www.online.lyceo.nl

2.2  Integraalrekening

Wiskunde B – VWO

2. Differentiaal‐ en integraalrekening

Presentatie Lyceo Online www.online.lyceo.nl

Onderwerpen Wiskunde B

Wiskunde B

1. Functies en grafieken

2. Differentiaal‐ en integraalrekening

3. Goniometrischefuncties

4. Voortgezettemeetkunde

Presentatie Lyceo Online www.online.lyceo.nl

Onderwerpen Wiskunde B

Wiskunde B

1. Functies en grafieken

1.1 Standaardfuncties

1.2 Functies, grafieken, vergelijkingen en ongelijkheden

2. Differentiaal‐ en integraalrekening

2.1 Differentiaal‐rekening

2.2 Integraalrekening

3. Goniometrischefuncties

3.1 Goniometrische functies

3.2 Parameter‐krommen

4. Voortgezettemeetkunde

4.1 Bewijzen in de vlakke meetkunde

4.2 Afstanden en conflictlijnen

Presentatie Lyceo Online www.online.lyceo.nl

Riemannsom

• Riemannsom benadert oppervlakte onder de grafiek f(x):

• Of in som notatie: y‐as

x‐as

1x 2x kx nxxΔ

)x(f

Δx)f(x...Δx)f(xΔx)f(xe oppervlakt n ⋅++⋅+⋅≈ 21

∑=

⋅≈n

kk Δx)f(xe oppervlakt

1

Presentatie Lyceo Online www.online.lyceo.nl

Integraal

• Als Δx→0 krijg je een integraal:

• Notatie: integraal van f(x) is F(x):

∫=b

a

f(x)dxe oppervlakt

F(a)F(b)[F(x)]f(x)dx

F(x)f(x)dx

ba

b

a

−==

+=

∫

∫ constante

Presentatie Lyceo Online www.online.lyceo.nl

Integraal

F(a)F(b)[F(x)]f(x)dx ba

b

a

−==∫ 22xf(x) =

Presentatie Lyceo Online www.online.lyceo.nl

Standaard Integralen

Wiskunde B – vwo

Presentatie Lyceo Online www.online.lyceo.nl

Standaard integralen

Functie Integraal

nxf(x) =

0ln ≠+= c,   xxF(x)11 −== xx

f(x)

111

1−≠+

+= ,   nnxn

F(x)

(x)f(x) sin=

(x)f(x) cos=

c(x)F(x) +−= cos

c(x)F(x) += sin

constanteeenisc

Denk eerst zelf!

Druk op      !

Presentatie Lyceo Online www.online.lyceo.nl

Standaard integralen

Functie Integraal

nxf(x) =

0ln ≠+= c,   xxF(x)11 −== xx

f(x)

111

1−≠+

+= ,   nnxn

F(x)

(x)f(x) sin=

(x)f(x) cos=

c(x)F(x) +−= cos

c(x)F(x) += sin

constanteeenisc

Presentatie Lyceo Online www.online.lyceo.nl

Standaard integralen

Functie Integraal 

0>= ,   gxgf(x) cxg(g)

F(x) +⋅=ln1

xef(x) = cxeF(x) +=

(x)f(x) ln= cx(x)xF(x) +−= ln

10log ≠>= ,a(x),   aaf(x) cx)(x)(x(x)

F(x) +−⋅⋅= lnln1

constanteeenisc

Denk eerst zelf!

Druk op      !

Presentatie Lyceo Online www.online.lyceo.nl

Standaard integralen

Functie Integraal 

0>= ,   gxgf(x) cxg(g)

F(x) +⋅=ln1

xef(x) = cxeF(x) +=

(x)f(x) ln= cx(x)xF(x) +−= ln

10log ≠>= ,a(x),   aaf(x) cx)(x)(x(x)

F(x) +−⋅⋅= lnln1

constanteeenisc

Presentatie Lyceo Online www.online.lyceo.nl

Toepassingen

Wiskunde B – vwo

Presentatie Lyceo Online www.online.lyceo.nl

Oppervlakte en lengte

• Oppervlakte onder f(x) tussen a en b: 

• Lengte van de grafiek f(x) tussen a en b:

∫=b

a

f(x)dxO

dx(x))f(Lb

a∫ ′+= 21

Presentatie Lyceo Online www.online.lyceo.nl

y‐as

x‐as

)x(f

a b

Omwentelen om x‐as

Formule voor de inhoud van het omwentelingslichaam 

van f om de x‐as, tussen a en b:

dx(f(x))πIb

a∫= 2

Presentatie Lyceo Online www.online.lyceo.nl

Omwentelen om y‐as

Inhoud door f(x) om de y as te wikkelen, tussen x=a en x=b

1. Herschrijf y=f(x) naar x=g(y) (x uitdrukken in y)

2. Bepaal grenzen p en qmet: p=f(a) en q=f(b)

3. Bepaal inhoud met:

y‐as

x‐as

a b

dy(g(y))πIq

py ∫= 2

)x(f

Presentatie Lyceo Online www.online.lyceo.nl

Omwentelen om y‐as

y‐as

x‐as

Presentatie Lyceo Online www.online.lyceo.nl

Oppervlakte tussen grafieken

Oppervlakte begrensd door twee grafieken:

1. Schets grafieken

2. Bepaal snijpunten a en bmet f(x)=g(x) 

3. Bereken oppervlakte met:

ba

b

a

b

a

G(x)][F(x)g(x))dx(f(x)O

 )dx  ( O

−=−=

−=

∫

∫ grafiek  OndersteBovenste

y‐as

x‐as

)x(f

)x(g

Presentatie Lyceo Online www.online.lyceo.nl

Integraal regelsWiskunde B – vwo

Presentatie Lyceo Online www.online.lyceo.nl

Omgekeerde kettingregel

Functie Integraal

Voorbeeld:

f(g(x))h(x) = F(g(x))(x)g

H(x)′

=1

223 )x(h(x) += ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅⋅= 323

31

31

)x(H(x)

Presentatie Lyceo Online www.online.lyceo.nl

Tips & Tricks

Wiskunde B – vwo

Presentatie Lyceo Online www.online.lyceo.nl

• Als er staat geef een integraal, dan hoef je de +c niet toe te voegen

• Als er staat geef de integraal, dan moet je de +c er aan toevoegen 

Tips & Tricks

Presentatie Lyceo Online www.online.lyceo.nl

Samenvatting

Het volgende is behandeld:

• Toepassingen

• Standaard integralen

• Integraal regels

• Tips & Tricks

Presentatie Lyceo Online www.online.lyceo.nl

Lyceo – Vergroot je kans van slagen!

Lyceo biedt begeleiding en training voor iedere scholier!

• Examentraining – ga naar www.lyceo.nl

• Huiswerkbegeleiding – ga naar www.huiswerkklasdelft.nl

• Online training – ga naar lyceo.memotrainer.nl

Partners van Lyceo: