ii - lib.ugent.be

iv

Voorwoord

Dankwoord

“Praise the bridge that carried you over.” – George Colman

Ik kan dit werk niet beginnen zonder de personen te bedanken die het mij mogelijk gemaakt

hebben om het te realiseren.

Allereerst gaat mijn dank uit naar alle proffen die in de voorbije jaren de funderingen hebben

gelegd waarop dit werk kon gebouwd worden.

In het bijzonder bedank ik ook professor Van Bogaert en professor De Backer die als twee

goede projectleiders een interessant project definieerden dat me van begin tot einde geboeid

en uitgedaagd heeft en die ervoor zorgden dat het onderzoek steeds op het juiste spoor bleef.

Bedankt voor de tijd die u hierin heeft gestoken en voor verfrissende inzichten in de materie.

Ook wil ik zeker mijn begeleider Ken Schotte bedanken die als werfleider mijn eerste

aanspreekpunt was bij problemen en die met zijn verbeteringen ervoor zorgde dat de kwaliteit

van dit werk gegarandeerd bleef. Ook bedankt aan Wim Nagy die mijn eerste stappen met

Samcef heeft helpen begeleiden.

Mijn ouders verdienen alle lof voor de steun die ze mij geboden hebben. Ook hun bezorgdheid

was belangrijk voor het halen van de gestelde deadlines. Ploegbazen Dirk en Cathy verdienen

eveneens mijn grootste appreciatie voor het eindeloze verbeterwerk ook al kwam het soms

ongelegen of was de inhoud niet altijd even verteerbaar.

Een speciale bedanking voor de BW club met wie ik een groot aantal uren heb doorgebracht

op weg naar dit resultaat.

In het bijzonder wil ik Margo bedanken voor haar onbeschrijfbare bijdrage die ze heeft

geleverd, die in welke vorm ook, de meest belangrijke is geweest. En ook voor het delen van

mijn aandacht met dit werk en de 2545 simulaties die ik ervoor heb moeten uitvoeren, ook al

kwam dat niet altijd gelegen.

v

Toelating tot bruikleen

De auteur geeft de toelating deze masterproef voor consultatie beschikbaar te stellen en delen

van de masterproef te kopiëren voor persoonlijk gebruik.

Elk ander gebruik valt onder de beperkingen van het auteursrecht, in het bijzonder met

betrekking tot de verplichting de bron uitdrukkelijk te vermelden bij het aanhalen van resultaten

uit deze masterproef."

"The author gives permission to make this master dissertation available for consultation and to

copy parts of this master dissertation for personal use.

In the case of any other use, the limitations of the copyright have to be respected, in particular

with regard to the obligation to state expressly the source when quoting results from this master

dissertation."

<datum> + <handtekening>

vi

Overzicht

Het draagvermogen van historische gewelfbruggen van metselwerk onder verkeersbelasting

Matthieu Coens

Promotoren: prof. dr. ir. Philippe Van Bogaert, prof. ir. dr. Hans De Backer Begeleider: ir. Ken Schotte

Masterproef ingediend tot het behalen van de academische graad van Master in de ingenieurswetenschappen: bouwkunde Vakgroep Civiele Techniek Voorzitter: prof. dr. ir. Julien De Rouck Faculteit Ingenieurswetenschappen en Architectuur Academiejaar 2011-2012

Samenvatting

In deze masterproef wordt een model opgebouwd voor de studie van historische

gewelfbruggen van metselwerk. Dit model wordt gemaakt in eindige elementen aan de hand

van het softwarepakket Samcef. Daarbij wordt het metselwerk van de boogring gesimuleerd

als blokken die met elkaar verbonden worden via adequaat gemodelleerde voegen. Deze

boogring wordt opgebouwd uit 41 blokken. Het gewicht van de aanaarding wordt ingevoerd

als een last en zijn weerstand wordt gemodelleerd met behulp van horizontale veren. Het

model wordt gevalideerd door het te toetsen aan de resultaten van een destructieve test op

een gemetselde gewelfbrug in Prestwood. Nadien wordt op dit model wordt een studie van

zijn parameters uitgevoerd om zijn gevoeligheid aan wijzigingen van de

materiaalkarakteristieken in kaart te brengen. Als laatste wordt bestudeerd of het mogelijk is

om delaminatie in een dubbele boogring te modelleren met behulp van Samcef.

Trefwoorden

Metselwerk gewelfbruggen, Eindige elementen, Samcef, Prestwood

vii

The load bearing capacity of historic masonry arch bridges subjected to traffic loads

Matthieu Coens

Supervisors: prof. dr. ir. Philippe Van Bogaert, prof. ir. dr. Hans De Backer, ir. Ken Schotte

Abstract – In this master dissertation a model is developed using the finite element software Samcef to assess the load bearing capacity and failure mechanism of a masonry arch bridge. To validate the model, its results are compared to the Prestwood destructive test.

Keywords - Masonry arch bridges, Finite elements, Samcef, Prestwood

I. Introduction

Masonry arch bridges belong to Europe’s most aesthetic civil engineering structures. They were build with limited resources and using rudimentary empiric rules that were based on a large number of assumptions. Although they sometimes seem to have an exceptionally high load bearing capacity, sometimes these bridges suffer from sudden brittle failure mechanisms. Nowadays these structures aren’t built anymore, but their load bearing capacity is important to evaluate maintenance or to reallocate their use. The existing methods to assess their load bearing capacity are simple but rudimentary and tend to greatly underestimate the maximum capacity. This work aims to develop a model using the finite element software Samcef to assess the load bearing capacity and failure mechanism of a masonry bridge. In order to do so the masonry barrel is modelled using elements which are connected through joints using appropriate contact conditions. Samcef is believed to be able to handle these contact conditions, but little experience has been acquired so far. To validate the model, its results are compared to the Prestwood destructive test performed by the Transport Research Laboratory.

II. Model

II.I. Contact model

In a first step the contact model is developed between two cells. In a normal direction to the joint, a no tension condition is imposed; tangent to the joint the Coulomb criterion is used.

II.II. Arch barrel

The second step is the expansion of the two cell contact model to an arch barrel geometry consisting of 41 blocks. The geometry of the

barrel is matched to the Prestwood bridge architecture. The arch is loaded in the same way as during the destructive experiment by applying a point load at a quarter of the bridge’s span.

Figure 1: Prestwood bridge geometry (above), arch barrel model with 41 blocks (below)

II.III. Non-resistant fill

In a next step the fill is introduced without its resistant characteristic, i.e. only its weight. Furthermore the live load was reintroduced by assuming a spread angle of 30° and a Boussinesq load distribution.

Figure 2: Load distribution trough the backfill on to the arch barrel

II.IV. Resistant fill

In a final step the resistance of the fill is added. The lateral earth pressure is modelled by adding horizontal non-linear springs. The displacement-force relationship of the springs is based on the EuroCode rules, but linearised.

viii

II.V. Parameter study

In order to cope with the differences in material characteristics found in literature, a study on the parameters is performed by introducing an elasto-perfect plastic stress-strain model for the masonry in the arch barrel.

Based on this model the parameter study was carried out on the masonry compressive strength σc, the Young’s Modulus E of the masonry and the angle of internal friction of the fill φ.

It should be mentioned that the elasto-perfect plastic masonry model has been adopted after rejecting a more realistic tri-linear model. The rejection was due to material violation errors in the Samcef results. Also, two stress criteria were used, the Von Mises criterion was preferred.

II.VI. Double-ring arch

In an additional section of this study a double-ring arch contact model is tested.

III. Results

III.I. Contact model

Both the friction and the hinging mechanism are tested and accepted to model the contact between the blocks.

Figure 3: Displacements of the contact interface modelling between two blocks

III.II. Arch barrel

A four hinge collapse mechanism appears to be the failure cause. This corresponds to the experimental failure. The load bearing capacity of the barrel in the model is 45 kN which is 20% of the experimental collapse load.

Figure 4: Displacements of arch barrel model without fill

III.III. Non-resistant fill

The weight of the fill is believed to prestress the arch barrel which increases the load bearing capacity of the arch. This agrees with

the model findings in which the load bearing capacity of the arch increases to 114kN which is 50% of the experimental collapse load.

Figure 5: Displacements of the arch barrel loaded with the weight of the backfill

III.IV. Resistant fill

The resistance of the fill increases the load bearing capacity due to the passive lateral earth pressure which tends to counteract any movement of the arch out of its original position. This allows the increase of the live load to 221 kN which is 97% of the experimental failure load.

Figure 6: Displacements results of the barrel with resistant backfill modelled with springs

III.V. Parameter study

The introduction of the elasto-perfect plastic material model to the masonry allowed the hinge on the far left side to move to the right thus putting all hinges in a position corresponding to the experimental failure.

Figure 7: Displacement results of the model including elasto-plastic masonry behaviour

The study on the material’s characteristics reveals that the model is relatively insensitive to changes in the masonry compressive strength σc when using the elasto-plastic masonry model and the Von Mises criterion.

ix

Figure 8: Load bearing capacities of the model with different masonry compressive strengths

The Young’s Modulus of the masonry E has an inverse relation to the load increase.

Figure 9: Load bearing capacities of the model with different masonry stiffness’s

An increasing angle of internal friction of the fill φ has an increasing load bearing capacity as a result. This is due to the large increase in passive earth resistance.

Figure 10: Load bearing capacities of the model with different backfill φ

Furthermore the increasing φ results in a right hand movement of the far left joint.

Figure 11: Displacement results with φ = 20° (above), and with φ = 37° (below), with a noticeable far left hinge

movement towards the right

III.VI. Double-ringed arch

Delamination between both rings of the arch barrel is observed between ¼ and ¾ of the bridge span.

Figure 12: Displacement results of a double-ring arched barel with noticable delamination

IV. Conclusion

In conclusion we can state that it is possible to build a finite elements model using Samcef to evaluate the load bearing capacity of the bridge.

The post crushing behaviour of the model is not 100% accurate due to the elastic-perfect plastic masonry behaviour.

0

100

200

300

4 6 8 10

Pu

(kN

)

σ (MPa)

0

100

200

300

4 9 14 19

Pu

(kN

)

E (GPa)

0

100

200

300

15 25 35 45

Pu

(kN

)

φ (°)

x

Inhoudstafel

VOORWOORD ................................................................................................................................................................ IV

DANKWOORD ...................................................................................................................................................................................... IV

TOELATING TOT BRUIKLEEN .............................................................................................................................................................. V

OVERZICHT ..................................................................................................................................................................... VI

SAMENVATTING ................................................................................................................................................................................. VI

TREFWOORDEN .................................................................................................................................................................................. VI

INHOUDSTAFEL ..............................................................................................................................................................X

LIJST VAN FIGUREN ................................................................................................................................................... XII

TABEL VAN AFKORTINGEN EN SYMBOLEN ...................................................................................................... XVI

1. INLEIDING..................................................................................................................................................................... 1

2. PROBLEEMSTELLING EN ONDERZOEKSVRAAG .............................................................................................. 2

2.1. PROBLEEMSTELLING .................................................................................................................................................................. 2

2.2. ONDERZOEKSVRAAG .................................................................................................................................................................. 3

3. METHODIEK................................................................................................................................................................. 5

3.1. LITERATUURONDERZOEK .......................................................................................................................................................... 5

3.1. MODELLEREN .............................................................................................................................................................................. 5

3.1.1. Samcef [7] ........................................................................................................................................................................ 5

3.1.2. Eindige elementen ........................................................................................................................................................ 7

3.2. VERFIJNINGSFASEN VAN HET MODEL ...................................................................................................................................... 9

4. RESULTATEN LITERATUURONDERZOEK ....................................................................................................... 11

4.1. BEZWIJKMECHANISME VAN METSELWERK GEWELFBRUGGEN [8] ................................................................................... 11

4.1.1. Bezwijken van bruggen met één boogring ........................................................................................................ 12

4.1.2. Bezwijken van bruggen met meerdere boogringen ...................................................................................... 12

4.2. MODELLEREN VAN METSELWERK GEWELFBRUGGEN IN EINDIGE ELEMENTEN .............................................................. 13

4.2.1. Modelleren van de boogring ................................................................................................................................... 13

4.2.2. Modelleren van de gronddrukken van de aanaarding ................................................................................. 18

4.3. VALIDATIEMETHODE ONTWIKKELEN VOOR HET MODEL ................................................................................................... 18

4.3.1. Geometrische aspecten ............................................................................................................................................. 19

4.3.2. Materiaalkarakteristieken ...................................................................................................................................... 20

4.3.3. Validatie.......................................................................................................................................................................... 20

4.4. BESLUIT ..................................................................................................................................................................................... 21

5. RESULTATEN VAN DE MODELOPBOUW ......................................................................................................... 22

5.1. STAP 1: CONTACT- & WRIJVINGSMODEL .............................................................................................................................. 22

5.1.1. Algemeen ........................................................................................................................................................................ 22

5.1.2. Geometrie ....................................................................................................................................................................... 23

5.1.3. Eigenschappen ............................................................................................................................................................. 23

5.1.4. Randvoorwaarden ...................................................................................................................................................... 24

5.1.5. Resultaat & interpretatie ......................................................................................................................................... 28

xi

5.1.6. Besluit .............................................................................................................................................................................. 29

5.2. STAP 2: BOOGRING UIT ZES BLOKKEN .................................................................................................................................. 29

5.2.1. Algemeen ........................................................................................................................................................................ 29

5.2.2. Geometrie ....................................................................................................................................................................... 30

5.2.3. Eigenschappen ............................................................................................................................................................. 30



5.2.6. Besluit .............................................................................................................................................................................. 32

5.3. STAP 3: BOOGRING UIT 41 BLOKKEN ................................................................................................................................... 33

5.3.1. Algemeen ........................................................................................................................................................................ 33

5.3.2. Geometrie ....................................................................................................................................................................... 33

5.3.3. Eigenschappen ............................................................................................................................................................. 33



5.3.6. Besluit .............................................................................................................................................................................. 37

5.4. STAP 4: BOOGRING MET EIGENGEWICHT VAN DE AANAARDING ....................................................................................... 37

5.4.1. Algemeen ........................................................................................................................................................................ 37

5.4.2. Geometrie ....................................................................................................................................................................... 37

5.4.3. Eigenschappen ............................................................................................................................................................. 37



5.4.6. Besluit .............................................................................................................................................................................. 41

5.5. STAP 5: ACTIEVE WERKING VAN DE AANAARDING MET BEHULP VAN VEREN ................................................................ 41

5.5.1. Algemeen ........................................................................................................................................................................ 41

5.5.2. Geometrie ....................................................................................................................................................................... 41

5.5.3. Eigenschappen ............................................................................................................................................................. 42



5.5.6. Besluit .............................................................................................................................................................................. 53

5.6. STUDIE VAN DE PARAMETERS ................................................................................................................................................. 54

5.6.1. Druksterkte metselwerk σc ...................................................................................................................................... 54

5.6.2. Young’s Modulus E ...................................................................................................................................................... 61

5.6.3. Hoek van inwendige wrijving φ ............................................................................................................................ 62

5.6.4. Besluit .............................................................................................................................................................................. 63

5.7. DUBBELE BOOGRING ................................................................................................................................................................ 64

5.7.1. Algemeen ........................................................................................................................................................................ 64

5.7.2. Geometrie ....................................................................................................................................................................... 64

5.7.3. Eigenschappen ............................................................................................................................................................. 65



5.7.6. Besluit .............................................................................................................................................................................. 69

6. BESLUIT ...................................................................................................................................................................... 70

BIJLAGEN ........................................................................................................................................................................ 72

REFERENTIES ................................................................................................................................................................ 73

xii

Lijst van Figuren

Figuur 1: Componenten bakstenen gewelfbruggen voor een Monier boogbrug ................................ 3

Figuur 2: Schematische voorstelling interne structuur Samcef ................................................................. 6

Figuur 3: Voorstelling boogring in eindige elementen (boven) en resultaat van een verkeerde

combinatie van hypothese en elementenstructuur (onder) ........................................................................ 8

Figuur 4: Definitie van een QUAD/8 element (links) en implementatie van een QUAD/8

element in het eindmodel in Samcef (rechts) ..................................................................................................... 8

Figuur 5: Schematische voorstelling van het stappenplan van de modellering.................................. 9

Figuur 6: Gewelfbrug met één boogring samengesteld uit een laag samenhangende bakstenen

[8] ....................................................................................................................................................................................... 12

Figuur 7: Destructief testen van een dubbele boogring met een vierscharnieren mechanisme

(links) en een delaminatie (rechts) [8] .............................................................................................................. 13

Figuur 8: Voorwaarden voor het contactmodel in de voegen ................................................................. 14

Figuur 9: Resultaat van een modellering met een contact- & wrijvingsmodel in een vast aantal

voegen .............................................................................................................................................................................. 14

Figuur 10: Resultaat van een modellering met de iteratieve scheur techniek door het invoegen

van voegen tussen blokken waar trek optreedt [2] ...................................................................................... 14

Figuur 11: Boogring in staafmodel (links [3]) boogring in blokmodel (rechts) .............................. 15

Figuur 12: Elastisch-perfect plastisch gedrag ................................................................................................ 15

Figuur 13: Druksterkte criterium voor het metselwerk in een boogring staafmodel [2,3] ........ 16

Figuur 14: Spanning-rek diagramma zoals gebruikt in [9]....................................................................... 16

Figuur 15: Von Mises spanningscriterium voor het verbrijzelen van mestelwerk [9] ................. 17

Figuur 16: Niet-lineair spanning-rek verloop metselwerk onder druk (links [10])

gelineariseerd spanning-rek verloop metselwerk onder druk (rechts [10]) ..................................... 17

Figuur 17: Geometrische kenmerken van de bakstenen gewelfbrug in Prestwood ...................... 19

Figuur 18: Schematische voorstelling van de belasting aangebracht tijdens de destructieve

proef .................................................................................................................................................................................. 19

Figuur 19: Bezwijken van de bakstenen gewelfbrug in Prestwood [2] ............................................... 20

Figuur 20: Belasting wrijvingsmodel van Coulomb ..................................................................................... 22

Figuur 21: Geometrie van het contact- & wrijvingsmodel (gegenereerd door Samcef) ............... 23

Figuur 22: Geometrie en randvoorwaarden van het contact- & wrijvingsmodel (gegenereerd

door Samcef) ................................................................................................................................................................. 24

Figuur 23: Principe van de variable penalty methode met een voorstelling van een contactveer

(links) en het opgelegde gedrag van de veer (rechts) [12] ........................................................................ 25

Figuur 24: Vertaling van het contactmodel naar de contactvoorwaarden ........................................ 26

Figuur 25: Grafische weergave van de structuur van het contactcommando .................................. 27

Figuur 26: Beschrijving van het 2D model met boven een fijne mesh en onder een ruwe mesh

en van links naar rechts: slave knopen en master rand; slave rand en master knopen; master

rand en slave rand; master rand en slave rand [12] ..................................................................................... 27

Figuur 27: Resultaten van de belasting van de modellen in Cauchy spanningen [12] .................. 27

xiii

Figuur 28: Contact- & wrijvingsmodel met randen zowel in master- als slave-groep (links) en

met knopen in de slave-groep en een rand in de master-groep (rechts) ............................................. 28

Figuur 29: Verhoogd aantal knopen in de master-groep (links) en verhoogd aantal knopen in

de slave-groep (rechts) ............................................................................................................................................. 28

Figuur 30: Wrijvingsspanning in de interface ................................................................................................ 29

Figuur 31: Aantonen correcte scharnierende werking door het aanbrengen van een opwaartse

kracht ............................................................................................................................................................................... 29

Figuur 32: Geometrie en celverdeling boogring uit zes blokken ........................................................... 30

Figuur 33: Vervormingen van een boog bestaande uit zes blokken die telkens uit één element

opgemaakt zijn ............................................................................................................................................................. 31

Figuur 34: Vervormingen van een boog bestaande uit zes blokken die telkens uit vier

elementen zijn opgemaakt....................................................................................................................................... 32

Figuur 35: Vervormingen van een boogring met de geometrie van de Prestwood brug

opgebouwd met zes blokken .................................................................................................................................. 32

Figuur 36: Geometrie en celindeling boogring met 41 blokken ............................................................. 33

Figuur 37: Randvoorwaarden zoals aangebracht in Stap 3 ...................................................................... 34

Figuur 38: Vervormingen model Stap 3, vervormingsschaal 14 ............................................................ 34

Figuur 39: Vervormingen na verfijning van het model met vervormingsschaal = 240 en

bezwijklast 45 kN (boven), foto van de bezwijkende brug tijdens het experiment (onder [2]) 35

Figuur 40: Bezwijklast en berekeningstijden als functie van het aantal blokken in de boogring

............................................................................................................................................................................................. 36

Figuur 41: Resultaten van de vervormingen van boogringen met respectievelijk, van links naar

rechts: 11, 21, 31, 41 en 51 blokken .................................................................................................................... 36

Figuur 42: Voorstelling van een grondkolom die het blok verticaal belast ....................................... 38

Figuur 43: Belastingsspreiding in de aanaarding ......................................................................................... 38

Figuur 44: Variabelen van de Boussinesq theorie toegepast op de aanaarding van een

gewelfbrug...................................................................................................................................................................... 39

Figuur 45: Toename van de spanning op de boog berekend volgens Boussinisq (links), de

spanning getekend op de boog (rechts) ............................................................................................................. 39

Figuur 46: Vertaling van spanning naar krachten op de blokken (links), waarden van de

krachten bij een belasting van 228 kN (rechts) .............................................................................................. 40

Figuur 47: Vervormingen van het model in Stap 4 met vervormingsschaal = 280 en

bezwijklast = 114 kN (boven), vervormingen model Stap 3 met vervormingsschaal = 240 en

bezwijklast = 45 kN (onder) ................................................................................................................................... 40

Figuur 48: Nieuwe punten die zich op x = 1m bevinden van de buitenzijde van de boogring .. 41

Figuur 49: Geometrie van de veren die de laterale gronddrukken modelleren .............................. 42

Figuur 50: Algemene voorstelling van een veer-demper systeem uit de utility library van

Samcef .............................................................................................................................................................................. 42

Figuur 51: Deel van de verticale last die horizontale drukken veroorzaakt op het blokje.......... 43

Figuur 52: Vereiste horizontale verplaatsingen om actieve (va) en passieve (vb) gronddruk op

te wekken........................................................................................................................................................................ 44

xiv

Figuur 53: Verplaatsing-spanning diagram van de laterale gronddrukken, getrapt verloop .... 44

Figuur 54: Verplaatsing-spanning diagram van de aanaarding met passief verloop zoals

voorgesteld in de EuroCode (links), gelineariseerd verloop (rechts) ................................................... 45

Figuur 55: Ingegeven verplaatsing-kracht verband van de veren op blok 27 van rechts geteld

............................................................................................................................................................................................. 45

Figuur 56: Verplaatsingen van het model beschreven in Stap 5, vervormingsschaal = 200,

bezwijklast = 240 kN .................................................................................................................................................. 46

Figuur 57: Weergave van een model waarvan de berekeningen niet convergeren ....................... 47

Figuur 58: Weergave van de smoo techniek ................................................................................................... 47

Figuur 59: Verplaatsingen van het model waarvan de convergentie vervroegd werd aanvaard,

vervormingsschaal = 1E15, bezwijklast onbekend ....................................................................................... 48

Figuur 60: Variable penalty principe (links), opgelegde veer stijfheid (rechts) .............................. 49

Figuur 61: Vervormingen na berekening met opgelegde contact penalty, vervormingsschaal =

1, last = 228 kN (boven), experimenteel bezwijken van de Prestwood brug (onder [2]) ............. 49

Figuur 62: Functieverband dat de stijfheid van de tangentiële veren vertraagt tov die van de

normale veren ............................................................................................................................................................... 51

Figuur 63: Voorstelling van afvallende knopen in de voeg van twee elementen die in contact

staan .................................................................................................................................................................................. 51

Figuur 64: Scharnier waarin penetratie ontstaat door relaxatie mbv de variable penalty

methode........................................................................................................................................................................... 51

Figuur 65: Vervormingen van het model Stap 5 met een vervormingsschaal = 40 en

bezwijklast = 221 kN .................................................................................................................................................. 52

Figuur 66: Vervormingen van het model Stap 5 met een vervormingsschaal = 1 en bezwijklast

= 221 kN .......................................................................................................................................................................... 52

Figuur 67: Krachtscomponent in een veer van 1m (F1), krachtscomponent in een veer van

10m (F2) ......................................................................................................................................................................... 53

Figuur 68: Vervormingen van het model met veren met lengte van 10m, vervormingsschaal =

40, bezwijklast = 221 kN .......................................................................................................................................... 53

Figuur 69: Structuur bezwijkgedrag metselwerk ......................................................................................... 54

Figuur 70: Tri-lineair spanning-rek diagram voor metselwerk in druk [10] ................................... 55

Figuur 71: Tri-lineair spanning-rek verband zoals ingegeven in een functievoorschrift in

Samcef .............................................................................................................................................................................. 55

Figuur 72: Vervormingen model met tri-lineair spanning-rek verband voor metselwerk,

vervormingsschaal = 120, last 221 kN ............................................................................................................... 56

Figuur 73: Model met tri-lineair spanning-rek gedrag (boven), model met oneindige sterkte

(onder) ............................................................................................................................................................................. 56

Figuur 74: Elastisch-prefect plastisch gedrag tegenover tri-lineair gedrag ...................................... 57

Figuur 75: Druksterkte criterium voor het metselwerk in een boogring staafmodel [3] & [4] 57

Figuur 76: Bezwijklast als functie van de druksterkte σc van het metselwerk op basis van het

eindmodel in Stap 5, Young’s Modulus = 15 GPa ........................................................................................... 58

Figuur 77: Vervormingen net na het ontstaan van een plastisch scharnier ...................................... 59

xv

Figuur 78: Bezwijkmechanismen als functie van de druksterkte en het spanningscriterium .. 59

Figuur 79: Vervormingen van het model met criterium Snedekrachten, vervormingsschaal =

40, bezwijklast = 142 kN (boven), criterium Von Mises, vervormingsschaal = 5, bezwijklast =

228 kN (midden), experimenteel bezwijken van de constructie (onder) ........................................... 60

Figuur 80: Bezwijklast als functie van de Young Modulus op basis van het model met Von

Mises criterium met σc = 8 MPa ............................................................................................................................. 61

Figuur 81: Invloed van E op de bezwijkmechanismen als functie van de druksterkte en het

spanningscriterium .................................................................................................................................................... 62

Figuur 82: Bezwijklast als functie van de hoek van inwendige wrijving φ in het model met E =

15 GPa en σc = 8 MPa ................................................................................................................................................. 62

Figuur 83: Bezwijkmechanisme met φ = 20° en vervormingsschaal = 20 (boven),

bezwijkmechanisme φ = 37° met vervormingsschaal = 5 (onder) ........................................................ 63

Figuur 84: Geometrie en celindeling van dubelle boogring ..................................................................... 64

Figuur 85: Vergelijking van de densiteit van de knopen in het contactvlak in één enkelek boog

(links) en tussen beide bogen (rechts) ............................................................................................................... 65

Figuur 86: Verhogen van de densiteit van de knopen tussen beide boogringen door toevoegen

van intermediaire knopen ....................................................................................................................................... 65

Figuur 87: Gebruik van QUAD/8 elementen om beide ringen te modelleren .................................. 65

Figuur 88: Gescheiden contactvlakken in een enkele boog (links) en snijdende contactvlakken

in een dubbele boog (rechts) .................................................................................................................................. 66

Figuur 89: Resultaat van een berekening met een verhoogd aantal knopen in het contactvlak

tussen beide bogen ..................................................................................................................................................... 66

Figuur 90: Vervorming van de cellen met een verhoogd aantal intermediaire knopen ............... 67

Figuur 91: Vervormingen van het model met allemaal QUAD/8 knopen........................................... 67

Figuur 92: Hoofdspanningen in de elementen ............................................................................................... 67

Figuur 93: Vervormingen dubbele boogring, vervormingsschaal = 2700, bezwijklast 13 kN ... 68

Figuur 94: Hoofdspanningen in de dubbele boogring na invoeren van vlakvervorming ............ 68

Figuur 95: Vervormingen in de dubbele boogring, vervormingsschaal = 1, bezwijklast = 14 kN

............................................................................................................................................................................................. 69

xvi

Tabel van afkortingen en symbolen

φ hoek van inwendige wrijving van de aanaarding in graden

γa densiteit van de aanaarding in kN/m³

γb densiteit van het metselwerk in kN/m³

μstat statische wrijvingscoëfficiënt in het Coulomb wrijvingsmodel

ν coëfficiënt van Poisson

ψ wandwrijvingshoek tussen aanaarding en boogring in graden

σc druksterkte van het metselwerk in MPa

c cohesie van de aanaarding in kPa

E elasticiteitsmodulus van Young in GPa

k stijfheid van een lineaire veer in N/m

K0 neutrale gronddrukcoëfficiënt

Ka actieve gronddrukcoëfficiënt

Kp passieve gronddrukcoëficiënt

Pexp experimentele bezwijkbelasting tijdens de proef door het TRL op de Prestwood brug

va minimale wijking van een verticale keerwand om actieve gronddruk op te activeren

vp minimale wijking van een verticale keerwand om passieve gronddruk op te activeren

BGT bezwijk grenstoestand

GGT gebruiks grenstoestand

TRL Transport Research Laboratory

MEXE Military Engineering Experimental Establishment

QUAD/X benoeming van een bepaald type element dat in eindige elementen programmering wordt gebruikt, de letter X stelt het gebruikte aantal knopen voor

.alg commando dat een algoritme toekent de elementen

.dat bestandsextensie van het bestand dat het script bevat dat door de bacon prépocessor van Samcef wordt gelezen

.mat commando waarin materiaaleigenschappen worden gedefinieerd

.mcc commando waarin eigenschappen aan veren worden toegekend

.mce commando waarin veren gedefinieerd worden

.mct commando waarin het contact tussen randen of tussen randen en knopen wordt gereguleerd

.res bestandsextensie van het bestand dat door de solver van Samcef wordt geschreven tijdens de berekening

.sub commando dat in een niet-lineaire berekening de berekeningen reguleert

1

1. Inleiding

Een groot deel van de metselwerk gewelfbruggen die gebouwd werden in Europa in de 19de

eeuw zijn nu nog in gebruik. Ook in België zijn er nog steeds bruggen van dit type. Deze

kunstwerken werden ontworpen volgens de codes en criteria die in de 19de eeuw werden

gehanteerd. Tegenwoordig worden deze constructies onderworpen aan lasten die niet

voorzien waren in de 19de eeuw. Zo kan het zijn dat er nu grotere aslasten de constructie

aanvallen, maar het zijn vooral de aantallen en de snelheden van de belastende voertuigen die

sterk zijn toegenomen. Verder moet men ook rekening houden met de veroudering van de

constructie. Gezien het belang van deze kunstwerken voor het Belgisch spoornet en hun

culturele waarde is er nood aan een betrouwbare methode om het draagvermogen van deze

constructies te evalueren. Het belang van dit onderwerp wordt aangetoond door publicaties

uit: het Verenigd Koninkrijk [5], Italië [2][3][4], Griekenland [2][11], Duitsland [2][11], Spanje

[8], India [10].

2

2. Probleemstelling en Onderzoeksvraag

In dit hoofdstuk wordt het nut en het doel van deze masterproef uiteengezet.

2.1. Probleemstelling

Sommige gemetselde gewelfbruggen behoren tot de meest esthetische constructies in Europa.

Ze werden gebouwd op basis van empirische regels en tot voor kort ontworpen met zeer

bescheiden middelen en aan de hand van veel veronderstellingen. Toch blijkt hun

draagvermogen soms uitzonderlijk hoog, hetgeen niet belet dat ze uiterst bros gedrag

vertonen, waarmee wordt bedoeld dat hun eventuele bezwijken plots gebeurt. In de praktijk is

nog een grote hoeveelheid historische gewelfbruggen in gebruik. In Europa bestaat 25% van

de wegbruggen en 45% van de spoorbruggen uit metselwerk boogbruggen [1]. Voor het

Belgische spoornet zijn dit er nog bijvoorbeeld 2305.

plat gewelf rond gewelf tongewelf totaal

baksteen metselwerk 207 993 28 1228 natuursteen metselwerk 86 655 16 757

gemengd metselwerk/beton 34 127 10 171

metselwerk van betonblokken 20 123 6 149

totaal 347 1898 60 2305 Tabel 1: Aantal metselwerkbruggen beheerd door Infrabel

Dergelijke constructies worden nu niet meer nieuw gebouwd, maar voor hun onderhoud is een

degelijke bepaling van de draagkracht onontbeerlijk. Er bestaan eenvoudige methodes om die

bruggen te beoordelen, maar het is gebleken dat deze veel te rudimentair zijn.

De meest verspreide en meest gekende methode om bakstenen gewelfbruggen te evalueren is

de semi-empirische Military Engineering Experimental Establishment (MEXE) methode. Deze

heeft als doel om na te gaan of een bestaande constructie het oversteken van een militaire tank

kan overleven. Deze methode wordt in het Verenigd Koninkrijk algemeen aanvaard als

standaardmethode voor het evalueren van de draagkracht van bakstenen gewelfbruggen

onder verkeersbelasting. Het nadeel van deze methode is dat het een vrij ruwe methode is die

gebruikt maakt van reductiefactoren die gebaseerd zijn op visuele inspecties. De basis voor

deze reductiefactoren is nooit echt grondig bevestigd geweest. Een ander punt van kritiek is

dat het algemeen geweten is dat het draagvermogen van bakstenen gewelfbruggen zeer

gevoelig is aan de geometrie van de constructie en de plaatsing van de lasten. Hier wordt

onvoldoende rekening mee gehouden in de MEXE methode [2]. Het eenvoud in gebruik is de

grote aantrekkingskracht van deze methode. De resultaten van de MEXE methode zijn echter

zeer conservatief.

De toename van het verkeer, het aftakelen van de materialen en de optredende defecten

hebben de vraag naar een meer betrouwbare en economischere evaluatiemethode

aangewakkerd. De hierop volgende pogingen om betrouwbare structurele modellen te

ontwikkelen botsten altijd op de complexe driedimensionale structuur van dit soort

constructies. Gewelfbruggen vinden veel van hun draagcapaciteit in de interactie tussen alle

componenten (boogring, kopmuren, aanaarding, landhoofden, enz) (Figuur 1) die samen de

3

driedimensionale structuur opbouwen. Het bezwijken van dit soort constructies bestaat

bijgevolg uit complexe mechanismen omdat deze beïnvloed worden door een groot aantal

componenten. Bovendien worden elk van deze componenten gemaakt uit complexe

materialen zoals metselwerk en grond.

Figuur 1: Componenten bakstenen gewelfbruggen voor een Monier boogbrug

Indien het transversale bezwijkmechanisme wordt genegeerd, kunnen tweedimensionale

modellen van grote waarde zijn in de studie naar het bezwijken van de structuur in

longitudinale richting. In het bijzonder kan bijvoorbeeld de versterkende werking van de

aanaarding waarvan men gelooft dat ze een grote invloed heeft, onderzocht worden.

Bovendien kunnen deze modellen eenvoudig en duidelijk weergeven hoe de structuur reageert

in langse zin op belastingen [2].

Om op een aanvaardbare wijze inzicht te krijgen in de mechanica van zulke structuren zijn er

modellen ontwikkeld met de eindige elementenmethode. Deze modellen werden gemaakt in

eindige elementenpakketten zoals Ansys [2], Abaqus [2]. Tijdens deze masterproef zal een

metselwerk gewelfbrug voor het eerst gemodelleerd worden met behulp van het Samcef

softwarepakket.

2.2. Onderzoeksvraag

Het doel van deze masterproef is het modelleren van historische gewelfbruggen aan de hand

van het softwarepakket Samcef. Daarbij dient het metselwerk gemodelleerd te worden als

massieve elementen die met elkaar verbonden worden via adequaat gemodelleerde voegen.

Hiervoor worden bijzondere contactvoorwaarden gebruikt. De software laat zulke simulaties

toe, maar er is nog weinig ervaring mee. Het is de bedoeling om uit dit model gefundeerde

conclusies te trekken, met betrekking tot het draagvermogen van boogbruggen in metselwerk.

Een modellering houdt een vertaling in van de werkelijkheid naar een fysisch wiskundig

model. Om dit te kunnen doen moet het werkelijk probleem vereenvoudigd worden tot het

mogelijk is om het te beschrijven in de gebruikte modelleringstechniek. Bij deze

vereenvoudiging gaat er onvermijdelijk informatie verloren. Het is belangrijk dat het

4

uiteindelijke model dan ook relevant blijft, dat de sterkte-eigenschappen van het model die

van de werkelijke constructie benaderen. Dit wordt nagekeken door het model te valideren op

basis van een aantal criteria. Het Transport Research Laboratory (TRL) heeft in 1985 een

destructieve test uitgevoerd op een bakstenen gewelfbrug die zich in de Engelse stad

Prestwood bevond. Een aantal auteurs die de modellering van dit soort bruggen bestuderen

hebben hun resultaten gevalideerd met die van deze test. Het lijkt interessant om deze tactiek

te volgen en indien een gelijkaardig resultaat wordt bekomen, is het alvast een aanduiding dat

de gemaakte modellering steek houdt.

Het model zal zich beperken tot een tweedimensionaal model. Er zal getracht worden het

falen in longitudinale zin van de constructie te modelleren.

5

3. Methodiek

In dit hoofdstuk wordt uiteengezet hoe de onderzoeksvraag behandeld werd. In een eerste

stap wordt besproken hoe het literatuuronderzoek werd aangepakt en welke bronnen

bepalend waren in het onderzoek. Hieruit volgde een geometrisch model dat vervolgens wordt

opgebouwd tijdens de modellering. Nadien wordt in het onderdeel modelleren besproken hoe

het werkwoord ‘modelleren’ in de onderzoeksvraag werd vertaald naar een concrete techniek.

In een laatste deel wordt besproken hoe de modellering werd verfijnd en in een basisschema

werd verwerkt. Dit schema is eveneens de structuur van 5. Resultaten van de Modelopbouw.

3.1. Literatuuronderzoek

Het literatuuronderzoek had drie doelen voor ogen:

Basiskennis opdoen in verband met bezwijken van metselwerk gewelfbruggen

Basiskennis opdoen in verband met het modelleren van metselwerk

gewelfbruggen

Validatiemethode ontwikkelen voor het model

Het meeste opzoekingswerk werd gedaan in wetenschappelijke artikels. Er bleek dat redelijk

wat onderzoek gedaan is in verband met mestelwerk gewelfbruggen en ook specifiek in

combinatie met de eindige elementenmethode. Een aantal artikels [2], [3] & [4] hadden als

gemeenschappelijke aanpak dat ze hun modellering toetsten aan een destructieve test op een

bakstenen gewelfbrug in Prestwood. Deze artikels hebben een belangrijke invloed gehad

omdat ervoor gekozen is deze aanpak te volgen.

In het model Stap 5: Boogring met laterale gronddrukken van de aanaarding (5.5) wordt er

gebruik gemaakt van veren om de laterale gronddrukken te modelleren. Hoewel deze methode

ooit al eens toegepast is geweest, Crisfield [5], bleek het niet mogelijk om hierover de nodige

documentatie terug te vinden. Bijgevolg zijn de veren op een eigen manier ingesteld. De

EuroCode: EN 1997 - Geotechnical design - 1 EN - General rules [6] was onze leidraad bij het

instellen van de karakteristieken van de veren.

3.1. Modelleren

Het is noodzakelijk om een complexe structuur als een gewelfbrug van metselwerk op te

bouwen vanuit een zeer eenvoudig model en zo naar een meer ingewikkeld en compleet model

te evolueren. Bij elke stap zal er bijgeleerd worden en die ervaring wordt in volgende stappen

meegenomen. De keuze voor Samcef als modelleringssoftware ligt bij de vakgroep civiele

techniek waar deze masterproef wordt ingediend. Het is de gebruikte software als het

aankomt op eindige elementenprogrammering.

3.1.1. Samcef [7]

Het onderzoek van deze masterproef zal gebeuren met de eindige elementensoftware Samcef.

Samcef is een softwarepakket dat gebruikt wordt voor structurele analyse binnen

ingenieurstoepassingen. Het is een algemeen pakket dat binnen verschillende disciplines

gebruikt kan worden, vooral daar waar prototypes ontwikkeld worden en het meest

6

nadrukkelijk binnen de werktuigkunde, elektromechanica, ruimtevaart, nucleaire research,

scheepsbouw, offshore en bouwkunde. De software werd oorspronkelijk ontwikkeld aan de

Université de Liège, nadien werd zijn ontwikkeling verder gezet door het bedrijf Samtech.

De structuur van Samcef bestaat uit een reeks solvers die met elkaar verbonden zijn en die

een gemeenschappelijke pre- en postprocessor hebben die Bacon heet (Figuur 2). Het gebruik

van verschillende solvers heeft als voordeel dat binnen eenzelfde software statische,

dynamische, lineaire en niet-lineaire berekeningen kunnen worden uitgevoerd.

Figuur 2: Schematische voorstelling interne structuur Samcef

Voor het onderzoek van deze masterproef zal er gebruik worden gemaakt van twee solvers.

Enerzijds zal Asef gebruikt worden voor de lineaire berekeningen, anderzijds zal Mecano

gebruikt worden voor de niet-lineaire berekeningen.

Concreet schrijft de gebruiker een script in een .dat bestand dat gelezen wordt door de

preprocessor Bacon waarna een Solver wordt opgeroepen die de berekeningen uitvoert en

opslaat in verschillende bestanden. De postprocessor BaconPost leest de resultaten uit die

bestanden waarna nog verschillende bewerkingen kunnen worden uitgevoerd.

De structuur van een script volgt een vaste vorm:

1. Geometrie

2. Het vormen van de elementen

3. Hypothese & materiaaleigenschappen

4. Randvoorwaarden

5. Uitvoeringsbeheer (Mecano)

6. Postprocessing

Deze structuur zal ook gevolgd worden bij de bespreking van elk model in hoofdstuk 5.

Resultaten van de modelopbouw.

In het deel geometrie worden hoofdzakelijk punten, knopen en lijnen geplaatst. De knopen

zijn meteen ook de knopen die gebruikt worden om elementen in op te maken. Voor het

definiëren van deze elementen bestaan twee manieren. Enerzijds kunnen de elementen zelf

gedefinieerd worden door ze apart te benoemen en te verbinden aan knopen, anderzijds kan

een automatisch elementennet gegenereerd worden. Tijdens dit onderzoek worden alle

elementen zelf geschreven om erover te waken dat de knopen in de voegen optimaal geplaatst

worden. Dit gaat belangrijk zijn bij het modelleren van het contactmodel.

7

Na het vormen van de elementen zal een hypothese worden opgelegd aan de elementen die

bepaalt hoe de resultaten berekend en geïnterpoleerd zullen worden doorheen de elementen.

Aan deze cellen worden ook meteen alle materiaaleigenschappen opgelegd zoals het gedrag

(elastisch, plastisch, visco-elastisch, enz.), de massa, de stijfheid, coëfficiënt van Poisson,

enzovoort.

Het deel dat de randvoorwaarden bevat krijgt enerzijds zijn klassieke betekenis namelijk: de

lasten en de contactpunten met de omgeving, en anderzijds ook de beschrijving van de

contactvoorwaarden tussen de blokken en de veren.

Het uitvoeringsbeheer wordt enkel geschreven indien er gewerkt wordt met de Mecano

solver. Dit stuk beheert de verschillende opeenvolgende berekeningen en iteratieve stappen.

Onder beheren kan het volgende verstaan worden:

Het maximaal toelaatbaar aantal iteraties instellen

De convergentie grenswaarde instellen

De grootte van de tijdstappen instellen

Soort analyse van het script bepalen

De tot nu toe opgesomde componenten vormen samen het script dat door de preprocessor

gebruikt zal worden om de solver te kunnen laten rekenen. De solver slaat zijn resultaten op

waarna de postprocessor ze leest en bewerkt. Het is mogelijk om de bewerkingen van de

postprocessor ook in het script te verwerken. Dit gebeurt in de laatste fase van het script dat

pas gelezen zal worden als de gebruiker het vraagt, en dit pas na de berekeningen.

3.1.2. Eindige elementen

Cellen of eindige elementen vormen de basis van een eindige elementenprogramma. Ze

bepalen in grote mate hoe het model opgebouwd kan worden (Figuur 3), maar belangrijker is

dat deze cellen mee de nauwkeurigheid van de oplossing bepalen. Niet alleen de geometrie van

de cellen maar ook de keuze van de interpolatiefuncties tussen de knopen bepaalt deze

nauwkeurigheid. Samcef houdt dan ook bewust deze twee stappen gescheiden in de opbouw

van de elementen. Eerst dient de geometrie of topologie van het element te worden

opgebouwd, nadien worden interpolatiefuncties in een hypothese toegekend. Er mag echter

niet uit het oog verloren worden dat beide compatibel moeten blijven. Het niet respecteren

van deze compatibiliteit heeft soms tot vreemde resultaten geleid (Figuur 3).

8

Figuur 3: Voorstelling boogring in eindige elementen (boven) en resultaat van een verkeerde combinatie van hypothese en elementenstructuur (onder)

Er is uit de opbouw van de modellen gebleken dat de Mindlin hypothese de meest

bevredigende was omdat deze het best met de contactvoorwaarden om kon gaan. Hiermee

wordt bedoeld dat zij voor de minste convergentieproblemen zorgde in de contactelementen.

Het mathematische model van de Mindlin hypothese wordt opgebouwd uit drie onbekende

verplaatsingen u, v en w en drie rotaties. Deze onbekenden worden enkel gedefinieerd in de

knopen die de hoekpunten van elke cel vormen. Het is mogelijk om intermediaire knopen mee

te geven aan een Mindlin cel (interface nodes), maar deze krijgen geen vrijheidsgraden mee. Ze

kunnen enkel de graad van de interpolatiepolynoom verhogen. Het is ook mogelijk om interne

knopen mee te geven aan een Mindlin cel. Aangezien de toekomstige contactvoorwaarden heel

wat rekencapaciteit gaan vergen weegt de verhoogde nauwkeurigheid van die interne knopen

daar niet tegen op.

De Mindlin hypothese legt dus de opbouw van de geometrie van de cellen vast: de cellen

zullen bestaan uit knopen die de hoeken vormen van triangulaire of vierkante elementen en

indien gewenst aangevuld met een intermediaire knoop per zijde. Of er nu met triangulaire of

vierkante cellen wordt gewerkt, volgt eenvoudig uit de te modelleren geometrie. De

belangrijkste elementen in onze modellen zijn vierkante blokken, bijgevolg wordt er voor

vierkante cellen gekozen. De topologie van het element zoals hiervoor beschreven, komt

overeen met wat in de eindige elementenprogrammering een QUAD/8 element wordt

genoemd (Figuur 4).

Figuur 4: Definitie van een QUAD/8 element (links) en implementatie van een QUAD/8 element in het eindmodel in Samcef (rechts)

9

3.2. Verfijningsfasen van het model

De doelstelling van deze masterproef is het modelleren van historische gewelfbruggen met

een correcte contact- & wrijvingswet en een correcte interactie tussen de aanaarding en de

boogring. Om tot zulk een model te komen zal er in stappen gewerkt moeten worden om zo,

vertrekkend van een eenvoudig model, naar het eindmodel toe te werken.

In Figuur 5 wordt schematisch weergegeven in welke stappen het modelleringsproces

onderverdeeld wordt. In vijf stappen wordt van een eenvoudig model naar het eindmodel

toegewerkt. Nadien is er een parameter studie en een studie van de dubbele boogring.

Figuur 5: Schematische voorstelling van het stappenplan van de modellering

In een eerste stap wordt het contacten wrijvingsmodel opgesteld. Dit vormt de eerste stap

omdat het contact en de wrijving essentieel zijn binnen dit model. Zij vormen de basis van het

bezwijkingsmechanisme van de constructie.

In de volgende twee stappen wordt de boogring uitgebouwd en verfijnd. Daarna wordt in de

laatste twee stappen de interactie tussen de boogring en de aanaarding gemodelleerd.

Stap 5: Boogring met laterale gronddrukken van de aanaarding

methode laterale gronddruk volgens Coulomb

Stap 4: Boogring uit 41 blokken met eigengewicht aanaarding

boogring uit 41 blokken met eigengewicht backfill

Stap 3: Boogring uit 41 blokken

verhogen aantal blokken tot 41 verfijnde geometrie contactvlakken

Stap 2: Boogring uit zes blokken

blokken uit één cel blokken uit vier cellen geometrie Prestwood brug

Stap 1: Contact- & wrijvingsmodel

contact: knoop op rand contact: rand op rand

Studie van de parameters

invloed van de druksterkte van het metselwerk σc

invloed van de Young's modulus E invloed van de hoek van inwendige

wrijving φ

Dubbele boogring

tweede boog & cellen met verhoogd aantal interface knopen

correctie ophet aantal interface knopen & wijzigingen in contactvoorwaarden

wijzigen hypothese naar vlakvervorming

10

Tijdens de studie van de parameters wordt de gevoeligheid van het model dat opgebouwd is

geweest in de vorige vijf stappen bestudeerd. In een laatste fase wordt getracht een dubbele

boogring te modelleren.

Bij het uiteenzetten van de 5 stappen en de dubbele boogring in hoofdstuk 5 de volgende

structuur gehanteerd:

Algemeen: Wat/Doel – Waarom – Hoe

Geometrie: Vorm – Celindeling

Eigenschappen: Materiaal – Hypothese

Randvoorwaarden: Inklemming – Belasting – Contact

Resultaat & interpretatie: Figuren en Commentaren

Besluit

Resultaat & interpretatie: Figuren en Commentaren mag ruim opgevat worden. Vaak zal het

bekomen resultaat tot nieuwe inzichten leiden die een alternatieve modellering vragen, deze

zullen dan behandeld en besproken worden in de huidige paragraaf en krijgen geen aparte

modelleringstap.

De studie van de parameters krijgt een andere structuur. Hier worden de paragrafen

ingedeeld volgens de bestudeerde parameters.

11

4. Resultaten literatuuronderzoek

In dit hoofdstuk wordt een antwoord gegeven op basis van de literatuur over de drie doelen

die vooropgesteld waren tijdens de bespreking van de methodiek (3.1):

Basiskennis opdoen in verband met bezwijken van metselwerk gewelfbruggen

Basiskennis opdoen in verband met het modelleren van metselwerk

gewelfbruggen

Validatiemethode ontwikkelen voor het model

4.1. Bezwijkmechanisme van metselwerk gewelfbruggen [8]

Een eerste belangrijke stap in het onderzoek naar het draagvermogen van historische

gewelfbruggen is het definiëren van de bezwijkmechanismen van de brug. Een volledige

uiteenzetting hiervan is terug te vinden in [8]. Daarin wordt beschreven dat bakstenen

gewelfbruggen met één enkele overspanning meestal bezwijken via een mechanisme

bestaande uit vier scharnieren. Er bestaan ook andere bezwijkmechanismen zoals

bijvoorbeeld:

het mechanisme met drie scharnieren en een horizontale wijkende translatie van het

landhoofd

het verbrijzelen van bakstenen

het delamineren van boogringen door het falen van de mortel tussen de ringen in

bruggen met meerdere boogringen

het ponsen door de boogring ten gevolge van het falen van de mortel in de radiale

voegen

het falen van de fundering door het afglijden van het grondmassief

het bezwijken van de aanaarding

De twee meest geciteerde bezwijkmechanismen van bakstenen gewelfbruggen zijn het vier

scharnieren mechanisme en de delaminatie van boogringen. Door het gebrek aan voldoende

beschikbare gegevens over het bezwijken van historische gewelfbruggen zijn dit ook de enige

twee faalmodi die bestudeerd worden in de bestaande literatuur. Een interessant kenmerk van

deze bezwijkmechanismen is dat het structurele faalmechanismen zijn. Het is de constructie

die faalt en dit in zijn geheel.

Welke van beide mechanismen – vier scharnieren of delaminatie - wanneer voorkomt hangt

eigenlijk af van de bouwwijze van de brug. Een gewelfbrug met meerdere boogringen bezwijkt

het vaakst door delaminatie van de boogringen. Gewelfbruggen met één boogring en één

overspanning falen hoofdzakelijk met een mechanisme van vier scharnieren. Er zou ook een

verband bestaan tussen het bezwijkmechanisme en de belasting van de brug. Het vier

scharnieren mechanisme zal eerder opgewekt worden bij een statische belasting, terwijl de

delaminatie eerder het gevolg is van cyclische belastingen.

12

4.1.1. Bezwijken van bruggen met één boogring

Een enkele boogring, die kan bestaan uit één laag bakstenen of een laag samenhangende

bakstenen (Figuur 6), faalt hoofdzakelijk in een vier scharnieren mechanisme onder een

extreme belasting. Dit mechanisme treedt vroeger op dan het bezwijken van individuele

onderdelen zoals het grootschalige verbrijzelen van bakstenen of uitvallen van stenen en kan

dus beschouwd worden als een bezwijk grenstoestand (BGT) van de constructie.

Figuur 6: Gewelfbrug met één boogring samengesteld uit een laag samenhangende bakstenen [8]

Daarnaast kan de degradatie en het verlies aan structurele integriteit ten gevolge van het

verouderen van de constructie ook een invloed hebben op het draagvermogen van de

constructie. In dat geval gaat het over een gebruiks grenstoestand (GGT). Hiermee wordt

bedoeld dat de constructie zal bezwijken bij een lagere last dan die vereist om het BGT

mechanisme op te wekken. De brug zou kunnen bezwijken onder vermoeiing door het

herhaaldelijk aanbrengen van een lagere last. Hierbij zal de mortel in de voegen cyclisch

samengedrukt worden en uiteindelijk bezwijken door verbrijzeling gevolgd door verticale

barsten in de stenen.

In dit proefschrift zal specifiek worden gekeken naar het eerste geval: het ontstaan van een

vier scharnieren mechanisme waarbij wordt gerekend met de oorspronkelijke, niet

verouderde materiaaleigenschappen. Deze keuze laat toe om het model te toetsen met de

destructieve test in Prestwood wat volgens ons de beste methode is om het model te valideren.

4.1.2. Bezwijken van bruggen met meerdere boogringen

Bij bogen bestaande uit meerdere boogringen kan het bezwijken op twee manieren gebeuren.

Ook hier is het vier scharnieren mechanisme mogelijk (Figuur 7), maar bij deze constructie

vormt de delaminatie van de boogringen (Figuur 7) het meest voorkomende gevaar. Welk

mechanisme het eerst optreedt is afhankelijk van: de overspanning, de verhouding tussen de

overspanning en het pijl, het type mortel tussen de ringen en het type belasting.

13

Figuur 7: Destructief testen van een dubbele boogring met een vierscharnieren mechanisme (links) en een delaminatie (rechts) [8]

Het vier scharnieren mechanisme is gelijkaardig aan dat van de enkele boogring en kan ook

beschouwd worden als een BGT. Dit mechanisme ontstaat ook bij meerdere boogringen als

gevolg van een monotone statische belasting.

De delaminatie van de boogringen komt meestal voor bij cyclische belastingen, maar ook

extreme statische belastingen kunnen de oorzaak zijn. In het geval van de statische belasting

zal de delaminatie zich voordoen tussen ¼ van de overspanning en het dichtstbijzijnde

landhoofd en kan dan beschouwd worden als een BGT. Dit verschilt met de delaminatie onder

cyclische belasting die zich eerder voordoet tussen ¼ en ¾ van de overspanning en

beschouwd moet worden als een soort vermoeiings grenstoestand [8].

In dit proefschrift wordt gekeken naar de delaminatie ten gevolge van een statische belasting,

omdat deze belastingsmethode het dichtst aanleunt bij die van het model dat bestudeerd

wordt voor bruggen met één enkele boogring.

4.2. Modelleren van metselwerk gewelfbruggen in eindige elementen

4.2.1. Modelleren van de boogring

Indien de constructie bezwijkt met een vier scharnieren mechanisme dan situeert het falen

zich ter hoogte van de boogring. Om dit falen mogelijk te maken is het nodig om

bezwijkcriteria op te leggen aan het materiaal van de boogring. Het bezwijken van het

metselwerk in de boogring kan op twee manieren gebeuren. Enerzijds kan het metselwerk

openscheuren als er trek optreedt, anderzijds kan het metselwerk verbrijzelen als er een

overmaat aan druk op wordt uitgeoefend. In de volgende paragrafen wordt uiteengezet hoe

met deze criteria wordt omgegaan in publicaties over dit onderzoek.

4.2.1.1. Het niet toelaten van trek in het metselwerk

De meest voorkomende manier om trek uit de boogring te houden, is het invoeren van een

aantal interfaces of voegen in de boogring die in geval van trek een scharnierende werking

vertonen.

Er zijn in de verschenen publicaties twee methoden gebruikt om die voegen te karakteriseren.

Enerzijds zijn er modellen met een vast aantal voegen waarin het contact en de wrijving

worden opgewekt zoals men dat klassiek zou verwachten. Anderzijds, en dit is de nieuwere

techniek, kan de boogring opgebouwd worden uit elementen waartussen voegen worden

ingevoerd daar waar er trek optreedt [2].

14

Bij de eerste techniek wordt de ring uniform verdeeld door het invoeren van een vast aantal

interfaces. In deze voegen wordt het contact gereguleerd. In de normale richting aan de

raakvlakken worden geen trekkrachten getolereerd, indien dit toch gebeurt werkt de voeg als

een scharnier. In de tangentiële richting van de voeg wordt het wrijvingsmodel van Mohr-

Coulomb opgelegd (Figuur 8).

Figuur 8: Voorwaarden voor het contactmodel in de voegen

Het als/dan verband tussen de voegen en de scharnieren in combinatie met de wrijving die

optreedt in de voegen maakt van dit soort model een zeer niet-lineair model. Dit model wordt

als meer gebruikersvriendelijk ervaren omdat deze methode in de meeste eindige elementen

pakketten kan worden geïmplementeerd [2]. Een voorbeeld van een modellering met contact-

& wrijvingsmodel wordt gegeven in Figuur 9.

Figuur 9: Resultaat van een modellering met een contact- & wrijvingsmodel in een vast aantal voegen

De tweede techniek vertrekt vanuit een ander standpunt. De boogring wordt verdeeld in een

aantal blokken die in eerste instantie met elkaar verbonden zijn. Vervolgens gaat de

berekening van start en verloopt ze iteratief. Van het moment dat er trek ontstaat in de boog

wordt een voeg ingevoerd tussen de twee dichtstbijzijnde blokken van waar de trek optreedt.

Dit heeft als nadeel dat er moet gewerkt worden met een softwarepakket dat deze iteratieve

techniek toelaat [2]. Een voorbeeld van een modellering met de iteratieve scheurtechniek

wordt gegeven in Figuur 10.

Figuur 10: Resultaat van een modellering met de iteratieve scheur techniek door het invoegen van voegen tussen blokken waar trek optreedt [2]

15

De iteratieve techniek lijkt iets te hoog gegrepen voor de huidige kennis van de technische

mogelijkheden van het eindige elementen programma Samcef. Hierdoor kiezen we ervoor om

de boogring te modelleren met behulp van interfaces waarin het contact- & wrijvingsmodel

wordt geïmplementeerd.

4.2.1.2. Gedrag van metselwerk onder druk

De druksterkte van het metselwerk bepaalt onder welke druk het metselwerk begint te

verbrijzelen. In de literatuur zijn twee manieren terug te vinden om hier mee om te gaan. Ze

verschillen zowel in het berekenen van de spanning in de doorsnede als in het

materiaalgedrag.

4.2.1.2.1. Elastisch-perfect plastisch gedrag [3], [4]

In de modellen van [3] en [4] wordt de boogring opgebouwd uit staafelementen in plaats van

blokken (Figuur 11).

Figuur 11: Boogring in staafmodel (links [3]) boogring in blokmodel (rechts)

Aan het materiaal wordt een elastisch-perfect plastisch (Figuur 12) gedrag opgelegd. De

spanning wordt berekend op basis van de doorsnedekrachten die in de staven voorkomen.

Figuur 12: Elastisch-perfect plastisch gedrag

De grens tussen het elastisch en perfect plastisch gedrag wordt afgebakend door een ellips

(Figuur 13) in het langskracht moment diagram dat gekenmerkt wordt door Np en Mp.

16

Figuur 13: Druksterkte criterium voor het metselwerk in een boogring staafmodel [2,3]

Waarin:

Het perfect plastisch gedrag na de verbrijzeling is volgens ons niet nauwkeurig genoeg. Want

dit zou willen zeggen dat het verbrijzelde materiaal nog altijd spanningen kan opnemen. Dit is

niet mogelijk: na verbrijzelen is het metselwerk losse materie, hierdoor bezit het geen sterkte

meer.

4.2.1.2.2. Von Mises criterium [9]

Het criterium dat wordt voorgesteld in [9] vindt zijn basis in de modellering van monolithisch

beton. Het gedrag dat in artikel [9] wordt opgelegd aan het metselwerk is niet-lineair (Figuur

14).

Figuur 14: Spanning-rek diagramma zoals gebruikt in [9]

De grens waar het metselwerk verbrijzelt, wordt bepaald op basis van het Von Mises

criterium (Figuur 15). Zodra deze grens bereikt wordt valt de sterkte onmiddellijk terug tot

nul.

17

Figuur 15: Von Mises spanningscriterium voor het verbrijzelen van mestelwerk [9]

Het probleem met dit gedrag is dat het plotse bezwijken van het metselwerk ervoor zorgt dat

de convergentie snel verloren gaat, dit wordt ook aangehaald door de auteur van het

betreffende artikel.

4.2.1.2.3. Tri-lineair spanning-rek diagram [10]

In een recente studie (2006) is er onderzoek gevoerd naar het gedrag van metselwerk onder

druk. Dit onderzoek werd specifiek uitgevoerd om metselwerk op een voldoende economische

maar toch accurate manier te modelleren in eindige elementen. Het niet-lineaire gedrag van

metselwerk onder druk werd gelineariseerd tot de vorm in Figuur 16 (rechts).

Figuur 16: Niet-lineair spanning-rek verloop metselwerk onder druk (links [10]) gelineariseerd spanning-rek verloop metselwerk onder druk (rechts [10])

In dit proefschrift zal het modelleringsproces aanvankelijk met een elastisch gedrag van de

elementen in de boogring berekend worden. Er zal ook geen rekening gehouden worden met

het bezwijkgedrag van het metselwerk. We kiezen hiervoor omdat de mogelijk opkomende

convergentiefouten in de beginnende stappen hierdoor buiten het materiaalgedrag gelegen

zijn. Zodra een werkend finaal model bereikt wordt is er ruimte om het materiaalgedrag te

wijzigen naar het minder stabiele (grotere kans op het niet convergeren) gedrag zoals

voorgesteld in Figuur 16 (rechts). Dit zal bestudeerd worden in het hoofdstuk over de

parameterstudie.

18

4.2.2. Modelleren van de gronddrukken van de aanaarding

In het onderzoek van [2] wordt kort uitgelegd hoe de interactie tussen de aanaarding en de

boogring in voorgaande onderzoeken werd gemodelleerd. Samengevat kan worden

aangenomen dat eerst een boogring zonder aanaarding werd gemodelleerd. In een latere fase

is enkel het eigengewicht ingevoerd. Bij verdere ontwikkelingen werd ook de laterale werking

van de aanaarding gemodelleerd. Deze evolutie weerspiegelt zich ook in de opbouw van de

modellen in [2], [3] & [4]. Deze aanpak is doelgericht en geeft de mogelijkheid om stap voor

stap successen te boeken, wat onontbeerlijk is voor de modellering van dergelijk complexe

structuren.

De modellering van de laterale werking van de aanaarding is niet in één stap gebeurd. Zoals in

[2] vermeld staat, heeft Crisfield [5] dit als één van de eerste onderzoekers geprobeerd door,

op een vereenvoudigde manier, niet lineaire veren in te voeren. De stijfheid van de veren

correleerde hij met de beddingsconstante en de voorspanning van de veren moest de neutrale

gronddrukken modelleren. De maximale laterale drukken die de veren konden uitoefenen

werden begrensd door de actieve en de passieve gronddruk.

Later is men van dit idee afgestapt om meer nauwkeurige modellen op te bouwen. Nieuwe

ontwikkelingen hebben ertoe geleid iteratieve schema’s te gebruiken in een 2D modellering.

Hierbij werden 2D elementen in vlakvervorming gebruikt als aanaarding zoals in [2], [3] & [4].

Er moet vermeld worden dat dit een grote hoeveelheid rekencapaciteit vraagt, omdat de grens

aanaarding/boogring nieuwe, aparte contactvoorwaarden vereist en omdat het gedrag

verschilt tussen actieve en passieve grondwerking. Dit gedrag moet bij elke iteratie worden

gecontroleerd en aangepast.

Gezien de beperkte rekencapaciteit die voor dit onderzoek beschikbaar is, lijkt het een goed

idee om de tactiek van Crisfield over te nemen om de laterale werking van de aanaarding te

modelleren met behulp van veren. Dit geeft de mogelijkheid om de aanaarding op een

economische wijze te modelleren. Het werk van Crisfield [5] was echter niet ter inzage,

bovendien is het onduidelijk hoe hij de beddingsconstante in een dergelijk ingewikkelde

structuur heeft kunnen bepalen. Daarom hebben we er voor gekozen om de parameters van de

veren op een andere manier te bepalen, namelijk met de theorie van Coulomb. Hierbij worden

de aanbevelingen van: EuroCode: EN 1997 - Geotechnical design - 1 EN - General rules [6]

gevolgd.

4.3. Validatiemethode ontwikkelen voor het model

Wie een werkelijk probleem gaat modelleren heeft nood aan een validatie, om na te gaan of

het model de werkelijkheid op een aanvaardbare manier benadert.

Eén mogelijkheid om een numeriek model te valideren is aan de hand van analytische

berekeningen of modelproeven in labo’s. De beste manier om dit te doen blijft echter een proef

op een werkelijke constructie. In 1985 heeft de Transport Research Laboratory (TRL), in het

kader van onderzoek naar bakstenen gewelfbruggen met één overspanning, een aantal van

dergelijke destructieve proeven uitgevoerd op bestaande gewelfbruggen in baksteen. Tijdens

19

deze reeks werd ook die van Prestwood uitgevoerd. Zowel [2], [3] als [4] hebben hun eindige

elementen model getoetst aan deze test en op die manier gevalideerd. Omdat deze test de

meest gebruikte manier is om numerieke modellen te valideren lijkt het nuttig om ook de

modellen van dit onderzoek hierop te ijken. Hierdoor zijn de resultaten van dit model

vergelijkbaar met de resultaten in [2], [3] & [4]. Dit verklaart de keuze om deze test als

validatiemethode te gebruiken (4.1.1).

4.3.1. Geometrische aspecten

De test zelf vond plaats te Prestwood in Staffordshire in Engeland op een gewelfbrug uit

metselwerk van één overspanning. De brug had een overspanning van 6,55 m, met een pijl van

1,42 m. De dikte van de enkele boogring bedroeg 0,22 m waarin de bakstenen op kopse wijze

werden ingemetseld. De aanaarding dekt tot 0,165 m boven de kruin van de boog en de totale

breedte van de brug is 3,8 m (Figuur 17).

Figuur 17: Geometrische kenmerken van de bakstenen gewelfbrug in Prestwood

De last werd aangebracht op de gedragen weg over de volledige breedte van de brug, van

parapet tot parapet, op die positie waar de brug het snelst zou bezwijken. Men is er van

uitgegaan dat de brug zou bezwijken in een vier scharnieren mechanisme; daaruit volgde dat

de last gepositioneerd moest worden op ¼ van tot totale overspanning [2]. De last werd

gespreid over een lengte van 0,3 m om te vermijden dat de aanaarding vroegtijdig zou

bezwijken (Figuur 18). Het belasten gebeurde met behulp van hydraulische vijzels die hun

reactie vonden in het gewicht van de betonblokken die werden aangebracht op een stalen

constructie boven de brug.

Figuur 18: Schematische voorstelling van de belasting aangebracht tijdens de destructieve proef

20

In de artikels zijn geen gegevens terug te vinden over het aanbrengen van de last als functie

van de tijd. Hierdoor zal de constructie statisch belast worden.

4.3.2. Materiaalkarakteristieken

De artikels [2], [3], [4] & [11] die hun model hebben gevalideerd met de Prestwood test

gebruikten de volgende materiaalkarakteristieken. De densiteit van de aanaarding was γa = 20

kN/m³ en die van het mestelwerk bedroeg eveneens γb = 20 kN/m³. De hoek van interne

wrijving bedroeg φ = 37° en de druksterkte van de bakstenen bedroeg 4,5 N/mm². De cohesie

in de aanaarding bedroeg 10 kPa.

Eigenschappen boogring

Young’s Modulus E 15 GPa

Densiteit metselwerk γb 20 kN/m³

Druksterkte metselwerk σc 4,5 MPa

Eigenschappen aanaarding Inwendige wrijvingshoek aanaarding φ 37° Cohesie aanaarding c 10 kPa

Densiteit aanaarding γa 20 kN/m³ Tabel 2: Materiaalkarakteristieken bakstenen gewelfbrug in Prestwood [11]

Er bestaat onenigheid tussen de drie artikels over de druksterkte en de Young’s Modulus van

het metselwerk en de cohesie in de aanaarding. De druksterkte en de cohesie werden soms

zelfs aangepast om de bezwijklast in het model exact te doen overeenkomen met die van de

destructieve proef [4]. Vooral de cohesie, die op zich moeilijk te bepalen is in gronden, wordt

daarvoor gebruikt.

4.3.3. Validatie

De validatie in [2], [3] & [4] gebeurde telkens op dezelfde manier. De geometrie, belasting en

eigenschappen van het model werden gekozen overeenkomstig met die van de brug in

Prestwood zodat het resultaat vergeleken kon worden met dat van de test. De overeenkomsten

tussen de resultaten van het model en die van de destructieve test werden telkens op drie

vlakken beoordeeld:

De waarde van de bezwijklast ten opzichte van Pexp = 228 kN

Het optreden van het vier scharnieren mechanisme

De positie van de vier scharnieren (Figuur 19)

Figuur 19: Bezwijken van de bakstenen gewelfbrug in Prestwood [2]

21

Het zijn dan ook de enige kenmerken over de test die beschikbaar zijn. Nergens zijn metingen

van verplaatsingen terug te vinden als functie van last of tijd.

Een ander gemeenschappelijk kenmerk voor de validatie in de drie artikels, is dat ze alle

deterministisch zijn van aard. Hiermee wordt bedoeld dat ze de uiterste draagkracht van de

constructie bepalen uitgaande van deterministische waarden voor de variabelen. Dit is

eigenlijk niet correct omdat er onzekerheden zijn met betrekking tot de

materiaalkarakteristieken, de geometrie en de belasting. Het is wel een aantrekkelijke manier

om om te gaan met het probleem omdat de variabelen al in [2], [3], [4] & [11] werden bepaald

waardoor dit nu niet meer hoeft te gebeuren. Verder kan rechttoe rechtaan de last worden

aangebracht op het model zonder rekening te moeten houden met correctiefactoren.

Dat er ook een andere aanpak van dit probleem mogelijk is wordt aangetoond in [8]. In dit

artikel ontwikkelt de auteur een probabilistisch model voor materiaalkarakteristieken en

belastingen specifiek voor metselwerk gewelfbruggen. Het voordeel van deze aanpak is dat het

mogelijk wordt om ook met vermoeiing rekening te houden. Dit is interessant voor het

bestuderen van delaminatie in een meervoudige boogring. Hoewel het artikel citeert dat de

methodologie als compleet verklaard kan worden, is ze gefundeerd op onvoldoende statistisch

materiaal om praktisch bruikbaar te zijn. Het is dan ook een bijkomende reden om de

modellering met een deterministische methode aan te pakken.

4.4. Besluit

In dit proefschrift gaan we de tactiek die [2], [3] & [4] gebruiken om hun model te valideren

overnemen. De destructieve test in Prestwood, Staffordshire die uitgevoerd is door het TRL zal

dienen als geometrisch ontwerp en ijking van de resultaten. De belasting,

materiaalkarakteristieken en de geometrie zullen deterministisch van aard zijn. De

overeenkomsten tussen de resultaten van het model en die van de destructieve test zullen

telkens op drie vlakken beoordeeld worden:

De waarde van de bezwijklast ten opzichte van Pexp = 228 kN

Het optreden van het vier scharnieren mechanisme

De positie van de vier scharnieren

De boogring zal gemodelleerd worden met interfaces waarin het contact- & wrijvingsmodel

wordt geïmplementeerd. Het idee van Crisfield om de laterale gronddrukken te modelleren

met horizontale veren zal worden overgenomen, maar het gebruik van de beddingsconstante

om de veer te parametriseren is niet haalbaar waardoor er gesteund zal worden op de theorie

van Coulomb.

22

5. Resultaten van de Modelopbouw

In dit hoofdstuk worden de opbouw en de resultaten van de verschillende

modelleringsstappen doorlopen. Bij elke stap wordt een vast schema gevolgd:

Algemeen: Wat/Doel – Waarom – Hoe

Geometrie: Vorm – Celindeling

Eigenschappen: Materiaal – Hypothese

Randvoorwaarden: Inklemming – Belasting – Contact

Resultaat & interpretatie: figuren en commentaren

Besluit

Er wordt aangeraden om het schema in Figuur 5 uit Hoofdstuk 3 te gebruiken als gids

doorheen de verschillende modelleringsstappen.

5.1. Stap 1: Contact- & wrijvingsmodel

5.1.1. Algemeen

De eerste stap in het modelleringsproces is het modelleren van het contact tussen twee

blokken. Dit contact gaat als basis dienen voor het contact tussen de blokken in de boogring.

Vast staat dat het contact de belangrijkste eigenschap gaat zijn van het eindmodel. Het is

belangrijk om dit eerst juist te krijgen omdat het kunstwerk gaat bezwijken doordat de

blokken het contact met elkaar gaan verliezen. De meest eenvoudige manier om ervaring op te

doen met het contactprobleem is het nabootsen van het wrijvingsmodel van Coulomb (Figuur

20).

Figuur 20: Belasting wrijvingsmodel van Coulomb

Hierbij worden twee blokken op elkaar geplaatst, op het bovenste blok grijpen twee krachten

aan. Een eerste kracht grijpt verticaal aan met zin naar beneden, de tweede horizontaal met

zin naar het blok. Het bovenste blok gaat zijn reactie zoeken in het contactvlak tussen beide

blokken. Enerzijds gaat ze steunen in de verticale richting op de onderste blok, anderzijds

moet er wrijving optreden tussen beide blokken waardoor de bovenste blok niet horizontaal

gaat verschuiven ten opzichte van de onderste zolang dat er voldaan wordt aan de

wrijvingswet van Coulomb.

23

Er moet dus worden vastgesteld dat de cellen van beide blokken niet door elkaar gaan, niet

ten opzichte van elkaar verschuiven maar wel kunnen loskomen in het contactvlak. Als dit

wordt bekomen wordt het contactmodel in dit geval als correct aangezien.

5.1.2. Geometrie

Beide blokken worden opgebouwd uit telkens 3 rijen van 5 knopen, in deze groep knopen

worden twee blokken met telkens vier cellen gevormd (Figuur 21). Ter hoogte van de voeg

tussen de twee blokken worden de knopen net boven elkaar geplaatst op 1/100ste afstand. Dit

wordt gedaan om te vermijden dat de knopen in de voeg dezelfde locatie krijgen wat misschien

voor complicaties zou kunnen zorgen in een contactmodel aangezien de knopen niet tegen

maar op elkaar liggen.

Figuur 21: Geometrie van het contact- & wrijvingsmodel (gegenereerd door Samcef)

De afmetingen van elk blok worden zodanig gekozen dat ze overeenkomen met die van een

gemiddelde baksteen:

Breedte 175 mm

Hoogte 50 mm

Diepte 82 mm Tabel 3: Karakteristieke afmetingen van een baksteen

5.1.3. Eigenschappen

In een volgende stap krijgen de cellen hun materiaalkarakteristieken. Aan alle cellen worden

dezelfde eigenschappen toegewezen die in het .mat commando worden gedefinieerd. Het

toekennen van de materiaalsoort aan de cellen gebeurt via het .ael commando.

De materiaalkarakteristieken die hier worden opgelegd aan de elementen zullen dezelfde zijn

als diegene die doorheen het hele modelleringsproces aan de blokken van de boogring worden

toegekend, ze worden samengevat in de volgende lijst:

Materiaalkarakteristiek blokken boogring Symbool Waarde

gedrag - elastisch

Young Modulus E 15 GPa

densiteit metselwerk γb 20 kN/m³

coëfficiënt van Poisson ν 0,3 Tabel 4: Gebruikte materiaalkarakteristieken voor de blokken van modellen

De hypothese die wordt opgelegd aan de elementen blijft ook dezelfde doorheen het hele

modelleringsproces en is de Mindlin hypothese.

24

5.1.4. Randvoorwaarden

Beide blokken moeten natuurlijk in referentie staan tot hun omgeving. Het onderste blok

wordt aan zijn onderste vlak opgelegd en in de linkerbenedenhoek translatievast gemaakt. Dit

doen we door de onderste knopen in de Y- richting translatievast te maken en de knoop links

onder in de X- en de Y-richting (Figuur 22).

Figuur 22: Geometrie en randvoorwaarden van het contact- & wrijvingsmodel (gegenereerd door Samcef)

Vervolgens komt het uitschrijven van de contactvoorwaarden tussen beide blokken. Samcef

heeft hier een hele reeks mogelijkheden voor voorzien, waaruit we de best passende moeten

vinden. Eerst moet het juiste commando gevonden worden, vervolgens wordt er bekeken hoe

het commando best wordt toegepast.

Samcef maakt onderscheid tussen het contact tussen twee elementen of tussen een element

en een stijve structuur die geen elementen bevat. Aangezien het contact optreedt tussen twee

blokken die uit cellen bestaan, is de eerste optie de juiste. Enkel het .cps en het .mct commando

kunnen het contact tussen elementen onderling beschrijven. Het verschil tussen beide is dat

.cps enkel met kleine verplaatsingen en hoekverdraaiingen om kan. Een knoop wordt dan

enkel op de dichtstbijzijnde rand geprojecteerd en bij beweging wordt de positie van de rand

niet geüpdatet. Nochtans is het de bedoeling om in het uiteindelijke model de boogring te doen

bezwijken door het ontstaan van grote scharnieren en verplaatsingen. Het .mct commando kan

dit wel aan.

Binnen het .mct commando bestaan er twee opties genaamd opt 2 en opt 3. De opt 2 optie gaat

uit van een niet lineaire berekening waarbij het randvoorwaarden genereert afhankelijk van

het contact tussen de elementen. Aangezien de berekeningen in de lineaire

verwerkingsmodule ASEF worden uitgevoerd, staat a priori vast dat er met opt 3 gewerkt moet

worden. In het opt 3 algoritme worden de vrijheidsgraden die het contact zelf beschrijven en

de overige gescheiden. De overige worden tijdens de iteraties uit de stijfheidsmatrix

gecondenseerd tot er enkel vrijheidsgraden overblijven die het contact uitschrijven. Het

volgende voorbeeld [6] verduidelijkt dit:

Met S de stijfheidsmatrix, D de verplaatsingscomponenten, F de vector van de

knooppuntskrachten en F0 de krachten die voortvloeien uit de inwerking van de belasting

25

tussen de knopen in. Deze matrices kunnen worden uitgeschreven en opgedeeld in

onbekenden uit het contactprobleem en andere onbekenden.

Indien verondersteld wordt dat de q1 vrijheidsgraden geen deel uitmaken van het

contactprobleem en de q2 wel, dan kunnen we de stijfheidsmatrix als volgt condenseren:

Substitutie in de matrix geeft:

Indien er geen wrijving is opgegeven in het contactmodel is de oplossing:

Indien er wel wrijving is opgegeven wordt de vergelijking opgelost mbv het “variable penalty”

algoritme. Deze methode laat toe om de contactvoorwaarden, die eigenlijk extra

randvoorwaarden zijn, als vergelijkingen in het stelsel op te nemen. Dit gebeurt door veren

tussen de knopen van het contactvlak te plaatsen, gericht loodrecht op dit vlak. De stijfheid van

deze veren is de “penalty” van deze methode en wordt enkel gebruikt indien er ook werkelijk

contact optreedt (Figuur 23). De stijfheid van de veren wordt doorheen het algoritme

opgevoerd totdat de oplossing er niet meer afhankelijk van is.

Figuur 23: Principe van de variable penalty methode met een voorstelling van een contactveer (links) en het opgelegde gedrag van de veer (rechts) [12]

Hetzelfde wordt toegepast bij wrijving, behalve dan dat de veren horizontaal geplaatst

worden (Figuur 24).

26

Figuur 24: Vertaling van het contactmodel naar de contactvoorwaarden

De manier waarop de stijfheid van de veren wordt gewijzigd in de “variable penalty” methode,

wordt bepaald door het .alg commando. Het werd al snel duidelijk dat er geen convergentie

meer optrad tijdens de berekeningen zonder het opgeven van een algoritme waardoor ze

vanaf nu steeds wordt opgegeven. Er wordt door Samtech sterk aangeraden om enkel te

werken met het convergentie criterium van Newton, deze raad wordt gevolgd. Binnen het .mct

commando wordt de wrijvingscoëfficiënt op een eenvoudige manier opgegeven, het volstaat

om cf gevolgd door de waarde in te geven.

Een laatste stap in het opgeven van het wrijvingscommando bestaat in het definiëren van

welke onderdelen het contact gaan uitvoeren. Op zich is het duidelijk dat je de twee randen

van de blokken met elkaar in contact wil brengen. Maar de eindige elementenmethode in dit

software pakket steunt op de verplaatsingenmethode en het zijn dus de verplaatsingen in de

knopen van de elementen die worden berekend. Alles wat er tussen zit, wordt geïnterpoleerd

uit die knopen, waaruit volgt dat het de knopen zijn die het contact gaan bepalen. Nochtans

geeft Samcef de mogelijkheid om niet alleen knopen maar ook randen op te geven als

contactelementen. Om uit te kunnen leggen wat er gebeurt tijdens het contact op basis van

randen, moet nog geweten worden dat een contactvoorwaarde wordt opgegeven tussen twee

groepen (Figuur 25). Deze groepen kunnen knopen of randen zijn. Er wordt meteen ook een

relatie tussen beide groepen opgesteld. De ene groep krijgt de functie van master-groep, de

andere krijgt als titel slave-groep. De master-groep bestaat altijd uit een rand van een element,

de slave-groep kan knopen of een rand bevatten. Figuur 26 geeft meer duidelijkheid in wat

bedoeld wordt met master-groepen (rode elementen) en slave-groepen (blauwe elementen)

en randen of knopen als contactelementen. Figuur 27 toont hoe groot de invloed van deze

keuze is op de resultaten.

27

Figuur 25: Grafische weergave van de structuur van het contactcommando

Bij het uitvoeren van het contact gaat de master-groep de slave-groep proberen penetreren op

basis van de variable penalty methode. Hieruit volgt dat de slave-groep best zoveel mogelijk

knopen bevat om penetratie te vermijden, want indien dit toch zou gebeuren dan wil dat

zeggen dat de blokken door elkaar kunnen gaan. Dit zou ontoelaatbare fouten veroorzaken in

het uiteindelijke model aangezien de stabiliteit van de bakstenen gewelfbrug rust op de druk

die opgebouwd wordt tussen de stenen in de boogring. Bij penetratie zou de brug zich anders

gedragen omdat de scharnieren zich anders vormen.

Wat heeft dit nu allemaal te maken met het opgeven van randen als contactelementen?

Welke van deze systemen het beste resultaat levert, gaat uit trial and error blijken en dit voor

elk model apart. Samcef geeft wel al aan dat het contact tussen rand op rand een juistere

drukverdeling oplevert. Het volgende voorbeeld waarin enkel verticale druk wordt toegepast

illustreert dit.

Figuur 26: Beschrijving van het 2D model met boven een fijne mesh en onder een ruwe mesh en van links naar rechts: slave knopen en master rand; slave rand en master knopen; master rand en slave rand; master

rand en slave rand [12]

Figuur 27: Resultaten van de belasting van de modellen in Cauchy spanningen [12]

contact hiërargie

contact elementen

commando

.mce

rand op rand

rand 1 slave / rand 2 master

rand 2 slave / rand 1 master

knopen op rand

knopen slave / rand master

rand slave / knopen master

28

Dit zijn vier identieke situaties met dezelfde belastingen en randvoorwaarden, enkel de

contactvoorwaarden verschillen. De drukverdeling is merkbaar verschillend in de

verschillende situaties, de rand op rand voorwaarde geeft zichtbaar de beste drukverdeling in

de blokken.

5.1.5. Resultaat & interpretatie

Het script wordt verschillende keren uitgevoerd, telkens met verschillende groepen

elementen die in de slave- en de master-groep zitten om zo te kunnen vergelijken wat de

invloed van deze keuze is (Figuur 28). Ook wordt het aantal knopen in het wrijvingsvlak

gevarieerd (Figuur 29).

De eerste stap is om verschillende elementen in de slave-groep te steken. Eerst wordt een

rand op rand contact geschreven en nadien vergeleken met een knopen op rand contact.

Figuur 28: Contact- & wrijvingsmodel met randen zowel in master- als slave-groep (links) en met knopen in de slave-groep en een rand in de master-groep (rechts)

Beide resultaten zijn identiek op vlak van verplaatsingen. Het eerste wat opvalt is dat het

contact tussen de stenen niet bruikbaar is. Blijkbaar penetreert de bovenste blok, met de

master-interface, de onderste waardoor de onderste geen vervormingen ondergaat. Dit mag

niet gebeuren omdat de brug in latere modellen hierdoor op een verkeerde manier gaat

bezwijken. We kunnen dit verhelpen door het aantal knopen in de interface te verhogen.

Figuur 29: Verhoogd aantal knopen in de master-groep (links) en verhoogd aantal knopen in de slave-groep (rechts)

Illustratief is in het eerste voorbeeld het aantal knopen in de master-groep verhoogd, het is

meteen duidelijk dat dit niets helpt. Zoals eerder vermeld kunnen we penetratie van

elementen enkel vermijden door het aantal knopen in de slave-groep te verhogen. Dit werd in

de tweede figuur gedaan met een totaal ander resultaat als gevolg.

Het laatste resultaat ziet er veelbelovend uit. Er is geen penetratie vast te stellen, bovendien

komen beide blokken door hun respectievelijke vervormingen van mekaar. Om zeker te zijn

dat er ook weldegelijk wrijving optreedt, wordt de wrijvingsspanning berekend (Figuur 30).

29

Figuur 30: Wrijvingsspanning in de interface

Er zijn twee nulwaarden zichtbaar, maar dit zijn plaatsen waar de stenen van mekaar komen

of mekaar toch penetreren. Dat er toch een minieme penetratie op te merken valt, is inherent

aan de variabel penalty methode, de veren moeten namelijk een eindige stijfheid bezitten,

maar de penetratie is verwaarloosbaar klein. Een laatste eigenschap die we in dit model zeker

moeten nakijken is of het mogelijk is om een scharnier te vormen (Figuur 31). Dit wordt

gedaan omdat het gewelf gaat bezwijken door het vormen van een mechanisme aan de hand

van de scharnierende werking van de stenen.

Figuur 31: Aantonen correcte scharnierende werking door het aanbrengen van een opwaartse kracht

Dit scharnier is eenvoudigweg bekomen door de bovenste blok aan één zijde op te lichten.

5.1.6. Besluit

Het contact tussen twee blokken is nu uitgeklaard. Het is gelukt om wrijving op te wekken

tussen twee stenen die los van mekaar kunnen vervormen. Ook de scharnierende werking

werd nagekeken en deze zal voldoen. Belangrijk om mee te nemen is dat er voldoende knopen

voldoende dicht bij mekaar worden gedefinieerd in de slave-groepen van de

contactvoorwaarden.

5.2. Stap 2: Boogring uit zes blokken

5.2.1. Algemeen

Nu het contact tussen twee blokken gedefinieerd kan worden kan een eerste stap richting

boogring gemaakt worden. Om het model in het begin niet te complex te maken wordt er

geopteerd om een boogring op te stellen met enkel zes blokken. De problemen die met een

boogring van een groot aantal elementen zullen optreden komen hier ook al voor, maar met

30

zes blokken zijn ze eenvoudiger op te lossen. Aangezien het de bedoeling is om het model in

Stap 5 te valideren met de proef in Prestwood zal de geometrie van de zes blokken dan ook

zodanig gekozen worden dat ze de boogring van de Prestwood brug zo goed mogelijk

benadert.

5.2.2. Geometrie

De eerste boogring die gemaakt wordt heeft een willekeurige circulaire geometrie. De

circulaire vorm laat toe om de blokken op een snelle en eenvoudige manier te ontwerpen in

poolcoördinaten. De voegen worden telkens radiaal gericht naar het middelpunt van de cirkel

die het cirkelsegment bevat die de brug opmaakt (Figuur 32). In eerste instantie gaan we aan

elk van de zes blokken één enkel element toekennen. Indien dit niet blijkt te voldoen kan er

voor gekozen worden om meer elementen in elke blok te steken. Gezien de blokken een

vierhoekige vorm hebben kiezen we ook vierhoekige elementen. In een eerste stap worden er

enkel knopen in de hoeken van de elementen geplaatst (QUAD/4), maar ook dit kan aangepast

worden tot QUAD/8 indien dit nodig blijkt.

Figuur 32: Geometrie en celverdeling boogring uit zes blokken


Bij de materiaaleigenschappen wordt enkel de dikte van de cellen aangepast aan de breedte

van de Prestwood brug: 3,8m.


De uiterste cellen van de boogring worden telkens ingeklemd, strikt genomen is dit niet juist

omdat de boogring enkel rust tegen de landhoofden. De fout die optreedt door dit nu niet mee

te nemen is vrij groot door het gebruik van een beperkt aantal blokken, maar het gaat hem nu

om een vereenvoudiging. Door het aantal blokken te laten toenemen gaat deze fout

verminderen en in het uiteindelijke model gaat de fout miniem zijn.

Overeenkomstig de destructieve test in Prestwood wordt de belasting op een vierde van de

breedte van de brug aangebracht in verticale richting met zin naar beneden.

Het contact tussen de blokken wordt uitgeschreven met randen als contactelementen omdat

Samtech aangeeft dat dat een betere drukverdeling oplevert.

31


5.2.5.1. Blokken met één cel

De berekening gebeurt aan de hand van de lineaire berekeningsmodule Asef die het volgende

resultaat geeft (Figuur 33).

Figuur 33: Vervormingen van een boog bestaande uit zes blokken die telkens uit één element opgemaakt zijn

Er zijn positieve en negatieve elementen aan dit resultaat. Goed is dat de blokken zich

vervormen als entiteiten. Wat ook positief is, is dat er wrijving optreedt omdat de middelste

blokken anders door de vervormingen door de boog zouden zakken. Slecht is dat de eerste en

de voorlaatste respectievelijk de tweede en de laatste blok penetreren, het zijn telkens de

blokken die de master-groep bevatten die door het blok met de slave-groep gaan. Dit was

eigenlijk te verwachten omdat we met zo weinig knopen werken. Het is dus cruciaal om het

aantal knopen in de contactranden te verhogen.

5.2.5.2. Blokken met vier cellen

Het aantal knopen in de contactrand kan niet zomaar opgevoerd worden. Doordat de Mindlin

hypothese wordt toegepast kan elk element maar één intermediaire knoop per rand

verdragen. Dit zal niet genoeg zijn om het probleem op een grondige manier aan te pakken.

Hierdoor zal het aantal elementen dat elke blok opmaakt worden opgevoerd tot vier. De vier

cellen worden mooi op mekaar geplaatst zodat ze in de contactranden het grootst aantal

knopen opbouwen. Het bleek eenvoudiger gezegd dan gedaan, door het louter opvoeren van

de cellen ontstaan er convergentie problemen in het model. De Asef module levert geen

resultaten meer en genereert fouten in het bestand dat de resultaten bevat (.res file). Het is

niet helemaal duidelijk wat de oorzaak hiervan is, Samcef is dan ook bijzonder karig met

informatie in verband met het convergentieprobleem.

Er bestaat een aantal mogelijkheden om dit convergentieprobleem aan te pakken, maar deze

vergen allemaal verregaande programmering. Een andere mogelijkheid is het contact op een

andere manier te schrijven. In plaats van het contact uit te schrijven tussen randen onderling

kunnen we dit doen tussen een rand en knopen die de andere rand opmaken. Samcef verplicht

ons om de rand in de master-groep te gebruiken en de groep knopen in de slave-groep.

32

Figuur 34: Vervormingen van een boog bestaande uit zes blokken die telkens uit vier elementen zijn opgemaakt

De vervormingen uit Figuur 34, geven de indruk dat we de goede weg opgaan. Er zijn toch al

duidelijk scharnieren merkbaar. Er is nog steeds een kleine penetratie, maar zoals opgemerkt

tijdens de modellering van het contactmodel is dit te wijten aan het gebruik van de variabele

penalty methode.

5.2.5.3. Geometrie Prestwood

Het is opportuun om onmiddellijk een volgende stap richting de brug in Prestwood te maken.

De geometrie van de huidige boogring die uit zes blokken bestaat wordt vervormd om op deze

van Prestwood te lijken. In feite wordt de boogring van de Prestwood brug op deze manier in

zes gelijke delen verdeeld.

Figuur 35: Vervormingen van een boogring met de geometrie van de Prestwood brug opgebouwd met zes blokken

Ook dit model lijkt een stap in de goede richting omdat er twee scharnieren optreden en

omdat de blokken elkaar slechts in beperkte mate penetreren (Figuur 35).

5.2.6. Besluit

Er is een eerste stap richting boogring gezet. Voor de eenvoud werd er gestart met zes

blokken die eerst een willekeurige boogring beschreven, nadien werden ze aangepast om de

vorm van de Prestwood brug aan te nemen. Het is duidelijk gebleken dat er zoveel mogelijk

knopen in de interface tussen de blokken moeten geplaatst worden om te vermijden dat de

blokken mekaar kunnen penetreren. Dit is erg belangrijk omdat we het bezwijken van de brug

bestuderen waarin er zich scharnieren vormen in de boogring. Dit is enkel mogelijk indien de

blokken elkaar niet penetreren.

33

5.3. Stap 3: Boogring uit 41 blokken

5.3.1. Algemeen

De volgende stap in de ontwikkeling van het model bestaat er in de boogring te verfijnen. Dit

wordt gedaan door rechtstreeks verder te bouwen op het laatst gegenereerde model: dat van

zes blokken met een geometrie die overeenstemt met die van de Prestwood brug. De verfijning

bestaat in het verhogen van het aantal blokken in de boogring. Men kan dit ook op een andere

manier interpreteren: de boogring wordt verfijnd door het verhogen van het aantal

contactvlakken. Dit komt op hetzelfde neer, maar het geeft een beter beeld van waar we mee

bezig zijn. Men mag niet vergeten dat we niet op zoek zijn naar de exacte representatie van de

structuur maar naar een model dat een realistisch gedrag vertoont. We zijn niet de boogring

aan het opbouwen uit blokken maar contactvlakken aan het inbrengen in de boogring

waardoor hij zich op een realistische manier begint te gedragen.

5.3.2. Geometrie

Hoeveel blokken (of contactvlakken) er worden ingebracht hangt van de efficiëntie van het

model af. Het is een afweging tussen nauwkeurigheid en rekentijd. Deze afweging werd in [11]

al onderzocht op een bakstenen gewelfbrug die een halve cirkel beschrijft over een

overspanning van 9,43 m en een pijl van 2,99 m. Volgens [11] heeft een toename in het aantal

blokken boven de 40 een minimale invloed op de waarde van de bezwijklast. Deze stelling

wordt nagetrokken bij het verwerken van de resultaten van deze fase waarvan het resultaat

terug te vinden is in (5.3.5.2). Figuur 36 geeft de geometrie en de celindeling van deze fase

weer.

Figuur 36: Geometrie en celindeling boogring met 41 blokken


Aan de materiaaleigenschappen wordt een kleine correctie aangebracht omdat in deze stap

het eigengewicht van de elementen wordt aangesproken. Het eigengewicht van het

metselwerk wordt vastgelegd op 20 kN/m³. Het eigengewicht van de elementen wordt in

Samcef opgegeven in kg/gebruikte eenheid³, wat hier overeenkomt met 2000 kg/m³. Verder

wordt ook de stijfheid van de elementen aangepast naar 15E9 N/m² (4.3.2).


De boog wordt zoals bij de zesledige boog ingeklemd aan de uitersten (Figuur 37); dit heeft nu

een veel kleinere invloed op de totale werking van de boog gezien het grote aantal elementen.

Bijgevolg wordt het ook mogelijk voor de boog om scharnieren te ontwikkelen dicht bij de

34

landhoofden. De voormalige opgelegde belasting wordt overgenomen en eveneens op een

kwart van de overspanning aangebracht. Nieuw aan de belastingen is het invoeren van het

eigengewicht van de elementen. Dit is cruciaal omdat de boog op deze manier wordt

voorgespannen waardoor het bezwijken later optreedt. De belangrijkste reden om het

eigengewicht op dit moment in te voeren, is omdat het nodig is om een geloofwaardige

vervorming te bekomen. Zonder het eigengewicht worden de blokken weggeduwd bij het

vormen van een mechanisme en hebben ze niet de neiging om dit tegen te werken, waardoor

niet alle te verwachten scharnieren tot ontwikkeling kunnen komen.

Figuur 37: Randvoorwaarden zoals aangebracht in Stap 3

Het contact tussen de blokken wordt geschreven zoals in de laatste modellering van de boog

in zes blokken. Dit wil zeggen dat de slave-groep knopen bevat en de master-groep telkens een

rand bezit.


Op basis van het hierboven beschreven script wordt in Figuur 38 de vervorming van de boog

gegeven net voor bezwijken. Er wordt als criterium aangenomen dat bezwijken optreedt bij de

kleinste last waarbij geen oplossing meer uit de berekening komt. Dit criterium wordt

aangenomen voor deze en alle volgende stappen en wordt ook gevolgd in [11].

Figuur 38: Vervormingen model Stap 3, vervormingsschaal 14

Er zijn twee duidelijke scharnieren zichtbaar in de structuur. Hoewel dit een teken is dat de

contactvoorwaarden goed hun werk doen, is dit niet het verwachte resultaat. Bij het bezwijken

van de Prestwood brug waren er vier duidelijke scharnieren opgetreden. Het zou mooi zijn

35

mochten de vier scharnieren ook in het model optreden. Dit is de motivatie geweest om op

zoek te gaan naar een verfijning van het huidige model.

5.3.5.1. Verfijning geometrie

Tot nu toe zijn de blokken altijd al geometrisch gescheiden geweest in de oorspronkelijke

topologie (5.1.2). Tussen de blokken werd 1/100 van een graad open gelaten om ervoor te

zorgen dat de contactknopen niet op, maar tegen elkaar kwamen. Er is echter gebleken dat dit

overbodig was. Hieruit volgt dat de randen van de blokken nu op mekaar geschreven worden.

Meer nog; het weglaten van de opening tussen de blokken heeft het resultaat gewijzigd in

positieve zin (Figuur 39).

Figuur 39: Vervormingen na verfijning van het model met vervormingsschaal = 240 en bezwijklast 45 kN (boven), foto van de bezwijkende brug tijdens het experiment (onder [2])

In het resultaat dat nu optreedt, zijn vier duidelijke scharnieren zichtbaar. Bovendien komen

drie van de vier scharnieren al op de juiste plaats voor. Enkel het meest linkse scharnier

situeert zich meer naar links dan in werkelijkheid. Dit verschijnsel doet zich voor in de meeste

modelleringen waar nog geen werking van de aanaarding is inbegrepen. Later zal moeten

blijken of dit scharnier ook opschuift bij het invoeren van de werking van de aanaarding. De

bezwijklast van dit model bedraagt 45 kN, wat eigenlijk vrij weinig is maar in exacte

overeenstemming met wat gevonden werd in [4]. Ter vergelijking: de werkelijke bezwijklast

van de brug was Pexp = 228 kN, het model heeft dus maar 20% van de totale sterkte. Dit toont

eigenlijk de grote invloed aan van de aanaarding in gewelfconstructies.

36

5.3.5.2. Aantal blokken

Tijdens de bespreking van de geometrie werd aangehaald dat de boogring best verdeeld

wordt in 41 blokken. Deze aanpak komt terug in [2] waarin ook de Prestwood brug wordt

gemodelleerd. Toch wordt er nagekeken of dit ook geldt voor de huidige modelleringsoftware.

Dezelfde berekening wordt opnieuw gemaakt maar voor een boogring bestaande uit 11, 21,

31, 41 & 51 blokken (Figuur 40). In Figuur 41 worden de resultaten gegeven van de

verschillende berekeningen.

Figuur 40: Bezwijklast en berekeningstijden als functie van het aantal blokken in de boogring

Figuur 41: Resultaten van de vervormingen van boogringen met respectievelijk, van links naar rechts: 11, 21, 31, 41 en 51 blokken

Uit Figuur 40 blijkt inderdaad dat de bezwijklast nauwelijks nog wijzigt boven de 41 blokken.

De berekeningstijden daarentegen beginnen wel fors toe te nemen. Hoewel op basis van

Figuur 40 ook voor 31 blokken zou kunnen gekozen worden wordt toch voor 41 blokken

gekozen omdat het iets hoger aantal blokken belangrijk kan zijn voor de juiste positionering

0

5

10

15

0

20

40

60

80

100

0 20 40 60

Bezwijklast CPU tijd

# blokken bezwijklast CPU tijd

11 83 kN 2,11 s

21 53 kN 3,92 s

31 46 kN 5,11 s

41 45 kN 9,19 s 51 43 kN 13,12 s

37

van de vier scharnieren in het finale model. Bovendien worden de meeste modellen in de

literatuur met 40 blokken uitgevoerd, wat goed uitkomt om resultaten te vergelijken.

5.3.6. Besluit

Een logische stap in de modellering was het verfijnen van een boogring bestaande uit zes

blokken naar één met 41 blokken. Het verhogen van het aantal contactvlakken in de boogring

heeft ertoe geleid dat het bezwijkmechanisme nauwkeuriger is geworden, er zijn trouwens

eerste gelijkenissen opgetreden met het bezwijkmechanisme van de destructieve test in

Prestwood. Er treden in het model bijvoorbeeld ook vier scharnieren op waarvan drie op

dezelfde plaats als die van de test. De bezwijklast van de boogring was 45 kN wat maar 20% is

van Pexp. Er wordt echter verwacht dat de werking van de aanaarding veel sterkte aan de

constructie gaat toevoegen.

Na het opvoeren van het aantal contactvlakken in de boogring zijn er verschillende

mogelijkheden in de verdere modellering van de brug. Gezien de net gemaakt bemerkingen is

het belangrijk om de aanaarding mee in de modellering te nemen omdat ze veel sterkte aan de

constructie gaat verlenen. Dit gaat in twee stappen gebeuren: eerst komt het invoeren van het

eigengewicht van de grond, vervolgens zijn actieve werking.

5.4. Stap 4: Boogring met eigengewicht van de aanaarding

5.4.1. Algemeen

Het eigengewicht van de aanaarding gaat zal boogring willen samendrukken waardoor ze een

extra voorspanning krijgt, naast die van haar eigen eigengewicht. Hierdoor zal de boogring

sterker lijken te worden, zolang de stenen niet verbrijzelen. Op het eerste zicht lijkt het logisch

de aanaarding te modelleren door het toevoegen van elementen die samen de aanaarding

opbouwen met een eigengewicht dat overeenkomt met dat van de grond. Het probleem hierbij

is het contact tussen de aanaarding en de boogring. Het contact tussen de blokken onderling is

al moeilijk gebleken, het contact tussen de aanaarding en de boogring zal dit zeker zijn gezien

de grote vervormingen van de boogring ten opzichte van de grond. Dit heeft als gevolg dat er is

gekozen om het eigengewicht van de aanaarding in te voeren als een last.

5.4.2. Geometrie

Uiteindelijk komt het er dus op neer dat er enkel een extra last wordt ingevoerd waardoor er

niets verandert aan zowel de vorm van het vorige model als de celindeling.


Ook aan de ingevoerde hypotheses en de gebruikte materiaaleigenschappen verandert er

niets.


De inklemmingen aan de randen van de boogring en het contact tussen de stenen blijven

ongewijzigd. Het zijn de belastingen die veranderen. Het eigengewicht van de aanaarding

wordt als last ingevoerd. Het lijkt logisch om deze als een lijnlast in te voeren in de langse zin

38

van de boog, maar dit is minder eenvoudig gebleken in Samcef. Daar komt nog bij dat in een

eindige elementen programmering lasten sowieso over de knopen worden verdeeld door het

software pakket. Als gevolg werd er voor gekozen om de last zelf te verdelen over de knopen.

Het gewicht werd verdeeld alsof er grondkolommen zouden staan op de boogring (Figuur 42).

Figuur 42: Voorstelling van een grondkolom die het blok verticaal belast

Omdat er vanaf nu een aparte belasting voor elke knoop wordt ingevoerd, lijkt het interessant

om ook rekening te beginnen houden met de spreiding van de belasting. Er wordt aangenomen

dat belasting zich verspreidt onder een hoek van 30° in de aanaarding (Figuur 43), deze

aanname werd ook gemaakt in [2], [3], [4] & in de Ring 2.0 software [1].

Figuur 43: Belastingsspreiding in de aanaarding

Verder wordt binnen deze zone aangenomen dat de belasting zich verdeelt volgens de theorie

van Boussinesq. Hoewel deze theorie ontwikkeld is voor een half oneindig elastisch medium

krijgt ze de voorkeur op een pure uniforme spreiding. Deze aanpak werd ook gebruikt door de

makers van de Ring 2.0 software die zich baseren op proefresultaten om dit te staven.

De theorie van Boussinesq zegt dat de toename in verticale spanning onder een

strookbelasting als volgt berekend kan worden in een oneindig elastisch medium [13]:

39

Toegepast op de boogring van een gewelfbrug worden de parameters als volgt bepaald

(Figuur 44):

Figuur 44: Variabelen van de Boussinesq theorie toegepast op de aanaarding van een gewelfbrug

Wat de volgende herschaalde spanningsverdeling oplevert op de boogring (Figuur 45):

Figuur 45: Toename van de spanning op de boog berekend volgens Boussinisq (links), de spanning getekend op de boog (rechts)

Deze verdeling werd verschaald om toch de volledige last te bevatten die op de bovenliggende

strook werd aangebracht. Vervolgens werden de spanningen over de blokken geïntegreerd om

ze als krachten te kunnen aanbrengen. Het resultaat ziet er als volgt uit (Figuur 46):

40

Figuur 46: Vertaling van spanning naar krachten op de blokken (links), waarden van de krachten bij een belasting van 228 kN (rechts)


Na het invoeren van het gewicht van de aanaarding wordt de volgende vervorming bekomen

net voor het bezwijken (Figuur 47). Ter vergelijking wordt het resultaat zonder gewicht van de

aanaarding en met geconcentreerde last bijgevoegd.

Figuur 47: Vervormingen van het model in Stap 4 met vervormingsschaal = 280 en bezwijklast = 114 kN (boven), vervormingen model Stap 3 met vervormingsschaal = 240 en bezwijklast = 45 kN (onder)

Twee belangrijken elementen worden opgemerkt. Ten eerste: het meest linkse scharnier

verplaatst zich in beperkte mate naar rechts wat positief is omdat dit aantoont dat we in de

richting van het resultaat van de test in Prestwood evolueren. Het zit nog niet helemaal juist,

Last Waarde

Qexp 228 kN

F7 6,33 kN

F8 19,6 kN

F9 28,4 kN

F10 41,0 kN

F11 55,9 kN

F12 52,2 kN

F13 23,8 kN

41

maar de laterale werking van de grond moet een extra push geven tot het goed zit. De

beweging van het scharnier kan verklaard worden doordat het linkse deel van de boog naar

boven wil bewegen. Het gewicht van de aanaarding wil deze beweging tegenwerken door op

de boog te duwen waardoor hij een extra vervorming ondergaat, hierdoor verplaatst het

scharnier zich. Een tweede kenmerk van het nieuwe resultaat is dat de boog een lagere last

kan dragen voordat hij bezwijkt. De bezwijklast is toegenomen naar 114 kN tegenover 45 kN

zonder het gewicht van de aanaarding, dit is een toename van 153%. De bezwijklast heeft dus

een sterke beweging gemaakt richting Pexp. De sterkte van dit model is 50% van de sterkte van

de werkelijke brug in zijn experimentele proef.

5.4.6. Besluit

Het eigengewicht van de grond van de aanaarding werd ingevoerd. Hoewel het logischer lijkt

om de aanaarding als elementen met een eigengewicht te modelleren is het eenvoudiger

gebleken het eigengewicht in te voeren als discrete lasten op de knopen omdat het contact

tussen de aanaarding en de boogring voor vele bijkomende problemen zorgde en vooral de

rekentijd sterk verhoogd. Verder is de belasting nu ook gespreid in plaats van geconcentreerd.

De bezwijklast van het model is toegenomen naar 50% van de experimentele waarde Pexp en

het meest linkse scharnier heeft een lichte beweging naar rechts gemaakt.

5.5. Stap 5: Actieve werking van de aanaarding met behulp van veren

5.5.1. Algemeen

Uit de vorige sectie bleek dat het gewicht van de aanaarding de bezwijklast van het model

heeft doen toenemen tot 50% van de experimentele bezwijklast Pexp. De overige sterkte haalt

de constructie uit de actieve werking van de aanaarding. De actieve werking van grond in een

eindige elementen modellering kan op twee manieren worden uitgevoerd. Enerzijds kan men

elementen invoeren waaraan men vlakvervorming oplegt, anderzijds kunnen horizontale

veren worden ingevoerd met aangepaste eigenschappen. Om de rekentijd te beperken wordt

ervoor gekozen om veren te gebruiken. Deze veren kunnen enkel gebruikt worden in het niet-

lineaire Mecano pakket.

5.5.2. Geometrie

Voor het invoeren van de veren worden extra punten ingevoerd die zich op een horizontale

afstand x = 1 bevinden van de boog (Figuur 48).

Figuur 48: Nieuwe punten die zich op x = 1m bevinden van de buitenzijde van de boogring

42


Er wordt in deze stap niets veranderd aan de eigenschappen of de hypothese van de cellen. De

veranderingen gebeuren via het invoeren van veren.


Aan de boogring worden nieuwe randvoorwaarden ingevoerd. Per blok worden twee veren

gekoppeld, één aan elk hoekpunt aan de buitenzijde van de boog (Figuur 49).

Figuur 49: Geometrie van de veren die de laterale gronddrukken modelleren

Samcef heeft een utility library met allerhande voorgeprogrammeerde voorwerpen

waaronder een veer/dempersysteem (Figuur 50). Dit systeem kan in hoge mate worden

aangepast aan verschillende configuraties.

Figuur 50: Algemene voorstelling van een veer-demper systeem uit de utility library van Samcef

Veren worden in Samcef gedefinieerd door het invoeren van puntenkoppels in het .mce spri

commando. Eens de veer gedefinieerd is moet ze nog eigenschappen krijgen. Bij veren moet dit

met behulp van een nieuw commando gebeuren. Met het .mcc commando is het mogelijk de

stijfheid k van de veer te bepalen, alsook zijn voorspanning als functie van zijn lengte L, zijn

verloren uitrekking LT en verloren indeuking LC. De demper in het systeem wordt niet

aangesproken waardoor hij geen invloed heeft.

5.5.4.1. Methode laterale gronddruk volgens Coulomb

Bepalend in het gebruik van deze veren is het verband tussen verplaatsing en kracht. Hierbij

moet er rekening gehouden worden met volgende drie eigenschappen van de grond:

1. De laterale druk die de aanaarding levert op de boog is verschillend als de grond in

neutrale, actieve of passieve toestand is.

2. De maximale en minimale drukken die geleverd kunnen worden door de grond zijn

respectievelijk de passieve en de actieve gronddruk.

3. Voor dat de actieve of neutrale gronddruk geleverd kan worden is er een minimale

wijking van de gronddruk nodig.

43

Het is meteen duidelijk dat deze eigenschappen niet op een lineaire veer kunnen worden

geïmplementeerd. Om met dit probleem te kunnen omgaan biedt Samcef de mogelijkheid om

zelf een verplaatsing-kracht verband op te stellen met behulp van een functie die wordt

opgelegd aan de veer. Dit biedt de mogelijkheid om niet-lineaire veren te gebruiken. De drie

voorwaarden worden in de volgende drie stappen behandeld om naar een verplaatsing-kracht

verband toe te werken.

5.5.4.1.1. Geleverde laterale druk in neutrale, actieve en passieve toestand

Volgens de theorie van Coulomb is de laterale grondkracht die op een verticale wand wordt

opgewekt verschillend in neutrale, actieve en passieve toestand; deze bedraagt respectievelijk:

In het geval van de blokjes in de boogring wordt ze vertaald naar (Figuur 51):

Figuur 51: Deel van de verticale last die horizontale drukken veroorzaakt op het blokje

Ze wordt uitgedrukt als een fractie van de aangrijpende verticale lasten. Deze fractie wordt

uitgedrukt met de factor K, de laterale gronddrukcoëfficiënt. De waarden voor deze K-factor

worden gehaald uit de formules voor een keermuur met vlak maaiveld waarop zich een

gespreide last bevindt [14]:

Volgende aannames worden hiervoor gemaakt: het maaiveld ligt horizontaal ε = 0 en de

helling van de wand is α = 0. De wrijvingshoek ψ in het wrijvingsvlak grond/boogring werd

gelijk genomen aan de hoek van inwendige wrijving van de grond φ. Hierdoor wordt er van

uitgegaan dat bij afschuiven zich een grondlaag gaat afscheuren die tegen de boogring gaat

blijven hangen, dit wordt algemeen aanvaard voor in-situ gestort beton en komt dus ook

44

overeen met baksteen. De waarde voor Kp reikt zeer hoog door het gebruik van de ψ-waarde.

Het gebruik van deze waarde wordt dan ook afgeraden in [14]. In plaats daarvan wordt er

verder gewerkt met de grafieken uit EuroCode [6] met δ = φ en β = 0.

Ook de neutrale gronddrukcoëfficiënt werd bepaald op basis van de EuroCode [6]:

Voor de zekerheid wordt Ka getoetst aan de bepalingen van de EuroCode [6] en die blijken

overeen te stemmen.

5.5.4.1.2. Minimale wijking die nodig is om actieve of passieve gronddruk op te

wekken

Voor er actieve of passieve gronddruk geleverd kan worden is er een minimale verplaatsing

van de blokken in de boogring nodig. Om te bepalen hoe groot die wijking moet zijn wordt er

gesteund op de benodigde wijking van een verticale keerwand zoals bepaald in de EuroCode

[6]. Deze bedraagt voor de actieve gronddruk va en voor de passieve vp (Figuur 52).

Figuur 52: Vereiste horizontale verplaatsingen om actieve (va) en passieve (vb) gronddruk op te wekken

5.5.4.1.3. De functie

Voortgaande op de hierboven bepaalde eigenschappen kan een verplaatsing-kracht functie

worden opgemaakt (Figuur 53). Hierbij wordt rekening gehouden met het feit dat de passieve

werking overeenkomt met een wijking van de blokken richting grond, wat een indrukking van

de veer voorstelt en omgekeerd voor de actieve werking.

Figuur 53: Verplaatsing-spanning diagram van de laterale gronddrukken, getrapt verloop

v/h dichtgepakte grond %

va 0,1 tot 0,2

vp 5 tot 10

45

Kenmerkend aan deze functie zijn de trappen die er in voorkomen, maar eigenlijk is dit niet

correct. Voor de actieve gronddruk is het verschil met de werkelijkheid niet zo groot. Voor de

passieve gronddruk ligt dat anders. Het is niet zo dat vanaf een bepaalde verplaatsing die

passieve gronddruk plots wordt opgewekt. Er is eerder een evenwicht tussen de kracht die de

boogring tegen de grond levert en de reactie van de grond tegen de boogring. Dit evenwicht

houdt stand vanaf het moment dat de grond wordt ingedrukt tot dat de eigenlijke passieve

gronddruk wordt bereikt. Vanaf dan blijft de maximale gronddruk de passieve. Het verloop dat

door de EuroCode wordt voorgesteld voor passieve gronddruk is de volgende (Figuur 54):

Figuur 54: Verplaatsing-spanning diagram van de aanaarding met passief verloop zoals voorgesteld in de EuroCode (links), gelineariseerd verloop (rechts)

Om berekeningstijden te beperken wordt de functie gelineariseerd. Als voorbeeld wordt de

functie van veer 28 weergegeven zoals ingegeven in Samcef, ze werkt in op blok 27 als de

blokken van rechts naar links worden genummerd (Figuur 55).

Figuur 55: Ingegeven verplaatsing-kracht verband van de veren op blok 27 van rechts geteld

Op de verticale as staan krachten in N en op de horizontale as staan verplaatsingen in m. De

krachten zijn negatief omdat de veer drukkrachten moet leveren.


Het uitvoeren van het programma zoals het in vorige paragraaf beschreven is geeft volgend

resultaat op een last van 228 kN (Figuur 56):

46

Figuur 56: Verplaatsingen van het model beschreven in Stap 5, vervormingsschaal = 200, bezwijklast = 240 kN

Het is duidelijk dat de scharnieren niet gevormd zijn geweest. Om na te gaan wat er is

misgelopen wordt er gekeken naar het .res bestand. Tussen de Newtoniaanse iteraties van de

contactfuncties staan er foutmeldingen die het niet convergeren van de iteraties melden.

Hierdoor werken de contactvlakken niet waaruit volgt dat de boogring als een monolithisch

element werkt. De bezwijklast van dit model bedraagt wel 240 kN, wat al bijzonder dicht bij de

experimentele bezwijklast van Pexp = 228 kN ligt. Maar het model zoals het er nu uitziet is niet

bruikbaar omdat het net die contactvlakken zijn die het gebruik van de eindige

elementenmethode rechtvaardigen, en ook omdat het experimentele bezwijkmechanisme niet

terugkomt in dit model.

5.5.5.1.1. De belasting

Een eerste mogelijkheid is dat er te veel last aanwezig is, waardoor het niet convergeren kan

slaan op het bezwijken van de constructie. Deze stelling wordt snel ontkracht omdat bij

kleinere lasten, of bij het geheel weglaten van de nuttige last telkens weer convergentiefouten

optreden. Dit is niet logisch omdat het model zonder veren 114 kN kan dragen. Dat het nu

niets meer verdraagt, zelfs het eigengewicht van boog en de aanaarding niet, is niet logisch.

5.5.5.1.2. De contactvoorwaarden

Een tweede poging om het convergentieprobleem om te lossen is het herschrijven van de

contactvoorwaarden. In Stap 1: Contact- & wrijvingsmodel is het contact tussen de blokken

behandeld geweest. Hier werd beslist om:

Het contact uit te schrijven met het .mct commando

De iteraties te koppelen: opt 3 parameter

Het Newton iteratie algoritme te gebruiken

De slave-groep met vele knopen en de master-groep met randen te definiëren

Aan het gebruik van het .mct commando wordt niet geraakt. Zoals in Stap 1 besproken is dit

het enige commando dat de wrijving met grote vervormingen aankan. Aan het Newton

algoritme wordt ook niet geraakt, Samcef raadt dit sterk af.

47

Een mogelijkheid om de contactvoorwaarden anders te schrijven is het vervangen van de

randen in de master-groepen door knopen. Maar ook deze poging levert niets op aangezien ze

hetzelfde resultaat levert (Figuur 56).

Binnen het .mct commando bestaat de mogelijkheid om de iteraties los te koppelen door de

parameter opt 2 te gebruiken in plaats van opt 3. Hieruit volgt het volgende resultaat (Figuur

57):

Figuur 57: Weergave van een model waarvan de berekeningen niet convergeren

De gehele berekening convergeert zelfs niet meer, er wordt geen resultaat opgeslagen. Dit

model ligt verder van een oplossing als tevoren.

Het veranderen van de huidige contactparameters heeft niets uitgehaald. Omdat er in

tegenstelling tot Stap 1 nu met Mecano wordt gewerkt, komen er nieuwe parameters ter

beschikking om de contactvoorwaarden te wijzigen. Daarin zit een smoo parameter, deze

parameter zorgt ervoor dat de scherpe hoeken van de blokken worden afgerond (Figuur 58).

Dit kan helpen bij het vormen van scharnieren. Het scharnier vormt zich dan op een meer

vloeiende manier waardoor situaties worden vermeden waarbij getwijfeld kan worden tussen

twee extreme gevallen, kantelen of niet, wat convergentie zou kunnen tegenhouden.

Figuur 58: Weergave van de smoo techniek

Bij het uitvoeren van het script met deze aanpassing kwamen onmiddellijk foutmeldingen. De

veren grijpen aan op de hoekpunten van de blokken. Deze hoeken zijn nu echter afgerond

waardoor de veren niet meer aangrijpen op de blokken, met als rechtstreeks gevolg dat deze

parameter niet gebruikt kan worden voor dit model.

5.5.5.1.3. Sub commando’s

Een niet-lineaire berekening in Mecano gebeurt in verschillende (tijd)stappen. Het .sub

commando beïnvloedt de berekening als volgt:

Het bepaalt welk soort analyse wordt uitgevoerd (kinematisch, dynamisch, statisch)

Het bepaalt de controle parameters (convergentiedrempels, aantal iteraties,…)

Binnen deze controle parameters kan dus aan de convergentie gesleuteld worden.

48

Een eerste poging wordt gemaakt door het aantal iteraties te doen toenemen met de itma

parameter. Deze wordt gevarieerd van 3 tot 10. Dit haalt eigenlijk niets uit omdat er bij elke

iteratie geen convergentie optreedt in de contactvlakken. Het verhogen van de iteraties leidt

dus enkel tot meer niet convergerende stappen.

Een tweede poging houdt het verhogen van de convergentiedrempelwaarde met de prcr

parameter in. De waarde van prcr bepaalt wanneer Samcef er vanuit mag gaan dat er

Newtoniaanse convergentie is opgetreden. Het verhogen van deze waarden laat toe om sneller

convergentie uit te lokken in de berekeningen. Het progressief doen toenemen van prcr

waarde tot 1E-2 leidt tot een verwaarloosbare verandering van de resultaten. Voor hogere

drempelwaarden wordt het volgende resultaat bekomen (Figuur 59):

Figuur 59: Verplaatsingen van het model waarvan de convergentie vervroegd werd aanvaard, vervormingsschaal = 1E15, bezwijklast onbekend

De resultaten lopen totaal verkeerd omdat de berekeningen veel te vroeg stoppen door zulke

hoge drempelwaarden. Het verhogen van de drempelwaarden heeft ofwel een veel te kleine

ofwel een veel te grote invloed waardoor deze methode niet bruikbaar is [12].

5.5.5.1.4. Variable penalty methode

Indien de klassieke parameters niet helpen om convergentie te bekomen in een contactvlak

heeft Samcef in zijn helpdocument een arsenaal aan extra convergentiemiddelen, de meest

relevante worden in de komende paragrafen besproken (Figuur 60).

In Stap 1: Contact- & wrijvingsmodel werd besproken hoe de variabele penalty methode

bepaalt hoe het contact uitgevoerd wordt. De penalty was de stijfheid van de veren tussen de

knopen die het contactvlak uitmaken.

Deze penalty is variabel en wordt bepaald door het Newton algoritme, maar in het algemeen

is de stijfheid van de veren bijzonder hoog. Samcef laat toe om hierop in te grijpen en deze

veren te relaxeren. Het is dan mogelijk om via een functie zelf te bepalen hoeveel een knoop

het contactvlak mag indringen tegen een bepaalde kost, zijnde een kracht die verloren gaat in

de veer. Deze functie geeft het kracht-verplaatsingsverband weer van een lineaire veer en

wordt gekoppeld aan een contactvlak door ze in te voeren met de npen parameter in de .mct

commando’s. Na trial and error werd de volgende functie in de contactvlakken ingevoerd.

49

Figuur 60: Variable penalty principe (links), opgelegde veer stijfheid (rechts)

Samcef gaat er ook van uit dat de functie in negatieve zin tot in het oneindige wordt

doorgetrokken, in positieve zin is ze 0 om geen trek toe te laten. De functie zoals ze hier werd

ingevoerd geeft een stijfheid k = 1,25E8 N/m aan de veer. Deze stijfheid heeft geen analytische

basis, maar het is de enige stijfheid die een resultaat levert. Het script zoals hier voorgesteld

levert een opmerkelijk resultaat als het volledige model wordt uitgevoerd bij een last van 228

kN (Figuur 61):

Figuur 61: Vervormingen na berekening met opgelegde contact penalty, vervormingsschaal = 1, last = 228 kN (boven), experimenteel bezwijken van de Prestwood brug (onder [2])

Deze keer ontstaan er weldegelijk scharnieren en wel op exact de juiste plaatsen. Het linker

scharnier heeft een beweging naar rechts gemaakt en bevindt zich nu op dezelfde plaats als

tijdens het experiment.

Nochtans zijn er ook twee kenmerken die mislopen in dit model:

50

Het rechter deel van de boogring neemt een concave vorm aan terwijl dit niet gebeurt

tijdens het experiment

De blokken uit het bovenste scharnier penetreren elkaar aanzienlijk

Vooral het tweede punt baart zorgen. De penetratie is natuurlijk het gevolg van het sleutelen

aan de opgelegde penalty, maar de penetratie is toch aanzienlijk en wordt berekend op basis

van de knoopverplaatsingen:

Δx (m) Δy (m)

knoop 421 -1,2038E-1 1,9791E-1

knoop 921 -9,6763E-3 1,9575E-1 Tabel 5: Verplaatsingen van de knopen 421 en 921 (de onderste twee knopen van de penetrerende

blokken) en de daaruit volgende penetratie

De penetratie kan geïnterpreteerd worden als een soort verbrijzelen van de stenen in het

scharnier. In [2] wordt inderdaad uitgegaan van minieme verbrijzeling tijdens het vormen van

de scharnieren. De vraag is dan of deze verbrijzeling realistisch is. Hierbij worden volgende

bedenkingen gemaakt:

De breedte van de blokken is aan de onderkant ongeveer 18 cm. Dit wil zeggen dat de

helft van het blok zou moeten verbrijzeld worden. De vraag is dan of dat de spanning

die in het blok wordt opgebouwd groot genoeg is om zoveel materie te doen

verbrijzelen.

Is de bezwijkvorm effectief zoals in het resultaat wordt getoond? Laat het

breukmechanisme toe dat het metselwerk zich tot die vorm laat verbrijzelen? Dit is

belangrijk omdat de blokken op die manier weer steun vinden op elkaar en de

constructie zo stand houdt tot ze bezwijkt.

Er is dus weinig vertrouwen in dit post bezwijk gedrag waardoor we ervoor kiezen om verder

te zoeken naar een andere oplossing. Het bezwijkgedrag van het metselwerk zal later (5.6.1)

op een andere manier gemodelleerd worden, een manier die meer in de lijn ligt van wat in de

literatuur terug te vinden is.

5.5.5.1.5. Non-symmetric solver, friction delay & catching the node

Bij een volgende en laatste poging op zoek naar convergentie in de contactvlakken wordt een

combinatie van verschillende technieken toegepast.

Wanneer er wrijving wordt opgelegd in een contactvlak verliest de tangentiële operator in de

solver zijn symmetrie. In een standaarduitvoering wordt deze symmetrie door Samcef hersteld

om berekeningstijden te beperken, maar dit kan een negatieve invloed op de convergentie

hebben. Om te vermijden dat Samcef de matrix symmetrisch maakt tijdens de berekeningen

wordt de paramater inly op 1 ingesteld in het .sub commando.

In een volgende stap worden de wrijving en het contact gescheiden. Zoals besproken in Stap

1: Contact- & wrijvingsmodel worden door de variable penalty methode bij een

contactvoorwaarde met wrijving veren geplaatst in normale zin voor het contact en in

51

tangentiële zin voor de wrijving. Het samen voorkomen van beide systemen kan voor

problemen zorgen in het contact algoritme .alg. Beide systemen kunnen vertraagd ten opzichte

van elkaar in de berekening worden ingebracht om te vermijden dat ze elkaar tegenwerken.

Figuur 62: Functieverband dat de stijfheid van de tangentiële veren vertraagt tov die van de normale veren

Zo wordt in Figuur 62 de stijfheid van de wrijving pas na het contact ingevoerd. De

wrijvingswet zoals die in Figuur 62 getekend staat wordt ingevoerd met behulp van de

parameter fcttangent in .alg.

In een laatste stap wordt een techniek toegepast die ‘catch the node’ heet. Het kan zijn dat bij

de vervormingen en verplaatsingen van de blokken een hoekknoop van het contactvlak valt

zoals voorgesteld in (Figuur 63).

Figuur 63: Voorstelling van afvallende knopen in de voeg van twee elementen die in contact staan

Als er wordt teruggekeken naar wat er gebeurde bij de penetrerende blokken stellen we vast

dat het onderste hoekpunt van het rechtse blok in het penetrerende scharnier eigenlijk onder

het linkse blok van het scharnier is geschoten (Figuur 64).

Figuur 64: Scharnier waarin penetratie ontstaat door relaxatie mbv de variable penalty methode

Om dit op te lossen bestaat een techniek die ‘catch the node’ heet. Hierbij kan een contactvlak

tussen cellen kunstmatig verlengd worden zonder dat de betrokken cellen vervormen. De

knoop die dan onder de tegenliggende cel valt denkt dan dat hij nog steeds op het contactvlak

ligt. Deze techniek wordt aangesproken door de parameter prct te gebruiken in de contact

commando’s .mct. De mate waarmee het contactvlak wordt verlengd is = 10*Tol, en Tol = mode

precision.

52

De combinatie van de drie maatregelen levert het volgende resultaat (Figuur 65):

Figuur 65: Vervormingen van het model Stap 5 met een vervormingsschaal = 40 en bezwijklast = 221 kN

Deze keer zijn de vier scharnieren wel duidelijk zichtbaar. Bovendien is de bezwijklast 221 kN

wat 97% is van de experimentele bezwijklast van Pexp = 228 kN.

Het model komt bijna exact overeen met het experimentele bezwijken, het enige aspect dat

niet overeenkomt is dat het linkse scharnier zich te dicht bij het landhoofd vormt.

Men zou kunnen opmerken dat de veren die net rechts van het hoogste scharnier aangrijpen

in de verkeerde zin werken aangezien alle veren drukken. Men zou dus kunnen besluiten dat

deze veren de boog proberen open te duwen in plaats van hem samen te drukken. Men mag

echter niet vergeten dat in Figuur 65 de vervormingsschaal 40 bedraagt. Als we kijken naar de

vervormingen op gelijke schaal in Figuur 66 zien we dat alle veren nog steeds in de juiste

richting werken. Wat ook opvalt in Figuur 65 is dat de veren na vervorming van de boog niet

meer horizontaal liggen. Nochtans was de reden om deze in te voeren het modelleren van de

horizontale gronddrukken. Als we kijken naar de vervormingen op gelijke schaal in Figuur 66

lijken de veren effectief nog horizontaal te liggen.

Figuur 66: Vervormingen van het model Stap 5 met een vervormingsschaal = 1 en bezwijklast = 221 kN

Voor de zekerheid wordt de berekening opnieuw uitgevoerd maar deze keer met veren die

een lengte van 10m krijgen. Hierdoor zal de krachtscomponent meer horizontaal komen te

liggen zoals aangetoond in Figuur 67.

53

Figuur 67: Krachtscomponent in een veer van 1m (F1), krachtscomponent in een veer van 10m (F2)

De vervormingen van het model na berekeningen worden voorgesteld in Figuur 68.

Figuur 68: Vervormingen van het model met veren met lengte van 10m, vervormingsschaal = 40, bezwijklast = 221 kN

Het model bezwijkt op exact dezelfde manier als met veren van 1m lengte. Hierdoor wordt

een lengte van 1m voor de veren als voldoende geacht.

5.5.6. Besluit

Het invoeren van laterale gronddrukken heeft voor convergentieproblemen gezorgd. Deze

werden opgelost met een combinatie van drie maatregelen:

Non-symmetric solver

Friction delay

Catching the node

Het bekomen resultaat is een model dat bezwijkt bij 221 kN, wat 97% is van de experimentele

bezwijklast. Er werd wel vastgesteld dat het meest linkse scharnier van het

bezwijkmechanisme zich nog te veel naar links situeert in vergelijking met de destructieve

test.

54

5.6. Studie van de parameters

Tijdens de literatuurstudie werd in het onderdeel over de materiaalkarakteristieken van de

destructieve test in Prestwood een aantal materiaalkarakteristieken overgenomen uit andere

onderzoeken. Er was echter geen eensgezindheid tussen de verschillende artikels over de

waarde van deze karakteristieken. Het is dus interessant om na te gaan wat de gevoeligheid

van dit model is voor de gebruikte parameters. De volgende parameters worden getoetst:

Druksterkte metselwerk σc

Young’s Modulus E

Hoek van inwendige wrijving φ

De cohesie c wordt niet opgenomen in de studie.

5.6.1. Druksterkte metselwerk σc

Tot nu toe werd het gedrag van het metselwerk in alle voorgaande modellen als elastisch

beschreven zonder bezwijkwaarde. Zoals tijdens de literatuurstudie besproken is geweest

beschrijft dit onvoldoende het gedrag van het metselwerk. In deze paragraaf worden twee

voorstellen gedaan om met dit bezwijkgedrag om te gaan gebaseerd op de literatuurstudie. Bij

het elastisch-prefect plastisch gedrag wordt nog een onderscheid gemaakt in de manier van

het bepalen van de spanningen in de elementen (Figuur 69).

Figuur 69: Structuur bezwijkgedrag metselwerk

5.6.1.1. Tri-lineair spanning-rek gedrag metselwerk

In [10] werd aangetoond dat het werkelijke niet-lineaire gedrag van het metselwerk

voldoende nauwkeurig kon worden gemodelleerd met een tri-lineair spanning-rek gedrag

(Figuur 70).

spanningsberekening gedrag bezwijkmechanisme

verbrijzelen

tri-lineair rek-spanning

diagram

elastisch-perfect plastisch

Von Mises

snedekrachten

55

Figuur 70: Tri-lineair spanning-rek diagram voor metselwerk in druk [10]

Om dit materiaalgedrag te kunnen invoeren in Samcef wordt een niet-lineair elastische

materiaaldefinitie opgelegd aan de elementen. Dit gedrag kan worden opgeroepen binnen het

.mat commando waar de parameter behaviour wordt ingesteld op Elasnl. Vervolgens kan een

spanning-rek verband worden gekoppeld aan dit gedrag op basis van een functievoorschrift

via de parameter sec. Het gebruikte functievoorschrift in dit onderzoek wordt gegeven in

Figuur 71.

Figuur 71: Tri-lineair spanning-rek verband zoals ingegeven in een functievoorschrift in Samcef

Op de horizontale as staan de rekken, op de verticale as staan de spanningen in N/m². Na het

invoeren van dit gedrag voor metselwerk wordt het model van Stap 5 hernomen voor een

nieuwe evaluatie met een belasting van 221 kN (Figuur 72).

56

Figuur 72: Vervormingen model met tri-lineair spanning-rek verband voor metselwerk, vervormingsschaal = 120, last 221 kN

Als we in detail naar het schanier onder de belasting kijken (Figuur 73) is er verbrijzeling van

het materiaal zichtbaar. Dit toont aan dat de implementatie van het tri-lineair gedrag werkt.

Figuur 73: Model met tri-lineair spanning-rek gedrag (boven), model met oneindige sterkte (onder)

Het nieuwe tri-lineaire spanning-rek diagram bemoeilijkt de zoektocht naar de bezwijklast.

Door het knikken van de curve (Figuur 70) treden er soms fouten op in het gedrag van de

elementen. Deze fouten treden op als de rek van de blokken in de buurt van een knik komen.

Samcef geeft dan dezelfde weergave weer die hij ook gebruikt wanneer de iteraties niet meer

convergeren. Hierdoor moet bij elk van deze weergaven worden nagegaan of het maximaal

aantal iteraties overschreden is, of dat er fouten zijn opgetreden in de berekening van de

solver. Dit wordt nagekeken in het .res bestand. Het is dan ook onduidelijk of er uit die

foutmeldingen moet geconcludeerd worden dat de constructie is bezweken of niet. Want bij

het verhogen van de lasten komt het gedrag op de volgende curve en daar zijn weer wel

oplossingen te vinden. Het is dus jammer dat net daar waar het materiaalgedrag wijzigt en de

57

constructie dus zou kunnen falen, Samcef het materiaalgedrag niet kan verwerken. De

conclusie is dus dat het niet mogelijk is om te besluiten of de constructie daar zou bezwijken of

niet. We gaan deze techniek moeten opgeven en toevlucht zoeken in een andere modellering

van de druksterkte van het metselwerk.

5.6.1.2. Elastisch-perfect plastisch gedrag

De andere manier om het bezwijkgedrag van metselwerk te modelleren wordt gebruikt door

de Ring 2.0 software [1]. Dit gedrag wordt vooral gebruikt in modellen die staafelementen

gebruiken om de boogring te modelleren. Het perfect plastisch gedrag van het metselwerk

beschrijft het bezwijken minder juist dan het tri-lineair gedrag omdat bij het perfect-plastisch

gedrag het metselwerk sterkte blijft behouden na het verbrijzelen (Figuur 74).

Figuur 74: Elastisch-prefect plastisch gedrag tegenover tri-lineair gedrag

De manier waarop spanningen worden bepaald verschilt ook in verschillende onderzoeken.

Ze wordt niet meer bepaald op basis van de rek van de knopen, maar op basis van een

resulterende normaal en moment snedekracht of met behulp van de equivalente Von Mises

spanningen. Bij de methode van de snedekrachten wordt de grens van de druksterkte

afgebakend door een ellips (Figuur 75) in het langskracht moment diagram dat gekenmerkt

wordt door Np en Mp.

Figuur 75: Druksterkte criterium voor het metselwerk in een boogring staafmodel [3] & [4]

Waarin:

Zowel de Von Mises spanningen als de snedekrachten gaan als criterium getoetst worden.

58

Het gedrag van het metselwerk in de boogring gaat voor elk spanningscriterium op een

andere manier ingebracht worden. Het snedekrachten criterium wordt in Samcef ingebracht

via de parameter behaviour die ingesteld wordt op Plasgen. De flim en het mlim parameters

krijgen respectievelijk de Np en de Mp waarde. Door Ellips toe te voegen als laatste parameter

volgt het verloop weldegelijk de vorm van een ellips. Het Von Mises criterium wordt

ingebracht door de behaviour parameter de waarde Plastic mee te geven. De parameter xit

krijgt de spanningswaarde van de plastische grens gevolgd door vonm. De bezwijklast wordt

uitgezet ten opzichte van de druksterkte voor beide criteria in Figuur 76.

Het bereik waarbinnen de bezwijklast onderzocht is omvat de waarden die in de literatuur

gebruikt worden. In [3] & [4] wordt bijvoorbeeld 4,5MPa gebruikt, in [2] 7,7 MPa en in [7] 8

MPa, andere verkiezen geen rekening te houden met de druksterkte van het metselwerk [14].

Figuur 76: Bezwijklast als functie van de druksterkte σc van het metselwerk op basis van het eindmodel in Stap 5, Young’s Modulus = 15 GPa

Drukstrekte metselwerk σc

Bezwijklast snedekrachten

Bezwijklast Von Mises

4,5 MPa 114 kN 228 kN

5 MPa 114 kN 228 kN

6 MPa 127 kN 228 kN

7 MPa 127 kN 228 kN

8 MPa 142 kN 228 kN Tabel 6: Waarden van de bezwijklast van het model tov de druksterkte van het metselwerk σc zowel voor

het snedekrachten criterium als het Von Mises criterium

Door het perfect plastisch gedrag bij het verbrijzelen van het metselwerk is de bezwijklast

niet meer eenvoudigweg de last waarbij de berekening geen resultaat meer levert. Bij de hoge

spanningen die ontstaan in de scharnieren kan het zijn dat een blok in een scharnier volledig

begint te vloeien. Er ontstaat een plastisch scharnier in de boog waardoor het scharnier op die

plek terug dicht gaat en de boog een vreemd post breuk gedrag vertoont. Als bezwijkcriterium

is dan aangenomen dat de constructie bezwijkt ofwel bij het ontstaan van het eerste plastische

scharnier ofwel bij het ontwikkelen van het volledige mechanisme.

0

50

100

150

200

250

4 4,5 5 5,5 6 6,5 7 7,5 8 8,5

Be

zwijk

last

(kN

)

σ (MPa)

Criterium snedekrachten Experimentel bezwijklast Criterium Von Mises

59

Figuur 77: Vervormingen net na het ontstaan van een plastisch scharnier

In Figuur 76 zien we dat de bezwijklast horend bij het Von Mises criterium zeer weinig

afhankelijk is van de druksterkte van de elementen. In [4] wordt dit verschijnsel ook

waargenomen maar pas vanaf 6 MPa, bij lagere druksterktes stellen zij een daling van de

bezwijklast vast. De eerste significante daling in de bezwijklast van dit model wordt pas bij 3

MPa vastgesteld en bedraagt 10 kN. De waarden uit het snedekrachten criterium liggen

beduidend lager. Bovendien vertonen deze wel enige gevoeligheid ten opzicht van σc.

Het verschil in het gedrag van het model op basis van beide criteria kan als volgt verklaard

worden. De spanningen berekend op basis van beide criteria leveren verschillende waarden

op. De spanning berekend op basis van de snedekrachten valt hoger uit waardoor de

druksterkte van het metselwerk sneller bereikt wordt. Het omgekeerde geldt voor de Von

Mises spanningen. Hierdoor kan het model waarin de spanningen met de snedekrachten

berekend worden zich niet volledig ontwikkelen tot een volwaardig mechanisme omdat er

teveel verbrijzeling optreedt. Bij de berekening volgens Von Mises kan de bezwijklast hoger

oplopen voor dat de drukspanning bereikt wordt. Hierdoor kan het mechanisme wel volledig

tot ontwikkeling komen (Figuur 78).

Figuur 78: Bezwijkmechanismen als functie van de druksterkte en het spanningscriterium

Het is interessant om ook naar de vervormingen van het model te kijken. Bij beide criteria

heeft het meest linkse scharnier een beweging naar rechts gemaakt en komt ze hierdoor quasi

60

op dezelfde positie terecht als tijdens het experiment op de brug zelf, bij het criterium Von

Mises is de beweging meer uitgesproken (Figuur 79).

Figuur 79: Vervormingen van het model met criterium Snedekrachten, vervormingsschaal = 40, bezwijklast = 142 kN (boven), criterium Von Mises, vervormingsschaal = 5, bezwijklast = 228 kN (midden),

experimenteel bezwijken van de constructie (onder)

5.6.1.3. Besluit

Er zal in de volgende berekeningen met het Von Mises criterium worden verder gewerkt. Hier

zijn twee redenen voor. Enerzijds is het niet bekend hoe in het plasgen commando de N en M

waarden berekend worden uit de knopenkrachten en dit voor elke doorsnede. Samcef heeft

nog geen verklarende voorbeelden in verband met dit commando in zijn hulpbestanden.

Anderzijds komen de waarden van het Von Mises criterium goed overeen met de

experimentele bezwijklast.

61

5.6.2. Young’s Modulus E

In de literatuur wordt meestal een stijfheid van 15 GPa [11], [2] aangenomen, anderen

verkiezen geen rekening te houden met de stijfheid [3],[4]. We vragen ons af wat de invloed

van deze keuze is waardoor het interessant lijkt om de invloed van E in kaart te brengen. Het

laten variëren van de Young Modulus heeft de volgende invloed (Figuur 80) op de bezwijklast

van het model:

Figuur 80: Bezwijklast als functie van de Young Modulus op basis van het model met Von Mises criterium met σc = 8 MPa

Young’s Modulus E σc = 8 MPa

5 GPa 277 kN

7,5 GPa 271 kN

10 GPa 271 kN

12,5 GPa 240 kN

15 GPa 228 kN

17,5 GPa 192 kN Tabel 7: Bezwijklast in functie van Young's Modulus bij een druksterkte van het metselwerk σc = 8 MPa

De bezwijklast van het model blijkt gevoelig te zijn voor wijzigingen in de stijfheid van het

metselwerk van de boogring. De bezwijklast bij E = 5 MPa is 21% groter dan die bij E = 15 GPa.

De keuze van een juiste Young Modulus voor het metselwerk zal voor dit model meer bepalend

zijn dan die van de druksterkte van het metselwerk.

Een stijging in de Young Modulus resulteert in een daling van de bezwijklast. Blokken met een

lagere stijfheid gaan meer vervormen waardoor de scharnieren zich later gaan ontwikkelen.

Hierdoor treedt het vier scharnieren mechanisme later op waardoor de constructie een

grotere last kan dragen.

0

50

100

150

200

250

300

4 6 8 10 12 14 16 18 20

Be

zwijk

last

(kN

)

E (GPa)

Bezwijklast model criterium Von Mises Experimentel bezwijklast

62

Figuur 81: Invloed van E op de bezwijkmechanismen als functie van de druksterkte en het spanningscriterium

5.6.3. Hoek van inwendige wrijving φ

Over de gebruikte hoek van inwendige wrijving φ van de aanaarding bestaat er

eensgezindheid in de literatuur. In alle modellen wordt een hoek van 37° gebruikt. Door φ te

laten toenemen zal de passieve gronddruk stijgen, daarentegen zullen de neutrale en actieve

gronddruk afnemen. Het spreekt dus voor zich dat een toename in φ zal resulteren in een

hogere bezwijklast. Toch is het interessant om dit te kwantificeren in het model om te zien hoe

groot de invloed van φ is (Figuur 82).

Figuur 82: Bezwijklast als functie van de hoek van inwendige wrijving φ in het model met E = 15 GPa en σc = 8 MPa

Hoek van inwendige wrijving φ

K0 Ka Kp Bezwijklast

20° 0,6580 0,4269 3 152 kN

25° 0,5774 0,3551 4 190 kN 30° 0,5000 0,2972 5,8 198 kN

33° 0,4554 0,2676 7,5 230 kN

37° 0,3982 0,2330 11 228 kN

41° 0,3439 0,2030 16 253 kN Tabel 8: Bezwijklast in functie van de hoek van inwendige wrijving φ van de aanaarding met bijhorende

laterale gronddrukcoëfficiënten

-7

-2

3

8

13

18

0

50

100

150

200

250

300

15 20 25 30 35 40 45 K

0

Be

zwijk

last

(kN

)

φ (°)

Bezwijklast model Experimentel bezwijklast Kp

63

Zoals verwacht stijgt de bezwijklast samen met φ. De bezwijklast van een aanaarding met φ =

37° is bijvoorbeeld 50% hoger dan één met φ = 20°. Er wordt een versnelde toename van de

bezwijklast vastgesteld bij toenemende φ. Dit komt omdat ook Kp sneller stijgt. Een ander

opvallend verschijnsel is zichtbaar in de vervormingen van het model. Bij een toenemende φ

verschuift het meest linkse scharnier meer naar rechts (Figuur 83). Dit komt omdat de

maximale passieve gronddruk toeneemt en het dus moeilijker wordt voor de boogring om de

grond links van hem weg te duwen. Dit verschijnsel ligt in de lijn van de opmerking over het

verschuiven van het meest linkse scharnier na het eerst invoeren van de werking van de

aanaarding (5.4.5).

Figuur 83: Bezwijkmechanisme met φ = 20° en vervormingsschaal = 20 (boven), bezwijkmechanisme φ = 37° met vervormingsschaal = 5 (onder)

In Figuur 82 is een soort trapvorm in de grafiek waar te nemen. Dit ligt aan het zeer niet-

lineaire karakter van het bezwijkmechanisme (4.2.1.1). De positie van de scharnieren is

afhankelijk van de laterale gronddrukken. Om bijvoorbeeld het meest links scharnier te doen

verplaatsen naar een volgende voeg, is een bepaalde toename in laterale grondweerstand

vereist. Zolang deze niet is bereikt blijft het scharnier in dezelfde voeg en bezwijkt het model

bij een gelijkaardige last.

5.6.4. Besluit

In dit deel werd de gevoeligheid van de parameters getoetst. De bezwijklast van het model is

ongevoelig voor wijzigingen in de druksterkte van het metselwerk binnen een bepaald bereik

64

indien de spanningen berekend worden met het Von Mises criterium. De Young Modulus E en

de hoek van inwendige wrijving φ beïnvloeden wel de bezwijklast van de constructie. Bij een

toenemende stijfheid daalt de bezwijklast. De verhoogde passieve gronddruk ten gevolge van

een stijging van φ zorgt ervoor dat het model een hogere bezwijklast kan dragen, bovendien

zorgt het voor een verschuiving van het meest linkse scharnier naar rechts.

5.7. Dubbele boogring

5.7.1. Algemeen

Tot nu toe richtte de modellering zich op de destructieve test op de brug in Prestwood. Het

voordeel hiervan was dat het model op een relatief eenvoudige manier kon gevalideerd

worden door na te gaan of het op een correcte manier bezweek met de juiste bezwijkwaarde.

Een nadeel hiervan is dat we ons beperkt hebben tot één specifiek bezwijkmechanisme: het

ontstaan van scharnieren in de constructie. Dit is echter niet de enige manier waarop een

metselwerk gewelfbrug kan bezwijken. Een ander veel voorkomend probleem is de

delaminatie van verschillende boogringen. Het is interessant om na te gaan of Samcef ook kan

omgaan met dit bezwijkgedrag. Er is deze keer echter geen manier meer om dit model te

valideren.

5.7.2. Geometrie

Er wordt verder gewerkt met het model uit Stap 3 - Stap 3: Boogring uit 41 blokken. Op de

bestaande boogring wordt een nieuwe geplaatst op een analoge wijze met de bestaande

(Figuur 84). De voegen van de blokken worden op dezelfde stralen geplaatst. De belasting

wordt verplaatst naar de bovenste ring.

Figuur 84: Geometrie en celindeling van dubelle boogring

Er valt een interessant verschil op te merken tussen de geometrie van de voegen tussen de

blokken in eenzelfde boogring en de voegen tussen de blokken van verschillende boogringen.

Een blok wordt in verticale richting uit vier cellen opgebouwd. Hierdoor bevindt er zich aan

iedere zijde van het blok telkens negen knopen die gebruikt kunnen worden om een

contactvlak te definiëren. In horizontale richting wordt een blok uit één enkele cel opgebouwd

waardoor de onder en bovenkant enkel drie knopen bevatten die zich bovendien redelijk ver

van elkaar bevinden (Figuur 85).

65

Figuur 85: Vergelijking van de densiteit van de knopen in het contactvlak in één enkelek boog (links) en tussen beide bogen (rechts)

Zoals uit Stap 1 – het wrijvingsmodel van Coulomb bleek, is er gevaar op penetratie als een

slave-groep gedefinieerd wordt met knopen die zover van mekaar staan. Daarom zal in eerste

instantie een poging worden uitgevoerd waarbij de bovenste zijde van de bovenste element

van het onderste blok meer knopen meekrijgt om zo de slave-groep dichter te bevolken

(Figuur 86).

Figuur 86: Verhogen van de densiteit van de knopen tussen beide boogringen door toevoegen van intermediaire knopen

Uit de resultaten blijkt dat deze configuratie tot vreemde situaties heeft geleid (Figuur 87).

Daarom werd er beslist om verder te werken met QUAD/8 elementen.

Figuur 87: Gebruik van QUAD/8 elementen om beide ringen te modelleren


De materiaaleigenschappen van de blokken worden overgenomen van die van de destructieve

test van de Prestwood brug. De hypothese op de cellen is nog steeds de Mindlin hypothese.

Later zal echter blijken dat meer geloofwaardige vervormingen worden bekomen door

vlakvervorming op te leggen aan de cellen.

66


Een belangrijk nieuw gegeven in dit model is dat er een hoop nieuwe contactvlakken worden

gedefinieerd, niet enkel in de nieuwe, tweede boog, maar ook tussen beide bogen onderling.

Dit is erg verschillend van de vorige situatie omdat in de enkele boog elk contactvlak

gescheiden was van alle andere waardoor het eenvoudig was om de contactvlakken te

definiëren. Bij de combinatie van beide bogen komen telkens vier contactvlakken samen in één

punt (Figuur 88).

Figuur 88: Gescheiden contactvlakken in een enkele boog (links) en snijdende contactvlakken in een dubbele boog (rechts)

In het .mct commando kan elke knoop slechts één keer gebruikt worden. Met als gevolg dat

elk van de vier knopen die samenkomen in het snijpunt van de contactvlakken maar kunnen

deelnemen in één enkel contactvlak. Bovendien, en dit is het belangrijkste, kunnen beide

bogen sterk vervormen ten opzichte van elkaar waardoor een blok in contact kan komen met

verschillende andere blokken tijdens de vervorming, hierop is de huidige codering niet

voorzien omdat optie UN2 1 is geactiveerd en deze enkel contacten toelaat in één enkel

contactvlak. Indien een blok verschillende andere blokken gaat tegenkomen moet optie UN2

de waarde 2 of 3 krijgen. Maar deze opties kunnen enkel gebruikt worden in een Mecano

berekening.


De vervormingen die uit de berekeningen van het eerste model komen staan in Figuur 89. De

elementen werden zodanig gevormd dat er extra knopen werden ingevoerd in de slave-groep.

Figuur 89: Resultaat van een berekening met een verhoogd aantal knopen in het contactvlak tussen beide bogen

Dit is een bijzonder eigenaardig beeld. Indien de elementen die de slave-groep knopen

bevatten worden geïsoleerd, dan wordt het duidelijk wat er aan de hand is (Figuur 90).

67

Figuur 90: Vervorming van de cellen met een verhoogd aantal intermediaire knopen

Blijkbaar blijft de middelste knoop van de cel op zijn oorspronkelijk plaats staan. Het lijkt

alsof hij vergeten wordt. In het contact- & wrijvingsmodel (5.1) werd aangehaald dat de

topologie van de cel vast hangt aan de gehanteerde hypothese. Hier wordt nog steeds gewerkt

met de Mindlin hypothese en deze verdraagt enkel één intermediaire knoop, de andere worden

vergeten. En dit is precies wat zichtbaar is op Figuur 90.

We zijn dus genoodzaakt om terug over te stappen op QUAD/8 knopen. Dit levert het

volgende resultaat op (Figuur 91):

Figuur 91: Vervormingen van het model met allemaal QUAD/8 knopen

Een vervormde boog, met scharnieren weliswaar, maar het lijkt alsof de boog werkt als een

enkele entiteit. In het .res bestand wordt gemeld dat er geen convergentie optreedt in de

contactvlakken tussen de onderlinge boogringen. Het is dus alsof dat beide bogen werken als

één geheel. Dit kan ook op een andere manier worden aangetoond. Als we kijken naar de

hoofdspanningen in het model zien we dat de druklijn doorheen beide boogringen loopt

(Figuur 92).

Figuur 92: Hoofdspanningen in de elementen

Dit is niet de bedoeling van een dubbele boogring. Na een grondige controle van de

contactcommando’s tussen de ringen bleek de fout daar niet te zitten. Na veel trial and error

werk bleek de oplossing te zitten in het veranderen van de hypothese opgelegd aan de

68

elementen. Indien er wordt overgestapt van de Minlin naar vlakvervorming hypothese wordt

het volgende resultaat verkregen (Figuur 93).

Figuur 93: Vervormingen dubbele boogring, vervormingsschaal = 2700, bezwijklast 13 kN

Beide bogen komen los van elkaar, wat aangeeft dat de contactvoorwaarden tussen de bogen

nu wel verwerkt worden. We zien eigenlijk al delaminatie ontstaan tussen beide ringen en dit

is juist wat gezocht wordt. De delaminatie situeert zich tussen ¼ en ¾ van de overspanning

wat typisch voorkomt bij delaminatie door een cyclische belasting. Verder zien we twee

scharnieren ontstaan in elke boog, één ter hoogte van de belasting en één aan het rechter

steunpunt. De druklijnen blijven nu ook in elke afzonderlijke boogring wat aantoont dat beide

ringen zich gedragen als aparte entiteiten (Figuur 94).

Figuur 94: Hoofdspanningen in de dubbele boogring na invoeren van vlakvervorming

In Figuur 93 lijkt het alsof de blokken rechts van het rechter scharnier elkaar penetreren. Men

dient er rekening mee te houden dat de vervormingsschaal van Figuur 93 behoorlijk groot is.

Als we naar Figuur 95 op schaal 1 kijken zien we dat de blokken mooi op elkaar blijven.

69

Figuur 95: Vervormingen in de dubbele boogring, vervormingsschaal = 1, bezwijklast = 14 kN

5.7.6. Besluit

Er is op een zeer beknopte wijze aangetoond dat het mogelijk is om de delaminatie van een

dubbele boogring te modelleren in Samcef. Bij een belasting op een kwart van de overspanning

werd delaminatie vastgesteld over ¼ tot ¾ van de overspanning wat in overeenstemming is

met suggesties uit de literatuur [8]. Er waren echter geen data beschikbaar om het

delaminatieproces te valideren waardoor een verdere verfijning van het model geen vervolg

krijgt.

70

6. Besluit

In dit proefschrift is onderzoek gevoerd naar de modellering van historische gewelfbruggen.

Hiervoor werd een model ontworpen in het eindige elementenpakket Samcef. Om het model te

valideren werd de destructieve proef in Prestwood als validatietest gebruikt.

Na het opstellen van een methodiek (3) en het uitvoeren van een literatuurstudie (4) werd de

modellering uitgevoerd. Er werd gekozen voor een modelleringsproces bestaande uit 5

stappen waarbij vertrokken werd van een eenvoudig maar belangrijk contact- &

wrijvingsmodel om vervolgens te werken naar een compleet model. Omdat er variatie was op

de gebruikte materiaalkarakteristieken in de literatuur werd er gekozen om de gevoeligheid

van het model te toetsen aan verschillen in waarden van de parameters. In een laatste

bijkomende studie werd bestudeerd of het mogelijk is om het delaminatieproces in een

dubbele boogring te modelleren.

Er werden resultaten behaald die in de lijn liggen van de validatieproef in Prestwood.

Hierdoor wordt het model aanvaard en wordt het mogelijk geacht om met Samcef een goede

modellering te maken van dit soort kunstwerken. Het modelleren van dergelijk complexe

structuren vergt wel een grondige kennis van Samcef.

Het gebruikt van Samcef als modelleringssoftware liet toe om het model in hoge mate aan te

passen aan onze eisen.

Zowel de geometrie als de celindeling waren volledig aanpasbaar aan de gekozen

geometrie van de Prestwood brug. Dit biedt het voordeel dat ook meer complexe

constructies en belangrijke details nauwkeurig gemodelleerd kunnen worden. Dit

speelt in het voordeel van Samcef om in verdere modelleringen gebruikt te worden.

Het wrijvings- & contactmodel kon op vele verschillende manieren worden aangepakt,

wat ervoor zorgde dat de voegen adequaat gemodelleerd konden worden.

Bovendien was het mogelijk om het berekeningsproces te beheersen, wat zeker bij

convergentieproblemen noodzakelijk is. Dit bleek belangrijk te zijn bij het gebruik van

de contactvoorwaarden.

Er zijn echter een aantal nadelen verbonden aan het modelleren van historische

gewelfbruggen in Samcef:

Het contactmodel in de voegen tussen de blokken van de boogring bleek gevoelig te

zijn voor convergentiefouten. Met de vele convergentiehulpmiddelen die Samcef

aanbiedt werd een combinatie uitgewerkt die bevredigende resultaten levert. Het

moeten oplossen van dergelijke convergentieproblemen kan een struikelblok vormen

voor een algemeen verspreid gebruik van deze software als modelleringstechniek voor

dit type bruggen. Specifieke kennis van deze convergentiemiddelen zal gekend moeten

zijn bij het modelleren van nieuwe constructies.

Verder werden er ook moeilijkheden vastgesteld bij het implementeren van het

bezwijkgedrag van het metselwerk. Dit gedrag is nodig om de scharnieren in het

bezwijkmechanisme op een correcte manier te doen ontstaan op de correcte positie.

71

Een recent ontwikkeld tri-lineair spanning-rek gedrag werd toegepast maar vertoonde

fouten in zijn werking tijdens de berekeningen. Door deze fouten werd het tri-lineair

gedrag geweerd en vervangen door een elastisch-perfect plastisch gedrag. Dit gedrag

heeft een postbreuk gedrag van het metselwerk dat verder van de werkelijkheid ligt.

Er is ook nog ruimte voor verder onderzoek in verband met dit onderwerp. De onderwerpen

kunnen verdeeld worden tussen een verfijning van het huidige model en de ontwikkeling van

een nieuw drie dimensionaal model.

In de eerste plaats wordt gedacht aan onderzoek naar een correcte implementering

van het metselwerk gedrag. Dit heeft een grote invloed op het vormen van het

mechanisme en dus ook op de bezwijklast van de constructie.

In tweede instantie wordt gedacht aan het modelleren van de aanaarding met behulp

van elementen. Hierdoor zou de belasting op een meer realistische manier gespreid

kunnen worden op de boogring. De manier waarop de aanaarding zou bezwijken zou

op basis van glijvlakken zijn waardoor zijn invloed op de boogring anders is dan het

vast verplaatsing-kracht verband van de veren. Om de aanaarding met elementen te

kunnen modelleren moet echter genoeg rekencapaciteit voor handen zijn.

Indien voldoende resultaten ter beschikking zijn van een proef op een dubbele of

drievoudige boog dan kan het delaminatie mechanisme van een meervoudige boogring

uitgebreid bestudeerd worden. Specifiek voor het onderzoek naar delaminatie kunnen

dynamische lasten worden ingevoerd.

Een metselwerk gewelfbrug is een complexe drie dimensionale constructie waarvan de

werking sterk afhankelijk is van de samenwerking van al zijn componenten. Hierdoor

is het aangewezen om een drie dimensionaal model te ontwikkelen. Zo kan

bijvoorbeeld de invloed van de kopmuren bestudeerd worden. In een dergelijk model

kunnen de lasten in drie dimensies gespreid worden waardoor ook transversale

mechanismen kunnen bestudeerd worden.

Als het model voldoende verfijnd is kan het gebruikt worden voor nieuw onderzoek. Zo kan

bijvoorbeeld het effect van het gebruik van spreidingsmatten onderzocht worden. Ook kan het

verouderingsproces en de daarop volgende aftakeling van de constructie bestudeerd worden

door adequaat gebruik van de materiaalkarakteristiek en geometrische aanpassingen.

72

Bijlagen

Voorbeelden van de geschreven scripts zijn te verkrijgen bij de auteur van dit werk: Matthieu

Coens of bij de vakgroep civiele techniek aan de Universiteit Gent, Technology Park Campus

Ardoyen, Building 904, B-9052 Gent, Belgium.

73

Referenties

[1] G. Vansevenant, Masterproef: Gedrag van historische gemetselde gewelfbruggen

onderworpen aan dynamische belastingen, Universiteit Gent, Vakgroep: Civiele Techniek

(2009)

[2] M. Betti et al., Two non-linear finite element models developped for the assessment of

failure of masonry arches, C. R. Mecanique 336 (2008), 43-53.

[3] A. Cavicchi, L. Gambarotta, Lower Bound limit analysis of masonry bridges including arch-

fill interaction, Engineering Structures 29 (2007), 3002-3014

[4] A. Cavicchi, L. Gambarotta, Two-dimensional finite element upper bound limit analysis of

masonry bridges, Computers and Structures 84 (2006), 2316-2328

[5] M.A. Crisfield, Finite Element and Mechanism Methods fot the analysis of Masonry and

Brickwork Arches, TRL, Crowthorne, England, (1985)

[6] EN 1997-1:2004: E, Eurocode 7: Geotechnical design - Part 1: General rules (2004)

[7] A. Audenaert, P. Fanning, L. Sobczak, H. Peremans, 2-D analysis of arch bridges using an

elasto-platsic material model, Engineering Structures 30 (2008), 845-855

[8] J. R. Casas, Reliability-based assessment of masonry arch bridges, Construction and

Building Materials 25 (2011), 1621-1631

[9] Y-C. Loo, Y. Yang, Cracking and failure analysis of masonry arch bridges, Journal of

Structural Engineering 117 n°6 (1991), 1641-1659

[10] H. B. Kaushik, D. C. Rai, S. K. Jain, Uniaxial compressive stress-strain model for clay brick

masonry, Current Science 92 n°4 (2007), 497-501

[11] G. A. Drosopoulos, G. E. Stavroulakis, C. V. Massalas, Limit analysis of a single span

masonry bridge with unilateral frictional contact interfaces, Engineering Structures 28 (2006),

1864-1873

[12] SAMTECH s.a., (Rue des Chasseurs-Ardennais, 8, 4031 Liège, Belgium), SAMCEF User

Manual – 14.1

[13] M. Budhu, Soil mechanics and foundations, 2nd edition, John Wiley & Sons, Inc., (2007)

[14] R. Van Impe, Cursus: Berekeningen van Bouwkundige Constructies II, Universiteit Gent,

Vakgroep: Bouwkundige Constructies (2010)

ii - lib.ugent.be

Documents

Transcript of ii - lib.ugent.be