Trillingen en golven

Sessie 4

Gedwongen harmonische oscillator

• inhomogene differentiaalvergelijking• particuliere oplossing• oplossingen van homogene diff. vgl (vrije harm. osc.) mogen hier bij opgeteld worden (dempen uit)• daarmee kan aan beginvoorwaarden voldaan worden

)()()( txtxtx vrijstat

Algemener: superpositie

Als

en

dan geldt voor x3=x1+x2

Opgenomen vermogen

)()( tvFdt

dxF

dt

dEtP

FdxdE VItP )(

Elektrisch: Mechanisch:

Gemiddeld opgenomen vermogen

Mechanisch:

Ofwel:

b: uitwijking uit fase met kracht

Q=10Q=3Q=1Q=0.3

hoogte: ~Qbreedte: ~1/Q

20Q

LCR circuit: complexe impedanties

tVC

tqtqRtqL cos

)()()( 0

zelfde vgl, weer complexe oplossingsstrategie: nu complexe stroom en spanning:

)(0)(

~)()( tieItItItq

LiZtILitILV LL )(~

)(~~

tieVtVtV 0)(

~)(

complexe impedantie:

I

VZ ~

~ RZtIRV RR )(

~~

CiZ

Ci

tI

C

tqV cC

1)(~

)(~~

LCR circuit: impedanties

VVVV CRL

~~~~

)(~

)(~

)(~

)(~

tVtIZtIZtIZ CRL

CRL

RR

ZZZ

Z

V

VG

~

~)(

“stroomresonantie” “spanningsresonantie”

CRL

CC

ZZZ

Z

V

VG

~

~)(

LiZL Ci

Zc 1

RZR

in

out

in

out

Z

Z

V

VG ~

~)(overdrachtsfunctie:

LCR circuit: spanningsresonantie

20Q

020

2220

20

1

1

2)()(

Qii

eGG i

LCR circuit: stroomresonantie

20Q

0

0

0

00 1

1

21

1)()(

iQi

eGG i

Reëel versus complex oplossen: mechanisch

• we beginnen met x(t)=Acos(t+)• complex-waardig maken

• invullen levert voorwaarden aan complexe amplitude x0

• reële deel van gevonden oplossing levert gewenste antwoord

tiextxtx 0~)(~)( tieDtDtD 00 )(

~cos

reëel versus complex oplossen

iG

2)(

220

20

tDtxtxtx cos)()(2)( 020

complex:

a: in fase, b: uit fase met kracht

Dtxtxtx~

)(~)(~2)(~ 20

D0: maximale aandrijving

G(): overdrachtsfunctie

reëel: differentiaalvergelijking

oplossing

tieDD 0

~

20

)(~)()(~

tD

Gtx

tiexx 0~~ tieG

Dtx

)(Re)(

20

0

Link with Giancoli

Impedance Z: absolute waarde van de impedantie |Z|

Phasor diagram: complexe vlak voor spanningen

Reactance: ander woord voor impedantie (met nadruk op het imaginaire)

RMS: gemiddelde over oscillatie is nul, dus slimmer: kwadrateer (S), middel over oscillatie (M) en neem weer de wortel (R)maat voor grootte van oscillatie. Over weerstand: P=Vrms Irms

Power factor: cos(met arg(Z) = arctan(imZ/reZ). Nuttig als P/(Vrms Irms)

Phase angle (between voltage and current): fasehoek arg(Z)

Impedance matching: maximaal veel vermogensoverdracht (P=VI) bij Zin=Zuit