vwo A/C Samenvatting Hoofdstuk 5

Wortelsx² = 10x = √10 v x = -√10kwadrateren is hetzelfde als tot de tweede macht verheffen√10 = 2√10√10 = 10

√10 ≈ 3,16(√10)² = 10daarom heet √10 ook wel de tweedemachtswortel van 10

GR1 y1 = x2 en y2 = 10

plotten intersect coördinaten v/h snijpunt

2 optie x√ gebruiken

5.1

Voor het oplossen van de vergelijking xn = p kun je 4 verschillende situaties onderscheiden.

5.1

x³ = 3

x = 3

x ≈ 1,44

1 p is positief ( n = oneven )er is één oplossingx = p = n√p

1,44

n = onevengrafiek is puntsymmetrisch in (0, 0)

5.1

x³ = -3

x = -3

x ≈ -1,44-1,44

2 p is negatief ( n = oneven )er is één oplossingx = p = n√p

5.1

x4 = 3

x = 3¼

x ≈ 1,32 v x ≈ -1,32

-1,32 1,32

3 p is positief ( n = even )er zijn twee oplossingenx = p = n√p v x = -p = - n√p

n = evengrafiek is lijnsymmetrisch in de y-as

5.1

x4 = -3

x = -3¼

Er is geen oplossing

4 p is negatief ( n = even )er zijn geen oplossingen

5.1

y

-1 3

f

g

los op (exact)x² < 2x + 3f(x) = x² g(x) = 2x + 3f(x) = g(x)x² = 2x + 3x²- 2x – 3 = 0( x + 1 )( x - 3 ) = 0x = -1 v x = 3aflezen uit de schets-1 < x < 3

0x

werkschema bij het oplossen van ongelijkheden1 schets de grafieken van f en g2 los de vergelijking f(x) = g(x) op3 lees uit de schets de oplossingen af

lees het antwoord af op de x-as f(x) < g(x) wanneer ligt de grafiek van f onder die van g

5.1

Bij het oplossen van de ongelijkheid f(x) < g(x) waarbij je niet exact te werk hoeft te gaan, mag je de vergelijking f(x) = g(x) grafisch-numeriek oplossen (GR)

los op (2 decimalen)x³ - 2x² > 3x – 4voer iny1 = x³ - 2x²

y2 = 3x - 4

optie intersectx ≈ 1,56 v x = 1 v x ≈ 2,56aflezen uit de schets-1,56 < x < 1 v x > 2,56

y

-1,56

2,56

y1

y2

0 x

1

lees het antwoord af op de x-asf(x) > g(x) wanneer ligt de grafiek van f boven die van g

5.1

Lineaire groei en exponentiële groei

5.2

Bij de formule N = b · gt onderscheiden we 2 gevallen

groeifactoren kleiner dan 0 of gelijk aan 1 hebben geen betekenis

Ox

y

Ox

y

g > 1 0 < g < 1

11

5.2

Groeifactor en groeipercentageNeemt een hoeveelheid per tijdseenheid met een vast percentage toe of af, dan heb je met exponentiële groei te maken.Neemt een bedrag met 250 euro per jaar met 4,5% toe,dan is de groeifactor 1,045.100% + 4,5% = 104,5% × 1,045formule : B = 250 × 1,045t

Dus bij een groeifactor van 0,956is de procentuele afname 100% - 95,6% = 4,4%.We zeggen dat het groeipercentage - 4,4% is.

Bij een verandering van p% per tijdseenheid hoort exponentiële groei met groeifactor g = 1 + p/100.

Bij een groeifactor g per tijdseenheid hoort een procentuele verandering van p = ( g – 1 ) × 100%.

5.2

Rekenregels van machten

bij delen trek je de exponenten van elkaar af

bij macht van een macht vermenigvuldig je de exponenten

bij de macht van een product krijg je een product van machten

a4 = a · a · a · a

a2 · a3 = a · a · a · a · a = a5

= = a2

(a2)3 = a2 · a2 · a2 = a6

(ab)3 = ab · ab · ab = a3b3

a5 a · a · a · a · aa3 a · a · a

bij vermenigvuldigen de exponenten optellen

5.3

Algemeen

ap · aq = ap + q

= ap – q

(ap)q = apq

(ab)p = apbp

ap

aq

5.3

4° = 1a° = 1 (a ≠ 0)2-1 = ½8-1 = ⅛a-n = (a ≠ 0)

de rekenregels voor machten gelden ook bij negatieve exponenten

Verhuist een macht van de teller naar de noemer of omgekeerd, dan verandert de exponent van teken.

1

an

Negatieve exponenten

5.3

x = √xx = √x4 = √4 = 264 = √64 = 4

algemeen: a = n√aook geldt: a = √a (a > 0)p

qq

3

3

Machten met gebroken exponenten

p

5.3

als er een getal a bestaat zo, dat P = a · Qdan is P evenredig met Qhet getal a heet de evenredigheidsconstante

y is evenredig met xn betekent dat er een getal a is met y = a · xn

Evenredig

5.3

• is g de groeifactor per tijdseenheid, dan is de groeifactor per n tijdseenheiden gelijk aan gn

• bij een groeifactor van 1,5 per uur• hoort een groeifactor van 1,524 ≈ 16834,11 per dag• en een groeifactor van 1,5¼ ≈ 1,11 per kwartier• 1,11 111% toename per kwartier is 11%• het omzetten van groeipercentages naar een andere tijdseenheid gaat via

groeifactoren

Groeiregels omzetten naar een andere tijdseenheid

5.4

herkennen van exponentiële groei bij een tabel

1 bereken voor even lange tijdsintervallen het quotiëntaantal aan het eind van het interval

aantal aan het begin van het interval

2 verschillen de quotiënten weinig, dan mag je uitgaan van exponentiële groei

Werkschema:

5.4

• de verdubbelingstijd bij exponentiële groei is de tijd waarin • de hoeveelheid verdubbelt• bij groeifactor g vind je de verdubbelingstijd T door de• vergelijking gT = 2 op te lossen

• de halveringstijd is de tijd waarin de hoeveelheid• gehalveerd wordt• bij groeifactor g bereken je de halveringstijd T door de• vergelijking gT = ½ op te lossen

Verdubbelings- en halveringstijd

5.4