1.3 Vergelijkingen Van de Tweede Graad - Kopiëren

45 1.3 vergelijkingen van de tweede graad

Oef 1 blz 43

Schrijf volgende vergelijkingen in hun standaardvorm:

27x 13x 8 0

2 2

2

2x 8x 3x 12 x 5x 8 0

x 20 0

2 2

2

3x 15x 9 2x 4x 7

x 19x 16 0

2

2 2

2 2 2

2(2x 1)(4 5x) 7x 6x 8 10x(2 x)

2 8x 10x² 4 5x 7x 6x 8 20x 10x

16x 20x 8 10x 7x 6x 8 20x 10x 0

3 7x² 52x 16 0


Oef 2 blz 43

Groepeer de vierkantsvergelijkingen volgens hun discriminant.

A : a 9 ; b 6 ; c 1

D 6² 4.9.1 0

B : 4x² x 3 9

4x² x 6 0

a 4 ; b 1; c 6

D 1 4.4.( 6) 97 0

C : 3x² 4,2x 3,6 0

x² 1,4x 1,2 0

5x² 7x 6 0

a 5 ; b 7 ; c 6

D 7² 4.5.6 71 0

D : 2x² 5x 6 0

a 2 ; b 5 ; c 6

D 5² 4.( 2).( 6) 23 0

E : 4x²

7 12x

4x² 12x 7 0

a 4 ; b 12 ; c 7

D 12² 4.4.7 32 0

F : 3x² 7 0

a 3 ; b 0 ; c 7

d 0 4.( 3).( 7) 84 0


2

G: 25x² 100x 100 0

x² 4x 4 0

a 1; b 4 ; c 4

D 4² 4.1.4 0

H: 0,5x² 3x 2 0

x² 6x 4 0

a 1; b 6 ; c 4

D 6² 4.1.4 20 0

I : x² 11x 4 5

x² 11x 9 0

a 1; b 11; c 9

D 11² 4.1.9 85 0

1 1 2J : x² x 0

3 2 3

2x² 3x 4 0

a 2 ; b 3 ; c 4

D ( 3)

4.2.4 23 0


Oef 3 blz 43

Welke vierkantsvergelijkingen hebben twee verschillende oplossingen?

24x 4x 1 0

a 4 ; b 4 ; c 1

D 4² 4.4.1 0 ; dus één oplossing

22x 5x 6 0

a 2 ; b 5 ; c 6

D 5² 4.( 2).( 6) 23 0 ; dus geen oplossingen

211x 4x 3 0

a 11 ; b 4 ; c 3 0

D ( 4)² 4.11.( 3) 148 0 ; twee verschillende oplossingen

22x 5x 6 0

D 5² 4.( 2).6 73 0 ; dus twee verschillende oplossingen

22x 2x 18 0

a 2 ; b 2 ; c 18

D ( 2)² 4.( 2).18 148 ; dus twee verschillende oplossingen

22x 5x 6 0

a 2 ; b 5 ; c 6

D 5² 4.2.6 23 0 ; dus geen oplossingen


Oef 4 blz 43

Gegeven: f(x) = x² - 3x + 2

Gevraagd:

a Bepaal f(0) , f(-2) , 1f , f 3

2

f(0) 2

f( 2) 12

1 3f

2 4

f 3 5 3 3

b Zoek x opdat f(x) = 3 ; f(x) = 2 ; f(x) = 6 ; f(x) = -1

f(x) 3

x² 3x 2 3

x² 3x 1 0

D 13

3 13 3 13x of x

2 2

f(x) 2

x² 3x 2 2

x² 3x 0

x(x 3) 0

x 0 of x 3

f(x) 6

x² 3x 2 6

x² 3x 4 0

D 25

3 5 3 5x 1 of x 4

2 2

f(x) 1

x² 3x 2 1

x² 3x 3 0

D 3

geen oplossingen


Oef 5 blz 43

Los op in . Het kan zonder de algemene formule.

a 2x² - 7x = 0

2x² 7x 0

x(2x 7) 0

x 0 of 2x 7 0

7x 0 of x =

2

7V 0,

2

b 4x² - 9 = 0

4x² 9 0

4x² 9

9x²

4

3x

2

3V

2

c 2x² -4x +2 = 0

2x² 4x 2 0

x² 2x 1 0

(x 1)² 0

x 1 0

x 1

V 1


d 3x² + 4x = 0

3x² 4x 0

x(3x 4) 0

x 0 of 3x 4 0

4x 0 of x = -

3

4V 0,

3

e x² + 16 = 0

x² + 16 = 0

x² = -16 < 0

V = { }

f (2x – 1)(x + 2) = 0

(2x 1)(x 2) 0

2x 1 0 of x 2 0

1x of x 2

2

1V , 2

2

g 3x² 2x 0

3x² 2x 0

x 3x 2 0

x 0 of 3x 2 0

2 2 3x 0 of x

33

2 3V 0,

3


h (2x – 1)(x + 2) = -2

(2x 1)(x 2) 2

2x² 3x 2 2

2x² 3x 0

x(2x 3) 0

3x 0 of x

2

3V ,0

2

i 1,44x² - 9 = 0

1,44x² 9 0

9x²

1,44

225x²

36

15x

6

5V

2

j 9x² - 24x + 16 = 0

9x² 24x 16 0

(3x 4)² 0

3x 4 0

4x

3

4V

3

k (x + 2)² - 9 = 0

(x 2)² 9 0

(x 2)² 9

x 2 3 of x 2 3

x 5 of x 1

V { 5,1}


l (x + 1)² + 4 = 0

(x 1)² 4 0

(x 1)² 4 0

V

m 4x² + 9 = 12x

4x² 9 12x

4x² 12x 9 0

(2x 3)² 0

3x

2

3V

2

n (2 – 3x)² - 6 = 0

(2 3x)² 6 0

(2 3x)² 6

2 3x 6 of 2 3x 6

6 2 6 2x of x =

3 3

6 2 6 2V ,

3 3

o 2(3x – 1)² = 18

2(3x 1)² 18

(3x 1)² 9

3x 1 3 of 3x - 1 = 3

2 4x of x =

3 3

2 4V ,

3 3


p (x – 2)(x – 6) = 2(x – 5)(x + 1)

(x 2)(x 6) 2(x 5)(x 1)

x² 8x 12 2x² 8x 10

x² 22

x 22

V 22

Oef 6 blz 44

Los op in , gebruik makend van de wortelformule.

a 2x² + 5x – 3 = 0

1

2

D b² 4ac 5² 4.2.( 3) 49

5 7x 3

4

5 7 1x

4 2

1V 3,

2

b 3x² - x – 2 = 0

1

2

D b² 4ac ( 1)² 4.3.( 2) 25

b D 1 5 2x

2a 6 3

b D 1 5x 1

2a 6

2V ,1

3


c x² + x – 2 = 0

1

2

D b² 4ac 1² 4.1.( 2) 9

b D 1 3x 2

2a 2

b D 1 3x 1

2a 2

V 2,1

d 4x² - 20x + 25 = 0

1 2

D b² 4ac ( 20)² 4.4.25 0

b 20 5x x

2a 8 2

5V

2

e x² + x – 30 = 0

1

2

D b² 4ac 1² 4.1².( 30) 121

b D 1 11x 6

2a 2

b D 1 11x 5

2a 2

V 6,5

f 7x² + 12x – 4 = 0

1

2

D b² 4ac 12² 4.7.( 4) 256

b D 12 16x 2

2a 14

b D 12 16 2x

2a 14 7

2V 2,

7


g x² - 8x + 4 = 0

1

2

D b² 4ac 8² 4.1.4 48

b D 8 48x 4 2 3

2a 2

b D 8 48x 4 2 3

2a 2

V 4 2 3,4 2 3

h x² + 2x + 3 = 0

D b² 4ac 2² 4.1.3 8 0

V

i 2 1

x² x 03 9

1

2

4x² 19x 12 0

D b² 4ac ( 19)² 4.4.12 169

b D 19 13 3x

2a 8 4

b D 19 13x 4

2a 8

3V ,4

4

j -8x² - 6x + 9 = 0

1

2

D b² 4ac ( 6)² 4.( 8).9 324

b D 6 18 3x

2a 16 4

b D 6 18 3x

2a 16 2

3 3V ,

2 4


k 3x² + 3x + 3 = 0

x² x 1 0

D b² 4ac 1² 4.1.1 3 0

V

l -4x² + 12x –9 = 0

1 2

D b² 4ac 12² 4.( 4).( 9) 0

12 3x x

8 2

3V

2


Oef 7 blz 44

Los op in . Gebruik de meest geschikte methode. Controleer met ICT.

a (2x – 1)(x + 1) – 3(x + 2) + 3 = 0

1 2

(2x 1)(x 1) 3(x 2) 3 0

2x² x 1 3x 6 3 0

2x² 2x 4 0

x² x 2 0

D ( 1)² 4.1.( 2) 9

1 3 1 3x 1 ; x 2

2 2

V 1,2

b (x – 2)² - (x + 3) = -3

(x 2)² (x 3) 3

x² 4x 4 x 3 3 0

x² 5x 4 0

1 2

D ( 5)² 4.1.4 9

5 3 5 3x 1 ; x 4

2 2

V 1,4


c (3x – 1)(x + 1) – (x – 1)(2x + 1) = 18

1 2

(3x 1)(x 1) (x 1)(2x 1) 18

3x² 2x 1 2x² x 1 18 0

x² 3x 18 0

D 3² 4.1.( 18) 81

3 9 3 9x 6 ; x 3

2 2

V 6,3

d (2x + 3)² - (x – 1)(x + 1) = -(4x + 3)

1 2

(2x 3)² (x 1)(x 1) (4x 3)

4x² 12x 9 x² 1 4x 3 0

3x² 16x 13 0

D 16² 4.3.13 100

16 10 13 16 10x ; x 1

2.3 3 2.3

13V , 1

3

e

x² x x 4

13 2

1 2

x² x x 41

3 2

2x² 2x 3x 12 6 0

2x² 5x 18 0

D ( 5)² 4.2.( 18) 169

5 13 5 13 9x 2 ; x

2.2 2.2 2

9V 2,

2


f x(x 3) 2(x 6)

2 04 3

1 2

x(x 3) 2(x 6)2 0

4 3

3x² 9x 8x 48 24 0

3x² x 24 0

D 1² 4.3.( 24) 289

1 17 1 17 8x 3 ; x

2.3 2.3 3

8V 3,

3

g 21 3x(x 1) (x 2) 33

3 2

1 3x(x 1)² (x 2) 33

3 2

2x² 4x 2 9x² 18x 198 0

7x² 22x 200 0

1

2

D ( 22)² 4.( 7).200 6084

22 78x 4

14

22 78 50x

14 7

50V ,4

7


h x² x 1 x² 2

32 4

x² x 1 x² 23

2 4

2x² 2x 2 x² 2 12 0

x² 2x 8 0

1

2

D 2² 4.1.( 8) 36

2 6x 4

2.1

2 6x 2

2.1

V { 4,2}


Oef 8 blz 44

Los op in , k en l zijn parameters.

a 2 2x 3kx 10k 0

1 2

a 1; b 3k ; c 10k²

D 9k² 40k² 49k²

3k 7k 3k 7kx 5k ; x 2k

2 2

V 5k,2k

b 2x (k 2)x 2k 0

2 2

1 2

a 1; b k 2 ; c 2k

D (k 2) 8k (k 2)

k 2 k 2 k 2 k 2x k ; x 2

2 2

V k,2

c 2x (k 5)x (k 2)(2k 3) 0

2

2

1 2

a 1; b k 5 ; c (k 2)(2k 3)

D ( k 5) 4(k 2)(2k 3)

k² 10k 25 8k² 4k 24

9k² 6k 1

(3k 1)

k 5 3k 1 k 5 3k 1x 2k 3 ; x k 2

2 2

V 2k 3, k 2

d 2x (4k 2)x 3(4k 1) 0

2

2

1 2

a 1; b 4k 2 ; c 3(4k 1)

D (4k 2) 12(4k 1)

16k² 32k 16

(4k 4)

4k 2 4k 4 4k 2 4k 4x 4k 1 ; x 3

2 2

V 4k 1,3


e 2x 2(k 1)x 3k² 14k 8 0

2

2

1 2

a 1; b 2(k 1) ; c 3k² 14k 8

D ( 2k 2) 4( 3k² 14k 8)

16k² 48k 36

(4k 6)

2k 2 4k 6 2k 2 4k 6x k 4 ; x 3k 2

2 2

V k 4,3k 2

f 2x (k 1)x 2k(k 1) 0

2

2

2

1 2

a 1; b k 1; c 2k(k 1)

D (k 1) 8k(k 1)

9k 6k 1

(3k 1)

k 1 3k 1 k 1 3k 1x k 1 ; x 2k

2 2

V k 1, 2k

g 2x 2kx k² l² 0

2 2

2 2 2

2

1 2

a 1; b 2k; c k l

D 4k 4k 4l

2l

2k 2l 2k 2lx k l ; x k l

2 2

V k l, k l

h 2x (2k l)x 2k(l k) 0

2

2 2 2

2

1 2

a 1; b 2k l ; c k(l k)

D (2k l) 4k(l k)

4k 4kl l 4kl 4k

l

2k l l 2k l lx k ; x k l

2 2

V k, k l


i 2 2x (k 3l)x 2l kl 0

2

2 2

2 2

2

1 2

a 1; b k 3l ; c 2l kl

D (k 3l) 4(2l kl)

k 2kl l

(k l)

k 3l k l k 3l k lx k 2l ; x l

2 2

V k 2l , l

l 2x (k l)x (k 2l)(2k l) 0

2

2 2 2 2

2 2

2

1 2

a 1; b k l ; c (k 2l)(2k l)

D (k l) 4(k 2 l)(2k l)

k 2kl l 8k 20kl 8l

9k 18kl 9l

(3k 3l)

k l 3k 3l k l 3k 3lx 2k l ; x k 2l

2 2

V 2k l , k 2l


Oef 9 blz 44

Voor welke warden van m hebben volgende VKV’s

geen oplossingen

juist één oplossing

twee oplossingen

a x² + 2x – 3m + 4 = 0

D 2² 4.( 3m 4)

4 12m 16

12m 12

m 1

D 0

geen oplossing als D < 0 dus als m < 1

één oplossing als D = 0 dus als m = 1

twee oplossingen als D > 0 dus als m > 1

b 4x² - 12x + 5m – 3 = 0

D ( 12)² 4.4.(5m 3)

144 80m 48

192 80m

12m

5

D 0

12geen oplossing als D < 0 dus als m >

5

12één oplossing als D = 0 dus als m =

5

12twee oplossingen als D > 0 dus als m <

5


d 3x² - 24x + 7m – 5 = 0

D ( 24)² 4.3.(7m 5)

576 84m 60

636 84m

53m

7

D 0

53geen oplossing als D < 0 dus als m >

7

53één oplossing als D = 0 dus als m =

7

53twee oplossingen als D > 0 dus als m <

7


Oef 10 blz 44

Los op in .

a 2 2

2 22x x x 4

2 2 2 2

2 2

2x x x 4 of 2x x x 4

x x 4 0 of 3x x 4 0

D 1² 4.1.4 0 D 1² 4.3.( 4) 49

1 7 1 7 4x 1 of x

6 6 3

4V 1,

3

b 2 2

3 3x x 5 x 5 0

2 23 3

3 3 3 3

3

2

2

x x 5 x 5

x x 5 x 5 of x x 5 x 5

x 10 0 of 2x x 0

x 10 of x 2x 1 0

x 10 of x 0 of 2x 1 0

V 0,10

c 3 3

2 22x 1 x 7 0

3 32 2

2 2

2

2x 1 x 7

2x 1 x 7

x 8

x 2 2

V 2 2


d 3 3

2 2x 2 x 4 0

3 32 2

2 2

2

x 2 x 4

x 2 x 4

2x 2

x 1

V 1, 1

e 2 3

2 2x 4x 5 x 3x 2 0

2 2x 4x 5 0 en x 3x 2 0

D 4² 4.1.( 5) 36 D ( 3)² 4.1.2 1

4 6 4 6 3 1 3 1x 1 of x 5 en x 1 of x 2

2 2 2 2

V 1

f 2x 2x 9 6

2 2

2 2

x 2x 9 6 of x 2x 9 6

x 2x 15 0 of x 2x 3 0

D 64 D 16

2 8 2 8 2 4 2 4x 5 of x 3 of x 3 of x 1

2 2 2 2

V 5, 3, 1, 3


g 22x x 8 2

2 2

2 2

2x x 8 2 of 2x x 8 2

2x x 10 0 of 2x x 6 0

D 81 D 49

1 9 1 9 5 1 7 3 1 7x 2 of x of x of x 2

4 4 2 4 2 4

3 5V 2, , 2,

2 2

h 2 2x 3x 4 x x 1

2 2 2 2

2

x 3x 4 x x 1 of x 3x 4 x x 1

4x 5 0 of 2x 2x 3 0

D 20

5x

4

5V

4


Oef 11 blz 44

Bepaal de som en het product van de wortels van de volgende vierkantsvergelijkingen en

bepaal hiermee ook de wortels.

S P x1 x2

a x² + 5x – 14 = 0 -5 -14 -7 2

b x² - 7x + 12 = 0 7 12 3 4

c x² + 5x + 6 = 0 -5 6 -3 -2

d x² + x – 30 = 0 -1 -30 -6 5

e x² - 11x + 30 = 0 11 30 5 6

f x² - 3 2 x+ 4 = 0 3 2 4 2 2 2

g 6x² - 5x + 1 = 0 5

6

1

6

1

2

1

3

h x² + 1

6x -

1

6 = 0 -

1

6 -

1

6

1

2

1

3

i -x²- 4x + 5 = 0 -4 -5 -5 1

j x² + 11x + 18 = 0 -11 18 -9 -2

k -x² - 14x + 32 = 0 -14 -32 -16 2

l -2x² - x + 1 = 0 1

2

1

2 -1

1

2

m -x² + 10x + 24 = 0 10 -24 12 -2

n x² - 1 = 0 0 -1 1 -1


Oef 12 blz 44

Zoek twee getallen met gegeven som S en product P.

a S = 8; P = 15

1

x = 5 2

x = 3

b S = 0; P = -9

1

x = 3 2

x = -3

c S = 0; P = 3

x² 3 0

onmogelijk

d S = -4; P = 0

x1 = 0 x2 = -4

e S = 8 ; P = 4

1

2

x² 8x 4 0

D ( 8)² 4.4 48

8 48x 4 2 3

2

8 48x 4 2 3

2

f 1 1

S ; P12 2

1 1x² x 0

12 2

12x² x 6 0

D ( 1)² 4.12.6 0

onmogelijk


g S = 10; P = 23

1

2

x² 10x 23 0

D ( 10)² 4.23 8

10 8x 5 2

2

10 8x 5 2

2

h S 2 2; P = 2

2

1 2

x² 2 2x 2 0

D 2 2 4.2 0

x x 2

i S 3 2; P = 4

2

1

2

x² 3 2x 4 0

D 3 2 4.4 2

3 2 2x 2

2

3 2 2x 2 2

2

j 5

S ; P = -16

1

2

5x² x 1 0

6

6x² 5x 6 0

D 5² 4.6.( 6) 169

5 13 3x

12 2

5 13 2x

12 3


k S = 0,1; P = 10

1x² x 10 0

10

10x² x 10 0

D ( 1)² 4.10.10 0

onmogelijk

l S = 2 ; P = -2

1

2

x² 2x 2 0

D ( 2)² 4.( 2) 12

2 12x 1 3

2

2 12x 1 3

2


Oef 13 blz 45

Bepaal m zodat aan de gegeven voorwaarde is voldaan.

a x² + (3 + m) x + 7m + 2 = 0 1

x 5

1x 5

25 (3 m).( 5) 7m 2 0

2m 12 0

m 6

b 2

1(m 1)x (5m 1)x 6 0 x 6

1x 6

(m 1).36 (5m 1).6 6 0

6m 24 0

m 4

c x² + (4m + 1)x + 30m = 0 1 2x x = 7

1 2x x 7

(4m 1) 7

m 2

d 2x² + (7m – 8)x – 20 = 0 1 2x x = -1

1 2x x 1

7m 81

2

10m

7

e x² + (m – 5)x – 2m – 4 = 0 1 2x .x = -24

1 2x .x 24

2m 4 24

m 10


f 2x² + (m + 4)x + 1 – m = 0 1 2x .x = -3

1 2x .x 3

1 m3

2

m 7

g 2

1 24x (3m 5)x 9 0 x x

1 2

2

2

x x

(3m 5) 4.4.9 0

9m 30m 119 0

7 17m of m

3 3

h 2

1 29x mx m 5 0 x x

1 2

2

2

x x

m 4.9.(m 5) 0

m 36m 180 0

m 6 of m 30


Oef 14 blz 45

Stel de vergelijking op van een vierkantsvergelijking met oplossingen −4 en 7 en a = −1.

2

2

1.(x 4)(x 7) 0

x 7x 4x 28 0

x 3x 28 0

Oef 15 blz 45

Geef een vierkantsvergelijking waarvan de oplossingen het dubbel zijn van de oplossingen

van: x² − 8x + 7 = 0

Oplossing:

1 2

S 8x 1;x 7

P 7

De nieuwe wortels zijn: 2 en 14.

Een mogelijke vergelijking is dus: (x -2)(x -14) 0 of x² -16x + 28=0

Oef 16 blz 45

Geef een vierkantsvergelijking waarvan de oplossingen tegengesteld zijn aan de oplossingen

van 2x² + 9x + 7 = 0

1 2

9S

2 7x 1 ; x

27P

2

7De nieuwe wortels zijn: 1 en

2

7 9 7Een mogelijke vkv is dus : x 1 x =0 of x² - x = 0 of 2x² 9x 7 0

2 2 2

Andere mogelijkheid: als de wortels tegengesteld zijn, dan is de so

m ook tegengesteld

en blijft het product onveranderd.

We krijgen dus dadelijk de oplossing: 2x² 9x 7 0


Oef 17 blz 45

Geef een vierkantsvergelijking waarvan de oplossingen één meer zijn dan de helft van de

oplossingen van x² - 6x + 8 = 0

1 2

S 6x 2 ; x 4

P 8

De nieuwe wortels worden dus: 2 en 3.

Een mogelijke vergelijking is dus x²-5x 6 0

Oef 18 blz 45

Geef een vierkantsvergelijking waarvan de oplossingen twee minder zijn dan het drievoud

van de oplossingen van 3x² + 5x – 2 = 0

1 2

5S

13x 2 ; x

32P

3

De nieuwe wortels zijn: -8 en -1

Een mogelijke vergelijking is dus x² + 9x + 8 = 0

Oef 19 blz 46

Als p(x + 3) = x² + 7x + 4 en p(x) = ax² + bx + c , zoek dan a, b en c.

2

2 2

2 2

p(x 3) x 7x 4

a(x 3) b(x 3) c x 7x 4

ax (6a b)x 9a 3b c x 7x 4

a 1

6a b 7

9a 3b c 4

a 1

b 1

c 8


Oef 20 blz 47

Als c >a > 0 en als a − b + c = 0, zoek dan de grootste wortel van ax² + bx + c = 0.

2

2

2

ax bx c 0

ax (a c)x c 0

ax ax cx c 0

ax(x 1) c(x 1) 0

(x 1)(ax c) 0

cx 1 of x

a

cc a 1

a

Antwoord: de grootste wortel is -1.


Oef 21 blz 47

Ontbind indien mogelijk in factoren.

a x² + 4x + 4

= (x + 2)²

b x² - 7x + 12

S 73;4

P 12

= (x – 3)(x – 4)

c 4x² - x – 18

D ( 1)² 4.4.( 18) 289

91 17 4x

82

94 x (x 2)

4

(4x 9)(x 2)

d 1

x² x 122

S 26 ; 4

P 24

1(x 6)(x 4)

2

e 3x² + 3x – 18

S 1

3 ; 2P 6

= 3(x + 3)(x – 2)

f -20x² + 100x – 125

= -5(2x – 5)²


g 2x³ - 8x

= 2x(x² - 4)

= 2x(x – 2)(x + 2)

h x³ + 8x

= x(x² + 8)

i 9x² + 12x + 4

= (3x + 2)²

j 4x² - 2x – 6

1S

32 1 ;23

P2

34 x 1 x

2

2(x 1)(2x 3)

k 2x 2x 4

D 2 16 18

2 22 3 2x

22

x 2 x 2 2

l -x² + 6x – 9

= -(x – 3)²


m 1

x² 2x 93

S 6

9 ; 3P 27

1

(x 9)(x 3)3

n x4 – 8x² - 9

stel x² = y

y² - 8y – 9

S 8

9 ; 1P 9

= (y – 9)(x + 1)

= (x² - 9)(x² + 1)

= (x – 3)(x + 3)(x² + 1)

o x4 – 16

= (x² - 4)(x² + 4)

= (x – 2)(x + 2)(x² + 4)

p 3x4 – 12x³ - 15x²

= 3x²(x² - 4x – 5)

S 4

5 ; 1P 5

= 3x²(x – 5)(x + 1)


Oef 22 blz 46

Los de volgende bikwadratische vergelijkingen op.

a x4 – 5x² + 4 = 0

stel x² = t

t² 5t 4 0

t 1 of t = 4

x² 1 of x² = 4

x 1 of x = 2

V = -1,1,-2,2

b x4 - 1 = 0

stel x² = t

t² 1 0

t 1 of t = -1

x² 1 of x² = -1

x 1 ---------

V = -1,1

c 9x4 – 85x² + 36 = 0

stel x² = t

9t² 85t 36 0

4t 9 of t =

9

4x² 9 of x² =

9

2x 3 of x =

3

2V 3,

3


d x4 – 2x² - 3 = 0

stel x² = t

t² 2t 3 0

t 1 of t = 3

x² 1 of x² = 3

x = 3

V 3

e 2x4 – 47x² - 75 = 0

stel x² = t

2t² 47t 75 0

3t 25 of t = -

2

3x² 25 of x² = -

2

x 5

V = 5

f 4x4 – 17x² + 4 = 0

stel x² = t

4t² 17t 4 0

1t 4 of t =

4

1x² 4 of x² =

4

1x 2 of x =

2

1V 2,

2


g 36x4 – 25x² + 4 = 0

stel x² = t

36t² 25t 4 0

1 4t of t =

4 9

1 4x² of x² =

4 9

1 2x of x =

2 3

1 2V ,

2 3

h x4 – 10x² + 9 = 0

stel x² = t

t² 10t 9 0

t 1 of t = 9

x² 1 of x² = 9

x 1 of x = 3

V 1, 3

i 2x4 – 50x² = 0

Stel x² = t

2t² 50t 0

t 0 of t = 25

x² 0 of x² = 25

x 0 of x = 5

V = 0, 5


j 3x4 + 7x² + 2 = 0

stel x² = t

3t² 7t 2 0

1t of t = -2

3

1x² of x² = -2

3

V =

k x4 – 7x² + 10 = 0

stel x² = t

t² 7t 10 0

t 5 of t = 2

x² 5 of x² = 2

x 5 of x = 2

V 5, 2

l 18x4 + 5x² - 2 = 0

stel x² = t

18t² 5t 2 0

2 1t of t = -

9 2

2 1x² of x² = -

9 2

2x

3

2V =

3


m 16x4 – 136x² + 225 = 0

stel x² = t

16t² 136t 225 0

9 25t of t =

4 4

9 25x² of x² =

4 4

3 5x of x =

2 2

3 5V ,

2 2

n 225x4 + 91x² - 4 = 0

stel x² = t

225t² 91t 4 0

1 4t v t = -

25 9

1 4x² v x² = -

25 9

1x -------

5

1V =

5

o 3x4 – 26x² - 9 = 0

stel x² = t

3t² 26t 9 0

1t 9 of t = -

3

1x² 9 of x² = -

3

x 3

V = 3


p x4 – 29x² + 100 = 0

stel x² = t

t² 29t 100 0

t 25 of t = 4

x² 25 of x² = 4

x 5 of x = 2

V = 5, 2


Oef 23 blz 46

Los de volgende vergelijkingen op.

a 6 3x 7x 8 0

3

2

3 3

stel x t

t 7t 8 0

S 7 8t 1 of t 8

P 8 1

x 1 of x 8

x 1 of x 2

V 2,1

b 6 3x 26x 27 0

3

2

3 3

stel x t

t 26t 27 0

S 26 1t 1 of t 27

P 27 27

x 1 of x 27

x 1 of x 3

V 1, 3

c 6 38x 15x 2 0

3

2

2

3 3

3

3

stel x t

8t 15t 2 0

1t of t 2 D 15 4.8.( 2) 289

8

1x of x 2

8

1x of x 2

2

1V , 2

2


d 8 4x 15x 16 0

4

2

4 4

stel x t

t 15t 16 0

S 15 1t 16 of t 1

P 16 16

x 16 of x 1

x 2

V 2 , 2

e 8 4x 65x 1296 0

4

2

4 4

stel x t

t 65t 1296 0

t 81 of t 16 D 9409

x 81 of x 16

x 3

V 3 , 3

f 10 5x 242x 243 0

5

2

5 5

stel x t

t 242t 243 0

S 242 1t 1 of t 243

P 243 243

x 1 of x 243

x 1 of x 3

V 3 , 1


g 7 45x 42x 16x 0

6 3

6 3

3

2

3 3

3

3

x 5x 42x 16 0

x 0 of 5x 42x 16 0

stel x t

x 0 of 5t 42t 16 0

2x 0 of t 8 of t D 1444

5

2x 0 of x 8 of x

5

50x 0 of x 2 of x

5

50V 0 , 2 ,

5

h 2

2 22x 3x 7 2x 3x 10 0

2

2

2 2

2 2

stel 2x 3x t

t 7 t 10 0

S 7 2t 5 of t 2

P 10 5

2x 3x 5 of 2x 3x 2

2x 3x 5 0 of 2x 3x 2 0

5 1x 1 of x of x 2 x

2 2

5 1V 1, , 2 ,

2 2


i 2

2 2x x 14 x x 24 0

2

2

2 2

2 2

stel x x t

t 14t 24 0

S 14 2t 2 of t 12

P 24 12

x x 2 of x x 12

x x 2 0 of x x 12 0

x 3 of x 4 of x 1 x 2

V 4, 2, 1, 3

j 2

2 22x x 14 x 2x 0

2

2

2 2

2 2

stel 2x x t

t t 0

t 0 of t 1

2x x 0 of 2x x 1

2x x 0 of 2x x 1 0

1 1x 0 of x of x 1 x

2 2

1 1V , 1, , 0

2 2

k 2

2 2x 4x 2 x 4x 15 0

2

2

2 2

stel x 4x t

t 2t 15 0

t 3 of t 5

x 4x 3 0 of x 4x 5 0

x 1 of x 3 of x 1 of x 5

V 1, 1, 3 , 5


l 22x x 2 x x 2 56 0

2

2 2

stel x(x 2) t

t t 56 0

t 8 of t 7

x 2x 8 0 of x 2x 7 0

x 2 of x 4 D 0

V 2 , 4

m 2

2 2x 6x 3 5 x 6x 3 50

2

2

2 2

stel x 6x 3 t

t 5t 50 0

t 10 of t 5

x 6x 7 0 of x 6x 8 0

x 1 of x 7 of x 2 x 4

V 1, 2 , 4 , 7

n 2

2 28 2x 5x 1 9 x 5x 2 8 0

2

2

2 2

stel 2x 5x 1 t

8t 9t 1 0

1t of t 1

8

92x 5x 0 of 2x 5x 2 0

8

1 9 1x of x of x 2 x

4 4 2

1 9 1V , , 2 ,

4 4 2


Oef 24 blz 46

Ontbind volgende veeltermen.

a 4 2x 5x 4

2 2x 1 x 4

(x 1)(x 1)(x 2)(x 2)

b 4 2x 2x 3

2 2

2

x 3 x 1

x 3 x 3 x 1

c 6 4 2x 10x 9x

2 4 2

2 2 2

2

x x 10x 9

x x 9 x 1

x (x 3)(x 3)(x 1)(x 1)

d 4 22x 14x 20

4 2

2 2

2 x 7x 10

2 x 5 x 2

2 x 5 x 5 x 2 x 2


(D)

2

2

2

a) als 1 - x 0 x 1,1 dan zoeken we de oplossingen van de vergelijking

1-x 1 x

De oplossingen zijn x = 0 en x = 1

b) als 1 - x 0 x , 1 1, dan zoeken we de oplossingen van de

vergelijking

2x 1 1 x

De oplossingen zijn x = 1 en x = -2

Er zijn dus drie oplossingen: 0, 1, -2.

Het product van de oplossingen van x² + kx + 3 = 0 is 3. Eén van de oplossingen is

gelijk aan 1, bijgevolg is de andere oplossingen gelijk aan 3.

(A) De vierkantsvergelijking heeft geen reële oplossingen omdat de discriminant van

de vergelijking voor elk reëel getal a negatief is.

Inderdaad: 2 2 2D a 8a 7a 0,voor alle 0 a .

Als a = 0, heeft de gegeven vergelijking ook geen oplossingen.


(D) Noteer de twee oplossingen van de vierkantsvergelijking 2x ax b 0 als

1 2x en x .

Dit betekent dat 1 2 1 2

a x x en b x .x .

Voor de discriminant geldt dus: 2 22

1 2 1 2 1 2D a 4b x x 4x x x x 25

(E)

(B) We herschrijven de vergelijking als 2 2 3 ( 1)( 3) 0

De oplossingen zijn dus =1 en = -3 wat gehele getallen zijn.


2

2

2

b b 4acDe twee oplossingen van de eerste vergelijking zijn: (1)

2a

b b 4acde twee oplossingen van de tweede vergelijking: (2)

2c

Stel dat a>0, zodat c<0.

b b 4acIn (1) is de grootste oplossing: (3)

2a

In

2b b 4ac(2) is de kleinste: (4)

2a

cBij deling van (3) door (4) verkrijgen we .

a

Als a<0 en c>0 nemen we uit (1) en (2) de oplossingen met een minteken voor

de vierkantswortel. Het resultaat van de deling

wijzigt niet.

1.3 Vergelijkingen Van de Tweede Graad - Kopiëren

Documents

Transcript of 1.3 Vergelijkingen Van de Tweede Graad - Kopiëren