Bachelor Informatica

VR-Transformer: een VirtualReality app om homogene trans-formaties te bestuderen

Kelly Griffioen

8 juni 2017

Begeleider(s): R.G. Belleman (UvA)

Ondertekend:

Informatica—

Universiteit

vanAmst

erdam

2

Samenvatting

Virtual Reality biedt naar verwachting verschillende mogelijkheden binnen het onder-wijs, maar er zijn nog weinig applicaties die worden toegepast. Niet ieder onderwerp leentzich voor het gebruik van Virtual Reality, maar een onderwerp met duidelijk ruimtelijkecomponenten kan er baat bij hebben. Deze scriptie focust zich op de mogelijkheden vanVirtual Reality voor driedimensionale transformaties in homogene vorm als wordt onderwe-zen binnen het academisch onderwijs. Hiervoor is een applicatie ontwikkeld en een basisgegeven om te onderzoeken of Virtual Reality een beter begrip van dit onderwerp kan gevendan de traditionele lesmethode dit kan.

3

4

Inhoudsopgave

1 Introductie 71.1 Onderzoeksvraag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2 Achtergrond 92.1 Virtual Reality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2 Gebruik van Virtual Reality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.3 Virtual Reality onderzoek voor het onderwijs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.4 Simulatorziekte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3 Driedimensionale transformaties in homogene vorm 133.1 Voorbeelden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

4 Virtual Reality applicatie 154.1 Werking . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154.2 Ontwerpkeuzes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4.2.1 Omgeving . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174.2.2 Besturing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174.2.3 Transformaties toepassen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184.2.4 Navigatie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184.2.5 Canvas positie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

4.3 Implementatie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

5 Opzet vervolg onderzoek 215.1 Onderzoeksvraag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215.2 Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215.3 Toets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225.4 Analyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

6 Conclusie en discussie 236.1 Verwachte resultaten van het onderzoek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236.2 Vervolgonderzoek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

Appendices 27

A Toets voor het onderzoek 29

5

6

HOOFDSTUK 1

Introductie

Virtual Reality is de afgelopen aantal jaar weer toegenomen in populariteit1 en dat zal naarverwachting zo door blijven gaan [1]. Het is hoofdzakelijk bedoeld voor video games en wordtvooral in de entertainment-industrie gebruikt, maar het biedt ook mogelijkheden op anderegebieden. Een van die gebieden is het onderwijs. Er zijn verschillende onderzoeken gedaan naarhet gebruik van Virtual Reality binnen het onderwijs, maar deze zijn nog hoofdzakelijk gefocustop het primair en secundair onderwijs. [2–5] De toepassingen voor het academisch onderwijs zijnnog weinig onderzocht [6], maar er kunnen zeker onderwerpen zijn die zich lenen voor verbeteringdoor middel van Virtual Reality. Een van de belangrijke aspecten van Virtual Reality is hetkunnen geven van ruimtelijk inzicht, wat mogelijk in het onderwijs gebruikt kan worden.

Wiskunde wordt vaak beschouwd als een lastig te begrijpen wetenschap en veel leerlingenhebben moeite met het leren hiervan. Wetenschappers denken al enige tijd dat ruimtelijk in-zicht een belangrijke bijdrage levert aan het leren hiervan en de relatie tussen het ruimtelijkvoorstellingsvermogen en het leren van wiskunde is intensief onderzocht [7]. Hieruit blijkt dathet ruimtelijk voorstellingsvermogen bijdraagt aan het verschil in het vermogen om wiskundigeproblemen op te lossen. Dit is echter vooral nog bewezen voor wiskundige onderwerpen met eenduidelijk ruimtelijk component, maar dit betekent wel dat onderwerpen binnen het academischonderwijs met ruimtelijke componenten baat kunnen hebben bij een onderwijsmethode die hetruimtelijk voorstellingsvermogen gebruikt. Virtual Reality kan hier dus heel effectief voor zijn.

1.1 Onderzoeksvraag

Transformaties zijn een fundamenteel onderdeel van computergraphics en zijn daarom vaak on-derdeel van bachelorprogramma’s. Zo ook op de Universiteit van Amsterdam, waar het eenonderdeel is van het tweedejaars vak “Graphics en Game Technologie”. Omdat dit zo’n belang-rijk onderdeel is van computergraphics, is het van belang dat studenten dit goed begrijpen endoordat het effect op duidelijk ruimtelijke componenten heeft, is het een goede kandidaat vooreen Virtual Reality applicatie. Dit onderzoek zal zich daarom focussen op het bestuderen vandriedimensionale transformaties door middel van Virtual Reality. De specifieke lesstof die wordtbestudeerd met de applicatie is de stof die wordt onderwezen in het vak van de Universiteit vanAmsterdam. De onderzoeksvraag zal daarbij zijn:

“Kunnen homogene 3D transformaties effectief bestudeerd worden met een Virtual Realityapplicatie?”

Hierbij zal zowel het begrip van de stof getoetst worden en de mening van de studenten meege-nomen worden.

Het volgende hoofdstuk zal verder uitleggen wat Virtual Reality inhoudt en een samenvattinggeven van eerder uitgevoerde onderzoeken. In hoofdstuk 3 zullen driedimensionale transformaties

1https://eandt.theiet.org/content/articles/2015/02/virtual-reality-attempts-a-comeback/ (bezochtop 6-6-2017)

7

in homogene vorm uitgelegd worden. Hoofdstuk 4 zal gaan over de applicatie die ontwikkeld isvoor dit onderzoek, waarbij de werking, de ontwerp-keuzes en de implementatie aan de ordekomen. Ten slotte wordt er in hoofdstuk 5 een onderzoeksopzet gegeven. Dit onderzoek zal laterworden uitgevoerd, waardoor er nog geen resultaten verkregen zijn.

8

HOOFDSTUK 2

Achtergrond

2.1 Virtual Reality

Het idee van Virtual Reality (VR) bestaat al enige tijd1. Het is lastig om een definitie teformuleren, maar de dichtstbijzijnde moderne voorouder ontstond in de jaren vijftig. Sindsdienis de definitie vaak veranderd door de toegang tot nieuwe technologie en de interpretatie vanonderzoekers. Soms wordt er een onderscheid gemaakt tussen “immersive Virtual Reality” en“non-immersive Virtual Reality”, waarbij “immersive VR” de VR is waarbij er gebruik wordtgemaakt van een stereoscopische bril en “non-immersive VR” een virtuele omgeving toont viaeen desktop monitor. [8] Voor dit onderzoek wordt VR gezien als de technologie die een VirtualReality bril gebruikt om een virtuele wereld te tonen door middel van beeld en eventueel geluid.

De VR bril heeft een stereoscopisch beeldscherm, geluid en sensoren die de beweging vanhet hoofd waarnemen. Ook zijn er brillen waarbij een smartphone dient als scherm. Een aantalvoorbeelden van VR brillen zijn de Oculus Rift, Samsung Gear VR en Google Cardboard, welkete zien zijn in 2.1.

(a) Oculus Rift2 (b) Samsung Gear VR3 (c) Google Cardboard4

Figuur 2.1: Voorbeelden van VR brillen.

Door de sensoren in de bril worden de bewegingen van het hoofd meegenomen bij het tonenvan de virtuele wereld, waardoor de gebruiker om zich heen kan kijken. Dit geeft het idee datmen zich daadwerkelijk in de virtuele wereld bevindt. Wanneer een van de VR brillen zondersmartphone gebruikt wordt, moet deze aan een computer worden aangesloten. Dit brengt metzich mee dat er meerdere invoerapparaten kunnen worden aangesloten, wat meer mogelijkhedenbiedt voor de toepassingen voor VR. De Oculus Rift heeft bijvoorbeeld Touch-controllers enwerkt met de Xbox controller, maar kan ook invoerapparaten ondersteunen die ondersteuntworden door de game-engine waarmee een applicatie gemaakt wordt.

1https://www.theverge.com/a/virtual-reality/intro (bezocht op 1-6-2017)2https://www.oculus.com/rift/3http://www.samsung.com/nl/wearables/gear-vr-r322/4https://vr.google.com/cardboard/

9

2.2 Gebruik van Virtual Reality

Virtual Reality biedt mogelijkheden op allerlei gebieden doordat het ingezet kan worden voorsituaties die in de fysieke wereld niet makkelijk kunnen worden uitgevoerd. Dit gaat om situatiesdie bijvoorbeeld gevaarlijk, duur, onpraktisch of onethisch kunnen zijn. Er kan bijvoorbeeldinteractie plaatsvinden met objecten die in de fysieke wereld geen fysieke of waarneembare vormhebben. Daarnaast geeft het een meer directe ervaring van concepten en principes, waardoorhet niet meer nodig is om een complex en abstract symbolisch systeem te leren [9]. Daarbij ishet kunnen uitvoeren van handelingen in realtime en in een driedimensionale omgeving voor veelsituaties een voordeel.

Een van de gebieden die baat kan hebben bij het inzetten van VR is het onderwijs. StanfordUniversiteit en MIT gebruiken bijvoorbeeld VR om de studenten van verschillende geografischeregio’s een campus ervaring te geven voor groepsprojecten, discussies en onderling netwerken.Op de Pennsylvania State Universiteit is gebleken dat hun bouwkunde studenten een objectefficienter konden samenstellen met een haptische handschoen in VR dan met muis en keyboardop een computer [10]. Dit schept de verwachting dat VR ingezet kan worden voor online vakkenom de resultaten van studenten te verbeteren.

2.3 Virtual Reality onderzoek voor het onderwijs

Vanwege de verwachte mogelijkheden van Virtual Reality zijn er verschillende onderzoeken ge-daan naar de toepassingen in het onderwijs. Verscheidene hebben de invloed van Virtual Realityop het leervermogen van kinderen onderzocht, waaruit bij meerdere blijkt dat de kinderen die destof met de virtuele omgeving geleerd hebben een beter begrip van de stof krijgen dan de groepdie de stof in 2D heeft geleerd [3, 4, 11].

Daarnaast wordt er ook steeds vaker onderzoek gedaan naar de effectiviteit van VR voor dehogere jaren van het secundair onderwijs en binnen het academisch onderwijs. Dit zijn echter vaaknog kwalitatieve onderzoeken of onderzoeken bedoelt om vast te stellen of een applicatie genoegpotentie heeft voor verdere ontwikkeling [8, 12, 13]. Ook het onderzoek van Windschitl en Winnheeft nog als doel te bepalen hoe de eigenschappen van VR gebruikt worden door leerlingen omhet begrip te verbeteren en welke aspecten van VR het begrip verbeteren dan wel verminderen.Dit geeft echter wel een basis voor andere experimenten, waardoor deze doelgerichter kunnenworden uitgevoerd en de applicatie zo effectief mogelijk ingezet kan worden. Een belangrijkpunt waar rekening mee gehouden moet worden is dat de mate waarin het begrip toeneemtsterk afhankelijk is van de complexiteit en de aard van de te leren stof en de interpretatie vande visualisatie van het gerepresenteerde fenomeen [9]. Een applicatie kan het meeste kennisoverbrengen wanneer deze voor de gebruiker intuıtief werkt. De resultaten van deze onderzoekenzien er over het algemeen veelbelovend uit.

Een voorbeeld van een onderzoek dat wel kwantitatieve resultaten heeft geboekt is van deUniversiteit van Nottingham [14]. Dit is echter niet uitgevoerd met een VR bril, maar geeftwel een vergelijking tussen een virtuele omgeving en een traditionele lesmethode. In overlegmet scholen in Nottinghamshire is een applicatie ontwikkeld over de lesstof die gegeven wordtover radioactiviteit. De applicatie heeft een virtuele omgeving waarin de leerlingen experimen-ten kunnen uitvoeren met radioactieve en afschermende materialen. Zo kunnen ze zien welkeafschermende materialen welke radioactieve deeltjes tegen houden. Voor de experimenten wer-den twee klassen gebruikt. Een klas werd opgesplitst in twee groepen. De ene groep volgdeeerst de traditionele les en kon daarna werken met de applicatie en de andere groep kon eerstwerken met de applicatie en volgde daarna de les. De andere klas kon niet worden opgesplitstdoor roosterwijzigingen waardoor de hele groep eerst de traditionele les volgde en daarna de lesmet de applicatie. Het resultaat was dat de leerlingen de stof beter begrepen na het volgen vande traditionele les dan na het gebruik van de applicatie. Dit zou betekenen dat een virtueleomgeving vooral effectief is voor een dieper begrip van kennis die al verkregen is. Dit onder-zoek gaf echter wel aan dat de meest belangrijke bevinding was dat over de manier waarop VRgebruikt dient te worden op de school aan het begin van de ontwikkeling duidelijkheid moetzijn. Daarnaast duidden de resultaten aan dat vooraf al wat informatie gegeven moet worden.

10

Dit zodat de studenten zich bewust zijn van het onderwerp, de opvattingen en terminologie diein VR gerepresenteerd worden, waardoor ze de relevante informaties uit de applicatie kunnenhalen. VR is dus niet voor ieder onderdeel effectief en ook hieruit blijkt dat de mate waarin VRbijdraagt aan het leervermogen afhankelijk is van verschillende variabelen.

2.4 Simulatorziekte

Naast de voordelen die VR heeft op verschillende gebieden zijn er ook nadelen waarmee rekeninggehouden moet worden bij de ontwikkeling van applicaties. Een van de nadelen is de mogelijkheiddat gebruikers last krijgen van simulatorziekte. Simulatorziekte is niet ongebruikelijk bij hetgebruik van VR en heeft soortgelijke symptomen als wagenziekte [15]. Het gebruik van VRkan resulteren in misselijkheid, hoofdpijn en duizeligheid. Er zijn talrijke factoren die mogelijkbijdragen aan simulatorziekte, waardoor veel factoren weinig empirische resultaten hebben. Ditmaakt het lastig om algemene richtlijnen op te stellen. Echter zijn er bepaalde aspecten dieconsistent blijken. Het versmallen van het horizontale gezichtsveld en het deels beperken vande vrijheid bij het navigeren vermindert de simulatorziekte. Ook het meenemen van de fysiekewereld en het verhogen van tactiele feedback lijken de symptomen te verminderen.

11

12

HOOFDSTUK 3

Driedimensionale transformaties inhomogene vorm

In de wiskunde is een affiene transformatie een functie tussen affiene ruimtes waarbij de meet-kundige structuur en parallellisme behouden blijven1. Wanneer X en Y affiene ruimtes zijn,is iedere affiene transformatie f : X → Y van de vorm x 7→ Mx + b waarbij M een lineairetransformatie is op X en b een vector is in Y.

Een lineaire transformatie is een afbeelding (in het Engels “mapping”) die de operaties optel-ling en scalaire vermenigvuldiging behoudt. Dit is altijd een afbeelding van een deelvectorruimtenaar een deelvectorruimte2.

Deze lineaire transformaties kunnen gerepresenteerd worden door matrices. Wanneer T eenafbeelding van een lineaire transformatie van vectorruimte Rn naar vectorruimte Rn is en ~x eenkolomvector is, dan geldt T (~x) = A~x voor een mxn matrix A. A is hierbij de transformatie-matrix van T3. Op deze manier kunnen transformaties op een consistente manier weergegevenworden die geschikt is voor berekeningen. Doordat bij een affiene transformatie de oorsprongvan de afbeelding niet vast staat kunnen deze transformaties niet zo maar omgezet worden naareen matrix. Hiervoor zijn namelijk homogene coordinaten nodig. Dit betekent dat de 3-vectoren(x,y,z) worden gerepresenteerd door 4-vectoren (x,y,z,1) en dat de matrix in plaats van een 3x3matrix een 4x4 matrix wordt. Dat zijn de driedimensionale transformaties in homogene vorm.

Het coordinatensysteem in een driedimensionale omgeving heeft drie assen: x, y en z. Voordeze scriptie wordt er gebruik gemaakt van het linkshandige systeem waarbij de positieve kantvan de x-as zich rechts bevindt, de positieve as van de y-as zich boven bevindt en de positievekant van de z-as zich voor bevindt zoals te zien is in figuur 3.1.

Figuur 3.1: Linkshandige coordinatensysteem met bijbehorende assen4.

1https://en.wikipedia.org/wiki/Affine_transformation (bezocht op 3-6-2017)2https://en.wikipedia.org/wiki/Linear_map (bezocht op 3-6-2017)3https://en.wikipedia.org/wiki/Transformation_matrix (bezocht op 3-6-2017)4http://flylib.com/books/en/2.416.1.16/1/ (bezocht op 3-6-2017)

13

3.1 Voorbeelden

Een aantal voorbeelden van driedimensionale transformaties in homogene vorm zijn translatie,verschaling, rotatie en afschuiving (“shear” in het Engels). Dit zijn de transformaties waarop defocus ligt in deze scriptie.

Translatie verplaatst ieder punt van een object met dezelfde afstand in dezelfde gegeven rich-ting (over een vector (dx, dy, dz)). De matrix die daarbij hoort is:

1 0 0 dx0 1 0 dy0 0 1 dz0 0 0 1

Verschaling vergroot of verkleint objecten (met een vector (dx, dy, dz)) en de verschalingsma-

trix voor 3D objecten is: dx 0 0 00 dy 0 00 0 dz 00 0 0 1

Rotatie roteert een object om een as met een hoek φ. Bij de verschillende assen horen ver-

schillende vergelijkingen en dus ook verschillende matrices.

Matrix voor rotatie omde x-as met hoek φ:1 0 0 00 cosφ −sinφ 00 sinφ cosφ 00 0 0 1

Matrix voor rotatie omde y-as met hoek φ:cosφ 0 sinφ 0

0 1 0 0−sinφ 0 cosφ 0

0 0 0 1

Matrix voor rotatie omde z-as met hoek φ:cosφ −sinφ 0 0sinφ cosφ 0 0

0 0 1 00 0 0 1

Afschuiving verplaatst de punten van een object in dezelfde richting met een afstand evenre-

dig met de afstand tot een lijn parallel aan die richting. In dit geval is die lijn een van de assen.Iedere afschuiving met een andere as geeft andere vergelijkingen en dus ook een andere matrix.

Matrix voor afschuivingparallel aan de x-as

volgens (dy, dz):1 dy dz 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

Matrix voor afschuivingparallel aan de y-as

volgens (dx, dz):1 0 0 0dx 1 dz 00 0 1 00 0 0 1

Matrix voor afschuivingparallel aan de z-as

volgens (dx, dy):1 0 0 00 1 0 0dx dy 1 00 0 0 1

14

HOOFDSTUK 4

Virtual Reality applicatie

Zoals eerder vermeld hebben 3D transformaties mogelijk baat bij een lesmethode die gebruikmaakt van Virtual Reality. Om dit verder te onderzoeken is een applicatie ontwikkeld die het ef-fect van de 3D transformaties in homogene vorm kan laten zien. De applicatie is geımplementeerdmet de game-engine Unity1 en is ontworpen voor gebruik met de Oculus Rift2.

4.1 Werking

In de applicatie bevindt de gebruiker zich in een huis. Links in beeld staat een 4x4 matrix dieeffect heeft op de omgeving. Dit is te zien in figuur 4.1. Alle zestien elementen van de matrixzijn aan te passen. De invoer voor dit programma is een gamepad waarvan met een joysticklangs de elementen gelopen kan worden. Met een andere joystick kan van het huidige element dewaarde of de functie worden aangepast. Beweging in de verticale richting verandert de waarde enbeweging in de horizontale richting past de functie aan. De beschikbare functies zijn de cosinus,de sinus, de negatieve cosinus, de negatieve sinus, 1/x en −1/x. Hierdoor is het mogelijk omrotatie uit te voeren en een verschaling te inverteren.

Figuur 4.1: Het beeld binnen de VR applicatie.

De uitleg van de werking van de knoppen is te zien in figuur 4.2. De ingestelde matrixkan worden toegepast op de omgeving door het indrukken van knop “3” waarna het huis wordtgetransformeerd. De volgende matrix die wordt toegepast wordt dan weer op de reeds getransfor-meerde wereld toegepast. Door op knop “1” te drukken wordt de inverse van de laatst toegepaste

1https://unity3d.com/ (bezocht op 8-6-2017)2https://www.oculus.com/rift/ (bezocht op 8-6-2017)

15

matrix ingesteld, waarna deze toegepast kan worden met knop 3. Knop “4” stelt de getranspo-neerde matrix in en knop “2” zet de omgeving terug naar de beginstand en zet de matrix terugnaar de identiteitsmatrix. Ook bij iedere transformatie door knop 3 wordt de matrix terug gezetnaar de identiteitsmatrix. De net toegepaste matrix wordt nu getoond boven de identiteitsmatrix.

Ook de laatst toegepaste matrix kan opnieuw ingesteld worden. Dit gebeurt wanneer er opde onderste knop rechts bovenop de gamepad (“R2”) wordt gedrukt. Door de bovenste knoplinks bovenop de gamepad (“L1”) ingedrukt te houden wordt figuur 4.2 getoond. Hierop is tevinden wat de functie is van iedere knop op de gamepad.

Figuur 4.2: Uitleg van de werking van de knoppen op de gamepad.

Bij de onderste knop links bovenop de gamepad (“L2”) staat “Matrix voorbeelden”. Dematrix voorbeelden zijn een aantal matrices die tonen hoe de transformatie matrices van devoorbeelden die behandeld zijn in het vorige hoofdstuk opgezet zijn. De matrix voorbeelden zijnte zien in figuur 4.3. Zoals eerder genoemd is de toepassing ontworpen aan de hand van de lesstofdie gegeven wordt op de Universiteit van Amsterdam in het tweede jaar, dus de matrices zijndaarop gebaseerd.

Figuur 4.3: De afbeelding met voorbeeld matrices die getoond kan worden in de applicatie.

De knop “R1” geeft de tweede mogelijkheid om transformaties toe te passen. Wanneer dezeingedrukt gehouden wordt, wordt iedere aanpassing van de matrix direct toegepast op de omge-ving. In dit geval is dat echter altijd de originele omgeving of de omgeving die getransformeerdis door middel van knop 3. Ook wordt de matrix niet terug gezet naar de identiteitsmatrix.

Ten slotte is het ook mogelijk om door de ruimte te bewegen. De orientatie van de knoppenis afhankelijk van de kijkrichting van de gebruiker.

16

4.2 Ontwerpkeuzes

Unity is hoofdzakelijk gericht op games en de focus ligt op het gebruik zo makkelijk mogelijk temaken voor de gebruiker. Het gebruik van Unity en de interface van het maken van een gamezijn hier op gebaseerd. De website zelf adverteert namelijk met slogans als “You can createany 2D or 3D game with Unity. You can make it with ease, you can make it highly-optimizedand beautiful, and you can deploy it with a click to more platforms than you have fingers andtoes.” en “Unity is a ready-made solution that’s also intuitive to use and deeply customizable.With workflows that just make sense, rendering power, and highly optimized physically-basedshading, you can make beautiful games fast.”3. Dit is uitermate handig wanneer het ontwikkelenvan een game in zo min mogelijk tijd het doel is van de ontwikkelaar. Wanneer het echter eenmiddel is voor een onderzoek over een onderwerp uit het academisch onderwijs, brengt dit watmoeilijkheden met zich mee.

4.2.1 Omgeving

Om een uitgebreid programma met talrijke mogelijkheden intuıtief en snel in gebruik te makenneemt Unity de gebruiker een aantal dingen uit handen. Unity heeft functies die hierarchischwerken, zogenoemde “GameObjects” die werken als containers voor alles van personages totdelen van het landschap en “Prefabs” om deze makkelijk en snel te hergebruiken4. Voor de weer-gave en natuurkundige interacties maakt Unity gebruik van “Transforms” en slaat transformatiematrices niet expliciet op. Objecten hebben een apart aan te passen positie, schaal en rotatie enmatrices worden gegenereerd wanneer nodig5. Deze implementatie elimineert de mogelijkheid omte werken met een “scene graph”. Een scene graph ordent de logische en ruimtelijke voorstellingvan een grafische scene in een graaf of boomstructuur6. Vaak heeft iedere knoop in de graafeen transformatiematrix die ook effect heeft op de kinderen ervan. Het implementeren van hettoepassen van een matrix is hiermee vrij eenvoudig. Nu dit echter niet beschikbaar is, moet deomgeving van de applicatie en de toepassing van de transformatiematrices op een andere maniergeımplementeerd worden.

Een mogelijkheid is het gebruiken van een “triangle mesh”. In Unity kan namelijk een 4x4matrix knooppunt voor knooppunt worden toegepast op een mesh. Het creeren van een meshkost extra werk en vereist extra kennis, waardoor er besloten is om een mesh te gebruiken vande “Asset store” van Unity. De gebruikte mesh is gemaakt door de gebruiker “Mohelm97” enheet “Simple Home Stuff”7. Een van de belangrijke aspecten van VR is dat het de fysiekeaanwezigheid van de gebruiker in de omgeving simuleert. Om dit optimaal te gebruiken is ergekozen voor een te transformeren omgeving in plaats van een te transformeren object in deomgeving.

Ten slotte is er besloten het bovenvlak van het huis in de applicatie weg te laten. De navigatiemogelijkheden geven de gebruiker namelijk de mogelijkheid om zich buiten het huis te bewegenen eventueel de omgeving in vogelperspectief te bekijken zoals is te zien in figuur 4.4a.

4.2.2 Besturing

Een applicatie kan ontwikkeld worden met verschillende invoerapparaten. De Oculus Rift biedteigen invoerapparaten en beperkt het gebruik van andere. Het gebruik van het keyboard is lastigdoordat deze te veel verplaatsing van de handen van de gebruiker vraagt. Daarnaast zijn er ookte veel knoppen waarin de gebruiker zich kan vergissen en zo het risico geeft dat de Oculus Riftzal moeten worden afgezet. De matrix elementen hebben te veel opties om te selecteren doormiddel van de muis en de Oculus Rift afstandsbediening heeft niet genoeg mogelijkheden. DeOculus Touch controllers bieden mogelijkheden door de knoppen en joysticks. Het selecteren vanmatrix elementen kan hierbij nog lastig zijn en wanneer de gebruiker toch al een soort gamepads

3https://unity3d.com/unity4https://docs.unity3d.com/Manual/GameObjects.html5http://answers.unity3d.com/questions/24664/why-on-earth-can-i-not-just-get-and-set-the-matrix.

html (bezocht op 4-6-2017)6https://en.wikipedia.org/wiki/Scene_graph (bezocht op 4-6-2017)7https://www.assetstore.unity3d.com/en/#!/content/69129 (bezocht op 4-6-2017)

17

in handen heeft kunnen deze ook vervangen worden door een gamepad waarbij de selectie vande elementen gaat via een joystick in plaats van via de sensoren van de Oculus Rift. Vanwegedeze reden is een beschikbare controller gekozen als invoerapparaat.

4.2.3 Transformaties toepassen

Het doel van de applicatie is het onderwijzen van transformaties. Om het leerproces zo min mo-gelijk in de weg te zitten zal de applicatie zo intuıtief mogelijk moeten zijn. Er is ondervonden dater meerdere verwachtingen zijn met betrekking tot het effect van de matrix op de omgeving. Ditis deels afhankelijk van de manier waarop de transformatie wordt toegepast. De ene verwachtingis dat wanneer een element van de matrix wordt opgehoogd en dit onmiddellijk effect heeft op deomgeving, dat dan de volgende ophoging van een element de omgeving verandert overeenkomstigmet de verandering in de matrix en niet verandert volgens de vermenigvuldigde huidige en laatsttoegepaste matrix. Dit betekent dat de nieuwe transformatie altijd moeten worden toegepast opde omgeving waarmee begonnen is. De andere verwachting is voor het toepassen van de trans-formatie door middel van een knop. De verwachting is dat wanneer een transformatie wordttoegepast, de volgende transformatie wordt toegepast op wat er op dat moment zichtbaar is endus op de reeds getransformeerde wereld.

Beide opties hebben voordelen en nadelen. De eerste optie geeft sneller duidelijkheid over heteffect van elementen waarmee de gebruiker nog niet bekend is. Wanneer een element langzaamopgehoogd en verlaagd kan worden en de omgeving zich ook langzaam aanpast wordt het effectduidelijker zichtbaar. Daarnaast kan men de omgeving vergelijken met de huidige matrix zodateen bepaalde matrix gekoppeld kan worden aan het effect dat de gebruiker voor zich ziet. Ditbrengt echter met zich mee dat verschillende transformaties niet achter elkaar kunnen wordentoegepast. Wanneer er bijvoorbeeld een verschaling is uitgevoerd en de matrix wordt teruggezetnaar de identiteitsmatrix om een rotatie in te stellen, wordt de omgeving ook eerst weer teruggezet naar het origineel waarna alleen de rotatie wordt uitgevoerd. Dit is het voordeel van detweede optie. Het effect van opvolgende transformaties kan bekeken worden en het effect tonenvan een matrix in zijn geheel is ook mogelijk. Doordat de opties elkaars nadelen oplossen iservoor gekozen om beide opties te implementeren.

4.2.4 Navigatie

Voor de navigatie binnen de applicaties is ervoor gekozen om de orientatie van de knoppenafhankelijk te laten zijn van de kijkrichting van de gebruiker. Ondanks het gebrek aan extraknoppen voor verticale verplaatsing, voegt dit de mogelijkheid toe om de omgeving vanuit eenvogelperspectief te bekijken of, wanneer de omgeving bijvoorbeeld gespiegeld wordt in het xz-vlak, de omgeving te bekijken van onderaf zoals te zien is in figuur 4.4.

(a) Omgeving gezien vanuit vogelperspectief. (b) Omgeving gezien van onderaf na spiegeling.

Figuur 4.4: Voorbeelden van navigatie.

4.2.5 Canvas positie

Het gezichtsveld in de Oculus Rift is kleiner dan dat de camera in de “Game” modus laat zien endus ook kleiner dan dat figuur 4.1 laat zien. Daarnaast moet de matrix groot genoeg zijn zodatieder element iedere beschikbare functie met waarden kan laten zien. Hierdoor blijft er weinig

18

ruimte naast de matrix over om de omgeving te zien. Om dit te voorkomen is ervoor gekozenom het canvas waar de matrix op staat in “world space” te zetten. Dit betekent dat de matrixniet mee draait wanneer de camera draait, waardoor de gebruiker de omgeving beter kan zien.

4.3 Implementatie

Zoals eerder genoemd is de omgeving opgebouwd uit meshes gedownload uit de asset store vanUnity. Deze meshes zijn gecombineerd zodat de transformaties op het volledige huis kunnenworden toegepast. Dit zorgt ervoor dat de positie van de meshes en daarmee de afstanden tussende verschillende meshes ook wordt meegenomen in de transformatie.

De rest van de applicatie bevindt zich op het canvas. De matrix is opgebouwd uit knoppenzodat deze geselecteerd kunnen worden, maar de meeste functionaliteit van de applicatie komtvan twee scripts. De matrix elementen hebben een script dat ervoor zorgt dat wanneer hetelement geselecteerd is de waarde en functie aangepast kunnen worden.

Het andere script hoort bij het ouder object van de verzameling knoppen en bevat bijna allefuncties die gebruik maken van de totale matrix. De twee belangrijkste functies zijn de functiesdie de wereld transformeren. Een functie leest de matrix in die op het scherm te zien is en pastdeze toe op de mesh en de andere functie wordt aangeroepen vanuit een element van de matrixwanneer deze wordt aangepast in de live modus. Daarnaast staan hier ook de functies die deinverse en de getransponeerde berekenen en de functie die de laatst toegepaste matrix terug zet.

Ook eerder uitgelegd is de keuze van de positie van het canvas. De positie in “world space”is een optie voor VR die de gebruiker een beter zicht geeft op de omgeving, maar hierbij ookongewenste situaties met zich mee brengt. Wanneer het canvas dezelfde soort positie heeft alsde andere meshes, betekent dit ook dat het canvas met andere meshes kan snijden en het kanvoorkomen dat het canvas zich voor de gebruiker achter een andere mesh bevindt. Dit belemmerthet gebruik van de matrix en veroorzaakt dat de gebruiker tijd besteed aan het positioneren vande camera enkel om de matrix te kunnen gebruiken. Om dit te voorkomen is het nodig om eenextra camera te plaatsen op dezelfde positie als de originele camera. De tweede camera moet danalleen de UI laten zien en de hoofd camera alles behalve de UI8. Op deze manier is het mogelijkde UI altijd voor de rest van de omgeving te zetten en toch de voordelen van een in world spacecanvas te houden.

8https://stackoverflow.com/questions/37704248/canvas-is-not-rendering-on-top (bezocht op 4-6-2017)

19

20

HOOFDSTUK 5

Opzet vervolg onderzoek

De ontwikkelde Virtual Reality applicatie is bedoeld om bij te dragen aan het onderwijs vaneen universiteit. Zoals eerder vermeld, wordt Virtual Reality gezien als een technologie met veelmogelijkheden, onder andere in het onderwijs, waardoor er al een aantal onderzoeken over zijnuitgevoerd. Voor dit onderzoek is het doel te onderzoeken of de applicatie, door de eigenschappenvan Virtual Reality, meer bijdraagt aan het begrip van de stof bij studenten dan het traditionelehoorcollege dat nu gegeven wordt. Deze onderzoeksopzet is echter voor een nog uit te voerenonderzoek waardoor er nog geen resultaten verkregen zijn.

5.1 Onderzoeksvraag

De onderzoeksvraag horend bij dit onderzoek zal zijn: “Kunnen homogene 3D transformatieseffectief bestudeerd worden met een Virtual Reality applicatie?”. Dit wordt onderzocht metbehulp van een toets over de stof die de applicatie de studenten leert. Ook wordt de ervaringvan de student meegenomen.

5.2 Methode

Om een goede vergelijking te kunnen maken tussen de applicatie en het hoorcollege, zullen ertwee gelijke groepen van ongeveer tien vrijwilligers gebruikt worden. De ene groep zal beginnenmet het leren van de 3D transformaties door middel van de applicatie en zal erna een hoorcollegevolgen en de andere groep zal dit eerst doen door middel van het hoorcollege en zal daarna nogwerken met de applicatie. De dag zal beginnen met het Virtual Reality onderdeel voor groep 1,vervolgens volgen beide groepen het hoorcollege waarna groep 2 de experimenten met de VirtualReality applicatie zal doen. De applicatie is ontwikkeld om gebruikt te worden in het tweedejaarsvak van de UvA. Om te zorgen dat de groepen voor het experiment zo veel mogelijk lijken op dedoelgroep zullen deze groepen uit eerstejaars studenten van de UvA bestaan. Dit kunnen geentweedejaars studenten zijn, omdat zij het vak dit jaar al gehad hebben.

Wanneer de studenten met de applicatie zullen werken zal dit voor iedere student ongeveer 25minuten in beslag nemen. Er is maar een Oculus Rift beschikbaar, dus er zal een afspraak metiedere student gemaakt moeten worden op welke tijd hij of zij aan de beurt is. De groep waarineen student wordt ingedeeld en het tijdstip waarop de test voor die student zal plaatsvindenworden gerandomiseerd.

Aangezien de student nog kennis moet maken met de werking van de applicatie zal er in deeerst vijf minuten uitleg gegeven worden en kan de student de applicatie uitproberen. Vervol-gens heeft de student tien minuten de tijd om een aantal mogelijkheden van de applicatie uit teproberen en te begrijpen. Deze mogelijkheden worden beperkt tot de matrices die ook in hethoorcollege zullen worden uitgelegd, namelijk de matrix voor verschaling, de matrix voor trans-latie, de matrix voor afschuiving langs de x-as en de matrices voor rotatie om de x-, y- en z-as.Deze matrices kunnen worden weergegeven op het scherm. Hierbij is het doel om het effect van zo

21

veel mogelijk van deze matrices te begrijpen en eventueel kort nog wat andere mogelijkheden teproberen. Dit krijgen de studenten mee als opdracht en zal de vrijheid hebben om zelf te bepalenhoe dit te doen. Tot slot zal de student in de laatste tien minuten een korte toets maken en watvragen beantwoorden over hoe de applicatie ervaren werd en welke verbeterpunten de studentenervoor weten. Ook wordt eventuele last van simulatorziekte meegenomen in het onderzoek.

Het hoorcollege zal ongeveer een half uur in beslag nemen, waarna dezelfde toets ook zalworden afgenomen. In dit hoorcollege zullen de eerdergenoemde matrices uitgelegd worden zoalsdit ook gedaan wordt voor het vak.

5.3 Toets

De toets zal bestaan uit tien opdrachten. Vijf opdrachten zijn meerkeuzevragen, waarbij uit eenaantal opties het juiste effect van een getoonde matrix moet worden gekozen. De andere vijfopdrachten zijn matrices die ingevuld moeten worden aan de hand van een beschreven effect. Ermoet hierbij vermeden worden dat de student de opdrachten kan voltooien door middel van hetuit hun hoofd leren van de voorbeeld matrices die getoond worden in de applicatie. Vervolgensworden de volgende vragen gesteld:

Op schaal van een tot vijf (een is “helemaal niet mee eens”, vijf is “helemaal mee eens”):

1. De bediening was moeilijk.

2. Het effect van de matrices was goed te begrijpen.

3. Virtual Reality hielp bij het begrijpen van het effect.

Ja/nee vragen en open vragen:

1. Leer je deze stof liever door middel van Virtual Reality of door middel van een hoorcollege?

2. Zou je hier vaker mee willen oefenen?

3. Heb je last gekregen van duizeligheid of misselijkheid?

4. Wat vond je goed aan deze applicatie?

5. Wat zijn nog verbeterpunten of heb je nog opmerkingen?

Van het eerste deel wordt een cijfer berekend op een schaal van 1 tot 10.

5.4 Analyse

Aan het eind zijn er vier resultaten: de resultaten na het gebruik van de applicatie van groep1, de resultaten na het hoorcollege van groep 1, de resultaten na het hoorcollege van groep 2 deresultaten na het gebruik van de applicatie van groep 2. Deze zullen worden afgekort door VR1,HC1, HC2 en VR2. Met deze resultaten kunnen vervolgens de groepen vergeleken worden. Uitde resultaten VR1 en HC2 kan blijken of er een verschil zit in het begrip van de stof door hetwerken met de applicatie en het volgen van het hoorcollege. Vervolgens kunnen de cumulatievecijfers van VR1 en HC1 vergeleken worden met de cumulatieve cijfers van HC2 en VR2 om tekijken of het hoorcollege of de applicatie het begrip meer verbetert.

Daarnaast kunnen de vragen over de beleving van de applicatie ook aanduiden of de studentenmeer baat hebben bij de applicatie en kunnen de verbeterpunten meegenomen worden voor eeneventueel vervolg.

22

HOOFDSTUK 6

Conclusie en discussie

Virtual Reality heeft naar verwachting talrijke mogelijkheden binnen verschillende gebieden waarhet onderwijs er een van is. Doordat de technologie nog niet zo lang veel mogelijkheden biedtvoor VR en de technologie nog minder lang makkelijk en goedkoop verkrijgbaar is, zijn er ooknog weinig toepassingen binnen het onderwijs en gaan onderzoeken vaak nog over wat er allemaalmogelijk kan zijn. Wel is er duidelijk dat VR niet bij ieder onderwerp van toegevoegde waardeis en dat onderwerpen met een duidelijk ruimtelijk component zich het best lenen voor eenlesmethode die gebruik maakt van VR.

Deze scriptie beschrijft een voor deze scriptie ontwikkelde toepassing over een onderwerpbinnen de wiskunde dat mogelijk baat heeft bij uitleg in VR. De driedimensionale transformatiesin homogene vorm zijn namelijk een fundamenteel onderdeel van het binnen de informaticabelangrijke onderwerp computergraphics, waarvan het effect in 3D duidelijk moet zijn.

Een toepassing voor VR ontwikkelen die buiten het gebied van games en entertainment valt,bleek echter nog lastig door de focus van de game-engine. Het onderzoek zal hierdoor later nogplaatsvinden.

6.1 Verwachte resultaten van het onderzoek

Het onderzoek met de ontwikkelde applicatie heeft, zoals eerder genoemd, niet kunnen plaats-vinden. Aan de hand van de bestudeerde literatuur kan er wel een hypothese worden opgesteld.Doordat het ruimtelijk voorstellingsvermogen bijdraagt aan het begrip van onderwerpen in dewiskunde met een duidelijk ruimtelijk component en VR dit voorstellingsvermogen kan vervangendoor een omgeving die er fysiek lijkt te zijn, wordt er verwacht dat de applicatie voor een aantalstudenten zeker het begrip zal verhogen. Uit het onderzoek van de Universiteit van Nottinghamblijkt echter dat voor een effectieve applicatie het nodig kan zijn dat er al voor het gebruik vanVR uitleg gegeven is over de stof. Daarnaast is het niet mogelijk de studenten lang met de appli-catie te laten werken doordat er maar een Oculus Rift beschikbaar is. De verwachting hierdooris dat er weinig verschil zal zijn tussen de cijfers van de groep die alleen VR heeft gebruikt ende groep die alleen het hoorcollege heeft gevolgd, maar dat de cijfers van de groep die na hethoorcollege nog werkt met de applicatie meer zullen toenemen dan de cijfers van de groep diehet hoorcollege na het gebruik van de applicatie volgt.

Hierbij moet wel opgemerkt worden dat de matrices die voor dit experiment getoetst wordende simpelere en meest gebruikte matrices zijn. Dit kan als gevolg hebben dat door zowel alleen hetvolgen van het hoorcollege als door alleen het werken met de applicatie het begrip al voldoendeis en de applicatie hierdoor voor weinig verbetering kan zorgen. De kracht van de applicatieligt daarnaast vooral bij het kunnen aanpassen van alle elementen van de matrix, waardoor ermatrices gemaakt kunnen worden waarvan het effect lastig in woorden uit te leggen of lastig voorte stellen is.

23

6.2 Vervolgonderzoek

Naast het uitvoeren van het onderzoek voor de huidige applicatie zijn er nog verschillende mo-gelijkheden voor een vervolgonderzoek. De applicatie zelf biedt alleen nog een basis voor hetonderwijzen van 3D transformaties. Een toevoeging voor het aanpassen van de matrix is demogelijkheid tot het selecteren van een aantal elementen tegelijkertijd, waardoor de waarde enfunctie van deze elementen tegelijkertijd aangepast kunnen worden. Dit is o.a. handig bij hetinstellen van de rotatie matrices, aangezien daarbij vaak voor de verschillende elementen dezelfdewaarde nodig is. Opties voor het automatisch instellen van de matrix van bepaalde voorbeeldtransformaties maakt de afbeelding en het overnemen van de voorbeeld matrices overbodig. Hetovernemen van een matrix draagt echter wellicht bij bij het onthouden van de specifieke trans-formaties, maar wanneer de gebruiker wat beter bekend is met de matrices kost dit steeds extratijd. Daarnaast geeft het de ruimte meer extra opties toe te voegen dan wanneer dit binnen hetbeperkte gezichtsveld getoond moet worden.

Een andere toevoeging is voor de geschiedenis van transformaties. Momenteel is het mogelijkom de laatst toegepaste matrix opnieuw in te stellen, maar het kunnen terughalen van nog eerderematrices kan het begrip vergroten. Een visuele matrix stack waar doorheen gescrold kan wordenen waar matrices uit geselecteerd kunnen worden is hiervoor een mogelijkheid.

Daarnaast is het effect een transformatie niet altijd meteen duidelijk. Een mogelijkheid omeen raster versie van de omgeving voor de laatste transformatie of van het origineel te kunnentonen kan het effect verduidelijken. Het kunnen selecteren van een object in de ruimte envervolgens daarop de transformaties toepassen zou hiervoor een andere optie kunnen zijn.

Verder kan er nog onderzoek gedaan worden naar het effect van afrondfouten binnen deapplicatie. Tijdens de ontwikkeling van de huidige implementatie is hier kort naar gekeken enis er bij een aantal testen nog geen effect gevonden. Daarnaast zal het effect minder duidelijkzichtbaar zijn vanwege het gebrek aan coordinaten in deze omgeving. Dit wil echter niet zeggendat dit effect niet kan optreden en het is mogelijk dat het effect wel te zien is bij bepaaldesituaties. Daarnaast zal de implementatie van een manier van uitleg van dit effect binnen deapplicatie een extra les geven.

Een kort genoemd onderwerp is simulatorziekte. Door de vele factoren die misschien invloedhebben en de uitdagingen die de consistente factoren met zich mee brengen is hier niets concreetstegen geımplementeerd, maar is dit zeker een onderdeel waar verder naar gekeken kan worden.

Ten slotte is de applicatie alleen nog beschikbaar voor gebruik met de Oculus Rift. Idealiterzou de applicatie door meerdere studenten tegelijk gebruikt kunnen worden en zouden de stu-denten hier zelf toegang tot hebben. Een oplossing daarvoor is compatibiliteit met smartphoneszodat de applicatie met de goedkopere opties als Google Cardboard gebruikt kan worden.

24

Bibliografie

[1] M. Lynch, “How Virtual Reality is changing education.” http://www.theedadvocate.org/

how-virtual-reality-is-changing-education/ (bezocht op 25-05-2017).

[2] T. Klunder, “Virtual Reality in education,” bachelorscriptie, Universiteit van Amsterdam,2015.

[3] J. Jacobson, “Digital Dome vs. Desktop Display in an Educational Game: Gates of Ho-rus,” Design, Utilization, and Analysis of Simulations and Game-Based Educational Worlds,p. 13, 2013.

[4] H. Leung, H. Lee, K.-P. Mark, and K. M. Lui, “Unlocking the secret of 3D content foreducation,” in Teaching, Assessment and Learning for Engineering (TALE), 2012 IEEEInternational Conference on, pp. W1C–13, IEEE, 2012.

[5] D. Allison and L. F. Hodges, “Virtual reality for education?,” in Proceedings of the ACMsymposium on Virtual reality software and technology, pp. 160–165, ACM, 2000.

[6] D. Beker, “Teaching the Marching Cubes Algorithm in a Virtual and Augmented RealityLearning Platform,” bachelorscriptie, Universiteit van Amsterdam, 2016.

[7] E. Fennema and L. A. Tartre, “The use of spatial visualization in mathematics by girls andboys,” Journal for Research in Mathematics Education, pp. 184–206, 1985.

[8] G. Taxen and A. Naeve, “A system for exploring open issues in VR-based education,”Computers & Graphics, vol. 26, no. 4, pp. 593–598, 2002.

[9] M. Windschitl, B. Winn, B. Fishman, and S. O’Connor-Divelbiss, “A virtual environmentdesigned to help students understand science,” in Proceedings of the International Confe-rence of the Learning Sciences, pp. 290–296, 2013.

[10] NMC, “Important Developments in Educational Technology for Higher Education,” NMCHorizon Report > 2016 Higher Education Edition, pp. 40–41, 2016.

[11] A. Bamford, “The 3D in education white paper,” 2011.

[12] N. Sala, “Multimedia and virtual reality in architecture and in engineering education,” inProceedings of the 2nd WSEAS/IASME International Conference on Educational Techno-logies, Bucharest, Romania, vol. 22, 2006.

[13] C. Youngblut, “Educational Uses of Virtual Reality Technology.,” tech. rep., DTIC Docu-ment, 1998.

[14] J. K. Crosier, S. V. Cobb, and J. R. Wilson, “Experimental comparison of virtual realitywith traditional teaching methods for teaching radioactivity,” Education and InformationTechnologies, vol. 5, no. 4, pp. 329–343, 2000.

[15] L. Rebenitsch and C. Owen, “Review on cybersickness in applications and visual displays,”Virtual Reality, vol. 20, no. 2, pp. 101–125, 2016.

25

26

Appendices

27

BIJLAGE A

Toets voor het onderzoek

3D transformaties

Naam:Studentnummer:

Toets

Het coordinatensysteem dat gebruikt is voor deze vragen is het volgende, waarbij de positievez-as het papier in gaat:

Deel 1: Kies het juiste effect op een 3D object bij de gegeven matrix.1.

2 0 0 00 2 0 00 0 2 00 0 0 1

(a) Het object wordt twee keer zo groot.

(b) Het object wordt verplaatst naar het punt (2,2,2).

(c) Het object wordt twee keer zo klein.

29

2. 1 0 0 10 1 0 20 0 1 10 0 0 1

(a) Het object wordt twee keer zo groot in alleen de y-richting.

(b) Het object wordt verplaatst naar het punt (1,2,1).

(c) Shear langs de y-as wordt toegepast.

3. 2 0 0 00 2 0 00 0 0 00 0 0 1

(a) Het object wordt twee keer zo groot in alleen in de x- en y-richting.

(b) Het object wordt twee keer zo groot in de x- en y-richting en wordt teruggebracht naar hetxy-vlak.

(c) Het object wordt alleen verplaatst in de x- en y-richting.

4. 1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 2

(a) Het object blijft dezelfde grootte.

(b) Het object wordt twee keer zo groot.

(c) Het object wordt twee keer zo klein.

5. Gezien vanuit het punt (0,0,0) kijkend richting de positieve z-as.cosφ −sinφ 0 0sinφ cosφ 0 0

0 0 1 00 0 0 1

(a) Het object roteert om de z-as met de klok mee.

(b) Het object roteert om de z-as tegen de klok in.

(c) Het object roteert om de y-as met de klok mee.

(d) Het object roteert om de y-as tegen de klok in.

Deel 2: Vul de matrix in zodat die zorgt voor het beschreven effect.1. Shear langs de x-as met (0.5, 0.5).

2. Het object wordt drie keer zo groot.

30

3. Het object wordt op de x-as en op de z-as twee keer zo groot en op de y-as 3 keer zo groot.

4. Rotatie om de x-as met 1/3 π tegen de klok in.

5. Shear langs de y-as met x=0.5 en z=2.

31

32