Samenvatting - Hoofdstuk 4

5/13/2018 Samenvatting - Hoofdstuk 4 - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/samenvatting-hoofdstuk-4-55a7511c737e4 1/17

Elektriciteit

1

Hoofdstuk 4: Magnetische velden:

1. Inleiding:

Eerste primitieve kompassen: 12e

13e

eeuw.

Magnetische polen: tegenover elkaar liggende punten waarnaar een ijzeren naald zich

vergeert in de buurt van een magneet.

Hypothese van Weber: noord en zuidpool komen altijd samen voor en zijn even sterk.

Hans Christian Orsted: een elektrische stroom doet een magneetnaald uitwijken.

Beschrijving: rechtlijnige geleider waardoor stroom I vloeit. Een magneetnaald richt zich altijd

volgens de raaklijn aan een concentrische cirkel met de geleider.

Gevolg: specifieke krachtwerking: magneetnaald wijst steeds met de zelfde zijde naar de

Noordpool (Noordpool) ander uiteinde de zuidpool.

Eigenschappen magnetische veldlijnen:

Snijden elkaar niet.

Zo kort mogelijk.

Tegengestelde zin: aantrekking, zelfde

zin: afstoting.

Ongeveer loodrecht in en uit.

Altijd gesloten (verschillend van

elektrische veldlijnen).

Voorstellingen:

Uit het blad: In het blad:

2. Wet van Ampère:

Bewijs: dF12 = dF21 = sin

Twee evenwijdige stroomvoerende geleider. Ampère: krachtwerking tussen twee geleiders

(gebruik krachtwerking lineaire stroomelementen: Idl zin d bepaald door stroomzin I).

Geleiders evenwijdig: dF12 = dF21 = k sin met k =

met 0

permeabiliteit vacuüm = 4.10-7

H/m

Wet van Ampère: dF12 = dF21 = sin

Eenheid F: [F] = Newton (N)

____________________

Bewijs: Eenheid 0

N/A² = N/C.C/A² = V/m.s/A = Wb/Am = H/m

___________________

Bewijs: Grootte van de eenheid stroomsterkte (Ampère)

De totale kracht dF1 is de som van de bijdragen van alle stroomelementen I2d van geleider 2

(integraal): dF1 =

Met dB2 = en B2 =

dF1 = B2I1dl1

______________________



Elektriciteit

2

Definitie B2: magnetische inductie (fluxdichtheid).

Eenheid: [B2] = Tesla T = Wb/m² = Vs/m² (vroeger Gauss Gs: 1 Gs = 10-4

Wb/m²).

Bewijs: Totale kracht F1 op geleider 1

Integreren over de volledige geleider:

F1 = = _________________________

Bewijs: Wet van Ampère voor willekeurige stroomelementen

Twee willekeurige stroomelementen in eenzelfde vlak.

d12 loodrecht op I1d1 en in het vlak (bij draaiing

rond p waarbij I1d1 in het vlak blijft verandert de

grootte niet).

Grootte: dF12 = sin

d

12 loodrecht op I1d

1 en I2d

2 x

(eenheidsvector van I1d

1 naar I2d

2).

Richting d12 richting I1d1 x (I2d2 x ).Grootte vector: || I1d1 x (I2d2 x ) || = I1dl1||I2d2 x ||sin 90° (=1) = I1dl1 I2d2 sin ( ) =

I1dl1 I2d2 sin dF12 = ||d12|| =

2 = (formule van Biot en Savart).

d12 = I1d1 x d 2 (Lorentz kracht).

De zin van d12 wordt bepaald door de rechterhand regel (rechterhand B, linkse handpalm op B

vinger in I en duim Lorentz kracht).

____________________

Bewijs: Wet van Ampère voor twee evenwijdige stroom elementen

I1d1 x (I2d2 x ) vector naar rechts gericht en zin van d12

12 =

Formule is algemeen geldig (ook bij stroomelementen die niet in

het zelfde vlak gelegen zijn).

_____________________

Formule van Biot-Savard (Magnetische inductie) B2 =

Naam Grootheid Formule Eenheid Te bewijzen

Wet van

Ampère

dF dF12 = dF21 = sin

Newton (N) Ja

Permeabiliteit 0 0 = 4.10-7

H/m Henry/meter Ja

Wet van

Ampère

(vectorieel)

d

Newton (N) Definitie



Elektriciteit

3

3. Magnetische velden:

Voorwaarden:

In ieder punt rakend aan magnetische inductievector.

Zin moet samenvallen met zin magnetische inductie.

Dichtheid evenredig met grootte magnetische inductie.

Geen begin- en eindpunt: gesloten (geen magnetische ladingen).

a) Magnetische veldlijnen van een stroomvoeren rechtlijnige geleider:

b) Magnetische veldlijnen van spoelen:

Definitie spoel: geleider die bepaald aantal keren rond een kern is gewikkeld.

Schroefvormig (helicoïdale spoel of solenoïde):

Toroïdale spoel (ring van Rowland):

4. Berekening van de magnetische inductie door gebruik van de wet van Biot-Savart:

a)

Magnetische inductie bij rechtlijnige geleider:Bewijs: Magnetisch inductie bij rechtlijnige geleider die eindig is

Eindige stroomvoerende geleider. O op zelfde

hoogte als punt P.

Biot-Savart: d =

Van dB naar B (integreren).

dB = (r en variabelen, alles

omzetten naar ).

r = a/sin dl: tg = a/-x x = - a cotg

dx =

d = dl (dl en r in Biot-Savart). dB =

.

B = ( 2 om zelfde hoek tov I te hebben).

B = (cos 1 + cos 2)

Bij een oneindige geleider: 1 = 0 en 2 = 0 B =

____________________



Elektriciteit

4

b) Magnetische inductie van een cirkelvormige stroomkring:

Bewijs:

Biot-Savart: sin 90° (r is een constante r² = z² + R²).

Totale magnetische inductie is gelegen volgens de z-as.

dBz (integreren)

: alle stukjes I dl (hele cirkel) = 2R

Cos = R/r BZ = =

Bijzonder geval: punt P in de oorsprong: r = R

BZ = of vectorieel: Z = ____________________

Definitie magnetisch dipoolmoment: pm = I A = I.R² ( loodrecht).

Eenheid magnetisch dipoolmoment: [pm] = Am²

c) Magnetische inductie van een solenoïde:

Bewijs:

Figuur:

Formule voor 1 winding: B = = (in stukje dz zijn n dz windingen) dB =

= (N = nl)

r omzetten: cos = z/r r = z/cos = R/sin

tg = R/z dz = B =

cos =

en cos = B =

Bijzondere gevallen:

Punt P in het midden: l1 = l/2

B = (met D diameter)

P op uiteinde van de spoel: l1 = l of l1 = 0: B =

In het midden van een zeer grote spoel, diameter verwaarloosbaar: BM =

Aan het uiteinde van een zeer grote spoel, diameter verwaarloosbaar: Buit =

Midden zeer korte spoel, lengte verwaarloosbaar: BM =

____________________



Elektriciteit

5


Wet Biot-

Savartd

Tesla (T =

Wb/m²)

Ja

De Lorentz

kracht

F F = B.I.l Newton

(N)

Ja

Magnetische

inductie vaneen recht

lijnige geleider

B

)cos(cos4 21

0

EET

Q

! a

I B

Tesla (T) Ja

Magnetische

inductie van

een oneindig

lange geleider

B

a

I u B

T2

0! Tesla (T) Ja

Magnetische

inductie van

een

cirkelvormige

geleider

B

2/3

0

3

0

²)²(2

²

2

²

R z

I Ru

r

I Ru B

!!

Tesla (T) Ja

Magnetischeinductie van

een

cirkelvormige

geleider met p

in de

oorsprong

B B = Tesla (T) Ja

Magnetische

inductie van

een solenoïde

B)cos(cos

2

0 FE !l

N I u B =

Tesla (T) Ja

Magnetische

inductie van

een solenoïde

in het midden

B Bmidden=

Tesla (T) Ja

Magnetische

inductie van

een solenoïde

aan de

uiteinden

B Buiteinde = Tesla (T) Ja

Magnetische

inductie bij

een lange

solenoïde

B Bmidden =

Buiteinde =

Tesla (T) Ja



Elektriciteit

6

5. Stelling van de lijnintegraal:

Bewijs:

Figuur:

Bij meerdere geleiders: + +

____________________

Wet van Ampère:

Figuur:


Stelling van de li jnintegraal

§´!

pp

!n

i L

I uds B

1

0

Ja

6. Magnetische flux:

a) Definitie:Voorwaarden:

loodrecht op A.

|| || = A

M buiten

M = Formule: M = =

Eenheid magnetische flux: [M] = Wb (Weber) =Tm² (1 Wb = 108

maxwell).

b) Stelling van Gauss voor magnetische velden:

Elektrostatica:

=

Magnetisme: (er bestaan geen magnetische ladingen)



Elektriciteit

7

c) Gevolg van de stelling van Gauss:

Beschrijvining: flux door oppervlak A met randlijn C is constant (enkel afhankelijk van de

randkromme C en niet van A).

Bewijs:

Twee oppervlaken A1 en A2 welke C tot randkromme hebben.

1 = en 2 =

(d steeds naar buiten geöriënteerd tov het

gesloten oppervlak). - = 0 1 = 2 (flux onafhankelijk van het oppervlak enkel van de

omtrek).

____________________

d) Flux gekoppeld met een gesloten stroomkring:

Verschil en bij een spoel:

: fysische flux.: gekoppelde flux = N.


Magnetische

flux

´p

!* B

dA B = BA Weber (Wb =T.m²) Definitie

Gekoppelde

flux

L I N !*!= Weber (Wb =T.m²) Definitie

Stelling van

Gauss voor

magnetische

velden(gesloten

oppervlak B)

´p

!* B

dA B = 0Weber (Wb) Ja

Flux

gekoppeld

met een

gesloten

stroomkring

Ecos Blb BA !!* Weber (Wb) Ja



Elektriciteit

8

7. Toepassingen van de stelling van de l ijnintegraal: berekening van symmetrische

magnetische velden:

a) Magnetische inductie binnen een oneindig lange rechte stroomvoerende geleider:

Bewijs:

Punt P op afstand a van de geleider magnetische inductie door B = (zie Biot-Savart

bewijs).Bij oneindig dunne geleider zou B naar oneindig gaan wanneer P de geleider nadert.

Nu: cirkelvormige geleider met straal r0, magnetische inductie wanneer het punt P naar het

oppervlak van de geleider nadert zal B =

Magnetische inductie binnen de geleider (r < r 0).

Figuur:

Stroomdichtheid: J = Magnetische inductie in P (r < r0), zal in alle punten van de cirkel met straal r (concentrisch

geleider) dezelfde waarde aannemen en inductie vector rakend aan de cirkel) J.r² = I

(r²/r0²).

Stelling l ijnintegraal:

Op de geleider: B =

__________________

Grafiek: B in functie van x:

b) Magnetische inductie voor een toroïdale spoel:

Bewijs:

Toepassing van de lijnintegraal op één van de veldlijnen:

(gemiddelde)

De inductie is niet constant binnen de toroïde.

De stelling van de lijnintegraal op de cirkel volledig binnen of buiten

de toroïde is De magnetische inductie buiten de toroïde heeft geen component rakend aan de cirkel (wel

loodrecht op de raaklijn).

____________________



Elektriciteit

9

c) Magnetische inductie van een oneindig lange solenoïde:

Formule: Bz = µ0.n.I


Magnetische

inductie van

een toroïdalespoel

B

r

N I B

T

Q

2

0! Tesla (T) Ja

8. Werking van een uniform magnetisch veld op een rechte stroomvoerende geleider:

Bewijs: De Lorentz-kracht

1. De geleider staat loodrecht op de inductie : Totale kracht:

De kracht is gericht volgens de loodlijn op het vlak bepaald door de

geleider en de magnetische inductie.

Zin van de kracht: rechterhandregel (duim: I, wijsvinger: B en middenvinger: F).2. De geleider maak een hoek met de veldlijnen:

Kracht op Id

dF = IBsin F = BIL sin

Vectorieel: ___________________


De Lorentz

kracht

F F = B.I.l Newton (N) Ja

9. Kracht op een bewegende lading:

Bewijs: Een lading Q met snelheid in een veld met een inductie

Gedurende t: l = v.t.

De beweging komt overeen met de stroomsterkte I = Q/t.

Een bewegende lading is een stroomelement: Il = Q/t.l = Qv.

De kracht op de lading is dan: Bij een elektrisch en een magnetisch veld wordt de kracht op de lading:

____________________


Kracht op

bewegende

lading

F Newton (N) Ja



Elektriciteit

10

10. Krachtwerking op twee rechte evenwijdige stroomvoerende geleiders:

Bewijs: dF1 = I1dl1B2 = I1

F1 = F2 = _____________________


Krachtwerking

tussen twee

stroomvoerende

rechtlijnige

geleiders

Fl

a

I I F

T

Q

2

210! Newton (N) Ja

11. Arbeid verricht bij verplaatsing van een stroomvoerende geleider in magnetisch veld:

Bewijs:

1. Translatie:

W = F.B = B.I.l.b = Bil(b2 b1) W = I.

De kracht F trekt het raam volledig in het veld (tegenkracht F).

2. Rotatie:

W = F.b = I.

___________________

Besluit: Iedere stroomvoerende winding geplaatst in een magnetisch veld tracht een stand

in te nemen zodat ze doorlopen wordt door een positieve flux met maximale waarde.

Opmerking: Voor een spoel met N windingen waarvan we onderstellen dat elke winding

met eenzelfde flux gekoppeld is wordt de arbeid om deze spoel te verplaatsen N maal de

arbeid om één winding te verplaatsen: W = N (I.) = I..


Arbeid bij

verplaatsing

stroomvoerende

geleider

magnetisch veld

W (*! I W Joule (J) Ja

Arbeid bij

verplaatsing

van spoel

magnetisch veld

W (=! I W Joule (J) Nee



Elektriciteit

11

12. Zelfinductie- en wederzijdse inductiecoëfficïent:

a) Zelfinductiecoëfficiënt:

Bewijs:

B =

Met L de zelfinductiecoëfficiënt: L =

Eenheid zelfinductiecoëfficiënt: [L] = Wb/A = V.s/A = Henry (H)

____________________

Opmerking: Voor een spoel met N windingen wordt de zelfinductiecoëfficiënt: L = .

b) Wederzijdse inductiecoëfficiënt:

Bewijs:

1. Twee spoelen met door spoel 1 een stroom I1:

Gekoppelde fluxen:

2. Spoel 1 is stroomloos en spoel twee heeft een stroom I2:

Gekoppelde fluxen:

3. Er gaat door beide spoelen stroom (meewerkend gekoppeld):

Matrix: M12 = M21 en W = I

4. Er gaat dor beide spoelen stroom (tegenwerkend gekoppeld):

Matrix: M12 = M21 en W = I

Wanneer men de 2de

spoel naar oneindig verplaatst wordt de arbeid: W = I1M21I2.

Wanneer men de 1ste

spoel naar oneindig verplaatst wordt de arbeid: W = I2M12I1.

W = W als I1M21I2 = I2M12I1 M12 = M12 = M

L1L2 = M12.M21 = M² M = (met M de wederzijdse inductiecoëfficiënt)

___________________



Elektriciteit

12

c) Koppelingscoëfficiënt of koppelfactor:

Wanneer de spoelen van elkaar geplaatst worden zullen de fysische fluxen door beide

spoelen niet meer dezelfde zijn. Er ontstaat een lekflux: M = k. (met k tussen 0 en 1)


Zelfinductiecoëfficiënt L L = Henry (H

= Wb/A)

Definitie

Wederzijdse

inductiecoëfficiënt

van twee spoelen

M M = Henry (H

= Wb/A)

Ja

Gekoppelde flux van

twee spoelen

¹¹ º

¸©©ª

¨¹¹ º

¸©©ª

¨ s

s!¹¹

º

¸©©ª

¨

=

=

2

1

2

1

2

1

I

I

L

M

M

L

Weber

(Wb)

Ja

Koppelingscoëfficiënt K21

L Lk M !

Wederzijdse

inductiecoëfficiënt

van twee zeer lange

spoelen

M

l

A N N M

2210Q

! Henry (H

= Wb/A)

Ja

13. Berekening van zelfinductie- en wederzijdse inductiecoëfficiënten:

a) Zelfinductiecoëfficiënt van een solenoïde:

Bewijs:

Voor een oneindig lange spoel is A verwaarloosbaar: L =

(met Rm de reluctantie).

Eenheid van reluctantie: [Rm] = H-1

.

____________________

b) Zelfinductiecoëfficiënt van een toroïdale spoel:

Bewijs:

B = a = R1 R2 << R0 =

B =

L =

____________________



Elektriciteit

13

c) Wederzijdse inductiecoëfficiënt van twee zeer lange solenoïden:

Bewijs:

Stroom I1 door de buitenste solenoïde:

1 = B1.A2 =

21 = N2.21 = N2.B1.A2 =

M21 =

Stroom I2 door de binnenste solenoïde:

2 = B2.A1 =

12 = N1.12 = N1.B2.A1 =

M12 =

De koppelfactor wordt dan: k =

____________________

Naam Grootheid Formule Eenheid Te bewijzenZelfinductiecoëfficiënt

van een solenoïde

L L = Henry (H

= Wb/A)

Ja

Magnetische

reluctantie

Rm

A

l m

Q!

1/Henry

(1/H)

Definitie

Zelfinductiecoëfficiënt

van een toroïdale

spoel

L L = Henry (H

= Wb/A)

Ja

14. Magnetisch gedrag van materialen:

a) Magnetisatie van materialen:

Diamagnetische materialen:

Geen permanente dipoolmomenten.

Onder invloed van een uitwendig magnetisch veld ontstaan geïnduceerde

dipoolmomenten die tegenwerkend zijn aan het oorspronkelijke veld ( daalt).

Paramagnetisch materiaal:

Hebben wel een permanent magnetisch dipoolmoment.

Onder invloed van een uitwendig magnetisch veld richten deze zich volgens het veld.

Er worden ook magnetische dipoolmomenten geïnduceerd tegen (kleiner dan de

permanente, waardoor stijgt).

Ferromagnetische materialen:

Paramagnetische materialen maar met een grotere graad van permanente magnetische

dipolen waardoor de magnetische inductie nog meer stijgt (boven de

Curiertemperatuur worden deze materialen paramagnetisch).

Magnetisatie: graad van magnetisering: .



Elektriciteit

14

b) Magnetische veldsterkte: Hoe wordt magnetische veldsterkte ingevoerd

Bewijs:

1. Beschouw een oneindig lange solenoïde met een diamagnetische kern: er worden

magnetische momenten geïnduceerd tegengesteld gericht aan de magnetische

inductie (ook is tegengesteld).

Op de doorsnede ontstaan elementaire stroomkringen met magnetisch moment :pm = ie.A (met ie de stroom van een elementaire stroomkring).

Inwendig worden deze stromen gecompenseerd zodat er enkel aan de rand van deze

doorsnede een oppervlakte stroom ie vloeit (oppervlaktestroom van Ampère,

tegengesteld aan de stroom I door de solenoïde).Gevolg: de kern kan vervangen worden door een oppervlakte stroom met

tegengestelde zin als de stroom door de solenoïde waardoor de inductie zal verkleinen.

2. Beschouw een oneindig lange solenoïde met een paramagnetische kern: de

permanente dipoolmomenten worden gelijk gericht met de magnetische inductie .

Er ontstaat een oppervlaktestroom ie die dezelfde zin heeft

als de stroom I door de solenoïde.

Gevolg: de kern kan vervangen worden door een

oppervlakte stroom met dezelfde zin als de stroom door de

solenoïde waardoor de inductie zal vergroten.

Stelling van de lijnintegraal:

Diamagnetisch materiaal: ie < 0 Paramagnetisch materiaal: ie > 0.

MV = (met V = A.l)

MV =

Bl = µ0 (NI + Ml)

Diamagnetisch materiaal: M < 0 Paramagnetisch materiaal: M > 0.

H is de magnetische veldsterkte.

Hl = NI H = (Eenheid magnetische veldsterkte: [H] = A/m)

____________________

Opmerking: H is een karakteristiek van het veld welke onafhankelijk is van het beschouwde

materiaal.



Elektriciteit

15

c) Magnetische permeabiliteit:

Formule voor de magnetische inductie in functie van de magnetische veldsterkte:

Magnetische susceptibiliteit:

Feromagnetisch: is groot.

Diamagnetisch: is klein maar groter dan 0.

Paramagnetisch: is kleiner dan 0.

Relatieve permeabiliteit: met de inductie die optreedt zonder kern.

d) Stelling van de li jnintegraal:

Alle formules voor magnetische velden in het vacuüm zijn ook geldig in aanwezigheid van

materialen als we µ0 vervangen door µa = µ0µr.

Stelling van de lijnintegraal: .De wet van Ampère:


Magnetische

veldsterkte

H H = Ampère/meter

(A/m)

Ja

Magnetische

veldsterkte

H

QQ

B M

B

l

N I H !!!

0

Ampère/meter

(A/m)

Ja

Magnetischesusceptibiliteit Definitie

15. Magnetische energie:

a) Magnetische energie opgestapeld in een spoel:

Bewijs:

Een spoel met een stroom I wekt een magnetisch veld op waarin een zekere magnetische

energie opgestapeld is. Bij verplaatsing van een spoel met een stroom I is de arbeid:

W = I.

Bij wijziging van de stroom wijzigt de flux waardoor een arbeid moet geleverd worden die

omgezet wordt in magnetische energie die opgestapeld wordt in het veld.

dWM = i.d (met = L.i voor de gekoppelde flux).

Wanneer L constant is: d = L di dWM = Li di

Bij een stroom van 0 tot I: WM =

WM =

____________________



Elektriciteit

16

b) Magnetische energie opgestapeld in een stel gekoppelde spoelen:

Meewerkende koppeling:

Tegenwerkende koppeling:

c) Zelfinductiecoëfficiënt van een serieschakeling van twee spoelen:

Meewerkende koppeling:

L = L1 + L2 + 2M

Tegenwerkende koppeling:

L = L1 + L2 - 2M

Naam Grootheid Formule Eenheid Tebewijzen

Magnetische energie

in een spoel

WM Joule (J) Ja

Magnetische energie

in een stel

gekoppelde spoelen

WM Joule (J) Nee

Zelfinductiecoëfficiënt

van een

serieschakeling van

twee spoelen

L L = L1 + L2 + 2M (meewerkend)

L = L1 + L2 ± 2M

(tegenwerkend)

Henry (H) Nee

16. Hysteresisverschijnselen bij ferromagnetische en ferrimagnetische materialen:

De magnetische susceptibiliteit (en bijgevolg de permeabiliteit) bij ferro- en

ferrimagnetische materialen is niet constant.

Een oneindig lange solenoïde met een kern (ferro- of ferri):

Veldsterkte: H = NI/l.

Magnetische inductie: (eerste term is klein tegen over de tweede term) (met m niet constant).

Grafieken:

Maagdelijke kromme (inductie nul vooraleer het veld H aangebracht werd):De magnetisatie neemt vanaf een bepaalde

veldsterkte niet meer toe: alle magnetische

dipoolmomenten zijn gericht volgende het

uitwendig aangelegde veld (verzadiging).

21

2

22

2

11

22 I M I

I L I LW

M s!

21

2

22

2

11

22 I M I I L I LW

M s!

22

² I L I W

M

]!!

21

2

22

2

11

22 I M I

I L I LW

M s!



Elektriciteit

17

De residuele inductie (remanent magnetisme):

Het hysterische verlies is afhankelijk van:

Het materiaal.

Het volume.

De maximale inductie.

De snelheid v.

Soorten ferromagnetische materialen:

Harde: brede hysteresislus (grote remanente inductie en hoog coërcitief veld, goed

voor permanente magneten). Zachte: smalle hysteresislus (zacht ijzer).

17. Permanente magneten:

Een permanente magneet kan men bekomen door een ferromagnetische kern te

magnetiseren tot verzadiging optreedt. Daarna lat men de uitwendige aangebrachte

veldsterkte tot nul naderen. Er blijft dan een zeker remanent magnetisme over.

18. Draagkracht van een magneet:

Formule voor de draagkracht van een magneet:

F =

Samenvatting - Hoofdstuk 4

Documents

Transcript of Samenvatting - Hoofdstuk 4