Numerov schrodinger

Click here to load reader

  • date post

    21-Jul-2015
  • Category

    Science

  • view

    24
  • download

    4

Embed Size (px)

Transcript of Numerov schrodinger

  • Revista Brasileira de Ensino de Fsica, v. 36, n. 2, 2310 (2014)www.sbfisica.org.br

    O metodo numerico de Numerov aplicado a equacao de Schrodinger(Numerov numerical method applied to the Schrodinger equation)

    Francisco Caruso1,2, Vitor Oguri2

    1Laboratorio de Fsica Experimental de Altas Energias, Centro Brasileiro de Pesquisas Fsicas, Rio de Janeiro, RJ, Brasil2Instituto de Fsica Armando Dias Tavares, Universidade do Estado do Rio de Janeiro, Rio de Janeiro, RJ, Brasil

    Recebido em 20/9/2013; Aceito em 23/11/2013; Publicado em 11/5/2014

    Neste artigo mostra-se como resolver numericamente problemas de autovalor associados a equacoes diferen-ciais ordinarias lineares de segunda ordem, contendo tambem termos que dependem da derivada primeira davariavel incognita. Nesse sentido, faz-se uma apresentacao didatica do metodo de Numerov e, em seguida, elee aplicado a dois problemas classicos da mecanica quantica nao relativstica cujas solucoes analticas sao bemconhecidas: o oscilador harmonico simples e o atomo de hidrogenio. Os resultados numericos sao confrontadoscom os obtidos analiticamente.Palavras-chave: metodo de Numerov, oscilador harmonico, atomo de hidrogenio, mecanica quantica.

    In this paper it is shown how to solve numerically eigenvalue problems associated to second order linearordinary differential equations, containing also terms which depend on the first derivative of the unknown vari-able. A didactic presentation of the Numerov Method is given and, in the sequel, it is applied to two quantumnon-relativistic problems with well known analytical solutions: the simple harmonic oscillator and the hydrogenatom. The numerical results are compared to those obtained analytically.Keywords: Numerov method, harmonic oscillator, hydrogen atom, quantum mechanics.

    1. Introducao

    A grande maioria dos metodos numericos, como osde Newton, Euler, Lagrange, Gauss, Fourier, Jacobi,Runge-Kutta e tantos outros, foi introduzida no con-texto das aplicacoes em fsica, astronomia ou em ou-tras de natureza tecnica, como na aerodinamica [1].Desde entao, a analise numerica nao era reconhecidacomo uma disciplina matematica e tal situacao per-durou durante as quatro primeiras decadas do seculoXX. Hoje, apesar de alguns metodos numericos seremensinados nos cursos de fsica, no ambito de discipli-nas da matematica, pouca enfase e dada a eles nasaplicacoes fsicas. Com a popularizacao dos compu-tadores portateis, cada vez mais acessveis ao grandepublico, e capazes de executar tarefas cada vez maiorese mais complexas, parece um contrassenso nao explora-los no ensino de fsica e de engenharia.

    O matematico hungaro Peter Lax, do Instituto Cou-rant da Universidade de Nova Iorque, reforca a re-levancia do ensino dos metodos numericos destacando,com muita propriedade, seu aspecto universal e a im-

    portancia de os alunos explorarem solucoes de equacoesdiferenciais utilizando computadores [2]:

    Metodos numericos tem a grande virtudeque se aplicam universalmente. Quando saointroduzidos metodos especiais para lidarcom a lamentavelmente pequena classe deequacoes [diferenciais] que podem ser tra-tadas analiticamente, os alunos estao aptosa perder de vista a ideia geral de que cadaequacao diferencial tem uma solucao e queessa solucao e determinada unicamente pe-los dados iniciais. Que hoje podemos utili-zar computadores para explorar as solucoesde equacoes [diferenciais] e verdadeiramenterevolucionario; estamos apenas comecandoa vislumbrar as consequencias.2

    Na confluencia dessas duas tendencias, procura-sedivulgar aqui um poderoso metodo de calculo numericodesenvolvido originalmente por Boris Vasilevich Nume-rov [35], aplicando-o a equacao de Schrodinger inde-pendente do tempo no caso de dois problemas tpicos:

    1E-mail: francisco.caruso@gmail.com.

    Copyright by the Sociedade Brasileira de Fsica. Printed in Brazil.2Numerical methods have the great virtue that they apply universally. When special methods are introduced to deal with each one

    of the pitifully small class of [differential] equations that can be handled analytically, students are apt to lose sight of the general ideathat every differential equation has a solution and that this solution is uniquely determined by initial data. That today we can usecomputers to explore the solutions of [differential] equations is truly revolutionary; we are only beginning to glimpse the consequences.

  • 2310-2 Caruso e Oguri

    o oscilador harmonico simples e o atomo de hidrogenio.Esses sao bons exemplos didaticos, pois suas solucoesanalticas sao bem conhecidas.

    O primeiro exemplo, para o qual se determina o es-pectro de energia do oscilador harmonico simples comoum problema de autovalor, e as respectivas autofuncoes(x), ou funcoes de onda, ilustra o comportamento deuma partcula em um poco de potencial unidimensional,quando a equacao de Schrodinger nao contem termos dederivada de primeira ordem.

    No segundo exemplo, o qual envolve a equacao deSchrodinger contendo termo de derivada primeira, umavariante do metodo original de Numerov sera aplicadapara se obter o espectro e a solucao radial do atomo dehidrogenio.

    Com esses exemplos, serao esbocados alguns de-talhes do procedimento geral utilizado no calculo dasolucao numerica de equacoes diferenciais de segundaordem.

    2. O metodo de Numerov

    A motivacao inicial de Numerov era poder calcularcorrecoes a trajetoria do cometa Halley. Portanto, napratica, o metodo de Numerov foi desenvolvido, inicial-mente, para determinar as solucoes de problemas de au-tovalores associados a equacoes diferenciais ordinariasde 2a ordem da mecanica celeste, que nao continhamtermos envolvendo a derivada primeira de uma funcaoincognita y(x), ou seja, equacoes da forma

    d2y

    dx2= f(y, x). (1)

    Toda equacao do tipo (1) pode ser substituda peloseguinte sistema de equacoes de primeira ordem 3

    dz

    dx= f(x, y),

    z =dy

    dx.

    Os metodos tradicionais para resolver numerica-mente tal sistema de equacoes, como os de Euler ou deRunge-Kutta, consideram que os valores de y(x) e dedy/dx sejam conhecidos em um dado ponto do domnio[a, b] de validade do sistema, i.e., sao adequados paraos chamados problemas de valor inicial.

    Em mecanica quantica nao relativstica, nos pro-blemas de estados ligados que envolvem uma partculade massa m confinada em um poco de potencial V (x),em um dado intervalo a < x < b, as energias permi-tidas (E) e as correspondentes funcoes de onda (x)que descrevem esses estados estacionarios satisfazem aequacao de autovalor de Schrodinger

    d2

    dx2+ k2(x) = 0, (2)

    em que k =2m[E V (x)]/~ e ~ 1,0551034 J.s

    e a constante de Planck reduzida.

    Nesses casos, como nao se conhece o valor da deri-vada primeira da funcao de onda, os metodos de Euler eRunge-Kutta nao podem ser empregados. Entretanto,e possvel estabelecer condicoes de continuidade paraos valores de e d/dx em dois ou mais pontos dodomnio da funcao de onda, o que caracteriza os cha-mados problemas de valor de contorno.

    Alem de tornar desnecessaria a transformacao deuma equacao diferencial de segunda ordem em um sis-tema de primeira ordem, o metodo de Numerov per-mite a determinacao simultanea do espectro de energiada partcula e das autofuncoes associadas a cada valorde energia.

    Como todo metodo numerico iterativo, a solucao daEq. (2) e construda por integracoes sucessivas, realiza-das passo a passo, a partir de valores arbitrarios parapossveis solucoes em um ou mais pontos do domnio deintegracao.

    Assim, no metodo de Numerov, inicialmente,considera-se que a solucao seja conhecida em dois pon-tos subsequentes do intervalo [a, b], por exemplo, em(x ) e (x), sendo uma quantidade arbitra-riamente pequena, denominada passo da integracao.A seguir, procura-se estabelecer, entao, um algoritmonumerico para se determinar a solucao no ponto se-guinte, (x+ ).

    O ponto de partida para estabelecer esse algoritmoe a expansao de (x ) em series de Taylor, ate deri-vadas de quarta ordem, ou seja,

    (x ) = (x) (x) + 2

    2(x)

    3

    6(x) +

    4

    24iv(x). (3)

    Somando-se os termos (x + ) e (x ), apenas asderivadas de ordem par sobrevivem e, portanto, chega-se a uma relacao entre os valores de uma funcao em trespontos e sua derivada segunda, dada por

    (x+ ) + (x ) 2(x)2

    = (x) +

    2

    12iv(x)

    (1 +

    2

    12

    d2

    dx2

    )(x). (4)

    Escrevendo a equacao de Schrodinger unidimensio-nal, Eq. (2), na forma conveniente(

    1 +2

    12

    d2

    dx2

    )(x) = k2(x)(x)

    2

    12

    d2

    dx2

    [k2(x)(x)

    ], (5)

    e utilizando a Eq. (4) para substituir os termos quecontem derivadas de segunda ordem, obtem-se

    3A Ref. [6] trata da solucao numerica das equacoes diferenciais acopladas de primeira ordem que resultam da equacao de Schrodinger.

  • O metodo numerico de Numerov aplicado a equacao de Schrodinger 2310-3

    (x+ ) + (x ) 2(x)2

    = k2(x)(x)

    2

    12

    [k2(x+ )(x+ ) + k2(x )(x ) 2k2(x)(x)

    2

    ]+O(4). (6)

    Reagrupando a Eq. (6), obtem-se a formula de diferencas de Numerov para o problema de uma partcula sob acaode um potencial unidimensional,[

    1 +h2

    12k2(x+ )

    ](x+ ) = 2

    [1 5

    2

    12k2(x)

    ](x)

    [1 +

    2

    12k2(x )

    ](x ). (7)

    Na realidade, cabe notar que o algoritmo pode seraplicado a qualquer equacao diferencial ordinaria lineare homogenea de segunda ordem que nao contenha ter-mos de derivada primeira.

    Uma vez que o problema de interesse e um pro-blema de autovalor, a tecnica de integracao numericada equacao unidimensional de Schrodinger para umapartcula em um poco depende de se associarem va-lores arbitrarios convenientemente aos autovalores eas respectivas (possveis) autofuncoes em 2 pontos