1

Wiskunde–Semester2TheorieHoofdstuk1GetallenrijenBewijzen: pag.3+5+10+111.1GetallenrijenGetallenrij Eengeordende(oneindige)verzamelingvangetallen.

Notatie:{un}staatvooru1,u2,u3,…un,..un=dealgemenetermvandegetallenrij(vaakindevormvaneen‘formule’)

Constantegetallenrij

Wanneerdealgemenetermeenconstanteis(bijv.un=5)

Partieelsom Den-departieelsomvaneengetallenrijisdesomvandeeerstenelementenvaneengetallenrij.Notatie:𝑆" = (𝑢')"

')* = 𝑢* + 𝑢, + ⋯+ 𝑢"Reekssom Delimietvoorngaandenaar+∞vanden-departieelsom.

Notatie:𝑆 = lim"→23

𝑆" = (𝑢')3')* = 𝑢* + 𝑢, + 𝑢4 + ⋯

1.2SpecialegetallenrijenPartieelsomconstanteg.r.

𝑆" = 𝑛 ∙ 𝑢*

Rekenkundigegetallenrij

Hetverschiltussenopeenvolgendeelementenvanderij=constantd=notatievoorditverschil(kanooknegatiefgetalzijn!)Algemeneterm:𝑢" = 𝑢* + 𝑛 − 1 𝑑indiend=0àconstanteg.r.

Partieelsomrekenkundigerij

𝑆" = :;(𝑢* +𝑢")+ziebewijsp.3

Meetkundigegetallenrij

Deverhoudingtussenopeenvolgendeelementenvanderij=constantq=notatievoordezeverhouding=derede(kanookbreukzijn!)Algemeneterm:𝑢" = 𝑢* ∙ 𝑞"=*indienq=1àconstanteg.r

Partieelsommeetkundigerij

𝑆" = 𝑢* ∙*=>:

*=>+ziebewijsp.5

Hyperharmonischegetallenrij

Elkelementvanderijiseenvastenegatievemachtvandeindex.Algemeneterm:𝑢" = 𝑛=? =

*"@, 𝑚𝑒𝑡𝑝 > 0

1.3Annuïteiten Basisbegrippen A=startkapitaal

r=jaarlijkseinterestvoetEnkelvoudigeinterest

Naeenperiodevannjaarishetkapitaalaangegroeidtotdeeindwaarde:𝑆 = 𝐴 ∙ (1 + 𝑛 ∙ 𝑟)(alleenhetstartkapitaalbrengtwinstop)

Samengesteldeinterest

Naeenperiodevannjaarishetkapitaalaangegroeidtotdeeindwaarde:𝑆 = 𝐴 ∙ (1 + 𝑟)"(ookdeuitgekeerdeinterestbrengtwinstop,naasthetstartkapitaal)

ð makenwijsteedsgebruikvanKapitalisatie EindbedragwanneerjeAgedurendenjaarbelegtaaneenjaarlijkser:

𝑆 = 𝐴 ∙ (1 + 𝑟)" = 𝐴 ∙ 𝑢"=gekapitaliseerdebedrag

2

𝑢 = 1 + 𝑟=kapitalisatiefactorMerkup:u>1voorpositieveinterestvoeten

Actualisatie StartkapitaalomnaeenbelegginggedurendenjaaraaneenjaarlijksereeneindbedragStebereiken:𝐴 = 𝑆 ∙ (1 + 𝑟)=" = 𝑆 ∙ 𝑣"=geactualiseerdebedrag𝑣 = *

*2K= *

L=actualisatiefactor

Merkop:v<1voorpositieveinterestvoetenAnnuïteit Eenseriegelijkblijvendebetalingenopvastetijdstippen.

(bijv.omteberekenhoejeeenschuldofgeleendbedragkanaflosseninperiodiekebetalingentegeneenbepaaldeinterestvoet)R=degelijkejaarlijksebetalingen(telkensopheteindevandeperiode)r=jaarlijkseinterestvoet&n=aantalbetalingen

Slotwaarde/eindwaarde

Dewaardevanallebetalingensamenopheteindevandelaatsteperiode.

𝑆 = 𝑅 ∙𝑢" − 1𝑟

,𝑚𝑒𝑡𝑢 = 1 + 𝑟+ziebewijsp.10(belangrijk!)

Aanvangswaarde/beginwaarde

Dewaardevanallebetalensamenbijhetbeginvandeeersteperiode.

𝐴 = 𝑅 ∙1 − 𝑣"

𝑟,𝑚𝑒𝑡𝑣 =

1𝑢=

11 + 𝑟

+ziebewijsp.11(belangrijk!)

Aanvangswaardeversusslotwaarde

Altijdgeldt:𝑆 = 𝐴 ∙ 𝑢"(deslotwaardeishetgekapitaliseerdebedragvandeaanvangswaarde)𝐴 = 𝑆 ∙ 𝑣"(deaanvangswaardeishetgeactualiseerdebedragvandeslotwaarde)Verdergeldtsteeds:𝐴 < 𝑛 ∙ 𝑅 < 𝑆

3

Hoofdstuk2Taylor-enMacLaurinbenaderingenBestudeervoordithoofdstukookdeafgeleidenuitboek1.2.1FunctiesvanéénveranderlijkeMacLaurinontwikkeling(=oneindigesom)

Alsalleafleidenvaneenfunctief:ℝ→ℝbestaanvoorx=0dangeldt

𝑓 𝑥 = 𝑓 0 + 𝑓S 0 𝑥 +𝑓"(0)2

𝑥, + 𝑓′′′(0)6

𝑥4 + ⋯+𝑓 " 0𝑛!

𝑥" + ⋯

𝑜𝑓𝑓 𝑥 =𝑓 Z (0)𝑘!

3

Z)\

𝑥Z

Voorxindeomgevingvan0𝑓 \ 𝑥 = 𝑓(𝑥)Taylorontwikkeling(=oneindigesom)

Alsalleafleidenvaneenfunctief:ℝ→ℝbestaanvoorx=x0dangeldt

𝑓 𝑥 = 𝑓 𝑥\ + 𝑓S 𝑥\ 𝑥 − 𝑥\ + 𝑓"(𝑥\)2

𝑥 − 𝑥\ , + …

+𝑓 " 𝑥\

𝑛!𝑥 − 𝑥\ " + ⋯

𝑜𝑓𝑓 𝑥 =𝑓 Z (𝑥\)

𝑘!

3

Z)\

𝑥 − 𝑥\ Z

Voorxindeomgevingvanx0Benaderingen

WanneerjeeenTaylor-ofMacLaurinontwikkelingvaneenfunctieafbreektnaeenaantaltermen,krijgjeeenbenaderingvandezefunctie.

MacLaurinbenadering(=eindigesom)

Alsdeeerstenafgeleidenvaneenfunctief:ℝ→ℝbestaanvoorx=0

𝑓 𝑥 ≈ 𝑓 0 + 𝑓S 0 𝑥 +𝑓"(0)2

𝑥, + 𝑓′′′(0)6

𝑥4 + ⋯+𝑓 " 0𝑛!

𝑥"

𝑜𝑓𝑓 𝑥 ≈𝑓 Z (0)𝑘!

"

Z)\

𝑥Z

Taylorbenadering(=eindigesom)

Alsdeeerstenafgeleidenvaneenfunctief:ℝ→ℝbestaanvoorx=x0

𝑓 𝑥 ≈ 𝑓 𝑥\ + 𝑓S 𝑥\ 𝑥 −𝑥\ + 𝑓"(𝑥\)2

𝑥 − 𝑥\ , + …+𝑓 " 𝑥\

𝑛!𝑥 −𝑥\ "

𝑜𝑓𝑓 𝑥 ≈𝑓 Z (𝑥\)

𝑘!

"

Z)\

𝑥 − 𝑥\ Z

Opmerkingen o n=1àlineairbenadering(boek1)o n=2àkwadratischebenaderingo n=3àkubischebenaderingBenaderingbeterals:o Hogereorde(hoemeertermenjemeeneemt)o MacLaurinbenadering:naarmatedewaardexdichterbij0ligtTaylorbenadering:naarmatedewaardexdichterbijx0ligt

2.2FunctiesvantweeveranderlijkenMacLaurinbenaderingvanorde1

Alsdeeersteordepartiëleafgeleidenvaneenfunctief:ℝ→ℝbestaanencontinuzijnvoor(x,y)=(0,0),dankandefunctiewaardevooreenwaardevan(x,y)indebuurtvan(0,0)benaderdwordenals

𝑓 𝑥, 𝑦 ≈ 𝑓 0,0 +𝜕𝑓𝜕𝑥

0,0 𝑥 +𝜕𝑓𝜕𝑦

0,0 𝑦

4

MacLaurinbenaderingvanorde2

Alsdeeersteentweedeordepartiëleafgeleidenvaneenfunctief:ℝ→ℝbestaanencontinuzijnvoor(x,y)=(0,0),dankandefunctiewaardevooreenwaardevan(x,y)indebuurtvan(0,0)benaderdwordenals

𝑓 𝑥, 𝑦 ≈ 𝑓 0,0 +𝜕𝑓𝜕𝑥

0,0 𝑥 +𝜕𝑓𝜕𝑦

0,0 𝑦

+12𝜕,𝑓𝜕𝑥,

0,0 𝑥, + 2𝜕,𝑓𝜕𝑥𝜕𝑦

0,0 𝑥𝑦 +𝜕,𝑓𝜕𝑦,

0,0 𝑦,

Taylorbenaderingvanorde1

Alsdeeersteordepartiëleafgeleidenvaneenfunctief:ℝ→ℝbestaanencontinuzijnvoor(x,y)=(x0,y0),dankandefunctiewaardevooreenwaardevan(x,y)indebuurtvan(x0,y0)benaderdwordenals

𝑓 𝑥, 𝑦 ≈ 𝑓 𝑥\, 𝑦\ +𝜕𝑓𝜕𝑥

𝑥\, 𝑦\ (𝑥 − 𝑥\) +𝜕𝑓𝜕𝑦

𝑥\, 𝑦\ (𝑦 − 𝑦\)

Taylorbenaderingvanorde2

Alsdeeersteentweedeordepartiëleafgeleidenvaneenfunctief:ℝ→ℝbestaanencontinuzijnvoor(x,y)=(x0,y0),dankandefunctiewaardevooreenwaardevan(x,y)indebuurtvan(x0,y0)benaderdwordenals

𝑓 𝑥, 𝑦 ≈ 𝑓 𝑥\, 𝑦\ +𝜕𝑓𝜕𝑥

𝑥\, 𝑦\ (𝑥 − 𝑥\) +𝜕𝑓𝜕𝑦

𝑥\, 𝑦\ (𝑦 − 𝑦\)

+12𝜕,𝑓𝜕𝑥,

𝑥\, 𝑦\ (𝑥 − 𝑥\), + 2𝜕,𝑓𝜕𝑥𝜕𝑦

𝑥\, 𝑦\ 𝑥 − 𝑥\ (𝑦 − 𝑦\)

+𝜕,𝑓𝜕𝑦,

𝑥\, 𝑦\ (𝑦 − 𝑦\),

5

Hoofdstuk3MatricesBewijzen: pag.32+34+35+37+38+393.1DefinitiesMatrix Eenmatrixvanordemxn(m,n∈ℕ0)iseenblokreëlewaardenmet:

mrijenennkolommen.

𝐀 = (𝑎'f)')*,…,g;f)*,...," =

𝑎** 𝑎*, ⋯ 𝑎*"𝑎,* 𝑎,, ⋯ 𝑎,"⋮ ⋮ ⋱ ⋮

𝑎g* 𝑎g, ⋯ 𝑎g"

Elementaijbevindtzichinrijienkolomji=rij-indexenj=kolomindex

Vierkantematrix Heeftevenveelrijenalskolommen.Deordeisnxn(n∈ℕ0)àmatrixheeftorden/isvann-deorde(eenmatrixvanorde1x1iseengetal)

Hoofddiagonaal Deelementenvaneenvierkantematrixwaarbijrij-enkolomindexaanelkaargelijkzijn,dusdeelementen𝑎iimet1≤i ≤n

Nevendiagonaal Deelementenvaneenvierkantematrixa1n,a2,n-1,…,an1,

dusdeelementen𝑎i,n+1–imet1≤i ≤n

Spoor Desomvandehoofddiagonaalelementen(vaneenvierkantematrix)Kolommatrix=kolom=kolomvector

Eenmatrixmetordemx1(m∈ℕ0)𝑎*𝑎,⋮𝑎g

nulkolom=nulvector=kolommetallemaalnullen

Rijmatrix=rij=rijvector

Eenmatrixmetorde1xn(n∈ℕ0)𝑎* 𝑎, ⋯ 𝑎"

Diagonaalmatrix Eenvierkantenxnmatrixwaarinaldeelementendienietopdehoofddiagonaalstaan,gelijkzijnaannul.

𝐀 =

𝑎** 0 ⋯ 00 𝑎,, ⋯ 0⋮ ⋮ ⋱ ⋮0 0 ⋯ 𝑎""

Scalairematrix Eendiagonaalmatrixwaarinallehoofddiagonaalelementengelijkzijnaaneenzelfdegetala

𝐀 =

𝑎 0 ⋯ 00 𝑎 ⋯ 0⋮ ⋮ ⋱ ⋮0 0 ⋯ 𝑎

Eenheidsmatrix I" →Eenscalairematrixwaarbija=1Nulmatrix O" →Eenscalairematrixwaarbija=0,

ofweleenmxnmatrixmetallemaalnullen

6

Triangulairematrix/driehoeksmatrix

Eenmatrixwaarbijalleelementenaaneenzelfdekantvandehoofddiagonaalnulzijn.

Ondertriangulairematrix/benedendriehoeksmatrix

Alleelementenbovendehoofddiagonaalzijnnul.

𝑎ij = 0alsi <j Boventriangulairematrix/bovendriehoeksmatrix

Alleelementenonderdehoofddiagonaalzijnnul.

𝑎ij = 0alsi >j 3.2BewerkingenGelijkheid(definitie) Tweematrices𝐀en𝐁zijngelijkals

1) Dezematricesdezelfdeordehebben2) Allegelijkstandigeelementenaanelkaargelijkzijn:∀𝑖, ∀𝑗 ∶ 𝑎'f = 𝑏'f

Productvaneenmatrixmeteengetal

Eenmatrix𝐴 = (𝑎'f)')*,…,g;f)*,...,"vermenigvuldigenmeteenreëelgetalα=elkelementvandematrixmetdatgetalvermenigvuldigenDeordeblijftonveranderd.

𝛼 ∙ 𝐀 = 𝐀 ∙ 𝛼 =

𝛼 ∙ 𝑎** 𝛼 ∙ 𝑎*, ⋯ 𝛼 ∙ 𝑎*"𝛼 ∙ 𝑎,* 𝛼 ∙ 𝑎,, ⋯ 𝛼 ∙ 𝑎,"⋮ ⋮ ⋱ ⋮

𝛼 ∙ 𝑎g* 𝛼 ∙ 𝑎g, ⋯ 𝛼 ∙ 𝑎g"

Tegensteldematrix–A:dezebekomjevoorα=–1

−𝐀 = (−1) ∙ 𝐀 = 𝐀 ∙ −1 =

−𝑎** −𝑎*, ⋯ −𝑎*"−𝑎,* −𝑎,, ⋯ −𝑎,"⋮ ⋮ ⋱ ⋮

−𝑎g* −𝑎g, ⋯ −𝑎g"

Somenverschilvantweematrices

Tweematricesvandezelfdeordekunnenbijelkaaropgeteld(resp.vanelkaarafgetrokken)wordendoorallegelijkstandigeelementenbijelkaaroptetellen(resp.vanelkaaraftetrekken)

𝑨 + 𝑩 = 𝑪 ⇔ ∀𝑖, ∀𝑗 ∶ 𝑎'f + 𝑏'f = 𝑐'f 𝑨 − 𝑩 = 𝑪 ⇔ ∀𝑖, ∀𝑗 ∶ 𝑎'f − 𝑏'f = 𝑐'f

Commutatieveoptelling

Deoptellingvanmatricesiscommutatief(=verwisselbaar)𝑨 + 𝑩 = 𝑩 + 𝑨

VW1:ordevanA+B=ordevanB+A(definitiev/dsom)VW2:Elementoprijienkolomjà𝑎'f + 𝑏'f = 𝑏'f + 𝑎'f

Kenmerken VoortweereëlegetallenαenβentweematricesAenBvandezelfdeorde:𝛼 ∙ 𝑨 + 𝑩 = 𝛼 ∙ 𝑨 + 𝛼 ∙ 𝑩𝛼 + 𝛽 ∙ 𝑨 = 𝛼 ∙ 𝑨 + 𝛽 ∙ 𝑨𝛼 ∙ 𝛽 ∙ 𝑨 = 𝛽 ∙ 𝛼 ∙ 𝑨 = 𝛼 ∙ 𝛽 ∙ 𝑨+bewijzenkennen(m.b.v.definitiegelijkheid)

Productvantweematrices

Eenmatrixvanordemxkeneenmatrixvanordekxnkunnenmetelkaarvermenigvuldigdwordenalsvolgt:

𝑨 ∙ 𝑩 = 𝑪 ⇔ 𝑐'f = 𝑎'ℓ ∙ 𝑏ℓf, 𝑚𝑒𝑡1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛Z

ℓ)*

DematrixCheeftordemxn.ð Hetelement𝑐'f vindjedoorde𝑖-derijvandematrixAte

vermenigvuldigenmetde𝑗–dekolomvandematrixB.

7

Letop:devermenigvuldigingvanmatricesisnietcommutatiefInhetalgemeengeldtdat𝑨 ∙ 𝑩 ≠ 𝑩 ∙ 𝑨

Specialeproducten § Eenuitvoerbaarproductvaneenrijmeteenmatrix=terugeenrij1𝑥𝑘 ∙ 𝑘𝑥𝑛 = 1𝑥𝑛

§ Eenuitvoerbaarproductvaneenmatrixmeteenkolom=terugeenkolom𝑚𝑥𝑘 ∙ 𝑘𝑥1 = 𝑚𝑥1

§ Eenuitvoerbaarproductvaneenrijmeteenkolom=eengetal1𝑥𝑘 ∙ 𝑘𝑥1 = 1𝑥1

§ Eenproductvaneenkolommeteenrij=eenmatrix(luktaltijd!)𝑚𝑥1 ∙ 1𝑥𝑛 = 𝑚𝑥𝑛

Machtvaneenmatrix

Dek-demachtvaneenvierkantematrixAwordtgedefinieerdals𝑨Z = 𝑨 ∙ 𝑨 ∙ … ∙ 𝑨

Letop:dusnietgewoondatkwadraatbijelkelementzetten(behalvebijdiagonaalmatrix)

Machtvaneendiagonaalmatrix

Dek-demachtvaneendiagonaalmatrixisopnieuwdediagonaalmatrixmetalshoofddiagonaalelementendek-demachtvandeoriginelehoofddiagonaalelementen

Hetisnietzodatallerekenregelsdiegeldenvoorreëlegetallen,ookzullengeldenvoormatrices(wantmatrixvermenigvuldigingisniet-commutatief)3.3EigenschappenAssociatieveoptelling

Hetoptellenvanmatricesisassociatief:𝑨 + 𝑩 + 𝑪 = 𝑨 + 𝑩 + 𝑪 = 𝑨 + 𝑩 + 𝑪

Letop:devolgordeblijftduswelgelijk!Associatievevermenigvuldiging

Hetvermenigvuldigenvanmatricesisassociatief:𝑨 ∙ 𝑩 ∙ 𝑪 = 𝑨 ∙ 𝑩 ∙ 𝑪 = 𝑨 ∙ 𝑩 ∙ 𝑪

Letop:devolgordeblijftduswelgelijk!Distributiviteit Hetvermenigvuldigenvanmatricesisdistributieft.o.v.deoptelling:

Linksedistributiviteit:𝑨 ∙ 𝑩 + 𝑪 = 𝑨 ∙ 𝑩 + 𝑨 ∙ 𝑪Rechtsedistributiviteit: 𝑨 + 𝑩 ∙ 𝑪 = 𝑨 ∙ 𝑪 + 𝑩 ∙ 𝑪

Vermenigvuldigenmetnulmatrixofeenheidsmatrix

Vermenigvuldigenmetdenulmatrixgeeftdenulmatrix:𝑨 ∙ 𝑶 = 𝑶 = 𝑶 ∙ 𝑨

Vermenigvuldigenmetdeeenheidsmatrixgeeftdeoriginelematrix:𝑨 ∙ 𝑰 = 𝑨 = 𝑰 ∙ 𝑨

Nuldelers MennoemttweevermenigvuldigbarematricesAenBnuldelersindiengeldt:𝑨 ∙ 𝑩 = 𝑶𝒎𝒆𝒕𝑨 ≠ 𝑶𝒆𝒏𝑩 ≠ 𝑶

Dusuiteenuitdrukking𝐴 ∙ 𝐵 = 𝑂kanjenietbesluitendatA=OofB=OBeideledenvoor-ofnavermenigvuldigen

Uitdegelijkheid𝑨 = 𝑩volgtdateengelijkheidbehoudenblijftindien:𝑪 ∙ 𝑨 = 𝑪 ∙ 𝑩jebeideledenlinksvermenigvuldigtmetC𝑨 ∙ 𝑪 = 𝑩 ∙ 𝑪jebeideledenrechtsvermenigvuldigtmetCLetop:hetisbelangrijkdatjebeideledenvaneengelijkheidaandezelfdezijdevermenigvuldigt!Uit𝐴 = 𝐵volgtnietnoodzakelijkdat𝐶 ∙ 𝐴 = 𝐵 ∙ 𝐶ofdat𝐴 ∙ 𝐶 = 𝐶 ∙ 𝐵

Rekenenmetmatrices

WatNIETgeldt𝑨 ∙ 𝑩 ≠ 𝑩 ∙ 𝑨

𝑨 ∙ 𝑩 = 𝑨 ∙ 𝑪 ⤇≠ 𝑩 = 𝑪𝑨 + 𝑩 ∙ 𝑨 − 𝑩 ≠ 𝑨𝟐 − 𝑩𝟐

8

WatWELgeldt𝑨 ∙ 𝑩 = 𝑨 ∙ 𝑪 ⤇ 𝑨 ∙ 𝑩 − 𝑪 = 𝟎

(AenB-Ckunnennuldelerszijn→B–Ckan≠0zijn)𝑨 + 𝑩 ∙ 𝑨 − 𝑩 = 𝑨 + 𝑩 ∙ 𝑨 − 𝑨 + 𝑩 ∙ 𝑩 = 𝑨𝟐 + 𝑩 ∙ 𝑨 − 𝑨 ∙ 𝑩 − 𝑩𝟐

3.4TransponerenTransponeren Degetransponeerdematrixvaneenmatrixvanordemxniseenmatrixvan

ordenxmdiebestaatuitdeelementenvandeoorspronkelijkematrixwaarbijrijenenkolommenwerdenomgewisseld.Notatie:𝑨′of𝑨�

Getransponeerdev/egetransponeerde

(𝑨�)� = 𝑨(bewijssteuntopdegelijkheidvantweematrices)

Getransponeerdev/eveelvoud

(𝛼 ∙ 𝑨)� = 𝛼 ∙ 𝑨� (bewijssteuntopdegelijkheidvantweematrices)

Getransponeerdev/esom

VoormatricesAenBvangelijkeordegeldt:(𝑨 + 𝑩)� = 𝑨� + 𝑩� (bewijssteuntopdegelijkheidvantweematrices)

Getransponeerdev/esom

VoorvermenigvuldigbarematricesAenBgeldt:(𝑨 ∙ 𝑩)� = 𝑩� ∙ 𝑨� (bewijssteuntopdegelijkheidvantweematrices)

9

Hoofdstuk4DeterminantenBewijzen: pag.47+53+BB4.1DefinitieDeterminant AssocieerteengetalmetelkevierkantematrixDeterminantvanmatrixv.orde1x1

Dedeterminantvaneenvierkantematrix𝑨 = (𝑎**)vanorde1x1is:det𝐀 = 𝐀 = 𝑎**

Determinantvanmatrixv.orde2x2

Dedeterminantvaneenvierkantematrix𝑨 = 𝑎** 𝑎*,𝑎,* 𝑎,, vanorde2x2

is:det𝐀 = 𝐀 = 𝑎** ∙ 𝑎,, − 𝑎*, ∙ 𝑎,*ofwel:producthoofddiagonaal–productnevendiagonaal

RegelvanSarrus(matrixv.orde3x3) Dedeterminantv/evierkantematrix𝑨 =

𝑎** 𝑎*, 𝑎*4𝑎,* 𝑎,, 𝑎,4𝑎4* 𝑎4, 𝑎44

vanorde3x

3is:det 𝐀 = 𝐀 = 𝑎** ∙ 𝑎,, ∙ 𝑎44 + 𝑎*, ∙ 𝑎,4 ∙ 𝑎4* + 𝑎*4 ∙ 𝑎,* ∙ 𝑎4,−𝑎*4 ∙ 𝑎,, ∙ 𝑎4* − 𝑎** ∙ 𝑎,4 ∙ 𝑎4, − 𝑎*, ∙ 𝑎,* ∙ 𝑎44Ofwel:desomvandeproductenv/delementenopde“positieve”diagonalenwordenverminderdmetdesomvandeproductenv/delementenopde“negatieve”diagonalen.

Minor Eenmatrix𝐀vanordenxneneenelement𝑎'f 𝑚𝑒𝑡1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛

Deminor𝐀'f =dematrixvanorde(n–1)x(n–1)diejeverkrijgtdoordeindematrix𝐀dei-derijendej-dekolomwegteschrappen.

Cofactor Eenmatrix𝐀vanordenxneneenelement𝑎'f 𝑚𝑒𝑡1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛

Decofactor𝑐'f =dedeterminantv/dminorindiendesomvanrij-enkolomindexevenis&denegatievedeterminantv/dminorindiendezesomonevenis.𝑐'f = (−1)'2f ∙ det(𝐀'f)

10

Ontwikkelingsmethode(matrixv.orde>3x3)

Kieseenwillekeurigeriji ofkolom j(𝑚𝑒𝑡1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛)Dedeterminantvaneenvierkantematrix𝐀vanordenxnkanberekendwordendoorteontwikkelennaardei-derij:

det𝐀 = 𝐀 = 𝑎'* ∙ 𝑐'* + 𝑎', ∙ 𝑐', + ⋯+ 𝑎'" ∙ 𝑐'" = 𝑎'ℓ ∙ 𝑐'ℓ

"

ℓ)*

ofnaardej-dekolom:

det𝐀 = 𝐀 = 𝑎*f ∙ 𝑐*f + 𝑎,f ∙ 𝑐,f + ⋯+ 𝑎"f ∙ 𝑐"f = 𝑎ℓf ∙ 𝑐ℓf

"

ℓ)*

ð Wezullensteedsverkiezenteontwikkelennaareenrijofnaareenkolommetzoveelmogelijknullenin(=minderrekenwerk)

Determinantv/dgetransponeerde

Dedeterminantv/evierkantematrixisgelijkaandedeterminantv/dgetransponeerdevandiematrix:det 𝐀𝐓 = det(𝐀)

Reguliere&singulierematrices

Regulierevierkantmatrix⤇determinant≠0Singulierevierkantematrix⤇determinant=0

4.2Eigenschappen(wegaansteedsuitvaneenvierkantematrix,zodatdedeterminantberekendkanworden)Determinantvanmatrixmetnulrij

Dedeterminantvaneenmatrixmetminstenséénnulrijofminstenséénnulkolomisgelijkaan0.

Determinantvandriehoeksmatrix

Dedeterminantv/edriehoeksmatrix=productv/dhoofddiagonaalelementen.ð Bijgevolggeldt:determinantv/ediagonaalmatrix=productvande

hoofddiagonaalelementenð &determinantv/deenheidsmatrix=1

𝑑𝑒𝑡𝑎** 𝑎*, 𝑎*40 𝑎,, 𝑎,40 0 𝑎44

= 𝑎** ∙ 𝑎,, ∙ 𝑎44&𝑑𝑒𝑡𝑎** 0 00 𝑎,, 00 0 𝑎44

= 𝑎** ∙ 𝑎,, ∙ 𝑎44

Tweerijen/kolommenwisselen

Dedeterminantvaneenmatrixverandertvantekenwanneertweerijenoftweekolommenomgewisseldworden.

Tweegelijkerijen/kolommen

Dedeterminantvaneenmatrixmettweegelijkerijenoftweegelijkekolommenisgelijkaannul.

Rijofkolomvermenigvuldigenmeteenreëelgetal

Wanneermenineenmatrixeenrijofkolomvermenigvuldigtmeteenreëelgetal,danwordtookdedeterminantvermenigvuldigtmetditreëelgetal.

𝑑𝑒𝑡𝜶 ∙ 𝑎** 𝜶 ∙ 𝑎*, 𝜶 ∙ 𝑎*4𝑎,* 𝑎,, 𝑎,4𝑎4* 𝑎4, 𝑎44

= 𝜶 ∙ 𝑑𝑒𝑡𝑎** 𝑎*, 𝑎*4𝑎,* 𝑎,, 𝑎,4𝑎4* 𝑎4, 𝑎44

(dezeeigenschapkunjebv.gebruikenalserveelbreukenineenbepaalderij/kolomstaan)+ziebewijsopBB

Matrixvermenigvuldigenmeteenreëelgetal

Wanneermenineennxnmatrixalleelementenvermenigvuldigtmeteenreëelgetalα,danwordtdedeterminantvermenigvuldigdmetαn.

𝑑𝑒𝑡𝜶 ∙ 𝑎** 𝜶 ∙ 𝑎*, 𝜶 ∙ 𝑎*4𝜶 ∙ 𝑎,* 𝜶 ∙ 𝑎,, 𝜶 ∙ 𝑎,4𝜶 ∙ 𝑎4* 𝜶 ∙ 𝑎4, 𝜶 ∙ 𝑎44

= 𝜶𝒏 ∙ 𝑑𝑒𝑡𝑎** 𝑎*, 𝑎*4𝑎,* 𝑎,, 𝑎,4𝑎4* 𝑎4, 𝑎44

Tipvoorhandiggebruik:𝑑𝑒𝑡 −𝐀 = (−1)" ∙ 𝑑𝑒𝑡 𝐀 =..Alsn=even:𝑑𝑒𝑡 −𝐀 = 𝑑𝑒𝑡 𝐀 Alsn=oneven:𝑑𝑒𝑡 −𝐀 = −𝑑𝑒𝑡 𝐀

Algemeengeldig Inhetalgemeengeldtdat:det 𝐀 + 𝐁 ≠ det 𝐀 + det(𝐁)

11

Determinantopsplitsenvolgensrijofkolom

Wanneerineenmatrixeenrijgelijkisaandesomvantweerijen,dankandedeterminantopgesplitstwordenvolgensdierij.(analogewerkwijzevooreenkolom)Beschouwmatrix𝐀waarindei-derijteschrijvenisalsdesomvantweerijen:

𝑎'* 𝑎', ⋯ 𝑎'" = 𝑏* 𝑏, ⋯ 𝑏" + 𝑐* 𝑐, ⋯ 𝑐" Dangeldt:

det 𝐀 = det

𝑎** 𝑎*, ⋯ 𝑎*"⋮ ⋮ ⋮ ⋮

𝑎'=*,* 𝑎'=*,, ⋯ 𝑎'=*,"𝑏* 𝑏, ⋯ 𝑏"

𝑎'2*,* 𝑎'2*,, ⋯ 𝑎'2*,"⋮ ⋮ ⋮ ⋮𝑎"* 𝑎", ⋯ 𝑎""

+ det

𝑎** 𝑎*, ⋯ 𝑎*"⋮ ⋮ ⋮ ⋮

𝑎'=*,* 𝑎'=*,, ⋯ 𝑎'=*,"𝑐* 𝑐, ⋯ 𝑐"

𝑎'2*,* 𝑎'2*,, ⋯ 𝑎'2*,"⋮ ⋮ ⋮ ⋮𝑎"* 𝑎", ⋯ 𝑎""

(dezeeigenschapkunjebv.gebruikenomeenmatrixtevereenvoudigen)+ziebewijsopBB

Bijeenrij/kolomeenveelvoudvaneenandererij/kolomoptellen

Dedeterminantvaneenmatrixwijzigtnietwanneermenbijeenrijeenveelvoudvaneenandererijoptelt(hetzelfdegeldtvooreenkolom).

det 𝐀 = det

𝑎** 𝑎*, ⋯ 𝑎*"⋮ ⋮ ⋮ ⋮𝑎'* 𝑎', ⋯ 𝑎'"𝑎f* 𝑎f, ⋯ 𝑎f"⋮ ⋮ ⋮ ⋮𝑎"* 𝑎", ⋯ 𝑎""

= det

𝑎** 𝑎*, ⋯ 𝑎*"⋮ ⋮ ⋮ ⋮

𝑎'* + 𝛼 ∙ 𝑎f* 𝑎', + 𝛼 ∙ 𝑎f, ⋯ 𝑎'" + 𝛼 ∙ 𝑎f"𝑎f* 𝑎f, ⋯ 𝑎f"⋮ ⋮ ⋮ ⋮𝑎"* 𝑎", ⋯ 𝑎""

Tipvoorhandiggebruik:omdeteontwikkelenmatrixtevereenvoudigen.

Determinantvaneenproduct

Dedeterminantvaneenproductvantweematricesisgelijkaanhetproductvandeafzonderlijkedeterminanten.

det 𝐀 ∙ 𝐁 = det 𝐀 ∙ det 𝐁 = det(𝐁 ∙ 𝐀)Merkopdatinhetalgemeen

𝑨 ∙ 𝑩 ≠ 𝑩 ∙ 𝑨Letop:ditgeldtnietvoordesomA+B!

Tip:gebruikdeeigenschappenvandeterminantenomzoveelmogelijknullentecreërenindete-ontwikkelen-matrix(voornamelijk“bijeenrij/kolomeenveelvoudvaneenandererij/kolomoptellen”)

12

Hoofdstuk5Kwadratischevormen5.1Symmetrischematrices Symmetrischematrix

Eenvierkantematrixdiegelijkisaanzijngetransponeerde:𝐀 = 𝐀�

Dedriehoekenbovenenonderdehoofddiagonaalzijnelkaarsspiegelbeeld.Hetelementoprijienkolomjisgelijkaanhetelementoprijjenkolomi.

Eigenschap Vooreenwillekeurigemxnmatrix𝐀geldtdat𝐀 ∙ 𝐀�steedssymmetrischisendat𝐀� ∙ 𝐀steedssymmetrischis.Dus𝐀 ∙ 𝐀� = (𝐀 ∙ 𝐀�)�en𝐀� ∙ 𝐀 = (𝐀� ∙ 𝐀)�

5.2Definitiematrices(jegaathieruitvansymmetrischematrices)Definietematrix Vooreensymmetrischematrix𝐀vanordenxn&elkekolomx≠0geldt:

Positiefdefiniet:𝐱� ∙ 𝐀 ∙ 𝐱 > 0Negatiefdefiniet:𝐱� ∙ 𝐀 ∙ 𝐱 < 0Non-definiet:indien𝐀nietpositiefdefinietennietnegatiefdefinietis(elkekolomx≠0metnelementen)

Kwadratischevorm

q 𝐱 = 𝐱� ∙ 𝐀 ∙ 𝐱

𝑞 𝑥 = 𝑥* 𝑥, ⋯ 𝑥" ∙

𝑎** 𝑎*, ⋯ 𝑎*"𝑎,* 𝑎,, ⋯ 𝑎,"⋮ ⋮ ⋱ ⋮𝑎"* 𝑎", ⋯ 𝑎""

∙

𝑥*𝑥,⋮𝑥"

𝑞 𝑥 = 𝑥* 𝑥, ⋯ 𝑥" ∙

𝑎** ∙ 𝑥* + 𝑎*, ∙ 𝑥, + ⋯+ 𝑎*" ∙ 𝑥"𝑎,* ∙ 𝑥* + 𝑎,, ∙ 𝑥, + ⋯+ 𝑎," ∙ 𝑥"

⋮𝑎"* ∙ 𝑥* + 𝑎", ∙ 𝑥, + ⋯+ 𝑎"" ∙ 𝑥"

= 𝑎**𝑥*, + 𝑎,,𝑥,, + ⋯+𝑎""𝑥", + 2𝑎*,𝑥*𝑥, + 2𝑎*4𝑥*𝑥4 + ⋯+ 2𝑎"=*,"𝑥"=*𝑥"Kwaadraattermen:determen𝑥',Producttermen:determen𝑥'𝑥f(𝑖 ≠ 𝑗)Hoofddiagonaalelementenvan𝐀⤇decoëfficiëntenv/dkwadraattermenAndereelementenvan𝐀⤇dehalvecoëfficiëntenv/dproducttermen(optellen)

Definietematricesvanorde2x2

Eensymmetrischematrix𝐀 = 𝑎 𝑏𝑏 𝑐 is

Positiefdefiniet:indien𝒂 > 0en det 𝐀 > 0 Negatiefdefiniet:indien𝒂 < 0en det 𝐀 > 0Non-definiet:inalleanderegevallen

Definietematricesvanorde3x3 Eensymmetrischematrix𝐀 =

𝑎 𝑏 𝑐𝑏 𝑑 𝑒𝑐 𝑒 𝑓

is

Positiefdefiniet:indien𝒂 > 0𝑒𝑛 det 𝑎 𝑏𝑏 𝑑 > 0𝑒𝑛 det 𝐀 > 0

Negatiefdefiniet:indien𝒂 < 0𝑒𝑛 det 𝑎 𝑏𝑏 𝑑 > 0𝑒𝑛 det 𝐀 < 0

Non-definiet:inalleanderegevallen

13

Hoofdstuk6Afleidenvanennaarmatrices–Hessiaansematrix6.1AfleidenvaneenmatrixAlsdemxn-matrix𝐀afleidbarefunctiesbevatmetalsonafhankelijkeveranderlijket,danwordtdeafgeleidevan𝐀naartgedefinieerdealsdemxn-matrixbestaandeuitalleafgeleidefuncties:

d𝐀d𝑡

=dd𝑡

𝑎**(𝑡) 𝑎*,(𝑡) ⋯ 𝑎*"(𝑡)𝑎,*(𝑡) 𝑎,,(𝑡) ⋯ 𝑎,"(𝑡)⋮ ⋮ ⋱ ⋮

𝑎g*(𝑡) 𝑎g,(𝑡) ⋯ 𝑎g"(𝑡)

=

d𝑎**(𝑡)d𝑡

d𝑎*,(𝑡)d𝑡

⋯d𝑎*"(𝑡)d𝑡

d𝑎,*(𝑡)d𝑡

d𝑎,,(𝑡)d𝑡

⋯d𝑎,"(𝑡)d𝑡

⋮ ⋮ ⋱ ⋮d𝑎g*(𝑡)d𝑡

d𝑎g,(𝑡)d𝑡

⋯d𝑎g"(𝑡)

d𝑡

6.2AfleidenvaneenfunctienaareenmatrixAfgeleidevaneenfunctienaareenkolom

Webekomeneenkolommetdaarinalleeersteordepartiëleafgeleidenvandefunctief⤇gradiëntvan fAls𝑦 = 𝑓(𝑥*, 𝑥,, … , 𝑥")eenpartieelafleidbarefunctieisvannonafhankelijkeveranderlijken𝑥',dandefinieertmen

deafgeleidevanynaardekolom𝐱 =

𝑥*𝑥,⋮𝑥"

𝑎𝑙𝑠d𝑦d𝐱

=

𝜕𝑓𝜕𝑥*𝜕𝑓𝜕𝑥,⋮𝜕𝑓𝜕𝑥"

Afgeleidevaneenfunctienaareenrij

Webekomeneenrijmetdaarinalleeersteordepartiëleafgeleidenv/dfunctiefAls𝑦 = 𝑓(𝑥*, 𝑥,, … , 𝑥")eenpartieelafleidbarefunctieisvannonafhankelijkeveranderlijken𝑥',dandefinieertmen

deafgeleidevanynaarderij𝐱� = 𝑥* 𝑥, ⋯ 𝑥"

𝑎𝑙𝑠d𝑦d𝐱�

=𝜕𝑓𝜕𝑥*

𝜕𝑓𝜕𝑥,

⋯𝜕𝑓𝜕𝑥"

Eigenschap(vandeafgeleidenvaneenfunctienaareenrij/kolom)

Deafgeleidevaneenfunctie𝑦 = 𝑓(𝑥*, 𝑥,, … , 𝑥")naareenkolom𝐱 =

𝑥*𝑥,⋮𝑥"

isdegetransponeerdevandeafgeleidevandefunctienaarderij𝐱�.Afgeleidevaneenfunctienaareenmatrix

Webekomeneenmatrixmetdaarinalleeersteordepartiëleafgeleidenv/dfunctief.Als𝑦 = 𝑓(𝑥**, 𝑥*,, … , 𝑥g")eenpartieelafleidbarefunctieisvanmxnonafhankelijkeveranderlijken𝑥'f,dandefinieertmen

deafgeleidevanynaardematrix𝐱 =

𝑥** 𝑥*, ⋯ 𝑥*"𝑥,* 𝑥,, ⋯ 𝑥,"⋮ ⋮ ⋱ ⋮

𝑥g* 𝑥g, ⋯ 𝑥g"

𝑎𝑙𝑠

14

d𝑦d𝐱�

=

𝜕𝑓𝜕𝑥**

𝜕𝑓𝜕𝑥*,

⋯𝜕𝑓𝜕𝑥*"

𝜕𝑓𝜕𝑥,*

𝜕𝑓𝜕𝑥,,

⋯𝜕𝑓𝜕𝑥,"

⋮ ⋮ ⋱ ⋮𝜕𝑓𝜕𝑥g*

𝜕𝑓𝜕𝑥g,

⋯𝜕𝑓𝜕𝑥g"

6.3Afleidenvaneenrijnaareenkolom/afgeleidevaneenkolomnaareenrij(nooitrijnaarrijofkolomnaarkolom)Beschouwmpartieelafleidbarefuncties𝑓*, … , 𝑓g.Elkefunctie𝑓f (met1≤j≤m)iseenfunctievannonafhankelijkeveranderlijken𝑥*, 𝑥,, … , 𝑥":

𝑓f:ℝ" → ℝ: 𝑥*, 𝑥,, … , 𝑥" ↦ 𝑓f: 𝑥*, 𝑥,, … , 𝑥" Afgeleidevaneenrijnaareenkolom(rijmetfunctieswordtafgeleidnaareenkolommetdaarindeonafhankelijkeveranderlijken)

Webekomeneennxm-matrixmetalleeersteordepartiëleafgeleidenvandefuncties𝑓f.Hetelementopplaats(i,j)isdepartiëleafgeleidevandej-defunctienaardei-deveranderlijke.Als𝐲� = (𝑦* 𝑦, ⋯ 𝑦g),waarbijdeelementen𝑦f = 𝑓f(𝑥*, 𝑥,, … , 𝑥")

dandefinieertmendeafgeleidevan𝐲�naardekolom𝐱 =

𝑥*𝑥,⋮𝑥"

𝑎𝑙𝑠

d𝐲�

d𝐱=

𝜕𝑓*𝜕𝑥*

𝜕𝑓,𝜕𝑥*

⋯𝜕𝑓g𝜕𝑥*

𝜕𝑓*𝜕𝑥,

𝜕𝑓,𝜕𝑥,

⋯𝜕𝑓g𝜕𝑥,

⋮ ⋮ ⋱ ⋮𝜕𝑓*𝜕𝑥"

𝜕𝑓,𝜕𝑥"

⋯𝜕𝑓g𝜕𝑥"

Afgeleidevaneenkolomnaareenrij(kolommetfunctieswordtafgeleidnaareenrijmetdaarindeonafhankelijkeveranderlijken)

Webekomeneenmxn-matrixmetalleeersteordepartiëleafgeleidenvandefuncties𝑓f.Hetelementopplaats(j,i)isdepartiëleafgeleidevandej-defunctienaardei-deveranderlijke.=Jacobiaansematrixvan𝑓*, … , 𝑓g

Als𝐲 =

𝑦*𝑦,⋮𝑦g

,waarbijdeelementen𝑦f = 𝑓f(𝑥*, 𝑥,, … , 𝑥")dan

definieertmendeafgeleidevan𝐲naarderij𝐱� = (𝑥* 𝑥, ⋯ 𝑥")𝑎𝑙𝑠

d𝐲d𝐱�

=

𝜕𝑓*𝜕𝑥*

𝜕𝑓*𝜕𝑥,

⋯𝜕𝑓*𝜕𝑥"

𝜕𝑓,𝜕𝑥*

𝜕𝑓,𝜕𝑥,

⋯𝜕𝑓,𝜕𝑥"

⋮ ⋮ ⋱ ⋮𝜕𝑓g𝜕𝑥*

𝜕𝑓g𝜕𝑥,

⋯𝜕𝑓g𝜕𝑥"

Eigenschap Deafgeleidevaneenrij𝐲�naareenkolom𝐱isdegetransponeerdevandeafgeleidevandekolom𝐲naarderij𝐱�.

15

6.4HessiaansematrixVooreenpartieelafleidbarefunctie𝑓:ℝ" → ℝ: 𝑥*, 𝑥,, … , 𝑥" ↦ 𝑦 = 𝑓: 𝑥*, 𝑥,, … , 𝑥" geldt

Hessiaan/Hessiaansematrix=detweedeafgeleidevandefunctie𝑓naardekolom𝐱 =

𝑥*𝑥,⋮𝑥"

𝐻¤ =d,𝑓dx,

=dd𝐱

d𝑓d𝐱

�

=dd𝐱

𝜕𝑓𝜕𝑥*

𝜕𝑓𝜕𝑥,

⋯𝜕𝑓𝜕𝑥"

=

𝜕,𝑓𝜕𝑥*,

𝜕,𝑓𝜕𝑥,𝜕𝑥*

⋯𝜕,𝑓

𝜕𝑥*𝜕𝑥"𝜕,𝑓

𝜕𝑥,𝜕𝑥*𝜕,𝑓𝜕𝑥,,

⋯𝜕,𝑓

𝜕𝑥,𝜕𝑥"⋮ ⋮ ⋱ ⋮

𝜕,𝑓𝜕𝑥"𝜕𝑥*

𝜕,𝑓𝜕𝑥"𝜕𝑥,

⋯𝜕,𝑓𝜕𝑥",

Of:

𝐻¤ 𝑥*, … , 𝑥" =

𝑓**SS 𝑥*, … , 𝑥" 𝑓*,SS 𝑥*, … , 𝑥" ⋯ 𝑓*"SS 𝑥*, … , 𝑥"𝑓,*SS 𝑥*, … , 𝑥" 𝑓,,SS 𝑥*, … , 𝑥" ⋯ 𝑓,"SS 𝑥*, … , 𝑥"

⋮ ⋮ ⋱ ⋮𝑓"*SS 𝑥*, … , 𝑥" 𝑓",SS 𝑥*, … , 𝑥" ⋯ 𝑓""SS 𝑥*, … , 𝑥"

Webekomendematrixbestaandeuitallepartiëleafgeleidenvandetweedeorde.

Merkop:voorfunctiesmetcontinuepartiëleafgeleidenzaldeHessiaanaltijdeensymmetrischematrixzijn.

16

Hoofdstuk7Vrijeextrema–ExtremazondernevenvoorwaardenBewijzen: pag.767.1Vrijextrema–tweeveranderlijkenLokaleextrema Eenfunctie𝑓:ℝ, → ℝbereiktinhetpunt(𝑥\, 𝑦\)een:

(indienvoorelkpunt(𝑥, 𝑦)indebuurtvanhetpunt(𝑥\, 𝑦\)geldtdat)Lokaalmaximum:𝑓(𝑥, 𝑦) ≤ 𝑓(𝑥\, 𝑦\)Lokaalminimum:𝑓(𝑥, 𝑦) ≥ 𝑓(𝑥\, 𝑦\)

Lokaleextrema–eersteordevoorwaarde

Eenpartieelafleidbarefunctie𝑓:ℝ, → ℝkanenkeleenlokaalextremumbereikeninhetpunt 𝑥\, 𝑦\ ,alsditpunteenstationairofkritischpuntis:

𝑓¦S 𝑥\, 𝑦\ = 0𝑓§S 𝑥\, 𝑦\ = 0

ð Noodzakelijkvoorwaarde,maargeenvoldoendevoorwaardeHessiaaninpunt–2veranderlijken

Vooreenpartieelafleidbarefunctie𝑓:ℝ, → ℝ: 𝑥, 𝑦 ↦ 𝑓: 𝑥, 𝑦 wordtdeHessiaanofHessiaansematrixineenpunt(𝑥\, 𝑦\)gedefinieerdals

𝐻¤ 𝑥\, 𝑦\ =𝑓¦¦SS (𝑥\, 𝑦\) 𝑓¦§SS (𝑥\, 𝑦\)𝑓§¦SS (𝑥\, 𝑦\) 𝑓§§SS (𝑥\, 𝑦\)

TekenHessiaan DeHessiaansematrix𝐻¤ 𝑥\, 𝑦\ is

Positiefdefiniet:indien𝑓¦¦SS 𝑥\, 𝑦\ > 0𝑒𝑛 det 𝐻¤ 𝑥\, 𝑦"\ > 0Negatiefdefiniet:indien𝑓¦¦SS 𝑥\, 𝑦\ < 0𝑒𝑛 det 𝐻¤ 𝑥\, 𝑦"\ > 0Non-definiet:inalleanderegevallen

Lokaleextrema–tweedeordevoorwaarde

Beschouweenpartieelafleidbarefunctie𝑓metcontinupartiëleafgeleideneneenstationairpunt(𝑥\, 𝑦\)->LokaalextremumindiendeHessiaan𝐻¤ 𝑥\, 𝑦"\ positiefofnegatiefdefinietis.Lokaalmaximum:𝐻¤ 𝑥\, 𝑦"\ = 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑒𝑓𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑒𝑡Lokaalminimum:𝐻¤ 𝑥\, 𝑦"\ = 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑒𝑓𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑒𝑡Zadelpunt:𝐻¤ 𝑥\, 𝑦"\ = 𝑛𝑜𝑛 − 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑒𝑡

Opmerkingenvoorberekeningen

- Mogelijkkomteruitde1eordevoorwaardemeerdanéénstationairpunt–>benaderdezedanapartviade2eordevoorwaarde.

- Eenmaaljehebtbeslotenwateenfunctiebereiktineenstationairpunt 𝑥\, 𝑦\ ,berekendanookdefunctiewaardeinditpuntdoor𝑥\, 𝑦\ intevullenindeorigineleformule.

7.2WinstmaximalisatieBeschouweenmonopolistdietweegoederenproduceert:Hoeveelheden=q1enq2 & Prijzen=p1enp2Vraagfuncties: 𝐷*:ℝ2×ℝ2 → ℝ2: 𝑝*, 𝑝, ↦ 𝑞* = 𝐷* 𝑝*, 𝑝, 𝐷,:ℝ2×ℝ2 → ℝ2: 𝑝*, 𝑝, ↦ 𝑞, = 𝐷, 𝑝*, 𝑝,

ð m.a.w.dehoeveelhedenq1enq2zijnallebeiafhankelijkvandeprijzenp1enp2.Winst=hetverschiltussenopbrengstenenkostenà2manierenomteberekenen.(uitgedruktinfunctievandegeproduceerdehoeveelhedenq1enq2ofinfunctievanderespectievelijkeprijzenp1enp2)

17

Winstuitgedruktinfunctiev/dprijzenp1enp2(ofwelviadevraagfuncties).𝑊 𝑝*, 𝑝, = 𝑅 𝑝*, 𝑝, − 𝐾 𝑝*, 𝑝, , waarbij𝑅 𝑝*, 𝑝, = 𝑝* ∙ 𝐷* 𝑝*, 𝑝, + 𝑝, ∙ 𝐷, 𝑝*, 𝑝,

Eersteordevoorwaarde: ZoekdestationairepuntenvanW,ofwelallecombinaties𝑝*\𝑒𝑛𝑝,\

𝜕𝑊𝜕𝑝*

𝑝*\, 𝑝,\ = 0

𝜕𝑊𝜕𝑝,

𝑝*\, 𝑝,\ = 0

Tweedeordevoorwaarde: Eenstationairpunt 𝑝*\, 𝑝,\ zalzorgenvoormaximalewinstenindien:

𝐻¯ 𝑝*\, 𝑝,\ =

𝜕,𝑊𝜕𝑝*,

𝑝*\, 𝑝,\𝜕,𝑊𝜕𝑝*𝜕𝑝,

𝑝*\, 𝑝,\

𝜕,𝑊𝜕𝑝*𝜕𝑝,

𝑝*\, 𝑝,\𝜕,𝑊𝜕𝑝,,

𝑝*\, 𝑝,\𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑒𝑓𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑒𝑡𝑖𝑠

Tip:antwoordbijeenverhaaltjesopgavemeteenmooieconclusiezin.7.3Vrijextrema–nveranderlijken(erganaloogaandefinitieseneigenschappeninpar1)Lokaleextrema Eenfunctie𝑓:ℝ" → ℝbereiktinhetpunt(𝑥*\, … , 𝑥"\)een:

(indienvoorelkpunt(𝑥*, … , 𝑥")indebuurtvanhetpunt(𝑥10,… , 𝑥𝑛0)geldtdat)Lokaalmaximum:𝑓(𝑥1, … , 𝑥𝑛) ≤ 𝑓(𝑥10, … , 𝑥𝑛0)Lokaalminimum:𝑓(𝑥*, … , 𝑥") ≥ 𝑓(𝑥*\, … , 𝑥"\)

Lokaleextrema–eersteordevoorwaarde

Eenpartieelafleidbarefunctie𝑓:ℝ" → ℝkanenkeleenlokaalextremumbereikeninhetpunt 𝑥*\, … , 𝑥"\ ,alsditpunteenstationairofkritischpuntis:

𝑓*S 𝑥*\, … , 𝑥"\ = 0⋮

𝑓"S 𝑥*\, … , 𝑥"\ = 0

ð Noodzakelijkvoorwaarde,maargeenvoldoendevoorwaardeHessiaaninpunt–2veranderlijken

Vooreenpartieelafleidbarefunctie𝑓:ℝ" → ℝwordtdeHessiaanofHessiaansematrixineenpunt(𝑥*\, … , 𝑥"\)gedefinieerdals

𝐻¤ 𝑥*\, … , 𝑥"\ =

𝑓**SS 𝑥*\, … , 𝑥"\ 𝑓*,SS 𝑥*\, … , 𝑥"\ ⋯ 𝑓*"SS 𝑥*\, … , 𝑥"\

𝑓,*SS 𝑥*\, … , 𝑥"\ 𝑓,,SS 𝑥*\, … , 𝑥"\ ⋯ 𝑓,"SS 𝑥*\, … , 𝑥"\⋮ ⋮ ⋱ ⋮

𝑓"*SS 𝑥*\, … , 𝑥"\ 𝑓",SS 𝑥*\, … , 𝑥"\ ⋯ 𝑓""SS 𝑥*\, … , 𝑥"\

Lokaleextrema–tweedeordevoorwaarde

Beschouweenpartieelafleidbarefunctie𝑓metcontinupartiëleafgeleideneneenstationairpunt(𝑥10,… ,𝑥𝑛0)Lokaalmaximum:𝐻¤ 𝑥*\, … , 𝑥"\ = 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑒𝑓𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑒𝑡Lokaalminimum:𝐻¤ 𝑥*\, … , 𝑥"\ = 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑒𝑓𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑒𝑡Geenextrema:𝐻¤ 𝑥*\, … , 𝑥"\ = 𝑛𝑜𝑛 − 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑒𝑡

Inhetalgemeengeldt:1eordeVW= Zoekstationairepunten2eordeVW= Gavoorelkstationairpuntnaofheteenlokaalminimum,minimumofzadelpuntis.

18

Hoofdstuk8Gebondenextrema–ExtremamétnevenvoorwaardenKijkgoednaardeformulering:jemoetzelfbepalenofersprakeisvaneennevenvoorwaarde.8.1Gebondenextrema–tweeveranderlijkenGebondenextremum–probleemtweeveranderlijken

Bijeengebondenextremum-probleemzoekenwedeextremav/efunctie𝑓:ℝ, → ℝ: 𝑥, 𝑦 ↦ 𝑓: 𝑥, 𝑦

ondereenvoorwaarde(nevenwaarde)𝑔 𝑥, 𝑦 = 𝐶.

Doelfunctie=defunctie𝑓Toegelaten/bruikbarepunten=punten 𝑥, 𝑦 dievoldoenaandevoorwaarde

ð Wezoekenonderalletoegelatenpunten(=depuntendievoldoenaandevoorwaarde),naardiepuntenwaar𝑓invergelijkingmetdefunctiewaardeinanderetoegelatenpunteneen(lokaal)maximumofminimumbereikt.

Gebondenextrema–eersteordevoorwaarde

Eenpartieelafleidbarefunctie𝑓:ℝ, → ℝkanenkeleenextremumbereikeninhetpunt 𝑥\, 𝑦\ ,onderdevoorwaarde𝑔 𝑥, 𝑦 = 𝐶,alsditpuntdeeluitmaaktvaneenstationairpuntvoordeLagrange-functie

𝐿 𝑥, 𝑦, λ = 𝑓 𝑥, 𝑦 − λ(g x, y − C)i.e.alsereenwaardeλ\bestaatwaarvoor

𝐿¦S 𝑥\, 𝑦\, λ\ = 0𝐿§S 𝑥\, 𝑦\, λ\ = 0𝐿³S 𝑥\, 𝑦\, λ\ = 0

(dezederdeisgelijkaandenevenvoorwaarde)of

𝑓¦S 𝑥\, 𝑦\) − λ\𝑔¦S 𝑥\, 𝑦\ = 0

𝑓§S 𝑥\, 𝑦\) − λ\𝑔§S 𝑥\, 𝑦\ = 0𝑔 𝑥\, 𝑦\ = 𝐶

BetekenisLagrange-multiplicator

DeLagrange-multiplicator𝜆\geeftaanhoedeoptimalewaardev/ddoelfunctiezalveranderenwanneerdewaardevanCindenevenvoorwaardewordtgewijzigd:

𝑓\ 𝐶 + 1 ≈ 𝑓\ 𝐶 + λ\Ofook:alsdewaardevanCvarieert,danzalookhetoptimumvariëren,dus𝑥\ = 𝑥\ 𝐶 , 𝑦\ = 𝑦\ 𝐶 en𝑓\ = 𝑓\ 𝐶 = 𝑓(𝑥\ 𝐶 , 𝑦\ 𝐶 )

ergeldtλ\ =d𝑓\d𝐶

𝐶 .

GerandeHessiaan VooreenLagrange-functie𝐿:ℝ4 → ℝ: 𝑥, 𝑦, λ ↦ 𝐿 𝑥, 𝑦, λ = 𝑓 𝑥, 𝑦 − λ(𝑔 𝑥, 𝑦 − 𝐶)wordtdegerandeHessiaanineenpunt 𝑥\, 𝑦\, λ\ gedefinieerdals

𝐻¤,µ 𝑥\, 𝑦\, λ\ = −0 𝑔¦S (𝑥\, 𝑦\) 𝑔§S (𝑥\, 𝑦\)

𝑔¦S (𝑥\, 𝑦\) 𝐿¦¦SS (𝑥\, 𝑦\, λ\) 𝐿¦§SS (𝑥\, 𝑦\, λ\)𝑔§S (𝑥\, 𝑦\) 𝐿§¦SS (𝑥\, 𝑦\, λ\) 𝐿§§SS (𝑥\, 𝑦\, λ\)

19

Gebondenextrema–tweedeordevoorwaarde

Beschouwpartieelafleidbarefuncties𝑓en𝑔eneenstationairpunt 𝑥\, 𝑦\, λ\ voorhetgebondenextremum-probleem:bepaaldeextremavanfonderdevoorwaarde𝑔 𝑥, 𝑦 = 𝐶.AlsdedeterminantvandegerandeHessiaan𝐻¤,µ 𝑥\, 𝑦\, λ\ verschiltvannul,danbereiktdefunctie𝑓in(𝑥\, 𝑦\)eengebondenextremum.

• Indiendet 𝐻¤,µ 𝑥\, 𝑦\, λ\ < 0danbereikt𝑓eengebondenmaximumin(𝑥\, 𝑦\)

• Indiendet 𝐻¤,µ 𝑥\, 𝑦\, λ\ > 0danbereikt𝑓eengebondenminimumin(𝑥\, 𝑦\)

8.2Optimaliserenmetrestricties–nutsfunctieWezoekentussenalletoegelatenpunten(=tussenallecombinatiesvan𝑞*en𝑞,dievoldoenaandebudgetrestrictie)naardecombinatiediehetgrootstenutoplevert.Nutsfunctie: 𝑈:ℝ2×ℝ2 → ℝ: 𝑞*, 𝑞, ↦ 𝑈 𝑞*, 𝑞, =doelfunctieBudgetvoorwaarde: 𝑝*𝑞* + 𝑝,𝑞, = 𝐵 =nevenvoorwaardeLagrange-functie: 𝐿 𝑞*, 𝑞,, λ = 𝑈 𝑞*, 𝑞, − λ(𝑝*𝑞* + 𝑝,𝑞, − B)Noteereenstationairpuntv/dLangrange-functieals(𝑞*\, 𝑞,\, λ\)àmetbehulpvandegerandeHessiaankannagegaanwordenof(𝑞*\, 𝑞,\)effectiefzorgtvooreengebondenmaximumvoorU.Langrange-multiplicator𝜆\: Dezewaardeinhetoptimalepuntzalaangevenmetwelkewaarde

hetmaximalenut𝑈\ 𝐵 = 𝑈(𝑞*\ 𝐵 , 𝑞,\ 𝐵 )benaderdzaltoenemenindienhetbudgetmetééneenheidwordtverhoogd.

8.3Optimaliserenmetrestricties–productieProductieproceswaarbijdeproductiehoeveelhedenbepaaldwordendoorarbeid(A)enkapitaal(K).Productiefunctie: 𝑞 = 𝑃(𝐴, 𝐾)Budgetfunctie: 𝑏 = 𝐴𝑝¹ + 𝐾𝑝º Tweeverschillendeproblemen

ð KijkdusgoedwatdeNVWisenwatdedoelfunctie!(welkewiljezoklein/grootmogelijk)Budgetrestrictie(=maximaleproductiegroottezoeken)

§ Maximaliseerdeproductiehoeveelheidondereenbudgetrestrictie.§ GanavoorwelkekeuzevanAenKdetotaleproductiezogrootmogelijkis,alsdewaarde

vanhettotalebudgetvastligt.§ Ofwel:wezoekentussenalletoegelatenpunten(=allecombinatiesvan𝐴en𝐾dievoldoen

aandebudgetrestrictie)naardecombinatiediedegrootsteproductiehoeveelheidoplevert.Wezoekennaarhetmaximumvandedoelfunctie 𝑞 = (𝐴, 𝐾)onderdevoorwaarde(budgetligtvast) 𝐴𝑝¹ + 𝐾𝑝º = 𝐵Lagrange-functiekangeschrevenwordenals: 𝐿 𝐴, 𝐾, λ = 𝑃 𝐴, 𝐾 − λ(𝐴𝑝¹ + 𝐾𝑝º − B)Noteereenstationairpuntv/dLangrange-functieals(𝐴\, 𝐾\, λ\)àmetbehulpvandegerandeHessiaankannagegaanwordenof(𝐴\, 𝐾\)effectiefzorgtvooreengebondenmaximumvoorP.BetekenisvanLagrange-multiplicator𝜆\⤇𝑞\ 𝐵 + 1 ≈ 𝑞\ 𝐵 + λ\

20

Productierestrictie§ Minimaliseerhetbudgetondereenproductierestrictie§ GanavoorwelkekeuzevanAenKhettotalebudgetzolaagmogelijkisalsereenbepaalde

productiegroottemoetwordengerealiseerd§ Ofwel:wezoekentussenalletoegelatenpunten(=allecombinatiesvan𝐴en𝐾dievoldoen

aandegevraagdeproductie)naardecombinatiediehetkleinstebudgetvereist.Wezoekennaarhetminimumvandedoelfunctie 𝑏(𝐴, 𝐾) = 𝐴𝑝¹ + 𝐾𝑝º onderdevoorwaarde(productieligtvast) 𝑃 𝐴, 𝐾 = 𝑄Lagrange-functiekangeschrevenwordenals: 𝐿 𝐴, 𝐾, λ = 𝐴𝑝¹ + 𝐾𝑝º − λ(𝑃 𝐴, 𝐾 − Q)Noteereenstationairpuntv/dLangrange-functieals(𝐴\, 𝐾\, λ\)àmetbehulpvandegerandeHessiaankannagegaanwordenof(𝐴\, 𝐾\)effectiefzorgtvooreengebondenminimumvoorb.BetekenisvanLagrange-multiplicator𝜆\⤇𝑏\ 𝑄 + 1 ≈ 𝑏\ 𝑄 + λ\8.4Gebondenextrema–nveranderlijkenVoorfunctiesvanmeerdantweeveranderlijkenbetekentditdatgezochtwordtnaarextremawaarbijmoetvoldaanwordenaanéénofmeerbijkomendevoorwaarden.Gebondenextremum-probleemnveranderlijken

Bepaaldeextremavandefunctie𝑓:ℝ" → ℝ: 𝑥*, … , 𝑥" ↦ 𝑓: 𝑥*, … , 𝑥" onderdevoorwaarden(𝑚 < 𝑛)

𝑔* 𝑥*, … , 𝑥" = 𝐶*𝑔, 𝑥*, … , 𝑥" = 𝐶,

⋮𝑔g 𝑥*, … , 𝑥" = 𝐶g

Lagrange-functie Voorhetbepalenvandeextremavan𝑓onder𝑚voorwaarden𝑔*tot𝑔g:

𝐿 𝑥*, … , 𝑥", λ*, … , λg = 𝑓 𝑥*, … , 𝑥" − λZ(𝑔Z 𝑥*, … , 𝑥" − 𝐶Z)g

Z)*

variabelenλ*, … , λ½ =Lagrange-multiplicatorenGebondenextrema–eersteordevoorwaarde

Eenpartieelafleidbarefunctie𝑓:ℝ" → ℝkanenkeleenextremumbereikeninhetpunt 𝑥*\, … , 𝑥"\ ,onderdevoorwaarden𝑔Z 𝑥*, … , 𝑥" = 𝐶Z,alsditpuntdeeluitmaaktvaneenstationairpuntvoordeLagrange-functie

𝐿 𝑥*, … , 𝑥", λ*, … , λg = 𝑓 𝑥*, … , 𝑥" − λZ(𝑔Z 𝑥*, … , 𝑥" − 𝐶Z)gZ)*

i.e.alserwaardenλ*\, … , λg\ bestaanwaarvoor

𝐿¦*S 𝑥*\, … , 𝑥"\, λ*\, … , λg\ = 0⋮

𝐿¦"S 𝑥*\, … , 𝑥"\, λ*\, … , λg\ = 0𝐿¾*S 𝑥*\, … , 𝑥"\, λ*\, … , λg\ = 0

⋮𝐿¾gS 𝑥*\, … , 𝑥"\, λ*\, … , λg\ = 0

Lagrange-multiplicatoren

=devariabelenλ*\, … , λg\ Dezewaardenzullenaangevenhoedeoptimalewaardevandedoelfunctiezalveranderenwanneerdewaardenvan𝐶*, … , 𝐶gindenevenvoorwaardenwordengewijzigd.

21

Hoofdstuk9ElementairerijoperatiesHetuitvoerenvaneenrijoperatieopdematrix𝐀isequivalentmethetvoorvermenigvuldigenvan𝐀meteenelementairematrix(𝐄-matrix).𝐀=mxnmatrix Indithfst.geldteven𝑝=1en𝑞=2𝐄=vierkantematrixvanm-deordeMet𝒆?en𝒆> verwijzenwenaarde𝑝-dekolomen𝑞-dekolomvandemxm-eenheidsmatrix.(𝒆?isbijgevolgeenmx1-matrixmetm–1nullenenéén1opde𝑝-deplaats)9.1OmwisselenvantweerijenElementairematrixv/deerstesoort: 𝐄?> = 𝐈g + (𝒆? − 𝒆>)(𝒆> − 𝒆?)�Eenmatrixvoorvermenigvuldigenmeteenelementairematrix𝐄𝒑𝒒leidttoteenmatrixwaarinde𝒑-deende𝒒-derijvanplaatsgewisseldwerden.

ð Inplaatsvandematrixvermenigvuldiginguittevoeren,zullenwesimpelwegderijoperatiezelftoepassenop𝐀.

Notatie:𝐀 =𝑎 𝑏 𝑐𝑑 𝑒 𝑓𝑔 ℎ 𝑖

Ä@Å𝑑 𝑒 𝑓𝑎 𝑏 𝑐𝑔 ℎ 𝑖

DeterminantHettekenvandedeterminantvaneenmatrixzalveranderenwanneeropdematrixeenelementairerijoperatiev/deerstesoortuitgevoerdwordt.Dedeterminantvaneenelementairematrixv/deerstesoortisnamelijkgelijkaan–1,immers:

det 𝑬?> = det 𝐄?>𝐈 = −det 𝐈 = −19.2.EenrijvermenigvuldigenmeteengetalElementairematrixv/deerstesoort: 𝐄?(Ç) = 𝐈g + 𝛼 − 1 𝒆?𝒆?�𝑚𝑒𝑡𝛼 ≠ 0Hetlinksvermenigvuldigenvan𝐀meteen𝑬-matrixv/dtweedesoortkomtneerophetvermenigvuldigenvandeoorspronkelijkeelementenvande𝒑-derijvanAmeteenreëelgetalα.

ð Inplaatsvandematrixvermenigvuldiginguittevoeren,zullenwesimpelwegderijoperatiezelftoepassenop𝐀.

Notatie:𝐀 =𝑎 𝑏 𝑐𝑑 𝑒 𝑓𝑔 ℎ 𝑖

Ä@(È)𝛼 ∙ 𝑎 𝛼 ∙ 𝑏 𝛼 ∙ 𝑐𝑑 𝑒 𝑓𝑔 ℎ 𝑖

DeterminantDedeterminantvaneenmatrixzalvermenigvuldigdwordenmetαwanneeropdematrixeenelementairerijoperatiev/dtweedesoortuitgevoerdwordt.Dedeterminantvaneenelementairematrixv/dtweedesoortisnamelijkgelijkaanα,immers:

det 𝐄?(Ç) = det 𝐄?(Ç)𝐈 = 𝛼 ∙ det 𝐈 = 𝛼

22

9.3.BijeenrijeenveelvoudvaneenandererijoptellenElementairematrixv/deerstesoort: 𝐄?>(Ç) = 𝐈g + 𝛼 ∙ 𝒆?𝒆>�𝑚𝑒𝑡𝛼 ≠ 0Dooreenmatrix𝐀linkstevermenigvuldigenmeteen𝑬-matrixv/dderdesoortwordtbijde𝒑-derijeenveelvoudvande𝒒-derijopgeteld.

ð Inplaatsvandematrixvermenigvuldiginguittevoeren,zullenwesimpelwegderijoperatiezelftoepassenop𝐀.

Notatie:𝐀 =𝑎 𝑏 𝑐𝑑 𝑒 𝑓𝑔 ℎ 𝑖

Ä@Å(È)𝑎 + 𝛼 ∙ 𝑑 𝑏 + 𝛼 ∙ 𝑒 𝑐 + 𝛼 ∙ 𝑓

𝑑 𝑒 𝑓𝑔 ℎ 𝑖

DeterminantDedeterminantvaneenmatrixnietzalveranderenwanneeropdematrixeenelementairerijoperatiev/dderdesoortuitgevoerdwordt.Dedeterminantvaneenelementairematrixv/dderdesoortisnamelijkgelijkaan1,immers:

det 𝐄?>(Ç) = det 𝐄?>(Ç)𝐈 = det 𝐈 = 1

23

Hoofdstuk10InversevaneenmatrixBewijzen: pag.119+120+121+122Bewijzenvaneigenschappen:Detweebewijzenuitdedefinitiecontroleren⤇𝑨 ∙ 𝑩 = 𝑰"𝑒𝑛𝑩 ∙ 𝑨 = 𝑰"

Letop:𝐀=* ≠1𝐴(𝑛𝑜𝑜𝑖𝑡𝑑𝑒𝑙𝑒𝑛𝑑𝑜𝑜𝑟𝑒𝑒𝑛𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑥)

10.1DefinitieeneigenschappenInverteerbaar–definitie

Devierkantematrix𝐀vann-deordeisinverteerbaaralsereenmatrix𝐁bestaat,zodat:

𝐀 ∙ 𝐁 = 𝐈"en𝐁 ∙ 𝐀 = 𝐈"𝐁=deinversevanA

Inverseisuniek Deinversev/dinverteerbarematrix𝐀isuniekenwordtaangeduidmet𝐀=*𝐀 ∙ 𝐀=* = 𝐈"en𝐀=* ∙ 𝐀 = 𝐈"

Inversevaneenveelvoud

Als𝐀eeninverteerbarematrixis,danisα ∙ 𝐀(metαeenreëelgetal≠0)ookinverteerbaaren

(𝛼 ∙ 𝐀)=* =1𝛼∙ 𝐀=*

Inversevaneeninverse

Deinversevan𝐀=*isopnieuw𝐀:(𝐀=*)=* = 𝐀

Inversevaneengetransponeerde

Debewerkingeninverterenentransponerenmogenomgewisseldworden:(𝐀�)=* = (𝐀=*)�

Inversevaneensymmetrischematrix

Indien𝐀eeninverteerbaresymmetrischematrixis,danis𝐀=*ooksymmetrisch.Symmetrisch⤇𝑨 = 𝑨�

Inversevaneendiagonaalmatrix

Zij𝐃eeninverteerbaren-deordediagonaalmatrix,danis𝐃=*ookeendiagonaalmatrix,metomgekeerdehoofddiagonaalelementen.(Merkopdat𝑑'' ≠ 0vooralle𝑖 = 1, . . , 𝑛indien𝑫inverteerbaaris)

Inversevaneenproduct

Zij𝐀en𝐁tweenxnmatricesdieinverteerbaarzijn.𝐀 ∙ 𝐁isookinverteerbaaren(𝐀 ∙ 𝐁)=* = 𝐁=* ∙ 𝐀=*

Inversevaneenmachtvaneenmatrix

Deinversevaneenmachtvan𝐀isgelijkaandiezelfdemachtvandeinversevan𝐀:

(𝐀Z)=* = (𝐀=*)Z Criterium:wanneerinverteerbaar

Eenvierkantematrix𝐀vann-deordeisinverteerbaaralsenslechtsalshijregulieris.Eenmatrixisregulieralsdet(𝐀) ≠ 0.Daaruitvolgt:

𝐀𝐢𝐬𝐢𝐧𝐯𝐞𝐧𝐭𝐞𝐞𝐫𝐛𝐚𝐚𝐫 ⇔ 𝐝𝐞𝐭(𝐀) ≠ 𝟎Determinantvaneeninversematrix

Dedeterminantvandeinversevan𝐀isgelijkaanhetomgekeerdevandedeterminantvan𝐀:

det 𝐀=* =1

det(𝐀)

24

Determinantvannuldelers

Tweevierkantenuldelershebbenaltijddeterminantnul.(dusnuldelerszijnnooitinverteerbaar)

10.2Deinverseberekenenm.b.v.cofactorenFormuleomdeinversevaneenregulierematrix𝐀teberekenen:

𝐀=* =1

det 𝐀adj(𝐀)

Waarin:adj(𝐀)=toegevoegde/adjunctematrix

adj 𝐀 = 𝐂�𝐂=cofactorenmatrixvan𝐀⤇elkelementindematrix𝐀vervangendoorzijncofactor.

𝑐'f = (−1)'2f ∙ det(𝐀'f)Inversevaneen2x2-matrix

Indienwedezemethodetoepassenopeen2x2-matrix𝐀 = 𝑎 𝑏𝑐 𝑑 ,danverkrijgenwedeformule:

𝑎 𝑏𝑐 𝑑

=*=

1det 𝐀

∙ 𝑑 −𝑏−𝑐 𝑎

10.3Deinverseberekenenm.b.v.rijoperaties

ð 2emethode,wantcofactorenvanalleelementenberekenkostveeltijd.WekunnendeinversevanAberekenendoordeeenheidsmatrixvoortevermenigvuldigenmetdematrix𝐄.Hetgeldtnamelijk: 𝐄 ∙ 𝐀 = 𝐈⇔𝐀=* = 𝐄 ⇔ 𝐀=* = 𝐄 ∙ 𝐈Weverkrijgendeinversevan𝐀dusdoordeelementairerijoperaties,dienodigzijnom𝐀omtevormentotdeeenheidsmatrix,ooktoetepassenopdeeenheidsmatrix(m.a.w.wezettendeeenheidsmatrixnaastdematrix𝑨envoerenelementairerijoperatiesuitzodat𝑨deeenheidsmatrixword.Waaroorspronkelijkdeeenheidsmatrixstond,staatdanuiteindelijk𝑨=*)Tip:stappenplanom𝐀omtezettenineeneenheidsmatrix

1) Beginbijkolom1:creëernullenindebenodigderijen(dusallerijenbehalvede1e)2) Doehetzelfdevooralleanderekolommen,indevolgordevankolom1t/mkolomm.3) Vermenigvuldignuiedererijmethetjuistegetal,omtezorgendatde

hoofddiagonaalelementengelijkwordenaan1.Letop: 𝐀 ∙ 𝐀=* = 𝐈𝑒𝑛𝐀=* ∙ 𝐀 = 𝐈,𝑚áá𝑟𝐀=* ∙ 𝑋 ∙ 𝐀 ≠

25

Hoofdstuk11LineairestelselsBewijzen: pag.135+136+137+140+141+11.1DefinitiesLineairstelsel 𝐀 ∙ 𝐱 = 𝐛

𝑎**𝑥* + 𝑎*,𝑥* + ⋯+ 𝑎*"𝑥" = 𝑏*𝑎,*𝑥* + 𝑎,,𝑥* + ⋯+ 𝑎,"𝑥" = 𝑏,

⋯𝑎g*𝑥* + 𝑎g,𝑥* + ⋯+ 𝑎g"𝑥" = 𝑏g

Metmlineairevergelijkenennonbekenden,waarbij𝑎'f𝑒𝑛𝑏' reëlegetallenzijnen𝑥f deonbekenden(me𝑡1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚en1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛)

waarbij:

𝐀 =

𝑎** 𝑎*, ⋯ 𝑎*"𝑎,* 𝑎,, ⋯ 𝑎,"⋮ ⋮ ⋱ ⋮

𝑎g* 𝑎g, ⋯ 𝑎g"

=demxn-coëfficiëntenmatrix

𝐱 =

𝑥*𝑥,⋮𝑥"

=denx1-kolommatrix

𝐛 =

𝑏*𝑏,⋮𝑏g

=demx1-kolommatrixmetderechterleden

Homogeenstelsel Indienallerechterledenuithetstelselgelijkzijnaannul(dus𝐛 = 𝟎)Niet-homogeenstelsel

Indienminstenséénrechterlidverschillendisvannul

Vierkantstelsel Indienhetaantalvergelijkingengelijkisaanhetaantalonbekenden(m = n)Strijdig/onoplosbaarstelsel

Indienergeenenkelekolom𝐱bestaatwaarvoorallevergelijkingenvoldaanzijn

Oplosbaarstelsel Indienerminstenséénkolom𝐱bestaatwaarvoorallevergelijkingenopgaanUitgebreidematrix Bijdeuitgebreidematrixwordtdekolomvanderechterledenalsextra

kolomachterdecoëfficiëntenmatrixgeplakt.𝐀Ûheeftordemx(n + 1).

𝐀Û = 𝐀 𝐛 =

𝑎** 𝑎*, ⋯ 𝑎*" ⃓ 𝑏*𝑎,* 𝑎,, ⋯ 𝑎," ⃓ 𝑏,⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⃓ ⋮

𝑎g* 𝑎g, ⋯ 𝑎g" ⃓ 𝑏g

(bijeenlineairstelsel𝑨 ∙ 𝒙 = 𝒃enmetdievoorwaardenetc.)

26

11.2StelselvanCramerStelselvanCramer =EenvierkantstelselmetprecieséénoplossingStelselvanCrameroplossenm.b.v.inverse

BijeenstelselvanCramer𝐀 ∙ 𝐱 = 𝐛isdeuniekeoplossingtevindenals:𝐱 = 𝐀=* ∙ 𝐛

Want:𝐀 ∙ 𝐱 = 𝐛 ⇔ 𝐀=* ∙ 𝐀 ∙ 𝐱 = 𝐀=* ∙ 𝐛 ⇔ 𝐈 ∙ 𝐱 = 𝐀=* ∙ 𝐛 ⇔ 𝐱 = 𝐀=* ∙ 𝐛Wanneer𝐀inverteerbaaris,bekomenweinderdaadéénuniekeoplossing(wantdeinverse𝐀=*isuniek)

ð OmnategaanofeenvierkantstelseleenstelselvanCrameris,gaanwenadat:𝒅𝒆𝒕(𝑨) ≠ 𝟎

HomogeenstelselvanCramer

Eenhomogeenstelsel(dus𝐛 = 𝟎)vanCramerheeftalsuniekeoplossingdenuloplossing.Want:𝐀 ∙ 𝐱 = 𝟎 ⇔ 𝐀=* ∙ 𝐀 ∙ 𝐱 = 𝐀=* ∙ 𝟎 ⇔ 𝐈 ∙ 𝐱 = 𝟎 ⇔ 𝐱 = 𝟎

ð Merkop:eenhomogeenstelselkannooitstrijdigzijn,omdatdenuloplossingaltijdeenoplossingis.

MethodevanGauss

BijdemethodevanGausswordenelementairerijoperatiestoegepastopdeuitgebreidematrixtotdatnullengecreëerdwerdenonderallehoofddiagonaalelementen.Achterwaartsesubstitutielevertdegezochteuniekeoplossing.

ð Bijdezemethodewordthetstelsel‘gemakkelijker’gemaaktdoorervoortezorgendatindeonderstevergelijkingenkeldecoëfficiëntvan𝑥"verschillendisvannul;dezevergelijkinggeeftdeoplossingvoor𝑥".Indevoorlaatstevergelijkingzullenenkeldecoëfficiëntenvan𝑥"=*envan𝑥"verschillendzijnvannul.Aangezien𝑥"reedsberekendwerduitdelaatstevergelijking,levertdevoorlaatstevergelijkingonsdewaardevan𝑥"=*.Voortzettenvandezewerkwijzezorgtervoordatweuitdeeerstevergelijkingtenslotte𝑥*kunnenberekenen.

MethodevanGauss-Jordan

BijdemethodevanGausswordenelementairerijoperatiestoegepastopdeuitgebreidezodatdecoëfficiëntenmatrix𝐀omgevormdwordttotdeeenheidsmatrix.Delaatstekolomlevertuiteindelijkdegezochteoplossing.Praktischbetekentditdatwedeelementairerijoperatiestoepassenpdeuitgebreidematrix.

Dezetweemethodessteunenophetfeitdatjeeenequivalentstelselbekomtwanneerelementairerijoperatiesuitgevoerdwordenopdeuitgebreidematrix.11.3(On)afhankelijkheidvanrijenenkolommenDedefinitiesverlopenanaloogvoorrijen.Lineairecombinatie

Beschouwmx1–kolommen𝐕*, 𝐕,, … , 𝐕á.Eenlineairecombinatievandezekolommenisdanelkeuitdrukking

𝑘* ∙ 𝐕* + 𝑘, ∙ 𝐕, + ⋯+ 𝑘" ∙ 𝐕áwaarbij𝑘*, … , 𝑘"willekeurigereëlegetallenzijn.

ð Hierdoorkrijgenweeenextra/nieuwekolom.𝑘' =coëfficiëntvan𝐕â

Lineair(on)afhankelijkekolommen

Lineaironafhankelijk:alsdeenigelineairecombinatievandezekolommendiedenulkolomoplevert,juistdiecombinatieiswaarbijallecoëfficiëntennulzijn.∀𝑘*, 𝑘,, … , 𝑘" ∈ ℝ: 𝑘* ∙ 𝐕* + 𝑘, ∙ 𝐕, + ⋯+ 𝑘" ∙ 𝐕á = 0 ⇒ 𝑘* = 𝑘, = ⋯ = 𝑘" = 0

27

Lineairafhankelijk:indienminstens1v/dcoëfficiëntenverschillendisvannul

ð Berekendedeterminantvandecoëfficiëntenmatrix;indiendet(𝐀) ≠ 0àhomogeenstelselvanCrameràenkeldenuloplossing

Kenmerklineairafhankelijkekolommen

§ Alskolommen𝐕*, 𝐕,, … , 𝐕álineairafhankelijkzijn,daniserminstenséénkolomteschrijvenalslineairecombinatiev/doverigekolommen.

§ Alsbijnkolommen𝐕*, 𝐕,, … , 𝐕áminstenséénkolomteschrijvenisalslineairecombinatiev/doverigekolommen,danzijndezenkolommenlineairafhankelijk.

Bijtweestelsels(n=2,dus𝐕*en𝐕,)

Indienveelvoud:lineairafhankelijkIndiengéénveelvoud:lineaironafhankelijk

Inproduct Hetinproductvantweekolommen𝐕*en𝐕,isdematrixvermenigvuldiging𝐕*� ∙ 𝐕,

Dematrixvermenigvuldiginggeeftalsresultaateen1x1-matrix,duseengetal.Commutatief Hetinproductiscommutatief(=verwisselbaar):

𝐕*� ∙ 𝐕, = 𝐕,� ∙ 𝐕*

Orthogonalekolommen

Wenoemendevandenulkolomverschillendekolommen𝐕*, 𝐕,, … , 𝐕áonderlingorthogonaal,alsalleinproductenvan𝐕âen𝐕ämet𝑖 ≠ 𝑗gelijkzijnaannul:

∀1 ≤ 𝑖 ≠ 𝑗 ≤ 𝑛: 𝐕â� ∙ 𝐕ä = 0

ð Onderlingorthogonalekolommen𝐕*, 𝐕,, … , 𝐕á(allenverschillendvandenulkolom)zijnsteedslineaironafhankelijk.

11.4RangvaneenmatrixRangvaneenmatrix Derangvaneenmatrix=deordevaneenzogrootmogelijkereguliere

deelmatrix(vierkantmatrix⤇determinant≠0).ð Bijhetnagaanvanderangmoetenwesteedsvierkante

deelmatricesbeschouwen;dusderangzalsteedsmaximaalgelijkzijnaanhetminimumv/haantalrijenenhetaantalkolommen.

ð Volledigerang=alsderangookeffectiefgelijkisaanditminimumv/haantalrijenenhetaantalkolommen

Rangvaneenregulierematrix

Eenregulierematrixisvanvolledigerang.(aangeziendedeterminant≠0,isderanggelijkaandeordev/dmatrix)

Verbandtussenrang&aantallineaironafhankelijkekolommen/rijen

Derangvaneenmatrixisgelijkaanhetmaximumaantallineaironafhankelijkekolommenvandematrix&isookgelijkaanhetmaximumaantallineaironafhankelijkerijenvandematrix.

ð Indienditaantalvanderijen/ofkolomkleinerisdanhetaantalkolommen/rijendatdematrixheeft,danzijndekolommen/rijenvan𝐀lineairafhankelijk(ziepag.140onderaan)

Rangberekenenm.b.v.elementairerijoperatiesDerangvaneenmatrixverandertnietwanneeropdezematrixelementairerijoperatieswordenuitgevoerd.

– Mogelijkhedenbijelementairerijoperaties:tekenverandertofvermenigvuldigingmetα.– Alsdedeterminantvandedeelmatrixverschillendwasvannul,danblijftdieverschillendvan

nulnahetdoorvoerenvandeelementairerijoperatie.– Alsdedeterminantvandedeelmatrixgelijkwasaannul,danblijftdiegelijkaannulnahet

doorvoerenvandeelementairerijoperatie.

28

Derangvaneenmatrixisgelijkaanhetaantalniet-nulrijenvandegereduceerdematrix.Dezegereduceerdematrixwordtbekomendoorm.b.v.elementairerijoperatiesnullentecreërenonderhethoofdelementvanelkerij.Hoofdelementvaneenrij=hetmeestlinkseelementdatverschillendisvannul.(opdezemaniergajevoordekolommenvanlinksnaarrechts)Opmerking(overdematrixomzetteneenstelselvanvergelijkingen)Indienjeuitgaatvankolommen: Iedere𝐕âstaatvoordewaardenvanéén𝑥' Indienjeuitgaatvanrijen: Iedere𝐕âstaatvooréénvergelijking,dusmetdeverschillende𝑥'S𝑠11.5StrijdigeenoplosbarestelselsEenlineairstelsel𝐀 ∙ 𝐱 = 𝐛𝐢𝐬oplosbaar ⇔ rang 𝐀 = rang(𝐀Û)Bewijs:Bijeenoplosbaarstelselisdekolom𝐛teschrijvenalseenlineairecombinatievandekolommenvan𝐀.Ditbetekentdatdekolom𝐛lineairafhankelijkisvandekolommenvan𝐀.M.a.w.hetaantallineaironafhankelijkkolommenin𝐀isgelijkaanhetaantallineaironafhankelijkekolommenin𝐀Û.Derangvan𝐀zaldusgelijkmoetenzijnaandievan𝐀Û.Merkop: eenhomogeenstelselheeftaltijdeenoplossing!(nulkolomaltijdeenoplossing)11.6Aantaloplossingenvaneenlineairstelsel#oplossing 𝐀 ∙ 𝐱 = 𝐛 𝐀 ∙ 𝐱 = 𝟎(homogeen)0 rang 𝐀 ≠ rang(𝐀Û) /1 rang 𝐀 = rang 𝐀Û = 𝑛 rang 𝐀 = 𝑛∞veel rang 𝐀 = rang 𝐀Û < 𝑛 rang 𝐀 < 𝑛

(geen𝑨çgebruikenbijhomogeenstelsel)

Laat𝐀eenmxn-matrixzijn,𝐱eennx1-kolommatrixmetonbekendenen𝐛eenmx1-kolommatrixmetrechterleden.Eenoplosbaarstelsel𝐀 ∙ 𝐱 = 𝐛(dekolom𝐛isevt.denulkolom)heeftprecieséénoplossingindien

rang 𝐀 = 𝑛(bijeenhomogeenstelselisdezeuniekeoplossingdenulkolom)

Enhetheeftoneindigveeloplossingenindienrang 𝐀 < 𝑛

Vrijeparameters=𝑛 − rang 𝐀 =hetaantalonbekendendatvrijgekozenkanworden.Stappenplan

1. Ganaofhetstelseloplosbaaris:rang 𝐀 = rang(𝐀Û)(hieruitkunjeookafleidenhoeveeloplossingenenhoeveelvrijeparameterserzullenzijn)

2. Houddelineaironafhankelijkevergelijkingenoveràrijendieniet0zijn.=gereduceerdematrixR(𝐀Û)

3. Maakhetstelselvierkant&kiesdeparameter(s)4. LoshetstelselvanCramerop.

29

11.7Input-outputmodelInput-outputtabel= Eenschematischeenvereenvoudigdeweergavevandegoederenstroom

tussendeverschillendesectorenvandeeconomie.Intermediairevraag= Deoutputdiedeverschillendesectorenleven,diegebruiktkanwordenals

inputvoordeanderesectoren.Finalevraag= Demarktvraag(hiervoormoetdeoutputookvoldoendezijn)

Input Verbruikers TotaleproductieOutput Intermediairevraag

1 ⋯ 𝑗 ⋯ 𝑚Finalevraag

𝑞'

1 𝑥** ⋯ 𝑥*f ⋯ 𝑥*g 𝑞* 𝑥*Producerende ⋮ ⋮ ⋮ ⋮sectoren 𝑖 𝑥'* ⋯ 𝑥'f ⋯ 𝑥'g 𝑞' 𝑥' ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 𝑚 𝑥g* ⋯ 𝑥gf ⋯ 𝑥gg 𝑞g 𝑥g

Voordegezochteoutputsmoetgelden:

𝑥' = 𝑥'f + 𝑞*(1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚)g

f)*

Ofwel,detotaleproductievansector𝑖=somvandeintermediairevraag+finalevraagStatischeinput-outputmodel: wordtopgebouwdvanuitdeinput-outputtabel,rekeninghoudend

metdeassumptievanvasteproductiecoëfficiënten𝑎'f .

𝑎'f =𝑥'f𝑥f

𝑎'f isdusdehoeveelheidinputvansector𝑖nodigvoorééneenheidoutputvansector𝑗.Voordegezochteoutputsmoetdusgelden

𝑥' = 𝑎'f ∙ 𝑥f + 𝑞*(1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚)g

f)*

Wekrijgen:𝑥*⋮𝑥g

=𝑎** ⋯ 𝑎*g⋮ ⋱ ⋮

𝑎g* … 𝑎gg

𝑥*⋮𝑥g

+𝑞*⋮𝑞g

Of𝐱 = 𝐀 ∙ 𝐱 + 𝐪 ⇔ 𝐱 − 𝐀 ∙ 𝐱 = 𝐪

𝐀=input-outputmatrix/technologiematrix𝐪=dekolomvandefinalevraagWeverkrijgeneenniet-homogeenstelselmetalscoëfficiëntenmatrix𝐈 − 𝐀

𝐈 ∙ 𝐱 − 𝐀 ∙ 𝐱 = 𝐪⇔ 𝐈 − 𝐀 ∙ 𝐱 = 𝐪

OplossenvanditstelsellaattoedehoeveelheidproductieteberekenendienodigisomtevoldoenaandeintermediaireéndefinalevraagàmethodevanGaussgebruiken.Indematrix𝐀staathetelement𝑎'f voorhetaantaleenhedendatbedrijf𝑗nodigheeftuitbedrijf𝑖voordeproductievanééneenheid.𝐀 ∙ 𝐱=deproductieomtevoldoenaandeintermediairevraag.

30

Hoofdstuk12Diagonalisatie12.1DefinitieeigenwaardeneneigenvectorenBeschouweenvierkantematrix𝐀vann-deorde,eennx1-kolom𝐱,met𝐱 ≠ 𝟎,eneenreëelgetalλ.Danis𝐱eeneigenvectorvan𝐀enλeeneigenwaardevan𝐀alsgeldt:

𝐀 ∙ 𝐱 = λ ∙ 𝐱12.2BepalenvaneigenwaardenDegelijkheid𝐀 ∙ 𝐱 = λ ∙ 𝐱kanherschrevenwordentoteenhomogeenstelsel:

𝐀 ∙ 𝐱 = λ ∙ 𝐱 ⇔ 𝐀 ∙ 𝐱 − λ ∙ 𝐱 = 𝟎 ⇔ 𝐀 ∙ 𝐱 − λ ∙ 𝐈" ∙ 𝐱 = 𝟎 ⇔ 𝐀 − λ ∙ 𝐈" ∙ 𝐱 = 0Eeneigenvectorisperdefinitieverschillendvandenulkolom,dusmoetderangvandecoëfficiëntenmatrix𝐀 − λ ∙ 𝐈"kleinerzijndann(danhebje∞veeloplossingen)

ð 𝐀 − λ ∙ 𝐈"moetduseensingulierematrixzijn(wantgeenvolledigerangdusgeenregulierematrix,ziepar.11.4)

ð determinantvan𝐀 − λ ∙ 𝐈"moetgelijkzijnaan0.Deeigenwaardenvaneenmatrix𝐀zijnoplossingenvandekarakteristiekevergelijking

𝐝𝐞𝐭 𝐀 − 𝛌 ∙ 𝐈𝒏 = 𝟎Karakteristiekevergelijking= eenn-degraadsvergelijkingenzalhoogstensnreëleoplossingen

λ*, λ,, … , λ"hebben,waarvansommigeneventueelkunnensamenvallen.

Multipliciteit= Hetaantalkeerdateeneigenwaardevoorkomtalsoplossingvandekarakteristiekevergelijking.

EigenwaardenvaneendriehoeksmatrixDeeigenwaardenvaneenbovendriehoeksmatrix,benedendriehoeksmatrixofeendiagonaalmatrixzijngelijkaandehoofddiagonaalelementen.12.3BepalenvaneigenvectorenVoorelkeeigenwaardeλ'(𝑖 = 1, … , 𝑛)kunnenwedebijhorendeeigenvectorenberekenenalsoplossingenvanhethomogenestelsel:

𝐀 − λ' ∙ 𝐈" ∙ 𝐱 = 0Omdatλ'eenoplossingisvandekarakteristiekevergelijking,isdecoëfficiëntenmatrixsingulier.Bijelkeeigenwaardehorendussteedsoneindigveeleigenvectoren.(hetaantalvrijtekiezenparametersisgelijkaan𝑛 − 𝑟𝑎𝑛𝑔 𝜆' ∙ 𝑰" − 𝑨 )Stappenplan:

1) Berekenderangvandecoëfficiëntenmatrix,ofwelvan 𝐀 − λ' ∙ 𝐈" 2) Houddelineaironafhankelijkevergelijkingenoveràrijendieniet0zijn.

=gereduceerdematrixR(𝐀Û)3) Maakhetstelselvierkant&kiesdeparameter(s)4) Loshetstelselop&noteerdeeigenvectorenhorendebijλ'

31

12.4EconomischetoepassingeigenwaardeneneigenvectorenZieuitleginhetboekoppagina154–155.

ð Uitdecontextkunjehalenvoorwelkeeigenvectorjethetmoetberekenen.Nietgewoonalleeigenvectorendoen->isnietnodig

12.5EigenvectorenbijverschillendeeigenwaardenEigenvectorengeassocieerdmetverschillendeeigenwaardenzijnlineaironafhankelijk.(=deenigecombinatievandezekolommendiedenulkolomoplevert,isdiecombinatiewaarbijallecoëfficiëntennulzijn->controlerenmetberekenenv/ddeterminant->det≠0isstelselvanCramer)12.6ModalematrixModalematrix: Eenmodalematrixvaneenvierkantematrix𝐀iseenmatrixvandezelfde

ordeals𝐀,waarvandekolommenlineaironafhankelijkeeigenvectorenvan𝐀zijn.

§ Indiennietdezelfdeorde:modalematrixbestaatniet§ Eenmodalematrixisinverteerbaar

o Bewijs:omdatallekolommenlineaironafhankelijkzijn,iseenmodalematrixsteedsvanvolledigerang(dusdet(M) ≠ 0)endussteedsinverteerbaar.

Eenmodalematrixisnooituniek:eenkolomkansteedsvervangenwordendooreenveelvoudervanen/ofdevolgordevandekolommenkanveranderdworden.12.7DiagonalisatieDiagonaliseerbarematrix

Eenvierkantematrix𝐀isdiagonaliseerbaarindienereenmodalematrixvoorbestaat.

Diagonalisatievaneenmatrix

Eendiagonaliseerbarematrix𝐀kangeschrevenwordenals:𝐀 = 𝐌 ∙ 𝐃 ∙ 𝐌=𝟏

𝐃 =diagonaalmatrixmetalshoofddiagonaalelementende𝑛eigenwaardenvan𝐀(eeneigenwaardemetmultipliciteit𝑚komt𝑚keervoor)

𝐃 =

λ* 0 ⋯ 00 λ, ⋯ 0⋮ ⋮ ⋱ ⋮0 0 ⋯ λ"

𝐌=eenmodalematrixvan𝐀meteigenvectorenindezelfdevolgordeals𝐃(de𝑖-dekolomvan𝐌iseeneigenvectorbijhet𝑖-dehoofddiagonaalelementvan𝐃)

𝐌 =

𝑚** 𝑚*, ⋯ 𝑚*"𝑚,* 𝑚,, ⋯ 𝑚,"⋮ ⋮ ⋱ ⋮

𝑚"* 𝑚", ⋯ 𝑚""

Multipliciteitversusaantallineaironafhankelijkeeigenvectoren

Hetmaximumaantallineaironafhankelijkeeigenvectorendathoortbijeeneigenwaardeλâ,issteedskleinerdanofgelijkaandemultipliciteitvandieeigenwaarde.Hetaantallineaironafhankelijkeeigenvectorenbijeigenwaarde𝜆' isgelijkaanhetaantalvrijeparametersuithetstelsel 𝐀 − λâ ∙ 𝐈 ∙ 𝐱 = 0

32

Aangeziendesomvanallemultipliciteitengelijkisaann,zaleenmatrixdiagonaliseerbaarzijnindienvoorelkeeigenwaardehetaantallineaironafhankelijkeeigenvectorengelijkisaandemultipliciteit.

– AlsalleEWverschillendzijn:𝐀iszekerdiagonaliseerbaar– AlsereenEWismeteenmultipliciteitgroterdanéén,danis𝐀niet

zekerdiagonaliseerbaar.

33

Hoofdstuk13Toepassingenvandiagonalisatie13.1EigenschappenvaneigenwaardeneneigenvectorenVerbandtussendeterminantenspooreneigenwaarden

HetproductvandeeigenwaardenisgelijkaandedeterminantDesomvandeeigenwaardenisgelijkaanhetspoor.(spoor=desomvandehoofddiagonaalelementen(vaneenvierkantematrix))

𝛌𝟏 ∙ 𝛌𝟐 = 𝒅𝒆𝒕𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒂𝒏𝒕𝛌𝟏 + 𝛌𝟐 = 𝒔𝒑𝒐𝒐𝒓

Eigenwaardenvaneenreguliere/singulierematrix

Eensingulierematrixheeftminstensééneigenwaardegelijkaannul;(determinant=0)Eenmatrixisregulierindienalleeigenwaardenverschillendzijnvannul.(determinant≠0)

Eigenwaardeneneigenvectorenvandegetransponeerdematrix

Wanneeraanmatrix𝐀eeneigenwaardeλheeft,danzaldegetransponeerdematrix𝐀�ookdezeeigenwaardehebben,maarmetmogelijkandereeigenvectoren.(want:det 𝐀� − λ ∙ 𝐈" = 0 ⇔ det 𝐀 − λ ∙ 𝐈" � = 0 ⇔ det 𝐀 − λ ∙ 𝐈" = 0)

Eigenwaardeneneigenvectorenv/eveelvoudv/ematrix

Wanneer𝐀eeneigenwaardeλheeft,danzaldematrixα ∙ 𝐀eeneigenwaardeα ∙ λhebben,metdezelfdeeigenvectoren.

13.2Machtberekenenm.b.v.diagonalisatieEigenwaardeneneigenvectorenv/emachtv/ematrix

Wanneer𝐀eeneigenwaardeλheeft,danzaldematrix𝐀Z(met𝑘 ∈ ℕ)eeneigenwaardeλZ hebben,metdezelfdeeigenvectoren(dusdezelfde𝑴).

𝐀Z ∙ 𝐱 = λZ ∙ 𝐱Diagonalisatiev/dmachtv/ematrix

Alseenmatrix𝐀gediagonaliseerdkanwordenals:𝐀 = 𝐌 ∙ 𝐃 ∙ 𝐌=𝟏

Dankande𝑘-demacht(met𝑘 ∈ ℕ)berekendwordenals:𝐀Z = 𝐌 ∙ 𝐃Z ∙ 𝐌=𝟏

Opmerking Voorhetberekenenvan𝐌=𝟏vooreen2x2-matrix,denkdanaan:

𝑎 𝑏𝑐 𝑑

=*=

1det 𝐀

∙ 𝑑 −𝑏−𝑐 𝑎

13.3Inverterenm.b.v.diagonalisatieEigenwaardeneneigenvectorenv/dinversematrix

Wanneereenregulierematrix𝐀eeneigenwaardeλheeft,danzaldeinverse

matrix𝐀=*eigenwaarde*¾hebben,metdezelfdeeigenvectoren.

(aangezien𝐀regulieris,bestaat𝐀=*enisgeenv/deigenwaardengelijkaan0)Diagonalisatiev/dinversev/ematrix

Deinversev/ediagonaliseerbareregulierematrix𝐀kanberekendwordenals:𝐀=* = 𝐌 ∙ 𝐃=* ∙ 𝐌=𝟏

Waarbij𝐃=* =eendiagonaalmatrixmetalshoofddiagonaalelementendeomgekeerdenvande𝑛eigenwaardenvan𝐀,ofwel *

¾ó

34

13.4Eigenwaardeneneigenvectorenvaneensymmetrischematrix§ Eigenvectorenbijverschillendeeigenwaardenvaneensymmetrischematrixzijnonderling

orthogonaal.o Dezeeigenvectorenzijndusooklineaironafhankelijk(zieeigenschap12.2)

§ Bijeensymmetrischematrix,waarvanalleeigenwaardenmultipliciteitéénhebben,zullendekolommenvaneenmodalematrixonderlingorthogonaalzijn.

13.5Optimaliserenm.b.v.eigenwaarden

ð Vooreenwillekeurigenx nmatrixð Jewilwetenofdematrixpositiefdefinitiefofnegatiefdefinitiefis

Zij𝐀decoëfficiëntenmatrixvaneenkwadratischevormq 𝐱 = 𝐱� ∙ 𝐀 ∙ 𝐱.Danis𝑞:

1. Positiefdefinietalsenslechtsalsλ' > 0vooralle𝑖 (1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛)2. Negatiefdefinietalsenslechtsalsλ' < 0vooralle𝑖 (1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛)

waarbijλ' deeigenwaardenzijnvan𝐀.13.6Transitiematrices(overgangsmatrices)Transitiematrix= Matrixwaarinderelatievecijfersdeovergangswaarschijnlijkhedenvormen.

=overgangsmatrixàdevoorwaardelijkekansendatconsumentenoverstappennaareenanderproductofbijhetzelfdeproductblijven

𝐏 =𝑝** 𝑝*, 𝑝*4𝑝,* 𝑝,, 𝑝,4𝑝4* 𝑝4, 𝑝44

§ Dediagonaalelementen𝑝'' gevendevoorwaardelijkekansenweerdatdeconsumentbijzijnkeuzeblijft.

§ Deniet-diagonaalelementen𝑝'f gevendevoorwaardelijkekansdateenconsumentoverschakeltvanmerk𝑗naarmerk𝑖.

Geslotensysteem= Markov-systeemàhettotaalaantalconsumentenblijftsteedsconstant.

𝑝'f = 14

')*

(1 ≤ 𝑗 ≤ 3)

HetaantalkopersvanmarkAinperiode𝑡 + 1is:

𝑥ö 𝑡 + 1 = 𝑝** ∙ 𝑥ö 𝑡 + 𝑝*, ∙ 𝑥÷ 𝑡 + 𝑝*4 ∙ 𝑥ø(𝑡)(analogeberedeneringvoordemerkenBenC)

Hierdoorgeldt:

𝐱 𝒕 + 𝟏 = 𝐏 ∙ 𝐱(𝒕)Met𝐱(𝑡)en𝐱 𝑡 + 1 kolommenmetconsumentenaantallen.

Overeenkomstigditmodelkunnendanvoorvolgendeperiodesdeconsumentenaantallenberekendworden.Merkop:desomvandeconsumentenaantallenblijftgelijk.

35

Evenwichtstoestand=situatiewaarbijdedrieproductensteedseenzelfdedeelvandemarktzoudenhebben,ondankshetfeitdatconsumentenvanhetenemerknaarhetandereoverstappen.Wezoekendusnaareenvectorzvanconsumentenaantallenwaarvoorgeldt:

𝐳 = 𝐏 ∙ 𝐳ofwel,𝐳 − 𝐏 ∙ 𝐳 = 𝟎 ⇔ 𝐈𝟑 ∙ 𝐳 − 𝐏 ∙ 𝐳 = 𝟎 ⇔ (𝐈𝟑 − 𝐏) ∙ 𝐳 = 𝟎

Hetprobleemherleidtzichdustothetoplossenv/estelselvan3vergelijkingenmet3onbekenden(par12.3).Letop:omhetvolledigestelseltebekomen,moeterrekeningwordengehoudenmethetgeslotensysteem.Dusweeisendatdesomv/dcomponentenv/dvector𝐳gelijkisaanhetconsumentenaantal.

𝑧ö + 𝑧÷ + 𝑧ø = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑢𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒𝑛𝑎𝑎𝑛𝑡𝑎𝑙Verdelingna𝒏periodenWekunnenberekenenhoeveelconsumententotelkegroepzullenbehorennaeenwillekeurigetijdspanne:

𝐱 𝒏 = 𝐏𝒏 ∙ 𝐱(𝟎)Gebruikmakenv/ddiagonalisatievan𝐏:

𝐱 𝒏 = 𝐌 ∙ 𝐃𝒏 ∙ 𝐌=𝟏 ∙ 𝐱(𝟎)Stappenplan:

1) Eigenwaardenvan𝐏berekenen(m.b.v.karakteristiekevergelijking)det 𝐀 − λ ∙ 𝐈" = 0

2) Webekomendaarmee𝐃enzoook𝐃𝒏3) Weberekenendeeigenvectorenhorendebijdeeigenwaardenλ' enverkrijgenzodemodale

matrix𝐌voor𝐏𝐀 − λ' ∙ 𝐈" ∙ 𝐱 = 0

4) Berekendeinversevandemodalematrix:𝐌=𝟏𝐀=* = 𝐄 ∙ 𝐈

5) Bijgevolgkunnenwe𝐏𝒏berekenen,endaarmee𝐱 𝒏 Wekunnenonsookafvragenhoeveelklantenerinelkegroepzittenwanneerde𝑛naaroneindiglatengaan⇒ lim

"→3𝐱 𝑛