Numeriek onderzoek naar het bezwijkgedrag van horizontaal ...

Kasper Heyndrickx

horizontaal gegolfde (on)verstijfde silo'sNumeriek onderzoek naar het bezwijkgedrag van

Academiejaar 2015-2016Faculteit Ingenieurswetenschappen en ArchitectuurVoorzitter: prof. dr. ir. Luc TaerweVakgroep Bouwkundige Constructies

Master of Science in de industriële wetenschappen: bouwkundeMasterproef ingediend tot het behalen van de academische graad van

Begeleider: Arne JansseunePromotoren: prof. dr. ir. Wouter De Corte, prof. dr. ir.-arch. Jan Belis

Voorwoord

Het tot stand brengen van deze thesis heeft heel wat tijd in beslag genomen. Hoewel diteen individueel eindwerk betreft, kan niet gezegd worden dat ik alles alleen heb moetendoen. Verscheidene mensen hebben mij gedurende dit laatste academiejaar bijgestaan omalles tot een goed einde te brengen. Vandaar dit dankwoord, om ook hen een verdiendeplek in dit eindwerk te bieden.

Ten eerste een groot woord van dank voor mijn begeleider dr. ir. Arne Jansseune.Vanaf de start heeft hij een grote hoeveelheid kennis over silo’s gedeeld waardoor snel enefficient gestart kon worden. In de loop van dit academiejaar heeft hij veel tijd gespendeerdaan het helpen bij problemen, opstellen van modellen en algemene begeleiding. Eenbedanking is dus zeker verdiend!

Ten tweede wil ik mijn promotoren prof. dr. ir. Wouter De Corte en prof. dr. ir.-archJan Belis bedanken, die mij dit onderwerp hebben toegekend, en hier ook tijdens ditacademiejaar tijd voor hebben vrijgemaakt.

Verder bedank ik graag mijn moeder, die mijn studies heeft gefinancierd, en diteindwerk verschillende keren heeft nagelezen.

Ook wil ik mijn medestudenten bedanken, die altijd voor een goede sfeer hebbengezorgd tijdens de vele uren die aan dit werk gespendeerd zijn. Hun motto ”eencompliment per dag houdt Kasper aan de slag”heeft zonder twijfel een positieve invloedgehad op dit eindwerk.

i

Toelating tot bruikleen

“De auteur geeft de toelating deze masterproef voor consultatie beschikbaar te stellenen delen van de masterproef te kopieren voor persoonlijk gebruik. Elk ander gebruikvalt onder de beperkingen van het auteursrecht, in het bijzonder met betrekking tot deverplichting de bron uitdrukkelijk te vermelden bij het aanhalen van resultaten uit dezemasterproef.”

“The author gives permission to make this master dissertation available forconsultation and to copy parts of this master dissertation for personal use. In the caseof any other use, the limitations of the copyright have to be respected, in particularwith regard to the obligation to state expressly the source when quoting results from thismaster dissertation.”

Kasper Heyndrickx,7 juni 2016, Gent

ii

Numerical research to the failure behavior of

horizontally corrugated (un)stiffened silos

Kasper Heyndrickx

Supervisors: Wouter De Corte, Jan Belis, Arne Jansseune

Abstract – Even though horizontally corrugated silos are

fairly common, to this day not much research regarding both

unstiffened and stiffened horizontally corrugated silos has been

carried out. In order to provide a better understanding and

know the failure behavior of these types of structures, this study

intends to analyze just that. The aim of this thesis is also to check

the validity of Eurocode 3.

This research consists of two main parts. In the first part, the

failure behavior of unstiffened silos is analysed using the finite

element software Abaqus. The obtained failure loads are

compared with the permissible loads given by Eurocode 3. Next,

similar analysis was carried out on horizontally corrugated silos

with vertical stringer stiffeners. All silos were assumed to contain

no imperfections in the silo wall and carry axisymmetric loads

exclusively.

Keywords - Corrugated walls, failure behavior, Eurocode 3,

Silo, Finite elements, Abaqus

I. INTRODUCTION

Horizontally corrugated silos with vertical stringer stiffeners

are often used for their economical steel consumption and low

sensitivity to imperfections in the silo wall, compared to

isotropic thin walled silos. These silos are also built without

stiffeners up to a height of 6 meters. Eurocode 3 [1] gives

several formulae to predict the ultimate limit load of both

stiffened and unstiffened silos. However, in many cases these

formulae tend to give conservative results.

In this dissertation both unstiffened and stiffened silos are

observed. It is instinctively clear that unstiffened silos with

horizontally corrugated panels collapse at a much lower load

than stiffened silos, since the silo wall can carry little axial

loads. Because of the corrugations, the silo wall is strong in

the circumferential direction, but weak in the axial direction.

The unstiffened wall forms plastic hinges at the crests of the

corrugations, which results in plastic failure.

In stiffened silos, the vertical stringer stiffeners are assumed

to carry all axial loads, whereas the silo wall is subject to

tensile stresses due to outward pressures of the silo fill. The

silo wall also provides support to prevent buckling of the

stringer stiffener.

II. EUROCODE 3

A. Unstiffened silos

As mentioned before, failure in unstiffened horizontally

corrugated silos is a result of plastic hinges in the crests of the

corrugations. This is mostly known as corrugation failure, but

can also be called squashing, folding or re-corrugation failure.

The deformed shape is shown in Figure 1.

Figure 1: Corrugation collapse

To predict the failure load of this type of plastic failure,

Eurocode 3 [1] provides two formulae to calculate the local

plastic buckling resistance given by eq. (1) and eq. (2)

(1)

(2)

where t is the wall thickness, fy is the yield strength, d is the

depth of the corrugations, r is the silo radius and Rϕ is the local

curvature of the corrugation. The first formula only considers

the curvature caused by the corrugations, whereas the second

considers a double curved shell surface, taking into

consideration both the local curvature and the silo radius.

When the silo radius is large, the effect of this curvature can

indeed be ignored. Thus, eq. (1) provides a lower boundary

which is valid as soon as the silo radius reaches a certain size.

However, as the silo radius grows smaller, the effect of this

second curvature becomes more important, and can no longer

be ignored. Therefore, a small radius will result in a

significant increase in the local plastic buckling resistance,

given by eq. (2). The greater of eq. (1) and (2) is thus valid.

B. Stiffened silos

Predicting the behavior of stiffened silos is significantly

more complicated than that of unstiffened silos. As mentioned

before, the stiffeners are assumed to carry the entire axial

load. They can fail due to plastic collapse or buckling. A third

mode of failure occurs when the entire silo wall buckles,

instead of the individual columns. In this case the entire silo

wall including stiffeners is treated as an orthotropic shell.

Eurocode 3 [1] provides several formulae to calculate an

admissible maximum load. Which method is used depends on

the horizontal distance between two stringer stiffeners.

iii

When the horizontal distance meets eq. (3) the theory of

Donnell-Mushati-Vlasov (DMV) is used to predict the

buckling resistance of the stiffened silo. [2]

(3)

where ds is the horizontal distance between two stringer

stiffeners, kdx is a constant with a value of 9,1 recommended

by Eurocode 3, Dy is the flexural rigidity parallel to the wall

corrugation and Cy is the stretching stiffness parallel to the

wall corrugation. In Eurocode, the DMV theory results in eq

(4).

(4)

where j is the critical wave number and A1,2,3 are parameters

based on the equivalent orthotropic properties of the

corrugated sheets. ω is dependent on the buckling height li, as

well as the radius of the silo and the critical wave number j.

Eq 4 is minimized by varying the critical wave number j and

the buckling height li.

The characteristic buckling resistance nx,Rk should be

obtained by using the smallest value of eqs. (5) and (6)

(5)

(6)

where αx is the elastic buckling imperfection reduction

factor. The recommended value of αx =0,8 is used. Aeff is the

effective cross-sectional area of the stringer stiffener. It is

clear that eq. (6) equates to plastic failure in the stringer

stiffeners, whereas eq. (5) predicts elastic-plastic collapse of

the orthotropic silo wall.

When the number of stiffeners is low, or the distance

between them high (ds > ds,max ), only the 2D behavior of the

column is considered. Two different assumptions can be

made, where the second one (b) is usually preferred.

(a) ignoring the supporting action of the wall sheets in

resisting buckling displacements normal to the wall

(b) allowing for the stiffness of wall sheets in resisting

buckling displacements normal to the wall

In the current version of Eurocode 3, the critical buckling

resistance of a single stiffener is calculated using the smallest

value of eq (7) and (8).

(7)

(8)

where E is the Young’s modulus of steel, Iy the second

moment of area of the stringer stiffener about the

circumferential axis, and K is the flexural stiffness of the wall

plate, given by (9). Again, depending on which formula

results in the smallest value, the structure will either undergo

plastic collapse (eq. (8)) or buckling (eq. (7)). It should

however be noted that this method (eq. (7) and (8) ) of

calculating the critical buckling resistance will soon be

outdated, and will be replaced with eq. (9).

(9)

This is a standard buckling calculation of an axially loaded

free-standing column. In order to consider the supporting

action from the silo wall, the effective length Le of the column

is reduced using eq. (10). Lowering the effective length Le

results in a higher value for the reduction factor χ, and thus a

higher value for the critical buckling resistance Nb,Rk.

(10)

(11)

The supporting action of the silo wall is calculated by

dividing the load by the deflection of the silo wall (eq. (11)),

when this load is applied normal to the silo wall at the

location of an omitted stringer. Usually a simplified model of

the silo wall is assumed, where the silo wall is flat in the

circumferential direction, as shown in Figure 2. This results in

the following equation:

(12)

with the recommended value of the coefficient ks = 6.

Figure 2: Determination of the stiffness of the silo wall [1]

A more accurate prediction of the supporting action of the

silo wall can be made by taking the curvature due to the silo

radius into consideration, as seen in Figure 3. The formulae to

determine the flexural stiffness K this way are omitted here

due to their length and complexity. This complex calculation

of the flexural stiffness will be referred to as K2.

Figure 3: More accurate determination of the stiffness of the silo wall

[1]

One obvious limitation to the predictions of Eurocode is the

sudden increase in the permissible load when the amount of

iv

stringer stiffeners increases. With this increase, the distance

between individual stiffeners decreases, which will suddenly

be smaller than ds,max (ds < ds,max). In case of buckling, this

means eq. (7) will become invalid, and eq. (5) should be used

instead. A proposal has been made to replace eq. (7) with eq.

(13). [2]

(13)

Figure 4 shows this proposal compared to the current

Eurocode predictions. A finite element model (FEM) was

analyzed using an LBA calculation and included in the

comparison.

Figure 4: Comparing the proposed method of calculating the critical

buckling resistance with Eurocode by varying the number of stringer

stiffeners. [2]

III. THE NUMERICAL MODEL

A. Unstiffened silo

In order to check the validity of Eurocode 3 in unstiffened

silos, a finite element model was created using Abaqus. The

standard model is based on a silo battery built in Poland,

which has also been investigated by M. Wójcik et al. [3]

The corrugations had 76mm pitch (l) and 18mm depth (d).

This results in a local curvature at the crest of the corrugation

of Rϕ = 24,5mm. The silo radius was 2,675m. Because

corrugation collapse is unaffected by silo height, the silo was

reduced to contain just 10 corrugations, resulting in a height

of 760mm. The yield strength of the steel is taken as 235MPa.

Figure 5: Visualisation of the numerical model in Abaqus with the

corrugation parameters

The bottom edge of the silo was simply supported, whereas

the top edge was free to move in the vertical direction.

However, in order to consider the effects of the conical roof,

all radial and circumferential translations were assumed to be

zero in the top edge.

A uniform axial line load was applied to the top edge, while

outwards pressures were neglected. Both MNA (materially

non linea) and GMNA (geometrically and materially non-

linear) analysis have been performed.

A mesh study was carried out in order to determine the most

suitable elements for the corrugated shell wall. S8R, S8R5,

S4R and S4R5 elements were compared. Varying shell

dimensions were used to determine the optimal shape and

size.

Eventually a mesh with S4R elements was chosen, where 10

elements per corrugation was used, with an element width 8

times larger than its height. This resulted in a mesh with just

under 40 000 elements.

B. Stiffened silo

The standard model of the stiffened silo is in many ways

similar to the unstiffened silo. The same mesh size is used, as

well as the same type of corrugation. The boundary conditions

at the top and bottom of the silo wall are also identical.

One of the most obvious differences is the addition of

stringer stiffeners. 18 columns were spread out over the

circumference. The stiffener was of the type C2.0, as can be

seen in Figure 6.

Figure 6: Stiffener type C2.0

Another difference is that the height of the silo can no

longer be reduced, as it is an important factor in the buckling

behavior of the stiffeners as well as the silo wall. A total

height of 20m was modeled. This results in a drastic increase

in mesh size, making it unrealistic to compute a model of this

size using the available hardware.

For this reason, only one of the 18 stiffeners was modeled,

with 1/18 of the silo wall attached to it using tie constraints.

This has the obvious limitation that the buckling wave number

cannot be different from the number of stiffeners.

The last difference with the unstiffened model is the way

the load is modeled onto the shell wall. It was noted that when

using a uniform line load on the top edge, premature failure

occurred in the top of the silo wall, before this load could be

transferred to the stringer stiffeners. Therefore, a more

realistic load was applied, calculated according to Eurocode 1

[4], where both downward shear and outward pressures are

taken into consideration.

v

Figure 7: Distribution of the loads applied to the stiffened silo

IV. RESULTS

A. Unstiffened silo

Comparing both the MNA and GMNA results of the

standard model to Eurocode, it is clear that Eurocode gives a

very conservative result. The failure load according to Abaqus

was 37% higher than that of Eurocode.

One explanation is that neither eq. (1) or (2) takes into

consideration the load carrying mechanisms of the shell,

meaning that a shell will balance out an applied transverse

load, such that the membrane stresses are uniformly

distributed, and bending stress resultants are minimized. [5]

Also, eq. (1) and (2) are both based on the Tresca yield

criterion, whereas the yield criterion of Von Mises would

give a more accurate result.

It should be noted that the GMNA results are 80% of the

MNA results, meaning that the recommended value of αx

=0,80 is justified.

In order to further investigate the behavior of unstiffened

silos, a parametric study was carried out. First the silo radius

was varied from 100mm to 10m to determine the effect of the

second curvature. The difference with Eurocode of 30 to 40%

persists here, and is visible in all the following calculations.

Figure 8: variation of the silo radius, t=1mm

In the second parametric study, a total of 140 models were

calculated, with a varying corrugation depth (d) and plate

thickness (t). The corrugation pitch (l) was dependent on the

depth, with a constant factor l/d of either 4 or 10. The results

are compared with Eurocode in Figure 9 and Figure 10.

Figure 9: Failure load in Abaqus compared with Eurocode, l/d=10

Figure 10: Failure load in Abaqus compared with Eurocode, l/d=4

It is clear that the conservative prediction of Eurocode

persists for various shell geometries. For the narrow

corrugation (l/d = 4), the results are very consistent. Only

when the depth of the corrugation becomes very low (2mm),

Eurocode overestimates the failure load. This is because eq.

(1) increases rapidly as the depth of the silo wall decreases.

However, in reality a decrease in corrugation depth means the

silo wall approaches a flat shell, where different calculations

should be used.

In the wide corrugations (l/d = 10), results are much more

scattered. The models with the thinnest shells (0,5mm;

0,75mm) and biggest depths (d=12,14,16,18,20) started to

undergo elastic-plastic failure instead of forming perfectly

plastic hinges in the crests of the corrugations.

B. Stiffened silo

As mentioned in part III, the standard model consists of

only one stiffener with only part of the silo wall. Symmetry is

applied to visualize the rest of the silo, for this reason, this

model will be referred to as the symmetrical model.

Contrary to unstiffened silos, where Eurocode always

predicts plastic collapse, in stiffened silos failure can be either

a result of buckling or plastic failure. Depending on the silo

geometry, different formulae need to be used. To check the

validity of eqs. (5), (6), (7) and (8), four models based on the

standard symmetrical model are analysed using GMNA.

For eqs. (6) and (8), where plastic failure is predicted,

respectively 18 and 10 stiffeners are modeled, in both cases

with a yield strength of 235MPa. Indeed, the columns become

fully plastic in both models, resulting in a limit load very

similar to the one predicted by Eurocode. For example, in the

vi

model with 18 stiffeners and a yield strength of 235MPa, a

failure load of 1935kN was found. In this case, Eurocode

predicts a failure load of 1899kN, which results in a deviation

of only 2%.

In eq. (7), Eurocode predicts buckling of the stringer

stiffener. This formula can only be used when the distance

between stringer stiffeners is big enough (ds > ds,max),

therefore, a model with 10 stiffeners was used. In order to

obtain buckling before plastic failure, a high yield strength of

960MPa was used.

To consider the supporting action of the silo wall, the

flexural stiffness of the wall plate is calculated as either K1 or

K2. Also, eq. (7) will soon be replaced with the new eq. (9).

This results in four different ways of calculating the buckling

limit load: using the old eq. (7) with K1 or K2 and the new

eq. (9) with K1 or K2. All these results, as well as the obtained

failure load per stringer stiffener from Abaqus are shown in

Figure 11. It is clear that Eurocode generally gives very

conservative results. Also, depending on which method is

used, predictions can vary greatly.

Figure 11: Failure load according to Eurocode compared with

Abaqus, 10 stiffeners, fy=960MPa

To check the validity of eq. (5), the symmetrical model of

the standard silo with 18 stiffeners was used, with a yield

strength of 960MPa. However, since Eurocode predicts

buckling of the silo wall, with a buckling wave number

different from the number of stiffeners, this symmetrical

model can never accurately simulate this buckling form. A

failure load of 5080kN was obtained. In this model the

stiffeners failed similarly to the previous model.

A parametric study was performed with a varying yield

strength and a varying number of stiffeners. As expected,

plastic failure occurs with low yield strengths. Buckling

occurs as the yield strength grows higher. The number of

stiffeners seems to have no effect on the load at which the

individual stiffeners fail, as can be seen in Figure 12.

Figure 12: Parametric study with varying yield strength and number

of stiffeners

A second study was performed by varying the number of

stiffeners and the plate thickness of the stiffener. Apart from

the standard C2.0 profile with a plate thickness of 2mm, C1.5,

C2.5 and C4.0 were also tested. A yield strength of 235MPa

was assumed.

Figure 13: Parametric study with varying plate thickness and number

of stiffeners

At a set yield strength of 235MPa, plastic failure occurs in

the stiffener, regardless of its plate thickness, or the number of

stiffeners used.

To provide an answer to the shortcomings of the

symmetrical model, a second model has been analyzed. This

second model, referred to as the orthotropic model, consists of

an orthotropic shell wall with beam elements as stiffeners.

The curvature of the corrugations is not modeled, as its effects

are accounted for in the orthotropic properties. These

properties are calculated according to Eurocode 3 [1].

This means only a simple cylinder with stiffeners needs to

be modeled. The large number of elements needed to

accurately describe the double curvature of the shell wall can

thus be greatly reduced in this orthotropic model. This way,

the full cylinder can be modeled, without the need for

symmetry.

A uniform line load is applied to the top edge of the

cylinder. Two models were calculated. The geometry of both

remains the same as the standard model. One model is

calculated with a yield strength of 235MPA. The other is

modeled with a linear elastic material with no yield strength.

Both models have failure loads significantly different from

Eurocode. The first model undergoes plastic failure at

1472kN, whereas Eurocode predicts 1899kN. Notice that the

symmetrical model resulted in a failure load very close to the

one predicted by Eurocode, whereas this orthotropic model

severely deviates from Eurocode.

The second model, with no yield strength, has a failure load

of 3143kN, whereas Eurocode predicted a failure load of

11462kN. The stresses in the stiffeners when failure load is

applied can be seen in Figure 14.

Figure 14: Stresses at failure in the orthotropic model with a linear

elastic material

vii

In this case, buckling of the shell wall was assumed to occur

with a buckling wave number of 3 according to Eurocode 3.

Instead, failure happens at the top of the silo wall, where local

buckling results in failure. From these initial results, it seems

the orthotropic model fails to provide accurate results.

However, it still needs to be checked how it behaves under

different load conditions. A full model should also be

generated without applying symmetry, to compare this with

the orthotropic and symmetric model.

V. CONCLUSIONS

Eurocode provides conservative results for unstiffened silos

in most cases. However, care should be taken when working

with small corrugation depths, and wide corrugations, as they

might undergo elastic-plastic collapse where Eurocode

predicts the crest of the corrugation to develop a fully plastic

zone.

The stiffened silos tend to follow Eurocode closely when

plastic failure occurs. However, when failure happens due to

buckling, Eurocode tends to give a very conservative

prediction as well, except when eq. (5) is valid, in which case

Eurocode severely overestimates the admissible load.

However, in the last case, the model used in this study

might not be accurate enough due to its limited size. An

orthotropic model might provide an answer to this problem,

although initial results suggest otherwise.

REFERENCES

[1] EN 1993-4-1 (2007) Eurocode 3: Design of steel structures, part 4.1: Silos. CEN, Brussels

[2] Sondej, M. (2015). Critical assessment of Eurocode approach to

stability of metal cylindrical silos with corrugated walls and vertical stiffeners. Faculty of Civil en Environmental Engineering, Gdansk

University of Technology [3] Wójcik, M. (2011) 3D Buckling analysis of a cylindrical metal bin

composed of metal corrugated sheets strengthened by vertical

stiffeners. Faculty of Civil and Environmental Engineering, Gdansk University of Technology.

[4] EN 1991-4 (2006). Eurocode 1: Actions on structures, part 4: Silos

and tanks. CEN, Brussels [5] Ventsel, E. (2001) Thin Plates and Shells: Theory, Analysis, and

Applications. CRC Press

viii

Inhoudsopgave

Voorwoord i

Toelating tot bruikleen ii

Abstract iii

Lijst van figuren xi

Lijst van tabellen xv

Lijst van symbolen xvi

1 State of the art 1

1.1 Eigenschappen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 courante afmetingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3 Equivalente orthotrope eigenschappen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.4 Soorten berekeningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.5 Belastingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.6 Bezwijktypes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.7 Berekening van de bezwijkbelasting bij onverstijfde silos . . . . . . . . . . 17

1.8 Berekening van de bezwijkbelasting bij verstijfde silos . . . . . . . . . . . . 22

1.8.1 Berekend als orthotrope plaat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.8.2 Belasting enkel gedragen door verstijvers . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.8.3 Verschil tussen de twee rekenmethodes . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2 Het numeriek model 32

2.1 Geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.2 Assenstelsel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.3 Materiaaleigenschappen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

ix

INHOUDSOPGAVE

2.4 Mesh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.5 Randvoorwaarden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.6 Belasting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3 Numeriek onderzoek en controle Eurocode 41

3.1 Meshstudie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.2 Onverstijfd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.2.1 Vergelijking met Eurocode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.2.2 Invloed van de plaatdikte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.2.3 Parameterstudie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.3 Verstijfd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.3.1 Vergelijking met Eurocode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.3.2 Parameterstudie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3.3.3 Orthotroop model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

4 Conclusies 75

4.1 Besluit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

4.2 Beperkingen van het onderzoek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

4.3 Verder onderzoek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

A Berekening van K2 79

x

Lijst van figuren

1.1 Verband tussen de verschillende golfparameters bij een arc-tan golftype . . 2

1.2 Golfeigenschappen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3 Orientatie van de golven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.4 Courante doorsnedes van langsverstijvers [mm] (Iwicki, 2011) . . . . . . . . 6

1.5 Verband tussen het vloeicriterium van Von Mises en van Tresca . . . . . . 11

1.6 Twee componenten van de belasting op de silo . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.7 Vormen van plastische scharnieren bij meridionale belasting . . . . . . . . 15

1.8 verbinding van de verstijver met de silowand (EN 1993-4-1, 2007) . . . . . 16

1.9 Spanningsverdeling in de silowand onder axiale belasting . . . . . . . . . . 18

1.10 Enkelvoudig gekromde schaal (links) en dubbel gekromde schaal (rechts) . 19

1.11 Variatie van de bezwijkbelasting bij een variabele silo-straal. (Rotter, J.M.,1987) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.12 Eerste eigenmode in een LBA analyse, r=10m, h=20m, n=40 . . . . . . . . 24

1.13 Rekenmodel verende ondersteuning van de silowand (Wojcik, 2011) . . . . 28

1.14 Bepaling veerconstante bij kromme silowand . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1.15 Kritische druk volgens eindige elementen in vergelijking met Eurocode(Sondej, 2015) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1.16 bezwijkvormen bij verstijfde silo’s. boven: ds < ds,max, onder: ds > ds,max(Sondej, 2015) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.1 golfparameters (mm) van de standaardplaten . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.2 Basis referentiemodel van de horizontaal gegolfde, onverstijfde silo . . . . . 33

2.3 Buitenafmetingen (mm) van het standaardprofiel van de langsverstijver C2.0 34

2.4 Basis referentiemodel voor de horizontaal gegolfde, verstijfde silo . . . . . . 35

2.5 Verduidelijking referentiemodel verstijfde silo . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.6 Globaal en lokaal assenstelsel in een cilindrische structuur . . . . . . . . . 36

2.7 Randvoorwaarden bij de onverstijfde silo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.8 symmetrie toegepast op de verstijfde silo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

xi

LIJST VAN FIGUREN

3.1 Verschil in het aantal knopen bij S4R en S8R elementen. . . . . . . . . . . 42

3.2 Bezwijkbelasting van de referentiesilo afhankelijk van het elementtype . . . 43

3.3 Vergelijking van de rekentijd bij verschillende meshgroottes . . . . . . . . . 44

3.4 Spanning over de silowand bij bezwijken (GMNA) in vergelijking met devon Mises spanning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.5 Spanning over de silowand bij bezwijken (MNA) in vergelijking met de vonMises spanning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.6 Spanning in meridionale richting bij corrugation collapse in een MNAberekening . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.7 Vergelijking formules Eurocode bij variabele plaatdiktes . . . . . . . . . . . 49

3.8 Spanningen in de golftop bij elastisch bezwijken, t=0,1mm . . . . . . . . . 50

3.9 Elastisch bezwijken bij zeer dunne silowand, t=0,1mm . . . . . . . . . . . 50

3.10 Variatie van de bezwijkbelasting bij een variabele silo-straal . . . . . . . . 51

3.11 Bezwijkbelasting bij variabele golfdiepte, l/d = 4 . . . . . . . . . . . . . . 53

3.12 Bezwijkbelasting bij variabele golfdiepte in vergelijking met Eurocode, l/d= 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.13 Bezwijkbelasting bij variabele plaatdikte, l/d = 4 . . . . . . . . . . . . . . 54

3.14 Bezwijkbelasting bij variabele plaatdikte in vergelijking met Eurocode, l/d= 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3.15 Bezwijkbelasting bij variabele golfdiepte, l/d = 10 . . . . . . . . . . . . . . 54

3.16 Bezwijkbelasting bij variabele golfdiepte in vergelijking met Eurocode, l/d= 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.17 Bezwijkbelasting bij variabele plaatdikte, l/d = 10 . . . . . . . . . . . . . . 55

3.18 Bezwijkbelasting bij variabele plaatdikte in vergelijking met Eurocode, l/d= 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.19 Contourplot ter bepaling van nx,Rcr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.20 Bezwijkmode bij een LBA analyse op het orthotroop model met grove mesh 59

3.21 Vervormingen van het symmetrisch Abaqusmodel op het moment vanmaximale belasting, ns=18, fy=960MPa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3.22 Spanningen in vervormde toestand op het moment van maximale belasting,ns=18, fy=235MPa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3.23 Verband tussen K en Nbrk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

3.24 Verschillende knikkrommes met de situering van de beschouwde kolom ingeval 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

3.25 Vergelijking tussen de nieuwe en oude rekenmethode en de resultaten uitAbaqus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3.26 Verschillende bucklingcurves met de situering van de beschouwde kolom ingeval 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

xii

LIJST VAN FIGUREN

3.27 Overgang van plastisch bezwijken naar uitknikken bij n=10 en profieltypeC2.0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3.28 Bezwijkbelasting bij een verschillend aantal verstijvers in functie van devloeigrens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3.29 Dimensieloze bezwijkbelasting bij een verschillend aantal verstijvers infunctie van de vloeigrens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3.30 Bezwijkbelasting bij verschillende vloeigrenzen in functie van het aantalverstijvers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3.31 Dimensieloze bezwijkbelasting bij verschillende vloeigrenzen in functie vanhet aantal verstijvers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

3.32 Bezwijkbelasting in functie van de plaatdikte van de verstijver, fy = 235MPa 69

3.33 Dimensieloze bezwijkbelasting in functie van de plaatdikte van deverstijver, fy = 235MPa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

3.34 Bezwijkbelasting in functie van het aantal verstijvers, fy=235MPa . . . . . 70

3.35 Dimensieloze bezwijkbelasting in functie van het aantal verstijvers,fy=235MPa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

3.36 Vergelijking van de bezwijkbelasting volgens verschillende modellen,fy=235MPa, n=18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

3.37 Spanningen op het moment van bezwijken in het orthotroop model,fy=235MPa, n=18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

3.38 Vergelijking van de bezwijkbelasting volgens de verschillende modellen,geen vloeigrens, n=18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3.39 Spanningen op het moment van bezwijken in het orthotroop model, geenvloeigrens, n=18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3.40 Vergelijking tussen de bezwijkbelasting volgens het orthotroop model enEurocode, geen vloeigrens, n=18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

xiii

Lijst van tabellen

1.1 Parameters bij silo met gegolfde panelen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Spanningen en krachten in gegolfde platen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4



1.5 Soorten schaalberekeningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.1 Afmetingen referentiesilo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.2 Materiaaleigenschappen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.3 Meshparameters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.1 Bezwijkbelasting bij het gebruik van verschillende elementtypes . . . . . . 43

3.2 Afmetingen parameterstudie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.3 Verschil in eigenschappen bij 4 modellen om de basisgevallen in Eurocodete analyseren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.4 Afmetingen parameterstudie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3.5 Standaardafmetingen gebruikt in het orthotroop model . . . . . . . . . . . 71

xv

Lijst van symbolen

Symbool Eenheid Beschrijving

αx [-] De elastische knik imperfectie reductiefactor

γ [kN/m3] De karakteristieke waarde van het gewicht van hetopslagproduct

γM0 [-] Factor voor de plastische grenstoestand

γM1 [-] Stabiliteitsfactor voor de knikgrenstoestand

λ [-] Relatieve slankheid van de structuur

µ [-] De karakteristieke waarde van de wrijvingscoefficient

ν [-] Poisson ratio

σθ [N/mm2] membraanspanning in omtreksrichting

σeq [N/mm2] Equivalente von Mises spanning

σx [N/mm2] membraanspanning in meridionale richting

χ [-] Reductiefactor

A [mm2] Oppervlak van de doorsnede

Aeff [mm2] Effectieve doorsnede

Cxy [N/mm] rekstijfheid per breedte-eenheid tegen draaiing

Ch [-] Legingsfactor voor horizontale druk

Cw [-] Legingsfactor voor verticale wrijving

Cx [N/mm] rekstijfheid per breedte-eenheid volgens de lokale x-richting

Cy [N/mm] rekstijfheid per breedte-eenheid volgens de lokale y-richting

d [mm] Golfdiepte

ds,max [m] Maximale tussenafstand tussen twee langsverstijvers

Dxy [Nmm] buigstijfheid per breedte-eenheid tegen draaiing

ds [m] Tussenafstand tussen twee langsverstijvers

Dx [Nmm] buigstijfheid per breedte-eenheid volgens de lokalex-richting

xvi

LIJST VAN SYMBOLEN

Dy [Nmm] buigstijfheid per breedte-eenheid volgens de lokaley-richting

E [MPa] Elasticiteitsmodulus

Fu [kN] Bezwijkbelasting

fy [MPa] Vloeigrens

G [MPa] Glijdingsmodulus

h [m] Hoogte van de silo

j [-] Kritische golfnummer

K [-] De karakteristieke waarde van de zijwaartsedrukverhouding

kdx [-] Factor ter bepaling van de maximale tussenafstand tussenlangsverstijvers

l [m] Golflengte

li [m] Halve golflengte van een potentiele buil

mθ [Nmm/mm] Buigspanningsresultante in omtreksrichting

mx [Nmm/mm] Buigspanningsresultante in meridionale richting

n [-] Aantal verstijvers

nθ [N/mm] Membraanspanningsresultante in omtreksrichting

Nθ [N] Normaalkracht in omtreksrichting

Ncr [kN] Kritische last

nx [N/mm] Membraanspanningsresultante in meridionale richting

Nx [N] Normaalkracht in meridionale richting

phe [kPa] Horizontale druk tijdens het legen

phf [kPa] Horizontale druk wanneer de silo gevuld is

pwe [kPa] Verticale wrijving tijdens het legen

pwf [kPa] Verticale wrijving wanneer de silo gevuld is

r [m] Straal van de silo

Rφ [mm] Lokale kromtestraal in de top van de golven

t [mm] Plaatdikte

U [m] De inwendige omtrek van de horizontale doorsnede van desilo

z [m] De diepte onder het oppervlak van het opslagproduct

xvii

Hoofdstuk 1

State of the art

Gegolfde panelen gedragen zich als orthotrope platen. Dit wil zeggen dat huneigenschappen verschillend zijn in verschillende richtingen. Wanneer zo’n panelen belastworden in de richting loodrecht op de golven zullen ze bij een vrij lage belastingbezwijken, omwille van een accordeon-effect. Er wordt dan gesproken van golfbezwijkenof corrugation collapse (EN 1993-4-1, 2007)) Deze platen zijn echter zeer sterk wanneerze belast worden in de richting parallel met de golven.

Volgens C.J. Brown en J. Nielsen worden voor kleine en middelgrote silo’s vaak gegolfdepanelen gebruikt, waarbij de golven horizontaal lopen. Tot op ongeveer 6 meter gebeurtdit vaak onverstijfd. Bij hogere silo’s worden verticale verstijvers gebruikt, waarbijverondersteld wordt dat deze verstijvers de volledige verticale belasting opnemen. Verderwordt vermeld dat er ook al enkele silo’s gebouwd zijn met verticaal lopende golven. Dezezijn zeer groot en behoren tot het squat type, waar de hoogte kleiner is dan de diameter.Er zijn dan ringverstijvers nodig om de inwendige druk van de silo op te nemen, maar denodige sterkte is in axiale richting geen probleem. (Brown en Nielsen, 1998)

Algemeen wordt de silowand in meridionale richting in druk belast, en in omtreksrichtingin trek. De plaatdikte is vaak ontoereikend om de spanningen in omtreksrichting opte nemen omwille van uitknikken van de silowand. (Sondej, 2015) Daarom kunnenhorizontaal gegolfde silo’s aan antwoord bieden: deze zijn in omtreksrichting veel sterkerdan in axiale richting. Andere voordelen zijn onder andere de snelle assemblage en lagekostprijs, alsook dat lokaal uitknikken wordt geelimineerd omwille van de golvingen in deschaalwand. (Sondej, 2015)

Het gebruik van gegolfde panelen in de constructie van silo’s komt vaak voor omwillevan het lage eigengewicht van de silo, gecombineerd met een economisch staalverbruik.(Wojcik, 2011)

1

HOOFDSTUK 1. STATE OF THE ART

1.1 Eigenschappen

Een silo met gegolfde panelen kan worden gedefinieerd aan de hand van enkele parameters,zoals te zien in tabel 1.1.

parameter afkorting eenheid

straal r [m]hoogte h [m]golfdiepte d [mm]golflengte l [mm]lokale kromtestraal Rφ [mm]plaatdikte t [mm]aantal verstijvers n [-]

Tabel 1.1: Parameters bij silo met gegolfde panelen

Meestal wordt bij silo’s met gegolfde panelen gesproken over de golfdiepte, en niet overde amplitude van de golf. De golfdiepte wordt gedefinieerd als het dubbele van deamplitude van een golf. Ook de lokale kromtestraal vergt enige uitleg. In tegenstellingtot vlakwandige silo’s zijn de platen hier gekromd in twee richtingen. De kromtestraalin de ene richting is eenvoudigweg gelijk aan de straal van de silo. De kromtestraal inde andere richting wordt aangeduidt als Rφ. Deze kan worden afgeleid uit de d, l enhet type golf. De meeste golven zijn van het arc-tan type. Dit wil zeggen dat de golvencirkelsegmenten zijn die vloeiend in elkaar overgaan. Algemeen kan het verband herleidworden tot formule 1.1. Dit verband is verder aangetoond in figuur 1.1. Er wordt nogopgemerkt dat golven ook van het sinus-type kunnen zijn. De lokale kromtestraal kanhier op een gelijkaardige manier worden afgeleid. Andere types golven bestaan ook, maarzijn minder courant.

Rφ =d

4+

l2

16d(1.1)

Figuur 1.1: Verband tussen de verschillende golfparameters bij een arc-tan golftype

2


Zowel bij verstijfde als onverstijfde silo’s worden deze parameters gebruikt. De verstijversdie al dan niet worden toegepast worden meestal aangeduid met een letter, gevolgd dooreen getal. De letter duidt de vorm van het profiel aan, terwijl het getal slaat op de diktevan het plaatmateriaal, aangeduid in mm. Verstijvers van dit soort silo’s zijn vaak vanhet type C of V.

De plaateigenschappen worden meestal aangegeven ten opzichte van een lokaalassenstelsel, waarbij de x-as loodrecht op de golven staat, en de y-as parallel loopt metde golven. Loodrecht op de plaat staat de y-as. Dit is te zien in figuur 1.2 en 1.3. In dezemasterthesis wordt enkel gekeken naar silo’s waar de golven horizontaal lopen, zoals infiguur 1.3(a). In dit geval valt de x-as samen met de meridionale richting, terwijl de y-assamenloopt met de omtreksrichting.

Figuur 1.2: Golfeigenschappen

Figuur 1.3: Orientatie van de golven

3


Ook de spanningen en krachten in de plaat vergen enige uitleg. Deze zijn samengevat intabel 1.2.

benaming afkorting eenheid

membraanspanningsresultante nx [N/mm]membraanspanning σx [N/mm2]buigspanningsresultante mx [Nmm/mm]normaalkracht Nx [N]

Tabel 1.2: Spanningen en krachten in gegolfde platen

Zoals gebruikelijk bij schaalstructuren wordt ook hier gebruik gemaakt van de membraan-spanningsresultaten en de buigspanningsresultaten. Hieruit kan de membraanspanningworden afgeleid. De membraanspanningsresultante is gedefinieerd als de kracht pereenheids- breedte van de schaal.(EN 1993-1-6, 2007) In het geval van axiaal belaste silo’szijn vooral normaalkrachten in meridionale richitng en omtreksrichting van toepassing.Ter illustratie wordt deze spanningsresultante in meridionale richting berekend zoals informule 1.2. Vermits de membraanspanning σx constant is over de plaatdikte, volgt hieruitformule 1.3. Door ook rekening te houden met de algemene definitie van een spanning,kan worden afgeleid dat de kracht in axiale richting Nx uit de membraanspanning σx kanworden bepaald door deze met de omtrek van de silo te vermenigvuldigen.

nx =

∫ t

0

σxdt (1.2)

σx = nx/t (1.3)

σx = Nx/A (1.4)

A = t · omtrek (1.5)

De buigspanningsresultante wordt berekend volgens formule 1.6. De oorsprong en liggingvan de z-as ligt zoals aangegeven op figuur 1.2. Hieruit volgt dat dz gelijk is aan dt, endat z gelijk is aan d/2. Rekening houdend met het voorgaande, en met formule 1.2, geldtook formule 1.7.

mx =

∫ z

0

σx · z · dz (1.6)

mx =nx · d

2(1.7)

4


1.2 courante afmetingen

Om realistische afmetingen te onderzoeken wordt nagegaan welke types golfplaten entypes verstijvers er in praktijk veel voorkomen. Vervolgens kunnen de golfparametersalsook de types verstijvers gevarieerd worden om de invloed hiervan na te gaan.

Een veel voorkomend golftype heeft een golfdiepte d van 18mm met een golflengte l van76mm. Dit type golf wordt ook onderzocht in het onderzoek van M. Wojcik en J.M. Rotter(Wojcik, 2011) (Rotter, 1987). In het onderzoek van P. Iwicki wordt een golfdiepte d van10mm in combinatie met een golflengte van 119mm onderzocht (Iwicki, 2011).

Verder werden in het marktonderzoek van I. Dejaeghere, J. Haustraete en S. Piengolflengtes l gevonden van 67,7mm tot 119mm. De golfdiepte d schommelt tussen de10mm en 18mm. Hier is de kleinst gevonden plaatdikte 0,75mm, maar deze kan oplopentot 9mm. De kleine plaatdiktes zijn echter couranter (Dejaeghere, 2014)

De kleinste plaatdikte t van 0,75mm is ook deze die onderzocht wordt in onderzoeken vanM. Wojcik, P. Iwicki, M. Sondej en J.M. Rotter. (Wojcik, 2011) (Iwicki, 2011) (Sondej,2015) (Rotter, 1987)

De l/d verhouding schommelt bij de meeste golftypes rond 4. Er zijn echter l/dverhoudingen te vinden die schommelen rond 10, al zijn deze minder courant.

parameter afkorting eenheid waarde

golflengte l [mm] 76,7 tot 119golfdiepte d [mm] 10 tot 18lengte / diepte l/d [mm] 4 of 10 (afgerond)plaatdikte t [mm] 0,75 tot 9


5


Als verstijvers worden meestal C-profielen gebruikt met een plaatdikte lopend van 1,5mmtot 3mm. Onderaan de silo, waar deze meer belast wordt, gaan deze profielen vaak overin een V-profiel, met plaatdiktes van 4mm en groter. In figuur 1.4 worden de afmetingenvan enkele courante types verstijvers weergegeven.

Figuur 1.4: Courante doorsnedes van langsverstijvers [mm] (Iwicki, 2011)

6


1.3 Equivalente orthotrope eigenschappen

De gegolfde beplating in de silowand kan worden omgerekend naar een vlakke plaatmet orthotrope eigenschappen. Deze eigenschappen worden berekend in een assenstelselgelinkt aan de orientatie van de golven, en zijn dus onafhankelijk van de plaatsingsrichtingvan de platen, zoals te zien in figuur 1.2. Zowel bij silo’s met verticaal als horizontaalgegolfde panelen kunnen dezelfde formules toegepast worden.

Deze orthotrope eigenschappen zijn niet exclusief toepasbaar op silo’s, ze gelden voor elkegegolfde plaat. Specifiek voor silo’s worden deze gebruikt om de bezwijkbelasting van eensilo in sommige omstandigheden te berekenen, zie paragraaf 1.8.

De orthotrope eigenschappen zijn te vinden in tabel 1.4

benaming afkorting eenheid

rekstijfheid per breedte-eenheid volgens delokale x-richting

Cx [N/mm]

rekstijfheid per breedte-eenheid volgens delokale y-richting

Cy [N/mm]

rekstijfheid per breedte-eenheid tegendraaiing

Cxy [N/mm]

buigstijfheid per breedte-eenheid volgens delokale x-richting

Dx [Nmm]

buigstijfheid per breedte-eenheid volgens delokale y-richting

Dy [Nmm]

buigstijfheid per breedte-eenheid tegendraaiing

Dxy [Nmm]


De equivalente rekstijfheden worden gedefinieerd als:

Cx = Etx = E2t3

3d2(1.8)

Cy = Ety = Et

(1 +

π2d2

4l2

)(1.9)

Cxy = Gtxy =Gt(

1 + π2d2

4l2

) (1.10)

7


Verder worden de equivalente buigstijfheden gedefinieerd als:

Dx = EIx =Et3

12(1− ν2)1(

1 + π2d2

2l2

) (1.11)

Dy = EIy =Etd2

8

(1 +

π2d2

8l2

)(1.12)

Dxy = GIxy =Et3

12

(1 +

π2d2

4l2

)(1.13)

(EN 1993-4-1, 2007)

Hierin worden tx en Ix gezien als respectievelijk de equivalente plaatdikte en hetequivalente massatraagheidsmoment in de lokale x-riching. Dit is analoog voor ty,txy,Iy enIxy. E en G staan zoals gebruikelijk voor de elasticiteitsmodulus en de glijdingsmodulusvan het plaatmateriaal.

Deze waarden kunnen overigens gebruikt worden om de stijfheidsmatrix op te stellen omde orthotrope eigenschappen te modelleren in een eindige elementenpakket. Dit zou hetmodelleren van de silo met gegolfde panelen sterk vereenvoudigen. Enerzijds omdat er daneen plaat getekend wordt die slechts in een richting gekromd is. De kromming ten gevolgevan de golven in de plaat is immers verwerkt in de orthotrope eigenschappen. Anderzijds iser een relatief groot aantal elementen nodig om de golven in de plaat correct te modelleren.Door gebruik te maken van een orthotrope plaat kan dus een kleiner aantal elementengebruikt worden. In Abaqus is de stijfheidsmatrix gedefinieerd als in vergelijking 1.14.(Abaqus, 2014) Dit kan gemodelleerd worden als een general shell section. Deze matrixis volledig symmetrisch, waardoor enkel de elementen rechtsboven worden ingegeven.

N1

N2

N12

M1

M2

M12

=

A11 A12 A13 B11 B12 B13

A12 A22 A23 B12 B22 B23

A13 A23 A33 B13 B23 B33

B11 B12 B13 D11 D12 D13

B12 B22 B23 D12 D22 D23

B13 B23 B33 D13 D23 D33

·

ε1

ε2

γ12

κ1

κ2

κ12

(1.14)

8


De 1- en 2- richting hangt in Abaqus af van de lokale materiaalorientatie die aan deelementen wordt toegewezen. Eenvoudigheidshalve wordt aangenomen dat de 1- en 2-richtingen respectievelijk overeenkomen met de x- en y-richtingen in figuur 1.2 en 1.3. Deverschillende termen in de stijfheidsmatrix kunnen in dit geval op basis van de orthotropeplaateigenschappen bepaald worden zoals in formule 1.15

K =

Cx ν√CxCy 0 0 0 0

Cy 0 0 0 0

Cxy 0 0 0

Dx ν√DxDy 0

Dy 0

Dxy

(1.15)

De vraag kan gesteld worden of deze manier van modelleren in eindige elementen softwareeen realistisch resultaat oplevert. In het onderzoek van M. Sondej werd de silowand aande hand van orthotrope eigenschappen gemodelleerd om de overgang tussen twee formulesuit Eurocode te controleren. (Sondej, 2015) Zie paragraaf 1.8. Dit model werd echter nietgevalideerd aan de hand van een gedetailleerd model.

9


1.4 Soorten berekeningen

Om de silo te analyseren zijn er verschillende soorten schaalberekeningen van toepassing.Welk type gebruikt wordt hangt af van grenstoestanden en andere overwegingen. In ditonderzoek komen LBA, MNA en GMNA analyses aan bod. Daarnaast bestaan uiteraardnog andere schaalberekeningen, maar die zijn hier niet van toepassing. Al deze typesberekeningen worden uiteengezet in Eurocode 3. (EN 1993-1-6, 2007) In tabel 1.5 zijn deverschillende types berekeningen met hun verschillen aangegeven.

Soort berekening Schaaltheorie Materiaalwet Schaalgeometrie

Lineair elastischebifurcatieberekening (LBA)

lineaire buigingen uitrekking

lineair perfect

Materiaal niet-lineaireberekening (MNA)

lineair niet-lineair perfect

Geometrisch en materiaalniet-lineaire berekening(GMNA)

niet-lineair niet-lineair perfect

Tabel 1.5: Soorten schaalberekeningen

LBA

Een lineaire bifurcatieberekening gaat uit van een lineair elastische materiaalwet en eenlineaire theorie voor kleine verplaatsingen. Dit laatste wil zeggen dat de aangenomengeometrie dezelfde blijft als de onvervormde constructie. De LBA berekening geeft delaagste eigenwaardes en eigenmodes waarbij de schaal kan knikken. (EN 1993-1-6, 2007)

De LBA berekening kan gebruikt worden op bifurcatieknik te identificeren of deelastische imperfectie reductiefactor αx te bepalen (zie verder onder paragraaf Plastischegrenstoestand). Het wordt aangeraden om meerdere eigenwaarden uit te rekenen omwillevan twee redenen. Ten eerste, wanneer verschillende eigenwaarden dezelfde grootte-ordehebben, en de eigenmodes vinden plaats op dezelfde locatie, dan kan dit een indicatiezijn dat de structuur gevoelig is voor imperfecties. Dit leidt tot een kleine waarde van deelastische imperfectie reductiefactor αx. Ten tweede is het mogelijk dat hogere eigenmodesop kritischere locaties gevonden worden dan de eerste eigenmode. (ECCS, 2013)

MNA

De MNA berekening levert een plastische grenslast die kan gebruikt worden om degrenstoestand LS1 en LS3 te verifieren (zie verder). Hier wordt een elasto-plastischemateriaalwet gebruikt. Net zoals bij de LBA berekening wordt ook hier een lineairetheorie voor kleine verplaatsingen toegepast.(EN 1993-1-6, 2007)

10


GMNA

Net zoals bij de MNA analyse kan ook de GMNA analyse gebruikt worden om LS1 en LS3te verifieren. In tegenstelling tot de MNA berekening wordt hier rekening gehouden meteen niet-lineaire schaaltheorie. Dit wil zeggen dat telkens met de vervormde structuurwordt verder gerekend. (EN 1993-1-6, 2007).

Plastische grenstoestand (LS1)

Om spanningen ten gevolge van de belasting op de silo te toetsen aan de grenswaardenin Eurocode moet bij horizontaal gegolfde silo’s gerekend worden in de plastischegrenstoestand. (EN 1993-4-1, 2007) Zoals hierboven vermeld kan dit aan de hand vaneen MNA of GMNA analyse. De plastische grenstoestand geeft aan op welk punt eengebied binnen de structuur volledig vloeit.

Volgens Eurocode 3 deel 1-6 wordt het resulterende tweedimensionale spanningsveldvoorgesteld door de equivalente von Mises spanning. De von Mises spanning in eenschaalstructuur combineert de spanningen in verschillende richtingen binnen de schaal.(Mises, 1913) Deze dient gelimiteerd te worden tot de vloeigrens.(EN 1993-1-6, 2007) Ditleidt algemeen tot de formule 1.16. In dit geval zijn de schuifspanningen te verwaarlozen,zoals te zien in formule 1.17.

σeq =√σ2x + σ2

θ − σx · σθ + 3(τ 2x,θ + τ 2xn + τ 2θn) ≤ fy (1.16)

σeq =√σ2x + σ2

θ − σx · σθ ≤ fy (1.17)

(EN 1993-1-6, 2007)

Buiten het vloeicriterium van Von Mises is er ook nog het vloeicriterium van Tresca. Ditis ook nog een eenvoudiger vloeicriterium dat in sommige gevallen voldoende nauwkeurigis. Het wordt onder andere gebruikt voor het afleiden van formule 1.28, die gebruikt wordtom horizontaal gegolfde, onverstijfde silo’s te berekenen. (zie paragraaf 1.7)In figuur 1.5 is het verband tussen deze twee vloeicriteria weergegeven.

Figuur 1.5: Verband tussen het vloeicriterium van Von Mises en van Tresca

11


Knikgrenstoestand (LS3)

Een tweede grenstoestand beschrijft het bezwijken omwille van uitknikken. Wanneer eendeel van de structuur plots grote verplaatsingen in de richting loodrecht op de schaalondervindt, leidt dit tot een instabiliteit waardoor de structuur waarschijnlijk bezwijkt.(EN 1993-1-6, 2007) Ook hier kan deze grenstoestand berekend worden aan de hand vaneen GMNA of MNA analyse.

Om dit in rekening te brengen wordt de elastische imperfectie reductiefactor αx gebruikt.Deze wordt in Eurocode op 0,80 verondersteld. (EN 1993-4-1, 2007) Het houdtenerzijds rekening met de imperfecties in de structuur, en anderzijds met de geometrischeniet-lineariteit in GMNA berekeningen.

12


1.5 Belastingen

De belasting op de silo ten gevolge van het opslagproduct kan worden opgesplitst in eenverticale en een horizontale component. De horizontale component ph is de uitwaartsedruk op de silowand. De verticale component pw, die naar beneden is gericht, is de wrijvingvan het opslagproduct op de wand. Wanneer gesproken wordt over axiaal belaste silo’sis vooral deze laatste component belangrijk. Echter, de horizontale druk kan ook eeninvloed hebben op de uiteindelijke bezwijkbelasting.

Deze twee componenten zijn te zien op figuur 1.6. Het is duidelijk dat naarmate dehoogte h van de silo stijgt, ook de druk onderaan de silowand stijgt. Daarmee stijgt ookde verticale wrijvingscomponent.

Om het gedrag van de silo bij axiale belasting te onderzoeken zijn er twee mogelijkheden.Enerzijds kan de volledige verticale belasting worden omgezet in een uniformedrukbelasting op de bovenrand van de silo. Anderzijds kan de wrijving en druk overde volledige silo verdeeld worden, zodanig dat deze de werkelijke belasting volgt zoals infiguur 1.6.

Figuur 1.6: Twee componenten van de belasting op de silo

De berekening van de druk op de silowand is uiteengezet in Eurocode 1 (EN 1991-4, 2006).In dit onderzoek zijn de veronderstellingen bij de bepaling van de belasting zo eenvoudigmogelijk gehouden. Er wordt gererekend met een symmetrische belasting bij het legenvan de silo. Dit laat ruimte voor verder onderzoek bij het excentrisch legen van de silo,vullen van de silo, het effect van een lokale belasting op een specifieke zone (patch load),etcetera.

In eerste instantie worden de horizontale druk phf en de verticale wrijving pwf berekend.

13


Deze waarden stemmen overeen met de krachten die inwerken wanneer de silo gevuld is.Hiervoor worden de volgende formules gebruikt:

phf (z) = ph0YJ(z) (1.18)

pwf (z) = µph0YJ(z) (1.19)

Hierin zijn:

ph0 = γKz0 (1.20)

z0 =1

Kµ

A

U(1.21)

YJ(z) = 1− e−z/z0 (1.22)

met:γ de karakteristieke waarde van het gewicht van het opslagproduct

[kN/m3]µ de karakteristieke waarde van de wrijvingscoefficient [-]K de karakteristieke waarde van de zijwaartse drukverhouding [-]z de diepte onder het oppervlak van het opslagproduct [m]A de oppervlakte van de horizontale doorsnede van de silo [m2]U de inwendige omtrek van de horizontale doorsnede van de silo [m]

Bij het legen van de silol wordt de belasting bepaald aan de hand van formules 1.23 en1.24:

phe = Ch · phf (1.23)

pwe = Cw · pwf (1.24)

Hierin zijn:phe horizontale druk tijdens het legen [kPa]Ch legingsfactor voor horizontale druk = 1,15 [-]pwe verticale wrijving tijdens het legen [kPa]Cw legingsfactor voor verticale wrijving = 1,10 [-]

(EN 1991-4, 2006)

Zoals eerder vermeld is hier vooral de verticale component belangrijk. Om formule 1.24eenvoudig toe te passen in de analyse van de structuur wordt in Eurocode 1 (EN 1991-4,2006) formule 1.25 gegeven. Hiermee kan de verticale wrijvingscomponent op elk niveauvan de silo bepaald worden.

nzSk =

∫ z

0

pwedz = Cw · µ · ph0[z − z0YJ(z)] (1.25)

(1.26)

(EN 1991-4, 2006)

14


1.6 Bezwijktypes

De al dan niet verstijfde silo kan op verschillende manieren bezwijken. Afhankelijkvan het bezwijktype wordt de bezwijkbelasting anders berekend. De berekening van debezwijkbelasting volgens Eurocode 3 (EN 1993-4-1, 2007) wordt besproken in paragraaf1.7 en paragraaf 1.8.

onverstijfd

Onverstijfde horizontaal-gegolfde silo’s worden vaak verondersteld weinig tot geenverticale belastingen te kunnen opnemen. Toch worden deze tot een redelijke omvanggebouwd. Het bezwijken begint meestal in een golf. Men spreekt in dit geval vangolfbezwijken (corrugation collapse). (Rotter, 1987) Tot op vandaag is er nog weinigonderzoek gedaan naar dit bezwijkgedrag, afgezien van het onderzoek van J.M. Rotter(Rotter, 1987). Andere benamingen voor dit soort bezwijken zijn squashing, folding ofre-corrugation failure.

De silo wordt als een accordeon in elkaar gedrukt, waar deze uiteindelijk plastisch bezwijktin de golftoppen. Hier ontstaan plastische scharnieren. Deze bezwijkvorm is te zien infiguur 1.7.

Figuur 1.7: Vormen van plastische scharnieren bij meridionale belasting

15


Verstijfd

In silo’s met verticale langsverstijvers wordt verondersteld dat de verstijvers alle axialebelasting opnemen. Daarom is meestal de sterkte en stijfheid van de verstijver debepalende factor van de sterkte van de volledige silo. Net zoals bij vrijstaande stalenkolommen, kunnen ook hier de verstijvers op twee manieren bezwijken:

1. plastisch bezwijken bij axiale samendrukking

2. uitknikken van de kolom

Daarnaast is het mogelijk dat de silo bezwijkt daar waar de verstijvers verbonden zijn metde silowand. Deze verbinding is meestal gebout uitgevoerd, zoals te zien op figuur 1.8. Deverticale belasting op de silowand wordt via de bouten overgebracht op de langsverstijvers.Deze dienen dus ook sterk genoeg uitgevoerd te worden om de resulterende schuif- ennormaalspanningen op te vangen. In dit onderzoek wordt deze verbinding echter alsvolledig stijf beschouwd, waardoor hier nooit bezwijken optreedt.

Figuur 1.8: verbinding van de verstijver met de silowand (EN 1993-4-1, 2007)

16


1.7 Berekening van de bezwijkbelasting bij

onverstijfde silos

Het gedrag van de silo die bezwijkt ten gevolge van golfbezwijken (zie paragraaf 1.6)werd door J.M. Rotter reeds onderzocht. (Rotter, 1987) Er werden in dit onderzoek tweeformules opgesteld en geanalyseerd. Deze zijn nu opgenomen in Eurocode 3 (EN 1993-4-1,2007). Ze dienen vandaag als de standaard om de sterkte van onverstijfde, horizontaalgegolfde stalen silo’s te berekenen.

Deze twee formules geven een waarde aan de lokale plastische bezwijkweerstand nx,Rk. Ditis de limietwaarde van de membraanspanningsresultante nx. Zoals uitgelegd in paragraaf1.1 kan de limietwaarde van de belasting hieruit eenvoudig worden afgeleid door de limietvan de membraanspanningsresultante nx,Rk te vermenigvuldigen met de omtrek van desilo.

Wanneer deze rekenmethode gebruikt wordt blijkt de bezwijkbelasting slechts afhankelijkte zijn van vier parameters: de dikte van de plaat, de golfdiepte van de golf, de lokalekromtestraal van de golf, de vloeigrens en de straal van de silo. Dit wil ten eerste zeggendat de hoogte van de silo geen invloed heeft op de bezwijkbelasting. Inderdaad, hetbezwijken van de silo gebeurt lokaal in slechts een golf, en is dus onafhankelijk vande hoogte, of het aantal golfen. Uiteraard moet met de hoogte wel rekening gehoudenworden, wanneer de belasting op de silo bepaald wordt. Een hogere silo resulteert in eengrotere hoeveelheid opslagproduct, en dus in een grotere belasting. Ten tweede wordtook met de golflengte niet onmiddellijk rekening gehouden. Echter, de golflengte is medeverantwoordelijk voor de lokale kromming per golf, die in formule 1.28 wel een invloedheeft. Het verband tussen Rφ, l en d werd reeds in paragraaf 1.1 besproken, en is tevinden in formule 1.1.

De twee formules ter bepaling van de karakterstieke waarden van de lokale plastischebezwijkweerstand zijn hieronder weergegeven. De oorsprong van deze formules volgtverder.

nx,Rk =t2fy2d

(1.27)

nx,Rk = Rφtfyr

(1.28)

Hierin is de grootste waarde doorslaggevend.Aan de hand van de bovenstaande karakteristieke waarde kan vervolgens de rekenwaardeworden afgeleid:

nx,Rd =αx nx,RkγM0

(1.29)

(EN 1993-4-1, 2007)

Hierin zijn:αx de elastische knik imperfectie reductiefactor = 0,80 [-]γM0 factor voor de plastische grenstoestand = 1 [-]

αx werd reeds aangehaald in paragraaf 1.4. Hiermee wordt de invloed van geometrischeniet-lineariteit in rekening gebracht. Dit is iets dat ook in een GMNA analyse in rekening

17


gebracht wordt, maar niet in een MNA berekening. Verder houdt het rekening metimperfecties in de structuur.

De controle of de belasting die optreedt kleiner is dan de rekenwaarde, wordt uitgevoerd inde plastische grenstoestand (LS1). Deze wordt uitgevoerd als GMNA of MNA berekening,zie paragraaf 1.4. Om de bezwijkbelasting uit Abaqus met Eurocode te vergelijken wordtαx enkel toegepast wanneer een GMNA analyse werd uitgevoerd. Verder wordt metveiligheidsfactoren zoals γM0 sowieso geen rekening gehouden, vermits de waarden uitAbaqus met de karakteristieke waarden vergeleken worden.

Bij de afleiding van deze formules worden enkele vereenvoudigingen en veronderstellingengemaakt. De eerste formule ligt het meest voor de hand. Er wordt geen rekeninggehouden met de straal van de silo, noch met de interne drukken afkomstig van hetopslagmateriaal. Het is gebaseerd op een eenvoudig 2D model van een gegolfde plaat, diebezwijkt door plastische scharnieren die gevormd worden in de golftoppen. De spanningin meridionale richting wordt dan berekend volgens formule 1.31. (EN 1993-1-6, 2007)Deze is in feite gelijk aan de standaardformule 1.30, met als verschil dat σx de spanningper eenheidsbreedte voorstelt.

σ =N

A± M

W(1.30)

σx =nxt± mx

t2/4(1.31)

De eerste term geeft de spanning ten gevolge van de normaalkracht weer, de tweede termten gevolge van het moment. In figuur 1.9 wordt de spanningsverdeling ten gevolge vanaxiale belasting voorgesteld. Hierin is duidelijk dat de totale spanning in de silowandhet gevolg is van een component afkomstig van het moment, en een afkomstig van denormaalspanning.

Figuur 1.9: Spanningsverdeling in de silowand onder axiale belasting

Bij plastisch bezwijken wordt de vloeigrens aan de buitenzijde van de golf bereikt,waardoor de spanning ten gevolge van het moment bovenaan wordt afgevlakt. (zie figuur

18


1.9 rechts). Bij bezwijken dient dus rekening gehouden te worden met het plastischweerstandsmoment van de rechthoekige doorsnede. Aan de hand van het voorgaande kanformule 1.31 worden afgeleid

Rekening houdend met formule 1.31, en het verband tussen het moment in de top vande golf en de normaalkracht kan formule 1.27 worden afgeleid. Hier wordt de spanninggelimiteerd tot de vloeigrens fy:

fy =nxt± mx

t2/4(1.32)

=nxt± nxd

2t2/4(1.33)

= nx

(1

t± d

t2/2

)(1.34)

= nx

(t/2± dt2/2

)(1.35)

fyt2

2(t/2± d)= nx (1.36)

(d >> t/2) (1.37)

nx,Rk =t2fy2d

(1.38)

Zoals eerder vermeld gaat deze formule uit van een enkelvoudig gekromde plaat, en wordter dus niet met de straal van de silo rekening gehouden. Formule 1.28 werd daaromvoorgesteld door J.M. Rotter in 1987, als poging om de invloed van de straal van de silotoch in rekening te brengen. In de eerste formule wordt gerekend met een plaat zoalste zien in figuur 1.10 links, de twee formule komt overeen met een plaat zoals te zien infiguur 1.10 rechts.

Figuur 1.10: Enkelvoudig gekromde schaal (links) en dubbel gekromde schaal (rechts)

19


Om formule 1.28 af te leiden wordt gebruik gemaakt van de membraantheorievoor dunne schalen. In elke schaalstructuur hebben zowel de meridionalemembraan-spanningsresultante als die in omtreksrichting, alsook de buigende momentenin meridionale en omtreksrichting een invloed op de vorming van een plastisch scharnier.De basis evenwichtsvergelijkingen die hierop kunnen toegepast worden worden gegevendoor 1.39 en 1.40.

d

d φ[Rθ sin

2φnφ] = Rθ Rφ sinφ cosθ p (1.39)

nθRθ

+nφRφ

= p (1.40)

Hierin verwijzen φ en θ respectievelijk naar de meridionale en omtreksrichting. Verderwordt nog rekening gehouden dat er geen axiale spanning wordt geinduceerd door deinwendige druk op de middenlijn van de golvingen. Dit vertaalt zich in formule 1.41. Tenslotte wordt Rθ gedefineerd als in formule 1.42.

nφ,mid =nxr

Rθsin2φ(1.41)

Rθ = r/sinφ (1.42)

Vervolgens wordt de meridionale spanning en spanning in omtreksrichting beschouwd inde top van de golven, waar φ = π/2. Hier werd het vloeicriterium van Tresca gebruikt,zie paragraaf 1.4, wat samen leidt tot formule 1.43. (Rotter, 1987) In Eurocode werd dezenog verder vereenvoudigd door de inwendige druk p op de silowand te verwaarlozen. Ditlevert formule 1.28.

Het von Mises criterium levert hier waarschijnlijk een iets nauwkeuriger resultaat dan hetvloeicriterium van Tresca, maar dit maakt de formule veel complexer. J.M. Rotter geeftook aan dat formule 1.28 nog kan worden verbeterd vermits er onder andere geen rekeningis gehouden met het effect van grote vervormingen. Dit wordt in Eurocode opgevangendoor de factor αx in te voegen in formule 1.29, zie hierboven.

nx,c = fyRφ

[t

r

]− p(Rφ − h) (1.43)

(Rotter, 1987)

20


Er werd in het onderzoek van J.M. Rotter (Rotter, 1987) reeds een parameterstudieuitgevoerd waarin de overgang tussen de twee formules werd nagekeken. Hierin werdde straal van de silo gevarieerd met een constante plaatdikte. Ook de plaatdikte werdgevarieerd met een constante r/t verhouding. De vraag kan gesteld worden of dezeparameterstudie een realistisch beeld geeft van de werkelijkheid, vermits de straal vande silo hier waarden aanneemt zoals 100, 250 of 500mm. In figuur 1.11 is deze variatiete zien bij een constante plaatdikte van 1mm. Het is duidelijk dat de kleinste r-waardenhier onrealistisch zijn. Ook de grootste waarden, waarbij de werkelijke bezwijkbelastinggoed overeenkomt met Eq.1 (hier formule 1.27), komen in werkelijkheid minder voor.

Veel afmetingen die momenteel in gebruik zijn bevinden zich in het overgangsgebied tussenformule 1.27 en formule 1.28. Hier valt ook meteen op dat de werkelijke bezwijkbelastingprocentueel gezien hoger ligt dan de bezwijkbelasting zoals voorspeld door de tweeformules. Verder ontbreekt in dit onderzoek de variatie van andere parameters, zoalsde golfdiepte en golflengte.

Figuur 1.11: Variatie van de bezwijkbelasting bij een variabele silo-straal. (Rotter, J.M.,1987)

21


1.8 Berekening van de bezwijkbelasting bij verstijfde

silos

Er worden in Eurocode 3 (EN 1993-4-1, 2007) twee methodes gegeven voor het berekenenvan silo’s met horizontaal gegolfde panelen met verticale langsverstijvers. Enerzijdskan de silowand inclusief verstijvers worden omgerekend naar een plaat met equivalenteortothrope eigenschappen (a). Anderzijds wordt verondersteld dat enkel de individuelelangsverstijvers de verticale last dragen (b). In dit laatste geval werkt de silowand zelf aldan niet mee als weerstand tegen uitknikken. De methode die gebruikt dient te wordenhangt af van de afstand tussen twee verstijvers.

Indien de tussenafstand kleiner is dan ds,max in formule 1.44 wordt methode (a) toegepast.De termen Dy en Cy worden berekend zoals in paragraaf 1.3. Het onderstaandestroomdiagram geeft schematisch weer welke methode toegepast dient te worden. Deverschillende berekeningen worden in wat volgt uitgebreid besproken.

ds,max = kdx

(r2Dy

Cy

)0,25

(1.44)

ds = omtrekn

(a) Berekend als orthotrope plaat(b) Belasting enkel

in de verstijvers

plastisch onder druknx,Rd =

Aefffyds

bezwijkt elastischnx,Rd =

αxnx,Rcr

γM1

(i) berekend alsvrijstaande kolomNb,Rd =

χAefffyγM1

(ii) ondersteund tegenuitknikken door silowand

plastisch onder drukNb,Rd =

AefffyγM1

bezwijkt elastisch

Nb,Rd = 2

√EIyK

γM1

ds ≤ ds,max ds > ds,max

(kleinere lengte)

22


1.8.1 Berekend als orthotrope plaat

Zoals ook het geval is bij onverstijfde silo’s, wordt ook hier in Eurocode een grensopgelegd aan de membraanspanningsresultante. Deze grens wordt benoemd als dekritische knikspanningsresultante of critical buckling stress resultant nx,Rcr. Van zodrade membraanspanningsresultante een hogere waarde aanneemt, zal de silo theoretischbezwijken. Deze limietwaarde wordt bepaald aan de hand van formule 1.45. Hierin zijnde termen A1, A2 en A3 afhankelijk van de equivalente orthotrope plaateigenschappen,zoals bepaald in 1.3. Echter, in dit geval wordt bij de bepaling van de orthotropeeigenschappen niet enkel rekening gehouden met de silowand, maar ook met de verstijvers.Indien er ringverstijvers zijn aangebracht, worden ook deze in rekening gebracht. Dezeringverstijvers zijn in dit onderzoek achterwege gelaten. De exacte bepaling van deze drietermen wordt hieronder weergegeven, en is afkomstig uit Eurocode 3. (EN 1993-4-1, 2007)Subscript s staat hier voor de langsverstijver, terwijl subscript r staat voor de eventueleringverstijvers.

nx,Rcr =1

j2ω2

(A1 +

A2

A3

)(1.45)

A1 =j4[ω4C44 + 2ω2(C45 + C66) + C55] + C22 + 2j2C25 (1.46)

A2 =2ω2(C12 + C33)(C22 + j2C25)(C12 + j2ω2C14)

− (ω2C11 + C33)(C22 + j2C25)2 − ω2(C22 + ω2C33)(C12 + j2ω2C14)

2 (1.47)

A3 =(ω)2C11 + C33)(C22 + C25 + ω2C33)− ω2(C12 + C33)2 (1.48)

C11 = Cφ + EAs/ds (1.49)

C12 = µ√CφCφ (1.50)

C14 = esEAs/(rds) (1.51)

C22 = Cθ + EAr/dr (1.52)

C25 = erEAr/(rdr) (1.53)

C33 = Cφθ (1.54)

C44 = µ√DφDθ/r

2 (1.55)

C55 = [Dθ + (EIr/dr) + (EAre2r/dr)]/r

2 (1.56)

C66 = [Dφθ0, 5(GIts/ds +GItr/dr)]/r2 (1.57)

ω = (πr)/(jli) (1.58)

Om uiteindelijk nx,Rcr te bepalen uit formule 1.45 worden de twee parameters j en ligevarieerd tot een minimale waarde van nx,Rcr wordt bekomen. In deze formules is lide halve golflengte van een potentiele buil in de verticale richting. j Is het kritischegolfnummer. Met andere woorden, j geeft aan hoeveel builen er bij bezwijken over deomtrek ontstaan, terwijl li de hoogte van deze golven aangeeft.

23


Deze formule is gebaseerd op de theorie van Donnell-Mushtari-Vlasov (DMV). (Donnel,1934).

Om de uiteindelijke bezwijkbelasting hieruit af te leiden wordt formule 1.59 toegepast:

nx,Rd =αxnx,RcrγM1

(1.59)

Hier zijn αx en γM1 dezelfde als bij onverstijfde silo’s (zie eerder).

Deze formule is een analytische benadering van een LBA analyse waarbij de positie envorm van de verschillende builen bij bezwijken worden voorspeld. In figuur 1.12 is ditsoort analyse in Abaqus weergegeven voor een silo met straal 10m en een hoogte van 20m.Hier werden 40 verstijvers toegevoegd.

Figuur 1.12: Eerste eigenmode in een LBA analyse, r=10m, h=20m, n=40

De schaalwand werd gemodelleerd aan de hand van de orthotrope eigenschappen zoalsbepaald in paragraaf 1.3. De verstijvers werden toegevoegd als beam elementen. Door hetgrote aantal verstijvers is hier ds zeer klein, waardoor formule 1.45 deze eigenmode correctvoorspelt. Echter, het is onduidelijk in hoeverre zo’n model met orthotrope eigenschappende werkelijkheid benadert.

24


Het voorgaande geeft bezwijken ten gevolge van het uitknikken van de silowand aan.Echter, er is een tweede vorm van bezwijken die evenwel kan optreden alvorens deverstijvers uitknikken. Wanneer de drukspanning in de verstijver te groot wordt, wordt devloeigrens hier bereikt, waardoor de verstijver zal gaan vloeien. In de afleiding van dezeformule wordt verondersteld dat de silowand geen druk opneemt. De volledige meridionalebelasting wordt dus door de verstijvers opgenomen. De bezwijkbelasting komt overeenmet de doorsnede van de verstijvers vermenigvuldigd met de vloeispanning en het aantalverstijvers. In Eurocode 3 (EN 1993-4-1, 2007) wordt dit als volgt weergegeven:

nx,Rd =AefffydsγM0

(1.60)

De vorm van bezwijken die uiteindelijk doorslaggevend is, is degene die optreedt bijde laagste belasting. De kleinste waarde van formule 1.59 en formule 1.60 is dusdoorslaggevend.

In de eerste formule, waar de structuur elastisch bezwijkt, speelt de vloeigrens geen rol.Bij een kleine vloeigrens is 1.60 doorslaggevend, van zodra de vloeigrens hoog genoeg iswordt dus plots 1.59 doorslaggevend. De vraag kan gesteld worden of de twee formuleseen correct beeld geven van de werkelijkheid in dit overgangsgebied.

25


1.8.2 Belasting enkel gedragen door verstijvers

Wanneer de tussenafstand van de langsverstijvers groter is dan ds,max zoals bepaald informule 1.44, wordt verondersteld dat de belasting volledig door de verstijvers wordtgedragen. Binnen deze rekenwijze wordt opnieuw onderscheid gemaakt tussen tweemethodes. Het rekenmodel houdt enkel rekening met de langsverstijvers, waarbij desilowand zelf achterwege wordt gelaten. Het verschil tussen de twee rekenmethodes ligt inde randvoorwaarden die op de verstijver worden toegepast. In het eerste rekenmodel(i) wordt de langsverstijver volledig onafhankelijk van de silowand verondersteld. Inhet tweede rekenmodel (ii) ondervindt de langsverstijver een weerstand tegen uitknikkenten gevolge van de silowand. (EN 1993-4-1, 2007) Meestal wordt methode (ii) gebruikt.(Sondej, 2015) Verder dient te worden opgemerkt dat methode (ii) binnenkort in Eurocodewijzigt. Eerst wordt de huidige rekenmethode besproken, vervolgens deze die binnenkortvan toepassing is.

In de voorgaande gevallen, zowel bij de onverstijfde als verstijfde silo’s, werd bezwijkengecontroleerd aan de hand van nx,Rd (rekenwaarde van de bezwijkbelasting per eenheidomtrekslengte). In dit geval wordt er exclusief met de verstijvers gerekend. Debezwijkbelasting wordt hier dus weergegeven als belasting per verstijver, in plaats vanbelasting per eenheid omtrekslengte. In methode (i) wordt dit als volgt berekend:

Nb,Rd =χAefffyγM1

(1.61)

(EN 1993-4-1, 2007)

Hierin zijn:

χ Reductiefactor (zie verder) [-]Aeff De effectieve doorsnede van de verstijver [mm2]

De bepaling van de reductiefactor wordt besproken in deel 1.1 van Eurocode 3 (EN1993-1-1, 2005). De volgende formules worden gegeven:

χ =1

φ+√φ2 − λ2

(1.62)

φ = 0, 5[1 + α(λ− 0, 2) + λ2] (1.63)

λ =

√AefffyNcr

(1.64)

met:

α imperfectie factor (zie verder) [-]Ncr de elastische kritische last die overeenkomt met de relevante

knikmode. (zie verder) [kN]

26


In deel 4.3 van Eurocode 3 (EN 1993-4-1, 2007) wordt meegegeven dat knikkromme bdient gebruikt te worden, ongeacht de gebruikte doorsnede van het profiel. Dit komtovereen met een imperfectiefactor α=0,34. De kritische last Ncr wordt aan de hand vanonderstaande formule bepaald:

Ncr =π2EIeffL2

(1.65)

Hierin wordt L als de tussenafstand tussen twee ringverstijvers genomen. Indien deze nietaanwezig zijn wordt eenvoudigweg de volledige lengte van de kolom in rekening gebracht.

Deze methode wordt weinig toegepast, vermits de kolom in werkelijkheid wel ondersteundwordt door de silowand.

In de tweede rekenmethode (ii) wordt de silowand gemodelleerd als een verendeondersteuning aan de zijkant van de langsverstijver, waardoor uitknikken verhinderdwordt. Deze rekenwijze wordt echter binnenkort aangepast naar een rekenwijze gelijkendop de voorgaande, waarbij met een kortere kolomlengte gerekend wordt om de invloedvan de wand in rekening te brengen. Dit wordt later besproken. De rekenwijze zoals dietot op heden gebruikt wordt is hieronder besproken:

De bezwijkbelasting per kolom wordt in de volgende twee formules gegeven, waar delaagste waarde doorslaggevend is:

Nb,Rd = 2

√EIyK

γM1

(1.66)

Nb,Rd =AefffyγM1

(1.67)

(EN 1993-4-1, 2007)

Factor K wordt hierna besproken, en is te vinden in formule 1.68 of formule 1.69.

Hier is formule 1.66 doorslaggevend wanneer de kolom uitknikt. Formule 1.67 daarentegenis doorslaggevend wanneer de vloeigrens omwille van druk optreedt alvorens knik optreedt.De term γM1 is een factor die rekening houdt met de stabiliteit in de knikgrenstoestand.Deze term wordt, net zoals andere veiligheidsfactoren in dit onderzoek achterwege gelaten.Merk op dat deze laatste formule goed overeenkomt met formule 1.61 uit methode (a),alsook met formule 1.60 die wordt toegepast waar de silo als orthotrope plaat wordtberekend.

27


Het rekenmodel dat in de laatste berekening gebruikt wordt is weergegeven in figuur 1.13.De verstijver wordt aan beide uiteinden met een normaalkracht belast. Zijdelings wordteen verende ondersteuning met veerconstante K aangebracht. Deze veerconstante kan optwee manieren berekend worden. Traditioneel wordt de kromming ten gevolge van desilowand verwaarloosd, en wordt de silowand volledig uitgevlakt. In dit rekenmodel kande doorbuiging van de silowand ten gevolge van een belasting q berekend worden. Deveerconstante volgt dan uit K = q/∆. Dit is te zien in figuur 1.13. Door deze bewerkinguit te werken levert dit formule 1.68.

K = ksDy

d3s(1.68)

(EN 1993-4-1, 2007)

Figuur 1.13: Rekenmodel verende ondersteuning van de silowand (Wojcik, 2011)

Een meer correcte berekening van de veerconstante wordt uitgevoerd door de krommingvan de silowand niet te verwaarlozen, zie figuur 1.14. Merk op dat deze methode tot opheden niet gebruikt werd, en dus in principe enkel toegepast wordt in combinate met derekenmethode die hierna wordt beschreven. Ook hier wordt de veerconstante berekend alsK = q/∆. Toch levert dit hier een complexere formule, met een nauwkeuriger resultaat.

28


Figuur 1.14: Bepaling veerconstante bij kromme silowand

Deze tweede berekening leidt tot de volgende formule: (EN 1993-4-1, 2007)

K = 1r

{2CyDy

fDy+r2Cy{f+φcos2φ(tanφ+2g)2−2[2g2sin2φ−2g(cos2φ−cosφ)−sinφ(cosφ−1)]}

}(1.69)

met:

φ =dsr

(1.70)

f =1

4{(4g2 + 1)(2φ+ sin2φ) + 4g(1− cos2φ)− 2sin2φ} (1.71)

g =Dysin

2φ− r2Cy[(1− cosφ)(1 + 3cosφ)− φsin2φ]

Dy(2φ+ sin2φ)− r2Cy[2φ(2 + cos2φ)− 3sin2φ](1.72)

Zoals eerder aangegeven wordt de rekenmethode aan de hand van formule 1.66 en 1.67binnenkort niet meer toegepast. In de nieuwe rekenmethode wordt de volgende formuletoegepast:

Nb,Rd =χAefffyγM1

(1.73)

Merk op dat deze identiek is aan formule 1.61 die werd toegepast in methode (i). Dit wilzeggen dat ook hier de kolom als vrijstaand wordt beschouwd om de kniklast te berekenen.Hier wordt echter rekening gehouden met de verende ondersteuning van de silowand, doorde beschouwde lengte van de verstijver te verkleinen. De effectieve lengte wordt als volgtberekend:

Le = π

(EIyK

)1/4

(1.74)

Hier kan zowel de nauwkeurige berekening van K uit formule 1.69 als de vereenvoudigdeuit formule 1.68 toegepast worden.

29


1.8.3 Verschil tussen de twee rekenmethodes

Zoals reeds eerder aangegeven is het gebruik van methode (a) of (b) afhankelijk vande tussenafstand tussen de verstijvers. Vanaf een bepaald aantal verstijvers wordt dusplots een andere rekenmethode gebruikt. Per rekenmethode zijn er twee bezwijktypes:de kolom kan plastisch bezwijken of uitknikken. Wanneer de kolom plastisch bezwijktgaat rekenmethode (a) vlot over in rekenmethode (b). Echter, wanneer de kolom uitkniktresulteert dit in een sprong in de bezwijkbelasting die theoretisch kan opgenomen worden.M. Sondej heeft reeds onderzoek gedaan naar de overgang tussen deze twee formules. Hierwordt voorgesteld de rekenmethode binnen Eurocode enigszins aan te passen, om een meervloeiende overgang te realiseren tussen de twee formules. Er wordt voorgesteld om formule1.66 te vervangen door formule 1.75 (Sondej, 2015)

Nb,Rk = nx,Rcr(ds,max) · d2.5s,max · d−1.5s (1.75)

Hier wordt nx,Rcr berekend aan de hand van formule 1.45 waarbij de tussenafstand tussende verstijvers wordt gelijkgesteld aan ds,max. In figuur 1.15 is dit voorstel weergegeven.Hierop is ook duidelijk te zien dat de sprong in Eurocode niet relastisch is, en dus ookniet overeenkomt met eindige elementen simulaties.

Figuur 1.15: Kritische druk volgens eindige elementen in vergelijking met Eurocode(Sondej, 2015)

30


Het onderzoek van M. Sondej (Sondej, 2015) werd uitgevoerd aan de hand van eenLBA-analyse, omwille van de theoretische achtergrond van formule 1.45. Verder werdeen model gebruikt waarbij de silowand als een orthotrope schaal is gemodelleerd. Erwerd geconstateerd dat er inderdaad een verschil is in de builen die gevormd worden bijweinig of veel verstijvers. In figuur 1.16 worden deze twee bezwijkvormen weergegeven.Wanneer er veel verstijvers worden toegevoegd worden builen gevormd die zich uistrekkenover de volledige hoogte van de silo. Bij minder verstijvers worden er veel meer en kleinerebuilen gevormd.

Figuur 1.16: bezwijkvormen bij verstijfde silo’s. boven: ds < ds,max, onder: ds > ds,max(Sondej, 2015)

31

Hoofdstuk 2

Het numeriek model

2.1 Geometrie

Als referentiesilo werden de afmetingen genomen van een verstijfde silo uit Polen, ookbestudeerd door M. Wojcik et al. De silo heeft een hoogte van 20,13m en een straalvan 2,675m. De gegolfde platen hebben een golflengte van 76mm en een diepte van18mm. (Wojcik, 2011) De golvingen in deze silo hebben dus een amplitude van 9mm.Het golftype is een arc-tan golf. Aan de hand van formule 1.1 kan de lokale kromtestraalin de golftoppen berekend worden. In dit geval geeft dit:

Rφ =18

4+

762

16 · 18= 24, 55mm (2.1)

De vorm van deze golf met zijn afmetingen is te zien in figuur 2.1

Figuur 2.1: golfparameters (mm) van de standaardplaten

32

HOOFDSTUK 2. HET NUMERIEK MODEL

In praktijk is deze silo uitgevoerd met verschillende types verstijvers die varieren overde hoogte. Om het gedrag van de onverstijfde silo te analyseren werden deze verstijversweggelaten. In praktijk bedraagt de hoogte van de silo ongeveer 20 meter. Hier werdslechts 760mm gemodelleerd, dit komt overeen met 10 golven. Een hogere silo resulteertin een grotere hoeveelheid opslagproduct, en dus in een grotere belasting. Maar vermitsde belasting meteen als uniforme drukbelasting op de bovenrand wordt gemodelleerd zaldeze dus in het model niet toenemen door de hoogte te vergroten. Verder heeft de hoogtevolgens de formules in Eurocode geen invloed op de bezwijkbelasting.

Er kan de vraag gesteld worden of de reductie van de hoogte gerechtvaardigd is. Wanneerde silo bezwijkt omwille van het ontstaan van builen zou dit inderdaad foutieve resultatengeven. Echter, volgens Eurocode (zie hoofdstuk 1.7) zal in de silo de vloeigrens bereiktworden in de top van de golven, en daardoor bezwijken volgens golfbezwijken. In theorieontstaan er dus geen builen, en is de bezwijkbelasting onafhankelijk van de hoogte. Omde bezwijkbelasting volgens eindige elementensoftware te vergelijken met Eurocode is ditdus een geldige aanname, die de grootte van het model sterk reduceert. Daarmee wordtook de rekentijd verkleind.

In figuur 2.2 is het referentiemodel zoals te zien in Abaqus weergegeven. Tabel 2.1 geeftalle afmetingen van de silo samengevat weer.

Figuur 2.2: Basis referentiemodel van de horizontaal gegolfde, onverstijfde silo

Afmetingen referentiesiloHoogte h [m] 0,76straal r [m] 2,675Golflengte l [mm] 76golfdiepte d [mm] 18lokale kromtestraal Rφ [mm] 24,55

Tabel 2.1: Afmetingen referentiesilo

33


Bij de analyse van de verstijfde silo werd de sectie van de kolom constant verondersteldover de volledige hoogte. Er werd telkens een C-profiel gebruikt waarbij de plaatdiktevarieert. De standaard dikte van het C-profiel bedraagt 2mm, waarbij de overige dimensiesin figuur 2.3 zijn weergegeven. Alle afmetingen zijn weergegeven in mm. Het gaat hierom de buitenafmetingen van het profiel.

Figuur 2.3: Buitenafmetingen (mm) van het standaardprofiel van de langsverstijver C2.0

De open zijde van het profiel wordt naar buiten gericht wanneer het aan de silowandbevestigd wordt. In het standaardmodel werden er zo 18 verstijvers bevestigd. Integenstelling tot de onverstijfde silo werd hier wel de volledige hoogte van 20 metergemodelleerd. Hier speelt de hoogte immers wel een rol op de bezwijkbelasting, vermitsde kolommen kunnen uitknikken.

Om de rekentijd en grootte van het model te verkleinen werd symmetrie toegepast: slechts1 kolom met 1/18 van de silowand werd gemodelleerd. Dit legt echter beperkingen op aanhet model. Het gedrag van de kolom kan zo correct geanalyseerd worden. De silo in zijngeheel kan echter geen builen vormen die geen veelvoud zijn van het aantal verstijvers.

Het standaardmodel voor de verstijfde silo is te zien in figuur 2.4.

34


Figuur 2.4: Basis referentiemodel voor de horizontaal gegolfde, verstijfde silo

Figuur 2.5: Verduidelijking referentiemodel verstijfde silo

35


2.2 Assenstelsel

Het globale assenstelsel (x,y,z) in Abaqus is rechtshandig cartesisch. Er is echter eentweede lokaal assenstelsel (R,T,Z) gedefinieerd. Dit is cilindrisch en wordt voor elke knoopapart gedefinieerd. Het lokaal assenstelsel wordt gebruikt om de spanningen correct uitte lezen en om randvoorwaarden correct op te leggen. De meridionale Z-as ligt evenwijdigmet de verticale as in het globale assenstelsel. De tangentiele T-as ligt telkens evenwijdigmet de horizontale tangent aan de silowand. Ten slotte ligt de radiale R-as volgens deradiale richting in de silo.

Deze twee assenstelsels zijn weergegeven in figuur 2.6

Figuur 2.6: Globaal en lokaal assenstelsel in een cilindrische structuur

2.3 Materiaaleigenschappen

De silo wordt geproduceerd met een staalkwaliteit S235. In Abaqus wordt ditgemodelleerd als een elasto-plastisch materiaal. De elastische zone wordt gedefinieerd aande hand van de Youngs modulus, ingesteld op 210 000MPa. Het elastisch gebied komtovereen met een volledig lineair gedeelte in het spanning-rekdiagram. De plastische zonewordt bereikt bij een spanning van 235MPa. Dit wordt voorgesteld door een horizontalelijn op het spanning-rekdiagram. De Poisson-factor wordt ingesteld op 0,30. Deze waardenzijn samengevat in tabel 2.2

MateriaaleigenschappenElasticiteitsmodulus E [MPa] 210 000Poisson ν [-] 0,3vloeigrens fy [MPa] 235

Tabel 2.2: Materiaaleigenschappen

36


2.4 Mesh

Er werd een meshstudie uitgevoerd om correcte resultaten te bekomen en ook de rekentijdklein te houden. Dit is te zien in paragraaf 3.1. Er werd geopteerd om S4R elementen tegebruiken voor de schaalwand. Dit zijn vierknoops schaalelementen met een gereduceerdeintegratie. (Abaqus, 2014) Er werden 12 elementen gebruikt per golf, waarbij de breedtevan het element ongeveer 8x groter is dan de hoogte. Vermits er bij de onverstijfde silo10 golven gemodelleerd worden levert dit 120 elementen over de volledige hoogte. Inomtreksrichting geeft dit 331 elementen. De totale mesh bevat dus 39 720 elementen.

Bij de verstijfde silo worden voor de silowand dezelfde meshparameters gebruikt alshierboven beschreven. Ook de verstijver wordt met S4R elementen gemodelleerd. Omde silowand correct met de verstijver te verbinden wordt de hoogte van de elementenin de verstijver gelijk gesteld aan de hoogte van de elementen in de silowand. Allemeshparameters werden samengevat in tabel 2.3.

Meshparameterselementtype silowand S4Relementen per golf 12verhouding breedte / hoogte element silowand 8breedte element silowand [mm] 50,6hoogte element silowand [mm] 6,3aantal elementen in de onverstijfde silo 39 720elementtype verstijver S4Rverhouding breedte / hoogte element verstijver 1breedte element verstijver [mm] 6,3hoogte element verstijver [mm] 6,3aantal elementen in de verstijfde silo 126 320

Tabel 2.3: Meshparameters

37


2.5 Randvoorwaarden

Het model van de onverstijfde silo is relatief eenvoudig. De randvoorwaarden die hieropworden toegepast beperken zich dan ook tot de siloranden. Aan de bovenzijde is de silo inwerkelijkheid bedekt met een conische dakstructuur. Deze wordt niet meegemodelleerd,maar de effecten hiervan worden wel in rekening gebracht. Omwille van het dak blijftde cirkelvorm bovenaan behouden. In het middelpunt van de cirkel die samenvalt metde bovenrand wordt een extra knoop gemodelleerd die dienst doet als referentieknoop.De volledige bovenrand wordt aan deze knoop gekoppeld in het horizontale vlak van debovenrand. Dit wil zeggen dat het de knopen op de dakrand nog steeds in elke richtingkunnen bewegen, maar dat deze knopen gezamelijk dezelfde beweging ondergaan. Dezekoppelbeperking, of coupling constraint beperkt gedeeltelijk de vrijheidsgraden van deknopen in de dakrand. In meridionale richting is elke knoop in het dak dus nog steedsvrij. Verder is deze rand ook vrij om te roteren in gelijk welke richting.

Aan de onderrand wordt de silo in zijn geheel ondersteund. Dit werd in Abaqus vertaaldnaar kinematische randvoorwaarden. In de volledige onderrand werd translatie verhinderdin 3 richtingen. Rotatie is echter nog wel mogelijk.

Deze randvoorwaarden zijn verduidelijkt in figuur 2.7

Figuur 2.7: Randvoorwaarden bij de onverstijfde silo

38


De randvoorwaarden die gelden bij de onverstijfde silo gelden ook bij de verstijfde silo.Ook hier dient de cirkelvorm aan de bovenrand behouden te blijven, en wordt de volledigeonderrand ondersteund. Er zijn echter twee zaken die extra randvoorwaarden opleggen:

Enerzijds wordt bij de verstijfde silo, zoals reeds aangehaald in paragraaf 2.1, slechts 1/ngemodelleerd van de volledige silo, waarbij n het aantal verstijvers is.Anderzijds moeten de langsverstijvers correct aan de silowand bevestigd worden.

De toegepaste symmetrie is te zien in figuur 2.8. Er wordt slechts een omtrekshoek van 20graden gemodelleerd die vervolgens aan de hand van spiegeling 18 keer wordt weergegeven.

Figuur 2.8: symmetrie toegepast op de verstijfde silo

De symmetrie wordt gemodelleerd door aan de twee vrije randen de verplaatsing in delokale T-richting, alsook de rotatie rond de R-as en Z-as volledig te verhinderen, dit issamengevat in formule 2.2

UT = ϕR = ϕZ = 0 (2.2)

De verbinding tussen de langsverstijvers en de silowand gebeurt aan de hand van eenknoopverbinding (ofwel tie constraint). Hierbij wordt het oppervlak van de silowandaan het oppervlak van de langsverstijver ’geknoopt’. Dit gebeurt enkel waar dezetwee oppervlakken elkaar raken. Doordat de elementhoogte van de silowand en delangsverstijver aan elkaar gelijk gesteld zijn, vallen er telkens knopen samen waar dezeknoopverbinding van toepassing is.

39


2.6 Belasting

De belasting bij de onverstijfde silo wordt aangebracht als een uniforme naar benedengerichte lijnlast op de bovenrand. Deze neemt een standaardwaarde aan van 1000kN. Inde GMNA en MNA analyse wordt deze geleidelijk verhoogd tot wanneer de silo bezwijkt.De werkelijke belasting verhoogt geleidelijk met de diepte van het beschouwde niveauvan de silo. Ook treedt er in werkelijkheid uitwaartse druk op op de silowand volgens deR-as. Echter, volgens J.M. Rotter heeft de inwendige druk weinig invloed op de axialebezwijkbelasting. (Rotter, 1987)

Bij de verstijfde silo werd in eerste instantie ook geopteerd om de belasting als uniformelijnlast op de bovenrand te plaatsen. De belasting wordt dan via de beplating overgedragenop de verstijvers. Echter, door meteen de volledige last op de bovenrand te plaatsen, isgebleken dat de gegolfde platen bovenaan bezweken zonder de belasting aan de verstijverste kunnen doorgeven. Er werd daarom geopteerd om de belasting gelijdelijk over desilowand te verdelen, zoals in werkelijkheid ook het geval is. De uitwaartse druklastwordt hier dus ook mee in rekening gebracht.

De belasting wordt berekend zoals in paragraaf 1.5. De belasting die hiermee berekendwordt is de last op de silowand wanneer de silo volledig is gevuld. 1% van deze last werdals referentiebelasting genomen, die net zoals hierboven gelijdelijk wordt opgevoerd tot desilo bezwijkt. De verdeling van deze last over de hoogte gebeurt ook geleidelijk, volgensde formules in paragraaf 1.5.

40

Hoofdstuk 3

Numeriek onderzoek en controleEurocode

3.1 Meshstudie

Elementtype

Er werd een meshstudie uitgevoerd om in het verdere verloop van het onderzoek de meestrealistische resultaten te bekomen. Volgens het doctoraatsproefschrift van JansseuneA. geven S8R5 elementen het beste resultaat wanneer zowel met de accuraatheid vande resultaten als de rekensnelheid rekening gehouden wordt. (Jansseune, 2015) Hetonderzoek van Jansseune A. ging echter om vlakke silo’s, wat hier niet het geval is,waardoor de toepasbaarheid van de voorgaande meshstudie op dit onderzoek in twijfelkan worden getrokken. Verder worden ook in andere onderzoeken op silo’s met gegolfdepanelen geen S8R5 elementen gebruikt. In de onderzoeken van Wojcik M., Iwicki P. enSondej M. maakt men gebruik van 4-node dunne schaalelementen met een gereduceerdintegratiepunt, of S4R-elementen. (Wojcik, 2011) (Iwicki, 2011) (Sondej, 2015)

In Abaqus worden drie types schaalelementen gedefinieerd: algemeen gebruik (generalpurpose), dik (thick) en dun (thin). Dikke schaalelementen worden gebruikt wanneerde schaaldikte meer is dan 1/15 van een karakteristieke lengte op het oppervlak van deschaal. Deze elementen zijn noodzakelijk wanneer transversale afschuiving van belangis. Dunne schaalelementen worden toegepast wanneer de schaaldikte minder is dan 1/15van een karakteristieke lengte op het oppervlak van de schaal. Deze elementen houdenrekening met de beperking van Kirchoff: de normaal van het schaalelement moet steedsloodrecht blijven op het referentieoppervlak van het schaalelement. Algemene elementengedragen zich automatisch als een dik of dun schaalelement wanneer de dikte van hetelement wijzigt. (Abaqus, 2014)

41

HOOFDSTUK 3. NUMERIEK ONDERZOEK EN CONTROLE EUROCODE

De elementen die hier worden overwogen zijn als volgt gecategoriseerd:

Dunne schaal S4R5, S8R5Dikke schaal S8RAlgemeen gebruik S4R

(Abaqus, 2014)

Om de elementtypes correct te vergelijken moet in principe de meshgrootte constantblijven. Dit spreekt voor zich bij het vergelijken van S8R met S8R5, of bij het vergelijkenvan S4R en S4R5. Toch levert dit een dilemma op bij het vergelijken van S8R met S4Relementen. Bij een gelijk aantal elementen verdubbelt het aantal knopen. Zie figuur 3.1.De verdubbeling van het aantal knopen geeft sowieso een nauwkeuriger resultaat. Daaromwerd het aantal knopen constant gehouden, en niet het aantal elementen.

Figuur 3.1: Verschil in het aantal knopen bij S4R en S8R elementen.

In het verdere verloop van deze meshstudie worden de volgende meshparametersgehanteerd:

mer Aantal knopen in meridionale richtingomtr Verhouding tussen de elementbreedte en elementhoogte

Er werd eerst een mesh gebruikt met 10 S8R(5) elementen per golf, waarbij deelementbreedte overeenkomt met 8 keer de hoogte. Dit komt overeen met 100 elementenover de hoogte, en 276 elementen over de omtrek. Door het aantal knopen gelijk tehouden komt dit bij S4R(5) elementen overeen met 200 elementen over de hoogte, en 552elementen over de omtrek.

Aan de hand van deze meshgrootte werden S4R(5) elementen met S8R(5) elementenvergeleken. De resultaten hiervan zijn te zien in tabel 3.1. Het valt meteen op datde bezwijkbelasting in een GMNA-berekening met S8R5 elementen zeer laag ligt, endat de bezwijkbelasting volgens alle andere elementen nagenoeg gelijk is. De MNAresultaten volgens S8R5 elementen geven een bezwijkbelasting die in lijn ligt met deandere elementen. Toch kan ook hier het resultaat als ongeldig beschouwd worden. De

42


bekomen spanningen in verschillende knopen binnen een element lopen sterk uiteen. Hetgebruik van S8R5 elementen kan dus worden uitgesloten, omwille van de onrealistischeresultaten die zowel bij de MNA en GMNA berekening bekomen worden.

Er werd geopteerd om verder te werken met S4R elementen. Enerzijds omdat deze alsalgemene elementen in theorie ook geldig zijn wanneer later met een grotere t/l waardegerekend wordt. Anderzijds omdat dit in andere studies het meest gebruikte element is(Wojcik, 2011) (Iwicki, 2011) (Sondej, 2015), en volgens Abaqus in de meeste toepassingencorrecte resultaten oplevert. (Abaqus, 2014)

Elementtype Element Bezwijkbelasting [kN]GMNA

Bezwijkbelasting [kN]MNA

thick shell S8R 67,6 85,0thin shell S8R5 14,4 85,4general purpose S4R 68,2 85,0thin shell S4R5 67,6 85,0

Tabel 3.1: Bezwijkbelasting bij het gebruik van verschillende elementtypes

Figuur 3.2: Bezwijkbelasting van de referentiesilo afhankelijk van het elementtype

43


Meshgrootte

Zoals eerder vermeld is de mesh bepaald aan de hand van twee parameters: enerzijdshet aantal elementen per golf, anderzijds de verhouding tussen de breedte en de hoogtevan het element. Deze verhouding is niet gelijk aan 1 om de grootte van de meshte beperken. Er wordt een sterkere spanningsgradient verwacht in het meridionalespanningsveld, waardoor er in meridionale richting een fijnere meshgrootte nodig is dan inomtreksrichting. Daarom werd gekozen voor langwerpige rechthoekige elementen. Dezevorm wordt ook gebruikt in het onderzoek van Wojcik M. en Iwicki P. (Wojcik, 2011)(Iwicki, 2011)

In principe mag de breedte van het element niet veel groter zijn dan de hoogte, omdat deresultaten dan mogelijk sterk afwijken van de werkelijke waarden. Daarom werd enerzijdsgekeken of deze factor een invloed heeft. In het onderzoek van M. Wojcik bedroeg deverhouding breedte/hoogte van het element 20. Er werd overigens gekeken of een verfijningvan de mesh een ander en eventueel beter resultaat oplevert.

Hiervoor werd voor de meshparameters de volgende waarden aangenomen: mer = 10, 20/ omtr = 4, 8.

De verfijning van de mesh in omtreksrichting had geen invloed op de resultaten, waardoorverder gewerkt wordt met omtr = 8. Door de elementen dubbel zo groot te nemen (mer= 10 in plaats van 20) verandert de bezwijkbelasting met slechts 2%.

Ten slotte werd de rekentijd vergeleken, zoals te zien in figuur 3.3. Er kan beslotenworden dat een grovere mesh (10 elementen per golf ten opzichte van 20) slechts 15% vande rekentijd met een fijnere mesh nodig heeft.

Figuur 3.3: Vergelijking van de rekentijd bij verschillende meshgroottes

In bovenstaande figuur werd de rekentijd per iteratie gedeeld door de tijd die nodig is om1 iteratie uit te rekenen met de referentiemesh.

Afgezien van de rekentijd en de correctheid van de resultaten, werd opgemerkt dat meteen meshparameter van mer = 10 de golfdiepte niet correct werd weergegeven. Daaromwerd verdergewerkt met mer = 12 en omtr = 8.

44


3.2 Onverstijfd

3.2.1 Vergelijking met Eurocode

Om de waarden uit Eurocode te kunnen vergelijken met Abaqus dienen enkele zakenopgemerkt te worden. In principe wordt volgens Eurocode niet de belasting gelimiteerd,maar de membraanspanningsresultante. Deze twee waarden zijn echter recht evenredigin onverstijfde silo’s. Zoals eerder aangegeven kan de belasting worden afgeleid uit demembraanspanningsresultante door deze laatste met de omtrek te vermenigvuldigen. Hetis mogelijk dat er kleine afwijkingen optreden, maar die zijn insignificant in vergelijkingmet de grootte-orde van de bezwijkbelasting. Om dit verband te controleren wordt dewaarde van nx,Rk over het volledige belastingspad uit Abaqus uitgelezen. Door deze tevergelijken met de belasting, gedeeld door de omtrek van de silo, blijkt dit verband goedte kloppen, zelfs tot op het moment van bezwijken. Bij een belasting van 1kN wijkt deberekende waarde van nx,Rk op basis van de belasting 1% af van deze uit Abaqus. Op hetmoment van bezwijken is dit 1,5%.

Het is wel belangrijk dat deze omzetting niet meer opgaat wanneer de silo builenontwikkelt, en dus niet meer zuiver plastisch bezwijkt.

GMNA

Volgens Eurocode 3 (EN 1993-4-1, 2007) dient steeds gecontroleerd te worden of deoptredende membraanspanningsresultante kleiner is dan de rekenwaarde nx,Rd, bepaaldvolgens formule 1.29. Deze formule bevat een veiligheidsfactor γM0 die in dit onderzoekniet van toepassing is. De factor αx, of de elastische knik imperfectie reductiefactor is bijeen GMNA analyse echter wel van toepassing. In een GMNA analyse, waarbij gebruikgemaakt wordt van een niet-lineaire schaal theorie, wordt in elke stap gerekend met devervormde toestand tot dan toe. Dit resulteert in een lagere limietbelasting ten opzichtevan een berekening met een geometrisch lineair gedrag, vandaar de reductiefactor αx. Erwordt in Eurocode 3 een waarde van 0,80 aangenomen. (EN 1993-4-1, 2007)

Rekening houdend met het bovenstaande wordt een bezwijkbelasting verwacht van49,4kN. (zie hieronder) Echter, de bezwijkbelasting die met eindige elementen berekendis bedraagt 68,2kN. Dit is een afwijking van 38%. Eurocode geeft dus een zeerconservatief resultaat. De vorm van bezwijken volgt wel de voorspelling van Eurocode. Deplasticiteitsgrens wordt in de volledige doorsnede van de top van de golf bereikt, waardoorgolfbezwijken optreedt. De silo bezwijkt in de toppen van de golven dus zuiver plastisch.

nx,Rk =t2fy2d

=0, 752 · 235

2 · 18= 3, 671N/mm (3.1)

nx,Rgmna = αxnx,Rk = 0, 8 · 3, 671N/mm = 2, 938N/mm (3.2)

Fu,gmna = nx,Rgmna · omtrek = 2, 938N/mm · 16807mm = 49, 4kN (3.3)

Een mogelijke verklaring van de hoge bezwijkbelasting volgt uit de afleiding van formule1.27 waarmee nx,Rk bepaald wordt, zie paragraaf 1.7. Hierin wordt de maximale spanning

45


gelimiteerd tot de vloeigrens fy. Dit is echter een vereenvoudiging die slechts benaderendcorrect is.

Er wordt in voorgenoemde formule verondersteld dat de spanning in meridionale richtinggelimiteerd wordt tot de vloeigrens. Dit is correct wanneer de spanning in omtreksrichtinggelijk is aan 0. Op het spanningsdiagram van Mises is dit duidelijk te zien: de spanningin meridionale richting kan de vloeigrens overschrijden wanneer meewerkende spanningenin omtreksrichting optreden. In het meest extreme geval kan de spanning in meridionalerichting stijgen tot 115% van de von Mises spanning.

Het bovengenoemde blijkt correct te zijn wanneer de spanningen zowel in meridionalerichting als in omtreksrichting uit Abaqus worden uitgelezen. Deze spanningen wordenop vijf punten binnen de schaalwand berekend. Op deze manier kan een beeld gevormdworden van het spanningsverloop binnen de silowand. In figuur 3.4 zijn deze puntenuitgezet. Hierop is duidelijk te zien dat de spanning in meridionale richting een maximalewaarde van bijna 270MPa bereikt, zodat de von Mises spanning tot de vloeigrens van235MPa beperkt blijft.

Het is duidelijk dat de kromming in het oppervlak spanningen in omtreksrichting teweegbrengt. Daarom werd ook formule 1.28 opgesteld. Echter, omwille van de r/t verhoudingvan ongever 3500, bevindt deze geometrie zich in het overgangsgebied van formule 1.27en formule 1.28. De vorm van bezwijken kan worden gezien als een combinatie van hetvormen van een zuiver plastisch scharnier (formule 1.27) en het bezwijken volgens demembraantheorie (formule 1.28). Het verschil van 37% is echter beduidend, en kan nietuitsluitend aan de hand van het voorgaande verklaard worden.

Figuur 3.4: Spanning over de silowand bij bezwijken (GMNA) in vergelijking met de vonMises spanning

Een tweede verklaring is dat noch formule 1.27, noch formule 1.28 rekeninghoudt met het lastdraagmechanisme in schaalstructuren. (Rotter, 1987) Dit wilzeggen dat een schaalstructuur transversale lasten zal uitbalanceren, zodanig dat demembraanspanningen uniform verdeeld worden, en buigspanningen geminimaliseerdworden. (Ventsel, 2001)

46


MNA

De MNA berekening is een geometrisch lineaire analyse met niet-lineairemateriaaleigenschappen. In tegenstelling tot de GMNA analyse wordt hier geenrekening gehouden met de vervormingen, waardoor er geen verlies van stabiliteitoptreedt. Hierdoor ligt de bezwijkbelasting volgens een MNA analyse hoger dan deze vanGMNA analyse. Omwille hiervan wordt in formule 1.29 de term αx (de elastische knikimperfectie reductiefactor) ingevoerd. Deze wordt gelijk gesteld aan 0,80. Dit wil zeggendat de bezwijkbelasting in een GMNA-analyse volgens Eurocode 20% lager ligt dan dezevolgens een MNA-analyse. Verder kan op analoge manier als hiervoor aangegeven debezwijkbelasting berekend worden.

Volgens Abaqus ligt de bezwijkbelasting op 85,0kN. Volgens Eurocode is dit ’slechts’61,7kN. Opmerkelijk is wel dat ook hier de waarde volgens Abaqus 38% hoger ligt dandeze berekend volgens Eurocode. Hieruit kan ook afgeleid worden dat het verschil tussende MNA en GMNA berekening inderdaad 20% bedraagt. De waarde van 0,8 voor αx isin dit geval dus een correcte keuze.

Dezelfde veronderstelling als hiervoor kan ook hier toegepast worden. Het criterium vanVon Mises resulteert in een spanning in meridionale richting die tot 115% van de vloeigrenskan aannemen. In figuur 3.5 is opnieuw het vloeicriterium van Von Mises te zien, metdaarop 5 punten in de silowand.

Figuur 3.5: Spanning over de silowand bij bezwijken (MNA) in vergelijking met de vonMises spanning

47


In figuur 3.6 is corrugation collapse te zien bij bezwijken volgens een MNA analyse. Desilo blijft symmetrisch, maar zakt als een accordeon in elkaar. Op de toppen van de golvenwordt de vloeigrens overschreden.

Figuur 3.6: Spanning in meridionale richting bij corrugation collapse in een MNAberekening

48


3.2.2 Invloed van de plaatdikte

Volgens Eurocode is formule 1.28 geldig voor kleine plaatdiktes. Dit volgt uit deregel dat de grootste van de twee formules doorslaggevend is. (EN 1993-4-1, 2007)Vanaf een bepaald punt is echter formule 1.27 doorslaggevend. Vanaf hier stijgt debezwijkbelasting exponentieel. De twee formules zijn in figuur 3.7 uitgezet. Hiermee is hetbovenvermelde duidelijk. Toch wordt in de recommendations of the European Conventionfor constructional steelwork vermeld dat deze formules slechts geldig zijn bij silo’s meteen r/t verhouding tussen de 20 en 5000. (ECCS, 2013) Dit komt in het geval van dereferentiesilo neer op een plaatdikte die minimaal 0,5mm bedraagt.

Figuur 3.7: Vergelijking formules Eurocode bij variabele plaatdiktes

Er dienen dus enkele zaken nagekeken te worden. Enerzijds kan gecontroleerd worden ofde aanbevelingen van ECCS geldig zijn, en anderzijds wordt gecontroleerd of de overgangtussen de twee formules in Eurocode ook in werkelijkheid dezelfde vorm aanneemt. Alleafmetingen van de standaardsilo worden constant gehouden, en de plaatdikte t wordtals variabele genomen. Door nu nx,Rk in formule 1.27 en 1.28 gelijk te stellen blijkt deovergang tussen deze twee formules plaats te vinden bij een plaatdikte van 0,33mm. Ziefiguur 3.7, dit komt overeen met het snijpunt van de twee formules. De plaatdikte van0,33mm geeft een r/t verhouding van 8100. Dit wil zeggen dat volgens ECCS (ECCS,2013) de formules uit Eurocode niet meer geldig zijn. Ook zijn zo’n dunne platen inpraktijk niet verkrijgbaar.

Om toch de overgang tussen de formules, alsook de aanbeveling van ECCS te controleren,wordt de plaatdikte gevarieerd van 0,1mm tot 1,25mm.

Uit deze controle blijkt inderdaad dat de formules niet meer opgaan voor zeer kleineplaatdiktes. De silo bezwijkt via golfbezwijken vanaf een plaatdikte van 0,35mm. Ditgeeft een r/t verhouding van 7600. De aanbevelingen van ECCS zijn in dit geval iets teconservatief. Bij plaatdiktes kleiner dan 0,35 ontstaan verschillende builen in de silo, enwordt de plasticiteitsgrens in de toppen van de golven niet bereikt. De spanningsverdelingbij bezwijken bij een silo met plaatdikte t=0,1mm is te zien in figuur 3.8. De vorm vanbezwijken is te zien in figuur 3.9.

Bij plaatdiktes groter dan 0,5mm ligt de bezwijkbelasting ook hier consistent hoger (±

49


35 a 40%) dan de waarde berekend volgens Eurocode. Zie paragraaf 3.2.1.

Figuur 3.8: Spanningen in de golftop bij elastisch bezwijken, t=0,1mm

Figuur 3.9: Elastisch bezwijken bij zeer dunne silowand, t=0,1mm

Formule 1.28 kan bij deze silostraal dus niet gecontroleerd worden door de plaatdikte teverkleinen. In wat volgt wordt het verband tussen de twee formules aangetoond, analoogaan het onderzoek van J.M. Rotter. (Rotter, 1987)

50


3.2.3 Parameterstudie

In eerste instantie wordt, zoals hiervoor vermeld, het onderzoek van J.M. Rotter (Rotter,1987) gecontroleerd door de straal van de silo te varieren. Er wordt een plaatdiktevan 1mm aangenomen, met golfparameters analoog aan de standaardsilo. (l=76mm,d=18mm). Er werden 9 silo’s berekend, met een straal varierend van 10cm tot 10m. Deresultaten zijn hieronder te zien in figuur 3.10. Deze wijken enigszins af van figuur 1.11uit de parameterstudie van J.M. Rotter (Rotter, 1987).

Hier ligt de waarde volgens Abaqus consistent 37% hoger, zelfs voor silo’s met een zeergrote straal. Dit is in het onderzoek van J.M. Rotter niet het geval, waar de waarde volgenseindige elementen analyses asymptotisch naar Eurocode nadert, naarmate de straal vande silo vergroot.

Figuur 3.10: Variatie van de bezwijkbelasting bij een variabele silo-straal

Dit verschil is waarschijnlijk te wijten aan het type analyse dat wordt toegepast. Hierwordt een GMNA analyse uitgevoerd, waar dat in het onderzoek van J.M. Rotter (Rotter,1987) niet het geval is. Zoals eerder aangehaald zijn dit ook geen realistische waardenvoor de straal van de silo. Zeker de kleinste waarden van de straal r, waar formule 1.27geldig is, komen in de praktijk niet voor. Echter, uit dit onderzoek blijkt dat de spanningin omtreksrichting wel degelijk invloed heeft op de bezwijkbelasting, ook bij een grotesilo-straal.

51


Om een beter beeld te scheppen van het bezwijkgedrag onafhankelijk van de straal vande silo, werd een parameterstudie uitgevoerd waarbij de plaatdikte, golfdiepte en L/dverhouding varieren tussen realistische waarden. In tabel 3.2 zijn alle afmetingen tevinden die in deze parameterstudie werden toegepast. De straal werd constant gehoudenop 2,675m.

parameter afkorting waarden

plaatdikte [mm] t 0,50 / 0,75 / 1,00 / 1,25 /1,50 / 1,75 / 2,00

golfdiepte [mm] d 2 / 4 / 6 / 8 / 10 / 12 / 14/ 16 / 18 / 20

golflengte / golfdiepte [-] l/d 4 / 10

Tabel 3.2: Afmetingen parameterstudie

Dit geeft een totaal van 140 verschillende combinaties. Om de rekentijd te verkleinenwordt slechts 1/8 van de totale silo-omtrek gemodelleerd. Vermits het model volledigsymmetrisch is, en bij corrugation collapse volledig symmetrisch blijft, kan dezevereenvoudiging toegepast worden. Alle resultaten zijn weergegeven in figuren 3.11 tot3.18. Wanneer de golfdiepte daalt, stijgt de bezwijkbelasting exponentieel. Een kleineregolfdiepte resulteert in een kleiner moment op de golftoppen. Bij zeer kleine golfdiepteszal de bezwijkbelasting een plateau bereiken dat overeenkomt met de bezwijkbelasting vaneen vlakke silo. De formule in Eurocode is echter een zuiver exponentiele functie, waardooreen plateau nooit bereikt wordt. Dit is te zien in figuur 3.12, waar bij kleine golfdiepteEurocode plots een overschatting maakt. In andere gevallen voorspelt Eurocode consistenteen conservatieve bezwijkbelasting. Uiteraard is dit ook in figuur 3.14 zichtbaar, waar delijn van d=2mm als uitschieter kan beschouwd worden.

Er dient wel opgemerkt te worden dat de vorm van de golven in principe niet verandert.De l/d verhouding blijft constant, zodat ook de golflengte verandert wanneer de golfdieptevarieert. Toch resulteert een grotere golfdiepte in een groter moment in de top van degolf. Dit zorgt ervoor dat de silo sneller bezwijkt wanneer de golfdiepte groter is, ook alblijft de golfvorm behouden.

Uit figuur 3.16 blijkt dat er bij l/d=10 enkele combinaties bezwijken bij een waardekleiner dan deze voorspeld door Eurocode. Het gaat hier om kleine plaatdiktes met eengrote golfdiepte. De l/d verhouding duidt op een zeer uitgestrekte golf. Dit alles geeftcombinaties die in praktijk niet voorkomen.

De afwijking is hier echter eenvoudig te verklaren. Net zoals bij zeer kleine plaatdiktes( zie paragraaf 3.2.2 ) bezwijkt ook hier de silo elastisch. Door het ontstaan van builentreedt er geen golfbezwijken op. Deze afwijking doet zich voor bij een l/d verhouding van10, plaatdikte van 0,5mm, en golfdieptes van 12 tot 20mm. Ook bij een plaatdikte van0,75mm bezwijkt de silo elastisch bij golfdieptes van 18 en 20mm. Omwille van de maniervan bezwijken is het model niet meer correct. Zoals hierboven vermeld wordt slechts 1/8van de schaalwand gemodelleerd, en wordt symmetrie dus geforceerd.

Er dient dus opgemerkt te worden dat er limieten zijn aan de toepasbaarheid van deformules uit Eurocode. Zowel bij zeer kleine als zeer grote golfdieptes treden afwijkingen

52


op. Ook kan worden opgemerkt dat Eurocode consistent een conservatief resultaatoplevert. Dit werd ook al opgemerkt en gedeeltelijk verklaard in paragraaf 3.2.1.

Figuur 3.11: Bezwijkbelasting bij variabele golfdiepte, l/d = 4

Figuur 3.12: Bezwijkbelasting bij variabele golfdiepte in vergelijking met Eurocode, l/d= 4

53


Figuur 3.13: Bezwijkbelasting bij variabele plaatdikte, l/d = 4

Figuur 3.14: Bezwijkbelasting bij variabele plaatdikte in vergelijking met Eurocode, l/d= 4

Figuur 3.15: Bezwijkbelasting bij variabele golfdiepte, l/d = 10

54


Figuur 3.16: Bezwijkbelasting bij variabele golfdiepte in vergelijking met Eurocode, l/d= 10

Figuur 3.17: Bezwijkbelasting bij variabele plaatdikte, l/d = 10

Figuur 3.18: Bezwijkbelasting bij variabele plaatdikte in vergelijking met Eurocode, l/d= 10

55


3.3 Verstijfd

In hoofdstuk 1 is het duidelijk dat de berekening van verstijfde silo’s beduidend complexerzijn dan deze van onverstijfde silo’s. Volgens Eurocode kunnen de kolommen plastischbezwijken of uitknikken. Ook kan de volledige silowand door knik bezwijken.

Er wordt in eerste instantie gekeken of de berekende bezwijkbelastingen in Abaqusovereenkomen met deze volgens Eurocode. Vervolgens wordt een parameterstudieuitgevoerd om het gedrag van de verstijfde silo beter in kaart te brengen.

Het model dat hier gebruikt wordt kan onmogelijk het uitknikken van de silowand correctvoorspellen. Dit wordt verder uitgebreid besproken. Als mogelijke oplossing hiervoorwordt een orthotroop model opgesteld. De resultaten hiervan worden in een derdeparagraaf besproken.

3.3.1 Vergelijking met Eurocode

Er kunnen 4 basisgevallen onderscheiden worden:

1. Silowand + verstijvers berekend als orthotrope plaat, bezwijken door uitknikken.(formule 1.45)

2. Silowand + verstijvers berekend als orthotrope plaat, plastisch bezwijken in deverstijver. (formule 1.60)

3. Verstijver apart berekend, bezwijken door uitknikken. (formule 1.66)

4. Verstijver apart berekend, plastisch bezwijken in de verstijver. (formule 1.67)

De eerste twee gevallen zijn van toepassing wanneer ds < ds,max, of bij een groot aantalverstijvers. Indien ds > ds,max zijn de laatste twee gevallen van toepassing. Er moet dusin eerste instantie berekend worden wat de maximale tussenafstand tussen de verstijversds,max is. Dit wordt berekend aan de hand van formule 1.44, die hieronder is uitgewerkt.Aan de hand van de omtrek kan hiermee het aantal verstijvers bepaald worden datovereenstemt met ds,max. Een aantal verstijvers kleiner of gelijk aan dit aantal wil zeggendat ds > ds,max

ds,max = kdx

(r2Dy

Cy

)0,25

= 9, 1

((2675mm)2 · 6820181Nmm

179299N/mm

)0,25

= 1168mm (3.4)

ns,min = omtrek/ds,max = 16807mm/1168mm = 14 (3.5)

Voor elk van deze 4 basisgevallen kan een model worden opgesteld dat hier volgensEurocode van toepassing is. De volgende 4 modellen worden gegenereerd, dierespectievelijk overeenkomen met de 4 bovengenoemde gevallen. Alle dimensies eneigenschappen die niet zijn weergegeven blijven constant aan het standaardmodel, zoalsbesproken in hoofdstuk 2.

56


geval aantal verstijvers ns profieltype vloeigrens fy [MPa]

1. 18 C2.0 9602. 18 C2.0 2353. 10 C2.0 9604. 10 C2.0 235

Tabel 3.3: Verschil in eigenschappen bij 4 modellen om de basisgevallen in Eurocode teanalyseren

De voorgenoemde gevallen worden in wat volgt een voor een besproken. De berekeningvolgens Eurocode wordt overlopen en vervolgens met de berekende waarde uit Abaqusvergeleken.

57


Geval 1

In het eerste geval wordt de schaal inclusief verstijvers in Eurocode als orthotrope plaatberekend. Bij het bezwijken worden hier volgens deze berekening builen gevormd overde volledige omtrek van de silo, al dan niet evenredig met het aantal verstijvers. Ditlaatste wil zeggen dat het rekenmodel dat in Abaqus wordt toegepast onmogelijk dezelfdebezwijkmode als Eurocode kan voorspellen. Zoals beschreven in hoofdstuk 2 wordtsymmetrie op het model toegepast. Er wordt slechts een langsverstijver gemodelleerdmet een schaalwand die even breed is als de tussenafstand tussen twee verstijvers. Hetaantal builen dat kan gevormd worden is dus sowieso evenredig met het aantal verstijvers.Dit is in werkelijkheid echter niet het geval. Ook bij deze geometrie voorspelt Eurocodeeen aantal builen dat niet met het aantal verstijvers evenredig is.

De berekening volgens Eurocode gebeurt aan de hand van de formules 1.45 t.e.m 1.58.Zoals aangegeven in paragraaf 1.8.1 wordt nx,Rcr geminimaliseerd door het kritischegolfnummer j en de halve golflengte li te varieren. Het kritische golfnummer j is altijd eengeheel getal en kan in principe elke waarde aannemen. De halve golflengte li kan echternooit groter zijn dan de hoogte van de silo.

Er dient dus het minimum bepaald te worden van een functie met twee variabelen. Omdit visueel weer te geven werd een contourplot opgesteld die hieronder is weergegeven.

Figuur 3.19: Contourplot ter bepaling van nx,Rcr

58


Dit wil zeggen dat de silo 3 builen zal vormen in omtreksrichting, met een halvegolflengte van ongeveer 17,5m in meridionale richting. Dit komt overeen met eenmembraanspanningsresultante nx,Rcr van 682 N/mm. Ook hier kan de bezwijkbelastingberekend worden door deze waarde met de omtrek te vermenigvuldigen:

Fu = 682 N/mm * 16807mm = 11462 kN

De berekeningen in Abaqus zijn telkens als GMNA-analyse uitgevoerd. De factor α van0,8 wordt dus ook hier in rekening gebracht om de karakteristieke bezwijkbelasting tebepalen, net zoals bij de berekeningen van de onverstijfde silo, zie paragraaf 3.2.1. Ditgeeft een uiteindelijke bezwijkbelasting volgens Eurocode van 9170kN.

De bezwijkmode zoals deze is voorspeld in Eurocode is zoals reeds vermeld in hoofdstuk 1gebaseerd op de theorie van DMV (Donnel, 1934). Om dit visueel voor te stellen werd ophet orthotroop model met grove mesh, dat in paragraaf 3.3.3 uitgebreid besproken wordt,een LBA analyse uitgevoerd. De plaat is gemodelleerd met orthotrope eigenschappen,en de verstijvers zijn toegevoegd als beam elements. Bij een grove mesh geeft dit eenresultaat dat gelijkaardig is aan Eurocode. Dit is te zien in figuur 3.20. Er zijn drie builenverdeeld over de omtrek, en de halve golflengte van de builen bedraagt ongeveer 17,5m.Echter, bij een verfijning van de mesh wijken de resultaten sterk af. Hier wordt laterop teruggekomen. In eerste instantie wordt, zoals vermeld, het symmetrisch model metEurocode vergeleken.

Figuur 3.20: Bezwijkmode bij een LBA analyse op het orthotroop model met grove mesh

Volgens het standaard symmetrisch rekenmodel dat werd toegepast kan deze bezwijkvormniet voorkomen omwille van symmetrie zoals hierboven besproken. De bezwijkbelastingdie met dit symmetrisch model bekomen werd bedraagt 5080kN. Beduidend minder dande 9170kN die in Eurocode berekend werd. Dit is logisch, de bezwijkvorm in Eurocode en

59


in Abaqus is volledig anders. De bezwijkvorm volgens het toegepaste eindige-elementenmodel is weergegeven in figuur 3.21. Er kan besloten worden dat, zoals verwacht, ditmodel onmogelijk gebruikt kan worden om deze formules in Eurocode te controleren. Ermag geen symmetrie toegepast worden. Een correct model is in dit geval dus 18x groter.In dit onderzoek was deze grootte niet uitvoerbaar.

Figuur 3.21: Vervormingen van het symmetrisch Abaqusmodel op het moment vanmaximale belasting, ns=18, fy=960MPa

Op bovenstaande figuur is duidelijk dat de kolom hier elastisch bezwijkt. De flenzenknikken onderaan de silo uit. Merk op dat de belasting groter is op lage niveaus inde silo. Het bezwijken treedt daarom onderaan op, terwijl er bovenaan nagenoeg geenvervormingen te zien zijn.

60


Geval 2

Hier worden, net zoals in het vorige geval 18 verstijvers geplaatst. De geometrie is identiekaan het vorige geval, met als enige verschil de vloeigrens van het staal in de verstijvers.Waar in het vorige geval een vloeigrens van 960MPa gebruikt wordt, is dit hier slechts235MPa. De kolom zal in theorie plastisch worden alvorens deze uitknikt.

De berekening wordt als volgt uitgewerkt:

ds = omtrek/ns = 16807mm/18 = 934mm (3.6)

nx,Rk =Aefffyds

=450mm2 · 235MPa

934mm= 113N/mm (3.7)

Fu = nx,Rk · omtrek = 113N/mm · 16807mm = 1899kN (3.8)

De bezwijkbelasting uit Abaqus komt hier zeer dicht in de buurt: 1935kN. Dit is slechts2% hoger dan de voorspelde waarde. In figuur 3.22 is te zien dat bij bezwijken inderdaadde vloeigrens in de verstijver bereikt wordt.

Figuur 3.22: Spanningen in vervormde toestand op het moment van maximale belasting,ns=18, fy=235MPa

Hierop is ook duidelijk dat de silowand inderdaad bijna alle belasting overdraagt naar deverstijvers. Ook al grijpt de volledige last aan op de silowand, toch zijn de optredendespanningen hier veel lager dan in de verstijvers.

61


Geval 3

Hier worden slechts 10 verstijvers geplaatst met een vloeigrens van 960MPa. Op diemanier zullen de verstijvers (net als in geval 1) uitknikken voor de vloeigrens bereiktwordt. De rekenmethode is hier echter anders dan deze in geval 1. Ook wordt dezerekenmethode binnenkort aangepast, zoals reeds eerder aangegeven in paragraaf 1.8.2.

De silowand wordt hier in rekening gebracht door deze om te rekenen naar een verendeondersteuning op de verstijver. Deze veerconstante kan op 2 worden uitgerekend. Deuiteindelijke bezwijkbelasting kan dus op 4 manieren berekend worden: zowel met deoude als de nieuwe rekenmethode, allebei gecombineerd met de nauwkeurige en mindernauwkeurige berekening van K.

De eenvoudige berekening van de veerconstante zal worden aangeduid met K1, terwijlde nauwkeurigere methode wordt voorgesteld K2. De berekening van K1 is te vinden informule 1.68 en wordt ook hieronder uitgeschreven. De berekening van K2 is omwille vande lengte van de formule niet uitgeschreven. Deze bewerking is terug te vinden in bijlageA. Hiervoor wordt formule 1.69 toegepast. Het resultaat is ook hieronder weergegeven.

ds = omtrek/ns = 16807mm/10 = 1681mm (3.9)

K1 = ksDy

d3s= 6

6820181Nmm

(1681mm)3= 0, 009N/mm/mm (3.10)

K2 = 0, 352N/mm/mm (3.11)

Het valt meteen op dat er een groot verschil is tussen K1 en K2. Wanneer gekekenwordt naar hoe deze twee waarden berekend worden is het echter logisch dat K2 eengroter resultaat oplevert. (Zie paragraaf 1.8.2). K2 houdt rekening met de krommingvan de wand ten gevolge van de straal van de silo, terwijl K1 veronderstelt dat dezekromming niet bestaat. Een gekromde plaat heeft immers een grotere stijfheid tegenbuiging dan een vlakke plaat. Wanneer een zeer grote straal r wordt genomen meteen constante tussenafstand tussen de verstijvers ds, geven deze berekeningen inderdaadhetzelfde resultaat.

limr→+∞,ds=cte

K1

K2

= 1 (3.12)

Het is dus duidelijk dat K2 inderdaad een nauwkeuriger resultaat geeft, dat meestal niette verwaarlozen is. Wanneer echter toch K1 gebruikt wordt, wordt de ondersteuning doorde silowand onderschat, wat een veiliger resultaat oplevert.

62


In de oude rekenmethode gaat de berekening zoals hieronder is weergegeven. Dezeberekening is zowel voor K1 als K2 uitgevoerd. Merk op dat K2 in principe nooitgecombineerd wordt met deze rekenmethode.

Nb,Rk1 = 2√EIyK1 = 2

√210GPa · 234159mm4 · 0, 009N/mm/mm = 41, 2kN (3.13)

Nb,Rk2 = 2√EIyK2 = 2

√210GPa · 234159mm4 · 0, 352N/mm/mm = 263, 0kN (3.14)

In de nieuwe rekenmethode wordt een standaard knikberekening uitgevoerd aan de handvan de slankheid van de kolom. Er dient gerekend te worden met b, wat overeenkomt meteen imperfectiefactor α =0,34. De effectieve lengte wordt berekend zoals in formule 1.74.De berekening is hieronder weergegeven, zowel voor K1 als K2.

Berekening aan de hand van K1:

Le,1 = π

(EIyK1

)1/4

= π

(210GPa · 234159mm4

0, 009N/mm/mm

)1/4

= 4855mm (3.15)

Ncr,1 =π2EIeffL2e,1

=π2 · 210GPa · 234159mm4

48552mm2= 20, 58kN (3.16)

λ1 =

√AefffyNcr,1

=

√450mm2960MPa

20, 58kN= 4, 58 (3.17)

φ1 = 0, 5[1 + α(λ1 − 0, 2) + λ21] = 0, 5[1 + 0, 34(4, 58− 0, 2) + 4, 582] = 11, 75 (3.18)

χ1 =1

φ1 +√φ21 − λ21

=1

11, 75 +√

11, 752 − 4, 582= 0, 04 (3.19)

Nb,Rk,3 = χ1Aefffy = 0, 04 · 450mm2 · 960MPa = 19, 16kN (3.20)

(3.21)

Berekening aan de hand van K2:

Le,2 = π

(EIyK2

)1/4

= π

(210GPa · 234159mm4

0, 352N/mm/mm

)1/4

= 1921mm (3.22)

Ncr,2 =π2EIeffL2e,2

=π2 · 210GPa · 234159mm4

19212mm2= 131, 5kN (3.23)

λ2 =

√AefffyNcr,2

=

√450mm2960MPa

131, 5kN= 1, 81 (3.24)

φ2 = 0, 5[1 + α(λ2 − 0, 2) + λ22] = 0, 5[1 + 0, 34(1, 81− 0, 2) + 1, 812] = 2, 42 (3.25)

χ2 =1

φ2 +√φ22 − λ22

=1

2, 42 +√

2, 422 − 1, 812= 0, 25 (3.26)

Nb,Rk,4 = χ2Aefffy = 0, 25 · 450mm2 · 960MPa = 107, 61kN (3.27)

63


Er is duidelijk een groot verschil tussen het resultaat dat bekomen wordt door gebruik temaken van K1 enerzijds en K2 anderzijds. K2 is groter vermits er rekening gehouden wordtmet de kromming van de wand. Door de verschillende stappen in het rekenproces te volgenis duidelijk dat een grotere veerconstante K resulteert in een grotere bezwijkbelastingNHb,Rk, zie figuur 3.23. In figuur 3.24 zijn deze twee berekeningen op de knikkrommesgesitueerd.

Figuur 3.23: Verband tussen K en Nbrk

Figuur 3.24: Verschillende knikkrommes met de situering van de beschouwde kolom ingeval 3

Ook de berekende waarde volgens Abaqus is op deze grafiek weergegeven. Deze is bepaalddoor een GMNA, MNA en LBA berekening uit te voeren. De reductiefactor χ wordtberekend als Fu,GMNA/Fu,MNA. De slankheid λ wordt berekend als

√Fu,MNA/Fu,LBA.

De vier voorgaande berekeningen geven zeer uiteenlopende resultaten, van 19,16kN tot263kN. Merk op dat dit de bezwijkbelasting per verstijver is. Vermits hier 10 verstijverszijn gebruikt is de uiteindelijke bezwijkbelasting Fu = 10 · Nb,Rk. In Abaqus werd eenbezwijkbelasting per verstijver gevonden van Nvb,RFE = 272kN. In figuur 3.25 werden aldeze bezwijkbelastingen dimensieloos uitgezet.

64


Figuur 3.25: Vergelijking tussen de nieuwe en oude rekenmethode en de resultaten uitAbaqus.

Het lijkt alsof de oude rekenmethode gecombineerd met de nieuwe berekening van K hetmeest correcte resultaat geeft. Echter, deze methode werd zoals reeds vermeld tot nu toenooit in Eurocode toegepast. Samen met de toevoeging van de nauwkeurige berekeningvan K wordt deze rekenmethode aangepast. Algemeen wordt er dus een zeer conservatiefresultaat bekomen. Dit is te verklaren doordat de belasting over de volledige binnenzijdevan de silowand verdeeld, waarbij deze onderaan groter zijn dan bovenaan, zie paragraaf2.6. De standaard knikberekening rekent met axiaal belaste kolommen die bovenaan meteen puntlast zijn belast. Uitknikken is op die manier veel waarschijnlijker dan wanneerde volledige last pas onderaan de kolom zijn volle grootte aanneemt.

Een correcte berekening die rekening houdt met de verdeelde last die op dit model werdtoegepast, houdt dus rekening met een kleinere kniklengte. Deze lengte is echter alkleiner dan de volledige hoogte van de verstijver, omdat er rekening is gehouden metde ondersteuning die de silowand biedt. Toch wordt met de verdeelde last geen rekeninggehouden.

De kniklengte is dus afhankelijk van twee factoren:

1. De ondersteuning die de silowand biedt tegen uitknikken. Dit wordt in Eurocode inrekening gebracht met de veerconstante K.

2. De belasting die vooral onderaan de kolom aangrijpt, en dus niet als puntlastbovenaan de kolom aangrijpt. Hier houdt Eurocode geen rekening mee.

65


Geval 4

Het laatste geval wordt gemodelleerd met 10 verstijvers en een vloeigrens fy van 235MPa.Hier zullen de kolommen, net zoals in geval 2, bezwijken doordat de vloeigrens in dekolommen bereikt wordt. Het verschil zit in de berekening volgens Eurocode. Net zoalsin geval 3 is er een oude rekenmethode die binnenkort vervangen wordt door een standaardknikberekening. De oude berekening is hieronder uitgewerkt:

Nb,Rk1 = Aeff · fy = 450mm2 · 235MPa = 105, 8kN (3.28)

De nieuwe berekening is analoog aan deze in geval 3. Volgens deze nieuwe berekening blijktdat de kolom in dit geval elasto-plastisch zal ezwijken. Ook hier kan de veerconstante Kop twee manieren berekend worden. Het verschil tussen deze twee werd hiervoor reedsaangehaald. Hier werd gewerkt met de nauwkeurige berekening, zie formule 3.14. Ditgeeft een bezwijkbelasting zoals hieronder weergegeven. De positie op de knikkrommes isweergegeven in figuur 3.26

Nb,Rk2 = χAefffy = 0, 66 · 450mm2 · 235MPa = 70, 18kN (3.29)

Figuur 3.26: Verschillende bucklingcurves met de situering van de beschouwde kolom ingeval 4

In Abaqus werd een bezwijkbelasting gevonden van 108,6kN per kolom. Dit komt goedovereen met Nb,Rk1. Inderdaad, de kolom bezwijkt volledig plastisch. De vorm vanbezwijken is identiek aan geval 2, zie figuur 3.22.

66


3.3.2 Parameterstudie

In het symmetrisch model kan zoals reeds aangegeven enkel het gedrag van de verstijversgeanalyseerd worden, en niet van de silowand in zijn geheel, zie geval 1 in paragraaf3.3.1. In deze parameterstudie werden enkele zaken gevarieerd: het aantal verstijvers n,de vloeigrens fy en de plaatdikte van de verstijver, dit is samengevat in onderstaandetabel.

parameter afkorting waarden

aantal verstijvers [-] n 10 / 14 / 18 / 20 / 22 / 28 / 36 / 44vloeigrens [MPa] fy 235 / 355 / 460 / 690 / 960type verstijver [-] / C1.5 / C2.0 / C2.5 / C4.0

Tabel 3.4: Afmetingen parameterstudie

De variatie van de vloeigrens werd enkel met 10, 14, 18 en 22 verstijvers gecontroleerd,telkens met een C2.0 profiel. Bij het vergelijken van verschillende types verstijvers werdde vloeigrens constant gehouden op 235MPa.

In figuur 3.27 is de bezwijkbelasting is weergegeven voor 10 verstijvers, in combinatie meteen C2.0 profiel. Hieruit is duidelijk de overgang te zien van plastisch bezwijken naarbezwijken door uitknikken.

Figuur 3.27: Overgang van plastisch bezwijken naar uitknikken bij n=10 en profieltypeC2.0

Hetzelfde gedrag is te zien bij een verschillend aantal verstijvers. In figuur 3.29 is ditduidelijk te zien. Ook in figuur 3.31 is duidelijk dat de dimensieloze bezwijkbelastingconstant blijft bij eenzelfde vloeigrens. De dimensieloze bezwijkbelasting is dusonafhankelijk van het aantal verstijvers. Uiteraard verhoogt de bezwijkbelasting zelf welnaarmate het aantal verstijvers stijgt, zie figuur 3.30.

Ook wanneer het type verstijver gevarieerd wordt blijft deze bij een vloeigrens van 235MPaplastisch bezwijken alvorens uit te knikken. Dit is te zien in figuur 3.33 en 3.35.

67


Figuur 3.28: Bezwijkbelasting bij een verschillend aantal verstijvers in functie van devloeigrens

Figuur 3.29: Dimensieloze bezwijkbelasting bij een verschillend aantal verstijvers infunctie van de vloeigrens

Figuur 3.30: Bezwijkbelasting bij verschillende vloeigrenzen in functie van het aantalverstijvers

68


Figuur 3.31: Dimensieloze bezwijkbelasting bij verschillende vloeigrenzen in functie vanhet aantal verstijvers

Figuur 3.32: Bezwijkbelasting in functie van de plaatdikte van de verstijver, fy = 235MPa

Figuur 3.33: Dimensieloze bezwijkbelasting in functie van de plaatdikte van de verstijver,fy = 235MPa

69


Figuur 3.34: Bezwijkbelasting in functie van het aantal verstijvers, fy=235MPa

Figuur 3.35: Dimensieloze bezwijkbelasting in functie van het aantal verstijvers,fy=235MPa

70


3.3.3 Orthotroop model

Een duidelijke beperking van het tot hier toe gebruikte model is dat de silowand nooit eenaantal builen kan vormen dat deelbaar is door het aantal verstijvers, zoals werd aangetoontvoor geval 1. Dit model werd toegepast om de rekentijd klein te houden.

Om toch een analyse uit te voeren op een volledige silo, inclusief verstijvers, wordteen orthotroop model opgesteld. De plaatwand wordt gemodelleerd aan de hand vande orthotrope eigenschappen zoals bepaald in 1.3. Voor deze berekeningen werden destandaard plaatafmetingen gebruikt, zie verder. Dit levert een stijfheidsmatrix op zoalshieronder weergegeven. Deze wordt in Abaqus gemodelleerd als general stiffness sectionom de schaalwand voor te stellen. De verstijvers worden als beam elements gemodelleerd.Een onderzoek met dit type model werd reeds door M. Sondej uitgevoerd. Hier werdde plaat met S4 elementen gemodelleerd en de verstijvers als B31OS elementen. In hetonderzoek van M. Sondej gebeurden alle berekeningen echter als LBA analyses. (Sondej,2015) In wat volgt zijn alle berekeningen van het type GMNA.

Eenvoudigheidshalve worden hier dezelfde elementtypes gebruikt als in het onderzoekvan M. Sondej. De belasting wordt als uniforme lijnlast op de bovenrand geplaast. Deonderrand wordt in x-, y- en z-richting vast gezet. Ook hier worden de effecten van hetdak in rekening gebracht door de verplaatsingen in omtreksrichting en radiale richting aan0 gelijk te stellen.

1, 822 · 105N/m 1, 715 · 106N/m 0 0 0 0

1, 793 · 108N/m 0 0 0 0

5, 321 · 107N/m 0 0 0

7, 126Nm 6.613 · 101Nm 0

6, 820 · 103Nm 0

3, 232Nm

(3.30)

De berekeningen werden uitgevoerd als GMNA-analyses. De standaardafmetingen werdengebruikt, nogmaals samengevat in onderstaande tabel:

StandaardafmetingenHoogte h [m] 20straal r [m] 2,675Golflengte l [mm] 76golfdiepte d [mm] 18type verstijver C2.0aantal verstijvers 18

Tabel 3.5: Standaardafmetingen gebruikt in het orthotroop model

71


Bij een vloeigrens van 235MPa zou de kolom plastisch moeten bezwijken alvorens knikoptreedt. Een correct resultaat ligt dus in de buurt van deze die met het symmetrischmodel bekomen werd, alsook met de belasting die in Eurocode berekend wordt. Met hetorthotroop model wordt echter een bezwijkbelasting van 1472kN bekomen. Beduidendlager dan de waarde uit Eurocode. Dit is te zien in figuur 3.36.

Figuur 3.36: Vergelijking van de bezwijkbelasting volgens verschillende modellen,fy=235MPa, n=18

Verder valt ook op dat in het orthotroop model de spanningen in de beam-elementenoplopen tot boven de vloeigrens van 235MPa. De kolommen alsook de silowand lijkenuit te knikken aan de boven en onderrand, zie figuur 3.37. Hierop lijkt misschien ookdat de kolommen ”gebroken”zijn. Dit is omdat de kolommen als beam-elementen zijngemodelleerd, en dus als lijn worden berekend. Verder kunnen er in de silowand geenspanningen worden berekend, vermits deze als orthotrope plaat is ingesteld.

Figuur 3.37: Spanningen op het moment van bezwijken in het orthotroop model,fy=235MPa, n=18

72


Om het gedrag bij uitknikken te analyseren zoals in geval 1 in paragraaf 3.3.1, werd devloeigrens niet ingesteld. Er wordt in de kolommen dus gewerkt met een zuiver elastischmateriaal. Dit resulteert in een bezwijkbelasting van 3143kN. Opnieuw beduidend lagerdan de bezwijkbelasting volgens het symmetrisch model, en zeker lager dan deze berekendvolgens Eurocode. (Zie geval 1 in paragraaf 3.3.1, de vloeigrens heeft immers geen invloedop deze berekening). Deze drie waarden zijn weergegeven in onderstaande figuur.

Figuur 3.38: Vergelijking van de bezwijkbelasting volgens de verschillende modellen, geenvloeigrens, n=18

In figuur 3.39 is duidelijk dat er in de silowand geen builen ontstaan zoals voorspeld doorEurocode. De silo bezwijkt omdat de vervormingen in nabijheid van de bovenrand tegroot worden.

Figuur 3.39: Spanningen op het moment van bezwijken in het orthotroop model, geenvloeigrens, n=18

Er kan de vraag gesteld worden of het falen vroegtijdig is opgetreden aan de bovenrand,waar de lijnlast op de schaalwand aangrijpt. Deze vraag is zowel toepasbaar om het modelmet en zonder vloeigrens. Ter controle werden dezelfde twee modellen berekend waarbijde belasting als puntlasten op de kolommen aangrijpt. Echter, waar een vloeigrens van

73


235MPa gebruikt wordt, blijkt het type belasting (lijnlast of puntlasten) weinig tot geeninvloed te hebben op de bezwijkbelasting.

In het model zonder vloeigrens heeft dit echter wel een invloed. In figuur 3.40 is dit tezien. Volgens dit model geeft Eurocode een conservatief resultaat.

Figuur 3.40: Vergelijking tussen de bezwijkbelasting volgens het orthotroop model enEurocode, geen vloeigrens, n=18

Het is dus mogelijk om een ’correcter’ resultaat (in vergelijking met Eurocode) te bekomenmet Abaqus door een orthotroop model te gebruiken. Echter, het is aan de hand vandeze resultaten moeilijk te zeggen welke resultaten volledig correct zijn, en het bestovereenstemmen met de werkelijkheid. De bezwijkbelasting is sterk afhankelijk van welktype model gebruikt wordt, en hoe de belasting aangrijpt.

74

Hoofdstuk 4

Conclusies

4.1 Besluit

Silo’s met gegolfde panelen worden vaak gebruikt. Toch is er nog weinig onderzoek gedaannaar het bezwijkgedrag hiervan. Uit dit onderzoek blijkt dat onverstijfde silo’s inderdaadbezwijken volgens golfbezwijken, zoals dit ook in Eurocode wordt voorspeld. Echter,de bezwijkbelasting volgens Abaqus ligt consistent hoger dan de voorspelde waarde uitEurocode.

Bij horizontaal gegolfde silo’s met verticale langsverstijvers blijkt dat deze verstijversbijna de volledige axiale last dragen. Bezwijken kan optreden door het uitknikken van desilowand, door uitknikken van de verstijver of omdat de verstijver begint te vloeien. InEurocode zijn formules opgesteld die rekening houden met elk van deze bezwijkvormen.Wanneer de verstijver begint te vloeien blijken de resultaten uit Abaqus goed overeen testemmen met Eurocode. Het bezwijken ten gevolge van uitknikken blijkt moeilijker tevoorspellen. In het geval waar de wand volgens Eurocode uitknikt, voorspelt Eurocodeeen veel grotere bezwijkbelasting dan deze uit Abaqus. Dit verschil is echter te verklarenaan de hand van de beperkingen van het model, zie hieronder.

Wanneer Eurocode bezwijken door uitknikken van de verstijver voorspelt, geeft deze eenkleinere bezwijkbelasting dan deze uit Abaqus. Hier geeft Eurocode dus een te conservatiefresultaat.

75

HOOFDSTUK 4. CONCLUSIES

4.2 Beperkingen van het onderzoek

Analyses met eindige elementen bieden veel nieuwe mogelijkheden. Er mag echter nietvergeten worden dat deze berekeningen slechts een benadering van de werkelijkheid zijn.De resultaten die met eindige elementen bekomen worden moeten dus kritisch bekekenworden. Ook in het rekenmodel dat hier toegepast werd kunnen enkele beperkingenaangehaald worden:

Bij het onverstijfde model werd de belasting als uniforme lijnlast op de bovenrandgeplaatst. In werkelijkheid is de belasting over de volledige silowand verdeeld. Ookwerd in dit model enkel axiale belasting aangebracht, terwijl er eigenlijk ook uitwaartsedrukkrachten aanwezig zijn.

Een belangrijkere beperking bij verstijfde silo’s is de symmetrie die op dit model werdtoegepast. Er werd slechts een verstijver met een deel van de silowand gemodelleerd. Ditzorgt ervoor dat het aantal builen dat in de wand kan gevormd worden uitsluitend eenveelvoud kan zijn van het aantal verstijvers. De volledige silowand modelleren was echterniet realistisch omwille van de nodige rekentijd.

Een oplossing hiervoor was om de volledige silo als orthotrope plaat te modelleren. Ookdit is een vereenvoudiging van de werkelijkheid, en het is onduidelijk in hoeverre dit modelde werkelijkheid correct benadert.

4.3 Verder onderzoek

Het is duidelijk dat er nog veel ruimte is voor verder onderzoek. Ten eerste kan hetgebruik van een orthotroop model de rekentijd sterk reduceren, en het modelleren van desilowand sterk vereenvoudigen. Maar wijkt dit niet te veel af van de werkelijkheid?

Om dit te controleren kan een model waarbij de golven over de volledige omtrek correct zijngemodelleerd worden berekend, en vergeleken met een orthotroop model dat op dezelfdemanier belast wordt. Om volledige zekerheid te bieden kan een fysisch schaalmodel wordengeconstrueerd, dat ook tot bezwijken belast wordt. Dit kan als referentie dienen om deverschillende modellen in Abaqus te controleren.

76

Bibliografie

Abaqus (2014). ABAQUS version 6.14 documentation. Dassault Systemes Simulia Corp.,

Providence, RI (USA).

Brown, C.J. en J. Nielsen (1998). Silos: Fundamentals of Theory, Behaviour and Design.

CRC Press.

Dejaeghere, I. (2014). VOP: Silo’s opgebouwd uit gegolfde panelen. Faculaty of Engineering

en Architecture, FEA, Ghent University.

Donnel, L.H. (1934). A new theory for the buckling of thin cylinders under axial

compression and bending. ASME Trans. 56.

ECCS (2013). Buckling of steel shells: European Design Recommendations, 5th Edition.

European Convention for Constructional Steelwork, Brussels.

EN 1991-4 (2006). Eurocode 1:Actions on structures, part 4: Silos and tanks. CEN,

Brussels.

EN 1993-1-1 (2005). Eurocode 3: Design of steel structures, part 1.1: General rules for

buildings. CEN, Brussels.

EN 1993-1-6 (2007). Eurocode 3: Design of steel structures, part 1.6: Strength and stability

of shell structures. CEN, Brussels.

EN 1993-4-1 (2007). Eurocode 3: Design of steel structures, part 4.1: Silos. CEN, Brussels.

Iwicki, P. (2011). Failure of cylindrical steel silos composed of corrugated sheets

and columns and repair methods using a sensitivity analysis. Faculty of Civil en

Environmental Engineering, Gdansk University of Technology.

Jansseune, A. (2015). Optimisation of the Stiffening Configuration of Axially Compressed

Steel Silos on Local Supports. Faculaty of Engineering en Architecture, FEA, Ghent

University.

77

BIBLIOGRAFIE

Mises, R. von (1913). Mechanik der festen Korper im plastisch deformablen Zustand.

Nachrichten von der Koniglichen Gesellschaft der wissenscahaften zu Goettingern.

Mathematisch-Physikalische Klasse 1913(1): 582-592.

Rotter, J.M. (1987). “Corrugation Collapse in Circumferentially Corrugated Steel

Cylinders”. In: First National Structural Engineering Conference, Melbourne, p. 7.

Sondej, M. (2015). Critical assessment of Eurocode approach to stability of metal

cylindrical silos with corrugated walls and vertical stiffeners. Faculty of Civil en

Environmental Engineering, Gdansk University of Technology.

Ventsel, E. (2001). Thin Plates and Shells: Theory: Analysis, and Applications. CRC

Press.

Wojcik, M. (2011). 3D Buckling analysis of a cylindrical metal bin composed of

corrugated sheets strengthened by vertical stiffeners. Faculty of Civil en Environmental

Engineering, Gdansk University of Technology.

78

Bijlage A

Berekening van K2

79

BIJLAGE A. BEREKENING VAN K2

φ=ds r

=16

80mm

2675mm

=0,

628

g=Dysin2φ−r2Cy[(

1−cosφ

)(1

+3cosφ

)−φsin

2φ]

Dy(2φ

+sin

2φ)−r2Cy[2φ

(2+cos2φ

)−

3sin

2φ]

=68

2018

1Nmm·sin

2(0,6

28)−

(267

5mm

)2·1

7929

9N/m

m[(

1−cos(

0,62

8))(

1+

3cos

(0,6

28))−

0,62

8sin

(2·0,6

28]

6820

181N

mm

(2·0,6

28+sin

(2·0,6

28)−

(267

5mm

)217

9299N/m

m[2Wcdot

0,62

8(2

+cos(

2·0,6

28)−

3sin

(2·0,6

28)]

=1,

176

f=

1 4{(

4g2

+1)

(2φ

+sin

2φ)

+4g

(1−cos2φ

)−

2sin

2φ}

=1 4{(

4·1,1

762

+1)

(2·0,6

28+sin

(2·0,6

28)

+4·1,1

76(1−cos(

2·0,6

28)−

2sin

(2·0,6

28}

=3,

943

K=

1 r

{2C

yDy

fDy

+r2Cy{f

+φcos2φ

(tanφ

+2g

)2−

2[2g

2sin

2φ−

2g(cos

2φ−cosφ

)−sinφ

(cosφ−

1)]}

} =1 r

{ T N

}

80

BIJLAGE A. BEREKENING VAN K2

T=

2CyDy

=2·1

7929

9N/m

m·6

8201

81Nmm

=24

4570

4kN

2

N=fDy

+r2Cy{f

+φcos2φ

(tanφ

+2g

)2−

2[2g

2sin

2φ−

2g(cos

2φ−cosφ

)−sinφ

(cosφ−

1)]}

=3,

943·6

8201

81Nmm

+(2

675m

m)2·1

7929

9N/m

m{3,9

43+

0,62

8cos

2(0,6

28)(tan

(0,6

28)

+2·1,1

76)2...

...−

2[2·1,1

762sin

(2·0,6

28)−

2·1,1

76(cos

(2·0,6

28)−cos0,6

28)−sin

(0,6

28)·(cos0,6

28−

1)]}

=25

9956

1kNmm

K=

1 r

{ T N

}

=1

2675mm

{ 2445

704kN

2

2599

561kNmm

}=

0,35

2N/m

m/m

m

81

Numeriek onderzoek naar het bezwijkgedrag van horizontaal ...

Documents

Transcript of Numeriek onderzoek naar het bezwijkgedrag van horizontaal ...