havo/vwo D Samenvatting Hoofdstuk 2

Kansschaal

2.1

Kansdefinitie van Laplace

P(gebeurtenis) =

Je mag deze regel alleen gebruiken als alle uitkomsten even waarschijnlijk zijn.

Bij een verkeerslicht zijn de uitkomsten rood, oranje en groen niet even waarschijnlijk, want het verkeerslicht staat langer op rood dan op oranje.

Bij het gooien met een dobbelsteen is elk van de 6 uitkomsten even waarschijnlijk.

Dus P(meer dan 4 ogen) = hierbij zijn 5 en 6 ogen gunstig

(Hiermee is de kans exact berekend, bij een exact antwoord mag je niet benaderen.)

N(gunstige uitkomsten)

N(mogelijke uitkomsten)

2 1

6 3

2.1

Samengestelde kansexperimenten

Het aantal gunstige uitkomsten bij een samengesteldkansexperiment met dobbelstenen of geldstukken krijg je bij

• twee kansexperimenten met een rooster• drie of meer experimenten met systematisch noteren en/of handig tellen

2.1

Empirische en theoretische kansen

Wet van de grote aantallenDoor een kansexperiment heel vaak uit te voeren, komt de relatieve frequentie van een gebeurtenis steeds dichter bij de kans op die gebeurtenis te liggen.

1. Emperische kansenv.b. : P(meisje bij geboorte) en P(punaise met punt omhoog)Empirisch betekent ‘op ervaring gegrond’.Empirische kansen krijg je door een groot aantal waarnemingen te gebruiken.Empirische kansen bereken je door relatieve frequenties te gebruiken.

2. Theoretische kansenBij veel kansexperimenten kun je van te voren zeggen wat de kans op een gebeurtenis is .v.b. : P(6 ogen) bij een worp van een dobbelsteen is Je gebruikt de kansdefinitie van Laplace.

3. Subjectieve kansHoe groot is de kans dat voor 2010 je sneller loopt dan 9 seconden over de 100m. ? onmogelijk

frequentie gebeurtenistotale frequentie

1

6

2.2

Simuleren met de GR.

TI

MATH-PRB-menu randIntMet randInt(1,6,10) krijg je 10 gehele toevalsgetallen van 1 t/m 6.

Casio

OPTN-NUM-menu Intg enOPTN-PROB-menu Ran#Met Intg(4Ran# + 1) krijg je 1 van de getallen van 1, 2, 3 of 4.

2.2

Voorwaardelijke kansBij een voorwaardelijke kans beperk je je tot een deelgroep,je moet dan delen door de frequentie van die deelgroep.

afspraak : ‘Bereken de kans op ……’ rond je af op 3 decimalen

KruistabellenHeb je bij onderzoeksresultaten te maken met 2 kenmerken, dan is het verstandig de gegevens in een kruistabel te verwerken.

Vervolgens zijn allerlei kansberekeningen eenvoudig te maken.

Onafhankelijke gebeurtenissenDe gebeurtenissen A en B zijn onafhankelijk alsP(A onder voorwaarde B) = P(A).

Gebeurtenis B heeft geen invloed op gebeurtenis A onafhankelijk.Gebeurtenissen die niet onafhankelijk zijn afhankelijk.

2.3

opgave 27

a) P(minstens 17 jaar) = ≈ 0,165

b) P(wel 17, maar niet 18) = ≈ 0,136

c) P(van 15 jaar ook 18 jaar) = ≈ 0,349

d) P(van 16 jaar ook 18 jaar) = = 0,5

e) P(van 19 jaar binnen een jaar verdwijnt) = ≈ 0,238

f) P(van 16 jaar binnen drie jaar verdwijnt) = ≈ 0,644

82496

82 - 59496

59169

59118

42 - 3242

118 - 42118

2.3

Kansen en combinatiesP(2r, 2w, 1b) = ?

Volgens de kansdefinitie van Laplace is die kans

Het aantal mogelijke uitkomsten is het aantal manieren om 5 knikkers uit de totaal 15 knikkers te pakken

dat kan op manieren.

Het aantal gunstige uitkomsten is het aantal manieren om 2r uit de 8r, 2w uit 4w en 1b uit 3b te pakken

dat kan op

P(2r, 2w, 1b) = ≈ 0,168

N(gunstige uitkomsten) N(mogelijke uitkomsten)

15 5

8 2

4 2

3 1

8 2

4 2

3 1

15 5

. .

. .

manieren

8+4+3=15

2+2+1=5

2.4

Het vaasmodel

Bij veel kansberekeningen kan het handig zijn het kansexperiment om te zetten in het pakken van knikkers uit een geschikt samengestelde vaas vaasmodel

2.4

De somregel

Als de gebeurtenissen geen gemeenschappelijke uitkomsten hebben,dus als de gebeurtenissen elkaar uitsluiten.

Hebben twee gebeurtenissen wel gemeenschappelijke uitkomsten, dan geldt de somregel niet.

Zo is P(som is 4 of product is 4) niet gelijk aan,P(som is 4) + P(product is 4) want de gebeurtenissen ‘som is 4’ en ‘product is 4’ hebben de uitkomst gemeenschappelijk

Voor elkaar uitsluitende gebeurtenissen G1 en G2 geldt de somregel :

P(G1 of G2) = P(G1) + P(G2)

2.5

De complementregel

P(gebeurtenis + P(complement-gebeurtenis) = 1

P(gebeurtenis) = 1 – P(complement-gebeurtenis)

P(minder dan 8 witte) = P(0 w) + P(1 w) + P(2 w) + P(3 w) + P(4 w) + P(5 w) + P(6 w) + P(7 w) = 1 – P(8 witte)

2.5

Kansbomen

Werkschema: het berekenen van kansen bij samengestelde kansexperimenten

1. Maak in gedachten (een gedeelte van) een kansboom.

2. Vermenigvuldig de kansen die je tegenkomt bij het doorlopen van de kansboom.

2.6

De product-, de som- en de complementregel

De productregelVoor de gebeurtenis G1 bij het ene kansexperiment en de

gebeurtenis G2 bij het andere experiment geldt :

P(G1 en G2) = P(G1) · P(G2)

De somregelVoor elkaar uitsluitende gebeurtenissen G1 en G2 geldt :

P(G1 of G2) = P(G1) + P(G2)

De complementregelP(gebeurtenis) = 1 – P(complement–gebeurtenis)

2.6