Departement Burgerlijke Bouwkunde KU Leuven - Trillingen ten … · 2010. 12. 22. · Samenvatting...

FACULTEIT TOEGEPASTE WETENSCHAPPEN

DEPARTEMENT BURGERLIJKE BOUWKUNDE

AFDELING BOUWMECHANICA

KASTEELPARK ARENBERG 40 B-3001 HEVERLEE

KATHOLIEKE

UNIVERSITEIT

LEUVEN

Trillingen ten gevolge van de Thalys hogesnelheidstreinop de lijn L2 Brussel–Keulen:

in situ metingen en numerieke voorspellingen

Promotor:Prof. dr. ir. G. Degrande

E2003

Eindwerk voorgedragen tot hetverkrijgen van de graad vanBurgerlijk Bouwkundig Ingenieur

door

Stijn FRANCOIS

Toelating tot bruikleen

De auteur geeft de toelating deze eindverhandeling voor consultatie beschikbaar te stellen en delenervan te kopieren voor eigen gebruik. Elk ander gebruik valt onder de strikte beperkingen van hetauteursrecht; in het bijzonder wordt er gewezen op de verplichting de bron uitdrukkelijk te vermeldenbij het aanhalen van resultaten uit deze eindverhandeling.

Leuven, 16 mei 2003

Dankwoord

Op deze plaats wil ik graag de mensen bedanken die, al dan niet rechtstreeks, hebben bijgedragen tothet tot stand komen van deze eindverhandeling.

Mijn promotor, professor Geert Degrande, ben ik zeer dankbaar voor het vertrouwen en het enthou-siasme die hij me het afgelopen jaar geschonken heeft. Mede door zijn inbreng is dit eindwerk tot eengoed einde gebracht en het was dan ook een voorrecht door hem begeleid te worden.

Geert Lombaert verdient mijn waardering voor de vele uren die hij wist vrij te maken voor de degelijkebegeleiding van mijn thesis, zijn raad en de vele dingen die hij mij heeft bijgebracht.

Janusz Kogut en Lincy Pyl wil ik bedanken voor het verstrekken van de nodige hulp.

Een groot gebaar van dank gaat naar mijn ouders, voor hun onvoorwaardelijke steun tijdens hetdoorlopen van mijn studies. Mijn dank gaat ook uit naar mijn vrienden en medestudenten voor hunoprechte interesse in mijn eindwerk en de waardevolle momenten in de afgelopen jaren.

Stijn Francois,Leuven, Mei 2003

i

Samenvatting

Dit eindwerk omvat de beschrijving van een numeriek model voor de berekening van trillingen in hetvrije veld ten gevolge van treinverkeer. De dynamische interactie tussen het voertuig en het spooris een gekoppeld probleem, waarbij gelijktijdig aan de bewegingsvergelijkingen van het voertuig enhet spoor voldaan moet zijn. In een eerste fase van de berekening worden de interactiekrachtenbepaald. Deze dynamische interactiekrachten zijn het gevolg van de oneffenheden van de rails. Detrillingen in het vrije veld volgen uit de bewegingsvergelijking van het spoormodel waar de berekendeinteractiekrachten op aangrijpen.

De trein is gemodelleerd als een tweedimensionaal voertuigmodel met een eindig aantal vrijheidsgraden.De ondergrond is gemodelleerd als een lineair elastisch gelaagde halfruimte. Het spoormodel is eenlongitudinaal invariant, lineair elastisch medium. Hierdoor kan de volledige analyse in het frequentie–golfgetaldomein gebeuren. De flexibiliteit van het spoor volgt uit een integraal over het volledigegolfgetaldomein van de respons ten gevolge van een puls op het spoor. De flexibiliteit van het voertuigvolgt uit de bewegingsvergelijking van het voertuigmodel. De combinatie van de flexibiliteit van hetvoertuig en het spoor leidt tot een verband tussen de oneffenheden van de rails en de gekoppeldeinteractiekrachten. Een numeriek voorbeeld toont het belang aan van de koppeling van het voertuigen het spoor bij de berekening van de dynamische interactiekrachten. Tenslotte volgen de trillingenin het vrije veld uit het dynamisch reciprociteitstheorema van Betti–Rayleigh.

Een numeriek voorbeeld is gebaseerd op de gemeten respons in het vrije veld ten gevolge van passagesvan de Thalys hogesnelheidstrein op de lijn L2 Brussel–Keulen in Lincent.

ii

Summary

In this masters thesis a numerical model is proposed for the prediction of the dynamic train–trackinteraction forces and the ground borne vibrations. The dynamic train–track interaction is a coupledproblem that requires the simultaneous solution of the equations of motion of the train and the track.In the first stage of the calculation the train–track interaction forces are determined. The dynamicinteraction forces are induced by the track unevenness. Next, the calculated interaction forces can beapplied to the track to compute the ground borne vibrations.

The train is modelled as a 2D linear vehicle model with a limited number of degrees of freedom. Inthe track model, the soil is modelled as a horizontally layered viscoelastic halfspace. The track modelis a linear elastic and longitudinal invariant medium. Hence, the analysis can be performed in thefrequency–wavenumber domain. The compliance of the track is computed as the integral over thewavenumber domain of the frequency response due to an impulsive load at a fixed position on thetrack. The compliance of the train is derived from the equations of motion of the vehicle model. Thecompliances of the vehicle and the track are used to calculate the relationship between the coupleddynamic interaction force and the rail unevenness. A numerical example shows the importance ofcoupling the vehicle and the track model in calculating the dynamic interaction forces. Finally, theBetti-Rayleigh reciprocal theorem is used to determine the ground borne vibrations for the computedinteraction forces.

A numerical example is based on measurements of the response in the free field of Thalys high speedtrain passages on the line L2 between Brussels and Koln in Lincent, Belgium.

iii

Inhoudstafel

Dankwoord i

Samenvatting ii

Summary iii

Inhoudstafel iv

Lijst van figuren x

Lijst van tabellen xi

1 Inleiding 1

1.1 Trillingen ten gevolge van treinverkeer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Bestaande numerieke modellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.3 Karakteristieken van het vooropgestelde model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.4 Doel van deze thesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.5 Opbouw van deze thesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2 Flexibiliteit van het voertuig 7

2.1 Algemene formulering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.1.1 Algemene bewegingsvergelijking van een lineair voertuig . . . . . . . . . . . . . 7

2.1.2 Voertuig-weg interactiekracht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.1.3 Flexibiliteitsmatrix van het voertuig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.2 Toepassingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.2.1 Voertuigmodel met 1 as en 1 vrijheidsgraad (1DOF model) . . . . . . . . . . . 10

2.2.2 Voertuigmodel met 1 as en 3 vrijheidsgraden (3DOF model) . . . . . . . . . . . 11

2.2.3 Voertuigmodel met 2 assen en 5 vrijheidsgraden (5DOF model) . . . . . . . . . 12

2.3 Vergelijking van een perfect contact en de Hertzveer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.3.1 Probleemstelling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

iv

INHOUDSTAFEL v

2.3.2 Flexibiliteit van de voertuigas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3 Flexibiliteit van het spoor 16

3.1 Algemene formulering van de flexibiliteit van het spoor . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.1.1 Probleemstelling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.1.2 Bepaling van de verplaatsingen van een longitudinaal invariant medium in hetbewegende assenstelsel ten gevolge van een last . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.1.3 Bepaling van de flexibiliteitsmatrix van het spoor . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.1.4 Besluit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.2 Modellering van het spoor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.2.1 Modellering van een balk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.2.2 Modellering van een continue veer–demperschakeling . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.3 Assemblage van de systeemvergelijking van het spoormodel . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.4 Toepassingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.4.1 Spoormodel bestaande uit twee rails gekoppeld aan een balk . . . . . . . . . . 21

3.4.2 Symmetrisch belast symmetrisch spoormodel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.5 Modellering van de ondergrond . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.5.1 Algemene formulering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.5.2 Verende bedding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.5.3 Elastisch gelaagde halfruimte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.6 Transferfunctie van het spoormodel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.7 Theoretische validatie van het model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.7.1 Aannames van het model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.7.2 Flexibiliteit van het spoor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.7.3 Niet–diagonaalelementen van de flexibiliteitsmatrix . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.7.4 Flexibiliteitsmatrix van een equivalent spoormodel op een verende bedding . . 30

4 Koppeling van voertuig en spoor 32

4.1 Algemene probleemstelling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4.2 Afleiding van de systeemvergelijking van het gekoppeld systeem . . . . . . . . . . . . . 33

4.3 Relatieve fout tussen een gekoppelde en ontkoppelde berekening . . . . . . . . . . . . . 33

4.3.1 Definitie van de relatieve fout . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.3.2 Numeriek voorbeeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

5 Trillingen in het vrije veld 36

5.1 Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

INHOUDSTAFEL vi

5.2 Transferfunctie tussen de rail en het vrije veld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

5.3 Respons ten gevolge van een willekeurige bewegende last . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

5.4 Het belang van de quasi–statische respons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

6 Case study: trillingen in het vrije veld op de lijn L2 Brussel–Keulen 38

6.1 Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

6.2 Uitgevoerde in situ metingen en numerieke gegevens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

6.2.1 Karakteristieken van het voertuig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

6.2.2 Karakteristieken van het spoor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

6.2.3 Grondkarakteristieken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

6.3 Numeriek model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

6.3.1 Het voertuigmodel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

6.3.2 Het spoormodel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

6.4 Stijfheid van de ondergrond . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

6.5 Transferfuncties tussen het spoor en het vrije veld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

6.6 Berekening van de interactiekrachten tussen het voertuig en het spoor . . . . . . . . . 50

6.6.1 Transferfunctie van het spoor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

6.6.2 Flexibiliteitsmatrix van het spoor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

6.6.3 Langsoneffenheden van het spoor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

6.6.4 Interactiekrachten tussen de Thalys HST en het spoor . . . . . . . . . . . . . . 53

6.7 Berekening van de respons in het vrije veld ten gevolge van de Thalys HST passage . . 53

7 Besluiten en aanbevelingen voor verder onderzoek 57

7.1 Conclusies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

7.2 Aanbevelingen voor verder onderzoek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

Literatuuropgave 59

A Integraaltransformaties 61

A.1 Fouriertransformatie van de tijd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

A.2 Fouriertransformatie van de horizontale coordinaat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

B Implementatie van de Filon methode voor de berekening van integralen met een

oscillerende integrand 62

B.1 Probleemstelling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

B.2 Lineaire methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

B.3 Uitgemiddelde kwadratische methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

INHOUDSTAFEL vii

C Berekening van de modale grondspanningen 66

C.1 Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

C.2 Grondspanningen voor de spoor–grond interface modes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

C.2.1 Randelementenformulering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

D Subroutines 73

D.1 Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

D.2 VEHICLE COMPLIANCE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

D.2.1 Beschrijving . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

D.2.2 MATLAB script . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

D.3 TRACK COMPLIANCE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

D.3.1 Beschrijving . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

D.3.2 MATLAB script . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

D.4 TRACK TRANSFER . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

D.4.1 Beschrijving . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

D.4.2 MATLAB script . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

D.5 COMPOSE TRACK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

D.5.1 Beschrijving . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

D.5.2 MATLAB script . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

D.6 SOIL INTERP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

D.6.1 Beschrijving . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

D.6.2 MATLAB script . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

D.7 FILON . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

D.7.1 Beschrijving . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

D.7.2 MATLAB script . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

Lijst van figuren

1.1 Modellering van een geballast spoor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2 Modellering van een spoor bevestigd op een plaat. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.1 (a) Veer–demperschakeling en (b) het perfect contact. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.2 Tekenconventies voor de interactiekrachten g en de verticale verplaatsingen ur + uw/r. 10

2.3 Voertuigmodel met 1 as en 1 vrijheidsgraad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.4 Voertuigmodel met 1 as en 3 vrijheidsgraden. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.5 Voertuigmodel met 2 assen en 5 vrijheidsgraden. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.6 Frequentieresponsfunctie van het 3DOF model, in functie van de frequentie, in het lage(a) en hoge (b) frequentiegebied. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.7 Frequentieresponsfunctie van het 3DOF model en het 1DOF model in functie van defrequentie in het lage frequentiegebied. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.1 Conventies voor de balk. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.2 Spoormodel bestaande uit twee rails gekoppeld aan een balk. . . . . . . . . . . . . . . 21

3.3 Symmetrisch belast symmetrisch spoormodel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.4 Het spoor–grond–interactieprobleem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.5 Longitudinaal spoormodel [8], gebruikt voor de validatie van het vooropgestelde model. 28

3.6 Flexibiliteit van het spoor [8], gebruikt voor de validatie van het model, in functie vande frequentie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.7 Flexibiliteit van het spoor [8], berekend met de formules uit dit hoofdstuk, in functievan de frequentie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.8 De elementen Htr1k, k = 1 . . . 3 van de flexibiliteitsmatrix van het spoor in functie van

de frequentie voor contactpunten met coordinaten ya1 = 0 (bovenste curve), ya2 = 3 m(middelste curve) en ya3 = 20 m (onderste curve) in het bewegende assenstelsel. . . . . 30

3.9 De elementen Htr1k, k = 1 . . . 3 van de flexibiliteitsmatrix van de rail voor het oorspron-

kelijke (volle lijn) en equivalente (streeplijn) spoormodel in functie van de frequentievoor contactpunten met coordinaten ya1 = 0 (bovenste curve), ya2 = 3 m (middelstecurve) en ya3 = 20 m (onderste curve) in het bewegende assenstelsel. . . . . . . . . . . 31

4.1 Koppeling van het voertuig en het spoor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

viii

LIJST VAN FIGUREN ix

4.2 Absolute waarde van de relatieve fout ∆reluc/c

tussen een gekoppelde en een ontkoppeldeberekening in functie van de frequentie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

6.1 Geometrie van de Thalys hogesnelheidstrein. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

6.2 Plattegrond van de site in Lincent. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

6.3 Het spoor op de site in Lincent. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

6.4 Thalys HST passage op de site in Lincent. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

6.5 Het verloop van de transversale golfsnelheid Cs in functie van de diepte voor de SCPTen SASW proeven en voor het model van de ondergrond. . . . . . . . . . . . . . . . . 42

6.6 Conusweerstand in functie van de diepte voor de sondering in het punt 1107. . . . . . 42

6.7 Symmetrisch belast symmetrisch spoormodel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

6.8 (a) Reeel en (b) imaginair deel van de grondstijfheid Ksbb in functie van de frequentie

en het dimensieloze golfgetal ky. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

6.9 Modulus van het product van de transferfunctie hzz(x, ky, z = 0, ω) tussen het spoor enhet vrije veld met de frequentie ω voor (a) x = 8 m, (b) x = 32 m en (c) x = 64 m infunctie van de frequentie en het dimensieloze golfgetal ky. . . . . . . . . . . . . . . . . 47

6.10 Berekend tijdsignaal (links) en spectrale inhoud (rechts) van de verticale respons in hetvrije veld op x = 8 m, x = 32 m en x = 64 m voor een impuls op de rail. . . . . . . . . 48

6.11 Tijdsignaal (links) en gemiddelde mobiliteit Mz(ω) (rechts) van de verticale respons inhet vrije veld op x = 8 m, x = 32 m en x = 64 m van de rail, opgemeten tijdens proevenmet een valgewicht. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

6.12 Reeel deel van het product van de respons hzz(ky, ω) van de vrijheidsgraad ur, ten gevol-ge van een impulsbelasting op deze vrijheidsgraad, vermenigvuldigd met de frequentieω, in functie van de frequentie en het golfgetal ky. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

6.13 De elementen Htr1l (ω), l = 1 . . . 26 van de flexibiliteitsmatrix Htr(ω) van het spoor in

functie van de frequentie, berekend voor een snelheid v = 83.33 m/s. . . . . . . . . . . 51

6.14 Langsoneffenheden (a) van de linkse en (b) rechtse rail. . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

6.15 Spectrale dichtheden van de langsoneffenheden van de (a) linkse en (b) rechtse rail infunctie van het golfgetal ky. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

6.16 Coherentie γ2lr(ky) van de oneffenheden van de linkse en rechtse rail in functie van het

golfgetal ky. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

6.17 Interactiekrachten g1(ω) op de eerste as van het voertuig in functie van de frequentie. 54

6.18 Berekend tijdsignaal (links) en berekende frequentie–inhoud (rechts) van de verticalerespons in het vrije veld op x = 8 m, x = 32 m en x = 64 m voor een passage van deThalys HST bij een snelheid v = 300 km/h. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

6.19 Gemeten tijdsignaal (links) en frequentie–inhoud (rechts) van de verticale respons inhet vrije veld op x = 8 m, x = 32 m en x = 64 m voor een passage van de Thalys HSTbij een snelheid v = 294 km/h. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

B.1 Filon methode. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

LIJST VAN FIGUREN x

C.1 Het volume VR met het grensvlak Σrs tussen het spoor en de grond, het vrije oppervlakΓσ en het grensvlak ΓR in het inwendige van de halfruimte. . . . . . . . . . . . . . . . 66

Lijst van tabellen

2.1 Richtwaarden voor karakteristieken van de primaire en secundaire suspensie en de massavan de elementen van een treinwagon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.1 Parameters voor het spoormodel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.2 Parameters voor de ondergrond. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

6.1 Geometrische eigenschappen en massakarakteristieken van de Thalys hogesnelheidstrein. 39

6.2 Stijfheids– en dempingskarakteristieken van een railpad en de ballast. . . . . . . . . . 40

6.3 Het verloop van de transversale golfsnelheden Cs in functie van de diepte voor de SCPTmetingen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

6.4 Het verloop van de transversale golfsnelheden Cs in functie van de diepte voor de SASWmetingen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

6.5 Model van de ondergrond. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

xi

Hoofdstuk 1

Inleiding

1.1 Trillingen ten gevolge van treinverkeer

Trillingen ten gevolge van treinverkeer krijgen, om verschillende redenen, steeds meer aandacht. Teneerste is er de recente uitbouw van het hogesnelheidsnet. Verhoogde aslasten en grotere treinsnelhedengeven aanleiding tot verhoogde trillingsniveaus. In een steeds meer geurbaniseerde omgeving is er bo-vendien een groeiende publieke bezorgdheid en gevoeligheid wat betreft trillingsschade. Verschillendebuitenlandse normen erkennen de gestoorde werking van apparatuur, trillingshinder voor personen enschade aan gebouwen als mogelijke gevolgen van trillingen in gebouwen. De numerieke voorspellingvan deze trillingsniveau’s is opgedeeld in drie deelproblemen. Een bronmodel beschrijft de eigenschap-pen van de trillingsbron, in dit geval het spoor. De golfvoortplanting tussen de bron en het gebouwis vervat in het model van de ondergrond. De verplaatsingen in de ondergrond worden tenslotte metbehulp van een randelementenformulering aan een eindig elementenmodel van het gebouw aangelegd.

Wat betreft het bronmodel is er nood aan nauwkeurige en efficiente spoormodellen. Empirische model-len vertonen een goede overeenkomst met meetgegevens, maar hebben als nadeel dat de resultaten niette extrapoleren zijn. Numerieke modellen kunnen daarentegen de invloed nagaan van verschillende pa-rameters. Met behulp van een goed model kunnen de bestaande normen aangepast en gedifferentieerdworden.

Deze thesis kadert in het STWW–project IWT000152 “Trillingen in gebouwen ten gevolge van ver-keer”. Voor dit onderzoeksproject zijn metingen uitgevoerd op de lijn L2 Brussel–Keulen in Lincenttijdens homologatieritten met Thalys hogesnelheidstreinen (HST) en IC-treinen bij verschillende trein-snelheden. De meetresultaten geven de mogelijkheid om numerieke modellen voor de voorspelling vantrillingen in het vrije veld te valideren.

1.2 Bestaande numerieke modellen

Bij een klassiek geballast spoor (figuur 1.1a) zijn de rails bevestigd op dwarsliggers. Deze dwarsliggersrusten op een ballastbed, die de verkeersbelastingen afleidt naar de ondergrond. Naast deze klassiekeopbouw bestaan er verschillende spoorsystemen die gefundeerd zijn op een betonnen plaat (figuur 1.2a).Deze sporen bevestigd op een plaat (E: slab track, D: Feste Fahrbahn) hebben varianten met discreteen continue railopleggingen en varianten met en zonder dwarsliggers. In het kader van trillingsisolatiekan het volledig spoorsysteem opgelegd zijn op een elastische laag (E: floating slab track) dat het spoorisoleert.

1

Bestaande numerieke modellen 2

Voor de modellering van de verschillende spoorsystemen is een goede indeling gegeven door Knotheen Grassie [15]. Spoormodellen worden ingedeeld volgens verschillende criteria. Ten eerste is er deklassieke opsplitsing in modellen die bedoeld zijn voor de modellering van ballastsporen en modellendie bedoeld zijn voor de modellering van spoorsystemen bevestigd op een plaat. Knothe en Grassie[15] maken vervolgens een onderscheid op basis van de complexiteit van het model. Ze onderscheidenmodellen met 1 laag (rail), 2 lagen (rail, dwarsliggers), 2 lagen met elastische dwarsliggers en modellenmet drie lagen (rail, dwarsliggers, ballast). Deze lagen kunnen continu verbonden zijn, of verbondenin een aantal discrete punten. Verder kunnen zowel de continu opgelegde als de discreet opgelegdespoormodellen gekoppeld zijn aan een elastisch gelaagde halfruimte. Alle modellen kunnen lineaireof niet–lineaire karakteristieken hebben. Het hoeft geen betoog dat de verschillende types spoormo-dellen met verschillende complexiteit elk een eigen toepassing hebben. Voor de berekening van dekrachtswerking op de rail kan worden voldaan met een eenvoudig model, wat niet het geval is voor debepaling van trillingen in het vrije veld.

Figuur 1.1 en figuur 1.2 verduidelijken de overgang tussen een model met discrete opleggingen en eenmodel met continue opleggingen. Bij een discreet opgelegd model van een geballast spoor (figuren 1.1b,1.1c) is elke dwarsligger discreet verbonden met de rails. De overgang naar een model met continueopleggingen (figuren 1.1d, 1.1e) vereist de longitudinale uitsmering van de karakteristieken van derailpads en de dwarsliggers. De uitgesmeerde stijfheid ks van de railpads is gelijk aan ks/d, waarbij dde afstand tussen de dwarsliggers is. De uitgesmeerde demping cs van de railpads is gelijk aan cs/d,en de uitgesmeerde massa msl van de dwarsliggers is gelijk aan msl/d. De overgang van het discreetnaar het continu model in figuur 1.2 is analoog. Deze notatie van uitgesmeerde karakteristieken wordtverder in deze thesis gebruikt.

Voor de berekening van trillingen in het vrije veld ten gevolge van treinverkeer is zowel de voertuig–spoorinteractie als de spoor–grondinteractie van belang. De interactiekrachten tussen het spoor enhet voertuig bestaan uit een statische en een dynamische component. De dynamische componentvan de interactiekrachten wordt veroorzaakt door de oneffenheden van de rails en de wielen. Dezerailoneffenheden kunnen discreet zijn, zoals een voeg in de rail, maar ook continu verdeeld over deganse rail.

Eens de interactiekrachten gekend zijn, kan de respons ten gevolge van de treinpassage berekendworden. Hierbij is het nodig rekening te houden met de statische component van de interactiekrachtenindien de treinsnelheid dicht bij de kritische fasesnelheid van het gekoppeld systeem spoor–grond komt.Krylov [20, 21] heeft een analytisch model ontwikkeld dat enkel de quasi–statische excitatie beschouwten dat de respons in het vrije veld voorspelt voor treinsnelheden die zowel beneden als boven dekritische fasesnelheid van het spoor–grondsysteem liggen. Degrande en Lombaert [7] hebben de theorievan Krylov geformuleerd in het frequentie–golfgetaldomein, waardoor een efficiente berekening van detrillingen in het vrije veld mogelijk werd.

Dinkel [8] heeft een model ontwikkeld voor de berekening van de krachtswerking in spoorsyste-men bevestigd op een plaat. De longitudinale invariantie van het spoormodel laat een berekeningtoe in het frequentie–golfgetaldomein. De trein is gemodelleerd met massa’s verbonden door veer–demperschakelingen. De assen van het voertuig zijn niet gekoppeld via het spoor. Het spoorsys-teem is gemodelleerd als een plaat of een balk, die gekoppeld is met de twee rails via continueveer–demperschakelingen. Het volledige model is lineair elastisch en symmetrisch. De ondergrondis gemodelleerd als een lineair elastische halfruimte. De spanningen onder de balk of de plaat zijnbenaderd door Legendre veeltermen. De verschillen tussen het plaatmodel en het balkmodel wordenvergeleken.

Sheng [27] ontwikkelde analoog een longitudinaal invariant spoormodel voor geballaste spoorsystemen.Het gekoppeld systeem van het voertuig en het spoor is in beschouwing genomen. De verschillendevoertuigmodellen bestaan uit starre lichamen, verbonden door veer–demperschakelingen. Het spoor

Karakteristieken van het vooropgestelde model 3

is samengesteld uit balken die verbonden zijn door veren met een verdeelde massa. De ondergrond iseveneens een horizontaal gelaagde linear elastische halfruimte. De verplaatsingen van de rails en deondergrond worden berekend in het frequentie–golfgetaldomein. Deze verplaatsingen zijn het gevolgvan de aslasten en de oneffenheden van de rails en de wielen. De spanningen die werken op de interfacetussen het spoor en de ondergrond zijn verondersteld constant te zijn in de transversale richting.

Knothe en Wu [16], evenals Van den Broeck en De Roeck [29], onderzochten de receptantie van hetspoor voor een discreet spoormodel. Hierbij werd rekening gehouden met de spoor–grondinteractieen de koppeling van de dwarsliggers door de grond. Hieruit blijkt dat de receptanties van het spoor,berekend met een continu model en met een model met discrete opleggingen, slechts verschillen bijhoge frequenties.

Van den Broeck [28] heeft een discreet spoormodel ontwikkeld dat de dynamische interactie tussen dedwarsliggers en de ondergrond modelleert. Een deel van de analyse gebeurt in het ruimte–tijdsdomein.In een eerste fase van de berekening wordt de interactie van de dwarsliggers met het grondmassief inhet frequentiedomein beschreven. Hierbij is de koppeling van verschillende dwarsliggers beschouwd.De tweede stap in de berekening omvat de bepaling van alle krachten die werken op het spoormodel inhet tijdsdomein. Tenslotte worden de trillingen in het vrije veld berekend aan de hand van de krachtenop de individuele dwarsliggers. Deze laatste stap vergt echter zeer veel rekentijd. De berekening vantrillingen in het vrije veld per terts houdt die rekentijd binnen de perken.

Dit korte literatuuroverzicht toont aan dat er duidelijk een keuze moet gemaakt worden tussen eencontinu en een discreet spoormodel. Hoewel het discreet spoormodel voor ballastsporen de fysischewerkelijkheid beter benadert dan een longitudinaal invariant, continu opgelegd spoormodel, laat dezelaatste een efficiente formulering toe in het frequentie–golfgetaldomein. De verschillende longitudinaalinvariante spoormodellen verschillen vooral in de manier waarop de stijfheid van de ondergrond inrekening wordt gebracht.

1.3 Karakteristieken van het vooropgestelde model

Het vooropgestelde spoormodel is een longitudinaal invariant, continu spoormodel, dat de dynamischegrondkarakteristieken in rekening brengt. De aanname van de continuıteit impliceert dat de dynami-sche karakteristieken van discrete elementen, zoals de dwarsliggers of de railpads, worden uitgesmeerdtot continue grootheden. Hierdoor is een efficiente berekening van de dynamische interactiekrachtentussen het spoor en het voertuig mogelijk in het frequentie–golfgetaldomein. De aanname van de lon-gitudinale invariantie beperkt het mogelijke toepassingsgebied van het model niet tot sporen bevestigdop een plaat.

De afgeleide formules in dit werk zijn geldig voor longitudinaal invariante spoormodellen die bestaanuit een aaneenschakeling van balken en continue veer–demperschakelingen. De geometrie van hetspoormodel ligt niet a priori vast.

Uit een randelementenformulering, die gebaseerd is op de Greense functies van een horizontaal gelaagdehalfruimte, volgt de stijfheid van de ondergrond.

Bij de bepaling van de dynamische interactiekrachten, die werken tussen voertuig en spoor, is dekoppeling tussen het voertuig en het spoor van groot belang. Een flexibiliteitsformulering geeft hetverband tussen de langsoneffenheden en deze gekoppelde interactiekrachten. In een eerste stap wordendeze gekoppelde interactiekrachten tussen het voertuig en het spoor bepaald. In een tweede stapgebeurt de berekening van de respons in het vrije veld ten gevolge van een impuls op de rail. Decombinatie van deze respons met de interactiekrachten uit de eerste stap, leidt tenslotte tot de responsin het vrije veld ten gevolge van een treinpassage.

Doel van deze thesis 4

Het vooropgestelde model is, mits aanpassingen, toepasbaar op zowel geballaste sporen als op sporenbevestigd op een plaat voor de berekening van trillingen in het vrije veld.

1.4 Doel van deze thesis

Het doel van deze thesis is de uitwerking van het vooropgestelde model. Deze uitwerking bestaatuit twee delen. Een eerste deel omvat de beschrijving van de flexibiliteitsformulering ter bepalingvan de gekoppelde interactiekrachten, die werken tussen het voertuig en het spoor. De afgeleidevergelijkingen zijn algemeen, wat betekent dat ze geldig zijn voor de combinatie van verschillendespoor– en voertuigmodellen.

Het tweede deel van de opdracht bestaat uit de numerieke implementatie van de uitgewerkte theorie.De algoritmes moeten algemeen zijn en conform met de afgeleide formules. Uiteindelijk zullen dealgoritmes, geschreven in het kader van deze thesis, opgenomen worden in de TRAFFIC toolbox [22, 23].Deze toolbox, ontwikkeld aan de afdeling bouwmechanica van het departement bouwkunde van deK.U.Leuven, is een verzameling van algoritmes waarmee de trillingen in het vrije veld ten gevolge vanverkeer kunnen begroot worden.

Tenslotte toont een numeriek voorbeeld de goede werking van de algoritmes en de theorie aan. Voor hetvoorbeeld is gekozen voor de trillingen ten gevolge van de Thalys HST op de lijn L2 Brussel–Keulen.Het doel van dit voorbeeld is echter niet de uiteindelijke validatie van het model.

1.5 Opbouw van deze thesis

Deze sectie geeft de opbouw van de thesis weer. De tekst bestaat uit de uitwerking van de flexibili-teitsformulering voor het voertuig en het spoor en de beschrijving van het numeriek voorbeeld. Debelangrijkste algoritmes, opgesteld in het kader van dit eindwerk, bevinden zich in de bijlage.

Hoofdstuk 2 – Flexibiliteit van het voertuig – In dit hoofdstuk wordt de flexibiliteit van hetvoertuig afgeleid, dit zowel voor een Hertzcontact als voor een perfect contact. Dit laat toe beidecontactmodelleringen te vergelijken.

Hoofdstuk 3 – Flexibiliteit van het spoor – De flexibiliteitsformulering van het spoor volgtna de volledige beschrijving van het spoormodel. Een vergelijking met het spoormodel van Dinkel [8]valideert theoretisch het voorgestelde spoormodel.

Hoofdstuk 4 – Koppeling van voertuig en spoor – De combinatie van de flexibiliteiten van hetvoertuig en het spoor leidt tot een flexibiliteitsformulering die de berekening van de interactiekrachtentoelaat uitgaande van de langsoneffenheden van het spoor. Een voorbeeld verduidelijkt het belangvan de koppeling van het voertuig en het spoor.

Hoofdstuk 5 – Trillingen in het vrije veld – Dit hoofdstuk geeft aan hoe uit de spectraleinhoud van een enkele bewegende bron en de transferfunctie tussen het spoor en het vrije veld, derespons in het vrije veld bepaald kan worden.

Hoofdstuk 6 – Case study: trillingen in het vrije veld op de lijn L2 Brussel–Keulen

– In dit hoofdstuk zijn de verschillende resultaten van enkele meetcampagnes op de lijn L2 Brussel–Keulen samengebracht. Dit leidt tot een numeriek model van het spoor. De transferfunctie tussenhet spoor en het vrije veld wordt vergeleken met de experimenteel bepaalde transferfuncties. Uit delangsoneffenheden van de rails, die volgen uit metingen, volgen de trillingen in het vrije veld. Dezeworden vergeleken met de experimenteel bepaalde respons in het vrije veld tijdens HST treinpassages.

Opbouw van deze thesis 5

Hoofdstuk 7 – Besluiten en aanbevelingen voor verder onderzoek – Tenslotte zijn debelangrijkste conclusies van deze thesis samengevat.

Ballast

Soil

Rails

Railpads

Sleepers

a. Spoorsysteem: geballast spoor

kb cb msl

EIrAr

d

kp cp

kpcp

dEIr

Ar

msl

b. 2D model met discrete opleggingen c. 2D model op een halfruimtemet discrete opleggingen

kp cp

EIrAr

mslkb cb

EIr

Ar

msl

kp cp

d. 2D model met continue opleggingen e. 2D model op een halfruimtemet continue opleggingen

Figuur 1.1: Modellering van een geballast spoor.

Opbouw van deze thesis 6

RailsBaseplatepads

Baseplate

Concrete slab

Soil

a. Spoorsysteem: spoor bevestigd op een plaat

dEIrAr

ks cs

kp cp

EIsAs

dEIr

ArEIs

As kpcp

b. 2D model met discrete opleggingen c. 2D model op een halfruimtemet discrete opleggingen

EIrAr

ks cs

EIsAs kp cp

EIr

ArEIs

As kpcp

d. 2D model met continue opleggingen e. 2D model op een halfruimtemet continue opleggingen

Figuur 1.2: Modellering van een spoor bevestigd op een plaat.

Hoofdstuk 2

Flexibiliteit van het voertuig

2.1 Algemene formulering

2.1.1 Algemene bewegingsvergelijking van een lineair voertuig

De wiskundige voertuigmodellen die gebruikt worden om de dynamica van voertuigen te voorspellenbestaan uit discrete massa’s die verbonden zijn door veren en dempers. De figuren 2.3, 2.4 en 2.5geven een overzicht van deze modellen en de gebruikte tekenconventies. De bewegingsvergelijking vaneen dergelijk model is te schrijven in de volgende algemene vorm:

[

Mbb 0

0 Maa

] {

ub

ua

}

+

[

Cpbb C

pba

Cpab C

paa

] {

ub

ua

}

+

[

Kpbb K

pba

Kpba K

paa

] {

ub

ua

}

=

{

Fextb

Fexta

}

+

{

0

−g

}

(2.1)

Het voertuigmodel bevat een aantal vrijheidsgraden ua en ub. De vrijheidsgraden ub zijn de verplaat-singen van het voertuiglichaam. De vector ua bevat de vrijheidsgraden van de k = 1 . . . n assen vanhet voertuig. Deze assen staan in verbinding met de ondergrond (wegdek, rail, . . . ), ofwel rechtstreeks(perfect contact), ofwel met een veer–demperschakeling.

De vectoren Fexta en Fext

b zijn de uitwendige krachten die respectievelijk aangrijpen in de vrijheidsgradenua en ub. Door het contact van een as k, k = 1 . . . n van het voertuig met de ondergrond werkt er opdeze as een interactiekracht gk. Deze krachten worden in vectornotatie geschreven als g.

De Fouriertransformatie van vergelijking (2.1) geeft de bewegingsvergelijking van het voertuig in hetfrequentiedomein:

(

−ω2

[

Mbb 0

0 Maa

]

+ iω

[

Cpbb C

pba

Cpab C

paa

]

+

[

Kpbb K

pba

Kpab K

paa

]){

ub

ua

}

=

{

Fextb

Fexta

}

+

{

0

−g

}

(2.2)

De Fouriertransformatie van een grootheid f(t) wordt genoteerd als f(ω). De definitie van de Fou-riertransformatie is beschreven in bijlage A. In vergelijking (2.2) is de term tussen haken gelijk aande dynamische stijfheidsmatrix S van het voertuig:

7

Algemene formulering 8

[

Sbb Sba

Sab Saa

] {

ub

ua

}

=

{

Fextb

Fexta

}

+

{

0

−g

}

(2.3)

2.1.2 Voertuig-weg interactiekracht

Beschouw een voertuig dat beweegt met een snelheid v volgens de horizontale y–coordinaatsas. Delokale horizontale coordinaatsas ξy beweegt mee met het voertuig. Het accentteken duidt hier nietop een Fouriertransformatie maar op het bewegende assenstelsel. Indien op t = 0 het bewegendeassenstelsel samenvalt met het vaste assenstelsel, geldt dat y = ξy+vt. De coordinaat van de voertuigas

k volgens de bewegende as ξy is gelijk aan yak.

Elke as k van het voertuig staat in verbinding met de ondergrond. Deze ondergrond ondergaat eenverplaatsing ur(y = yak + vt, t) in het contactpunt. De oneffenheden van de rail en het wiel gelijkaan uw/r(y = yak + vt) in het contactpunt. De verplaatsing van het contactpunt is gelijk aan de somur(y = yak + vt, t) + uw/r(y = yak + vt) van de oneffenheden en de verplaatsingen van de ondergrond.Na overgang naar het bewegende assenstelsel en een Fouriertransformatie is de verplaatsing van hetcontactpunt te schrijven als ur(ξy = yak, ω) + (1/v)uw/r(−ω/v) exp (i ω yak/v), k = 1 . . . n. In vector-notatie wordt dit verder verkort genoteerd als ur + uw/r. De tilde in deze uitdrukkingen duidt op eenbronfrequentie.

De interactiekrachten zijn functie van de verplaatsingen ua, evenals van de verplaatsing ur + uw/r vanhet contactpunt. Wat dit verband is, hangt af van de modellering van het contact tussen de voertui-gassen ua en de ondergrond. In dit hoofdstuk zijn twee mogelijke contacten beschouwd: het perfectcontact en de veer–demperschakeling. Figuur 2.1 geeft een grafische voorstelling van de gebruiktecontactelementen.

gk

gk gk

gk

z

y

(a) (b)

Figuur 2.1: (a) Veer–demperschakeling en (b) het perfect contact.

Perfect contact

Bij een perfect contact zijn de verplaatsingen ua van de voertuigassen identiek gelijk aan de verplaat-singen van de contactpunten:

ua = ur + uw/r (2.4)

Vergelijking (2.4) is de systeemvergelijking van het perfect contact in het frequentiedomein.

Algemene formulering 9

Veer–demperschakeling

Bij deze modellering is elke as van het voertuig verbonden met de ondergrond door middel van eenveer–demperschakeling. De constitutieve vergelijking van dergelijk contact is:

g =(

KWaa + iωCW

aa

)

(ua − (ur + uw/r)) (2.5)

Zowel KWaa als CW

aa zijn diagonaalmatrices, met op de diagonaal respectievelijk de stijfheid en dedemping van de contacten per as. De som KW

aa + iωCWaa wordt verkort genoteerd als SW

aa:

g = SWaa(ua − (ur + uw/r)) (2.6)

De relatie wordt bij treinverkeer een Hertzcontact genoemd. Bij wegverkeer stemt de betrekkingovereen met de karakteristiek van de voertuigbanden. Gezien dit eindwerk handelt over treinverkeer,is verder de term Hertzcontact gebruikt.

2.1.3 Flexibiliteitsmatrix van het voertuig

De flexibiliteitsmatrix Hv van een voertuig geeft het verband weer tussen de interactiekrachten en deverplaatsingen van de contactpunten, indien geen uitwendige krachten Fext

a en Fextb op het voertuig

inwerken:

ur + uw/r = −Hv(ω)g(ω) (2.7)

Het minteken in het rechterlid van deze vergelijking is het gevolg van tekenconventies. Figuur 2.2geeft de conventies voor de interactiekrachten g en de verplaatsingen ur + uw/r weer. De zin van deinteractiekracht g, die aangrijpt op het voertuigmodel, is tegengesteld aan de zin van de verplaatsingenur + uw/r. Wegens het principe van actie en reactie is de interactiekracht die werkt op de ondergrondtegengesteld aan de interactiekracht die inwerkt op het voertuig. De zin van de verplaatsing ur + uw/r

van de ondergrond en de zin van de interactiekrachten g, die werkt op de ondergrond, zijn daaromgelijk.

De flexibiliteitsmatrix volgt uit de eliminatie van de vrijheidsgraden ua en ub uit de bewegingsverge-lijking (2.3) en de contactvergelijking (2.4) of (2.6).

Voor de afleiding van de flexibiliteit is er een onderscheid gemaakt tussen een perfect contact en eenHertzcontact.

Perfect contact

De flexibiliteitsmatrix volgt uit de eliminatie van de vrijheidsgraden ua en ub uit de bewegingsverge-lijking (2.3) en de contactvergelijking (2.4):

Hv = S−1aa (2.8)

Hierin is Saa het Schur complement van de matrix Sbb in S:

Toepassingen 10

g1

m1

u1

ur u+ w/r

g1

ur u+ w/r

z

y

Figuur 2.2: Tekenconventies voor de interactiekrachten g en de verticale verplaatsingen ur + uw/r.

Saa = Saa − SabS−1

bb Sba (2.9)

Indien de vrijheidsgraden ub van het voertuiglichaam niet bestaan, valt de term SabS−1

bb Sba in hetSchur complement Saa weg.

Hertzcontact

De flexibiliteitsmatrix volgt uit de eliminatie van de vrijheidsgraden ua en ub uit de bewegingsverge-lijking (2.3) en de contactvergelijking (2.6):

Hv(ω) = S−1aa + SW

aa−1

(2.10)

Indien de vrijheidsgraden ub van het voertuiglichaam niet bestaan, valt de term SabS−1

bb Sba in hetSchur complement Saa weg.

Uit de systeemvergelijking (2.1) van het voertuig volgt na de eenvoudige matrixbewerkingen de flexi-biliteitsmatrix van het voertuig uit de formule (2.8) of (2.10).

2.2 Toepassingen

2.2.1 Voertuigmodel met 1 as en 1 vrijheidsgraad (1DOF model)

g1

m1

u1

Figuur 2.3: Voertuigmodel met 1 as en 1 vrijheidsgraad.

Toepassingen 11

Het model met 1 as en 1 vrijheidsgraad is het meest eenvoudige model. De volledige dynamica vaneen voertuigas wordt gemodelleerd met een enkele massa m1. In de Engelse literatuur refereert determ “unsprung mass” naar deze massa. Figuur 2.3 toont de opbouw van het voertuigmodel.

Voor het voertuigmodel met 1 vrijheidsgraad reduceert de vergelijking (2.1) zich tot een scalairevergelijking:

m1u1 = F ext1 (2.11)

Het model bevat slechts 1 as ua = u1. Er zijn geen vrijheidsgraden ub van het voertuiglichaam.

2.2.2 Voertuigmodel met 1 as en 3 vrijheidsgraden (3DOF model)

m1

m2

m3

g1

u1

u2

u 3

k1 c1

k2 c2

Figuur 2.4: Voertuigmodel met 1 as en 3 vrijheidsgraden.

Het model met 3 vrijheidsgraden bevat drie massa’s m1, m2 en m3. Deze stellen respectievelijk dewielas, het draaistel en het voertuiglichaam van een treinwagon voor. De massa’s zijn met elkaarverbonden door veer–demperschakelingen. k1,c1 en k2,c2 modelleren respectievelijk de primaire ensecundaire suspensie van het voertuig. Figuur 2.4 toont de opbouw van het voertuigmodel.

De algemene bewegingsvergelijking van het model met 1 as en drie vrijheidsgraden is gelijk aan:

m3 0 0

0 m2 0

0 0 m1

u3

u2

u1

+

c2 −c2 0

−c2 c1 + c2 −c1

0 −c1 c1

u3

u2

u1

+

k2 −k2 0

−k2 k1 + k2 −k1

0 −k1 k1

u3

u2

u1

=

F ext3

F ext2

F ext1

(2.12)

De vector ub is gelijk aan {u3, u2}T. u1 is de enige vrijheidsgraad die in contact staat met de onder-grond. Vergelijking (2.12) is geschreven in de algemene vorm (2.1), waarbij:

Mbb =

[

m3 0

0 m2

]

Maa = [m1]

Cpbb =

[

c2 −c2

−c2 c1 + c2

]

Cpaa = [c1] C

pba =

[

0

−c1

]

Toepassingen 12

Kpbb =

[

k2 −k2

−k2 k1 + k2

]

Kpaa = [k1] K

pba =

[

0

−k1

]

2.2.3 Voertuigmodel met 2 assen en 5 vrijheidsgraden (5DOF model)

m1 m2

m3 I

m4

2 dg1 g2

u1 u2

u 3

u 4

θ

k1 k2c1 c2

k3 c3

Figuur 2.5: Voertuigmodel met 2 assen en 5 vrijheidsgraden.

Het voertuigmodel uit deze paragraaf bevat een star lichaam met een massa m3 en een rotatie–inertie I in het (y, z)–vlak. Dit star lichaam stelt een draaistel van een trein voor. Twee veer–demperschakelingen k1, c1 en k2, c2 verbinden dit draaistel met twee wielassen, die gemodelleerd zijndoor de massa’s m1 en m2. De massa m4 modelleert het voertuiglichaam, dat verbonden is met hetdraaistel door de veer–demperschakeling k3, c3. Figuur 2.5 toont de opbouw van het voertuigmodel.

Het verticaal evenwicht van de massa’s van het model en het rotatie-evenwicht van het draaistel leidttot het volgend stelsel:

m4 0 0 0 0

0 I 0 0 0

0 0 m3 0 0

0 0 0 m2 0

0 0 0 0 m1

u4

θ

u3

u2

u1

+

c3 0 −c3 0 0

0 d2(c1 + c2) −d(c1 − c2) −dc2 dc1

−c3 −d(c1 − c2) c1 + c2 + c3 −c2 −c1

0 −dc2 −c2 c2 0

0 dc1 −c1 0 c1

u4

θ

u3

u2

u1

(2.13)

+

k3 0 −k3 0 0

0 d2(k1 + k2) −d(k1 − k2) −dk2 dk1

−k3 −d(k1 − k2) k1 + k2 + k3 −k2 −k1

0 −dk2 −k2 k2 0

0 dk1 −k1 0 k1

u4

θ

u3

u2

u1

=

F ext4

M ext3

F ext3

F ext2

F ext1

Vergelijking (2.13) is geschreven in de algemene vorm (2.1), waarbij:

Vergelijking van een perfect contact en de Hertzveer 13

ub =

u4

θ

u3

en ua =

{

u2

u1

}

Mbb =

m4 0 0

0 I 0

0 0 m3

Maa =

[

m2 0

0 m1

]

Cpbb =

c3 0 −c3

0 d2(c1 + c2) −d(c1 − c2)

−c3 −d(c1 − c2) c1 + c2 + c3

Cp

aa =

[

c2 0

0 c1

]

Cpba =

0 0

−dc2 dc1

−c2 −c1

Kpbb =

k3 0 −k3

0 d2(k1 + k2) −d(k1 − k2)

−k3 −d(k1 − k2) k1 + k2 + k3

Kp

aa =

[

k2 0

0 k1

]

Kpba =

0 0

−dk2 dk1

−k2 −k1

2.3 Vergelijking van een perfect contact en de Hertzveer

2.3.1 Probleemstelling

Bij wegverkeer is de modellering van het contact met een veer–demperschakeling noodzakelijk [22].De veer–demperschakeling stelt immers de stijfheids– en dempingskarakteristiek voor van de bandenvan het voertuig. De stijfheid van de band is enkele grootte–ordes kleiner dan de stijfheid van deondergrond. Dit zorgt ervoor dat de berekening van de voertuig–weg interactiekrachten ontkoppeldkan gebeuren, dus zonder het in rekening brengen van de eigenschappen van de ondergrond.

Bij treinverkeer daarentegen, is het contact tussen het wiel en de rail zeer stijf. De Hertztheorie (1887)beschrijft deze krachtswerking. Door de elastische vervormingen van de rail en het wiel ontstaat ereen elliptisch contactoppervlak. De grootte van dit contactoppervlak wordt bepaald door de krachtdie werkt tussen het wiel en de rail. De krommingen van de rail en het wiel bepalen de vorm van hetcontactoppervlak. De stijfheid van het contact volgt uit de Hertztheorie. Deze stijfheid is benaderendgelijk aan [10]:

kH = 3

√

3E2Q√

RW RP

2(1 − ν2)2(2.14)

Hierin is Q de verticale wiellast, E de elasticiteitsmodulus, ν de coefficient van Poisson, RW de straalvan het wiel en RP de kromtestraal van de rail in het contactpunt. Merk op dat de stijfheid kH vande Hertzveer geen constante is, maar op niet lineaire wijze afhankelijk van de last Q op het wiel.

In de literatuur [10] zijn karakteristieke waarden terug te vinden voor de stijfheid kH van de Hertzveervan kH = 1.4 × 109 N/m voor nieuwe wielen tot kH = 1.6 × 109 N/m voor gebruikte treinwielen. Ervalt op te merken dat deze stijfheid in het algemeen afhankelijk is van de frequentie. Er zijn geenwaarden terug te vinden voor de demping van het contact, die ook afhankelijk is van de frequentie.

In de volgende sectie wordt de invloed onderzocht van de modellering van het contact van het voertuigmet de ondergrond op de flexibiliteit van het voertuig bij treinverkeer.


2.3.2 Flexibiliteit van de voertuigas

Beschouw een treinwagon, bestaande uit een voertuiglichaam, twee draaistellen en vier assen. Elke asis verbonden met de draaistellen door een primaire suspensie kP , cP . Elk draaistel is verbonden methet voertuiglichaam door een secundaire suspensie kS , cS . Tabel 2.1 geeft waarden voor de massa vande elementen en de stijfheid en de demping van de primaire en secundaire suspensies. [1, 17, 26].

Parameter Symbool Waarde Eenheden

Massa voertuiglichaam mW 40600 [kg]

Massa draaistel mD 2980 [kg]

Massa wielas mA 1760 [kg]

kP 7.04 × 105 [N/m]Primaire suspensie

cP 2.00 × 104 [Ns/m]

kS 38.88 × 105 [N/m]Secundaire suspensie

cS 4.80 × 104 [Ns/m]

Tabel 2.1: Richtwaarden voor karakteristieken van de primaire en secundaire suspensie en de massavan de elementen van een treinwagon.

Beschouw nu het 3DOF voertuigmodel. De massa m1 modelleert een halve voertuigas (m1 = mA/2 =880 kg), de massa’s m2 en m3 modelleren respectievelijk een vierde draaistel (m2 = mD/4 = 745kg) en een achtste voertuiglichaam (m3 = mW /8 = 5075 kg). De veer–demperschakeling k1, c1 steltde helft van primaire suspensie van de treinwagon voor (k1 = kP /2, c1 = cP /2), de andere veer–demperschakeling k2, c2 een vierde van de secundaire suspensie (k2 = kS/4, c2 = cS/4).

De formules uit dit hoofdstuk laten toe de flexibiliteit van deze voertuigas te berekenen met de waardenuit de vorige paragraaf, zowel voor een perfect contact als voor een Hertzveer. Voor het Hertzcontactwordt een waarde van kH = 1.4× 109 N/m aangenomen [10]. Figuur 2.6 geeft het verloop weer van deabsolute waarde van de frequentierespons van het 3DOF model. Deze frequentieresponsfunctie (FRF)is gelijk aan de inverse van de flexibiliteit van het voertuig.

Bij de lage frequenties (figuur 2.6a) is er nagenoeg geen verschil tussen de FRF van een voertuigas,gekoppeld met de rail door een perfect contact, en de FRF van een voertuigas, gekoppeld door eenHertzveer. Bij hogere frequenties (figuur 2.6b) is er echter een resonantieverschijnsel op te merken.Deze is toe te schrijven aan de resonantie van de massa m1 op de Hertzveer.

De resonantiefrequentie fres van de wielas gekoppeld aan de Hertzveer is gelijk aan:

fres =1

2π

√

kH

m1

= 200.74 Hz

De FRF vertoont een grote resonantiepiek op deze frequentie. De invloed van deze resonantiepiekstrekt zich uit over een groot frequentiegebied. Hierbij moet wel opgemerkt worden dat de Hertzveerongedempt is.

De resonantiepiek ten gevolge van de Hertzveer stemt echter niet overeen met een fysische werkelijk-heid. Bovendien is de aanname van een constante stijfheid voor de Hertzveer een grove benadering.De waarde van de demping is ongekend, maar heeft een belangrijke invloed op de grootte van de re-sonantiepiek. Om deze redenen wordt het contact tussen het wiel en het spoor beter gemodelleerd alseen perfect contact. Bij de verdere berekeningen in dit eindwerk is dan ook gekozen voor een perfectcontact.


0 2 4 6 8 100

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5x 10

6

Frequency [Hz]

FR

F [N

/m]

Perfect contactHertz contact

0 100 200 300 4000

1

2

3

4

5

6

7

8x 10

9

Frequency [Hz]

FR

F [N

/m]

Perfect contactHertz contact

(a) (b)

Figuur 2.6: Frequentieresponsfunctie van het 3DOF model, in functie van de frequentie, in het lage(a) en hoge (b) frequentiegebied.

In figuur 2.6a is bij lage frequenties een andere resonantiepiek in de FRF op te merken. Deze is hetgevolg van de resonantie van de massa’s m2 en m3 op de primaire suspensie k1. De resonantiefrequentiebedraagt fres = 1/(2π)

√

k1/(m2 + m3) = 1.24 Hz. Bij hogere frequenties speelt de dynamica van hetvoertuiglichaam en het draaistel niet meer mee. Figuur 2.7, die de FRF van het 3DOF met het 1DOFmodel vergelijkt, verduidelijkt dit. Hierbij is de massa m1 van het 1DOF model gelijk aan de massam1 van het 3DOF model.

0 2 4 6 8 100

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5x 10

6

Frequency [Hz]

FR

F [N

/m]

3DOF, Perfect contact1DOF, Perfect contact

Figuur 2.7: Frequentieresponsfunctie van het 3DOF model en het 1DOF model in functie van defrequentie in het lage frequentiegebied.

In de literatuur is dezelfde conclusie terug te vinden. De suspensie van de trein is immers zo ontworpendat het voertuiglichaam geısoleerd wordt van een excitatie boven de 10 Hz. Deze trillingsisolatieverzekert het rijcomfort van de passagiers. Bij frequenties die groter zijn dan 20 Hz benadert volgensKnothe en Grassie [15] het 1DOF model goed de werkelijkheid.

Hoofdstuk 3

Flexibiliteit van het spoor

3.1 Algemene formulering van de flexibiliteit van het spoor

3.1.1 Probleemstelling

Beschouw een verzameling van n lasten met spectrale inhoud gk(ω), k = 1 . . . n, die met een snelheidv over een longitudinaal invariant medium beweegt volgens de horizontale y-as. De individuele lastenhebben coordinaten xak, yak en zak in het assenstelsel dat met de lastenverzameling meebeweegt. Den lasten gk en relatieve coordinaten yak worden als de vectoren g en ya genoteerd.

In de volgende secties is een verband afgeleid tussen de krachten gk en de verplaatsingen ur(ξ = yak, ω)in de contactpunten k = 1 . . . n. Dit verband is in de volgende vergelijking in het frequentiedomeinweergegeven:

ur = Htr(ω)g(ω) (3.1)

De matrix Htr(ω) is de flexibiliteitsmatrix van het spoor. In deze vergelijking is de grootheid ur eenvector die samengesteld is uit de componenten ur(ξy = yak, ω).

Omdat de flexibiliteitsmatrix een matrix is, brengt de vooropgestelde formulering het wederzijdse effectvan de interactiekrachten op de verplaatsingen van de rail in de contactpunten in rekening. Dit zal inhoofdstuk 4 leiden tot een koppeling van een spoormodel met een voertuigmodel met n assen, waarbijde interactiekrachten zowel door het voertuigmodel als door het spoormodel gekoppeld zijn.

3.1.2 Bepaling van de verplaatsingen van een longitudinaal invariant medium inhet bewegende assenstelsel ten gevolge van een last

De algemene formulering van de flexibiliteit volgt uit een theoretische afleiding die gebruik maakt vanhet reciprociteitstheorema van Betti–Maxwell. De respons ui in een punt ξ = {ξx, ξy, ξz}T van eenwillekeurig longitudinaal invariant medium ten gevolge van de bewegende last k met tijdsafhankelijkepositie xak(t) = {xak, yak + vt, zak}T (snelheid v) en spectrale inhoud gk(ω) is te schrijven als [22]:

ui(ξx, ξy, ξz, ω) =1

2π

∫

+∞

−∞gk(ω − kyv)hzi(xak, 0, zak, ξx, ky, ξz, ω)

× exp [−iky(ξy − yak)]dky (3.2)

16

Algemene formulering van de flexibiliteit van het spoor 17

De transferfunctie hzi(xak, 0, zak, ξx, ky, ξz, ω) is de respons in het frequentie–golfgetaldomein ten ge-

volge van een verticale impulsbelasting in het punt {xak, 0, zak}T van het medium. De tilde duidt opeen variabele in het frequentie–golfgetaldomein. De definitie van de Fouriertransformatie, zowel naarhet frequentiedomein als naar het golfgetaldomein, is besproken in bijlage A.

De inverse Fouriertransformatie van het frequentiedomein naar het tijdsdomein van vergelijking (3.2)geeft:

ui(ξx, ξy, ξz, t) =1

(2π)2

∫

+∞

−∞

∫

+∞


× exp [−iky(ξy − yak)] exp [iωt] dky dω (3.3)

Vervolgens geeft de transformatie ω = ω + kyv na een herschikking van termen:


(2π)2

∫

+∞

−∞

∫

+∞

−∞gk(ω)hzi(xak, 0, zak, ξx, ky, ξz, ω + kyv)

× exp [−iky(ξy − yak − vt)] exp [iωt] dky dω (3.4)

De transformatie ξy = ξy + vt leidt tot:


2π

∫

+∞

−∞

[

1

2π

∫

+∞

−∞gk(ω)hzi(xak, 0, zak, ξx, ky, ξz, ω + kyv)

× exp[

−iky(ξy − yak)]

dky

]

exp (iωt) dω (3.5)

De term tussen de vierkante haken is gelijk aan de Fouriertransformatie van de respons in het bewe-gende punt naar de bronfrequentie ω:


2πgk(ω)

∫

+∞

−∞hzi(xak, 0, zak, ξx, ky, ξz, ω + kyv)

× exp[

−iky(ξy − yak)]

dky (3.6)

3.1.3 Bepaling van de flexibiliteitsmatrix van het spoor

Beschouw de verzameling van lasten die gedefinieerd is in paragraaf 3.1.1. De verplaatsingen ur(ξx =xak, ξy = yak, ξz = zak, ω), k = 1 . . . n, zijn te schrijven als de superpositie van de verplaatsingen vandit contactpunt ten gevolge van de individuele lasten gl:

ur(ξx = xak, ξy = yak, ξz = zak, ω)

=n

∑

l=1

gl(ω)

[

1

2π

∫

+∞

−∞hzz(xal, 0, zal, ξx, ky, ξz, ω + kyv) exp [−iky(yak − yal)] dky

]

(3.7)

Uit de definitie van de flexibiliteitsmatrix in vergelijking (3.1) volgt dat de term tussen vierkante hakengelijk is aan het element Htr

kl (ω) van de flexibiliteitsmatrix:

Modellering van het spoor 18

ur(ξx = xak, ξy = yak, ξz = zak, ω) =

n∑

l=1

gl(ω)Htrkl (ω) (3.8)

Deze vergelijking is geldig voor elk continu longitudinaal invariant medium, voor elke verzameling vanlasten g die aangrijpt op dit continu medium. De spoormodellen in dit hoofdstuk zijn echter nietcontinu, maar hebben discrete vrijheidsgraden. De vergelijking (3.8) blijft geldig voor longitudinaalinvariante media met discrete vrijheidsgraden, waarbij de transferfuncties analoog gedefinieerd zijn alsbij continue media.

Voor een spoormodel waarbij beide rails een aparte vrijheidsgraad hebben, bestaat de verzamelingvan lasten g uit twee gelijkaardige lastentreinen op beide rails. In tegenstelling tot een willekeurigelastenverzamling, waarbij de transferfunctie hzz(xal, 0, zal, xak, ky, zak, ω + kyv) verschillend is voorelke combinatie van l en k, zijn er slechts vier transferfuncties te bepalen. Het gaat hier om de tweeresponsen van de rails ten gevolge van een puls op de rail en de responsen van de rails ten gevolge vaneen puls op de andere rail.

Voor een spoormodel waarbij beide rails dezelfde vrijheidsgraad bezitten, vergt de bepaling van deflexibiliteitsmatrix slechts de kennis van een transferfunctie, namelijk de respons van de vrijheidsgraadvan de rails ten gevolge van een impulsbelasting op deze vrijheidsgraad. In deze thesis zijn slechtsdergelijke spoormodellen uitgewerkt in de voorbeelden, hoewel de afgeleide theorie algemeen geldigis. Voor dit type spoormodel gelden enkele belangrijke eigenschappen. De diagonaalelementen van deflexibiliteitsmatrix zijn gelijk omdat slechts 1 transferfunctie is beschouwd. Verder gelden volgenderelaties:

Htrkl (ω) =

(

Htrlk (ω)

)∗

limyak→yal

Htrkl = Htr

kk = Htrll

lim|yak−yal|→∞

Htrkl = 0

De numerieke berekening van een flexibiliteitsmatrix met dimensie n × n vergt slechts een kleinemeerkost in berekeningstijd ten opzichte van de overeenkomstige flexibiliteit voor een as (dimensie1 × 1), omdat de bemonstering van de te integreren transferfunctie slechts eenmalig moet gebeuren.De berekening van de niet–diagonaalelementen van de flexibiliteitsmatrix kan efficient gebruik makenvan een Filonmethode [11]. Een uitwerking van deze methode is gegeven in bijlage B.

3.1.4 Besluit

De kennis van de transferfunctie van het spoor laat toe de flexibiliteit van het spoor te bepalen doorintegratie in het frequentie–golfgetaldomein. In de volgende paragrafen is deze transferfunctie afgeleidvoor enkele spoormodellen.

3.2 Modellering van het spoor

Een spoormodel is opgebouwd uit balken en continue veer–demperschakelingen. De balk wordt ge-bruikt bij de modellering van de rail. Ook de dwarsliggers en de ballast kunnen gemodelleerd worden


als een balk, waarbij de waarde van de buigstijfheid EI van de balk gelijk is aan nul. De veer–demperschakeling wordt gebruikt bij de modellering van de railpads.

De balk en de veer–demperschakeling worden daarom beschouwd als de basiselementen van het spoor-model. Elk van deze elementen heeft een elementvergelijking. Het koppelen van deze elementver-gelijkingen leidt uiteindelijk tot de systeemvergelijking van het spoormodel. De afgeleide theorie isbijgevolg geldig voor verschillende spoormodellen, met een variabel aantal vrijheidsgraden en bestaan-de uit een koppeling van balken en veer–demperschakelingen.

Na een overgang naar het frequentie–golfgetaldomein is de volledige dynamica van een spoormodelmet balken, gekoppeld door veer–demperschakelingen te schrijven als een systeemvergelijking met alsvrijheidsgraden de verticale verplaatsingen van de balken.

Er zijn twee mogelijke modelleringen van de ondergrond beschouwd. De eerste is de verende bedding.De stijfheid en demping van deze bedding zijn constant en niet afhankelijk van het golfgetal. Eentweede mogelijk model van de ondergrond is een stijfheid die functie is van zowel het golfgetal alsde frequentie. Dit maakt het mogelijk de grondkarakteristieken in rekening te brengen, omdat degrondstijfheid afhankelijk is van de frequentie en het golfgetal.

3.2.1 Modellering van een balk

De afleiding in de volgende paragraaf maakt gebruik van een balk waar een kracht fz(y, t) per een-heidslengte en een torsiemoment my(y, t) per eenheidslengte op aangrijpt. Figuur 3.1 geeft alle teken-conventies weer. De y–as van het assenstelsel is gelegen volgens de as van de balk.

M y ty( , ) M y tx( , ) m y ty( , )

f y tz( , )

T y tz( , )

z

y

T y dy tz( + , )

M y dy ty( + , )M y dy tx( + , )

Figuur 3.1: Conventies voor de balk.

De balk uit figuur 3.1 voldoet, volgens de Euler–theorie, aan de volgende partiele differentiaalvergelij-kingen voor de verticale verplaatsing uz(y, t) en de rotatie βy om de y–as van de balk:


EI∂4uz(y, t)

∂y4+ ρA

∂2uz(y, t)

∂t2= fz(y, t) (3.9)

−GC∂2βy(y, t)

∂y2+ ρIp

∂2βy(y, t)

∂t2= my(y, t) (3.10)

Hierin is E de modulus van Young, I het traagheidsmoment, ρA de massa per eenheidslengte, GC detorsiestijfheid en Ip het polair traagheidsmoment van de balk.

Na transformatie naar het frequentie–golfgetaldomein van beide differentiaalvergelijkingen wordt dit:

[

EIk4y − ρAω2 0

0 GCk2y − ρIpω

2

] {

uz(ky, ω)

βy(ky, ω)

}

=

{

fz(ky, ω)

my(ky, ω)

}

(3.11)

De matrix in het linkerlid van deze vergelijking is gelijk aan de stijfheid Kbeam van de Eulerbalk:

Kbeam

{

uz(ky, ω)

βy(ky, ω)

}

=

{

fz(ky, ω)

my(ky, ω)

}

(3.12)

Het weglaten van de torsievrijheidsgraad (indien my = 0), leidt tot een balkelement met slechts eenvrijheidsgraad uz(ky, ω). De stijfheid van de Eulerbalk is dan gelijk aan Kbeam = EIk4

y − ρAω2.

De veralgemeende stijfheid Kbeam(ky, ω) van de balk is hier afgeleid voor de Euler balk. Dit typebalk brengt geen dwarskrachtvervorming in rekening. De stijfheid van de Timoshenko balk, die weldwarskrachtvervorming in rekening brengt, kan analoog afgeleid worden.

3.2.2 Modellering van een continue veer–demperschakeling

De continue veer–demperschakeling koppelt twee vrijheidsgraden u1(y, t) en u2(y, t) waarop de krach-ten f1 en f2 per eenheidslengte aangrijpen. Deze vrijheidsgraden kunnen in principe zowel beidentranslatievrijheidsgraden als torsievrijheidsgraden zijn. De elementvergelijking van dergelijke schake-ling is algemeen te schrijven in het frequentie–golfgetaldomein als:

[

Kf −Kf

−Kf Kf

] {

u1

u2

}

=

{

f1

f2

}

(3.13)

De dynamische stijfheid Kf van de veer–demperschakeling is te schrijven als Kf = kf + iωcf , waarbijkf de stijfheid en cf de demping van de schakeling voorstelt. Deze parameters zijn constant voor watbetreft het golfgetal ky, maar de vergelijking geldt in principe ook voor het geval Kf afhankelijk isvan het golfgetal ky en de frequentie ω.

In het geval van een koppeling van een translatievrijheidsgraad aan een rotatievrijheidsgraad, kan eenanaloog verband afgeleid worden.

Assemblage van de systeemvergelijking van het spoormodel 21

3.3 Assemblage van de systeemvergelijking van het spoormodel

De systeemvergelijking van het spoormodel, dat opgebouwd is uit balken die aaneengeschakeld zijndoor veer–demperschakelingen, volgt uit het krachtenevenwicht en de continuıteit van de elementenwaaruit het model is opgebouwd. Voor een willekeurig model is dit algemeen te schrijven als:

Ktrutr = ftr (3.14)

Hierin is Ktr de systeemmatrix van het spoormodel, utr is de vector met de verplaatsingen van devrijheidsgraden en ftr is een vector van krachten die aangrijpen op deze vrijheidsgraden. Zowel Ktr,utr als ftr zijn functie van de frequentie en het golfgetal.

In de volgende sectie geven enkele toepassingen weer hoe de systeemvergelijking is opgebouwd.

3.4 Toepassingen

3.4.1 Spoormodel bestaande uit twee rails gekoppeld aan een balk

Beschouw een balk met buigstijfheid EI en een torsiestijfheid GC. Op de afstanden l1 en l2 van hetmiddelpunt zijn aan deze balk twee rails met buigstijfheden EIr en sectie Ar gekoppeld met behulp vanveer–demperschakelingen. Deze veer–demperschakelingen, met stijfheid kp en demping cp, modellerende railpads. Figuur 3.2 verduidelijkt de geometrie van het model.

Dit spoormodel kan gebruikt worden voor de modellering van geballaste (figuren 1.1d, 1.1e) en spoor-systemen bevestigd op een plaat (figuren 1.2d, 1.2e). De overgang van een spoormodel met discreteopleggingen naar spoormodel met continue opleggingen is besproken in hoodstuk 1.

β

u

EIGCρA

ρArEIr

kp cp

l1

l2

fr2 ur2 fr1 ur1

x

z

Rails

Base beamy

z

Figuur 3.2: Spoormodel bestaande uit twee rails gekoppeld aan een balk.

De onderste balk heeft een translatievrijheidsgraad en een rotatievrijheidsgraad. De rails zijn gemo-delleerd als balken met slechts een translatievrijheidsgraad in het frequentie–golfgetaldomein. Hetevenwicht van de vrijheidsgraden geeft uiteindelijk de systeemvergelijking van het beschouwde spoor-model:

Toepassingen 22

Kr + Kp 0 −Kp −Kpl10 Kr + Kp −Kp −Kpl2

−Kp −Kp Kbb + 2Kp 0

−Kpl1 −Kpl2 0 Ktt + Kp(l21 + l22)

ur1

ur2

u

β

=

fr1

fr2

0

0

(3.15)

Deze vergelijking is van de algemene vorm:

Ktrutr = ftr

In deze vergelijking stelt Kr de buigstijfheid van een rail EIrk4y − ρArω

2 voor. De stijfheid Kp van

een railpad is gelijk aan kp + iωcp. De buigstijfheid Kbb en torsiestijheid Ktt van de onderste balk zijnrespectievelijk gedefinieerd als EIk4

y − ρAω2 en GCk2y − ρIpω

2.

3.4.2 Symmetrisch belast symmetrisch spoormodel

Beschouw het spoormodel uit de vorige paragraaf. In het geval van een symmetrisch spoormodel(l1 = −l2) en indien beide rails ur1 en ur2 aan dezelfde krachten onderhevig zijn (fr1 = fr2), is hetniet nodig de torsie van de balk te beschouwen. Omdat bovendien beide rails dezelfde verplaatsingondergaan, kan deze verplaatsing met slechts een vrijheidsgraad ur gemodelleerd worden. Figuur 3.3verduidelijkt dit. Het spoormodel bevat slechts twee vrijheidsgraden. De systeemvergelijking van ditspoormodel is:

EIρA

2 ρAr

2 EIr

kp cpu

fr ur

x

z

y

z

Rails

Base beam

Figuur 3.3: Symmetrisch belast symmetrisch spoormodel.

[

2Kr + 2Kp −2Kp

−2Kp Kbb + 2Kp

] {

ur

u

}

=

{

fr

0

}

(3.16)

Deze vergelijking is van de algemene vorm:

Ktrutr = ftr

Modellering van de ondergrond 23

Kr is gelijk aan de buigstijfheid EIrk4y − ρArω

2 van een rail. De stijfheid Kp van een railpad is gelijk

aan kp + iωcp. De buigstijfheid Kbb van de onderste balk is gedefinieerd als EIk4y − ρAω2. Beide

rails zijn gemodelleerd als een balk. Er moet wel gelet worden op het feit dat de kracht fr zich gelijkverdeelt over beide rails. Het spoormodel is equivalent met het model uit de vorige sectie, waarbijfr1 = fr2 = fr/2 en l1 = −l2.

3.5 Modellering van de ondergrond

3.5.1 Algemene formulering

Beschouw een spoormodel met n vrijheidsgraden, waarvan de vrijheidsgraden un−1 en un respectie-velijk de translatievrijheidsgraad en rotatievrijheidsgraad van een balkelement voorstellen. De onder-grond is in rekening te brengen als een randvoorwaarde in deze twee vrijheidsgraden. In deze thesiszijn twee mogelijke randvoorwaarden opgenomen:

• Verende bedding;

• Karakteristiek van een lineair elastisch gelaagde halfruimte.

Indien de torsievrijheidsgraad niet gemodelleerd is, heeft de randvoorwaarde enkel betrekking op eentranslatievrijheidsgraad un, maar de afleiding is volkomen analoog.

De koppeling van het systeem met de ondergrond zal uiteindelijk leiden tot de bewegingsvergelijkingvan het gekoppelde systeem van het spoor en de ondergrond:

[

Ktr + Ks

]

utr = ftr (3.17)

3.5.2 Verende bedding

Bij de verende bedding is de grondstijfheid Ks van de vorm

Ks =

0 0

ksb + iωcsb 0

0 0 kst + iωcst

(3.18)

het onderschrift b duidt op de translatievrijheidsgraad, het onderschrift t op de torsievrijheidsgraad.Dit stemt overeen met het geval waarbij het spoormodel wordt opgelegd op een continue veer–demperschakeling. Hierin zijn ksm en csm met m gelijk aan b of t respectievelijk de stijfheid ende demping van de veer–demperschakeling voor de buigmode of torsiemode van de onderste balk vanhet spoormodel. In het geval dat de torsievrijheidsgraad niet beschouwd is, is de grondstijfheid teschrijven in de vorm:

Ks =

[

0 0

0 ksb + iωcsb

]

(3.19)


3.5.3 Elastisch gelaagde halfruimte

Deze modellering maakt gebruik van een methode voorgesteld door Aubry et al. [2] en Clouteau [5].De formulering is uitgewerkt in het werk van Lombaert [22].

Beschouw een balkelement met een verticale translatievrijheidsgraad un−1(y, t) en een rotatievrijheids-graad un(y, t) in een spoormodel met in totaal n vrijheidsgraden. Het balkelement is gekoppeld aaneen lineair elastische halfruimte. Het grensvlak tussen de balk en de halfruimte is een strookvormiggrensvlak Σ met breedte 2B. De verticale verplaatsingen ubz(x, y, t) van de balk zijn te schrijven infunctie van de vrijheidsgraden un−1(y, t) en un(y, t) in het tijdsdomein:

ubz(x, y, t) = [ 1 x ]

{

un−1(y, t)

un(y, t)

}

(3.20)

= φtr(x)αtr(y, t) (3.21)

Figuur 3.4: Het spoor–grond–interactieprobleem.

De krachtvector die werkt in het grensvlak tussen de grond en de balk is de interactiekracht f e. Zebestaat uit een kracht fe

z en een torsiemoment mey per eenheidslengte.

f e =

{

fez

mey

}

Deze krachten volgen uit het evenwicht in het grensvlak Σ:

fez = −

∫

+B

−Btsz(us)(x, y, z = 0, t)dx (3.22)

mey = −

∫

+B

−Bxtsz(us)(x, y, z = 0, t)dx (3.23)


In deze vergelijkingen stelt tsz(us)(x, y, z, t) de verticale component van de grondspanningen ts(x, t)voor, die berekend worden als σ(x, t)n(x) in het grensvlak Σ waarbij n een eenheidsnormale is op ditvlak.

De bewegingsvergelijking van het spoormodel gekoppeld aan het grondmassief is in het frequentie–golfgetaldomein met deze interactiekrachten te schrijven als:

Ktrutr = ftr +

0...

0

f e

(3.24)

Uit de formules (3.22) en (3.23) volgt de volgende vectorvergelijking:

f e = −∫

+B

−Bφstsz(us)(x, ky, z = 0, ω)dx (3.25)

Waarin φs = [1, x] = φtr.

De verplaatsingen us in de gelaagde halfruimte worden ontbonden als componenten van de golfveldenvanwege de buigmode en torsiemode van de balk:

us = φs(x, ky, z, ω)αs(ky, ω) (3.26)

Uit de continuıteit van het grensvlak volgt de volgende randvoorwaarde (welded boundary condition):

ub(x, ky, ω) = us(x, ky, z = 0, ω) (3.27)

Een gerelaxeerde randvoorwaarde eist slechts de continuıteit van de verticale verplaatsing:

ubz(x, ky, ω) = usz(x, ky, z = 0, ω) (3.28)

De ontbinding in modes geeft voor deze randvoorwaarde:

φtr(x)αtr(ky, ω) = φs(x, ky, z = 0, ω)αs(ky, ω) (3.29)

In het grensvlak Σ zijn de verticale componenten van de golfvelden φs(x, ky, z = 0, ω) gelijk aan deverplaatsingsmodes φtr(x) voor elk golfgetal ky en elke frequentie ω. Hieruit volgt dat:

αtr(ky, ω) = αs(ky, ω) (3.30)

Transferfunctie van het spoormodel 26

De onderschriften tr en s kunnen weggelaten worden. De interactiekracht uit vergelijking (3.25) isdan als volgt te schrijven:

f e = −∫

+B

−Bφtr(x)tsz(φs)(x, ky, z = 0, ω)α(ky, ω)dx (3.31)

De bewegingsvergelijking van het spoor is uiteindelijk:

[

Ktr + Ks

]

utr = ftr

Waarin de matrix Ks gelijk is aan:

Ks =

0 0

Ksbb Ks

bt

0 Kstb Ks

tt

De elementen Ksmn, met m en n gelijk aan b of t, worden als volgt berekend:

Ksmn = −

∫

+B

−Bφtrm(x)tsz(φsn)(x, ky, z = 0, ω)dx (3.32)

De niet–diagonaalelementen Ksbt en Ks

tb modelleren de koppeling van de torsiemode en de buigmode.Ks

bt is de verticale kracht tengevolge van een eenheidsrotatie van de interface. Analoog is Kstb het

torsiemoment tengevolge van een eenheidsverticale verplaatsing van de interface. Beide elementen zijngelijk aan nul wegens de symmetrie van de modale spanningen, zodat beide modes ontkoppeld zijn.De matrix Ks is een diagonaalmatrix.

De modale spanningen tsz zijn de verticale spanningen die optreden in het contactvlak, tengevolgevan de modale verplaatsingen. Ze volgen uit randelementenformulering die gebruik maakt van hetdynamische reciprociteitstheorema [22]. Een uitwerking van deze randelementenformulering en debepaling van de modale grondspanningen is gegeven in bijlage C.

Bij een symmetrisch belast symmetrisch spoormodel is het niet nodig de torsiemode van de balk meete nemen in de berekening. De stijfheid van de ondergrond is dan analoog te schrijven als:

Ks =

[

0 0

0 Ksbb

]

3.6 Transferfunctie van het spoormodel

De berekening van de flexibiliteitsmatrix van het spoor, afgeleid in paragraaf 3.1.3, vergt de kennisvan transferfuncties. Deze transferfuncties zijn de verplaatsingen van de rails ten gevolge van eenimpulsbelasting op de rails. In het geval van een symmetrische belast symmetrisch spoormodel gaat

Theoretische validatie van het model 27

het om slechts een transferfunctie. Ze volgt uit de systeemvergelijking van het gekoppelde systeemspoor–grond.

[

Ktr + Ks

]

utr = f δtr (3.33)

Veronderstel dat de vrijheidsgraad van de beschouwde rail(s) de vrijheidsgraad k van het spoormodelis. Dan is de impulsbelasting op de rail in het frequentie–golfgetaldomein te schrijven als:

f δtr =

δ1k

δ2k...

δnk

(3.34)

waarin δij de Kronecker delta voorstelt.

De respons van de rail is de k–de component van de verplaatsingsvector utr die volgt uit de oplossingvan het stelsel (3.33). De respons van de balk die gekoppeld is aan de ondergrond via de matrix Ks istevens van belang. Deze respons laat immers toe de respons in het vrije veld te bepalen ten gevolgevan een impuls op de rail.

3.7 Theoretische validatie van het model

De modellen uit dit hoofdstuk zijn in deze sectie gevalideerd aan de hand van een analoog spoormodeluit het werk van Dinkel [8].

3.7.1 Aannames van het model

Het beschouwde model is een dynamisch spoormodel dat de beweging beschrijft van spoorsystemenbevestigd op een plaat. Zowel het spoor, de ondergrond als het voertuig zijn in het model opgenomen.Het volledig model is lineair, en het spoor is longitudinaal invariant. Figuur 3.5 schetst de opbouwvan het model. De tabellen 3.1 en 3.2 geven numerieke waarden van de parameters van het spoor ende ondergrond, gebruikt in de numerieke voorbeelden van het geciteerde werk.

3.7.2 Flexibiliteit van het spoor

In het geciteerde werk is de flexibiliteit van het spoor berekend voor de numerieke waarden uit tabellen3.1 en 3.2. Het resultaat is te zien in figuur 3.6. De flexibiliteit van het spoor is uitgerekend voor eenas voor de snelheid v = 50 m/s, voor drie waarden van de snelheid van de transversale golfsnelheid Cs

(70, 150 en 300 m/s).

De modellen uit dit hoofdstuk kunnen gebruikt worden om deze flexibiliteit na te rekenen. Ze gaanimmers uit van dezelfde basisveronderstellingen. Beschouw het spoormodel uit figuur 3.3. Het spoor-model modelleert het volledige spoor:

[

2Kr + 2Kp −2Kp

−2Kp Kbb + 2Kp

] {

ur

u

}

=

{

2fr

0

}

(3.35)


Bogie

Axle

Vehicle body

Rail

Slab

Subgrade

Railpads

Figuur 3.5: Longitudinaal spoormodel [8], gebruikt voor de validatie van het vooropgestelde model.

Grootheid Symbool Waarde Eenheden

Elasticiteitsmodulus rail Er 2.10 × 1011 [N/m2]

Sectie rail Ar 7.69 × 10−3 [m2]

Traagheidsmoment rail Ir 3.05 × 10−5 [m4]

Dichtheid rail ρr 7800 [kg/m3]

Stijfheid railpad kp 40 × 106 [N/m]

Demping railpad cp 14.8 × 103 [Ns/m]

Tussenafstand railpads d 0.60 [m]

Breedte plaat bP 3.60 [m]

Buigstijfheid plaat EIP 243 × 106 [Nm2]

Massa per eenheidslengte mP 2592 [kg/m]

Tabel 3.1: Parameters voor het spoormodel.

Grootheid Symbool Waarde Eenheden

Transversale golfsnelheid Cs 150 [m/s]

Dempingsverhouding β 0.025 [-]

Coefficient van Poisson ν 0.2 [-]

Dichtheid ρ 2000 [kg/m3]

Tabel 3.2: Parameters voor de ondergrond.

Kr = EIrk4y − ρArω

2 is de buigstijfheid van de rails. De stijfheid Kp van de railpads is gelijk aan

Kp = kp + iωcp, waarbij kp = kp/d en cp = cp/d. Verder is de buigstijfheid van de onderste balk gelijkaan Kbb = EIP k4

y − mP ω2. De kracht fr is in het rechterlid van vergelijking 3.35 verdubbeld, om aanhet voorgestelde spoormodel een voertuigmodel te kunnen koppelen dat slechts een halve voertuigasmodelleert. Dit is nodig, opdat de berekende flexibiliteiten van het voorgestelde spoormodel zoudenovereenstemmen met de berekende flexibiliteit van het spoor uit het werk van Dinkel. Figuur 3.7 toont


Figuur 3.6: Flexibiliteit van het spoor [8], gebruikt voor de validatie van het model, in functie van defrequentie.

de berekende flexibiliteit van het spoor voor de transversale golfsnelheid Cs = 150 m/s.

0 50 100 150 2000

0.5

1

1.5

2

2.5x 10

−8

Frequency [Hz]

Rai

l com

plia

nce

[m/N

]

Figuur 3.7: Flexibiliteit van het spoor [8], berekend met de formules uit dit hoofdstuk, in functie vande frequentie.

De flexibiliteit van het spoor op figuur 3.6, en de flexibiliteit van het spoor op figuur 3.7 vertonenhetzelfde verloop voor de transversale golfsnelheid Cs = 150 m/s. Het voorbeeld valideert dus zowelde theorie als de implementatie van de formules uit dit hoofdstuk.

3.7.3 Niet–diagonaalelementen van de flexibiliteitsmatrix

Voor verschillende contactpunten bevat de flexibiliteitsmatrix van het spoor niet–diagonaalelementen.Deze elementen zijn functie van de onderlinge afstand tussen de contactpunten tussen het voertuigen het spoor. De vraag stelt zich wat het relatieve belang is van deze niet–diagonaalelementen ten


opzichte van de diagonaalelementen. Voor een snelheid v = 50 m/s en een transversale golfsnelheidCs = 150 m/s is de flexibiliteit uitgerekend voor contactpunten met coordinaten ya1 = 0 m, ya2 = 3m en ya3 = 20 m in het bewegende assenstelsel. Deze afstanden van 3 m en 20 m zijn karakteristiekewaarden van respectievelijk de afstand tussen twee assen van een draaistel en de afstand tussen tweedraaistellen van een treinwagon. De berekende flexibiliteit van het spoor is weergegeven in figuur 3.8.

0 50 100 150 2000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8x 10

−8

Frequency [Hz]

Rai

l com

plia

nce

[m/N

]

Figuur 3.8: De elementen Htr1k, k = 1 . . . 3 van de flexibiliteitsmatrix van het spoor in functie van de

frequentie voor contactpunten met coordinaten ya1 = 0 (bovenste curve), ya2 = 3 m (middelste curve)en ya3 = 20 m (onderste curve) in het bewegende assenstelsel.

Voor een tussenafstand van 0 m is deze flexibiliteit gelijk aan de flexibiliteit uit figuur 3.7. Voor eentussenafstand van 3 m is de flexibiliteit slechts een fractie van de flexibiliteit voor een tussenafstand van0 m. Voor een tussenafstand van 20 m is de flexibiliteit nagenoeg gelijk aan nul en verwaarloosbaar. Demate van convergentie naar deze limiet is afhankelijk van de stijfheids– en dempingskarakteristiekenvan de elementen van het spoormodel.

Figuur 3.8 toont het belang aan van de koppeling door het spoormodel van de krachtswerking van deverschillende assen, zeker als de tussenafstand relatief klein is. Dit is bij treinstellen het geval bij deassen die deel uitmaken van een draaistel of twee aanpalende draaistellen. Zoals reeds gesteld werd,vergt het inrekenen van de koppeling van de assen slecht een kleine meerkost in rekentijd, zelfs indienhet gaat om een groot aantal assen. Het is daarom aangewezen om de volledige koppeling van enkeleof alle assen van het voertuig in rekening te brengen.

3.7.4 Flexibiliteitsmatrix van een equivalent spoormodel op een verende bedding

Beschouw het spoormodel uit de vorige paragrafen. Het equivalent spoormodel op een verende beddingis deze waar de frequentie en golfgetal afhankelijke grondstijfheid Ks

bb vervangen is door een equivalentewaarde ksb + iωcsb. Een optimalisatieprocedure, die het verschil tussen de flexibiliteiten van beidespoormodellen voor v = 0 en een tussenafstand van 0 m minimaliseert in het interval 0.5 – 200 Hz,levert voor de beddingsparameter ksb de waarde ksb = 10.15 × 107 N

m2 en voor de beddingsparameter

csb de waarde csb = 17.42 × 105 Ns

m2 op.

De waarde van de demping is vrij groot, omdat ze de stralingsdemping in de ondergrond op eenvereenvoudigde wijze beschrijft. Hierdoor is de resonantiepiek van het volledige spoormodel op deverende bedding afwezig. De parameters geven een zeer goede overeenstemming van de receptanties


tussen de twee spoormodellen. De vraag stelt zich nu hoe goed de flexibiliteit van het oorspronkelijkespoormodel overeenstemt met de flexibiliteit van het equivalente spoormodel. Dit is te zien in figuur3.9.

0 50 100 150 2000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8x 10

−8

Frequency [Hz]

Rai

l com

plia

nce

[m/N

]

SoilWinkler foundation

Figuur 3.9: De elementen Htr1k, k = 1 . . . 3 van de flexibiliteitsmatrix van de rail voor het oorspronkelijke

(volle lijn) en equivalente (streeplijn) spoormodel in functie van de frequentie voor contactpunten metcoordinaten ya1 = 0 (bovenste curve), ya2 = 3 m (middelste curve) en ya3 = 20 m (onderste curve) inhet bewegende assenstelsel.

Voor de diagonaalelementen van de flexibiliteitsmatrix is er een zeer goede overeenstemming op temerken tussen het oorspronkelijke spoormodel en het equivalente spoormodel op een verende bedding.Dit is logisch, gezien de optimalisatieprocedure. Het verschil is het grootst voor de lage frequenties.Voor grotere frequenties zal de inertie van de balk ervoor zorgen dat de flexibiliteit van het spooronafhankelijk is van de gebruikte ondergrondmodellering [15].

Er valt op te merken dat het hier gaat om een ongelaagde halfruimte. De resultaten bekomen indeze paragraaf zijn niet zomaar te veralgemenen naar gelaagde halfruimtes. Het verschil tussen deflexibiliteitsmatrix van een spoormodel die de golfvoortplanting in de ondergrond modelleert en deflexibiliteitsmatrix van een equivalent spoormodel zal niet groot zijn indien de equivalente beddingspa-rameters goed geoptimaliseerd worden. Bovendien valt het op te merken dat het voor een spoormodelop een verende bedding onmogelijk is de trillingen in het vrije veld te voorspellen.

Hoofdstuk 4

Koppeling van voertuig en spoor

4.1 Algemene probleemstelling

In dit hoofdstuk is de koppeling van de voertuigmodellen uit hoofdstuk 2 en de spoormodellen uithoofdstuk 3 uitgewerkt. De koppeling van de systeemvergelijkingen leidt tot een verband tussende dynamische interactiekrachten en de oneffenheden in het frequentiedomein. Figuur 4.1 geeft deprobleemstelling weer.

g1g2 u yw/r( )

v

Figuur 4.1: Koppeling van het voertuig en het spoor.

32

Afleiding van de systeemvergelijking van het gekoppeld systeem 33

4.2 Afleiding van de systeemvergelijking van het gekoppeld systeem

Vergelijking (2.7) is de definitie van de flexibiliteit van het voertuig:

ur + uw/r = −Hv(ω) g(ω)

De flexibiliteitsmatrix van het spoor (vergelijking (3.1)) geeft het verband tussen de interactiekrachten de verplaatsing van het contactpunt:

ur = Htr(ω) g(ω)

De continuıteit van de verplaatsing van het contactpunt geeft het verband tussen de interactiekrachtenen de oneffenheden van de rails en de wielen.

[

Hv(ω) + Htr(ω)]

g(ω) = −uw/r (4.1)

Hierin is uw/r een vector met als componenten (1/v)uw/r(−ω/v) exp (iωyak/v), k = 1 . . . n. De formulelaat toe de interactiekrachten g(ω) te berekenen uitgaande van de langsoneffenheden uw/r(ky) bij eengegeven snelheid v.

4.3 Relatieve fout tussen een gekoppelde en ontkoppelde berekening

4.3.1 Definitie van de relatieve fout

De fout ∆reluc/c

is een n × n–matrix die de fout aangeeft tussen de gekoppelde interactiekracht gc(ω)

en de ontkoppelde interactiekracht guc(ω), berekend volgens formule (2.7), waarbij de verplaatsing ur

van het spoor verwaarloosd wordt:

∆reluc/c

(ω) gc(ω) = guc(ω) − gc(ω) (4.2)

Hierbij voldoet gc(ω) aan vergelijking (4.1). De ontkoppelde interactiekracht guc(ω) is onafhankelijkvan de flexibiliteit van het spoor, en voldoet aan de volgende vergelijking:

Hv(ω) guc(ω) = −uw/r (4.3)

Deze definitie laat toe inzicht te krijgen in de gemaakte fout, zonder dat de kennis van waarde van deoneffenheden uw/r(− ω

v ) nodig is. Dit blijkt uit de eliminatie van deze oneffenheid uit formules (4.1)en (4.3):

∆reluc/c

=(

Hv(ω))−1

Htr(ω) (4.4)

De relatieve fout ∆reluc/c

is een matrix met dimensie n × n, die informatie geeft over het relatieveverschil in fasehoek en amplitudes tussen de gekoppelde en niet gekoppelde interactiekrachten. Het

Relatieve fout tussen een gekoppelde en ontkoppelde berekening 34

element op de i–de rij en j–de kolom geeft de fout aan die gemaakt wordt door het verwaarlozen vande verplaatsing van contactpunt i ten gevolge van de belasting in het j-de contactpunt.

De relatieve fout uit vergelijking (4.4) is afhankelijk van flexibiliteitsmatrices van zowel het voertuigals het spoor. De vergelijking laat toe reeds enkele besluiten te maken over de fout. De relatieve foutdaalt bij een stijgende flexibiliteit van het voertuig en bij een dalende flexibiliteit van het spoor. Zois bij wegverkeer de flexibiliteit van het voertuig vele grootte–ordes groter dan de flexibiliteit van hetwegdek waardoor de gemaakte fout verwaarloosbaar is [22]. Het voorbeeld uit de volgende sectie toontaan dat dit voor treinverkeer niet het geval is.

4.3.2 Numeriek voorbeeld

Beschouw het spoormodel uit tabel 3.1 en het voertuigmodel uit tabel 2.1. De flexibiliteit van hetspoor is berekend in hoofdstuk 3, de flexibiliteit van het model met 3 vrijheidsgraden is berekend inhoofdstuk 2. Voor het contact tussen voertuig en spoor is gekozen voor het perfect contact. De kennisvan beide flexibiliteiten laat nu toe de relatieve fout tussen de gekoppelde en ontkoppelde berekeningte begroten. Het resultaat is weergegeven in figuur 4.3.2. Omdat het voertuigmodel slechts een asbevat, is de relatieve fout ∆rel

uc/ceen scalar.

0 50 100 150 2000

5

10

15

20

Frequency [Hz]

Rel

ativ

e er

ror

[−]

Figuur 4.2: Absolute waarde van de relatieve fout ∆reluc/c

tussen een gekoppelde en een ontkoppeldeberekening in functie van de frequentie.

De fout is bij lage frequenties klein, omdat de flexibiliteit van het voertuig bij deze lage frequenties veelgroter is dan de flexibiliteit van het spoor. In het frequentiegebied tot 10 Hz wordt de interactiekrachtvooral bepaald door de eigenschappen van het voertuig en kan de berekening van de interactiekrachtenin principe ontkoppeld gebeuren. Bij grotere frequenties spelen eerder de eigenschappen van het spooreen rol. Dit besluit is ook terug te vinden in de literatuur [15].

Uit de figuur blijkt dat de gemaakte fout zeker niet verwaarloosbaar is. Het maximum van 19 komtovereen met een relatieve fout van 1900%, en is het gevolg van de grote flexibiliteit van het spoorbij de resonantiefrequentie van de rail op de railpads (fres = 1/(2π)(kp/(ρAr))

1/2 = 168 Hz). Bijtreinverkeer moet de berekening altijd gekoppeld gebeuren. Deze koppeling van voertuig en spoorvoor de berekening van interactiekrachten zit dan ook vervat in de meeste modellen [15]. Daarommoet in principe het resultaat, verkregen uit het vooropgestelde model, vergeleken worden met anderemodellen die de koppeling van voertuig en spoor in rekening brengen. Zo zal het eenvoudige model

Relatieve fout tussen een gekoppelde en ontkoppelde berekening 35

van een ligger op een verende bedding (de rail op de railpads) de gemaakte fout reeds sterk reduceren.Hierbij hangt alles af van de mate waarin de berekende flexibiliteit van het spoor overeenstemt metde werkelijke flexibiliteit van het spoor.

Een numeriek voorbeeld van de berekening van de interactiekrachten uitgaande van de oneffenhedenis hier niet uitgewerkt, maar wordt beschreven in hoofdstuk 6.

Hoofdstuk 5

Trillingen in het vrije veld

5.1 Inleiding

Met de theorie uit de vorige hoofdstukken is het mogelijk de spectrale inhoud van de dynamischeinteractiekrachten tussen het voertuig en het spoor te bepalen aan de hand van de langsoneffenheden.Dit hoofdstuk beschrijft de berekening van de respons in het vrije veld ten gevolge van deze interac-tiekrachten. Uitgaande van de interactiekrachten tussen het spoormodel en de ondergrond wordt detransferfunctie tussen de rail en het vrije veld bepaald. De respons ten gevolge van een willekeurigebewegende last volgt tenslotte uit het reciprociteitstheorema van Betti-Rayleigh.

5.2 Transferfunctie tussen de rail en het vrije veld

De transferfunctie tussen de rail en het vrije veld is de respons in een punt ξ in het vrije veld tengevolge van een impulsbelasting op de rail. Deze transferfunctie volgt uit de randelementenformule-ring en de gekende grondspanningen tsz(x, ky, 0, ω) in het contactvlak tussen het spoor en de grond.Enkel de verticale grondspanningen zijn in rekening gebracht, de horizontale interactiekrachten zijnverwaarloosd. Door de toepassing van het Betti–Rayleigh reciprociteitstheorema op de Greense functievan de ondergrond kan volgend verband gevonden worden tussen de spanningen tsz(x, ky, 0, ω) en detransferfunctie hzi(ξx, ky, ξz, ω) [22]:

hzi(ξx, ky, ξz, ω) =

∫

+B

−Btsz(x, ky, 0, ω)uG

zi(ξx − x, ky, ξz, ω) dx (5.1)

Deze integraal is benaderd door een som ten gevolge van de randelementenformulering. De uitwerkingis te vinden in bijlage C.

5.3 Respons ten gevolge van een willekeurige bewegende last

In hoofdstuk 3 geeft vergelijking (3.6) het verband weer tussen de respons in een willekeurig punt ξ vaneen longitudinaal invariant medium en de spectrale inhoud van de bewegende last k in het bewegendeassenstelsel. De afleiding in het vaste assenstelsel geeft analoog [22]:

36

Het belang van de quasi–statische respons 37


2π

∫

+∞


× exp [−iky(ξy − yak)] dky (5.2)

Hierin is de transferfunctie hzi de respons tussen het contactpunt (de rail) en het vrije veld, diebepaald is in hoofdstuk 3. De transformatie ky = (ω− ω)/v zorgt ervoor dat de frequentieverschuivingop de spectrale inhoud van de bewegende last overgaat naar een golfgetalverschuiving van de spectraleinhoud van de transferfunctie.


2πv

∫

+∞

−∞gk(ω)hzi(xak, 0, zak, ξx,

ω − ω

v, ξz, ω)

× exp

[

−i

(

ω − ω

v

)

(ξy − yak)

]

dky (5.3)

Zowel de formule (5.2) als de formule (5.3) laten een efficiente berekening toe van de respons ten gevolgevan een bewegende last in het golfgetal-frequentiedomein, waar de transferfuncties hzi bepaald zijn.De implementatie van formules (5.2) en (5.3) kan gebruik maken van het Filon integratieschema uitbijlage B. De respons ui(ξx, ξy, ξz, t) in het tijdsdomein volgt na een inverse Fouriertransformatie.Superpositie van de respons ten gevolge van de verschillende lasten k = 1 . . . n geeft uiteindelijk detotale respons in het vrije veld ten gevolge van de treinpassage. Voor de berekeningen is de formule(5.2) geımplementeerd.

5.4 Het belang van de quasi–statische respons

De bijdrage van de statische component bij de respons in het vrije veld is slechts belangrijk indiende snelheid v van het voertuig groot is in vergelijking met de golfsnelheden in de grond. Dit kan hetgeval zijn bij treinverkeer [7]. Het is daarom raadzaam bij de respons tengevolge van de dynamischeinteractiekrachten deze quasi–statische respons te superponeren. Bij de berekeningen in het volgendehoofdstuk is dit echter achterwege gelaten.

Hoofdstuk 6

Case study: trillingen in het vrije veldop de lijn L2 Brussel–Keulen

6.1 Inleiding

In augustus en september 2002 werden op de hogesnelheidslijn L2 Brussel–Keulen homologatierittenuitgevoerd door de NMBS. In het kader van het STWW–project IWT000152 “Trillingen in gebouwenten gevolge van verkeer” zijn metingen uitgevoerd op deze lijn op sites in Lincent en Waremme.

In Lincent zijn verschillende proeven uitgevoerd ter bepaling van de dynamische karakteristieken vanhet spoor en de ondergrond. Seismische sonderingen en spectrale analyses van oppervlaktegolvenwerden aangewend om de dynamische karakteristieken van de ondergrond te onderzoeken. De proevenop het spoor bestonden uit de opmeting van de receptantie van het spoor, het uitsterven van golvenlangs het spoor (E: wave decay) en de meting van de transferfuncties tussen het spoor en het vrijeveld. Bovendien werden tijdens passages van IC treinen en de Thalys HST de trillingen in het vrijeveld opgemeten voor verschillende treinsnelheden.

De data die verzameld zijn tijdens deze proeven kunnen gebruikt worden om het voorgestelde spoor-model te valideren. De parameters van het model van de ondergrond volgen uit de resultaten van deverschillende dynamische proeven. De calibratie van de modelparameters van het spoor gebeurt dooreen calibratieprocedure waarbij de fout tussen de gemeten en de berekende receptantie van het spoorwordt geminimaliseerd. Deze parameters laten toe de transferfunctie tussen de rail en het vrije veldte berekenen. Het model laat de berekening toe van de respons in het vrije veld tengevolge van eenThalys HST treinpassage.

Het valt op te merken dat het numerieke voorbeeld uit dit hoofdstuk er vooral op gericht is aan tetonen dat het model uit deze thesis daadwerkelijk geımplementeerd en toegepast kan worden. Hoeweler een vergelijking is van de numerieke resultaten met de gemeten respons in het vrije veld, geldt deberekening niet als de uiteindelijke validatie van het model.

6.2 Uitgevoerde in situ metingen en numerieke gegevens

6.2.1 Karakteristieken van het voertuig

Figuur 6.1 toont een Thalys HST die samengesteld is uit 2 locomotieven en 8 rijtuigen. Elke locomotiefbevat twee draaistellen en vier assen. De rijtuigen naast de locomotieven hebben een onafhankelijk

38

Uitgevoerde in situ metingen en numerieke gegevens 39

draaistel. Het tweede draaistel is gedeeld met het naburige rijtuig. De zes overige rijtuigen delenhun beide draaistellen met de nabijgelegen rijtuigen. Het totaal aantal assen van de volledige treinbedraagt 26, het aantal draaistellen bijgevolg 13. Tabel 6.1 vat de karakteristieken van de Thalys HSTsamen.

Figuur 6.1: Geometrie van de Thalys hogesnelheidstrein.

Grootheid Symbool Waarde

Locomotief Buitenste rijtuig Andere rijtuigen

Aantal stellen 2 2 6

Aantal assen 4 3 2

Lengte rijtuig Lt [m] 22.15 21.84 18.70

Afstand draaistellen Lb [m] 14.00 18.70 18.70

Afstand assen Lb [m] 3.00 3.00 3.00

Totale aslast Mt [kg] 17000 17000 17000

Afgeveerde massa Ms [kg] 14937 14937 14937

Ongeveerde massa Mu [kg] 2027 2027 2027

Tabel 6.1: Geometrische eigenschappen en massakarakteristieken van de Thalys hogesnelheidstrein.

6.2.2 Karakteristieken van het spoor

De beschouwde site in Lincent is weergegeven op de figuren 6.2 en 6.3.

Het spoor op de site in Lincent is een geballast spoor. De UIC–60 rails hebben een massa pereenheidslengte ρAr = 60 kg/m en een traagheidsmoment I = 0.03038 × 10−4 m4. Het Pandrol E2039railbevestigingssysteem verbindt de rails met de voorgespannen betonnen monobloc dwarsdragers meteen lengte l = 2.50 m, een breedte b = 0.285 m, een hoogte h = 0.205 m en een massa ms = 300 kg. Deballast bestaat uit porfier met een kaliber 25/50. De laagdikte is gelijk aan 0.35 m. De tussenafstandd tussen de dwarsliggers bedraagt 0.60 m [18].

Tijdens metingen met behulp van een valgewicht in september 2002 werd de receptantie van hetspoor opgemeten [18]. De stijfheid en de demping van de ballast en de stijfheid en de dempingvan de railpads volgen uit een calibratieprocedure met behulp van een discreet spoormodel, waarbijhet verschil tussen de gemeten en de berekende receptantie geminimaliseerd wordt. Het gebruiktespoormodel is equivalent met het spoormodel op figuur 1.1b. De resultaten van deze inversie zijnweergegeven in tabel 6.2. De betekenis van de stijfheid kp en demping cp van een railpad en destijfheid kb en demping cb van de ballast is verduidelijkt op figuur 1.1b


Figuur 6.2: Plattegrond van de site in Lincent.

Grootheid Waarde Eenheden

Railpad

kp 175 [kN/mm]

cp 22 [kNs/m]

Ballast

kb 84 [kN/mm]

cb 146 [kNs/m]

Tabel 6.2: Stijfheids– en dempingskarakteristieken van een railpad en de ballast.

6.2.3 Grondkarakteristieken

Uit proeven, uitgevoerd door de NMBS bij de bouw van de hogesnelheidslijn, blijkt dat de bodembestaat uit een laag zandige klei op een zandlaag. De laagovergang is te zien in figuur 6.6, waar hetverloop van de conusweerstand weergegeven is in functie van de diepte voor een mechanische sonderinguitgevoerd met een sondeerconus M1 in meetpunt 1107 (figuur 6.2).

Ter bepaling van de dynamische karakteristieken van de ondergrond zijn op de site in Lincent volgendeproeven uitgevoerd [13]:

• 3 seismische sonderingen (SCPT);

• 2 spectrale analyses van oppervlaktegolven (SASW).

De resultaten van de SASW metingen zijn weergegeven in tabel 6.4, de resultaten van de SCPT


Figuur 6.3: Het spoor op de site in Lincent.

Figuur 6.4: Thalys HST passage op de site in Lincent.

metingen in tabel 6.3. Deze proeven laten toe een schatting te maken van de dynamische eigenschappenvan de ondergrond, in dit geval het verloop van de transversale golfsnelheid Cs in functie van de diepte.Figuur 6.5 geeft een overzicht van het verloop van de transversale golfsnelheid Cs over de diepte bijde verschillende proeven.

Uit de proeven blijkt dat de grond kan gemodelleerd worden als een gelaagde halfruimte die bestaatuit 2 lagen. De transversale golfsnelheden Cs en diktes van deze twee lagen zijn weergegeven intabel 6.5. Bij gebrek aan gegevens is voor de coefficient van Poisson ν de waarde 1/3 aangenomen.Bovendien is verondersteld dat de dichtheid ρ = 2000 kg/m3 bedraagt. De modulus van Young E ende glijdingsmodulus G volgen uit de elasticiteitstheorie, volgens de volgende formules:

G = ρ C2s

Numeriek model 42

0 100 200 300 400 500

0

1

2

3

4

5

6

7

8

Shear wave velocity [m/s]

Dep

th [m

]

SCPT1SCPT2SASW1SASW2modelled soil

Figuur 6.5: Het verloop van de transversale golfsnelheid Cs in functie van de diepte voor de SCPT enSASW proeven en voor het model van de ondergrond.

0 20 40 60 80 100

0

1

2

3

4

5

6

7

8

Cone Resistance [MPa]

Dep

th [m

]

Figuur 6.6: Conusweerstand in functie van de diepte voor de sondering in het punt 1107.

E = 2G (1 + ν)

Voor de dempingsverhouding β in de ondergrond is een waarde van 0.025 aangenomen.

6.3 Numeriek model

6.3.1 Het voertuigmodel

Elke as van de Thalys HST wordt in de berekeningen gemodelleerd als een enkelvoudige massa die inverbinding staat met de rails met een perfect contact. De assen zijn genummerd van links naar rechts(as 1 tot en met as 26). De massa ma van een as bedraagt 2027 kg. Er is geen koppeling van dezeassen in het voertuigmodel. De dynamische stijfheidsmatrix van het voertuig is gelijk aan:

Numeriek model 43

Cs

Diepte SCPT 1 SCPT 2

[m] [m/s] [m/s]

1 123.8 160.9

1.5 116.8 163.7

2 163.2 182.1

2.5 218 293.1

3 166.2 159.3

3.5 184.9 211.7

4 160.5 362.3

4.5 210.4 259.5

5 429.3 331

5.5 301.4

Tabel 6.3: Het verloop van de transversale golfsnelheden Cs in functie van de diepte voor de SCPTmetingen.

SASW 1 SASW 2

Laag d Cs d Cs

[m] [m/s] [m] [m/s]

1 0.19 108 3.02 150

2 2.53 158 0.10 280

3 0.22 176 0.56 278

4 3.33 248 ∞ 282

5 ∞ 249

Tabel 6.4: Het verloop van de transversale golfsnelheden Cs in functie van de diepte voor de SASWmetingen.

Laag d Cs ν ρ G E

[m] [m/s] [−] [kg/m3] [MPa] [MPa]

1 3 150 0.33 2000 45 119.7

2 ∞ 280 0.33 2000 157 417.0

Tabel 6.5: Model van de ondergrond.

S = Saa = −ω2maIaa (6.1)

ma = 2027 kg is de massa van een as, Iaa is een eenheidsmatrix met dimensie 26 × 26.

6.3.2 Het spoormodel

Het beschouwde spoormodel is verondersteld symmetrisch te zijn en symmetrisch belast. De spoorop-bouw is weergegeven in figuur 6.7. De systeemvergelijking van het spoormodel is als volgt te schrijven:

Numeriek model 44

2Kr + 2Kp −2Kp 0

−2Kp Ksl + 2Kp + Kb −Kb

0 −Kb Kb

ur

usl

ub

=

fr

0

0

(6.2)

Deze is van de algemene vorm:

Ktrutr = ftr

EI = 0msl

2 Aρ r

2 EIr

kpcp

y

z

kbcb

Rails

Railpads

Sleepers

Ballast

ur

usl

ub

Figuur 6.7: Symmetrisch belast symmetrisch spoormodel.

De rails zijn gemodelleerd als Eulerbalken met een buigstijfheid EIr = 6.45 × 106 Nm2 en een massaper eenheidslengte ρAr = 60 kg/m. De stijfheid Kr is gelijk aan EIrk

4y − ρArω

2. Beide rails hebbeneen enkele vrijheidsgraad ur. De rails zijn gekoppeld met de vrijheidsgraad usl van de dwarsliggersdoor middel van twee veer–demperschakelingen kp,cp die de railpads modelleren. De stijfheid Kp isgelijk aan kp + iωcp.

De stijfheid van de railpads bedraagt kp = kp/d = 292 × 106 N/m2, waarbij kp volgt uit tabel 6.2en d gelijk is aan de tussenafstand tussen de dwarsliggers. De demping is gelijk aan cp = cp/d =37 × 103 Ns/m2, waarbij cp volgt uit tabel 6.2. De dwarsliggers hebben een massa msl = 300 kg,zodat msl = msl/d = 500 kg/m. Ze zijn gemodelleerd als een balk met een verdeelde massa , zonderbuigstijfheid. De stijfheid Ksl is gelijk aan −mslω

2.

De ballast is gemodelleerd als een continue veer–demperschakeling. De waarde van de stijfheid ende demping volgen uit tabel 6.2 na deling door de tussenafstand tussen de dwarsliggers, en bedragenrespectievelijk kb = kb/d = 140× 106 N/m2 en cb = cb/d = 244× 103 Ns/m2. De stijfheid Kb is gelijkaan kb + iωcb.

De stijfheid van de grond is berekend voor een grensvlak Σ met een breedte 2.5 m, de breedte van dedwarsliggers. Hierbij valt op te merken dat er zich in de vrijheidsgraad ub geen balk bevindt. Toch isde afgeleide theorie ook geldig voor dit spoormodel, waarbij een balk in de vrijheidsgraad ub beschouwdwordt met breedte 2.5 m zonder massa of buigstijfheid om het spoormodel alsnog te koppelen aan deondergrond. Enkel de buigmode is in beschouwing genomen:

Ks =

0 0 0

0 0 0

0 0 Ksbb

Stijfheid van de ondergrond 45

6.4 Stijfheid van de ondergrond

De stijfheid van de ondergrond is berekend aan de hand van de Greense functie van de ondergrond,met behulp van de theorie besproken in paragraaf 3.5.3 en bijlage C. De stijfheid van de ondergrond isnodig in de berekening van de interactiekrachten tussen het voertuig en het spoor en bij de berekeningvan de respons in het vrije veld tengevolge van een treinpassage. De 2.5 m brede interface tussen hetspoor en de ondergrond is opgedeeld in ne = 150 randelementen met een lengte le = 0.0167 m. Delengte van de randelementen is zo gekozen dat de kleinste golflengte in de ondergrond, λmin = CR/fmax,nog kan worden voorgesteld. In ons geval is dit gelijk aan λmin = 1 m bij een maximale frequentiefmax = 150 Hz. Zodoende zijn er Ne = λmin/le ≈ 60 elementen per golflengte, wat groter is dan devereiste 6 elementen per golflengte [3].

Figuur 6.8 toont het reeel en het imaginair deel van de stijfheid Ksbb in functie van de frequentie ω en het

dimensieloze golfgetal ky. Dit dimensieloze golfgetal is gedefinieerd als ky = kyCs/ω, waarin Cs = 150m/s, de transversale golfsnelheid in de toplaag is. Het reeel deel van de stijfheid van de ondergrondvertoont twee dominanten golfvormen. Omdat de dimensieloze golfgetallen die overeenkomen met dezegolfvormen stijgen met een groter wordende frequentie, stemt dit overeen met een dalende golfsnelheid.Dit veroorzaakt dispersie van golven in de ondergrond. Het imaginaire deel van de grondstijfheid Ks

bb

stelt de energiedissipatie voor ten gevolge van materiaaldemping en stralingsdemping. Deze demping isrelatief klein voor de frequenties kleiner dan 10 Hz. Voor grote waarden van het dimensieloze golfgetalky is de demping relatief klein wegens het ontbreken van de stralingsdemping en bestaat deze vooraluit materiaaldemping in de ondergrond.

a. Re[Ksbb] b. Im[Ks

bb]

Figuur 6.8: (a) Reeel en (b) imaginair deel van de grondstijfheid Ksbb in functie van de frequentie en

het dimensieloze golfgetal ky.

6.5 Transferfuncties tussen het spoor en het vrije veld

Het spoormodel en de modellering van de ondergrond laten toe de transferfunctie tussen de vrij-heidsgraad ur en de ondergrond te bepalen in het frequentie–golfgetaldomein. Dit gebeurt door devergelijking (3.33) op te lossen. Wegens de symmetrie van het spoormodel is deze belasting equivalentmet een halve impuls op beide rails. De transferfunctie tussen de rail en een punt in het vrije veld volgtuit een integratie van de Greense functies volgens formule (5.1). De modulus van het product van detransferfunctie hzz(ur, x, ky, z = 0, ω) met de frequentie ω is weergegeven in figuur 6.9 in functie van

Transferfuncties tussen het spoor en het vrije veld 46

de frequentie en het dimensieloze golfgetal ky voor de punten x = 8 m, x = 32 m en x = 64 m.

Het reeel en imaginair deel van de transferfunctie vertoont een oscillerend verloop in functie van ω, datevenredig is met CR en omgekeerd evenredig met de afstand x. Om de transferfunctie nauwkeurig voorte stellen, moet de frequentiestap ∆ω voldoende klein zijn ten opzichte van CR/xmax, waarin xmax degrootste afstand is tot het spoor. In de berekeningen is deze frequentiestap ∆f = 0.5 Hz = ∆ω/(2π),terwijl CR/xmax gelijk is aan 2.34 Hz.

De spectrale inhoud van de respons in het vrije veld ten gevolge van een impuls op de rail volgt uit deinverse Fouriertransformatie van het golfgetal ky naar y. Het tijdsignaal en de spectrale inhoud vande verticale respons is weergegeven in figuur 6.10.

In deze resultaten zijn enkele effecten waarneembaar. Ten eerste neemt de grootte van de responsaf met de afstand tot het spoor ten gevolge van de materiaaldemping en stralingsdemping in deondergrond. Bovendien treedt er een dispersieverschijnsel op omdat de golfsnelheid daalt bij eenstijgende frequentie. De spectrale inhoud van de respons verschuift naar lagere frequenties bij grotereafstanden tot het spoor.

Tijdens proeven met een valgewicht op het spoor in Lincent zijn dezelfde effecten waargenomen. Ditis te zien in figuur 6.11. De mobiliteit is gelijk aan de verhouding van de spectrale inhoud van derespons in het vrije veld en de spectrale inhoud van de belasting.

De berekende en gemeten signalen verschillen in grootte. Een oorzaak hiervan is dat het modelvan de ondergrond verschillende aannames bevat met betrekking tot de dempingsverhouding β in deondergrond, de coefficient van Poisson ν en de dichtheid ρ. Er is een meer diepgaande studie nodigter calibratie van de modelparameters van het spoor zowel als van de ondergrond.


a. x = 8 m

b. x = 32 m

c. x = 64 m

Figuur 6.9: Modulus van het product van de transferfunctie hzz(x, ky, z = 0, ω) tussen het spoor enhet vrije veld met de frequentie ω voor (a) x = 8 m, (b) x = 32 m en (c) x = 64 m in functie van defrequentie en het dimensieloze golfgetal ky.


0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5x 10

−5

Time [s]

Vel

ocity

[m/s

]

0 50 100 1500

0.5

1

1.5

2x 10

−7

Frequency [Hz]

Vel

ocity

[m/s

/Hz]

a. vz(x = 8, t) b. vz(x = 8, ω)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2x 10

−6

Time [s]

Vel

ocity

[m/s

]

0 50 100 1500

1

2

3

4

5x 10

−8

Frequency [Hz]

Vel

ocity

[m/s

/Hz]

c. vz(x = 32, t) d. vz(x = 32, ω)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2x 10

−6

Time [s]

Vel

ocity

[m/s

]

0 50 100 1500

1

2

3

4

5x 10

−8

Frequency [Hz]

Vel

ocity

[m/s

/Hz]

e. vz(x = 64, t) f. vz(x = 64, ω)

Figuur 6.10: Berekend tijdsignaal (links) en spectrale inhoud (rechts) van de verticale respons in hetvrije veld op x = 8 m, x = 32 m en x = 64 m voor een impuls op de rail.


0 1 2−1

−0.5

0

0.5

1x 10

−3

Time [s]

Vel

ocity

[m/s

]

0 50 100 1500

0.5

1

1.5

2x 10

−7

Mob

ility

[m/N

s]

Frequency [Hz]

a. vz(x = 8, t) b. Mz(x = 8, ω)

0 1 2−1

−0.5

0

0.5

1x 10

−4

Time [s]

Vel

ocity

[m/s

]

0 50 100 1500

0.5

1

1.5

2x 10

−8

Frequency [Hz]

Mob

ility

[m/N

s]

c. vz(x = 32, t) d. Mz(x = 32, ω)

0 0.5 1 1.5 2−1

0

1x 10

−4

Time [s]

Vel

ocity

[m/s

]

0 50 100 1500

1

2

3

4

5x 10

−8

Frequency [Hz]

Mob

ility

[m/N

s]

e. vz(x = 64, t) f. Mz(x = 64, ω)

Figuur 6.11: Tijdsignaal (links) en gemiddelde mobiliteit Mz(ω) (rechts) van de verticale respons inhet vrije veld op x = 8 m, x = 32 m en x = 64 m van de rail, opgemeten tijdens proeven met eenvalgewicht.

Berekening van de interactiekrachten tussen het voertuig en het spoor 50

6.6 Berekening van de interactiekrachten tussen het voertuig en hetspoor

6.6.1 Transferfunctie van het spoor

Figuur 6.12 geeft het verloop weer van de transferfunctie hzz(ky, ω) in het frequentie–golfgetaldomeinvan de vrijheidsgraad ur van de rails ten gevolge van een impulsbelasting op deze vrijheidsgraad. Voorhet golfgetal ky = 0 rad/m stemt deze respons overeen met het 2D geval van een lijnbelasting op devrijheidsgraad ur van de rails. Er zijn twee pieken op te merken die deze respons domineren. De eerstepiek bij een frequentie van ongeveer 50 Hz stemt overeen met de resonantiefrequentie van het spoor(rail en dwarsliggers) als geheel op de continue veer–demperschakeling die de ballast modelleert en deondergrond. Boven deze frequentie speelt de inertie van de dwarsliggers een toenemende rol, omdatKsl = −mslω

2. Deze inertieterm fungeert als een filter, zodat de dynamica van het spoor bij groterefrequenties onafhankelijk wordt van de gebruikte modellering van de ondergrond.

Figuur 6.12: Reeel deel van het product van de respons hzz(ky, ω) van de vrijheidsgraad ur, ten gevolgevan een impulsbelasting op deze vrijheidsgraad, vermenigvuldigd met de frequentie ω, in functie vande frequentie en het golfgetal ky.

Bij een golfgetal ky = 0 en een frequentie van 350 Hz is een piek op te merken in de transferfunctie.Deze is het gevolg van de karakteristiek van golven in de rail. Het verband tussen het golfgetal ky ende frequentie ω van vrije golven in het gekoppeld systeem van de rail en de railpads is als volgt teschrijven:

ky =4

√

kp − ρArω2

EIr(6.3)

Voor het golfgetal ky = 0 rad/m stemt deze karakteristiek overeen met de resonantiefrequentie fres =1/(2π)(kp/ρAr)

1/2 = 351 Hz van de rail op de continue rij veren kp. Slechts voor frequenties groterdan deze resonantiefrequentie is er golfvoortplanting mogelijk in de rail.

Vanwege de grote waarde van de buigstijfheid EIr van de rail is de respons verwaarloosbaar voor grotegolfgetallen ky. Hierdoor kan de integraal (3.8) bij de berekening van de flexibiliteit van het spoorafgebroken worden bij een bepaald golfgetal kmax

y . Bij de berekening van de flexibiliteit in de volgendesectie is de integraal berekend tot kmax

y = 15 rad/m.


6.6.2 Flexibiliteitsmatrix van het spoor

De flexibiliteitsmatrix van het spoor, gedefinieerd in formule (3.8), volgt uit de integratie van detransferfunctie hzz(ky, ω) uit de vorige paragraaf. Het resultaat is een matrix met dimensie 26 × 26.De flexibiliteitsmatrix is berekend voor een snelheid van v = 83.33 m/s, wat overeenkomt met deoperationele snelheid van een Thalys HST (300 km/u).

Figuur 6.13 geeft de absolute waarde van de elementen Htr1l (ω), l = 1 . . . 26 van de eerste rij van de

flexibiliteitsmatrix Htr(ω) van het spoor weer. De bovenste curve in de figuur correspondeert met hetdiagonaalelement Htr

11(ω). Het verloop in het frequentiegebied van 0 tot 50 Hz wordt bepaald door dekarakteristieken van de ondergrond en de ballast. De stijfheid van de railpads heeft in het beschouwdefrequentiegebied (0 – 150 Hz) geen invloed op het verloop van de flexibiliteit. De railpads spelen paseen rol bij een frequentie vanaf 300 Hz. Bij de modellering van het spoor zouden de railpads kunnengemodelleerd worden als een starre verbinding. Bij de interpretatie van figuur 6.13 valt op te merkendat het spoormodel in dit hoofdstuk een volledig spoor met twee rails modelleert. De flexibiliteit vaneen equivalent spoormodel dat het halve spoor zou modelleren, bedraagt het dubbele van de in dithoofdstuk berekende flexibliteit.

0 50 100 1500

1

2

3

4

5

6

7

8

x 10−9

Frequency [Hz]

Tra

ck c

ompl

ianc

e [m

/N/H

z]

H11tr

H12tr

Figuur 6.13: De elementen Htr1l (ω), l = 1 . . . 26 van de flexibiliteitsmatrix Htr(ω) van het spoor in

functie van de frequentie, berekend voor een snelheid v = 83.33 m/s.

Verder zijn in figuur 6.13 de niet-diagonaalelementen Htr1l (ω), l = 2 . . . 26 weergegeven. Enkel de

koppeling Htr12(ω) tussen het eerste en het tweede contactpunt is significant. De koppeling is relatief

belangrijker voor grotere frequenties.

6.6.3 Langsoneffenheden van het spoor

Door de NMBS is de geometrie van het spoor opgemeten met behulp van het meetvoertuig EM130 [30].De meettrein meet op een tussenafstand van 0.25 m de waarde van de langsoneffenheden ul

w/r(y) en

urw/r(y) van respectievelijk de linkse en de rechtse rail. Deze oneffenheden zijn weergegeven in figuur

6.14. Voor de berekening van de interactiekrachten is gebruik gemaakt van de gemiddelde waardeuw/r = 0.5(ul

w/r(y) + urw/r(y)) van de oneffenheid van de linkse en de rechtse rail.

Figuur 6.15 geeft het verloop van de spectrale dichtheden Sulw/r

(ky) en Surw/r

(ky) van de langsoneffen-

heden voor de rechtse en linkse rail. Voor de spectrale dichtheid van de oneffenheden van de rails zijn


0 500 1000 1500 2000−5

0

5x 10

−3

Distance [m]

Une

venn

ess

[m]

0 500 1000 1500 2000−5

0

5x 10

−3

Distance [m]

Une

venn

ess

[m]

a. ulw/r(y) b. ur

w/r(y)

Figuur 6.14: Langsoneffenheden (a) van de linkse en (b) rechtse rail.

10−3

10−2

10−1

100

101

10−9

10−8

10−7

10−6

10−5

10−4

10−3

Wavenumber [rad/m]

PS

D [m

3 ]

10−3

10−2

10−1

100

101

10−9

10−8

10−7

10−6

10−5

10−4

Wavenumber [rad/m]

PS

D [m

3 ]

a. Sulw/r

(ky) b. Surw/r

(ky)

Figuur 6.15: Spectrale dichtheden van de langsoneffenheden van de (a) linkse en (b) rechtse rail infunctie van het golfgetal ky.

verschillende modellen voorgesteld. Braun en Hellenbroich [4] stellen volgend verloop van de spectraledichtheid voor:

Suw/r(ky) = Suw/r

(ky0)

(

ky

ky0

)−w

(6.4)

Hierin is ky0 = 1 rad/m. De formule geeft een lineair verloop van de spectrale dichtheid Suw/r(ky)

in een logaritmisch diagram. De parameters w en Suw/r(ky0) bepalen respectievelijk de helling en de

waarde bij ky = ky0 van deze rechte in het logaritmisch diagram.

De formule laat een classificatie van de langsoneffenheden van de rail toe. Een regressieanalyse voorde spectrale dichtheden van beide rails ter bepaling van de waarde van Suw/r

(ky0) voor w = 2, geeft

Sulw/r

(ky0) = 0.009 cm3 en Surw/r

(ky0) = 0.005 cm3 voor respectievelijk de linkse en de rechtse rail.

Berekening van de respons in het vrije veld ten gevolge van de Thalys HST passage 53

Hiermee zijn beide langsoneffenheden te classificeren als oneffenheidsprofielen van de klasse A. Dit isde beste klasse die overeenkomt met zeer vlakke rails met waarden voor Suw/r

(ky0) tussen 0 en 2 cm3.

Figuur 6.16 toont het verloop van de coherentie γ2lr(ky) tussen de langsoneffenheden van de linkse en

rechtse rail in functie van het golfgetal ky. Typisch is de coherentie tussen beide langsoneffenhedenslechts significant voor golflengtes groter dan 6 m [14]. Dit komt overeen met een golfgetal van ongeveerky = 1 rad/m. Voor kleine golflengtes, en dus voor grote golfgetallen, is er geen correlatie tussen beidelangsoneffenheden van de rail.

10−2

10−1

100

101

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Wavenumber [rad/m]

Coh

eren

ce [−

]

Figuur 6.16: Coherentie γ2lr(ky) van de oneffenheden van de linkse en rechtse rail in functie van het

golfgetal ky.

In principe streeft de coherentie γ2lr(ky) tussen beide langsoneffenheden voor kleine golfgetallen naar

1. Dit is bij de gemeten waarden niet het geval, wat te wijten is aan de beperkingen van de meettrein,die een beperkte meetbasis heeft [30].

Over de oneffenheden van de wielen van de Thalys HST is geen informatie beschikbaar, maar dezeworden in de berekeningen verwaarloosd. Een analoge analyse van deze oneffenheden zou de totaleoneffenheid uw/r(ky) opleveren.

6.6.4 Interactiekrachten tussen de Thalys HST en het spoor

De kennis van de langsoneffenheden uw/r(ky) en de flexibiliteitsmatrices Hv(ω) en Htr(ω) van hetvoertuig en van het spoor, laat toe de interactiekrachten g(ω) te bepalen met behulp van formule(4.1). De spectrale inhoud van de interactiekrachten van de verschillende assen verschillen van elkaaromdat de onderlinge koppeling van de assen in rekening is gebracht. Figuur 6.17 geeft het verloopweer van de interactiekracht g1(ω) op de eerste as van het voertuig in functie van de frequentie ω.Voor kleine frequenties zijn de interactiekrachten klein omdat de flexibiliteit van het voertuig daarzeer groot is.

6.7 Berekening van de respons in het vrije veld ten gevolge van deThalys HST passage

Vergelijking (5.2) laat toe de spectrale inhoud van de trillingen in het vrije veld te bepalen ten gevolgevan de Thalys HST passage. De trillingen in het vrije veld zijn berekend voor een treinsnelheid van


0 50 100 1500

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

Frequency [Hz]F

orce

[N/H

z]

Figuur 6.17: Interactiekrachten g1(ω) op de eerste as van het voertuig in functie van de frequentie.

300 km/h. De spectrale inhoud en het tijdsignaal in de punten x = 8 m, x = 32 m en x = 64 m zijnweergegeven in figuur 6.18.

Een vergelijking van de drie tijdssignalen leert dat de golfvoortplanting in de ondergrond de signalenvertraagt en dempt. Voor het punt op x = 64 m is het signaal merkbaar langer. Dit is niet alleen hetgevolg van de dispersie van golven in de ondergrond, maar vooral van het feit dat de transferfunctietussen het spoor en het vrije veld gelijkmatiger gespreid is over de coordinaat y voor een grote afstandtot het spoor.

Figuur 6.19 toont het verloop de spectrale inhoud en het tijdsignaal van de gemeten respons tengevolge van de Thalys HST treinpassage tijdens de homologatieritten [19]. De snelheid van de treinbedroeg v = 294 km/h.

De berekende en gemeten signalen verschillen in grootte. Het model van de ondergrond bevat ver-schillende aannames met betrekking tot de dempingsverhouding β, de coefficient van Poisson ν ende dichtheid ρ. Verder is de berekende respons bij lage frequenties niet in overeenstemming met degemeten respons. In dit frequentiegebied is de quasi–statische respons relatief belangrijk.


2 4 6 8 10 12−5

0

5x 10

−3

Time [s]

Vel

ocity

[m/s

]

0 50 100 1500

1

2

3

4

5x 10

−4

Frequency [Hz]

Vel

ocity

[m/s

/Hz]

a. vz(x = 8, t) b. vz(x = 8, ω)

2 4 6 8 10 12−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2x 10

−3

Time [s]

Vel

ocity

[m/s

]

0 50 100 1500

1

2x 10

−4

Frequency [Hz]

Vel

ocity

[m/s

/Hz]

c. vz(x = 32, t) d. vz(x = 32, ω)

2 4 6 8 10 12−5

0

5x 10

−4

Time [s]

Vel

ocity

[m/s

]

0 50 100 1500

1

2x 10

−4

Frequency [Hz]

Vel

ocity

[m/s

/Hz]

e. vz(x = 64, t) f. vz(x = 64, ω)

Figuur 6.18: Berekend tijdsignaal (links) en berekende frequentie–inhoud (rechts) van de verticalerespons in het vrije veld op x = 8 m, x = 32 m en x = 64 m voor een passage van de Thalys HST bijeen snelheid v = 300 km/h.


2 4 6 8 10 12−3

−2

−1

0

1

2

3x 10

−3

Time [s]

Vel

ocity

[m/s

]

0 50 100 1500

1

2

3

4

5x 10

−4

Frequency [Hz]

Vel

ocity

[m/s

/Hz]

a. vz(x = 8, t) b. vz(x = 8, ω)

2 4 6 8 10 12−2

−1

0

1

2x 10

−4

Time [s]

Vel

ocity

[m/s

]

0 50 100 1500

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4x 10

−5

Frequency [Hz]

Vel

ocity

[m/s

/Hz]

c. vz(x = 32, t) d. vz(x = 32, ω)

2 4 6 8 10 12−2

−1

0

1

2x 10

−4

Time [s]

Vel

ocity

[m/s

]

0 50 100 1500

1

2

3

4

5x 10

−5

Frequency [Hz]

Vel

ocity

[m/s

/Hz]

e. vz(x = 64, t) f. vz(x = 64, ω)

Figuur 6.19: Gemeten tijdsignaal (links) en frequentie–inhoud (rechts) van de verticale respons in hetvrije veld op x = 8 m, x = 32 m en x = 64 m voor een passage van de Thalys HST bij een snelheidv = 294 km/h.

Hoofdstuk 7

Besluiten en aanbevelingen voor verderonderzoek

7.1 Conclusies

In deze thesis is een model voorgesteld voor de voorspelling van trillingen ten gevolge van treinverkeerin het vrije veld. Het model maakt gebruik van de benadering van de longitudinale invariantie om eenwiskundige beschrijving te geven van de dynamica van het gekoppeld systeem voertuig–spoor.

Het lineair elastisch voertuigmodel en het lineair elastisch longitudinaal invariant spoormodel zijngekoppeld door middel van een flexibiliteitsformulering. De eerste stap van de berekening, die leidttot de kennis van de interactiekrachten tussen het voertuig en het spoor, behelst de bepaling vande flexibiliteiten van zowel het voertuig als het spoor. De interactiekrachten zijn het gevolg van deoneffenheden van de rails en de wielen van het voertuig. De koppeling van de voertuigassen, zoweldoor het voertuig als door het spoor, is in rekening gebracht.

Bij de bepaling van flexibiliteit van het voertuig speelt enkel de massa van de voertuigassen eenbelangrijke rol in het beschouwde frequentiegebied. Uit de analyse blijkt dat de Hertzveer zonderdemping een te grote vereenvoudiging is van de werkelijkheid. In de berekeningen van dit eindwerk isgekozen voor het perfect contact.

Bij de bepaling van de flexibiliteitsmatrix van het spoor is de stijfheid van de ondergrond belangrijkbij lage frequenties. De ondergrond, gemodelleerd als een horizontaal gelaagde halfruimte, is gekop-peld met het spoormodel met behulp van een randelementenmethode. Deze randelementenmethodemaakt gebruik van de Greense functies van de horizontaal gelaagde halfruimte. Uiteindelijk leidt deformulering tot de stijfheid van de ondergrond en de transferfuncties tussen het spoor en het vrije veld.Tenslotte geeft het dynamisch reciprociteitstheorema van Betti–Rayleigh de mogelijkheid de trillingenin het vrije veld te berekenen aan de hand van deze transferfuncties tussen het spoor en het vrije veld.

Een numeriek voorbeeld toont aan dat het model bruikbaar is voor de berekening van trillingen in hetvrije veld. De berekende waarden stemmen echter nog niet overeen met de gemeten waarden.

Een variatie van verschillende modelparameters, zoals de treinsnelheid, de spoorkarakteristieken en deeigenschappen van de ondergrond kan leiden tot een verdergaande besluitvorming.

57

Aanbevelingen voor verder onderzoek 58

7.2 Aanbevelingen voor verder onderzoek

Het vooropgestelde model kan in enkele opzichten nog verder op punt gesteld worden. Ten eerste isde implementatie van de theorie in MATLAB slechts gebeurd voor symmetrisch belaste symmetrischespoormodellen. De uitbreiding naar niet–symmetrisch belaste spoormodellen ligt voor de hand. Be-langrijker is echter de experimentele validatie van het model. Hierbij kan gebruik gemaakt wordenvan de besproken metingen. De inversieprocedure ter bepaling van de modelparameters van zowel hetspoor als de ondergrond is voor verbetering vatbaar. De quasi–statische respons [7] is belangrijk alsde treinsnelheid van dezelfde grootte–orde is als de kritische fasesnelheid van het gekoppeld systeemspoor–grond. Deze respons is superponeerbaar op de met het vooropgestelde model berekende respons.

Naast het besproken longitudinaal invariant spoormodel, is het ook mogelijk een theorie af te leidenvoor periodiek lineair elastische media met behulp van de Floquettransformatie. Een dergelijk modelbeschrijft beter de interactie tussen de dwarsliggers en de ondergrond en de koppeling van de dwarslig-gers door de ondergrond. Er kan echter gesteld worden dat het vooropgestelde longitudinaal invariantspoormodel de interactiekrachten tussen het spoor en het voertuig reeds voldoende nauwkeurig voor-spelt.

De uiteindelijke bedoeling van het spoormodel is de voorspelling van de respons in gebouwen in denabijheid van het spoor. Het besproken model fungeert dan als bronmodel. Het invallend golfveldwordt vervolgens aangelegd aan een model van het gebouw. Deze ontkoppeling van bron en ontvangeris toepasbaar als de afstand tussen beide veel groter is dan de dominante golflengte in de ondergrond.

Dit bron–ontvangermodel kent vele nuttige toepassingen. Zo kunnen de trillingsniveaus in de gebouwenbepaald worden. Ook de invloed van verschillende modelparameters kan nagegaan worden, zoalsbijvoorbeeld de efficientie van trillingsisolatie. Voor specifieke gebouwen zoals concertgebouwen offabrieken waar nood is aan trillingsvrije werkvloeren is dit model toepasbaar in de ontwerpfase. Hetmodel verschaft inzicht in de trillingsniveau’s, zodat de bestaande normen over trillingshinder enschade ten gevolge van trillingen aangepast en gedifferentieerd kunnen worden.

Literatuuropgave

[1] Deutsche Bahn AG. Betriebserprobung Feste Fahrbahn. Technical report, Deutsche Bahn, 1996.

[2] D. Aubry, D. Clouteau, and G. Bonnet. Modelling of wave propagation due to fixed or mobiledynamic sources. in N. Chouw and G. Schmid, editors, Workshop wave ’94, wave propagation

and reduction of vibrations, pages 109–121, december 1994.

[3] D.E. Beskos. Mechanics and Mathematical Methods. First series: computational methods in

mechanics. Volume 3: Boundary element Methods in Mechanics. Elsevier Science Publishers,Amsterdam, The Netherlands, 1987.

[4] H. Braun and T. Hellenbroich. Messergebnisse von Strassenbahnunebenheiten. VDI Berichte,887: 47–80, 1991.

[5] D. Clouteau. Miss revision 2.1, notice utilisateur. Technical report, Laboratoire de Mecaniquedes sols, structures et materiaux, Ecole de Paris, 1993.

[6] P.J. Davis and P. Rabinowitz. Methods of numerical integration. Computer Science and AppliedMathematics. Academic press, 2 edition.

[7] G. Degrande and G. Lombaert. An efficient formulation of Krylov’s prediction model for traininduced vibrations based on the dynamic reciprocity theorem. Journal of the Acoustical society

of America, 110(3):1379–1390, 2001.

[8] J. Dinkel. Ein semi-analytisches Modell zur dynamische Berechnung des gekoppelten Systems

Fahrzeug-Fahrweg-Untergrund fur das Oberbausystem Feste Fahrbahn. PhD thesis, TechnischeUniversitat Munchen, Munchen, Germany, 2000.

[9] A.C. Eringen and E.S. Suhubi. Elastodynamics, Volume 2, Linear theory. Academic press, NewYork, USA, 1975.

[10] C. Esveld. Modern railway track. MRT-Productions, Zaltbommel, 2001.

[11] N. Frazer and J. Gettrust. On a generalisation of Filon’s method and the computation of theoscillatory integrals of seismology. Geophysical Journal of the astronomical society, (76):461–481,1976.

[12] M. Guiggiani and P. Casalini. Direct computation of cauchy principal value integrals in advancedboundary elements. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 1987.

[13] W. Haegeman. In situ test Retie–Waremme–Lincent. Technical report, Report RUG IV.1.16.3,Soil Mechanics Laboratory, Department of Civil engineering, Ghent University. STWW Program-me Technology and Economy, Project IWT–000152, september 2001.

[14] A. Hamid and T.L. Yang. Analytical decriptions of track–geometry variations. Transportation

Research Record, (838): 19–26, 1981.

59

LITERATUUROPGAVE 60

[15] K. Knothe and S.L. Grassie. Modelling of railway track and vehicle/track interaction at highfrequencies. Vehicle System Dynamics, 22: 209–262, 1993.

[16] K. Knothe and Y. Wu. Receptance behaviour of railway track and subgrade. Archive of Applied

Mechanics, 68: 457–470, 1998.

[17] K. Knothe and M. Yu. Ansatze zur Modellbildung der Festen Fahrbahn und Unterschiede zur

Modellbildung des Schotteroberbaues. Feste Fahrbahn – Mechanische Modellierung. Betriebser-fahrung und Akustik - Symposium 04/05, november 1999. Technische Universitat Berlin.

[18] J. Kogut and G. Degrande. Transfer functions between the HST track and the free field onthe line L2 Brussels-Koln in Lincent. Report BWM-2003-03, Department of Civil engineering,Katholieke Universiteit Leuven, January 2003. STWW Programme Technology and Economy,Project IWT-000152.

[19] J. Kogut, G. Degrande, W. Haegeman, and L. Karl. In situ vibration measurements on thehigh speed track L2 Brussels-Koln. In IABSE Symposium Structures for High-Speed Railway

Transportation, Antwerp, Belgium, August 2003. Accepted for publication.

[20] V.V. Krylov. Vibrational impact of high-speed trains. I. Effect of track dynamics. Journal of the

Acoustical society of America, 100(5):3121–3134, 1996.

[21] V.V. Krylov. Vibrational impact of high-speed trains. I. Effect of track dynamics. Journal of the

Acoustical society of America, 101(6):3810, 1997. Erratum.

[22] G. Lombaert. Development and experimental validation of a numerical model for the free field

vibrations induced by road traffic. PhD thesis, Department of Civil engineering, Katholieke Uni-versiteit Leuven, 2001.

[23] G. Lombaert. Traffic, A Matlab toolbox for the prediction of free field traffic induced vibrations,Users’ manual. Technical report, Department of Civil engineering, Katholieke Universiteit Leuven,2001.

[24] G. Lombaert, G. Degrande, and D. Clouteau. Numerical modelling of free field traffic inducedvibrations. 19(7):473–488, 2000.

[25] G.D. Manolis and D.E. Beskos. Boundary element methods in Elastodynamics. Unwin HymanLtd, London, UK, 1988.

[26] B. Ripke. Hochfrequente Gleismodellierung und Simulation der Fahrzeug–Gleisdynamik unter

Verwendung einer nichtlineairen Kontaktmechanik. PhD thesis, Technische Universitat Berlin,Germany, 1995.

[27] X. Sheng. Ground vibrations. PhD thesis, University of Southampton, Department of Engineeringand Applied Science, 2001.

[28] P. Van den Broeck. A prediction model for ground–borne vibrations due to railway traffic. PhDthesis, Department of Civil engineering, Katholieke Universiteit Leuven, 2001.

[29] P. Van den Broeck and G. De Roeck. The vertical receptance of track including soil-structureinteraction. In L. Fryba and J. Naprstek, editors, Proceedings of the 4th European Conference

on Structural Dynamics: Eurodyn ’99, pages 837–842, Prague, Czech Republic, June 1999. A.A.Balkema, Rotterdam.

[30] R. Van Leeuwen. Meetautorail EM130 documentatie. Technical report, NMBS, 2003.

Bijlage A

Integraaltransformaties

A.1 Fouriertransformatie van de tijd

De Fouriertransformatie van het tijds– naar het frequentiedomein is in dit werk als volgt gedefinieerd:

f(ω) = F [f(t); ω] =

∫ ∞

−∞exp(−iωt)f(t)dt (A.1)

f(t) = F−1[f(ω); t] =1

2π

∫ ∞

−∞exp(+iωt)f(ω)dω (A.2)

A.2 Fouriertransformatie van de horizontale coordinaat

In een cartesiaans assenstelsel transformeert de Fouriertransformatie de coordinaten x en y naar degolfgetallen kx en ky:

f(kx) = F [f(x); kx] =

∫ ∞

−∞exp(+ikxx)f(x)dx (A.3)

f(x) = F−1[f(kx); x] =1

2π

∫ ∞

−∞exp(−ikxx)f(kx)dkx (A.4)

De transformaties tussen de coordinaat y en het golfgetal ky zijn analoog gedefinieerd.

61

Bijlage B

Implementatie van de Filon methodevoor de berekening van integralen meteen oscillerende integrand

B.1 Probleemstelling

De klassieke numerieke integratieformules zijn voldoende stabiel voor de berekening van de meesteintegralen. Voor sterk oscillerende integranden echter, zijn meer gesofistikeerde methodes nodig. DeFilon methode berekent integralen van de vorm

∫

f(x)K(x, s)dx. Deze kernel K(x, s) is een oscilleren-de functie in analytische vorm [11]. De uitwerking is gegeven voor K(x, s) = sin(sx), K(x, s) = cos(sx)en K(x, s) = exp(sx).

Indien de functie f(x) benaderd is door een veelterm van graad k, wordt het probleem herleid tot eencombinatie van integralen van de vorm

∫

xkK(x, s)dx. Deze integralen zijn analytisch uit te rekenen(k = 0 . . . 2):

exp

∫

esxdx =esx

s(B.1)

∫

x esxdx =sxesx − esx

s2(B.2)

∫

x2 esxdx =s2x2esx − 2sxesx + 2esx

s3(B.3)

sinus

∫

sin(sx)dx = −cos sx

s(B.4)

∫

x sin(sx)dx =−sx cos(sx) + sin(sx)

s2(B.5)

62

Lineaire methode 63

∫

x2 sin(sx)dx =−s2x2 cos(sx) + 2sx sin(sx) + 2 cos(sx)

s3(B.6)

cosinus

∫

cos(sx)dx =sin sx

s(B.7)

∫

x cos(sx)dx =sx sin(sx) + cos(sx)

s2(B.8)

∫

x2 cos(sx)dx =s2x2 sin(sx) + 2sx cos(sx) − 2 sin(sx)

s3(B.9)

De verdere uitwerking van de methode is gegeven voor een veeltermbenadering van graad 1 (lineairemethode) en 2 (kwadratische methode).

B.2 Lineaire methode

Beschouw N + 1 bemonsteringen fk = f(xk), k = 1 . . . N + 1 van de functie f(x). In elk interval[xk, xk+1], k = 1 . . . N geldt volgende lineaire benadering:

f(x) ≈ ak + bkx (B.10)

waarin

ak = fk − bkxk (B.11)

bk =fk+1 − fk

xk+1 − xk(B.12)

Zodat in het beschouwde interval

∫ xk+1

xk

f(x)K(x, s)dx ≈ ak(con(xk+1) − con(xk)) + bk(lin(xk+1) − lin(xk)) (B.13)

Waarin de functies con(x) en lin(x) volgen uit de formules (B.1) tot (B.9).

con(x) =

∫

K(x, s)dx en lin(x) =

∫

xK(x, s)dx (B.14)

De integraal over alle intervallen is dan te schrijven als:

∫ xN+1

x1

f(x)K(x, s)dx ≈N

∑

k=1

(ak(con(xk+1) − con(xk)) + bk(lin(xk+1) − lin(xk))) (B.15)

Uit een eenvoudige herschikking van de termen in de sommatie uit het rechterlid volgt:

Uitgemiddelde kwadratische methode 64

x

x1 x2 xN+1

f1 f2

fN+1

f x K x s( ) ( , )

f x( )

Figuur B.1: Filon methode.

∫ xN+1

x1

f(x)K(x, s)dx

≈[

−a1 (a1 − a2) . . . (aN−1 − aN ) aN

]

con(x1)

con(x2)...

con(xN )

con(xN+1)

+[

−b1 (b1 − b2) . . . (bN−1 − bN ) bN

]

lin(x1)

lin(x2)...

lin(xN )

lin(xN+1)

(B.16)

Deze formule laat een eenvoudige en efficiente implementatie van de lineaire Filonmethode toe.

B.3 Uitgemiddelde kwadratische methode

Beschouw N + 1 bemonsteringen f(xk), k = 1 . . . N + 1 van de functie f(x). In twee opeenvolgendeintervallen [xk, xk+1] en [xk+1, xk+2], k = 1 . . . N − 1 geldt volgende kwadratische benadering voor defunctie f(x):

f(x) ≈ ak + bkx + ckx2 (B.17)

waarin

Uitgemiddelde kwadratische methode 65

ak = fk − bkxk − ckx2k (B.18)

bk =fk+1 − fk − ck(x

2k+1

− x2k)

xk+1 − xk(B.19)

ck =(xk+1 − xk)(fk+2 − fk) − (xk+2 − xk)(fk+1 − fk)

(xk+1 − xk)(x2k+2

− x2k) − (xk+2 − xk)(x

2k+1

− x2k)

(B.20)

zodat in het eerste van de twee opeenvolgende intervallen:

∫ xk+1

xk

f(x)K(x, s)dx ≈ ak(con(xk+1) − con(xk)) + bk(lin(xk+1) − lin(xk))

+ck(kwad(xk+1) − kwad(xk)) (B.21)

En analoog in het tweede interval:

∫ xk+2

xk+1

f(x)K(x, s)dx ≈ ak(con(xk+2) − con(xk+1)) + bk(lin(xk+2) − lin(xk+1))

+ck(kwad(xk+2) − kwad(xk+1)) (B.22)

Waarin de functies con(x), lin(x) en kwad(x) zijn uit te rekenen met behulp van de formules (B.1) tot(B.9).

In elk interval, behalve het eerste en het laatste, zijn er twee benaderingen voor de integraal. Dezebenaderingen worden uitgemiddeld. Uiteindelijk geeft een herschikking van termen:

∫ xN+1

x1

f(x)K(x, s)dx

≈[

−a11

2(a1 − a2) . . . 1

2(aN−1 − aN ) aN

]

con(x1)

con(x2)...

con(xN )

con(xN+1)

+[

−b11

2(b1 − b2) . . . 1

2(bN−1 − bN ) bN

]

lin(x1)

lin(x2)...

lin(xN )

lin(xN+1)

+[

−c11

2(c1 − c2) . . . 1

2(cN−1 − cN ) cN

]

kwad(x1)

kwad(x2)...

kwad(xN )

kwad(xN+1)

(B.23)

Deze formule laat een eenvoudige en efficiente implementatie van de uitgemiddelde kwadratische Fi-lonmethode toe.

Bijlage C

Berekening van de modalegrondspanningen

C.1 Inleiding

De berekening van de grondstijfheid Ks in formule (3.32) vergt de kennis van de modale grondspannin-gen tsz(φsn)(x, ky, z = 0, ω). Deze ongekende grondspanningen kunnen geschreven worden in functievan de gekende Greense functies van de ondergrond. De uitwerking is overgenomen uit het werk vanLombaert [22].

C.2 Grondspanningen voor de spoor–grond interface modes

Figuur C.1: Het volume VR met het grensvlak Σrs tussen het spoor en de grond, het vrije oppervlakΓσ en het grensvlak ΓR in het inwendige van de halfruimte.

Beschouw een volume VR in de vorm van een oneindig lange halve cylinder met een eindige straal R(figuur C.1). De rand SR van de cylinder is opgedeeld in het grensvlak Γo aan het grondoppervlak

66

Grondspanningen voor de spoor–grond interface modes 67

en een grensvlak ΓR inwendig aan de halfruimte. Het grensvlak Γo bevat de interface Σrs tussen hetspoor en de grond en het vrije oppervlak Γσ van de halfruimte.

Uit het dynamisch reciprociteitstheorema kan de volgende uitdrukking gevonden worden voor de ver-plaatsingen usi(ξ, ω) in de richting ei in een arbitrair punt ξ van het volume VR voor het geval dat destraal R oneindig groot wordt.

usi(ξ, ω) =

∫

Σrs

tsj(x, ω)uGij(ξ,x, ω) dS −

∫

Σrs

tGij(ξ,x, ω)usj(x, ω) dS

+ limR→∞

∫

Γσ

tsj(x, ω)uGij(ξ,x, ω) dS

− limR→∞

∫

Γσ


+ limR→∞

∫

ΓR

tsj(x, ω)uGij(ξ,x, ω) dS

− limR→∞

∫

ΓR

tGij(ξ,x, ω)usj(x, ω) dS (C.1)

Aan het vrije oppervlak van de grond zijn de spanningen onbestaand en verdwijnen de integralen overhet oppervlak Γσ.

De integralen over het grensvlak ΓR verdwijnen vanwege de stralingscondities in de ondergrond [9].Vergelijking (C.1) wordt dan:

usi(ξ, ω) =

∫

Σrs

tsj(x, ω)uGij(ξ,x, ω) dS −

∫

Σrs


(C.2)

Deze vergelijking is ook geldig voor het geval van een ingebedde fundering. In deze studie echter,wordt de spoor–grond interface verondersteld zich te bevinden aan het vrije oppervlak z = 0 vande halfruimte, waar de Greense functie tGij(ξ,x, ω) gelijk is aan nul. Dit impliceert dat de tweedeintegraal gelijk is aan nul. In het volgende worden de drie coordinaten van de punten ξ en x explicietvoorgesteld.

usi(ξx, ξy, ξz, ω) =

∫

Σrs

tsj(x, y, 0, ω)uGij(ξx, ξy, ξz, x, y, 0, ω) dS (C.3)

Deze vergelijking toont aan dat, in het geval van een fundering aan de oppervlakte van het grondmas-sief, enkel de Greense verplaatsingstensor nodig is voor de formulering van de randintegraalformulering.

Voor een punt ξ in de interface tussen het spoor en het grondmassief, is de coordinaat ξz gelijk aan nul.Gezien de grond invariant is in de horizontale richting, hangen de Greense functies enkel af van hetverschil in horizontale coordinaten van de bron en de ontvanger. Daarom kan verondersteld wordendat de bron zich in de oorsprong {0, 0, 0}T van het cartesiaans assenstelsel bevindt.

usi(ξx, ξy, 0, ω) =

∫

Σrs

tsj(x, y, 0, ω)uGij(x − ξx, y − ξy, 0, ω) dS (C.4)


De oppervlakteintegraal over Σrs in vergelijking (C.4) kan herschreven worden als volgende dubbeleintegraal over de horizontale coordinaten:


∫

+B

−B

∫

+∞

−∞tsj(x, y, 0, ω)uG

ij(x − ξx, y − ξy, 0, ω) dy dx (C.5)

Hierin is 2B de breedte van de spoor–grond interface.

Omdat de spoor–grond interface invariant is in de y-richting, kan de horizontale coordinaat ξy in delongitudinale richting van het spoor getransformeerd worden naar het golfgetal ky:

usi(ξx, ky, 0, ω) =∫

+∞

−∞

∫

+B

−B

∫

+∞

−∞tsj(x, y, 0, ω)uG

ij(x − ξx, y − ξy, 0, ω) dy dx exp (+ikyξy) dξy (C.6)

Als exp (+ikyξy) vervangen wordt door exp [+iky(ξy − y)] exp (+ikyy) en indien de integratievolgordeomwisselt, wordt dit:

usi(ξx, ky, 0, ω) =

∫

+B

−B

∫

+∞

−∞tsj(x, y, 0, ω) exp (+ikyy)

[∫

+∞

−∞uG

ij(x − ξx, y − ξy, 0, ω) exp [+iky(ξy − y)] dξy

]

dy dx (C.7)

De term tussen haken stelt de naar het golfgetaldomein getransformeerde Greense functie voor, zodatde uitdrukking te schrijven is als:


∫

+B

−B

[∫

+∞

−∞tsj(x, y, 0, ω) exp (+ikyy) dy

]

uGij(x − ξx,−ky, 0, ω) dx (C.8)

De term tussen haken stelt de naar het golfgetal ky getransformeerde grondspanning voor.


∫

+B

−Btsj(x, ky, 0, ω)uG

ij(x − ξx,−ky, 0, ω) dx (C.9)

Het minteken voor het horizontale golfgetal ky kan vermeden worden als de reciprociteitsrelatie invergelijking (C.3) gebruikt wordt om de volgorde van de posities van zender en ontvanger om tewisselen.


∫

Σrs

tsj(x, y, 0, ω)uGji(x, y, 0, ξx, ξy, 0, ω) dS (C.10)

Door het doorvoeren van Fouriertransformaties op een analoge manier, wordt de volgende alternatieveuitdrukking voor vergelijking (C.9) gevonden:


∫

+B

−Btsj(x, ky, 0, ω)uG

ji(ξx − x, ky, 0, ω) dx (C.11)


In deze uitdrukking stellen usi(ξx, ky, 0, ω) en tsj(x, ky, 0, ω) respectievelijk de verplaatsingen en despanningen in het grensvlak tussen spoor en grond voor. De evaluatie van de vergelijking (C.11) voorde drie componenten van de verplaatsingsvector vergt de berekening van de volledige 3 × 3 Greenseverplaatsingstensor.

In het geval van een gerelaxeerde randvoorwaarde aan het grensvlak, zijn de horizontale grondspan-ningen onbestaand en vergelijking (C.11) reduceert zich tot:


∫

+B


zi(ξx − x, ky, 0, ω) dx (C.12)

Enkel de derde rij van de Greense verplaatsingstensor, die de fundamentele oplossing voor een verticaleimpulsbelasting voorstelt, moet gekend zijn.

De evaluatie van de verticale component van de verplaatsingen aan het grensvlak tussen het spoor ende ondergrond vergt de berekening van het derde diagonaalelement van de Greense verplaatsingstensor,en vestigt een relatie tussen de gekende verticale verplaatsing in een enkel punt van het grensvlak ende ongekende verticale spanning in het grensvlak:

usz(ξx, ky, 0, ω) =

∫

+B


zz(ξx − x, ky, 0, ω) dx (C.13)

In de volgende sectie wordt aangetoond dat een discretisatie van een systeem van randintegralen (C.13)resulteert in een randelementenformulering (BEM). Deze BEM wordt dan gebruikt om de ongekendemodale grondspanningen te berekenen.

C.2.1 Randelementenformulering

Het grensvlak tussen het spoor en de grond wordt opgedeeld in ne elementen van constante grootte.De grondspanningen worden geınterpoleerd vanuit de waarde van het centrum van deze elementen metvormfuncties die gelijk zijn aan 1 op het element en gelijk aan nul elders.

tsz(x, ky, 0, ω) =

ne∑

l=1

tszl(ky, ω)Nl(x, 0) (C.14)

Hierin is tszl(ky, ω) de grondspanning op het element l, waarbij x = xl. Het is belangrijk dat de groottevan lel van elk randelement l voldoende klein is om bij benadering de kleinste golflengte λmin in degrond voor te stellen. Een element met een grootte kleiner dan λmin/6 is aan te raden [3]. Ne = λmin/lestelt het aantal elementen voor per golflengte. Ne staat in relatie tot ne als Ne = neλmin/2B.

De discretisatie van de grondspanningen in vergelijking (C.14) wordt ingebracht in vergelijking (C.13):


∫

+B

−B

ne∑

l=1

tszl(ky, ω)Nl(x, 0)uGzz(ξx − x, ky, 0, ω) dx

(C.15)


De interpolatiefuncties Nl(x, 0) zijn gelijk aan 1 over het element l en gelijk aan nul elders, zodat dezeintegraal te schrijven is als:


ne∑

l=1

tszl(ky, ω)

∫ xl+lel/2

xl−lel/2

uGzz(ξx − x, ky, 0, ω) dx (C.16)

De evaluatie van de vorige vergelijking voor de verplaatsingen usz(ξxk, ky, 0, ω) in elk zwaartepunt ξxk

(k = 1, . . . , n) van een randelement resulteert in een stelsel van ne vergelijkingen in ne onbekenden:

usz(ξxk, ky, 0, ω) =

ne∑

l=1

tszl(ky, ω)

∫ xl+lel/2

xl−lel/2

uGzz(ξxk − x, ky, 0, ω) dx (C.17)

Het stelsel van vergelijkingen (C.17) kan ook geschreven worden in volgende matriciele vorm:

usz = Gtsz (C.18)

De elementen van de ne × ne matrix G zijn als volgt te berekenen:

Gkl =

∫ xl+lel/2

xl−lel/2

uGzz(ξxk − x, ky, 0, ω) dx (C.19)

In het geval waarbij l = k, wordt de integrand van Greense verplaatsingen singulier voor x gaande naarξxk wat resulteert in de evaluatie van een oneigenlijke integraal. De Cauchy waarde van de integraalis gedefinieerd als de volgende limiet [6]:

Gkk = limr→0−

∫ r

xk−lek/2

uGzz(ξxk − x, ky, 0, ω) dx

+ limr→0+

∫ xk+lek/2

ruG

zz(ξxk − x, ky, 0, ω) dx (C.20)

In het algemene geval van een ingebedde fundering, waarbij vergelijking (C.2) geldig is in plaats vanvergelijking (C.3), moet een onderscheid gemaakt worden tussen de singulariteit van respectievelijk deintegrand van verplaatsingen en spanningen. In het 3D geval zijn de singulariteiten van de verplaatsingen de spanning respectievelijk van de orde r−1 en r−2, voor een eindig kleine afstand r tussen bronen ontvanger [25]. De verplaatsingsintegrand is zwak singulier, terwijl de spanningsintegrand sterksingulier is.

Een transformatie van een Cartesiaans naar een polair coordinaatssysteem resulteert in een Jacobiaanr die de singulariteit van de verplaatsingsintegrand doet verdwijnen. De singulariteit van de span-ningsintegrand kan behandeld worden door het gebruik van een indirect integratieschema die de starrebeweging in rekening brengt [25].

In het frequentie–golfgetaldomein stemt de Greense functie uGzz(x, ky = 0, z, ω) overeen met het 2D

geval waarbij de singulariteiten van de spannings– en verplaatsingsintegrand respectievelijk van de


orde log r en 1/r zijn. In dit geval kan gebruik gemaakt worden van de methode die voorgesteld isdoor Guiggiani and Casalini [12] die toelaat de Cauchy waarde van integralen met een eerste ordesingulariteit uit te rekenen. Alhoewel het niet wiskundig bewezen is, kan verwacht worden dat desingulariteit van de getransformeerde Greense functie uG

zz(x, ky = 0, z, ω) van de orde log r is.

Rekening houdend met de symmetrie van de Greense functie uGzz(x, ky, 0, ω) ten opzichte van x = 0,

kan vergelijking (C.20) herschreven worden als:

Gkk = 2 limr→0+

∫ xk+lek/2

ruG

zz(ξxk − x, ky, 0, ω) dx (C.21)

De berekening van de coefficienten van het stelsel van vergelijkingen (C.18) vergt daarom de berekeningvan ne × (ne − 1) reguliere integralen en ne singuliere integralen.

Na een transformatie van de horizontale coordinaat naar de natuurlijke coordinaat ζ volgens x =xl + ζlel/2, worden de vergelijkingen (C.19) en (C.21):

Gkl =lel2

∫

+1

−1

uGzz(ξxk − xl − ζlel/2, ky, 0, ω) dζ

Gkk = lek limr→0+

∫

+1

ruG

zz(−ζlek/2, 0, ω) dx (C.22)

Als de lengtes van de elementen symmetrisch gekozen zijn rond het centrum van de sectie, is decoefficientenmatrix G symmetrisch omdat de Greense functie uG

zz(x, ky, 0, ω) een even functie is tenopzicht van x = 0.

Als wordt aangenomen dat alle elementen de zelfde lengte le hebben, is het verschil ξxk − xl in heteerste argument van de Greense functie gelijk aan een veelvoud ±(k − l)le van de elementlengte le. Indit geval reduceert de berekening van de ne×ne matrix G zich tot de bepaling van ne elementen of eenenkele rij van G. Dit laatste betreft de evaluatie van ne −1 reguliere integralen (k− l = 1, . . . , ne −1):

Gkl =le2

∫

+1

−1

uGzz((k − l − ζ/2)le, ky, 0, ω) dζ (C.23)

en een singuliere integraal:

Gkk = le limr→0+

∫

+1

ruG

zz(−ζle/2, ky, 0, ω) dζ (C.24)

De reguliere integralen worden numeriek geıntegreerd door toepassing van de Gauss-Legendre kwa-dratuur [6]:

∫

+1

−1

f(ζ) dζ =M∑

m=1

f(ζm)wm (C.25)

Hierin stellen ζm en wm de respectievelijk de Gausspunten en gewichten voor die overeenkomen meteen M -punts Gaussregel. f(ζm) zijn de functiewaarden in de Gausspunten ζm.

De singulariteit van de verplaatsingsintegrand in vergelijking (C.24) is zwak genoeg om dezelfde Gaus-sintegratie te gebruiken als voor de singuliere intervallen [25]. Op deze manier wordt de singulariteit


ζ → 0+ verwaarloosd. De methode leidt tot grote onnauwkeurigheden als de integrand een oscillerendefunctie bevat. Als echter de grootte van de randelementen kleiner is dan λmin/6, is het verloop van deGreense functies monotoon in de buurt van de singulariteit. In dit geval kan aangetoond worden datde evaluatie van de singuliere integraal door een standaard Gauss integratieschema convergeert naarde juiste waarde voor een toenemend aantal Gausspunten [6].

Voor een golfgetal ky = 0 (λy = ∞) correspondeert het stelsel van vergelijkingen (C.18) met het2D probleem van een starre strookfundering met een breedte 2B, waar ne 1D randelementen wordengebruikt. In dit geval stelt Gkl de verticale verplaatsing in een punt (ξx, ξz = 0) van het 1D grensvlakvoor, voor een eenheidsverticale belasting van element 1. In de huidige analyse moet een soortgelijkprobleem opgelost worden voor elk golfgetal ky.

Bijlage D

Subroutines

D.1 Inleiding

D.2 VEHICLE COMPLIANCE

D.2.1 Beschrijving

De subroutine vehicle_compliance.m berekent de flexibiliteitsmatrix van een voertuigmodel zoalsdeze gedefinieerd is in formule (2.7).

De functie vehicle_compliance(model,contact,omega) heeft drie argumenten:

model selecteert het voertuigmodel:’1axle1dof’ 1DOF model met 1 as.’1axle3dof’ 3DOF model met 1 as.’2axle5dof’ 5DOF model van een voertuig met 2 assen.’thalys’ model van een thalys HST met 26 assen

contact selecteert het contacttype tussen het voertuig en het spoor:’perfect’ perfect contact’linear’ lineaire veer–demperschakeling

omega is een vector (lengte nω) met de bemonstering van de hoekfrequentie

De functie geeft als resultaat een nω × nax × nax matrix.

D.2.2 MATLAB script

function VC = vehicle_compliance(model,contact,omega)

%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%% %

%% EINDWERK TRILLINGEN TGV TREINVERKEER %

%% Stijn Francois %

%% %

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%

%VEHICLE_COMPLIANCE

73

VEHICLE COMPLIANCE 74

% VEHICLE_COMPLIANCE(MODEL,CONTACT,OMEGA) composes the vehicle

% compliance of the vehicle model MODEL. OMEGA contains the sampling

% of the circular frequency.

%

% MODEL selects the vehicle model

%

% ’1axle1dof’ 1D 1DOF one-axle vehicle model

%

% ’1axle3dof’ 1D 3DOF one-axle vehicle model

%

% ’2axle5dof’ 2D 5DOF two-axle vehicle model

%

% ’thalys’ model of a 26 axle thalys HST.

%

% ’daf95’

% ’tno2axletr’

% ’volvofe7f’

% ’volvofe7r’

% ’volvofl6’

%

%

% CONTACT selects the type of contact between the axle-DOFs

% and the substructure(road or track)

%

% ’perfect’ : perfect contact between axles and substructure

%

% ’linear’ : linear relationship between axle displacement

% and substructure displacement

%

%--------------------------------------------------------------------------

% SELECTION OF THE VEHICLE MODEL

%--------------------------------------------------------------------------

switch lower(model)

case ’1axle1dof’

par_1axle1dof;

m_01dof;


par_1axle3dof;

m_03dof;


par_2axle5dof;

m_05dof;

case ’thalys’

m_thalys;

case ’daf95’

par_daf95;

m_13dof;

case ’tno2axletr’

par_tno2axletr;

m_04dof;

case ’volvofe7f’

par_volvofe7f;

m_17dof;

case ’volvofe7r’

par_volvofe7r;

VEHICLE COMPLIANCE 75

m_04dof;

case ’volvofl6’

par_volvofl6;

m_04dof;

otherwise

error(’No vehicle model has been selected.’)

end

%

%--------------------------------------------------------------------------

% CALCULATION OF SUB-MATRICES OF THE VEHICLE SYSTEM

%--------------------------------------------------------------------------

dofbody=ones(1,ndof);

for idofaxle = 1:naxl

dofbody(dofaxle(idofaxle))=0;

end

dofbody=find(dofbody);

%

Mbb = M(dofbody,dofbody);

Maa = M(dofaxle,dofaxle);

%

Kaa_Hz = diag(kaxle);

Kbb_p = K(dofbody,dofbody);

Kba_p = K(dofbody,dofaxle);

Kaa_p = K(dofaxle,dofaxle) - Kaa_Hz;

%

Caa_Hz = diag(caxle);

Cbb_p = C(dofbody,dofbody);

Cba_p = C(dofbody,dofaxle);

Caa_p = C(dofaxle,dofaxle) - Caa_Hz;

%

%--------------------------------------------------------------------------

% CALCULATION OF THE VEHICLE COMPLIANCE

%--------------------------------------------------------------------------

switch lower(contact)

case ’perfect’

for iomega = 1:length(omega)

omg=omega(iomega);

a11=Kbb_p - omg^2*Mbb + i*omg*Cbb_p;

a12=Kba_p +i*omg*Cba_p;

a21=a12.’;

a22=Kaa_p - omg^2 * Maa + i * omg * Caa_p;

if ndof == 1

VC(iomega,:,:) = (-a22)^(-1);

else

VC(iomega,:,:) = (a21*a11^(-1)*a12 - a22)^(-1);

end

end

case ’linear’

for iomega = 1:length(omega)

omg=omega(iomega);

a11=Kbb_p - omg^2*Mbb + i*omg*Cbb_p;

a12=Kba_p +i*omg*Cba_p;

a21=a12.’;

a22=Kaa_p + Kaa_Hz - omg^2 * Maa + i * omg * (Caa_p + Caa_Hz);

if ndof == 1

VC(iomega,:,:)=((Kaa_Hz+i*omg*Caa_Hz)*(a22^(-1)*...

TRACK COMPLIANCE 76

(Kaa_Hz+i*omg*Caa_Hz)-eye(naxl)))^(-1);

else

VC(iomega,:,:)=((Kaa_Hz+i*omg*Caa_Hz)*((a22 - ...

a21*a11^(-1)*a12)^(-1)* ...

(Kaa_Hz+i*omg*Caa_Hz)-eye(naxl)))^(-1);

end

end

end

%

D.3 TRACK COMPLIANCE

D.3.1 Beschrijving

De subroutine track_compliance.m berekent de flexibiliteitsmatrix van een spoormodel, zoals gede-finieerd in formule (3.1):

ur = Htr(ω)g(ω)

De functie track_compliance(trackmodel,omega,v,ya) heeft de volgende argumenten:

trackmodel is een MATLAB *.mat–file waarin de eigenschappen en de geometrie van het spoor-model beschreven zijn. Meer uitleg is te vinden in sectie D.5.

omega is een vector (lengte nω) met de bemonstering van de frequentie ω

v is een scalar met de snelheid v van het bewegende assenstelsel

ya is een vector (lengte nax) met de coordinaten van de contactpunten in het bewe-gende assenstelsel.

De functie geeft als output een nω × nax × nax matrix.

De integraal uit formule (3.8):

Htrkl (ω) =

1

2π

∫

+∞

−∞hzz(ky, ω + kyv) exp (−iky(yak − yal)) dky

wordt voor de diagonaalelementen (k = l) benaderd met een adaptieve Lobatto kwadratuurformule(quadl.m). De subroutine track_transfer.m berekent de waarde van de transferfunctie. Slechts dewaarde van de grondstijfheid wordt hierbij geınterpoleerd in de routine soil_interp.m. De bemon-steringen van de transferfunctie en bemonsteringspunten in ky, gebruikt in de adaptieve integratieworden bijgehouden in een globale variabele INT. De bemonstering is voldoende om de integraal meteen absolute nauwkeurigheid van 10−12 [m/N/Hz] te berekenen. De integralen worden berekend meteen bovengrens en ondergrens van respectievelijk ky = +50 rad/m en ky = −50 rad/m in plaats vanky = +∞ en ky = −∞. Achteraf volgen de niet–diagonaalelementen van de flexibiliteitsmatrix uit deniet–adaptieve integrator filon.m, waarbij de bemonsteringspunten en functiewaarden uit de globalevariabele INT gebruikt worden.

D.3.2 MATLAB script

function TC = track_compliance(trackmodel,omega,v,ya)

TRACK COMPLIANCE 77

%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%% %


%% Stijn Francois %

%% %

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%

%TRACK_COMPLIANCE compliance of a track model

% TRACK_COMPLIANCE(TRACKMODEL,OMEGA,V,YA) composes the track compliance

% matrix for a given velocity and circular frequency sampling.

%

% TRACKMODEL is a *.mat-file.

%

% OMEGA contains the sampling of the circular frequency in [rad/s].

%

% V is the velocity of the vehicle in [m/s].

%

% YA contains the positions of the contact points.

%

%

%--------------------------------------------------------------------------

% PARAMETERS NEEDED FOR THE INTEGRATION

%--------------------------------------------------------------------------

precision=1e-12;

kymax = 50;

%

%--------------------------------------------------------------------------

% CALCULATION OF THE TRACK COMPLIANCE

%--------------------------------------------------------------------------

t = cputime;

%

n = length(ya);

%

yk = zeros(1,0.5*(n^2-n));

iyk = 1;

%

for k=1:n-1

for l=k+1:n

yk(iyk)= ya(k)-ya(l);

iyk = iyk+1;

end

end

%

TC = zeros(length(omega),n,n);

%

for iom = 1:length(omega)

iomega = omega(iom);

disp([num2str(iomega/2/pi) ’ Hz’]);

global INT

INT = zeros(2,0);

TC(iom,1,1) = (1/(2*pi))*quadl(’track_transfer’,-kymax,kymax,...

precision,0,iomega,v,trackmodel);

%

if ~(n == 1)

TRACK TRANSFER 78

% calculation of diagonal elements

TC(iom,:,:) = TC(iom,1,1) * diag(ones(1,n));

[INT(1,:),I] = sort(INT(1,:));

INT(2,:) = INT(2,I);

INT = INT (:,[find(diff(INT(1,:))) length(INT)]);

% calculation of the off-diagonal elements

TCutil = (1/(2*pi))*filon(INT(1,:),-i*yk,INT(2,:),’exp’,’linear’);

iyk = 1;

for k=1:n-1

for l=k+1:n

TC(iom,k,l)=TCutil(iyk);

TC(iom,l,k)=conj(TC(iom,k,l));

iyk = iyk+1;

end

end

end

%

clear INT

end

%

disp([’computation time for track_compliance: ’num2str(cputime-t) ’ s’]);

%

D.4 TRACK TRANSFER

D.4.1 Beschrijving

De subroutine track_transfer.m berekent de transferfunctie van een spoormodel, zoals besproken inparagraaf 3.6. De impulsbelasting grijpt aan op de eerste vrijheidsgraad. De berekende respons is derespons van de eerste vrijheidsgraad.

De functie track_transfer(ky,omega,v,trackmodel) heeft de volgende argumenten:

ky is een vector (lengte nky) met de bemonstering van het golfgetal [m/rad].

omega is een scalar met de frequentie. De transferfunctie wordt berekend voor de fre-quenties ω = ω + kyv, d.w.z. in het bewegende assenstelsel. De transferfunctie inhet vaste assenstelsel is te vinden door de snelheid v = 0 te stellen.

v is de snelheid van dit bewegende assenstelsel [m/s].

trackmodel is een MATLAB *.mat–file waarin de eigenschappen en de geometrie van het spoor-model beschreven zijn. Meer uitleg is te vinden in sectie D.5.

D.4.2 MATLAB script

function hzz = track_transfer(ky,omega,v,trackmodel)

%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%% %


%% Stijn Francois %

%% %

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%

COMPOSE TRACK 79

%TRACK_TRANSFER transfer function of a track model

% TRACK_TRANSFER(KY,OMEGA,V,TRACKMODEL) composes the track transfer function

% for the trackmodel in the moving frame of reference for the wavenumbers KY

% and the circular frequency OMEGA, which is a scalar. The speed of the

% moving frame of reference is V.

%

%

numky = length(ky);

hzz = zeros(1,numky);

%

%--------------------------------------------------------------------------

% CALCULATION OF THE SYSTEM MATRIX OF THE TRACK MODEL

%--------------------------------------------------------------------------

%

S = compose_track(ky,omega,v,trackmodel);

%

%--------------------------------------------------------------------------

% CALCULATION OF THE TRACK TRANSFER FUNCTION

%--------------------------------------------------------------------------

load(trackmodel,’numtracknodes’)

%

f = zeros(numtracknodes,1,numky);

f(1,1,:) = 1;

%

for k = 1:numky

hutil = squeeze(S(:,:,k)) \ squeeze(f(:,:,k));

hzz(k) = hutil(1);

end

%

global INT

INT = [INT(1,:) ky ; INT(2,:) hzz];

%

D.5 COMPOSE TRACK

D.5.1 Beschrijving

De functie compose_track bepaalt de matrix[

Ktr + Ks

]

van een spoormodel zoals deze gedefinieerd

is in formule (3.17):

[

Ktr + Ks

]

utr = ftr

De functie compose_track(ky,omega,v,trackmodel) heeft vier argumenten:

ky is een vector met de bemonstering van het golfgetal [m/rad].

omega is een scalar met de frequentie. De systeemmatrix wordt berekend voor de fre-quenties ω = ω + kyv, dus in het bewegende assenstelsel. De systeemmatrix inhet vaste assenstelsel is te vinden door de snelheid v = 0 te stellen.


trackmodel is een MATLAB *.mat–file. In deze file bevinden zich drie variabelen:

numtracknodes het aantal vrijheidsgraden van het spoormodel.

COMPOSE TRACK 80

numtrackelements is het aantal elementen in het spoormodel.

track is een cell–array met de geometrie van het spoor en de eigen-schappen van de elementen van het spoormodel.

Deze variabele track is een cell-array en heeft de volgende algemene vorm:

track = {{Element_type node_i node_j Element_properties}

{Element_type node_i node_j Element_properties}

{Element_type node_i node_j Element_properties} ... }

Element_type is gelijk aan ’eulerbeam’, ’spring_damper’, ’soil’ of ’winkler’:

’eulerbeam’ is een Eulerbalk zoals beschreven in paragraaf 3.2.1. De vrijheidsgraad van debalk, ’node_i’, is gelijk aan ’node_j’. De Element_properties cell–array heeftdrie elementen: {’EI’ ’m’ ’eta’}. ’EI’ is de waarde van de buigstijfheid EIvan de balk, ’m’ is de massa per lopende meter ρA en ’eta’ beschrijft de mate-riaaldemping η in de balk.

’spring_damper’ is een continue veer–demperschakeling tussen de knopen ’node_i’ en ’node_j’

van het spoormodel. De Element_properties cell–array heeft drie elementen:{’k’ ’c’ damping_type}. Deze stellen respectievelijk de stijfheid van de con-tinue veer–demperschakeling, de demping en het type demping voor. Het typedemping kan ofwel ’rate_dependent’ ofwel ’rate_independent’ zijn.

’soil’ is de karakteristiek van een lineair elastische halfruimte. De vrijheidsgraad’node_i’ is gelijk aan ’node_j’. De Element_properties cell–array heeftvier elementen: {aktil’ ’aintr’ ’aspec’ ’kmaxsoil’}. ’aktil’, ’aintr’ en’aspec’ zijn de verwijzingen naar de *.mat–files die informatie bevatten over degrondstijfheid en berekend werden met de masterfile aktil.m uit de TRAFFIC tool-box. De parameter ’kmaxsoil’ beschrijft het maximale (dimensionale) golfgetalwaarvoor de grondstijfheid nog in rekening gebracht wordt bij de berekening vande flexibiliteit van het spoor.

’winkler’ Het spoormodel is opgelegd op een verende bedding in knoop ’node_i’. De vrij-heidsgraad ’node_i’ is gelijk aan ’node_j’. De Element_properties cell–arrayheeft drie elementen: {’k’ ’c’ damping_type}. Deze stellen respectievelijk destijfheid van de verende bedding, de demping en het type demping voor. Het typedemping kan ofwel ’rate_dependent’ ofwel ’rate_independent’ zijn.

Voor de berekening van de grondstijfheid voor de opgegeven frequentie en golfgetallen is er een inter-polatie nodig van de waarden die te vinden zijn in de files ’aktil’,’aintr’ en ’aspec’. Dit gebeurtin een aparte subroutine soil_interp.m.

Numeriek voorbeeld

Het spoormodel besproken in paragraaf 3.7 ziet er in de toolbox als volgt uit:

track = { {’eulerbeam’ 1 1 {12.81e6 120 0 } }

{’spring_damper’ 1 2 {1.33e8 4.93e4 ’rate_dependent’ } }

{’eulerbeam’ 2 2 {243e6 2592 0 } }

{’soil’ 2 2 {’aktil_d.mat’ ’aintr_d.mat’ ’aspec_d.mat’ 15 } } };

COMPOSE TRACK 81

D.5.2 MATLAB script

function S = compose_track(ky,omega,v,trackmodel)

%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%% %


%% Stijn Francois %

%% %

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%

%COMPOSE_TRACK system matrix of a track model

% The function COMPOSE_TRACK(KY,OMEGA,TRACKMODEL) composes

% system matrix for the track model TRACKMODEL in the

% frequency-wavenumber domain, in the moving frame of reference.

%

% KY is the (dimensional) wavenumber sampling

%

% OMEGA is a scalar

%

% V is the speed of the frame of reference (vehicle speed)

%

% TRACKMODEL is matlab *.mat file in which

% a cell array containing the track geometry and the trackmodel

% element properties can be found. It contains the three

% variables TRACK, NUMTRACKNODES and NUMTRACKELEMENTS

%

% NUMTRACKNODES is the number of nodes in the track model.

% NUMTRACKELEMENTS is the number of elements in the track model.

% TRACK is a cell array containing the geometry of the track and

% the properties of the track elements. It has the following general

% form:

%

% TRACK = {{Element_type node_i node_j Element_properties}

% {Element_type node_i node_j Element_properties}...}

%

% Element_properties is also a cell array, containing the

% properties of the track elements.

% The form of this array is dependent on the element type used.

%

% Element_type can be:

%

% ’eulerbeam’ : An Euler-beam. Note that node_i = node_j

% the Element_properties cell array is of

% the general form {’EI’ ’m’ ’eta’}

% ’spring_damper’ : The Element_properties cell array is of

% the general form {’k’ ’c’ damping_type}

% Damping can be

% ’rate_dependent’:

% (viscous damping) k* = k + i*c*omega

% ’rate_independent :

% (hysteretic damping) k* = k + i*c

% ’soil’ : A wavenumber-frequency dependent stiffness

% of the soil.

% The element_properties cell array is of

% the general form

COMPOSE TRACK 82

% {’aktil’ ’aintr’ ’aspec’ ’kmaxsoil’}

% Note that node_i = node_j.

% ’winkler’ : The Element_properties cell array is of

% the general form {’k’ ’c’ damping_type}

% Damping can be

% ’rate_dependent’:

% (viscous damping) k* = k + i*c*omega

% ’rate_independent :

% (hysteretic damping) k* = k + i*c

% Note that node_i = node_j.

%

%--------------------------------------------------------------------------

% CALCULATION OF THE SYSTEM MATRIX OF THE TRACK MODEL

%--------------------------------------------------------------------------

omegamov= omega + ky.*v;

load(trackmodel)

%

S = zeros(numtracknodes,numtracknodes,length(ky));

%

for k = 1 : numtrackelements

switch lower(track{k}{1})

case ’eulerbeam’

S_element = eulerbeam(ky,omegamov,track{k}{4});

case ’spring_damper’

S_element = spring_damper(ky,omegamov,track{k}{4});

case ’soil’

S_element = soil(ky,omega,track{k}{4},v);

case ’winkler’

S_element = winkler(ky,omegamov,track{k}{4});

otherwise

error(’An invalid element type has been used in the track model’)

end

S(track{k}{2}:track{k}{3},track{k}{2}:track{k}{3},:) = ...

S(track{k}{2}:track{k}{3},track{k}{2}:track{k}{3},:) + S_element;

end

%

%--------------------------------------------------------------------------

% SUBFUNCTION EULERBEAM

%--------------------------------------------------------------------------

function S = eulerbeam(ky,omega,prop)

S = zeros(1,1,length(ky));

S(1,1,:) = prop{1}*(1 + prop{3}).*ky.^4 -prop{2}.*(omega).^2;

%

%--------------------------------------------------------------------------

% SUBFUNCTION SPRINGDAMPER

%--------------------------------------------------------------------------

function S = spring_damper(ky,omega,prop)


%

switch lower(prop{3})

case ’rate_dependent’

K = prop{1} + i .* omega .* prop{2};

case ’rate_independent’

K = prop{1} + i * prop{2};

otherwise

SOIL INTERP 83

error(’No valid damping type has been selected for the filler’);

end

%

S(1,1,:) = K;

S(1,2,:) = -K;

S(2,1,:) = S(1,2,:);

S(2,2,:) = K;

%

%--------------------------------------------------------------------------

% SUBFUNCTION SOIL

%--------------------------------------------------------------------------

function S = soil(ky,omega,prop,v)

%


load(prop{1},’Ks’) % wavenumber sampling of the soil stifness

load(prop{2},’kydc’) % circular frequency sampling

load(prop{3},’cs’) % shear wave velocity in the soil

load(prop{3},’fompar’) % frequency sampling

omg = array(fompar);

kymaxsoil = prop{4};

kyinterp = find(abs(ky) < kymaxsoil);

K_soil = zeros(size(ky));

K_soil(kyinterp) = soil_interp(ky(kyinterp),omega,v,Ks,omg,kydc,cs);

%

S(1,1,:) = K_soil;

%

%--------------------------------------------------------------------------

% SUBFUNCTION WINKLER

%--------------------------------------------------------------------------

function S = winkler(ky,omega,prop)


%

switch lower(prop{3})

case ’rate_dependent’

S(1,1,:) = prop{1} + i .* omega .* prop{2};

case ’rate_independent’

S(1,1,:) = prop{1} + i * prop{2};

otherwise

error(’No valid damping type has been selected for the filler’);

end

%

D.6 SOIL INTERP

D.6.1 Beschrijving

De subroutine soil_interp interpoleert de grondstijfheid. Hierbij is de grondstijfheid gegeven infunctie van de frequentie ω en het dimensieloze golfgetal ky.

De functie soil_interp(ky,omega,v,Ks,omg,kydc,cs) heeft de volgende argumenten:

ky is een vector met de bemonstering van het golfgetal [m/rad] waarvoor de grond-stijfheid bepaald moet worden.

SOIL INTERP 84

omega is een scalar met de frequentie. De systeemmatrix wordt berekend voor de fre-quenties ω = ω + kyv, dus in het bewegende assenstelsel. De systeemmatrix inhet vaste assenstelsel is te vinden door de snelheid v = 0 te stellen.


Ks is de grondstijfheid zoals deze berekend is met de TRAFFIC masterfile aktil.m.

omg is de start/end/steps–variabele (SES) met de bemonstering van de hoekfrequentiewaarvoor de grondstijfheid berekend is.

kydc is de SES–variabele met de bemonstering van het golfgetal waarvoor de grond-stijfheid berekend is.

cs is de transversale golfsnelheid die het verband aangeeft tussen het dimensielozeen het dimensionale golfgetal [m/s].

De waarden van de grondstijfheid voor frequenties die liggen tussen 0 Hz en de eerste frequentie vanomg, worden gelijk gesteld aan de waarde van de grondstijfheid voor deze laatste frequentie.

D.6.2 MATLAB script

function ks = soil_interp(ky,omega0,v,Ks,omg,kydc,cs)

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%% %


%% Stijn Francois %

%% %

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%

%SOIL_INTERP interpolation of the soil stiffness

% SOIL_INTERP(KY,OMEGA,V,KS,OMG,KYDC,CS) interpolates the values of

% the soil’s stiffness matrix KS in the moving frame of reference.

%

% KS is the soil stiffness.

% OMG is the circular frequency sampling of the soil stiffness.

% KYDC is the dimensionless wavenumber sampling of Ks.

% CS is the shear wave velocity in the soil.

% V is the velocity of the moving frame of reference

% KY is the wavenumber sampling for which

% the soil stiffness is interpolated.

% OMEGA is the circular frequency for which

% the soil stiffness is interpolated.

%

% WARNING !!!! OMEGA MUST BE A SCALAR

%

%--------------------------------------------------------------------------

% CIRCULAR FREQUENCIES IN THE MOVING FRAME OF REFERENCE

%--------------------------------------------------------------------------

omegaint = omega0 + ky * v;

%

omegamin = omg(1);

%

omegaint(find((abs(omegaint) < omegamin) & (omegaint > 0))) = omegamin;

omegaint(find((abs(omegaint) < omegamin) & (omegaint < 0))) = - omegamin;

%

%--------------------------------------------------------------------------

FILON 85

% CALCULATION OF THE DIMENSIONLESS WAVENUMBER

%--------------------------------------------------------------------------

if omega0 == 0

kydint = cs / v * ones(size(ky));

else

kydint = abs( (cs*ky) ./ omegaint );

end

%

omegaint_sign = sign(omegaint);

omegaint = abs(omegaint);

%

%--------------------------------------------------------------------------

% INTERPOLATION OF THE SOIL STIFFNESS

%--------------------------------------------------------------------------

ks = interp2(omg,kydc,Ks,omegaint,kydint,’linear’);

%

%--------------------------------------------------------------------------

% EXTRAPOLATION OF THE SOIL STIFFNESS

%--------------------------------------------------------------------------

for iks=1:length(ks)

if isnan(ks(iks))

ks(iks)=0;

disp(’Warning: integration out of range of Ks’)

disp(’Ks replaced by 0 for ky = ’)

disp(ky(iks))

end

end

%

ks = real(ks) + i * omegaint_sign .* imag(ks);

%

D.7 FILON

D.7.1 Beschrijving

De subroutine filon.m berekent numeriek integralen van de vorm∫

f(x)K(x, s)dx waarbij de kernel-functie van gelijk is aan K(x, s) = sin(sx), K(x, s) = cos(sx) of K(x, s) = exp(sx). De uitwerking vande formules is gegeven in bijlage B.

De functie filon(x,s,f,kernel,method) heeft 5 argumenten:

x is een vector die de coordinaten van de n bemonsteringspunten bevat.s is een vector die m waarden van de parameter s geeft voor de berekening van de

integraal.f bevat de n bemonsteringen van de functie f(x).kernel selecteert de kernel functie K(x, s). De alternatieven ’sin’, ’cos’ en ’exp’ selec-

teren respectievelijk K(x, s) = sin(sx), K(x, s) = cos(sx) en K(x, s) = exp(sx).method geeft de berekeningsmethode aan. Dit kan ofwel ’linear’ ofwel ’parabolic’

zijn.

De functie geeft een vector met m elementen, gelijk aan de integraal voor elke waarde van de parameters.

FILON 86

D.7.2 MATLAB script

function int = filon(x,s,f,kernel,method)

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%% %


%% Stijn Francois %

%% %

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%

%FILON numerical integration

% FILON(x,s,f,kernel,method)

% integrates the function f(x)*K(s*x) using a filon method.

% for m values of the constant s.

%

% X is a vector of length n containing the coordinates

% of the sampling points of f.

%

% F is a vector of length n representing the sampling of the

% non-kernel function f.

%

% S is a vector of length m

%

% METHOD can be

% ’linear’ : a linear filon method

% ’parabolic’ : a smoothed parabolic method

% KERNEL can be

% ’sin’ : K(s*x) = sin(s*x)

% ’cos’ : K(s*x) = cos(s*x)

% ’exp’ : K(s*x) = exp(s*x)

%

%

%Example of usage:

%

%>> x = [0 pi];

%>> f = [1 1];

%>> s = [1 2];

%>> filon(x,s,f,’sin’,’linear’)

%

%ans =

%

% 2 0

%

%

n = length(x) - 1;

sx = s.’*x;

S = repmat(s.’,1,length(x));

%

%--------------------------------------------------------------------------

% LINEAR METHOD

%--------------------------------------------------------------------------

switch lower(method)

case ’linear’

%Calculation of the coefficients a and b for the linear interpolation

b = diff(f) ./ diff(x);

a = f(1:n) - b .* x(1:n);

FILON 87

switch lower(kernel)

case ’cos’

ssx = sin(sx);

csx = cos(sx);

icon = ssx ./ S;

ilin = ( sx .* ssx + csx) ./ S.^2;

case ’sin’

ssx = sin(sx);

csx = cos(sx);

icon = -csx ./ S;

ilin = (-sx .* csx + ssx) ./ S.^2;

case ’exp’

esx = exp(sx);

icon = esx ./ S;

ilin = (sx - 1).*esx ./ S.^2;

otherwise

error(’No valid kernel selected’)

end

%

con =[-a(1) -diff(a) a(n)];

lin =[-b(1) -diff(b) b(n)];

%

int = con * icon.’ + lin * ilin.’;

%

%--------------------------------------------------------------------------

% SMOOTHED PARABOLIC METHOD

%--------------------------------------------------------------------------

case ’parabolic’

%calculation of the coefficients a,b and c

%for the parabolic interpolation

c = (diff(x(1:n)).*(f(3:n+1)-f(1:n-1)) - ((x(3:n+1)-x(1:n-1))).* ...

diff(f(1:n))) ./ ( diff(x(1:n)).*(x(3:n+1).^2 - x(1:n-1).^2) - ...

(x(3:n+1)-x(1:n-1)).*diff(x(1:n).^2));

b = (diff(f(1:n)) - diff(x(1:n).^2) .* c ) ./ diff(x(1:n));

a = f(1:n-1) - x(1:n-1).* b - x(1:n-1).^2.*c;

switch lower(kernel)

case ’cos’

ssx = sin(sx);

csx = cos(sx);

icon = ssx ./ S;

ilin = ( sx.*ssx + csx) ./ S.^2;

ipar = ( sx.^2 .* ssx + 2*sx .* csx - 2 * ssx) ./ S.^3;

case ’sin’

ssx = sin(sx);

csx = cos(sx);

icon = -csx ./ S;

ilin = (-sx.*csx + ssx) ./ S.^2;

ipar = ( -sx.^2 .* csx + 2*sx .* ssx + 2 * csx) ./ S.^3;

case ’exp’

esx = exp(sx);

icon = esx ./ S;

ilin = (sx - 1).*esx ./ S.^2;

ipar = (sx.^2 - 2*sx + 2) .* esx ./ S.^3;

otherwise

error(’No valid kernel selected’)

FILON 88

end

%

if n == 1

warning(’A smoothed parabolic method is not applicable’);

disp(’The linear method is used instead’);

int = filon(x,s,f,kernel,’linear’);

elseif n == 2

con = [-a(1) 0 a(1)];

lin = [-b(1) 0 b(1)];

par = [-c(1) 0 c(1)];

%

int = con * icon.’ + lin * ilin.’ + par * ipar.’;

else

con = [-a(1) 0.5*(a(1)-a(2)) 0.5*(a(1:n-3)-a(3:n-1)) ...

0.5*(a(n-2)-a(n-1)) a(n-1)];

lin = [-b(1) 0.5*(b(1)-b(2)) 0.5*(b(1:n-3)-b(3:n-1)) ...

0.5*(b(n-2)-b(n-1)) b(n-1)];

par = [-c(1) 0.5*(c(1)-c(2)) 0.5*(c(1:n-3)-c(3:n-1)) ...

0.5*(c(n-2)-c(n-1)) c(n-1)];

%

int = con * icon.’ + lin * ilin.’ + par * ipar.’;

end

%

otherwise error(’No valid filon method has been selected’);

end

%

Departement Burgerlijke Bouwkunde KU Leuven - Trillingen ten … · 2010. 12. 22. · Samenvatting...

Documents

Transcript of Departement Burgerlijke Bouwkunde KU Leuven - Trillingen ten … · 2010. 12. 22. · Samenvatting...