4a Lista de Exercıcios de Estruturas Algebricas

Profs. Marcelo Escudeiro Hernandes e Rosali Brusamarello

1. Mostre que os seguintes conjuntos com as operacoes indicadas sao aneis:

(a) (ZZ,⊕,�) onde a⊕ b = a + b e a� b = 0.

(b) (IQ,⊕,�) onde a⊕ b = a + b− 3 e a� b = a + b− ab3 .

(c) (ZZ× ZZ,⊕,�) onde (a, b)⊕ (c, d) = (a + c, b + d) e (a, b)� (c, d) = (ac, bd).

(d) (ZZ× ZZ,⊕,�) onde (a, b)⊕ (c, d) = (a + c, b + d) e (a, b)� (c, d) = (ac, ad + bc).

(e) (ZZ× ZZ,⊕,�) onde (a, b)⊕ (c, d) = (a + c, b + d) e (a, b)� (c, d) = (ac− bd, ad + bc).

2. Quais dos aneis do exercıcio anterior sao comutativos? Quais tem unidade? Determinar aunidade no caso de existir.

3. Seja A um conjunto qualquer e P(A) o conjuntos das partes de A, isto e, o conjunto detodos os subconjuntos de A. Mostre que (P(A),⊕,�) e um anel, onde x⊕y = (x∪y)−(x∩y)e x� y = x ∩ y.

4. Seja A um anel cujas duas operacoes sao iguais, isto e, a + b = ab para todo a, b ∈ A.Mostre que A = {0}.

5. Verifique se sao subaneis:

i) L = {a + b√

2 | a, b ∈ Q} do anel IR.

ii) L =

{(a bc 0

): a, b, c ∈ IR

}do anel M2×2(IR).

iii) L =

{(a 00 b

): a, b ∈ IR

}do anel M2×2(IR).

6. Encontre todos os subaneis de Z6.

7. Mostre que se B e C sao subaneis de um anel A, entao B ∩ C e um subanel de A.

8. Seja A um anel tal que x2 = x para todo x ∈ A. Mostre que −x = x para todo A.(Sugestao: considere (x + x)2)

9. Prove que um anel com a propriedade do exercıcio anterior e comutativo. (Sugestao:calcule (x + y)2)

10. Prove que se A e um domınio e A tem um numero finito de elementos, entao A e um corpo.

11. Encontre os elementos inversıveis dos seguintes aneis:

(a) (IQ,⊕,�), onde a⊕ b = a + b− 1 e a� b = a + b− ab.

(b) (ZZ× ZZ,⊕,�), onde (a, b)⊕ (c, d) = (a + c, b + d) e (a, b)� (c, d) = (ac, ad + bc).

Algum dos aneis anteriores e um corpo?

12. Um elemento a de um anel A e chamado idempotente se a2 = a e nilpotente se existen ∈ IN tal que an = 0. Mostre que o unico elemento nao nulo idempotente de um domınioe a unidade e que o zero e o unico elemento nilpotente de um domınio.

13. Mostre que se A e um domınio entao:

1

(a) A equacao x2 = 1 admite como solucao x = 1 ou x = −1. (Observe que isto nao everdadeiro para matrizes).

(b) A equacao x2 = x admite como solucao x = 1 ou x = 0.

14. Mostre que se A e um domınio e L e um subanel de A, entao 1A = 1L.

15. Verifique se sao ideais os seguintes conjuntos nos aneis dados.

(a) {0, 2, 4} em (ZZ6,+, .) com as operacoes usuais.

(b) mZZ×nZZ em (ZZ×ZZ,+, .) onde as operacoes sao como definidas no exercıcio 1 itemc).

(c) {x ∈ ZZ,mdc(x, 5) = 1} em (ZZ,+, .) com as operacoes usuais.

(d) {x ∈ ZZ, 9 divide 21x} em (ZZ,+, .) com as operacoes usuais.

(e) {x ∈ ZZ, x divide 24} em (ZZ,+, .) com as operacoes usuais.

(f) ZZ no anel (IQ,⊕,�) onde a⊕ b = a + b− 1 e a� b = a + b− ab para todo a, b ∈ IQ.

(g) 2ZZ no anel (ZZ,+,×) onde + e a adicao usual e a× b = 0 para todos a, b ∈ ZZ.

(h) L =

{(a 00 −a

): a ∈ IR

}em M2×2(IR).

16. Descrever (liste alguns elementos) os seguintes ideais principais nos aneis indicados muni-dos com as operacoes usuais de adicao e multiplicacao:

(a) 〈2〉 em ZZ6.

(b) 〈−5〉 em ZZ.

(c) 〈25〉 em IQ.

(d) 〈√

2〉 em IR.

(e) 〈3〉 em ZZ8.

(f) 〈2〉 em 2ZZ.

(g) 〈−35〉 em IR.

(h) 〈1− i〉 em IC.

17. Quais dos ideais do exercıcio anterior coincide com o proprio anel indicado?

18. Seja I um ideal de um anel comutativo A. Mostre que J = {x ∈ A;x.y = 0 ∀y ∈ A} e umideal de A. Determine J no caso em que A = ZZ16 e I = 〈2〉.

19. Sejam I = 〈a〉 e J = 〈b〉 ideais de um anel comutativo A. Mostre que I.J = {xy; x ∈I e y ∈ J} e um ideal de A e I.J = 〈ab〉.

20. Sejam I e J ideais de um anel comutativo A. Mostre que se I ∩ J = {0}, entao xy = 0para todo x ∈ I e y ∈ J .

21. Sejam I eJ ideais de um anel A. Mostre que I ∩ J e um ideal de A. Vale o mesmo para auniao?

22. Seja I um ideal de um anel A e a um elemento fixo de A. Mostre que o conjunto {i+ra; i ∈I e r ∈ A} e um ideal de A.

23. Construa as tabuas de operacoes no anel quociente A/I em cada caso indicado:

(a) A = ZZ com as operacoes usuais e I = 〈4〉.

2

(b) A = ZZ6 com as operacoes usuais e I = 〈2〉.(c) A um anel qualquer e I = A.

24. Seja m um numero inteiro positivo. Mostre que o ideal mZ e primo em Z se, e somentese, m e primo.

25. Verifique se os ideais sao primos nos aneis abaixo.

(i) < 4 > e < 2 > em Z8.

(ii) 2Z× 3Z em Z× Z.

Verifique tambem se sao maximais.

26. De exemplo de um domınio de integridade D e um ideal I de modo que D/I nao seja umdomınio de integridade.

27. Um subconjunto nao vazio I de um anel A e um ideal a esquerda de A se

• x− y ∈ I para todos x, y ∈ I;

• ax ∈ I para todo a ∈ A e todo x ∈ I.

Definimos um ideal a direita de modo analogo.

(a) Verifique que o conjunto de todas as matrizes da forma

[a 0b 0

], com a, b ∈ Z, e um

ideal a esquerda mas nao e um ideal a direita de M2×2(Z).

28. Mostre que se I e um ideal de um anel A, entao o anel quociente A/I e comutativo se, esomente se, ab− ba ∈ I, para todos a, b ∈ A.

29. Verifique se a funcao f : A→ B e ou nao um homomorfismo de aneis, nos seguintes casos:

(a) A = B = ZZ munido com as operacoes usuais de adicao e multiplicacao e f(x) = x+1.

(b) A = B = ZZ munido com as operacoes usuais de adicao e multiplicacao e f(x) = 2x.

(c) A = ZZ × ZZ munido com as operacoes dadas no exercıcio 1 item c e B = ZZ com asoperacoes usuais de adicao e multiplicacao e f(x, y) = x.

(d) A = B = ZZ × ZZ munido com as operacoes dadas no exercıcio 1 item c e f(x, y) =(y, x).

(e) A = ZZ e B = ZZn munido com as operacoes usuais e f(x) = x.

(f) A = B = IC munido com as operacoes usuais de adicao e multiplicacao e f(a + bi) =a− bi.

30. Determine dentre os homomorfismos de aneis do exercıcio anterior quais sao monomorfis-mos (injetores), epimorfismos (sobrejetores) e quais sao isomorfismos. Determine o Ker(f)para todos os homomorfismos de aneis.

31. Considere os seguintes aneis (IR,+, .) e (IR,⊕,�), onde a⊕b = a+b+1 e a�b = a+b+ab.Mostre que f : IR −→ IR dada por f(x) = x+1 e um isomorfismo de (IR,⊕,�) em (IR,+, .).Defina o homomorfismo inverso.

32. Seja A um anel. Para cada elemento inversıvel a ∈ A, seja fa : A −→ A a aplicacaodefinida por fa(x) = a.x.a−1. Mostre que fa e um isomorfismo e calcule a expressao defa ◦ fb.

33. Mostre que nenhuma aplicacao f : A −→ B, onde A = {a + b√

2, a, b ∈ IQ} e B ={m + n

√3,m, n ∈ IQ} pode ser homomorfimo de aneis.

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34. (a) Seja f : A→ B um homomorfismo de aneis sobrejetor. Mostre que se I e um ideal deA, entao f(I) e um ideal de B.

(b) De exemplo de um homomorfismo de aneis f : A → B e de um ideal I de A tal quef(I) nao seja ideal de B.

35. Seja f : A→ B um isomorfismo de aneis. Mostre que

(a) se A e um anel comutativo com identidade, entao B tambem e;

(b) se A e um domınio de integridade, entao B e tambem um domınio de integridade;

(c) se A e um corpo, entao B tambem e.

36. De um exemplo de aneis com identidade A e B e um homomorfismo de aneis f : A → Bde modo que f(1A) 6= 1B.

37. Sejam K um corpo e L um anel. Mostre que se f : K → L e um homomorfismo de aneis,entao f e identicamente nula ou f e injetora.

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