Numerov schrodinger

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    21-Jul-2015
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  • Revista Brasileira de Ensino de Fsica, v. 36, n. 2, 2310 (2014)www.sbfisica.org.br

    O metodo numerico de Numerov aplicado a equacao de Schrodinger(Numerov numerical method applied to the Schrodinger equation)

    Francisco Caruso1,2, Vitor Oguri2

    1Laboratorio de Fsica Experimental de Altas Energias, Centro Brasileiro de Pesquisas Fsicas, Rio de Janeiro, RJ, Brasil2Instituto de Fsica Armando Dias Tavares, Universidade do Estado do Rio de Janeiro, Rio de Janeiro, RJ, Brasil

    Recebido em 20/9/2013; Aceito em 23/11/2013; Publicado em 11/5/2014

    Neste artigo mostra-se como resolver numericamente problemas de autovalor associados a equacoes diferen-ciais ordinarias lineares de segunda ordem, contendo tambem termos que dependem da derivada primeira davariavel incognita. Nesse sentido, faz-se uma apresentacao didatica do metodo de Numerov e, em seguida, elee aplicado a dois problemas classicos da mecanica quantica nao relativstica cujas solucoes analticas sao bemconhecidas: o oscilador harmonico simples e o atomo de hidrogenio. Os resultados numericos sao confrontadoscom os obtidos analiticamente.Palavras-chave: metodo de Numerov, oscilador harmonico, atomo de hidrogenio, mecanica quantica.

    In this paper it is shown how to solve numerically eigenvalue problems associated to second order linearordinary differential equations, containing also terms which depend on the first derivative of the unknown vari-able. A didactic presentation of the Numerov Method is given and, in the sequel, it is applied to two quantumnon-relativistic problems with well known analytical solutions: the simple harmonic oscillator and the hydrogenatom. The numerical results are compared to those obtained analytically.Keywords: Numerov method, harmonic oscillator, hydrogen atom, quantum mechanics.

    1. Introducao

    A grande maioria dos metodos numericos, como osde Newton, Euler, Lagrange, Gauss, Fourier, Jacobi,Runge-Kutta e tantos outros, foi introduzida no con-texto das aplicacoes em fsica, astronomia ou em ou-tras de natureza tecnica, como na aerodinamica [1].Desde entao, a analise numerica nao era reconhecidacomo uma disciplina matematica e tal situacao per-durou durante as quatro primeiras decadas do seculoXX. Hoje, apesar de alguns metodos numericos seremensinados nos cursos de fsica, no ambito de discipli-nas da matematica, pouca enfase e dada a eles nasaplicacoes fsicas. Com a popularizacao dos compu-tadores portateis, cada vez mais acessveis ao grandepublico, e capazes de executar tarefas cada vez maiorese mais complexas, parece um contrassenso nao explora-los no ensino de fsica e de engenharia.

    O matematico hungaro Peter Lax, do Instituto Cou-rant da Universidade de Nova Iorque, reforca a re-levancia do ensino dos metodos numericos destacando,com muita propriedade, seu aspecto universal e a im-

    portancia de os alunos explorarem solucoes de equacoesdiferenciais utilizando computadores [2]:

    Metodos numericos tem a grande virtudeque se aplicam universalmente. Quando saointroduzidos metodos especiais para lidarcom a lamentavelmente pequena classe deequacoes [diferenciais] que podem ser tra-tadas analiticamente, os alunos estao aptosa perder de vista a ideia geral de que cadaequacao diferencial tem uma solucao e queessa solucao e determinada unicamente pe-los dados iniciais. Que hoje podemos utili-zar computadores para explorar as solucoesde equacoes [diferenciais] e verdadeiramenterevolucionario; estamos apenas comecandoa vislumbrar as consequencias.2

    Na confluencia dessas duas tendencias, procura-sedivulgar aqui um poderoso metodo de calculo numericodesenvolvido originalmente por Boris Vasilevich Nume-rov [35], aplicando-o a equacao de Schrodinger inde-pendente do tempo no caso de dois problemas tpicos:

    1E-mail: [email protected]

    Copyright by the Sociedade Brasileira de Fsica. Printed in Brazil.2Numerical methods have the great virtue that they apply universally. When special methods are introduced to deal with each one

    of the pitifully small class of [differential] equations that can be handled analytically, students are apt to lose sight of the general ideathat every differential equation has a solution and that this solution is uniquely determined by initial data. That today we can usecomputers to explore the solutions of [differential] equations is truly revolutionary; we are only beginning to glimpse the consequences.

  • 2310-2 Caruso e Oguri

    o oscilador harmonico simples e o atomo de hidrogenio.Esses sao bons exemplos didaticos, pois suas solucoesanalticas sao bem conhecidas.

    O primeiro exemplo, para o qual se determina o es-pectro de energia do oscilador harmonico simples comoum problema de autovalor, e as respectivas autofuncoes(x), ou funcoes de onda, ilustra o comportamento deuma partcula em um poco de potencial unidimensional,quando a equacao de Schrodinger nao contem termos dederivada de primeira ordem.

    No segundo exemplo, o qual envolve a equacao deSchrodinger contendo termo de derivada primeira, umavariante do metodo original de Numerov sera aplicadapara se obter o espectro e a solucao radial do atomo dehidrogenio.

    Com esses exemplos, serao esbocados alguns de-talhes do procedimento geral utilizado no calculo dasolucao numerica de equacoes diferenciais de segundaordem.

    2. O metodo de Numerov

    A motivacao inicial de Numerov era poder calcularcorrecoes a trajetoria do cometa Halley. Portanto, napratica, o metodo de Numerov foi desenvolvido, inicial-mente, para determinar as solucoes de problemas de au-tovalores associados a equacoes diferenciais ordinariasde 2a ordem da mecanica celeste, que nao continhamtermos envolvendo a derivada primeira de uma funcaoincognita y(x), ou seja, equacoes da forma

    d2y

    dx2= f(y, x). (1)

    Toda equacao do tipo (1) pode ser substituda peloseguinte sistema de equacoes de primeira ordem 3

    dz

    dx= f(x, y),

    z =dy

    dx.

    Os metodos tradicionais para resolver numerica-mente tal sistema de equacoes, como os de Euler ou deRunge-Kutta, consideram que os valores de y(x) e dedy/dx sejam conhecidos em um dado ponto do domnio[a, b] de validade do sistema, i.e., sao adequados paraos chamados problemas de valor inicial.

    Em mecanica quantica nao relativstica, nos pro-blemas de estados ligados que envolvem uma partculade massa m confinada em um poco de potencial V (x),em um dado intervalo a < x < b, as energias permi-tidas (E) e as correspondentes funcoes de onda (x)que descrevem esses estados estacionarios satisfazem aequacao de autovalor de Schrodinger

    d2

    dx2+ k2(x) = 0, (2)

    em que k =2m[E V (x)]/~ e ~ 1,0551034 J.s

    e a constante de Planck reduzida.

    Nesses casos, como nao se conhece o valor da deri-vada primeira da funcao de onda, os metodos de Euler eRunge-Kutta nao podem ser empregados. Entretanto,e possvel estabelecer condicoes de continuidade paraos valores de e d/dx em dois ou mais pontos dodomnio da funcao de onda, o que caracteriza os cha-mados problemas de valor de contorno.

    Alem de tornar desnecessaria a transformacao deuma equacao diferencial de segunda ordem em um sis-tema de primeira ordem, o metodo de Numerov per-mite a determinacao simultanea do espectro de energiada partcula e das autofuncoes associadas a cada valorde energia.

    Como todo metodo numerico iterativo, a solucao daEq. (2) e construda por integracoes sucessivas, realiza-das passo a passo, a partir de valores arbitrarios parapossveis solucoes em um ou mais pontos do domnio deintegracao.

    Assim, no metodo de Numerov, inicialmente,considera-se que a solucao seja conhecida em dois pon-tos subsequentes do intervalo [a, b], por exemplo, em(x ) e (x), sendo uma quantidade arbitra-riamente pequena, denominada passo da integracao.A seguir, procura-se estabelecer, entao, um algoritmonumerico para se determinar a solucao no ponto se-guinte, (x+ ).

    O ponto de partida para estabelecer esse algoritmoe a expansao de (x ) em series de Taylor, ate deri-vadas de quarta ordem, ou seja,

    (x ) = (x) (x) + 2

    2(x)

    3

    6(x) +

    4

    24iv(x). (3)

    Somando-se os termos (x + ) e (x ), apenas asderivadas de ordem par sobrevivem e, portanto, chega-se a uma relacao entre os valores de uma funcao em trespontos e sua derivada segunda, dada por

    (x+ ) + (x ) 2(x)2

    = (x) +

    2

    12iv(x)

    (1 +

    2

    12

    d2

    dx2

    )(x). (4)

    Escrevendo a equacao de Schrodinger unidimensio-nal, Eq. (2), na forma conveniente(

    1 +2

    12

    d2

    dx2

    )(x) = k2(x)(x)

    2

    12

    d2

    dx2

    [k2(x)(x)

    ], (5)

    e utilizando a Eq. (4) para substituir os termos quecontem derivadas de segunda ordem, obtem-se

    3A Ref. [6] trata da solucao numerica das equacoes diferenciais acopladas de primeira ordem que resultam da equacao de Schrodinger.

  • O metodo numerico de Numerov aplicado a equacao de Schrodinger 2310-3

    (x+ ) + (x ) 2(x)2

    = k2(x)(x)

    2

    12

    [k2(x+ )(x+ ) + k2(x )(x ) 2k2(x)(x)

    2

    ]+O(4). (6)

    Reagrupando a Eq. (6), obtem-se a formula de diferencas de Numerov para o problema de uma partcula sob acaode um potencial unidimensional,[

    1 +h2

    12k2(x+ )

    ](x+ ) = 2

    [1 5

    2

    12k2(x)

    ](x)

    [1 +

    2

    12k2(x )

    ](x ). (7)

    Na realidade, cabe notar que o algoritmo pode seraplicado a qualquer equacao diferencial ordinaria lineare homogenea de segunda ordem que nao contenha ter-mos de derivada primeira.

    Uma vez que o problema de interesse e um pro-blema de autovalor, a tecnica de integracao numericada equacao unidimensional de Schrodinger para umapartcula em um poco depende de se associarem va-lores arbitrarios convenientemente aos autovalores eas respectivas (possveis) autofuncoes em 2 pontos dodomnio do problema. Mas como faze-lo? Com relacaoa escolha do valor inicial para a energia (primeiro auto-valor), basta lembrar que, de acordo com a relacao deincerteza de Heisenberg, a energia E de uma partculaem um poco de potencial V (x) deve ser maior que o va-lor mnimo do poco. Assim, considera-se, inicialmente,que Einicial = Vmin +E, com E > 0.

    A escolha de um valor para a energia determina 2pontos, x e xr, nos quais o valor da energia e igual aovalor da energia potencial, e correspondem aos pontosde retrocesso de uma partcula cujo movimento obedecea mecanica classica newtoniana. Ou seja, do ponto devista da mecanica classica, o movimento da partculaesta restrito apenas a regiao [x, xr], na qual a energiae maior ou igual a energia potencial. As regioes x < xe x > xr sao denominadas regioes classicamente proibi-das, e estao assinaladas na Fig. 1.

    Figura 1 - Curva de potencial.

    Como a equacao de Schrodinger admite solucoespara essas regioes classicamente proibidas, para cada

    valor de energia, inicialmente, se atribuem valores parauma possvel autofuncao em 2 pontos das regioes clas-sicamente proibidas, nos quais a funcao praticamentese anula. Em geral, esses sao os pontos limites a e b > ado domnio de integracao da funcao.

    No entanto, a implementacao do metodo de Nume-rov para a solucao do problema ainda requer um es-quema de iteracao que utiliza a formula de Numerovem duas etapas: a partir de a, ou a esquerda de umdos pontos de retrocesso classico, doravante denomi-nado match point (xmatch), e a partir de b, ou a direitado match point.

    Desse modo, tomando-se arbitrariamente um valorinicial para a energia, e dois valores arbitrarios suces-sivos para a solucao, a partir dos extremos inferior esuperior do intervalo de integracao [a, b], pode-se im-plementar o esquema de iteracao do metodo nos doissentidos, como:

    1. Solucao a esquerda do match point (x < xmatch).

    Seja Einicial = Vmin + E(E/|Vmin| 1

    )um valor arbitrario para a energia da partcula.Arbitrando-se tambem valores para a funcao deonda, em 2 pontos sucessivos, a partir de a,

    (a) = 0,

    (a+ ) = , ( 1)

    e utilizando-se a formula de diferencas, Eq. (7), asolucao a esquerda e construda sequencialmenteate o match point (xmatch), em que

    (xmatch) =match.

    2. Solucao a direita do match point (x > xmatch).

    De maneira similar, para o mesmo valor Einicial,arbitrando-se

    r(b) = 0,

    r(b ) = r, (r 1)

    a solucao a direita, a partir de b, e construda se-quencialmente ate os pontos xmatch e x = xmatch

  • 2310-4 Caruso e Oguri

    , em que r(xmatch) =

    rmatch,

    r(xmatch ) = rmatch1.

    Para garantir a condicao de contorno da solucao,redefine-se a solucao a esquerda conforme a Eq. (8)dada a seguir, e testa-se a condicao de contorno dasderivadas primeiras, segundo a Eq. (9).

    O procedimento e repetido passo a passo, nosdois sentidos, a b. Partindo-se de a, utilizando-se a formula de recorrencia de Numerov associada aequacao, se constroi a solucao ate que se atinja oponto de retrocesso classico, por exemplo, mais proximode b, no qual E = V (xmatch), chamado de match point.Depois, a partir de b, faz-se o analogo, construindo-se asolucao r ate omatch point. Em princpio, as possveissolucoes e r nao serao necessariamente iguais nesteponto xmatch. Para assegurar a continuidade da solucaoredefine-se como

    (x) (x) r(xmatch)

    (xmatch)(a x < xmatch). (8)

    Finalmente, verifica-se quao proximos sao os valo-res das respectivas derivadas primeiras de r e da novafuncao assim escalonada, no match point.

    Para se testar a condicao de contorno das derivadasprimeiras, tendo-se em conta as series de Taylor para(x+ ) e (x ), ate a primeira ordem, pode-se es-crever

    d

    dx

    xr

    =match+1 match1

    2,

    dr

    dx

    xr

    =rmatch+1 rmatch1

    2,

    (9)

    nas quais match1 = (xmatch ).Se a diferenca entre esses valores for menor que o

    valor de um erro predefinido, interrompe-se o processo,confirmando-se o autovalor procurado e a respectiva au-tofuncao como sendo

    (x) =

    (x), (a x < xmatch)

    r(x), (xmatch x b)

    Se a condicao de continuidade das derivadas nao forsatisfeita, incrementa-se o valor da energia para a buscade um novo valor, que seja realmente um autovalor doproblema, e de sua respectiva autofuncao.

    O processo pode ser repetido ate que se determine onumero desejado de autovalores e autofuncoes do pro-blema.

    Por se basear na expansao em serie de Taylor atequarta ordem, o erro no metodo de Numerov [7] e bemmenor do que o erro em metodos baseados em expansaoem ordem mais baixa, como o de Runge-Kutta.

    3. O oscilador harmonico

    A equacao de Schrodinger para uma partcula de massam em um campo conservativo, tal como um poco de po-tencial unidimensional V (x), pode ser escrita como umaequacao de autovalor

    H(x) = E(x),

    na qual as energias E sao os autovalores e as funcoes(x), as respectivas autofuncoes de quadrado integraveldo operador hamiltoniano H dado por

    H = ~2

    2m

    d2

    dx2+ V (x).

    Considerando que um potencial fsico real se anulano infinito, as autofuncoes tambem se anulam nos ex-tremos de um dado intervalo [a, b] que sera o domniode integracao da equacao, i.e., (a) = (b) = 0.

    Assim, de um outro ponto de vista, o problema dopoco unidimensional e um problema de autovalor queenvolve uma equacao diferencial linear e homogenea desegunda ordem do tipo

    (x) = k2(x)(x), (10)

    sujeita a condicoes de contorno nos limites de um in-tervalo [a, b], sendo

    k2(x) =2m

    ~2[E V (x)

    ].

    Um exemplo tpico de um problema em mecanicaquantica, que envolve a equacao de Schrodinger semtermo de derivada primeira, e a determinacao dos auto-valores e autofuncoes do oscilador harmonico de massam e frequencia natural , cuja energia potencial e dadapor

    V (x) =1

    2m2x2.

    Assim, k2(x) pode ser escrito como

    k2(x) =2m

    ~2

    [E 1

    2m2x2

    ]=

    2m

    ~

    [E

    ~ 1

    2

    (m~

    )x2

    ],

    e a equacao de Schrodinger pode ser escrita como

    (x) = 2

    ( 1

    2x2

    )(x),

    onde x esta em unidades dem/~ e a energia , em

    unidades de ~.A Tabela 1 mostra a comparacao dos 6 primeiros

    autovalores () de um oscilador harmonico, calculadosanaltica e numericamente, em unidades de ~, e aFig. 2, as correspondentes autofuncoes, numericamentedeterminadas, em funcao de x, onde x esta em unidadesde

    m/~.

  • O metodo numerico de Numerov aplicado a equacao de Schrodinger 2310-5

    Tabela 1 - Comparacao do espectro de energia do osciladorharmonico analtica e numericamente calculado.

    (E/~) Analtico Numerico0 0,5 0,51 1,5 1,52 2,5 2,53 3,5 3,54 4,5 4,55 5,5 5,5

    Figura 2 - Energia potencial (em vermelho, na versao eletronica)e as autofuncoes do oscilador harmonico para os seis primeirosnveis de energia.

    4. O atomo de hidrogenio nao relativs-tico

    Apesar de ter sido desenvolvido para equacoes diferen-ciais ordinarias lineares e homogeneas de segunda or-dem que nao contenham termos de derivada primeira, ometodo de Numerov pode ser generalizado para abran-ger a presenca de termos que contenham derivada pri-meira na equacao diferencial, de modo a se poder con-siderar tambem problemas de autovalor [8].

    De fato, no caso de equacoes lineares, toda equacaodiferencial de segunda ordem do tipo

    d2y

    dx2+ P (x)

    dy

    dx+Q(x)y = 0,

    pode ser escrita em sua forma normal [9]

    d2y

    dx2+ q(x)y = 0,

    onde

    q(x) = Q(x) 14P 2(x) 1

    2

    dP

    dx.

    A equacao radial de Schrodinger para uma partculade massa m sob a acao de um campo eletrico coulombi-ano, como o eletron no atomo de hidrogenio, pode serescrita como

    d2R(r)

    dr2+

    2

    r

    dR(r)

    dr+

    2m

    ~2

    [E +

    e2

    r ~

    2

    2m

    (+ 1)

    r2

    ]R(r) = 0. (11)

    Fazendo-se a substituicao de variavel r = xaB,

    sendo aB= ~2/(me2) o raio de Bohr, pode-se reescrever

    a equacao diferencial anterior, Eq. (11), para uma novafuncao y(x) = R(r), como uma equacao de autovalor

    d2y

    dx2= 2

    x

    dy

    dx[ V (x)

    ]y(x), (12)

    em que =E

    e2/(2aB )e V (x) =

    (+ 1)

    x2 2x

    sao, res-

    pectivamente, a energia e o chamado potencial efetivo(Fig. 3), em unidades atomicas.

    Figura 3 - Potencial efetivo para o atomo de hidrogenio em 3dimensoes.

    Nesse caso, a equacao que se pretende resolver pelometodo de Numerov apresenta um termo que envolve aderivada primeira, e pode ser expressa por

    (x) = p(x)(x) s(x)(x), (13)

    onde p(x) =

    2

    x p(x) = 2

    x2,

    s(x) = V (x).

    De acordo com as expansoes de Taylor, Eq. (3),pode-se reescrever a Eq. (13) como(

    1 +2

    12

    d2

    dx2

    )(x) = p(x)(x) s(x)(x)

    2

    12

    d2

    dx2

    [p(x)(x) + s(x)(x)

    ]. (14)

    De maneira similar ao caso anterior, de acordo coma Eq. (4), pode-se escrever o termo do lado direito daEq. (14) que contem derivadas de ordem 2, como

    d2

    dx2

    [p(x)(x) + s(x)(x)

    ]=

    1

    2

    [p(x+ )(x+ ) + s(x+ )(x+ ) +

    +p(x )(x ) + s(x )(x ) +

    2p(x)(x) 2s(x)(x)]. (15)

  • 2310-6 Caruso e Oguri

    Substituindo as derivadas de primeira ordem pelasaproximacoes

    (x) =[(x+ ) (x )

    ]/(2),

    (x+ ) =[(x+ ) (x)

    ]/,

    (x ) =[(x) (x )

    ]/,

    (16)

    obtem-se

    d2

    dx2

    [p(x)(x) + s(x)(x)

    ]=

    1

    2

    {[p(x+ ) p(x)

    + s(x+ )

    ](x+ ) +

    +

    [p(x) p(x )

    + s(x )

    ](x ) +

    2

    [p(x ) p(x+ )

    2 s(x)

    ](x)

    },

    ou seja,

    d2

    dx2

    [p(x)(x) + s(x)(x)

    ]=

    1

    2

    {[p(x) + s(x+ )

    ](x+ ) +

    [p(x) +

    +s(x )](x ) 2

    [p(x) + s(x)

    ](x)

    }. (17)

    Levando em conta que o lado esquerdo da Eq. (14)e igual a [

    (x+ ) + (x ) 2(x)]/2,

    pode-se escrever

    (x+ ) + (x ) 2(x)2

    =

    p(x)[(x+ ) (x )

    2

    ] s(x)(x) +

    112

    [p(x) + s(x+ )

    ](x+ )

    1

    12

    [p(x) + s(x )

    ](x ) +

    +1

    6

    [p(x) + s(x)

    ](x).

    Reagrupando-se os termos, e fazendo-se (x ) = 0,r(x) = 1,(x+ ) = 2,

    (18)

    obtem-se a equacao de diferencas de Numerov para oproblema, adequada a propagacao da solucao a partirdo limites do intervalo de integracao

    2 =

    2

    {1

    [s(x) p

    (x)

    5

    ]52

    12

    }1

    {1 p(x)

    2+

    [s(x ) + p(x)

    ]2

    12

    }0{

    1 + p(x)

    2+

    [s(x+ ) + p(x)

    ]2

    12

    } . (19)

    A partir dessa formula pode-se implementar um pro-cedimento analogo ao caso anterior para a construcaode solucoes da equacao radial de Schrodinger no inter-valo (0,).

    A Tabela 2 mostra a comparacao de alguns dos auto-valores () do atomo de hidrogenio, calculados analticae numericamente para l = 1, e a Fig. 4, as correspon-dentes solucoes radiais.

    Tabela 2 - Espectro de energia dos 3 primeiros estados excitadosdo atomo de hidrogenio, para l = 1, em 3 dimensoes.

    E(eV) Analtico NumericoE2 -3,40 -3,47E3 -1,51 -1,54E4 -0,85 -0,83

    Figura 4 - Potencial efetivo (em vermelho, na versao eletronica) eas solucoes radiais do atomo de hidrogenio, correspondentes aos3 primeiros estados excitados, para l = 1, em 3 dimensoes.

  • O metodo numerico de Numerov aplicado a equacao de Schrodinger 2310-7

    5. Comentario final

    Os programas para implementar o metodo de Nume-rov foram desenvolvidos em C++, para o compiladorCint do ROOT, versao 5.25/2009. Por um problemade espaco, preferimos disponibilizar o codigo computa-cional no endereco https://dl.dropboxusercontent.com/u/8500922/numerov_program.pdf.

    Embora tenhamos apresentado apenas duas aplica-coes didaticas, o metodo de Numerov e suficientementegeral e robusto a ponto de poder ser usado em tra-balhos cientficos modernos, como a investigacao dadependencia dos nveis de energia do atomo de hi-drogenio nao relativstico com a dimensionalidade doespaco [10] ou a analise dos efeitos sobre a dinamicade uma partcula eletricamente carregada interagindocom um potencial de Chern-Simons em duas dimensoesespaciais [11].

    Referencias

    [1] Michele Benzi, Key Moments in History of Nume-rical Analysis, disponvel em http://siam.lsu.edu/

    wp-content/uploads/2009/09/nahist.pdf, acessadoem 28/1/2013.

    [2] Peter Lax, apud http://www.dougshaw.com/uhl/.

    [3] Numerov, Boris Vasilevich. Publications de lObserva-toire Astrophysique Central de Russie II, 188 (1923).

    [4] Boris Vasilevich Numerov, Monthly Notices of theRoyal Astronomical Society 84, 592 (1924).

    [5] Boris Vasilevich Numerov, Astronomische Nachrichten230 359 (1927).

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    [8] J.P.Leroy and R. Wallace, The Journal of Physical Che-mistry 89, 1928 (1985).

    [9] George F. Simmons, Differential Equations: With Ap-plications and Historical Notes (Tata McGraw-Hill,New Dehli, 1974).

    [10] F. Caruso, J. Martins and V. Oguri, Physics Letters A377, 694 (2013).

    [11] F. Caruso, J.A. Helayel-Neto, J. Martins and V. Oguri,The European Physical Journal B, Condensed MatterPhysics, 86, a.n. 324 (2013).

    https://dl.dropboxusercontent.com/u/8500922/numerov_program.pdfhttps://dl.dropboxusercontent.com/u/8500922/numerov_program.pdfhttp://siam.lsu.edu/wp-content/uploads/2009/09/nahist.pdfhttp://siam.lsu.edu/wp-content/uploads/2009/09/nahist.pdfhttp://www.dougshaw.com/uhl/