21/04/23 | pag. 1

Fractale en Wavelet Beeldcompressie

Les 4

Fractale & Wavelet Beeldcompressie21/04/23 | pag. 2

Collagestelling

• Heeft het beeld globale zelfsimilariteit?• Overdek het beeld met kleinere kopieën

van zichzelf zodat de Hausdorff afstand tussen het eigenlijke beeld en de unie van de kleinere kopieën klein is.

• Elke kleinere kopie van het beeld is het resultaat van een contractie toegepast op het beeld.

• Hoe bepalen we die contracties?

Fractale & Wavelet Beeldcompressie21/04/23 | pag. 3

Toepassingen van Lineaire stelsels

Fractale & Wavelet Beeldcompressie21/04/23 | pag. 4

Toepassingen van Lineaire stelsels

Fractale & Wavelet Beeldcompressie21/04/23 | pag. 5

Toepassingen van Lineaire stelsels

Fractale & Wavelet Beeldcompressie21/04/23 | pag. 6

CODERING = Implementatie van de Collagestelling

Fractale & Wavelet Beeldcompressie21/04/23 | pag. 7

CODERING = Implementatie van de Collagestelling

Een mogelijke oplossing omde Sierpinski driehoek teoverdekken is:

Fractale & Wavelet Beeldcompressie21/04/23 | pag. 8

CODERING = Implementatie van de Collagestelling

Fractale & Wavelet Beeldcompressie21/04/23 | pag. 9

CODERING = Implementatie van de Collagestelling

Fractale & Wavelet Beeldcompressie21/04/23 | pag. 10

CODERING = Implementatie van de Collagestelling

Fractale & Wavelet Beeldcompressie21/04/23 | pag. 11

CODERING = Implementatie van de Collagestelling

Fractale & Wavelet Beeldcompressie21/04/23 | pag. 12

CODERING = Implementatie van de Collagestelling

Een mogelijke oplossing omhet echt blad teoverdekken is:

Fractale & Wavelet Beeldcompressie21/04/23 | pag. 13

CODERING = Implementatie van de Collagestelling

• Er is inderdaad zelfsimilariteit.

• We zoeken drie contracties die het blad respectievelijk afbeelden op het blauwe blad, het rode blad en het groene blad.

• Teken een coördinatenstelsel op het blad.

• Bepaal telkens het beeld van drie punten, bijvoorbeeld:

Fractale & Wavelet Beeldcompressie21/04/23 | pag. 14

CODERING = Implementatie van de Collagestelling

Fractale & Wavelet Beeldcompressie21/04/23 | pag. 15

CODERING = Implementatie van de Collagestelling

Fractale & Wavelet Beeldcompressie21/04/23 | pag. 16

CODERING = Implementatie van de Collagestelling

Fractale & Wavelet Beeldcompressie21/04/23 | pag. 17

DECODERING = Bepalen van de attractor van het IFS

Fractale & Wavelet Beeldcompressie21/04/23 | pag. 18

DECODERING = Bepalen van de attractor van het IFS

Fractale & Wavelet Beeldcompressie21/04/23 | pag. 19

DECODERING = Bepalen van de attractor van het IFS

Fractale & Wavelet Beeldcompressie21/04/23 | pag. 20

DECODERING = Bepalen van de attractor van het IFS

Fractale & Wavelet Beeldcompressie21/04/23 | pag. 21

DECODERING = Bepalen van de attractor van het IFS

Fractale & Wavelet Beeldcompressie21/04/23 | pag. 22

DECODERING = Bepalen van de attractor van het IFS

Fractale & Wavelet Beeldcompressie21/04/23 | pag. 23

CODERING = Implementatie van de Collagestelling

Hoe zou je mijn naam overdekken met kleinere copiën?

Fractale & Wavelet Beeldcompressie21/04/23 | pag. 24

CODERING = Implementatie van de Collagestelling

Hier is de attractor van een mogelijk IFS:

Fractale & Wavelet Beeldcompressie21/04/23 | pag. 25

Fractale Beeldcompressie voor binaire beelden

• Kan als er globale zelfsimilariteit bestaat in het binair beeld.

• Overdek het beeld met zo min mogelijk kleinere kopieën (N contracties).

• Compressie ontstaat door enkel de 6N coëfficiënten te bewaren.

• Decompressie bestaat erin het IFS toe te passen op een willekeurig binair beeld.

Fractale & Wavelet Beeldcompressie21/04/23 | pag. 26

Toepassing

Fractale & Wavelet Beeldcompressie21/04/23 | pag. 27

Toepassing

Fractale & Wavelet Beeldcompressie21/04/23 | pag. 28

Toepassing

Fractale & Wavelet Beeldcompressie21/04/23 | pag. 29

Fractaal

• Definitie: we noemen de attractor van een IFS een fractaal.

• Gevolg: een fractaal heeft een globale zelfsimilariteit.

• Gevolg: een fractaal heeft dezelfde hoeveelheid detail op welke resolutie we ook kijken.

• Vanwaar komt de naam?

Fractale & Wavelet Beeldcompressie21/04/23 | pag. 30

Fractaal

• Herinner dat een fractaal compact is.

• We kunnen met een compact een getal associëren dat zijn grootte meet.

• Mandelbrot ontdekte dat voor een attractor van een IFS dat getal een breuk (fraction) is, vandaar de naam FRACTAAL.

• We noemen het getal fractale dimensie.

Fractale & Wavelet Beeldcompressie21/04/23 | pag. 31

Fractale Dimensie

Fractale & Wavelet Beeldcompressie21/04/23 | pag. 32

Oefening

Bepaal de fractale dimensie van een vierkant.

Fractale & Wavelet Beeldcompressie21/04/23 | pag. 33

Oefening

1 164

Fractale & Wavelet Beeldcompressie21/04/23 | pag. 34

Oefening

Fractale & Wavelet Beeldcompressie21/04/23 | pag. 35

Oefening

Bepaal de fractale dimensie van de Sierpinski driehoek.

Fractale & Wavelet Beeldcompressie21/04/23 | pag. 36

Oefening

Fractale & Wavelet Beeldcompressie21/04/23 | pag. 37

Oefening

Fractale & Wavelet Beeldcompressie21/04/23 | pag. 38

Oefening

Bepaal de fractale dimensie.

Fractale & Wavelet Beeldcompressie21/04/23 | pag. 39

Oefening