Discrete dynamische modellen

Puzzelen met rijtjesOrientatie

Algebraisch

Numeriek

Rijen en reeksen

Differentie vergelijkingen

Stelsels differentie vergelijkingen

Algebraisch/

numeriek

Maak de volgende rijtjes af:

a. 2 – 4 – 6 – 8 – 10 -

b. 1 – 2 – 4 – 8 – 16 -

c. 1 – 2 – 5 – 14 – 41 -

d. 1 – 4 – 9 – 16 - 25 -

e. 1 – 1 – 2 – 3 – 5 -

f. 2 – 3 – 5 – 7 – 11 -

g. 3 – 1 – 4 – 1 – 5 -

h. 1 – 3 – 6 – 10 -

Puzzelen met rijtjes

Antwoord:

a. 2 – 4 – 6 – 8 – 10 –

Puzzelen met rijtjes

Antwoord:

a. 2 – 4 – 6 – 8 – 10 – 12 – 14

want:

Puzzelen met rijtjes

1 12 met 2 (Recursieve formule)

of

2 (Directe formule)

n n

n

a a a

a n

Antwoord:

b. 1 – 2 – 4 – 8 – 16 –

Puzzelen met rijtjes

Antwoord:

b. 1 – 2 – 4 – 8 – 16 – 32 – 64

want:

Puzzelen met rijtjes

1 1

1

2 met 1 (Recursieve formule)

of

2 (Directe formule)

n n

nn

a a a

a

Antwoord:

c. 1 – 2 – 5 – 14 – 41 –

Puzzelen met rijtjes

Antwoord:

c. 1 – 2 – 5 – 14 – 41 – 122 - 365

want:

Puzzelen met rijtjes

1 13 1 met 1 (Recursieve formule)

of

1(3 3) (Directe formule)

6

n n

nn

a a a

a

Antwoord:

d. 1 – 4 – 9 – 16 - 25 –

Puzzelen met rijtjes

Antwoord:

d. 1 – 4 – 9 – 16 - 25 – 36 – 49

want:

Puzzelen met rijtjes

2

1 2

2

( 1)(Recursieve formule)

of

(Directe formule)

n n

n

na a

n

a n

Antwoord:

e. 1 – 1 – 2 – 3 – 5 –

Puzzelen met rijtjes

Antwoord:

e. 1 – 1 – 2 – 3 – 5 – 8 – 13 – 21 - 34

want:

Puzzelen met rijtjes

1 1 (Recursieve formule)

in Woord formule:

nieuw getal is som twee vorige getallen

Er bestaat ook een Directe formule

n n na a a

Antwoord:

f. 2 – 3 – 5 – 7 – 11 –

Puzzelen met rijtjes

Antwoord:

f. 2 – 3 – 5 – 7 – 11 – 13 – 17 – 23 - 29

want:

Puzzelen met rijtjes

in Woord formule:

nieuw getal is volgende priemgetal

Er bestaat geen Directe formule en

ook geen Recursieve formule

Antwoord:

g. 3 – 1 – 4 – 1 – 5 –

Puzzelen met rijtjes

Antwoord:

g. 3 – 1 – 4 – 1 – 5 – 1 – 6 – 1 – 7

want:

Puzzelen met rijtjes

in Woord formule:

nieuw getal is vorige getal :3 +3 :4 +4 :5 +5 enz.

of

Antwoord:

g. 3 – 1 – 4 – 1 – 5 – 9 – 2 – 6 – 5

want:

Puzzelen met rijtjes

in Woord formule:

nieuw getal is volgende decimaal van

Antwoord:

h. 1 – 3 – 6 – 10 –

Puzzelen met rijtjes

Antwoord:

h. 1 – 3 – 6 – 10 – 15 – 21 – 28 -36

want:

Puzzelen met rijtjes

n+1 n 1

2

n+1

a =a +n met a =1 (Recursieve formule)

Verschil is 1, 2, 3, 4, enz. (Woordformule)

( )a = ( Directe formule)

2

n n

of

Antwoord:

h. 1 – 3 – 6 – 10 – 12 – 6 – -17 – -69

want:

Puzzelen met rijtjes

4 2n+1

1a = ( 10 31 54 24)

8( Directe formule)

n n n n

of

Antwoord:

h. 1 – 3 – 6 – 10 – 15 – 21 – 25 – 27

want:

Puzzelen met rijtjes

n+1a ="aantal manieren om ogen te

gooien met drie dobbelstenen"

(Woord formule)

n

Conklusie:

Er zijn altijd een heleboel manieren om een rijtje getallen af te maken. Alleen liggen sommige manieren minder voor de hand dan andere.

We beperken ons verder tot reeksen van getallen die door een recursieve formule worden beschreven.

Puzzelen met rijtjes

Recursieve formules kunnen in de GR worden ingevoerd. bv. 1 03 2 met 1n na a a

Puzzelen met rijtjes

Rijen en reeksenEnkele bijzondere rijen

1.Rekenkundige rij

2.Meetkundige rij

3. “1e orde differentievergelijking”

4.Fibonacci reeks

5.Som rijen

1n nu u v

1n nu r u

1n nu a u b

1 2n n nu u u

1n n nS S u

Rijen en reeksen

1. Rekenkundige rij

Voorbeeld 3,10,17,24,31,38

Recursieve formule

Directe formule

1n nu u v

0nu u v n

Enkele bijzondere rijen

Rijen en reeksen

2. Meetkundige rij

Voorbeeld 3,6,12,24,48,96

Recursieve formule

Directe formule

1n nu r u

0n

nu u r

Bijzondere rijen

Rijen en reeksen

3. Lineaire differentievergelijking van de 1e orde

(Mengvorm van meetkundige en rekenkundige rij)

Voorbeeld 2, 5, 14, 41,121…..

Recursieve formule

Directe formule(Bewijs komt later)

1n nu a u b

nnu P a Q

Bijzondere rijen

Rijen en reeksen

Gegeven de recursieve formule

met u0=2 dus de rij 2, 5, 14, 41, 122 enz.

De Directe formule

is dan te vinden door 2 getallen in te vullen.

13 1n nu u

3nnu P Q

1

22

2 3

1 15 3

2 21

(3 1)2

nn

u P Q

u P Q P Q

u

Rijen en reeksen

4. Fibonacci reeks“Lineaire differentievergelijking van de 2e orde”

Voorbeeld 1,1,2,3,5,8,13,21,34

Recursieve formule

Directe formule de formule van Binet (Zonder bewijs)

1 2n n nu u u

1 1 1 12 2 2 2( 5) ( 5)

5 5

n n

nu

Bijzondere rijen

Rijen en reeksenBijzondere rijen

0 1 2, , , ..... nu u u u

0 1 2 .....n nS u u u u

5. Som rijen

Gegeven de rij

Wat is dan de som

Recursief geschreven

maar bij Som rijen willen we een Directe formule!

1n n nS S u

Rijen en reeksenBijzondere somrijen

a) Som van de rekenkundige reeks

b) Som van de meetkundige reeks

c) Som van de lineaire differentievergelijking van de 1e orde

d) De harmonische reeks

e) De reeks van Euler

f) De reeks van Leibniz

g) De halverings reeks

Rijen en reeksenBijzondere somrijen

Som van de rekenkundige reeks

Hoe tel je alle termen van een rekenkundige reeks bij elkaar op?

Schrijf de reeks er omgekeerd onder! (blz. 116/117)

Gegeven de rekenkundige rij

Dan geldt:

nu

0

1( 1) ( )

2n nS n u u

Rijen en reeksenBijzondere somrijen

Som van de meetkundige reeks

Hoe tel je alle termen van een meetkundige reeks bij elkaar op?

Schrijf de reeks er nog eens onder maar dan alles maal r. Trek ze van elkaar af. (blz. 121)

Gegeven de meetkundige rij

Dan geldt:

1n nu r u

10 1

0

1

1 1

nn

n

u urS u

r r

Rijen en reeksenTussendoor…..

Bewijs voor de directe formule voor de lineaire differentievergelijking van de 1e orde

1n nu a u b Als dan ziet de rij er uit als:

20 0 0

3 20

2 3 10

, , ,

, ... .

(1 ..... )n nn

u a u b a u a b b

a u a b a b b enz

u u a b a a a a

Rijen en reeksenTussendoor…..

Bewijs voor de directe formule voor de lineaire differentievergelijking van de 1e orde

0 0

1( )

1 1 1

dus

nn n

n

nn

a b bu u a b u a

a a a

u P a Q

Rijen en reeksenBijzondere somrijen

De harmonische reeks

1 1 1 1 1......

1 2 3 4 5nS Definitie:

De harmonische reeks komt in allerlei problemen voor.

Zoals “De slak en de geit” of “Bruggen bouwen”

Rijen en reeksenBijzondere somrijen

De harmonische reeks

1 1 1 1 1......

1 2 3 4 5nS Definitie:

In de 14e eeuw ontdekte Nicole Oresme dat de som willekeurig groot kan worden!

Maar dat duurt wél even…

Als je de 20 wilt halen moet je 250 miljoen termen optellen. Als je de 100 wilt halen moet je 1,5 x 1043 termen optellen. Over traag gesproken...............

Rijen en reeksenBijzondere somrijen

De harmonische reeks divergeert!

Het bewijs van Nicole Oresme:

8

8

2

1 1 1 1 1 1 11 ( ) ( )

2 3 4 5 6 7 81 1 1 1 1 1 1 1

1 ( ) ( ) 1 32 4 4 8 8 8 8 2

1Algemeen: 1

2k

S

S

S k

Rijen en reeksenBijzondere somrijen

De reeks van Euler

Definitie:

Het was de broers Jakob en Johan Bernouilli rond 1700 al bekend dat deze reeks niet divergeert maar naar een vaste waarde nadert.

Het duurde tot 1730 tot Euler aantoonde:

2 2 2 2 2

1 1 1 1 1......

1 2 3 4 5nS

2

2 2 2 2 2 21

1 1 1 1 1 1......

1 2 3 4 5 6k

Sk

Rijen en reeksenBijzondere somrijen

De reeks van Gregory-Leibniz

(En waarschijnlijk al bekend in Indie in de 14e eeuw)

Voor berekeningen van π is deze reeks niet geschikt. Het convergeert heel langzaam.

0

( 1) 1 1 1 11 ......

2 1 3 5 7 9 4

k

k

Sk

Rijen en reeksenBijzondere somrijen

De halverings reeks

Definitie:

Dit is een gewone meetkundige reeks.

Volgens de somformule voor meetkundige reeksen nadert de uitkomst naar

1 1 1 11 ......

2 4 8 16nS

11 02 met =1 n nu u u

112

12

1 ( )lim 2

1

n

nS

Rijen en reeksenBijzondere somrijen

is terug te vinden in de “Boom van Pythagoras”

Rijen en reeksenBijzondere somrijen

a) Som van de rekenkundige reeks

b) Som van de meetkundige reeks

c) Som van de lineaire differentievergelijking van de 1e orde

d) De harmonische reeks

e) De reeks van Euler

f) De reeks van Leibniz

g) De halverings reeks