V-1a y x Uitgevers -...

22
69 © Noordhoff Uitgevers bv Hoofdstuk 10 - Grafieken, vergelijkingen en ongelijkheden Hoofdstuk 10 - Grafieken, vergelijkingen en ongelijkheden Voorkennis V-1a Zie de grafiek hiernaast. b 2 3 8 1 2 x + = 2 5 1 2 x = x = 2 c = 1 2 6 8 x = 1 2 14 x x =−28 d 2 3 6 1 2 1 2 x x + =− 3 9 x =− x =−3 e f ( ) = ⋅− + =− 3 2 3 3 4 1 2 1 2 ; g( ) =− 3 4 1 2 Het snijpunt is ( , ) 3 4 1 2 . V-2a x x 2 3 4 0 = ( )( ) x x + = 4 1 0 x x = + = 4 0 1 0 of x x = =− 4 1 of b x x 2 3 4 6 = x x 2 3 10 0 = ( )( ) x x + = 5 2 0 x x = + = 5 0 2 0 of x x = =− 5 2 of V-3a ( ) x + = 7 0 2 x + 7 = 0 x = –7 b ( ) x + = 7 16 2 ( ) x + = 7 5 2 x + 7 = 4 of x + 7 = –4 x + = 7 5 of x + =− 7 5 x = –3 of x = –11 x =− + 7 5 of x =− 7 5 V-4a Parabool p 1 is een dalparabool, daar hoort functie f bij. Immers het getal voor x 2 is positief. b Parabool p 1 snijdt de xas in (–1, 0) en (3, 0). f(–1) = (–1) 2 – 2 × –1 – 3 = 1 + 2 – 3 = 0, klopt f(3) = 3 2 – 2 × 3 – 3 = 9 – 6 – 3 = 0, klopt c x 2 x + 1 = 0 a = –1, b = –1 en c = 1 geeft D = (–1) 2 – 4 × –1 × 1 = 1 + 4 = 5 x = −− + ⋅− ≈− ( ) , 1 5 2 1 1 62 of x = −− ⋅− ( ) , 1 5 2 1 0 62 De snijpunten met de x-as zijn (–1,62; 0) en (0,62; 0). 2 4 1 –1 –2 –3 3 10 8 6 4 2 –2 –4 –6 –8 –10 x y O 12 14 16 5 –4 –5 f

Transcript of V-1a y x Uitgevers -...

Page 1: V-1a y x Uitgevers - wiskunde.stmichaelcollege.nlwiskunde.stmichaelcollege.nl/mw/3v/06_MW9_3B_vwo_uitw_H10.pdf · Hoofdstuk 10 - Grafieken, vergelijkingen en ongelijkheden 27a x >

⁄69© Noordhoff Uitgevers bv

Hoofdstuk 10 - Grafieken, vergelijkingen en ongelijkheden

Hoofdstuk 10 - Grafieken, vergelijkingen en ongelijkheden

Voorkennis

V-1a Zie de grafiek hiernaast. b 2 3 81

2 x + = 2 51

2 x = x = 2 c − − =1

2 6 8x − =1

2 14x x = −28 d 2 3 61

212x x+ = − −

3 9x = − x = −3 e f ( )− = ⋅ − + = −3 2 3 3 41

212 ; g( )− = −3 4 1

2

Het snijpunt is ( , )− −3 4 12 .

V-2a x x2 3 4 0− − = ( )( )x x− + =4 1 0 x x− = + =4 0 1 0of x x= = −4 1of b x x2 3 4 6− − = x x2 3 10 0− − = ( )( )x x− + =5 2 0 x x− = + =5 0 2 0of x x= = −5 2of

V-3a ( )x + =7 02

x + 7 = 0 x = –7 b ( )x + =7 162 ( )x + =7 52

x + 7 = 4 of x + 7 = –4 x + =7 5 of x + = −7 5 x = –3 of x = –11 x = − +7 5 of x = − −7 5

V-4a Parabool p1 is een dalparabool, daar hoort functie f bij. Immers het getal voor x2 is positief.

b Parabool p1 snijdt de xas in (–1, 0) en (3, 0). f(–1) = (–1)2 – 2 × –1 – 3 = 1 + 2 – 3 = 0, klopt f(3) = 32 – 2 × 3 – 3 = 9 – 6 – 3 = 0, klopt c –x2 – x + 1 = 0 a = –1, b = –1 en c = 1 geeft D = (–1)2 – 4 × –1 × 1 = 1 + 4 = 5

x = − − +⋅ −

≈ −( ),

1 52 1

1 62 of x = − − −⋅ −

≈( ),

1 52 1

0 62

De snijpunten met de x-as zijn (–1,62; 0) en (0,62; 0).

2 41–1–2–3 3

10

8

6

4

2

–2

–4

–6

–8

–10

x

y

O

12

14

16

5–4–5

f

0pm_MW9_VWO_3B-Uitw.indd 69 01-04-2009 16:38:14

© N

oord

hoff U

itgev

ers

bv

Page 2: V-1a y x Uitgevers - wiskunde.stmichaelcollege.nlwiskunde.stmichaelcollege.nl/mw/3v/06_MW9_3B_vwo_uitw_H10.pdf · Hoofdstuk 10 - Grafieken, vergelijkingen en ongelijkheden 27a x >

⁄70© Noordhoff Uitgevers bv

Hoofdstuk 10 - Grafieken, vergelijkingen en ongelijkheden

d –x2 – x + 1 = 1 x2 –2x – 3 = 12 –x2 –x = 0 x2 – 2x – 15 = 0 –x(x + 1) = 0 (x – 5)(x + 3) = 0 –x = 0 of x + 1 = 0 x – 5 = 0 of x + 3 = 0 x = 0 of x = –1 x = 5 of x = –3

V-5a x2– 11x – 26 = 0 d 3x + 2 = –2(x + 3) (x – 13)(x + 2) = 0 3x + 2 = –2x – 6 x – 13 = 0 of x + 2 = 0 5x = –8 x = 13 of x = –2 x = –1,6 b 3(x – 1) = 6x e x2 + x = 12 3x – 3 = 6x x2 + x – 12 = 0 –3 = 3x (x + 4)(x – 3) = 0 x = –1 x + 4 = 0 of x – 3 = 0 c 7x + 1 = –x2 x = –4 of x = 3 x2 + 7x + 1 = 0 f 3x2 = 2x(x – 1) a = 1, b = 7, c = 1 geeft 3x2 = 2x2 – 2x D = 72 – 4 × 1 × 1 = 45 x2 + 2x = 0

x = − +⋅

≈ −7 452 1

0 15, of x(x + 2) = 0

x = − −⋅

≈ −7 452 1

6 85, x = 0 of x + 2 = 0

x = 0 of x = –2

V-6a x – 2 = –x2 + 10 x2 + x – 12 = 0 (x + 4)(x – 3) = 0 x + 4 = 0 of x – 3 = 0 x = –4 of x = 3 b f(–4) = –4 – 2 = –6, g(–4) = –(–4)2 + 10 = –16 + 10 = –6 dus y = –6 f(3) = 3 – 2 = 1, g(3) = –32 + 10 = –9 + 10 = 1 dus y = 1

V-7a 3 3 612

12x x+ = − +

4x = 3 x = 0,75; f ( , ) ,0 75 5 625= ; g( , ) ,0 75 5 625= Het snijpunt is (0,75; 5,625). b − + = +1

2 6 2 2x x( ) 3 3 2 212 x x+ = +( )

− + = +12 6 2 4x x 3 3 2 41

2 x x+ = +

− = −2 212 x 1 11

2 x =

x = 0,8; g( , ) ,0 8 5 6= ; h( , ) ,0 8 5 6= x = 23 ; f ( )2

3135= ; h( )2

3135=

Het snijpunt is (0,8; 5,6). Het snijpunt is ( , )13

135 .

0pm_MW9_VWO_3B-Uitw.indd 70 01-04-2009 16:38:17

© N

oord

hoff U

itgev

ers

bv

Page 3: V-1a y x Uitgevers - wiskunde.stmichaelcollege.nlwiskunde.stmichaelcollege.nl/mw/3v/06_MW9_3B_vwo_uitw_H10.pdf · Hoofdstuk 10 - Grafieken, vergelijkingen en ongelijkheden 27a x >

⁄71© Noordhoff Uitgevers bv

Hoofdstuk 10 - Grafieken, vergelijkingen en ongelijkheden

V-8 A ← ], 3

B − →3,

C −[ ]1 4,

D −1 4,

V-9a 3x + 2 > 11 d 3x – 16 > 5 3x + 2 = 11 3x – 16 = 5 3x = 9 3x = 21 x = 3 x = 7

1

f f = g g

52 43

5

f f = g g

96 87

oplossing: x > 3 of 3, → oplossing: x > 7 of 7, → b 5x – 23 < 2 e − + > −1

2124 7x

5x – 23 = 2 − + = −12

124 7x

5x = 25 − = −12

1211x

x = 5 x = 23

3

g g = f f

74 65

21

g g = f f

2522 2423

oplossing: x < 5 of ←, 5 oplossing: x < 23 of ←, 23

c 3x < x + 16 f –2(x – 6) < 15 3x = x + 16 –2(x – 6) = 15 2x = 16 –2x + 12 = 15 x = 8 –2x = 3 x = –1,5

6

g g = f f

107 98

–3

f f = g g

0–2 –1–1,5 oplossing: x < 8 of ←, 8

oplossing: x > –1,5 of − →1 5, ;

10-1 Kwadratische ongelijkheden

1a De grootste hoogte is 20 meter. b De kogel komt na 4 seconden weer op de grond. c Na 1 seconde en na 3 seconden is de hoogte gelijk aan 15 meter. d Tussen 1 en 3 seconden is de hoogte meer dan 15 meter.

2a Bij x = –2 en x = 2 is de uitkomst gelijk aan 1. b Voor –2 < x < 2 is de uitkomst groter dan 1. c 5 – x2 = 4 x2 = 1 x = –1 of x = 1 d Voor –1 < x < 1 is f(x) > 4.

–4 –2 0 2 4 5 631–3 –1

–4 –2 0 2 4 5 631–3 –1

–4 –2 0 2 4 5 631–3 –1

–4 –2 0 2 4 5 631–3 –1

0pm_MW9_VWO_3B-Uitw.indd 71 01-04-2009 16:54:23

© N

oord

hoff U

itgev

ers

bv

Page 4: V-1a y x Uitgevers - wiskunde.stmichaelcollege.nlwiskunde.stmichaelcollege.nl/mw/3v/06_MW9_3B_vwo_uitw_H10.pdf · Hoofdstuk 10 - Grafieken, vergelijkingen en ongelijkheden 27a x >

⁄72© Noordhoff Uitgevers bv

Hoofdstuk 10 - Grafieken, vergelijkingen en ongelijkheden

e Voor x < –1 of x > 1 is f(x) < 4. f De grootste uitkomst van de functie is 5. Voor geen enkele waarde van x is f(x) > 5.

3a x2 – 2x = 0 x(x – 2) = 0 x = 0 of x – 2 = 0 x = 0 of x = 2 b/c

–2

g g = f =

2–1 10

g

3

d x = 1,5 ligt tussen x = 0 en x = 2 en is dus, net als x = 1, geen oplossing van de ongelijkheid. Net zo is x = 1,9 ook geen oplossing.

x = –7 ligt links van x = 0 en is, net als x = –1, wel een oplossing van de ongelijkheid. e De oplossing is alle waarden van x kleiner dan 0 of groter dan 2. Dus x < 0 of x > 2.

4a De bijpassende vergelijking is x2 – 4x – 5 = 0. b (x – 5)(x + 1) = 0 x – 5 = 0 of x + 1 = 0 x = 5 of x = –1 c/d

–2

f = g g g g

2–1 10 3

g

4

=

5

f

6

e De oplossing is –1 < x < 5.

5a n2 + 6n + 8 < 0 d –x2 + 2x + 3 < 4 n2 + 6n + 8 = 0 –x2 + 2x + 3 = 4 (n + 2)(n + 4) = 0 –x2 + 2x – 1 = 0 n + 2 = 0 of n + 4 = 0 x2 – 2x + 1 = 0 n = –2 of n = –4 (x – 1)(x – 1) = 0 x –1 = 0 dus x = 1

–5

f = g = f f

–1–4 –2–3 0

–1

g g = g g

30 21

oplossing: −4 2,

oplossing: alle waarden x ≠ 1 b q2 + 2q > 3 e 1

22 4 10b b− >

q2 + 2q = 3 12

2 4 10b b− = q2 + 2q – 3 = 0 b2 – 8b – 20 = 0 (q + 3)(q – 1) = 0 (b – 10)b + 2) = 0 q + 3 = 0 of q – 1 = 0 b – 10 = 0 of b + 2 = 0 q = –3 of q = 1 b = 10 of b = –2

–4

g = f f f =

0–3 –1–2 1

f

2

oplossing: ← − →, ,3 1en

oplossing: ← − →, ,2 10en

–4

g = f f f =

8–2 …0 10

g

12

0pm_MW9_VWO_3B-Uitw.indd 72 01-04-2009 16:54:25

© N

oord

hoff U

itgev

ers

bv

Page 5: V-1a y x Uitgevers - wiskunde.stmichaelcollege.nlwiskunde.stmichaelcollege.nl/mw/3v/06_MW9_3B_vwo_uitw_H10.pdf · Hoofdstuk 10 - Grafieken, vergelijkingen en ongelijkheden 27a x >

⁄73© Noordhoff Uitgevers bv

Hoofdstuk 10 - Grafieken, vergelijkingen en ongelijkheden

c r(r + 3) > 4 f 12

2 3 0w w+ < r(r + 3) = 4 1

22 3 0w w+ =

r2 + 3r – 4 = 0 w2 + 6w = 0 (r + 4)(r – 1) = 0 w(w + 6) = 0 r + 4 = 0 of r – 1 = 0 w = 0 of w = –6 r = –4 of r = 1

–5

g = f f f f

–1–4 –2–3 0

=

1

g

2

–8

f = g g = f

0–6 –2–4 2

oplossing: ← − →, ,4 1en oplossing: −6 0,

6a x2 – 1 < 1 d x2 – 5x + 3 < 17 x2 – 1 = 1 x2 – 5x + 3 = 17 x2 = 2 x2 – 5x – 14 = 0 x = − 2 of x = 2 (x – 7)(x + 2) = 0 x – 7 = 0 of x + 2 = 0 x = 7 of x = –2

–2

f = g g g

1– 2 0–1

g = f

22

–3

f = g = f

8–2 70

oplossing: − 2 2,

oplossing: −2 7,

b 2x2 + 1 < 19 e x2 – x – 1 < 1 2x2 + 1 = 19 x2 – x – 1 = 1 2x2 = 18 x2 – x – 2 = 0 x2 = 9 x2 – x – 2 = 0 x = –3 of x = 3 (x – 2)(x + 1) = 0 x – 2 = 0 of x + 1 = 0 x = 2 of x = –1

–4

f = g g g

...–3 0...

= f

43

–2

f = g g =

2–1 10

f

3

oplossing: −3 3, oplossing: −1 2,

c x2 > 64 f 2x2 < 50 x2 = 64 2x2 = 50 x = –8 of x = 8 x2 = 25 x = –5 of x = 5

–9

g = f f f =

…–8 0… 8

g

9

–6

f = g = f

6–5 50

oplossing: ← − →, ,8 8en oplossing: −5 5,

0pm_MW9_VWO_3B-Uitw.indd 73 01-04-2009 16:54:28

© N

oord

hoff U

itgev

ers

bv

Page 6: V-1a y x Uitgevers - wiskunde.stmichaelcollege.nlwiskunde.stmichaelcollege.nl/mw/3v/06_MW9_3B_vwo_uitw_H10.pdf · Hoofdstuk 10 - Grafieken, vergelijkingen en ongelijkheden 27a x >

⁄74© Noordhoff Uitgevers bv

Hoofdstuk 10 - Grafieken, vergelijkingen en ongelijkheden

7a x2 > 9 d x2 > 49 x2 = 9 geeft x = –3 of x = 3 x2 = 49 geeft x = –7 of x = 7 oplossing: x < –3 of x > 3 oplossing: x < –7 of x > 7 b x2 < 9 e x2 < –4 zie opdracht a x2 = –4 kan niet oplossing: –3 < x < 3 oplossing: geen c x2 < 36 f x2 > –4 x2 = 36 geeft x = –6 of x = 6 zie opdracht e oplossing: –6 < x < 6 oplossing: elke waarde van x

8a 3a + 10 < –2 d 6(d + 2) – 8 < 3 3a + 10 = –2 6(d + 2) – 8 = 3 3a = –12 6d + 12 – 8 = 3 a = –4 6d = –1 d = − 1

6

–6

g g = f f

–2–5 –3–4

–2

g g = f f

1–1 0– 16

oplossing: ← −, 4 oplossing: ← −, 16

b b2 – 4b – 12 > 0 e 3e2 + 2 > 2 b2 – 4b – 12 = 0 3e2 > 0 (b + 2)(b – 6) = 0 e2 > 0 b + 2 = 0 of b – 6 = 0 e2 = 0 geeft e = 0 b = –2 of b = 6

–3

g = f = g

7–2 60

oplossing: alle waarden e ≠ 0

oplossing: ← − →, ,2 6en

c c(c + 2) > 1 c(c + 2) = 1 c2 + 2c – 1 = 0 a = 1, b = 2, c = –1 D = 22 – 4 × 1 × –1 = 8

x = − − ≈ −2 82

2 41, of x = − + ≈2 82

0 41,

–1

g = f = g

3–2,41 0,410

oplossing: ← − →, , , ,2 41 0 41en

0pm_MW9_VWO_3B-Uitw.indd 74 01-04-2009 16:54:30

© N

oord

hoff U

itgev

ers

bv

Page 7: V-1a y x Uitgevers - wiskunde.stmichaelcollege.nlwiskunde.stmichaelcollege.nl/mw/3v/06_MW9_3B_vwo_uitw_H10.pdf · Hoofdstuk 10 - Grafieken, vergelijkingen en ongelijkheden 27a x >

⁄75© Noordhoff Uitgevers bv

Hoofdstuk 10 - Grafieken, vergelijkingen en ongelijkheden

10-2 Parabool en lijn

9a y = 0 b In het snijpunt zijn de waarden van de functies aan elkaar gelijk. c x x2 1

2 3 0+ − = D = 1

2

2 144 1 3 12− ⋅ ⋅ − =

x x=− +

= =− −

= −12

14 1

2

12

1412

21

12

22of

d k( )1 512

14= en l( )1 51

214= ; k( )− =2 0 en l( )− =2 0

De snijpunten zijn ( 1 512

14, ) en (–2, 0).

10a 12

2 2 1 2 5x x x− + = − 1

22 4 6 0x x− + =

x x2 8 12 0− + = (x – 2)(x – 6) = 0 x – 2 = 0 of x – 6 = 0 x = 2 of x = 6 g(2) = –1 en g(6) = 7 controle: f(2) = –1 en f(6) = 7, klopt De snijpunten zijn (2, –1) en (6, 7). b − =1

32 2x x

− − =13

2 2 0x x x x2 6 0+ = x(x + 6) = 0 x = 0 of x + 6 = 0 x = 0 of x = –6 g(0)= 0 en g(–6) = –12 controle: f(0) = 0 en f(–6) = –12 De snijpunten zijn (0, 0) en (–6, –12).

11a x2 + 3x = x + 15 x2 + 2x – 15 = 0 (x + 5)(x – 3) = 0 x + 5 = 0 of x – 3 = 0 x = –5 of x = 3 f(–5) = 10 en f(3) = 18 controle: g(–5) = 10 en g(3) = 18, klopt De snijpunten zijn (–5, 10) en (3, 18). b x(x + 2) = 2x + 9 x2 + 2x = 2x + 9 x2 = 9 geeft x = –3 of x = 3 f(–3) = 3 en f(3) = 15 controle: g(–3) = 3 en g(3) = 15, klopt De snijpunten zijn (–3, 3) en (3, 15).

c 2x2 –2x + 1 = x + 3 2x2 – 3x – 2 = 0 x2 – 1,5x – 1 = 0 (x – 2)(x + 0,5) = 0 x – 2 = 0 of x + 0,5 = 0 dus x = 2 of x = –0,5 f(2) = 5 en f(–0,5) = 2,5 controle: g(2) = 5 en g(–0,5) = 2,5, klopt De snijpunten zijn (2, 5) en (–0,5; 2,5).

0pm_MW9_VWO_3B-Uitw.indd 75 01-04-2009 16:54:32

© N

oord

hoff U

itgev

ers

bv

Page 8: V-1a y x Uitgevers - wiskunde.stmichaelcollege.nlwiskunde.stmichaelcollege.nl/mw/3v/06_MW9_3B_vwo_uitw_H10.pdf · Hoofdstuk 10 - Grafieken, vergelijkingen en ongelijkheden 27a x >

⁄76© Noordhoff Uitgevers bv

Hoofdstuk 10 - Grafieken, vergelijkingen en ongelijkheden

12a Bij x = –3 ligt de grafiek van f boven die van g. b Bij x = 0 ligt de grafiek van f onder die van g. c Bij x = 4 ligt de grafiek van f boven die van g. d Voor x = –2 en x = 3 geldt f(x) = g(x). e Voor –2 < x < 3 geldt f(x) < g(x).

13a Voor x = –1 en x = 4 geldt f(x) = g(x). b Voor x = –2 is f(x) < g(x). c Voor x = 0 is f(x) > g(x). d Voor x = 5 is f(x) < g(x). e Voor –1 < x < 4 is f(x) > g(x).

14a x2 – 3x = x – 3 x2 – 4x + 3 = 0 (x – 1)(x – 3) = 0 x – 1 = 0 of x – 3 = 0 x = 1 of x = 3 b/c

0

g = f = g

41 32

d De oplossing is x < 1 of x > 3 ofwel ← →, ,1 3en .

15a –b2 + 35 < 2b b 2x2 > 4x + 6 –b2 + 35 = 2b 2x2 = 4x + 6 –b2 – 2b + 35 =0 2x2 – 4x – 6 = 0 b2 + 2b – 35 = 0 x2 – 2x – 3 = 0 (b + 7)(b – 5) = 0 (x – 3)(x + 1) = 0 b + 7 = 0 of b – 5 = 0 x – 3 = 0 of x + 1 = 0 b = – 7 of b = 5 x = 3 of x = –1

–8

g = f = g

6–7 50

–2

g = f = g

4–1 30

oplossing: ← − →, ,7 5en oplossing: ← − →, ,1 3en

c (p + 2)(p – 1) < 2p d t2 – 7t + 8 > t + 1 (p + 2)(p – 1) = 2p t2 – 7t + 8 = t + 1 p2 –p + 2p – 2 = 2p t2 – 8t + 7 = 0 p2 – p – 2 = 0 (t – 1)(t – 7) = 0 (p + 1)(p – 2) = 0 t – 1 = 0 of t – 7 = 0 p + 1 = 0 of p – 2 = 0 t = 1 of t = 7 p = –1 of p = 2

–2

f = g = f

3–1 20

0

g = f = g

81 74

oplossing: −1 2, oplossing: ← →, ,1 7en

0pm_MW9_VWO_3B-Uitw.indd 76 01-04-2009 16:54:34

© N

oord

hoff U

itgev

ers

bv

Page 9: V-1a y x Uitgevers - wiskunde.stmichaelcollege.nlwiskunde.stmichaelcollege.nl/mw/3v/06_MW9_3B_vwo_uitw_H10.pdf · Hoofdstuk 10 - Grafieken, vergelijkingen en ongelijkheden 27a x >

⁄77© Noordhoff Uitgevers bv

Hoofdstuk 10 - Grafieken, vergelijkingen en ongelijkheden

10-3 Snijden, raken of missen

16a 2 : x < –3 en x > 1 3 : geen oplossingen 4: alle waarden van x behalve voor x = 2 b

21–1–2 3

4

3

2

1

–1

–2

–3

x

y

O 4–3

–4

5

f

g

17a − + = +x x x2 4 3 5 − + − =x x2 5 0 D D= − ⋅ − ⋅ − = − <1 4 1 5 19 02 ; ; geen snijpunten. b De grafiek van f is een bergparabool. c De grafiek van f is een bergparabool die geen snijpunten met de lineaire grafiek van

g heeft. De bergparabool ligt dan geheel onder de rechte lijn (vergelijkbaar met de grafieken bij opdracht 16b).

18a

21–1–2

4

3

2

1

–1

–2

–3

x

y

O–3

–4

5f

h

g

k

3–4

b x x x2 2 2+ = + x x2 2 0+ − = (x + 2)(x – 1) = 0 x + 2 = 0 of x – 1= 0 x = –2 of x = 1 g(–2) = 0 en g(1) = 3 De snijpunten zijn (–2, 0) en (1, 3). c x x x2 2 2 4+ = − − x x2 4 4 0+ + = ( )x + =2 02

x + 2 = 0 x = –2 dus slechts één oplossing

0pm_MW9_VWO_3B-Uitw.indd 77 01-04-2009 16:38:32

© N

oord

hoff U

itgev

ers

bv

Page 10: V-1a y x Uitgevers - wiskunde.stmichaelcollege.nlwiskunde.stmichaelcollege.nl/mw/3v/06_MW9_3B_vwo_uitw_H10.pdf · Hoofdstuk 10 - Grafieken, vergelijkingen en ongelijkheden 27a x >

⁄78© Noordhoff Uitgevers bv

Hoofdstuk 10 - Grafieken, vergelijkingen en ongelijkheden

d Zie de grafieken bij opdracht a. e x x x2 1

22 2+ = − x x2 1

21 2 0+ + = D = − ⋅ ⋅ = − <( )1 4 1 2 5 01

22 3

4 ; dus geen snijpunten.

19a A: − + = +x x x2 1 B: 2 3 6 12 12x x+ = − −

− − =x2 1 0 2 6 4 02 12x x+ + =

x2 1 0+ = D = − ⋅ ⋅ =6 4 2 4 02 12 ; één oplossing

x2 1= − ; geen oplossingen x = − + = −6 04

1 12

C: − + − = −12

2 4 8 3x x x D: x x x2 3 1 3 3+ + = +

− + − =12

2 3 5 0x x x2 2= D D= − ⋅ − ⋅ − = − <3 4 5 1 02 1

2 ;

x = − 2 of x = 2 geen oplossingen b De vergelijking heeft geen oplossingen, dus de grafieken hebben geen punten

gemeenschappelijk. c B: bordje 2 want de vergelijking heeft één oplossing C: bordje 3 want de vergelijking heeft geen oplossingen D: bordje 1 want de vergelijking heeft twee oplossingen

20a Als D > 0 dan snijdt de grafiek de x-as. b D D= − ⋅ ⋅ = − <36 4 2 5 4 0; De grafiek snijdt de x-as niet. c 2 6 5 22x x x− + = + 2 7 3 02x x− + = D = − − ⋅ ⋅ =( )7 4 2 3 252

d D > 0; de grafieken snijden elkaar.

21a x x x2 3 2 2 5+ + = − x x2 7 0+ + = D D= − ⋅ ⋅ = − <1 4 1 7 27 02 ; De grafieken hebben geen punten gemeenschappelijk. b x x x2 3 2 2 6+ + = + x x2 4 0+ − = D = − ⋅ ⋅ − =1 4 1 4 172 ; D > 0 De grafieken snijden elkaar. c − − − = +x x x2 6 5 10 1 5 6, , − − − =x x2 8 16 0 D = − − ⋅ − ⋅ − =( )8 4 1 16 02

De grafieken raken elkaar. d − − − = +x x x2 6 5 10 1 5 10, , − − − =x x2 8 20 0 D D= − − ⋅ − ⋅ − = − <( ) ;8 4 1 20 16 02

De grafieken hebben geen punten gemeenschappelijk.

0pm_MW9_VWO_3B-Uitw.indd 78 01-04-2009 16:38:37

© N

oord

hoff U

itgev

ers

bv

Page 11: V-1a y x Uitgevers - wiskunde.stmichaelcollege.nlwiskunde.stmichaelcollege.nl/mw/3v/06_MW9_3B_vwo_uitw_H10.pdf · Hoofdstuk 10 - Grafieken, vergelijkingen en ongelijkheden 27a x >

⁄79© Noordhoff Uitgevers bv

Hoofdstuk 10 - Grafieken, vergelijkingen en ongelijkheden

10-4 Bundels lijnen

22a x x2 3 5 5− + = x x2 3 0− = x(x – 3) = 0 x = 0 of x – 3 = 0 x = 0 of x = 3 De x coördinaat van de top is 1,5. f(1,5) = 2,75; De top is (1,5; 2,75). b x x2 3 3 0− + = D D= − − ⋅ ⋅ = − <( ) ;3 4 1 3 3 02

De vergelijking heeft geen oplossingen. c De y coördinaat van de top is 2,75. Dus voor p = 2,75 is er één gemeenschappelijk punt. d Voor p > 2,75 snijdt de lijn y = p de parabool in twee punten.

23a De lijn die door (5, 0) gaat lijkt de parabool te raken. x = 5 en y = 0 invullen bij y = –2x + p geeft 0 = –2 × 5 + p 0 = –10 + p dus p = 10 b − + + = − +x x x2 4 1 2 10 − + − =x x2 6 9 0 D = − ⋅ − ⋅ − =6 4 1 9 02 ; dus één oplossing. De grafieken raken elkaar voor p = 10. c Voor p < 10 snijdt de lijn de parabool in twee punten.

24a x2 – 4x = 2x – 7 x2 – 6x + 7 = 0 D = (–6)2 – 4 × 1 × 7 = 8 D > 0 dus er zijn twee snijpunten. In de figuur is y = 2x – 7 de lijn die door (0, –7) loopt en die snijdt de parabool

inderdaad twee keer. b x2 – 4x = 2x – 10 x2 – 6x + 10 = 0 D = (–6)2 – 4 × 1 × 10 = –4 D < 0 dus er zijn geen snijpunten. In de figuur is y = 2x – 10 de lijn die door (0, –10) loopt en die snijdt de parabool

inderdaad niet. c Zie de grafiek hiernaast. d De lijn gaat door (0, –9), dus daar hoort p = –9 bij. e x2 – 4x = 2x – 9 x2 – 6x + 9 = 0 D = (–6)2 – 4 × 1 × 9 = 0 D = 0 dus er is één gemeenschappelijk punt. f Voor p > –9 snijdt de lijn de parabool in twee punten. Voor p < –9 hebben de lijn en de parabool geen punt gemeenschappelijk.

–2

–10

–4

–6

–8

–12

2

4y

x10,5O–0,5 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5

C

0pm_MW9_VWO_3B-Uitw.indd 79 01-04-2009 16:38:38

© N

oord

hoff U

itgev

ers

bv

Page 12: V-1a y x Uitgevers - wiskunde.stmichaelcollege.nlwiskunde.stmichaelcollege.nl/mw/3v/06_MW9_3B_vwo_uitw_H10.pdf · Hoofdstuk 10 - Grafieken, vergelijkingen en ongelijkheden 27a x >

⁄80© Noordhoff Uitgevers bv

Hoofdstuk 10 - Grafieken, vergelijkingen en ongelijkheden

25a Zie de grafiek hiernaast. b Voor p = 4 raakt de lijn de parabool. Immers: –x2 + 3x = –x + 4 –x2 + 4x – 4 = 0 D = 42 – 4 × –1 × –4 = 0, klopt. c Voor p < 4 snijdt de lijn de parabool. d Voor p > 4 hebben de parabool en de lijn geen punt gemeenschappelijk.

26a Het startgetal van de formule y = qx – 7 is –7.

b Zie de grafiek hiernaast. c x2 + 2x – 3 = 7x – 7 x x2 5 4 0− + = (x – 1)(x – 4) = 0 x – 1 = 0 of x – 4 = 0 x = 1 of x = 4 Er zijn twee snijpunten. d Zie de grafiek bij opdracht b. e Het hellingsgetal is 6. x x x2 2 3 6 7+ − = − x x2 4 4 0− + = D = − − ⋅ ⋅ =( )4 4 1 4 02 , klopt f Zie de grafiek bij opdracht b; het hellingsgetal is –2. x x x2 2 3 2 7+ − = − − x x2 4 4 0+ + = D = − ⋅ ⋅ =4 4 1 4 02 , klopt

10-5 Werken met parameters

27a x x2 4 2 0− + = D = − − ⋅ ⋅ =( )4 4 1 2 82

x x= + ≈ = − ≈4 82

3 41 4 82

0 59, ,of

De snijpunten met de x-as zijn (3,41; 0) en (0,59; 0). b De grafiek verschuift omhoog of omlaag. c

21 3–1 4 5O

2

–2

–4

4

6y

x

–1

–2

1

2

3

4

y

x21O–1–2 3 4 5

5p = 5

p = 4

p = 3

p = 2

p = 1

O

2

–2

–4

–6

–8

4

6

8

1–1–2–3–4 2 3

y

x

q = –2

q = 6

q = 7

0pm_MW9_VWO_3B-Uitw.indd 80 01-04-2009 16:38:40

© N

oord

hoff U

itgev

ers

bv

Page 13: V-1a y x Uitgevers - wiskunde.stmichaelcollege.nlwiskunde.stmichaelcollege.nl/mw/3v/06_MW9_3B_vwo_uitw_H10.pdf · Hoofdstuk 10 - Grafieken, vergelijkingen en ongelijkheden 27a x >

⁄81© Noordhoff Uitgevers bv

Hoofdstuk 10 - Grafieken, vergelijkingen en ongelijkheden

d Nee, je moet de parabool nog 1 hokje omhoog schuiven. Voor p = 4 raakt de parabool de x-as. e Schuif de parabool van opdracht c twee hokjes omhoog. Dan is p = 5. x2 – 4x + 5 = 2x – 4 x2 – 6x + 9 = 0 D = (–6)2 – 4 × 1 × 9 = 0, klopt. Dus voor p = 5 raakt de parabool de lijn.

f x = + =6 02

3 en y = f(3) = 2

Het raakpunt is (3, 2).

28a 12

2 3x p x+ = −

12

2 3 0x x p+ + =

b D = 32 – 4 · 12 · p

D = 9 – 2p c Voor D = 0 is er één oplossing. d 9 – 2p = 0 p = 4 1

2

29a x x x p2 4− = − + x x p2 3 0− − = D p= − − ⋅ ⋅ −( )3 4 12 = 9 + 4p 9 + 4p = 0 4p = –9 p = – 2,25

x = + =3 02

1 5, en y = f (1,5) = –3,75

Het raakpunt is (1,5; –3,75). b − − = − +x x x p2

− − =x p2 0 D = 0 – 4 · –1 · –p = –4p – 4p = 0 p = 0 De vergelijking is dan − =x2 0 . x = 0 en y = f (0) = 0 Het raakpunt is (0, 0).

30a Voor p = 0 is f(x) = –1. De grafiek is dan een horizontale lijn. b Voor p < 0 is de grafiek een bergparabool met top (0, –1) die dus de x-as niet snijdt. c px x2 1 2 3− = − px x2 2 2 0− + = D p= − − ⋅ ⋅( )2 4 22 = 4 – 8p 4 – 8p = 0 –8p = –4 p = –4 : –8 dus p = 1

2

0pm_MW9_VWO_3B-Uitw.indd 81 01-04-2009 16:38:43

© N

oord

hoff U

itgev

ers

bv

Page 14: V-1a y x Uitgevers - wiskunde.stmichaelcollege.nlwiskunde.stmichaelcollege.nl/mw/3v/06_MW9_3B_vwo_uitw_H10.pdf · Hoofdstuk 10 - Grafieken, vergelijkingen en ongelijkheden 27a x >

⁄82© Noordhoff Uitgevers bv

Hoofdstuk 10 - Grafieken, vergelijkingen en ongelijkheden

d px x2 1 2− = px x2 2 1 0− − = D p= − − ⋅ ⋅ −( )2 4 12 = 4 + 4p 4 + 4p > 0 4 + 4p = 0 geeft p = –1

–2

f = g g

–1 20

oplossing: p > –1

31a Voor elke waarde van p is f p( )0 0 0 6 614

2 14

14= ⋅ + ⋅ + = .

b Met f(x) = 0 bereken je de x-coördinaat van een snijpunt met de x-as. Als de grafiek de x-as raakt is er maar één oplossing dus is D = 0. 1

42 1

46 0x px+ + = D p= − ⋅ ⋅2 1

4144 6 = p2 1

46− c p2 1

46 0− = p2 1

46= dus p p= = −2 212

12of

d Voor D < 0 heeft de grafiek geen punten gemeenschappelijk met de x-as. D < 0 als p2 1

46< oplossing: − < <2 21

212p

10-6 Gemengde opdrachten

32a − + =12

2 5 0a a a a( )− + =1

2 5 0 a = 0 of − + =1

2 5 0a a = 0 of a =10 De afstand is dus 10 × 15 = 150 meter. b De top ligt bij a = 5 H( )5 25 25 121

212= − ⋅ + =

De hoogte is 12 15 18712

12× = meter.

c 120 meter hoog betekent dat H(a) = 120 : 15 = 8. d − + − =1

22 5 8 0a a geeft a a2 10 16 0− + =

(a – 2)(a – 8) = 0 a – 2 = 0 of a – 8 = 0 dus a = 2 of a = 8 Voor 2 < a < 8 is de boog hoger dan 120 meter.

0pm_MW9_VWO_3B-Uitw.indd 82 01-04-2009 16:38:46

© N

oord

hoff U

itgev

ers

bv

Page 15: V-1a y x Uitgevers - wiskunde.stmichaelcollege.nlwiskunde.stmichaelcollege.nl/mw/3v/06_MW9_3B_vwo_uitw_H10.pdf · Hoofdstuk 10 - Grafieken, vergelijkingen en ongelijkheden 27a x >

⁄83© Noordhoff Uitgevers bv

Hoofdstuk 10 - Grafieken, vergelijkingen en ongelijkheden

33a a2 + 2 < 6 e 2e2 + 5e + 6 > e + 6 a2 < 4 2e2 + 5e + 6 = e + 6 oplossing: −2 2,

2e2 + 4e = 0

b b2 + 15b < 16 2e(e + 2) = 0 b2 + 15b = 16 2e = 0 of e + 2 = 0 b2 + 15b – 16 = 0 e = 0 of e = –2 (b + 16)(b – 1) = 0 b + 16 = 0 of b – 1 = 0 b = –16 of b = 1

–17

f = g =

–16 10

f

2

–3

g = f =

–2 0–1

g

1

oplossing: −16 1,

oplossing: ← − →, ,2 0en

c 2c2 + c > 1 f (f + 2)(f – 1) < 0 2c2 + c = 1 (f + 2)(f – 1) = 0 2c2 + c – 1 = 0 f + 2 = 0 of f – 1 = 0 c2 + 0,5c – 0,5 = 0 f = –2 of f = 1 (c + 1)(c – 0,5) = 0 c + 1 = 0 of c – 0,5 = 0 c = –1 of c = 0,5

–2

g = f =

–1 0,50

g

1

–3

f = g =

–2 10

f

2

oplossing: ← − →, , ;1 0 5en oplossing: −2 1,

d d2 < 0,5(d + 1) g g2 + 25 < g(g + 5) d2 = 0,5(d + 1) g2 + 25 = g(g + 5) d2 – 0,5d – 0,5 = 0 g2 + 25 = g2 + 5g

(d + 0,5)(d – 1) = 0 25 = 5g dus g = 5 d + 0,5 = 0 of d – 1 = 0 d = –0,5 of d = 1

–1

f = g =

–0,5 10

f

2

0

f = g

5 6

oplossing −0 5 1, ; oplossing: 5, →

h h2 + h – 6 > h(1 – h) h2 + h – 6 > h – h2

2h2 > 6 h2 > 3 oplossing: ← − →, ,3 3en

34a x x2 6 4 0− + = D D= − − ⋅ ⋅ = >( ) ;6 4 1 4 20 02

De grafiek van f heeft twee snijpunten met de x-as. − + − =x x2 10 26 0 D = − ⋅ − ⋅ − <10 4 1 26 02

De grafiek van g heeft geen punten gemeenschappelijk met de x-as. De grafiek van functie h is een rechte lijn en heeft dus één snijpunt met de x-as.

0pm_MW9_VWO_3B-Uitw.indd 83 01-04-2009 16:38:48

© N

oord

hoff U

itgev

ers

bv

Page 16: V-1a y x Uitgevers - wiskunde.stmichaelcollege.nlwiskunde.stmichaelcollege.nl/mw/3v/06_MW9_3B_vwo_uitw_H10.pdf · Hoofdstuk 10 - Grafieken, vergelijkingen en ongelijkheden 27a x >

⁄84© Noordhoff Uitgevers bv

Hoofdstuk 10 - Grafieken, vergelijkingen en ongelijkheden

b Zie de grafiek hiernaast. c x x x2 6 4 4− + = − + x x2 5 0− = x(x – 5) = 0 x = 0 of x – 5 = 0 x = 0 of x = 5 h(0) = 4 en h(5) = –1 De snijpunten zijn (0, 4) en (5, –1). d − + − = − +x x x2 10 26 4 − + − =x x2 11 30 0 D D= − ⋅ − ⋅ − = >11 4 1 30 1 02 ; De grafiek van h raakt de grafiek van g niet. e x x x x2 26 4 10 26− + = − + − 2 16 30 02x x− + = x x2 8 15 0− + = (x – 3)(x – 5) = 0 x – 3 = 0 of x – 5 = 0 x = 3 of x = 5 f(3) = –5 en f(5) = –1 De snijpunten zijn (3, –5) en (5, –1). f De grafieken snijden elkaar voor x = 0 en x = 5. Voor x < 0 en voor x > 5 ligt de grafiek van f hoger dan die van h, dus de oplossing is x < 0 of x > 5. In intervalnotatie: ← →, ,0 5en . g De grafieken snijden elkaar voor x = 3 en x = 5. Voor x < 3 en voor x > 5 ligt de grafiek van f hoger dan die van g, dus de oplossing is x < 3 of x > 5. In intervalnotatie: ← →, ,3 5en .

35a 12

2 2 3 0x x+ + = D D= − ⋅ ⋅ = − <2 4 3 2 02 1

2 ; De parabool heeft geen snijpunten met de x-as. b De symmetrie-as is de lijn x = –2. Dus de x-coördinaat van de top is –2. y = f(–2) = 1; top (–2, 1) c 1

22 2 0x x p+ + =

D p= − ⋅ ⋅2 42 12 = 4 – 2p

4 –2p = 0 p = 2 d 1

22 2 2x x p x+ + = −

12

2 4 0x x p+ + = D p= − ⋅ ⋅4 42 1

2 = 16 – 2p 16 – 2p < 0 16 – 2p = 0 geeft p = 8

0

f = g

8 9

oplossing: p > 8

21 3–1 4 5 6 7O

2

–2

–4

–6

4

6y

x

h f

g

0pm_MW9_VWO_3B-Uitw.indd 84 01-04-2009 16:38:51

© N

oord

hoff U

itgev

ers

bv

Page 17: V-1a y x Uitgevers - wiskunde.stmichaelcollege.nlwiskunde.stmichaelcollege.nl/mw/3v/06_MW9_3B_vwo_uitw_H10.pdf · Hoofdstuk 10 - Grafieken, vergelijkingen en ongelijkheden 27a x >

⁄85© Noordhoff Uitgevers bv

Hoofdstuk 10 - Grafieken, vergelijkingen en ongelijkheden

36a − + + = +14

2 2 2 2 6x x x − − =1

42 4 0x

x2 16 0+ = ; geen oplossingen. b − + + = − +1

42 1

22 2 6x x x − + − =1

42 1

22 4 0x x x x2 10 16 0− + = (x –2)(x – 8) = 0 x – 2 = 0 of x – 8 = 0 x = 2; y = − ⋅ + =1

2 2 6 5 x = 8; y = − ⋅ + =1

2 8 6 2 De snijpunten zijn (2, 5) en (8, 2). c De horizontale lijn y = 6 raakt de parabool in de top. d − + − − =1

42 2 4 0x x px

− + − − =14

2 2 4 0x p x( ) D = (2 – p)2 – 4 × − 1

4 × –4 = (2 – p)2 – 4 D = 0 geeft ( )2 42− =p 2 – p = 2 of 2 – p = –2 p = 0 of p = 4 Ja, voor p = 0 is de lijn y = 6. e De lijnen gaan allemaal door (0, 6). De parabool gaat ook door (0, 6). Elke lijn heeft dus minstens één punt gemeenschappelijk met de parabool. Er is één lijn die de parabool raakt in (0, 6). De andere lijnen snijden de parabool

dus in nog een punt. f − + + = +1

42 2 6 6x x px

− + − =14

2 2 0x x px D p= − − ⋅ − ⋅( )2 4 02 1

4

D p= −( )2 2

D = 0 voor p = 2 De lijn raakt de parabool voor p = 2.

37a p = 0 2 8 4 52x x x+ = − − 2 12 5 02x x+ + = D D= − ⋅ ⋅ = >12 4 2 5 104 02 ; ; twee snijpunten p = 10 2 8 10 4 52x x x+ + = − − 2 12 15 02x x+ + = D D= − ⋅ ⋅ = >12 4 2 15 24 02 ; ; twee snijpunten p = 20 2 8 20 4 52x x x+ + = − − 2 12 25 02x x+ + = D D= − ⋅ ⋅ = − <12 4 2 25 56 02 ; ; geen snijpunten b 2 8 4 52x x p x+ + = − − 2 12 5 02x x p+ + + = D p= − ⋅ ⋅ +12 4 2 52 ( ) = 144 – 8(p + 5) 144 – 8(p + 5) = 0 8(p + 5) = 144 p + 5 =18 p = 13

0pm_MW9_VWO_3B-Uitw.indd 85 01-04-2009 16:38:55

© N

oord

hoff U

itgev

ers

bv

Page 18: V-1a y x Uitgevers - wiskunde.stmichaelcollege.nlwiskunde.stmichaelcollege.nl/mw/3v/06_MW9_3B_vwo_uitw_H10.pdf · Hoofdstuk 10 - Grafieken, vergelijkingen en ongelijkheden 27a x >

⁄86© Noordhoff Uitgevers bv

Hoofdstuk 10 - Grafieken, vergelijkingen en ongelijkheden

c 2 8 13 4 52x x x+ + = − − 2 12 18 02x x+ + = D = − ⋅ ⋅ =12 4 2 18 02

x = − = −124

3 ; y = g(–3) = 7

Het raakpunt is (–3, 7). d Voor p = 13 raakt de dalparabool de grafiek van g. Voor p < 13 verschuift de dalparabool omlaag en snijdt de rechte lijn in twee punten. oplossing: p < 13

ICT Bundels lijnen

I-1a Voor p = 1 raakt de lijn de parabool. b x x2 4 5 1− + = x x2 4 4 0− + = D = − − × × =( )4 4 1 4 02 , klopt

I-2a Voor p = 12 raakt de lijn de parabool. b –x2 + 4x + 3 = –2x + 12 –x2 + 6x – 9 = 0 D = 62 – 4 × –1 × –9 = 0, klopt c Voor p < 12 snijdt de lijn de parabool in twee punten.

I-3a x2 – 4x = 2x – 10 x2 – 6x + 10 = 0 D = (–6)2 – 4 × 1 × 10 = –4 D < 0 dus geen snijpunten, klopt b x2 – 4x = 2x – 12 x2 – 6x + 12 = 0 D = (–6)2 – 4 × 1 × 12 = –12 D < 0 dus geen snijpunten, klopt c Met de schuifbutton zie je dat de lijn de parabool raakt voor p = –9. d x2 – 4x = 2x – 9 x2 – 6x + 9 = 0 D = (–6)2 – 4 × 1 × 9 = 0 D = 0 dus een gemeenschappelijk punt, klopt e Voor p > –9 snijdt de lijn de parabool in twee punten. Voor p < –9 zijn er geen snijpunten.

I-4a Met de schuifbutton zie je dat de lijn de parabool raakt voor p = 4. b –x2 + 3x = –x + 4 –x2 + 4x – 4 = 0 D = 42 – 4 × –1 × –4 = 0, klopt c Voor p < 4 snijdt de lijn de parabool. d Voor p > 4 hebben de parabool en de lijn geen punt gemeenschappelijk.

fi

0pm_MW9_VWO_3B-Uitw.indd 86 01-04-2009 16:38:56

© N

oord

hoff U

itgev

ers

bv

Page 19: V-1a y x Uitgevers - wiskunde.stmichaelcollege.nlwiskunde.stmichaelcollege.nl/mw/3v/06_MW9_3B_vwo_uitw_H10.pdf · Hoofdstuk 10 - Grafieken, vergelijkingen en ongelijkheden 27a x >

⁄87© Noordhoff Uitgevers bv

Hoofdstuk 10 - Grafieken, vergelijkingen en ongelijkheden

I-5a Het startgetal van elk van de lijnen uit de bundel is –7. b Met de schuifbutton zie je dat de lijn met q = 7 twee snijpunten heeft met de parabool. c Voor q = 6 en q = –2 lijken de lijnen de parabool te raken. d q = 6 x x x2 2 3 6 7+ − = − x x2 4 4 0− + = D = − − ⋅ ⋅ =( )4 4 1 4 02 , klopt q = –2 x x x2 2 3 2 7+ − = − − x x2 4 4 0+ + = D = − ⋅ ⋅ =4 4 1 4 02 , klopt

Test jezelf

T-1a –x2 + 5x + 14 = 0 x2 – 5x – 14 =0 (x – 7)(x + 2) = 0 x – 7 = 0 of x + 2 = 0 x = 7 of x = –2 De snijpunten zijn (–2, 0) en (7, 0). b A –x2 + 5x + 14 = 14 C f(x) = 14 als x = 0 of x = 5 –x2 + 5x = 0 In de grafiek zie je dat f(x) < 14 als –x(x – 5) = 0 x < 0 of x > 5. Of in intervalnotatie –x = 0 of x – 5 = 0 ← →, ,0 5en x = 0 of x = 5 B –x2 + 5x + 14 = –10 D f(x) = – 10 als x = –3 of x = 8 –x2 + 5x + 24 = 0 In de grafiek zie je dat f(x) > –10 als x2 – 5x – 24 = 0 –3 < x < 8. Of in intervalnotatie (x – 8)(x + 3) = 0 −3 8, x – 8 = 0 of x + 3 = 0 x = 8 of x = –3 c A x2– x < 2 C x2 > 81 x2 – x = 2 oplossing: ← − →, ,9 9en x2 – x – 2 = 0 D x2 + 3x < 2x + 20 (x – 2)(x + 1) = 0 x2 + 3x = 2x + 20 x – 2 = 0 of x + 1 = 0 x2 + x – 20 = 0 x = 2 of x = –1 (x + 5)(x – 4) = 0 x + 5 = 0 of x – 4 = 0 x = –5 of x = 4

–2

f = g =

–1 20

f

3

–6

f = g = f

5–5 40

oplossing: −1 2,

oplossing: −5 4,

B 3x2 + 5 < 17 3x2 < 12 x2 < 4 oplossing: −2 2,

0pm_MW9_VWO_3B-Uitw.indd 87 01-04-2009 16:38:58

© N

oord

hoff U

itgev

ers

bv

Page 20: V-1a y x Uitgevers - wiskunde.stmichaelcollege.nlwiskunde.stmichaelcollege.nl/mw/3v/06_MW9_3B_vwo_uitw_H10.pdf · Hoofdstuk 10 - Grafieken, vergelijkingen en ongelijkheden 27a x >

⁄88© Noordhoff Uitgevers bv

Hoofdstuk 10 - Grafieken, vergelijkingen en ongelijkheden

T-2a − + + = −x x x2 5 14 4 6 − + + =x x2 20 0 x x2 20 0− − = ( )( )x x+ − =4 5 0 x + 4 = 0 of x – 5 = 0 x = –4 of x = 5 f ( ) ( )− = − − + × − + = −4 4 5 4 14 222 en f ( )5 5 5 5 14 142= − + × + = De snijpunten zijn (–4, –22) en (5, 14). b

–5

g = f =

–4 50

g

6

oplossing: ← − →, ,4 5en

T-3a Zie de grafiek hiernaast. b x2 –2x – 2 = 2x + 3 x2 – 4x – 5 = 0 (x + 1)(x – 5) = 0 x + 1 = 0 of x – 5 = 0 x = –1 of x = 5 y = f(–1) = 1 of y = f(5) = 13 De snijpunten zijn (–1, 1) en (5, 13). c f(x) = g(x) geldt voor x = –1 of x = 5. In de grafiek zie je dat f(x) < g(x) geldt voor –1 < x < 5 of −1 5, . d Zie de grafiek bij opdracht a.

De lijn y = 2x – 6 raakt de parabool. Dan hebben de grafieken van h en m twee snijpunten met de parabool.

x2 –2x – 2 = 2x – 2 x2 –2x – 2 = 2x –5,5 x2 – 4x = 0 x2 – 4x + 3,5 = 0 D = (–4)2 – 4 × 1 × 0 = 16 D = (–4)2 – 4 × 1 × 3,5 = 2 D > 0 dus twee snijpunten. D > 0 dus twee snijpunten. e De grafiek van l raakt de parabool. x2 –2x – 2 = 2x – 6 x2 – 4x + 4 = 0 (x – 2)(x – 2) = 0 x – 2 = 0 dus x = 2 y = l(2) = –2 Het raakpunt is (2, –2).

T-4a Zie de grafiek hiernaast. b Voor a = –8 is y = 2x – 8 1

22 2 2 8x x x− = −

12

2 4 8 0x x− + = D = (–4)2 – 4 × 0,5 × 8 = 0, klopt Dus voor a = –8 raakt de lijn de parabool. c Zie de grafieken bij opdracht a. Voor a > –8 snijdt de lijn de parabool.

–2

–4

–6

2

4

6

8

y

x21O–1–2–3 3 4

10

12

14

f

d

g

5 6

–2

2

4

6

8

y

x21O–1 3 4

10

12

14

f

5 6 7 8

–4

a = –

6a =

–3

a = 0

0pm_MW9_VWO_3B-Uitw.indd 88 01-04-2009 16:39:00

© N

oord

hoff U

itgev

ers

bv

Page 21: V-1a y x Uitgevers - wiskunde.stmichaelcollege.nlwiskunde.stmichaelcollege.nl/mw/3v/06_MW9_3B_vwo_uitw_H10.pdf · Hoofdstuk 10 - Grafieken, vergelijkingen en ongelijkheden 27a x >

⁄89© Noordhoff Uitgevers bv

Hoofdstuk 10 - Grafieken, vergelijkingen en ongelijkheden

T-5a Het startgetal van elke lijn uit de bundel is (0, –7). Alle lijnen gaan door (0, –7). b x2 + 2 = px – 7 x2 – px + 9 = 0 D = (–P)2 – 4 × 1 × 9 = p2 – 36 p2 – 36 = 0 p2 = 36 p = –6 of p = 6

T-6a x2 + 2x – 8 < 7 d x2 + 3x > x + 6 x2 + 2x – 8 = 7 x2 + 3x = x + 6 x2 + 2x – 15 = 0 x2 + 2x – 6 = 0 (x + 5)(x – 3) = 0 D = 22 – 4 × 1 × –6 = 28

x + 5 = 0 of x – 3 = 0 x = − + ≈2 282

1 65, of

x = –5 of x = 3 x = − − ≈ −2 282

3 65,

–6

f = g = f

4–5 30 –4

g = f = g

2–3,65 1,650

oplossing: −5 3, oplossing: ← − →; , , ;3 65 1 65en b x2 > 144 e v2 + 1 > 0 x2 = 144 geeft x = –12 of x = 12 Omdat v2 ≥ 0 voor elke waarde van v, oplossing: ← − →, ,12 12en is de oplossing: elke waarde van v. c s2 – 4 > 3s f t2 + t + 11 < 2 – 5t s2 – 4 = 3s t2 + t + 11 = 2 – 5t s2 – 3s – 4 = 0 t2 + 6t + 9 = 0 (s + 1)(s – 4) = 0 (t + 3)(t + 3) = 0 s + 1 = 0 of s – 4 = 0 één oplossing: t = –3 s = –1 of s = 4

–2

g = f = g

5–1 40 –4

f = f

–3 0

oplossing: ← − →, ,1 4en oplossing: geen enkele waarde van t

T-7a x x x2 5 8 3 11+ + = + x x2 2 3 0+ − = ( )( )x x+ − =3 1 0 x + 3 = 0 of x – 1 = 0 x = –3 of x = 1 y = f(–3) = 2 en y = f(1) = 14 De snijpunten zijn (–3, 2) en (1, 14). b x x x p2 5 8 3+ + = + x x p2 2 8 0+ + − = D p= − × × −2 4 1 82 ( ) = –28 + 4p D p= − + =28 4 0 4p = 28 p = 7 c Voor p > 7 zijn er twee snijpunten.

0pm_MW9_VWO_3B-Uitw.indd 89 01-04-2009 16:39:03

© N

oord

hoff U

itgev

ers

bv

Page 22: V-1a y x Uitgevers - wiskunde.stmichaelcollege.nlwiskunde.stmichaelcollege.nl/mw/3v/06_MW9_3B_vwo_uitw_H10.pdf · Hoofdstuk 10 - Grafieken, vergelijkingen en ongelijkheden 27a x >

⁄90© Noordhoff Uitgevers bv

Hoofdstuk 10 - Grafieken, vergelijkingen en ongelijkheden

d x x r2 5 8+ + = x x r2 5 8 0+ + − = D r= − × × −5 4 1 82 ( ) = –7 + 4r D r= − + =7 4 0 4r = 7 r = 1,75

T-8a Invullen van x = 0 geeft voor elke waarde van p l p( )0 0 6 6= × + = . b px x+ = − −6 21

22

12

2 8 0x px+ + = D p= − × ×2 1

24 8 D p= −2 16 c Als een lijn de parabool raakt, dan is D = 0. Dat geeft de vergelijking p2 – 16 = 0

oftewel p2 = 16 en deze vergelijkingen heeft twee oplossingen. Bij de getekende grafieken is te zien dat de lijn zowel links als rechts de parabool

raakt. d p2 – 16 = 0 p2 = 16 p = 4 en p = –4 e Voor twee snijpunten moet D > 0 zijn. D = 0 voor p = –4 of p = 4

–5

g = f = g

5–4 40

oplossing: p < –4 of p > 4

0pm_MW9_VWO_3B-Uitw.indd 90 01-04-2009 16:39:05

© N

oord

hoff U

itgev

ers

bv