HET ANALYSEREN VAN DE BETROUWBAARHEID VAN...

UNIVERSITEIT GENT

FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE

ACADEMIEJAAR 2008 – 2009

HET ANALYSEREN VAN DE BETROUWBAARHEID VAN DE

LOGISTIEKE KETEN.

Masterproef voorgedragen tot het bekomen van de graad van

Master in de Toegepaste Economische Wetenschappen: Handelsingenieur

Cedric Boyen

onder leiding van

Prof. dr. ir. B. Raa

Het analyseren van de betrouwbaarheid van de logistieke keten. Cedric Boyen

UNIVERSITEIT GENT

FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE

ACADEMIEJAAR 2008 – 2009

HET ANALYSEREN VAN DE BETROUWBAARHEID VAN DE

LOGISTIEKE KETEN.

Masterproef voorgedragen tot het bekomen van de graad van

Master in de Toegepaste Economische Wetenschappen: Handelsingenieur

Cedric Boyen

onder leiding van

Prof. dr. ir. B. Raa


I

PERMISSION

Ondergetekende verklaart dat de inhoud van deze masterproef mag geraadpleegd

en/of gereproduceerd worden, mits bronvermelding.

Naam student: Cedric Boyen


I

WOORD VOORAF

Vooreerst wens ik van de gelegenheid gebruik te maken om prof.dr.ir.B.Raa te

bedanken voor zijn raad en kritische bijsturingen die hij gaf tijdens het tot stand

komen van deze masterproef.

Cedric Boyen, mei 2009.


II

INHOUDSOPGAVE

Permission I

Woord vooraf I

Inhoudsopgave II

Lijst van figuren en tabellen IV

Inleiding 1

Deel 1: De invloed van de variabiliteit van de lead time op de veiligheidsvoorraad 3

1. Algemeen. 3

2. Het verband tussen de veiligheidsvoorraad en de variabiliteit van de lead time. 4

2.1. De shortage kost en het service level. 4

2.2. De vraag gedurende de lead time. 5

2.2.1. De vraag gedurende de lead time volgt een normale verdeling. 7

2.2.1.1. Kwalitatief verband tussen de veiligheidsvoorraad en de variabiliteit

van de lead time. 7

2.2.1.2. Kwantitatief verband tussen de variabiliteit van de lead time en de

veiligheidsvoorraad. 9

2.2.1.2.1. Continuous review voorraadbeleid. 9

2.2.1.2.2. Periodic review voorraadbeleid. 10

2.2.2. De vraag gedurende de lead time is niet normaal verdeeld. 10

2.2.2.1. Kwalitatief verband tussen de veiligheidsvoorraad en de variabiliteit

van de lead time. 11

2.2.2.1.1. Het CSL ligt in het interval [50%; 60%]. 11

2.2.2.1.2. Het CSL ligt in het interval [60%; 70%]. 14

2.2.2.1.3. Het CSL is groter dan 70%. 15

2.2.2.2. Kwantitatief verband tussen de veiligheidsvoorraad en de variabiliteit

van de lead time. 15

3. Uitgewerkt voorbeeld. 16

4. Besluit. 28

Deel 2: Order splitting en zijn effect op de totale logistieke kosten. 30

1. Order splitting. 30

2. Assumpties. 30

3. Totale logistieke kosten. 31

3.1.Transportkosten. 32

3.2. Facility costs. 32


III

3.3. Voorraadkosten. 32

3.3.1. Algemene aanbevelingen. 33

3.3.1.1. De lead times volgen een exponentiële of uniforme verdeling. 34

3.3.1.2. De lead times volgen een erlang verdeling. 34

3.3.2. Cyclusvoorraad. 34

3.3.3. In-transit voorraad. 36

3.3.4. Veiligheidsvoorraad. 36

4. De optimale split rate. 42

4.1. Het bepalen van de optimale split rate aan de hand van de verdeling van de lead

times. 43

4.1.1. De lead times zijn niet identiek verdeeld. 43

4.1.2. De lead times volgen een identieke verdeling. 45

4.2. Het bepalen van de optimale split rate aan de hand van de variantie van de

vraag gedurende de lead time. 45

5. Uitgewerkt voorbeeld. 46

6. Geen order splitting bestelbeleid. 52

7. Besluit. 53

Deel 3: Plaatsing van de veiligheidsvoorraad in een complexe logistieke keten. 55

1. Algemeen. 55

2. Structuur. 55

2.1. Seriële logistieke keten. 56

2.1.1. De invloed van de holding costs op de veiligheidsvoorraad. 57

2.1.1.1. Constante holding costs. 58

2.1.1.2. Lineair stijgende holding costs. 58

2.1.1.2.1. Zuiver lineair stijgende holding costs. 58

2.1.1.2.2. Lineair stijgende holding costs met een knik ter hoogte van een

bepaalde schakel. 58

2.1.1.2.3. Lineair stijgende holding costs met een sprong ter hoogte van

een bepaalde schakel. 59

2.1.2. De invloed van de vraag op de veiligheidsvoorraad. 60

2.1.3. De invloed van het service level op de veiligheidsvoorraad. 60

2.1.4. De invloed van de capaciteit op de veiligheidsvoorraad. 62

2.2. Convergente logistieke keten. 67

2.3. Divergente logistieke keten. 69

2.4. Complexe logistieke keten. 71

3. Besluit. 71


IV

Algemeen besluit. 72

Lijst van geraadpleegde werken VII

LIJST VAN FIGUREN EN TABELLEN

Figuur 1: Een klassieke logistieke keten. 1

Figuur 2: De drie kerngedachten binnen het beheer van de logistieke keten. 1

Figuur 3: De vraag gedurende de lead time en zijn componenten. 6

Figuur 4: Het effect van het reduceren van de onzekerheid in de lead times op de

veiligheidsvoorraad verschillende mogelijkheden van het cycle service level. 8

Figuur 5: Het bepalen van de grenswaarde voor het cycle service level via de cumulatieve

distributiefuncties van de vraag gedurende de lead times. 13

Tabel 1: Het genereren van willekeurige waarden via simulatie. 17

Figuur 6: De best passende verdeling voor de vraag gedurende de lead time indien de lead

time een begrensde normale verdeling volgt met een standaardafwijking van 1,5

dagen. 18

Figuur 7: De best passende verdeling voor de vraag gedurende de lead time indien de lead

time een begrensde normale verdeling volgt met als standaardafwijking 1 dag. 18

Figuur 8: Het bepalen van de grenswaarde voor het cycle service level bij lead times met een

begrensde normale verdeling. 19

Figuur 9: De best passende verdeling voor de vraag gedurende de lead time als de lead time

een gamma verdeling volgt met een standaardafwijking van 4 dagen. 21

Figuur 10: De best passende verdeling voor de vraag gedurende de lead time als de lead

time een gamma verdeling volgt met een standaardafwijking van 5,66 dagen. 21

Figuur 11: Het bepalen van de grenswaarde voor het cycle service level in het geval van

gamma verdeelde lead times. 22


time een uniforme verdeling volgt met een standaardafwijking van 2,31 dagen. 24


time een uniforme verdeling volgt met een standaardafwijking van 1,73 dagen. 24

Figuur 14: Het bepalen van de grenswaarde voor het cycle service level in het geval van

uniform verdeelde lead times. 25

Figuur 15: De best passende verdeling voor de vraag gedurende de lead time als de vraag

per dag een poisson verdeling volgt en de lead time een gamma verdeling volgt

met een standaardafwijking van 4 dagen. 27


V

Figuur 16: De best passende verdeling voor de vraag gedurende de lead time als de vraag

per dag een poisson verdeling volgt en de lead time een gamma verdeling volgt

met een standaardafwijking van 5,66 dagen. 27

Figuur 17: Het bepalen van de grenswaarde voor het cycle service level indien de vraag per

dag een poisson verdeling volgt. 28

Figuur 18: Order cross-over indien beide deelorders op hetzelfde ogenblik geplaatst worden

bij beide leveranciers. 31

Figuur 19 : Delivery delay operating curve. 33

Figuur 20: Het effect van order splitting op de cyclusvoorraad. 35

Figuur 21: Verloop van het voorraadniveau bij dual sourcing in geval van een continuous

review voorraadbeleid. 39

Tabel 2: Het verband tussen de verhouding van de gemiddelde lead times en de split rate. 44

Figuur 22:De optimale split rate in functie van de verhouding van de gemiddelde lead time 44

Figuur 23: Het verband tussen de ratio’s SB/SA en µB/ µA en de optimale split rate. 46

Figuur 24: De verdeling van de vraag gedurende de eerste lead time. 48

Figuur 25: De bovenstaande bèta verdeling is de best passende verdeling voor de vraag

gedurende de tweede lead time. 48

Figuur 26: De verdeling van de vraag gedurende de effectieve lead time. 50

Tabel 3: De veiligheidsvoorraad als functie van het nagestreefde cycle service level voor de

verschillende lead times. 51

Figuur 27: De veiligheidsvoorraad als functie van het cycle service level voor de


Figuur 28: De veiligheidsvoorraad als functie van het cycle service level voor de


Figuur 29: Lineair stijgende holding costs met een knik ter hoogte van een bepaalde

schakel. 59

Figuur 30: Lineair stijgende holding costs met een sprong ter hoogte van een bepaalde

schakel. 59

Figuur 31: Het verloop van de veiligheidsvoorraad in een seriële logistieke keten voor een

alfa en gamma service level. 62

Figuur 32: Vergelijking van het verloop van de kostencurves verbonden aan de

veiligheidsvoorraad voor een alfa service level en een gamma service level. 62

Figuur 33: De invloed van de net replenishment time en de capaciteit op de

veiligheidsvoorraad. 65

Figuur 34: Een convergente logistieke keten. 67

Figuur 35: Allocatie van de veiligheidsvoorraad in een convergente logistieke keten voor een

alfa service level en een gamma service level. 68


VI

Figuur 36: Het verloop van de kostencurven van de veiligheidsvoorraad voor een alfa service

level en een gamma service level. 68

Figuur 37: Een divergente logistieke keten. 69

Figuur 38: De allocatie van de veiligheidsvoorraad in een divergente logistieke keten voor

een alfa en gamma service level. 70

Figuur 39: Het verloop van de kostencurven van de veiligheidsvoorraad in een divergente

logistieke keten zowel voor een alfa als gamma service level. 70


1

Inleiding

“Logistiek omvat het beheer van de stroom van goederen, informatie, geld en ideeën via de

coördinatie van processen waarbij plaats, tijd en patronen strategisch in rekening worden

gebracht” (MIT Center for Transportation & Logistics). Men bestudeert de hele productie- en

distributieketen gaande van de leverancier van grondstoffen tot de eindklant. Het

schoolvoorbeeld van een logistieke keten (of supply chain) wordt weergegeven in

onderstaande figuur. Hierin stelt de dubbele pijl de wederzijdse uitwisseling van goederen,

geld, informatie en ideeën voor.

Fig.1: Een klassieke logistieke keten.

In realiteit is het dikwijls zo dat in een bepaalde schakel (of echelon) van de logistieke keten

meerdere partijen aanwezig zijn. Eigenlijk spreekt men dus beter van een logistiek web en

niet van een logistieke keten (Chopra & Meindl, 2007).

Binnen het beheer van de logistieke keten zijn er drie kerngedachten aanwezig (Chopra &

Meindl, 2007). Ten eerste stelt men dat er een afweging moet gemaakt worden tussen

efficiëntie en effectiviteit. Daarnaast wordt benadrukt dat coördinatie tussen de partijen

onderling noodzakelijk is. Ten slotte geldt dat er niet zoiets is als dé logistieke strategie. Voor

elke specifieke situatie moet een gepaste strategie uitgewerkt worden (tailoring). De

volgende figuur stelt dit schematisch voor.

Fig.2: De drie kerngedachten binnen het beheer van de logistieke keten.

leverancier producent

groothandel kleinhandel eindklant

Logistieke keten

Efficiëntie vs.

Effectiviteit

Tailoring

Coördinatie


2

De betrouwbaarheid van de logistieke keten is “het vermogen om aan de logistieke

verwachtingen van de klant te kunnen voldoen”(Wiendahl, von Clemenski & Begamann,

2003, p.375). Dit is echter een zeer ruime definitie. Het omvat onder meer de afgesproken

kwaliteit nakomen, de leveringstermijn (of lead time) zo goed mogelijk respecteren,… . Deze

betrouwbaarheid wordt eerder beïnvloed door de bijdrage van alle leden van de logistieke

keten en de relaties tussen hun logistieke prestaties dan door de inspanning van een

afzonderlijk bedrijf. Coördinatie tussen de bedrijven onderling is dus van essentieel belang

(Wiendahl et al., 2003; Chopra & Meindl, 2007).

In deze masterproef zal onder andere dieper worden ingegaan op één aspect van de

betrouwbaarheid van de logistieke keten. Er zal meerbepaald bestudeerd worden wat de

invloed is van de betrouwbaarheid van de lead time op de logistieke kosten.

Voor een enkelvoudige leverancier-afnemer relatie is het effect van de betrouwbaarheid van

de leverancier op de logistieke kosten reeds goed gekend. Het is namelijk zo dat naarmate

de lead time minder betrouwbaar is, een grotere hoeveelheid veiligheidsvoorraad zal moeten

aangelegd worden om eenzelfde service level te kunnen aanbieden. Hierdoor zullen de

kosten gerelateerd aan het aanhouden van de veiligheidsvoorraad ook stijgen.

Deze thesis wil nog een stap verder gaan en ook de relatie tussen de betrouwbaarheid van

de leveringstermijn en de logistieke kosten (voornamelijk de voorraadkosten) bestuderen in

meer complexe logistieke ketens. Het betreft deze gevallen waarin er meerdere leveranciers

zijn voor een bepaalde partij en/of er zich meerdere tussenstappen bevinden tussen de

eerste schakel van de keten en de eindklant.

In wat volgt zullen dan ook drie grote delen aan bod komen. In het eerste deel zal de relatie

tussen de variabiliteit van de lead time en de veiligheidsvoorraad beschreven worden. Het

tweede gedeelte gaat wat dieper in op het effect van order splitting op de totale logistieke

kosten. Het laatste gedeelte zal trachten te verduidelijken hoeveel veiligheidsvoorraad elke

partij moet aanhouden in een complexe logistieke keten.


3

Deel 1: De invloed van de variabiliteit van de lead time op de

veiligheidsvoorraad.

1. Algemeen.

De veiligheidsvoorraad is dat gedeelte van de voorraad dat aangehouden wordt als buffer

omdat de vraag kan groter zijn dan voorspeld en leveringen later kunnen toekomen dan

verwacht (Chopra & Meindl, 2007).

Variabiliteit of onzekerheid in de lead time kan op verschillende manieren ontstaan. Zo is het

mogelijk dat de leverancier aan de bron ligt van deze variabiliteit. Het kan bijvoorbeeld zijn

dat hij over onvoldoende productiecapaciteit beschikt, te weinig voorraad aanhoudt,

geconfronteerd wordt met het stilvallen van zijn (productie)machines,… . Daarnaast kan

deze variabiliteit ook te wijten zijn aan factoren zoals verkeerscongestie,

weersomstandigheden,… . Een laatste, maar daarom niet minder belangrijke factor, is de

klant zelf. Het is namelijk zo dat het tijdstip en de grootte van zijn bestellingen een invloed

kunnen uitoefenen op de variabiliteit van de lead time. Als de klant bijvoorbeeld beslist om al

zijn grote bestellingen te plaatsen in het begin van de week en op het einde van de week nog

enkele kleine plaatst, zullen de lead times voor de eerste groep bestellingen zeer lang zijn en

de lead times voor de tweede groep bestellingen zeer kort. Bijgevolg zal de variabiliteit van

de lead time groot zijn. Indien de klant echter probeert om zijn orders meer gelijkmatig te

spreiden overheen de tijd, zal het gemakkelijker zijn voor de leverancier om een meer

constante lead time aan te bieden (Boute, Disney, Lambrecht & Van Houdt B., 2007).

Het is algemeen geweten dat een leverancier over twee methodes beschikt om bij te dragen

tot een lagere veiligheidsvoorraad voor zijn klant. Enerzijds kan hij zijn lead time verkorten,

anderzijds kan hij ook zorgen voor een meer betrouwbare lead time.

De vraag rijst nu in welke specifieke omstandigheden deze twee beweringen overeind

blijven. Zoals uit de onderstaande paragrafen zal blijken, spelen de verdeling van de vraag

gedurende de lead time en het nagestreefde service level hierin een cruciale rol.


4

2. Het verband tussen de veiligheidsvoorraad en de variabiliteit van

de lead time.

Om de veiligheidsvoorraad te kunnen bepalen, moet men over twee essentiële bouwstenen

beschikken (Chopra & Meindl, 2007). Enerzijds moet men weten hoeveel de shortage cost

bedraagt of hoe groot het nagestreefde service level is. Anderzijds moet men ook een inzicht

hebben in de verdeling van de vraag gedurende de lead time. In dit werk zal vooral aandacht

besteed worden aan deze laatste factor. De shortage cost en het nagestreefde service level

zullen meestal als gekend beschouwd worden.

2.1. De shortage cost en het service level.

De shortage cost is de kost die gepaard gaat met een gederfde verkoop doordat men over

onvoldoende voorraad beschikt. Men dient dus rekening te houden met de verloren marge

van de huidige verkoop, maar ook met deze van de toekomstige verkoop indien de klant

beslist om niet terug te keren (Chopra & Meindl, 2007). In de praktijk is het dikwijls niet

evident om een accuraat beeld te krijgen van deze kost.

Het service level (of product availability) is een maatstaf die dikwijls gebruikt wordt om de

prestatie van een voorraadsysteem weer te geven. Er komen in de literatuur verschillende

grootheden aan bod om het service level uit te drukken. Enkele veelgebruikte grootheden

zijn (Chopra & Meindl, 2007):

� Product fill rate = de fractie van de vraag naar een product die rechtstreeks uit de

beschikbare voorraad kan gehaald worden.

� Order fill rate = de fractie van de orders die rechtstreeks uit de beschikbare voorraad

kan worden gehaald. De order fill rate is meestal lager dan de product fill rate omdat

alle producten van het order in voorraad moeten aanwezig zijn vooraleer aan het

order kan worden voldaan.

� Cycle service level (CSL) = de fractie van replenishment cycles waarin men aan alle

vraag kon voldoen. Een replenishment cycle is de tijd die verloopt tussen twee

opeenvolgende binnenkomende leveringen. Het CSL is ook gelijk aan de kans dat er


5

zich geen stock out voordoet gedurende een replenishment cycle. Men spreekt van

een stock out als de gevraagde goederen niet in voorraad zijn.

Dit wordt weergegeven in de volgende formules (Chopra & Meindl, 2007):

� fill rate = 1−ESC/D

Waarbij:

• ESC = de gemiddelde vraag waaraan niet kon worden voldaan uit voorraad

gedurende een replenishment cycle.

• D = de gemiddelde vraag gedurende een replenishment cycle.

� cycle service level = P(DL ≤ ROP)

Waarbij:

• DL = de vraag gedurende de lead time (cfr. later).

• ROP = reorder point (cfr. later).

Een CSL van x% komt meestal overeen met een veel hogere fill rate (Chopra & Meindl,

2007). Tijdens de cycli waarin er geen stock out plaatsvindt, heeft men alle vraag uit

voorraad kunnen halen. Gedurende de overige cycli kan het best zijn dat men het grootste

gedeelte van de vraag nog steeds heeft kunnen uit voorraad halen, terwijl men slechts aan

een klein gedeelte niet heeft kunnen voldoen. De fill rate is eigenlijk de enige juiste maatstaf

voor het service level. Bovendien is deze maatstaf meestal ook praktisch relevanter. Hij laat

immers toe om een schatting te maken van de fractie van de vraag die omgezet werd in

verkopen (Chopra & Meindl, 2007).

2.2. De vraag gedurende de lead time.

Naast de shortage cost en het nagestreefde service level moet men ook een inzicht hebben

in de verdeling van de vraag gedurende de lead time als men de veiligheidsvoorraad wil


6

bepalen. De vraag gedurende de lead time is “de consumptie van de voorraad tussen het

moment waarop een order geplaatst wordt door de ontvanger en het moment waarop hij de

goederen werkelijk ontvangt (Vernimmen, Dullaert, Willemé & Witlox, 2008, p.249).

De vraag gedurende de lead time bestaat uit drie bouwstenen: de order intensiteit, de order

grootte en de lead time. De order intensiteit slaat op het aantal klantenorders per periode. De

order grootte verwijst naar het aantal bestelde stuks per klantenorder. De lead time is de tijd

die verloopt tussen het plaatsen en het ontvangen van een bestelling. De vraag gedurende

de lead time en zijn componenten worden afgebeeld in de onderstaande figuur. Deze figuur

is gebaseerd op (Bagchi, Hayya & Ord, 1984).

Fig.3: De vraag gedurende de lead time en zijn componenten.

Om de verdeling van de vraag gedurende de lead time te kunnen bepalen, moet men dus

eerst een inzicht hebben in het verloop van zijn componenten. Men kan dan op twee

manieren tewerk gaan (Bagchi et al.,1984). Een eerste methode bestaat erin aan de hand

van empirische gegevens de verdeling van de vraag gedurende de lead time rechtstreeks te

bepalen. Deze manier van werken blijkt echter niet zo geschikt te zijn (Bagchi et al., 1984;

Silver & Peterson, 1985; Tyworth, 1991). Bij de tweede methode gaat men de verdelingen

van de vraag per periode en de lead time eerst afzonderlijk bepalen waarna men dan de

verdeling van de vraag gedurende de lead bekomt (McFadden,1972; Bagchi, Hayya & Ord,

1983; Bagchi et al., 1984; Bagchi, Hayya & Chu, 1986; Mentzer & Krishnan, 1985; Tyworth,

1991; Tyworth, 1992).


7

Indien de lead time en de vraag per periode allebei stochastisch zijn, zal deze laatste

methode het meest geschikt zijn (Lu, Toellner & Kaufman, 1962). Daarom zal in de

uitgewerkte voorbeeldjes die later aan bod komen deze tweede manier van werken

gehanteerd worden. Er zal wel meteen vertrokken worden van de vraag per periode en dus

niet gekeken worden naar de verdeling van de order grootte en de order intensiteit. De rode

pijlen in de bovenstaande figuur tonen dit aan.

2.2.1. De vraag gedurende de lead time volgt een no rmale verdeling.

Men baseert zich dikwijls op de centrale limietstelling om het gebruik van de normale

verdeling te verantwoorden. In bepaalde settings blijkt de normale verdeling inderdaad een

goede weerspiegeling te zijn voor het verloop van de vraag gedurende de lead time. Het

betreft die situaties waarin de vraag per periode en de lead time normaal verdeeld zijn

(Chopra, Reinhardt & Dada, 2004).

Het voordeel van het gebruik van de normale verdeling voor de vraag gedurende de lead

time, is dat men over exacte formules beschikt om de bijhorende veiligheidsvoorraad te

berekenen.

2.2.1.1. Kwalitatief verband tussen de veiligheidsv oorraad en de

variabiliteit van de lead time.

Indien de vraag gedurende de lead time een normale verdeling volgt en er een cycle service

level hoger dan 50% wordt nagestreefd, gelden de volgende stellingen (Chopra et al., 2004):

� Een reductie van de lead time zal aanleiding geven tot een reductie van de


� Een reductie van de variabiliteit van de lead time zorgt ook voor een reductie van

de veiligheidsvoorraad.


8

� Het reduceren van de variabiliteit van de lead time zal effectiever zijn in het

reduceren van de veiligheidsvoorraad. Dit effect zal sterker zijn als de

onzekerheid over de lead time groot is.

In het geval men een cycle service level van 50% hanteert, blijkt de variabiliteit van de lead

time geen invloed te hebben op de veiligheidsvoorraad. Voor een cycle service level kleiner

dan 50%, zal een daling van de variabiliteit van de lead time zorgen voor een stijging van de

veiligheidsvoorraad. Deze relaties worden grafisch verduidelijkt in onderstaande figuur 4 die

afkomstig is uit (Chopra et al., 2004). Hierin gaat men uit van een continuous review

voorraadbeleid (cfr. later). Bij een dergelijk voorraadbeleid geldt dat de veiligheidsvoorraad

gelijk is aan het reorder point min de vraag gedurende de lead time (Chopra & Meindl, 2007).

Fig.4: Het effect van het reduceren van de onzekerheid in de lead times op de veiligheidsvoorraad

voor verschillende mogelijkheden van het cycle service level.

Het is vooral belangrijk om zich te concentreren op de situaties waarin het cycle service level

hoger ligt dan 50% (en kleiner is dan 70%). Een cycle service level in dit interval komt

immers overeen met een fill rate van 97%-99%. Vele bedrijven gaan in de praktijk een

dergelijke fill rate nastreven (Chopra et al., 2004).


9

2.2.1.2. Kwantitatief verband tussen de variabilite it van de lead time

en de veiligheidsvoorraad.

2.2.1.2.1. Continuous review voorraadbeleid.

Bij een continuous review voorraadbeleid gaat men het voorraadniveau continu monitoren.

Indien de voorraad een bepaald niveau (het zogenaamde reorder point of ROP) bereikt,

wordt er een bestelling geplaatst. De hoeveelheid die men telkens bijbestelt, blijft constant.

De tijd die verloopt tussen twee opeenvolgende bestellingen kan variëren (Chopra & Meindl,

2007).

Als er onzekerheid is op het vlak van de lead time, kan het verband tussen de

veiligheidsvoorraad en de variabiliteit van de lead time, voorgesteld door de

standaardafwijking van de lead time, weergegeven worden door de volgende formule

(Chopra & Meindl, 2007):

� SS = k*σDL

Waarbij:

• SS = veiligheidsvoorraad.

• k = veiligheidsfactor; kan bepaald worden als de inverse van de cumulatieve

standaard normaalverdeling voor een gegeven service level.

• σDL = √(L*σD² + D²*SL²) = standaardafwijking van de vraag gedurende de lead time.

Met:

• D = gemiddelde vraag per tijdseenheid.

• SL = standaardafwijking van de lead time.

• L = gemiddelde lead time.

• σD = standaardafwijking van de vraag per tijdseenheid.


10

2.2.1.2.2. Periodic review voorraadbeleid.

Bij een periodic review voorraadbeleid gaat men de voorraad op welbepaalde vaste

tijdstippen controleren. De tijd die verloopt tussen opeenvolgende controlemomenten en het

plaatsen van orders is constant en wordt de review period genoemd . De bedoeling is om de

voorraad telkens opnieuw terug aan te vullen tot een vooraf bepaald niveau (het order-up-to

level) door het plaatsen van bestellingen die kunnen variëren in grootte (Chopra & Meindl,

2007).

Het verband tussen de variabiliteit van de lead time en de veiligheidsvoorraad komt tot uiting

in de onderstaande relatie (Chopra & Meindl, 2007):

� SS = k*σDLT

Waarbij:

• σDLT = √[(L+T)*σD² + D²*SL²] = standaardafwijking van de vraag gedurende het

tijdsinterval dat bestaat uit de som van de lead time en de review period.

• T = review period.

• De andere variabelen worden op dezelfde manier gedefinieerd als bij een continuous

review voorraadbeleid.

Een periodic review voorraadbeleid brengt altijd een hogere veiligheidsvoorraad met zich

mee dan een continuous review voorraadbeleid (Chopra & Meindl, 2007). Dit is te wijten aan

het feit dat men een buffer moet aanleggen voor de onzekerheid in de vraag gedurende de

lead time én de review period. Het voordeel van een periodic review voorraadbeleid is dan

weer dat het gemakkelijker te implementeren is in de praktijk juist omdat het niet nodig is om

de voorraad constant te monitoren.

2.2.2. De vraag gedurende de lead time is niet norm aal verdeeld.

Het grote probleem met de bovenstaande stellingen is dat de vraag gedurende de lead time

in realiteit dikwijls niet normaal verdeeld is. De bovenstaande verbanden tussen de

veiligheidsvoorraad en de variabiliteit van de lead time mogen dus niet zonder meer


11

veralgemeend worden (Chopra et al., 2004). Verkeerdelijk uitgaan van de normale verdeling

kan ertoe leiden dat men te weinig veiligheidsvoorraad aanlegt en het gewenste service level

dus niet zal bereiken (Eppen & Martin, 1988). De implicaties hiervan zullen echter een

kleiner effect hebben op de totale logistieke kosten naarmate de nagestreefde fill rate en de

onzekerheid in de lead time en de vraag kleiner zijn. Dit geeft immers aanleiding tot een

daling van de veiligheidsvoorraad en hierdoor gaan de kosten verbonden aan de

veiligheidsvoorraad een kleinere portie van de totale logistieke kosten uitmaken (Thomas &

Tyworth, 2006; Tyworth & O’Neill; 1997).

2.2.2.1. Kwalitatief verband tussen de veiligheidsv oorraad en de


In wat volgt, wordt uitgegaan van het geval waarin men een continuous review

voorraadbeleid hanteert. Toch blijven de vaststellingen ook geldig voor de situaties waarin

men een periodic review voorraadbeleid hanteert.

2.2.2.1.1. Het CSL ligt in het interval [50%;60%].

Stel dat de lead time een uniforme, gamma of begrensde normale verdeling volgt en de

vraag per periode een normale verdeling met een hoge variatiecoëfficiënt kent. Er bestaat

dan een grenswaarde voor het cycle service level die groter is dan 50%, zodanig dat de

volgende conclusie geldt (Chopra et al., 2004):

� Indien het nagestreefde cycle service level in het interval [50%; grenswaarde] ligt, zal

een reductie van de variabiliteit van de lead time, voorgesteld door de

standaardafwijking van de lead time, leiden tot een stijging van het reorder point en


Deze conclusie is het tegengestelde van wat men besluit indien de vraag gedurende de lead

time normaal verdeeld is en het cycle service level groter is dan 50%.

Volgens (Chopra et al., 2004) zal onder de bovenstaande assumpties de grenswaarde voor

het cycle service level in het interval [50%;70%] liggen. Voor uniform verdeelde lead times


12

zal deze grenswaarde net boven 50% liggen, terwijl hij voor gamma verdeelde lead times

rond 60% of zelfs boven 60% kan liggen (Chopra et al., 2004). Volgens (Wang & Hill, 2006)

geldt de bovenstaande conclusie vooral indien het cycle service level in het interval

[50%;60%] ligt.

Het is ook mogelijk dat de bovenstaande conclusie kan getrokken worden indien de lead

time een andere verdeling volgt dan de drie bovenvermelde verdelingen en indien de

variatiecoëfficiënt van de vraag per periode klein is. Bovendien zal de stijging van de

veiligheidsvoorraad die ontstaat door een reductie van de variabiliteit van de lead time des te

groter zijn naarmate (Chopra et al., 2004):

• de lead time een verdeling volgt die dichter aanleunt bij de gammaverdeling.

• de variatiecoëfficiënt van de vraag hoger ligt.

Om nu de grenswaarde voor het cycle service level te bepalen in een specifieke situatie, kan

men als volgt tewerk gaan (Chopra et al., 2004). Construeer twee cumulatieve

distributiefuncties van de vraag gedurende de lead time waarbij de standaardafwijking van

de lead time verandert terwijl de gemiddelde lead time constant blijft. Werk in beide situaties

met dezelfde waarden voor de vraag per periode. Het punt waar de twee verschillende

cumulatieve distributiefuncties elkaar snijden, komt overeen met de gezochte grenswaarde.

Deze manier van werken wordt voorgesteld in figuur 4 die gebaseerd is op een figuur

uit(Chopra et al., 2004). De verschillende grafieken stellen de cumulatieve distributiefuncties

(CDF’s) van de vraag gedurende de lead time voor waarbij het gemiddelde van de lead time

onveranderd blijft en de standaardafwijking van de lead time varieert. De lead time is telkens

uniform verdeeld en heeft een gemiddelde van 10 dagen. De y-waarden in de legende van

de figuur stellen de mogelijke situaties voor de standaardafwijking van de lead time voor. De

vraag per periode is normaal verdeeld.


13

Fig.5: Het bepalen van de grenswaarde voor het cycle service level via de cumulatieve

distributiefuncties van de vraag gedurende de lead times.

Concreet wil dit zeggen dat indien in de bovenstaande situatie een cycle service level wordt

nagestreefd dat in het interval [50%;56,4%] ligt, een reductie van de standaardafwijking van

de lead time van 3 dagen naar 1 dag, zal zorgen voor een stijging van het reorder point en


Indien de vraag gedurende de lead time een normale verdeling volgt, zal deze grenswaarde

voor het cycle service 50% bedragen (Chopra et al., 2004). Als het cycle service level kleiner

is dan deze grenswaarde zal een daling van de variabiliteit van de lead time leiden tot een

stijging van het reorder point en de veiligheidsvoorraad. Voor cycle service levels boven de

grenswaarde gaat een daling van de variabiliteit van de lead time aanleiding geven tot een

daling van het reorder point en de veiligheidsvoorraad. Deze vaststellingen werd reeds

aangetoond in figuur 4.

Voor bedrijven die werken met cycle service levels tussen 50% en die grenswaarde, is het

dus aangewezen om de lead time zélf te reduceren en niet om de variabiliteit van de lead

time te reduceren indien men naar een daling van de veiligheidsvoorraad streeft. Een

reductie van de lead time zal immers altijd leiden tot een daling van de veiligheidsvoorraad,

wat ook het nagestreefde service level is. Een reductie van de variabiliteit van de lead time

zal onder dergelijke omstandigheden echter aanleiding geven tot een stijging van het reorder

point en de veiligheidsvoorraad (Chopra et al., 2004).


14

2.2.2.1.2. Het CSL ligt in het interval [60%;70%].

Als het cycle service level tussen 0,6 en 0,7 ligt, dan wordt gezegd dat het deel uitmaakt van

de recursieve zone. Deze zone ontleent zijn naam aan het feit dat er een recursief effect

plaatsvindt. Indien de lead time een gamma verdeling volgt en het nagestreefde CSL in de

recursieve zone ligt, dan geldt het volgende recursieve effect (Wang & Hill, 2006):

� Een reductie van de variabiliteit van de lead time, voorgesteld door de

variatiecoëfficiënt van de lead time, zorgt voor een stijging van de

veiligheidsvoorraad totdat de variabiliteit van de lead time zelf een zekere

grenswaarde bereikt.

� Indien de variabiliteit van de lead time onder deze grenswaarde zakt, zal een

verdere reductie van de variabiliteit van de lead time ofwel geen effect meer

hebben op de veiligheidsvoorraad, ofwel zorgen voor een daling van de


Dit recursieve effect is het grootst voor een CSL dat dicht in de buurt ligt van 65% (Wang &

Hill, 2006).

Wat betreft het reduceren van de variabiliteit van de lead time indien men in de buurt ligt van

de grenzen van de recursieve zone, kan het volgende gezegd worden (Wang & Hill, 2006):

� Indien het CSL dichtbij 0,6 aanleunt en de variabiliteit van de lead time,

voorgesteld door de variatiecoëfficiënt van de lead time, hoog is (gelegen tussen

0,6 en 0,9), dan geldt: een reductie van de variabiliteit van de lead time zal leiden

tot een significante stijging van de veiligheidsvoorraad.


voorgesteld door de variatiecoëfficiënt van de lead time, laag is (kleiner dan 0,6),

dan geldt: een reductie van de variabiliteit van de lead time heeft geen

significante invloed op de veiligheidsvoorraad.


15


voorgesteld door de variatiecoëfficiënt van de lead time, hoog is (gelegen tussen

0,6 en 0,9), dan geldt: een reductie van de variabiliteit van de lead time heeft

geen significante invloed op de veiligheidsvoorraad.


voorgesteld door de variatiecoëfficiënt van de lead time, laag is (kleiner dan 0,6),

dan geldt: een reductie van de variabiliteit van de lead time zal zorgen voor een

significante daling van de veiligheidsvoorraad.

2.2.2.1.3. Het CSL is groter dan 70%.

Indien de lead time een gamma verdeling volgt en het CSL boven 0,7 ligt (de zogenaamde

conventionele zone), dan geldt het volgende (Wang & Hill, 2006):

� Een reductie van de variabiliteit van de lead time, voorgesteld door de

variatiecoëfficiënt van de lead time, zal aanleiding geven tot een daling van de


De conventionele zone ontleent zijn naam aan het feit dat hier dezelfde conclusie getrokken

wordt als in de situatie waarbij de vraag gedurende de lead time een normale verdeling volgt

en het CSL groter is dan 50% (Wang & Hill, 2006).

2.2.2.2. Kwantitatief verband tussen de veiligheids voorraad en de


Indien de vraag per periode en de lead time stochastisch zijn, kan het verband tussen de

variabiliteit van de lead time en de kosten van de veiligheidsvoorraad weergegeven worden

door de volgende vergelijking (Vernimmen et al., 2008):

� TK = (1/R)*v*h*k*√[(L*d)+(l*D²)]


16

Waarbij:

• TK = totale kosten van de veiligheidsvoorraad.

• v = waarde van de goederen.

• d = variantie van de vraag per dag.

• D = gemiddelde vraag per dag.

• h = holding cost per jaar (uitgedrukt als een percentage van v). Onder holding cost

verstaat men de kosten die men oploopt om goederen gedurende een bepaalde

periode in voorraad aan te houden.

• k = veiligheidsfactor (afhankelijk van het gewenste service level en de verdeling van

de vraag gedurende de lead time).

• l = variantie van de lead time.

• L = gemiddelde lead time.

• R = totale jaarlijkse volume.

3. Uitgewerkt voorbeeld.

Om de bovenstaande bevindingen betreffende het cycle service level en de variabiliteit van

de lead time te verduidelijken, zal hier een (weliswaar fictief) voorbeeld uitgewerkt worden.

Hiervoor zal worden gebruik gemaakt van simulatie. Het softwarepakket dat in dit opzicht

gebruikt wordt, is Crystal Ball versie 11.1.1.1.0 van Oracle. Dit kan als add-in in Microsoft

Excel 2003 ingevoerd worden.

Het bedrijf CeboTrans N.V. is actief in de logistieke sector. Het staat meerbepaald in voor de

opslag en het transport van reeds bewerkte grondstoffen (bv.: meel, gist,…) voor industriële

bakkerijen. Voor dit bedrijf worden nu achtereenvolgens verschillende situaties bekeken.

Situatie 1

Het is de bedoeling om de grenswaarde voor het cycle service level te bepalen waarbij een

daling van de variabiliteit van de lead time zal aanleiding geven tot een stijging van het

reorder point en de veiligheidsvoorraad. Om dit te kunnen realiseren moet men beschikken

over twee cumulatieve distributiefuncties voor de vraag gedurende de lead time, waarbij het


17

gemiddelde van de lead time constant wordt gehouden en de standaardafwijking van de lead

time varieert.

In de eerste situatie gaan we ervan uit dat de vraag per dag een normale verdeling kent met

een gemiddelde van 20 ton en een standaardafwijking van 7 ton. De lead time volgt een

begrensde normale verdeling met als ondergrens 0 dagen en als bovengrens 6 dagen.

Bovendien heeft de lead time een gemiddelde van 3 dagen en een standaardafwijking van

1,5 dagen (1,49 dagen om precies te zijn).

Via simulatie worden 1000 willekeurige waarden gegenereerd voor de vraag per dag en de

lead time. Daarna worden de overeenkomstige waarden voor de vraag gedurende de lead

time berekend als het product van deze getallen. Deze werkwijze wordt voorgesteld in de

onderstaande tabel waarin telkens de eerste 10 waarden worden getoond.

lead time 1 vraag per dag vraag gedurende lead time 1 0,73 21,36 15,66 5,56 7,56 41,99 4,66 21,70 101,12 1,94 22,95 44,44 5,14 17,50 89,99 2,77 22,67 62,68 3,99 11,67 46,54 3,65 32,19 117,58 3,41 23,12 78,82 5,42 19,08 103,43

Tabel 1: Het genereren van willekeurige waarden via simulatie.

In een volgende stap wordt onderzocht wat de best passende verdeling is voor de vraag

gedurende de lead time in dit specifieke geval. Dit wordt onderzocht via de Anderson-Darling

test. De best passende verdeling blijkt een bèta verdeling te zijn met als belangrijkste

parameters een minimum, maximum, alfa en bèta van respectievelijk -8,98; 271,06; 2,24 en

6,8. De volgende figuur schetst het verloop van deze verdeling.


18

Fig.6: De best passende verdeling voor de vraag gedurende de lead time indien de lead time een

begrensde normale verdeling volgt met een standaardafwijking van 1,5 dagen.

In het tweede geval wordt een lead time gesimuleerd die een begrensde normale verdeling

volgt met een minimum van 0 dagen en een maximum van 6 dagen waarbij het gemiddelde

3 dagen bedraagt en de standaardafwijking gelijk is aan 1 (0,99 om precies te zijn). Voor het

verloop van de vraag per dag worden identiek dezelfde verdeling en dezelfde gesimuleerde

waarden gebruikt als in het bovenstaande geval. De best passende verdeling is in dit geval

opnieuw een bèta verdeling. De belangrijkste parameters van deze verdeling zijn een

minimum, maximum, alfa en bèta van respectievelijk -8,94; 255,78; 3,65 en 10,34.

Het verloop van deze verdeling wordt hieronder geschetst.

Fig.7: De best passende verdeling voor de vraag gedurende de lead time indien de lead time een

begrensde normale verdeling volgt met als standaardafwijking 1 dag.

De volgende stap bestaat erin de cumulatieve distributiefuncties van beide verdelingen te

construeren via Excel. De y-as stelt het cycle service level voor en de x-as stelt het reorder

point voor. Het cycle service level stelt immers per definitie de kans voor dat tijdens een

replenishment cycle de vraag gedurende de lead time kleiner is dan of gelijk is aan het

reorder point (37). De blauwe grafiek geeft het eerste geval weer waarbij de


19

standaardafwijking van de lead time hoog is (1,5 dagen). De roze grafiek stelt het tweede

geval voor waarin men uitgaat van een kleinere standaardafwijking van de lead time (1 dag).

Het snijpunt van de twee grafieken komt overeen met het gezochte cycle service level. In de

situatie die hier bestudeerd wordt, is deze grens gelijk aan 58,66% ( voor het gemak van

werken werd dit getal afgerond tot op twee cijfers na de komma). Concreet betekent dit dat

indien men een cycle service level hanteert dat in het interval [50%;58,66%] ligt, een daling

van de variabiliteit van de lead time zal aanleiding geven tot een stijging van het reorder

point en de veiligheidsvoorraad. Dit komt tot uiting in de onderstaande figuur.

Fig. 8.: Het bepalen van de grenswaarde voor het cycle service level bij lead times met een begrensde

normale verdeling.

Het bovenstaande kan ook cijfermatig worden aangetoond. Gegeven een bepaald cycle

service level en de gemiddelde vraag gedurende de lead time van beide cumulatieve

distributiefuncties, moet men dus het overeenkomstige reorder point voor de beide gevallen

berekenen. Dit kan gebeuren via de ingebouwde Oplosser van Excel.

Voor de cumulatieve bèta verdeling van het eerste geval verkrijgt men:

• Gemiddelde vraag gedurende de lead time (DL) = 60,18 ton.

0,586558175

00,10,20,30,40,50,60,70,80,9

1

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240

Reorder point

Cyc

le s

ervi

ce le

vel

cumulatieve bètaverdeling HOOG

cumulatieve bètaverdeling LAAG


20

• Stel dat het CSL gelijk is aan 55%.

� Reorder point = 59,92 ton.

� Veiligheidsvoorraad = ROP−DL

= -0,26 ton.

Voor de andere cumulatieve bèta verdeling met de kleinere standaardafwijking van de lead

time wordt dit:

• Gemiddelde vraag gedurende de lead time = 60,13 ton.




= 0,88 ton.

Als de beide cumulatieve bèta verdelingen nu met elkaar vergeleken worden, ziet men dat er

in het tweede geval een toename van de veiligheidsvoorraad is van 1,14 ton.

Bovenstaand voorbeeld bevestigt de stelling van (Wang & Hill, 2006) die zegt dat een

reductie van de variabiliteit van de lead time aanleiding geeft tot een stijging van het reorder

point en de veiligheidsvoorraad, indien de vraag normaal verdeeld is met een hoge

variatiecoëfficiënt en de lead times een begrensde normale verdeling volgen waarbij een

cycle service level tussen 50% en een zekere grenswaarde (lager dan 60%) nagestreefd

wordt.

Situatie 2

In deze situatie is de vraag per dag normaal verdeeld met een gemiddelde van 10 ton en een

standaardafwijking van 8 ton. De vraag per dag maakt bovendien deel uit van het interval

[0 ton; 20 ton]. De lead times volgen nu beiden een gamma verdeling. De ene lead time heeft

een gemiddelde en een standaardafwijking van 4 dagen. Dit wordt bekomen door een

location, scale en shape van respectievelijk 0; 4 en 1 te kiezen. Hierbij kan nog vermeld

worden dat de scale en de shape van een gamma verdeling respectievelijk de bèta en alfa


21

parameter voorstellen. De andere lead time bezit ook een gemiddelde van vier dagen, maar

heeft nu een standaardafwijking van 5,66 dagen. Dit verkrijgt men door een location, scale

en shape van respectievelijk 0; 8 en 0,5 te kiezen. Er wordt nu op een volledig analoge

manier tewerk gegaan als in situatie 1.

De lead time met de kleinste standaardafwijking geeft in dit specifieke geval aanleiding tot

een vraag gedurende de lead time die een weibull verdeling volgt. De parameters van deze

verdeling zijn een location, scale en shape van respectievelijk 0,001; 34,37 en 0,83. Deze

verdeling komt aan bod in de onderstaande figuur.

Fig.9: De best passende verdeling voor de vraag gedurende de lead time als de lead time een gamma

verdeling volgt met een standaardafwijking van 4 dagen.

De lead time met de grootste standaardafwijking zorgt in deze omstandigheden voor een

gamma verdeelde vraag gedurende de lead time. Deze verdeling heeft een location, scale

en shape van respectievelijk 0,0002; 97,38 en 0,45. De onderstaande figuur schetst het

verloop van deze gamma verdeling.

Fig.10: De best passende verdeling voor de vraag gedurende de lead time als de lead time een

gamma verdeling volgt met een standaardafwijking van 5,66 dagen.


22

Als men dan de cumulatieve distributiefuncties van de beide verdelingen schetst, vindt men

opnieuw het snijpunt en dus de gezochte grenswaarde voor het cycle service level. Dit komt

hieronder aan bod.

Fig.11: Het bepalen van de grenswaarde voor het cycle service level in het geval van gamma

verdeelde lead times.

Uit de figuur kan men opmaken dat het gezochte cycle service level ongeveer gelijk is aan

66,03% is. Dit betekent dus dat een reductie van de variabiliteit van de lead time zal

aanleiding geven tot een stijging van het reorder point en de veiligheidsvoorraad indien het

cycle service level gelegen is in het interval [50%;66,03%]. Dit kan als volgt cijfermatig

weergegeven worden.

Voor de cumulatieve weibull verdeling krijgt men:


• Stel dat het nagestreefde CSL gelijk is aan 64%.



= -2,73 ton.

0,660278505

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240

Reorder point

Cyc

le s

ervi

ce le

vel

cumulatieve weibull verdeling

cumulatieve gamma verdeling


23

Voor de cumulatieve gamma verdeling krijgt men het volgende:





= -8,97 ton.

Het bovenstaande bevestigt de stelling van (Chopra et al., 2004) die zegt dat indien de vraag

per periode normaal verdeeld is en de lead time een gamma verdeling volgt, dan kan de

gezochte grenswaarde voor het cycle service level boven 60% liggen.

De bovenstaande grafiek bevestigt ook de stelling van (Wang & Hill, 2006) die zegt dat

indien de lead times een gamma verdeling volgen er een recursieve zone (gaande van 60%

tot 70%) bestaat waarin een daling van de standaardafwijking van de lead time eerst

aanleiding geeft tot een stijging van het reorder point en de veiligheidsvoorraad en

vervolgens (vanaf de grenswaarde van het cycle service level) ofwel zorgt voor een daling

van het reorder point en de veiligheidsvoorraad ofwel geen effect meer heeft op het reorder

point en de veiligheidsvoorraad. Daarnaast ziet men ook dat voor cycle service levels groter

dan 70% de aanbevelingen van een normaal verdeelde vraag gedurende de lead time

opgaan. Het toont dus aan dat er in dit geval sprake is van wat (Wang & Hill, 2006) de

conventionele zone noemen.

Situatie 3

In deze setting vertrekt men van uniform verdeelde lead times. De eerste lead time heeft een

gemiddelde van 4 dagen en een standaardafwijking van 2,31 dagen. Hij is bovendien

gelegen in het interval [0 dagen; 8 dagen]. Voor de tweede lead time wordt opnieuw een

gemiddelde van 4 dagen genomen, maar nu met een standaardafwijking van 1,73 dagen.

Deze lead time ligt in het interval [1 dag; 7 dagen]. De vraag per dag is in beide gevallen

normaal verdeeld met een gemiddelde van 10 ton en een standaardafwijking van 8 ton. Hij

maakt deel uit van het interval [0 ton; 20 ton].

In dit specifieke geval wordt de vraag gedurende de eerste lead time het best benaderd door

de bèta verdeling die in onderstaande figuur aan bod komt.


24


uniforme verdeling volgt met een standaardafwijking van 2,31 dagen.

Deze verdeling heeft een minimum, maximum, alfa en bèta van respectievelijk -0,17; 166,66;

0,85 en 2,69.

In het tweede geval wordt de vraag gedurende de lead time het best weergegeven via de

onderstaande gamma verdeling.


uniforme verdeling volgt met een standaardafwijking van 1,73 dagen.

De parameters van deze gamma verdeling zijn: een location, scale en shape van

respectievelijk -0,40; 25,31 en 1,56.

Laten we nu de cumulatieve distributiefuncties van de beide verdelingen opnieuw uitzetten

om het gezochte cycle service level te bepalen. De onderstaande figuur toont dat dit cycle

service level gelijk is aan 50,97%.


25

Fig.14: Het bepalen van de grenswaarde voor het cycle service level in het geval van uniform

verdeelde lead times.

Dit betekent concreet dat een daling van de standaardafwijking van de lead time zal zorgen

voor een stijging van het reorder point en de veiligheidsvoorraad indien het nagestreefde

cycle service in het interval [50%; 50,97%] ligt. Het onderstaande cijfervoorbeeld toont aan

dat dit effectief zo is.

Voor de cumulatieve bèta verdeling heeft men:


• Stel dat het nagestreefde CSL gelijk is aan 50,5%.



= -8,12 ton.

Voor de cumulatieve gamma verdeling krijgt men het volgende:


• Stel dat het CSL gelijk is aan 50,5%.

0,509711283

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

0 20 40 60 80 100 120 140 160

Reorder point

Cyc

le s

ervi

ce le

vel

cumulatieve bèta verdeling

cumulatieve gamma verdeling


26



= -7,29 ton.

Deze simulatie bevestigt de stelling van (Chopra et al., 2004) die zegt dat indien de vraag

per periode normaal verdeeld is met een hoge variatiecoëfficiënt en de lead times een

uniforme verdeling volgen, dan zal de grenswaarde voor het cycle service level dicht bij 50%

aanleunen.

Situatie 4

In de laatste situatie zal onderzocht worden of de aanbevelingen van (Chopra et al., 2004)

en/of (Wang & Hill, 2006) ook standhouden indien de vraag per periode een poisson

verdeling volgt.

We gaan ervan uit dat beide lead times een gamma verdeling volgen. De eerste lead time

heeft naar analogie met de bovenstaande situatie 2 een gemiddelde en een

standaardafwijking van 4 dagen. De andere lead time heeft ook een gemiddelde van vier

dagen, maar nu met een standaardafwijking van 5,66 dagen. De vraag volgt een poisson

verdeling met een rate van 5 en is begrensd door het interval [0 ton; 20 ton]. De gemiddelde

vraag per dag bedraagt hierdoor 5 ton en de standaardafwijking is 2,24 ton.

De lead time met als standaardafwijking 4 dagen geeft aanleiding tot een gamma verdeelde

vraag gedurende de lead time. De parameters van deze verdeling zijn een location, scale en

shape van respectievelijk -1,65*10-6; 26,04 en 0,76. Dit wordt voorgesteld in de

onderstaande figuur.


27

Fig.15: De best passende verdeling voor de vraag gedurende de lead time als de vraag per dag een

poisson verdeling volgt en de lead time een gamma verdeling volgt met een standaardafwijking van 4

dagen.

De lead time met de grotere standaardafwijking gecombineerd met dezelfde gesimuleerde

waarden voor de vraag per dag, levert in deze omstandigheden eveneens een gamma

verdeling op voor de vraag gedurende de lead time. De figuur hieronder schetst deze

verdeling.

Fig.16: De best passende verdeling voor de vraag gedurende de lead time als de vraag per dag een

poisson verdeling volgt en de lead time een gamma verdeling volgt met een standaardafwijking van

5,66 dagen.

De location, scale en shape van deze verdeling zijn respectievelijk: -9,93*10-7; 42,44 en 0,43.

Het snijpunt van de twee bijhorende cumulatieve distributiefuncties levert opnieuw de

grenswaarde voor het cycle service level op. De blauwe functie stelt de cumulatieve

distributiefunctie van de vraag gedurende de lead time voor die hoort bij de lead time met de

kleinste standaardafwijking. De roze grafiek toont het geval waarin de lead time een grotere

standaardafwijking heeft. Het snijpunt van de twee grafieken wordt afgebeeld in de



28

Fig.17: Het bepalen van de grenswaarde voor het cycle service level indien de vraag per dag een

poisson verdeling volgt.

De grenswaarde voor het cycle service level is na afronding gelijk aan 86,80%. Het valt

onmiddellijk op dat deze waarde aanzienlijk groter is dan de aanbevelingen van (Chopra et

al., 2004) en (Wang & Hill, 2006).

Hier dient opgemerkt te worden dat bovenstaand voorbeeld niet als bedoeling had om zelf

veralgemenende conclusies te trekken. De opzet bestond erin om te onderzoeken of de

aanbevelingen van (Chopra et al., 2004) en/of (Wang & Hill, 2006) al dan niet standhouden

indien de vraag per periode een poisson verdeling volgt in de plaats van een normale

verdeling. Dit blijkt in dit voorbeeld niet het geval te zijn. De conclusies van (Chopra et al.,

2004) en (Wang & Hill, 2006) mogen dus niet zomaar doorgetrokken worden naar de situatie

waarin de lead times een gamma verdeling volgen en de vraag per periode een poisson

verdeling volgt.

4. Besluit .

Een reductie van de lead time zal altijd aanleiding geven tot een daling van de

veiligheidsvoorraad. Dit is onafhankelijk van de verdeling van de vraag gedurende de lead

time en het nagestreefde service level. Voor een reductie van de variabiliteit van de lead time

0,868004619

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

0 20 40 60 80 100 120 140

Reorder point

Cyc

le s

ervi

ce le

vel

cumulatieve gammaverdeling LAAG

cumulatieve gammaverdeling HOOG


29

is dit niet altijd zo. Het effect op de veiligheidsvoorraad zal afhankelijk zijn van de verdeling

van de vraag gedurende de lead time en het nagestreefde service level (Chopra et al.,

2004).

Men dient op dit vlak een onderscheid te maken tussen enerzijds het geval waarin de vraag

gedurende de lead time normaal verdeeld is, en anderzijds het geval waarin de vraag

gedurende de lead time niet normaal verdeeld is. Bovendien dient men ook rekening te

houden met de verschillende waarden die het service level kan aannemen.

Als de vraag gedurende de lead time normaal verdeeld is en men wil een cycle service level

hoger dan 50% aanbieden, dan zal een reductie van de variabiliteit van de lead time

aanleiding geven tot een daling van de veiligheidsvoorraad. Indien men echter een cycle

service level van 50% wenst te bereiken, zal de veiligheidsvoorraad niet beïnvloed worden

door een daling van de variabiliteit van de lead time. Voor cycle service levels kleiner dan

50% zal een reductie van de variabiliteit van de lead time leiden tot een stijging van de

veiligheidsvoorraad (Chopra et al., 2004).

Als de lead time een uniforme, een gamma of een begrensde normale verdeling volgt en de

vraag per periode een normale verdeling kent, zal een reductie van de variabiliteit van de

lead time aanleiding geven tot een stijging van de veiligheidsvoorraad indien men een cycle

service level nastreeft gelegen tussen 50% en een zekere grenswaarde (Chopra et al.,

2004).

Indien de lead time een gamma verdeling volgt en er een cycle service level nagestreefd

wordt van 60% tot 70%, zal een reductie van de variabiliteit van de lead time leiden tot een

stijging van de veiligheidsvoorraad, zolang de variabiliteit van de lead time boven een

bepaalde grenswaarde blijft. Vanaf het ogenblik dat de variabiliteit van de lead time onder

deze grenswaarde zakt, zal het verder reduceren ervan ofwel geen invloed meer hebben op

de veiligheidsvoorraad ofwel zorgen voor een daling van de veiligheidsvoorraad (Wang &

Hill, 2006).

Als men een cycle service level groter dan 70% tracht te bereiken en de lead time een

gamma verdeling volgt, zal een reductie van de variabiliteit van de lead time zorgen voor een

daling van de veiligheidsvoorraad (Wang & Hill, 2006).


30

Deel 2: Order splitting en zijn effect op de totale logistieke

kosten.

1. Order splitting.

Bedrijven kiezen er soms bewust voor om slechts beroep te doen op één leverancier. In de

literatuur wordt dit ook wel single sourcing genoemd (Ramasesh, Ord, Hayya & Pan, 1991).

Dergelijk beleid brengt immers een aantal voordelen met zich mee. Zo is het bijvoorbeeld

gemakkelijker om coördinatie tussen de beide partijen tot stand te brengen. Daarnaast kan

men ook een lange termijn relatie uitbouwen met zijn leverancier steunend op wederzijds

vertrouwen. Bovendien zal men ook gemakkelijker hoeveelheidskortingen kunnen

onderhandelen. Dit zijn slechts enkele van de mogelijke voordelen verbonden aan een single

sourcing beleid.

Toch ziet men in de praktijk dat bedrijven dikwijls een beroep gaan doen op verschillende

leveranciers. Op deze manier slaagt men erin bepaalde risico’s beter te beheren. Zo zal

bijvoorbeeld het risico op laattijdige leveringen gereduceerd worden (Minner, 2003). Later zal

duidelijk worden dat een dergelijk beleid ook een impact heeft op de (totale) logistieke

kosten.

Order splitting is een bestelbeleid waarbij één groot order wordt opgedeeld in verschillende

kleinere deelorders. Men gaat dan meerdere leveranciers aanspreken om aan al deze

deelorders te voldoen (Thomas & Tyworth, 2006). Indien men twee verschillende

leveranciers gebruikt, spreekt men van dual sourcing (Sculli & Wu, 1981). In het meer

algemene geval waarin men een beroep doet op meer dan twee leveranciers, spreekt men

van multiple sourcing(Sculli & Shum, 1990).

2. Assumpties.

In de literatuur gaat men er meestal vanuit dat de deelorders op hetzelfde tijdstip geplaatst

worden bij de verschillende leveranciers om op die manier de stijging in bestelkosten zoveel

mogelijk te drukken en omdat er dan slechts één reorder point moet berekend worden. Er

moet echter vermeld worden dat een groot gedeelte van de bestelkosten in de praktijk niet

zal veranderen naarmate het aantal leveranciers verandert (Ramasesh et al., 1991).


31

Bovendien maakt men meestal de assumptie dat order cross-over (ook wel order crossing

genoemd) niet mogelijk is indien men de deelorders op hetzelfde ogenblik plaatst. Dit

betekent dat een eerder geplaatst deelorder bij een leverancier vroeger moet toekomen dan

een later geplaatst deelorder bij diezelfde leverancier (Robinson, Bradley & Thomas, 2001).

Om dit te bereiken gaat men er dikwijls vanuit dat er op elk ogenblik nog maximum één

(deel)order moet ontvangen worden (Riezebos, 2006). De onderstaande figuur kan dit

verduidelijken.

Fig.18: Order cross-over indien beide deelorders op hetzelfde ogenblik geplaatst worden bij beide

leveranciers.

Stel dat op het tijdstip T1 een order wordt geplaatst en dat dit order gesplitst wordt tussen

twee leveranciers. Leverancier 1 krijgt hierbij een deelorder A (Da) en leverancier twee

ontvangt een deelorder B (Db). Op een later tijdstip T2 wordt opnieuw een order geplaatst en

gesplitst. Nu ontvangt leverancier 1 een deelorder Dc en leverancier 2 een deelorder Dd. Er

zal nu geen order crossing zijn indien Da vroeger ontvangen wordt dan Dc, én Db vroeger

ontvangen wordt dan Dd.

Daarnaast is het effect van order splitting in het geval van stochastische lead times

voornamelijk bestudeerd voor die situaties waarin men een continuous review

voorraadbeleid hanteert. Vervolgens veronderstelt men meestal ook dat de lead times

onafhankelijk zijn van elkaar omdat dit de analyse aanzienlijk vergemakkelijkt en ook dat de

lead times een identieke verdeling volgen. Dit identiek en onafhankelijk verdeeld zijn van de

lead times van de verschillende leveranciers gaat op indien er sprake is van wat (Zipkin,

2000) een parallel processing system noemt. In een dergelijk systeem zijn er een aantal

identieke en onafhankelijke leveranciers die elk een ander deelorder op zich nemen.

3. Totale logistieke kosten.

De totale logistieke kosten zijn opgebouwd uit voorraadkosten, transportkosten en facility

costs (Chopra & Meindl, 2007).


32

In de volgende secties zal beschreven worden wat de invloed is van order splitting op elk van

deze kosten. Hierbij zal vooral de nadruk gelegd worden op de relatie tussen order splitting

en de voorraadkosten.

3.1. Transportkosten.

Aangezien er bij een order splitting bestelbeleid telkens partiële leveringen plaatsvinden,

zullen er meer leveringen moeten gebeuren dan in het geval waar er geen order splitting

aanwezig is. Door dit verlies aan aggregatie zullen de transportkosten stijgen.

3.2. Facility costs.

Onder facility costs worden hier de kosten gerekend die betrekking hebben op de gebouwen

in de logistieke keten (Chopra & Meindl, 2007). Het betreft dus de kosten van

productiehallen, opslagplaatsen,… . Order splitting heeft geen invloed op deze kosten.

3.3. Voorraadkosten.

Het is algemeen geweten dat de gemiddelde voorraad is opgebouwd uit een cyclusvoorraad,

veiligheidsvoorraad, in-transit voorraad, seizoensvoorraad en een speculatieve voorraad

(Chopra & Meindl, 2007). Een order splitting bestelbeleid beïnvloedt enkel de eerste drie

types(Thomas & Tyworth, 2006).

Voorraden brengen een grote investering met zich mee. Deze kan dikwijls gemakkelijk

oplopen tot 25% van de totale activa (Vollmann, Berry & Whybark, 1997). Daarom is het

belangrijk om de voorraden zoveel mogelijk te reduceren zonder het vooropgestelde service

level in het gedrang te brengen.

In dit opzicht kan men gebruik maken van een (nogal theoretische) delivery delay operating

curve (Lutz, Löedding & Wiendahl, 2003). Dergelijke curve geeft het verband weer tussen de

gemiddelde leveringsvertraging naar de klant toe en het gemiddelde voorraadniveau dat men


33

aanhoudt. Dit wordt afgebeeld in figuur 19 die gebaseerd is op (Lutz et al., 2003). Tussen

beide variabelen heerst een niet-lineair verband omdat men met gemiddelde waarden werkt.

Fig.19: Delivery delay operating curve.

Men kan een doel vooropstellen wat betreft de toegestane gemiddelde leveringsvertraging

naar de klant toe en kijken welk gemiddeld voorraadniveau hiermee overeenkomt. Dit

theoretische voorraadniveau kan men dan vergelijken met het gemiddelde voorraadniveau

dat men in werkelijkheid aanhoudt en zo wordt duidelijk welke reductie in gemiddelde

voorraad mogelijk is zonder het service level aan te tasten.

Een andere manier om deze reductie in gemiddelde voorraad te bewerkstelligen, is het

hanteren van een order splitting bestelbeleid. Dergelijk beleid geeft immers aanleiding tot

een reductie van de cyclusvoorraad en de veiligheidsvoorraad zonder het nagestreefde cycle

service level in gevaar te brengen.

3.3.1. Algemene aanbevelingen.

In wat volgt zullen eerst enkele algemene aanbevelingen gemaakt worden. Daarna zal meer

in detail worden nagegaan wat het effect is van een order splitting bestelbeleid op de

cyclusvoorraad, in-transit voorraad en veiligheidsvoorraad.

Gemiddelde voorraad

Gemiddelde leveringsvertra-ging


34

3.3.1.1. De lead times volgen een exponentiële of u niforme

verdeling.

In de praktijk komt het dikwijls voor dat de standaardafwijking van de lead time proportioneel

gaat toenemen met de gemiddelde lead time. In dit geval is de exponentiële verdeling een

goede benadering voor het verloop van de lead times.

Indien de lead times van beide leveranciers exponentieel of uniform verdeeld zijn en de

vraag per periode constant is, geldt (Ramasesh et al., 1991).

� Dual sourcing zal aanleiding geven tot een reductie van de gemiddelde voorraad.

Dit zal zelfs het geval zijn indien de lead times van beide leveranciers niet volledig

identiek zijn (Ramasesh, Ord & Hayya, 1993). De reductie zal bovendien groter

worden naarmate de standaardafwijking van de vraag gedurende de lead time

toeneemt.

� Het exponentieel verdeeld zijn van de lead times zal leiden tot een grotere daling

in de gemiddelde voorraad dan uniforme verdeelde lead times.

3.3.1.2. De lead times volgen een erlang verdeling.

Stel dat de lead times van beide leveranciers een niet volledig identieke (mix van) erlang

verdeling(en) volgen en de vraag per periode normaal verdeeld is. In dit geval is het mogelijk

om een lagere gemiddelde voorraad te verkrijgen door een dual sourcing strategie met

ongelijke split toe te passen (Fong, Gempesaw & Ord, 2000). Men spreekt van een ongelijke

split indien beide leveranciers een verschillende portie van het totale order zullen leveren.

3.3.2. Cyclusvoorraad.

De cyclusvoorraad is de voorraad die ontstaat doordat men in grotere hoeveelheden gaat

aankopen of produceren dan strikt nodig om aan de vraag van de klant te kunnen voldoen.

Dit laat immers toe om schaaleconomieën te realiseren en op die manier de kosten te


35

verlagen. Als de vraag constant is zal de cyclusvoorraad gelijk zijn aan de helft van de

bestelhoeveelheid(Chopra & Meindl, 2007).

Een bedrijf dat een order splitting bestelbeleid hanteert, kan een reductie van zijn

gemiddelde cyclusvoorraad realiseren. Indien de gemiddelde lead times van de leveranciers

gelijk zijn, zullen de kleinere deelorders op hetzelfde ogenblik toekomen en zal er dus geen

daling van de gemiddelde cyclusvoorraad ontstaan (Thomas & Tyworth, 2006). Als de

gemiddelde lead times van de leveranciers verschillend zijn, zullen het als tweede

toekomende deelorder en de eventueel daaropvolgende deelorders ervoor zorgen dat de

gemiddelde cyclusvoorraad daalt.

Stel bij wijze van voorbeeld dat er een beroep gedaan wordt op twee leveranciers die beide

een gelijke portie van het totale order leveren. De eerste leverancier met een gemiddelde

lead time L1 levert een deelorder Q1 terwijl de tweede leverancier met een gemiddelde lead

time L2 het deelorder Q2 levert. Indien de gemiddelde lead times verschillend zijn, zal het als

eerste toekomende deelorder Q1 zorgen voor een stijging van de gemiddelde

cyclusvoorraad, terwijl het als tweede arriverende deelorder Q2 zorgt voor een daling van de

gemiddelde cyclusvoorraad. Het resultaat is een nettodaling van de gemiddelde

cyclusvoorraad. Dit wordt geschetst in de onderstaande figuur 20. Deze afbeelding werd

gehaald uit (Thomas & Tyworth, 2006).

Fig.20: Het effect van order splitting op de cyclusvoorraad.

Als de tweede leverancier voldoende betrouwbaar is (een kleine variantie van de lead time

heeft), is men beter af als deze partij een aanzienlijk grotere gemiddelde lead time heeft dan


36

de huidige leverancier. In dit geval zal de reductie in cyclusvoorraad immers groter zijn dan

indien men als tweede leverancier een partij kiest waarvan de gemiddelde lead time

vergelijkbaar is met deze van de eerste leverancier(Lau & Zhao, 1994). Dit resultaat is

onafhankelijk van de verdeling van de lead times.

3.3.3. In-transit voorraad.

Bij het bovenstaande dient echter een kanttekening gemaakt te worden. De reductie van de

cyclusvoorraad met een bepaalde hoeveelheid, zal ervoor zorgen dat de in-transit voorraad

in de logistieke keten stijgt met diezelfde hoeveelheid (Thomas & Tyworth, 2006). In-transit

voorraad is voorraad die in beweging is tussen twee locaties in de logistieke keten. Het

aanhouden van dergelijke voorraad is ook niet kosteloos. Aangezien men in het beheer van

de logistieke keten vooral geïnteresseerd is in het optimaliseren van de totale logistieke

keten, zal er dus een trade off moeten gemaakt worden.

3.3.4. Veiligheidsvoorraad.

Een order splitting bestelbeleid maakt het mogelijk om een kleinere veiligheidsvoorraad aan

te houden, zonder het vooropgestelde service level in het gedrang te brengen (Thomas &

Tyworth, 2006). Deze reductie in veiligheidsvoorraad zal ontstaan indien de lead times een

gamma, normale, uniforme, exponentiële of weibull verdeling volgen (Guo & Ganeshan,

1995; Sculli & Shum, 1990; Ramasesh et al., 1991; Kelle & Silver, 1990) en zal des te groter

zijn naarmate de lead times onafhankelijk zijn van elkaar (Thomas & Tyworth, 2006). Men

kan het ook omgekeerd uitdrukken: een order splitting bestelbeleid kan aanleiding geven tot

een kleinere kans op stock outs (en dus een hoger service level) voor een gegeven

veiligheidsvoorraad. De reductie in veiligheidsvoorraad die ontstaat door het hanteren van

order splitting bestelbeleid, zal bovendien kleiner zijn dan de reductie in cyclusvoorraad.

In de literatuur wordt er op verschillende manieren verklaard hoe order splitting aanleiding

geeft tot een reductie van de veiligheidsvoorraad. Elk van deze verklaringen steunt op

hetzelfde centrale concept: de effectieve lead time. Dit begrip werd voor het eerst

geïntroduceerd door Sculli en Wu (Sculli & Wu, 1981). Hun oorspronkelijke verklaring van dit

concept wordt uit de doeken gedaan in verklaring 1.


37

Verklaring 1

Men veronderstelt dat de lead times onafhankelijk zijn van elkaar, normaal verdeeld en niet

volledig identiek. Bovendien is er sprake van dual sourcing waarbij de deelorders op

hetzelfde ogenblik geplaatst worden. Er wordt een continuous review voorraadbeleid

gehanteerd.

De effectieve lead time (Z) is “de kleinste van de set willekeurige lead times van beide

leveranciers”(Sculli & Wu, 1981, p.1003). In formulevorm wordt dit:

� Z = min (Y1;Y2)

Waarbij:

• Y1 = de lead time van de eerste leverancier met als gemiddelde µ1 en variantie σ1².

• Y2 = de lead time van de tweede leverancier met als gemiddelde µ2 en variantie σ2².

Aangezien de lead times stochastisch zijn is het mogelijk dat beide leveranciers als eerste

leveren. De kansdichtheidsfunctie van Z wordt voorgesteld door f(Z). Men krijgt:

� f(Z) = N(Z, µ1, σ1) *� ��, μ2, σ2

�*dt + N(Z, µ2, σ2)*� ��, μ1, σ1

�*dt

Met:

0 ≤ Z ≤ ∞.

Het gedeelte voor het plusteken stelt de situatie voor waarin de eerste leverancier als eerste

levert, terwijl het gedeelte na het plusteken de situatie voorstelt waarin de tweede leverancier

als eerste levert.

Vooraleer men het gemiddelde en de standaardafwijking van de effectieve lead time gaat

berekenen, wordt er een lineaire transformatie uitgevoerd om de 4 parameters van f(Z) te

reduceren naar 2. Men krijgt dan het volgende:

• lineaire transformatie v = (Z−µ2)/σ2.

Hierdoor kan de kansdichtheidsfunctie f(Z) herschreven worden als:


38

� g(v) = N(v,0,1)* � ��, , �

�*dt + N(v,A,B)*� ��, 0, 1

�*dt

Waarbij:

• A = (µ1−µ2)/σ2

• B = σ1/σ2. Hierbij moet nog vermeld worden dat B altijd kleiner moet zijn 1,

maar hieraan kan altijd voldaan worden omdat Y1 en Y2 omgewisseld kunnen

worden in de vergelijking van f(Z).

Na deze tussenstap verkrijgt men het gemiddelde en de standaardafwijking van de effectieve

lead time door het volgende 5-stappenplan toe te passen:

• Bereken B.

• Bereken A.

• Lees de bijhorende µV en σV af in de tabel.

• Voor het gemiddelde van de effectieve lead time (µZ) geldt: µZ = µ2 + µV*σ2.

• De standaardafwijking van de effectieve lead time (σZ) wordt: σZ = σV*σ2.

Het verloop van het voorraadniveau bij dual sourcing in geval van een continuous review

voorraadbeleid, wordt weergegeven in figuur 21. Deze figuur is gebaseerd op een figuur uit

(Sculli & Wu, 1981). Het tijdstip waarop het eerste deelorder toekomt wordt weergegeven

door T1. Het tweede deelorder komt toe op het tijdstip T2. De effectieve lead time wordt

voorgesteld door Z en de tijd die verloopt tussen de aankomst van beide deelorders wordt

weergegeven door de stochastische variabele T.


39

Fig.21: Verloop van het voorraadniveau bij dual sourcing in geval van een continuous review

voorraadbeleid.

Indien men werkt met een periodic review voorraadbeleid, blijft de variantie van de effectieve

lead time dezelfde als in het geval van een continuous review voorraadbeleid. Om het

gemiddelde van de effectieve lead time te bekomen, moet men echter nog de lengte van de

review period optellen bij de gemiddelde effectieve lead time onder het continuous review

voorraadbeleid.

De reductie in veiligheidsvoorraad ontstaat doordat “het gemiddelde van het minimum van

twee willekeurige variabelen kleiner moet zijn dan dat van de respectievelijke gemiddelden”(

Sculli & Wu, 1981, p.1009).

Verklaring 2

Men gaat ervan uit dat de deelorders op hetzelfde ogenblik worden geplaatst bij meer dan

twee leveranciers. De lead times zijn normaal verdeeld, maar niet volledig identiek en zijn

onafhankelijk van elkaar (Sculli & Shum, 1990).

Het deelorder dat als eerste toekomt zorgt ervoor dat het risico op een stock out gaat

verminderen. Het gemiddelde van de effectieve lead time zal kleiner zijn dan de gemiddelde

lead time van elke leverancier. Bovendien zal de variantie van de effectieve lead time ook

kleiner zijn dan de variantie van de lead time van elke leverancier. Hierdoor maakt order

Tijd

Voorraad

Reorder point

T Z

T1 T2


40

splitting het mogelijk om voor een gegeven service level een reductie in veiligheidsvoorraad

te bekomen(Sculli & Shum, 1990).

Men past de uitdrukkingen van (Clark,1961) lichtjes aan om op die manier een goede

benadering te krijgen voor het gemiddelde (E) en de variantie (V) van de effectieve lead time.

Indien de lead time van de eerste leverancier normaal verdeeld is (met gemiddelde µ1 en

standaardafwijking σ1) en de lead time van de tweede leverancier ook normaal verdeeld is

(met als gemiddelde µ2 en standaardafwijking σ2), dan geldt er:

� Eeffectieve lead time = -[(-µ1)*θ(α2) + (-µ2)*θ(-α2) + A2*ψ(α2)]

� Veffectieve lead time = (µ1² + σ1²)*θ(α2) + (µ2² + σ2²)*θ(-α2) + [(-µ1)+(-µ2)]*A2*ψ(α2) −

(Eeffectieve lead time)²

Waarbij:

• Eeffectieve. lead time = gemiddelde van de effectieve lead time.

• Veffectieve lead time = variantie van de effectieve lead time.

• A2 = √(σ1²+σ2²)

• α2 = [- µ1+µ2)]/A2

• ψ(α2) = [1/√(2*π)]*e(-α2²/2)

• θ(α2) = � �ψ�t � dt��

�

De bovenstaande formules kunnen bovendien ook uitgebreid worden voor situaties waarin er

meer dan twee leveranciers zijn (Sculli & Shum, 1990).

Naarmate het aantal leveranciers toeneemt, zal het gemiddelde en de variantie van de

effectieve lead time kleiner worden. Dit is tevens ook zo indien de lead times onafhankelijk

zijn en een identieke uniforme of exponentiële verdeling volgen (Guo & Ganeshan,1995). De

extra daling in veiligheidsvoorraad die ontstaat door een extra leverancier in te schakelen,

zal steeds kleiner worden (Sculli & Shum, 1990).


41

Verklaring 3

Men gaat ervan uit dat beide deelorders even groot zijn en bovendien op hetzelfde ogenblik

geplaatst worden. De lead times volgen een identieke uniforme of exponentiële verdeling en

zijn onafhankelijk van elkaar. Deze identieke verdeling wordt ook wel de parent distribution

genoemd (Ramasesh et al.,1991).

De effectieve lead time voor het als eerste ontvangen deelorder is de kleinste van de lead

times van beide leveranciers. Het is tevens de eerste orde statistiek van een willekeurig

genomen steekproef met als grootte twee die genomen werd van de parent distribution. “De

eerste orde statistiek van een willekeurige steekproef is het kleinste element van die

steekproef”(About.com, 2009). Voor het als tweede ontvangen deelorder is de effectieve lead

time de tijd die verloopt tussen de ontvangst van het als eerste toekomende deelorder en het

als tweede arriverende deelorder.

Algemeen gesproken zal de effectieve lead time voor het eerste ontvangen deelorder een

verdeling hebben met een kleiner gemiddelde en een kleinere variantie dan de parent

distribution. De effectieve lead time voor het tweede ontvangen deelorder zal daarenboven

een verdeling hebben waarvan het gemiddelde en de variantie niet groter zijn dan deze van

de parent distribution.

Het is deze reductie van de variantie van de lead time (en ook de reductie van het

gemiddelde) die zorgt voor een daling van de veiligheidsvoorraad (Ramasesh et al.,1991;

Ramasesh, 1991b). Voor exponentieel verdeelde lead times zal de daling in variantie groter

zijn dan voor uniform verdeelde lead times. Naarmate de standaardafwijking van de lead

time groter wordt, zal de reductie van de veiligheidsvoorraad degressief toenemen

(Ramasesh et al.,1991).

Verklaring 4

Men gaat ervan uit dat de deelorders niet op hetzelfde ogenblik geplaatst worden. Bovendien

hebben de lead times van alle leveranciers een volledig identieke verdeling en zijn ze

onafhankelijk van elkaar (independent and identically distributed; i.i.d.). Deze

gemeenschappelijke verdeling wordt opnieuw de parent distribution genoemd (Hayya,

Bagchi, Kim & Sun, 2008).


42

Door het feit dat de stochastische lead times onafhankelijk en identiek verdeeld zijn, kan het

gebeuren dat order crossing ( of “order cross-over”) zal optreden indien er op een willekeurig

ogenblik nog meer dan één order moet ontvangen worden(43). Dit betekent dat een later

geplaatst order eerder ontvangen wordt dan een eerder geplaatst order. Meer bepaald geldt

er dat order crossing zich zeker zal voordoen indien de lead times een verdeling volgen

waarvan de rechterstaart naar oneindig loopt (bv.: normale verdeling, gamma

verdeling,…)(Hayya et al., 2008). Het onafhankelijk zijn van de lead times is een

noodzakelijke voorwaarde voor order crossing (Diks & van der Heijden, 1997). Zoals later zal

blijken, speelt het fenomeen van order crossing een cruciale rol in het reduceren van de


Er is sprake van dual sourcing. De eerste effectieve lead time heeft betrekking op het

deelorder dat als eerste toekomt en is de eerste orde statistiek van een willekeurige

steekproef met als grootte twee die getrokken wordt uit de parent distribution (Hayya et al.,

2008). De tweede effectieve lead time heeft betrekking op het deelorder dat als tweede

toekomt en is de tweede orde statistiek van een willekeurige steekproef met als grootte twee

die genomen wordt uit de parent distribution (Hayya et al., 2008). De tweede orde statistiek

is het tweede kleinste element van een steekproef(About.com, 2009). Op basis van die twee

effectieve lead times kan men dan de resulterende verdeling opstellen voor de effectieve

lead time die algemeen gesproken gelijk is aan de tijd die verloopt tussen het plaatsen van

het i-de deelorder en het order dat als i-de terug toekomt (Hayya et al., 2008).

Order crossing zorgt er nu voor dat de oorspronkelijke lead times (van de parent distribution)

worden omgezet in een lead time (de effectieve lead time) met een kleinere variantie en

eenzelfde gemiddelde als de parent distribution. Door deze reductie in variantie van de lead

time zal er een daling in veiligheidsvoorraad plaatsvinden (Hayya et al., 2008).

Natuurlijk kan order cross-over zich ook voordoen in het geval dat de deelorders op hetzelfde

ogenblik geplaatst worden bij de verschillende leveranciers (hiervoor wordt opnieuw

verwezen naar figuur 18). Dit is een thema dat in de literatuur nog zo goed als niet

bestudeerd werd (Riezebos, 2006) en kan dus een aanrader zijn voor verder onderzoek.

4. De optimale split rate.

Als men de keuze maakt om een order splitting bestelbeleid te hanteren, is het ook

interessant om te weten welke portie van het order men bij welke leverancier moet bestellen


43

(de split rate). Hier zullen twee methodes bekeken worden om de split rate te bepalen: de

eerste methode is gebaseerd op de verdeling van de lead times en de tweede methode

vertrekt van de variantie van de vraag gedurende de lead time.

4.1. Het bepalen van de optimale split rate aan de hand van de

verdeling van de lead times.

4.1.1. De lead times zijn niet identiek verdeeld.

Men gaat ervan uit dat de lead times van beide leveranciers exponentieel verdeel zijn met

als parameters respectievelijk λ1 en λ2 (waarbij λ1 > λ2). De vraag per periode wordt

constant verondersteld. Na het minimaliseren van de kans op een stock out bekomt men

voor de split rate R (Kelle & Miller, 2001):

� R = [λ1+w*(λ1− λ2)/q−lnK/q]/(λ1+λ2)

De symbolen in deze vergelijking stellen de volgende variabelen voor:

• R = de split rate; het aandeel van het order dat besteld wordt bij de leverancier met

de kleinste gemiddelde lead time.

• µ1 = gemiddelde lead time van de leverancier met de kleinste gemiddelde lead time.

• µ2 = gemiddelde lead time van de leverancier met de grootste gemiddelde lead time.

• Q = lot size.

• λ1 = 1/ µ1

• λ2 = 1/ µ2

• Io = de voorraad op het ogenblik dat er besteld wordt.

• D = de vraag per periode.

• w = Io/(D* µ1).

• q = Q/(D* µ1).

• K = (λ1/ λ2)*(1−e(-λ2*w)

)*(1−e(-λ1*w)

)

Aan de hand van een voorbeeld zal de invloed van de verhouding van de gemiddelde lead

times op de split rate aangetoond worden. We vertrekken van de onderstaande gegevens:


44

• D = 70 stuks per dag.

• Q = 50 stuks per bestelling.

• Io = 280 stuks.

De kleinste lead time is exponentieel verdeeld met een gemiddelde van 2 dagen. We laten

het gemiddelde van de tweede lead time, die eveneens exponentieel verdeeld is, variëren

van 2,1 dagen tot 2,54 dagen. Op basis van deze gegevens worden de andere variabelen

berekend. De uitkomst wordt voorgesteld in de onderstaande tabel.

Tabel 2: Het verband tussen de verhouding van de gemiddelde lead times en de split rate.

Hieruit blijkt dat naarmate het gemiddelde van de tweede lead time groter wordt dan het

gemiddelde van de eerste lead time, er een steeds groter aandeel van het order besteld zal

worden bij de eerste leverancier. In deze omstandigheden is er een nagenoeg lineair

verband tussen de verhouding van de gemiddelde lead times en de split rate. Dit komt tot

uiting in de onderstaande grafiek.

0,00

0,20

0,40

0,60

0,80

1,00

1,05 1,08 1,10 1,13 1,15 1,18 1,20 1,23 1,25 1,27

Verhouding van de gemiddelde lead times

Spl

it ra

te

µ1 µ2 µ2/µ1 Q D Io w q λ1 λ2 K R 2 2,10 1,05 50 70 280 2 0,36 0,5 0,48 0,41 0,51 2 2,15 1,08 50 70 280 2 0,36 0,5 0,47 0,41 0,57 2 2,20 1,10 50 70 280 2 0,36 0,5 0,45 0,42 0,63 2 2,25 1,13 50 70 280 2 0,36 0,5 0,44 0,42 0,69 2 2,30 1,15 50 70 280 2 0,36 0,5 0,43 0,42 0,75 2 2,35 1,18 50 70 280 2 0,36 0,5 0,43 0,43 0,80 2 2,40 1,20 50 70 280 2 0,36 0,5 0,42 0,43 0,85 2 2,45 1,23 50 70 280 2 0,36 0,5 0,41 0,43 0,91 2 2,50 1,25 50 70 280 2 0,36 0,5 0,40 0,44 0,96 2 2,54 1,27 50 70 280 2 0,36 0,5 0,39 0,44 1,00


45

Fig.22: De optimale split rate in functie van de verhouding van de gemiddelde lead times.

4.1.2. De lead times volgen een identieke verdeling .

Stel dat de twee deelorders op hetzelfde ogenblik geplaatst worden. Als de lead times van

beide leveranciers onafhankelijk zijn van elkaar en een volledig identieke uniforme of

exponentiële verdeling volgen, zal een dual sourcing met gelijke split optimaal zijn. In dit

geval zal de som van de bestel- en voorraadkosten en shortage costs immers minimaal zijn

(Ramasesh et al., 1991).

4.2. Het bepalen van de optimale split rate aan de hand van de

variantie van de vraag gedurende de lead time.

Stel dat de vraag gedurende de lead time van beide leveranciers een gamma of weibull

verdeling volgt en de vraag constant is. Het is bovendien de bedoeling om de kans op een

stock out te minimaliseren.

Door een regressieanalyse uit te oefenen, bekomt men een benaderende formule voor het

aandeel van het totale order dat moet besteld worden bij de leverancier met de kleinste

gemiddelde lead time. De formule is als volgt(Kelle & Miller, 2001):

� R ≈ 0,914*(S2/S1)−0,234*(S2/S1)²+0,046*(µ2/µ1)−0,26

De betekenis van de symbolen in de bovenstaande vergelijking is als volgt:

• R = de split rate; de portie van het order dat besteld wordt bij de leverancier met de

kleinste gemiddelde lead time.

• µ1 = de kleinste gemiddelde lead time.

• µ2 = de grootste gemiddelde lead time.

• S1 = de variantie van de vraag gedurende de lead time van de leverancier met de

kleinste gemiddelde lead time.

• S2 = de variantie van de vraag gedurende de lead time van de leverancier met de

grootste gemiddelde lead time.

Het analyseren van de betrouwbaarheid van de logistieke keten.

Men kan de volgende conclusie trekken:

� Naarmate de ratio S2/S1 toeneemt, zal de leverancier met de kleinste gemiddelde

lead time een groter aandeel van het totale order krijgen

� De leverancier met de grootste gemidde

het order krijgen indien de verhouding S2/S1 kleiner wordt dan één

De onderstaande figuur is afkomstig uit (

vermelde conclusies. In de figuur

S1 voor. Analoog komt µB overeen met

Fig.23: Het verband tussen de ratio’s SB/SA en

De bovenstaande formule en bijhorende conclusies k

(R²=0,96) zolang µ2/µ1 kleiner is dan drie. Dit houdt in d

minder goed presterende leverancier

betrouwbare leverancier (Kelle & Miller,

5. Uitgewerkt voorbeeld.

Hier zal een fictief voorbeeld uitgewerkt worden om de relatie tussen order splitting, de

verdeling van de lead times en de v

erin na te gaan of een order splitting bestelbele

de betrouwbaarheid van de logistieke keten.

de volgende conclusie trekken:

Naarmate de ratio S2/S1 toeneemt, zal de leverancier met de kleinste gemiddelde

lead time een groter aandeel van het totale order krijgen.

De leverancier met de grootste gemiddelde lead time kan een groter aandeel van

het order krijgen indien de verhouding S2/S1 kleiner wordt dan één

nderstaande figuur is afkomstig uit (Kelle & Miller, 2001) en verduidelijkt de hierboven

In de figuur komt SB overeen met het bovenvermelde S2 en SA stelt

B overeen met µ2 en wordt µ1 in de tekening voorgesteld door

tussen de ratio’s SB/SA en µB/µA en de optimale split rate.

De bovenstaande formule en bijhorende conclusies kennen een hoge accuraatheid

1 kleiner is dan drie. Dit houdt in dat de leveringskenmerken van de

minder goed presterende leverancier aanzienlijk slechter mogen zijn dan deze van

Kelle & Miller, 2001).

. Uitgewerkt voorbeeld.


verdeling van de lead times en de veiligheidsvoorraad te verduidelijken

of een order splitting bestelbeleid, gegeven de verdeling van de lead times

Cedric Boyen

46

Naarmate de ratio S2/S1 toeneemt, zal de leverancier met de kleinste gemiddelde

lde lead time kan een groter aandeel van

het order krijgen indien de verhouding S2/S1 kleiner wordt dan één.

verduidelijkt de hierboven

het bovenvermelde S2 en SA stelt

1 in de tekening voorgesteld door µA.

ennen een hoge accuraatheid

at de leveringskenmerken van de

aanzienlijk slechter mogen zijn dan deze van de meer


. De opzet bestaat

id, gegeven de verdeling van de lead times


47

volgens (Sculli & Shum, 1990) inderdaad aanleiding geeft tot een reductie van de


Om dit te onderzoeken zal een beroep worden gedaan op simulatie. Hiervoor wordt opnieuw

het softwarepakket Crystal Ball van Oracle gebruikt. Het berekenen van de integralen

gebeurt met een grafische rekenmachine.

De bedrijfsleiding van CeboTrans N.V. heeft beslist om in de toekomst meer aandacht te

besteden aan de veiligheidsvoorraden. Men vraagt zich af welke sourcing strategie het best

kan bijdragen tot een minimalisatie van deze voorraad. Moet men een beroep doen op 1

leverancier of is men beter af als een dual sourcing strategie gebruikt wordt?

De lead times van beide leveranciers volgen naar analogie met (Sculli & Shum, 1990) een

normale verdeling. Er wordt gekozen om dit geval uit te werken omdat men in deze situatie

over formules beschikt.

Laten we ervan uitgaan dat het gemiddelde van de lead time van de eerste leverancier 4

dagen is terwijl de standaardafwijking 1 dag bedraagt. De tweede leverancier is minder

betrouwbaar. Hij heeft een gemiddelde lead time van 5 dagen en een standaardafwijking van

de lead time van 2 dagen. De vraag per dag is normaal verdeeld met een gemiddelde van 25

ton en een standaardafwijking van 5 ton.

Via simulatie worden voor elke individuele lead time en voor de vraag per dag telkens 1000

willekeurige waarden gegenereerd. Deze waarden worden dan gecombineerd om de

verdeling van de vraag gedurende de lead time te bepalen. Daarna kan de gemiddelde vraag

gedurende elke lead time afgelezen worden. Vervolgens kan men voor elke cumulatieve

verdeling het reorder point bepalen dat overeenkomt met een gegeven cycle service level. In

dit voorbeeld wordt een cycle service level van 70% nagestreefd. Uiteindelijk kan dan voor

elke lead time de bijhorende veiligheidsvoorraad berekend worden.

De vraag gedurende de eerste lead time wordt in deze specifieke situatie het best benaderd

door een bèta verdeling met als parameters een minimum, maximum, alfa en bèta van

respectievelijk -76,92; 613,31; 12,28 en 34,63. Deze grafiek wordt getoond in de



48

Fig.24: De verdeling van de vraag gedurende de eerste lead time.

De bèta verdeling in onderstaande figuur is in deze situatie de best passende verdeling voor

de vraag gedurende de tweede lead time. De parameters van deze verdeling zijn een

minimum, maximum, alfa en bèta van respectievelijk -89,19; 902,92; 10,81 en 39,16.

Fig.25: De bovenstaande bèta verdeling is de best passende verdeling voor de vraag gedurende de

tweede lead time.

Daarna maken we gebruik van de formules die aan bod komen in verklaring 2 van het

gedeelte 3.3.4. Op deze manier is het mogelijk om een goede benadering te bekomen voor

het gemiddelde en de standaardafwijking van de effectieve lead time, vertrekkend van het

opgegeven gemiddelde en de standaardafwijking van elke individuele lead time. Dit levert

het volgende resultaat op:

• µ1 = 4 dagen.

• σ1 = 1,5 dagen.

• µ2 = 5 dagen.

• σ2 = 2 dagen.


49

Men bekomt dan:

• A2 = √(ϭ1² + ϭ2²) = 2,5 dagen.

• α2 = (- µ1 + µ2)/A2 = 0,4.

• ψ(α2) = [1/√(2*π)]*e^(- α2^2/2) = 0,37

• �(α2) = � �ψ�t � dt ��

�= 0,66

• �(-α2) = � �ψ�t � dt��

�= 0,34

Men krijgt dan uiteindelijk voor het gemiddelde, de variantie en de standaardafwijking van de

effectieve lead time respectievelijk:

• E effectieve lead time = -[(-µ1)*�(α2) + (-µ2)*�(-α2) + A2*ψ(α2)] = 3,42 dagen.

• Veffectieve lead time = (µ1² + σ1²)*�(α2) + (µ2² + σ2²)*�(-α2) + [(-µ1) + (-µ2)]*A2*ψ(α2) −

(Eeff. lead time)² = 1,93 dagen².

• б effectieve lead time = √(1,93 dagen²) = 1,39 dagen.

Het bovenstaande bevestigt de stelling van (Sculli & Shum,1990) dat een order splitting

bestelbeleid ervoor zal zorgen dat het gemiddelde van de effectieve lead time kleiner zal zijn

dan de beide gemiddeldes van de individuele lead times, en dat de variantie van de

effectieve lead time zal kleiner zijn dan de beide varianties van de individuele lead times,

indien de beide individuele lead times een normale verdeling volgen.

De bovenstaande uitkomsten worden op hun beurt gebruikt om opnieuw 1000 willekeurige

waarden te genereren voor de effectieve lead time. De gesimuleerde waarden worden dan

vermenigvuldigd met dezelfde 1000 willekeurige waarden voor de vraag per dag als bij

bovenstaande individuele lead times. Daarna wordt de best passende verdeling gezocht voor

de vraag gedurende de effectieve lead time. In deze situatie is dit de onderstaande bèta

verdeling.


50

Fig.26: De verdeling van de vraag gedurende de effectieve lead time.

De parameters van deze verdeling zijn een minimum, maximum, alfa en bèta van

respectievelijk -13,47; 315,94; 3,74 en 8,40.

Daarna wordt een beroep gedaan op de formule 11.9 uit (Chopra & Meindl, 2007). Op basis

hiervan kan men het verloop van de veiligheidsvoorraad in functie van het cycle service level

bepalen. De formule is als volgt:

� SS = F-1(CSL, DL, �L)�DL

Waarbij:

• SS = veiligheidsvoorraad.

• F-1 = inverse van de cumulatieve verdeling.

• CSL = cycle service level.

• DL = gemiddelde vraag gedurende de lead time.

• �L = standaardafwijking van de vraag gedurende de lead time.

De bekomen resultaten worden voorgesteld in de volgende tabel. Hierin stellen LT1, LT2 en

eff.LT respectievelijk de lead time van de eerste leverancier, de lead time van de tweede

leverancier en de effectieve lead time voor.


51

CSL veiligheidsvoorraad LT 1 veiligheidsvoorraad LT 2 veiligheidsvoorraad eff. LT 0,10 -54,82 -70,91 -52,17 0,15 -45,50 -59,15 -44,23 0,20 -37,84 -49,43 -37,43 0,25 -31,09 -40,83 -31,26 0,30 -24,91 -32,91 -25,47 0,35 -19,06 -25,40 -19,91 0,40 -13,42 -18,13 -14,46 0,45 -7,88 -10,96 -9,03 0,50 -2,35 -3,78 -3,56 0,51 -1,24 -2,33 -2,46 0,55 3,25 3,53 2,03 0,60 9,03 11,07 7,82 0,65 15,07 18,99 13,92 0,70 21,52 27,47 20,45 0,75 28,57 36,77 27,60 0,80 36,52 47,31 35,66 0,85 45,91 59,81 45,15 0,90 57,91 75,87 57,15 0,95 76,02 100,26 74,90 0,99 182,74 248,31 162,48

Tabel 3: De veiligheidsvoorraad als functie van het nagestreefde cycle service level voor de

verschillende lead times.

De bovenstaande tabel bevestigt de stelling van (Sculli & Shum, 1990) dat dual sourcing in

de praktisch relevante situaties zal leiden tot een daling van de veiligheidsvoorraad indien de

lead times van de beide leveranciers normaal verdeeld zijn. De praktisch relevante situaties

zijn deze waarbij een cycle service level van ten minste 50% wordt nagestreefd. Een lager

service level zal voor de klant immers meestal onaanvaardbaar zijn. De getallen van de

bovenstaande tabel kunnen ook in een grafiek worden weergegeven. Dit wordt getoond in de



52

Fig.27: De veiligheidsvoorraad als functie van het cycle service level voor de verschillende lead times.

6. Geen order splitting bestelbeleid.

Soms kiest men er toch voor om geen order splitting bestelbeleid te hanteren en slechts

beroep te doen op 1 leverancier. Mogelijke redenen hiervoor werden reeds aangehaald in de

eerste paragraaf van dit deel. In deze situatie kan men zich twee belangrijke vragen stellen:

• Wat kan men doen om toch zoveel mogelijk de variabiliteit van de lead time te

reduceren?

• Op basis van welke lead time criteria kan men die ene leverancier het best

selecteren?

-100

-75

-50

-25

0

25

50

75

100

125

150

175

200

225

250

275

0,100,15

0,200,25

0,300,35

0,400,45

0,500,51

0,550,60

0,650,70

0,750,80

0,850,90

0,950,99

Cycle service level

Vei

lighe

idsv

oorr

aad

veiligheidsvoorraad LT1

veiligheidsvoorraad LT2

veiligheidsvoorraad Eff. LT


53

Een mogelijk antwoord op de eerste vraag is dat men opteert voor een lot-splitting

bestelbeleid (Van Nieuwenhuyse & Vandaele, 2006). Dergelijk beleid houdt in dat men een

order gaat plaatsen bij één leverancier en vanaf het ogenblik dat een deeltje van het order

klaar is, gaat de leverancier dit reeds versturen naar zijn klant. Op deze manier slaagt men

erin de betrouwbaarheid van de leveringen te verhogen en wordt het voor de klant mogelijk

om een lagere veiligheidsvoorraad aan te houden. Daarnaast wordt het productieschema

van de klant ook stabieler omdat er minder aanpassingen moeten verricht worden omwille

van inaccurate leveringen. Het nadeel van dergelijk beleid is de stijging in transportkosten

die ermee gepaard gaan.

Wat de tweede vraag betreft, kan het volgende gezegd worden. Indien de lead times van

beide leveranciers ongeveer dezelfde kansdichtheidsfunctie volgen, er een continuous

review voorraadbeleid wordt gehanteerd en order crossing mogelijk is, dan geldt (Ernst,

Kamrad & Ord, 2007):

� Indien de variatiecoëfficiënt van de vraag per periode klein is, zal men beter af

zijn door een leverancier te kiezen met een kleinere variantie van de lead time. Dit

zal immers leiden tot een lagere operating cost (bestel- plus voorraadkosten) en

een kleinere veiligheidsvoorraad dan het geval waarin men een leverancier kiest

op basis van een kleinere gemiddelde lead time.

� Indien de variatiecoëfficiënt van de vraag per tijdseenheid groot is, zal men beter

af zijn met een leverancier van wie de gemiddelde lead time kleiner is. Onder

deze omstandigheden verkrijgt men immers een lagere operating cost en een

kleinere veiligheidsvoorraad.

De bovenstaande aanbevelingen steunen gedeeltelijk op de formule die de relatie weergeeft

tussen de variabiliteit van de lead time en de veiligheidsvoorraad (cfr. Deel 1, sectie

2.2.1.2.1).

7. Besluit.

Indien men beslist om over te stappen naar een order splitting bestelbeleid, zal men enkele

afwegingen moeten maken. Dergelijk beleid zal enerzijds aanleiding geven tot een stijging

van de transportkosten en de kosten verbonden aan de in-transit voorraad. Anderzijds zal


54

het een reductie van de cyclusvoorraad en de veiligheidsvoorraad teweegbrengen. Men mag

dus niet zomaar besluiten dat order splitting altijd aanleiding zal geven tot een reductie van

de totale logistieke kosten. Dit zal afhangen van de specifieke situatie (Thomas & Tyworth,

2006;Thomas & Tyworth, 2007).

Er kan wel gezegd worden dat een dergelijk beleid effectiever zal zijn in het reduceren van

de totale logistieke kosten naarmate de lead times onafhankelijk zijn van elkaar, er meer

onzekerheid is over de lead times, er hogere service levels worden nagestreefd, de

bestelhoeveelheid relatief groot is ten opzichte van de vraag gedurende de effectieve lead

time en er lage incrementele transport- en bestelkosten zijn (Thomas & Tyworth, 2006;

Thomas & Tyworth, 2007).

Vanuit het standpunt van de totale logistieke keten is een order splitting bestelbeleid vooral

interessant omwille van de reductie in veiligheidsvoorraad die ermee gepaard gaat (Thomas

&Tyworth, 2006;Thomas & Tyworth, 2007). Deze reductie zal ontstaan indien de lead times

een gamma, normale, uniforme, exponentiële of weibull verdeling volgen (Guo & Ganeshan,

1995; Sculli & Shum,1990; Ramasesh et al.,1991; Kelle & Silver,1990) en zal des te groter

zijn naarmate de lead times onafhankelijk zijn van elkaar (Thomas & Tyworth, 2006).

Order splitting is dus een goed alternatief voor single sourcing zolang de variabiliteit van de

lead time en de gemiddelde lead time groot zijn (Kelle & Miller,2001) en zolang de

leveringskenmerken van de tweede leverancier niet veel slechter zijn dan deze van de eerste

(Kelle & Miller, 2001; Lau & Zhao, 1994).


55

Deel 3: Plaatsing van de veiligheidsvoorraad in een

complexe logistieke keten.

1. Algemeen.

De term complexe logistieke keten wordt hier gebruikt om logistieke ketens aan te duiden

waarbij er meerdere leveranciers en klanten kunnen zijn voor een bepaalde schakel en/of er

zich meerdere tussenstappen bevinden tussen de eerste schakel van de keten en de

eindklant.

Het bestuderen van dergelijke logistieke ketens en meerbepaald de beslissingen die moeten

genomen worden betreffende de hoeveelheid veiligheidsvoorraad die men moet aanhouden

in elke locatie, worden aanzienlijk bemoeilijkt door twee factoren (Jung, Blau, Pekny,

Reklaitis & Eversdyk, 2008). Enerzijds is er het feit dat men dikwijls te maken krijgt met niet-

lineaire functies. Anderzijds zijn de prestaties van de verschillende partijen afhankelijk van

elkaar.

In wat volgt zal vooral nadruk gelegd worden op het bepalen van de geschikte hoeveelheid

veiligheidsvoorraad voor elke schakel in complexe logistieke ketens. Belangrijke

determinanten op dit vlak zijn o.a. de structuur van de logistieke keten, het verloop van de

vraag, het soort service level dat nagestreefd wordt, de positie van de bottleneck speler, het

verloop van de holding costs en de beschikbare capaciteit.

2. Structuur van de logistieke keten.

In de praktijk kunnen logistieke ketens een samenstelling zijn van drie verschillende soorten

ketens: een seriële, een convergente en een divergente keten (Minner,1997). In de volgende

paragrafen zal wat dieper worden ingegaan op elk van deze ketens.


56

2.1. Seriële logistieke keten.

Een eerste soort logistieke keten is de seriële keten. Bij dergelijke ketens heeft een bepaalde

schakel maximum één leverancier en één klant. Figuur 10 illustreert deze situatie. Een pijl

duidt de richting van de leveranciersrelatie aan.

Fig. 28: Een seriële logistieke keten.

Voor een seriële logistieke keten waarin de set up kosten verwaarloosbaar zijn en de vraag

van de klant onzeker is, zal een echelon base-stock voorraadbeleid optimaal zijn omdat het

de kosten van de (veiligheids)voorraad in de hele logistieke keten gaat minimaliseren

(Minner,1997; Gallego & Zipkin, 1999; Chen & Zheng, 1994; Clark & Scarf, 1960). Dergelijk

voorraadbeleid is zowel optimaal bij een periodic review voorraadbeleid als bij een

continuous review voorraadbeleid (Chen & Zheng, 1994).

Bij een echelon base-stock voorraadbeleid (ook kortweg echelon voorraadbeleid genoemd)

gaat elke partij in de keten een geïntegreerd voorraadbeleid voeren in die zin dat er ook

rekening wordt gehouden met de (voorraad)beslissingen van de andere partijen in de

logistieke keten.

De echelonvoorraad (of echelon base-stock) van een bepaalde partij in de logistieke keten,

wordt gedefinieerd als volgt (Minner, 1997; van der Heijden, Diks & de Kok, 1999):

EV = FV + O + SV − BO

Waarbij:

• EV = echelonvoorraad van een partij.

• FV = voorraad aanwezig bij die partij.

• O = reeds geplaatste bestellingen door die partij.

• SV = voorraad die aanwezig is bij of op weg is naar zijn meer stroomafwaarts

gelegen partijen.


57

• BO = backorders; vraag waaraan in eerste instantie niet kon voldaan worden en die

dus verschoven wordt naar een volgende periode.

Een tweede soort base-stock voorraadbeleid is het installation base-stock voorraadbeleid

(ook wel het local base-stock voorraadbeleid genoemd). Bij een dergelijk beleid gaat elke

schakel enkel rekening houden met de beslissingen van zijn directe voorganger en opvolger

in de keten. Men gaat dus een locale optimalisatie nastreven (Simchi-Levi & Yao Zhao,

2005). Indien de voorraad onder het nagestreefde niveau (de base-stock) zakt, wordt een

bestelling geplaatst zodanig dat het voorraadniveau opnieuw aangevuld wordt tot aan de

base stock (Gallego & Zipkin, 1999). Hier kan nog vermeld worden dat de term base-stock in

de literatuur ook dikwijls gebruikt wordt om het reorder point en het order-up-to level aan te

duiden.

Vanuit het standpunt van de logistieke keten is het beter om een echelon voorraadbeleid te

voeren omdat men op die manier ook een coördinatie bewerkstelligt tussen de verschillende

partijen en tracht de winst voor de gehele logistieke keten te maximaliseren (Chopra &

Meindl, 2007). Het is wel zo dat de impact van de positie van de veiligheidsvoorraad op de

prestatie in een seriële logistieke keten relatief klein zal zijn eens de totale hoeveelheid aan

veiligheidsvoorraad dicht aanleunt bij de optimale hoeveelheid (Gallego & Zipkin, 1999).

2.1.1. De invloed van de holding costs op de veilig heidsvoorraad.

In deze en de hierop volgende paragraaf (2.1.2.) wordt uitgegaan van de volgende

veronderstellingen:

• De vraag wordt gekenmerkt door een poisson proces en vindt enkel plaats ter hoogte

van de laatste schakel. Bovendien is het zo dat elke vraag waaraan niet kan worden

voldaan, volledig verschoven wordt naar de volgende periode. Het verschuiven van

de vraag naar een volgende periode wordt ook wel backlogging of backordering

genoemd. Men gaat hiervoor een zekere boete (of penalty cost) aanrekenen.

• De transportkosten zijn een lineair stijgende functie van de vervoerde hoeveelheid.

• De lead times zijn constant.

• De meest stroomopwaarts gelegen schakel beschikt altijd over voldoende aanvoer

van goederen.


58

2.1.1.1. Constante holding costs.

Indien elke schakel in de seriële logistieke keten geconfronteerd wordt met eenzelfde holding

cost, is het optimaal om enkel in de laatste schakel van de keten een veiligheidsvoorraad

aan te houden. Dergelijk beleid zal, gegeven het nagestreefde service level, de totale

hoeveelheid veiligheidsvoorraad in de keten minimaliseren (Gallego & Zipkin, 1999).

2.1.1.2. Lineair stijgende holding costs.

Het is ook mogelijk dat de holding costs lineair toenemen naarmate men meer

stroomafwaarts gaat in de seriële logistieke keten. In dit geval kan er nog een onderscheid

worden gemaakt tussen een aantal verschillende situaties. In wat volgt zullen deze kort

besproken worden.

2.1.1.2.1. Zuiver lineair stijgende holding costs.

Indien de holding costs lineair toenemen met een constante richtingscoëfficiënt naarmate

men meer stroomafwaarts gaat in de keten, is het optimaal om vooral veiligheidsvoorraad

aan te houden in de schakels die dichter bij de eindklant gelegen zijn (Gallego & Zipkin,

1999).

2.1.1.2.2. Lineair stijgende holding costs met een knik ter hoogte

van een bepaalde schakel.

Het is ook mogelijk dat de holding costs lineair toenemen naarmate men meer

stroomafwaarts gaat in de keten en dat er een bepaalde schakel is vanaf dewelke de lineaire

holding costs plots sneller stijgen. Een voorbeeld van deze situatie wordt gegeven in de

onderstaande figuur. Deze figuur is gebaseerd op (Gallego & Zipkin, 1999). De knik in het

verloop van de holding costs bevindt zich hier ter hoogte van de derde schakel.


59

Fig.29: Lineair stijgende holding costs met een knik ter hoogte van een bepaalde schakel.

Indien de holding costs zo verlopen, is het optimaal om vooral veiligheidsvoorraad aan te

leggen in de schakel waar de knik zich voordoet en in de schakels net voor de knik. Hier zijn

de holding costs namelijk relatief laag in vergelijking met de andere schakels (Gallego &

Zipkin, 1999).

2.1.1.2.3. Lineair stijgende holding costs met een sprong ter

hoogte van een bepaalde schakel.

Een andere mogelijkheid is deze waarbij de holding costs lineair en discontinu verlopen.

Hierbij is het zo dat de lineaire holding costs vanaf een bepaalde schakel een plotse

toename kennen en dan weer lineair verder lopen. Dit wordt geïllustreerd in de figuur 30 die

gebaseerd is op (Gallego & Zipkin, 1999).

Fig. 30: Lineair stijgende holding costs met een sprong ter hoogte van een bepaalde schakel.

Schakel

Holding cost

1 2 3 4 5

Schakel

Holding cost

1 2 3 4 5


60

In een dergelijke setting moet er voornamelijk veiligheidsvoorraad worden aangehouden net

voor de schakel waar de sprong zich voordoet, en wordt er geen veiligheidsvoorraad

aangehouden in de schakels na de sprong (Gallego & Zipkin, 1999).

2.1.2. De invloed van de vraag op de veiligheidsvoo rraad.

De totale veiligheidsvoorraad in de gehele seriële logistieke keten neemt ongeveer

proportioneel toe met de wortel van de vraag (Gallego & Zipkin, 1999).

2.1.3. De invloed van het service level op de veili gheidsvoorraad.

In wat volgt worden een aantal assumpties gemaakt. Dit zijn tevens ook de assumpties

waarvan zal worden uitgegaan in het gedeelte over de convergente en divergente logistieke

ketens, tenzij expliciet anders vermeld. De veronderstellingen zijn als volgt (Minner, 1997):

• De lead times zijn deterministisch.

• De vraag is normaal verdeeld en vindt enkel plaats ter hoogte van de laatste schakel.

• De vraag verloopt bovendien onafhankelijk van elkaar, is stationair en hoeft niet

volledig identiek verdeeld te zijn. Vraag waaraan niet kan worden voldaan, wordt

verschoven naar een volgende periode. Er wordt echter vanuit gegaan dat de

gemiddelde backorders klein zijn.

• Elke partij in de logistieke keten hanteert een periodic review voorraadbeleid.

• Voor elke partij verlopen de kosten van de voorraad lineair met het aantal stuks in

voorraad. De holding costs nemen toe naarmate men meer stroomafwaarts gaat in

de keten.

• Set up kosten zijn verwaarloosbaar.

• Er zijn geen capaciteitsbeperkingen.

• Men gaat uit van de zogenaamde balans assumptie. Dit betekent dat er enkel met

positieve voorraadniveaus kan gewerkt worden.


61

Indien men dan vertrekt van het cycle service level (hier ook het alfa service level genoemd),

geldt het volgende (Minner, 1997):

� Reeds voor lage service levels zal er veiligheidsvoorraad moeten aangelegd

worden.

� Bij hogere service levels (ongeveer vanaf 90%) zullen de veiligheidsvoorraden

meer dan evenredig stijgen met toenemend service level.

� Vanaf dat het service level voldoende hoog is, zal het optimaal zijn om enkel

veiligheidsvoorraad aan te houden in de eerste en de laatste schakel van de

logistieke keten.

Men kan ook vertrekken van het zogenaamde gamma service level. Dit is niet exact

hetzelfde als de fill rate, maar is er wel een goede benadering voor (Lagodimos &

Koukoumialos, 2008. Dit gamma service kan door de volgende formule worden voorgesteld

(Minner, 1997):

� gamma service level = 1−B/D

Waarbij:

• B = verwachte backlog op het einde van een periode

• D = verwachte vraag gedurende een periode.

Indien men dit gamma service level hanteert, geldt (Minner, 1997):

� Het aanleggen van een veiligheidsvoorraad is enkel nodig vanaf voldoende hoge

service levels.

� Bij relatief lagere service levels volstaat het om enkel veiligheidsvoorraad aan te

houden in de laatste schakel. Met toenemend service level zal ook voorraad

moeten aangehouden worden in de schakels ervoor.


62

� Voor voldoende hoge service levels, is het optimaal als men enkel

veiligheidsvoorraad aanlegt in de eerste en laatste schakels van de keten

De onderstaande figuren komen uit (Minner, 1997) en kunnen op dit vlak verduidelijking

brengen. In figuur 31 slaan de cijfers van de rechteras op de positie van het bedrijf in de

logistieke keten. Een bedrijf met als positie 1 slaat hier op het meest stroomopwaarts

gelegen bedrijf. Analoog duidt het cijfer drie dat bedrijf aan dat het meest stroomafwaarts

gelegen is. Figuur 32 vergelijkt de kostencurve van de veiligheidsvoorraad voor een gamma

service level met deze van een alfa service level.

Fig.31: Het verloop van de veiligheidsvoorraad in een seriële logistieke keten voor een alfa en gamma service level.

Fig.32: Vergelijking van het verloop van de kostencurves verbonden aan de veiligheidsvoorraad voor

een alfa service level en een gamma service level.

2.1.4. De invloed van de capaciteit op de veilighei dsvoorraad.

In de bovenstaande paragraaf werd ervan uitgegaan dat de capaciteit onbeperkt is. In de

praktijk zal dit dikwijls niet het geval zijn en daarom zal men extra veiligheidsvoorraad


63

moeten aanhouden om hetzelfde service level te kunnen bereiken. Men moet dan de

veiligheidsvoorraad voor elke partij in het geval van onbeperkte capaciteit aanpassen met

een zekere correctiefactor (Sitompul, Aghezzaf, Dullaert & van Landeghem, 2008).

Vooraleer hier dieper op in te gaan, is het nodig om drie begrippen nader te verklaren. Het

betreft de inbound service time, de outbound service time en de net replenishment

time(Sitompul et al., 2008).

De outbound service time van een partij j, voorgesteld door Sj, is de tijd waarbinnen die partij

gegarandeerd aan de vraag van zijn klant zal voldoen. De inbound service time voor een

partij j, voorgesteld door SIj, is de tijd die nodig is voor die partij om inputs van zijn

leverancier te ontvangen. In een seriële logistieke keten is de outbound service time van een

partij gelijk aan de inbound service time voor zijn klant. De net replenishment time voor een

partij j, is de tijd die verloopt tussen de productie en het voldoen aan de vraag en is gelijk aan

SIj + Tj − Sj. Hierin stelt Tj de productietijd van partij j voor. De productietijd wordt constant

verondersteld en is gelijk aan één.

Men gaat uit van de volgende assumpties (Sitompul et al., 2008):

• De eerste partij in de keten beschikt altijd over een oneindige toevoer van inputs. Zijn

inbound service time is dus nul.

• De vraag van de eindklant is normaal verdeeld met als gemiddelde µ en

standaardafwijking σ.

• Vraag vindt enkel plaats ter hoogte van de laatste schakel. Indien er aan de vraag

niet kan worden voldaan, kan ze niet verschoven worden naar een volgende periode

maar is ze volledig verloren (lost sales).

• Er wordt meteen voldaan aan de vraag van de eindklant. De outbound service time

naar de eindklant toe is dus gelijk aan nul.

• Maximum allowable demand assumptie: de voorraad laat toe om te voldoen aan de

vraag gedurende een zeker percentage van de tijdsintervallen.

• Een geproduceerd item in elke fase vergt exact één eenheid input.

• Er wordt een maximum service time opgelegd voor elke partij.

• Er is geen vertraging wat betreft informatie over de vraag.

• Het base-stock level (order-up-to level) wordt zodanig gekozen dat er kan voldaan

worden aan de vraag gedurende de netto replenishment time.

• Elke partij hanteert een periodic review voorraadbeleid.

• Als maatstaf voor het service level, wordt het CSL gehanteerd.


64

De correctiefactor waarvan boven sprake was, wordt voorgesteld door Өj. Via niet-lineaire

regressie (nl.: de exponentiële functie) bekomt men (Sitompul et al., 2008):

� Өj = 1 + 5,25*e^(-5,25*( ρj−0,075))

Waarbij:

• Ρj = het capaciteitsoverschot over de standaardafwijking van de vraag voor

van een partij j, gedurende de net replenishment time.

Indien de net replenishment time van een partij j strikt positief is, geldt (Sitompul et al., 2008):

� ρj = (Cj−µ)*√(1+ SIj−Sj)/σ

Waarbij:

• Cj = capaciteit van de partij j.

• µ = gemiddelde vraag.

• SIj = inbound service time van de partij j.

• 1 = productietijd van de partij j.

• Sj = outbound service time van de partij j.

• σ = standaardafwijking van de vraag.

En:

� SSj = Өj*Za*σ*√(1+ SIj−Sj)

Waarbij:

• Za = waarde van de standaard normale verdeling zodanig dat de kans dat aan de

vraag voldaan wordt, gelijk is aan (1−a).

• SSj = veiligheidsvoorraad van de partij j.

• Өj = correctiefactor voor de partij j.

• De andere variabelen worden gedefinieerd als hierboven.


65

Indien de net replenishment time negatief of nul is, verkrijgt men (Sitompul et al., 2008):

� ρj = (Cj−µ)/σ

� SSj = Өj*σ*max(0;Za−ρj)

Hierbij worden alle variabelen gedefinieerd zoals in het bovenstaande geval.

Het effect van de net replenishment time en de capaciteit op de veiligheidsvoorraad wordt

weergegeven in de onderstaande figuur uit (Sitompul et al., 2008). Men mag ervan uitgaan

dat de capaciteit onbeperkt is indien ρ>1,5. Het geval waarin de capaciteit gelijk is aan 240

stelt hier de situatie van onbeperkte capaciteit voor.

Fig.33: De invloed van de net replenishment time en de capaciteit op de veiligheidsvoorraad.

Men kan de volgende vaststellingen maken (Sitompul et al., 2008):

� “Als de capaciteit heel groot (onbeperkt) is en de net replenishment time is nul (of

negatief), dan is het mogelijk om 100% service level te bereiken zonder

veiligheidsvoorraad aan te leggen” (Sitompul et al., 2008, p.10). Men gaat dan

immers de orders naar zijn leverancier uitstellen met een tijdspanne van Sj−SIj−Tj

zodanig dat ze ontvangen worden wanneer men ze nodig heeft (Graves &


66

Willems, 2000). Het voordeel van een order uit te stellen is significant indien men

over een grotere capaciteit beschikt.

� Indien de capaciteit beperkt is, zal de veiligheidsvoorraad o.a. afhangen van de

capaciteit en de net replenishment time. Als men uitgaat van een onbeperkte

capaciteit is de veiligheidsvoorraad niet afhankelijk van de capaciteit.

In dit tweede gedeelte wordt uitgegaan van de volgende assumpties (Vanteddu, Chinnam ,

Yang & Gushikin, 2007):

• De lead times zijn stochastisch en onafhankelijk van elkaar.

• De vraag is normaal verdeeld, stationair, onafhankelijk van elkaar en vindt enkel

plaats ter hoogte van het laatste echelon in de keten.

• Elk echelon beschikt over voldoende capaciteit om aan de vraag van zijn klant te

kunnen voldoen.

• Elke partij neemt lokale beslissingen op basis van de voor hem relevante informatie.

De totale kosten voor de veiligheidsvoorraad in een seriële logistieke keten zijn onder deze

omstandigheden ook afhankelijk van de positie van de bottleneck speler. Dit is het bedrijf dat

het minste overschot heeft in zijn capaciteit om aan de vraag van zijn klant te kunnen

voldoen. Anders gezegd is zijn ratio vraag/capaciteit het grootst.

Dan kan men het volgende concluderen:

� Naarmate de bottleneck speler zich meer stroomafwaarts bevindt in de logistieke

keten, zullen de totale kosten van de veiligheidsvoorraad voor de hele logistieke

keten progressief toenemen (Vanteddu et al., 2007).


67

2.2. Convergente logistieke keten.

In deze paragraaf wordt van dezelfde assumpties vertrokken als in de sectie 2.1.3.

Er is ook de situatie waarbij elke partij beroep kan doen op meerdere leveranciers, maar zelf

slechts levert aan maximum één klant. Dergelijke ketens worden ook wel convergente

logistieke ketens genoemd (Minner, 1997). De onderstaande figuur kan deze situatie

verduidelijken.

Fig.34: Een convergente logistieke keten.

Op het eerste gezicht zou men hier een gelijkenis kunnen waarnemen met het order splitting

bestelbeleid (cfr. Deel twee). Het verschil is echter dat een convergente logistieke keten niet

noodzakelijk impliceert dat de verschillende leveranciers slechts een gedeelte van het order

zouden leveren. Dit kan het geval zijn, maar het hoeft helemaal niet zo te zijn. Bovendien

wordt er bij een order splitting bestelbeleid geen restrictie opgelegd wat het aantal klanten

van elke schakel betreft.

Indien de set up kosten verwaarloosbaar zijn en de vraag van de eindklant stochastisch is,

zal ook in het geval van een convergente logistieke keten het voeren van een echelon

voorraadbeleid optimaal zijn. Dergelijk beleid zal immers de kosten van de

(veiligheids)voorraad in de hele keten minimaliseren (Minner, 1997).

Indien men een alfa service level hanteert als maatstaf voor de product availability, kan het

volgende gezegd worden (Minner, 1997):

� Het is optimaal om vooral veiligheidsvoorraad aan te leggen in de meest

stroomopwaarts en de meest stroomafwaarts gelegen bedrijven in de keten.


68

Als men uitgaat van een gamma service level, geldt (Minner, 1997):

� Er kan eenzelfde conclusie getrokken worden als in het geval waarvan men uitgaat

van het cycle service level, behalve voor lagere service levels. In die situaties zal het

nodig zijn om ook veiligheidsvoorraad aan te leggen in de tussenliggende schakels.

De twee volgende figuren komen uit (Minner, 1997) en verduidelijken de bovenstaande

vaststellingen. In figuur 35 geven de getallen op de rechteras opnieuw de positie weer van

het bedrijf in de logistieke keten. De bedrijven met als positie 1, 2 en 3 bevinden zich in de

eerste schakel van de logistieke keten. De bedrijven met als positie 4 en 5 zijn gelegen in de

tweede schakel van de keten. De laatste schakel van de logistieke keten wordt bezet door

het bedrijf met als positie 6. Figuur 36 vergelijkt opnieuw de kostencurve van het cycle

service level met de kostencurve van het gamma service level.

Fig.35: Allocatie van de veiligheidsvoorraad in een convergente logistieke keten voor een alfa service

level en een gamma service level.

Fig.36: Het verloop van de kostencurven van de veiligheidsvoorraad voor een alfa service level en een

gamma service level.


69

2.3. Divergente logistieke keten.

Ook hier wordt uitgegaan van dezelfde veronderstellingen als in paragraaf 2.1.3.

Een laatste mogelijkheid is deze waarin elke schakel slechts beroep gaat doen op maximum

één leverancier, maar zelf wel kan leveren aan meerdere klanten. Dit staat bekend als een

divergente logistieke keten (van der Heijden et al.,1999; Minner, 1997). Figuur 37 schetst

deze situatie.

Fig.37: Een divergente logistieke keten.

Een echelon voorraadbeleid is ook optimaal voor een divergente logistieke keten waarin de

set up kosten verwaarloosbaar zijn en de vraag van de klant onzeker is (Minner, 1997).

Als men vertrekt van het cycle service level, geldt het volgende (Minner, 1997):

� De verdeling van de veiligheidsvoorraad over de verschillende schakels is

gelijkaardig als in het geval waarin men vertrekt van het cycle service level bij de

seriële logistieke keten.

� Reeds bij lage service levels moet er veiligheidsvoorraad aangelegd worden.

� Vanaf het moment dat het service level voldoende hoog is, zal voornamelijk

veiligheidsvoorraad aangehouden moeten worden in de eerste en laatste

schakels van de keten.


70

Indien men uitgaat van het gamma service level, kan het volgende gezegd worden (Minner,

1997):

� Bij lage service levels moet zo goed als geen veiligheidsvoorraad aangelegd

worden.

� Naarmate het service level groter wordt, zal het optimaal zijn om ook

veiligheidsvoorraad aan te leggen in de tussenliggende schakels van de keten.

De figuren 38 en 39 die gehaald werden uit (Minner, 1997), tonen dit aan. De getallen op de

rechteras van figuur 38 stellen de positie van het bedrijf in de logistieke keten voor. Positie 1

stelt het bedrijf voor dat het meest stroomopwaarts (en dus in de eerste schakel) gelegen is.

De bedrijven met als positie 2 en 3 bevinden zich in de tweede schakel van de logistieke

keten. In de derde schakel bevinden zich de bedrijven met als positie 4, 5 en 6.

Fig.38: De allocatie van de veiligheidsvoorraad in een divergente logistieke keten voor een alfa en

gamma service level.

Fig.39: Het verloop van de kostencurven van de veiligheidsvoorraad in een divergente logistieke keten

zowel voor een alfa als gamma service level.


71

2.4. Complexe logistieke keten.

Wat het optimale voorraadbeleid precies is voor een complexe logistieke keten met een

meer algemene structuur (een combinatie van twee of meer van de bovenstaande types) is

nog niet bekend (Simchi-Levi & Yao Zhao, 2005). Het is wel geweten dat een installation

base-stock voorraadbeleid algemeen gesproken niet optimaal zal zijn voor dergelijke

logistieke ketens. Toch wordt dit in de praktijk dikwijls gehanteerd omdat het een gemakkelijk

te implementeren beleid is (Zipkin, 2000).

3. Besluit.

Een complexe logistieke keten is meestal een combinatie van een seriële, convergente en

divergente keten (Minner, 1997). Het bestuderen van de positionering van de

veiligheidsvoorraad in complexe logistieke ketens wordt onder andere bemoeilijkt door het

feit dat men te maken krijgt met niet-lineaire functies en dat de prestaties van de

verschillende partijen in de keten afhankelijk zijn van elkaar (Jung et al., 2008).

De hoeveelheid veiligheidsvoorraad die moet aangehouden worden in elke locatie van de

logistieke keten wordt onder meer bepaald door de structuur van de keten (Minner, 997), het

verloop van de vraag (Gallego & Zipkin, 1999), het soort service level dat men nastreeft

(Minner, 1997), het verloop van de holding costs (Gallego & Zipkin, 1999) en de beschikbare

capaciteit (Sitompul et al., 2008; Vanteddu et al., 2007).

Voor een seriële en convergente logistieke keten moet er vanaf voldoende hoge service

levels voornamelijk veiligheidsvoorraad worden aangelegd in de eerste en laatste schakels

van de keten. In de divergente keten moet er toch nog een aanzienlijke hoeveelheid

veiligheidsvoorraad worden aangelegd in de tussenliggende niveaus. Als men vertrekt van

een gegeven service level zullen in alle drie de soorten ketens de totale kosten van de

veiligheidsvoorraad groter zijn voor het cycle service level dan voor het gamma service level

(Minner,1997).

In een seriële logistieke keten neemt de totale hoeveelheid veiligheidsvoorraad ongeveer

proportioneel toe met de wortel van de vraag indien er geen onzekerheid is op het vlak van

de lead time (Gallego & Zipkin, 1999). Bovendien zorgen capaciteitsbeperkingen voor een

stijging van de veiligheidsvoorraad in de hele keten (Sitompul et al., 2008).


72

Het voeren van een echelon base-stock voorraadbeleid is voor elk van de drie verschillende

structuren optimaal indien de set up kosten verwaarloosbaar zijn en de vraag van de klant

onzeker is (Minner, 1997). Een dergelijk voorraadbeleid minimaliseert immers de totale

kosten van de (veiligheids)voorraad voor de hele keten en tracht de coördinatie tussen de

verschillende partijen te bewerkstelligen. Ondanks deze vaststellingen wordt in de praktijk

toch dikwijls een installation base-stock voorraadbeleid gevoerd omdat het gemakkelijker te

implementeren is (Zipkin, 2000).

ALGEMEEN BESLUIT

Dit werk had als doel een analyse te maken van de betrouwbaarheid van de logistieke keten

en wou een stap verder gaan dan de reeds veelvuldig bestudeerde enkelvoudige

leverancier-afnemer relatie.

In het eerste deel werd de relatie tussen de variabiliteit van de lead time en de

veiligheidsvoorraad bestudeerd. Deze relatie wordt voornamelijk beïnvloed door de verdeling

van de vraag gedurende de lead time en de hoogte van het nagestreefde service level. Er

werden twee belangrijke conclusies genomen. Ten eerste kwam tot uiting dat het

verkeerdelijk uitgaan van een normaal verdeelde vraag gedurende de lead time ertoe kan

leiden dat er te weinig veiligheidsvoorraad wordt aangehouden en het gewenste service level

dus niet zal bereikt worden. Daarnaast werd duidelijk dat het in praktisch relevante situaties

onder bepaalde omstandigheden mogelijk is dat een reductie van de variabiliteit van de lead

time aanleiding geeft tot een stijging van de veiligheidsvoorraad.

Het tweede deel wou onderzoeken wat de invloed is van een order splitting bestelbeleid op

de totale logistieke kosten in het algemeen en op de veiligheidsvoorraad in het bijzonder. Het

effect van een dergelijk beleid op de totale logistieke kosten bleek afhankelijk te zijn van de

specifieke situatie. Men moet immers verschillende afwegingen maken. Er werd ook

aangetoond onder welke specifieke omstandigheden order splitting zal leiden tot een daling

van de veiligheidsvoorraad. Het is net deze reductie die een order splitting bestelbeleid

interessant maakt. Bovendien kwam ook tot uiting in welke situaties een dergelijk beleid

effectiever zal zijn in het reduceren van de totale logistieke kosten. Order splitting is een

goed alternatief voor single sourcing zolang de lead times van de ene leverancier

onbetrouwbaar en lang zijn en de leveringskenmerken van de tweede leverancier niet veel

slechter zijn dan deze van de eerste.


73

Het laatste deel probeerde meer inzicht te verwerven in de optimale positie van

veiligheidsvoorraad in complexe logistieke ketens. Deze positionering bleek onder andere af

te hangen van de structuur van de keten, het verloop van de vraag, het soort service level

dat nagestreefd wordt, het verloop van de holding costs en de beschikbare capaciteit.

Hoewel het onder bepaalde omstandigheden optimaal is om een echelon base-stock

voorraadbeleid te voeren, wordt dit in praktijk niet altijd toegepast omdat dergelijk

voorraadbeleid moeilijker te implementeren is. Hier dient nog een belangrijke opmerking

gemaakt te worden. In het laatste deel werd er geen rekening gehouden met stochastische

lead times. Dit komt omdat er zo goed als geen literatuur beschikbaar is over het

positioneren van de veiligheidsvoorraad in complexere logistieke ketens waarin men te

maken heeft met stochastische lead times. Verder onderzoek is zeker nodig op dit vlak.


VII

LIJST VAN GERAADPLEEGDE WERKEN

About.com (2009), a part of the New York Times Company, Ecoterms,

URL:<http://economics.about.com/cs/economicsglossary/g/order_stat.htm>.(03/03/2009).

Bagchi U., Hayya J.C. and Chu C.H. (1986) The effect of lead time variability: The case

of independent demand, Journal of Operations Management, 6(2), pp.159-177.

Bagchi U., Hayya J.C. and Ord J.K. (1984) Modeling demand during lead time, Decision

Sciences, 15(2), pp.157-176.

Bagchi U, Hayya J.C. and Ord, J.K. (1983) The Hermite distribution as a model of

demand during lead time for slow-moving items, Decision Sciences, 14(4), pp. 447-466.

Boute R.N., Disney S.M., Lambrecht M.R., Van Houdt B. (2007) An integrated production

and inventory model to dampen upstream demand variability in the supply chain.

European Journal of Operational Research, 178(1), pp. 121-142.

Chen F.R. and Zheng Y.S. (1994) Lower bounds for multiechelon stochastic inventory

systems. Management Science, 40(11), pp.1426-1443.

Chopra S. and Meindl P. (2007) Supply chain management: strategy, planning &

operations, Pearson international edition, third edition, Upper Saddle River, New Jersey,

536 blz.

Chopra S., Reinhardt G. and Dada M. (2004) The effect of lead time uncertainty on safety

stocks, Decision Sciences, 35(1), pp. 1-24.

Clark A.J. and Scarf H. (1960) Optimal policies for a multi-echelon inventory problem,

Management Science, 6(4), pp. 475-490.

Clark C.E. (1961) The greatest of a finite set of random variables, Operations Research,

9(2), pp.145-162.


VIII

Diks E.B. and van der Heijden M.C. (1997) Modeling stochastic lead times in multi-

echelon systems, Probability in the engineering and informational sciences, 11(4), pp.

469-485.

Eppen G.D. and Martin R.K. (1988) Determining safety stock in the presence of

stochastic lead time and demand, Management science, 34(11), pp. 1380-1390.

Ernst R., Kamrad B. and Ord K. (2007) Delivery performance in vendor selection

decisions, European Journal of Operational Research, 176(1), pp.534-541.

Fong D.K.H., Gempesaw V.M. and Ord J.K. (2000) Analysis of a dual sourcing inventory

model with normal unit demand and Erlang mixture lead times, European Journal of

Operational Research, 120(1), pp. 97-107.

Gallego G. and Zipkin P. (1999) Stock Positioning and Performance Estimation in Serial

Production-Transportation Systems, Manufacturing & Service Operations Management,

1(1), pp. 77-88.

Graves S.C. and Willems S.P. (2000) Optimizing Strategic Safety Stock Placement in

Supply Chains, Manufacturing & Service Operations Management, 2(1), pp. 68-83.

Guo Y. and Ganeshan R. (1995) Are more suppliers better, Journal of the Operational

Research Society, 46(7), pp. 892-895.

Hayya J.C., Bagchi U., Kim J.G., Sun D. (2008) On static stochastic order crossover,

International Journal of Production Economics, 114(1), pp. 404-413.

He X.J., Kim J.G. and Hayya J.C. (2005) The cost of lead-time variability: The case of the

exponential distribution, International Journal of Production Economics, 97(2), pp. 130-

142.

Heydari J., Kazemzadeh R.B. and Chaharsooghi S.K. (2009) A study of lead time

variation impact on supply chain performance, International Journal of Advanced

Manufacturing Technology, 40(11-12), pp. 1206-1215.


IX

Humphrey A.S., Taylor G.D. and Landers T.L. (1998) Stock level determination and

sensitivity analysis in repair/rework operations, International Journal of Operations &

Production Management, 18(5-6), pp. 612-630.

Jung J.Y., Blau G., Pekny J.F., Reklaitis G.V., Eversdyk D. (2008) Integrated safety stock

management for multi-stage supply chains under production capacity constraints,

Computers & Chemical Engineering, 32(11), pp. 2570-2581.

Kelle P. and Miller P.A. (2001) Stockout risk and order splitting. International Journal of

Production Economics, 71(1-3), pp. 407-415.

Kelle P. and Silver E.A. (1990) Safety stock reduction by order splitting, Naval Research

Logistics , 37(5), pp. 725-743.

Lagodimos A.G. and Koukoumialos S. (2008) Service performance of two-echelon supply

chains under linear rationing, International Journal of Production Economics, 112(2), pp.

869-884.

Lau H.S. and Zhao L.G. (1994) Dual sourcing cost-optimization with unrestricted lead-

time distributions and order-split proportions. IIE Transactions, 26(5), pp. 66-75.

Lu J.Y., Toellner J.D. and Kaufman N. (1962) A practical method for calculating reorder

points for conditions of stochastic demand and lead time, Journal of Industrial

Engineering, 13, pp. 503-506.

Lutz S., Löedding H. and Wiendahl H.P. (2003) Logistics-oriented inventory analysis.

International Journal of Production Economics, 85(2), pp. 217- 231.

McFadden F.R. (1972) On lead time demand distributions, Decision Sciences, 3(2), pp.

106-126.

Mentzer J.T. and Krishnan R. (1985) The effect of the assumption of normality on

inventory control/customer service, Journal of Business Logistics, 6(1), pp.101-120.

Minner S. (1997) Dynamic programming algorithms for multi-stage safety stock

optimization, OR Spektrum, 19(4), pp. 261-271.


X

Minner S. (2003) Multiple-supplier inventory models in supply chain management: A

review, International journal of production economics, 81(2), pp. 265-279.

Ramasesh R.V. (1991b) Procurement under uncertain supply lead times: a dual sourcing

technique could save costs, Engineering costs and production economics, 21(1), pp. 59-

68.

Ramasesh R.V., Ord J.K., Hayya J.C., Pan A. (1991) Sole versus dual sourcing in

stochastic lead-time (S, Q) inventory models, Management Science, 37(4), pp. 428-443.

Ramasesh R.V., Ord J.K. and Hayya J.C. (1993) Dual sourcing with non-identical

suppliers, Naval Research Logistics, 40(2), pp. 279-288.

Riezebos J. (2006) Inventory order crossovers, International Journal of Production

Economics, 104(2), pp. 666-675.

Robinson L.W., Bradley J.R. and Thomas L.J. (2001) Consequences of order crossover

under order-up-to inventory policies, Manufacturing & Service Operations Management,

3(3), pp.175-188.

Ryu S.W. and Lee K.K. (2003) A stochastic inventory model of dual sourced supply chain

with lead-time reduction, International Journal of Production Economics, 81(2), p. 513-

524.

Sculli D. and Shum Y.W. (1990) Analysis of a continuous review stock-control model with

multiple suppliers, Journal of the operational research society, 41(9), p. 873-877.

Sculli D. and Wu S.Y. (1981) Stock control with two suppliers and normal lead times,

Journal of the operational research society, 32(11), pp.1003-1009.

Silver E.A. and Peterson R. (1985) Decision Systems for Inventory Management and

Production Planning, 2, Wiley, New York.

Silver E.A. and Robb D.J. (2008) Some insights regarding the optimal reorder period in

periodic review inventory systems, International Journal of Production Economics,

112(1), pp. 354-366.


XI

Simchi-Levi D. and Yao Zhao (2005) Safety Stock Positioning in Supply Chains with

Stochastic Lead Times. Manufacturing & Service Operations Management, 7(4), pp. 295-

318.

Sitompul C., Aghezzaf E.H., Dullaert W., van Landeghem H. (2008) Safety stock

placement problem in capacitated supply chains, International Journal of Production

Research, 46(17), pp. 4709-4727.

So K.C. and Zheng X.N. (2003) Impact of supplier's lead time and forecast demand

updating on retailer's order quantity variability in a two-level supply chain, International

Journal of Production Economics, 86(2), pp.169-179.

Song J.S. (1994) The effect of leadtime uncertainty in a simple stochastic inventory

model, Management Science, 40(5), pp. 603-613.

Song J.S. and Zipkin P.H. (1996) The joint effect of leadtime variance and lot size in a

parallel processing environment, Management Science, 42(9), pp. 1352-1363.

Thomas D.J. and Tyworth J.E. (2006) Pooling lead-time risk by order splitting: A critical

review. Transportation research part E-Logistics and transportation review, 42(4), pp.

245-257.

Thomas D.J. and Tyworth J.E. (2007) Is pooling lead-time risk by splitting orders

simultaneously worthwhile?, Journal of business logistics, 28(1), pp. 169-193.

Tyworth J.E. (1991) The inventory theoretic approach in transportation selection models:

A critical review, The Logistics and Transportation Review, 27(4), pp. 299-318.

Tyworth J.E. (1992) Modeling transportation-inventory trade-offs in a stochastic setting,

Journal of Business Logistics, 13(2), pp. 97-124.

Tyworth J.E. and O’Neill L. (1997) Robustness of the normal approximation of lead-time

demand in a distribution setting, Naval Research Logistics, 44(2), pp. 165-186.

van der Heijden M., Diks E. and de Kok T. (1999) Inventory control in multi-echelon

divergent systems with random lead times, OR Spektrum, 21(3), pp. 331-359.


XII

Van Nieuwenhuyse I. and Vandaele N. (2006) The impact of delivery lot splitting on

delivery reliability in a two-stage supply chain, International Journal of Production

Economics, 104(2), pp. 694-708.

Vanteddu G., Chinnam R.B., Yang K., Gushikin O. (2007) Supply chain focus dependent

safety stock placement, International Journal of Flexible Manufacturing Systems, 19(4),

pp. 463-485.

Vernimmen B., Dullaert W., Willemé P., Witlox F. (2008) Using the inventory-theoretic

framework to determine cost-minimizing supply strategies in a stochastic setting,

International Journal of Production Economics, 115(1), pp. 248-259.

Vollmann T.E., Berry, W.L. and Whybark, D.C. (1997) Manufacturing Planning and

Control Systems, 4, Irwin/McGraw-Hill, New York.

Wang P. and Hill J.A. (2006) Recursive behaviour of safety stock reduction: the effect of

lead-time uncertainty, Decision Sciences, 37(2), pp. 285-290.

Wiendahl H.P., von Clemenski G. and Begamann C. (2003) A systematic approach for

ensuring the logistic process reliability of supply chains, CIRP annals-manufacturing

technology, 52(1), pp. 375-380.

Yang B.B. and Geunes J. (2007) Inventory and lead time planning with lead-time-

sensitive demand, IIE Transactions, 39(5), pp. 439-452.

Zipkin P. (2000) Foundations of Inventory Management, McGraw-Hill, Boston, MA.

HET ANALYSEREN VAN DE BETROUWBAARHEID VAN...

Documents

Transcript of HET ANALYSEREN VAN DE BETROUWBAARHEID VAN...