havo/vwo D Samenvatting Hoofdstuk 1

Telproblemen overzichtelijk weergeven.

• Boomdiagram.• Wegendiagram.• Rooster maken.• Alle mogelijkheden systematisch uit schrijven.

Hoe maak je een boomdiagram ?

• Zoek uit hoeveel takken er bij de eerste keuze horen, deze takken vertrekken uit het beginpunt.

• Zet de keuzemogelijkheden langs de takken.• Zet de volgorde achter de laatste takken.

1.1

v.b. Tenniswedstrijd 2 gewonnen sets.1e set 2e set 3e set

N wint

N wint

N wint

N wint

N wintG wint

G wint

G wint

G wint

G wint

N-N

N-G-N

N-G-G

G-N-N

G-N-G

G-G

N-G-G

G-N-G

geef aan hoe G in 3 sets wint

1.1

Wegendiagram

∙ ∙ ∙ ∙soep

cocktail

kip

ham

schnitzel

pizza

ijs

meloen

1.1

Rooster maken

1211109876

111098765

10987654

9876543

8765432

7654321

654321som

Je gooit met een rode en een blauwe dobbelsteen

tel de ogen bij elkaar op, maak hiervan een rooster.

1.1

Systematisch de mogelijkheden noteren.

Er zijn 4 mogelijkheden om bij een worp met vier dobbelstenen in totaal 5 te gooien.

1112

1121

1211

2111

1.1

Halve competitie

Je speelt maar 1x tegen elkaar.

vb. Hoeveel wedstrijden spelen 4 teams

4 x 3 : 2 = 6 wedstrijden.

Hele competitie

Je speelt 2x tegen elkaar.

vb. Hoeveel wedstrijden spelen 4 teams

4 x 3 = 12 wedstrijden.

XXXXD

C-DXXXC

B-DB-CXXB

A-DA-CA-BXA

DCBA

XD-CD-BD-AD

C-DXC-BC-AC

B-DB-CXB-AB

A-DA-CA-BXA

DCBA

6 wedstrijden

12 wedstrijden

Je speelt niet tegen jezelf.

1.1

Wegendiagram

∙ ∙ ∙ ∙soep

cocktail

kip

ham

schnitzel

pizza

ijs

meloen

2 mogelijkheden 4 mogelijkheden 2 mogelijkheden

vermenigvuldigingsregel

2 x 4 x 2 = 16

1.2

De vermenigvuldigingsregelEen gecombineerde handeling die bestaat uit :

1. handeling I die op p manieren kan worden uitgevoerd2. en handeling II die op q manieren kan worden uitgevoerd3. en handeling III die op r manieren kan worden uitgevoerd

kan op p x q x r manieren worden uitgevoerd.

De vermenigvuldigingsregel of de somregelKan handeling I op p manieren en handeling II op q manieren,dan kan :

1. handeling I EN handeling II op p x q manieren.2. handeling I OF handeling II op p + q manieren.

1.2

Zonder herhaling

Uit 5 personen wordt er eerst een voorzitter gekozen en dan een secretarishet aantal manieren is

aantal = 5 x 4 = 20

eerst de voorzitter : keuze uit 5 personen

dan de secretaris : keuze uit 4 personen

1.2

Met herhaling

In Nederland zijn er nummerborden met 2 cijfers – 2 letters – 2 letters,hierbij zijn de klinkers A, E, I, O en U niet toegestaan.Het aantal mogelijke nummerborden is

aantal = 10 x 10 x 21 x 21 x 21 x 21 = 19.448.100

10 cijfers voor de eerste plaats

10 cijfers voor de tweede plaats

26 – 5 = 21 letters voor de derde plaats

26 – 5 = 21 letters voor de vierde plaats

enz.

1.2

Permutaties en faculteiten

Een ander woord voor rangschikking is permutatie

Het aantal permutaties van 3 uit 8,dus het aantal rangschikkingen van drie dingen die je uit 8 kiest, is 8 · 7 · 6

Het aantal permutaties van 4 uit 9 is9 · 8 · 7 · 6Het aantal permutaties van 9 uit 9 is9 · 8 · 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1de notatie voor dit product is 9! (faculteit)Het aantal permutaties van 9 dingen is 9!

Het aantal permutaties van n dingen, dus het aantal rangschikkingen van n dingen is n!

n ! = n · (n -1) · (n -2) · (n -3) · …… · 4 · 3 · 2 · 1

GRhet aantal permutaties

van 6 uit 10 is optie nPr

10 nPr 6 = 151 200

1.3

Rangschikking

Het aantal rangschikkingen van 5 stripboeken en 3 romans

Je kunt 5 stripboeken en 3 romans op :

8! manieren op een boekenplank rangschikken.

4! · 5! manieren rangschikken als de stripboeken naast elkaar moeten staan.

2 · 5! · 3! manieren rangschikken als de stripboeken en ook de romans naast elkaarmoeten staan.

Beschouw de stripboeken als één groep• Je hebt dan 4 dingen (3 romans en 1 groep stripboeken) die je op 4! manieren kunt rangschikken.• Binnen de groep van de stripboeken zijn er telkens 5! rangschikkingen.• In totaal heb je 4! · 5! rangschikkingen.

1.3

Permutaties van n dingen waarvan er p gelijk zijn

Het aantal permutaties van n dingen waarvan er p gelijk zijn

(en de rest verschillend is) is

Zo kun je de letters van het woord ADRIANA op manieren rangschikken.

De letters van het woord ALESSANRA kun je opmanieren rangschikken.

n! p!

7! 3!

9! 3! · 2!

1.3

Combinaties

Is bij het kiezen van 4 dingen uit 7 dingen de volgorde niet van belang,dan spreken we van het aantal combinaties van 4 uit 7.

Het aantal combinaties van 4 uit 7 noteren we als

spreek uit : ‘7 boven 4’

Het aantal combinaties van 4 uit 7, dus het aantal manieren om 4 dingen tekiezen uit 7 dingen zonder op de volgorde te letten

is

Hetaantal combinaties van r uit n, ofwel het aantal manieren om r dingen tekiezen uit n dingen zonder op de volgorde te letten,

is

7 4

7 4

n r

1.4

Combinaties vermenigvuldigen en optellen

Uit klas 4 vwo A wordt een comité van 5 leerlingen gevormdhet aantal mogelijke comités met

3 jongens is x = 29 920

3 jongens EN 2 meisjes, dus VERMENIGVULDIGEN

Minstens 4 jongens is x + x = 9207

4 jongens OF 5 jongens, dus OPTELLEN

12 3

17 2

12 4

17 1

12 5

15 jaar 16 jaar

jongen 8 4 12

meisje 10 7 17

18 11 29

17 0

3 van de 12 jongens

2 van de 17 meisjes

4 jongens + 1 meisje

5 jongens + 0 meisjes

1.4

Schema

Op hoeveel manieren kun je 5 dingen

kiezen uit 8 dingen.volgorde van belang ?

nee

aantal =

jaherhaling toegestaan ?

nee jaaantal = 8x7x6x5x4 aantal = 8x8x8x8x8

85

1.4

Rijtjes bestaande uit A’s en B’s

Dus er zijn = = 165 manieren Er zijn twee manieren om het eerste hokje te vullen en er zijn twee manieren om het volgende hokje te vullen, enzovoort.

Totaal zijn er 2 x 2 x 2 x …… x 2 = 211 = 2048 manieren

Het aantal rijtjes bestaande uit 4 A’s en 7 B’s is en ook

Het totale aantal rijtjes van 11 hokjes met in elk hokje een A of een B is 211

B A B A A B B B A B B

Het totale aantal rijtjes bestaande uit 4 A’s en 7 B’s vind je als volgt :

114

117

114

117

1.5

Routes in een rooster

Oost

Noord

A

B

C

∙

Hoeveel routes zonder omwegen zijn er mogelijk van A naar C via B ?

Van A naar B heb je te maken met een rijtje bestaande uit 1 N en 2 O’s

dat zijn = 3 mogelijkheden

Van B naar C heb je te maken met een rijtje bestaande uit 2 N’s en 3 O’s

dat zijn = 5 mogelijkheden

Het totale aantal manieren om van A via B naar C te gaan is dus

x = 3 x 5 = 15

∙

3 1

5 2

3 1 5 2

Van A naar BEN

van B naar Cdus

vermenigvuldigen.

∙

1.5

De driehoek van Pascal

• In de driehoek van Pascal is elk getal gelijk aan de som van de twee getallen die er schuin boven staan.

• Elk getal in de driehoek geeft het aantal routes om vanuit de top op die plaats te komen.

• In de 4e rij van de driehoek van Pascal staan de getallen

• De som van de getallen in de vierde rij is 24

4 0 4 1 4 2 4 3 4 4 , , , en

1

1 1

1 1

1 1

1 1

2

3 3

4 6 4

rij 0

rij 1

rij 2

rij 3

rij 4

1 = 20

2 = 21

4 = 22

8 = 23

16 = 24

1.5

1.5

Het binomium van Newton

1.5