vwo B Samenvatting Hoofdstuk 8

Bewerkt door P. G. v.d. Veen

Gelijkvormige driehoeken

Bij gelijkvormige figuren geldt :1 De overeenkomstige hoeken zijn gelijk.2 De zijden van de figuren passen in een verhoudingstabel .

DFEFDE

ACBCAB2

3

3

4,5

1,8

2,7x 1,5

ad 1) A = D , B = E , C = F

ad 2)

dus gelijkvormig∆ABC ∾ ∆DEF

2 driehoeken zijn gelijkvormig als ze twee

paar gelijke hoeken hebben

*

*

□

□

∾ betekent gelijkvormig

8.1

Hoe herken je gelijke hoeken ?Bij snijdende lijnen zijn overstaande hoeken gelijk.

*

*

□□

Bij evenwijdige lijnen horen gelijke Z-hoeken.

Bij evenwijdige lijnen horen gelijke F-hoeken.

□

□

□

□

8.1

Snavel- en zandloperfigurensnavelfiguur

A

B

C

D

E

DEBEDB

ACBCAB

zandloperfiguur

K L

M

N O

OMNMON

KMLMKL

∆ABC ∾ ∆DBE ∆KLM ∾ ∆ONM

A = DB = BC = E

K = OL = NM = M

8.1

Zandloperfiguren zandloperfiguur

K L

M

N O

∆KLM ∾ ∆ONM

8.1

Gegeven KO=9

5

3

OMNMON

KMLMKL

Zandloperfiguren zandloperfiguur

K L

M

N O

∆KLM ∾ ∆ONM

8.1

Gegeven KO=9

5

3

p

9-p OMNMON

KMLMKL

pNM3

9-pLM5

Zandloperfiguren zandloperfiguur

K L

M

N O

∆KLM ∾ ∆ONM

8.1

Gegeven KO=9

5

3

p

9-p OMNMON

KMLMKL

pNM3

9-pLM5

Hieruit volgt:

275 3 (9 ) 5 27 3

8p p p p p

Oppervlakte methode

8.1

A B

CD

Gebruik: Opp. van een driehoek is:

Basis x ½ HoogteF

Dus: AB x CF = BC x AD AB=8, CF=6, BC=10

Dus AD=4.8

Congruente driehoekenAls 2 driehoeken gelijkvormig EN even groot zijn dan zijn de driehoeken congruent.

8.1

Definities

Een definitie is een afspraak.

Definitie van gelijkbenige driehoek :Een gelijkbenige driehoek is een driehoek met 2 gelijke zijden.

Definitie van gestrekte hoek :Een gestrekte hoek is een hoek van 180°.

Definitie van parallellogram :Een parallellogram is een vierhoek waarvan beide parenoverstaande zijden evenwijdig zijn.

Definitie van ruit :Een ruit is een vierhoek met vier gelijke zijden.

8.2

Stellingen

Een stelling is een eigenschap of bewering die te bewijzen is.

Stelling gelijkbenige driehoek :Als in een driehoek twee zijden gelijk zijn, dan zijn de tegenoverliggende hoeken ook gelijk.Als in een driehoek twee hoeken gelijk zijn, dan zijn detegenoverliggende zijden ook gelijk.

Stelling van overstaande hoeken :De overstaande hoeken bij twee snijdende lijnen zijn gelijk.

Stelling van hoekensom driehoek :De som van de hoeken van een driehoek is 180°.

8.2

1 Formuleer wat gegeven is voor een concrete situatie.2 Noteer wat bewezen moet worden voor de gekozen situatie.3 Geef het bewijs. Vermeld hierbij de definities en stellingen die je gebruikt.

Werkschema : het bewijzen van een stelling

8.2

De middelloodlijn van een lijnstuk is de lijn door het midden van dat lijnstuk die loodrecht op dat lijnstuk staat.

A

B

∙

∙

=

=

De bissectrice van een hoek is delijn die de hoek middendoor deelt.

∙A

∙

∙∙∙

Definitie van middelloodlijn:

Definitie van bissectrice:

8.2

Een hoogtelijn in een driehoek isde loodlijn vanuit een hoekpunt op de overstaande zijde.

A B

CD

Een zwaartelijn in een driehoek isde lijn die gaat door een hoekpunten het midden van de overstaande zijde.

A B

C

M

=

=

Definitie van hoogtelijn:

Definitie van zwaartelijn:

8.2

Middelloodlijnen in een driehoek

A B

C

| |

=

= v

v

In een driehoek gaan de 3 middelloodlijnen door één punt.Dat punt is het middelpunt vande omgeschreven cirkel van dedriehoek.

M

8.3

Bissectrices in een driehoek

A B

C

°°

x x

∙∙

In een driehoek gaan de driebissectrices door één punt.Dat punt is het middelpunt vande ingeschreven cirkel van de driehoek.

M

8.3

Zwaartelijnen in een driehoek

A B

C

| |

=

= v

vZ

DE

F

De drie zwaartelijnen van een driehoekgaan door één punt, het zwaartepunt.En verdelen elkaar in stukken diezich verhouden als 2 : 1.

(2)

(1)

8.3

Hoogtelijnen in een driehoek

A B

C

D

E

F

De drie hoogtelijnen van een driehoek gaan door één punt.

8.3

Hoogtelijnen door HZwaartelijnen door ZMiddellloodlijnen door MBissectrices door B: M,Z,H liggen op één lijn. HZ=2 x ZM

Stelling van Thales:

• De omtrekshoek in een cirkel is 90°

Stelling van Thales:

• De omtrekshoek op een cirkel is • altijd de helft van de basis hoek.

Stelling van Thales:

• De omtrekshoek op een cirkel is • altijd de helft van de basis hoek.

Koordenvierhoeken

Een koordenvierhoek is een vierhoek waarvande hoekpunten op één cirkel liggen.

Koordenvierhoekstelling :Als ABCD een koordenvierhoek is, dan is desom van elk paar overstaande hoeken 180°.

Omgekeerde koordenvierhoekstelling :Als in een vierhoek de som van een paaroverstaande hoeken 180° is, dan is de vierhoek een koordenvierhoek.

∙M

AB

C

D

8.3