Slingerstoten, B-Toets Floris Jonkman en Daan Kerstjens, 5D

Opdracht

Wij als adviseurs van de Koninklijke Nederlands Slingerstoot Bond (KNSliStoB) hebben de opdracht gekregen de nieuwe sport slingerstoten wetenschappelijk te onderzoeken. Het idee achter de sport is simpel: Je laat kogel A aan een touw boven je hoofd slingeren, wanneer deze op snelheid is laat je hem tegen kogel B, die op een paal staat, botsen. Hierdoor komt kogel B in beweging. De bedoeling is om kogel B zover mogelijk van de paal af te stoten. Gegevens

Voordat wij de theorie gaan behandelen zijn hier de variabelen waar wij de juiste waarde voor moeten kiezen: - Lengte van de slinger moet tussen de 30 cm en 80 cm zijn, waarin geen rek mag zitten. - Massa van kogel , voorwaarde tussen de 100 g en 1000 g

- Massa van kogel , voorwaarde tussen de 500 g en 1500 g - Omlooptijd van kogel , hierbij nemen we een reële aanname van T=0,5 s. In het echt verschilt dit per speler.

De gegevens die wel vast staan zijn: - Hoogte van de paal, 2,10 m - Valversnelling van 9,81 m/s

2

- Volledig elastische botsing, dus er ontstaat geen warmte-energie bij de botsing Theorie

Om een goed beeld te krijgen van alle krachten, snelheden en andere factoren die een rol spelen bij de uiteindelijke afstand van kogel hebben we het gehele proces in drie opeenvolgende onderdelen verdeeld:

1. Het slingeren van kogel

2. Het botsen van kogel tegen kogel 3. Het vallen van kogel Tot slot is er nog het onderdeel krachten.

Bij het behandelen van deze onderdelen wordt uitgegaan van ideale omstandigheden. Dat wil zeggen dat de luchtweerstand is verwaarloosd. Ook wordt de snelheid die de sporter bij het vooruit stappen creëert verwaarloosd. Het slingeren van kogel

Kogel zit vast aan een slinger die je boven je hoofd laat rondslingeren. De massa van kogel heeft als voorwaarde dat deze tussen de 100 g en 1000 g moet zijn. De lengte van de slinger heeft als voorwaarde tussen de 30 cm en 80 cm te zijn. Eerst kijken we naar de baansnelheid van kogel tijdens het rondslingeren. We spreken hier over een eenparig cirkelvormige beweging:

In deze formule is de baansnelheid (in m/s), de lengte van de slinger (in m) en de omlooptijd (in s). Voor de omlooptijd hebben wij zoals eerder vernoemd een reële aanname van 0,5 s genomen. Verder moet de kogel op snelheid komen. Het exacte aantal omwentelingen maakt niet uit, want wanneer hij bijvoorbeeld na 15 omwentelingen op snelheid is maakt het niet uit of hij daar nog 50 omwentelingen bij doet. Waar het uiteindelijk omdraait is om de kinetische energie en impuls van kogels die wordt overgebracht op kogel . De kinetische energie van kogel voor de botsing wordt weergegeven als:

(

)

In deze formule is de bewegingsenergie (in J), de massa van de kogel (in kg) en de de snelheid (in m/s). De

van deze formule is vervangen door de formule

van de baansnelheid.

Het botsen van kogel op kogel

Bij het botsen van kogel op kogel vindt er een overdracht van energie en impuls plaats. De snelheid van kogel na de botsing hangt af van de energie en de impuls van kogel . We spreken hier over een „Head-on‟ elastische botsing. Dit betekent dat kogel recht tegen kogel botst. Wanneer dit niet zo is wordt niet de maximale kracht in de goede richting er uitgehaald. Bij deze botsing geldt er behoud van impuls en behoud van kinetische energie. Aangezien de snelheid van kogel voor de botsing 0 is kan je die links in de formule weglaten: Behoud van impuls:

Behoud van kin. energie:

Deze twee vergelijking bevatten beide twee onbekenden. Namelijk en . Want de kan worden

uitgerekend door de formule voor baansnelheid . Om dit op te lossen moet de formule van behoud van impuls gesubstitueerd worden in de formule van behoud van kinetische energie. Hoe dit precies gaat kan je vinden in de bijlage. Uiteindelijk krijg je dit: ( )

( )

Dit is een tweedegraadsvergelijking die na het invullen van , en kan worden opgelost. Wanneer je dit

hebt ingevuld komen er twee waardes voor uit. Eén van deze twee is de juiste oplossing. Als je invult

samen met de , en in de wet van behoud van impuls kun je daarna oplossen.

Het vallen van kogel

Nu we hebben kunnen oplossen, kunnen we beginnen aan de analyse van het vallen van kogel . Vanaf nu

. Bij het slingerstoten gaat het om de horizontale snelheid. Voordat wij dit kunnen uitrekenen moeten we

eerst de tijd die kogel over het vallen doet weten. Dit kan worden uitgerekend met de bewegingsvergelijking van :

( )

In deze formule is ( ) de verticale afstand op tijdstip , de hoogte (in m), de tijd (in s) en

de 4,9 is afkomstig van

.

Deze formule schrijf je om zodat je kunt berekenen. Het antwoord bij 2,1 m is 0,65 seconden. Nu de valtijd bekend is kan horizontale afstand worden berekend door middel van: ( ) In deze formule is ( ) de horizontale afstand op tijdstip , de horizontale snelheid (in m/s)

dus en de tijd (in s). Voor de tijd moet de tijd worden ingevuld die bij vorige formule is

opgelost. In dit geval dus 0,65 s. Wij vermelden hierbij nogmaals dat de luchtweerstand is verwaarloosd. Wanneer we dit wel zouden meerekenen zou de valtijd korter zijn en dus de horizontale afstand ook omdat de wordt afgeremd door de luchtweerstand. Dan zou niet alle hoogte energie worden omgezet in kinetische energie. Krachten

Naast de energie en impuls omzettingen zijn er nog meer krachten. Wanneer de sporter de kogel ronddraait ontstaat er een spankracht. Bij een cirkelbeweging is deze spankracht de middelpuntzoekende kracht. De formule voor de middelpuntzoekende kracht is:

In deze formule is de middelpuntzoekende kracht (in N), de massa van de kogel (in kg), de baansnelheid (in

m/s) en de lengte van de slinger (in m). Wanneer de wordt vergroot, wordt de kleiner. Dus een langer touw

betekent een kleinere kracht. Wanneer de wordt vergroot, neemt de kwadratisch toe. Dus hoe hoger de

snelheid hoe grotere kracht. Dus wanneer de omloop tijd kleiner wordt, wordt de kracht groter. Wanneer de wordt vergroot, neemt de kracht ook toe. Uitkomst

Overwegingen die een rol spelen bij het bepalen van de massa van kogel , de massa van kogel en de lengte van de slinger zijn:

- De sporter moet de bal zover mogelijk kunnen schieten zodat: Er ten eerste een grotere spreiding van afstanden komt. Dat is makkelijker voor het aanwijzen van de

winnaar. Ten tweede dat het leuker wordt om naar te kijken.

Om aan deze eisen te voldoen (bij een aanname voor de omlooptijd van 0,5 seconden) moet kogel zo zwaar mogelijk zijn en kogel zo licht mogelijk. De lengte van het touw moet maximaal zijn. Ten eerste omdat dat de baansnelheid doet toenemen en ten tweede omdat dat de middelpuntzoekende kracht doet afnemen. Ook is het aantal omwentelingen van de sporter van belang. Hij moet de bal op snelheid zien te brengen. Wanneer hij eenmaal op snelheid is maakt het niet meer uit of hij de kogel nog een paar rondjes laat draaien. Wanneer de sporter met deze waarden de kogel rond zijn hoofd slingert, komt men op een afstand van 8,7 meter. Dan moeten we er op ingaan of met een omlooptijd van 0,5 seconden het niet te zwaar wordt voor de sporter.

, wat overeenkomt met 13,0 kg verticaal tillen. Dit is voor een getraind atleet te doen.

Een vraag die op het blad werd gesteld was: Wat als men de kogels vervangt voor kogels met een lagere dichtheid? Antwoord: Lagere dichtheid en zelfde volume is kleinere massa, dus minder grote afstand. Samengevat

De waarden die wij aanraden zijn: kogel 1000 g, kogel 500 g, slingerlengte 0,8 m. Met deze waarden komt kogel

8,7 meter bij een omlooptijd van 0,5 seconden. Naast dit raden wij een speelveld van 18 meter aan want bij een

omlooptijd van 0,3 seconden is de afstand van kogel al 14,5 meter.

Bijlagen

Bijlage 1 Afstand van kogel bij bepaalde waarden:

Val T r Vavoor Ma Mb Vana Vbna afstand

(Nr.) (s) (m) (m/s) (Kg) (Kg) (m/s) (m/s) (m)

1 0,5 0,5 6,29 0,1 0,5 -4,19 2,10 1,36

2 0,5 0,5 6,29 0,1 1 -5,14 1,14 0,74

3 0,5 0,5 6,29 0,1 1,5 -5,50 0,79 0,51

4 0,5 0,5 6,29 0,5 0,5 0,00 6,29 4,09

5 0,5 0,5 6,29 0,5 1 -2,10 4,19 2,72

6 0,5 0,5 6,29 0,5 1,5 -3,14 3,14 2,04

7 0,5 0,5 6,29 1 0,5 2,10 8,38 5,45

8 0,5 0,5 6,29 1 1 0,00 6,29 4,09

9 0,5 0,5 6,29 1 1,5 -1,26 5,03 3,27

10 0,5 0,8 10,06 0,1 0,5 -6,70 3,35 2,18

11 0,5 0,8 10,06 0,1 1 -8,23 1,83 1,19

12 0,5 0,8 10,06 0,1 1,5 -8,80 1,26 0,82

13 0,5 0,8 10,06 0,5 0,5 0,00 10,06 6,54

14 0,5 0,8 10,06 0,5 1 -3,35 6,70 4,36

15 0,5 0,8 10,06 0,5 1,5 -5,03 5,03 3,27

16 0,5 0,8 10,06 1 0,5 3,35 13,41 8,72

17 0,5 0,8 10,06 1 1 0,00 10,06 6,54

18 0,5 0,8 10,06 1 1,5 -2,01 8,05 5,23

Bijlage 2 Uitwerking substitutie slingerstoten Het gaat bij het slingerstoten om een “Head-on” elastische botsing. Volledig elastisch, dit betekent dat er geen warmte ontstaat bij de botsing. Bij dit behoud geldt er het behoud van impuls en behoud van kinetische energie. Behoud van impuls: ( ) ( ) Aangezien de voor de botsing nul

is kan je dit weglaten: ( ) ( )

Behoud van kin. energie: (

) (

)

We vermenigvuldigen alles met 2

zodat de

verdwijnt: (

) (

)

We zouden graag willen elimineren omdat we die juist moeten oplossen, daarom vervoegen wij het behoud

van impuls:

Dit vullen we in de formule van behoud van kin. Energie:

(

)

Eerst kwadrateren:

(

)

Dan ‟s tegen elkaar wegstrepen:

(

)

Alles maal :

Alles gedeeld door :

Dan haal je naar de andere kant:

Juist naast elkaar zetten:

Ontbinden: ( )

( )

Wanneer we hier goed naar kijken zien we dat dit de tweedegraadsvergelijking is. Dit kun je op lossen door middel van de Abc-formule, waarvan we van elk de waarde weten. ( )

( )