havo/vwo D Samenvatting Hoofdstuk 7

Getallenrijen

Een recursieve formule van een rij geeft aan hoe elke termuit één of meer voorafgaande termen volgt.

Bij een recursieve formule vermeld je de startwaarde.

vb. un = un – 1 + 160

7.1

Het rijen-invoerscherm van de GRRij van FibonacciElke term is de som van de twee voorafgaande termen.u3 = u2 + u1

un = un – 1 + un - 2

7.1

opgave 10

un = un – 1 + 5n met u0 = 100

vn = vn – 1 + n2 met v0 = 10

a) TI

Voer in nMin = 0

u(n) = 0,5u(n – 1) + n2

u(nMin) = 100

u0 = 100 , u1 = 51 , u2 = 29,5 ,

u3 = 23,75 , u4 = 27,875 , …

De kleinste term is u1.

b) u7 ≈ 76,73

c) u16 ≈ 454 en u17 ≈ 516.

Vanaf de 18e term is un > 500.

Casio

Voer in an – 1 = 0,5an – 1 + (n + 1)2

start: 0

a0: 100

a0 = 100 , a1 = 51 , a2 = 29,5 ,

a3 = 23,75 , a4 = 27,875

De kleinste term is u3

7.1

Rekenkundige rijenEen rekenkundige rij is een rij waarvan het verschil van twee

opeenvolgende termen steeds hetzelfde getal is.

Van een rekenkundige rij met beginterm u0 en verschil v is

• de directe formule un = u0 + vn

• de recursieve formule un = un – 1 + v met beginterm u0.

De somrij van een rekenkundige rij

Bij de rij un hoort de somrij Sn = u0 + u1 + u2 + u3 + … + un.

Voor de rekenkundige rij un geldt

som rekenkundige rij = ½ · aantal termen · (eerste term + laatste term)

00

1( 1)( )

2

n

k nk

u n u u

7.2

Meetkundige rijen

Een meetkundige rij is een rij waarbij het quotiënt van tweeopeenvolgende termen steeds hetzelfde getal is.

Van een meetkundige rij met beginterm u0 en factor r is

• de directe formule un = u0 · rn

• de recursieve formule un = r · un – 1 met beginterm u0.

De somrij van een meetkundige rij

Sn =

Voor een meetkundige rij un geldt

som meetkundige rij =

10

0

(1 )

1

nn

kk

u ru

r

0 1

1nu u

r

eerste term(1 – factoraantal termen) 1 - factor

7.2

De formule un = a · un – 1 + b

Bij een lineaire differentievergelijking van de eerste orde hoort eenrecursieve formule van de vorm un = aun – 1 + b.

Je kunt de termen van de bijbehorende rij un doorrekenen

• met ANS op het basisscherm• door de formule in te voeren op het rijen-invoerscherm en de termen in een tabel zetten• door de bijbehorende tijdgrafiek te plotten en deze met de trace-cursor te doorlopen.

Je kunt de puntenrij in een Oxy-assenstelsel tekenen.De punten (un – 1, un) liggen op de lijn y = ax + b.

De webgrafiek bestaat uit aaneengesloten verticale en horizontalelijnstukken afwisselend op de lijnen y = ax + b en y = x.

7.3

Convergeren en divergeren

De lijnen y = ax + b en y = x hebben een snijpunt bij

Deze x-coördinaat heet het dekpunt van de rij un = aun – 1 + b

constante rij:heeft het dekpunt als startwaarde

rij convergeert: bij een grenswaarde is er een stabiel evenwicht

rij divergeert:als er geen grenswaarde is dan is er een instabiel evenwicht.

1

bx

a

7.3

De directe formule van de rij un = aun – 1 + b

7.3

Prooi-roofdiermodellenBij een prooi-roofdier cyclus hoort een tijdgrafiek en een prooi-roofdierdiagram.Bij een prooi-roofdiermodel hoort een stelsel van twee differentie-vergelijkingen.In het model hieronder is Pt het aantal prooidieren op tijdstip t

en Rt het aantal roofdieren op tijdstip t.

Pt = 1,18Pt – 1 – 0,003Rt – 1Pt – 1

Rt = 0,94Rt – 1 + 0,0006Pt – 1Rt – 1

met P0 = 120 en R0 = 65.

Je kunt het model met de GR doorrekenen en tijdgrafieken plotten.

7.4

opgave 62

a) (0,25 – 0,0015R)P = 0

0,25 – 0,0015R = 0

0,0015R = 0,25

R ≈ 167

(-0,03 + 0,00004P)R = 0

-0,03 + 0,00004P = 0

0,00004P = 0,03

P = 750

b) De populaties veranderen dan niet meer,

dus steeds is Pt = 750 en Rt = 167.7.4

Een model van een griepepidemieHet verloop van een griepepidemie kan beschreven worden methet model hieronder.

Hierin is Gt het aantal mensen dat op tijdstip t nog niet de griep

heeft gehad, het aantal mensen dat ziek is op tijdstip t en lt het aantal

mensen dat op tijdstip t immuun is.

7.4