Bachelor 2016 Sef

8/17/2019 Bachelor 2016 Sef

1/68

IKKE-STANDARD ANALYSE 27-12-2015

SVEND ERIK FJORD 1

IndholdIndledning ........................................................................................................................................... 2

Abstract............................................................................................................................................... 3

1.Superstrukturer og universer .......................................................................................................... 4

2.Ikke-standard universet .................................................................................................................. 8

Transfer .......................................................................................................................................... 13

Los’sætning ............................................................................................................................... 16

Ufuldstændig ultrafilter ................................................................................................................ 26

God ultrafilter ................................................................................................................................ 27

3.Topologi ......................................................................................................................................... 29

Tychonoff's sætning ..................................................................................................................... 40

Kontinuerte funktioner på ℝ ....................................................................................................... 414.Konklusion ...................................................................................................................................... 44

Appendiks ......................................................................................................................................... 46

Logik ............................................................................................................................................... 46

Syntaks ....................................................................................................................................... 46

Semantik .................................................................................................................................... 52Relationer -Zorn ............................................................................................................................ 55

Zorns lemma 2.6 ........................................................................................................................ 57

Udvalgsaksiomet 2.7 ................................................................................................................ 57

Filtre ................................................................................................................................................ 57

Diverse ............................................................................................................................................... 64

Lemma 2.11 ............................................................................................................................... 64

De Morgan’s formler .................................................................................................................... 65

Forening og snit ............................................................................................................................ 66

Rank ............................................................................................................................................... 66

Litteratur ............................................................................................................................................ 68


2/68


SVEND ERIK FJORD 2

Indledning

Min interesse for ikke-standard analyse startede da jeg i 2011 skulle skrive mit speciale på

cand.pæd uddannelsen i matematikkens didaktik. Specialet har en anvendelses

orienteret tilgang til ikke-standard analysen. Spørgsmålet var om introduktion af ikke-

standard metoder i gymnasieskolen kunne gøre eksempelvis grænseværdibegrebet mere

forståeligt for de studerende. Konklusionen var at beviserne blev om end ikke mere

intuitive så dog mere forståelige.

Specialet indeholdt ikke en formel gennemgang af ikke-standard analysens grundlag.

Dette gør derimod dette projekt. Her starter vi med begyndelsen - en kort beskrivelse af

den logik, der danner hele grundlaget for ikke-standard analysen. Herefter beskrives, i et

mængdeteoretisk perspektiv, superstrukturer og universer. Herefter udledes det helt

afgørende princip i ikke-standard analyses - nemlig transfer princippet. Princippet siger i al

enkelthed at en sætning er sand i standard universet hvis og kun hvis sætningen er sand i

ikke-standard universet. Ikke-standard universer introducerer også ikke-standard

elementer - der kunne være de uendelige små tal - der gør grænseværdibegrebet lettere

forståeligt.

Projektet slutter af med et bevis af Tychonoff’s sætning om kompakte topologiske rum.

Det viser sig her at ikke-standard analysens beskrivelser af de topologiske begreber er

ganske enkel og pæn.

Projektet indeholder ikke en historisk gennemgang af ikke-standard analysen. Her henvises

til litteraturen. I appendiks har jeg tilføjet et afsnit omkring logik. Afsnittet anvendes i

beviset for transfer princippet. Efter beviset af transfer princippet, skriver vi matematiske

udsagn som vi plejer - forståelig - men ikke for formelt.

Svend Erik Fjord


3/68


SVEND ERIK FJORD 3

Abstract

My interest in nonstandard analysis started when I in 2011 wrote my thesis for the

cand.pæd degree in mathematics education. The thesis had an application-oriented

approach to nonstandard analysis. The question was whether the introduction of

nonstandard methods in high school would make the limit concept more understandable

for the students. The conclusion was that the new proofs given was, if not more intuitive

then at least more understandable.

The thesis didn't contain a formal introduction to nonstandard analysis basis. This project

will do the introduction. We start at the beginning - a brief description of the logic that

forms the whole basis of nonstandard analysis. Then we introduce some set theoretical

structures - superstructures and universes. At last we deduce the main principle of

nonstandard analysis - the transfer principle. The principle says, in its simplicity that a

sentence is true in the standard universe if and only if the sentence is true in nonstandard

universe. Nonstandard universes also introduces nonstandard elements - for example the

infinitesimals - that makes the limit concept more understandable.

The project ends with a proof of Tychonoff's theorem on compact topological spaces. It

becomes clear that the description of the topological concepts in nonstandard analysis is

quite simple and nice.

The project does not contain the history of nonstandard analysis. The reader must consult

the literature. In the appendix I have added a section on logic. This section is used in the

proof of the transfer principle. After the transfer principle has been proved we start writing

mathematical statements as usual - understandable - but not too formal.

Svend Erik Fjord


4/68


SVEND ERIK FJORD 4

1.Superstrukturer og universer

Definition 1.1

Lad , være mængder. Vi definerer nu1.

〈, 〉 {, , }. Vi skriver ofte , for 〈, 〉.2.

〈, , … , 〉 〈〈, , … , −〉, 〉, ∈ ℕ.3.

↾ , ℎ å 〈, 〉 ∈ Ø Bemærkning 1.2Lad være en funktion som vi plejer at se dem. Da vil ↾ . Hvis , . . , vil ↾ 〈, . . , 〉 , . . , .Definition 1.3

Ved et atom forstås en mængde, hvis elementer ikke opfattes som mængder.

Eksempel 1.4

Lad os betragte det naturlige tal 3. 3 kan eksempelvis opfattes som nedenstående

1. 0=Ø, 1={Ø}, 2 = {{Ø}}, 3 = {{{Ø}}},……..

2. 0=Ø, 1={Ø}, 2 = {Ø,{Ø}}, 3 = {Ø,{Ø},{Ø,{Ø}}},……

Hvis vi ikke er interesseret i hvordan tallet 3 er konstrueret er det naturligt at betragte 3 som

et atom, som ikke kan nedbrydes.

Definition 1.5

Lad være en uendelig mængde af atomer 1. Ved superstrukturen frembragt af forstås mængden

∞= 1 Vi vil her og fremover antage at indeholder ℕ.


5/68


SVEND ERIK FJORD 5

hvor

1. 2.

− ⋃(− ), 1

Elementer i , der ikke er atomer kaldes entiteter. Atomerne2 defineres som havende 0, mens ranken af entiteter ∈ − er . Antag for et øjeblik at ℕ samtat naturlige tal opfattes som mængderne under 2. i eksempel 1.4. Da vil funktionenikke være veldefineret. På den ene side vil 3 0 - på den anden side vil, idet 3 0,1,2 ∈ ℕ, 3 1.Vi antager derfor om

at

∀ ∈ [ ≠ Ø ∧ (∀ ∈ ) ∉ ] Vi betragter nu strukturen ,,∈3. Denne struktur er så omfangsrig, at alt denmatematik vi bedriver, kan beskrives af entiteter i . Bemærk at alle mængder i eraf endelig rang. ,,∈ er faktisk en model af mængdeteorien på næruendelighedsaksiomet (hvis dette aksiom også kunne modelleres, ville det betyde af skulle indeholde et element af uendelig rang). er lukket overfor så godt som allemængdeoperationer. Dog er

ikke lukket overfor vilkårlige delmængde konstruktioner.

Lemma 1.6

⋃(− ), 1 Bevis:

Vi benytter induktion. For 1 er ⋃( ) ∪ ∪ . Antagat formlen gælder for . Vi finder da at

+ ⋃( ) ⋃(− ) ∪ ⋃( ) ⋃( ) 2 Det kan vises at elementerne i kan kodes således at

∩ Ø∞= ∩ Ø, ∈ 3 ∈, betragtes kun på .


6/68


SVEND ERIK FJORD 6

∎ Bemærkning 1.7

Rank begrebet er udførligt behandlet i appendiks. Læser man grundigt efter ser man atranken er bevaret. Først fra til og fra til ∗ .

Definition 1.8

En delmængde ⊆ kaldes transitiv i såfremt der for alle ∈ gælder enten ∈

eller

⊆ .

Lemma 1.9

Lad ⊆ være transitiv og lad ∈ og ∈ . Da vil ∈ .Bevis:

Da ∉ vil ⊆ . Men så vil ∈ .∎

Lad os se på en række egenskaber ved

Sætning 1.10

1. ⊆ +, ∈ + for alle . Ø er en entitet. 2. Ethvert er transitiv i , er transitiv i . 3.

Hvis er en entitet og ⊆ er også en entitet. 4. Hvis ∈ er en entitet vil ∈ 5. Hvis , ∈ vil , være en entitet.6.

Hvis

, ∈ vil

↾ ∈

Bevis:

1. At ⊆ + viser vi pr. induktion. For 0 er ⊆ ∪ .Antag nu at egenskaben gælder for . Vi finder nu + ⋃( ) ⊆+ ⋃(+ ) + - hvilket skulle vises. At ∈ + følger afdefinitionen. Bemærk desuden at ∈ og ⊆ for alle . At Ø ∈ følger idet den tomme mængde er en delmængde af alle mængder. Specielt

Ø ⊂ ∈ .


7/68


SVEND ERIK FJORD 7

2. Hvis ∈ vil ifølge lemma 1.6 ∈ (− ). Derfor ⊆ − ⊆ ,hvorfor ⊆ . Hvis ∈ findes så ∈ . Ifølge det lige viste vil ⊆ ⊆

, hvorfor

⊆ .

3.

Da er en entitet findes så ∈ . Ifølge 2. vil ⊆ . Men så vil ⊆ .Derfor vil ∈ ( ) ⊆ +, hvorfor ∈ +, hvorfor er en entitet.4. Da ikke er et atom kan vi finde så ⊆ (se 3.). Men så er ⊆ ( ) ⊆+. Ifølge 3. er en entitet.5.

Vi kan finde , så ∈ og ∈ . Ifølge 1. vil , ∈ ,. Men så vil, ∈ ,+.6. Vi antager at

↾ ≠ Ø. Da findes der et entydigt bestemt element

så

〈, 〉 ∈ ∈. Vi udnytter nu at er transitiv til at slutte at ∈ ∎ Definition 1.11

Lad være en uendelig mængde af atomer. En delmængde ⊆ kaldes et universsåfremt

1.

Ø ∈ 2.

⊆

3.

Hvis , ∈ vil , ∈ 4. er transitiv i Bemærk at er et univers. For universer gælderSætning 1.12

Lad være et univers. Da gælder1.

Hvis , ∈ vil også 〈, 〉 ∈ 2. Hvis , ∈ vil også ↾ ∈ Bevis:

1. Vi bemærker at , . Derfor vil både ∈ og , ∈ . Derfor vil〈, 〉 {, , } ∈


8/68


SVEND ERIK FJORD 8

2. Hvis ↾ Ø vil ↾ ∈ da Ø ∈ . Vi antager derfor ↾ ≠ Ø. Da findes etentydigt bestemt så 〈, 〉 ∈ ∈ . Da er transitiv vil ⊆ . Men så vil 〈, 〉 ∈ .Derfor

{, , } ∈ . Da

er transitiv vil

{, , } ⊆ , hvorfor

, ∈ . Men så

vil, igen fordi er transitiv, , ⊆ , hvorfor ∈ . Derfor ↾ ∈ .∎ 2.Ikke-standard universetLad være en uendelig mængde af atomer. Vi så i at er et univers. Vi kalder detteunivers standarduniverset. I det følende lader vi betegne en indeksmængde og Ϝ etultrafilter på .Definition 2.1

Vi definerer mængden

: → samt mængden

∈ : ∈ | ∈ ∈ Ϝ og for 1 mængderne

∈ : ∈ | ∈ ∈ Ϝ samt endelig mængden ∞=

På definerer vi relationen ∽ ⟺ ∈ | ∈ Ϝ Elementerne i kan ses som funktioner af begrænset rank - se afsnittet om rank iappendiks.Sætning 2.2

∽ er en ækvivalensrelation på .Bevis:

På nær transitivet er dette trivielt. Antag derfor ∽ og ∽ ℎ.


9/68


SVEND ERIK FJORD 9

Lad , ∈ | , Lad , ∈ | ℎ samt , ∈ | ℎ. Antagat ∈ , ∩ , . Da vil ℎ, hvorfor ∈ ,. Derfor , ∩ , ⊆ ,. Da , , , ∈ Ϝ vil

, ∩ , ∈ Ϝ. Da

, ∩ , ⊆ , vil derfor

, ∈ Ϝ. Altså

∽ ℎ.

∎ Sætning 2.3

Lad ∈ , ∈ så ∈ | ∈ Ϝ. Da vil ∈ Bevis:

Lad ∈ | ∈ , ∈ | ∈ og , ∈ | .Lad ∈ , ∩ . Da vil ∈ , hvorfor ∈ . Derfor vil ∈ . Vi har dermedvist at , ∩ ⊆ . Da de to første mængder er i Ϝ vil også ∈ Ϝ. Derfor ∈ .

∎ Da ∽ er en ækvivalensrelation på udgør ækvivalensklasserne en klassedeling af .Definition 2.4

Lad ∈ . Med betegner vi ækvivalensklassen for . Altså ∈ | ∽ Desuden lader vi

| ∈ Bemærk nu at der til ethvert element i ∈ kan knyttes et element i - nemlig denkonstante funktion

∈ givet ved at

for alle

∈ . Antag nu at

[]. Da vil

∽. Men så vil { ∈ | } ∈ | ∈ Ϝ. Hvis ≠ vil denne mængde være tomog den tomme mængde tilhører ikke Ϝ. Derfor må . Derfor kan vi til ethvert element i ∈ knytte elementet ∈ . Vi kan derfor antage at ⊆ 4 samt at for alle ∈ . Vi opfatter nu elementerne i som atomer. Derved får vi dannet et univers i form atsuperstrukturen . Til denne superstruktur er knyttet mængderne , , , … . , …

4 Vi ved endnu ikke om ⊂


10/68


SVEND ERIK FJORD 10

Figur 1. Standard og ikke-standard universet

Eksempel 2.5

Lad ∈ være valgt. Betragt filtret Ϝ ⊆ | ∈ . Vi finder ∽ ⟺ ∈ | ∈Ϝ ⟺ ∈ ∈ | . Lad nu ∈ og betragt den konstante funktion .Da er ∽ . Men så er ikke andet end , hvilket ikke er interessant i vore øjne. ∎ Eksempel 2.6

Antag at

Ϝ er et

-ufuldstændigt ultrafilter. Da

er antaget uendelig kan vi finde en parvis

forskellige , , … elementer i . Da Ϝ er -fuldstændigt kan vi finde disjunkte delmængder, , …. af så ⋃ ∞= og ∉ Ϝ for alle . Vi definerer nu , hvis ∈ . Lad være en konstant funktion. Hvis ∽ skal ∈ | ∈ Ϝ. Hvis ∉ , , … er dennemængde tom og kan derfor ikke være i Ϝ. Hvis ∈ , , … findes 1 så . Men såer ∈ | ∉ Ϝ. Derfor vil elementet ∈ ikke være i . Altså ⊂ .∎ Ovenfor fik vi defineret ∈ for ∈ . Vi vil nu udvide denne definition til atomfatte alle

∈ . Antag derfor at vi har fået defineret

∈ for alle ∈ .Vi vil nu vise hvordan vi kan definere et ∈ + når ∈ +.


11/68


SVEND ERIK FJORD 11

Definition 2.7

Lad ∈ + .Vi definerer | ∈ ∧ ∈ | ∈ ∈ Ϝ Sætning 2.8

∈ + Bevis:

Lad ∈ . Da vil pr. konstruktion ∈ , hvorfor ⊆ . Men så vil ∈ + ifølgeegenskaberne ved superstrukturer. Bemærk at der er mange egenskaber i definitionen,der endnu ikke er udnyttet. Det bliver de i det følgende.∎ Definition 2.9

Ved ikke-standard universet forstår vi delmængden af superstrukturen givet ved | ∈ ⊆

Vores standard univers kan på en naturlig måde indlejres i . Lad nemlig ∈ . Dafindes så ∈ . Vi kan da betragte den konstante afbildning for alle . Pr.definition er nu

∈ | ∈ ∈ | ∈ ∈ Ϝ Men så vil ∈ ⊆ . Vi kan derfor antage ⊆ . Vi ser desuden at på naturlig mådekan indlejres i . Lad nemlig ∈ . Da vil ∈ . Vi antager derfor ⊆ . Et elementi

kaldes standard medens et element (hvis de findes) i

kaldes ikke-standard.

Bemærk også at indlejres i .Sætning 2.10

Sammensætningen af de to indlejringer ovenfor er injektiv. Sagt på en anden måde er

funktionen

↷ injektiv.


12/68


SVEND ERIK FJORD 12

Bevis

Lad , ∈ og antag at . Da vil ifølge lemma 2.11 nedenfor ∈ | ∈Ϝ. Nu er

∈ | ∈ | . Men så er

thi ellers ville denne mængde

være tom og Ø ∉ Ϝ. Samme fremgangsmåde anvendtes også ovenfor.∎ Vi vil nu vise, at faktisk er et univers. Hertil får vi brug for nedenståendeLemma 2.11

1.

Hvis , ∈ gælder ∈ hviss ∈ | ∈ ∈ Ϝ 2. Hvis

, ∈ og

∈ | ∈ Ϝ vil

3. Hvis , ∈ og ⊆ vil ∈ | ⊆ ∈ Ϝ 4.

Hvis , ∈ gælder ∈ hviss ∈ | ∈ ∈ Ϝ 5. Hvis , ∈ gælder hviss ∈ | ∈ Ϝ 6.

Hvis , ∈ lader vi ,, ∈ . Da vil ∈ og , 7.

Hvis , , ℎ ∈ gælder ℎ , hviss ∈ |ℎ , ∈ Ϝ 8. Hvis , , ℎ ∈ gælder ℎ 〈 , 〉 hviss ∈ |ℎ 〈 ,〉 ∈ Ϝ 9. Hvis

, ∈ lader

↾ , ∈ . Da vil

∈ og

↾

10.

Hvis , , ℎ ∈ gælder ℎ ↾ hviss ∈ |ℎ ↾ ∈ Ϝ Bevis

Se appendiks.∎ Sætning 2.12

er et universBevis:

Vi viser først at er transitiv i . Lad derfor ∈ . Vi vil vise at enten ∈ eller ⊆. Så antag at ∈ | ∈ | ∈ . Da findes 1 så ∈ − så . Men så er pr. definition | ∈ − ∈ | ∈ ∈ Ϝ ⊆| ∈ − ⊆ | ∈ . Altså er ⊆ .Vi så ovenfor at ⊆ . Vi vil nu vise , ∈ ⟹ , ∈ , hvor , ∈ . Ifølge 6.ovenfor vil funktionen , være i . Da ∋ , følger , ∈ .Vi mangler nu at vise

Ø ∈ . Vi har tidligere vist at

Ø ∈ ⊆ . Men så er

Ø ∈ , hvorfor


13/68


SVEND ERIK FJORD 13

∋ Ø | ∈ ∧ ∈ | ∈ Ø ∈ Ϝ Ø∎ Bemærkning 2.13

er ikke lukket overfor power set operationen .

Figur 2. Standard og ikke-standard universet

TransferVi har nu to universer og og dermed to sprog ℒ samt ℒ . Vi husker atkonstant symbolerne i ℒ er de samme som elementerne i ∈ . Når ∈ vil viogså tolke som den konstante funktion i givet ved , ∈ . Konstant symbolerne iℒ er symbolerne , ∈ , blandt disse er symbolerne , hvor ∈ . Det kananbefales at læse logik appendiks.

Lad og betegne henholdsvis en term og en formular i ℒ. Ved termen ∗ ogformularen ∗ betegner vi

1. ∗ er den term, der fremkommer ved at erstatte ethvert konstant symbol i medkonstant symbolet .

2.

∗ er den formular, der fremkommer ved at erstatte ethvert konstant symbol i med konstant symbolet

.


14/68


SVEND ERIK FJORD 14

Heraf ses at ∗ er en term i ℒ og ∗ en formular i ℒ .Hvis , , … , ∈ lader vi , , … , ∗ , , … , ∈ . Der gælder nuSætning 2.14

Lad , , … , være en term i ℒ og lad , , … , ∈ . Lad ∈ så ∗ , , … ,

Da gælder

{ ∈ , … , } ∈ Ϝ Bevis:

Vi benytter induktion på kompleksiteten af termer.

1. et konstant symbol . Da er ∗ , , … , . Ifølge lemma 2.11 vilderfor

∈ | ∈ Ϝ Men ∈ | ∈ | . Da ( , … , ) er sætningen vist idette tilfælde.

2. er en variabel symbol . Da er ∗ , , … , [ ]. Ifølge lemma 2.11vil derfor

∈ | ∈ Ϝ Da ( , … , ) følger sætningen også i dette tilfælde.

Vi antager nu at sætningen gælder for termerne og i ℒ.3.

er en term på formen

〈, 〉. Da er

∗ , , … , 〈 , , … , ∗ , , , … , ∗ 〉 Lad ℎ , , … , ∗ og ℎ , , … , ∗ . Ifølgeinduktionsantagelsen er

{ ∈ ℎ , … , } ∈ Ϝ og

{ ∈ ℎ , … , } ∈ Ϝ


15/68


SVEND ERIK FJORD 15

Nu er

〈ℎ, ℎ〉 Vi benytter nu lemma 2.11 og får

∈ | 〈ℎ, ℎ〉 ∈ Ϝ Vi finder nu, at

{ ∈ ( , … , )} ∈ 〈( , … , ), , … , 〉 ⊇ 5

{ ∈ ℎ ( , … , )} ∩ { ∈ ℎ ( , … , )} ∩ ∈ | 〈ℎ, ℎ〉 ∈ Ϝ Derfor { ∈ ( , … , )} ∈ Ϝ og sætningen er vist i dette tilfælde.

4. er en term på formen ↾ . Dette vises som under 3. ovenfor. ∎ Sætning 2.15

Lad , , … , være en term i ℒ og lad , , … , ∈ . Ladℎ ( , … , ), ∈

Da vil ℎ ∈ og ℎ ∗ , , … , .Bevis:

Vi viser først at

ℎ ∈ og igen benytter vi induktion på termers kompleksitet.

1. et konstant symbol . Da er ℎ ∈ for alle . Dette er en funktion, der

tilhører .2.

er en variabel symbol . Da ℎ ∈ for alle . Igen vil ℎ ∈ .Vi antager nu at lemmaet gælder for termerne og i ℒ.

3. er en term på formen ↾ . Vi kan da antage at5 Vi anvender her at 〈, 〉 〈, ′〉hviss ′ og ′


16/68


SVEND ERIK FJORD 16

ℎ ( , … , ), ∈ ⟹ ℎ ∈ , ℎ ( , … , ), ∈ ⟹ ℎ ∈ Vi lader nu

ℎ ( , … , ) ↾ ( , … , ), ∈ .

Da vil ℎ ℎ ↾ ℎ, ∈ . Da ℎ, ℎ ∈ kan vi finde så ∈ |ℎ ∈ , ∈ |ℎ ∈ ∈ Ϝ.

Men så vil ∈ |ℎ ↾ ℎ ∈ ⊇ 6 ∈ |ℎ ∈ ∩ ∈ |ℎ ∈ ∈ Ϝ.Heraf ∈ |ℎ ↾ ℎ ∈ ∈ Ϝ. Derfor ∈ |ℎ ∈ ∈ Ϝ. Men så vil ℎ ∈ .

4. er en term på formen 〈, 〉. Dette vises som under 3. ovenfor, hvor vi så anvender〈, 〉 ∈ +, når , ∈ (X).

Vi har nu vist at ℎ ∈ . Lad nu ∗ , , … , . Ifølge sætning 2.14 vil{ ∈ , … , } ∈ Ϝ Men så er

∈ | ℎ ∈ Ϝ

Ifølge lemma 2.11 vil så ℎ. ∎ Los’sætning

Sætning 2.16

Lad , , … , være en formular i ℒ og lad , , … , ∈ . Da gælder

⊨ , , … , ∗ ⟺ ∈ | ⊨ ,,…, ∈ Ϝ

Bevis:

Vi viser først sætningen for de atomiske formularer for dernæst at anvende induktion på

kompleksitet.

1.

≡ , hvor , er termer. Da er ∗ ≡ ∗ ∗ ⟹ Antag

6 Vi anvender her at ↾ ∈ når , ∈


17/68


SVEND ERIK FJORD 17

⊨ , , … , ∗ ⟹ ⊨ , , … , ∗ , , … , ∗ Lader vi ℎ , , … , ∗ og ℎ , , … , ∗ har vi ifølgesætning 2.14 at

{ ∈ ℎ , … , } ∈ Ϝ og { ∈ ℎ , … , } ∈ Ϝ Da også ℎ ℎ har vi ifølge lemma 2.11 at ∈ |ℎ ℎ ∈ Ϝ. Vi bemærkernu at

∈ ,,…, ,,…, ⊇ ∈ |ℎ ℎ ∩ { ∈ ℎ , … , }∩ { ∈ ℎ , … , } ∈ Ϝ

Derfor ∈ ,,…, ,,…, ∈ Ϝ Men at ,,…, ,,…, betyder ikke andet endat

⊨ ,,…,

⟸ Antag

⊨ ,,…, Da vil ∈ ,,…, ,,…, ∈ Ϝ Lad ℎ ,,…, og ℎ ,,…,. Ifølgesætning 2.15 vil

ℎ, ℎ ∈ og ℎ ∗ , , … , samt ℎ ∗ , , … , . Ifølgelemma 2.11 gælder ℎ ℎ da jo ∈ |ℎ ℎ ∈ ,,…, ,,…, ∈ Ϝ

Men så vil

∗ , , … ,

∗ , , … ,


18/68


SVEND ERIK FJORD 18

hvilket er det samme som ⊨ , , … , · Dermed er sætningen bevist i det første tilfælde. Tilfældet

≡ ∈ behandles

på samme måde, hvorfor vi springer den over.

Vi antager i det følgende at og er formularer for hvilke sætningen gælder. Og vi skalfor første gang benytte at er et Ϝ ultrafilter.

2. Vi ser på formularen ¬. Ifølge induktionsantagelsen gælder⟹ Antag

⊨ , , … , ∗ ⟹ ∈ | ⊨ ,,…, ∈ Ϝ Ifølge definitionen af gælder

⊨ , , … , ∗ ⟺ ⊭ , , … , ∗ Men så kan ∈ | ⊨ ,,…, ∉ Ϝ. Da Ϝ er et ultrafilter vil

∈ | ⊨ ,,…, ∈ Ϝ

Vi finder nuϜ ∋ { ∈ ⊨ ( , , … , )} { ∈ ⊭ ( , , … , )} { ∈ ⊨ ¬( , , … , )} { ∈ ⊨ ( , , … , )}

⟸ Argumentet gælder også den anden vej.3. Vi ser på formularen

∧ . Beviset er ganske simpelt og udelades.

4.

Vi ser på formularen7 ∃ ∈ : . Da vil ∗ ∃ ∈ ∗ : ∗ .⟹: Vi antager først at ⊨ , , … , ∗ 8. Vi har da ⊨ , , … , ∗

7 Husk definitionen: Hvis

≡ ∃ ∈ ⃗:⃗, siges

⊨ ⃗ hvis der findes

∈

⃗ så

⊨ ,

8 Og skal så vise { ∈ ⊨ (, , … , )} ∈ Ϝ


19/68


SVEND ERIK FJORD 19

Da findes ∈ , , … , ∗ så ∗ , , … , , Lad ℎ , , … , ∗ . Da ∈ ℎ vil

∈ | ∈ ℎ ∈ Ϝ Ifølge induktionsantagelsen gælder ∈ | ⊨ , , … , , ∈ Ϝ Ifølge sætning 2.14 har vi

{ ∈ ℎ , … , } ∈ Ϝ Da

{ ∈ ∈ , … , } ⊇ ∈ | ∈ ℎ ∩ { ∈ ℎ , … , } ses { ∈ ∈ , … , } ∈ Ϝ.Nu vil

{ ∈ | ⊨ ( , , … , )}

{ ∈ ∃ ∈ ( , , … , ) ∧ ⊨ , , … , , } ⊇

{ ∈ ∈ , … , } ∩ ∈ | ⊨ , , … , , ∈ Ϝ Derfor { ∈ | ⊨ ( , , … , )} ∈ Ϝ.⟸: Vi antager nu at { ∈ | ⊨ ( , , … , )} ∈ Ϝ. Da vil

{ ∈ | ⊨ ( , , … , )}

{ ∈ ∃ ∈ , … , ∧ ⊨ , , … , , } Lad ℎ ( , … , ), ∈ . Ifølge sætning 2.15 vil ℎ ∈ og der findes et så

∈ |ℎ ∈ ∈ Ϝ For ∈ kan vi benytte udvalgsaksiomet til at finde ∈ ℎ så

⊨

,

, … ,

,


20/68


SVEND ERIK FJORD 20

Lad : → være givet ved

, ∈ Ø

Lad ∈ ∩ ∈ |ℎ ∈ ∈ Ϝ. Da vil ∈ ℎ ∈ , hvorfor ∈ da er transitiv.Vi har hermed vist at

∈ | ∈ ∈ Ϝ Derfor vil ∈ . Vi har altså

∈ | ∈ ℎ ∈ Ϝ og

⊨ ( , , … , , ), ∈ ∈

Ifølge lemma 2.11 og induktionsantagelsen vil

∈ ℎ og ⊨ , , … , ,∗ Ifølge sætning 2.15 er

ℎ ∗ , , … , Men så er ⊨ , , … , ∗ ∎

Bemærkning 2.18

Hvis de eneste konstanter i

er fra

er

∗ og Los’sætning tager formen

⊨ ⟺ ⊨

Los’s sætning 2.17

Lad være en sætning i ℒ. Da gælder ⊨ ∗ ⟺ ⊨

Bevis. Dette følger af ovenstående sætning med 0 da sætninger jo er formularer uden frivariable. Bemærk at når

0 betyder

∈ | ⊨ ,,…, ∈ Ϝ at

⊨ .

∎


21/68


SVEND ERIK FJORD 21

Definition 2.19

En delmængde ⊆ kaldes definerbar såfremt, der findes en formular i ℒ så

∈ | ⊨ 9 Sætning 2.20

Lad , være to formularer i ℒ. Antag ∈ | ⊨ ∈ | ⊨ Da vil

∈ | ⊨ ∗ ∈ | ⊨ ∗

Bevis:

Ifølge sætning 2.16 gælder ⊨ ∗ ⟺ { ∈ ⊨ ( )} ∈ Ϝ ⟺ { ∈ ⊨ ( )} ∈ Ϝ ⟺ ⊨ ∗ ∎

Ovenstående sætning giver nedenstående definition mening

Definition 2.21

Lad ∈ | ⊨ være definerbar. Vi definerer nu mængden ∗ ∈ | ⊨ ∗

Sætning 2.22

For alle

∈ være en entitet. Da gælder

1. er en definerbar delmængde af

2. ∗ Bevis: Det er oplagt at ∈ | ∈ 10. Men så er ∈ | ⊨ ∈ ∗ ∗ ∈ | ⊨ ∈ ∈ | ⊨ ∈ ∈ | ∈ ∎ 9

Husk at ’et i er det konstante symbol som vi jo har vedtaget er navnet på mængden . 10 Husk igen: i formularen ∈ er , de konstantsymboler, der navngiver mængderne og .


22/68


SVEND ERIK FJORD 22

Vi kan altså skifte ud med ∗ , hvor dette måtte være ønskværdigt. Bemærk desuden ∈ | ⊨ 11 ∗

Vi har hermed introduceret vores standard univers samt vores ikke-standard inivers ∗ . Vi har desuden ⊆ ∗ ⊆ Bemærkning 2.23

Bemærk ∪ . Derfor kan ∉ idet dette ville give at ∈

, hvilket ej er tilfældet. Alligevel er

definerbar - da jo

∈ | ⊨ ¬ ∈ . Ifølge sætning 2.22 ovenfor vil derfor ∗ ∈ ( )∗ ( )∗ ⊨ ¬ ∈ ∈ ∗ | ∗ ⊨ ¬ ∈ ∗ ( )∗ ∗ . Ifølgelemma 2.11 vil ∈ ⟺ ∈ | ∈ ∈ Ϝ ⟺ ∈ . Vi har desuden defineret så ∈ ⟺ ∈ . Derfor vil ∗ . Desuden ∗ ∗ ∗ ∗ .Af denne bemærkning ser vi at

⊆ ∗

⊆ ∗

Bemærkning 2.24

Lad ∈ . Da er en entitet, hvorfor ∗ . For ∈ definere vi ∗ .Bemærkning 2.25

Hvis ⊆ vil ⊆ ∗ og ∗ ∩ . Lad nemlig ∈ så er ⊨ ∈ . Ifølge Los vil derfor

∗

⊨ ∗

∈ ∗

⟹ ∗

⊨ ∈ ∗

idet jo

∈ ⊆ hvorfor

∗

. Derfor

⊆ ∗ . Specielt

vil ∗ ∩ ⊇ . Lad endelig ∈ ∗ ∩ . Da ∈ er ∗ . Derfor gælder specielt ∗ ⊨ ∗ ∈ ∗ og dermed ⊨ ∈ ifølge Los. Men så vil ∈ , hvorfor ∗ ∩ ⊆ . Alt i alt ∗ ∩ .

11

Husk igen: i formularen er konstantsymbolet, der navngiver mængden . Nu ikke flereHusk!


23/68


SVEND ERIK FJORD 23

Definition 2.26

Lad ∈ ∗ . Vi kalder en standard mængde såfremt, der findes ∈ så ∗ kaldes en indre mængde såfremt ∈ ∗ kaldes en ekstern mængde såfremt ∈ ∗ ∗

Bemærkning 2.27

Ifølge denne definition er alle standard mængder også indre mængder.

Sætning 2.28

∗ ∗∞= Bevis:

Transfer giver os ∈ ⟹ ∗ ∈ ∗ . Da ∗ er transitiv vil ∗ ⊆ ∗ .Dermed ⋃ ⊆ ∗∗∞= . Lad nu ∈ ∗ . Da findes så ∈ . Men så vil ∈ | ∈ ∈ Ϝ. Men så vil ifølge lemma 2.11 vil ∈ ∗ . Derfor vil

∗ ⊆ ⋃

∗∞=

.

∎ Sætning 2.28

∗ : en entitet i ∗ Bevis:

Lad

∈ ⋃ : ∗

. Da findes en entitet

∈ så

∈ ∗ . Desuden kan vi

finde så ∈ - men så vil ∗ ∈ ∗ . Men så vil ∈ ∗ ∈ ∗ . Da ∗ er transitivvil ∈ ∗ . Ifølge sætning 2.28 vil derfor ∈ ∗ . Antag omvendt at ∗ . Da findes så ∈ ∗ . Da er en entitet følger ∈ ⋃ : ∗ .

∎ Bemærkning 2.29

Lad nu ∈ og betragt mængden . Da er ⊨ ∀ ∈ : ∀ ∈ : ∈ . IfølgeLos’sætning gælder derfor ∗ ⊨ ∀ ∈ ∗ : ∀ ∈ : ∈ ∗ . Dette viser at ∈ ∗ og


24/68


SVEND ERIK FJORD 24

∈ vil ∈ ∗ , hvorfor ⊆ ∗ - og dermed ∈ ∗ . Vi har hermed vist at ∗ ⊆ ∗ . Imange tilfælde vil ∗ ∉ ∗ . Dog vil ∗ ∈ ∗ . Lad igen ∈ . Vi lader

∗ | ∈

. Lad

∈ . Ifølge Los’s sætning vil derfor

∗

∈ ∗ . Men så vil

⊆ ∗ . Alt i alt vil ⊆ ⊆ ∗ .∗ er mængden af alle standard delmængderaf ∗ . Vi vil nu vise at ∗ er mængden af alle indre delmængder af ∗ . Vi bemærker ligeat ∗ er en standard mængde (og dermed indre) da jo ∈ når ∈ . Lad osnu vise at ∗ ∗ ∩ ∗ ⊆ ∗ | er en indre mængde. Hvis ∈ ∗ tilhører altså en standard mængde og er dermed en indre mængde. Da ⊆ ∗ ∗ vil derfor ∈ ∗ ∩ ∗ . Hvis omvendt ∈ ∗ ∩ ∗ . Da er en indre delmængde af ∗ . Da

er indre findes

∈ så

∈ ∗ . Vi ser nu

⊨ ∀ ∈ ∀ ∈ ∈ → ∈ 12 Los’s sætning giver os nu så at

∗ ⊨ ∀ ∈ ∗ ∀ ∈ ∈ ∗ → ∈ ∗ 13 Vi bemærker nu at ∈ ∗ og ⊆ ∗ . Men så vil ∈ ∗ . Altså

∗ ⊆ ∗ | ∈ ∗ Lad

∈ være en funktion. Såfremt

, ∈ med

og

⊆ siger vi

at er en funktion fra ind i og betegner den med : → . Ifølge transfer vil da : ∗ → ∗∗ være en funktion. Hvis ∈ ⊆ og ⊆ vil ∗ ∗ , hvorfor ∗ er enudvidelse af . Transfer giver os også at ∗ ∗ samt ∗ ∗ .Desuden vil helt generelt ∗ ( ) ∗ ∗ .Bemærkning 2.30

På samme måde som ovenfor kan vi vise. Hvis

| : → da vil

∗ | : ∗ → , ∈ ∗ ∗

12

Uformelt: ⊨ ∀ ∈ ⊆ → ∈ 13 Uformelt: ∗ ⊨ ∀ ∈ ∗ [ ⊆ ∗ → ∈ ∗ ]


25/68


SVEND ERIK FJORD 25

Sætning 2.31

∗ ∈ ∗ | er en indre mængde Bevis:Vi benytter induktion. For 0 er og ∗ ∗ . Derfor ∗ ∗ ∗ . Da ∈ vil ∗ . Derfor vil ∈ ∗ ∗ . Derfor er en indre mængde. Antag nu atligheden gælder for . Vi husker + ∪ ( ) . Derfor vil + ∗ ∗ ∪ ( )∗ .Ifølge sætning vil + ∗ ∗ ∪ ( )∗ ∗ ∪ ⊆ ∗ | ∈ ∗ . Ifølgeinduktionsantagelsen vil specielt ⊆ ∗ , hvorfor + ⊆ ∗ ∪ ∗ ( ∗ ) + ∗ .Pr. definition er alle mængder i

+∗ indre mængder. Derfor

+

⊆∗

∈+ ∗ | er en indre mængde. Lad os nu vise den modsatte inklusion + ⊇∗ ∈+ ∗ | er en indre mængde. Lad ∈ + ∗ ∗ være en indre mængde. Da er enindre mængde vil ∈ ∗ . Da ∗ er et univers er det specielt transitivt. Derfor vil alle ∈ være indre mængder. Vi har desuden ∈ + ∗ ∗ ∪ ( ∗ ). Derfor vil ⊆ ∗ . Ifølge induktionsantagelsen vil derfor ⊆ ∗ . Derfor

∈ + ∗ ∗ : æ ⊆ ⊆ ∗ : æ.Derfor

∗ ∪ ∈ + ∗ ∗ : æ ⊆ ∗ ∪ ⊆ ∗ : æ Men så er

∈ + ∗ : æ ⊆ ∗ ∪ ( )∗ ∪ ( ) +∗∗ hvilket vi skulle vise.

∎ Sætning 2.32

Lad ∈ være en entitet. Lad ∈ | . Da vil ∗ være de elementer i ∗ som har rank .Bevis:

Vi ved at ∈ : ∈ : ∈ + . Transfer giver os så at


26/68


SVEND ERIK FJORD 26

∗ ∈ ∗ : ∈ + ∗ ∗ Ifølge sætning 2.31 ovenfor er

∗ ∈ ∗ | er en indre mængde

Da ∈ ∗ vil være en indre mængde. Derfor må ∗ ∈ ∗ : ∈ + ∗ ∗ ∎ Sætning 2.33

Lad ∈ være en entitet. Da gælder ∈ ∗ hvis og kun hvis der findes en funktion : →

så

.

Bevis:

Ifølge sætning 2.22 ovenfor er definerbar og ∗ .Hvis ∈ ∗ vil ∈ . Ifølge definitionen af findes ∈ så og ∈ | ∈ ∈Ϝ. Så derfor er på formen , hvor ∈ | ∈ ∈ Ϝ ⟹ ∈ | ∈ ∈ Ϝ. Vi kan derforantage at ∈ for alle ∈ . Derved er : → Lad : → være en funktion. Da er en entitet findes så ∈ . Da vil | ∈ ⊆. Derfor ∈ | ∈ ∈ Ϝ. Men så vil ∈ . Lad for alle ∈ . Dennefunktion lever også i . Desuden ∈ | ∈ ∈ | ∈ ∈ Ϝ. Ifølge lemma2.11 vil nu ∈ ∗ .

∎ Ufuldstændig ultrafilterAntag at

Ϝ er et

-ufuldstændigt ultrafilter. Lad

∈ være en uendelig entitet. Da kan

vi finde parvis forskellige elementer , , … i . Da Ϝ er -fuldstændigt kan vi finde disjunktedelmængder , , …. af så ⋃ ∞= og ∉ Ϝ for alle . Vi kan nu finde ∈ ℕ så ∈ Vi definerer nu : → ved at såfremt ∈ . Da vil

∈ | ∈ ∈ | ∈ ℕ ∈ Derfor

∈ og dermed

∈ . Ifølge sætningen ovenfor har vi, idet

: → , at

∈ ∗ .

Men vil ∈ | ∈ . Lad nu ∈ . Da findes ∈ så for alle ∈ . Hvis


27/68


SVEND ERIK FJORD 27

skal ifølge lemma 2.11 ∈ | ∈ Ϝ. Hvis ∉ , , … er denne mængdetom og kan derfor ikke være i Ϝ. Hvis ∈ , , … findes 1 så . Men så er ∈ | ∉ Ϝ

. Derfor vil

≠ , hvorfor

∈ ∗

.God ultrafilterVi kan få et ækvivalent resultat ved at betragte et -god ultrafilter. Der gælder nemlignedenstående sætning idet vi nu antager at Ϝ er et -god ultrafilter.Sætning 2.34

Lad ℳ være en ikke tom mængde af entiteter ∈ . Antag desuden at ℳ har denendelige snit egenskab14. Da vil

| ∈∗ ℳ ≠ Ø Bevis:

Vi skal altså bestemme et så ∈ ∗ for alle ∈ ℳ. Husk ∈ ∗ hvis der findes : → så . Vi vil nu finde en funktion : → der opfylder at for alle ∈ ℳ vil ∈ | ∈ ∈ Ϝ. Da ℳ har fip egenskaben og Ϝ er et -god ultrafilter findes der enfunktion

: → således at der for alle

∈ ℳ findes

∈ Ϝ så

⊆ . Vi bemærker nu

at

⊆ ⟺ ∈ for alle ∈ ⟹ ∈ | ∈ ∈ Ϝ ⟹ ∈ ∗ idet ∈ Ϝ. Vi lader nu og har dermed at ∈ ∗ for alle ∈ ℳ.∎ Lad nu ∈ være en uendelig entitet. Betragt ℳ | ∈ . Lad , … , ∈ ℳ.Da findes

, … , ∈ ℳ så . Da er ⋂ ⋂ ⋃ ≠ Ø=== da erantagetuendelig. Dermed har ℳ fip egenskaben, hvorfor der findes et så

∈ ∈ ∗ ∗ ∗ ∈ ∗

14

∩ ∩ … .∩ ≠ Ø for alle endelige kombinationer af mængder i ℳ. Kaldes også fipegenskaben.


28/68


SVEND ERIK FJORD 28

Et sådant kan ikke være standard. Antag nemlig at ∗ for et ∈ . Da vil ∗ ∈ ∗ . Los giver os så at ∈ . Men kan ikke skrives på formen ∗ hvor ∈ . Derfor er ikke-standard.

Definition 2.35

Lad være en binær relation på . Vi kalder en endelig tilfredsstillet relation hvis∀ ∈ ℕ∀, . . ∈ ∃ ∈ : 〈 , 〉 ∈ , 1, … ,

Bemærk at ∗ er en binær relation på ∗ - hvilket ses af Los’s sætning. Sætning 2.35

Lad

∈ være en endelig tilfredsstillet relation.

Da findes ∈ ∗ så 〈 ∗ , 〉 ∈ ∗ for alle ∈ .Bevis:

Lad ∈ og lad ∈ : 〈, 〉 ∈ . Lad ℳ | ∈ . Bemærkdesuden at ℳ ⊆ ∈ . Da ℳ har fip-egenskaben er

∗ | ∈ ≠ Ø Lad ∈ ⋂ ∗ | ∈ . Da vil ∈ ∗ for alle ∈ . Bemærk ⊨ ∀ ∈ : 〈, 〉 ∈ Ifølge Los’s sætning vil derfor

∗ ⊨ ∀ ∈ ∗ : 〈 ∗ , 〉 ∈ ∗ Da ∈ ∗ for alle ∈ vil derfor 〈 ∗ , 〉 ∈ ∗ for alle ∈ .∎


29/68


SVEND ERIK FJORD 29

Eksempel 2.36

Vi ved at ℕ∗ ℕ ≠ Ø15. Man kan da overbevise sig om at ∈ ℕ∗ ℕ medfører at > foralle ∈ ℕ.Eksempel 2.37 Vi har endnu ikke vist eksistensen af eksterne mængder. Da beviset for eksistensen er

forholdsvist langt - vil vi skyde en genvej. Vi kan ved at betragte ℝ som et fuldstændigtordnet legeme ved hjælp af transfer få indført et ordnet legeme ℝ∗ . Man kan spørge om -hvorfor fuldstændigheden ikke bevares. Fuldstændigheden af ℝ kan formuleres påformen

∀ ∈ ℝ: Denne tolkes i ℝ∗ som

∀ ∈ ℝ∗ : ∗ Denne formular siger ikke ”for alle delmængder af ℝ∗ ”, men ifølge sætning ’for alle indredelmængder af

ℝ∗ ’. Så enhver ikke tom opad begrænset indre delmængde af

ℝ∗ har et

supremum. Betragt nu ℝ som en delmængde af ℝ∗ . Vælg nu et ∈ ℕ∗ ℕ. Da vil ≤ foralle ∈ ℝ. Altså er ℝ opad begrænset. Men ℝ har ingen supremum i ℝ∗ - dette følger af atogså 1 ∈ ℕ∗ ℕ når ∈ ℕ∗ ℕ. Derfor kan ℝ ikke være en indre delmængde af ℝ∗ . ℝ er dermed et eksempel på en ekstern mængde.

3.TopologiI det følgende vil betegne vores standard univers medens ∗ betegner ikke-standarduniverset. For alle topologiske rum vil vi i det følgende antage at ∈ . Det sammeantages at gælde for indeks mængder. Dette sikre os at de topologiske rum ogafbildninger mellem disse også lever i . Det samme gælder for omegnssystemer oglignede.

15 Vi betragter ℕ og ℕ som ens.


30/68


SVEND ERIK FJORD 30

Definition 3.1

Lad , være et topologisk rum.1.

Ved omegnssystemet for et ∈ forstår vi familien af åbne mængder givet ved ∈ | ∈ Vi skriver ofte

2.

En delmængde ⊆ kaldes en base for såfremt der for alle ∈ og alle ∈ findes et ∈ ∩ så ⊆ .

3. ⊆ kaldes en omegnsbase for såfremt der for alle ∈ findes ∈ så

⊆ .

4. En delmængde ⊆ kaldes en subbase for hvis familien af endelige snit afelementer i er en base for .

5.

⊆ kaldes en omegnssubbase hvis familien af endelige snit af elementer i er en omegnsbase for .6. Mængderne i ∗ kaldes ∗-åbne mængder.7.

Lad ∈ . Ved normaden for forstås mængden: { ∗· | ∈ } ⊆ ∗

Vi skriver ofte .8. ∈ ∗ siges at være tæt på ∈ såfremt ∈ . Vi skriver så ⇀ 9. En topologi siges at være grovere end hvis ⊆ - vi siger også at er finere

end . Lemma 3.2

Lad , være et topologisk rum. For alle ∈ findes et ∈ ∗ så ⊆ .Bevis:

På

× definerer vi relationen

givet ved at for

, ∈ gælder


31/68


SVEND ERIK FJORD 31

〈 , 〉 ∈ ⟺ ⊆ 16 Lad os vise at denne relation er endelig tilfredsstillet. Vi lader derfor , … , ∈ for 1,2, . . ,

. Da

, … , ∈ kan vi finde

∈ så

⊆ ∩ ∩ … ∩ . Dermed gælder

specielt ⊆ for 1,2, . . , . Men så vil 〈 , 〉 ∈ for 1,2, . . , . Ifølge sætning 2.35 findesder nu ∈ ∗ så 〈 ∗ , 〉 ∈ ∗ for alle ∈ . Men så vil ⊆ ∗ for alle ∈ . Men så er ⊆ .

∎ Sætning 3.3

Hvis er en omegnsbase for ∈ vil ⋂{ ∗· | ∈ } Bevis:

⋂{ ∗· | ∈ } ⊇ ⋂{ ∗· | ∈ } da ⊆ . Den anden inklusion følger af at der tilalle ∈ findes , … , ∈ så ∩ … ∩ ⊆ . Transfer giver os så ∩ … ∩ ∗ ⊆ ∗ ,hvorfor ∗ ∩ … ∩ ∗ ⊆ ∗ - altså⋂ ∗ ⊆ ∗= . Derfor vil ⋂{ ∗ | ∈ } ⊆ ⋂{ ∗ | ∈ }.

∎

Sætning 3.4

Lad , være et topologisk rum. Da gælder ∈ hvis og kun hvis ⊆ ∗ for alle ∈ .Bevis:

⟹: Antag først at ∈ ∈ . Da kan vi finde ∈ så ⊆ . Men så vil ∈ ∗ ⊆ ∗ .⟸: Lad ∈ . Vælg nu ∈ ∗ så ⊆ . Da er ∃ ∈ ∗ : ⊆ ∗ en sandsætning i ∗ . Ifølge transfer er så ∃ ∈ : ⊆ en sand sætning i . Men så vil ∈ .

∎

16 ∗ er den samme relation på × ∗ × ∗∗


32/68


SVEND ERIK FJORD 32

Sætning 3.5

Lad , og , være topologiske rum. Antag at : → er en afbildning. Lad ∈ .Da er kontinuert i hvis og kun hvis ∗ () ⊆ .Bevis:

⟹: Vi antager at er kontinuert i . Vi husker at ∗ : ∗ → ∗ . Da er antaget kontinuert i gælder

∀ ∈ ( )∃ ∈ : ⊆ For en sådan omegn gælder ∗ ∗ ( )∗ ⊆ ∗ . Da ⊆ ∗ følger så ∗ () ⊆ ∗ ∗ ⊆ ∗ Men så vil

∗ () ⊆ ∗∈() ( )

⟸: Ifølge lemma 3.2 findes

∈ ∗ så

⊆ . Hvis

∈ vil derfor ifølge antagelsen

gælde ∗ ∈ ( ). Hvis ∈ ( ) vil ∈ medføre ∗ ∈ ∗ (ifølge definitionenpå en monade). Vi hermed vist at for alle ∈ ( ) gælder nedenstående sætning i∗ :∃ ∈ ∗ : ∀ ∈ : ∗ ∈ ∗

Ifølge transfer findes der derfor ∈ så der for ethvert ∈ gælder ∈ . Dermeder ⊆ , hvorfor vi har vist at er kontinuert i .Sætning 3.6

Lad , være et topologisk rum og lad ⊆ . Da gælder at er kompakt hvis og kunhvis der for alle ∈ ∗ findes et ∈ så ∈ .Bevis:

Antag først at er kompakt og der findes et ∈ ∗ så ∉ for alle ∈ . For alle ∈

findes dermed et

∈ så

∉ ∗

. Betragt den åbne overdækning

: ∈ af

.

Da er antaget kompakt kan vi finde , … . , ∈ så ⊆ ∪ … ∪ . Men så vil ∗ ⊆


33/68


SVEND ERIK FJORD 33

∗ ∪ … ∪ ∗ . Men tilhører ikke ∗ ∪ … ∪ ∗ . Dermed har vi den søgte modstrid og vislutter at der findes et ∈ så ∈ .Antag at der for alle ∈ ∗ findes et ∈ så ∈ . Antag også at ikke er kompakt.Da findes der en åben overdækning ℌ {: ∈ Λ} af , der ikke kan udtyndes til enendelig del overdækning. Betragt relationen på ℌ × givet ved at 〈, 〉 ∈ hvis og kunhvis ∉ . Lad os vise at er endelig tilfredsstillet. Bemærk at der for alle ∈ ℌ findes et ∈ så 〈 , 〉 ∈ - ellers ville {} udgøre en endelig del overdækning. Dermed er ℌ. Lad nu , . . , ∈ ℌ. Da { , . . , } ikke overdækker findes ∈ så ∉

∪ … ∪ . Dermed vil

〈

, 〉 ∈ for alle

1,2, . . , . Dermed er

endelig tilfredsstillet.

Men så findes ∈ 17 ∗ så 〈 ∗ , 〉 ∈ ∗ for alle ∈ Λ. For alle ∈ ℌ har vi∀ ∈ :〈 , 〉 ∈ → ∉ Transfer giver os

∀ ∈ ∗ : 〈 ∗ , 〉 ∈ → ∉ ∗ Derfor vil der for alle

∈ ℌ gælde

∉ ∗ - da jo

∈ ∗ . Ifølge hypotesen vil findes

∈ så

∈ . Da er en åben overdækning af gælder da ∈ for et ∈ ℌ18. Men så vil ∈ ⊆ ∗ - da jo ⋂ ∗∈ ⊆ ∗ . Alt i alt har vi ∈ ∗ samt ∉ ∗ , hvilket er enmodstrid. Derfor er kompakt.∎ Definition 3.7

Lad være en mængde og lad {( , )| ∈ Λ} være en familie af topologiske rum. Laddesuden

{

: → |

∈ Λ} være en familie af afbildninger. Ved den svage topologi på

forstår vi den topologi som mængderne {− ∈ Λ, Uμ ∈ } udgør en subbase for.Bemærk at denne topologi er den groveste topologi, der gør alle ’erne kontinuerte. Vikalder familien {: → | ∈ Λ} en frembringer for den svage topologi.

17

∗ ⊆ ℌ∗ × ∗ ,ℎ ∈ ∗ 18 Dette betyder at ∈


34/68


SVEND ERIK FJORD 34

Sætning 3.8

Lad ∈ , hvor er udstyret med den svage topologi. Da vil ∈ ∗ ∗ ∈ ∈ Λ Bevis:

Lad ∈ ∗ ∗ ∈ ∈ Λ ⋂ ∈∈ ∗ ∗ ∈ . ⊆ : Lad ∈ . Da vil der for alle ∈ Λ gælde at mængderne − ∈ ,når

∈ .

Men så vil

{ ∗· | ∈ } ∈ |∀ ∈ , ∈ ∗∗ ⊆ ∈ ∀ ∈ Λ ∀ ∈ , ∈ −()∗∗

∈ ∈ −

()∗

∈∗

∈ ∈ ∗ ∈ ∗ − ∗∈ ∈ Hvor vi har anvendt at −∗ ∗ − ∗ . Bemærk nu at

∗

∈ ⟺ ∗

∈ ∗

∈ ⟺ ∈ ∗

−

∗

∈

Derfor vil - vi skriver nu ∗ − ∗ − ⊆ ∈ ∗ ∈ − ∗∈

∗ ∈ ∈ ∗ ∗ ∈ ∈


35/68


SVEND ERIK FJORD 35

⊆ : Lad ∈ være et element i basen for den svage topologi på . Da findes, . . , ∈ Λ og åbne mængder ∈ , 1,2, . . , så ⋂ −= . Lad os vise at ⊆ ∗

. Vi finder

∈ · ∈ − ·∈ · ∈ ⊆ { ∈ · ∈ −( · )· }

=

{ ∈ ∗ ∈ −( · ) 1, . . , ∗ } ∈ ∗ ∈ −( · ) ∗=

∈ ∗

∈ −

()

=

∗

∈ ∗

| ∈ ∗

∗

Bemærk at ∈ , hvor er omegnsbasen for . Da var vilkårlig valgt gælderaltså ⊆ ∗ for alle at ∈ . Men så vil

{ ∗· | ∈ } { ∗· | ∈ } ⊇ · | ∈ ∎

Lad

Λ være en indeks mængde og antag at der for alle

∈ Λ er givet et topologisk rum

, . Lad os betragte produktmængden ∈ | Λ → | ∈ ∈

Lad ∈ Λ og lad : ∏ → ∈ være givet ved at . kaldes projektionenpå det ′ faktorrum. Vi betragter nu familien {: → | ∈ Λ}. Denne familie frembringeren topologi på .Definition 3.9Ved produkttopologien Π på ∏ ∈ forstår vi den groveste topologi, der gør alleprojektioner kontinuerte. Subbasen består da af mængderne

{− ∈ Λ, Uμ ∈ }


36/68


SVEND ERIK FJORD 36

Lemma 3.10

For alle ∈ Λ og ∈ ∗ vil ()∗ ∗ Bevis:

Lad ∈ Λ være valgt. Betragt funktionen . Lad ⋃ ∈ . Om : → gælder∀ ∈ ∀ ∈ : ⟺ Transfer giver så at ∗ : ∗ → ∗ er karakteristeret ved

∀ ∈ ∗ ∀ ∈ ∗ : ∗ ⟺ ∗ ∗ Derfor vil

∗

∗

for alle

∈ ∗ . Derfor

(

)∗

∗

. Da

var vilkårlig er

lemmaet bevist.

Ifølge lemmaet vil

∈ ∗ | ∗ ∈ ∈ ∗ | ∗ ∈ ∈ Λ ∎

Lemma 3.11

Lad ℋ ∈ være en entitet og lad ℋ ℎ ∈ ℋ|ℎ . Da vil ℋ∗ ℎ|ℎ ∈ ℋ∗ ℋ∗ ℎ|ℎ ∈ ℋ∗

Bevis:

Vi bemærker ℋ 1 samt at ℋ ℎ ∈ ℋ|ℎ ℎ ∈ ℋ|ℎ 1. Ifølgesætning vil ℋ∗ være de elementer i ℋ∗ der har rank større end eller lig 1. Derfor vil ℋ∗ være de elementer i ℋ∗ der er entiteter. Altså vil ℋ∗ ℎ ∈ ℋ∗ : ℎ . Hvis derfindes et atom i ℋ er den derfor uden betydning for lemmaets gyldighed - atomet indgårhverken på højre eller venstre siden af lighedstegnet. Vi antager derfor ℋ ℋ. Bemærkat


37/68


SVEND ERIK FJORD 37

∀ℎ ∈ ℋ : ∃ ∈ ℋ:ℎ ∈ er en sand sætning i

. Derfor er sætningen ifølge transfer

∀ℎ ∈ ℋ∗ :∃ ∈ ℋ∗ :ℎ ∈ sand i ∗ . Derfor vil ⋃ ℋ∗ ⊆ ⋃ ℋ∗ .For at vise den modsatte inklusion betragter vi sætningen i :

∀ℎ ∈ ℋ: ∀ ∈ ℎ: ∈ ℋ Ifølge transfer gælder der dermed i

∗ at:

∀ℎ ∈ ℋ∗ : ∀ ∈ ℎ: ∈ ℋ∗ 19 Derfor vil ⋃ ℋ∗ ⊆ ⋃ ℋ∗ . Dermed vil ⋃ ℋ∗ ⋃ ℋ∗ . På samme måde vises ⋂ ℋ ⋂ ℋ∗∗

∎ Lad os betragte familien ℋ { | ∈ Λ}20. Hvad skal vi da forstå ved familien { | ∈ Λ}∗ ?Vi betragter hertil funktionen : Λ → ℋ givet ved at . Denne funktion er bijektiv.Transfer giveros nu en bijektiv funktion ∗ : Λ∗ → ℋ∗ . Vi definerer så

{ | ∈ Λ}∗ ∗ | ∈ Λ∗ Vi bemærker at alle standard elementer i ∈ Λ∗ er af formen ∗ for ∈ Λ. For ∗ standarder

∗ ∗ ( )∗ ∗21

19 ∀ℎ ∈ ℋ∗ : ∀ ∈ ℎ: ∈ ⋃ ℋ∗ ⟹ ∀ℎ ∈ ℋ∗ : ℎ ⊆ ⋃ ℋ ⟹ ⋃ ℋ ⊆ ⋃ ℋ∗∗∗ da jo ∈ ⋃ ℋ∗ hvis der findes ℎ ∈ℋ∗ så ∈ ℎ . Da ℎ ⊆ ⋃ ℋ∗ vil derfor ∈ ⋃ ℋ∗ . 20

Vi antager ℋ ∈ , Λ ∈ V og ∈ for alle . Dette sikre os at ⋃ ℋ , ∈ .21 Altså noget kendt.


38/68


SVEND ERIK FJORD 38

Lemma 3.12

∈

∗

∗

∈ ∗

Bevis:

Betragt mængden ℋ { : ∈ Λ} Ifølge definitionen ovenstående vil ℋ∗ ∗ | ∈ Λ∗ .Vi bemærker nu

1.

∈ ⋃ ℋ ⟺ ∃ℎ ∈ ℋ: ∈ ℎ ⟺ ∃ ∈ Λ: ∈ ⟺ ∈ ⋃ ∈ . Altså ⋃ ℋ ⋃ ∈ 2.

∈ ⋃ ℋ∗ ⟺ ∃ℎ ∈ ℋ∗ : ∈ ℎ ⟺ ∃ ∈ Λ∗ : ∈ ∗ ⟺ ∈ ⋃ ∗ ∈ ∗ . Altså ⋃ ℋ∗ ⋃ ∗ ∈ ∗ Ifølge lemma 3.1 ovenfor vil

∈ ℋ ℋ∗ ∗ ∈ ∗∗

∗

∎

Sætning 3.13

∈ ∗ ∈ : ∈ ∗∗∈ ∗

Bevis

Lad ∏ ∈ og ⋃ ∈ . Da er { ∈ | ∀ ∈ Λ: ∈ }, hvor betegnerbijektionen ovenfor. Transfer giver os så ∗ ∈ ()∗ | ∀ ∈ Λ∗ : ∈ ∗ . Anvender vibemærkning 2.30 ser vi ∗ : Λ∗ → U∗ | ∀ ∈ Λ∗ : ∈ ∗ , ∈ ∗ 22. Desuden vil U∗ ⋃ ∗ ∈ ∗ .

22 Husk at ∈ ∗ betyder at er en indre mængde - eller som vi også siger en indre funktion.


39/68


SVEND ERIK FJORD 39

Alt i alt har vi

∗ : Λ∗ → ∗ ∈ ∗ | ∀ ∈ Λ∗ : ∈ ∗ , ∈ ∗

∎ Bemærkning 3.13a

Hvis ∈ ∗ vil ∗ ∈ ∗ ∗ ( )∗ ∗ .Bemærkning 3.13b

Vi bemærker

{ | ∈ Λ}∗ { ∗ | ∈ Λ∗· } · | ∈ Λ ∪ ∗ | ∈ Λ∗ Λ ∗ | ∈ Λ ∪ ∗ | ∈ Λ∗ Λ ∗ ∗ | ∈ Λ ∪ ∗ | ∈ Λ∗ Λ ∗ | ∈ Λ ∪ ∗ | ∈ Λ∗ Λ

{ ∗ | ∈ Λ} ∪ ∗ | ∈ Λ∗ Λ

Definerer vi nu ∗ ∗ for alle ∈ Λ∗· får vi de kendte formler - men man skal havenotationsformen in mente.

∈ ∗ ∗ ∈ ∗

∈ ∗

∈ : ∈ ∗∗∈ ∗

Sætning 3.14

Lad , være topologiske rum. Antag : → er en kontinuert surjektion samt at erkompakt. Da er kompakt.Bevis:

Ifølge transfer er

∗

: ∗

→ ∗ også surjektiv. Lad

∈ ∗ . Da

∗ er surjektiv findes

∈ ∗ så

∗ . Da er kompakt findes ∈ så ∈ . Da er kontinuert i vil


40/68


SVEND ERIK FJORD 40

∗ ⊆ Desuden vil

∗ ∈ ∗

Dermed

∈ Lad ∈ Da vil

∈ 23 ∎

Tychonoff's sætningSætning 3.15

Lad {, | ∈ Λ} være en familie af topologiske rum. Betragt produkt mængden

∈

med produkttopologien . Da gælder, kompakt hvis og kun hvis , er kompakt for alle ∈ Λ Bevis:

Lad os indledningsvis bruge udvalgsaksiomet til at konstatere at ≠ Ø hvis og kun hvis ≠Ø for alle ∈ Λ. Så vi antager ≠ Ø for alle ∈ Λ. Produkttopologien er kendetegnet vedat projektionerne er kontinuerte - de er desuden surjektive. Dermed har vi vist

⟹.

Lad nu ∈ ∗ . Vi ved da at er en indre funktion med ∗ ∈ ∗ for ∈ Λ24. Dafaktorrummene er kompakte kan vi for alle ∈ Λ finde ∈ så ∗ ∈ ().

23 er kompakt hvis og kun hvis der for alle ∈ ∗ findes et ∈ så ∈ 24 Se bemærkning 3.13a


41/68


SVEND ERIK FJORD 41

Ifølge udvalgsaksiomet kan vi finde en funktion ̃ ∈ , der netop udvælger disseelementer:

̃

Ifølge lemma 3.10 er̃ ∈ ∗ ∗ ∈ ∈ Λ ∈ ∗ | ∗ ∈ ̃ ∈ Λ ∈ ∗ | ∗ ∈ ∈ Λ

Da vil ∈ ̃ , hvorfor er kompakt. ∎ Bemærkning 3.16

Lad os give et ikke-standard bevis for ⟹ vejen ovenfor.Lad derfor ∈ ∗ , hvor ∈ Λ. Da projektionen ∗ også er surjektiv findes ∈ ∗ med∗ . Men så vil ifølge lemma 3.10 er ∗ . Da er kompakt kan vi finde ∈ så ∈ . Men

∈ ∗ | ∗ ∈ ∈ Λ Da

∈ vil specielt

∗ ∈ . Da

∗ vil altså

∈ .

Men så har vi fundet ∈ så ∈ ( . Derfor er kompakt. Da varvilkårligt valgt er beviset fuldført.

Kontinuerte funktioner på ℝ Ved gentagne anvendelser af transfer princippet får vi indført det ordnede legeme ℝ∗ . Ethyperreelt tal siges at være

1.

endelig såfremt || < for et ∈ ℕ 2.

uendelig såfremt || > for alle ∈ ℕ 3.

infinitesimal såfremt || < for alle ∈ ℕ Lad : ℝ → ℝ og lad ∈ ℝ. Antag at er defineret i en omegn af . Da er nedenståendedefinitioner ækvivalente.

a.

∀ ∈ ℝ, > 0 ∃ ∈ ℝ, > 0: ∀ ∈ ℝ:| | < ⟹ | | <

b. ∀ ∈ ℝ∗ , > 0 ∃ ∈ ℝ∗ , > 0: ∀ ∈ ℝ∗ : | | < ⟹ | ∗ ∗ | <


42/68


SVEND ERIK FJORD 42

c.

∀ ∈ ℝ∗ , ≈ 025, ≠ 0 ⟹ ∗ ∗ ≈ 0 Vi bemærker at når ∈ ℝ vil ∗ , hvorfor ∗ ∗ ∗ ∗ da jo ∈ ℝ. ⟹ : Følger af transfer. ⟹ : Lad ∈ ℝ, > 0, ∈ ℝ∗ , ≈ 0, ≠ 0 være vilkårlige. Ifølge a. findes ′ ∈ ℝ, ′ > 0 så

∀ ∈ ℝ: | | < ′ ⟹ | | < Ifølge transfer

∀ ∈ ℝ∗ : | ∗ | < ′∗ ⟹ | ∗ ∗ ∗ | < ⟹∗ ∀ ∈ ℝ∗ : | ∗ | < ′∗ ⟹ ∗ ( )∗ < ⟹∗ Da ∈ ℝ, ∈ ℝ og ′ ∈ ℝ vil ∗ , ∗ og ′∗ ′. Men så vil

∀ ∈ ℝ∗ : | | < ′ ⟹ | ∗ | < Da ≈ 0 vil < ′, hvorfor | | < ⟹ | ∗ | < . Da > 0 var valgt vilkårlig vilderfor

∗ ∗ ≈ 0. Da også

∈ ℝ∗ var valgt vilkårligt følger b..

⟹ : Lad ∈ ℝ, > 0, ∈ ℝ∗ , ≈ 0, ≠ 0 være vilkårlige. For alle ∈ ℝ∗ med | | < gælder at ′ for et ′ ∈ ℝ∗ , ′ ≈ 0, ′ ≠ 0. Ifølge antagelsen vil ∗ ∗ ≈ 0.Specielt vil | ∗ ∗ | < . Ved at sætte ′ ses

∃ ∈ ℝ∗ , > 0: ∀ ∈ ℝ∗ : | | < ⟹ | ∗ ∗ | < Vi benytter igen transfer og får

∃ ∈ ℝ, > 0:∀ ∈ ℝ: | | < ⟹ | | < hvilket er netop a..

Lad : ℝ∗ → ℝ∗ være en indre funktion og lad ∈ ℝ∗ . Vi antager at er defineret i enomegn af . Vi siger at er ∗-kontinuert i såfremt25

Vi skriver ≈ 0 hvis er infinitesimal. ℝ∗ indeholder disse. Vi regner med dem som vi regner i ℝ. Viskriver ≈ hvis ≈ 0.


43/68


SVEND ERIK FJORD 43

1. ∀ ∈ ℝ∗ , > 0∃ ∈ ℝ∗ , > 0: ∀ ∈ ℝ∗ : | | < ⟹ | | < Vi siger tilsvarende at er -kontinuert i såfremt

2. ∀ ∈ ℝ∗ , ≈ 0, ≠ 0: ≈ 0

Ovenfor fandt vi en ækvivalens mellem a. og c. ovenfor. Gælder det samme her? Svaret

er nej. Lad os se på to eksempler:

1.

Lad ∙ , hvor ∈ ℕ∗ ℕ , ∈ ℝ∗ . Da er overalt ∗-kontinuert - men ikke -kontinuert. Vi har nemlig · . Sætter vi vil

≈ 0 men

· 1

.

2. Lad for ∈ ℝ, 0. Lad inf ∈ ℕ: > 126. For ∈ ℝ∗ , > 0, ≈ 0 betragter vifunktionen · , 0. Ifølge definitionen vil · når ∈ · , 1 · . Bemærk

· 1 > · ⟹ <

· ≤

·

Derfor

< ≤ for alle 0 Vi har altså | | ≤ | | for alle , > 0. Dette viser os at er overalt -kontinuert. Men som vi så vedomskrivningen ovenfor vil

have hop i alle punkter af formen

· , ∈ ℕ, hvorfor

ikke er ∗-kontinuert i disse punkter.

26 ≤


44/68


SVEND ERIK FJORD 44

4.KonklusionVi har i projektet konstrueret en injektion

∗: → ∗

som opfylder

1. er en ægte delmængde af ∗ 2. ∗ for alle ∈ 3.

Transfer princippet

Mængden ∗ er netop de indre delmængder af ∗ . ∗ er indlejret isuperstrukturen

∗ fordi vi også gerne vil kunne betragte de eksterne mængder.

I en del fremstillinger af emnet betragter man ækvivalensrelationen ∽ ikke bare på menpå hele . Man betragter faktisk ℧\∽, hvor ℧ : → . Man kan da udstyre dennemængde med to relationer

1.

∈℧: ∈℧ ⟺ ∈ | ∈ ∈ Ϝ 2. ℧: ℧ ⟺ ∈ | ∈ Ϝ

Disse to relationer

∈℧ og

℧ er af natur ikke det vi forstår som

∈, og i det

mængdeteoretiske univers. Dog er der visse ligheder. Der gælder nemlig:

℧ ⟺ ⊆℧ og ⊆℧ Lad nemlig ∈℧ . Da vil ∈ | ∈ ∈ Ϝ. Vi finder nu at ∈ | ∈ ⊇ ∈ | ∈ ∩ ∈ | . Men så vil ∈ | ∈ ∈ Ϝ, hvorfor ∈℧ . Denomvendte ∈℧ ⟹ ∈℧ vise på tilsvarende måde. Vi kan nu betragte strukturen℧\∽,∈℧, ℧

. Lad der til alle

∈ ℧ være knyttet et konstantsymbol

. Vi kan da betragte

et sprog ℒ℧\∽, der består af disse konstanter.Lad nu være et konstantsymbol i ℒ. Vi vil i℧\∽,∈℧, ℧27 tolke dette symbol somækvivalensklassen for funktionen : → givet ved at (husk atkonstantsymbolet er det samme som elementet i ). Lad , være henholdsvis enterm og formular i ℒ. Såfremt vi i enhver af disse erstatter alle konstantsymboler med27 Vi kan i disse to sprog erstatte formularen ∀ ∈ : med ∀:


45/68


SVEND ERIK FJORD 45

konstantsymbolet for de tilknyttede ækvivalensklasser får vi henholdsvis en term ∼ og enformular ∼ i ℒ℧\∽.Da gælder ⊨ ⟺ ℧ ⊨ ∼ ℧\∽,∈℧, ℧ er hvad vi kalder en abstrakt model for ikke-standard universet. Den har tobagdele

1.

det er ikke en model i mængdeteorien

2. vi får kun de indre mængder

Derfor indlejres ℧\∽,∈℧, ℧ også i en superstruktur.


46/68


SVEND ERIK FJORD 46

Appendiks

Logik

SyntaksI det følgende betegner et univers. For ethvert element ∈ vil vi knytte et konstantsymbol der angiver navnet på . Vi antager at ⟺ . Vi lader nu {| ∈ }.Vi vil af notationsmæssige årsager skrive for både elementet samt navnet påelementet .Et sprog ℒ vil i det følgende bestå af nedenstående symboler

1. konstanterne i

:

, , ,… , , , ,…

2.

en tællelig mængde af variable: , ,… … , , , , . . 3. relations symboler: ∈, 4. logiske symboler: ∧,¬,∃ 5.

funktions symbol: ↾ 6. separations symboler: , ∶ 〈 〉

Ved et ord over ℒ vil vi forstå en streng af symboler … . . To ord … . og … . anses for ens hvis og kun hvis og for alle 1, …, .Med ⊡ betegnes det tomme ord.Ved et del ord forstås et ord af formen + … , + , hvor 1 ≤ ≤, 0 ≤ ≤ . Med Σ betegner vi mængden af ord over ℒ.Lad . . og … være to ord. Ved forstår vi ordet . . … .Sammensætningen af flere ord defineres så som

.

Lad , og være ord. Betragt ordet . kaldes et præfiks af medens kaldes etsuffiks. Hvis ≠⊡ kaldes et ægte præfiks.Ved mængden af termer forstår vi den mindste mængde af ikke tomme ord ℸ ⊆ Σ således

1.

∈ ℸ for alle konstanter 2.

∈ ℸ for alle variable

3. 〈, 〉 ∈ ℸ for termer og


47/68


SVEND ERIK FJORD 47

4. ↾ ∈ ℸ for termer og

Bemærkning 1.1

Ser vi på reglerne for opbygning af termer ses det let at alle termer har det samme antal′′ og ′′samt samme antal ′⟨′ og ′⟩′. Længden af termer, der hverken er en konstant ellervariabel ses let at være mindst 5. Termer af længder mindst 5 ses desuden at indeholde

mindst en ′′ og/eller mindst en ′⟨′ .Lemma 1.2

Lad ordet være et ægte præfiks af termen . Der gælder nua.

Hvis indeholder ′′ eller ’′ vil indeholde flere ′′ end ′′ b. Hvis indeholder ′⟨′ eller ′ ⟩′ vil indeholde flere ′⟨′ end ′ ⟩′

Bevis

Vi bemærker at hverken kan være en variabel eller en konstant28. Som bevis benytter viinduktion på længden af termer. Lad os først se på termer af længde 5. Disse er enten

〈, 〉 eller ↾ , hvor , enten er en variabel eller en konstant. For disse termer ses a.samt b. let at gælde. Antag nu at a. og b. gælder for termerne og . Vi skal så vise ata. og b. også gælder for termerne 〈, 〉 og ↾ . Lad os se på termen ↾ . Ægte præfikser er en af nedenstående: , hvor er et ægte præfiks af

↾ ↾ , hvor er et ægte præfiks af ↾ Et tælleargument og induktionsantagelsen viser nu at termen ↾ opfylder a. og b..Tilfældet 〈, 〉 vises på samme måde.28 Disse har intet ægte præfiks


48/68


SVEND ERIK FJORD 48

∎ Lemma 1.3

a.

Intet ægte præfiks af en term er termb. Lad termen være et præfiks af termen . Da er .Bevis:

Hvis et ægte præfiks er en term vil det ifølge bemærkning 1.1 ovenfor indeholde mindst et′′ eller/og mindst et ′⟨′ . Antag at det indeholder mindst et ′′. Ifølge samme bemærkning1.1 vil det indeholde lige mange ’′ og ′′. Men ifølge lemma 1.2 ovenfor vil det indeholdeflere ′′ end ′′. Hermed har vi en modstrid og præfikset kan derfor ikke være nogen term.Hvis det ikke indeholder nogen

′′ vil det indeholde et

′⟨′. Og vi kan nu anvende samme

argument til at opnå en modstrid. Dermed er a. bevist. Lad os vise b.. Hvis ≠ vil væreet ægte præfiks. Men så er det ingen term, hvilket er en modstrid. Derfor .

∎ Lemma 1.4

Lad , … , og , … , være termer og antag at … … . Da vil og for alle

1, . . , .

Bevis:

Vi vil benytte induktion på længden af strengen … . Hvis 0 er begge strenge dentomme streng og vi er færdige. Hvis 0 er vi ligeledes færdige da den tomme streng erentydig. Vi antager derfor > 0 og at lemmaet gælder for længder mindre end > 0.Derfor vil første symbol i og være ens. Der er nu fire muligheder for . Husk at deeneste termer, der starter med en konstant eller variabel er enten en konstant eller

variabel.

〈, 〉 ↾ 1.

I det første tilfælde vil . Så vil … … ⟹ … … . Vi er nufærdige ifølge induktionsantagelsen.

2.

I det andet tilfælde vil . Samme argument som ovenfor.


49/68


SVEND ERIK FJORD 49

3. I det tredje tilfælde vil det første symbol i være ⟨ hvorfor der findes termer og så 〈, 〉 Men så er at 〈, 〉 … 〈, 〉 … ⟹ , ⟩ … , ⟩ …

. Hvis ikke

vil den ene være et ægte præfiks af den anden -

hvilket ikke kan være tilfældet ifølge lemma 1.3 ovenfor. Vi får herefter efter

fjernelse af de identiske ord , og , at ⟩ … ⟩ … . Benyttes argumentetsom ovenfor har vi nu at … … . Benytter vi nu induktionsantagelsen vil 1 1 samt , 2,… .. Sammenholdes dette med at er vi færdige.

4.

Vi kan anvende samme fremgangsmåde som ovenfor. ∎ Sætning 1.5 (Entydighed af termer)

Antag at er en term. Da kan på en og kun måde skrives på en af formerne 1-4 givetovenfor.Bevis:

Det er oplagt at kan skrives på denne form. Entydigheden følger af lemma 1.3 samt oglemma 1.4.

∎ Ved mængden af formularer forstår vi den mindste mængde af strenge

ℱ ⊆ Σ således

1. Hvis , er termer vil ∈ ℱ , ∈ ∈ ℱ (atomiske formularer)2.

Hvis ∈ ℱ vil ¬ ∈ ℱ 3. Hvis , ∈ ℱ vil ∧ ∈ ℱ 4.

Hvis ∈ ℱ , ∈ ℸ , en variabel vil ∃ ∈ : ∈ ℱ Lemma 1.6

Lad

, ∈ ℱ. Antag at

er et præfiks af

i.e

. Da vil

.

Bevis

Vi viser først lemmaet for de atomiske formularer. Lad os se på ∈ . Så vi antager ∈ . Ser vi på reglerne for opbygning af formularer ses det at må have formen ∈ . Derfor ∈ ∈ . Men så vil, som ord, ∈ ∈ .Anvender vi nu lemma 1.3 ses ∈ ∈ . Heraf . Igen anvendes lemma 1.3og vi får

. Men så er

⊡ . Heraf

. Den atomiske formular

behandles på samme måde. Vi har nu vist lemmaet for atomiske formularer.


50/68


SVEND ERIK FJORD 50

Lad nu være en ikke atomisk formular. Vi antager nu at lemmaet gælder for alleformularer af længde mindre en .Hvis har formen ¬ og ses at også må have formen ¬, hvor og er formularer. Vi har nu ¬ ¬ ⟹ . Ifølge induktionsantagelsen er nu . Specielt er så ⊡. Men så er .Antag nu at har formen ′∧′′. Vi antager desuden at . Så vil starte meden hvorfor den må have formen ′∧′′, hvor ′ og ′′ er formularer. Vi samler nuop:

∧ ∧ ⟹

′∧′′ ′ ∧ ′′ Så vil enten ′ være et præfiks af ′eller omvendt. I begge tilfælde giverinduktionsantagelsen os at ′. Vi fortsætter på samme måde og får sluttelig at ′′ og ⊡. Alt i alt har vi at .Sluttelig antager vi at har formen ∃ ∈ : . Desuden antager vi . Men såstarter

med et

∃ og har derfor formen

∃′ ∈ ′:′. Vi samler igen op:

∃ ∈ : ∃′ ∈ ′: ′ ⟹ ∈ : ∈ : ⟹ ′ og ∈ : ∈ : ⟹

′ og : : Vi udnytter nu at og ′ er termer samt lemma 1.3 til at slutte at ′.

, ′ og

Vi anvender nu induktionsantagelsen igen og opnår

, ′ og , ⊡ Hermed er sætningen bevist. Sætningen giver os nedenstående sætning

∎ Sætning 1.7 (Entydighed af formularer)

Enhver formular kan på en og kun en måde skrives på en af formerne 1-4 ovenfor.

∎


51/68


SVEND ERIK FJORD 51

Entydigheden af termer og formularer gør det muligt at definere funktionerne, der angiver

variablene i termer og formularer samt antallet af fri variable i en formular.

Definition 1.81.

: ,: Ø 2. ( ): ∪,( ∈ ) ∪ 3. ¬ ≔ 4. ∧ ≔ ∪ 5. ∃ ∈ : ≔ ∪ ∪ 6. ( ∈ ) ( ) ≔ ∪ 7.

¬ ≔

8. ∧ ≔ ∪ 9. ∃ ∈ : ≔ ∪

Notation

Lad være en term. Vi skriver , , … såfremt ⊆ { , , … }.Lad være en formular. Vi skriver , , … såfremt { , , … }.Læseren er fra nu af fri til at tolke ∃ ∈ : som ∃ ∈ samt ∧ som ∧ .En variabel, der ikke er fri kaldes bunden. Såfremt indeholder som fri variabel vil væreen bunden variabel i ∃ ∈ : .Definition 1.9

Ved mængden af lukkede termer forstår vi

ℸ { ∈ ℸ| Ø} Ved mængden af sætninger forstår viℱ { ∈ ℱ | Ø} Eksempel

1. ∃ ∈ : [( ↾ 〈, 〉 ) ∧ ¬ ] 2. ∃ ∈ : ∃ ∈ : ( ↾ ) 3. ∧ ∃ ∈ : ∈


52/68


SVEND ERIK FJORD 52

4. ∧ ∃ ∈ : ∈ ( ) ∪(∃ ∈ : ∈ ) , ∪( ∈ ) , ∪ , , .5.

(∃ ∈ : [( ↾ 〈, 〉 ) ∧ ¬ ])∗ ∃ ∈ ∗ : [( ↾ 〈, 〉 ) ∧ ¬ ∗ ]

6. ∃ ∈ :∃ ∈ : ( ↾ )∗ ∃ ∈ ∗ : ∃ ∈ ∗ : ( ↾ )

7. ( ∧ ∃ ∈ : ∈ ) ∗ ∧ ∃ ∈ ∗ : ∈ Semantik

Da vi har vist entydighed for både termer og formularer i ℒ kan vi definere hvordantermer og formularer skal fortolkes i vores univers

.

Enhver konstant skal tolkes som det element ∈ som det navngiver.Bemærkning 1.10

Vi definerer

1.

∨ ≡ ¬¬ ∧ ¬ 2. → ≡ ¬ ∧ ¬ 3.

⟷ ≡ [ → ∧ → ]

4. ∀ ∈ : ≡ ¬∃ ∈ : ¬

Vi vil nu definere fortolkningen af termer. Lad ( , , … ) ∈ og lad , , … være en term. Vi vil gerne opfatte som en funktion : → . Lad være en undertermaf . Ved ′ værdi i punktet ⃗ ( , , … ) forstås værdien ⃗ givet ved29

1.

hvis en konstant2.

hvis

en variabel

3. 〈⃗, ⃗〉 hvis 〈, 〉

4. ⃗ ↾ ⃗hvis ↾

29

Bemærk at universer er lukkede med hensyn til 〈 〉 og ↾. Derfor vil : → være en afbildningind i .


53/68


SVEND ERIK FJORD 53

Vi definerer nu funktionen ved at ⃗ ↦ ⃗ . Er denne funktion veldefineret er det førstespørgsmål vi må stille. At det er tilfældet viser nedenstående sætning (samt entydigheden

af termer)

Sætning 1.11

Lad , , … , være en term. Lad , , … . , og , , … . , være to følger fra så ≤ og ≤ . Antag desuden at når faktisk forekommer i , , … , . Da vil(, , … . , ) , , … . ,

Bevis

Vi benytter induktion på kompleksiteten af termen .1.

Hvis er pr. definition(, , … . , ) , , … . ,

2. Hvis er og(, , … . , ) , , … . , , ≤ , ≤

3.

Hvis 〈, 〉 er(, , … . , ) 〈 (, , … . , ) , (, , … . , )〉 〈(, , … . , ), (, , … . , )〉 , , … . ,

hvor vi har brugt induktionsantagelsen.

4.

Hvis ↾ går beviset som ovenfor. ∎ Bemærkning 1.12

Hvis er en lukket term kan vi ifølge ovenstående sætning 1.10 skrive uden nogenhenvisning til

⃗.

er i dette tilfælde et element i

.


54/68


SVEND ERIK FJORD 54

Vi vil nu se på en definition, der gør enhver sætning i ℱ sand eller falsk. Lad nu være en formular, hvor de fri variable er blandt ⃗ , , . . , . Lad ⃗ , , . . , ∈

. Vi definerer nu induktivt

1. Hvis ≡ siges ⊨ ⃗ når ⃗ ⃗ 2. Hvis ≡ ∈ siges ⊨ ⃗ når ⃗ ∈ ⃗ 3.

Hvis ≡ ¬ siges ⊨ ⃗ når ⊭ ⃗ 4. Hvis ≡ ∧ siges ⊨ ⃗ når ⊨ ⃗ og ⊨ ⃗ 5. Hvis ≡ ∃ ∈ ⃗:⃗, siges ⊨ ⃗ hvis der findes ∈ ⃗ så ⊨ ,

Hvis

⊨ ⃗ siger vi at

tilfredsstiller

⃗ eller at

⃗ er sand i

.

Sætning 1.13

Lad være en formular hvis frie og bundne variable er blandt , , … , . Lad ⃗ (, , … . , ) ∈ og , , … . , ∈ være to punkter så ≤ og ≤ . Antagdesuden at når forekommer fri i . Da vil

⊨ ⃗ hviss ⊨ Bevis:

Vi benytter induktion på kompleksiteten af formularen. Vi viser kun beviset for 1. ovenfor. Vi

har nu

⊨ ⃗ når ⃗ ⃗ ⟺ ( ) ⟺ ⊨ hvor vi har benyttet sætning 1.10. ∎


55/68


SVEND ERIK FJORD 55

Relationer -ZornVi husker at en binær relation på en mængde er en delmængde af × . Vi skriver

for

, ∈ .

Definition 2.1

Lad ∼ være en binær relation på en mængde . Vi kalder ∼ en ækvivalens relationsåfremt

1.

Refleksiv: ∼ for alle ∈ 2.

Symmetrisk: ∼ hvis og kun hvis ∼ for alle , ∈ 3. Transitiv: Hvis ∼ og ∼ vil ∼ for alle ,, ∈

Lad ∈ . Ved ækvivalensklassen for forstås mængden ∈ | ∼ .Sætning 2.1

Lad ∼ være en ækvivalensrelation på . Da er | ∈ udgør da en klassedeling af .Bevis:

Da ∈ for alle ∈ er det eneste vi skal vise at ∩ når ¬ ∼ . Antag derfor at ∈ ∩ . Da vil ∼ og ∼ . Grundet symmetri vil derfor ∼ . Af transitivet fås nu ∼ hvilket er en modstrid. ∎ Definition 2.2

Lad

≤ være en binær relation på en mængde

. Vi kalder

≤ en partiel ordning såfremt

1.

Refleksiv: ≤ for alle ∈ 2.

Transitiv: Hvis ≤ og ≤ vil ≤ for alle ,, ∈ 3. Anti-symmetrisk: Hvis ≤ og ≤ vil for alle , ∈

En partiel ordning kaldes total såfremt

4. For alle , ∈ gælder enten ≤ eller ≤


56/68


SVEND ERIK FJORD 56

En delmængde ⊆ af en partiel ordnet mængde kaldes en kæde såfremt ≤ er en totalordning på .Den strenge ordning


57/68


SVEND ERIK FJORD 57

5. ∈ kaldes minimal i såfremt ingen ∈ opfylder < .6.

∈ kaldes maksimal i såfremt ingen ∈ opfylder < .7.

∈ kaldes infimum for

såfremt

for alle nedre grænser

for

.

8. ∈ kaldes supremum for såfremt for alle øvre grænser for .

Zorns lemma 2.6

Lad ,≤ være en partiel ordnet mængde. Hvis enhver ikke tom kæde i har en øvregrænse vil indeholde et element, der er maksimalt.Udvalgsaksiomet 2.7

Lad være en ikke tom mængde. Da findes en funktion : → så ∈ for alle ∈

FiltreDefinition 3.1

Vi ved at mængderne 2ℕ og 2 ℕ 1 har samme kardinalitet. De indeholder det sammeantal elementer. Filtre giver os en anden måde at måle størrelser på. Mængder er enten

store eller små. Vi skal senere se på de såkaldte ultrafiltre. Et sådant filter vil eksempelvis

måle 2ℕ som stor og 2 ℕ 1 som lille.Lad være en ikke tom mængde. Ved et filter Ϝ på forstår vi en delmængde af somopfylder

1.

∈ Ϝ 2. Ø ∉ Ϝ 3.

Hvis ∈ Ϝ og ⊆ vil også ∈ Ϝ 4. Hvis

, ∈ Ϝ vil også

∩ ∈ Ϝ

Definition 3.2

Lad ℬ være en familie af delmængder af . Vi siger at ℬ har fip-egenskaben hvis enhverendelig delfamilie har ikke tomt snit. Bemærk så kan Ø ∉ ℬ.Lemma 3.3

Lad

ℬ være en familie af delmængder af

med fip-egenskaben. Lad


58/68


SVEND ERIK FJORD 58

Ϝ ⊆ |∃, . . , ∈ ℬ: ∩ … ∩ ⊆ Da er Ϝ det mindste filter, der indeholder ℬ. Hvis ℬ ikke har fip-egenskaben findes der intetfilter, der indeholder

ℬ. Vi sige at

ℬ generere filtret

Ϝ.

Bevis:

At Ϝ er et fi lter er lige ud ad landevejen. Antag nu at ℬ ikke har fip-egenskaben. Da kandet ikke være indeholdt i nogen filter - egenskab 4. ville i såfald give os at filtret indeholder

den tomme mængde.

∎ Definition 3.4

Et filter Ϝ på kaldes maksimal hvis der for ethvert andet filter ℇ på gælder ¬Ϝ ⊂ ℇ Definition 3.5

Et filter Ϝ på kaldes et ultrafilter såfremt ∀ ∈ : ∈ Ϝ eller ∈ Ϝ Definition 3.6

Et filter

Ϝ på

kaldes primisk såfremt

∀, ⊆ med

∪ ∈ Ϝ vil enten

∈ Ϝ eller

∈ Ϝ

Sætning 3.7

Det at være et ultrafilter, et maksimal filter eller et primisk filter er ækvivalent

Bevis:

Antag først at Ϝ er et ultrafilter. Antag desuden , ∉

Bachelor 2016 Sef

Documents

Transcript of Bachelor 2016 Sef