieve ladingen∆Q=n (Avd ∆ t )q A : doorsnede n :aantal ladingen per volumeI=nqvdA q : lading per deeltje

a. Microscopische vorm

(1) Wet van Ohmv⃗d=± μ E⃗ d vd=driftnelheidμ=mobiliteit+: positieve lading−:negatieve lading

(2) Stroomdichtheid per oppervlakte

J= IA

(3) Stroomdichtheid per punt

42Thomas

J= dIdA

J⃗=nq v⃗d

(4) Geleider met Ohm’s gedragJ⃗=±nqμ E⃗J⃗=¿ n|q|μ E⃗ σ=conductiviteit J⃗=σ E⃗

⇒ ρ=1σ= 1n|q|μ ρ=resiciteit :soortelijke weerstand

J⃗= E⃗ρ

E⃗=ρ J⃗

b. Macroscopische vorm

(1) I=nq vd AI=n|q|μAE

(2) Spanning van een geleiderU=El

I=n∨q∨μAl

U

R= ln∨q∨μA

weerstand van eengeleider

I=UR

Opmerking: Voor elektrolytenI=q+n+vd+A=Q−vd−n−A

I=( q+n+μ+q−nl )AE

R= l(q+n+μ+q−n )

weerstand

G= 1Rgeleidbaarheid :conductantie

Pas stroom als spanning U ≥U dpotentiaalverschilI=G(U−Ud)

43Thomas

29. Temperatuursafhankelijkheid van soortelijke weerstanden

(4) R=ρ lAΩ

ρ= 1n|q|μ

Temperatuursafhankelijkheid

(5) R−R0=αR0(T−T 0)

α=temeratuurscoefficiënt ¿0R↑¿0R↓

T−T 0=R−R0α R0

44Thomas

30. Vermogen van een kring

(1) Wet van Ohm

{|V 2−V 1|=R12 I=0Weerstand verbindingsdraden=OΩ|V 4−V 3|=R34 I=0

(2) Verandering van potentiële energiedEp=dq (V 3−V 2 )=dq (V 4−V 1 )¿−dqU¿−IUdt

(3) Energie omgezet in warmteδQ+δEp=0δQ=IUdt

(4) Ontwikkeld vermogen

P= δQδt

=U I U=RI

P=RI I=RI ²

P=U2

R

45Thomas

31. Verband bron en kringsspanning (1) Tweede wet van Kirchhoff

U−I Ri −IR=0Uk=U−I Ri :spanning tussen polen aenboftewelde klemspanning

(2) Belastingsweerstand

I= UR+Ri

46Thomas

32. Opladen en ontladen van condensator

a. Opladen

Opmerking: Meer positieve ladingen op de linkerplaat: daling potentiaalverschil

(1) Tweede wet van Kirchhoff∆Vbron+∆Vweerstand+∆Vcondensator=0

U−I R−QC

=0 I=dqdt

>0

U=R dqdt

+ 1Cq

1RC

CU=dqdt

+ 1RC

qlineare differentiaalvergelijking1eorde

dxdt

+αx=αXd

(2) Oplossen met behulp van interpolatie x=Ae−αt+Xddqdt

+ qRC

=UR

dqdt

=−(q−UC )RC

∫0

q dqq−UC

=−∫0

t 1RC

dt

ln UC−qUC

= −tRC

UC−q=uC e−tRC

q=UC (1−e−tRC )

(3) Stroom

I=URe

−tRC

47Thomas

48Thomas

b. ontladen

(1) Tweede wet van KirchhoffqC

−I R=0 lineare differentiaalvergelijking1eorde

dqdt

+ 1RC

q=0 dxdt

+αx=0

(2) Oplossenx=Ae−αt

q=Qe−tRC

I= QRC

e−tRC

(3)

49Thomas

33. Brug van Wheatstone

Twee vaste gekende weerstanden R1 en R2

Veranderlijke weerstand Rv

Onbekende weerstand Rx

Galvanometer: gevoelige stroommeter

(1)∆Vac=∆Vad∆Vcb=∆Vdb}geen stroomdoor G

R1 I 1=R2 I 2Rx I 1=Rv I 2 }Rx=Rv R 1

R 2

Doel: Rv regelen zodat I(G)=0

50Thomas

34. Kring met enkel weerstand

Harmonisch variërende spanning

(1) Tweede wet KirchhoffU−IR=0

i (t )=URsinωt

I=UR

Stroom en spanning zijn in fase op hetzelfde moment hebben ze hun maximum

51Thomas

35. Kring met enkel condensator

(1) Tweede wet van Kirchhoff

U−qc=0

q=Cu ( t )=Cusinωt

i (t )=dqdt

i (t )=CwU cosωt

i (t )=CwU sin(ωt+ π2 )

(2) Capacitieve reactantie

X c=1

WC

I= UXc

stroomloopt 90 ° voor opspanning

52Thomas

36. Hoog en laagfrequentie filters

(1) i (t )=I sin (ωt+Φ)

(2) Tweede wet van KirchhoffU=U c+U r

(3) Pythagoras

U ²=U r2+U c

2

U ²=R ² I ²+ I2

(WC ) ²

I= u

√R ²+ 1(WC ) ²

(4)U r=IR= u

√R ²+ 1(WC ) ²

=> U r=u hoogdoorlaatfilter: werkt lage frequenties weg

U c=I

WC= u

√1+(WRC ) ² => U c=u laagdoorlaatfilter: werkt hoge frequenties weg

53Thomas

37. Diffusie (1) Eerste wet van Fick: stationaire diffusie bij lage concentratiegradiënt

∆ N ∝ A dCdx

∆ t

dNdt

=−D A dCdx diffusiecoëfficiënt

(2) Deeltjesflux: deeltjesstroom per opp

J=−D dCdx

(3) Diffusiecoëfficient Viscositeitcoëfficiënt

D=k 0Tμ

(4) Eerste wet van FickdNdt

=D Ad (C1−C2 ) Dichte wand

J=Dd (C1−C2 ) Permeabiliteitcoëfficiënt

54Thomas

38. Diffusiespanning

1: Na+¿¿ diffundeert

2: E werkt diffusie tegen

3: Evenwicht: diffusie en E compenseren elkaar

Potentiaalverschil = diffusiespanning

(1) Ideaal gas

P ( x )= nV

RT

¿C ( x )RT

x-compensatie van drukkracht{ P ( x )∆ A links−P (x+∆x )∆ Arechts

(2) Drukkracht ten gevolge van concentratieverschilF px=−(P ( x+∆ x )−p ( x ))∆ A

¿−dpdx

∆x ∆ A

¿−dCdx

RT ∆ x∆ A

(3) Elektrische krachtFex=eNaC (x)∆ A ∆ xEx

¿eNaC ∆ A ∆ x−( dvdx )55

Thomas

(4) EvenwichtFex+Fpx=0

eNaC ∆ A ∆ x−( dvdx )−dCdx

RT ∆ x∆ A=0

−eNaC ( x ) dU−RTdC ( x )

dU=−RTNae

dC ( x )C ( x )

RNa

=kB

(5) Integratie

∫1

2

dUdt=−kBTe ∫

1

2 dC ( x )C ( x )

dt

V 2−V 1=−kBT

eln(C2C1 )nernstvergelijking

56Thomas

39. dipool &

(1) Potentiaal in PV ( r⃗ )=V−Q ( r⃗ )+V +Q ( r⃗ )

¿− kQr 1

+ kQr 2

¿kQ(−1r 1 + 1r2 )

(2) r 1≅ r+ l2cosθ

r 2≅ r+ l2cosθ

(1) + (2)

V (r )=kQ(−1r 1 + 1r 2 )

57Thomas

≅ kQ( −1

r+ l2cosθ

+ 1

r+ l2cosθ )

≅ kQ(−(r+ l2cos θ)+(r+ l

2cosθ)

r2+( l2 cosθ)2 )

≅kQr2 ( lcosθ

1−( l2 cosθ)2 )

→r≫ l→ lr≪≪1

v (r )= kQl cosθr ²

= p⃗ cosθ4 π ε0r ²

58Thomas

40. Elektrocardiogram Meet potentiaalverschillen in functie van de tijd

Driehoeksmethode van Einthoven

59Thomas

41. Prikkel langs zenuw

Geleiding langs stukje axon

(1) Spanning u over condensator

U=Uinv Rmℜ+Ri+Rm

(2) Lekstroom: ontlading: negatief

I=−dQdt

¿−c dUdt

→U=RmI

U=−RmC dUdt

U=U 0 e−tRmC exponentiële afname met tijdsconstante RmC

60Thomas

42. Kabelvergelijking

Doel: bepalen hoe de spanning afneemt in functie van de tijd

(1) Wet van Ohmi (r )∆R i=v ( x )−v (x+∆ x)

i (r )∆R i=δvδx

∆ x

i (r )∆ Ri

∆ x=−δv

δx

(2) Weerstand per lengte-eenheid

ri=∆R i

∆ x(1) + (2) = Verband tussen stroom en gradiënt van potentiaal

ri=−δ vδx

(3) Eerste wet kirchhoff

i (x )−i ( x+∆ x )−ℑ− δvδx

=0

δvδx

=−(i ( x+∆ x )−i (x ) )−ℑ

(4) Stel Q=CvDelen door (2πa ∆x )

Lekstroomdichtheid: jm= ℑ(2πa∆ x )

Cappaciteit per opp: Cm= C(2 πa∆ x )

Cm ∂v∂ t =

−i ( x+∆ x )−i(x)(2 πa∆ x )

− jm

(5) Partiële afgeleide𝐶𝑚∂v∂ t

= −1(2πa )

δiδx

− jm

↓ ri ( x )=−δvδx

Cm ∂v∂ t

= 1(2πari )

δ ² iδx ²

− jm

61Thomas

(6) Veronderstel

jm=Gd

(v−vr )

¿ gm ( v−vr )geleidbaarheid per opp: gm= G2πa∆ x

Cm ∂v∂ t

= 12πari

δ ² iδx ²

−gm(v−vr )

(7) Veronderstel: Delen door gm

λ ²= 12πari gm

τ=Cmgm

μ=v−vr

τ δ uδt

=λ ² δ ²μδ x2

−μ

1.⇒ δuδt

=0

λ ² δ ² μδ x2

−μ=0

v−vr=μ0 e−xλ

μ0exλ

x>0x<0}⇒exponentiële uitdoving

2.⇒ δ ²uδt ²

=0

v=vr+μ0 e−tτ

62Thomas

43. Warmteuitwisseling zonder verandering

(1) Verhoging inwendige kinetische energie

δQ=C dt warmtecapaciteit c=ML ²T2θ2

(2) Q12=C ∆T¿C (T2−T1)

C=mc soortelijke warmteC=nCmmolaire warmtecapaciteit

(3) Warmte

{ δQ=mc dtδQ=nCmdt

(4) Integratie

{ Q12=∫1

2

mcdt

Q12=∫1

2

mCmdt

⇒{ Q12=mc (T2−T1)Q12=mCm (T 2−T1)

63Thomas

44. Warmteuitwisseling met verandering van toestand

(1) Verdampen

Q12=mlv soortelijke verdampingswarmte lv= Lvm

→condensatie is omgekeerde

(2) Smelten

Q12=mls soortelijke smeltwarmtels=Lsm

→stollenis omgekeerde

(3) Sublimeren

Q12=mlsubl soortelijke sublimatiewarmte lsubl= Lsublm

→depositieis omgekeerde

64Thomas

45. Warmtetransport

(1) Gemiddelde warmtestroom

Iwg=ΔQdt

(2) Ogenblikkelijke warmtestroom

Iw=dQdt

(3) Temperatuursgradiënt

Iwgα AT2−T1x2−x1

Iwgα A dTdx

Iw=−λ A dTdx

warmtegeleidingscoëfficient constant

Iw=λ AT1−T 2x1−x2

65Thomas

46. Eerste wet van thermodynamica

(1) Wet van Arbeid en Energie

E sys2−Esys1=−W 12uitw .+Q12

(2) Verandering van inwendige energieE sys2−Esys1=U 2−U1

(3) Arbeid van systeem op omgeving

W 12=−W 12uitw .

(4) U2−U 1=Q12−W 12

66Thomas

47. Tweede wet van thermodynamica

(1) Geïsoleerd systeemδW=0δQ=0

(2) Isotherm

δQ=δW ≅ p∆V=NkT ∆VV

(3) Verhoudingen microtoestanden

(V+∆V )N

V N =(1+∆VV )

N

¿(1+ δQNkT )

N

maar NkT=heel klein

¿ (e )δQKT

ln (V +∆VV N )

N

= δQT

k ln (V +∆V )−k lnV=δQT

(4) EntropieS=k ln (microtoestand bijmacrotoestand )

(5) Quasistische isotherme expentie

S (V +∆V )−S (V )= δQT

67Thomas