WISKUNDE IN DE MUZIEKEEN PRAKTISCHE OPDRACHT

VOOR WISKUNDE B/D

Door Bram LeemeijerOlivia The

Klas 5 VWOVak Wiskunde B/DDocent dhr. H. FeringaDatum 20 mei 2011

2

Inhoudsopgave

Inleiding·······································································

·····················4

Tonen en Boventonen·····························································5

Resonantie···································································

······5

Samenklanken·····························································

·················6

Zwevingen···································································

······6

Toonstelsels·································································

···················9Stemming van

Pythagoras·····································9Pythagoreïsche

komma·········································10Gelijkzwevende

stemming·································12De 12-toonsverdeling

Middentoonstemming············································14

De 31-toonsverdeling·············································15

Nog meer wiskunde in de muziek?

··························18

Slot················································································

·····················19

Bronvermelding··························································

·············20

Logboek·······································································

··················21

3

Inleiding

Overal om ons heen horen we muziek. Soms is het mooie muziek, soms is het geen mooie muziek. Dat hangt volledig af van onze smaak. Maar wat is muziek eigenlijk? Is het een verzameling willekeurige geluiden? Of zit er een systeem in? Kunnen wij bijvoorbeeld de muziek op een wiskundige manier benaderen?

4

Tonen en Boventonen

Muziek is geluid. Geluid is niets anders dan een trilling van de lucht. Als een geluid een vast aantal trillingen per seconde heeft (een vaste frequentie), dan noemen we dat een toon. En zo’n toon is uit te drukken in een grafiek:

Hoe korter de golflengte, hoe groter de frequentie, hoe hoger de toon klinkt. En hoe groter de amplitude, hoe sterker het geluid is.Een toon heeft een bepaalde frequentie. Als je de frequentie verdubbelt, klinkt de toon twee keer zo hoog; je hebt een boventoon. De eerste boventoon is gelijk aan de grondtoon (de toon waar je vanuit gaat). De tweede boventoon heeft een frequentie die twee keer zo groot is als de grondtoon. De derde boventoon driemaal. Enzovoort. (Dus: de nde boventoon heeft een frequentie van n × de grondtoon)

ResonantieAls je een snaar over een klankkast heen spant, wordt het geluid van de toon, die de snaar voortbrengt, versterkt. Maar niet alleen de geproduceerde toon wordt versterkt. Er ontstaan

5

ook andere tonen: de boventonen. Dit verschijnsel heet resonantie. De klankkleur (timbre) van een instrument wordt bepaald door het aantal boventonen dat je hoort door de resonantie. Resonantie ontstaat als een materiaal gaat meetrillen met de trilling die door een ander voorwerp is voortgebracht. Welke boventonen, en hoe sterk, wordt bepaald door het materiaal. Metaal zal veel resonantie hebben en hout weinig, omdat hout veel interne demping heeft.

Dat er alleen boventonen ontstaan door resonantie, valt simpel te bewijzen met een makkelijk experimentje:

Een piano bestaat uit een groot aantal strak gespannen snaren die geluid maken als er met een hamertje op wordt geslagen. Als je een toets van een piano zachtjes ingedrukt houdt, zal de snaar vrij komen te liggen, maar geen geluid voortbrengen. Als je nu een van de boventonen van die toon aanslaat, zal die toon blijven klinken door het trillen van de losliggende snaar. Je kan het ook met andere tonen proberen, maar dan zal de toon niet blijven klinken.

Samenklanken

Op dit moment hebben we alleen nog maar de grondtonen en hun boventonen behandeld. Samen zorgen die tonen voor een mooie volle klank. Maar in de muziek worden niet alleen die tonen gebruikt, maar ook andere tonen om een mooie volle klank te krijgen. Zo’n combinatie van tonen noemen we een interval. Een interval heeft te maken met de verhouding tussen de frequenties van de tonen.

frequentie verhouding

naam

1 : 2 octaaf2 : 3 reine kwint3 : 4 reine kwart4 : 5 grote terts5 : 6 kleine terts3 : 5 grote sext5 : 8 kleine sext

Deze verhoudingen tussen de tonen waren al bekend bij Pythagoras en zijn leerlingen. Zij spanden een snaar en lieten de hele snaar trillen; vervolgens een halve snaar en ze hadden een octaaf, een 2x zo hoge frequentie. Door dit in andere verhoudingen te doen, kregen zij ook andere intervallen die heel goed met elkaar samen klinken.

Zwevingen

6

Natuurlijk zijn er ook intervallen die niet goed met elkaar samenklinken, of zelfs door merg en been gaan. Ze zijn vals. Dit gebeurt als twee tonen verschillende frequenties hebben die toch heel dicht bij elkaar liggen.

Als je twee tonen neemt met exact dezelfde frequentie, zullen de toppen samenvallen en zullen de tonen elkaar dus versterken. Maar neem twee tonen met verschillende frequenties, bijvoorbeeld eentje met een frequentie van 110 Hz, en eentje met een frequentie van 104 Hz. Deze twee zullen niet goed samen klinken en gaan ‘zweven’.

De toppen zullen niet altijd samenvallen en soms valt een top zelfs samen met een dal, waardoor de toon zelfs wegvalt. Dat effect kan je heel goed in een grafiek laten zien:

De roze lijn heeft een frequentie van 110 Hz en de groenblauwe lijn heeft een frequentie van 104 Hz. De somgrafiek zie je hieronder.

7

Als je goed naar de somgrafiek kijkt, zie je dat de amplitude periodiek stijgt en daalt; daardoor lijkt de toon te zweven. Ook zie je dat er zes keer per seconde een zweving ontstaat, precies het verschil tussen 110 Hz en 104 Hz. De rode lijn heeft dus een frequentie van 3 Hz (de helft van het verschil).

Dit valt ook aan te tonen met formules. We doen eerst in algemene vorm. De eerste toon heeft de volgende formule:

sin (2πf1t)De tweede toon heeft dan de volgende formule:

sin (2πf2t)Als je de twee formules optelt, krijg je het volgende:

Deze formule drukt de somgrafiek van de twee tonen uit. In feite bestaat de somgrafiek uit een sinusoïde en een cosinusoïde. De sinusoïde is het gemiddelde van de twee functies en de cosinusoïde geeft de variatie in de sinus weer.

De rode lijn – in de figuur van de somgrafiek – heeft dus de volgende formule:

Als we de formules invullen, die we in het figuur van de vorige bladzijde hadden, krijgen we dit:

8

sin (2π × 110t) + sin (2π × 104t) = 2 cos (2π × 3t) sin (2π × 107t)De rode lijn heeft de volgende functie:

cos (2π × 3t)

Dus de rode lijn heeft een frequentie van 3 Hz en per seconde komen er dus zes toppen, wat precies het verschil is tussen 110 Hz en 104 Hz.

Toonstelsels

Muziek is altijd al in ons leven geweest. Met behulp van samenklanken kan een muziekstuk als ‘mooi’ worden ervaren; en met ‘mooi’ wordt dan bedoeld dat het juist klinkt voor ons gehoor, oftewel: niet vals. In de loop van de geschiedenis hebben verschillende mensen geprobeerd een zo goed mogelijke stemming te maken om de muziek zo ‘mooi’ mogelijk te laten klinken. Nog steeds zijn er verschillen qua stemming bij diverse culturen en muziekvormen.

Stemming van PythagorasDe stemming van Pythagoras is waarschijnlijk de oudste stemming die ooit ontwikkelt is; deze stemming dateert uit de zesde eeuw voor Christus. Pythagoras probeerde in zijn stemming een manier te vinden om de kwarten en de kwinten zuiver te stemmen. Zo bedacht hij de kwintenrij met zes opeengestapelde kwinten: F-C-G-D-A-E-B. Zijn stemming bestaat dus uit zeven tonen per octaaf. Veel muziekinstrumenten worden gestemd volgens deze stemming. Vandaar ook dat de viool de snaren G-D-A-E heeft, en de cello C-G-D-A.

9

De zes opeengestapelde kwinten uit de kwintenrij: F-C-G-D-A-E-B. Zoals je kunt zien, bestaat een kwint uit vijf witte toetsen op de piano.

De kwarten en de kwinten zijn belangrijke intervallen, en met behulp van deze intervallen en het octaaf, construeerde Pythagoras zijn toonladder. Op zijn monochord1 vond hij de breuken van zijn intervallen.

lengte van de snaar resultaat frequentie × 2 octaaf omlaag × 1/2× 1/2 octaaf omhoog × 2× 3/2 kwint omlaag × 2/3× 2/3 kwint omhoog × 3/2× 4/3 kwart omlaag × 3/4× 3/4 kwart omhoog × 4/3

Met behulp van deze natuurzuivere intervallen kon hij nu zijn toonladder uitrekenen. Pythagoras redeneerde vanuit de μεσος (de middelste toon). In dit geval wordt de middelste toon met a1 weergegeven.de tonen e2 d2 c2 b1 a1 g1 f1 e1

constructie 2/3 3/4 27/32 8/9 1 9/8 81/64 4/3snaarlengte 1 9/8 256/243 4/3 3/2 27/16 243/128 2toonafstanden 9/8 9/8 256/243 9/8 9/8 9/8 256/243Omdat Pythagoras vanuit de middelste toon redeneert, geven we a1 in dit geval een 1 voor de constructie. Wanneer we drie tonen omlaag gaan, komen we uit bij e1, die samen met a1

1Een primitief instrument dat onder andere door de oude Grieken werd gebruikt om een toonladder mee te construeren; μονος = enkel, χορδή = snaar.

een kwart vormt. Zo kunnen we bij e1 voor de constructie 4/3 neerzetten; een kwart omlaag was namelijk volgens Pythagoras hetzelfde als de lengte van de snaar met 4/3 vermenigvuldigen. Op deze manier ging hij verder, zodat e2 2/3 wordt (een kwint omhoog vanuit a1), d2 wordt 3/4 (een kwart omhoog vanuit a1) en b1 kan worden geconstrueerd vanuit e1 (namelijk een kwint omhoog), en wordt 4/3 × 2/3 = 8/9. Ten slotte kunnen de overige tonen geconstrueerd worden, beginnend met d2 naar g1 naar c2 naar f1.

De toonladder van Pythagoras met de breuken per toon, gerekend vanuit de μεσος (de middelste toon), a1.

In de vierde rij van de tabel op de vorige bladzijde zijn de toonafstanden berekend tussen twee opeenvolgende tonen. Zo is de toonafstand tussen d2 en e2 3/4 ÷ 2/3 → 3/4 × 3/2 = 9/8 (delen door een breuk is gelijk aan vermenigvuldigen met het omgekeerde). Na alle toonafstanden te hebben uitgerekend, blijken er slechts twee verschillende secundes te zijn; een grote secunde en een kleine secunde.

10

De toonladder van Pythagoras met de breuken per interval.

Deze toonladder lijkt sprekend op de huidige basistoonladder van de westerse muziektheorie, namelijk de huidige majeurtoonladder met toonafstanden: 1-1-1/2-1-1-1-1/2. Alleen is de toonladder van Pythagoras dalend, en de genoemde toonafstanden van de majeurtoonladder stijgend. Wat ook opvallend is, is dat de kleine secundes volgens de toonladder van Pythagoras op de piano geen halve toon hebben. Tussen alle witte toetsen bevinden zich zwarte toetsen, behalve tussen de B en de C, en de E en de F (de kleine secundes).

Na al deze berekeningen te hebben gedaan, kan nu de complete toonladder geconstrueerd worden. We beginnen bij e2 en stellen deze gelijk aan 1. De toonafstand tussen e2 en d2 is gelijk aan 9/8, dus d2 = 1 × 9/8 = 9/8. Op deze manier kunnen we de andere tonen uitrekenen, en is c2 gelijk aan 9/8 × 9/8 = 81/64, b1 = 81/64 × 256/243 = 4/3, etc. (zie rij 3 van de tabel op de vorige bladzijde)

De dalende toonladder van Pythagoras met de breuken per toon.

Pythagoreïsche kommaZo lijkt de stemming van Pythagoras een mooi toonstelsel, vanwege zijn constructie. Zijn kwintenrij kan eventueel uitgebreid worden:

…Bes-F-C-G-D-A-E-B-Fis-Cis…Een Cis betekent een halve toon verhogen ten opzichte van de C. Een Des betekent een halve toon verlagen ten opzichte van de D. Als je kijkt op de toetsen van de piano, zie je tussen de C en de D maar één zwarte toets. Dus moeten de Cis en de Des wel gelijk aan elkaar zijn. Maar dit blijkt niet zo te zijn bij de stemming van Pythagoras. Want wanneer je twaalf opeengestapelde kwinten neemt, zijn deze niet gelijk aan zeven octaven. Twaalf kwinten hebben een factor van (3/2)12 ≈ 129,7 en zeven octaven hebben een factor van 27 = 128.

De twaalf opeengestapelde kwinten: C-G-D-A-E-B-Fis-Cis-Gis-Dis-Ais-Eis-Bis,en de zeven octaven: C-C-C-C-C-C-C-C

Hier zie je dat de Bis en de C eigenlijk dezelfde toon zouden moeten hebben. Maar aangezien (3/2)12 ≠ 27, is er een verschil tussen deze twee tonen. Dit wordt de pythagoreïsche komma genoemd, en is gelijk aan

.Deze factor geeft het verschil aan tussen de Bis en de C. Hierdoor zijn er veel problemen voor het stemmen van muziekinstrumenten, aangezien de Bis en de C dezelfde toon horen te zijn.

11

Hiernaast zien we een kwintenspiraal, waarbij 360° gelijk is aan zeven octaven; dus één octaaf is gelijk aan 360/7 graden. De spaken van de spiraal verdelen de zeven octaven in 12 gelijke stukken, dus een taartpunt staat voor 360 ÷ 12 = 30°.

Een reine kwint heeft als frequentieverhouding 3 : 2, en is dus gelijk aan: log (3/2) ÷ log (2) × 360/7 ≈ 30,0838. Een reine kwint is dus net iets groter dan zo’n taartpunt, en naarmate de spiraal doorloopt, is dat steeds duidelijker te zien.

Deze spiraal laat een systematiek zien van de tonen, en hun achtervoegsels. Er blijft steeds dezelfde rij door het spiraal lopen van F-C-G-D-A-E-B, met achtervoegsels naar buiten toe in het spiraal met –is, -isis, etc. en naar binnen toe met –es, -eses, etc.

In de muziek komen dubbele achtervoegsel zelden voor, en drievoudige en hogere achtervoegsels nooit, maar in dit systeem kan het theoretisch wel.

Gelijkzwevende stemmingOm het probleem van de pythagoreïsche komma te vermijden, zijn er ook stemmingen ontwikkeld waarbij een octaaf in een aantal gelijke delen zijn verdeeld. Zo voorkom je het probleem van het stemmen van de muziekinstrumenten. De verhouding van de frequenties van twee opeenvolgende tonen zijn dus steeds hetzelfde. Alle gelijknamige intervallen klinken als het ware even vals; vandaar de ‘gelijkzwevende’ stemming.

De 12-toonsverdeling

Er bestaan verschillende gelijkzwevende toonschalen. De meest gebruikelijkste stemming in het Westen is de 12-toonsverdeling. In deze stemming wordt het octaaf verdeeld in 12 gelijke delen. Vincenzo Galilei (de vader van Galileo Galilei) was de eerste die zich met deze stemming bezig hield, alhoewel Chu Tsai-Yu de eerste was die in 1584 erover had geschreven. En ook al is deze stemming al eeuwen bekend, pas in de negentiende eeuw werd de 12-toonsverdeling pas ‘populair’. Er was vooral een probleem wanneer er samen gespeeld moest worden en de verschillende muziekinstrumenten volgens verschillende stemmingen werden gestemd: zo klinken veel samenklanken storend vals. Nog steeds hebben blaas- en strijkinstrumenten problemen met de stemming wanneer ze worden begeleid met een piano.

12

Een octaaf heeft een frequentieverhouding van 1 : 2. Wanneer je dus een octaaf in twaalf gelijke delen wil verdelen, is de verhouding van een halve toonafstand gelijk aan 1 : 12√2. Zo kun je een formule opstellen om de frequentie van de nde toonafstand uit te rekenen:

,waar f0 gelijk is aan de frequentie van de grondtoon.

Maar doordat het octaaf in twaalf gelijke delen wordt verdeeld, en er niet meer wordt gelet op de verhoudingen van Pythagoras (waar de kwint gelijk zou moeten zijn aan de verhouding 2 : 3), zijn de toonafstanden in de 12-toonsverdeling eigenlijk vals – op de octaven na. Een kwint volgens de stemming van Pythagoras zou namelijk een tonafstand moeten hebben van 701,96 cent2, terwijl een kwint volgens de 12-toonsverdeling een toonafstand heeft van 700 cent. Gelukkig is een verschil van bijna 2 cent voor het menselijk gehoor niet hoorbaar. Maar er bestaan ook grotere onnauwkeurigheden in deze stemming, bijvoorbeeld bij de grote terts.

Een zuivere grote terts heeft een verhouding van 4 : 5. Deze zuivere grote terts heeft dus een toonafstand van 1200 × 2log (5/4) ≈ 386,31 cent, terwijl de toonafstand van een grote terts uit de 12-toonsverdeling 24/12 = 400 cent is. Een verschil van 13,69 cent. Net als bij het verschil van 2 cent, zullen niet veel mensen dit verschil opmerken.

2Om de verschillen van toonafstanden makkelijker aan te kunnen geven, bedacht Alexander Ellis een logaritmische schaal die de toonafstand makkelijker kan uitdrukken:

Wanneer iemand enkel een A speelt, zal niemand door hebben dat het een valse noot is. Behalve als de A tegelijkertijd met de F wordt gespeeld, en je op deze manier een valse terts hoort. Hierdoor werd er maar gewoon aangenomen dat de terts altijd vals is, en dus niet bruikbaar zou zijn in de muziek.

De zuivere grote terts klinkt dus lager dan de grote terts uit de 12-toonsverdeling. In de spiraal hiernaast zie je het verschil tussen beide grote tertsen.

13

De grote tertsen aangegeven op de pianotoetsen: F-A, C-E en G-B.

Wanneer een interval vals klinkt, treden er dus zwevingen op. Op het plaatje hiernaast zie je de zwevingen die optreden wanneer je een valse A hoort met de F. Heeft de A een frequentie van 220 Hz, dan zijn er elf

zwevingen per seconde te horen. Een octaaf hoger zijn er twee keer zo veel zwevingen per seconde te horen, een octaaf lager juist twee keer zo weinig.

MiddentoonstemmingIn de zestiende eeuw werd de middentoonstemming ontwikkelt; een stemming die het probleem van de valse grote tertsen moest verhelpen. Eerst worden de zuivere kwinten en kwarten binnen één octaaf gestemd – de tonen F, C, G en D – en via een zuivere grote terts kan dan ook de A worden gestemd. Daarna worden de vier kwinten even

14

veel verkleind, zodat de G (de middentoon) precies tussen de F en de A past. Op deze manier kunnen ook de overige tonen gestemd worden.

Ook de middentoonspiraal heeft een oneindig toonstelsel. Zoals je kunt zien in de spiraal hiernaast, heeft een middentoonspiraal zestien tonen – van Des tot en met Ais. Maar als een piano wordt gestemd (een piano heeft twaalf tonen per octaaf), kies je een segment uit de middentoonspiraal van twaalf opeenvolgende tonen. Alleen krijg je een nog grotere nauwkeurigheid, wanneer je twaalf opeengestapelde kwinten neemt in vergelijking met zeven octaven, dan bij de kwintenrij zoals we konden zien bij de stemming van Pythagoras. Vier opeengestapelde middentoonskwinten vormen samen een grote terts plus twee octaven; een verhouding van 1 : 5.

Wanneer je dus twaalf opeengestapelde kwinten hebt, krijg je een verhouding van 1 : 5 3 = 1 : 125, terwijl de verhouding van zeven octaven 1 : 27 = 1 : 128 is. De middentoonspiraal geeft dit verschil ook aan, doordat de Cis en de Des, de Dis en de Es, de Gis en de As en de Ais en de Bes apart staan weergegeven. Het verschil bedraagt twaalf middentoonskwinten en is gelijk aan: 1200 × 2log (128/125) ≈ 41,0589 cent.

De 31-toonsverdelingEen andere gelijkzwevende stemming, is de 31-toonsverdeling; het octaaf wordt dit keer in 31 gelijke stukken verdeeld. Deze verdeling werd voor het eerst geïntroduceerd door Christiaan Huygens (1629-1695). Hij nam de middentoonstemming als voorbeeld, maar wilde daar het liefst een gelijkzwevende verdeling van maken. Met een gelijkzwevende stemming heb je namelijk niet het probleem dat een interval in de ene toonladder wel ‘mooi’ klinkt, en in de andere juist vals.

Huygens heeft niet op papier gezet waarom hij voor het getal 31 had gekozen. Maar we gaan er van uit dat hij niet zomaar een getal heeft geprobeerd: er zal een reden achter zitten. Wat we wel weten is dat hij de middentoonstemming zo goed mogelijk probeerde te benaderen met een gelijkzwevende stemming. En dan ligt het voor de hand dat hij de middentoonskwint

15

gebruikte, en deze zo nauwkeurig probeerde te benaderen door middel van breuken. De middentoonskwint:

μ = 1200 × ¼ × 2 log 5 ≈ 696,5784 cent.De volgende stap is een kettingbreuk van de middentoonskwint, waarbij er een reeks convergenten zal ontstaan, in de vorm pn/qn, waarbij de noemer kleiner moet zijn dan qn+1 om de best mogelijke benadering te krijgen. De kettingbreuk ziet er als volgt uit:

De convergenten van μ zijn dan te vinden door bij elke stap ‘+ …’ weg te halen. De reeks convergenten zijn dan:

De eerste convergenten zijn vrijwel onbruikbaar. De breuk 7/12 is een beter getal, en herkennen we ook als een belangrijk interval uit de 12-toonsverdeling, namelijk de reine kwint. De laatste twee breuken zijn vanwege hun grote noemer praktisch niet mogelijk. Dan houden we nog twee breuken over, die beiden geschikt zouden kunnen zijn. De 19-toonsverdeling heeft een reinere klank dan de 12-toonsverdeling, maar de 31-toonsverdeling heeft qua toonzuiverheid de beste eigenschappen: vandaar dat Huygens voor het getal 31 ging. Dus kreeg de stemming van Huygens een halve toonafstand met een verhouding van 1 : 31√2.

Met deze toonverdeling heeft Huygens zijn doel zo goed als bereikt; hij heeft een zo nauwkeurig mogelijke benadering gevonden van de middentoonstemming:

μ = 1200 × ¼ × 2log (5) ≈ 696,5784 cent,31-toonsverdeling: 1200 × 2 log (218/31) ≈ 696,7742 cent.

Het verschil is minder dan 0,2 cent, oftewel vrijwel verwaarloosbaar. In het kwintenspiraal van de 31-toonsverdeling in de middentoonspiraal is die afwijking ook bijna niet te zien.

16

De middentoonspiraal en de 31-toonsverdeling van Huygens.

Ook Huygens realiseerde zijn stemming door middel van een monochord, net als Pythagoras. Hij verdeelde de kam van het monochord in 100 000 gelijke eenheden. Op de helft van het monochord (op 50 000 dus), hoorde je een C, en wanneer je de kam helemaal aan het eind van het monochord verplaatste, hoorde je weer een C, alleen dan een octaaf lager. Tussen deze twee tonen liggen alle 31 tonen van de stemming van Huygens.

Een monochord met de 31-toonsverdeling van het octaaf C-C.

Aangezien Huygens wilde werken met toonverschillen, berekende hij de logaritme van een halve toonafstand van zijn stemming: log (31√2) ≈ 0,0097106450. Deze groeifactor telde hij dan op bij de logaritme van 50 000 – dit was immers zijn beginpunt. De formule die Huygens gebruikte:

log (50 000) + n × log (31√2) =log (50 000) + log (31√2)n =log (50 000) + log (2n/31) =log (50 000 × 2n/31)

Wanneer je n = 31 neemt, zul je zien dat er 4,9999999993 uitkomt, wat bijna gelijk is

17

aan de logaritme van 100 000, namelijk 5. Huygens heeft al zijn logaritmen uitgerekend met 10 decimalen nauwkeurig. Opmerkelijk is dat Huygens bij het berekenen (of bij het overschrijven) een fout heeft gemaakt in zijn tabel: in de derde rij van de tweede kolom schreef hij 52278, wat 52287 moet zijn.

Toch blijft 31 een lastig getal; een klavier met 31 toetsen per octaaf is moeilijk te maken, maar natuurlijk ook te bespelen. Huygens heeft zelf geprobeerd zo’n klavier te maken. Er zijn gedetailleerde tekeningen gevonden van Huygens, maar of hij die tekeningen ook in werkelijkheid heeft gebracht, is niet bekend. Wel heeft Adriaan Fokker een 31-toonsorgel ontworpen met een ander toetsenbord, wat lijkt op een ouderwets typemachine.

Nog meer wiskunde in de muziek?

Naast de wiskunde in de muziek die we al hebben aangetoond, hebben mensen ook geprobeerd nog meer wiskunde in de muziek te vinden.

Een van de mooiste voorbeelden hiervan, is het voorbeeld van de Hongaarse musicoloog Ernõ Lendvai en de Amerikaan Edward Lowman. Zij waren zo gefixeerd op het vinden van Fibonacci getallen (1, 1, 2, 3, 5, 8, …) in de muziek, dat zij de feiten probeerden aan te passen op hun ideeën. Zij namen het werk ‘Muziek voor snaarinstrumenten, slagwerk en celesta’ van de Hongaarse componist Béla Bartók en probeerden daar Fibonacci getallen in te vinden. Het stuk bestaat uit 88 maten, maar dat is geen Fibonacci getal. Wel is 89 een Fibonacci getal, en zij telden een niet opgeschreven maat mee.

De climax van het eerste gedeelte bevindt zich in maat 56, helaas ook geen Fibonacci getal. Maar 55 wel, dus de climax kwam na maat 55. Die eerste 55 maten zouden ook mooi opgedeeld kunnen worden in 34 maten en 21 maten; weer twee Fibonacci getallen. In de

18

eerste 34 maten zouden de strijkers met sordino (een demper voor strijkinstrumenten) spelen. Met deze gegevens is ook weer sjoemeld.

Dit is dus een geweldig voorbeeld van hineininterpretieren en proberen je feiten aan te passen aan je ideeën.

Anderen beweren ook dat het geen toeval is dat de piano is ingedeeld, zoals hij is ingedeeld. Het octaaf op de piano bestaat uit acht witte en vijf zwarte toetsen. Samen zijn dit dertien toetsen. Drie Fibonacci getallen. Bovendien zijn de zwarte toetsen verdeeld in groepjes van, om en om, twee en drie; ook twee getallen die geschikt zijn.

Volgens sommigen is dit ook iets te veel hineinterpretieren.

Als je goed zoekt, zul je dus wel de Fibonacci reeks terug kunnen vinden in bepaalde stukken, maar er is geen enkel bewijs dat alle muziek zo is ingedeeld.

Slot

19

Bronvermelding

J. van de Craats, De juiste toon, Utrecht, 2003J, van de Craats, F. Takens, De juiste toon, de juiste stemming, Leiden, 2001, pp. 136-144

http://pws.schoolsite.utwente.nl/wiskunde/muziek.pdfhttp://www.natuurkunde.nl/artikelen/view.do?supportId=421066http://nl.wikipedia.org/wiki/Zwevinghttp://en.wikipedia.org/wiki/Beat_(acoustics)http://www.wiskundemeisjes.nl/20061019/wiskunde-in-muziek/http://nl.wikipedia.org/wiki/Categorie:Stemming_(muziek)http://www.kennislink.nl/publicaties/bartok-fibonacci-en-de-gulden-snede

20

Logboek

21