Deel Portfolio wiskunde, Deel Problem Solving wiskunde, deel Practicum wiskunde (recto-verso)

196
Wiskunde In zicht een cursus wiskunde voor studierichtingen met component wiskunde derde graad algemeen secundair onderwijs geschreven door Koen De Naeghel Deel Po Portfolio wiskunde Deel Ps Problem Solving wiskunde Deel Pr Practicum wiskunde 17/11/2013

description

Onderdeel van Wiskunde in zicht, een cursus wiskunde voor studierichtingen met component wiskunde derde graad algemeen secundair onderwijs geschreven door Koen De Naeghel

Transcript of Deel Portfolio wiskunde, Deel Problem Solving wiskunde, deel Practicum wiskunde (recto-verso)

Page 1: Deel Portfolio wiskunde, Deel Problem Solving wiskunde, deel Practicum wiskunde (recto-verso)

Wiskunde In zicht

een cursus wiskunde voor

studierichtingen met component wiskundederde graad algemeen secundair onderwijs

geschreven door

Koen De Naeghel

Deel Po Portfolio wiskundeDeel Ps Problem Solving wiskundeDeel Pr Practicum wiskunde

17/11/2013

Page 2: Deel Portfolio wiskunde, Deel Problem Solving wiskunde, deel Practicum wiskunde (recto-verso)
Page 3: Deel Portfolio wiskunde, Deel Problem Solving wiskunde, deel Practicum wiskunde (recto-verso)

Wiskunde In zicht

een cursus wiskunde voor

studierichtingen met component wiskundederde graad algemeen secundair onderwijs

geschreven door

Koen De Naeghel

Deel Po Portfolio wiskundeDeel Ps Problem Solving wiskundeDeel Pr Practicum wiskunde

Page 4: Deel Portfolio wiskunde, Deel Problem Solving wiskunde, deel Practicum wiskunde (recto-verso)

CREATIVE COMMONS

Naamsvermelding-NietCommercieel-GelijkDelen 3.0(CC BY-NC-SA)

Dit is de vereenvoudigde (human-readable) versie van de volledige licentie.De volledige licentie is beschikbaar op de webpagina

http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/nl/legalcode

De gebruiker mag:

het werk kopieren, verspreiden en doorgevenRemixen - afgeleide werken maken

Onder de volgende voorwaarden:

Naamsvermelding - De gebruiker dient bij het werk de door de maker of de licentiegever aangegeven naam tevermelden (maar niet zodanig dat de indruk gewekt wordt dat zij daarmee instemmen met je werk of je gebruik vanhet werk).Niet-commercieel - De gebruiker mag het werk niet voor commerciele doeleinden gebruiken.Gelijk delen - Indien de gebruiker het werk bewerkt kan het daaruit ontstane werk uitsluitend krachtens dezelfdelicentie als de onderhavige licentie of een gelijksoortige licentie worden verspreid.

Met inachtneming van:

Afstandname van rechten - De gebruiker mag afstand doen van een of meerdere van deze voorwaarden metvoorafgaande toestemming van de rechthebbende.Publiek domein - Indien het werk of een van de elementen in het werk zich in het publieke domein onder toepasselijkewetgeving bevinden, dan is die status op geen enkele wijze beınvloed door de licentie.Overige rechten - Onder geen beding worden volgende rechten door de licentie-overeenkomst in het gedrang gebracht:

• Het voorgaande laat de wettelijke beperkingen op de intellectuele eigendomsrechten onverlet.

• De morele rechten van de auteur

• De rechten van anderen, ofwel op het werk zelf ofwel op de wijze waarop het werk wordt gebruikt, zoals hetportretrecht of het recht op privacy.

Let op - Bij hergebruik of verspreiding dient de gebruiker de licentievoorwaarden van dit werk kenbaar te maken aanderden. De beste manier om dit te doen is door middel van een link naar de webpaginahttp://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/nl/ .

Eerste druk: 2013

Gepubliceerd door: Online uitgever Lulu.com

Omslagfoto: http://nl.123rf.com/

Tekstzetsysteem: LATEX

Royalty percentage: 0%

c© Koen De Naeghel, gelicenseerd onder een Creative Commons Naamsvermelding-NietCommercieel-GelijkDelen 3.0

Page 5: Deel Portfolio wiskunde, Deel Problem Solving wiskunde, deel Practicum wiskunde (recto-verso)

Inhoudsopgave Wiskunde In zicht

Voorwoord v

Wat is wiskunde? vii-xii

Parate kennis bij aanvang van de derde graad xiii-xxi

I Precalculus 1 I,i-ii,1-138

II Goniometrie en precalculus 2

III Matrices

IV Complexe getallen

V Logica

VI Rijen

VII Limieten, asymptoten en continuıteit

VIII Afgeleiden

IX Telproblemen

X Kansrekenen 1

XI Integralen

XII Ruimtemeetkunde

XIII Beschrijvende statistiek

XIV Kansrekenen 2 en verklarende statistiek

XV Vectorruimten

XVI Analytische meetkunde

XVII Differentiaalvergelijkingen

XVIII Reeksen

G Computermeetkundepakket GeoGebra

S Computerrekenpakket Sage S,1-15

Po Portfolio wiskunde Po,i-iii

Ps Problem Solving wiskunde Ps,i-iii,1-44

Pr Practicum wiskunde Pr,i-iii,1-60,A

+∞ Topics uit de wiskunde +∞,1-5

Referentielijst, bibliografie en websites xxii-xxv

Trefwoordenlijst

iii

Page 6: Deel Portfolio wiskunde, Deel Problem Solving wiskunde, deel Practicum wiskunde (recto-verso)
Page 7: Deel Portfolio wiskunde, Deel Problem Solving wiskunde, deel Practicum wiskunde (recto-verso)

Portfolio wiskunde

naam: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . nr: . . . . . . . . . klas: . . . . . . . schooljaar: . . . . . . . . . . . . . .

Po

Page 8: Deel Portfolio wiskunde, Deel Problem Solving wiskunde, deel Practicum wiskunde (recto-verso)

Inleiding

George Polya(1887 - 1985)

Jarenlang was men overtuigd dat leerlingen en studenten de beoogde wiskundigevaardigheden leerden door het observeren van een expert (leerkracht, docent) inactie. Al minstens even lang stelt men deze eenzijdige methode in vraag, onder meerdoor de wiskundige en didacticus George Polya (1945), die stelt dat het oplossenvan problemen centraal moet staan in het wiskunde onderwijs, en dit op elk niveau.Leerlingen moeten zelf de kans krijgen om te ontdekken, en nadien een redenering opeen haalbaar niveau kunnen leveren.

Wat is het belang van het (zelfstandig) oplossen van problemen, ook wel probleem-oplossend denken genoemd? Het bedenken van een oplossing voor een (complex)probleem kan worden gezien als een creatief denkproces wat ontstaat als een orga-nisme en/of een kunstmatig intelligent systeem niet meer weet wat te doen om hetdoel te bereiken. En laat het nu net die vaardigheid om problemen op te lossen zijndie zo gegeerd is in de maatschappij. Bedrijven zijn voortdurend op zoek naar mensendie goed scoren op het oplossen van problemen. Denk maar aan de wijdverbreide in-telligentiemetingen zoals de IQ-test, en de waarde die men bij sollicitatie hecht aan de

typische intelligentietesten met als karakteristieke kenmerken logisch denken, ruimtelijk voorstellingsvermogen, nu-meriek inzicht, verbaal inzicht en technisch inzicht. Alleen al je vooruitzicht op een toekomstige aanwerving bij eeninstelling of een bedrijf duidt op het belang van deze vaardigheden.

Het is een misvatting te denken dat het vermogen om problemen op te lossen louter aangeboren is. Doelgerichtveelvuldig trainen en relfecteren kan een aanzienlijk voordeel opleveren. Maar het oefenen in probleemoplossenddenken hoort ons inziens te voldoen aan een aantal randvoorwaarden.

3 Het is onverstandig om problemen altijd zonder context te zien. Niet alleen kan het oplossen van vragen binneneen bepaalde context of referentiekader meer motiverend werken, men kan op die manier ook nieuwe leerstofinoefenen.

3 Elke leerling hoort op eigen tempo en op een aangepast niveau problemen te kunnen oplossen. Meer specifiekopteren we voor zelfgereguleerde differentiatie. Er wordt een minimumdoel voor de klas als geheel gesteld,en elke leerling kan op zijn of haar niveau een eigen oefentraject uitstippelen.

3 De leerling moet in staat zijn aan zelfevaluatie te doen door zijn/haar oplossingen naast een modeloplossingte leggen.

3 Tot slot dient de leerling te reflecteren over de eigen ontwikkeling: welke competenties en leerstofonderdelenbeheers ik goed, en hoe kan ik de zwakke punten verbeteren? Op die manier speelt de leerling de hoofdrol bijhet ‘managen’ van het leerproces.

3 De leerkracht of docent moet kunnen beoordelen of je die probleemoplossende vaardigheden in voldoende mateontwikkelt. Er volgt dus een evaluatie van het proces, waarbij je ook feedback krijgt.

We hebben ervoor gekozen om zo’n project te realiseren aan de hand van een zoge-naamd portfolio, een persoonlijke map waarin je beschrijft wat je kan, waaruit datblijkt en hoe je je competenties verder kan ontwikkelen. Globaal gezien dient eenportfolio twee doelen:

1. je kunt laten zien wat je hebt geleerd en wat je in je mars hebt, en

2. het helpt je te reflecteren over wat je bereikt hebt en welke (leerstof)onderdelennog extra oefening vergen.

Met de term portfolio werd oorspronkelijk een grote map bedoeld, waarin mensen met creatieve beroepen (kun-stenaars, vormgevers, tekstschrijvers) voorbeelden van hun werk meenamen naar potentiele opdrachtgevers. Sedertenkele jaren heeft men dit begrip verruimd naar het moderne portfolio, dat op persoonlijke ontwikkeling is gericht.

Po-i

Page 9: Deel Portfolio wiskunde, Deel Problem Solving wiskunde, deel Practicum wiskunde (recto-verso)

Wat wordt er van je verwacht?

Elk hoofdstuk uit de cursus is voorzien van oefeningen, die onder verdeeld worden in drie categorieen: basis, verdiepingen uitbreiding. Een overzicht van de oefeningen volgens categorie ziet er bijvoorbeeld als volgt uit (zie Deel Precalculus1 Hoofdstuk 1):

1 Herhaling Basis Verdieping Uitbreiding? ?? ? ?? ? ??

1.1 Cartesische coordinaten en grafieken 1 2 2

1.2 Basisbegrippen in verband met functies 3 4 5 6 7 8 9 10

1.3 Elementaire functies, symmetrieen van de grafiekvan een functie

11 1213

1.4 Transformaties van functies 1415

16 17 18 19 20

De interpretatie van deze categorieen is als volgt.

3 Basis. Deze oefeningen zijn bedoeld om de theorie te verwerken, en de basistechnieken die je gezien hebt inde modelvoorbeelden in te oefenen. Alle leerlingen horen dit niveau te halen. Je mag ervan uitgaan datgemiddeld 85% (voor leerlingen met acht wekenlijkse lestijden 70%) van de oefeningen op toetsen en proefwerkenbestaan uit basisoefeningen.

3 Verdieping. Deze categorie veronderstelt een grotere beheersingsgraad. Het zijn oefeningen die niet rechtstreeksmet de in de les geziene technieken van onder andere modeloefeningen kunnen opgelost worden. Verdiepings-oefeningen vergen extra creativiteit, en laten je toe door te groeien in je probleemoplossend denken. Leerlingendie een wetenschappelijke studierichting in het hoger of universitair onderwijs nastreven horen zich ook te richtentot deze categorie.

3 Uitbreiding. Bij uitbreidingsoefeningen gaat het om een extra leerinhoud, die niet noodzakelijk is voor hetvervolg van de cursus, maar die meer diepgang of hogere vaardigheden vragen. Dit is dus niet een nog hogerniveau dan de verdieping. Bij deze oefeningen worden meestal nieuwe begrippen gedefinieerd. Leerlingendie studies zoals burgerlijk ingenieur of burgerlijk ingenieur-architect ambieren horen zich ook tot dit niveau terichten.

Verder is elke categorie voorzien van een niveau: 0, 1 of 2 sterren. Al is een verschil in niveau bij basisoefeningen anderste interpreteren dan een verschil in punten bij uitbreidings- en verdiepingsoefeningen. Zo vergt een basisoefening met 0sterren minder werk dan een basisoefening met 2 sterren (maar is niet noodzakelijk eenvoudiger), en een verdiepingsoe-fening met 0 sterren eenvoudiger dan een verdiepingsoefening met 2 sterren (maar vergt niet noodzakelijk minder werk).

Het is de bedoeling dat je als leerling zelf kiest op welk niveau je oefeningen maakt. Dat kan door te starten meteen basisoefening met bijvoorbeeld 0 sterren. Als dit moeizaam gaat oefen je verder op dit niveau. Kun je die goedoplossen, dan kan je volgende oefening al een basisoefening met 1 fof 2 sterren zijn, en later overgaan naar verdiepingen/of uitbreiding. Zo stel je zelf een persoonlijk, voor jou op maat gemaakt oefentraject samen.

Sommige vragen uit de voorgaande edities van de Vlaamse Wiskunde Olympiade werden opgenomen, alsook vra-gen uit de vroegere toelatingsexamens van burgerlijk ingenieur, burgerlijk ingenieur-architect, (tand)arts, KoninklijkeMilitaire School en Burgerluchtvaartschool. We herinneren je aan de afspraak uit het Voorwoord om deze oefeningenop te lossen zonder gebruikt te maken van de grafische rekenmachine, of enig ander computerrekenpakket (zoals Maple).

Je kan je oefeningen controleren door je antwoorden te vergelijken met de antwoorden in de cursus. Die bevindenzich op het einde van elk deel. Maar ook al heb je het correcte eindantwoord, het is aangewezen om jouw oplossingnaast een modeloplossing te leggen. In de klas liggen zo’n modeloplossingen van oefeningen vooraan, waar je zelf-standig of met de leerkracht je oefeningen kan verbeteren. Hebben we tijdens de lessen wiskunde het einde van eenhoofdstuk bereikt, dan verschijnen deze modeloplossingen als PDF-bestand1 op SmartSchool of een ander digitaalplatform.

1PDF staat voor Portable Document Format, en is sinds begin jaren negentig de standaard voor de uitwisseling van elektronischedocumenten. De meest gebruikte PDF-lezer is Adobe Reader, die je gratis kan downloaden op http://get.adobe.com/nl/reader/ .

Po-ii

Page 10: Deel Portfolio wiskunde, Deel Problem Solving wiskunde, deel Practicum wiskunde (recto-verso)

Afspraken

1. Bij aanvang van elk hoofdstuk krijg je een bundel (geplooid A3-formaat) met daarop de oefeningen van dathoofdstuk.

2. Tijdens de les wordt er tijd voorzien om aan die oefeningen te werken. Daarnaast wordt er verwacht dat jeook buiten de les regelmatig oefeningen maakt. Het werken aan oefeningen uit je portfolio wordt gezien alseen taak.

3. Oefeningen maak je op cursusbladen. Noteer de oefening je maakt (vb. Oefening 99a) en trek je na elkeoefening een lijn over de breedte van je blad.

4. Gemaakte oefeningen waarmee je je competentie wil aantonen, voeg je in de bundel van dat hoofdstuk.

5. Tussentijds verbeteren met een rode pen doe je aan de hand van modeloplossingen die in de klas liggen.Hebben we tijdens de lessen wiskunde het einde van een hoofdstuk bereikt, dan verschijnen deze modeloplossingenop Smartschool of een ander digitaal platform. Het is niet de bedoeling dat je die afdrukt!

6. Na het verbeteren kleur je in de overzichtstabel (zoals hierboven) het vakje met het nummer van de oefening:

3 groen als je de oefening goed en volledig zelfstandig hebt opgelost (minstens 70% correct),

3 oranje als je de oefening matig en/of met wat hulp hebt opgelost (tussen 50% en 70% correct),

3 rood als je de oefening onvoldoende en/of met veel hulp hebt opgelost (minder dan 50% correct).

Na het doorlopen van je oefentraject kan een gedeelte van je overzichtstabel er bijvoorbeeld als volgt uit zien:

2 Veeltermfuncties Basis Verdieping Uitbreiding? ?? ? ?? ? ??

2.3 Algebraısch bepalen van nulwaarden, tekentabelen snijpunten

15

1617

15

18

1920

21 22

23

2425

26

Zo weet je bij het voorbereiden van een toets of proefwerk meteen welke oefeningen je moet hernemen, en bijwelke paragraaf je nog wat extra moet oefenen.

7. Bij sommige hoofdstukken wordt ook gevraagd om te reflecteren aan de hand van een reflectieformulier. Datformulier vul je nauwgezet in, en voeg je ook in deze bundel.

8. Tijdens de lessen op dit deel van de leerstof moet je de bundel van het huidig hoofdstuk altijd bijhebben. Er kan steeds worden nagekeken of je tijdens de voorbije les(sen) zinvol oefeningen gemaakt hebt, ofje de oefeningen verbeterd hebt en of je de reflectie ingevuld hebt.

9. Tijdens het lesuur dat je een toets wiskunde hebt, moet je de bundel(s) van die leerstof bij hebben.In het eerste semester dient iedereen de bundel in, in het tweede semester wordt het leerproces meer individueelopgevolgd. Heb je jouw bundel(s) niet bij, dan wordt dat gezien als het niet indienen van een taak. Conformhet schoolreglement leidt dit tot het volgen van de eerstvolgende inhaalstudie (op woensdag, van 13 u. tot 15u.). Tijdens de inhaalstudie maak je oefeningen op het relevante hoofdstuk, en geef je je studieneerslag op heteinde van de inhaalstudie aan de toezichthouder.

10. Is het resultaat op je toets nipt of onvoldoende, dan kijkt de leerkracht via je portfolio na of je wel voldoendeoefeningen gemaakt hebt, of je die oefeningen degelijk gemaakt hebt, of je voldoende gevarieerd hebt en vooral:of je die oefeningen ook verbeterd hebt. Zo niet, dan wordt je aangemaand om in het vervolg meer oefeningente maken, en/of je oefeningen ook nauwgezet te verbeteren. Is je portfolio wel behoorlijk, dan wordt je uitge-nodigd op een gesprek met de leerkracht, om te reflecteren over je studiemethode. In beide gevallen wordt hetstudieadvies - vaak onder de vorm van remedieringsmaatregelen - gecorrespondeerd via de schoolagenda en/ofhet digitaal puntenrapport.

11. Bij het terugkrijgen van je bundel bewaar je die samen met de andere bundels in deze grote portfoliobundel.

Het portfolio staat dus niet op punten voor tussentijdse evaluatie (TTE). Wel

3 is het jouw verantwoordelijkheid hoeveel oefeningen je maakt, en op welk niveau (ken jezelf!);

3 is deze bundel een bewijsstuk van hoe je zelfstandig te werk gaat, en toon je hiermee aan of je al dan niet eenjuiste studiehouding toont, en of je de eventuele raadgevingen om te groeien naar een goede studiemethode welter harte neemt;

3 dient het portfolio als procesevaluatie, hetgeen in je agenda of attituderapport kan worden genoteerd.

Veel succes!

Po-iii

Page 11: Deel Portfolio wiskunde, Deel Problem Solving wiskunde, deel Practicum wiskunde (recto-verso)

Problem Solving wiskunde

naam: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . nr: . . . . . . . . . klas: . . . . . . . school: . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Ps

Page 12: Deel Portfolio wiskunde, Deel Problem Solving wiskunde, deel Practicum wiskunde (recto-verso)

INLEIDING

Probleemoplossend denken

In deze snel evoluerende maatschappij hecht men bijzonder veel belang aan pro-bleemoplossend denken. Willen we je hierin zelfredzaam maken, dan moet de nadrukliggen op het ontwikkelen van vaardigheden die kunnen helpen bij het oplossen van(nieuwe) problemen. Deze vaardigheden zijn dan ook een essentiele troef in je studie-en beroepsloopbaan.

Probleemoplossend denken is deels opgenomen in het normale lesgebeuren: het wordtbevorderd door vragen stellen, patronen ontdekken, antwoorden zoeken en onder-zoeken, voorbeelden en tegenvoorbeelden opzoeken, vraagstelling vereenvoudigen,voorstellen analyseren, testen en bijsturen, vermoedens analyseren.

Maar dit is niet voldoende. Het is ook noodzakelijk dat je zelf problemen tracht op te lossen, die haalbaar maartoch wat complexer zijn. Bij het oplossen van problemen kun je terugvallen op het onderstaand stappenplan1 voorprobleemoplossend denken.

Voor een wiskundige is het oplossen van een probleem slechts het halve werk. Je redenering op papier zetten is minstenseven belangrijk. Problem Solving wiskunde is dan ook een takenreeks waarbij je niet alleen wordt beoordeeld op dejuistheid van de redenering, maar ook op de manier waarop je jouw redenering hebt verwoord. Deze twee kwaliteitenzijn onlosmakelijk verbonden met elkaar: enkel door een redenering degelijk op papier te zetten laat je zien hoe jejouw probleem hebt opgelost.

Stappenplan voor probleemoplossend denken

Stap 1. Het probleem begrijpen. Begrijp je alle woorden die in de opgave staan? Is het duidelijk wat gevraagdwordt te berekenen of te bewijzen? Schrijf in je eigen woorden op wat het probleem inhoudt. Door het op anderemanieren te verwoorden zal je het probleem beter begrijpen.

Stap 2. Zoekstrategieen en een plan opstellen. Eerst denk je na welke zoekstrategieen kunnen helpen.Voorbeelden van zo’n strategieen, ook wel heuristieken genoemd, zijn:

3 gegeven en gevraagde wiskundig vertalen

3 raad en controleer

3 maak een lijst

3 zoek een voorbeeld of een tegenvoorbeeld

3 elimineer de mogelijkheden

3 gebruik analogie of symmetrie

3 zoek een patroon

3 maak een tekening

3 los een eenvoudiger probleem op

3 gebruik een model

3 onderzoek bijzondere gevallen

3 los een vergelijking op

3 werk omgekeerd

3 gebruik een formule

Het is belangrijk om deze strategieen ook te benoemen op het moment dat je er gebruik van maakt. Vervolgensstel je een plan op die je zal volgen om het probleem op te lossen. Dit kan door in enkele regels te beschrijven hoeje straks te werk zal gaan.

Stap 3. Het plan uitvoeren. Je moet in staat zijn om - rekening houdend met het probleem en de omstandig-heden - de meest geschikte rekenwijze te kiezen: algebraısch, grafisch, schematisch, . . . . Volhard in je plan. Als hettot niets leidt, ga dan terug naar Stap 2 en stel een nieuw plan op. Achteraf is het belangrijk dat je je uitwerkingvan het probleem op een duidelijke manier opschrijft, zodat iemand anders je oplossing vlot kan lezen.

Stap 4. Uitkomst interpreteren en controleren. Wat vertelt de uitkomst je? Is het zinvol? Kun je je uitkomstop een of andere manier controleren? Bij een fout herneem je Stap 3 nauwgezet.

1Gebaseerd op het baanbrekend boek G. Polya, How to solve It, Princeton University Press (1945). Voor verdere toelichting van ditstappenplan verwijzen we naar Deel Practicum Wiskunde.

Ps-i

Page 13: Deel Portfolio wiskunde, Deel Problem Solving wiskunde, deel Practicum wiskunde (recto-verso)

Richtlijnen voor wiskundig schrijven

Het opschrijven van een wiskundige redenering, een bewijs of meer uitgebreid een nota, artikel of thesis wordt ook wel‘wiskundig schrijven’ genoemd. Het vergt heel wat oefening om hierin bedreven te worden. Zo’n redenering opschrijvenis niet zomaar iets wat je doet nadat je de oplossing gevonden hebt. Het vergt heel wat oefening. Deze richtlijnendienen dan ook om je hierin te ondersteunen.

Wiskundige correctheid

Een correcte, consistente en ondubbelzinnige redenering maken is moeilijker dan je denkt. Een nodige voorwaarde isdat je zelf 100% overtuigd bent van datgene wat je opschrijft. We overlopen enkele typische valkuilen.

3 Rekenvaardigheid. Het algebraısch manipuleren van functievoorschriften, formules, vergelijkingen, stelsels,etc. uit de eerste en de tweede graad is gekend verondersteld. Enkele misverstanden die aan de basis liggen voorheel wat elementaire rekenfouten in de derde graad (de uitspraken gelden voor gepaste keuze van a, b, c, d ∈ R):

. rekenen met vierkantswortels, o.a.√a + b 6= √a+

√b want

√9 + 16 6= 3 + 4;

√a2 6= a want

√(−3)2 6= −3;

. vereenvoudigen van breuken, o.a.2a + b

2c + d6= a + b

c + d,

2a + b

2c + 2d6= a + b

c + d,

2a + 2b

2c + d6= a + b

c + d;

. ongelijkheden, o.a. uit ac > bc volgt niet noodzakelijk dat a > b want 5 · (−2) > 7 · (−2) en toch is 5 < 7.

3 Correct gebruik van implicatie en equivalentie. Vaak is een redenering wiskundig fout omdat men de“enkele pijl ⇒” verwart met “dubbele pijl ⇔”. Onderstaande tabel geeft aan wat het onderscheid is. Voor deformele definitie van deze logische operaties verwijzen we naar Deel Logica.

naam symbool voorbeeld lees als

implicatie ⇒ x = −2⇒ x2 = 4 als x = −2 dan x2 = 4equivalentie ⇔ x = ±2⇔ x2 = 4 x = ±2 als en slechts als x2 = 4

3 Letters voor onbekenden eerst introduceren. Wanneer je een nieuwe letter gebruikt, dan hoor je eerst aante geven waar die letter voor staat. Enkel op die manier kan de lezer jouw redenering volgen.

Wiskundig verwoorden

Een wiskundige redenering bestaat zeker niet alleen uit symbolen (formules, vergelijkingen, . . . ). Je hoort ook bindtekstte schrijven: taalkundige zinnen die aangeven wat je van plan bent, hoe uit de ene vergelijking de andere volgt, hoeje een controle kan maken, etc. Slechts dan zal een lezer weten wat jij bedoelt, ook al heeft hij/zij het probleem nietzelf opgelost. Typische voorbeelden van bindwoorden- en zinnen vind je in onderstaande tabel. Wannneer je een deelvan de redenering weg laat, hoor je de aard en de lengte van het weggelaten deel te duiden (tweede kolom). Houd delezer op de hoogte waar je ergens in je redenering bevind, en wat er nog moet gebeuren (derde kolom).

Bindwoordenanders gezegd, anderzijds is, dan geldt, dientengevolge, dus, echter, enerzijds is, equivalent is, er geldt dat,

ergo, gelijkstellen levert, hieruit volgt, met als gevolg dat, neem, noem, of nog, omdat . . . is, op die manier is,terwijl, uit . . . volgt dan, veronderstel dat, voor . . . vinden we, voor . . . bekomen we, want, waaruit,

waaruit we vinden dat, waaruit volgt dat, we besluiten dat, we hebben, we vinden, zij, zodat, zodoende is

Bindzinnen

Ons eerste doel is om . . . Men kan eenvoudig aantonen dat . . . Eerst tonen we aan dat . . .Wa vermoeden dat . . . Twee keer toepassen van . . . geeft . . . Het probleem is te vereenvoudigen tot . . .Het idee van het bewijs is . . . Een gelijkaardig argument toont . . . Tenslotte moeten we aantonen dat . . .

Tenslotte geven we nog enkele algemene schrijftips mee.

3 Wiskundige formules kunnen deel uitmaken van een Nederlandse zin, maar je mag formules en tekst nietdooreen halen. Gebruik in een taalkundige zin ook geen losse symbolen als ∀,∃,⇒,⇔. Laat een regel nooitbeginnen met een wiskundig symbool. En verwijs eenduidig naar een eerdere vergelijking, etc.

NIET: x is positief ⇒ de oplossing van de vergelijking = 17.

WEL: Nu is x positief, zodat de oplossing van de vergelijking (∗) gegeven wordt door x = 17.

3 Hoe verwijs je naar jezelf? De meest gangbare keuze voor het persoonlijk voornaamwoord is “we”, ook alis er slechts een schrijver. “Ik” is vrijpostig en vereist een meer persoonlijk contact met de lezer. “We” kan ookverwijzen naar “de lezer en ikzelf”.

NIET: Ik heb het idee om . . . / Ik heb eerder al gezegd dat. . . / Nu ga ik aantonen waarom . . .

WEL: Ons idee is om . . . / We hebben eerder gezien dat. . . / Vervolgens tonen we aan waarom . . .

Ps-ii

Page 14: Deel Portfolio wiskunde, Deel Problem Solving wiskunde, deel Practicum wiskunde (recto-verso)

Afspraken

1. Elke week van het eerste trimester (uitgezonderd in de sperperiode) krijg je een opgave uit Problem Solvingwiskunde: een bundel (geplooid A3-formaat) met daarop een of twee problemen. Je krijgt vijf tot zeven dagende tijd de tijd om over de opgave na te denken. Dat gebeurt niet tijdens de lessen wiskunde of andere vakken,maar thuis of in de studie.

2. Pagina’s 1 en 4 van de bundel gebruik je als klad, pagina 2 gebruik je als net. Op pagina 3 schrijf je niets, wantdaar komt de beooordeling met opmerkingen van de leerkracht. Hoewel je enkel wordt beoordeeld op het net ishet verplicht om ook je klad te noteren. Onderstaande afbeelding is een verkleinde versie van zo’n opgavebundelin A3-formaat (recto-verso met C-vouw).

A3-voorkantklad (leerling) klad (leerling)

A3-achterkantnet (leerling) evaluatie (leerkracht)

KLAD

PROBLEM SOLVING 1

INDIENEN OP VRIJDAG 6 SEPTEMBER 2013

naam: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . nr: . . . . . . klas: . . . . . . . schooljaar: 2013 - 2014

Parate kennis bij aanvang van de derde graad

Probleem 1. Een auto rijdt op een rechte weg naar het oosten met een snelheid van 40km/u. Tegelijkbeweegt een storm, die de vorm van een cirkel met straal 51km heeft, zich naar het zuidoosten. Elkeminuut is het centrum van de storm een halve kilometer naar het zuiden en een halve kilometer naarhet oosten opgeschoven. Op tijdstip t = 0 is de storm 110km ten noorden van de auto. Hoe langbevindt de auto zich in (de cirkel van) de storm?

Fragment van de oplossing. Stel de positie van de auto en de storm voor in een Cartesisch assenstelsel.(1) Op tijdstip t (in minuten) is de auto in het punt A(. . . , . . .), want [. . . ](2) Op tijdstip t (in minuten) is het middelpunt van de storm in het punt S(. . . , . . .), want [. . . ]

KLAD

Ps-1

NET OPMERKINGEN

BEOORDELING

doelstelling feedback

knelpunt

werkpunt

goed

zeer

goed

excellent

wiskundige correctheid ◦ ◦ ◦ ◦ ◦

wiskundig verwoorden ◦ ◦ ◦ ◦ ◦

nauwkeurigheid en orde ◦ ◦ ◦ ◦ ◦

kritische zin ◦ ◦ ◦ ◦ ◦

3. Met andere leerlingen discussieren over een opgave kan, maar het schrijfwerk (klad en net) gebeurt striktindividueel. In de volgende gevallen ontstaat er een vermoeden dat je overgeschreven hebt:

(a) indien je klad niet (overtuigend) is genoteerd op de bundel, of

(b) indien twee taken grote overeenkomsten hebben in de persoonlijke stijl van opschrijven, of

(c) indien een leerkracht signaleert dat je tijdens les, leswissel of studie de taak van iemand overschrijft.

In dat geval volgt een confrontatie dat kan leiden tot het krijgen van een nul op de taak. Dit geldt zowel voorde leerling die de taak heeft overgeschreven als de leerling die zijn taak bewust liet overschrijven.

4. Ben je de bundel kwijt geraakt, dan kopieer je die zelf (pagina’s 1 en 3 op een dubbel taablad kleven).

5. Je respecteert de deadline vermeld in de hoofding. Je dient in tijdens een lesuur dat je wiskunde hebt. Hebje jouw bundel niet bij, dan wordt dat gezien als het niet indienen van een taak. Conform het schoolreglement leidtdit tot het volgen van de eerstvolgende inhaalstudie (op woensdag, van 13 u. tot 15 u.). Tijdens die inhaalstudiemaak je een alternatieve taak, die je indient op het einde van de inhaalstudie aan de toezichthouder. Je wordtvoor die taak beoordeeld op basis van wat je op dat moment ingediend hebt.

6. Na de beoordeling bewaar je de opgavebundel thuis in deze kaft. Op het einde van het eerste trimester wordtgevraagd om deze kaft met jouw taken terug in te dienen.

Evaluatie

Problem Solving wiskunde telt mee voor . . . % (vul in) van je tussentijdse evaluatie van het eerste trimester. Bij elketaak wordt je beoordeeld volgens de criteria

3 wiskundige correctheid: je redenering is correct, logisch consistent, ondubbelzinnig en leidt tot de volledigeoplossing van het probleem;

3 wiskundig verwoorden: je bent in staat om je gedachten op een kwalitatieve manier te communiceren;

3 nauwkeurigheid en orde: je werkt ordelijk en systematisch, zowel bij het aanpakken van het probleem alshet noteren van je oplossing; na de uitvoering van je opdracht kijk je terug als een vorm van controle om zo totnauwkeurige resultaten te komen;

3 kritische zin: Je hebt de houding om berekeningen, beweringen, argumenteringen en redeneringen niet zomaarte aanvaarden en over te nemen.

Deze competenties dienen als basis voor het beoordelen van je vakattitudes wiskunde. Is je resultaat onvoldoende,dan kan gevraagd worden om je net te herschrijven op basis van wat je ingediend had en in te dienen met devolgende taak. Is je verbetering goed, dan kun je toch nog voldoende halen voor de taak.

Veel succes!

Ps-iii

Page 15: Deel Portfolio wiskunde, Deel Problem Solving wiskunde, deel Practicum wiskunde (recto-verso)

PROBLEM SOLVING 1

INDIENEN OP . . . / . . . / . . .

naam: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . nr: . . . . . . klas: . . . . . . . school: . . . . . . . . . . . . . . .

Probleem 1. Een auto rijdt op een rechte weg naar het oosten met een snelheid van 40km/u. Tegelijkbeweegt een storm, die de vorm van een cirkel met straal 51km heeft, zich naar het zuidoosten. Elkeminuut is het centrum van de storm een halve kilometer naar het zuiden en een halve kilometer naarhet oosten opgeschoven. Op tijdstip t = 0 is de storm 110km ten noorden van de auto. Hoe langbevindt de auto zich in (de cirkel van) de storm?

Fragment van de oplossing. Stel de positie van de auto en de storm voor in een Cartesisch assenstelsel.(1) Op tijdstip t (in minuten) is de auto in het punt A(. . . , . . .), want [. . . ](2) Op tijdstip t (in minuten) is het middelpunt van de storm in het punt S(. . . , . . .), want [. . . ]

KLAD

Ps-1

Page 16: Deel Portfolio wiskunde, Deel Problem Solving wiskunde, deel Practicum wiskunde (recto-verso)

NET

Page 17: Deel Portfolio wiskunde, Deel Problem Solving wiskunde, deel Practicum wiskunde (recto-verso)

OPMERKINGEN

BEOORDELING

doelstelling feedback

knelpunt

werkpunt

goed

zeer

goed

excellent

wiskundige correctheid ◦ ◦ ◦ ◦ ◦

wiskundig verwoorden ◦ ◦ ◦ ◦ ◦

nauwkeurigheid en orde ◦ ◦ ◦ ◦ ◦

kritische zin ◦ ◦ ◦ ◦ ◦

Page 18: Deel Portfolio wiskunde, Deel Problem Solving wiskunde, deel Practicum wiskunde (recto-verso)

KLAD

Page 19: Deel Portfolio wiskunde, Deel Problem Solving wiskunde, deel Practicum wiskunde (recto-verso)

PROBLEM SOLVING 2

INDIENEN OP . . . / . . . / . . .

naam: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . nr: . . . . . . klas: . . . . . . . school: . . . . . . . . . . . . . . .

Probleem 2. Er is precies een veelterm C(x) van de vorm

C(x) = 7x7 + c6x6 + c5x

5 + . . .+ c1x+ c0

waarbij c0, c1, c2, . . . , c6 ∈ R en waarvoor geldt dat

C(1) = 17, C(2) = 27, . . . , C(7) = 77

Bepaal algebraısch C(8).

Fragment van de oplossing. We kennen zeven nulwaarden van de veelterm C(x)− x7.

KLAD

Ps-5

Page 20: Deel Portfolio wiskunde, Deel Problem Solving wiskunde, deel Practicum wiskunde (recto-verso)

NET

Page 21: Deel Portfolio wiskunde, Deel Problem Solving wiskunde, deel Practicum wiskunde (recto-verso)

OPMERKINGEN

BEOORDELING

doelstelling feedback

knelpunt

werkpunt

goed

zeer

goed

excellent

wiskundige correctheid ◦ ◦ ◦ ◦ ◦

wiskundig verwoorden ◦ ◦ ◦ ◦ ◦

nauwkeurigheid en orde ◦ ◦ ◦ ◦ ◦

kritische zin ◦ ◦ ◦ ◦ ◦

Page 22: Deel Portfolio wiskunde, Deel Problem Solving wiskunde, deel Practicum wiskunde (recto-verso)

KLAD

Page 23: Deel Portfolio wiskunde, Deel Problem Solving wiskunde, deel Practicum wiskunde (recto-verso)

PROBLEM SOLVING 3

INDIENEN OP . . . / . . . / . . .

naam: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . nr: . . . . . . klas: . . . . . . . school: . . . . . . . . . . . . . . .

Probleem 3. Een snelle motorboot behaalt in stilstaand water een topsnelheid van 32km/u. Hetvaart aan volle kracht 150km stroomopwaarts, tegen de constante stroming van een rivier in. Bij aan-komst is de avond gevallen, en blijft men ter plaatse om te overnachten. Daarna keert de motorbootterug en vaart stroomafwaarts naar de plaats waar men de vorige dag was vertrokken. Maar door eenmechanisch defect kan de motorboot tijdens de terugweg slechts aan halve kracht varen.

Als geluk bij een ongeluk blijkt achteraf dat de constante stroomsnelheid van de rivier gedurende deganse trip ideaal was: bij elke andere snelheid van de stroming zou de totale reistijd van de trip langergeduurd hebben.

(a) Bepaal de stroomsnelheid van de rivier (een berekening uitvoeren met de grafische rekenmachineis toegelaten).

(b) Als je weet dat men 8u heeft overnacht, bepaal dan de totale reistijd (algebraısch en met behulpvan je resultaat op vraag (a)).

Fragment van de oplossing. Noem c de constante stroomsnelheid van de rivier. Dan wordt de totalereistijd van de trip gegeven door de rationale vorm [. . . ], want [. . . ]

KLAD

Ps-9

Page 24: Deel Portfolio wiskunde, Deel Problem Solving wiskunde, deel Practicum wiskunde (recto-verso)

NET

Page 25: Deel Portfolio wiskunde, Deel Problem Solving wiskunde, deel Practicum wiskunde (recto-verso)

OPMERKINGEN

BEOORDELING

doelstelling feedback

knelpunt

werkpunt

goed

zeer

goed

excellent

wiskundige correctheid ◦ ◦ ◦ ◦ ◦

wiskundig verwoorden ◦ ◦ ◦ ◦ ◦

nauwkeurigheid en orde ◦ ◦ ◦ ◦ ◦

kritische zin ◦ ◦ ◦ ◦ ◦

Page 26: Deel Portfolio wiskunde, Deel Problem Solving wiskunde, deel Practicum wiskunde (recto-verso)

KLAD

Page 27: Deel Portfolio wiskunde, Deel Problem Solving wiskunde, deel Practicum wiskunde (recto-verso)

PROBLEM SOLVING 4

INDIENEN OP . . . / . . . / . . .

naam: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . nr: . . . . . . klas: . . . . . . . school: . . . . . . . . . . . . . . .

Probleem 4. Stel f(x) =5x2 − 4x+ 8

x2 + 1.

(a) Voor welke reele waarden van k bestaat er een reeel getal x waarvoor f(x) = k?

(b) Bepaal het bereik van de functie f .

Fragment van de oplossing.

(a) Neem k ∈ R willekeurig. Dan geldt er bestaat een reeel getal x waarvoor f(x) = k

⇔ de vergelijking f(x) = k heeft minstens een oplossing x

⇔ [. . . ]

KLAD

Ps-13

Page 28: Deel Portfolio wiskunde, Deel Problem Solving wiskunde, deel Practicum wiskunde (recto-verso)

NET

Page 29: Deel Portfolio wiskunde, Deel Problem Solving wiskunde, deel Practicum wiskunde (recto-verso)

OPMERKINGEN

BEOORDELING

doelstelling feedback

knelpunt

werkpunt

goed

zeer

goed

excellent

wiskundige correctheid ◦ ◦ ◦ ◦ ◦

wiskundig verwoorden ◦ ◦ ◦ ◦ ◦

nauwkeurigheid en orde ◦ ◦ ◦ ◦ ◦

kritische zin ◦ ◦ ◦ ◦ ◦

Page 30: Deel Portfolio wiskunde, Deel Problem Solving wiskunde, deel Practicum wiskunde (recto-verso)

KLAD

Page 31: Deel Portfolio wiskunde, Deel Problem Solving wiskunde, deel Practicum wiskunde (recto-verso)

PROBLEM SOLVING 5

INDIENEN OP . . . / . . . / . . .

naam: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . nr: . . . . . . klas: . . . . . . . school: . . . . . . . . . . . . . . .

Probleem 5. Bepaal algebraısch de oplossingen van de vergelijking

3√

13x+ 37− 3√

13x− 58 =3√

5

Vereenvoudig je resultaat zoveel als mogelijk, en geef de exacte waarde.

Fragment van de oplossing.

KLAD

Ps-17

Page 32: Deel Portfolio wiskunde, Deel Problem Solving wiskunde, deel Practicum wiskunde (recto-verso)

NET

Page 33: Deel Portfolio wiskunde, Deel Problem Solving wiskunde, deel Practicum wiskunde (recto-verso)

OPMERKINGEN

BEOORDELING

doelstelling feedback

knelpunt

werkpunt

goed

zeer

goed

excellent

wiskundige correctheid ◦ ◦ ◦ ◦ ◦

wiskundig verwoorden ◦ ◦ ◦ ◦ ◦

nauwkeurigheid en orde ◦ ◦ ◦ ◦ ◦

kritische zin ◦ ◦ ◦ ◦ ◦

Page 34: Deel Portfolio wiskunde, Deel Problem Solving wiskunde, deel Practicum wiskunde (recto-verso)

KLAD

Page 35: Deel Portfolio wiskunde, Deel Problem Solving wiskunde, deel Practicum wiskunde (recto-verso)

PROBLEM SOLVING 6

INDIENEN OP . . . / . . . / . . .

naam: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . nr: . . . . . . klas: . . . . . . . school: . . . . . . . . . . . . . . .

Probleem 6. Bereken algebraısch, en zonder enig gebruik te maken van een (grafische) rekenmachineof computerrekenpakket:

⌊20143

2012 · 2013− 20123

2013 · 2014

Fragment van de oplossing. Noem n = . . . . We schrijven het verschil binnen de floor als de som vaneen echte en een onecht rationale vorm in n, en wel als volgt: [. . . ]

KLAD

Ps-21

Page 36: Deel Portfolio wiskunde, Deel Problem Solving wiskunde, deel Practicum wiskunde (recto-verso)

NET

Page 37: Deel Portfolio wiskunde, Deel Problem Solving wiskunde, deel Practicum wiskunde (recto-verso)

OPMERKINGEN

BEOORDELING

doelstelling feedback

knelpunt

werkpunt

goed

zeer

goed

excellent

wiskundige correctheid ◦ ◦ ◦ ◦ ◦

wiskundig verwoorden ◦ ◦ ◦ ◦ ◦

nauwkeurigheid en orde ◦ ◦ ◦ ◦ ◦

kritische zin ◦ ◦ ◦ ◦ ◦

Page 38: Deel Portfolio wiskunde, Deel Problem Solving wiskunde, deel Practicum wiskunde (recto-verso)

KLAD

Page 39: Deel Portfolio wiskunde, Deel Problem Solving wiskunde, deel Practicum wiskunde (recto-verso)

PROBLEM SOLVING 7

INDIENEN OP . . . / . . . / . . .

naam: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . nr: . . . . . . klas: . . . . . . . school: . . . . . . . . . . . . . . .

Probleem 7. Een cruiseschip vaart naar het zuiden met een snelheid van 51, 97km/u, en ervaartdat de wind uit het oosten komt. Een ander cruiseschip, de Queen Elizabeth 2, tevens een van degrooste en snelste cruiseschepen ter wereld, vaart naar het westen met een snelheid van 60, 01km/u.Ogenschijnlijk voor het tweede schip waait een noordoostenwind, die een hoek van 30◦ maakt met hetnoorden. Bepaal de (werkelijke) snelheid van de wind.

Fragment van de oplossing. Voor het eerste schip benoemen we de volgende snelheidsvectoren: [. . . ]dan kunnen we die snelheidsvectoren voorstellen op onderstaande figuur [. . . ]

KLAD

Ps-25

Page 40: Deel Portfolio wiskunde, Deel Problem Solving wiskunde, deel Practicum wiskunde (recto-verso)

NET

Page 41: Deel Portfolio wiskunde, Deel Problem Solving wiskunde, deel Practicum wiskunde (recto-verso)

OPMERKINGEN

BEOORDELING

doelstelling feedback

knelpunt

werkpunt

goed

zeer

goed

excellent

wiskundige correctheid ◦ ◦ ◦ ◦ ◦

wiskundig verwoorden ◦ ◦ ◦ ◦ ◦

nauwkeurigheid en orde ◦ ◦ ◦ ◦ ◦

kritische zin ◦ ◦ ◦ ◦ ◦

Page 42: Deel Portfolio wiskunde, Deel Problem Solving wiskunde, deel Practicum wiskunde (recto-verso)

KLAD

Page 43: Deel Portfolio wiskunde, Deel Problem Solving wiskunde, deel Practicum wiskunde (recto-verso)

PROBLEM SOLVING 8

INDIENEN OP . . . / . . . / . . .

naam: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . nr: . . . . . . klas: . . . . . . . school: . . . . . . . . . . . . . . .

nieren in digitaal ontwerp

Probleem 8. De nieren hebben als taak de samenstelling vanhet bloed constant te houden. Daarbij verwijderen ze opgelosteongewenste stoffen, zoals afvalstoffen van de stofwisseling en via hetvoedsel opgenomen vergiften en geneesmiddelen. Nieren eliminereneen zekere hoeveelheid overblijvende ongewenste stoffen per tijds-eenheid.

Cafeıne is een opwekkende stof die ook stimulerend werkt op hetzenuwstelsel, de hartslag en de ademhaling. Wat je merkt is dat hetje wakkerder maakt of dat het je gevoel van vermoeidheid verdrijft.Een grote dosis cafeıne kan giftig zijn. Gemiddeld verwijderen de nieren van een persoon elk uur 13%van de in het lichaam overblijvende cafeıne. Is de overblijvende dosis cafeıne groter dan 20mg, danwerkt het stimulerend.

We nemen aan dat een blikje cola van 330ml ongeveer 45mg cafeıne bevat. Stel dat je vier uur langelk uur een blikje cola drinkt, en je het laatste blikje om 23u. drinkt (in het totaal drink je dus vierblikjes). Omstreeks hoe laat zal de cafeıne die je uit deze blikjes opnam niet langer stimulerend werken?Algebraısch oplossen, en je resultaat afronden op een minuut nauwkeurig.

Fragment van de oplossing. Noem C1(t) de resterende hoeveelheid cafeıne (in mg) in het lichaamafkomstig van het eerste blikje, op t uur na 20u.. Dan is C1(t) gelijk aan [. . . ].

KLAD

Ps-29

Page 44: Deel Portfolio wiskunde, Deel Problem Solving wiskunde, deel Practicum wiskunde (recto-verso)

NET

Page 45: Deel Portfolio wiskunde, Deel Problem Solving wiskunde, deel Practicum wiskunde (recto-verso)

OPMERKINGEN

BEOORDELING

doelstelling feedback

knelpunt

werkpunt

goed

zeer

goed

excellent

wiskundige correctheid ◦ ◦ ◦ ◦ ◦

wiskundig verwoorden ◦ ◦ ◦ ◦ ◦

nauwkeurigheid en orde ◦ ◦ ◦ ◦ ◦

kritische zin ◦ ◦ ◦ ◦ ◦

Page 46: Deel Portfolio wiskunde, Deel Problem Solving wiskunde, deel Practicum wiskunde (recto-verso)

KLAD

Page 47: Deel Portfolio wiskunde, Deel Problem Solving wiskunde, deel Practicum wiskunde (recto-verso)

PROBLEM SOLVING 9

INDIENEN OP . . . / . . . / . . .

naam: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . nr: . . . . . . klas: . . . . . . . school: . . . . . . . . . . . . . . .

Probleem 9. Los algebraısch de volgende exponentiele vergelijking op:

8(4x + 4−x)− 54(2x + 2−x) + 101 = 0

Fragment van de oplossing. We bereken eerst (2x + 2−x)2.

KLAD

Ps-33

Page 48: Deel Portfolio wiskunde, Deel Problem Solving wiskunde, deel Practicum wiskunde (recto-verso)

NET

Page 49: Deel Portfolio wiskunde, Deel Problem Solving wiskunde, deel Practicum wiskunde (recto-verso)

OPMERKINGEN

BEOORDELING

doelstelling feedback

knelpunt

werkpunt

goed

zeer

goed

excellent

wiskundige correctheid ◦ ◦ ◦ ◦ ◦

wiskundig verwoorden ◦ ◦ ◦ ◦ ◦

nauwkeurigheid en orde ◦ ◦ ◦ ◦ ◦

kritische zin ◦ ◦ ◦ ◦ ◦

Page 50: Deel Portfolio wiskunde, Deel Problem Solving wiskunde, deel Practicum wiskunde (recto-verso)

KLAD

Page 51: Deel Portfolio wiskunde, Deel Problem Solving wiskunde, deel Practicum wiskunde (recto-verso)

PROBLEM SOLVING 10

INDIENEN OP . . . / . . . / . . .

naam: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . nr: . . . . . . klas: . . . . . . . school: . . . . . . . . . . . . . . .

Probleem 10. Zij α een hoek waarvoor cosecα = cotα− 18/5. Bepaal algebraısch de exacte waardevan sinα− tanα zonder de hoek α te berekenen.

Fragment van de oplossing. Het gegeven is een betrekking waar twee goniometrische getallen in voor-komen. We vormen het gegeven om naar een formule waar slechts een goniometrisch getal in voorkomt.

KLAD

Ps-37

Page 52: Deel Portfolio wiskunde, Deel Problem Solving wiskunde, deel Practicum wiskunde (recto-verso)

NET

Page 53: Deel Portfolio wiskunde, Deel Problem Solving wiskunde, deel Practicum wiskunde (recto-verso)

OPMERKINGEN

BEOORDELING

doelstelling feedback

knelpunt

werkpunt

goed

zeer

goed

excellent

wiskundige correctheid ◦ ◦ ◦ ◦ ◦

wiskundig verwoorden ◦ ◦ ◦ ◦ ◦

nauwkeurigheid en orde ◦ ◦ ◦ ◦ ◦

kritische zin ◦ ◦ ◦ ◦ ◦

Page 54: Deel Portfolio wiskunde, Deel Problem Solving wiskunde, deel Practicum wiskunde (recto-verso)

KLAD

Page 55: Deel Portfolio wiskunde, Deel Problem Solving wiskunde, deel Practicum wiskunde (recto-verso)

PROBLEM SOLVING 11

INDIENEN OP . . . / . . . / . . .

naam: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . nr: . . . . . . klas: . . . . . . . school: . . . . . . . . . . . . . . .

Probleem 11. Zij α en β twee hoeken waarvoor cos(α + β) + sin(α − β) = 0 en tanβ = 1/2013.Bepaal tanα zonder de hoek α of β te berekenen.

Fragment van de oplossing. We passen de som-en verschilformules voor cosinus en sinus toe. [. . . ] Wetonen aan dat cosα cosβ 6= 0. [. . . ]

KLAD

Ps-41

Page 56: Deel Portfolio wiskunde, Deel Problem Solving wiskunde, deel Practicum wiskunde (recto-verso)

NET

Page 57: Deel Portfolio wiskunde, Deel Problem Solving wiskunde, deel Practicum wiskunde (recto-verso)

OPMERKINGEN

BEOORDELING

doelstelling feedback

knelpunt

werkpunt

goed

zeer

goed

excellent

wiskundige correctheid ◦ ◦ ◦ ◦ ◦

wiskundig verwoorden ◦ ◦ ◦ ◦ ◦

nauwkeurigheid en orde ◦ ◦ ◦ ◦ ◦

kritische zin ◦ ◦ ◦ ◦ ◦

Page 58: Deel Portfolio wiskunde, Deel Problem Solving wiskunde, deel Practicum wiskunde (recto-verso)

KLAD

Page 59: Deel Portfolio wiskunde, Deel Problem Solving wiskunde, deel Practicum wiskunde (recto-verso)

Practicum wiskunde

Werkbundels voor de leerlingen

naam: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . nr: . . . . . . . . . klas: . . . . . . . schooljaar: . . . . . . . . . . . . . .

Pr

Page 60: Deel Portfolio wiskunde, Deel Problem Solving wiskunde, deel Practicum wiskunde (recto-verso)

WOORD VOORAF

George Polya(1887 - 1985)

Jarenlang was men overtuigd dat leerlingen en studenten de beoogde wiskundigekennis het best aanleren door het observeren van een expert (leerkracht, docent) inactie. Al minstens even lang stelt men deze eenzijdige methode in vraag. Zo stelt dewiskundige en didacticus George Polya (1945) dat kennisoverdracht door middelvan het oplossen van problemen centraal moet staan in het wiskunde onderwijs,en dit op elk niveau. Leerlingen moeten zelf de kans krijgen om te ontdekken, ennadien een redenering op een haalbaar niveau kunnen leveren.

Het (zelfstandig) oplossen van problemen, ook wel probleemoplossend denkengenoemd, is een voorbeeld van wat de jongste jaren een trend in het onderwijs isgeworden: de zogenaamde competenties. Ruim genomen is een competentie hetvermogen om naargelang de situatie correct en passend te handelen. De nadruk ligtbij het begrip competentie niet op weten maar op kunnen. In de vakliteratuuronderscheidt men zo’n dertig tot veertig competenties, zoals luisteren, analyseren,mondeling presenteren, overtuigen, leidinggeven en samenwerken.

Het feit dat competenties een trend binnen het onderwijs zijn, kan niet de enige drijfveer zijn om er aandacht aan tebesteden. Maar het zou er de leerkracht en de leerling wel toe moeten aanzetten om er over na te denken. Typisch is dathij/zij hierbij een aantal bedenkingen heeft. Hierna overlopen we enkele, en geven duiding binnen een maatschappelijkecontext. 3

1. Waarom volstaat de overdracht van kennis niet meer? Men heeft ontdekt dat de halveringstijd van kennisenorm achteruit gaat. Zo was bijvoorbeeld in 1987 de halveringstijd van de kennis van een juist afgestudeerdelektrotechnisch ingenieur tien jaar. Dat wil zeggen dat in tien jaar tijd, de helft van diens kennis was verouderd.In 1997 bedroeg de halveringstijd van die kennis nog maar vijf jaar. De consequenties van die ontdekking zijnenorm. Stel je voor: je volgt een studie van ongeveer vijf jaar en vijf jaar later is de helft van wat je leerde al weerverouderd! Voor onderwijsinstellingen is het haast zinloos om veel tijd en geld te investeren in kennisoverdracht.Wat men leerlingen en studenten vandaag leert, is morgen alweer achterhaald. Dat schiet niet op. Daarom ishet onderwijs gaan inzetten op de overdracht van competenties.

2. Wat is het belang van probleemoplossend denken? Het bedenken van een oplossing voor een (complex) probleemkan worden gezien als een creatief denkproces wat ontstaat als een organisme en/of een kunstmatig intelligentsysteem niet meer weet wat te doen om het doel te bereiken. En laat het nu net de vaardigheid om problemen opte lossen zijn die erg gegeerd is in de maatschappij. Bedrijven zijn voortdurend op zoek naar mensen die goedscoren op het oplossen van problemen. Denk maar aan de wijdverbreide intelligentiemetingen zoals de IQ-test,en de waarde die men bij sollicitatie hecht aan de typische intelligentietesten met als karakteristieke kenmerkenlogisch denken, ruimtelijk voorstellingsvermogen, numeriek inzicht, verbaal inzicht en technisch inzicht. Alleenal het vooruitzicht van een leerling op de toekomstige aanwerving bij een instelling of een bedrijf duidt op hetbelang van deze vaardigheden.

3. Wat kan de meerwaarde van op school ontwikkelde competenties voor het beroepsleven zijn? Per beroep kun jeongeveer acht competenties benoemen die doorslaggevend zijn. Men noemt dat ook wel een standaard. In eensollicitatie zal men vooral op die competenties letten.

Voorbeeld. Een secretaresse die ooit tijdens haar opleiding heeft leren notuleren kan notuleren. Maar als zij eenandere baas krijgt die heel andere eisen stelt aan de notulen kan die secretaresse die bij haar eerste baas primafunctioneerde, met de handen in het haar zitten. Als ze tijdens haar opleiding had geleerd hoe je hoofdzakenvan bijzaken kan onderscheiden en hoe je in overleg met de opdrachtgever tot afspraken komt over het te leverenproduct, was ze beter af geweest.

3Inspiratie werd ontleend aan http://www.leren.nl/cursus/leren en studeren/portfolio/wat-is-portfolio.html .

Pr-i

Page 61: Deel Portfolio wiskunde, Deel Problem Solving wiskunde, deel Practicum wiskunde (recto-verso)

Omdat we bewust kiezen voor het ontwikkelen van competenties, is het wenselijk om het effect ervan te meten enverder op te volgen. Men zou geneigd kunnen zijn zijn die opvolging te noteren op een klassieke toets. Typischdaarbij zijn opmerkingen in de trend van:

3 “let op je notatie”,

3 “na een berekening je resultaat ook kritisch bekijken: heeft het resultaat zin?”,

3 “maak na rekenwerk ook de controle met behulp van je (grafisch) rekenmachine, indien mogelijk”,

3 “bij het tekenen van een assenstelsel de assen benoemen”,

3 “maak onderscheid tussen gegeven en gevraagde”, etc.

Doorgaans zal een leerling die een toets afneemt zich eerder focussen op het reproduceren van de kennis en demon-streren van basistechnieken. Het bewust tonen van competenties hoort daar niet meteen bij. Ook bij het krijgen vande gecorrigeerde toets achteraf zal een leerling eerder interesse hebben in de punten dan in de opmerkingen inverband met competenties. Voor een aantal leerlingen is dit te wijten aan het feit dat attitudes niet worden gequoteerdop punten: zin voor nauwkeurigheid en orde, zelfvertrouwen en zelfstandigheid, reflectievaardigheden, etc.

Hoewel het een onlosmakelijk met het ander verbonden is (kwaliteit in competenties zal op termijn ook leiden tothogere punten) nemen sommige leerlingen die link niet onmiddellijk aan. Anderzijds hoort een leerkracht wel tebeoordelen of de leerling de vaardigheden goed ontwikkelt. Een klassieke toets volstaat dus niet langer.

Practicum wiskunde - Inhoud en evaluatie, vaardigheden en attitudes

Uit een poging om de wiskundige competenties op een uitgesproken manier te behandelen is het practicum wiskundeontstaan. Het bestaat uit enkele projecten, practica4 genaamd. Het doel van deze practica is dat de leerkracht kanbeoordelen of de leerling die vaardigheden goed ontwikkelt. Dat kan hij zien aan de verslagen die de leerling zelf ofin groep geschreven heeft, en ook hoe de leerling in de groep heeft samengewerkt. Bovendien stimuleert het leerlingenom over de eigen ontwikkeling na te denken. Op die manier speelt de leerling zelf de hoofdrol bij het ‘managen’ vanzijn eigen leerproces:

3 Wat zijn mijn sterke en zwakke punten? Welke competenties beheers ik goed, welke zou ik kunnen verbeteren?

3 Wat is het belang van bepaalde competenties voor mijn studie- en beroepskeuze?

3 Hoe kan ik anderen laten zien waar ik goed in ben?

3 Hoe kan ik mijn zwakke punten verbeteren?

Inhoud

Naast het implementeren van de practica in de huidige leerstofonderdelen kunnen er - in tegenstelling tot een klassiekedidactiek - een aantal methodes aan bod komen die zeker de moeite waard zijn. Enkele daarvan zijn zelfs essentieel inde uitvoering van de zogenaamde onderzoekscompetenties derde graad. We sommen enkele onderwerpen op, voor deconcrete inhoud verwijzen we naar de practica zelf:

3 zelfstandig oefeningen maken met oplossingssleutels,

3 werken met een wiskundig model,

3 leren uit opgeloste problemen,

3 geven van een wetenschappelijke presentatie,

3 samen werken,

3 onderzoeksopdrachten,

3 inzicht in het studie- en beroepskeuzeproces.

Evaluatie

Bijna elk practicum wordt geevalueerd op inhoud, maar ook op vaardigheden en attitudes. Hierna volgt een opsommingvan die vaardigheden en attitudes.

4practicum (-s, -tica mv) een les waarin niet alleen wordt geluisterd, maar waarin leerlingen praktisch oefenen.

Pr-ii

Page 62: Deel Portfolio wiskunde, Deel Problem Solving wiskunde, deel Practicum wiskunde (recto-verso)

Vaard

igheden

1.R

ekenvaard

igh

eid

.

3B

ijh

etal

geb

raıs

chm

an

ipu

lere

nva

nfu

nct

ievoors

chri

ften

,fo

rmu

les,

verg

elij

kin

gen

,et

c.w

eet

jew

elke

tech

-n

ieke

nje

moet

aanw

enden

omto

tee

nre

sult

aat

teko

men

,en

voer

jed

eze

tech

nie

ken

corr

ect

uit

.

3Je

kan

de

groot

ord

eva

nee

nre

sult

aat

goed

insc

hatt

en.

3Je

kan

ICT

-hu

lpm

idd

elen

zoal

sh

etgr

afisc

hre

ken

mac

hin

eof

een

com

pu

terr

eken

pak

ket

gep

ast

insc

hak

elen

omee

nb

ewer

kin

gu

itte

voer

en.

Je

gaat

ook

kri

tisc

hom

met

de

ber

eken

inge

nd

ieje

met

ICT

bek

om

enh

ebt.

2.M

eet-

en

tekenvaard

igh

eid

.

3G

rafi

eken

envo

orst

elli

nge

nva

nvla

kke

enru

imte

figu

ren

teke

nje

nau

wkeu

rig.

3Je

heb

tru

imte

lijk

voor

stel

lin

gsve

rmog

en.

3Je

kan

ICT

-hu

lpm

idd

elen

zoal

sh

etgr

afisc

hre

ken

mac

hin

eof

een

com

pu

terr

eken

pak

ket

gep

ast

insc

hak

elen

omee

nfi

gu

ur

teb

ekom

en.

Je

gaa

took

kri

tisc

hom

met

de

voor

stel

lin

gen

die

jem

etIC

Tb

ekom

enh

ebt.

3.W

isku

nd

ige

taalv

aard

igh

eid

.

3Je

ben

tve

rtro

uw

dm

etd

eva

kta

alva

nd

ew

isku

nd

e:

.je

ken

td

eb

etek

enis

van

typ

isch

eva

kte

rmen

engeb

ruik

td

eze

vold

oen

de

corr

ect

(fu

nct

ie,

stel

sel,

etc.

);

.je

ken

td

eb

etek

enis

van

spec

ifiek

elo

gis

che

ker

nw

oor

den

enge

bru

ikt

dez

evol

doen

de

corr

ect

(en

,of,

daa

ruit

volg

t,vo

or

alle

,et

c.);

.je

ben

tin

staa

tom

een

omsc

hri

jvin

gva

nee

nb

egri

pte

form

alis

eren

,en

een

voor

waard

ete

sym

bolise

ren

;

.je

han

teer

td

evis

uel

evo

ors

tell

inge

nw

aar

de

wis

ku

nd

ege

bru

ikva

nm

aakt

(gra

fiek

,ta

bel

,et

c.).

3Je

ben

tve

rtro

uw

dm

etd

eb

esch

rijv

end

eta

alw

aari

nov

erh

etw

isku

nd

igh

and

elen

ges

pro

ken

wor

dt

(defi

nit

ie,

eige

nsc

hap

,ve

rkla

ar,

ber

eken

alge

bra

ısch

/gra

fisc

h,

teke

n,

contr

uee

r).

3Je

kan

inee

nsi

tuat

iew

isku

nd

ige

beg

rip

pen

her

ken

nen

enve

rtal

enn

aar

wis

ku

nd

igm

od

el(m

ath

emati

sere

n).

3Je

kan

vis

uel

ein

form

ati

ein

vold

oen

de

mat

ele

zen

enin

terp

rete

ren

(op

een

teke

nin

g,gra

fiek

,d

iagra

m).

3Je

ben

tle

esva

ard

igb

ijh

etle

zen

van

de

tekst

van

opga

ven

,p

rob

lem

enen

vra

agst

ukke

n.

4.D

en

k-

en

red

en

eerv

aard

igh

ed

en

.

3Je

kan

het

ond

ersc

hei

dm

aken

tuss

enh

oofd

-en

bij

zake

n,

gege

ven

enge

vra

agd

e,geg

even

ente

bew

ijze

n.

3Je

ben

tin

staa

tee

nre

den

erin

gof

argu

men

teri

ng

bij

een

eige

nsc

hap

teb

egri

jpen

.

3Je

kan

een

geg

even

red

ener

ing

oph

aar

gel

dig

hei

don

der

zoek

en.

3Je

kan

een

reden

erin

gof

argu

men

teri

ng

bij

een

eige

nsc

hap

of

de

oplo

ssin

gva

nee

np

rob

leem

op

bouw

en:

.je

kan

een

ver

moed

enfo

rmu

lere

nen

argu

men

tere

n;

.je

kan

een

eige

nsc

hap

form

ule

ren

opb

asis

van

een

ond

erzo

ekop

een

aan

tal

voorb

eeld

en;

.je

kan

bij

het

op

bou

wen

van

een

red

ener

ing

een

ICT

-hu

lpm

idd

elge

bru

iken

.

5.P

rob

leem

op

loss

en

de

vaard

igh

ed

en

.

3Je

kan

een

pro

ble

emontd

ekke

nen

het

wis

ku

nd

igb

ehoor

lijk

stel

len

.

3Je

kan

een

pro

ble

eman

alyse

ren

(on

der

sch

eid

mak

entu

ssen

gege

ven

enge

vra

agd

e,ve

rban

den

leggen

tuss

end

egeg

even

s,et

c.).

3Je

kan

een

pro

ble

emve

rtal

enn

aar

een

pas

sen

dw

isku

nd

igm

od

el(m

ath

emat

iser

en).

3Je

kan

zoek

stra

tegi

een

toep

asse

nb

ijh

etw

erken

aan

pro

ble

men

,en

daa

rbij

een

pla

nop

stel

len

.

3Je

kan

refl

ecte

ren

opd

eke

uze

van

jezo

ekst

rate

gie

enen

jep

lan

.

3Je

kan

jere

sult

aten

contr

oler

enop

hu

nb

etro

uw

baa

rhei

den

voll

edig

hei

d.

3Je

kan

ICT

-hu

lpm

iddel

enge

bru

iken

omw

isku

nd

ige

info

rmati

ete

ver

wer

ken

enw

isku

nd

ige

pro

ble

men

teon

der

zoek

en.

6.O

nd

erz

oeksv

aard

igh

ed

en

.

3Je

kan

een

on

der

zoek

sop

dra

cht

form

ule

ren

enaf

bak

enen

.

3Je

kan

een

aan

pak

pla

nn

enen

zon

od

igop

spli

tsen

ind

eelt

aken

.

3Je

kan

info

rmat

iever

wer

ken

enop

rele

vanti

ese

lect

eren

:

.d

ew

aard

eva

nd

ein

form

atie

beo

ord

elen

infu

nct

ieva

nd

eop

dra

cht;

Pr-

iii

.d

ere

lati

etu

ssen

gege

ven

sen

bew

erkin

gen

opzo

eken

enin

terp

rete

ren

.

3Je

kan

doel

mat

igee

nw

isku

nd

igm

od

else

lect

eren

ofop

stel

len

:

.ee

non

der

dee

lva

nee

nop

dra

cht

her

ken

nen

als

een

wis

kun

dig

ofee

nst

atis

tisc

hp

rob

leem

;

.va

stst

elle

nof

een

mod

elvo

ldoet

enh

etev

entu

eel

bij

stel

len

;

.zo

nod

igb

ijkom

end

ein

form

atie

verz

amel

enom

het

aan

gew

ezen

mod

elte

ku

nn

enh

ante

ren

.

3Je

kan

bij

een

mod

eld

ep

asse

nd

eop

loss

ingsm

eth

od

eco

rrec

tu

itvo

eren

.

3Je

kan

resu

ltat

enb

inn

end

eco

nte

xt

bet

eken

isgev

enen

zed

aar

inkri

tisc

hev

alu

eren

.

3Je

kan

refl

ecte

ren

op

het

geh

ele

pro

ces,

i.h

.b.

opd

ege

maak

teke

uze

nvo

or

rep

rese

nta

tie

enw

erkw

ijze

.

3Je

kan

het

resu

ltaa

tva

nhet

on

der

zoek

zinvo

lp

rese

nte

ren

,h

etst

and

pu

nt

argu

men

tere

nen

vers

lag

uit

bre

ngen

van

het

pro

ces.

7.L

eerv

aard

igh

ed

en

.

3Je

kan

loss

ege

geve

ns

verw

erke

n.

3Je

kan

sam

enh

ange

nd

ein

form

atie

verw

erke

n.

3Je

kan

info

rmat

ieb

ron

nen

raad

ple

gen

.

3Je

kan

stu

die

tijd

pla

nn

en.

3Je

kan

jeei

gen

leer

pro

ces

bij

stu

ren

.

8.R

efl

ecti

evaard

igh

ed

en

.

3Je

kan

refl

ecte

ren

over

de

aan

pak

van

jew

erk

enje

stu

die

s.

3Je

kan

refl

ecte

ren

over

jele

erp

roce

sen

jein

zet

(lei

den

zeto

th

etb

erei

ken

van

de

doel

stel

lin

g?).

3Je

kan

refl

ecte

ren

over

de

effici

enti

eva

nje

wer

ken

enje

lere

n.

3Je

kan

refl

ecte

ren

over

de

ster

keen

de

zwak

keel

emen

ten

ind

eu

itvo

erin

gva

nje

op

dra

cht.

3Je

kan

jere

flec

tie

con

cree

tm

aken

door

een

pla

nva

nve

rbet

erin

gop

test

elle

n(w

elke

elem

ente

nw

ord

enge

bru

ikt

om

het

lere

nen

wer

ken

teve

rbet

eren

?).

3Je

kan

refl

ecte

ren

over

de

geza

mel

ijke

aan

pak

enov

erle

gb

ijee

ngr

oep

sop

dra

cht.

Attitudes

9.Z

invoor

nauw

keu

righ

eid

en

ord

e.

3Je

heb

td

ege

woon

teom

na

de

uit

voer

ing

van

een

opd

rach

tte

rug

tekij

ken

als

een

vorm

van

contr

ole

,om

zoto

tn

auw

keu

rige

resu

ltat

ente

kom

en.

3Je

heb

tee

nh

oud

ing

om

ord

elij

ken

syst

emati

sch

tew

erke

n(n

oter

en,

mak

enva

noef

enin

gen

,aan

pakke

nva

np

rob

lem

en).

10.

Zin

voor

kw

ali

teit

van

de

wis

ku

nd

ige

rep

rese

nta

tie.

Je

heb

td

ege

woon

teom

jege

dac

hte

nb

ehoor

lijk

teve

rwoord

en,

end

evo

or-

enn

adel

enva

nee

nb

epaa

lde

wer

kw

ijze

teb

esp

reke

n.

11.

Kri

tisc

he

zin

.Je

heb

td

eh

oud

ing

omb

erek

enin

gen

,b

ewer

inge

n,

argu

men

teri

ngen

enre

den

erin

gen

nie

tzo

maa

rte

aanva

ard

enen

over

ten

emen

.

12.

Zelf

vert

rouw

en

en

zelf

stan

dig

heid

.

3Je

toon

tze

lfve

rtro

uw

en,

zelf

stan

dig

hei

d,

door

zett

ings

ver

mog

enen

doel

mati

ghei

db

ijh

etaa

np

akke

nva

np

rob

lem

enen

opd

rach

ten

.

3Je

ziet

ind

atfo

ute

nm

aken

inh

eren

td

eel

uit

make

nva

nh

etle

erp

roce

s.

13.

Zelf

regu

lati

e.

3Je

toon

tee

non

der

zoek

sger

ichte

hou

din

gte

naan

zien

van

feit

en,

op

gav

enen

pro

ble

men

.

3Je

ben

tin

staa

tom

jein

een

op

loss

ingsp

roce

ste

ori

ente

ren

,h

etpro

ces

tep

lan

nen

,h

etu

itte

voer

enen

het

teb

ewak

en.

14.

Zin

voor

sam

enw

erk

ing

en

overl

eg.

3Je

ziet

ind

atje

mog

elij

kh

eden

verg

root

wor

den

door

het

sam

enw

erke

nm

etan

der

en.

3Je

toon

tap

pre

ciat

ievo

oree

nan

der

eop

loss

ing

of

aan

pak

.

15.

Waard

eri

ng

voor

de

wis

ku

nd

e.

Je

toon

tin

zich

tin

de

bij

dra

geva

nde

wis

ku

nd

ein

cult

ure

le,

his

tori

sch

een

wet

ensc

hap

pel

ijke

ontw

ikke

lin

gen

.

16.

Inzic

ht

inh

et

stud

ie-

en

bero

ep

skeu

zep

roces.

Je

kan

info

rmati

ein

win

nen

over

het

aan

dee

lva

nw

isku

nd

ein

een

verv

olgop

leid

ing

end

ieve

rgel

ijke

nm

etje

voor

ber

eid

ing.

Pr-

iv

Page 63: Deel Portfolio wiskunde, Deel Problem Solving wiskunde, deel Practicum wiskunde (recto-verso)

PRACTICUM 1

INFORMATIE VERZAMELEN, ORDENEN EN BEWERKEN

naam: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . nr: . . . . . . . . . klas: . . . . . . . schooljaar: . . . . . . . . . . . . . .

1. Inleiding

De specifieke eindtermen voor de studierichtingen van de derde graad ASO met com-ponent wiskunde (6 tot 8 wekelijkse lestijden wiskunde) bevatten drie eindtermen dieonder de noemer ‘onderzoekscompetenties’ worden gecatalogeerd [34, p.77]:

OC1 Zich orienteren op een onderzoeksprobleem door gericht informatie te ver-zamelen, te ordenen en te bewerken.

OC2 Een onderzoeksopdracht met een wiskundige component voorbereiden, uit-voeren en evalueren.

OC3 De onderzoeksresultaten en conclusies rapporteren en ze confronteren met andere standpunten.

De tweede en derde eindterm zullen worden gerealiseerd bij de uitvoering van latere practica, onder meer door on-derzoeksopdrachten, het schrijven van een wetenschappelijk verslag en het geven van een wetenschappelijke presentatie.

onderzoekscompetenties

verzamelen

ordenen

bewerken

︸︷︷

competentie 1

voorbereidenuitvoerenevalueren

︸︷︷

︸competentie 2

rapporterenconfronteren ︸

︷︷︸ competentie 3

Het verzamelen, ordenen en bewerken van informatie wordt hier afzonderlijk behandeld, want ze komt niet meer aanbod bij latere practica in verband met onderzoeksopdrachten. Dat is een bewuste keuze, en berust op wat wij bedoelenmet de term “onderzoeksopdracht wiskunde”. Het is de mening van de auteur dat onderstaande invulling van dezeterm strookt met de visie van een ruime meerderheid binnen de wiskundige gemeenschap. Hoe we tegen de fasen vaneen onderzoeksopdracht wiskunde aankijken wordt verhaald in de inleiding van Practicum 9.

De competenties informatie verzamelen, ordenen en bewerken sluiten eerder aan bij onderzoek waarvoor de leerlinginformatie opzoekt in de literatuur of op het internet en deze informatie synthetiseert of toepast op een concreteonderzoeksvraag. Bij wiskunde bevindt dergelijk onderzoek zich toch eerder in de marge1 van het gebeuren. Denkbijvoorbeeld aan het maken van een werkstuk over het leven van een wiskundige. Opdrachten waarbij gevraagd wordtom informatie te verzamelen, te ordenen en te bewerken zijn eerder beschrijvende opdrachten. Pas als de onder-zoeker een voor hem of haar relatief onbekend wiskundig terrein betreedt kunnen we spreken over een onderzoekendeopdracht wiskunde.

We zijn dan ook van mening2 dat bij wiskundig onderzoek je informatie niet in de eerste plaats uit boekenhaalt, maar genereert door zelf te redeneren. Probleemoplossende vaardigheden komen hierbij goed van pas,dat komt dan ook aan bod in latere practica. Maar informatie opzoeken helpt je - althans op het niveau van dewiskunde in het middelbaar onderwijs - geen stap vooruit.

1Binnen de context van het wiskundeonderwijs is de eerste eindterm wel relevant bij onderzoek dat steunt op statistische informatie(zesde jaar).

2Deze verwoording werd ontleend aan de voordracht J. Deprez, G. Verbeeck, Onderzoekscompetenties wiskunde in de derde graad,03/03/2010, DPB Brugge. De visie van de auteur sluit hier naadloos bij aan.

Pr-1

Page 64: Deel Portfolio wiskunde, Deel Problem Solving wiskunde, deel Practicum wiskunde (recto-verso)

Informatie verzamelen met behulp van het internet

Informatie opzoeken is wellicht de belangrijkste functie van het internet. Als je niet beschikt over een lijst met rele-vante adressen, dan valt het tegen om iets rechtstreeks te vinden in deze enorme informatieberg. Het losweg intypenvan url’s die eventueel met het gezochte onderwerp iets te maken hebben is uit den boze. Los van het feit dat zo’npagina waarschijnlijk geen interessante informatie voor je bevat, is kans dat het ingetypte adres bestaat heel klein.Daarom moet je opzoeken op het internet wat gestructureerder aanpakken.

Een zoekmachine is een webdienst waarmee met behulp van trefwoorden een volledige tekst kan worden gezocht.De volgende tabel geeft enkele zoekmachines weer, alsook enkele populaire sites voor (wiskundige) informatie.

zoekmachine beschrijving en tips voor- en nadelen

googlewww.google.be/

In veel landen is Google de populairste zoekmachine.Gebruik

3 aanhalingstekens bij het zoeken van een zinvb. “vectoren in het vlak”

3 sterretje als joker, op die plaats kan alles staanvb. “een dodecaeder heeft ∗ vlakken”

3 site bij het zoeken binnen een sitevb. “wiskunde site:deredactie.be”

3 define bij het zoeken naar een definitievb. “define:googol”

3 afbeeldingen: tik je zoekterm, klik afbeeldingen

Omdat het een grotezoekmachine is, wordthet steeds moeilijkerom gericht te kunnenzoeken op een bepaaldgebied, of in een anderetaal dan het Engels.Vaak geeft Google ge-woon te veel resulta-ten weer, waardoor eengebruiker door het bos debomen niet meer ziet.

wikipediawww.wikipedia.org/

Wikipedia is een gratis encyclopedie.

3 Engelse trefwoorden genieten voorkeur bovenNederlandse. In vergelijking met het Nederlandsworden artikels in het Engels door een groteregroep mensen opgesteld, gecontroleerd en aange-past.

3 Gebruik synoniemen van bepaalde woorden wan-neer een zoekopdracht niet het gewenste resultaatgeeft.

Een handige manier omop een begrijpbaarniveau kennis op tedoen. De meeste artikelszijn voorzien met linksnaar andere websites.Maar omdat iedereenartikels kan wijzigen, iser geen garantie dat eenartikel in wikipedia juisten betrouwbaar is.Aan te raden is dat je deinformatie vergelijkt metandere bronnen.

MacTutor History ofMathematics Archivehttp://www-history.mcs.

st-and.ac.uk/Search/

historysearch.html/

Bevat gedetailleerde biografieen over wiskundigen en wis-kundige onderwerpen.Categorieen:

3 History Topics: artikels volgens cultuur of takvan de wiskundevb. “Ancient Greek mathematics”

3 Famous curves: bekende en minder bekendekrommenvb. “lemniscate of Bernoulli ”

Een uitgebreid en be-trouwbaar geschiedenis-archief van wiskunde.

google scholarscholar.google.be/

Scholar Google is een zoekmachine waarmee je bijna elkwetenschappelijk artikel dat ooit gepubliceerd is kuntopzoeken.Een korte samenvatting van het onderzoek kun je bijnaaltijd gratis raadplegen.

Jammer genoeg is lees-baarheid niet altijdde beste kant van we-tenschappelijke artikels.Maar even doorbijtenloont zeker de moeite.

Pr-2

Page 65: Deel Portfolio wiskunde, Deel Problem Solving wiskunde, deel Practicum wiskunde (recto-verso)

Informatie ordenen en bewerken

Het is onmogelijk om alle verzamelde informatie op te nemen. Daarom moet de informatie eerst verwerkt worden.

Je werkt het overzichtelijkst als je elke vraag of onderwerp afzonderlijk behandelt. Dat kan erg handig door de infor-

matie eerst te kopieren naar een Word-document . Om ervoor te zorgen dat je later nog weet waar je welke informatie

gevonden hebt, noteer je onder elke passage de (eventueel verkorte) bronbeschrijving, bijvoorbeeld de url waarop je deinformatie gevonden hebt. Op deze manier krijg je meteen de antwoorden van verschillende bronnen op dezelfde vraagbij elkaar. Daardoor wordt het makkelijker om de verschillende antwoorden op zo’n vraag met elkaar te vergelijken.

Daarna moet je de bekomen informatie verwerken. Dat kan door eerst een schema te maken.

1. Het allerbelangrijkste daarbij is dat je een goed onderscheid maakt tussen hoofdzaken en bijzaken. Dat islang niet altijd makkelijk, aanwijzingen zijn:

3 titel en tussenkopjes: deze vertellen je waar gedeelten van de tekst over gaan;

3 eerste en laatste alinea van de tekst: in de eerste vertelt de schrijver vaak waarover de tekst gaat, in delaatste vat de schrijver vaak het belangrijkste nog even samen;

3 afwijkende druk: als een woord bijvoorbeeld vet gedrukt is, dan is dat woord (meestal) extra belangrijk.

2. Alleen de belangrijke dingen weergeven: niet allerlei voorbeelden of onbelangrijke weetjes, geen hele zinnen.

3. Je moet in het schema de verbanden tussen de onderdelen van je schema goed duidelijk maken.

4. Als in de tekst nieuwe begrippen behandeld worden, kun je onderaan het schema een begrippenlijst te maken:de nieuwe begrippen met daarachter de betekenis.

Daarna maak je van bij elke vraag of ondewerp een samenvatting . Daarbij heb je aandacht voor:

3 de structuur van je tekst: die bestaat uit een aantal alinea’s die een overzichtelijk geheel vormen;

3 je zorgt dat je tekst aangenaam om lezen is, en een informatief karakter heeft;

3 je neemt geen zinnen letterlijk van je bronnen over;

3 wat je ook schrijft, je zorgt dat je de inhoud voor 100% begrijpt;

3 details (voorbeelden, zaken die niet van belang zijn voor de hoofdlijn van de tekst) moet je verwaarlozen;

3 je sluit je samenvatting af door het vermelden van je bronnen.

2. Opdracht

3 Voorbereiding Inleiding en opdracht lezen tegen . . . . . . . . . . . . (datum invullen).

3 Practicum (. . . lessen, thuis afwerken) Het practicum voer je uit in groepjes van twee tot drie.

poster Vlaamse WiskundeOlympiade

. Zoek nevenstaande poster van de Vlaamse Wiskunde Olympiade op.

. Eerst is het de bedoeling dat je de vraag oplost die op de poster staat. Jemoet dus het vraagteken achterhalen.

. Daarna kies je in je groepje een rij of kolom. In die rij of kolom kies jedrie afbeeldingen (maar niet het vraagteken). Bijvoorbeeld drie van de vijfplaatjes uit de tweede rij.

. Over elke afbeelding zoek je informatie op het internet. Die informatieorden je en bewerk je tot een samenvatting zoals beschreven in de inleiding.Schrijf tussen een halve en een bladzijde per afbeelding.

. Daarna is het de bedoeling om zelf een wiskundige afbeelding op te zoekendie het getal op de plaats van het vraagteken zou kunnen weergeven. Ookvan die afbeelding maak je zo’n samenvatting (maximaal een bladzijde).

3 Verslag (tijdens de les, thuis afwerken) Je verslag bevat:

. van elk van de drie afbeeldingen een halve tot een bladzijde samenvatting;

. een afbeelding die het getal op de plaats van het vraagteken weergeeft;

. ook van die afbeelding een halve tot een bladzijde samenvatting;

Het verslag voeg je in deze practicum map. Nummer elke bladzijde onderaan in het midden.

3 Practicum indienen Op . . . . . . . . . . . . (datum invullen). Elke groep dient een practicumbundel met verslagin. Daarnaast dient elk groepslid zijn/haar ingevulde evaulatiekaart in (pagina 62).

Pr-3

Page 66: Deel Portfolio wiskunde, Deel Problem Solving wiskunde, deel Practicum wiskunde (recto-verso)

Evaluatieform

ulierPracticum

1D

oel

stel

linge

nB

eoor

del

ing

Com

men

taar

Inhou

del

ijk

Vaa

rdig

hed

en6.

On

derz

oeksv

aard

igh

ed

en

3Je

kan

een

onder

zoek

sop

dra

cht

form

ule

ren

enaf

bak

enen

.

3Je

kan

een

aanpak

pla

nnen

enzo

nodig

opsp

lits

enin

dee

ltak

en.

3Je

kan

info

rmat

iever

wer

ken

enop

rele

vanti

ese

lect

eren

:

.de

waa

rde

van

de

info

rmat

ieb

eoor

del

enin

funct

ieva

nde

opdra

cht;

.de

rela

tie

tuss

enge

geve

ns

enb

ewer

kin

gen

opzo

eken

enin

terp

rete

ren.

3Je

kan

bij

een

model

de

pas

sende

oplo

ssin

gsm

ethode

corr

ect

uit

voer

en.

3Je

kan

resu

ltat

enbin

nen

de

conte

xt

bet

eken

isge

ven

enze

daa

rin

kri

tisc

hev

aluer

en.

3Je

kan

reflec

tere

nop

het

gehel

epro

ces,

i.h.b

.op

de

gem

aakte

keuze

nvo

orre

pre

senta

tie

enw

erkw

ijze

.

3Je

kan

het

resu

ltaa

tva

nhet

onder

zoek

zinvo

lpre

sente

ren,

het

stan

dpunt

argu

men

tere

nen

vers

lag

uit

bre

ngen

van

het

pro

ces.

7.

Leerv

aard

igh

ed

en

3Je

kan

loss

ege

geve

ns

verw

erke

n.

3Je

kan

sam

enhan

gende

info

rmat

ieve

rwer

ken.

3Je

kan

info

rmat

iebro

nnen

raad

ple

gen.

3Je

kan

studie

tijd

pla

nnen

.

3Je

kan

jeei

gen

leer

pro

ces

bij

sture

n.

8.

Refl

ecti

evaard

igh

ed

en

3Je

kan

reflec

tere

nov

erde

aanpak

van

jew

erk

enje

studie

s.

3Je

kan

reflec

tere

nov

erje

leer

pro

ces

enje

inze

t(l

eiden

zeto

thet

ber

eike

nva

nde

doel

stel

ling?

).

3Je

kan

reflec

tere

nov

erde

effici

enti

eva

nje

wer

ken

enje

lere

n.

3Je

kan

reflec

tere

nov

erde

ster

keen

de

zwak

keel

emen

ten

inde

uit

voer

ing

van

jeop

dra

cht.

3Je

kan

jere

flec

tie

concr

eet

mak

endoor

een

pla

nva

nve

rbet

erin

gop

test

elle

n(w

elke

elem

ente

nw

orden

geb

ruik

tom

het

lere

nen

wer

ken

teve

rbet

eren

?).

3Je

kan

reflec

tere

nov

erde

geza

mel

ijke

aanpak

enov

erle

gbij

een

groep

sop

dra

cht.

Att

itudes

11.

Kri

tisc

he

zin

Je

heb

tde

hou

din

gom

ber

eken

inge

n,

bew

erin

gen,

argu

men

teri

nge

nen

reden

erin

gen

nie

tzo

maar

teaa

nva

arden

enov

erte

nem

en.

14.

Zin

voor

sam

enw

erk

ing

en

overl

eg

3Je

ziet

indat

jem

ogel

ijkhed

enve

rgro

otw

orden

door

het

sam

enw

erke

nm

etan

der

en.

3Je

toon

tap

pre

ciat

ievo

oree

nan

der

eop

loss

ing

ofaa

npak

.

15.

Waard

eri

ng

voor

de

wis

ku

nd

eJe

toon

tin

zich

tin

de

bij

dra

geva

nde

wis

kunde

incu

lture

le,

his

tori

sche

enw

eten

schap

pel

ijke

ontw

ikke

lingen

.

Pr-

4

Page 67: Deel Portfolio wiskunde, Deel Problem Solving wiskunde, deel Practicum wiskunde (recto-verso)

PRACTICUM 2

PROBLEEMOPLOSSEND DENKEN (1)

naam: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . nr: . . . . . . . . . klas: . . . . . . . schooljaar: . . . . . . . . . . . . . .

1. Inleiding

G. Polya, How to solve It

In deze snel evoluerende maatschappij hecht men bijzonder veel belang aan pro-bleemoplossend denken. Willen we je hierin zelfredzaam maken, dan moet de nadrukliggen op het ontwikkelen van vaardigheden die kunnen helpen bij het oplossen van(nieuwe) problemen. Deze vaardigheden zijn dan ook een essentiele troef in je studie-en beroepsloopbaan.

Probleemoplossend denken is deels opgenomen in het normale lesgebeuren: het wordtbevorderd door vragen stellen, patronen ontdekken, antwoorden zoeken en onder-zoeken, voorbeelden en tegenvoorbeelden opzoeken, vraagstelling vereenvoudigen,voorstellen analyseren, testen en bijsturen, vermoedens analyseren.

Maar dit is niet voldoende. Het is ook noodzakelijk dat je zelf (haalbare) problementracht op te lossen. Bovendien vindt het (leren) oplossen van problemen op schoolen daarbuiten ook plaats in een sociale context. Men verwacht dan ook dat je metanderen kan samenwerken.

Bij het oplossen van problemen kun je terugvallen op het volgend

Stappenplan1voor probleemoplossend denken

Stap 1. Het probleem begrijpen. Begrijp je alle woorden die in de opgave staan? Is het duidelijk wat gevraagdwordt te berekenen of te bewijzen? Schrijf in je eigen woorden op wat het probleem inhoudt. Door het op anderemanieren te verwoorden zal je het probleem beter begrijpen.

Stap 2. Zoekstrategieen en een plan opstellen. Eerst denk je na welke zoekstrategieen kunnen helpen.Voorbeelden van zo’n strategieen, ook wel heuristieken genoemd, zijn:

3 gegeven en gevraagde wiskundig vertalen

3 raad en controleer

3 maak een lijst

3 zoek een voorbeeld of een tegenvoorbeeld

3 elimineer de mogelijkheden

3 gebruik analogie of symmetrie

3 zoek een patroon

3 maak een tekening

3 los een eenvoudiger probleem op

3 gebruik een model

3 onderzoek bijzondere gevallen

3 los een vergelijking op

3 werk omgekeerd

3 gebruik een formule

Het is belangrijk om deze strategieen ook te benoemen op het moment dat je er gebruik van maakt. Vervolgensstel je een plan op die je zal volgen om het probleem op te lossen. Dit kan door in enkele regels te beschrijven hoeje straks te werk zal gaan.

Stap 3. Het plan uitvoeren. Je moet in staat zijn om - rekening houdend met het probleem en de omstandig-heden - de meest geschikte rekenwijze te kiezen: algebraısch, grafisch, schematisch, . . . . Volhard in je plan. Als hettot niets leidt, ga dan terug naar Stap 2 en stel een nieuw plan op. Achteraf is het belangrijk dat je je uitwerkingvan het probleem op een duidelijke manier opschrijft, zodat iemand anders je oplossing vlot kan lezen.

Stap 4. Uitkomst interpreteren en controleren. Wat vertelt de uitkomst je? Is het zinvol? Kun je je uitkomstop een of andere manier controleren? Bij een fout herneem je Stap 3 nauwgezet.

1Gebaseerd op het baanbrekend boek G. Polya, How to solve It, Princeton University Press (1945). Ons stappenplan is een beknopteversie van het origineel (pagina 64 en volgende).

Pr-5

Page 68: Deel Portfolio wiskunde, Deel Problem Solving wiskunde, deel Practicum wiskunde (recto-verso)

Modelvoorbeeld

Opgave. Een natuurlijk getal dat uit vier cijfers bestaat, elk gelijk aan 1, 5 of 9, is deelbaar door 37. Als de som vande cijfers 16 is, dan is de som van de laatste twee cijfers gelijk aan

© 2

© 6

© 10

© 12

© 14

Oplossing. We volgen de stappen voor probleemoplossend denken.

Stap 1. Het probleem begrijpen. Het probleem gaat over een getal van vier cijfers:

x = a b c d met a, b, c, d ∈ {1, 5, 9}

Bovendien moet dat getal x deelbaar zijn door 37. En we weten ook dat a+ b+ c+ d = 16. Gevraagd is c+ d.

Stap 2. Zoekstrategieen en een plan opstellen.

3 Zoekstrategieen: gegeven en gevraagde wiskundig vertalen (zie Stap 1), maak een lijst.

3 Plan: We lijsten veelvouden van 37 op, en kijken welke getallen voldoen aan de opgave. We kunnen ook demogelijkheden zoeken voor a, b, c, d ∈ {1, 5, 9} waarvoor a+ b+ c+ d = 16, en nagaan welke getallen x deelbaarzijn door 37.

Stap 3. Het plan uitvoeren. De lijst van alle veelvouden van 37 met vier cijfers is nogal lang (243 mogelijkheden).In plaats daarvan zoeken we eerst de mogelijkheden voor a, b, c, d ∈ {1, 5, 9} waarvoor a+ b+ c+ d = 16.

3 Het cijfer 9 kan hoogstens een keer voorkomen. Want als het meer dan een keer voorkomt, dan is de som van decijfers minstens 18, en dat is teveel.

3 Als het cijfer 9 voorkomt, dan moet er ook minstens een 5 in voorkomen. Want als er geen 5 is, dan moeten dedrie andere cijfers telkens 1 zijn. Maar dan is de som 12, en dat is te weinig.

3 Als het cijfer 9 voorkomt, dan moet dus ook 5 voorkomen, en dan nog twee keer een 1. Dan is de som inderdaad16.

3 Als het cijfer 9 niet voorkomt, dan moet de 5 minstens drie keer voorkomen, aangevuld met een 1.

Onze lijst telt 16 mogelijkheden:a b c d

9 5 1 19 1 5 19 1 1 55 9 1 11 9 5 11 9 1 55 1 9 11 5 9 11 1 9 55 1 1 91 5 1 91 1 5 9

a b c d

5 5 5 15 5 1 55 1 5 51 5 5 5

Nu kunnen we elk van deze getallen delen door 37 en kijken wanneer de rest nul is. Dat kan met de grafischerekenmachine. We vinden dat 1591 deelbaar is door 37. Dus de som van de laatste twee cijfers is 10.

Stap 4. Uitkomst interpreteren en controleren. Het natuurlijk getal 1591 bestaat uit vier cijfers, elk gelijk aan1, 5 of 9. Bovendien is 1591/37 = 43 dus het getal 1591 is deelbaar door 37. Tenslotte is de som van de cijfers gelijkaan 1+5+9+1 = 16. Het getal voldoet dus aan de opgave. De som van de laatste twee cijfers is gelijk aan 9+1 = 10.Het juiste antwoord is dus 10.

Pr-6

Page 69: Deel Portfolio wiskunde, Deel Problem Solving wiskunde, deel Practicum wiskunde (recto-verso)

Opmerking. De uitwerking van Stap 3 kan ook zonder grafische rekenmachine, bijvoorbeeld als volgt. Een getal isdeelbaar door 3 als de som van de cijfers deelbaar is door 3. Om een analoog kenmerk van deelbaarheid door 37 tevinden kunnen we als volgt te werk gaan:

x

37=

1000a+ 100b+ 10c+ d

37

=1000

37a+

100

37b+

10

37c+

1

37d

=

(27 +

1

37

)a+

(3− 11

37

)b+

10

37c+

1

37d

= 27a+ 3b+a− 11b+ 10c+ d

37

Wil x deelbaar zijn door 37, dan moet a − 11b + 10c + d deelbaar zijn door 37. Passen we dit toe op bovenstaandelijst, dan bekomen we:

a b c d a− 11b+ 10c+ d deelbaar door 37?

9 5 1 1 −35 nee9 1 5 1 49 nee9 1 1 5 13 nee5 9 1 1 −83 nee1 9 5 1 −47 nee1 9 1 5 −83 nee5 1 9 1 85 nee1 5 9 1 37 ja

We vinden dat 1591 deelbaar is door 37.

2. Opdracht

3 Voorbereiding Inleiding en opdracht lezen tegen . . . . . . . . . . . . (datum invullen).

3 Practicum (. . . lessen, thuis afwerken) Het practicum voer je uit in groepjes van twee.

. In het begin van de les krijg je een bundel met opdrachten (pagina’s 66 tot en met 77). De opdrachten zijngerangschikt volgens moeilijkheidsgraad: van niveau 1 (voor 1p.) tot niveau 6 (voor 6p.).

. Je kiest een aantal opgaven, in totaal ter waarde van . . . . . . punten (vul aan). Je mag maximum tweeopgaven van een zelfde niveau kiezen.

. Tijdens de les start je met het oplossen van je gekozen opgaven, waarbij je de vier stappen uit de inleidingvolgt.

Op het einde van de les moet vastliggen welke opgaven je in je groepje gekozen hebt.

3 Verslag (thuis afwerken) Je verslag bevat een aantal cursusbladen. Elke opgave start op een nieuw cursus-blad, met de volgende structuur:

. Opgave netjes uitknippen en bovenaan op je cursusblad kleven.

. Stap 1. Het probleem begrijpen.

. Stap 2. Zoekstrategien en een plan opstellen.

. Stap 3. Het plan uitvoeren.

. Stap 4. Uitkomst interpreteren en controleren.

Bij multiple choice vink je ook het juiste bolletje aan. Nummer elke bladzijde onderaan in het midden. Hetverslag voeg je in deze practicum map. De opgaven die je niet behandeld hebt bewaar je thuis.

3 Practicum indienen Op . . . . . . . . . . . . (datum invullen). Iedereen dient zijn/haar practicumbundel met verslagin.

Pr-7

Page 70: Deel Portfolio wiskunde, Deel Problem Solving wiskunde, deel Practicum wiskunde (recto-verso)

Evaluatieform

ulierPracticum

2D

oel

stel

linge

nB

eoor

del

ing

Com

men

taar

Inhou

del

ijk

Vaa

rdig

hed

en1.Rekenvaard

igheid

3B

ijhet

alge

bra

ısch

man

ipule

ren

van

funct

ievo

orsc

hri

ften

,fo

rmule

s,ve

rgel

ijkin

gen,

etc.

wee

tje

wel

ke

tech

nie

ken

jem

oet

aanw

enden

omto

tee

nre

sult

aat

teko

men

,en

voer

jedez

ete

chnie

ken

corr

ect

uit

.

3Je

kan

de

groot

orde

van

een

resu

ltaa

tgo

edin

schat

ten.

3Je

kan

ICT

-hulp

mid

del

enzo

als

het

grafi

sch

reken

mac

hin

eof

een

com

pute

rrek

enpak

ket

gepas

tin

schak

elen

om

een

bew

erkin

guit

tevo

eren

.Je

gaat

ook

kri

tisc

hom

met

de

ber

eken

inge

ndie

jem

etIC

Tb

ekom

enheb

t.

2.M

eet-en

tekenvaard

igheid

3G

rafiek

enen

voor

stel

linge

nva

nvla

kke

enru

imte

figu

ren

teke

nje

nau

wkeu

rig.

3Je

heb

tru

imte

lijk

voor

stel

lings

verm

ogen

.

3Je

kan

ICT

-hulp

mid

del

enzo

als

het

grafi

sch

reke

nm

achin

eof

een

com

pute

rrek

enpak

ket

gepast

insc

hak

elen

om

een

figuur

teb

ekom

en.

Je

gaat

ook

kri

tisc

hom

met

de

voor

stel

linge

ndie

jem

etIC

Tb

ekom

enheb

t.

5.Pro

bleemoplossendevaard

igheden

3Je

kan

een

pro

ble

emon

tdek

ken

enhet

wis

kundig

beh

oor

lijk

stel

len.

3Je

kan

een

pro

ble

eman

alyse

ren

(onder

schei

dm

aken

tuss

enge

geve

nen

gevra

agde,

verb

anden

legg

entu

ssen

de

geg

even

s,et

c.).

3Je

kan

een

pro

ble

emve

rtal

ennaa

ree

npas

send

wis

kundig

model

(mat

hem

atis

eren

).

3Je

kan

zoek

stra

tegi

een

toep

asse

nbij

het

wer

ken

aan

pro

ble

men

,en

daa

rbij

een

pla

nop

stel

len.

3Je

kan

reflec

tere

nop

de

keuze

van

jezo

ekst

rate

giee

nen

jepla

n.

3Je

kan

jere

sult

aten

contr

oler

enop

hun

bet

rouw

baa

rhei

den

volled

ighei

d.

3Je

kan

ICT

-hulp

mid

del

enge

bru

iken

omw

iskundig

ein

form

atie

tever

wer

ken

enw

iskundig

epro

ble

men

teonder

zoek

en.

Att

itudes

9.Zin

voornauwkeurigheid

en

ord

e

3Je

heb

tde

gew

oon

teom

na

de

uit

voer

ing

van

een

opdra

cht

teru

gte

kij

ken

als

een

vorm

van

contr

ole,

om

zoto

tnauw

keuri

ge

resu

ltat

ente

kom

en.

3Je

heb

tee

nhou

din

gom

ordel

ijk

ensy

stem

atis

chte

wer

ken

(not

eren

,m

aken

van

oef

enin

gen,

aanpak

ken

van

pro

ble

men

).

10.Zin

voorkwaliteit

van

dewiskundigere

pre

senta

tie

Je

heb

tde

gew

oon

teom

jege

dac

hte

nb

ehoor

lijk

teve

rwoor

den

,en

de

voor

-en

nad

elen

van

een

bep

aald

ew

erkw

ijze

teb

espre

ken

.

13.Zelfre

gulatie

3Je

toon

tee

non

der

zoek

sger

ichte

hou

din

gte

naa

nzi

enva

nfe

iten

,op

gave

nen

pro

ble

men

.

3Je

ben

tin

staa

tom

jein

een

oplo

ssin

gspro

ces

teor

iente

ren,

het

pro

ces

tepla

nnen

,het

uit

tevo

eren

enhet

teb

ewake

n.

14.Zin

voorsa

menwerk

ingen

overleg

3Je

ziet

indat

jem

ogel

ijkhed

enve

rgro

otw

orden

door

het

sam

enw

erke

nm

etan

der

en.

3Je

toon

tap

pre

ciat

ievo

oree

nan

der

eop

loss

ing

ofaa

npak

.

Pr-

8

Page 71: Deel Portfolio wiskunde, Deel Problem Solving wiskunde, deel Practicum wiskunde (recto-verso)

PRACTICUM 3

PROBLEEMOPLOSSEND DENKEN (2)

naam: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . nr: . . . . . . . . . klas: . . . . . . . schooljaar: . . . . . . . . . . . . . .

1. InleidingIn Practicum 2: Probleemoplossend denken (1) heb je kennis gemaakt met de kunstvan het oplossen van problemen. Hierbij kreeg je het advies om te werken volgens eenstappenplan (zie ook hieronder). In dit Practicum ga je nadenken over problemen diewat complexer zijn. Deze opdracht voer je dan ook uit in groepjes van drie, want jezal merken dat je elkaars hulp en inzet nodig hebt om de taak succesvol te volbrengen.Om te zorgen dat er efficient gewerkt wordt, worden de volgende rollen verdeeld:

3 Schrijver Als de groep een idee of antwoord geeft, vraag dan of iedereenhet eens is. Deze persoon schrijft de redenering van de groep op. Dat zalhoofdzakelijk in het klad zijn. In de tweede les worden de antwoorden goed leesbaar opgeschreven. Uiteraardhelpen de anderen hierbij.

3 Tijdbewaker Wanneer de groep erg lang bij een vraag blijft hangen, waarschuw je, bijvoorbeeld door tezeggen: “we moeten aan de volgende vraag beginnen, anders krijgen we het niet af”. Af en toe vertel je je groephoeveel tijd er nog over is.

3 Aanmoediger/leider Moedigt aan, bijvoorbeeld als de groep vast zit bij een probleem: “heeft iemand eenidee?”. Je toont ook initiatief bijvoorbeeld met: “deze strategie lijkt te kunnen werken, laten we die uitproberen”of “deze redenering leidt niet meteen tot iets, laten we iets anders proberen”.

Daarnaast blijft iedereen wel mee verantwoordelijk. De leerkracht kan ieder groepslid aanspreken op zijn of haarbijdrage aan het groepswerk. Dit om te voorkomen dat iemand ‘meelift’ (een groepslid laat de rest van de groep hetwerk opknappen). Pas wanneer alle groepsleden hun rol naar behoren vervullen kan de groepstaak succesvol wordenuitgevoerd.

Stappenplan voor probleemoplossend denken

Stap 1. Het probleem begrijpen. Schrijf in je eigen woorden op wat het probleem inhoudt. Door het op anderemanieren te verwoorden zal je het probleem beter begrijpen.

Stap 2. Zoekstrategieen en een plan opstellen. Eerst denk je na welke zoekstrategieen kunnen helpen.Voorbeelden zijn:

3 gegeven en gevraagde wiskundig vertalen

3 raad en controleer

3 maak een lijst

3 zoek een voorbeeld of een tegenvoorbeeld

3 elimineer de mogelijkheden

3 gebruik analogie of symmetrie

3 zoek een patroon

3 maak een tekening

3 los een eenvoudiger probleem op

3 gebruik een model

3 onderzoek bijzondere gevallen

3 los een vergelijking op

3 werk omgekeerd

3 gebruik een formule

Vervolgens stel je een plan op die je zal volgen om het probleem op te lossen.

Stap 3. Het plan uitvoeren. Volhard in je plan. Als het tot niets leidt, ga dan terug naar Stap 2 en stel eennieuw plan op.

Stap 4. Uitkomst interpreteren en controleren. Kun je je uitkomst op een of andere manier controleren?

Pr-9

Page 72: Deel Portfolio wiskunde, Deel Problem Solving wiskunde, deel Practicum wiskunde (recto-verso)

Modelvoorbeeld

Opgave. Als r en s de wortels zijn van 3x2 − 16x+ 12 = 0, bepaal dan 2log r + 2log s.

Oplossing. Ons idee is om eerst de waarden r en s te vinden, en daarna 2log r + 2log s te berekenen.

3x2 − 16x+ 12 = 0 ⇔ x =−(−16)±

√162 − 4 · 3 · 12

6

⇔ x =16±

√112

6

⇔ x =16± 4

√7

6

zodat we mogen stellen dat r =8 + 2

√7

3en s =

8− 2√

7

3. Invullen geeft alvast

2log r + 2log s = 2log

(8 + 2

√7

3

)+ 2log

(8− 2

√7

3

)

We zien niet in hoe we beide logaritmen afzonderlijk moeten berekeken. Maar met behulp van een rekenregel vanlogaritmen kunnen we beide termen wel samenvoegen tot een logaritme: steunend op de rekenregel

2log� + 2log4 = 2log (� · 4)

bekomen we

2log r + 2log s = 2log

(8 + 2

√7

3

)+ 2log

(8− 2

√7

3

)

= 2log

(8 + 2

√7

3· 8− 2

√7

3

)

= 2log64− 4 · 7

9

= 2log 4

= 2

Opmerking. Achteraf gezien was het niet nodig om de waarden r en s eerst afzonderlijk te vinden. Want wegens2log r + 2log s = 2log (r · s) hebben we enkel het product r · s nodig. En het product van de wortels van eenkwadratische vergelijking ax2 + bx + c = 0 wordt gegeven door de formule c/a. Op die manier krijgen we volgendealternatieve - en meer elegante - oplossing:

2log r + 2log s = 2log (r · s)

het product van de wortels van 3x2 − 16x+ 12 = 0 is gelijk aan 12/3 = 4

= 2log 4

= 2

2. Opdracht

3 Voorbereiding Inleiding en opdracht lezen tegen . . . . . . . . . . . . (datum invullen).

3 Practicum (. . . lessen) Het practicum voer je uit in groepjes van drie.

. Leg vast wie de rol van schrijver, tijdbewaker en aanmoediger/leider op zich neemt.

. Op de volgende pagina vind je een tiental problemen. De leerkracht beslist welke problemen jullie krijgen.De bedoeling is om elk probleem algebraısch op te lossen, en jullie redenering zo goed mogelijk op teschrijven. Dat betekent dat iemand die het probleem niet opgelost heeft in staat moet zijn om jullieredenering te volgen.

3 Verslag Je verslag bevat een aantal cursusbladen. Elk probleem start op een nieuw cursusblad, te beginnenmet de nummer van het probleem.

3 Practicum indienen Indenen op het einde van de tweede les. Elke groep dient een practicumbundel metverslag in.

Pr-10

Page 73: Deel Portfolio wiskunde, Deel Problem Solving wiskunde, deel Practicum wiskunde (recto-verso)

Tien problemen - Opgave

Probleem 1.

(a) Stel f(x) = 3x3 − 4x2 + ax− 11 een reele veelterm zodat f(1) = 2. Bepaal de waarde van a.

(b) Stel (3x− 1)7 = a7x7 + a6x

6 + . . .+ a0 voor zekere a0, a1, . . . , a7 ∈ R. Bepaal a7 + a6 + . . .+ a1 + a0.

Probleem 2. Er is precies een veeltermA(x) van de vormA(x) = 7x7+a6x6+a5x

5+. . .+a1x+a0 met a0, a1, a2, . . . , a6 ∈R waarvoor geldt dat A(1) = 1, A(2) = 2, . . . , A(7) = 7. Bepaal A(0).

Probleem 3. Een keuken moet geverfd worden. Wanneer Lydia alleen werkt, dan heeft ze 7 uren meer nodig danwanneer Henk alleen werkt (Henk is een professionele schilder). Verven ze beiden samen, dan klaren ze de klus in 12uren. Hoe lang doet Henk er over als hij alleen schildert?

Probleem 4. Stel f(x) =5x2 − 4x+ 8

x2 + 1.

(a) Voor welke reele waarden van k bestaat er een reeel getal x waarvoor f(x) = k?

(b) Bepaal het bereik van de functie f .

Probleem 5. Bepaal algebraısch de oplossingen van de vergelijking 3√

13x+ 37− 3√

13x− 37 =3√

2.

Probleem 6. Stel f(x) = x+√x en g(x) = x+1/4. Bepaal de exacte, vereenvoudigde waarde van g(f(g(f(g(f(7)))))).

Aanwijzing. Noem h = g ◦ f en schrijf h(x) als het kwadraat van een tweeterm.

Probleem 7. De vergelijking 2x2

= 323x+8 heeft twee reele oplossingen. Bepaal algebraısch hun product.

nieren in digitaal ontwerp

Probleem 8. De nieren hebben als taak de samenstelling van het bloed constant tehouden. Daarbij verwijderen ze opgeloste ongewenste stoffen, zoals afvalstoffen vande stofwisseling en via het voedsel opgenomen vergiften en geneesmiddelen. Nierenelimineren een zekere hoeveelheid overblijvende ongewenste stoffen per tijdseenheid.

Cafeıne is een opwekkende stof die ook stimulerend werkt op het zenuwstelsel, dehartslag en de ademhaling. Wat je merkt is dat het je wakkerder maakt of dathet je gevoel van vermoeidheid verdrijft. Een grote dosis cafeıne kan giftig zijn.Gemiddeld verwijderen de nieren van een persoon per uur 13% van de in het lichaamoverblijvende cafeıne. Is de overblijvende dosis cafeıne groter dan 20mg, dan werkthet stimulerend.

We nemen aan dat een blikje cola van 330ml ongeveer 45mg cafeıne bevat. Stel dat je drie uur lang elk uur een blikjecola drinkt, en je het derde en laatste blikje om 22u. drinkt, omstreeks hoe laat zal de cafeıne die je uit deze blikjesopnam niet langer stimulerend werken? Algebraısch oplossen, en je resultaat afronden op een minuut nauwkeurig.

Probleem 9. Los algebraısch de volgende exponentiele vergelijking op:

8(4x + 4−x)− 54(2x + 2−x) + 101 = 0

Probleem 10. Bepaal algebraısch het grootste reeel getal b waarvoor de oplossingen van de vergelijking

(210 log (x2b)

)2= 210 log x4

allen gehele getallen zijn.

Pr-11

Page 74: Deel Portfolio wiskunde, Deel Problem Solving wiskunde, deel Practicum wiskunde (recto-verso)

Evaluatieform

ulierPracticum

3D

oel

stel

linge

nB

eoor

del

ing

Com

men

taar

Vaa

rdig

hed

en1.Rekenvaard

igheid

3B

ijhet

alge

bra

ısch

man

ipule

ren

van

funct

ievo

orsc

hri

ften

,fo

rmule

s,ve

rgel

ijkin

gen,

etc.

wee

tje

wel

ke

tech

nie

ken

jem

oet

aanw

enden

omto

tee

nre

sult

aat

teko

men

,en

voer

jedez

ete

chnie

ken

corr

ect

uit

.

3Je

kan

de

groot

orde

van

een

resu

ltaa

tgo

edin

schat

ten.

3Je

kan

ICT

-hulp

mid

del

enzo

als

het

grafi

sch

reken

mac

hin

eof

een

com

pute

rrek

enpak

ket

gepas

tin

schak

elen

om

een

bew

erkin

guit

tevo

eren

.Je

gaat

ook

kri

tisc

hom

met

de

ber

eken

inge

ndie

jem

etIC

Tb

ekom

enheb

t.

4.Denk-en

redeneerv

aard

igheden

3Je

kan

het

onder

schei

dm

aken

tuss

enhoof

d-

enbij

zake

n,

gege

ven

enge

vra

agde,

gege

ven

ente

bew

ijze

n.

3Je

ben

tin

staa

tee

nre

den

erin

gof

argu

men

teri

ng

bij

een

eige

nsc

hap

teb

egri

jpen

.

3Je

kan

een

gege

ven

reden

erin

gop

haa

rge

ldig

hei

don

der

zoek

en.

3Je

kan

een

reden

erin

gof

argu

men

teri

ng

bij

een

eige

nsc

hap

ofde

oplo

ssin

gva

nee

npro

ble

emopb

ouw

en:

.je

kan

een

ver

moed

enfo

rmule

ren

enar

gum

ente

ren;

.je

kan

een

eige

nsc

hap

form

ule

ren

opbas

isva

nee

non

der

zoek

opee

naa

nta

lvo

orb

eeld

en;

.je

kan

bij

het

opb

ouw

enva

nee

nre

den

erin

gee

nIC

T-h

ulp

mid

del

gebru

iken

.

5.Pro

bleemoplossendevaard

igheden

3Je

kan

een

pro

ble

emon

tdek

ken

enhet

wis

kundig

beh

oor

lijk

stel

len.

3Je

kan

een

pro

ble

eman

alyse

ren

(onder

schei

dm

aken

tuss

enge

geve

nen

gevra

agde,

verb

anden

legg

entu

ssen

de

geg

even

s,et

c.).

3Je

kan

een

pro

ble

emve

rtal

ennaa

ree

npas

send

wis

kundig

model

(mat

hem

atis

eren

).

3Je

kan

zoek

stra

tegi

een

toep

asse

nbij

het

wer

ken

aan

pro

ble

men

,en

daa

rbij

een

pla

nop

stel

len.

3Je

kan

reflec

tere

nop

de

keuze

van

jezo

ekst

rate

giee

nen

jepla

n.

3Je

kan

jere

sult

aten

contr

oler

enop

hun

bet

rouw

baa

rhei

den

volled

ighei

d.

3Je

kan

ICT

-hulp

mid

del

enge

bru

iken

omw

iskundig

ein

form

atie

tever

wer

ken

enw

iskundig

epro

ble

men

teonder

zoek

en.

Att

itudes

11.Kritischezin

Je

heb

tde

hou

din

gom

ber

eken

inge

n,

bew

erin

gen,

argu

men

teri

nge

nen

reden

erin

gen

nie

tzo

maar

teaa

nva

arden

enov

erte

nem

en.

13.Zelfre

gulatie

3Je

toon

tee

non

der

zoek

sger

ichte

hou

din

gte

naa

nzi

enva

nfe

iten

,op

gave

nen

pro

ble

men

.

3Je

ben

tin

staa

tom

jein

een

oplo

ssin

gspro

ces

teor

iente

ren,

het

pro

ces

tepla

nnen

,het

uit

tevo

eren

enhet

teb

ewake

n.

14.Zin

voorsa

menwerk

ingen

overleg

3Je

ziet

indat

jem

ogel

ijkhed

enve

rgro

otw

orden

door

het

sam

enw

erke

nm

etan

der

en.

3Je

toon

tap

pre

ciat

ievo

oree

nan

der

eop

loss

ing

ofaa

npak

.

Pr-

12

Page 75: Deel Portfolio wiskunde, Deel Problem Solving wiskunde, deel Practicum wiskunde (recto-verso)

PRACTICUM 4

TOEPASSINGEN IN GROEP VERWERKEN

naam: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . nr: . . . . . . . . . klas: . . . . . . . schooljaar: . . . . . . . . . . . . . .

1. Inleiding

Heel wat problemen uit de maatschappelijke leefwereld kunnen aangepakt worden met wiskunde. Het oplossen vanzo’n problemen valt onder de noemer toepassingen. Het proces waarbij men met wiskunde naar oplossingen zoekt,valt grofweg uiteen in de vier stappen beschreven in Practicum 2.

Het verschil tussen het oplossen van een probleem zoals in Practica 2 en 3 en een toepassing zit hem in de zoekstrate-gieen (Stap 2). Bij toepassingen komt het er meestal op neer om in de opgave een wiskundig begrip te herkennen,zoals bijvoorbeeld een rechthoekige driehoek, een functie, een matrix, etc. Het oplossen van het oorspronkelijk pro-bleem vertaalt zich dan in het uitvoeren van bewerkingen met die begrippen. Men verwijst naar deze zoekstrategie alsmathematiseren of modelleren. Het oplossen van een toepassing is dus een veredelde vorm van probleemoplossenddenken uit Practicum 1.

Stappenplan. Let op deterugkerende pijl!

Samengevat komen we bij het aanpakken van een toepassing uit op volgende stappen1 .

Stap 1. Het probleem begrijpen. Heel vaak kun je het probleem beter begrijpendoor het op een andere manier te verwoorden.

Stap 2. Mathematiseren. Herkennen van een wiskundig begrip, en inzien dathet gevraagde kan vertaald worden naar een model: een bewerking, een vergelijking,een stelsel vergelijkingen, een extremumvraagstuk, een matrixvermenigvuldiging, eenrechthoekige of een willekeurige driehoek, etc.

Stap 3. Berekenen. Als het wiskundig model opgebouwd is, probeer je dit viarekentechnieken op te lossen.

Stap 4. Uitkomst interpreteren en controleren. Interpretatie van het resultaat,waarbij je rekening houdt met de context van het probleem.

2. Opdracht

3 Voorbereiding Inleiding en opdracht lezen tegen . . . . . . . . . (datum invullen).

3 Practicum (2 lessen, thuis afwerken) Uitvoeren in groepen van vier.

Les 1 Toepassing 1 op pagina 90 en volgende verwerken.

1. Hier en daar moet je iets aanvullen of een vraag beantwoorden. Doe dat in groep: overleg wat eringevuld moet worden, deel je inzichten met de anderen.

2. Als jullie klaar zijn, dan geef je een teken aan de leerkracht. Jullie krijgen een ingevulde versie: pagina98 en volgende. Vergelijk deze met jullie oplossing, fouten stip je aan in het rood. Zorg dat iedereen inde groep nu elke (verbeterde) stap begrijpt.

3. Maak nadien Oefening 1 op pagina 106 (staat ook op de volgende pagina).

Les 2 Toepassing 2 op pagina 94 en volgende verwerken, analoog als in les 1.

1. Hier en daar moet je iets aanvullen of een vraag beantwoorden.

2. Vergelijk met de ingevulde versie pagina 102 en volgende.

3. Maak nadien Oefening 2, 3 of 4 op pagina 106 (beslist door tossen, staan ook op de volgende pagina’s).

3 Verslag (thuis afwerken) Jullie verslag bevat een exemplaar van jullie ingevulde pagina’s 90 tot en met 97,en de twee gemaakte oefeningen op een cursusblad. Opgave overschrijven hoeft niet.

3 Practicum indienen Op . . . . . . . . . (datum invullen). Elke groep dient een practicumbundel met verslag in.

1Inspiratie en schema werd ontleend aan G. Delaleeuw, Mathematiseren en oplossen van problemen voor de derde graad tso/kso, CahiersT3 Europe Vlaanderen nr.9 (2006).

Pr-13

Page 76: Deel Portfolio wiskunde, Deel Problem Solving wiskunde, deel Practicum wiskunde (recto-verso)

Oefeningen - Opgave

Oefening 1. Ergens in de Stille Oceaan bevindt zich een klein eilandengroepje. Tussen vijf verschillende eilandjesvaart op regelmatige tijdstippen een veerboot, zoals aangeduid op onderstaande graaf.

(a) Bepaal de directe-wegenmatrix van de totale graaf.

(b) Bereken met behulp van matrices het aantal verbindingen van E naar C met een tussenstop op een willekeurigeiland.

(c) Bereken met behulp van matrices het aantal verbindingen van A naar C met twee tussenstops op een willekeurigeiland.

?(d) Is het mogelijk om via ten hoogste een tussenstop van om het even welk eiland naar om het even welk eiland tegaan? Los op met behulp van matrices.

A

B

C

D

E

Pr-14

Page 77: Deel Portfolio wiskunde, Deel Problem Solving wiskunde, deel Practicum wiskunde (recto-verso)

Oefening 2. Een fokker wenst de invloed te kennen van de jaarlijkse verkoop van (volwassen) dieren op de kudde.Na een jaar is elk jong dier volwassen. Het aantal dieren dat geboren wordt is 50% van de volwassen dieren van hetjaar voordien, en 20% van de jonge dieren sterven het jaar nadien. Er sterven ook 20% van de volwassen dieren hetjaar nadien en 60% van de volwassen dieren worden het jaar nadien verkocht. Onderstel dat er aanvankelijk 70 jongedieren zijn en 30 volwassen dieren.

(a) Stel de evolutie van de dieren voor met een graaf.

(b) Bereken met behulp van matrices het aantal jonge en volwassen dieren na 4 jaar.

(c) Naar welke waarde evolueert het aantal jonge en volwassen dieren?

Oefening 3. Drie telefoonmaatschappijen B, M en P delen 2 de Belgische markt. Maatschappij B heeft 20% van demarkt in handen, M bezit 60% en P neemt 20% voor zijn rekening. In de loop van een jaar doen zich de volgendewijzigingen voor:

. Maatschappij B behoudt 85% van de klanten, terwijl het 5% aan M en 10% aan P verliest.

. Maatschappij M behoudt 55% van de klanten, terwijl het 10% aan B en 35% aan P verliest.

. Maatschappij P behoudt 85% van de klanten, terwijl het 10% aan B en 5% aan M verliest.

We nemen aan dat deze wijziging zich elk jaar opnieuw voordoet.

(a) Stel de evolutie van de markt voor met een graaf.

(b) Bereikt de markt een evenwicht naarmate de jaren verstrijken? Los op met behulp van matrices.

Oefening 4. De groei van een populatie vissen wordt vaak gekenmerkt door hoge vruchtbaarheidscijfers en door eenlage overlevingskans voor pasgeboren exemplaren. Een populatie vissen voldoet aan het Leslie-model, de volgendegegevens zijn bekend:

. slechts 0, 5% van de eitjes komt uit en haalt het eerste levensjaar,

. eenjarigen hebben 40% kans om het jaar te overleven,

. geen van de vissen haalt de leeftijd van drie jaar,

. alleen tweejarige vissen kunnen nakomelingen hebben, gemiddeld legt zo’n vis 800 eitjes.

(a) Stel de overgang van de levensfases voor met een graaf.

(b) Stel de Leslie-matrix op.

(c) Een bioloog vangt duizend visjes: 500 eenjarigen en 300 tweejarigen. Hij heeft ook 100 000 eitjes. Hij laat zijnvangst weer vrij in een nieuwe omgeving. Hoe is de populatie na acht jaar?

2Enige gelijkenis met bestaande maatschappijen berust op toeval.

Pr-15

Page 78: Deel Portfolio wiskunde, Deel Problem Solving wiskunde, deel Practicum wiskunde (recto-verso)

Evaluatieform

ulierPracticum

4D

oel

stel

linge

nB

eoor

del

ing

Com

men

taar

Vaa

rdig

hed

en1.Rekenvaard

igheid

3B

ijhet

alge

bra

ısch

man

ipule

ren

van

funct

ievo

orsc

hri

ften

,fo

rmule

s,ve

rgel

ijkin

gen,

etc.

wee

tje

wel

ke

tech

nie

ken

jem

oet

aanw

enden

omto

tee

nre

sult

aat

teko

men

,en

voer

jedez

ete

chnie

ken

corr

ect

uit

.

3Je

kan

de

groot

orde

van

een

resu

ltaa

tgo

edin

schat

ten.

3Je

kan

ICT

-hulp

mid

del

enzo

als

het

grafi

sch

reken

mac

hin

eof

een

com

pute

rrek

enpak

ket

gepas

tin

schak

elen

om

een

bew

erkin

guit

tevo

eren

.Je

gaat

ook

kri

tisc

hom

met

de

ber

eken

inge

ndie

jem

etIC

Tb

ekom

enheb

t.

3.W

iskundigeta

alvaard

igheid

3Je

ben

tve

rtro

uw

dm

etde

vakta

alva

nde

wis

kunde:

.je

ken

tde

bet

eken

isva

nty

pis

che

vakte

rmen

enge

bru

ikt

dez

evo

ldoen

de

corr

ect

(funct

ie,

stel

sel,

etc.

);.

jeke

nt

de

bet

eken

isva

nsp

ecifi

eke

logi

sche

kern

woor

den

enge

bru

ikt

dez

evol

doen

de

corr

ect

(en,

of,

daaru

itvolg

t,vo

or

alle,

etc.

);.

jeb

ent

inst

aat

omee

nom

schri

jvin

gva

nee

nb

egri

pte

form

alis

eren

,en

een

voor

waa

rde

tesy

mb

olis

eren

;.

jehan

teer

tde

vis

uel

evo

orst

ellinge

nw

aar

de

wis

kunde

gebru

ikva

nm

aakt

(gra

fiek

,ta

bel

,et

c.).

3Je

ben

tve

rtro

uw

dm

etde

bes

chri

jven

de

taal

waa

rin

over

het

wis

kundig

han

del

enge

spro

ken

wor

dt

(defi

nit

ie,

eigen

schap,

verk

laar,

ber

eken

alge

bra

ısch

/gra

fisc

h,

teke

n,

contr

uee

r).

3Je

kan

inee

nsi

tuat

iew

iskundig

eb

egri

pp

enher

kennen

enve

rtal

ennaa

rw

iskundig

model

(mat

hem

atis

eren

).

3Je

kan

vis

uel

ein

form

atie

invo

ldoen

de

mat

ele

zen

enin

terp

rete

ren

(op

een

teke

nin

g,gr

afiek

,dia

gram

).

3Je

ben

tle

esva

ardig

bij

het

leze

nva

nde

tekst

van

opga

ven,

pro

ble

men

envra

agst

ukke

n.

4.Denk-en

redeneerv

aard

igheden

3Je

kan

het

onder

schei

dm

aken

tuss

enhoof

d-

enbij

zake

n,

gege

ven

enge

vra

agde,

gege

ven

ente

bew

ijze

n.

3Je

ben

tin

staa

tee

nre

den

erin

gof

argu

men

teri

ng

bij

een

eige

nsc

hap

teb

egri

jpen

.

3Je

kan

een

gege

ven

reden

erin

gop

haa

rge

ldig

hei

don

der

zoek

en.

3Je

kan

een

reden

erin

gof

argu

men

teri

ng

bij

een

eige

nsc

hap

ofde

oplo

ssin

gva

nee

npro

ble

emopb

ouw

en:

.je

kan

een

ver

moed

enfo

rmule

ren

enar

gum

ente

ren;

.je

kan

een

eige

nsc

hap

form

ule

ren

opbas

isva

nee

non

der

zoek

opee

naa

nta

lvo

orb

eeld

en;

.je

kan

bij

het

opb

ouw

enva

nee

nre

den

erin

gee

nIC

T-h

ulp

mid

del

gebru

iken

.

Att

itudes

9.Zin

voornauwkeurigheid

en

ord

e

3Je

heb

tde

gew

oon

teom

na

de

uit

voer

ing

van

een

opdra

cht

teru

gte

kij

ken

als

een

vorm

van

contr

ole,

om

zoto

tnauw

keuri

ge

resu

ltat

ente

kom

en.

3Je

heb

tee

nhou

din

gom

ordel

ijk

ensy

stem

atis

chte

wer

ken

(not

eren

,m

aken

van

oef

enin

gen,

aanpak

ken

van

pro

ble

men

).

11.Kritischezin

Je

heb

tde

hou

din

gom

ber

eken

inge

n,

bew

erin

gen,

argu

men

teri

nge

nen

reden

erin

gen

nie

tzo

maar

teaa

nva

arden

enov

erte

nem

en.

14.Zin

voorsa

menwerk

ingen

overleg

3Je

ziet

indat

jem

ogel

ijkhed

enve

rgro

otw

orden

door

het

sam

enw

erke

nm

etan

der

en.

3Je

toon

tap

pre

ciat

ievo

oree

nan

der

eop

loss

ing

ofaa

npak

.

Pr-

16

Page 79: Deel Portfolio wiskunde, Deel Problem Solving wiskunde, deel Practicum wiskunde (recto-verso)

PRACTICUM 5

HOE STUDEER JE EEN BEWIJS?

naam: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . nr: . . . . . . . . . klas: . . . . . . . schooljaar: . . . . . . . . . . . . . .

1. Inleiding

Het studeren van een wiskundig bewijs - en algemener, het studeren van theorie wiskunde - verloopt in vijf stappen:

Stap 1. Begrijp elke overgang

Stap 2. Begrijp het geheel

Stap 3. Test jezelf

Stap 4. Controleer

Stap 5. Herhaal

We lichten deze stappen toe aan de hand van een bewijs die je in het derde jaar gestudeerd hebt.

Voorbeeld

Stelling. Het getal√

2 is een irrationaal getal.

Bewijs. Er zijn twee mogelijkheden: ofwel is√

2 een irrationaal getal, ofwel is het geen irrationaal getal.

Mocht√

2 geen irrationaal getal zijn, dan is

√2 =

a

bvoor zekere a, b ∈ Z met b 6= 0 (1)

Bovendien kunnen we er voor zorgen dat a en b geen deler gemeen hebben.Nemen we in (1) het kwadraat van beide leden dan verkrijgen we

2 =a2

b2⇒ 2b2 = a2

Omdat het linkerlid deelbaar is door 2, is ook het rechterlid deelbaar door 2. Dus 2 is een deler van a2.Dus 2 is een deler van a. Dus a = 2k voor een zekere k ∈ Z.

Vervangen we a = 2k in (1) dan verkrijgen we

√2 =

2k

b(2)

Nemen we in (2) het kwadraat van beide leden dan verkrijgen we

2 =4k2

b2⇒ b2 = 2k2

Omdat het rechterlid deelbaar is door 2, is ook het linkerlid deelbaar door 2. Dus 2 is een deler van b2.Dus 2 is een deler van b.

Maar nu is 2 een deler van a en 2 is een deler van b, terwijl we ervoor hadden gezorgd dat a en b geendeler gemeen hebben. Een strijdigheid: het is dus niet waar dat

√2 geen irrationaal getal is.

We besluiten dat√

2 een irrationaal getal is.

Pr-17

Page 80: Deel Portfolio wiskunde, Deel Problem Solving wiskunde, deel Practicum wiskunde (recto-verso)

Stap 1. Begrijp elke overgang

Je begint met het bewijs regel per regel door te nemen. Zorg dat het duidelijk is hoe je van de ene regel naar deandere gaat (een berekening, steunen op een eerder geziene eigenschap, etc.).

Het doel van een les wiskunde is dat je tijdens de les alle overgangen begrijpt. Stap 1 dient dus om na te gaan of datnu nog steeds zo is.

Wellicht is het geheel van het bewijs nog niet duidelijk, maar dat komt pas in Stap 2.

Voorbeeld.

Mocht√

2 geen irrationaal getal zijn, dan is

√2 =

a

bvoor zekere a, b ∈ Z met b 6= 0 (1)

Waarom? Als een getal niet irrationaal is, dan is het rationaal (breuk).Waarom is b 6= 0? Delen door 0 mag niet.

Bovendien kunnen we er voor zorgen dat a en b geen deler gemeen hebben.

Waarom? Mochten a en b toch een deler gemeen hebben, dan kun je die breuka

bvereenvoudigen.

Etc.

Stap 2. Begrijp het geheel

Om het geheel te begrijpen, ga je na:

3 Wat moeten we eigenlijk bewijzen (opgave)?

3 Toont de redering van het bewijs nu wel de opgave aan?

3 Is er een truc in het bewijs?

Voorbeeld.

3 We moeten aantonen dat√

2 irrationaal is. M.a.w. we moeten aantonen dat√

2 geen breuk is.

3 In het bewijs doen we alsof√

2 wel een breuk is. Maar dan loopt er blijkbaar iets fout. Dus op heteinde van het verhaal zullen we bewezen hebben dat

√2 toch geen breuk is.

3 Door te doen alsof√

2 een breuk is, kunnen we het schrijven alsa

b. De truc is om die gelijkheid

√2 =

a

bte kwadrateren. En dan later nog eens toe te passen eens we a geschreven hebben als 2k.

Tracht daarna het bewijs in twee of drie regels samen te vatten. Door die regels te onthouden, zul je het bewijs laterkunnen reconstrueren.Voorbeeld.

1. Doen alsof√

2 een breuk is:√

2 =a

b

2. Kwadraat nemen levert dat 2 een deler is van a, dus a = 2k.

3. Vervangen, opnieuw kwadraat nemen levert dat 2 een deler is van b.

Stap 3. Test jezelf

Leg je cursus of boek weg, en neem een leeg cursusblad. Je schrijft op wat je gaat bewijzen (opgave), en probeert hetbewijs nu helemaal zelf op te schrijven. Als je vast komt te zitten, geef het niet onmiddellijk op door terug in je cursuste kijken. In plaats daarvan denk je even na:

3 Kan ik een regel open laten, en het verder verloop van het bewijs toch opschrijven? Denk aan je samenvattingin Stap 2.

3 Is er een truc in het bewijs die ik vergeten ben?

3 Weet ik nog wat ik wil bewijzen?

Kijk pas terug in je cursus als je het echt niet meer weet. Maar beperk je dan niet tot het lezen van die ene regel dieje vergeten bent: ga ook eens na waarom je die regel vergeten bent. Daarna neem je een leeg cursusblad en begin jeopnieuw het bewijs op te schrijven.

Pr-18

Page 81: Deel Portfolio wiskunde, Deel Problem Solving wiskunde, deel Practicum wiskunde (recto-verso)

Stap 4. Controleer

Als je denkt dat je klaar bent, neem dan je cursus en vergelijk jouw bewijs met dat in de cursus. Wees streng op jezelf,en ga nauwkeurig na of je bewijs nu ook correct is:

3 Heb ik de opgave juist?

3 Heb ik elke tussenstap opgeschreven? Minstens evenveel zoals in de cursus?

3 Heb ik de eventuele tekeningen of schetsen nauwkeurig gemaakt en alles aangeduid?

Als je iets vergeten bent, of iets fout geschreven hebt, dan duid je de fout op je cursusblad aan met een fluoriserendestift. Houd je cursusblad bij (zie Stap 5).

Stap 5. Herhaal

Op het einde van de dag test je jezelf opnieuw (Stap 3), met controle (Stap 4). Bij die controle vergelijk je ook metde fouten die je op je eerste cursusblad hebt gemaakt.De kracht van de herhaling kan nauwelijks onderschat worden. Daags nadien test je jezelf nog een derde keer. Je zalervan versteld staan dat je zelfs dagen later het bewijs nog kan opschrijven.

Tip. Om het jezelf gemakkelijk te maken kun je steekkaarten maken. Op elke steekkaart schrijf je de vraag op zoalsde stelling (of een definitie, etc.) gevraagd kan worden op een toets of examen. Telkens je het bewijs herhaalt, neemje die steekkaart en lees je de opgave. Je schrijft je antwoord uiteraard niet op die steekkaart, zodat die later nogbruikbaar is. Op het einde van elk hoofdstuk (en dus ook bij de voorbereiding van je examens) heb je dan een aantalsteekkaarten waaruit je de theorie kan studeren.

Voorbeeld.

Vul de volgende stelling aan (schrappen wat niet past), en bewijs:

Het getal√

2 is wel/niet een irrationaal getal.

Bewijs....

2. Opdracht

3 Voorbereiding Inleiding en opdracht lezen tegen . . . . . . . . . . . . (datum invullen).

3 Practicum (1/2 les) Dit practicum voer je individueel uit.

1. Tijdens de les studeer je het bewijs op pagina 112 (vijfde jaar) of 113 (zesde jaar) op de manier zoalsbeschreven in de inleiding (Stappen 1-4 uitvoeren).

2. In de les krijg je ook een blanco steekkaart. Die steekkaart maakt je klaar zoals beschreven in Stap 5. Diesteekkaart kan je later gebruiken om het bewijs te herhalen (Stap 5).

3. Na deze vijf stappen reflecteer je even over jouw studiemethode bij het studeren van theorie. Beschrijf inenkele regels:

. Hoe pak je het studeren van theorie meestal aan?

. Heeft die aanpak in het verleden tot gewenste resultaten geleid?

. Denk je met de methode uit dit practicum je theorie efficient(er) te kunnen studeren?

3 Verslag Je verslag bestaat uit het cursusblad die je in Stap 3 gemaakt hebt. Vergeet je eventuele fouten nietaan te duiden met een fluoriserende stift. Op dat blad heb je ook de reflectie van jouw studiemethode geschreven.Je voegt het cursusblad samen met je steekkaart in deze practicumbundel.

3 Practicum indienen Op het einde van de les.

Pr-19

Page 82: Deel Portfolio wiskunde, Deel Problem Solving wiskunde, deel Practicum wiskunde (recto-verso)

Evaluatieform

ulierPracticum

5D

oel

stel

linge

nB

eoor

del

ing

Com

men

taar

Vaa

rdig

hed

en3.

Wis

ku

nd

ige

taalv

aard

igh

eid

3Je

ben

tve

rtro

uw

dm

etde

vakta

alva

nde

wis

kunde:

.je

ken

tde

bet

eken

isva

nty

pis

che

vakte

rmen

enge

bru

ikt

dez

evo

ldoen

de

corr

ect

(funct

ie,

stel

sel,

etc.

);.

jeke

nt

de

bet

eken

isva

nsp

ecifi

eke

logi

sche

kern

woor

den

enge

bru

ikt

dez

evol

doen

de

corr

ect

(en,

of,

daaru

itvolg

t,vo

or

alle,

etc.

);.

jeb

ent

inst

aat

omee

nom

schri

jvin

gva

nee

nb

egri

pte

form

alis

eren

,en

een

voor

waa

rde

tesy

mb

olis

eren

;.

jehan

teer

tde

vis

uel

evo

orst

ellinge

nw

aar

de

wis

kunde

gebru

ikva

nm

aakt

(gra

fiek

,ta

bel

,et

c.).

3Je

ben

tve

rtro

uw

dm

etde

bes

chri

jven

de

taal

waa

rin

over

het

wis

kundig

han

del

enge

spro

ken

wor

dt

(defi

nit

ie,

eigen

schap,

verk

laar,

ber

eken

alge

bra

ısch

/gra

fisc

h,

teke

n,

contr

uee

r).

3Je

kan

inee

nsi

tuat

iew

iskundig

eb

egri

pp

enher

kennen

enve

rtal

ennaa

rw

iskundig

model

(mat

hem

atis

eren

).

3Je

kan

vis

uel

ein

form

atie

invo

ldoen

de

mat

ele

zen

enin

terp

rete

ren

(op

een

teke

nin

g,gr

afiek

,dia

gram

).

3Je

ben

tle

esva

ardig

bij

het

leze

nva

nde

tekst

van

opga

ven,

pro

ble

men

envra

agst

ukke

n.

7.

Leerv

aard

igh

ed

en

3Je

kan

loss

ege

geve

ns

verw

erke

n.

3Je

kan

sam

enhan

gende

info

rmat

ieve

rwer

ken.

3Je

kan

info

rmat

iebro

nnen

raad

ple

gen.

3Je

kan

studie

tijd

pla

nnen

.

3Je

kan

jeei

gen

leer

pro

ces

bij

sture

n.

8.

Refl

ecti

evaard

igh

ed

en

3Je

kan

reflec

tere

nov

erde

aanpak

van

jew

erk

enje

studie

s.

3Je

kan

reflec

tere

nov

erje

leer

pro

ces

enje

inze

t(l

eiden

zeto

thet

ber

eike

nva

nde

doel

stel

ling?

).

3Je

kan

reflec

tere

nov

erde

effici

enti

eva

nje

wer

ken

enje

lere

n.

3Je

kan

reflec

tere

nov

erde

ster

keen

de

zwak

keel

emen

ten

inde

uit

voer

ing

van

jeop

dra

cht.

3Je

kan

jere

flec

tie

concr

eet

mak

endoor

een

pla

nva

nve

rbet

erin

gop

test

elle

n(w

elke

elem

ente

nw

orden

geb

ruik

tom

het

lere

nen

wer

ken

teve

rbet

eren

?).

3Je

kan

reflec

tere

nov

erde

geza

mel

ijke

aanpak

enov

erle

gbij

een

groep

sop

dra

cht.

Att

itudes

9.

Zin

voor

nauw

keu

righ

eid

en

ord

e

3Je

heb

tde

gew

oon

teom

na

de

uit

voer

ing

van

een

opdra

cht

teru

gte

kij

ken

als

een

vorm

van

contr

ole,

om

zoto

tnauw

keuri

ge

resu

ltat

ente

kom

en.

3Je

heb

tee

nhou

din

gom

ordel

ijk

ensy

stem

atis

chte

wer

ken

(not

eren

,m

aken

van

oef

enin

gen,

aanpak

ken

van

pro

ble

men

).

11.

Kri

tisc

he

zin

Je

heb

tde

hou

din

gom

ber

eken

inge

n,

bew

erin

gen,

argu

men

teri

nge

nen

reden

erin

gen

nie

tzo

maar

teaa

nva

arden

enov

erte

nem

en.

12.

Zelf

vert

rouw

en

en

zelf

stan

dig

heid

3Je

toon

tze

lfver

trou

wen

,ze

lfst

andig

hei

d,

door

zett

ings

ver

mog

enen

doel

mat

ighei

dbij

het

aanpak

ken

van

pro

ble

men

enop

dra

chte

n.

3Je

ziet

indat

foute

nm

aken

inher

ent

dee

luit

mak

enva

nhet

leer

pro

ces.

Pr-

20

Page 83: Deel Portfolio wiskunde, Deel Problem Solving wiskunde, deel Practicum wiskunde (recto-verso)

PRACTICUM 6

SAMENWERKEN

naam: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . nr: . . . . . . . . . klas: . . . . . . . schooljaar: . . . . . . . . . . . . . .

1. Inleiding1

In onze maatschappij hecht men bijzonder veel belang aan samenwerking. Datbelang wordt gereflecteerd in bedrijven en overheidsinstanties. Immers, een goedesamenwerking van personeelsleden impliceert een grotere rentabiliteit en betereresultaten. Dat men bij het aanwerven van nieuwe personeelsleden hierop zalinspelen spreekt voor zich. De kans is dan ook erg groot dat je bij een toekomstigesollicitatie of proefcontract zal getest worden hoe vaardig je bent in het samenwerkenmet de anderen.

Concreet deelt men de competentie samenwerken in vier niveaus op. Die zijn cumu-latief gerangschikt, wat wil zeggen dat iemand pas een hoger niveau kan bereiken alshij/zij ook de lagere niveau’s beheerst.

Niveaus van samenwerking

Niveau 1. Je werkt mee en informeert de anderen:

3 je houdt rekening met de mening van anderen;

3 je behandelt de anderen met respect;

3 je geeft informatie en kennis door die voor anderen nuttig of belangrijk kan zijn;

3 je aanvaardt groepsbeslissingen.

Niveau 2. Je helpt anderen en pleegt overleg:

3 je steunt de voorstellen van anderen en bouwt daarop voort om tot een gezamenlijk resultaat te komen;

3 je houdt rekening met de gevoeligheden en met de verscheidenheid van mensen;

3 je biedt hulp aan bij problemen, ook al valt de taak niet onder de eigen opdracht;

3 je vraagt spontaan en proactief de mening van anderen.

Niveau 3. Je stimuleert de samenwerking binnen de eigen entiteit, werkgroepen of projectgroepen:

3 je komt met ideeen om het gezamenlijk resultaat te verbeteren;

3 je moedigt anderen aan om onderling te overleggen over zaken die het eigen werk overstijgen;

3 je betrekt anderen bij het nemen van beslissingen die op hen een impact hebben;

3 je bevordert de goede verstandhouding, de teamgeest en het respect voor verscheidenheid van mensen;

3 je geeft opbouwende kritiek en feedback.

Niveau 4. Je creeert gedragen samenwerkingsverbanden met en tussen andere entiteiten:

3 je creeert structuren om de samenwerking met andere entiteiten te verbeteren;

3 je neemt informele initiatieven om de samenwerking met en tussen andere entiteiten te verstevigen;

3 je draagt samenwerking uit als belangrijke waarde in de entiteit en daarbuiten en spreekt anderen daarop aan;

3 je werkt actief aan het scheppen van een goede vertrouwensband met andere entiteiten.

1Inspiratie werd gehaald uit de website van de Vlaamse Overheid Agentschap voor Overheidspersoneelhttp://www2.vlaanderen.be/personeelsopleiding/ .

Pr-21

Page 84: Deel Portfolio wiskunde, Deel Problem Solving wiskunde, deel Practicum wiskunde (recto-verso)

Ook in je verdere studieloopbaan kan samenwerken een grote rol spelen. Niet zelden krijg je bij hogere studies temaken met het maken van projecten in groep. Het vaardig zijn in samenwerken kan hier een grote troef betekenenom zowel sneller als beter te presteren in groep. Daarom bieden we je nu al af en toe activiteiten in groep aan om jebeter te kunnen voorbereiden op het functioneren in de maatschappij.

Concreet kennen we in de klas drie graden van samenwerking.

Graden van samenwerking in de klas

Graad 1. De leerkracht bepaalt het doel, de (meeste) activiteiten en (bijna) de hele evaluatie. Dit is wat menmeestal onder samenwerken in klas begrijpt.

Graad 2. De groep krijgt meer verantwoordelijkheid, en de structuren verdwijnen want de groep zelf bepaaltsteeds meer de manier waarop samengewerkt wordt. In dat geval spreken we over samen leren. Deze structuuracht men meer complex dan samen werken, omdat ze een zelfstandigere houding van de leerlingen vereisen ende docent meer terugtreedt.

Graad 3. Er is sprake van totale sturing vanuit de leerlingen. Deze graad noemt men samen reguleren.

Naast het verwerken van toepassingen in groep uit Practicum 4 is dit practicum gericht op samenwerken, in groepenvan twee of drie. Het beoogde doel is welomlijnd (zie opdracht). Toch is er nu al een zekere vorm van:

3 Positieve wederzijdse afhankelijkheid Je werkt aan een gezamelijk doel, en daarbij is de bijdrage van iedergroepslid van belang.

3 Individuele aanspreekbaarheid Ieder groepslid is aanspreekbaar op zijn/haar bijdrage aan het groepspro-duct, het kan dus niet zo zijn dat een groepslid al het werk doet.

3 Directe interactie Je praat met elkaar over de leerstof. Dus er moet ook echt gepraat worden. Het is dus nietde bedoeling dat je individueel de opdracht uitvoert, en achteraf controleert of de andere groepsleden hetzelfderesultaat bereikt hebben.

3 Sociale vaardigheden Dit betekent dat er aandacht is voor het functioneren in een groep en niet alleenproductgericht maar vooral proces gericht. Hoe verliep het, wat kunnen we de volgende keer anders doen?

2. Opdracht

3 Voorbereiding Inleiding en opdracht lezen tegen . . . . . . . . . . . . (datum invullen).

Toepassing 1 op pagina 116 verwerken. Hier en daar moet je een vraag beantwoorden.

3 Practicum (2 lessen, thuis afwerken) Uitvoeren in groepen van twee of drie.

1. In groep de antwoorden op pagina 118 vergelijken. Waak er over dat iedereen in de groep de toepassing opdie pagina volledig begrijpt.

2. In groep maak je de twee modelvoorbeelden op pagina 117. Neem actief deel in het groepsgesprek.

3. Als jullie klaar zijn, dan geef je een teken aan de leerkracht. Jullie krijgen een ingevulde versie pagina 119.Vergelijk deze met jullie oplossing, fouten of extra uitleg schrijf je in het rood.

4. Daarna maak je in groep de oefeningen 1, 2 en 3 op pagina 120 (staan ook op de volgende pagina). Mochtje klaar zijn tijdens de lessen, dan maak je ook Oefening 4.

5. Tot slot reflecteer je over de groepsopdracht (zie volgende pagina).

3 Verslag (thuis afwerken) Jullie verslag bevat

. een exemplaar van jullie ingevulde pagina’s 116 en 117, en

. een exemplaar van de drie gemaakte oefeningen op een cursusblad. Een oefening per pagina. Opgaveoverschrijven hoeft niet.

Elk groepslid dient zijn practicum bundel in (met ingevulde reflectie). Het verslag steekt in een bundel van eengroepslid. Je hoeft het verslag dus niet te kopieren.

3 Practicum indienen Op . . . . . . . . . . . . (datum invullen).

Pr-22

Page 85: Deel Portfolio wiskunde, Deel Problem Solving wiskunde, deel Practicum wiskunde (recto-verso)

Oefeningen - Opgave

Calpe Costa Blanca,Spanje

Oefening 1. In hotel ‘Viva Franco’ in Spanje zijn de 111 eenpersoonskamers geboektdoor Nederlanders, Fransen en Italianen. Blijkt dat er dubbel zoveel Nederlanderszijn als Fransen en Italianen samen. Toen 60 Nederlanders het hotel verlieten omde voetbalmatch Spanje-Nederland bij te wonen waren er dubbel zoveel Fransen alsNederlanders en Italianen samen. Hoeveel Nederlanders hadden er ingecheckt in hethotel?

Oefening 2. Een getal bestaat uit drie cijfers. De som van de cijfers is 19 en de somvan de buitenste cijfers is 1 meer dan de middelste. Lees je het getal omgekeerd danbekom je een getal dat 198 minder is. Bepaal het getal.

Oefening 3. In een afdeling van een autofabriek worden drie modellen A, B en C geassembleerd. Er zijn 52 werkurennodig voor de assemblage van model A, 78 werkuren voor model B en 94 voor model C. De 260 arbeiders werken elk32 uur per week. De marketingspecialisten voorspellen dat de vraag naar model A dubbel zo groot zal zijn als devraag naar model B, en dat de vraag naar model C gelijk zal zijn aan 10% van de productie. Hoeveel wagens van elkmodel zal men per week moeten produceren als men rekening houdt met de marketingprognoses?

?Oefening 4 (het probleem van Bachet 2). Drie jonge mensen hebben wat spaargeld. Een van hen verdubbeltmet een deel van zijn spaarcenten het bedrag van de andere twee. Daarna verdubbelt de tweede met een deel van zijncenten het bedrag van de andere twee. Ten slotte verdubbelt de derde met een deel van zijn geld het bedrag van deandere twee. Nu bezit elk van hen 8000. Wat was het oorspronkelijke bedrag dat elk van hen had?

Reflectie

Deze reflectie is individueel, dus elk voor zich.

Eigen inzet

Beschrijf in enkele regels je eigen inzet tijdens de groepsopdracht. Geef jezelf daarna een cijfer tussen 0 en 5.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Groep

Beschrijf in enkele regels de gezamelijke aanpak en overleg tijdens de groepsopdracht. Wat zou je devolgende keer zeker op dezelfde manier doen? En wat zou je liever op een andere manier doen?. Geef de groepeen cijfer tussen 0 en 5.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Niveau van samenwerking

In welk van de vier niveaus op de vorige pagina hoor je thuis? Stip enkele onderdelen van dat niveau aan meteen gele fluorescerende stift.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 Claude Gaspard Bachet de Meziriac (1581-1638).

Pr-23

Page 86: Deel Portfolio wiskunde, Deel Problem Solving wiskunde, deel Practicum wiskunde (recto-verso)

Evaluatieform

ulierPracticum

6D

oel

stel

linge

nB

eoor

del

ing

Com

men

taar

Inhou

del

ijk

Vaa

rdig

hed

en1.

Rekenvaard

igh

eid

3B

ijhet

alge

bra

ısch

man

ipule

ren

van

funct

ievo

orsc

hri

ften

,fo

rmule

s,ve

rgel

ijkin

gen,

etc.

wee

tje

wel

ke

tech

nie

ken

jem

oet

aanw

enden

omto

tee

nre

sult

aat

teko

men

,en

voer

jedez

ete

chnie

ken

corr

ect

uit

.

3Je

kan

de

groot

orde

van

een

resu

ltaa

tgo

edin

schat

ten.

3Je

kan

ICT

-hulp

mid

del

enzo

als

het

grafi

sch

reken

mac

hin

eof

een

com

pute

rrek

enpak

ket

gepas

tin

schak

elen

om

een

bew

erkin

guit

tevo

eren

.Je

gaat

ook

kri

tisc

hom

met

de

ber

eken

inge

ndie

jem

etIC

Tb

ekom

enheb

t.

3.

Wis

ku

nd

ige

taalv

aard

igh

eid

3Je

ben

tve

rtro

uw

dm

etde

vakta

alva

nde

wis

kunde:

.je

ken

tde

bet

eken

isva

nty

pis

che

vakte

rmen

enge

bru

ikt

dez

evo

ldoen

de

corr

ect

(funct

ie,

stel

sel,

etc.

);.

jeke

nt

de

bet

eken

isva

nsp

ecifi

eke

logi

sche

kern

woor

den

enge

bru

ikt

dez

evol

doen

de

corr

ect

(en,

of,

daaru

itvolg

t,vo

or

alle,

etc.

);.

jeb

ent

inst

aat

omee

nom

schri

jvin

gva

nee

nb

egri

pte

form

alis

eren

,en

een

voor

waa

rde

tesy

mb

olis

eren

;.

jehan

teer

tde

vis

uel

evo

orst

ellinge

nw

aar

de

wis

kunde

gebru

ikva

nm

aakt

(gra

fiek

,ta

bel

,et

c.).

3Je

ben

tve

rtro

uw

dm

etde

bes

chri

jven

de

taal

waa

rin

over

het

wis

kundig

han

del

enge

spro

ken

wor

dt

(defi

nit

ie,

eigen

schap,

verk

laar,

ber

eken

alge

bra

ısch

/gra

fisc

h,

teke

n,

contr

uee

r).

3Je

kan

inee

nsi

tuat

iew

iskundig

eb

egri

pp

enher

kennen

enve

rtal

ennaa

rw

iskundig

model

(mat

hem

atis

eren

).

3Je

kan

vis

uel

ein

form

atie

invo

ldoen

de

mat

ele

zen

enin

terp

rete

ren

(op

een

teke

nin

g,gr

afiek

,dia

gram

).

3Je

ben

tle

esva

ardig

bij

het

leze

nva

nde

tekst

van

opga

ven,

pro

ble

men

envra

agst

ukke

n.

8.

Refl

ecti

evaard

igh

ed

en

3Je

kan

reflec

tere

nov

erde

aanpak

van

jew

erk

enje

studie

s.

3Je

kan

reflec

tere

nov

erje

leer

pro

ces

enje

inze

t(l

eiden

zeto

thet

ber

eike

nva

nde

doel

stel

ling?

).

3Je

kan

reflec

tere

nov

erde

effici

enti

eva

nje

wer

ken

enje

lere

n.

3Je

kan

reflec

tere

nov

erde

ster

keen

de

zwak

keel

emen

ten

inde

uit

voer

ing

van

jeop

dra

cht.

3Je

kan

jere

flec

tie

concr

eet

mak

endoor

een

pla

nva

nve

rbet

erin

gop

test

elle

n(w

elke

elem

ente

nw

orden

geb

ruik

tom

het

lere

nen

wer

ken

teve

rbet

eren

?).

3Je

kan

reflec

tere

nov

erde

geza

mel

ijke

aanpak

enov

erle

gbij

een

groep

sop

dra

cht.

Att

itudes

9.

Zin

voor

nauw

keu

righ

eid

en

ord

e

3Je

heb

tde

gew

oon

teom

na

de

uit

voer

ing

van

een

opdra

cht

teru

gte

kij

ken

als

een

vorm

van

contr

ole,

om

zoto

tnauw

keuri

ge

resu

ltat

ente

kom

en.

3Je

heb

tee

nhou

din

gom

ordel

ijk

ensy

stem

atis

chte

wer

ken

(not

eren

,m

aken

van

oef

enin

gen,

aanpak

ken

van

pro

ble

men

).

14.

Zin

voor

sam

enw

erk

ing

en

overl

eg

3Je

ziet

indat

jem

ogel

ijkhed

enve

rgro

otw

orden

door

het

sam

enw

erke

nm

etan

der

en.

3Je

toon

tap

pre

ciat

ievo

oree

nan

der

eop

loss

ing

ofaa

npak

.

Pr-

24

Page 87: Deel Portfolio wiskunde, Deel Problem Solving wiskunde, deel Practicum wiskunde (recto-verso)

PRACTICUM 7

EEN WETENSCHAPPELIJK VERSLAG SCHRIJVEN

naam: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . nr: . . . . . . . . . klas: . . . . . . . schooljaar: . . . . . . . . . . . . . .

1. Inleiding1

Het schrijven en publiceren van verslagen is o.a. voor wetenschappers een belangrijkonderdeel van hun werk. Een verslag kan dienen om je uitgevoerd werk, project,ideeen en conclusies aan anderen uit te leggen of kenbaar te maken. Evengoed kanhet dienen om anderen van je besluiten te overtuigen of zelfs om je eigen capaciteitenin de verf te zetten. Het mag duidelijk zijn dat een verslag tot in de puntjes verzorgdmoet zijn; niet alleen qua lay-out, maar ook qua overzichtelijkheid, qua opbouw enuiteraard qua inhoud. In veel hogere studies en ook in je latere werkomgeving is heteen oefening die je nog vaak zal maken.

Wat is nu een verslag Het is een tekst, maar geen proza. Je gebruikt de tekst om op een zakelijke manierte rapporteren, over de meest uiteenlopende onderwerpen: een zakenreis, een chemisch experiment, een wiskundigprobleem, etc. Een verslag moet

3 volledig maar eerder beknopt en zonder overbodige franjes zijn,

3 een logische structuur hebben, en

3 gemakkelijk te lezen zijn.

Hiermee bedoelen we dat de lezer snel zicht moet krijgen op de opbouw en de inhoud van het verslag. Het is nietaan de lezer om bepaalde passages verschillende keren te moeten herlezen om te achterhalen en te interpreteren watprecies wordt verteld.

De vorm van een exact-wetenschappelijk verslag is specifiek en verschilt van bijvoorbeeld een boekbesprekingof taalkundig onderzoek. In wat volgt leggen we o.a. de structuur van een wetenschappelijk verslag uit en preciserenwe hoe je moet omgaan met wiskundig schrijven.

Een goed verslag schrijven vraagt oefening. Het is een opdracht waarin je door rigoureus en volledig te zijn,duidelijk kan tonen aan de lezer dat je volledig het onderwerp van het verslag beheerst. Onderstaande richtlijnenin verband met de inhoud, de vorm en de stijl van een verslag moeten niet zozeer naar de letter, maar wel naar degeest gevolgd worden. De opdrachtgever kan uiteraard nog specifieke eisen stellen naar gelang het onderwerp van deopdracht.

2. Structuur van een wetenschappelijk verslag

In principe heeft een wetenschappelijk verslag de volgende structuur:

Titel

Samenvatting

Inleiding

Hoofddeel

Besluit

Bij lange verslagen is het beter om nog een inhoudstafel en een referentielijst toe te voegen. Dit is de basisstructuurzoals die voor wiskundige verslagen wordt toegepast2.

1Gebaseerd op E. Mathijs, Schrijfstijl wetenschappelijke tekst, KU Leuven (2006).2Bij de empirische wetenschappen (bv. chemie en fysica, waar, in tegenstelling tot de wiskunde, experimentele toetsing een essentieel

onderdeel vormt) bestaat de opbouw van het verslag uit meer specifieke onderdelen: titel, inleiding, samenvatting, methode en materialen,hoofddeel, resultaten, discussie, conclusie, bijlagen, referenties. We verwijzen naar L. Kirkup, Experimental methods: An introduction tothe analysis and presentation of data, Singapore (1994).

Pr-25

Page 88: Deel Portfolio wiskunde, Deel Problem Solving wiskunde, deel Practicum wiskunde (recto-verso)

Hieronder vind je de verschillende onderdelen verder uitgelegd3.

Titel De keuze van de titel is niet onbelangrijk. De lezer moet uit de titel onmiddellijk het onderwerp van het verslagkunnen halen. Een titel als ’Verslag practicum ecologie’ is te algemeen. Woorden als ’Studie van’, ’Onderzoek naar’,maar ook afkortingen, formules of merknamen worden best vermeden. Bij een langer verslag maak je best een titelblad.

NIET: ‘Practicum 11 februari 2010’ of ‘Oefening 28 pagina 40’

WEL: ‘Elliptische baan van een planeet’ of ‘Lineaire groei versus exponentiele groei’

Samenvatting De samenvatting van een verslag is een kort deel van een vijftal lijnen. Die geven een overzicht vanhet onderzoek, het belang van het onderzoek en wat je eruit concludeert.

Inleiding In de inleiding wordt eerst het onderwerp of je probleemstelling verduidelijkt en in welke context hetgeheel kadert. In tweede instantie licht je de opbouw van het verslag toe. Hier wijs je op de samenhang tussen dehoofdstukken. De bedoeling is dat de lezer inzicht krijgt in het gestelde probleem en de aanpak ervan.

Hoofddeel Inhoudelijk is dit het belangrijkste deel van het verslag. De andere delen dienen om te structureren,te duiden en het overzicht te bewaren. Het hoofddeel omvat het eigenlijk gepresteerde werk. In dit deel staan nietalleen de antwoorden op de gestelde vragen. Vooral moet je de gevoerde redenering die achter elk antwoord schuilt,weergeven.

Besluit In het besluit grijp je terug naar je probleemstelling of onderzoeksvraag uit de inleiding. Samen met deinleiding geeft het besluit een volledige samenvatting van het probleem en zijn oplossing. Je verwijst hier niet naaringevoerde formules of methodes die je besproken hebt in de tussenliggende delen. Je geeft ook aan op welke manieren in hoeverre je geslaagd bent in je opzet. Hier horen ook vergelijkingen met gekende resultaten, opmerkingen overmethodiek, tekortkomingen of suggesties thuis.

2. Richtlijnen voor wiskundig schrijven

Het opschrijven van een wiskundige redenering, een bewijs of meer uitgebreid een nota, artikel of thesis wordt ook wel‘wiskundig schrijven’ genoemd. Het vergt heel wat oefening om hierin bedreven te worden. Zo’n redenering opschrijvenis niet zomaar iets wat je doet nadat je de oplossing gevonden hebt. Het vergt heel wat oefening. Deze richtlijnen4

dienen dan ook om je hierin te ondersteunen.

Wiskundige correctheid

Een correcte, consistente en ondubbelzinnige redenering maken is moeilijker dan je denkt. Een nodige voorwaarde isdat je zelf 100% overtuigd bent van datgene wat je opschrijft. We overlopen enkele typische valkuilen.

3 Rekenvaardigheid Het algebraısch manipuleren van functievoorschriften, formules, vergelijkingen, stelsels,etc. uit de eerste en de tweede graad is gekend verondersteld. Enkele misverstanden die aan de basis liggen voorheel wat elementaire rekenfouten in de derde graad (de uitspraken gelden voor gepaste keuze van a, b, c, d ∈ R):

. rekenen met vierkantswortels, o.a.√a+ b 6= √a+

√b want

√9 + 16 6= 3 + 4;

√a2 6= a want

√(−3)2 6= −3;

. vereenvoudigen van breuken, o.a.2a+ b

2c+ d6= a+ b

c+ d,

2a+ b

2c+ 2d6= a+ b

c+ d,

2a+ 2b

2c+ d6= a+ b

c+ d;

. ongelijkheden, o.a. uit ac > bc volgt niet noodzakelijk dat a > b want 5 · (−2) > 7 · (−2) en toch is 5 < 7;

uita

b> 0 volgt niet noodzakelijk dat a > 0 en/of b > 0 want

−7

−3> 0 en toch is −3 < 0 en −7 < 0;

uit a2 > b2 volgt niet noodzakelijk dat a > b want (−7)2 > 32 en toch is − 7 < −3.

3 Correct gebruik van implicatie en equivalentie Vaak is een redenering wiskundig fout omdat men de“enkele pijl ⇒” verwart met “dubbele pijl ⇔”. Onderstaande tabel geeft aan wat het onderscheid is. Voor deformele definitie van deze logische operaties verwijzen we naar Deel Logica.

naam symbool voorbeeld lees als

implicatie ⇒ x = −2⇒ x2 = 4 als x = −2 dan x2 = 4equivalentie ⇔ x = ±2⇔ x2 = 4 x = ±2 als en slechts als x2 = 4

3Voor een voorbeeld van een wetenschappelijk verslag (althans wat de structuur betreft) verwijzen we naar K. De Naeghel, Vijf bewijzenvoor de irrationaliteit van

√2, Onze-Lieve-Vrouwecollege Assebroek (2011) . Zie ook pagina 124.

4Referenties voor wiskundig schrijven zijn N.J. Higham, Handbook of Writing for the Mathematical Sciences, Society for Industrial andApplied Mathematics (1998) en F. Vivaldi, Mathematical writing for undergraduate students, The university of London (2013) .

Pr-26

Page 89: Deel Portfolio wiskunde, Deel Problem Solving wiskunde, deel Practicum wiskunde (recto-verso)

3 Letters voor onbekenden eerst introduceren Wanneer je een nieuwe letter gebruikt, dan hoor je eerstaan te geven waar die letter voor staat. Enkel op die manier kan de lezer jouw redenering volgen.

Wiskundig verwoorden

Een wiskundige redenering bestaat zeker niet alleen uit symbolen (formules, vergelijkingen, . . . ). Je hoort ook bind-tekst te schrijven: taalkundige zinnen die aangeven wat je van plan bent, hoe uit de ene vergelijking de andere volgt,hoe je een controle kan maken, etc. Slechts dan zal een lezer weten wat jij bedoelt, ook al heeft hij/zij het probleemniet zelf opgelost. Typische voorbeelden van bindwoorden- en zinnen vind je in onderstaande tabel. Wannneer je eendeel van de redenering weg laat, hoor je de aard en de lengte van het weggelaten deel te duiden (tweede kolom). Houdde lezer op de hoogte waar je ergens in je redenering bevind, en wat er nog moet gebeuren (derde kolom).

Bindwoordenanders gezegd, anderzijds is, dan geldt, dientengevolge, dus, echter, enerzijds is, equivalent is, er geldt dat,

ergo, gelijkstellen levert, hieruit volgt, met als gevolg dat, neem, noem, of nog, omdat . . . is, op die manier is,terwijl, uit . . . volgt dan, veronderstel dat, voor . . . vinden we, voor . . . bekomen we, want, waaruit,

waaruit we vinden dat, waaruit volgt dat, we besluiten dat, we hebben, we vinden, zij, zodat, zodoende is

Bindzinnen

Ons eerste doel is om . . . Men kan eenvoudig aantonen dat . . . Eerst tonen we aan dat . . .Wa vermoeden dat . . . Twee keer toepassen van . . . geeft . . . Het probleem is te vereenvoudigen tot . . .Het idee van het bewijs is . . . Een gelijkaardig argument toont . . . Tenslotte moeten we aantonen dat . . .

3. Schrijftips

Bij het maken van een verslag (in het bijzonder voor exacte wetenschappen) moet je ontzettend veel aandacht bestedenaan de duidelijkheid. Je moet een tekst schrijven die ’gemakkelijk’ te lezen is. Met je verslag wil je de lezer latenbegrijpen wat jij te rapporteren hebt. Zorg dat hij/zij de aandacht bij het onderwerp kan houden. Je hebt er dus allebelang bij dat de lezer geen nutteloze aandacht moet besteden aan het ontrafelen van een slecht opgebouwde zin ofredenering.

Duidelijk schrijven betekent dat je ’wetenschappelijke taal’ correct gebruikt zodat de betekenis niet verloren gaat.Om dat doel te bereiken geven we enkele tips in verband met het integreren van wetenschappelijke informatie in eenNederlandse tekst. De opsomming die daarna volgt, gaat over het gebruik van het Nederlands en is evengoed bruikbaarin elk deel van een verslag waar geen wetenschappelijke gegevens meer zijn ingevoerd.

Tip 1. Wiskundige formules kunnen deel uitmaken van een Nederlandse zin, maar je mag formules en tekst nietdooreen halen. Gebruik in een taalkundige zin ook geen losse symbolen als ∀,∃,⇒,⇔. Laat een regel nooit beginnenmet een wiskundig symbool. En verwijs eenduidig naar een eerdere vergelijking, etc.

NIET: x is positief ⇒ de oplossing van de vergelijking = 17.

WEL: Nu is x positief, zodat de oplossing van de vergelijking (∗) gegeven wordt door x = 17.

Tip 2. Hoe verwijs je naar jezelf? De meest gangbare keuze voor het persoonlijk voornaamwoord is “we”, ookal is er slechts een schrijver. “Ik” is vrijpostig en vereist een meer persoonlijk contact met de lezer. “We” kan ookverwijzen naar “de lezer en ikzelf”.

NIET: Ik heb het idee om . . . / Ik heb eerder al gezegd dat. . . / Nu ga ik aantonen waarom . . .

WEL: Ons idee is om . . . / We hebben eerder gezien dat. . . / Vervolgens tonen we aan waarom . . .

Tip 3. De gegeven opdracht moet geıntegreerd zijn in het verslag. Terwijl je het verslag maakt hou je besteen lezer in gedachten die de opdracht niet kent. Het is echter niet zo elegant om de gestelde vraag letterlijk over tenemen en dan je antwoord te formuleren. Verwerk dus de probleemstelling in jouw tekst.

NIET: Wat is de snelheid in functie van de tijd? Op t = 0 is v(0) = . . .

WEL: Om het verband te kennen tussen de snelheid en de tijd, berekenen we de eerst debeginsnelheid v(0) . . .

Tip 4. Geef geen droge opsomming van “gegeven, gevraagd, oplossing”. Door eerst het gegeven op teschrijven, het gevraagde te formuleren en tenslotte de berekening te maken, vind je het antwoord op een vraagstuk.Dit is je oplossingsmethode (of werkwijze). Het behoort tot het voorbereidend werk van je verslag. Het verslag zelfgebruikt een andere invalshoek.

Pr-27

Page 90: Deel Portfolio wiskunde, Deel Problem Solving wiskunde, deel Practicum wiskunde (recto-verso)

Tip 5. Vervang in de tekst geen woorden of zinsdelen door symbolen. De symbolen ∀ en ∃ hebben alleenmaar betekenis in wiskundige uitspraken. Schrijf liever voluit “voor alle” en “er bestaat”. In een correcte Nederlandsezin gebruik je “dus” of “daaruit volgt” in plaats van het symbool ⇒. Dat verhoogt de duidelijkheid.

Tip 6. Getallen in een tekst schrijf je liefst voluit, tenzij ze de waarde van een variabele zijn.

NIET: Uit de 3 gegevens leiden we af dat de functiewaarde van drie gelijk is aan f(3) = 7.

WEL: Uit de drie gegevens leiden we af dat de functiewaarde van 3 gelijk is aan f(3) = 7.

Tip 7. Verwijzingen naar tabellen en figuren gebeuren op dezelfde manier als verwijzingen naar langereformules. Omvangrijke tabellen of figuren, of tabellen en figuren waarnaar in de tekst slechts zijdelings wordtverwezen, kan je ook toevoegen als bijlage.

Tip 8. Een goede zinsbouw en correct Nederlands zorgen voor een goed leesbare tekst. Een wetenschappelijkverslag is allerminst een opeenvolging van formules, cryptische codetaal, tabellen en figuren. Nederlandse zinnenmoeten de formules duiden en in een context plaatsen. Je kan bijvoorbeeld uit formules alleen, niet afleiden watoorzaak en wat gevolg is, wat er gegeven is, wat je hebt berekend of wat bewezen is (we verwijzen naar het eerdergegeven pleidooi voor wiskundig verwoorden). De tekst die de formules omkadert - letterlijk en figuurlijk - moetdaarom helder en ondubbelzinnig zijn.

Tip 9. Maak je zinnen niet te lang.

NIET: Omdat de exponentiele functie met voorschrift f(x) = ex als domein R heeft en als bereikR+

0 , zal de inverse functie van f , met voorschrift g(x) = lnx, als domein R+0 en als bereik R

hebben.

WEL: De functies met voorschrift f(x) = ex en g(x) = lnx zijn elkaars inverse. Daarom is hetdomein van f gelijk aan het bereik van g en vice versa. Dus is dom f = R = bld g endom g = bld f = R+

0 .

Tip 10. Vermijd tangconstructies.

NIET: De sinusfunctie heeft, in tegenstelling tot de tangensfunctie die niet voor alle reele getallengedefinieerd is, als domein R.

WEL: De sinusfunctie heeft als domein R, terwijl de tangensfunctie niet voor alle reele getallengedefinieerd is.

Tip 11. Zeg het in kernachtige bewoordingen. Vermijd breedsprakerige en lege woorden als: aspect, facet,gebeuren, aard, mate van, in feite, in principe. Vermijd omslachtige aanlopen als: ‘Het is interessant te meldendat. . . ’, ‘Opgemerkt kan worden dat. . . ’, etc. Vermijd overbodige woorden zoals: enorm, fantastisch, gigantisch, etc.

Tip 12. Ook de toon is belangrijk. Pas op met overdreven zekerheid: ‘ongetwijfeld’, ‘het spreekt voor zich’, etc.Maar wees ook zuinig met relativerende begrippen.

Tip 13. Schrijf of druk niet af op kladpapier. Je hebt aandacht besteed aan de lay-out van het verslag. Diemoeite is tevergeefs geweest wanneer je aan het papier ook niet de nodige aandacht besteedt. Geef dus niets af opkladpapier, met ezelsoren of vlekken.

2. Opdracht

3 Voorbereiding Inleiding en opdracht lezen tegen . . . . . . . . . . . . (datum invullen).

3 Practicum (. . . lessen, thuis afwerken) In het begin van de eerste les krijg je twee pagina’s 126 en volgendeuit een handboek [12]. Deze kopieen behandelen een onderwerp, voorzien van enkele taken (in de tekst taak 11.3,taak 11.4 en taak 11.5 genoemd). De opdracht bestaat erin om deze taken in groepen van drie uit te voeren enhiervan een verslag te maken (een verslag per groep).

Naast de kopieen uit het handboek krijg je ook het verslag dat een leerling enkele jaren terug gemaakt heeft, ziepagina’s 128 en volgende. Dit kan je helpen om de taken uit het handboek uit te voeren.Het verslag van die leerling is zeker geen modelvoorbeeld van een wetenschappelijk verslag: er wordt van jullieveel beter verwacht!

3 Verslag Het verslag beantwoord aan de criteria uit de inleiding, waarbij je de schrijftips zo goed mogelijktracht na te leven. Het verslag is mag handgeschreven zijn, gemaakt op cursusbladen (geruit). Enkel rectoschrijven, pagina’s onderaan nummeren.

3 Practicum indienen Op . . . . . . . . . . . . (datum invullen). Een groepslid dient zijn/haar practicum bundel in,met daarin het verslag. Je hoeft het verslag dus niet te kopieren.

Pr-28

Page 91: Deel Portfolio wiskunde, Deel Problem Solving wiskunde, deel Practicum wiskunde (recto-verso)

Evaluatieform

ulierPracticum

7D

oel

stel

lin

gen

Beo

ord

elin

gC

om

men

taar

Inh

oud

elij

k

Vaa

rdig

hed

en2.

Meet-

en

tekenvaard

igh

eid

3G

rafi

eken

envo

orst

elli

nge

nva

nvla

kke

enru

imte

figu

ren

teke

nje

nau

wkeu

rig.

3Je

heb

tru

imte

lijk

voor

stel

lin

gsve

rmog

en.

3Je

kan

ICT

-hu

lpm

iddel

enzo

als

het

grafi

sch

reke

nm

ach

ine

ofee

nco

mp

ute

rrek

enp

akke

tge

pas

tin

schakel

enom

een

figu

ur

teb

ekom

en.

Je

gaat

ook

kri

tisc

hom

met

de

voor

stel

lin

gen

die

jem

etIC

Tb

ekom

enh

ebt.

6.

On

derz

oeksv

aard

igh

ed

en

3Je

kan

een

ond

erzo

ekso

pd

rach

tfo

rmu

lere

nen

afb

aken

en.

3Je

kan

een

aanp

akp

lan

nen

enzo

nod

igop

spli

tsen

ind

eelt

aken

.

3Je

kan

info

rmat

iever

wer

ken

enop

rele

vanti

ese

lect

eren

:

.d

ew

aard

eva

nd

ein

form

atie

beo

ord

elen

infu

nct

ieva

nd

eop

dra

cht;

.d

ere

lati

etu

ssen

gege

ven

sen

bew

erkin

gen

opzo

eken

enin

terp

rete

ren

.

3Je

kan

doel

mat

igee

nw

isku

nd

igm

od

else

lect

eren

ofop

stel

len

:

.ee

non

der

dee

lva

nee

nop

dra

cht

her

ken

nen

als

een

wis

kun

dig

ofee

nst

atis

tisc

hp

rob

leem

;.

vast

stel

len

ofee

nm

od

elvo

ldoet

enh

etev

entu

eel

bij

stel

len

;.

zon

od

igb

ijkom

end

ein

form

atie

verz

amel

enom

het

aan

gew

ezen

mod

elte

ku

nn

enh

ante

ren

.

3Je

kan

bij

een

mod

eld

ep

asse

nd

eop

loss

ings

met

hod

eco

rrec

tu

itvo

eren

.

3Je

kan

resu

ltat

enb

inn

end

eco

nte

xt

bet

eken

isge

ven

enze

daa

rin

kri

tisc

hev

alu

eren

.

3Je

kan

refl

ecte

ren

oph

etge

hel

ep

roce

s,i.

h.b

.op

de

gem

aakte

keu

zen

voor

rep

rese

nta

tie

enw

erkw

ijze

.

3Je

kan

het

resu

ltaa

tva

nhet

ond

erzo

ekzi

nvo

lp

rese

nte

ren

,h

etst

and

punt

argu

men

tere

nen

vers

lag

uit

bre

ngen

van

het

pro

ces.

Att

itu

des

10.

Zin

voor

kw

ali

teit

van

de

wis

ku

nd

ige

rep

rese

nta

tie

Je

heb

td

ege

woon

teom

jege

dac

hte

nb

ehoor

lijk

teve

rwoor

den

,en

de

voor

-en

nad

elen

van

een

bep

aald

ew

erkw

ijze

teb

esp

reken

.

11.

Kri

tisc

he

zin

Je

heb

td

eh

oud

ing

omb

erek

enin

gen,

bew

erin

gen

,ar

gum

ente

rin

gen

enre

den

erin

gen

nie

tzo

maa

rte

aanva

ard

enen

over

ten

emen

.

13.

Zelf

regu

lati

e

3Je

toon

tee

non

der

zoek

sger

ichte

hou

din

gte

naa

nzi

enva

nfe

iten

,op

gave

nen

pro

ble

men

.

3Je

ben

tin

staa

tom

jein

een

oplo

ssin

gsp

roce

ste

orie

nte

ren

,h

etp

roce

ste

pla

nn

en,

het

uit

tevo

eren

enh

ette

bew

aken

.

14.

Zin

voor

sam

enw

erk

ing

en

overl

eg

3Je

ziet

ind

atje

mog

elij

kh

eden

verg

root

wor

den

door

het

sam

enw

erke

nm

etan

der

en.

3Je

toon

tap

pre

ciat

ievo

oree

nan

der

eop

loss

ing

ofaa

np

ak.

Evaluatiepunten:

zievolgendepagina

Pr-

29

Page 92: Deel Portfolio wiskunde, Deel Problem Solving wiskunde, deel Practicum wiskunde (recto-verso)

Evaluatiepunten

A.Opbouw

01

23

45

Tit

el,

sam

envatt

ing,

inh

ou

dst

afe

l,in

leid

ing

en

refe

renti

eli

jst

De

leze

rm

oet

uit

de

tite

lon

mid

del

lijk

het

on

der

wer

pva

nh

etver

slag

ku

nn

enh

alen

.D

esa

men

vatt

ing

van

een

vers

lag

gee

ftee

nov

erzi

cht

van

het

ond

erzo

ek,

het

bel

ang

van

het

ond

erzo

eken

wat

jeer

uit

con

clu

dee

rt.

Ind

ein

leid

ing

wor

dt

eers

th

eton

der

wer

pof

jep

rob

leem

stel

lin

gve

rdu

idel

ijkt,

enw

ijs

jeop

de

sam

enh

ang

tuss

end

eh

oof

dst

ukke

n.

©©

©©

©©

Hoofd

deel

en

besl

uit

Inh

eth

oof

dd

eel

staa

nn

iet

alle

end

ean

twoor

den

opd

ege

stel

de

vra

gen

.V

oora

lm

oet

jede

gev

oer

de

red

ener

ing

die

achte

rel

kan

twoor

dsc

hu

ilt,

wee

rgev

en.

Inh

etb

eslu

itgr

ijp

jete

rug

naa

rje

pro

ble

emst

elli

ng

ofon

der

zoek

svra

agu

itd

ein

leid

ing,

enge

efje

aan

opw

elke

man

ier

enin

hoev

erre

jege

slaa

gdb

ent

inje

opze

t.H

ier

hor

enook

ver

geli

jkin

gen

met

geke

nd

ere

sult

ate

n,

opm

erkin

gen

over

met

hod

iek,

teko

rtko

min

gen

ofsu

gges

ties

thu

is.

©©

©©

©©

Tota

al

op

bouw

:..

./

10

B.In

houd

Doelg

roep

Het

niv

eau

van

het

vers

lag

isgo

edaf

gest

emd

opee

nle

zer

met

wis

kun

dig

eke

nn

isop

niv

eau

van

jouw

stu

die

rich

tin

g,m

aar

die

het

ond

erw

erp

end

eop

dra

cht

nie

tke

nt.

Nee

mge

ente

grot

ed

enksp

ron

gen

,m

aar

wei

dt

ook

nie

tu

itov

erev

iden

teza

ken

©©

©©

©

Held

er

en

du

ideli

jkH

etve

rsla

gis

‘gem

akke

lijk

’te

leze

n.

De

leze

rka

nb

egri

jpen

wat

jij

tera

pp

ort

eren

heb

t,en

kan

de

aan

dac

ht

bij

het

ond

erw

erp

hou

den

door

geen

nu

ttel

oze

aan

dac

ht

teb

este

den

aan

het

ontr

afel

enva

nee

nsl

echt

opge

bou

wd

ezi

nof

red

ener

ing.

©©

©©

©©

Sch

rijf

stij

lH

etve

rsla

gis

geen

opee

nvo

lgin

gva

n‘a

ntw

oord

enop

de

vra

agje

s’,

en‘g

egev

en,

gevra

agd

,op

loss

ing’.

Dat

beh

oor

ten

kel

tot

het

voor

ber

eid

end

wer

k.

Het

vers

lag

zelf

geb

ruik

tee

nan

der

ein

vals

hoek

.D

ep

rob

leem

stel

lin

gis

verw

erkt

ind

ete

kst

©©

©©

©

Een

goed

ezin

sbouw

en

corr

ect

Ned

erl

an

ds

zorg

envo

oree

ngo

edle

esb

are

tekst

.E

enw

eten

sch

app

elij

kve

rsla

gis

all

erm

inst

een

op

eenvo

lgin

gva

nfo

rmu

les,

cryp

tisc

he

cod

etaa

l,ta

bel

len

enfi

gure

n.

Ook

de

ver

ban

den

tuss

end

ezi

nn

enm

oet

envo

ldoen

de

hel

der

zijn

©©

©©

©

Less

ism

ore

Onth

oud

dat

jeke

nn

ish

etb

est

kan

over

bre

nge

nd

oor

een

hel

der

enb

ond

igve

rsla

g,d

atle

idt

tot

het

opw

ekke

nva

nin

tere

sse

bij

de

leze

r,w

aarn

ah

ijzi

chac

tief

kan

inle

ven

inh

etp

rob

leem

©©

©©

©

Maak

jevers

lag

effi

cie

nt

Geb

ruik

jein

jeve

rsla

gfi

gure

n,

dan

verw

ijs

jeook

ind

ete

kst

naa

rd

eze

figu

ren

,le

gje

uit

hoe

jed

eze

bek

om

ten

wat

eru

itaf

tele

iden

valt

©©

©©

©

Lay-o

ut

Je

heb

taa

nd

acht

bes

teed

aan

de

lay-o

ut

van

het

ver

slag

.E

enu

itge

tikt

vers

lag

isge

enve

rpli

chti

ng,

wel

een

mee

rwaa

rde.

Nood

zake

lijk

isd

atd

ege

bru

ikte

figu

ren

vol

doen

de

du

idel

ijk

afge

bee

ldzi

jn.

©©

©©

©©

Wees

cre

ati

ef

en

ori

gin

eel

Zo

kan

jeje

vers

lag

ond

ersc

hei

den

van

een

gem

idd

eld

ete

kst

over

dat

ond

erw

erp

.L

egee

nn

iet

voor

de

han

dli

gge

nd

eli

nk,

nee

mh

isto

risc

he

asp

ecte

nop

,b

eden

kee

nre

leva

nte

toep

assi

ng.

Over

dri

jfec

hte

rn

iet:

jever

slag

isin

de

eers

tep

laat

see

nza

keli

jke

tekst

©©

©©

©

Tota

al

inh

ou

d:

...

/40

C.Verd

ediging

Sti

jlB

ijd

eve

rded

igin

gge

efje

enkel

antw

oor

den

opd

ege

stel

de

vra

gen

.D

atd

oe

jein

het

alge

mee

nN

eder

lan

ds,

enop

een

hel

der

een

bek

nop

tem

anie

r.Z

org

dat

jeh

etvo

lled

ige

vers

lag

beh

eers

t.D

atee

nan

der

groep

slid

de

ond

ervra

agd

ep

assa

geges

chre

ven

hee

ft,

isgee

nex

cuu

s.©

©©

©©

©

Inh

ou

dZ

org

dat

jeov

ertu

igd

ben

tva

nje

antw

oor

d.

Je

atti

tud

e‘k

riti

sch

ezi

n’

spee

lth

ier

een

grot

ero

l.R

ad

enn

aar

de

op

loss

ing

isu

itd

enb

oze:

ken

jeee

nan

twoor

dn

iet,

dan

geef

jedat

ook

toe.

Dat

wee

rdh

oud

tje

nie

tom

na

ted

enken

omto

chm

etee

ngoed

antw

oor

dvo

ord

ed

agte

kom

en.

©©

©©

©©

Tota

al

verd

edig

ing:

...

/10

Tota

al:

...

/60

Pr-

30

Page 93: Deel Portfolio wiskunde, Deel Problem Solving wiskunde, deel Practicum wiskunde (recto-verso)

PRACTICUM 8

ONDERZOEKSOPDRACHT (1)

naam: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . nr: . . . . . . . . . klas: . . . . . . . schooljaar: . . . . . . . . . . . . . .

1. Inleiding

Jarenlang was men overtuigd dat leerlingen en studenten de beoogde wiskundige enwetenschappelijke vaardigheden leerden door middel van het observeren van een ‘ex-pert’ (leerkracht, docent) in actie. Al minstens even lang stelt men deze eenzijdigemethode in vraag. Zo ijverde de wiskundige en didacticus George Polya in 1945 reedsdat het oplossen van problemen centraal moet staan in het wiskundeonder-wijs, en dit op elk niveau [20]:

“Goed onderwijs betekent dat leerlingen de kans krijgen om zelf te ontdekken.” 1

De komende onderzoeksopdrachten hebben dan ook als bedoeling om ofwel een nieuwe techniek op zelfstandige basismeester te worden, ofwel zelf een probleem op te lossen en nadien een redenering op een haalbaar niveau te leveren.Je kan dit realiseren door de vaardigheden en attitudes die in de vorige practica aan bod kwamen te bundelen en jehierin verder bekwamen:

3 probleemoplossende vaardigheden (Practica 2 en 3),

3 mathematiseren (Practica 4 en 6),

3 kritisch evalueren van wiskundige modellen (Practica 4 en 6),

3 logisch redeneren en argumenteren (Practicum 7),

3 zin voor samenwerking en overleg (Practica 1, 2, 3, 4, 6 en 7),

3 wiskundige taalvaardigheid (Practica 4, 5 en 6).

De specifieke eindtermen voor de studierichtingen van de derde graad ASO met component wiskunde (6 tot 8 wekelijkselestijden wiskunde) bevatten drie eindtermen die onder de noemer ‘onderzoekscompetenties’ worden gecatalogeerd[34, p.77]:

OC1 Zich orienteren op een onderzoeksprobleem door gericht informatie te verzamelen, te ordenen en te bewerken.

OC2 Een onderzoeksopdracht met een wiskundige component voorbereiden, uitvoeren en evalueren.

OC3 De onderzoeksresultaten en conclusies rapporteren en ze confronteren met andere standpunten.

De eerste eindterm werd gerealiseerd bij de uitvoering van Practicum 1. Daar werd ook gemotiveerd waarom we hetverzamelen, ordenen en bewerken van informatie niet meer in bod laten komen in deze en volgende onderzoeksop-drachten. In dit practicum komt de tweede eindterm aan bod, de derde eindterm is voor volgende practica.

onderzoekscompetenties

verzamelenordenenbewerken

︸︷︷

competentie 1

voorbereiden

uitvoeren

evalueren

︸︷︷

︸competentie 2

rapporterenconfronteren ︸

︷︷︸ competentie 3

1“What is good education? Systematically giving opportunity to the student to discover things by himself.”

Pr-31

Page 94: Deel Portfolio wiskunde, Deel Problem Solving wiskunde, deel Practicum wiskunde (recto-verso)

Je eerste onderzoeksopdracht kadert in het onderwerp logica, en heeft als bedoeling dat je de techniek van het logischredeneren wat meester wordt. Dat we vooraf zelf een onderzoeksvraag geven, en niet gevraagd wordt om een eigenonderzoeksvraag op te stellen, wordt in Practicum 9 gemotiveerd.

2. Opdracht

3 Voorbereiding Inleiding en onderzoeksopdracht lezen tegen . . . . . . . . . . . . (datum invullen).

3 Practicum (1 les, thuis afwerken) Je beantwoord de onderzoeksvraag op de volgende pagina. Deze opdrachtvoer je individueel uit.

3 Verslag Je verslag bestaat uit de zes bewijzen. Let erop dat je je bewijzen in dezelfde stijl als de tweemodelvoorbeelden schrijft. Pagina’s onderaan nummeren. Het verslag voeg je in deze practicum bundel.

3 Practicum indienen Op . . . . . . . . . . . . (datum invullen).

Onderzoeksopdracht - Logische wetten bewijzen met interferentieregels2

Logische wetten zijn tautologien van de vorm �⇒ 4, waarbij � staan voor een aantal uitspraken A,B,C, . . . (gege-vens, ook wel premissen genoemd, genoteerd als PREM), en 4 een uitspraak die hieruit volgt (conclusie genoemd).Meestal vervangt men dan het symbool voor implicatie ⇒ door het symbool `. Men schrijft dus � ` 4. We geveneen overzicht van de meest courante interferentieregels die gebruikt worden om logische wetten te bewijzen. Elk vandeze kunnen aangetoond worden met behulp van een waarheidstabel.

naam logische wet afkorting

modus ponens A⇒ B,A ` B MP

conjunctie A,B ` A ∧B CONJ

simplificatie A ∧B ` AA ∧B ` B SIM

additie A ` A ∨BB ` A ∨B ADD

dilemma A ∨B,A⇒ C,B ⇒ C ` C DIL

introductie van degelijkwaardigheid

A⇒ B,B ⇒ A ` A⇔ B GI

eliminatie van degelijkwaardigheid

A⇔ B ` A⇒ BA⇔ B ` B ⇒ A

GE

dubbele negatie ¬(¬A) ` A DN

reductio ad absurdum A⇒ B,A⇒ (¬B) ` ¬A RAA

Modelvoorbeeld 1. Als eerste voorbeeld van een bewijs met behulp van deze interferentieregels beschouwen we eeneenvoudig bewijs van de logische wet P ∧Q,P ⇒ R ` R.

P ∧Q,P ⇒ R ` R1 P ∧Q PREM

2 P ⇒ R PREM

3 P 1; SIM

4 R 2,3;MP

Het eigenlijke bewijs wordt gevormd door de uitspraken in de tweede kolom. De nummers uit de eerste kolom gebruikenwe om te verwijzen naar de uitspraken uit de tweede kolom; de verantwoording daarvoor staat in de derde kolom. Weoverlopen het bewijs.

1,2 We schrijven de gegevens (ook wel premissen genoemd).

3 We schrijven een uitspraak die volgt uit 1 door de interferentieregel SIM (simplificatie).

4 We schrijven een uitspraak die volgt uit 2 en 3 door de regel MP (modus ponens). Let even op volgende afspraak:in de derde kolom van lijn 4 staat een komma tussen de nummers van de uitspraken waaruit R werd afgeleid,en een kommapunt tussen de nummers en de naam van de regel waaruit R uit die uitspraken volgt.

2De voorbeelden uit deze onderzoeksopdracht werden ontleend aan D. Batens, Logicaboek: praktijk en theorie van het redeneren,Antwerpen - Apeldoorn Garant, zevende druk (2008).

Pr-32

Page 95: Deel Portfolio wiskunde, Deel Problem Solving wiskunde, deel Practicum wiskunde (recto-verso)

De lijnen 1-4 tonen aan dat we uit de gegevens P ∧Q en P ⇒ R de R kunnen afleiden. Zo hebben we de logische wetP ∧Q,P ⇒ R ` R bewezen.

Modelvoorbeeld 2. In het vorige bewijs werden eerst de premissen neergeschreven en werden daarna stap voor stapinterferentieregels toegepast op uitspraken die in het bewijs voorkomen. Een heel andere en bijzonder interessantebewijsmethode maakt gebruik van zogenaamde subbewijzen. Hier is een voorbeeld:

P ⇒ Q ` (P ∧R)⇒ Q

1 P ⇒ Q PREM

2 P ∧R HYP3 P 2; SIM4 P ⇒ Q 1; REIT5 Q 3,4; MP

6 (P ∧R)⇒ Q 2,5;VB

Laat ons dit even bekijken.

1 We schrijven de premisse op.

2 We veronderstellen P ∧R. Deze stap volgt dus niet uit de premisse, maar is een veronderstelling (ook hypothesegenoemd, genoteerd als HYP). Om dat duidelijk te maken trekken we er een verticale lijn naast. We laten dielijn doorlopen zolang we nagaan wat uit de hypothese volgt.

3 Uit P ∧R volgt P .

4 In een subbewijs mogen we een beroep doen op alle gegevens die beschikbaar waren voor we de hypotheseinvoerden - in dit geval de premisse P ⇒ Q uit lijn 1. We drukken dit uit door P ⇒ Q te reıtereren op lijn4. Reıtereren betekent: iets wat we ter beschikking hebben, binnen het subbewijs halen. We noteren dit metREIT.

5 We passen modus ponens toe.

6 Het subbewijs 2-5 toont aan dat, gegeven de premisse, Q volgt uit P ∧R. Met andere woorden, gegeven P ⇒ Qhebben we getoond: als P ∧ R, dan Q. Dit staat op lijn 6. De regel die we hier gebruiken noemen we eenvoorwaardelijk bewijs, notatie VB.

Onderzoeksvraag Zoek bewijzen met behulp van interferentieregels (dus niet met waarheidstabellen) voor de vol-gende logische wetten.

(a) P ∧Q ` P ∨Q

(b) (P ∨Q)⇒ (R ∧ S), P ` R

(c) ¬(¬P ), (P ∨Q)⇒ R,S ` R ∧ S

(d) P ⇔ Q,Q ∨R,R⇒ P ` P?(e) P ⇒ Q,¬Q ` ¬P?(f) P ⇒ (Q ∧R), P ⇒ ¬R ` ¬P

Pr-33

Page 96: Deel Portfolio wiskunde, Deel Problem Solving wiskunde, deel Practicum wiskunde (recto-verso)

Evaluatieform

ulierPracticum

8D

oel

stel

linge

nB

eoor

del

ing

Com

men

taar

Inhou

del

ijk

Vaa

rdig

hed

en5.Pro

bleemoplossendevaard

igheden.

3Je

kan

een

pro

ble

emon

tdek

ken

enhet

wis

kundig

beh

oor

lijk

stel

len.

3Je

kan

een

pro

ble

eman

alyse

ren

(onder

schei

dm

aken

tuss

enge

geve

nen

gevra

agde,

verb

anden

legg

entu

ssen

de

geg

even

s,et

c.).

3Je

kan

een

pro

ble

emve

rtal

ennaa

ree

npas

send

wis

kundig

model

(mat

hem

atis

eren

).

3Je

kan

zoek

stra

tegi

een

toep

asse

nbij

het

wer

ken

aan

pro

ble

men

,en

daa

rbij

een

pla

nop

stel

len.

3Je

kan

reflec

tere

nop

de

keuze

van

jezo

ekst

rate

giee

nen

jepla

n.

3Je

kan

jere

sult

aten

contr

oler

enop

hun

bet

rouw

baa

rhei

den

volled

ighei

d.

3Je

kan

ICT

-hulp

mid

del

enge

bru

iken

omw

iskundig

ein

form

atie

tever

wer

ken

enw

iskundig

epro

ble

men

teonder

zoek

en.

6.Onderzoeksvaard

igheden

3Je

kan

een

onder

zoek

sop

dra

cht

form

ule

ren

enaf

bak

enen

.

3Je

kan

een

aanpak

pla

nnen

enzo

nodig

opsp

lits

enin

dee

ltak

en.

3Je

kan

info

rmat

iever

wer

ken

enop

rele

vanti

ese

lect

eren

:

.de

waa

rde

van

de

info

rmat

ieb

eoor

del

enin

funct

ieva

nde

opdra

cht;

.de

rela

tie

tuss

enge

geve

ns

enb

ewer

kin

gen

opzo

eken

enin

terp

rete

ren.

3Je

kan

doel

mat

igee

nw

iskundig

model

sele

cter

enof

opst

elle

n:

.ee

non

der

dee

lva

nee

nop

dra

cht

her

kennen

als

een

wis

kundig

ofee

nst

atis

tisc

hpro

ble

em;

.va

stst

elle

nof

een

model

vold

oet

enhet

even

tuee

lbij

stel

len;

.zo

nodig

bij

kom

ende

info

rmat

ieve

rzam

elen

omhet

aange

wez

enm

odel

tekunnen

han

tere

n.

3Je

kan

bij

een

model

de

pas

sende

oplo

ssin

gsm

ethode

corr

ect

uit

voer

en.

3Je

kan

resu

ltat

enbin

nen

de

conte

xt

bet

eken

isge

ven

enze

daa

rin

kri

tisc

hev

aluer

en.

3Je

kan

reflec

tere

nop

het

gehel

epro

ces,

i.h.b

.op

de

gem

aakte

keuze

nvo

orre

pre

senta

tie

enw

erkw

ijze

.

3Je

kan

het

resu

ltaa

tva

nhet

onder

zoek

zinvo

lpre

sente

ren,

het

stan

dpunt

argu

men

tere

nen

vers

lag

uit

bre

ngen

van

het

pro

ces.

Att

itudes

9.Zin

voornauwkeurigheid

en

ord

e.

3Je

heb

tde

gew

oon

teom

na

de

uit

voer

ing

van

een

opdra

cht

teru

gte

kij

ken

als

een

vorm

van

contr

ole,

om

zoto

tnauw

keuri

ge

resu

ltat

ente

kom

en.

3Je

heb

tee

nhou

din

gom

ordel

ijk

ensy

stem

atis

chte

wer

ken

(not

eren

,m

aken

van

oef

enin

gen,

aanpak

ken

van

pro

ble

men

).

12.Zelfvertro

uwen

en

zelfstandigheid.

3Je

toon

tze

lfver

trou

wen

,ze

lfst

andig

hei

d,

door

zett

ings

ver

mog

enen

doel

mat

ighei

dbij

het

aanpak

ken

van

pro

ble

men

enop

dra

chte

n.

3Je

ziet

indat

foute

nm

aken

inher

ent

dee

luit

mak

enva

nhet

leer

pro

ces.

13.Zelfre

gulatie.

3Je

toon

tee

non

der

zoek

sger

ichte

hou

din

gte

naa

nzi

enva

nfe

iten

,op

gave

nen

pro

ble

men

.

3Je

ben

tin

staa

tom

jein

een

oplo

ssin

gspro

ces

teor

iente

ren,

het

pro

ces

tepla

nnen

,het

uit

tevo

eren

enhet

teb

ewake

n.

Pr-

34

Page 97: Deel Portfolio wiskunde, Deel Problem Solving wiskunde, deel Practicum wiskunde (recto-verso)

PRACTICUM 9

ONDERZOEKSOPDRACHT (2)

naam: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . nr: . . . . . . . . . klas: . . . . . . . schooljaar: . . . . . . . . . . . . . .

1. Inleiding

In dit practicum ligt de nadruk op de tweede en de derde onderzoekscompetentie:

OC2 Een onderzoeksopdracht met een wiskundige component voorbereiden, uitvoeren en evalueren.

OC3 De onderzoeksresultaten en conclusies rapporteren en ze confronteren met andere standpunten.

onderzoekscompetenties

verzamelenordenenbewerken

︸︷︷

competentie 1

voorbereiden

uitvoeren

evalueren

︸︷︷

︸competentie 2

rapporteren

confronteren ︸︷︷

︸ competentie 3

Het leerplan onderscheidt volgende fasen in het aanpakken van een onderzoeksopdracht [34, p.77].

(1) De leerling stelt zichzelf een onderzoeksvraag, al of niet vanuit een aangestuurde reeks van mogelijkheden binneneen begeleide aanpak.

(2) De leerling werkt aan een probleemverkenning. Dat betekent: maakt een analyse, probeert het probleem tebegrijpen, te omvatten en om het als dusdanig beter te omschrijven (antwoord op de vraag: weten wat aan tepakken). In deze fase kan al gewerkt worden aan het documenteren van de opdracht, bijv. feitenmateriaal enkennis verzamelen.

(3) De leerling stelt een plan van uitvoering op (antwoord op de vraag: weten hoe het aan te pakken). Dat kaninhouden: het formuleren van deelaspecten, deelopdrachten, maar ook het opstellen van een tijdskader.

(4) De leerling voert het plan uit. Dat kan betekenen: verder documenteren, effectief gegevens verzamelen, effectiefverbanden onderzoeken, de bevindingen verder uitwerken, etc. (antwoord op de vraag: weten waarom het zoaan te pakken).

(5) De leerling formuleert conclusies en legt ze neer in een meestal schriftelijke neerslag. Daarop volgt nog hetterugkijkend reflecteren (weten over weten).

De fasen (2) tot en met (5) zijn een herformulering van het stappenplan voor probleemoplossend denken, en kwamenmeermaals aan bod in de vorige practica. Fase (1) kwam alsnog niet aan bod, en daar is een reden voor. Iedereen diewat ervaren is in het onderzoeken1 van wiskundige problemen komen al snel tot de volgende bevindingen.

3 Om binnen de wiskunde een haalbaar onderzoeksdomein af te bakenen heb je heel wat expertise nodig. Omdathet een onderzoek betreft, gaan we ervan uit dat de onderzoeker niet vertrouwd is met het onderwerp. In dezecontext is het verlangen dat hij of zij een haalbaar tijdsplan opstelt gewoon niet realistisch. Academici vindenhet niet eenvoudig om een eigen onderzoeksvraag op te stellen, dat haalbaar is zowel naar inhoud als naartijdsbesteding. Is het dan wel zinvol dat wij zoiets van leerlingen verwachten?

3 In een onderzoeksopdracht wiskunde wordt de haalbaarheid van een onderzoeksvraag pas duidelijk tij-dens het onderzoek zelf. Net hierin onderscheidt een wiskundig onderzoek zich met een taalkundig of histo-risch onderzoek. Reeds in Practicum 1 haalden we we aan dat bij een wiskundig onderzoek je informatie niet inde eerste plaats uit boeken of het internet haalt, maar genereert door zelf te redeneren.

1We hanteren onze invulling van de term ‘wiskundig onderzoek’ zoals beschreven in de inleiding van Practicum 1.

Pr-35

Page 98: Deel Portfolio wiskunde, Deel Problem Solving wiskunde, deel Practicum wiskunde (recto-verso)

Emil Artin(1898 - 1962)

Deze argumentatie doet ons besluiten dat het vooraf opstellen van een onder-zoeksvraag gewoonweg niet relevant is. Men kan zelfs de omgekeerde conclusietrekken: pas na een uitvoerig onderzoek wordt duidelijk wat een haalbare en zinvolleonderzoeksvraag is. Net het zoeken naar de onderzoeksvraag leidt tot een redenering,die de onderzoeksvraag afbakent. In de wiskunde noemt men dit het formulerenvan een vermoeden. Of, om het in de woorden van de wiskudige Emil Artin tezeggen [2, p.592]:

Our difficulty is not in the proofs, but in learning what to prove.

Gemotiveerd door onze overtuiging durven we fase (1) te vervangen door fase (1’), endaarnaast een extra fase (5bis) toe te voegen.

(1’) De leerling krijgt een vooraf gestelde onderzoeksvraag, al of niet voor-zien van een aantal kleinere vragen die tot de oplossing van de onderzoeksvraagzullen leiden, of vanuit een aangestuurde reeks van mogelijkheden binnen eenbegeleide aanpak. Daarnaast wordt de leerling aangemoedigd om zelf kleinere onderzoeksvragen te formulerenom zo een eigen redenering op touw zetten die de grotere, hier gestelde onderzoeksvraag beantwoordt.

(5bis) De leerling wordt aangemoedigd om een eigen vermoeden te formuleren. Het opstellen van zo’nvermoeden gebeurt op basis van zijn eerder onderzoek, en getuigt van het inzicht die de leerling gedurende zijnonderzoek verworven heeft. De leerling zal zijn vermoeden motiveren door te verwijzen naar aanwijzingen in heteerder onderzoek, en/of een mogelijke aanpak tot het oplossen van zijn vermoeden suggereren.

2. Opdracht

3 Voorbereiding Inleiding en de vier onderzoeksopdrachten lezen tegen . . . . . . . . . . . . (datum invullen).

3 Practicum en verslag (. . . lessen, thuis afwerken) Voor dit practicum werk je in groepen van drie totvier. De leerkracht beslist hoe de opdrachten onder de groepen verdeeld worden. Daarna krijg je de wat meerinformatie over je onderwerp, inclusief enkele onderzoeksvragen (pagina 134 en verder). Jullie eindresultaat iseen verslag dat beantwoord aan de criteria uit Practicum 7. Let hierbij op de aandachtspunten die toen aan bodkwamen en de doelstellingen uit de inleiding:

. niet de kleinere vragen overschrijven en beantwoorden, maar wel een eigen redenering opbouwen, al danniet geınspireerd op die kleinere onderzoeksvragen op de vorige pagina;

. zorg dat jullie verslag vlot leesbaar is (voor een lezer op niveau van het vijfde jaar, zes wekelijkse lestijdenwiskunde);

. op het einde van je opdracht wordt gevraagd een eigen vermoeden te formuleren en te motiveren;

. verslag afsluiten met een toepassing zoals vermeld op de vorige pagina, of een eigen creatieve toepassingkan een meerwaarde zijn, een diepere historische of wiskundige analyse, randinformatie, afbeeldingen enandere relevante creatieve vondsten zijn een bonus.

Het verslag mag handgeschreven zijn, pagina’s onderaan nummeren.

3 Practicum indienen Op . . . . . . . . . . . . (datum invullen). Een groepslid dient zijn/haar practicum bundel in,met daarin het verlag. Je hoeft het verslag dus niet te kopieren.

Onderzoeksopdracht 1 - Verkeerplanning

Voor het aanleggen en het uitbreiden van een wegennet gaan heel wat studies vooraf. Naast praktische overwegingenis het erg belangrijk om een zicht te hebben op de mate waarin het verkeer een vlotte doorstroom kent. Dat doet mendoor een model te maken: voor een gegeven aantal bestuurders op het wegennet probeert men de tijd te berekenendie nodig is om van een punt A naar een punt B te rijden. In deze onderzoeksopdracht beschouwen we enkele eenvou-dige modellen waarin we laten zien hoe je zoiets kan berekenen. Ook voor een groter wegennet zal men gelijkaardigeprincipes hanteren, maar laat men het rekenwerk over aan een computer.

In deze opdracht maken we de volgende vereenvoudigingen.

1. We nemen aan dat op elk moment een constant aantal auto’s auto’s op het wegennet rijden. Dat aantal noterenwe met n. Uiteraard kent zo’n model ook zijn beperkingen, want van zodra n ‘te groot’ wordt, zal het wegennetvolledig dichtgeslipt zijn, zodat er geen doorstroom meer mogelijk is.

2. Elke bestuurder beschikt op elk moment over alle verkeersinformatie van het volledige wegennet, en past dieinformatie ook zelfzuchtig toe. Dus als een bestuurder kan kiezen tussen twee alternatieve routes, dan zal hij ofzij altijd zal kiezen voor de route die het minst tijd kost.

Aan de hand van enkele voorbeelden laten we de belangrijkste principes zien. Daarna ga je zelf aan de slag.

Pr-36

Page 99: Deel Portfolio wiskunde, Deel Problem Solving wiskunde, deel Practicum wiskunde (recto-verso)

Onderzoeksopdracht 2 - Het probleem van Josephus

Flavius Josephus(37 - ±100)

Deze onderzoeksopdracht gaat over een variant van een oud probleem genoemdnaar Josephus, een befaamde historicus uit de eerste eeuw na Christus. Tijdens deJoods-Romeinse oorlog werd hij met 40 andere Joodse rebellen opgesloten in eengrot. De rebellen verkozen zelfmoord boven overgave. Ze beslisten om in een kring tegaan staan en elke derde persoon te vermoorden tot niemand meer overbleef. MaarJosephus en een andere persoon hadden het niet zo begrepen op deze eliminatie, en- zo gaat de legende - bedachten een manier hoe zij als laatsten konden overblijvenom zich nadien aan de Romeinen over te geven.

In onze variant gaan we ervan uit dat er n personen in een kring staan. Om hetprobleem van Josephus wat eenvoudiger te maken spreken we in een eerste onder-zoeksvraag af dat elke tweede persoon in de cirkel vermoord wordt.

Onderzoeksopdracht 3 - Omtrek, oppervlakte, dimensie van een fractaal

Mandelbrot verzameling

Een fractaal is een verzameling van punten in het vlak die voldoet aan de eigenschapschaalinvariantie, dat wil zeggen de figuur ziet er steeds ‘van hetzelfde type’ uit,ongeacht in welk punt (en hoeveel) je inzoomt. Zo is bijvoorbeeld een lijnstuk eenfractaal, want ongeacht in welk punt we inzoomen, de figuur heeft steeds dezelfdevorm.

Over fractalen werd reeds in de 17de eeuw gefilosofeerd, maar het wachten op KarlWeierstrass die in 1872 een eerste voorbeeld van een niet-triviale fractaal gaf. Eensdeze figuren gevisualiseerd konden worden dankzij computers, werden ze een echtehype. De term fractaal werd geıntroduceerd in 1975 door Benoıt Mandelbrot enis afgeleid van het Latijnse fractus (gebroken). Niet-triviale fractalen zijn bijvoorbeeldde Mandelbrot verzameling en de Julia verzameling. Zoek op het internet afbeeldingen van deze fractalen. Het film-pje op de link http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/e9/Fractal-zoom-1-15-rupture.ogg laatzien dat in sommige fractalen motieven voorkomen die zich op steeds kleinere schaal herhalen.

In deze opdracht werken we met twee fractalen: de driehoek van Sierpinski en de sneeuwvlok van Koch. Daarna latenwe zien hoe je kan spreken over de dimensie van een fractaal.

Onderzoeksopdracht 4 - Winnende strategieen

Een kansspel is een spel waar winst of verlies wordt bepaald door toeval, bijvoorbeeldhet spelen van een krasspel of een deelname aan de lotto. In deze onderzoeksopdrachthebben we het niet over kansspellen maar over wiskundige spellen met twee spelers,waar de winst of het verlies van een speler enkel afhangt van de beslissingen die beidespelers tijdens het spel nemen. Voor zo’n wiskundig spel is een van de belangrijkstevragen of er een winnende strategie bestaat: een stappenplan zodat een speler,ongeacht de beslissingen van de andere speler, het spel gegarandeerd wint. Bestaater zo’n winnende strategie, en zijn beide spelers hiervan op de hoogte, dan is deuitkomst van het spel afhankelijk van wie het spel als eerste begint. We noemeneen spelsituatie winnend als de eerstvolgende speler die aan zet is gegarandeerd wint indien hij zo’n winnende strategietoepast. Een spelsituatie is verliezend als de eerstvolgende speler die aan zet is gegarandeerd verliest indien de tegen-speler zo’n winnende strategie toepast. De tak van de wiskunde die zich met het bestaan van winnende strategieen ende beslisbaarheid van winnende en verliezende spelsituaties bezig houdt, is de zogenaamde speltheorie.

In wat volgt bespreken we het spel Nim, waarin we laten zien dat een winnende strategie afhangt van de beginsituatie.Is die beginsituatie gunstig, en past de speler die het eerst aan zet is deze strategie toe, dan wint hij/zij gegarandeerdhet spel. Is de beginsituatie ongunstig, en past de tweede speler die aan zet is zijn/haar strategie toe, dan verliest deeerste speler gegarandeerd.

In de onderzoeksvraag hebben we het over een ander spel, waarbij het bestaan van zo’n winnende strategie ook afhangtvan de beginsituatie.

Pr-37

Page 100: Deel Portfolio wiskunde, Deel Problem Solving wiskunde, deel Practicum wiskunde (recto-verso)

Evaluatieform

ulierPracticum

9D

oel

stel

linge

nB

eoor

del

ing

Com

men

taar

Inhou

del

ijk

Vaa

rdig

hed

en4.Denk-en

redeneerv

aard

igheden.

3Je

kan

het

onder

schei

dm

aken

tuss

enhoof

d-

enbij

zake

n,

gege

ven

enge

vra

agde,

gege

ven

ente

bew

ijze

n.

3Je

ben

tin

staa

tee

nre

den

erin

gof

argu

men

teri

ng

bij

een

eige

nsc

hap

teb

egri

jpen

.

3Je

kan

een

gege

ven

reden

erin

gop

haa

rge

ldig

hei

don

der

zoek

en.

3Je

kan

een

reden

erin

gof

argu

men

teri

ng

bij

een

eige

nsc

hap

ofde

oplo

ssin

gva

nee

npro

ble

emopb

ouw

en:

.je

kan

een

ver

moed

enfo

rmule

ren

enar

gum

ente

ren;

.je

kan

een

eige

nsc

hap

form

ule

ren

opbas

isva

nee

non

der

zoek

opee

naa

nta

lvo

orb

eeld

en;

.je

kan

bij

het

opb

ouw

enva

nee

nre

den

erin

gee

nIC

T-h

ulp

mid

del

gebru

iken

.

6.Onderzoeksvaard

igheden

3Je

kan

een

onder

zoek

sop

dra

cht

form

ule

ren

enaf

bak

enen

.

3Je

kan

een

aanpak

pla

nnen

enzo

nodig

opsp

lits

enin

dee

ltak

en.

3Je

kan

info

rmat

iever

wer

ken

enop

rele

vanti

ese

lect

eren

:

.de

waa

rde

van

de

info

rmat

ieb

eoor

del

enin

funct

ieva

nde

opdra

cht;

.de

rela

tie

tuss

enge

geve

ns

enb

ewer

kin

gen

opzo

eken

enin

terp

rete

ren.

3Je

kan

doel

mat

igee

nw

iskundig

model

sele

cter

enof

opst

elle

n:

.ee

non

der

dee

lva

nee

nop

dra

cht

her

kennen

als

een

wis

kundig

ofee

nst

atis

tisc

hpro

ble

em;

.va

stst

elle

nof

een

model

vold

oet

enhet

even

tuee

lbij

stel

len;

.zo

nodig

bij

kom

ende

info

rmat

ieve

rzam

elen

omhet

aange

wez

enm

odel

tekunnen

han

tere

n.

3Je

kan

bij

een

model

de

pas

sende

oplo

ssin

gsm

ethode

corr

ect

uit

voer

en.

3Je

kan

resu

ltat

enbin

nen

de

conte

xt

bet

eken

isge

ven

enze

daa

rin

kri

tisc

hev

aluer

en.

3Je

kan

reflec

tere

nop

het

gehel

epro

ces,

i.h.b

.op

de

gem

aakte

keuze

nvo

orre

pre

senta

tie

enw

erkw

ijze

.

3Je

kan

het

resu

ltaa

tva

nhet

onder

zoek

zinvo

lpre

sente

ren,

het

stan

dpunt

argu

men

tere

nen

vers

lag

uit

bre

ngen

van

het

pro

ces.

Att

itudes

10.Zin

voorkwaliteit

van

dewiskundigere

pre

senta

tie.

Je

heb

tde

gew

oon

teom

jege

dac

hte

nb

ehoor

lijk

teve

rwoor

den

,en

de

voor

-en

nad

elen

van

een

bep

aald

ew

erkw

ijze

teb

espre

ken

.

11.Kritischezin.

Je

heb

tde

hou

din

gom

ber

eken

inge

n,

bew

erin

gen,

argu

men

teri

nge

nen

reden

erin

gen

nie

tzo

maar

teaa

nva

arden

enov

erte

nem

en.

13.Zelfre

gulatie.

3Je

toon

tee

non

der

zoek

sger

ichte

hou

din

gte

naa

nzi

enva

nfe

iten

,op

gave

nen

pro

ble

men

.

3Je

ben

tin

staa

tom

jein

een

oplo

ssin

gspro

ces

teor

iente

ren,

het

pro

ces

tepla

nnen

,het

uit

tevo

eren

enhet

teb

ewake

n.

15.W

aard

eringvoordewiskunde.

Je

toon

tin

zich

tin

de

bij

dra

geva

nde

wis

kunde

incu

lture

le,

his

tori

sche

enw

eten

schap

pel

ijke

ontw

ikke

lingen

.

Pr-

38

Page 101: Deel Portfolio wiskunde, Deel Problem Solving wiskunde, deel Practicum wiskunde (recto-verso)

PRACTICUM 10

ONDERZOEKSOPDRACHT (3)

naam: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . nr: . . . . . . . . . klas: . . . . . . . schooljaar: . . . . . . . . . . . . . .

1. Inleiding

In dit practicum ligt de nadruk op de tweede en de derde onderzoekscompetentie.

onderzoekscompetenties

verzamelenordenenbewerken

︸︷︷

competentie 1

voorbereiden

uitvoeren

evalueren

︸︷︷

︸competentie 2

rapporteren

confronteren ︸︷︷

︸ competentie 3

Deze onderzoeksopdracht is de grootste onderzoeksopdracht uit je practicum wiskunde. Het is de bedoeling datjullie een echt wiskundig onderzoek uitvoeren, en jullie bevindigen rapporteert in een verslag (werkstuk). In debeschrijving van de opdracht krijg je enkele vragen die je kunnen helpen om het onderwerp te onderzoeken. Hierbij ishet noodzakelijk om alle verworven competenties uit de vorige practica te bundelen.

2. Afspraken en tips

Om het denkwerk te verrichten beschik je over een aantal lesuren verspreid over een week. Daarna heb je nog vol-doende tijd om het verslag af te werken. Wellicht zal het nodig zijn om je gedurende die tijd nog enkele keren met jegroep samen te komen.

Daarna volgt er een verdediging. Tijdens een les komt elke groep beurtelings bij de leerkracht (ongeveer 10 minuten).Groepen die niet aan de beurt zijn werken verder aan opgegeven oefeningen.

Richtlijnen bij het onderzoek

3 Opgaven en deeltaken hangen nauw samen. Lees eerst de hele opgave goeddoor. Werk je in groep in, en maak daarna een taakverdeling.

3 Bij het oplossen van problemen kun je terugvallen op de vier stappen uit Prac-ticum 1: Probleemoplossend denken (zie pagina 5): het probleem begrijpen,zoekstrategieen bedenken en een plan opstellen, het plan uitvoeren, controle-ren.

3 Bespreek je werk op meerdere momenten in groep. Herzie eventueel je planning.

3 Ervaring wijst uit dat leerlingen het moeilijk hebben om tot veralgemenin-gen te komen. Veel groepen kijken daarenboven onvoldoende kritisch naar eengevonden resultaat. Tracht een vermoeden ook ten gronde te bewijzen.

3 De leerkracht heeft niet als taak vragen van leerlingen te beantwoorden en zo het denkwerk in hun plaats uit tevoeren. De leerkracht heeft enkel de taak om de teams gemotiveerd te houden. Opvragen van formules aan deleerkracht kan wel (databank-functie). Om je de kans te geven informatie op te zoeken kan de leerkracht enkeleboeken, cursussen of het internet ter beschikking stellen.

Pr-39

Page 102: Deel Portfolio wiskunde, Deel Problem Solving wiskunde, deel Practicum wiskunde (recto-verso)

Richtlijnen bij het verslag

3 Begin tijdig aan het verslag, je hoeft niet te wachten tot alle lesuren om zijn. Start met het maken van eenstructuur (of ‘kapstok’): welke onderverdelingen bespreek je in het hoofddeel van het verslag?

3 Voor je verslag pas je de structuur, richtlijnen bij wiskundig schrijven en schrijftips uit Practicum 7 toe(zie pagina 25).

3 Let erop dat het verslag geen opeenvolging is van ‘antwoorden op de vraagjes’. Het kan zijn dat jebeter begint met de laatste opgave of een meer ingewikkelde opgave waarvan de vorige vragen een onderdeelvormen. Denk aan de a,b,c,. . . vraagjes die bij een toets op examen vaak bedoeld zijn om je naar het grotereprobleem te gidsen.

3 Het is van groot belang dat het verslag helder leesbaar is. Het is niet altijd eenvoudig om in iemands redeneringte komen. Voor de beoordelaar is het erg belangrijk dat de stappen voldoende uitgewerkt en toegelicht zijn.

3 De leerkracht kan de mogelijkheid geven om - bij wijze van illustratie - werkstukjes van vorige jaren in te kijken(uiteraard handelen die over een ander onderwerp).

3. Opdracht

3 Voorbereiding Inleiding, afspraken en tips en opdracht lezen tegen . . . . . . . . . . . . (datum invullen).

3 Practicum en verslag (. . . lessen, thuis afwerken) Voor dit practicum werk je in groepen van vier. In hetbegin van de eerste les krijg je een bundel die het onderwerp en de onderzoeksopdracht beschrijft (pagina’s 142tot en met 145). Tijdens de lessen voer je het onderzoek uit. Het eindresultaat is een werkstuk waarin je hetonderwerp behandelt.

. Typen mag, maar hoeft niet (een getypt verslag kan een meerwaarde zijn). In elk geval nummer je debladen onderaan in het midden.

. Een diepere historische of wiskundige analyse, afbeeldingen, randinformatie en andere relevante creatievevondsten zijn een bonus.

. Per groep een verslag indienen. Het verslag zal verbeterd en gekopieerd worden door de leerkracht.

3 Practicum indienen Op . . . . . . . . . . . . (datum invullen). Een groepslid dient zijn/haar practicum bundel in,met daarin het verlag. Je hoeft het verslag dus niet te kopieren.

3 Verdediging per groep Op . . . . . . . . . . . . (datum invullen).

Pr-40

Page 103: Deel Portfolio wiskunde, Deel Problem Solving wiskunde, deel Practicum wiskunde (recto-verso)

Evaluatiepunten

A.Opbouw

01

23

45

Tit

el,

sam

envatt

ing,

inh

ou

dst

afe

l,in

leid

ing

en

refe

renti

elijs

tD

ele

zer

moet

uit

de

tite

lon

mid

del

lijk

het

onder

wer

pva

nhet

ver

slag

kunnen

hal

en.

De

sam

enva

ttin

gva

nee

nve

rsla

gge

eft

een

over

zich

tva

nhet

onder

zoek

,het

bel

ang

van

het

onder

zoek

enw

atje

eruit

concl

udee

rt.

Inde

inle

idin

gw

ordt

eers

thet

onder

wer

pof

jepro

ble

emst

elling

verd

uid

elij

kt,

enw

ijs

jeop

de

sam

enhan

gtu

ssen

de

hoof

dst

ukke

n.

©©

©©

©©

Hoofd

deel

en

besl

uit

Inhet

hoof

ddee

lst

aan

nie

tal

leen

de

antw

oor

den

opde

gest

elde

vra

gen.

Voor

alm

oet

jede

gev

oer

de

reden

erin

gdie

achte

rel

kan

twoor

dsc

huilt,

wee

rgev

en.

Inhet

bes

luit

grij

pje

teru

gnaa

rje

pro

ble

emst

elling

ofon

der

zoek

svra

aguit

de

inle

idin

g,

engee

fje

aan

opw

elke

man

ier

enin

hoev

erre

jege

slaa

gdb

ent

inje

opze

t.H

ier

hor

enook

ver

gelijk

inge

nm

etge

kende

resu

ltat

en,

opm

erkin

gen

over

met

hodie

k,

teko

rtko

min

gen

ofsu

gges

ties

thuis

.

©©

©©

©©

Tota

al

opb

ouw

:..

./

10

B.In

houd

Doelg

roep

Het

niv

eau

van

het

vers

lag

isgo

edaf

gest

emd

opee

nle

zer

met

wis

kundig

eke

nnis

opniv

eau

van

jouw

studie

rich

ting,

maar

die

het

onder

wer

pen

de

opdra

cht

nie

tke

nt.

Nee

mge

ente

grot

eden

ksp

ronge

n,

maa

rw

eidt

ook

nie

tuit

over

evid

ente

zake

n.

©©

©©

©©

Held

er

en

du

idelijk

Het

vers

lag

is‘g

emak

kelijk

’te

leze

n.

De

leze

rka

nb

egri

jpen

wat

jij

tera

pp

orte

ren

heb

t,en

kan

de

aandach

tbij

het

onder

wer

phou

den

door

geen

nutt

eloz

eaa

ndac

ht

teb

este

den

aan

het

ontr

afel

enva

nee

nsl

echt

opge

bouw

de

zin

ofre

den

erin

g.

©©

©©

©©

Sch

rijf

stij

lH

etve

rsla

gis

geen

opee

nvo

lgin

gva

n‘a

ntw

oor

den

opde

vra

agje

s’,

en‘g

egev

en,

gevra

agd,

oplo

ssin

g’.

Dat

beh

oort

enke

lto

thet

voor

ber

eiden

dw

erk.

Het

vers

lag

zelf

gebru

ikt

een

ander

ein

vals

hoek

.D

epro

ble

emst

elling

isve

rwer

kt

inde

tekst

©©

©©

©

Een

goed

ezin

sbouw

en

corr

ect

Ned

erl

an

ds

zorg

envo

oree

ngo

edle

esbar

ete

kst

.E

enw

eten

schap

pel

ijk

vers

lag

isaller

min

stee

nop

eenvo

lgin

gva

nfo

rmule

s,cr

ypti

sche

codet

aal,

tab

elle

nen

figu

ren.

Ook

de

ver

ban

den

tuss

ende

zinnen

moet

envo

ldoen

de

hel

der

zijn

©©

©©

©

Less

ism

ore

Onth

oud

dat

jeke

nnis

het

bes

tka

nov

erbre

nge

ndoor

een

hel

der

enb

ondig

vers

lag,

dat

leid

tto

thet

opw

ekke

nva

nin

tere

sse

bij

de

leze

r,w

aarn

ahij

zich

acti

efka

nin

leve

nin

het

pro

ble

em.

©©

©©

©©

Maak

jevers

lag

effi

cie

nt

Geb

ruik

jein

jeve

rsla

gfigu

ren,

dan

verw

ijs

jeook

inde

tekst

naa

rdez

efigu

ren,

leg

jeuit

hoe

jedez

eb

ekom

ten

wat

eruit

afte

leid

enva

lt.

©©

©©

©©

Lay-o

ut

Je

heb

taa

ndac

ht

bes

teed

aan

de

lay-o

ut

van

het

ver

slag

.E

enuit

geti

kt

vers

lag

isge

enve

rplich

ting,

wel

een

mee

rwaard

e.N

oodza

kelijk

isdat

de

gebru

ikte

figu

ren

vol

doen

de

duid

elij

kaf

geb

eeld

zijn

©©

©©

©

Wees

cre

ati

ef

en

ori

gin

eel

Zo

kan

jeje

vers

lag

onder

schei

den

van

een

gem

iddel

de

tekst

over

dat

onder

wer

p.

Leg

een

nie

tvo

or

de

hand

liggen

de

link,

nee

mhis

tori

sche

asp

ecte

nop

,b

eden

kee

nre

leva

nte

toep

assi

ng.

Over

dri

jfec

hte

rnie

t:je

ver

slag

isin

de

eers

tepla

ats

een

zake

lijk

ete

kst

©©

©©

©

Tota

al

inhoud:

...

/40

C.Verd

ediging

Sti

jlB

ijde

verd

edig

ing

geef

jeen

kel

antw

oor

den

opde

gest

elde

vra

gen.

Dat

doe

jein

het

alge

mee

nN

eder

lands,

enop

een

hel

der

een

bek

nopte

man

ier.

Zor

gdat

jehet

volled

ige

vers

lag

beh

eers

t.D

atee

nan

der

groep

slid

de

onder

vra

agde

pas

sage

gesc

hre

ven

hee

ft,

isgee

nex

cuus.

©©

©©

©©

Inh

ou

dZ

org

dat

jeov

ertu

igd

ben

tva

nje

antw

oor

d.

Je

atti

tude

‘kri

tisc

he

zin’

spee

lthie

ree

ngr

ote

rol.

Rad

ennaa

rde

oplo

ssin

gis

uit

den

boze

:ke

nje

een

antw

oor

dnie

t,dan

geef

jedat

ook

toe.

Dat

wee

rdhou

dt

jenie

tom

na

teden

ken

omto

chm

etee

ngo

edan

twoord

voor

de

dag

teko

men

©©

©©

©

Tota

al

verd

edig

ing:

...

/10

Tota

al:

...

/60

Pr-

41

Page 104: Deel Portfolio wiskunde, Deel Problem Solving wiskunde, deel Practicum wiskunde (recto-verso)

Evaluatieform

ulierPracticum

10D

oel

stel

linge

nB

eoor

del

ing

Com

men

taar

Inhou

del

ijk

Vaa

rdig

hed

en4.

Den

k-

en

red

en

eerv

aard

igh

ed

en

.

3Je

kan

het

onder

schei

dm

aken

tuss

enhoof

d-

enbij

zake

n,

gege

ven

enge

vra

agde,

gege

ven

ente

bew

ijze

n.

3Je

ben

tin

staa

tee

nre

den

erin

gof

argu

men

teri

ng

bij

een

eige

nsc

hap

teb

egri

jpen

.

3Je

kan

een

gege

ven

reden

erin

gop

haa

rge

ldig

hei

don

der

zoek

en.

3Je

kan

een

reden

erin

gof

argu

men

teri

ng

bij

een

eige

nsc

hap

ofde

oplo

ssin

gva

nee

npro

ble

emopb

ouw

en:

.je

kan

een

ver

moed

enfo

rmule

ren

enar

gum

ente

ren;

.je

kan

een

eige

nsc

hap

form

ule

ren

opbas

isva

nee

non

der

zoek

opee

naa

nta

lvo

orb

eeld

en;

.je

kan

bij

het

opb

ouw

enva

nee

nre

den

erin

gee

nIC

T-h

ulp

mid

del

gebru

iken

.

6.

On

derz

oeksv

aard

igh

ed

en

3Je

kan

een

onder

zoek

sop

dra

cht

form

ule

ren

enaf

bak

enen

.

3Je

kan

een

aanpak

pla

nnen

enzo

nodig

opsp

lits

enin

dee

ltak

en.

3Je

kan

info

rmat

iever

wer

ken

enop

rele

vanti

ese

lect

eren

:

.de

waa

rde

van

de

info

rmat

ieb

eoor

del

enin

funct

ieva

nde

opdra

cht;

.de

rela

tie

tuss

enge

geve

ns

enb

ewer

kin

gen

opzo

eken

enin

terp

rete

ren.

3Je

kan

doel

mat

igee

nw

iskundig

model

sele

cter

enof

opst

elle

n:

.ee

non

der

dee

lva

nee

nop

dra

cht

her

kennen

als

een

wis

kundig

ofee

nst

atis

tisc

hpro

ble

em;

.va

stst

elle

nof

een

model

vold

oet

enhet

even

tuee

lbij

stel

len;

.zo

nodig

bij

kom

ende

info

rmat

ieve

rzam

elen

omhet

aange

wez

enm

odel

tekunnen

han

tere

n.

3Je

kan

bij

een

model

de

pas

sende

oplo

ssin

gsm

ethode

corr

ect

uit

voer

en.

3Je

kan

resu

ltat

enbin

nen

de

conte

xt

bet

eken

isge

ven

enze

daa

rin

kri

tisc

hev

aluer

en.

3Je

kan

reflec

tere

nop

het

gehel

epro

ces,

i.h.b

.op

de

gem

aakte

keuze

nvo

orre

pre

senta

tie

enw

erkw

ijze

.

3Je

kan

het

resu

ltaa

tva

nhet

onder

zoek

zinvo

lpre

sente

ren,

het

stan

dpunt

argu

men

tere

nen

vers

lag

uit

bre

ngen

van

het

pro

ces.

Att

itudes

10.

Zin

voor

kw

alite

itvan

de

wis

ku

nd

ige

rep

rese

nta

tie.

Je

heb

tde

gew

oon

teom

jege

dac

hte

nb

ehoor

lijk

teve

rwoor

den

,en

de

voor

-en

nad

elen

van

een

bep

aald

ew

erkw

ijze

teb

espre

ken

.

11.

Kri

tisc

he

zin

.Je

heb

tde

hou

din

gom

ber

eken

inge

n,

bew

erin

gen,

argu

men

teri

nge

nen

reden

erin

gen

nie

tzo

maar

teaa

nva

arden

enov

erte

nem

en.

14.

Zin

voor

sam

enw

erk

ing

en

overl

eg.

3Je

ziet

indat

jem

ogel

ijkhed

enve

rgro

otw

orden

door

het

sam

enw

erke

nm

etan

der

en.

3Je

toon

tap

pre

ciat

ievo

oree

nan

der

eop

loss

ing

ofaa

npak

.

Evaluatiepunten:

zievorigepagina

Pr-

42

Page 105: Deel Portfolio wiskunde, Deel Problem Solving wiskunde, deel Practicum wiskunde (recto-verso)

PRACTICUM 11

ZELFSTANDIG OEFENINGEN MAKEN MET OPLOSSINGSSLEUTELS

naam: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . nr: . . . . . . . . . klas: . . . . . . . schooljaar: . . . . . . . . . . . . . .

1. Inleiding1

In dit practicum maak je zelfstandig oefeningen tijdens de les, waarbij je gebruikmaakt van oplossingssleutels. Dat lijkt erg handig, maar je moet er wel verstandigmee omgaan. Dat kan het beste als volgt.

Ga ervan uit dat je het meeste leert door zelf de oefeningen uit de cursus te maken.Van de fouten die je daarbij maakt, leer je veel over de leerstof en over jezelf. Maakdie fouten dan ook eerst en bekijk pas daarna de oplossingen of oplossingssleu-tels. Lees dus nooit de oplossingen van tevoren door, want dan leer je zelf niet genoeg.

De modelvoorbeelden uit de cursus laten je zien hoe de aanpak, oplossingsroute(recept) en uitwerkingen van een type oefening er uit zien. Bij het herhalen van je les

wiskunde (elke dag!) bekijk je die voorbeelden dus goed en ga je bij elke stap na of je begrijpt waarom juist die stapgezet wordt.

2. Opdracht

3 Voorbereiding Inleiding en opdracht lezen tegen . . . . . . . . . . . . (datum invullen).

3 Practicum (1 les, thuis afwerken) Tijdens de les maak je zelfstandig de reeks oefeningen op pagina 148uit Deel Integralen (bepaalde integralen). Je doet dat aan de hand van de oplossingssleutels op de volgendepagina’s.

3 Verslag Je schrijft je oplssingen op cursusbladen, elke opgave start op een nieuw cursusblad. Je volgt devolgende structuur:

. “Oefening” met nr. opschrijven,

. “Oplossing”.

Het is belangrijk dat je je uitwerking op een duidelijke manier opschrijft, zodat iemand anders je oplossing vlotkan lezen.

3 Practicum indienen Op . . . . . . . . . . . . (datum invullen). Op het einde van de les.wordt gezegd welke van devier reeksen oefeningen moet indienen. Dat cursusblad voeg je in deze practicumbundel. Nummer die paginaonderaan in het midden (eventuele volgende pagina’s nummeren met 2, 3, etc.). De overige drie oefeningen hoefje niet af te geven. Die kun je later zelf verbeteren.

1Gebaseerd op de studiewijzer uit R.B.J. Pijlgroms, W.V. Smeets, J.L. Walter, T.M. van Pelt, wiskunde voor het hoger onderwijs:uitwerkingen, Noordhoff Uitgevers (2009).

Pr-43

Page 106: Deel Portfolio wiskunde, Deel Problem Solving wiskunde, deel Practicum wiskunde (recto-verso)

Oefeningen - Oplossingssleutels

Oefening 1. Bereken algebraısch de term in de gevraagde Riemann-som, en duid deze aan op een schets:

f(x) =1

xvierde term in de rij van de linkersommen over interval [a, b] = [1, 2]

Oplossingssleutel.

(i) Maak eerst een schets van de grafiek van f .Omdat [a, b] = [1, 2], kun je je voor het tekenen van de x-as beperken tot het interval [−1, 4] of zelfs [0, 3].

(ii) Er is gevraagd om een vierde term in een rij van Riemann-sommen te berekenen.Je moet het interval [1, 2] dus verdelen in vier lijnstukken van gelijke lengte.Dat wordt dus: [1; 1, 25], [1, 25; 1, 5], [1, 5; 1, 75] en [1, 75; 2].

(iii) Op elk van de vier deelintervallen teken je nu een rechthoek.Linkersom betekent: de hoogte van zo’n rechthoek is de functiewaarde van het getal links in het interval.Dus de eerste rechthoek heeft als basis [1; 1, 25] en als hoogte f(1).

(iv) Bereken nu de Riemann-som R4 met behulp van de formule op pagina 149 (XI-7 midden):

R4 = f(1) · (1, 25− 1) + . . .

(v) Controleer nadien je uitkomst met je grafische rekenmachine (bijvoorbeeld met het programma2 curvatur).

Oefening 2. Gegeven is de grafiek van de functie f(x) = ex.

(a) Welke bijzondere soort Riemann-som (bovensom, ondersom, linkersom, rechtersom of middensom) is aangeduid?

(b) Bepaal algebraısch de waarde van de aangeduide oppervlakte .

1

2

3

4

1 2 3 4−1

y

x

y = ex

Oplossingssleutel.

(a) (i) De hoogte van elke rechthoek is de functiewaarde van een bepaalde x-waarde.Welke x-waarde neemt men telkens?

(ii) Opgelet: misschien zijn er wel meerdere mogelijkheden voor je antwoord op vraag (a).

(b) (i) Van elke rechthoek bereken je de oppervlakte.Nadien tel je die oppervlaktes op.

(ii) De basis van elke rechthoek is 0, 5.De hoogte is telkens de functiewaarde van een bepaalde x-waarde: f(−1), f(−0, 5), etc.

(iii) Om f(−1), f(−0, 5), etc. te berekenen: gebruik dat f(x) = ex.

(iv) Denk er aan dat men vraagt om de waarde algebraısch te bepalen.Je moet dus de exacte waarde geven.Zo stelt bijvoorbeeld

√2 een exacte waarde voor, en 1, 41 . . . slechts de decimale voorstelling van

√2.

(v) Controleer nadien je uitkomst met je grafische rekenmachine (bijvoorbeeld met het programma curvatur).

2Niet standaard voorzien. Gratis downloaden kan via http://www.ticalc.org/archives/files/fileinfo/442/44250.html .

Pr-44

Page 107: Deel Portfolio wiskunde, Deel Problem Solving wiskunde, deel Practicum wiskunde (recto-verso)

Oefening 3. Bereken telkens met behulp van je grafische rekenmachine de volgende bepaalde integralen, en maakeen schets waarop je de meetkundige betekenis aanduidt.

(a)

∫ 1

−1x3dx

(b)

∫ 2

−12xdx

(c)

∫ π4

0

tanxdx

Aanwijzing. Indien we enkel interesse hebben in de bepaalde integraal (getal) en niet in de visuele voorstelling ervan,kunnen als volgt te werk gaan

MATH 9:fnInt fnInt(f(x),x,a,b)

Oplossingssleutel.

(a) (i) Volg de stappen in bovenstaande schermafdrukken om de bepaalde integraal te berekenen.

(ii) f(x) = x3 is een elementaire functie, er wordt dus verwacht dat je de grafiek van die functie zonder grafischerekenmachine kan schetsen.

(iii) Duid in je schets van de grafiek van f de relevante georienteerde oppervlakte aan.

(iv) Wees nauwkeurig: bij je schets de assen benoemen, grafiek benoemen, en de meetkundige betekenis ookaanduiden. Dat laatste kan met behulp van Romeine cijfers.

(b) Analoog aan (a).

(c) Analoog aan (a). De functie in het integrandum is een goniometrische functie, dus zorg ervoor dat je grafischerekenmachine “in radialen staat”, via mode.

Oefening 4. Gegeven is de functie f(x) = 3x.

(a) Bepaal de oppervlaktefunctie A(t) van f tussen x = −1 en x = 1.

(b) Bereken

∫ 1

−13xdx met behulp van de oppervlaktefunctie. Duid de meetkundige betekenis van de bepaalde

integraal aan in een schets.

Oplossingssleutel.Deze oefening maak je met behulp van Werkwijze 1 op pagina 149 (XI-12).Ze is dan ook gelijkaardig aan de twee modelvoorbeelden op die pagina.

(a) (i) De oppervlaktefunctie A(t) bepaal je uit de voorwaarden A′(t) = f(t) en A(a) = 0.

(ii) Wat is f(t)? Wat is a? Vervang dit in de vorige regel.

(iii) Als je niet meteen weet voor welke functie A(t) geldt dat A′(t) = 3t, denk er dan aan dat de afgeleide van3t “bijna” zichzelf is.Als eerste poging probeer je dus A(t) = 3t uit.

(b) (i) Om de integraal te berekenen met behulp van de oppervlaktefunctie grijp je terug naar Werkwijze 1 oppagina 149 (XI-12).

(ii) Wat is b? Vervang dit.

(iii) Maak een schets van de grafiek van f(x) = 3x, en duid de relevante georienteerde oppervlakte aan.

(iv) Wees nauwkeurig: bij je schets de assen benoemen, grafiek benoemen, en de meetkundige betekenis ookaanduiden. Dat laatste kan met behulp van Romeine cijfers.

Pr-45

Page 108: Deel Portfolio wiskunde, Deel Problem Solving wiskunde, deel Practicum wiskunde (recto-verso)

Evaluatieform

ulierPracticum

11D

oel

stel

linge

nB

eoor

del

ing

Com

men

taar

Inhou

del

ijk

Vaa

rdig

hed

en1.Rekenvaard

igheid.

3B

ijhet

alge

bra

ısch

man

ipule

ren

van

funct

ievo

orsc

hri

ften

,fo

rmule

s,ve

rgel

ijkin

gen,

etc.

wee

tje

wel

ke

tech

nie

ken

jem

oet

aanw

enden

omto

tee

nre

sult

aat

teko

men

,en

voer

jedez

ete

chnie

ken

corr

ect

uit

.

3Je

kan

de

groot

orde

van

een

resu

ltaa

tgo

edin

schat

ten.

3Je

kan

ICT

-hulp

mid

del

enzo

als

het

grafi

sch

reken

mac

hin

eof

een

com

pute

rrek

enpak

ket

gepas

tin

schak

elen

om

een

bew

erkin

guit

tevo

eren

.Je

gaat

ook

kri

tisc

hom

met

de

ber

eken

inge

ndie

jem

etIC

Tb

ekom

enheb

t.

2.M

eet-en

tekenvaard

igheid.

3G

rafiek

enen

voor

stel

linge

nva

nvla

kke

enru

imte

figu

ren

teke

nje

nau

wkeu

rig.

3Je

heb

tru

imte

lijk

voor

stel

lings

verm

ogen

.

3Je

kan

ICT

-hulp

mid

del

enzo

als

het

grafi

sch

reke

nm

achin

eof

een

com

pute

rrek

enpak

ket

gepast

insc

hak

elen

om

een

figuur

teb

ekom

en.

Je

gaat

ook

kri

tisc

hom

met

de

voor

stel

linge

ndie

jem

etIC

Tb

ekom

enheb

t.

3.W

iskundigeta

alvaard

igheid.

3Je

ben

tve

rtro

uw

dm

etde

vakta

alva

nde

wis

kunde:

.je

ken

tde

bet

eken

isva

nty

pis

che

vakte

rmen

enge

bru

ikt

dez

evo

ldoen

de

corr

ect

(funct

ie,

stel

sel,

etc.

);.

jeke

nt

de

bet

eken

isva

nsp

ecifi

eke

logi

sche

kern

woor

den

enge

bru

ikt

dez

evol

doen

de

corr

ect

(en,

of,

daaru

itvolg

t,vo

or

alle,

etc.

);.

jeb

ent

inst

aat

omee

nom

schri

jvin

gva

nee

nb

egri

pte

form

alis

eren

,en

een

voor

waa

rde

tesy

mb

olis

eren

;.

jehan

teer

tde

vis

uel

evo

orst

ellinge

nw

aar

de

wis

kunde

gebru

ikva

nm

aakt

(gra

fiek

,ta

bel

,et

c.).

3Je

ben

tve

rtro

uw

dm

etde

bes

chri

jven

de

taal

waa

rin

over

het

wis

kundig

han

del

enge

spro

ken

wor

dt

(defi

nit

ie,

eigen

schap,

verk

laar,

ber

eken

alge

bra

ısch

/gra

fisc

h,

teke

n,

contr

uee

r).

3Je

kan

inee

nsi

tuat

iew

iskundig

eb

egri

pp

enher

kennen

enve

rtal

ennaa

rw

iskundig

model

(mat

hem

atis

eren

).

3Je

kan

vis

uel

ein

form

atie

invo

ldoen

de

mat

ele

zen

enin

terp

rete

ren

(op

een

teke

nin

g,gr

afiek

,dia

gram

).

3Je

ben

tle

esva

ardig

bij

het

leze

nva

nde

tekst

van

opga

ven,

pro

ble

men

envra

agst

ukke

n.

Att

itudes

9.Zin

voornauwkeurigheid

en

ord

e.

3Je

heb

tde

gew

oon

teom

na

de

uit

voer

ing

van

een

opdra

cht

teru

gte

kij

ken

als

een

vorm

van

contr

ole,

om

zoto

tnauw

keuri

ge

resu

ltat

ente

kom

en.

3Je

heb

tee

nhou

din

gom

ordel

ijk

ensy

stem

atis

chte

wer

ken

(not

eren

,m

aken

van

oef

enin

gen,

aanpak

ken

van

pro

ble

men

).

12.Zelfvertro

uwen

en

zelfstandigheid.

3Je

toon

tze

lfver

trou

wen

,ze

lfst

andig

hei

d,

door

zett

ings

ver

mog

enen

doel

mat

ighei

dbij

het

aanpak

ken

van

pro

ble

men

enop

dra

chte

n.

3Je

ziet

indat

foute

nm

aken

inher

ent

dee

luit

mak

enva

nhet

leer

pro

ces.

Pr-

46

Page 109: Deel Portfolio wiskunde, Deel Problem Solving wiskunde, deel Practicum wiskunde (recto-verso)

PRACTICUM 12

WERKEN MET EEN WISKUNDIG MODEL

naam: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . nr: . . . . . . . . . klas: . . . . . . . schooljaar: . . . . . . . . . . . . . .

1. Inleiding1

Een wiskundig model is een wiskundige beschrijving van een systeem, vaak een waarneembaar verschijnsel. Het doelvan het model is in om met wiskundige technieken een systematische analyse te maken, om zo inzicht te verwervenin het verschijnsel, en om voorspellingen over het systeem te doen. Dat is de kern van de wetenschap. Het proceswaarbij men een model ontwikkelt noemt men modelleren.

Een model kan nooit een volledig beeld van de werkelijkheid geven. Het is altijd een vereenvoudiging. Een goed modelzoekt een evenwicht tussen eenvoud en nauwkeurigheid: het moet eenvoudig genoeg zijn om mee te kunnenrekenen en zinvolle conclusies te kunnen trekken, en het moet nauwkeurig genoeg zijn om die conclusies betrouwbaarte doen zijn. Als een eenvoudig model een even goede beschrijving van de waarnemingen geeft als een ingewikkeldmodel, dan verdient het eenvoudige model de voorkeur.

Wiskundige modellen worden zowel gebruikt in natuur- en ingenieurswetenschappen (fysica, elektrotechniek, biologie,geologie, meteorologie) als in sociale wetenschappen (economie, psychologie, sociologie, politicologie).

We sommen enkele voorbeelden op.

Italiaans raaigras(Lolium Multiflorum)

3 Plantenteelt (allometrie2) Bij grassen en granen is de groeisnelheid vande wortelmassa vaak anders dan die van de bladmassa. Dit leidt ertoe dat deverhouding tussen beide geleidelijk veranderd als de plant groeit. Observatieswijzen uit dat het verband tussen de wortelmassa w en de spruit s (de groenedelen) vaak gemodelleerd kan worden met de vergelijking

w(s) = c · sk waarbij c, k ∈ R+0

De parameter k noemt men de allometrische constante. Zo geldt voor Italiaansraaigras de waarde k = 1, 12 tot aan de bloei, daarna krijgt k een (lagere)waarde.

3 Econometrie3 In een bedrijf beschouwt men volgende economische groothe-den:

L het arbeidersinkomen,

Z het niet-arbeidersinkomen, kortweg ‘winst’ te noemen,

U de waarde der verkochte consumptiegoederen,

V de waarde der verkochte investeringsgoederen.

Als model neemt men de volgende betrekkingen tussen deze grootheden aan.

(1) De winstvergelijking: Z = U + V − L(2) Een vertraging aangenomen van een tijdseenheid: Vt = βZt−1

(3) De uitgaven voor consumptiegoederen: Ut = Lt + ε1Zt−1 + ε2(Zt−1 − Zt−2)

Hierbij stellen β, ε1 en ε2 parameters die men kan schatten door de grootheden L,Z,U en V te oberveren overeen aantal tijdseenheden.

1Gebaseerd op M. De Gee, Wiskunde in werking deel 2, Epsilon Uitgaven, Utrecht (2002).2Allometrie betekent: Verandering van de verhoudingen van de verschillende lichaamsdelen gedurende de groei.3Uit J. Tinbergen, Vertragingsgolven en levensduurgolven, Strijdenskracht door Wetensmacht pp. 143 - 150 (1938). Econometrie is

de discipline binnen de economische wetenschap die zich richt op het kwantificeren (het in getallen uitdrukken) van de relaties tusseneconomische grootheden. Econometrie kan het beste worden omschreven als de wetenschap van het economisch modelleren, waarbij eengroot beroep wordt gedaan op technieken uit de wiskunde, de waarschijnlijkheidsrekening en de statistiek. Informatica neemt een belangrijkeplaats in, zowel bij het ontwerp als bij het toetsen en gebruiken van econometrische modellen.

Pr-47

Page 110: Deel Portfolio wiskunde, Deel Problem Solving wiskunde, deel Practicum wiskunde (recto-verso)

Hieruit kan men achterhalen dat de winst Z op tijdstip t als volgt afhangt van de winst op de twee voorgaandetijdstippen:

Zt = (β + ε1 + ε2)Zt−1 + ε2Zt−2

3 Milieukunde Op grond van waarnemingen vanaf 1970 voorspelde het IPCC (Intergovernmental Panel onClimate Change) dat zonder reductie van de uitstoot van broeikasgassen de gemiddelde temperatuur elke tienjaar met 0, 3◦C zou stijgen. In 1970 was de gemiddelde temperatuur 15◦ C. Een ander model voorspelt eenstijging van de zeespiegel met 65 cm ten opzichte van 1970 niveau als de gemiddelde temperatuur 19◦C is.

Marktpenetratie4van eenherbicide in Iowa

3 Marktkunde Een nieuw product wordt vaak gelanceerd met een reclame-campagne die de eerste gebruikers overhaalt. Daarna volgt vaak nog een fasewaarin het verbruik kan toenemen door mond-tot-mond reclame. Mond-tot-mond reclame werkt als een besmetting, waarin niet-gebruikers het gedrag vangebruikers waarmee ze sociaal contact hebben geleidelijk overnemen. Noemenwe p(t), met 0 ≤ p ≤ 1 de fractie gebruikers binnen de doelgroep op tijdstip t,dan wordt een eenvoudig model gegeven door een zogenaamde logistische functie

p(t) =1

1 + c e−r twaarbij c, r ∈ R+

0

De figuur hiernaast geeft de toename in het gebruik van een nieuw herbicideonder de graanboeren in de Amerikaanse staat Iowa weer, met t de tijd in jaren.De parameters bij deze data zijn geschat als r = 0, 8691 en c = 47, 2797.

3 Natuurkunde (kinematica) Een voorwerp met massa m valt naar beneden. We wensen de snelheid vanhet voorwerp uit te drukken in functie van de tijd t.

. Model I. De versnelling van het voorwerp in functie van de tijd t wordt gemodelleerd door de formulea(t) = g waarbij gelijk is aan de valversnelling. Dit getal g is afhankelijk van de plaats op aarde. In Belgie isg ≈ 9, 91m/s2. Dit model geeft een goede benadering weer van de versnelling van het voorwerp indien men(1) de luchtweerstand verwaarloost, en (2) men het voorwerp op relatief kleine hoogte laat vallen. Integratievan de versnelling geeft de snelheidsfunctie v(t), en een tweede integratie geeft ons de plaatsfunctie. Binnendit model is de snelheid van het voorwerp onafhankelijk van de massa en de vorm van het voorwerp:

a(t) = g

v(t) = v(0) + gt

x(t) = x(0) + v(0)t+1

2gt2

x

y

graf f

H.A. y = 1

H.A. y = −1

de grafiek van de functie f(x) = tanhx

. Model II. Een model dat wel rekening houdt met deluchtweerstand is meer accuraat, maar ook meer ingewik-keld. Binnen zo’n model wordt de snelheidsfunctie be-schreven in termen van de tangens hyperbolicus

v(t) =

√mg

ktanh

(√gk

mt

)

waarbij k een constante is die bepaald wordt door de vormvan het voorwerp en de dichtheid van de lucht. Binnen ditmodel is de snelheid van het voorwerp wel afhankelijk vande massa m. De tangens hyperbolicus staat voor de functie

tanh(x) =ex − e−xex + e−x

De rechte y = 1 is een horizontale asymptoot voor x→ +∞ aan de grafiek van tanh(x), want

limx→+∞

tanh(x) = limx→+∞

ex − e−xex + e−x

=(∞∞)

= limx→+∞

(ex − e−x)/ex

(ex + e−x)/ex= lim

x→+∞1− e−2x1 + e−2x

=1− e−∞1 + e−∞

= 1

Bijgevolg bereikt het voorwerp na verloop van tijd zekere een limietsnelheid, die we wiskudig berekenen als

limt→+∞

v(t) = limt→+∞

√mg

ktanh

(√gk

mt

)=

√mg

ktanh(+∞) =

√mg

k

4Marktpenetratie is de mate waaraan een product of dienst door potentiele klanten bekend is en/of gebruikt wordt, met als formule(aantal gebruikers)/(potentieel aantal gebruikers) ·100. De marktpenetratie geeft dus een indicatie van de groeimogelijkheden in de markt.

Pr-48

Page 111: Deel Portfolio wiskunde, Deel Problem Solving wiskunde, deel Practicum wiskunde (recto-verso)

Europese lariks(Larix decidua)

3 Bosbouw Een laboratorium aan een universiteit onderzoekt, in opdracht vande vereniging van bosuitbaters, het groeiproces van lariksen (ook wel lork ge-noemd, een geslacht van coniferen). Op 1 januari vorig jaar waren de bomen bijaanplant 80cm groot. Op basis van de hoogtegegevens die tijdens het afgelopenjaar op verschillende tijdstippen werden opgemeten, schat men dat de groei-snelheid (in centimeter per jaar) van de lariksen x jaar na de aanplant gelijk isaan

g(x) = 25 +40

(2 + x

20

)2

Hieruit kan men de hoogte van de lariksen t jaar na de aanplant bepalen, na-melijk als de oorspronkelijke hoogte vermeerdert met de toename van de hoogtesinds 1 januari vorig jaar:

h(t) = 80 +

∫ t

0

g(x) dx

3 Toxicologie, milieuhygiene, veeteelt Een koe heeft gras gegeten dat verontreinigd was met asdeeltjes uiteen afvalverwerkingsinstallatie. Het gif wordt in het vet opgeslagen en verlaat het lichaam weer via de melk.Dagelijks wordt de concentratie gif in de melk gemeten. De waargenomen concentraties in g/m3 zijn te modellerenmet

c(t) = 4te−0,2 t

met t in dagen na het eten van het verontreinigde gras. De koe levert 15 liter melk per dag. De functie G(t)geeft de totale hoeveelheid uitgescheiden gif (in g) als functie van de tijd (in dagen).

UitG′(t) = 0, 06 te−0,2 t

kan men nagaan datG(t) = −0, 3 te−0,2 t − 1, 5 e−0,2t + c waarbij c ∈ R

De integratieconstante c bepaalt men via G(0) = 0.

2. Opdracht

3 Voorbereiding Inleiding en opdracht lezen tegen . . . . . . . . . . . . (datum invullen).

3 Practicum (. . . lessen, thuis afwerken) Dit practicum voer je uit in groepen van drie tot vier leerlingen.

1. In groep kies je een van de volgende onderwerpen (zie pagina’s 152 tot en met 157):

Onderwerp 1. Ruimtelijke ordening

Onderwerp 2. Milieukunde

Onderwerp 3. Celbiologie

Onderwerp 4. Visteelt

Onderwerp 5. Plantenteelt I (gewassen)

Onderwerp 6. Plantenteelt II (kamerplanten)

2. Van het gekozen onderwerp krijg je een model, voorzien van een opgave.

3. In groep los je de vragen op.

3 Verslag (thuis afwerken) Iedereen dient een verslag in, dat bestaat uit cursusblad(en), met de volgendestructuur.

. Onderwerp en opgave netjes uitknippen en bovenaan op je cursusblad plakken.

. “Oplossing.”

. Enkel recto schrijven, cursusbladen onderaan nummeren.

. Het is belangrijk dat je je uitwerking op een duidelijke manier opschrijft, zodat iemand anders je oplossingvlot kan lezen.

Je voegt de cursusbladen in deze practicumbundel.

3 Practicum indienen Op . . . . . . . . . . . . (datum invullen). Iedereen dient practicumbundel met verslag in.

Pr-49

Page 112: Deel Portfolio wiskunde, Deel Problem Solving wiskunde, deel Practicum wiskunde (recto-verso)

Evaluatieform

ulierPracticum

12D

oel

stel

linge

nB

eoor

del

ing

Com

men

taar

Inhou

del

ijk

Vaa

rdig

hed

en1.Rekenvaard

igheid.

3B

ijhet

alge

bra

ısch

man

ipule

ren

van

funct

ievo

orsc

hri

ften

,fo

rmule

s,ve

rgel

ijkin

gen,

etc.

wee

tje

wel

ke

tech

nie

ken

jem

oet

aanw

enden

omto

tee

nre

sult

aat

teko

men

,en

voer

jedez

ete

chnie

ken

corr

ect

uit

.

3Je

kan

de

groot

orde

van

een

resu

ltaa

tgo

edin

schat

ten.

3Je

kan

ICT

-hulp

mid

del

enzo

als

het

grafi

sch

reken

mac

hin

eof

een

com

pute

rrek

enpak

ket

gepas

tin

schak

elen

om

een

bew

erkin

guit

tevo

eren

.Je

gaat

ook

kri

tisc

hom

met

de

ber

eken

inge

ndie

jem

etIC

Tb

ekom

enheb

t.

2.M

eet-en

tekenvaard

igheid.

3G

rafiek

enen

voor

stel

linge

nva

nvla

kke

enru

imte

figu

ren

teke

nje

nau

wkeu

rig.

3Je

heb

tru

imte

lijk

voor

stel

lings

verm

ogen

.

3Je

kan

ICT

-hulp

mid

del

enzo

als

het

grafi

sch

reke

nm

achin

eof

een

com

pute

rrek

enpak

ket

gepast

insc

hak

elen

om

een

figuur

teb

ekom

en.

Je

gaat

ook

kri

tisc

hom

met

de

voor

stel

linge

ndie

jem

etIC

Tb

ekom

enheb

t.

5.Pro

bleemoplossendevaard

igheden.

3Je

kan

een

pro

ble

emon

tdek

ken

enhet

wis

kundig

beh

oor

lijk

stel

len.

3Je

kan

een

pro

ble

eman

alyse

ren

(onder

schei

dm

aken

tuss

enge

geve

nen

gevra

agde,

verb

anden

legg

entu

ssen

de

geg

even

s,et

c.).

3Je

kan

een

pro

ble

emve

rtal

ennaa

ree

npas

send

wis

kundig

model

(mat

hem

atis

eren

).

3Je

kan

zoek

stra

tegi

een

toep

asse

nbij

het

wer

ken

aan

pro

ble

men

,en

daa

rbij

een

pla

nop

stel

len.

3Je

kan

reflec

tere

nop

de

keuze

van

jezo

ekst

rate

giee

nen

jepla

n.

3Je

kan

jere

sult

aten

contr

oler

enop

hun

bet

rouw

baa

rhei

den

volled

ighei

d.

3Je

kan

ICT

-hulp

mid

del

enge

bru

iken

omw

iskundig

ein

form

atie

tever

wer

ken

enw

iskundig

epro

ble

men

teonder

zoek

en.

7.Leerv

aard

igheden

3Je

kan

loss

ege

geve

ns

verw

erke

n.

3Je

kan

sam

enhan

gende

info

rmat

ieve

rwer

ken.

3Je

kan

info

rmat

iebro

nnen

raad

ple

gen.

3Je

kan

studie

tijd

pla

nnen

.

3Je

kan

jeei

gen

leer

pro

ces

bij

sture

n.

Att

itudes

9.Zin

voornauwkeurigheid

en

ord

e.

3Je

heb

tde

gew

oon

teom

na

de

uit

voer

ing

van

een

opdra

cht

teru

gte

kij

ken

als

een

vorm

van

contr

ole,

om

zoto

tnauw

keuri

ge

resu

ltat

ente

kom

en.

3Je

heb

tee

nhou

din

gom

ordel

ijk

ensy

stem

atis

chte

wer

ken

(not

eren

,m

aken

van

oef

enin

gen,

aanpak

ken

van

pro

ble

men

).

14.Zin

voorsa

menwerk

ingen

overleg.

3Je

ziet

indat

jem

ogel

ijkhed

enve

rgro

otw

orden

door

het

sam

enw

erke

nm

etan

der

en.

3Je

toon

tap

pre

ciat

ievo

oree

nan

der

eop

loss

ing

ofaa

npak

.

Pr-

50

Page 113: Deel Portfolio wiskunde, Deel Problem Solving wiskunde, deel Practicum wiskunde (recto-verso)

PRACTICUM 13

LEREN UIT OPGELOSTE PROBLEMEN

naam: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . nr: . . . . . . . . . klas: . . . . . . . schooljaar: . . . . . . . . . . . . . .

1. Inleiding

Schaum’s Outline of theory

and problems of differential

and integral calculus 2

Leren uit opgeloste problemen is een manier om je vaardigheid in het zelfstandig op-lossen van oefeningen aanzienlijk te verbeteren. Deze techniek werd gepopulariseerddoor de befaamde Schaum’s Outlines 1, een reeks van werkboeken over diverse onder-werpen in wiskunde, wetenschappen (chemie, natuurkunde, biologie) en talen. Voorwiskunde alleen al bestaan er ruim vijftig zo’n werkboeken, en elk werkboek bevatongeveer 1000 opgeloste problemen, varierend van gemakkelijke basisoefeningen totware hersenkrakers. Daarnaast zijn ook extra problemen opgenomen, met vermeldingvan het eindresultaat.

2. Opdracht

3 Voorbereiding Deze bundel lezen tegen . . . . . . . . . . . . (datum invullen).

3 Practicum (. . . lessen, thuis afwerken) Uitvoeren in groepen van twee.

Op de volgende pagina’s staan een zestal opgeloste problemen2in verband meteenvoudige differentiaalvergelijkingen. De oplossing is echter wat beknopt op-geschreven (sommige tussenstappen zijn niet vermeld, er worden geen grafiekengemaakt die de redenering kunnen verduidelijken, etc.).

1. In het begin van de (eerste) les toon je met behulp van een kladblad dat je de problemen 1 tot en met 5thuis gelezen en verwerkt hebt.

2. Per twee krijg je een aantal extra problemen (zonder oplossing), zie pagina 160.Door tossen wordt beslist welke reeks je oplost:

Reeks 1: Problemen 7(c) en 10 (biologie)

Reeks 2: Problemen 7(d) en 11 (natuurkunde)

Reeks 3: Problemen 7(b) en 12 (bevolkingsleer)

Reeks 4: Problemen 7(a) en 13 (economie)

Reeks 5: Probleem 14 (besmettingsleer)

Reeks 6: Probleem 15 (sociologie)

3. In groep los je die reeks op. De opgeloste problemen in deze bundel kunnen je daar uiteraard bij helpen!

3 Verslag (thuis afwerken) Jullie verslag bevat een exemplaar van de reeks oefeningen. Elk probleem startop een nieuw cursusblad, met de volgende structuur:

. opgave van het probleem netjes uitknippen en bovenaan op je cursusblad plakken;

. oplossing, voorzien van minstens een grafiek die je redenering of oplossing verduidelijkt.

Schrijf je redenering duidelijk op, die gemakkelijk te lezen is. Dit houdt in dat je alle tussenstappen opschrijft.Je voegt de cursusbladen in deze practicumbundel. Nummer die pagina’s onderaan in het midden. De overigeproblemen bewaar je thuis.

3 Practicum indienen Op . . . . . . . . . . . . (datum invullen). Elk groepslid dient zijn/haar practicum bundel in.Het verslag steekt in een bundel van een groepslid. Je hoeft het verslag dus niet te kopieren.

1Officiele website: http://www.mhprofessional.com/templates/index.php?cat=145 . Schaum’s Outlines werd bezield door DanielSchaum in de jaren ’50.

1F.Ayres , E. Mendelson, Schaum’s Outline of theory and problems of differential and integral calculus, McGraw-Hill (1990).

Pr-51

Page 114: Deel Portfolio wiskunde, Deel Problem Solving wiskunde, deel Practicum wiskunde (recto-verso)

Toepassingen op onbepaalde integralen:eenvoudige differentiaalvergelijkingen

Als we de vergelijking van een kromme y = f(x) kennen, dan is de helling (i.e. rico van de raaklijn) in een puntP (x, y) aan de kromme gelijk aan m = f ′(x).

Omgekeerd, als de helling van een punt P (x, y) aan een kromme gegeven wordt door m =dy

dx= f ′(x), dan kunnen we

een familie van krommen y = f(x) + c vinden door te integreren. Om een specifieke kromme uit die familie te bepalenmoeten we een bepaalde waarde aan c toekennen. Dit kunnen we doen door bijvoorbeeld te eisen dat die specifiekekromme door een gegeven punt gaat (zie Problemen 1-3).

Opgeloste problemen

Probleem 1. Bepaal de vergelijking van de familie van krommen waarvoor de helling in elk punt gelijk is aan hettegengestelde van het dubbel van de abscis van dat punt. Bepaal bovendien de vergelijking van de kromme uit diefamilie die het punt A(1, 1) bevat.

Oplossing. We schrijven y = f(x) voor de vergelijking van zo’n kromme. De helling van een punt P (x, y) van de

kromme isdy

dx. De eis is dat die helling gelijk is aan −2x, met andere woorden

dy

dx= −2x. Dus dy = −2x dx, waaruit

∫dy =

∫−2x dx en dus y = −x2 + c . Dit is de vergelijking van een familie van parabolen.

Uit deze familie willen we nu de kromme bepalen die het punt A(1, 1) bevat. Stellen we x = 1 en y = 1 in devergelijking van deze familie dan bekomen we 1 = −1 + c, waaruit c = 2. De vergelijking van de kromme door het

punt A(1, 1) is dus y = −x2 + 2 .

Probleem 2. Bepaal de vergelijking van een familie van krommen waarvoor de helling in eender welk punt P (x, y)gelijk is aan m = 3x2y. Bepaal bovendien de vergelijking van de kromme uit die familie die het punt A(0, 8) bevat.

Oplossing. De voorwaarde is datdy

dx= 3x2y, zodat

dy

y= 3x2 dx. Hieruit volgt dat ln |y| = x3 + c. Als y > 0 dan is

ln |y| = x3 + c ⇒ ln y = x3 + c

⇒ eln y = ex3+c

⇒ y = ex3 · ec︸︷︷︸

noem c1

⇒ y = c1 ex3

waarbij c1 > 0

Als y < 0 dan vinden we analoog

ln |y| = x3 + c ⇒ ln(−y) = x3 + c

⇒ eln(−y) = ex3+c

⇒ −y = ex3 · ec

⇒ y = −ec︸︷︷︸noem c2

ex3 ⇒ y = c2 e

x3

waarbij c2 < 0

We kunnen beide gevallen dus samenvatten als y = C ex3

waarbij C ∈ R0 .

Uit deze familie willen we nu de kromme bepalen die het punt A(0, 8) bevat. Dan moet 8 = C e0, zodat C = 8.

De vergelijking van de kromme door het punt A(0, 8) is dus y = 8 ex3

.

Algemeen. Uit dit probleem onthouden we:

ln |y| = � + c ⇒ y = C e� waarbij C ∈ R0

In de toekomst zullen we deze stap meteen uitvoeren (zonder de gevallen y > 0 en y < 0 afzonderlijk tebespreken).

Pr-52

Page 115: Deel Portfolio wiskunde, Deel Problem Solving wiskunde, deel Practicum wiskunde (recto-verso)

Probleem 3. In elk punt P (x, y) van een kromme geldt dat y′′ = x2 − 1. Bepaal de vergelijking van die krommeals bovendien gegeven is dat Q(1, 1) behoort tot de kromme, en de raaklijn in Q aan die kromme gegeven wordt doorx+ 12y = 13.

Oplossing. Hier isd2y

dx2=

d

dx(y′) = x2 − 1. Dus

∫d

dx(y′) dx =

∫(x2 − 1) dx en y′ =

1

3x3 − x+ c1.

In het punt Q is de helling gelijk aan de helling van de gegeven rechte, en dus gelijk aan − 1

12. Dus − 1

12=

1

3− 1 + c1,

waaruit we vinden dat c1 =7

12. Dus y′ =

dy

dx=

1

3x3 − x+

7

12, en integreren levert

∫dy =

∫ (1

3x3 − x+

7

12

)dx waaruit y =

1

12x4 − 1

2x2 +

7

12x+ c2

Eisen dat Q tot de kromme behoort levert 1 =1

12− 1

2+

7

12+ c2 en dus is c2 =

5

6. De vergelijking van de gezochte

kromme is dus y =1

12x4 − 1

2x2 +

7

12x+

5

6.

Probleem 4. Een hoeveelheid q hangt af van de tijd t. Bovendien is op elk moment de mate waarin die hoeveelheidtoeneemt een vast veelvoud van de waarde van die hoeveelheid op dat moment. Voor t = 0 is q = 25, en voor t = 2 isq = 75. Bepaal q als t = 6.

Oplossing. De mate van de toename van q op tijdstip t is gelijk aan de afgeleide q′(t) =dq

dt. Voor elk moment t is dus

dq

dt= k q voor een zekere k ∈ R, waaruit

dq

q= k dt. Integreren levert ln |q| = kt + c. Wegens Algemeen op de vorige

pagina kunnen we dit herschrijven als q = C ekt waarbij C ∈ R0.

3 Als t = 0 dan is q = 25 = C e0 dus C = 25.

3 Als t = 2 dan is q = 75 = 25 e2k. Dus e2k = 3, waaruit volgt dat k =ln 3

2= 0, 54 . . ..

Uiteindelijk, als t = 6 dan is q = 25 e3 ln 3 = 675 .

Probleem 5. Een stof A wordt omgezet in een andere stof B aan een snelheid die evenredig is aan de hoeveelheidniet-omgezette stof A. Als de hoeveelheid van A oorspronkelijk gelijk is aan 50, en op t = 3 gelijk is aan 25, wanneer

zal er slechts1

10van de stof A overblijven?

Oplossing. Noem q de hoeveelheid (omgezette) stof B op tijdstip t. Dan isdq

dt= k(50 − q) voor een zekere k ∈ R,

waaruitdq

50− q = k dt zodat ln(50− q) = −kt+ c of nog 50− q = C e−kt

waarbij C ∈ R0. Dus q = 50− C e−kt.3 Als t = 0 dan is q = 0 = 50− C e0 en zo vinden we dat C = 50.

3 Als t = 3 dan is q = 25 = 50− 50 e−3k en dus is k =ln 2

3= 0, 23 . . .

We zoeken nu het tijdstip t waarvoor q = 45 = 50−50 e−(t ln 2)/3. Een eenvoudige berekening leert dat t = 9, 9657 . . . .

?Probleem 6. De snelheid waarmee water uit een “klein” gaatje in een watertank stroomt is gelijk aan√

2gh, metg = 9, 81m/s2 en h de afstand van het gaatje tot de oppervlakte van het water in de tank. Bepaal de tijd die eencilindervormige (rechtopstaande) tank met een hoogte van 5 meter en straal 1 meter nodig heeft om leeg te lopen, alsmen onderaan een gat met straal 1cm maakt.

Oplossing. Noem h de hoogte van het waterniveau op tijdstip t. In een tijdspanne dt ontsnapt er een kleine cilinderwater uit het gaatje, met hoogte v dt en straal 0, 01m. Zo’n kleine cilinder water heeft dus volume van π(0, 01)2v dt =π(0, 01)2

√2gh dt kubieke meter.

In een tijdspanne dt zal het waterniveau zakken met afstand dh. Het volume zal dus “toenemen” met −π · 12 dhkubieke meter. Hieruit volgt dat

π(0, 01)2√

2gh dt = −π · 12 dh waaruit dt = −10000√2g

dh√h

en dus t = −20000√2g

√h+ c

Voor t = 0 is h = 5 dus c ≈ 10096, 38. De tank is leeg als h = 0, en dan is t ≈ −20000√2g

√0 + 10096, 38 = 10096, 38 dus

ongeveer 168, 25 minuten .

Pr-53

Page 116: Deel Portfolio wiskunde, Deel Problem Solving wiskunde, deel Practicum wiskunde (recto-verso)

Evaluatieform

ulierPracticum

13D

oel

stel

linge

nB

eoor

del

ing

Com

men

taar

Inhou

del

ijk

Vaa

rdig

hed

en1.Rekenvaard

igheid.

3B

ijhet

alge

bra

ısch

man

ipule

ren

van

funct

ievo

orsc

hri

ften

,fo

rmule

s,ve

rgel

ijkin

gen,

etc.

wee

tje

wel

ke

tech

nie

ken

jem

oet

aanw

enden

omto

tee

nre

sult

aat

teko

men

,en

voer

jedez

ete

chnie

ken

corr

ect

uit

.

3Je

kan

de

groot

orde

van

een

resu

ltaa

tgo

edin

schat

ten.

3Je

kan

ICT

-hulp

mid

del

enzo

als

het

grafi

sch

reken

mac

hin

eof

een

com

pute

rrek

enpak

ket

gepas

tin

schak

elen

om

een

bew

erkin

guit

tevo

eren

.Je

gaat

ook

kri

tisc

hom

met

de

ber

eken

inge

ndie

jem

etIC

Tb

ekom

enheb

t.

2.M

eet-en

tekenvaard

igheid.

3G

rafiek

enen

voor

stel

linge

nva

nvla

kke

enru

imte

figu

ren

teke

nje

nau

wkeu

rig.

3Je

heb

tru

imte

lijk

voor

stel

lings

verm

ogen

.

3Je

kan

ICT

-hulp

mid

del

enzo

als

het

grafi

sch

reke

nm

achin

eof

een

com

pute

rrek

enpak

ket

gepast

insc

hak

elen

om

een

figuur

teb

ekom

en.

Je

gaat

ook

kri

tisc

hom

met

de

voor

stel

linge

ndie

jem

etIC

Tb

ekom

enheb

t.

4.Denk-en

redeneerv

aard

igheden.

3Je

kan

het

onder

schei

dm

aken

tuss

enhoof

d-

enbij

zake

n,

gege

ven

enge

vra

agde,

gege

ven

ente

bew

ijze

n.

3Je

ben

tin

staa

tee

nre

den

erin

gof

argu

men

teri

ng

bij

een

eige

nsc

hap

teb

egri

jpen

.

3Je

kan

een

gege

ven

reden

erin

gop

haa

rge

ldig

hei

don

der

zoek

en.

3Je

kan

een

reden

erin

gof

argu

men

teri

ng

bij

een

eige

nsc

hap

ofde

oplo

ssin

gva

nee

npro

ble

emopb

ouw

en:

.je

kan

een

ver

moed

enfo

rmule

ren

enar

gum

ente

ren;

.je

kan

een

eige

nsc

hap

form

ule

ren

opbas

isva

nee

non

der

zoek

opee

naa

nta

lvo

orb

eeld

en;

.je

kan

bij

het

opb

ouw

enva

nee

nre

den

erin

gee

nIC

T-h

ulp

mid

del

gebru

iken

.

7.Leerv

aard

igheden

3Je

kan

loss

ege

geve

ns

verw

erke

n.

3Je

kan

sam

enhan

gende

info

rmat

ieve

rwer

ken.

3Je

kan

info

rmat

iebro

nnen

raad

ple

gen.

3Je

kan

studie

tijd

pla

nnen

.

3Je

kan

jeei

gen

leer

pro

ces

bij

sture

n.

Att

itudes

10.Zin

voorkwaliteit

van

dewiskundigere

pre

senta

tie.

Je

heb

tde

gew

oon

teom

jege

dac

hte

nb

ehoor

lijk

teve

rwoor

den

,en

de

voor

-en

nad

elen

van

een

bep

aald

ew

erkw

ijze

teb

espre

ken

.

13.Zelfre

gulatie.

3Je

toon

tee

non

der

zoek

sger

ichte

hou

din

gte

naa

nzi

enva

nfe

iten

,op

gave

nen

pro

ble

men

.

3Je

ben

tin

staa

tom

jein

een

oplo

ssin

gspro

ces

teor

iente

ren,

het

pro

ces

tepla

nnen

,het

uit

tevo

eren

enhet

teb

ewake

n.

Pr-

54

Page 117: Deel Portfolio wiskunde, Deel Problem Solving wiskunde, deel Practicum wiskunde (recto-verso)

PRACTICUM 14

EEN WETENSCHAPPELIJKE PRESENTATIE GEVEN

naam: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . nr: . . . . . . . . . klas: . . . . . . . schooljaar: . . . . . . . . . . . . . .

1. Inleiding

Het presenteren van resultaten is o.a. voor wetenschappers een belangrijk onderdeelvan hun werk. Een presentatie kan dienen om een uitgevoerd werk, project, ideeenof conclusies aan anderen kenbaar te maken. Evengoed kan het dienen om anderenvan je besluiten te overtuigen of zelfs om je eigen capaciteiten in de verf te zetten.Het mag duidelijk zijn dat een presentatie tot in de puntjes verzorgd moet zijn; nietalleen qua voorkomen, maar ook qua overzichtelijkheid, qua opbouw en uiteraard quainhoud. In je hogere studies en latere werkomgeving zul je meer dan waarschijnlijknog vaak (wetenschappelijke) presentaties moeten geven.

Wat is nu een wetenschappelijke presentatie? Het is een informatieve voor-dracht, waarbij je op een zakelijke manier rapporteert over een onderwerp met eenwetenschappelijke ondertoon: een statistisch onderzoek, een chemisch experiment,een wiskundig probleem, etc. Een presentatie moet

3 een hoofdboodschap bevatten,

3 eerder beknopt en zonder overbodige franjes zijn,

3 een logische structuur hebben, en

3 gemakkelijk te volgen zijn.

Hiermee bedoelen we dat het publiek snel zicht moet krijgen op de opbouw en de inhoud van je verhaal. Het is nietaan de toehoorder om je voordracht verschillende keren te moeten horen om te achterhalen wat je bedoelt.

De vorm van een exact-wetenschappelijke voordracht is specifiek en verschilt van bijvoorbeeld een taalkundigepresentatie. In wat volgt leggen we o.a. de structuur van een wetenschappelijke voordracht uit, en tonen met enkeletips hoe je je optimaal kan voorbereiden en de slaagkansen van je presentatie kan vergroten.

Opbouw

In principe heeft een wetenschappelijke presentatie de volgende structuur 1:

Titel

Inleiding

Hoofddeel

Besluit

Hieronder vind je de verschillende onderdelen verder uitgediept en uitgelegd.

Titel De keuze van de titel is niet onbelangrijk. De lezer moet uit de titel onmiddellijk het onderwerp van de pre-sentatie kunnen halen. Een titel als ’Voordracht practicum ecologie’ is te algemeen. Formuleringen als ’studie van’ of’onderzoek naar’, maar ook afkortingen, formules of merknamen worden best vermeden.

NIET: ‘Practicum 13 mei 2011’ of ‘Oefening 28 pagina 40’

WEL: ‘Het probleem van de 36 officieren’ of ‘Duiventilprincipe’

1Bij de empirische wetenschappen (bv. chemie en fysica, waar, in tegenstelling tot de wiskunde, experimentele toetsing een essentieelonderdeel vormt) bestaat de opbouw van het verslag of presentatie uit meer specifieke onderdelen: titel, inleiding, samenvatting, methodeen materialen, hoofddeel, resultaten, discussie, conclusie, bijlagen, referenties. We verwijzen naar L. Kirkup, Experimental methods: Anintroduction to the analysis and presentation of data, Singapore, 1994.

Pr-55

Page 118: Deel Portfolio wiskunde, Deel Problem Solving wiskunde, deel Practicum wiskunde (recto-verso)

Inleiding In de inleiding wordt verduidelijkt wat het onderwerp of de probleemstelling is, en in welke context ofgeheel het kadert. In tweede instantie kun je de opbouw van je presentatie toelichten. De bedoeling is dat de toehoorderinzicht krijgt in het gestelde probleem en de aanpak ervan. Ideaal is dat je enkele vragen stelt die je in je het hoofddeelzal beantwoorden. Dat stimuleert de aandacht van het publiek.

Hoofddeel Inhoudelijk is dit het belangrijkste deel van de voordracht. De andere delen dienen om te structureren,te duiden en het overzicht te bewaren. Het hoofddeel omvat het eigenlijk gepresteerde werk. In dit deel vertel jemeer dan alleen de antwoorden op eerder gestelde vragen. Eventueel kun je een aspect wat meer doorgronden, en eenredenering maken die typisch is voor het onderwerp.

Besluit In het besluit grijp je terug naar je probleemstelling, onderzoeksvraag of kernboodschap uit de inleiding. Jegeeft ook aan op welke manier en in hoeverre je geslaagd bent in je opzet. Hier horen ook vergelijkingen met gekenderesultaten, opmerkingen over methodiek, tekortkomingen of suggesties voor verder onderzoek.

Voorbereiding

Een succesvolle presentatie begint met een goede voorbereiding. Om een presentatie in de steigers te zetten, doorloopje de volgende fasen2:

Ontwerp

1. Bepaal het doel.

2. Bepaal de hoofdboodschap.

3. Werk de structuur inhoudelijk uit.

4. Bepaal de verhaallijn.

5. Ontwerp een structuurdia.

Uitwerking

6. Maak een nieuwe presentatie aan.

7. Zet het geraamte op.

8. Maak beeldende dia’s.

Als extra ondersteuning bij het voorbereiden en aanmaken van je powerpoint bieden we je tien tips 3 aan.

Tip 1. Ken je publiek. Het is essentieel om je presentatie af te stemmen op het niveau van de toehoorders. Probeerte ontdekken waar je boodschap samenvalt met de interesse van het publiek. Op dat raakvlak liggen namelijkde aanknopingspunten voor een boeiende presentatie. Breng je publiek in beeld met de volgende vragen:

3 Wat weten de toehoorders van het onderwerp?

3 Wat zijn de verwachtingen?

3 Welk belang heeft het publiek bij je verhaal?

3 Welk inhoudelijk niveau kunnen ze aan?

Pik in op wat de gemiddelde toehoorder weet, en breng hem als het ware naar een hoger niveau. Je publiek onder-schatten leidt tot verveling, overschatten zorgt ervoor dat ze afhaken.

NIET: ‘From somewhere to nowhere’ of ‘From nowhere to nowhere’

WEL: ‘From nowhere to somewhere’

Tip 2. Let je doelstellingen vast. Probeer je doelstelling te omschrijven in termen van eindresultaten. Bedenkwat het publiek na jouw presentatie minimaal moet onthouden. Wees realistisch in je ambities. Er is een grens aande hoeveelheid informatie die de toehoorders in korte tijd kunnen verwerken. Beperk je tot informatie die voor hetpubliek van belang is. Niet alles wat je weet, is van belang voor je publiek.

NIET: Wat wil ik kwijt?

WEL: Wat wil mijn publiek weten?

Tip 3. Leg een hoofdboodschap vast. Aan de hand van je doelstellingen formuleer je een kernboodschap. Diekun je al bij je eerste slides vermelden. Nuttig is om die hoofdboodschap enkele keren tijdens je presentatie herhalen.Uiteraard komt die ook nog eens op het einde van je presentatie aan bod.

TEST: Vraag een toehoorder drie dagen nadien: ‘Wat heb je van mijn voordracht onthouden?’

2M. Van den Berghe, Inleiding tot zelfstandig onderzoek, Onze-Lieve-Vrouwecollege Assebroek (2006).3Gebaseerd op Philip E. Bourne, Ten Simple Rules for Making Good Oral Presentations PLoS Comput Biol 3(4): e77.

doi:10.1371/journal.pcbi.0030077 (2007) en http://www.leren.nl/cursus/professionele-vaardigheden/presentatie/ .

Pr-56

Page 119: Deel Portfolio wiskunde, Deel Problem Solving wiskunde, deel Practicum wiskunde (recto-verso)

Tip 4. Less is more. Een veelvoorkomende fout bij sprekers is dat ze teveel willen vertellen. Ze vinden het nodigom van meet af aan te bewijzen dat ze veel weten. Bijgevolg gaat de kernboodschap verloren, en kun je zelfs intijdsnood komen. Onthoud dat je kennis het best kan overbrengen door een heldere en bondige presentatie, die leidttot een dialoog tijdens het vragenmoment waarbij de toehoorders actieve deelnemers worden. Op dat moment zalwel duidelijk worden dat je veel over het onderwerp weet. Als er op het einde van je presentatie geen vragen gesteldworden, dan is dat eerder een slecht signaal: hoogstwaarschijnlijk was je presentatie dan onduidelijk of afgezaagd.

Tip 5. Maak je Powerpoint efficient. Een dia dient enkel

3 om het publiek te prikkelen,

3 om structuur te brengen in wat je zegt (kernwoorden),

3 als aanvulling op wat je zegt.

Breng je teveel tekst op je dia’s aan, dan zal het publiek zich eerder bezig houden met het lezen van de tekst in plaatsvan naar jou te luisteren. Reken per dia minstens een minuut.Wat de lay-out van je dia’s betreft, opteer voor kleuren met maximaal contrast (donkere op wit of wit op zwart).Vermijd een gekleurde tekst op een gekleurde achtergrond. Om kernwoorden in de verf te zetten gebruik je bestcontrast en grootte in plaats van kleur.

NIET: Een Powerpoint vervangt de spreker.

WEL: Een Powerpoint ondersteunt de spreker.

Tip 6. Oefen je presentatie in. Zeker bij je allereerste voordrachten. Let daarbij ook op de timing. Even belangrijkis om je te houden aan wat je voorbereid hebt. Helemaal uit den boze is spreken over zaken waar het publiek meervanaf weet dan jij. Een belangrijke voordracht geef je best eerst aan een kleine, informele groep (enkele medeleerlingenof ouders). Hou rekening met de kritiek die je krijgt.

TEST: Film jezelf tijdens het geven van een voordracht, en leer daaruit.

Presenteren

Of een presentatie slaagt, hangt niet alleen af van de inhoud van je betoog maar ook van de manier waarop je deboodschap overbrengt. De beste maatstaf hiervoor is de interactie met het publiek, tijdens en na de voordracht.Onthoud dat het hoofddoel van een presentatie is: het publiek doen nadenken over wat je brengt.

Tip 7. Wees jezelf. Presentaties horen onderhoudend en vermakelijk te zijn, maar overdrijf niet en ken je grenzen.Als humor je niet ligt, probeer dan niet om grappig te zijn. Als je niet goed bent in het vertellen van anekdotes,vertel er dan geen. Een goede entertainer is hij die erin slaagt het publiek mee te hebben en de kernboodschap kanoverbrengen.

Tip 8. Hou je aan de voorziene tijd. Het is onbeleefd om je niet aan de voorziene tijd te houden. Vaak wordtje in zo’n geval ook aangemaand om af te ronden, en dat kan je voordracht wat overschaduwen. Mocht je toch intijdsnood komen, klik je dia’s door en laat het publiek lezen.

Tip 9. Woord van dank. Vermeld de mensen met wie je samengewerkt hebt. Dat hoeft niet noodzakelijk op heteinde van de voordracht te gebeuren, vaak doet die gelegenheid zich ook voor bij de inleiding of tijdens het hoofddeelvan de presentatie. Is je voordracht er op uitnodiging gekomen, bedank dan ook de organisator of het instituut die jedie kans gegeven heeft.

Tip 10. Zijn er nog vragen? Eindigen in stijl betekent: na je besluitvorming het publiek bedanken voor de aan-dacht. Neem het applaus in ontvangst, en begin niet meteen op te ruimen. Indien je voordracht kadert in een reeksvoordrachten (zoals bij een congres), dan zal iemand van de organisatie het publiek uitnodigen om vragen te stellen.In het andere geval doe je dat zelf, na het applaus.

Hoe kun je omgaan met vragen?

3 Herhaal of herformuleer de vraag. Niets is zo vervelend om na een antwoord te constateren dat de vraagstelleriets anders bedoelde.

3 Hou je antwoord terzake, kort en bondig.

3 Wees niet niet arrogant, stel je niet vijandig op. Dreigt de situatie te escaleren, zeg dan “Misschien koppelen wedit gesprek beter los van de voordracht, we praten straks verder.”

NIET: Dat weet ik niet.

WEL: Interessante vraag, daar moet ik langer over nadenken.

Pr-57

Page 120: Deel Portfolio wiskunde, Deel Problem Solving wiskunde, deel Practicum wiskunde (recto-verso)

Verantwoording

De specifieke eindtermen voor de studierichtingen van de derde graad ASO met component wiskunde (6 tot 8 wekelijkselestijden wiskunde) bevatten drie eindtermen die onder de noemer ‘onderzoekscompetenties’ worden gecatalogeerd[34, p.77]:

OC1 Zich orienteren op een onderzoeksprobleem door gericht informatie te verzamelen, te ordenen en te bewerken.

OC2 Een onderzoeksopdracht met een wiskundige component voorbereiden, uitvoeren en evalueren.

OC3 De onderzoeksresultaten en conclusies rapporteren en ze confronteren met andere standpunten.

In dit practicum komen vooral de eerste en de derde eindterm aan bod.

onderzoekscompetenties

verzamelenordenenbewerken

︸︷︷

competentie 1

voorbereidenuitvoerenevalueren

︸︷︷

︸competentie 2

rapporteren

confronteren ︸︷︷

︸ competentie 3

2. Opdracht

3 Voorbereiding Inleiding en opdracht lezen tegen . . . . . . . . . . . . (datum invullen).

Het wiskunde boek 4

3 Practicum (. . . lessen, thuis afwerken) Dit practicum wordt uitgevoerdin groepen van . . . leerlingen. In het begin van de les krijgt elke groep 15 tot20 onderwerpen uit nevenstaand boek. Elk onderwerp is voorzien van een halvepagina tekst en een mooie illustratie. De leerkracht kan een inkijkexemplaarvan het boek vooraan in de klas leggen.

Jullie nemen de onderwerpen door, en beslissen in groep over welk onderwerpjullie een presentatie willen maken (duur: . . . minuten).

Daarna doorlopen jullie de stappen bij het ontwerpen van een presentatie: welkedoelstellingen willen we bereiken, welke kernboodschap willen we meegeven, etc.

Jullie presentatie beantwoord aan de criteria uit de inleiding, waarbij je de tipszo goed mogelijk tracht na te leven.

Na de les(sen) krijgen jullie voldoende tijd om dit practicum af te wer-ken. Afspreken buiten de schooluren kan moeilijk liggen. Daarom maken

jullie op het einde van de eerste les enkele concrete afspraken, aan de hand van de volgende tabel (vul in):

Taak Wie? Tegen wanneer?

Extra informatie opzoeken (internet),in document plaatsen en doorsturen naar de anderen.

Uit dit document informatie selecteren voor presentatie,doorsturen naar de anderen.

Ontwerpen van een structuurdia,doorsturen naar de anderen.

Maken van een eerste versie van de presentatie,doorsturen naar de anderen.

Afdrukken van de finale versie van de presentatie,indienen in de practicumbundel (datum: zie practicum indienen).

Finale versie van de presentatie op stick zetten,meebrengen naar de les (datum: zie presentatie geven).

Geven van de presentatie.

3 Practicum indienen Op . . . . . . . . . . . . (datum invullen). Een groepslid drukt de dia’s af en dient ze in. Daar-naast dient elk groepslid zijn/haar ingevulde evaulatiekaart in (pagina 164).

3 Presentatie geven Op . . . . . . . . . . . . (datum invullen). Maximaal . . . minuten.

4C.A. Pickover, Het wiskunde boek, Librero Nederland (2010).

Pr-58

Page 121: Deel Portfolio wiskunde, Deel Problem Solving wiskunde, deel Practicum wiskunde (recto-verso)

Evaluatieform

ulierPracticum

14D

oel

stel

lin

gen

Beo

ord

elin

gC

om

men

taar

Inh

oud

elij

k

Vaa

rdig

hed

en6.

On

derz

oeksv

aard

igh

ed

en

3Je

kan

een

ond

erzo

ekso

pd

rach

tfo

rmu

lere

nen

afb

aken

en.

3Je

kan

een

aanp

akp

lan

nen

enzo

nod

igop

spli

tsen

ind

eelt

aken

.

3Je

kan

info

rmat

iever

wer

ken

enop

rele

vanti

ese

lect

eren

:

.d

ew

aard

eva

nd

ein

form

atie

beo

ord

elen

infu

nct

ieva

nd

eop

dra

cht;

.d

ere

lati

etu

ssen

gege

ven

sen

bew

erkin

gen

opzo

eken

enin

terp

rete

ren

.

3Je

kan

doel

mat

igee

nw

isku

nd

igm

od

else

lect

eren

ofop

stel

len

:

.ee

non

der

dee

lva

nee

nop

dra

cht

her

ken

nen

als

een

wis

kun

dig

ofee

nst

atis

tisc

hp

rob

leem

;.

vast

stel

len

ofee

nm

od

elvo

ldoet

enh

etev

entu

eel

bij

stel

len

;.

zon

od

igb

ijkom

end

ein

form

atie

verz

amel

enom

het

aan

gew

ezen

mod

elte

ku

nn

enh

ante

ren

.

3Je

kan

bij

een

mod

eld

ep

asse

nd

eop

loss

ings

met

hod

eco

rrec

tu

itvo

eren

.

3Je

kan

resu

ltat

enb

inn

end

eco

nte

xt

bet

eken

isge

ven

enze

daa

rin

kri

tisc

hev

alu

eren

.

3Je

kan

refl

ecte

ren

oph

etge

hel

ep

roce

s,i.

h.b

.op

de

gem

aakte

keu

zen

voor

rep

rese

nta

tie

enw

erkw

ijze

.

3Je

kan

het

resu

ltaa

tva

nhet

ond

erzo

ekzi

nvo

lp

rese

nte

ren

,h

etst

and

punt

argu

men

tere

nen

vers

lag

uit

bre

ngen

van

het

pro

ces.

8.

Refl

ecti

evaard

igh

ed

en

3Je

kan

refl

ecte

ren

over

de

aan

pak

van

jew

erk

enje

stu

die

s.

3Je

kan

refl

ecte

ren

over

jele

erp

roce

sen

jein

zet

(lei

den

zeto

th

etb

erei

ken

van

de

doel

stel

lin

g?).

3Je

kan

refl

ecte

ren

over

de

effici

enti

eva

nje

wer

ken

enje

lere

n.

3Je

kan

refl

ecte

ren

over

de

ster

keen

de

zwak

keel

emen

ten

ind

eu

itvo

erin

gva

nje

opd

rach

t.

3Je

kan

jere

flec

tie

concr

eet

mak

end

oor

een

pla

nva

nve

rbet

erin

gop

test

elle

n(w

elke

elem

ente

nw

ord

engeb

ruik

tom

het

lere

nen

wer

ken

teve

rbet

eren

?).

3Je

kan

refl

ecte

ren

over

de

geza

mel

ijke

aan

pak

enov

erle

gb

ijee

ngr

oep

sop

dra

cht.

Att

itu

des

10.

Zin

voor

kw

ali

teit

van

de

wis

ku

nd

ige

rep

rese

nta

tie.

Je

heb

td

ege

woon

teom

jege

dac

hte

nb

ehoor

lijk

teve

rwoor

den

,en

de

voor

-en

nad

elen

van

een

bep

aald

ew

erkw

ijze

teb

esp

reken

.

14.

Zin

voor

sam

enw

erk

ing

en

overl

eg.

3Je

ziet

ind

atje

mog

elij

kh

eden

verg

root

wor

den

door

het

sam

enw

erke

nm

etan

der

en.

3Je

toon

tap

pre

ciat

ievo

oree

nan

der

eop

loss

ing

ofaa

np

ak.

15.

Waard

eri

ng

voor

de

wis

ku

nd

e.

Je

toon

tin

zich

tin

de

bij

dra

geva

nd

ew

isku

nd

ein

cult

ure

le,

his

tori

sch

een

wet

ensc

hap

pel

ijke

ontw

ikke

lin

gen

.

Evaluatiepunten:

zievolgendepagina

Pr-

59

Page 122: Deel Portfolio wiskunde, Deel Problem Solving wiskunde, deel Practicum wiskunde (recto-verso)

Evaluatiepunten

A.Opbouw

01

23

45

Tit

el

De

keu

zeva

nd

eti

tel

isn

iet

onb

elan

grij

k.

De

leze

rm

oet

uit

de

tite

lon

mid

del

lijk

het

ond

erw

erp

van

de

pre

senta

tie

ku

nnen

hal

en.

Een

tite

lal

s’V

oor

dra

cht

pra

ctic

um

ecol

ogie

’is

teal

gem

een

.F

orm

ule

rin

gen

als

’stu

die

van

’of

’on

der

zoek

naar

’,m

aar

ook

afko

rtin

gen

,fo

rmu

les

ofm

erkn

amen

wor

den

bes

tve

rmed

en.

©©

©©

©©

Inle

idin

gIn

de

inle

idin

gw

ord

tve

rdu

idel

ijkt

wat

het

ond

erw

erp

ofd

ep

rob

leem

stel

lin

gis

,en

inw

elke

conte

xt

ofgeh

eel

het

kad

ert.

Intw

eed

ein

stan

tie

ku

nje

de

opb

ouw

van

jep

rese

nta

tie

toel

ichte

n.

De

bed

oel

ing

isd

atd

eto

ehoor

der

inzi

cht

kri

jgt

inh

etge

stel

de

pro

ble

emen

de

aan

pak

erva

n.

Idea

alis

dat

jeen

kele

vra

gen

stel

td

ieje

inje

het

hoof

dd

eel

zal

bea

ntw

oor

den

.D

atst

imu

leer

td

eaan

dac

ht

van

het

pu

bli

ek.

©©

©©

©©

Hoofd

deel

Inh

oud

elij

kis

dit

het

bel

angr

ijkst

ed

eel

van

de

voor

dra

cht.

De

and

ere

del

end

ien

enom

test

ruct

ure

ren

,te

duid

enen

het

over

zich

tte

bew

aren

.H

eth

oof

dd

eel

omva

th

etei

gen

lijk

gep

rest

eerd

ew

erk.

Ind

itd

eel

vert

elje

mee

rd

anal

leen

de

antw

oord

enop

eerd

erges

teld

evra

gen

.E

ventu

eel

ku

nje

een

asp

ect

wat

mee

rd

oor

gron

den

,en

een

red

ener

ing

mak

end

iety

pis

chis

voor

het

ond

erw

erp

.

©©

©©

©©

Besl

uit

Inh

etb

eslu

itgr

ijp

jete

rug

naa

rje

pro

ble

emst

elli

ng,

ond

erzo

eksv

raag

ofker

nb

ood

sch

apu

itd

ein

leid

ing.

Je

geef

took

aan

opw

elke

man

ier

enin

hoev

erre

jege

slaa

gdb

ent

inje

opze

t.H

ier

hor

enook

verg

elij

kin

gen

met

geke

nd

ere

sult

aten

,op

mer

kin

gen

over

met

hod

iek,

tekor

tkom

ingen

ofsu

gges

ties

voor

verd

eron

der

zoek

.

©©

©©

©©

Tota

al

op

bouw

:..

./

20

B.Voorb

ereiding

Ken

jep

ub

liek

Het

ises

senti

eel

omje

pre

senta

tie

afte

stem

men

oph

etniv

eau

van

de

toeh

oor

der

s.©

©©

©©

©H

oofd

bood

sch

ap

Ish

etac

hte

raf

du

idel

ijk

wat

de

hoof

db

ood

sch

apva

nd

ep

rese

nta

tie

was

©©

©©

©L

ess

ism

ore

Onth

oud

dat

jeke

nn

ish

etb

est

kan

over

bre

nge

nd

oor

een

hel

der

een

bon

dig

ep

rese

nta

tie,

die

leid

tto

tee

nd

ialo

ogti

jden

sh

etvra

gen

mom

ent

waa

rbij

de

toeh

oor

der

sac

tiev

ed

eeln

emer

sw

ord

en.

©©

©©

©©

Maak

jeP

ow

erp

oin

teffi

cie

nt

Pri

kke

len

van

het

pu

bli

ek,

nie

tte

veel

tekst

opd

ed

ia’s

,la

y-o

ut,

geen

verv

angen

de

maa

ron

der

steu

nd

end

efu

nct

ie.

©©

©©

©©

Tot

aal

voorb

erei

din

g:

...

/20

C.Presenteren

Wees

jezelf

Pre

senta

ties

hor

enon

der

hou

den

den

ver

mak

elij

kte

zijn

,m

aar

over

dri

jfn

iet

enke

nje

gren

zen

.A

lshu

mor

jen

iet

ligt

,p

rob

eer

dan

nie

tom

grap

pig

tezi

jn.

Als

jen

iet

goed

ben

tin

het

vert

elle

nva

nan

ekd

otes

,ve

rtel

erd

ange

en.

Een

goed

een

tert

ain

eris

hij

die

erin

slaa

gt

het

pu

bli

ekm

eete

heb

ben

end

eke

rnb

ood

sch

apka

nov

erb

ren

gen

.

©©

©©

©©

Hou

jeaan

de

voorz

ien

eti

jdH

etis

onb

elee

fdom

jen

iet

aan

de

voor

zien

eti

jdte

hou

den

.V

aak

word

tje

inzo

’nge

val

ook

aan

gem

aan

dom

afte

ron

den

,en

dat

kan

jevo

ord

rach

tw

atov

ersc

had

uw

en.

Moch

tje

toch

inti

jdsn

ood

kom

en,

kli

kje

dia

’sd

oor

enla

ath

etp

ub

liek

leze

n.

©©

©©

©©

Woord

van

dan

kV

erm

eld

de

men

sen

met

wie

jesa

men

gew

erkt

heb

t.D

ath

oef

tn

iet

nood

zake

lijk

oph

etei

nd

eva

nd

evo

ord

rach

tte

geb

eure

n,

vaak

doet

die

gele

gen

hei

dzi

chook

voor

bij

de

inle

idin

gof

tijd

ens

het

hoof

dd

eel

van

de

pre

senta

tie.

©©

©©

©©

Zij

ner

nog

vra

gen

/om

gaan

met

vra

gen

Ein

dig

enin

stij

lb

etek

ent:

na

jeb

eslu

itvo

rmin

gh

etp

ub

liek

bed

anken

voor

de

aan

dac

ht.

Nee

mh

etap

pla

us

inon

tvan

gst,

enb

egin

nie

tm

etee

nop

teru

imen

.In

die

nje

voor

dra

cht

kad

ert

inee

nre

eks

voor

dra

chte

n,

dan

wor

dt

het

pu

bli

eku

itge

nod

igd

omvra

gen

test

elle

n.

Inh

etan

der

ege

val

doe

jed

atze

lf,

na

het

app

lau

s.

©©

©©

©©

Tot

aal

pre

sente

ren

:..

./

20

Tota

al:

...

/60

Pr-

60

Page 123: Deel Portfolio wiskunde, Deel Problem Solving wiskunde, deel Practicum wiskunde (recto-verso)

naam: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . nr: . . . . . . . . . klas: . . . . . . . schooljaar: . . . . . . . . . . . . . .

Zelfevaluatiekaart Practicum 1

Zelfevaluatie

3 Kruis aan wat van toepassing is;

3 gebruik deze checklist om bij te sturen waar nodig.

Proces Aandachtspunten + +/- -

Opdracht . duidelijk

. boeiend

Bronnen . betrouwbaar

. gevarieerd

. doeltreffend

. voldoende

Materiaal . voldoende

. gevarieerd

. doeltreffend

. alle aspecten

Groepswerk . doeltreffend

. iedereen heeft zijn/haar deel gedaan

. afspraken nageleefd

. aangenaam

. boeiend

Product(verslag)

Aandachtspunten + +/- -

. logisch opgebouwd

. hoofdzaken onderscheiden van bijzaken

. terzake

. helder en aantrekkelijk taalgebruik

. boeiend

. persoonlijk

. rekening gehouden met doelpubliek

. begrippenlijst

. bronnenlijst

Conclusies

3 Bekijk aandachtig je minpunten, welke aspecten verdienen meer aandacht?Vraag hulp aan je leeraar of medeleerlingen, indien nodig.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 Wat zijn je grootste troeven? Hoe ga je die in de verf zetten?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

A-62

Page 124: Deel Portfolio wiskunde, Deel Problem Solving wiskunde, deel Practicum wiskunde (recto-verso)
Page 125: Deel Portfolio wiskunde, Deel Problem Solving wiskunde, deel Practicum wiskunde (recto-verso)

Niveau 1�

1p.Opgave 1. Als x2 = x+ 3, dan is x3 gelijk aan

© x+ 6

© 4x+ 3

© 4x2 + 3

© x2 + 3x+ 3

© x2 + 27�

1p.Opgave 2. Als alog b = 64, dan is a2

log (b3) gelijk aan

© 16

© 48

© 128/3

© 96

© 512�

1p.Opgave 3. Definieer de bewerking ∆ door a∆b = ab+ b. Dan is (3∆2)∆(2∆3) gelijk aan

© 72

© 73

© 80

© 81

© 90�

1p.Opgave 4. Het gemiddelde van a en 2b is 7, het gemiddelde van a en 2c is 8. Wat is het gemiddelde van a, b en c?

© 3

© 4

© 5

© 6

© 9�

1p. Opgave 5. Los de vergelijkingrs2a4

u=

√u

8sa2op naar u.

© 64r2s6a12

© 43√r2s2a4

© 43√r2s3a4

© 83√r2s2a4

© 43√r3s2a4

1p. Opgave 6. Bereken ln

(3√ab

a4b

)als gegeven is dat ln a = 2 en ln b = 6.

© −34

3

© −12

© 4

21

© −44

© 0�

A-66

Page 126: Deel Portfolio wiskunde, Deel Problem Solving wiskunde, deel Practicum wiskunde (recto-verso)
Page 127: Deel Portfolio wiskunde, Deel Problem Solving wiskunde, deel Practicum wiskunde (recto-verso)

Niveau 2�

2p.Opgave 7 (Vlaamse Wiskunde Olympiade). Uit a < b met a, b ∈ R volgt

© |a| < |b|© a2 < b2

© a3 < b3

© a4 < b4

©√|a| <

√|b|

2p.Opgave 8 (Vlaamse Wiskunde Olympiade). Als f(x) = 2x dan is f(x+ 2) gelijk aan

© 4

© f(x) + 2

© f(x) + 4

© 2f(x)

© 4f(x)�

2p.Opgave 9. Als x = −1 een oplossing is van ax2 + bx+ c = 0, wat is de andere oplossing dan?

© x = −ab

© x = − ba

© x =b

a

© x = − ca

© x =c

b�

2p.Opgave 10. Theo lost de vergelijking ax− b = c op, en Thea de vergelijking bx− c = a. Ze vinden beiden hetzelfde(correcte) antwoord voor x, waarbij a, b, c verschillend van elkaar en verschillend van nul zijn. Wat moet er gelden?

© a+ b+ c = 0

© a+ b+ c = 1

© a+ b = c

© b = a+ c

© a = b+ c�

2p. Opgave 11. Hoeveel asymptoten heeft de functie f(x) =x2 − 22x+ 40

x2 + 13x− 30?

© 0

© 1

© 2

© 3

© 4�

2p.Opgave 12. Voor welk natuurlijk getal n > 0 is 3n

√2013 · n

√2013 = 3

√2013 ?

© 1

© 2

© 3

© 4

© geen enkel�

A-67

Page 128: Deel Portfolio wiskunde, Deel Problem Solving wiskunde, deel Practicum wiskunde (recto-verso)
Page 129: Deel Portfolio wiskunde, Deel Problem Solving wiskunde, deel Practicum wiskunde (recto-verso)

Niveau 2�

2p.Opgave 13. Als s(x) = sin(πx) en S(x) = (s(x))

2, dan is s(s(1/6)) + S(S(1/3)) gelijk aan

© 3/4

© 1

© 4/3

© 3/2

© 2�

2p.Opgave 14. De som van een geheel getal N met het kwadraat van 2N levert een geheel getal M . Voor hoeveelwaarden van N is M een priemgetal?

© 0

© 1

© 2

© Een eindig (groter dan 2) aantal waarden.

© Een oneindig aantal waarden.�

2p.Opgave 15. Zij m en n twee rechten, onderling loodrecht, die beiden raken aan een cirkel met straal 6. Dan is deoppervlakte van het gebied begrensd door de rechten en de cirkel gelijk aan

© 9π

© 36− 9π

© 144− 36π

© 18π

© 72− 18π�

2p.Opgave 16. Als a2 − b2 = 33 en a3 − b3 = 817 gehele oplossingen a, b hebben met a > b, dan is de waarde van a− bgelijk aan

© 1

© 3

© 7

© 10

© 11�

2p.Opgave 17. Een driehoek ABC heeft zijden met lengte 6, 7 en 8. Dan is de (exacte) waarde van (cosα+cosβ+cos γ)gelijk aan

© 51/35

© 47/32

© 31/21

© 49/33

© 119/80�

2p.Opgave 18. Een datum noemt vreemd als de dag en de maand grootste gemene deler 1 hebben. Wat is het kleinstaantal vreemde dagen dat kan voorkomen in een maand?

© 9

© 10

© 11

© 14

© 15�

A-68

Page 130: Deel Portfolio wiskunde, Deel Problem Solving wiskunde, deel Practicum wiskunde (recto-verso)
Page 131: Deel Portfolio wiskunde, Deel Problem Solving wiskunde, deel Practicum wiskunde (recto-verso)

Niveau 2�

2p.Opgave 19 (Vlaamse Wiskunde Olympiade). Beschouw de functies

f(x) =√x, g(x) =

x

4, h(x) = 4x− 8

Dan is (h ◦ g ◦ f)(x) gelijk aan

©√x− 2

©√x− 8

© 2√x− 8

© √x− 8

© √x− 2

2p.Opgave 20 (Vlaamse Wiskunde Olympiade). De ruimtediagonaal van een kubus is 3. De oppervlakte van dezekubus is gelijk aan

© 3

© 3√

3

© 18

© 36

© 54

2p.Opgave 21 (Vlaamse Wiskunde Olympiade). In een gelijkbenige driehoek met tophoek 120◦ beschouwen we allehoogtelijnen, zwaartelijnen en binnenbissectrices uit de drie hoekpunten. Hoeveel verschillende rechten zijn dit?

© 9

© 7

© 6

© 5

© 3

2p.Opgave 22 (Vlaamse Wiskunde Olympiade). Op de catwalk weegt een mannequin met haar kleren aan 59 kg.Ze blijkt 58 kg meer te wegen dan haar kleding. Hoe zwaar is haar kleding?

© 0, 25 kg

© 0, 50 kg

© 0, 75 kg

© 1, 00 kg

© 1, 25 kg

2p.Opgave 23. Een stock verliest 60% van zijn waarde. Om terug op de oorspronkelijke waarde te komen moet de stockstijgen met

© 60%

© 120%

© 150%

© 200%

© 400%

A-69

Page 132: Deel Portfolio wiskunde, Deel Problem Solving wiskunde, deel Practicum wiskunde (recto-verso)
Page 133: Deel Portfolio wiskunde, Deel Problem Solving wiskunde, deel Practicum wiskunde (recto-verso)

Niveau 3�

3p.Opgave 24. Vijf verdachten van een moord, waaronder de moordenaar, worden ondervraagd door de politie. Bijonderstaande verklaringen spreken drie van hen de waarheid, en twee van hen liegen.

3 Verdachte A: “D is de moordenaar”

3 Verdachte B: “Ik ben onschuldig”

3 Verdachte C: “Het was niet verdachte E”

3 Verdachte D: “A liegt”

3 Verdachte E: “B zegt de waarheid”

Wie is de moordenaar?

© A

© B

© C

© D

© E�

3p.Opgave 25 (Vlaamse Wiskunde Olympiade). Zij x ∈ R en |x+ 1| < 3, dan geldt

© |x| < 2

© x < 2 of − x < 2

© x < 2 en − x < 2

© −2 < x < 2

© −4 < x < 2�

3p.Opgave 26. Als f(x) = e3x−2, wat is dan f

(1− ln( 1

x ))?

© e

x3

© ex3

© e+ x3

© e+1

x3

© 0�

3p.Opgave 27 (Vlaamse Wiskunde Olympiade). Gegeven zijn twee evenwijdige rechten a en b en punten P ∈ B,

Q ∈ A en R ∈ B zodanig dat |PQ| = 14 en RPQ = 110◦. Wat is de afstand tussen beide evenwijdige rechten?

© 14 cos 110◦

© 14 sin 110◦

© 14 cos 70◦

© 14

cos 110◦

© 14

sin 110◦

3p.Opgave 28. Toon aan dat

Z1 = 2Z0

(N1

N + 1

)

als

N =Z0 + 1

2 Z1

Z0 − 12 Z1

waarbij N 6= −1, Z0 6= 0

A-70

Page 134: Deel Portfolio wiskunde, Deel Problem Solving wiskunde, deel Practicum wiskunde (recto-verso)
Page 135: Deel Portfolio wiskunde, Deel Problem Solving wiskunde, deel Practicum wiskunde (recto-verso)

Niveau 3�

3p.Opgave 29. Susanne verdient tijdens weekdagen 10 euro per uur, op zaterdag 15 euro per uur en op zondag 20 europer uur. Als ze vorige maand 180 uren gewerkt heeft en in totaal 2315 euro verdiende, hoeveel keer meer uren tijdensweekdagen dan uren op zondag heeft ze vorige maand gewerkt?

© 75

© 77

© 80

© 82

© 85

3p.Opgave 30 (Vlaamse Wiskunde Olympiade). De oplossingenverzameling van x3 < x < x2 is

© ∅

© ]−∞,−1[

© ]−∞, 0[

© ]0, 1[

© ]−∞, 1[ \ {0}�

3p.Opgave 31. Op welk van onderstaande intervallen is

2− xx− 3

steeds de sinus van een hoek?

© [1, 3[

© [0, 3[

© ]2, 3[

©]−∞, 5

2

[

©]−5

2,+∞

[

3p.Opgave 32. Duid in volgende reeks alle alternatieven aan waarbij Uitspraak (1) precies dezelfde betekenis heeft alsUitspraak (2).

© (1) Niet ale jongeren sporten en fuiven graag.(2) Er zijn jongeren die niet graag sporten en niet graag fuiven

© (1) Niet alle domme jongeren zijn blonde meisjes.(2) Er bestaan domme meisjes die niet blond zijn.

© (1) Het is zo dat sommige mensen ongezond eten.(2) Sommige mensen eten niet ongezond.

© (1) Alle kinderen die niet goed zijn in wiskunde, zijn jongens.(2) Alle meisjes zijn goed in wiskunde.

© (1) Alle kinderen die goed zijn in wiskunde zijn meisjes.(2) Alle meisjes zijn goed in wiskunde.

3p.Opgave 33. De bevolking van een stad groeit exponentieel in functie van de tijd, en dus ook het aantal autodiefstallen.Als f(t) het aantal autodiefstallen per persoon in functie van de tijd is, dan is f(t)

© een exponentiele functie.

© geen constante functie.

© geen lineaire functie.

© geen exponentiele groei.

© geen exponentiele daling.

A-71

Page 136: Deel Portfolio wiskunde, Deel Problem Solving wiskunde, deel Practicum wiskunde (recto-verso)
Page 137: Deel Portfolio wiskunde, Deel Problem Solving wiskunde, deel Practicum wiskunde (recto-verso)

Niveau 3�

3p.Opgave 34 (Vlaamse Wiskunde Olympiade). Het verschil van de twee oplossingen van de vierkantsvergelijkingx2 + ax+ b = 0 is gelijk aan 5. De discriminant van deze vergelijking is dan

© 5

© 6, 25

© 10

© 25

© niet te bepalen uit deze gegevens

3p.Opgave 35 (Vlaamse Wiskunde Olympiade). Bepaal de oppervlakte van het vierkant met twee hoekpunten opde x-as (symmetrisch t.o.v. de oorsprong) en twee andere hoekpunten op de parabool met vergelijking y = 1

3 x2 + 3.

© 9

© 16

© 24

© 27

© 36

3p.Opgave 36 (Vlaamse Wiskunde Olympiade). Twee rechten met vergelijking y = ax en y = bx met a, b > 0maken een scherpe hoek, respectievelijk α en β, met de x-as zodanig dat α+ β = 90◦. Hieruit volgt:

© a+ b = 1

© a+ b = 2

© ab = 1

© a = 2b

© a = 4b

3p.Opgave 37. Welk van de volgende functies is gelijk aan de functie f(x) = x?

©√x2

© x

sign(x)

© dbxce

© ln(ex)

© eln x

3p.Opgave 38. In een klas zijn 40% van de leerlingen meisjes. Wanneer 3 jongens vervangen worden door meisjes, danzijn er in die klas 44% van de leerlingen meisjes. Hoeveel meer jongens dan meisjes zijn er in de klas?

© 10

© 12

© 15

© 18

© 20

A-72

Page 138: Deel Portfolio wiskunde, Deel Problem Solving wiskunde, deel Practicum wiskunde (recto-verso)
Page 139: Deel Portfolio wiskunde, Deel Problem Solving wiskunde, deel Practicum wiskunde (recto-verso)

Niveau 3�

3p.Opgave 39. Twee driehoeken worden gevormd in het eerste kwadrant, de ene met hoekpunten O(0, 0), A(5, 0),B(0, 12) en de andere met hoekpunten O(0, 0), C(8, 0) en D(0, 6). Het geheel getal dat het dichtst bij de afstandtussen de zwaartepunten van de driehoeken ligt is

© 0

© 1

© 2

© 3

© 4

3p.Opgave 40 (Vlaamse Wiskunde Olympiade). Een droogrek staat in een kamer en bevat 100 rode sokken, 80groene sokken, 60 blauwe sokken en 40 zwarte sokken. Iemand neemt een voor een de sokken van de draad. Aangezienhet echter donker is in de kamer, zijn de kleuren van de sokken onmogelijk te zien. Wat is het kleinste aantal sokkendat hij van de draad moet nemen om zeker te zijn dat hij ten minste 10 paar heeft gekozen? (Een paar sokken zijnelke twee sokken van dezelfde kleur. Uiteraard mag geen enkele sok in meer dan een paar geteld worden.)

© 21

© 23

© 24

© 30

© 50

3p.Opgave 41 (Vlaamse Wiskunde Olympiade). Een park heeft de vorm van een regelmatige zeshoek waarvan delengte van de zijden gelijk is aan 2 km. Annie maakt een wandeling van 5 km langs de omtrek, vertrekkend van eenhoekpunt. Hoeveel kilometers (in rechte lijn) is ze dan van haar startplaats verwijderd?

©√

13

©√

14

©√

15

©√

16

©√

17

3p.Opgave 42 (Vlaamse Wiskunde Olympiade). Vader schrijft een testament dat zijn nalatenschap aan zijn dochtersregelt: “De oudste dochter krijgt 1000 euro en 10% van wat er nog rest. Als dit uitbetaald is, krijgt de tweede 2000euro en 10% van wat er dan nog rest. De derde krijgt 3000 euro en 10% van de rest, enzovoort.” Bij zijn dood krijgenalle dochters precies evenveel. Hoeveel dochters heeft vader?

© 9

© 10

© 11

© 12

© 13

A-73

Page 140: Deel Portfolio wiskunde, Deel Problem Solving wiskunde, deel Practicum wiskunde (recto-verso)
Page 141: Deel Portfolio wiskunde, Deel Problem Solving wiskunde, deel Practicum wiskunde (recto-verso)

Niveau 4�

4p.Opgave 43. Een bibliotheek heeft tussen 1000 en 2000 boeken. Van deze boeken is 25% fictie, 1/13 zijn bibliografieenen 1/17 zijn atlassen. Hoeveel boeken zijn een bibliografie of een atlas?

© 136

© 232

© 240

© 271

© 280

4p.Opgave 44 (Vlaamse Wiskunde Olympiade). Als sin6 α+ cos6 α =

1

4, dan is cos(2α) gelijk aan

© 0

© 1

2

©√

2

2

©√

3

3

© 1

4p.Opgave 45. Zij −→v , −→w en −→u drie verschillende vectoren uit de Euclidische vectorruimte R2 die voldoen aan

||−→v || = ||−→w || = ||−→u || = 2 en −→v · −→w = −→w · −→u = 2.

Dan is

© −→v · −→u = 2

© −→v · −→u = 4

© −→v · −→u = −2

© −→v · −→u = −4

© −→v · −→u is uit de gegevens niet te bepalen

4p.Opgave 46. Een verzameling S bevat getallen, en is volledig bepaald door de volgende regels:

3 2 ∈ S

3 Als n ∈ S dan 3n ∈ S en n+ 5 ∈ S.

Welke van de volgende getallen is geen element van S?

© 2000

© 2001

© 2002

© 2003

© 2004

A-74

Page 142: Deel Portfolio wiskunde, Deel Problem Solving wiskunde, deel Practicum wiskunde (recto-verso)
Page 143: Deel Portfolio wiskunde, Deel Problem Solving wiskunde, deel Practicum wiskunde (recto-verso)

Niveau 4�

4p. Opgave 47. Voor elke n ∈ N0 en elke x ∈ R0 isn∑

k=1

nkxk−1 gelijk aan

©n−1∑

k=0

(n− 1)kxk−1

©n−1∑

k=0

nk+1xk

©n−1∑

k=0

nk−1xk−2

© Geen van vorige.

4p.Opgave 48. Een fixpunt van een (reele) functie y = f(x) is een reeel getal r zodat f(r) = r. Hoeveel van de volgendefuncties hebben altijd een fixpunt?

3 Een veeltermfunctie van de vorm y = xn met n ∈ N0.

3 Een homografische functie.

3 Een exponentiele functie.

3 Een logaritmische functie f(x) = alog x.

© 0

© 1

© 2

© 3

© 4

4p.Opgave 49. Als x2 + xy + 15x = 12 en y2 + xy + 15y = 42, welke van de volgende getallen is dan een mogelijkewaarde voor x+ y?

© 0

© 3

© 15

© 18

© Meerdere van bovenstaande mogelijkheden.

A-75

Page 144: Deel Portfolio wiskunde, Deel Problem Solving wiskunde, deel Practicum wiskunde (recto-verso)
Page 145: Deel Portfolio wiskunde, Deel Problem Solving wiskunde, deel Practicum wiskunde (recto-verso)

Niveau 5�

5p.Opgave 50. Voor i = 1 tot 6 stellen we alog

(blog ( clog xi)

)= 0, waarbij a, b en c elke rangschikking van 2, 4 en 8

doorloopt. Dan kan het product x1x2x3x4x5x6 uitgedrukt worden als 2N voor een zeker geheel getal N . Bepaal N .

© 19

© 20

© 28

© 33

© 50�

5p.Opgave 51. Getallen worden gewoonlijk voorgesteld in het decimaal stelsel, waarbij elke decimaal vermenigvuldigdwordt met een macht van tien. Zo stelt de decimale ontwikkeling ‘0, 123’ het getal 1/10 + 2/100 + 3/1000 voor. Omaan te duiden dat we werken met machten van tien, schrijft men soms

(0, 123)10 = 1/10 + 2/100 + 3/1000

In het ternair stelsel wordt elke ‘tricimaal’ vermenigvuldigd met een macht van drie. Zo is de ternaire ontwikkelingvan 1/3 + 2/9 + 1/27 gelijk aan ‘0, 121’. We schrijven dan

(0, 121)3 = 1/3 + 2/9 + 1/27

De ternaire ontwikkeling van 77/81 is gelijk aan

© (0, 950617284)3

© (0, 2012)3

© (0, 1211)3

© (0, 1111)3

© (0, 2212)3�

5p.Opgave 52. Een man wandelt, eerst op een vlakke weg en daarna op een heuvel. Aan de top van de heuvel wandelthij onmiddellijk terug naar zijn vertrekpunt. Op de vlakke weg wandelt hij aan 4km/u, bergop aan 3km/u en bergafaan 6km/u. Als volledige wandeling 6 u duurt, welke afstand heeft de man dan afgelegd?

© 16km

© 20km

© 34km

© 28km

© 32km�

5p.Opgave 53. Twee rekenkundige rijen worden vermenigvuldigd, en leveren de rij 468, 462, 384, . . . Wat is de volgendeterm in deze rij?

© 250

© 286

© 300

© 324

© 336�

5p.Opgave 54. Twee gehele getallen noemt men relatief priem als hun grootste gemene deler gelijk is aan 1. Hoeveelpositieve gehele getallen kleiner dan 1000 zijn relatief priem met 105?

© 325

© 457

© 466

© 533

© 674�

A-76

Page 146: Deel Portfolio wiskunde, Deel Problem Solving wiskunde, deel Practicum wiskunde (recto-verso)
Page 147: Deel Portfolio wiskunde, Deel Problem Solving wiskunde, deel Practicum wiskunde (recto-verso)

Niveau 6�

6p.Opgave 55. Een cirkelvormige tafel wordt in de hoek van een rechthoekige kamer geduwd, zodat het raakt aan beidemuren. Een punt op de rand van de tafel ligt op 20cm van de ene muur en op 90cm van de andere muur. Wat is destraal van de tafel?

© 50cm

© 120cm

© 150cm

© 170cm

© 200cm�

6p.Opgave 56. Het getal (102010 + 1)2 + (102010 + 2)2 −

(102010

)2is deelbaar door

© 102010 − 1

© 102010 + 3

© 102010 + 4

© 102010 + 5

© 102010 + 6�

6p.Opgave 57. Een vrouw woont op 8km van haar werk. Op het moment dat ze met de fiets naar haar werk vertrekt,heeft ze 126km op haar teller staan, aan een gemiddelde snelheid van 17, 2km/u. Ze fietst naar haar werk, en terug naarhuis. Bij het thuiskomen duidt haar teller een afstand van 142km aan, met een gemiddelde snelheid van 17, 6km/u.Bepaal de gemiddelde snelheid van de vrouw over het traject van haar huis naar haar werk, en terug.

6p.Opgave 58. Voor een rij (an) = a1, a2, a3, . . . geldt a1 = 1, a2 = 2, a3 = 5 en an−1an−2 = 2anan−2− 2an−1an−1 voor

n ≥ 3. Dan isa2006a2005

gelijk aan

© 1002

© 1002, 5

© 1003

© 1003, 5

© 1004�

6p.Opgave 59. Bepaal de positieve 1024ste machtswortel uit

(2 + 1)(22 + 1)(24 + 1)(28 + 1) . . . (21024 + 1) + 1

© 1

©√

2

© 2

© 4

© 512�

6p.Opgave 60 (Vlaamse Wiskunde Olympiade). Een klein muntstuk met straal r rolt zonder glijden rond een grootmuntstuk met straal R dat niet beweegt. De straal R is een geheel veelvoud van r. Het klein muntstuk maakt hierbijeen volledige omwenteling rond het groot muntstuk. Het aantal keer dat het klein muntstuk dan volledig om zijnmiddelpunt is gedraaid, is gelijk aan

© 1 +R

r

© R

r

© R+ r

R− r

© 2rR

r +R

© 1�

A-77

Page 148: Deel Portfolio wiskunde, Deel Problem Solving wiskunde, deel Practicum wiskunde (recto-verso)
Page 149: Deel Portfolio wiskunde, Deel Problem Solving wiskunde, deel Practicum wiskunde (recto-verso)

Toepassingen op matrices - Opgave

Toepassing 1. Matrices en aantal verbindingen in grafen

3 Op ontdekking. De onderstaande figuur is een voorbeeld van een graaf. Het toont het aantal dagelijkseinternationale vluchten tussen de belangrijkste luchthavens in de drie landen Algerije, Brazilie en Canada. Hetgetal bij elke verbinding geeft aan hoeveel vluchten er per dag zijn tussen de twee luchthavens. Bijvoorbeeld,van luchthaven b3 in Brazilie zijn er vier dagelijkse vluchten naar luchthaven c3 in Canada, maar geen enkelevlucht naar c2 in Canada.

Bereken het aantal dagelijkse vluchten van ai naar cj met een tussenlanding in Brazilie (voor elke i en j).

Algerije Brazilie Canada

2

1

3

1

2

1

3

22

1

4

1

a1

a2

b1

b2

b3

b4

c1

c2

c3

Oplossing. Uiteraard kunnen we alle mogelijkheden afzonderlijk uitrekenen. Maar zoals je later zal merkenkunnen we zo’n soort problemen wat efficienter aanpakken, namelijk met behulp van matrices. Om te herkennenover welke matrices het gaat, volgen we de volgende stappen.

Stap 1. Start met een voorbeeld.

We berekenen bijvoorbeeld:

aantal vluchten van a1 naar c1 via B is 2 · 3︸︷︷︸via b1

+ 1 · 2︸︷︷︸via b2

+ 0 · 1︸︷︷︸via b3

+ 1 · 0︸︷︷︸via b4

= 8 (∗)

Analoog bereken je bijvoorbeeld:

aantal vluchten van a2 naar c1 via B is . . .

aantal vluchten van a2 naar c3 via B is . . .

A-90

Page 150: Deel Portfolio wiskunde, Deel Problem Solving wiskunde, deel Practicum wiskunde (recto-verso)

Stap 2. Herken in Stap 1 een vermenigvuldiging van matrices.

In de bewerking (∗) herkennen we:

aantal vluchten van a1 naar c1 via B is[2 1 0 1

3210

=

[8]

Analoog herken je:

aantal vluchten van a2 naar c1 via B is[. . . . . . . . . . . .

. . .

. . .

. . .

. . .

= . . .

aantal vluchten van a2 naar c3 via B is[. . . . . . . . . . . .

. . .

. . .

. . .

. . .

= . . .

Stap 3. Voeg alle rijen in een matrix P , en alle kolommen in een matrix Q.

Om met een bewerking het aantal dagelijkse vluchten van ai naar cj via Brazilie te berekenen, maken we volgendematrixvermenigvuldiging:

[2 1 0 13 0 2 1

]

︸ ︷︷ ︸P

·

3 0 22 0 01 0 40 1 0

︸ ︷︷ ︸Q

= . . .

Zo is bijvoorbeeld het aantal vluchten van a2 naar c3 met een tussenlanding in Brazilie gelijk aan het (. . . , . . .)-de

element van de matrix P ·Q, en dat is gelijk aan . . .

Opmerking. De matrix P stelt het aantal directe verbindingen van Algerije naar Brazilie voor, ook wel dedirecte-wegenmatrix (of eenstapsverbindingsmatrix) van Algerije naar Brazilie genoemd.

↗ b1 b2 b3 b4

a1 2 1 0 1a2 1 0 2 1

matrix P =

[2 1 0 11 0 2 1

]Pik = aantal directe wegen van ai naar bk

De notatie ‘a1 ↗ b1’ wijst op het aantal wegen van a1 naar b1, namelijk a1 ↗ b1 = 2.

Analoog stelt matrix Q de directe wegenmatrix van Brazilie naar Canada voor.

↗ c1 c2 c3

b1 3 0 2b2 2 0 0b3 1 0 4b4 0 1 0

matrix Q =

3 0 22 0 01 0 40 1 0

Qkj = aantal directe wegen van bk naar cj

A-91

Page 151: Deel Portfolio wiskunde, Deel Problem Solving wiskunde, deel Practicum wiskunde (recto-verso)

Metro van Londen

3 Modelvoorbeeld De volgende graaf toont het aantal metroverbindingen tus-sen vier stations s1, s2, s3 en s4.

(a) Bereken met behulp van matrices het aantal verbindingen van si naar sjmet een tussenstop in een willekeurige station (voor elke i en j).

(b) Wat is het aantal verbindingen van s2 naar s3 met een tussenstop? Leesdit af uit je antwoord op (a).

(c) Bereken met behulp van matrices het aantal verbindingen van s4 naars1 met twee tussenstops in willekeurige stations. Maak gebruik van jegrafische rekenmachine.

(d) Bereken met behulp van matrices het aantal verbindingen van s1 naar s1 met tien tussenstops in willekeurigestations. Maak gebruik van je grafische rekenmachine.

s1

s2

s3

s4

Oplossing.

(a) Om te herkennen over welke matrices het gaat, volgen we terug ons stappenplan.

Stap 1. Start met een voorbeeld.

We berekenen bijvoorbeeld:

aantal verbindingen van s1 naar s4via een tussenstop is

. . . · . . .︸ ︷︷ ︸via s1

+ . . . · . . .︸ ︷︷ ︸via s2

+ . . . · . . .︸ ︷︷ ︸via s3

+ . . . · . . .︸ ︷︷ ︸via s4

= . . . (∗∗)

Stap 2. Herken in Stap 1 een vermenigvuldiging van matrices.

In de bewerking (∗∗) herkennen we:

aantal verbindingen van s1 naar s4via een tussenstop is

[. . . . . . . . . . . .

. . .

. . .

. . .

. . .

= . . .

Stap 3. Voeg alle rijen in een matrix P , en alle kolommen in een matrix Q.

Om met een bewerking het aantal verbindingen van si naar sj via een tussenstop te berekenen, maken wevolgende matrixvermenigvuldiging:

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

︸ ︷︷ ︸P

·

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

︸ ︷︷ ︸Q

= . . .

Opmerking. In dit voorbeeld is de matrix Q gelijk aan de matrix P . Dat komt omdat het begin-station, de tussenstop en het eindstation nu eender welk station mag zijn. Daarom noemt men P dedirecte-wegenmatrix (of eenstapsverbindingsmatrix) van de totale graaf.

(b) Het aantal verbindingen van s2 naar s3 met een tussenstop gelijk aan het (. . . , . . .)-de element van de matrix

P 2, en dat is gelijk aan . . .

A-92

Page 152: Deel Portfolio wiskunde, Deel Problem Solving wiskunde, deel Practicum wiskunde (recto-verso)

(c) Hoe kunnen we met een bewerking het aantal verbindingen van station si naar sj met twee tussenstopsberekenen?

Het berekenen kan met behulp van de grafische rekenmachine.

2ND MATRIX EDIT 1:[A] 4 ENTER etc. 2ND QUIT

2ND MATRIX ENTER ∧ . . . ENTER >

Zo is het aantal wegen van s4 naar s1 met twee tussenstops gelijk aan het (. . . , . . .)-de element van de

matrix . . . en dus gelijk aan . . .

Opmerking. De matrix . . . noemen we de . . . stapsverbindingsmatrix van de totale graaf.

(d) Hoe kunnen we met een bewerking het aantal verbindingen van station si naar sj met tien tussenstopsberekenen?

Het berekenen kan met behulp van de grafische rekenmachine.

Zo is het aantal wegen van s1 naar s1 met tien tussenstops gelijk aan het (. . . , . . .)-de element van de

matrix . . . en dus gelijk aan . . .

Opmerking. De matrix . . . noemen we de . . . stapsverbindingsmatrix van de totale graaf.

A-93

Page 153: Deel Portfolio wiskunde, Deel Problem Solving wiskunde, deel Practicum wiskunde (recto-verso)

Toepassing 2. Matrices en migratie- en populatievoorspellingen

Jan Van Eyckplein,Brugge

3 Op ontdekking We beschouwen een eenvoudig model voor de veranderingvan het aantal inwoners in een bepaalde stad t.o.v. het platteland.

Onderstel dat ieder jaar 5% van de inwoners van de stad verhuizen naar hetplatteland en dat ieder jaar 3% van de inwoners van het platteland verhuizennaar de stad. Stel in 2012 wonen er 60000 mensen in de stad en 40000 mensenop het platteland.

(a) Bepaal het aantal inwoners in de stad en op het platteland na twee jaar enna vijf jaar. Maak gebruik van je grafische rekenmachine.

(b) Naar welke waarde evolueert het aantal mensen in de stad? Maak gebruik van je grafische rekenmachine.

Oplossing. We kunnen de migratiebeweging voorstellen met behulp van de volgende graaf:

platteland stad

0, 05

0, 03

0, 97 0, 95

Ook hier kunnen we het probleem wat efficienter aanpakken met behulp van matrices. Om te herkennen overwelke matrices het gaat, volgen we de volgende stappen.

Stap 1. Start met een voorbeeld.

We berekenen bijvoorbeeld:

aantal mensen in de stadna een jaar:

0, 95 · 60000︸ ︷︷ ︸aandeel van stad

+ 0, 03 · 40000︸ ︷︷ ︸aandeel van platteland

= 58200 (∗)Analoog bereken je bijvoorbeeld:

aantal mensen op plattelandna een jaar:

. . .

Stap 2. Herken in Stap 1 een vermenigvuldiging van matrices.

In de bewerking (∗) herkennen we:

aantal mensen in de stadna een jaar:

[0, 95 0, 03

]·[6000040000

]=[58200

]

Analoog herken je:

aantal mensen op plattelandna een jaar:

[. . . . . .

]·[

. . .

. . .

]= . . .

Stap 3. Voeg alle rijen in een matrix P , en alle kolommen in een matrix Q.

Om met een bewerking het aantal mensen in de stad en op het platteland na een jaar te berekenen, maken wevolgende matrixvermenigvuldiging: [

0, 95 0, 030, 05 0, 97

]

︸ ︷︷ ︸P

·[6000040000

]

︸ ︷︷ ︸Q

= . . .

Opmerking. De matrix P stelt de (procentuele) bijdragen voor die een plaats (stad of platteland) genereert vooreen andere plaats (stad of platteland), ook wel een overgangsmatrix 1 (of migratiematrix) genoemd.

↙ stad platteland

stad 0, 95 0, 03platteland 0, 05 0, 97

matrix P =

[0, 95 0, 030, 05 0, 97

]Pij = proc. aandeel van plaats j naar i

De notatie ‘stad↙ platteland’ wijst op het procentueel aandeel bij overgang van platteland naar stad, namelijkstad ↙ platteland = 0, 05.

1Een overgangsmatrix is een vierkante matrix waarvoor de som van elke kolom gelijk is aan 100%.

A-94

Page 154: Deel Portfolio wiskunde, Deel Problem Solving wiskunde, deel Practicum wiskunde (recto-verso)

(a) Hoe kunnen we met een bewerking het aantal inwoners in de stad en op het platteland na twee jaarberekenen? En na vijf jaar?

(b) Hoe kunnen we nagaan naar welke waarde het aantal mensen in de stad evolueert?

A-95

Page 155: Deel Portfolio wiskunde, Deel Problem Solving wiskunde, deel Practicum wiskunde (recto-verso)

Roodkopvuurkever(Pyrochroa serraticornis)

3 Modelvoorbeeld De bioloog K. Evers bestudeert een insectensoort. Hij be-schikt over 3000 eitjes, 2000 larven en 1000 insecten. Elke levensfase (ei, larveen insect) duurt een maand. Hij plaatst de eitjes, larven en insecten in eenafgesloten ruimte. Na een maand is de situatie als volgt:

. Van de eitjes is 95% opgegeten of niet uitgekomen. De rest is uitgekomen.

. Van de larven heeft 20% zich ontwikkeld tot insect. De rest is dood.

. Van de oorspronkelijke insecten is er niet een meer over. Maar ze hebbenelk gemiddeld 100 eitjes voortgebracht.

(a) Stel de populatiebeweging voor met behulp van een graaf.

(b) Bepaal met behulp van matrices het aantal eitjes, larven en insecten naeen maand, twee maanden en acht maanden.

(c) Naar welke waarde evolueert het aantal eitjes? Maak gebruik van je grafi-sche rekenmachine.

Oplossing.

(a) We kunnen de overgang van de levensfasen voorstellen met volgende graaf:

eitje larve insect0, 05 0, 2

100

(b-c) Om te herkennen over welke matrices het gaat, volgen we terug ons stappenplan.

Stap 1. Start met een voorbeeld.

We berekenen bijvoorbeeld:

aantal eitjesna een maand:

. . . · . . .︸ ︷︷ ︸aandeel van eitjes

+ . . . · . . .︸ ︷︷ ︸aandeel van larven

+ . . . · . . .︸ ︷︷ ︸aandeel van insecten

= . . . (∗∗)

Stap 2. Herken in Stap 1 een vermenigvuldiging van matrices.

In de bewerking (∗∗) herkennen we:

aantal eitjesna een maand:

[. . . . . . . . .

. . .. . .. . .

=

[. . .

]

Stap 3. Voeg alle rijen in een matrix P , en alle kolommen in een matrix Q.

Om met een berekening de populatie (eitjes, larven en insecten) na een maand te kennen maken we devolgende matrixvermenigvuldiging:

. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .

︸ ︷︷ ︸P

·

. . .. . .. . .

︸ ︷︷ ︸Q

= . . .

Opmerking. De matrix P stelt de fracties voor die een levensfase genereert voor een andere levensfase, ookwel een Leslie-matrix 2 (of populatievoorspellingsmatrix) genoemd.

2Een Leslie-matrix is een vierkante matrix P waarvan enkel de elementen op de eerste rij en de elementen vlak onder de diagonaal mogenverschillen van het getal 0. Het model van Leslie werd beschreven door P.H. Leslie 1945 [16], en vereist een populatie die niet onderhevigis aan migratie en waarbij slechts een sexe, meestal de vrouwelijke, wordt beschouwd.

A-96

Page 156: Deel Portfolio wiskunde, Deel Problem Solving wiskunde, deel Practicum wiskunde (recto-verso)

(b) Hoe kunnen we met een bewerking het aantal eitjes, larven en insecten na twee maanden berekenen? Enna acht maanden?

(c) Hoe kunnen we nagaan naar welke waarde het aantal eitjes, larven en insecten streeft?

A-97

Page 157: Deel Portfolio wiskunde, Deel Problem Solving wiskunde, deel Practicum wiskunde (recto-verso)

In te studeren bewijs (vijfde jaar)

Wat voorafging

Gevolg Zij A een n× n matrix. Dan

het homogeen lineair stelsel A · x = 0 heeft een unieke oplossingm

rangA = nm

∀b ∈ Rn×1 : het lineair stelsel A · x = b heeft een unieke oplossing

Stelling met bewijs

Stelling Zij A een n× n matrix. Dan geldt

A is inverteerbaar ⇔ rangA = n

Bewijs. Het bewijs bestaat uit twee delen.

Deel 1. Onderstel dat A inverteerbaar is. We moeten aantonen dat rangA = n.

Beschouw het homogeen lineair stelsel A ·

x1...xn

︸ ︷︷ ︸x

=

0...0

︸︷︷︸0

. Dan geldt

A · x = 0 ⇔ A−1 · (A · x) = A−1 · 0⇔ (A−1 ·A) · x = 0

⇔ En · x = 0

⇔ x = 0

Dus het lineair stelsel A · x = 0 heeft enkel de nuloplossing. Wegens het bovenstaand gevolg is rangA = n.

Deel 2. Onderstel dat rangA = n. We moeten aantonen dat A inverteerbaar is. Dus we moeten aantonen dat er eenmatrix B bestaat waarvoor

a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n...

......

an1 an2 . . . ann

︸ ︷︷ ︸A

·

b11 b12 . . . b1nb21 b22 . . . b2n...

......

bn1 bn2 . . . bnn

︸ ︷︷ ︸B

=

1 0 . . . 00 1 . . . 0...

......

0 0 . . . 1

︸ ︷︷ ︸En

Met andere woorden, we moeten aantonen dat er reele getallen bij bestaan waarvoor

A ·

b11b21...bn1

︸ ︷︷ ︸b1

=

10...0

︸︷︷︸e1

, A ·

b12b22...bn2

︸ ︷︷ ︸b2

=

01...0

︸︷︷︸e2

, . . . , A ·

b1nb2n...bnn

︸ ︷︷ ︸bn

=

00...1

︸︷︷︸en

Omdat rangA = n hebben de bovenstaande stelsels

A · b1 = e1, A · b2 = e2, . . . , A · bn = en

telkens een oplossing (wegens het bovenstaand gevolg). Dus er bestaat een matrix B waarvoor A ·B = En. Dus A isrechts-inverteerbaar. Wegens de vorige eigenschap is A inverteerbaar. Dit besluit het bewijs.

A-112

Page 158: Deel Portfolio wiskunde, Deel Problem Solving wiskunde, deel Practicum wiskunde (recto-verso)

In te studeren bewijs (zesde jaar)

Hoofdstelling 1 van de integraalrekeningZij f een functie en a, b ∈ R zodat f continu is over [a, b]. Dan geldt

1. De oppervlaktefunctie A(t) tussen a en b is afleidbaar over ]a, b[ en A′(t) = f(t)

2.

∫ b

a

f(x)dx = A(b)

Schets van het bewijs.

1. Neem t ∈ ]a, b[. We moeten aantonen dat limh→0

A(t+ h)−A(t)

h= f(t).

Voor ‘kleine’ waarden van h wordt A(t + h) − A(t) gegeven door de gearceerde (georienteerde) oppervlakte opde linkerfiguur.

Anderzijds wordt h · f(t) gegeven door de gearceerde (georienteerde) oppervlakte op de rechterfiguur.

a t t+ h b

y

x

y = f(x)

A(t+ h)−A(t) = oppervlakte

a t t+ h b

h

f(t)

y

x

y = f(x)

f(t) · h = oppervlakte

Omdat h ‘klein’ is zal dus

A(t+ h)−A(t) ≈ h · f(t) waaruitA(t+ h)−A(t)

h≈ f(t)

Bij limietovergang vinden we

limh→0

A(t+ h)−A(t)

h= f(t)

waaruit blijkt dat de afgeleide A′(t) bestaat, en gelijk is aan f(t).

2. Omdat A(t) =

∫ t

a

f(x)dx is A(b) =

∫ b

a

f(x)dx.

A-113

Page 159: Deel Portfolio wiskunde, Deel Problem Solving wiskunde, deel Practicum wiskunde (recto-verso)

Toepassingen op lineaire stelsels en inverteerbare matrices - Opgave

Toepassing 1. Codeertheorie

We bespreken een eenvoudige manier om boodschappen te coderen en te decoderen.We willen bijvoorbeeld laten weten dat een vliegtuig geland is met behulp van deboodschap “NU GELAND”. We voegen aan elke letter een getal toe, namelijk zijnplaats in het alfabet

A B C D E F G H I J K L M1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

N O P Q R S T U V W X Y Z14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26�� ��Coderen

Om een boodschap te coderen gaan we als volgt te werk.

Stap 1. Groepeer de letters per twee, indien nodig vul je de booschap aan met een letter.In ons voorbeeld geeft dit

N U G E L A N D14 21 7 5 12 1 14 4

Stap 2. Kies een geheime 2× 2 matrix A die inverteerbaar is, bijvoorbeeld A =

[1 22 3

].

Stap 3. Codeer de getallen van de boodschap door te vermenigvuldigen met de matrix A.

In ons voorbeeld wordt “NU” gecodeerd als

[1 22 3

]·[1421

]=

[5691

]

Analoog voor “GE”, “LA”, “ND”. Dit geeft de gecodeerde boodschap

N U G E L A N D56 91 17 29 14 27 22 40�� ��Verzenden

We verzenden de code 56 91 17 29 14 27 22 40�� ��Decoderen

Om de code te decoderen dienen we over de matrix A te beschikken. Om het eerste paar cijfers 56 91 tedecoderen zoeken we de oplossingen van het stelsel

[1 22 3

]

︸ ︷︷ ︸A

·[x1x2

]=

[5691

]

Waarom heeft dit stelsel een unieke oplossing, en hoe kunnen we die oplossing vinden?

Het vliegtuig ontvangt de volgende instructie. Decodeer deze code.

41 67 41 68 19 33 70 115

Oplossing.

A-116

Page 160: Deel Portfolio wiskunde, Deel Problem Solving wiskunde, deel Practicum wiskunde (recto-verso)
Page 161: Deel Portfolio wiskunde, Deel Problem Solving wiskunde, deel Practicum wiskunde (recto-verso)

Vijfbew

ijzenvoor

deirrationaliteitvan√2

Een

verslagtendienstevandeleerlingenvan5aGW

i8-5aLW

i8-5bW

Wi8

door

Koen

DeNaegh

el

Onze-Lieve-Vrouwecollege

Assebroek,27

februari2011

Samenvatting

Indit

verslagbespreken

ween

kele(alternatieve)

bew

ijzenvanhet

feit

dat√2eenirrationaalgetalis.

Inhoudso

pgave

1In

leid

ing

1

2K

lass

iek

bew

ijs

2

3G

ron

dst

ell

ing

van

de

geta

llen

leer

2

4O

nd

erl

ing

pri

em

3

5M

eetk

un

dig

bew

ijs

en

de

alg

eb

raıs

che

tegen

han

ger

35.1

Alg

ebra

ısch

bew

ijs

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

.3

5.2

Mee

tkundig

bew

ijs

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

.3

6Ir

rati

on

ali

teit

van

an

dere

geta

llen

en

op

en

pro

ble

men

4

1In

leid

ing

Inee

nvie

rkan

tm

etzi

jde

1heb

ben

de

dia

gonal

enee

nle

ngt

ed

waa

rvoor

het

kw

adra

atge

lijk

isaa

n2.

Imm

ers,

sam

enm

ettw

eeaa

nligg

ende

zijd

envo

rmt

een

dia

gonaa

lee

nre

chth

oek

ige

dri

ehoek

,en

uit

de

stel

ling

van

Pyth

agora

svol

gt

12+

12

=d2⇒

d2

=2

Len

gte

isp

osi

tief

,dusd>

0.H

etge

tald

noem

tm

ende

(pos

itie

ve)

vie

rkan

tsw

orte

lva

n2,

ennot

eert

men

met√

2.D

edec

imale

voors

tellin

gva

n√

2b

egin

tal

svo

lgt:

√2

=1,

414

213

562

373

095

048

801

688

724

209...

1

1

√2

De

Pyth

ago

reer

s1on

tdek

ten

dat

de

lengt

ed

=√

2va

nzo

’ndia

gonaal

zich

nie

tra

tion

aal

ver

hou

dt

tot

de

lengt

esder

zijd

en.

Dit

isw

at

men

bed

oel

tm

et√

2is

een

irra

tionaa

lget

al:

erb

esta

ange

ennat

uurl

ijke

geta

llen

m,n

waa

rvoor

geld

tdat√

2=m n

.

1H

etee

rste

bew

ijs

van

het

bes

taan

van

irra

tion

ale

get

allen

word

tm

eest

al

toeg

esch

reven

aan

een

wis

ku

nd

ige

uit

de

Pyth

agora

eısc

he

sch

ool

(mogel

ijk

Hip

pasu

svan

Met

ap

ontu

m).

Hip

pasu

sw

erd

nie

tgep

reze

nvoor

zijn

bew

ijs:

volg

ens

een

legen

de

dee

dh

ijzi

jnontd

ekkin

gte

rwij

lh

ijop

zee

was,

enzi

jnco

lleg

aP

yth

agore

ers

zou

den

hem

ver

volg

ens

pro

mp

tover

boord

heb

ben

gek

iep

erd

.D

itvoor

het

feit

dat

hij

een

elem

ent

inh

etu

niv

ersu

mh

ad

gev

on

den

dat

de

leer

ontk

end

ed

at

alle

fen

om

enen

inh

eth

eela

lku

nn

enw

ord

ente

ruggeb

rach

tto

tgeh

ele

get

allen

enhu

nver

hou

din

gen

.

1

Waa

rom

vonden

de

Pyth

agor

eers

het

bes

taan

van

irra

tion

ale

geta

llen

zoaf

stot

elij

k?

Om

dat

zij

erva

nov

ertu

igd

ware

ndat

elk

lijn

stuk

[AB

]ka

nve

rgel

eken

wor

den

met

een

lijn

stuk

met

lengt

e1,

enw

elal

svo

lgt:

(1)

Tek

enon

der

lijn

stuk

[AB

]ee

nlijn

stuk

[CD

]m

etle

ngt

e1.

(2)

Als

jenam

her

hal

inge

nva

nhet

lijn

stuk

[CD

]de

lengt

eva

nhet

lijn

stuk

[AB

]b

ekom

t,dan

is|AB|=

m·1

=m

.A

lsdat

nie

tzo

is:

verd

ubb

ellijn

stuk

[AB

].

(2.1

)A

lsje

nam

her

halingen

van

het

lijn

stuk

[CD

]het

dubb

ele

van

de

lengt

eva

nhet

lijn

stuk

[AB

]b

ekom

t,dan

is2|AB|=

m·1

,dus|AB|=

m 2.

(2.2

)A

lsdat

nie

tzo

is:

bes

chou

whet

dri

evou

dva

nhet

lijn

stuk

[AB

].

(2.2

.1)

etc.

AB

...

1keer

nkeer

1...

CD

1keer

mkeer

De

lijn

stukke

n[CD

]die

opdez

em

anie

rin

een

eindig

aanta

lst

app

enkunnen

gem

eten

word

en,

vold

oen

aan

n·|A

B|=

m·1

,dus|AB|=

m nw

aarb

ijn

het

aanta

lher

hal

inge

nva

n[AB

]enm

het

aanta

lher

hal

inge

nva

n[CD

]is

.T

otve

rbazi

ng

van

de

Pyth

agor

eers

war

ener

lijn

stukke

ndie

nie

top

dez

em

anie

rkunnen

gem

eten

wor

den

.

2K

lass

iek

bew

ijs

Het

kla

ssie

kb

ewij

sva

nde

irra

tion

alit

eit

van√

2gaa

tte

rug

naar

Ari

stot

eles

,en

vers

chee

nin

het

boek

Elemen

ten

van

Eucl

ides

.

Eerstebewijs.

Onder

stel

uit

het

onge

rijm

de

dat

eree

nra

tionaa

lget

alr∈Q

isw

aar

voorr2

=2.

We

schri

jven

r=p/q

met

p,q∈Z

enw

em

ogen

onder

stel

len

datp

enq

onder

ling

pri

emzi

jni.e.

zeheb

ben

geen

del

ers

gem

een

(beh

alve

1en−

1).

Dan

isp2

=2q

2.

Om

dat

2ee

ndel

eris

van

2q2

isdus

2ook

een

del

erva

np2.

Om

dat

2ee

npri

emge

tal

is,

is2

met

een

ook

een

del

erva

np,

dusp

=2s

voor

een

gehee

lget

als.

Subst

ituer

eninp2

=2q2

leve

rt4s2

=2q

2dus

2s2

=q2

.E

rvo

lgt

dat

2ee

ndel

eris

vanq2

endus

ook

vanq.

Een

stri

jdig

hei

dm

eton

zeon

der

stel

ling

datp

enq

gee

ndel

erge

mee

nhadden

.W

eb

eslu

iten

dat√

2ir

rati

onaal

is.

Een

uit

bre

idin

gva

ndit

bew

ijs

lever

tdat√n

irra

tion

aal

isvo

or

elk

nat

uurl

ijk

geta

ln

dat

nie

thet

kw

adra

atis

van

een

nat

uurl

ijk

geta

l.

3G

rondst

ellin

gvan

de

geta

llenle

er

Het

volg

end

bew

ijs

steu

nt

opde

eige

nsc

hap

dat

elk

gehee

lge

tal

tesc

hri

jven

isal

see

npro

duct

van

pri

emget

allen

.B

oven

die

nis

dez

esc

hri

jfw

ijze

,op

de

teke

ns

ende

volg

orde

van

de

pri

emen

na,

unie

k.

Voorbeeld.

−15

=(−

5).3

=5.

(−3)

=(−

3).

5=

3.(−

5)

Dez

est

elling

staa

tb

eken

dal

sde

Gro

ndst

elling

uit

de

geta

llen

leer

enw

ord

tto

egew

ezen

aan

Eucl

ides

2.

Tweedebewijs.

Onder

stel

uit

het

onger

ijm

de

dat

eree

nra

tion

aal

geta

lr∈Q

isw

aar

voorr2

=2.

We

schri

jven

r=p/q

met

p,q∈Z

Dan

isp2

=2q

2.

Nu

ontb

inden

wep

enq

inee

npro

duct

van

pri

emge

tallen

.E

lkpri

emge

tal

inde

ontb

indin

gva

np

kom

ttw

eem

aal

voor

inde

ontb

indin

gva

np2,

dusp2

hee

ftee

nev

enaa

nta

lpri

emfa

ctor

en.

Anal

oog

hee

ftq2

een

even

aanta

lpri

emfa

ctor

en.

Maa

rdan

hee

ft2q2

een

onev

enaa

nta

lpri

emfa

ctore

n.

Str

ijdig

met

het

feit

datp2

=2q2

wan

tp2

hee

ftee

nev

enaa

nta

lpri

emfa

ctor

en.

2H

oew

elE

ucl

ides

dit

ner

gen

sex

plici

etn

eerg

esch

reven

had

.D

eze

eigen

sch

ap

wer

dvoor

het

eers

tgef

orm

ule

erd

door

Gau

ss1801

inzi

jnb

aanb

reken

de

doct

ora

ats

thes

isDisqu

isitiones

arithmeticae.

2

Page 162: Deel Portfolio wiskunde, Deel Problem Solving wiskunde, deel Practicum wiskunde (recto-verso)

4O

nderl

ing

pri

em

Het

der

de

bew

ijs

maak

tge

bru

ikva

nde

volg

ende

eigen

schap

:al

stw

eege

hel

ege

tallen

geen

pri

emfa

ctor

enge

mee

nheb

ben

,dan

heb

ben

hun

kw

adra

ten

ook

gee

npri

emfa

ctor

enge

mee

n.

Derdebewijs.

Onder

stel

uit

het

onge

rijm

de

dat

eree

nra

tion

aal

geta

lr∈Q

isw

aarv

oorr2

=2.

We

schri

jven

r=p/q

met

p,q∈Z

enw

em

oge

non

der

stel

len

datp

enq

onder

ling

pri

emzi

jni.e.

zeheb

ben

geen

del

ers

gem

een

(beh

alve

1en−

1).

We

moge

nte

vens

onder

stel

len

datq6=

1en

q6=−

1,ander

szo

uer

een

gehee

lge

talp

zijn

waa

rvoorp2

=2

wat

duid

elij

knon

sens

is.

Zeg

gen

datp

enq

geen

del

erge

mee

nheb

ben

bet

eken

t:al

sw

ede

pri

emon

tbin

din

gva

np

enq

nee

rsch

rijv

enal

sp

=p1·p

2·...·pk

enq

=q 1·q

2·...·ql

dan

iser

geen

enke

lepi

(met

1≤i≤k)

gelijk

aan

eenq j

(voor

1≤j≤l)

.D

us

heb

ben

ookp2

enq2

geen

pri

emdel

ers

gem

een

heb

ben

inhun

pri

emon

tbin

din

g.

Met

ander

ew

orden

,w

ekunnen

nie

tsc

hra

pp

enin

de

bre

ukp2/q

2,

laat

staa

ndat

we

dez

ekunnen

schra

pp

ento

tw

e2

bek

omen

!

5M

eetk

undig

bew

ijs

en

de

alg

ebra

ısch

ete

genhanger

Hie

rb

espre

ken

we

een

mee

tkundig

eco

nst

ruct

iedie

de

irra

tion

alit

eit

van√

2aa

nto

ont.

Het

mee

tkundig

bew

ijs

gaat

teru

gnaar

de

Gri

ekse

oudhei

d.

Voor

de

duid

elij

khei

dvo

lgt

eers

tde

alge

bra

ısch

ete

genhan

ger.

5.1

Alg

ebra

ısch

bew

ijs

Vierdebewijs.

Onder

stel

uit

het

onge

rijm

de

dat

we

eenp′ ,q′∈

Nkunnen

vin

den

waar

voor√

2=p′ /q′

.V

anal

zo’n

moge

lijk

epare

n(p

′ ,q′

)nem

enw

ehet

paar

(p,q

)w

aarv

oor

deq

min

imaa

lis

.M

etan

der

ew

oor

den

,noem

enw

eS

de

verz

am

elin

g

S={q

′∈N|

erb

esta

atee

np′∈N

waa

rvoor√

2=p′ q′}⊂

N

dan

is,

uit

het

onder

stel

de,S

nie

t-le

dig

endus

kunnen

we

het

min

imum

vanS

nem

en.

Dat

min

imum

noem

enw

eq.

Zijp∈N

een

bij

hor

end

nat

uurl

ijk

get

alw

aarv

oor√

2=p/q.

Dan

volg

tuit

de

onge

lijk

hed

en1<√

2<

2ge

makke

lijk

datq<p

enp<

2q.

Uit

dat

laats

tevol

gtp−q<q.

We

ver

kri

jgen

nu

2q−p

p−q

=2−

p qp q−

1dee

lte

ller

ennoem

erdoorq

=2−√

2√

2−

1w

ant√

2=p q

=(2−√

2)(√

2+

1)

(√2−

1)(√

2+

1)

verm

enig

vuld

igte

ller

ennoem

erm

et√

2+

1

=2√

2+

2−

(√2)2−√

2

(√2)

2−

1

=√

2

Maa

rdan

is2q−p

p−q∈S

,w

aarb

ijde

noem

erst

rikt

kle

iner

isdan

q.Str

ijdig

,w

antq

ishet

min

imum

vanS

.

5.2

Meetk

undig

bew

ijs

Hie

rvo

lgt

het

bew

ijs

waa

rmee

Gri

ekse

mee

tkundig

enb

ewez

endat√

2ir

rati

onaal

is.

Het

ach

terl

igge

nd

idee

is:

gege

ven

een

gelijk

ben

ige

rech

thoek

ige

dri

ehoek

waar

van

alle

zijd

ennat

uurl

ijke

get

alle

nzi

jn,

dan

kan

men

stee

ds

een

kle

iner

ege

lijk

ben

ige

rech

thoek

ige

dri

ehoek

kan

const

ruer

enw

aarv

oor

alle

zijd

ennog

stee

ds

nat

uurl

ijke

geta

llen

zijn

.

Vijfdebewijs.

Onder

stel

uit

het

onge

rijm

de

2=p2/q

2m

etp,q∈N

waa

rbijq

teru

gm

inim

aal

is.

Sta

p1.

Er

bes

taat

een

rech

thoek

ige

dri

ehoek

waa

rbij

de

lengt

eva

nel

kere

chth

oek

szij

dep

is,en

de

lengt

eva

nde

schuin

ezi

jdeq

is.

Inder

daa

d,

uit

2=p2/q

2vo

lgtq2

+q2

=p2,

enw

egen

sde

Ste

llin

gva

nP

yth

agor

asvo

lgt

het

bes

taan

van

zo’n

dri

ehoek

.

Mer

kop

dat

zo’n

rech

thoek

ige

dri

ehoek

ook

gel

ijkb

enig

is,

endat

de

zijd

enal

sle

ngte

nat

uurl

ijke

geta

llen

heb

ben

.O

mdat

weq

min

i-m

aal

heb

ben

gekoze

n,is

dit

dez

edri

ehoek

de

kle

inst

ere

chth

oek

ige

gelijk

ben

ige

dri

ehoek

waar

voor

de

zijd

ennatu

url

ijke

get

alle

nzi

jn.

q

q

p

3

Sta

p2.

Met

beh

ulp

van

een

pas

ser

ver

del

enw

ede

schuin

ezi

jde

intw

eelijn

stukke

n,

waa

rvan

de

lengt

eva

nhet

ene

gelijk

isaa

nq,

endus

isde

lengt

eva

nhet

ander

ege

lijk

isaan

p−q.

q

qq

p−q

Sta

p3.

Met

beh

ulp

van

een

pas

ser

verd

elen

we

een

rech

thoek

-sz

ijde

intw

eelijn

stukke

n,

waa

rvan

de

lengt

eva

nhet

ene

gelijk

isaa

np−q,

endus

isde

lengt

eva

nhet

ander

ege

lijk

isaa

nq−

(p−q)

=2q−p.

q

q

p−q

p−q

2q−p

Sta

p4.

Door

de

geco

nst

ruee

rde

punte

nte

verb

inden

vorm

tzi

chee

nnie

uw

e,kle

iner

edri

ehoek

.W

eb

ewer

endat

dez

edri

ehoek

een

rech

thoek

ige,

gelijk

ben

ige

dri

ehoek

isw

aarv

oor

de

zijd

ende

nat

uurl

ijke

geta

llen

zijn

enw

aar

voor

de

lengt

eva

nde

rech

thoek

-sz

ijde

stri

kt

kle

iner

datq

is.

Dit

zal

inst

rijd

zijn

met

het

feit

dat

datq

min

imaa

lis

.

Om

aan

teto

nen

dat

de

kle

ine

dri

ehoek

rech

thoek

igen

gelijk

be-

nig

is,

vols

taat

het

omaa

nte

tonen

dat

de

kle

ine

dri

ehoek

geli-

jkvo

rmig

ism

etde

grot

edri

ehoek

.D

evra

ag

isdus

ofde

volg

ende

verh

oudin

gen

van

de

lengt

esva

nde

volg

ende

zijd

enge

lijk

zijn

:

kort

ezi

jde

grot

e

kort

ezi

jde

kle

ine

? =la

nge

zijd

egr

ote

lange

zijd

ekle

ine

dit

iseq

uiv

alen

tm

etde

vra

ag:

q

p−q

? =p

2q−p

q

q

p−q

p−q

2q−p

Maa

rdit

gelijk

waa

rdig

met

2=p2 q2

,pre

cies

onze

ver

onder

stel

ling!

We

bes

luit

endat

de

kle

ine

dri

ehoek

gelijk

vorm

igis

met

de

grot

e,en

dus

rech

thoek

igen

gel

ijkb

enig

is.

6Ir

rati

onalite

itvan

andere

geta

llen

en

op

en

pro

ble

men

In17

61b

ewee

sL

amb

ert

datπ

=3,

14...

ene

=2,

71...

irra

tionaa

lzi

jn,

also

oker

voorr∈

Q,r6=

0.

Dit

laats

tew

asnog

alee

ndubie

us

bew

ijs

enw

erd

oppunt

gez

etdoor

Leg

endre

in17

94.

Nad

ien

wer

dde

irra

tion

alite

itva

nander

ege

tallen

enco

mbin

ati

esaan

geto

ond,

zoal

sπr

(voorr∈

Q,r6=

0)en

eπ.

Een

grot

esp

rong

voor

waa

rts

wer

din

1934

gem

aakt

door

Gel

fond

enSch

nei

der

.Z

ijto

onden

onaf

han

kelijk

van

elka

araa

ndatab

stee

ds

een

irra

tion

aal

get

al

is,

zola

ng

(1)a

enb

oplo

ssin

gen

zijn

van

een

verg

elij

kin

gm

etge

hel

eco

effici

ente

nen

,(2

)a6=

0en

a6=

1,en

(3)b

een

irra

tion

aal

geta

lis

.H

un

resu

ltaa

tto

ont

de

irra

tion

alit

eit

aan

onder

ander

e

2√2

√2√

22π

2e...

Het

isec

hte

rnog

stee

ds

onb

eken

dofπ

+e

ofπ−e

irra

tion

aal

zijn

ofnie

t.In

feit

eis

erge

enen

kel

paa

r(m,n

)va

nnie

t-nul

gehel

ege

tallen

m,n

bek

end

waa

rvoor

men

wee

tofmπ

+ne

irra

tion

aal

isof

nie

t.V

erder

ishet

ook

onb

eken

d

of2e,πe

ofπ√2

aldan

nie

tir

rati

onaa

lzi

jn.

4

Page 163: Deel Portfolio wiskunde, Deel Problem Solving wiskunde, deel Practicum wiskunde (recto-verso)
Page 164: Deel Portfolio wiskunde, Deel Problem Solving wiskunde, deel Practicum wiskunde (recto-verso)
Page 165: Deel Portfolio wiskunde, Deel Problem Solving wiskunde, deel Practicum wiskunde (recto-verso)
Page 166: Deel Portfolio wiskunde, Deel Problem Solving wiskunde, deel Practicum wiskunde (recto-verso)
Page 167: Deel Portfolio wiskunde, Deel Problem Solving wiskunde, deel Practicum wiskunde (recto-verso)

Onderzoeksopdracht 1 - Verkeersplanning

Voor het aanleggen en het uitbreiden van een wegennet gaan heel wat studies vooraf. Naast praktische overwegingenis het erg belangrijk om een zicht te hebben op de mate waarin het verkeer een vlotte doorstroom kent. Dat doet mendoor een model te maken: voor een gegeven aantal bestuurders op het wegennet probeert men de tijd te berekenendie nodig is om van een punt A naar een punt B te rijden. In deze onderzoeksopdracht beschouwen we enkele eenvou-dige modellen waarin we laten zien hoe je zoiets kan berekenen. Ook voor een groter wegennet zal men gelijkaardigeprincipes hanteren, maar laat men het rekenwerk over aan een computer.

In deze opdracht maken we de volgende vereenvoudigingen.

1. We nemen aan dat op elk moment een constant aantal auto’s auto’s op het wegennet rijden. Dat aantal noterenwe met n. Uiteraard kent zo’n model ook zijn beperkingen, want van zodra n ‘te groot’ wordt, zal het wegennetvolledig dichtgeslipt zijn, zodat er geen doorstroom meer mogelijk is.

2. Elke bestuurder beschikt op elk moment over alle verkeersinformatie van het volledige wegennet, en past dieinformatie ook zelfzuchtig toe. Dus als een bestuurder kan kiezen tussen twee alternatieve routes, dan zal hij ofzij altijd zal kiezen voor de route die het minst tijd kost.

Aan de hand van enkele voorbeelden laten we de belangrijkste principes zien. Daarna ga je zelf aan de slag.

A B

f(x)

wegennet 1

3 Wegennet 1. Op nevenstaande figuur staat het meest eenvoudige voorbeeldvan een wegennet: een eenrichtingsweg van A naar B. De tijd (in minuten)die voor een auto nodig is om de weg af te leggen hangt af van het aantalauto’s x die gebruik maken van die weg. Dat verband is dus een functie f ,die we de tijdsfunctie van de weg noemen. Doorgaans zal f een stijgendefunctie zijn, want hoe meer auto’s op het wegennet, des te langer het duurtom van A naar B te rijden. Als eenvoudig model nemen we voor f eenlineaire functie. Omdat x = n, vinden we de tijd die nodig om van A naarB te rijden: dat is gewoon f(n).

Voorbeeld. Stel dat f(x) = 0, 05x + 35. Als n = 1, dan duurt het ongeveer 35 minuten om van A naar Bte rijden. Is n = 100, dan duurt het 40 minuten. Hoe meer auto’s op het wegennet, des te langer het duurtom van A naar B te rijden.

A B

f(x)

g(y)

wegennet 2

3 Wegennet 2. Beschouw twee wegen van A naar B, de pijlen geven aanin welke richting verkeer mogelijk is. Noem f(x) de tijdsfunctie van debovenste weg, met x het aantal auto’s die gebruik maken van de bovensteweg. Analoog is g(y) de tijdsfunctie van de onderste weg, met y het aantalauto’s die gebruik maken van de onderste weg. Tijdsfuncties f en g hoevenniet gelijk te zijn. Het is denkbaar dat de ene weg wat langer is dan de andere,zodat het nemen van de ene weg langer duurt dan de andere, zelfs al kiest dehelft van de bestuurders voor de ene weg en de helft voor de andere. Het kanook dat de ene weg wat meer opstopping veroorzaakt dan de andere weg,bijvoorbeeld de aanwezigheid van winkelcentra, verkeerslichten, bebouwdekom, etc.

Omdat we aannemen dat elke bestuurder kiest voor de route die hem het minste tijd kost, zal het na verloopvan tijd de reistijd voor de bovenste weg gelijk zijn aan de reistijd van de onderste weg. We zeggen dan dat hetnetwerk in evenwicht is. Dan zal dus {

x+ y = n

f(x) = g(y)

Kennen we de functies f en g, dan kunnen we op die manier x en y berekenen en dus nagaan hoe lang eenbestuurder er over doet om van A naar B te rijden.

Voorbeeld. Stel dat f(x) = 0, 05x+ 35 en g(y) = 0, 2 y+ 10. Uit x+ y = n volgt y = n−x, en bij evenwichtis de reistijd voor de bovenste weg gelijk aan de reistijd voor de onderste weg:

f(x) = g(n− x) ⇒ 0, 05x+ 35 = 0, 2 (n− x) + 10

⇒ x = 0, 8n− 100

Voor n ≤ 125 kiest dus (best) niemand voor de bovenste weg, en duurt de reistijd van A naar B (via deonderste weg) maximaal 35 minuten. Is bijvoorbeeld n = 1000, dan kiezen 700 bestuurders voor de bovensteweg, en 300 voor de onderste. In beide gevallen geeft dat een reistijd van 70 minuten.

A-134

Page 168: Deel Portfolio wiskunde, Deel Problem Solving wiskunde, deel Practicum wiskunde (recto-verso)

Onderzoeksvraag 1

A

X

B

Y

f(x1) g(x2)

g(y1) f(y2)

wegennet 3

Beschouw nevenstaand wegennet 3, waarbij de tijdsfunctie vantegenoverliggende wegen gelijk zijn. Bij wijze van voorbeeldnemen we aan dat de tijdsfuncties f en g gegeven worden door

f(x) = 0, 1x en g(y) = 0, 01 y + 50

Als het netwerk in evenwicht is, hoeveel bestuurders kiezendan voor de route van A naar B via X? Staaf je vermoedenmet een berekening, en bepaal ook de reistijd van A naar B.

Aanwijzing. Wat is het verband tussen x1 en x2?

Onderzoeksvraag 2

A

X

B

Y

f(x1) g(x2)

g(y1) f(y2)

h(z)

wegennet 4

We breiden wegennet 3 uit met een route van X naar Y , enbekomen zo wegennet 4. Om de gedachten te vestigen nemenwe aan dat de tijdsfunctie h wordt gegeven door

h(z) = 0, 01 z + 10

Als het netwerk in evenwicht is, zal de reistijd van A naar Bnu kleiner of groter zijn aan de reistijd uit Onderzoeksvraag1? Staaf je vermoeden met een berekening. Verdedig nadienje standpunt. Bedenk dat de waarde van n een rol kan spelen.

Onderzoeksvraag 3

Bedenk zelf een nieuw, eenvoudig wegennet 5 voorzien van tijdsfuncties. Bestudeer, bij evenwicht, hoeveel bestuurdersgebruik maken van de verschillende routes. Bepaal ook de reistijd. Daarnaast kun je ook een eigen vermoedenformuleren en argumenteren waarom je vermoeden juist is.Aanwijzing. Mogelijkheiden om een nieuw netwerk te kiezen zijn:

3 neem wegennet 2 waarbij je ook tweerichtingsverkeer toelaat;

3 neem wegennet 3 met andere tijdsfuncties;

3 neem wegennet 4 waarbij je ook verkeer van Y naar X toelaat;

3 neem als wegennet 5 een verplaatsing van A naar B via X, Y of Z.

A-135

Page 169: Deel Portfolio wiskunde, Deel Problem Solving wiskunde, deel Practicum wiskunde (recto-verso)

Onderzoeksopdracht 2 - Het probleem van Josephus

Flavius Josephus(37 - ±100)

Deze onderzoeksopdracht gaat over een variant van een oud probleem genoemd naarJosephus, een befaamde 1 historicus uit de eerste eeuw na Christus. Tijdens de Joods-Romeinse oorlog werd hij met 40 andere Joodse rebellen opgesloten in een grot. Derebellen verkozen zelfmoord boven overgave. Ze beslisten om in een kring te gaanstaan en elke derde persoon te vermoorden tot niemand meer overbleef. Maar Josep-hus en een andere persoon hadden het niet zo begrepen op deze eliminatie, en - zogaat de legende - bedachten een manier hoe zij als laatsten konden overblijven omzich nadien aan de Romeinen over te geven.

In onze variant gaan we ervan uit dat er n personen in een kring staan. Om hetprobleem van Josephus wat eenvoudiger te maken spreken we in een eerste onder-zoeksvraag af dat elke tweede persoon in de cirkel vermoord wordt.

Onderzoeksvraag 1

Als er n personen in een kring staan en elke tweede wordt vermoord, welk nummer un blijft er dan als laatste over?

12

3...

n

Aanwijzing.

(a) Om het probleem goed te begrijpen ga je best enkele kleine gevallen na.

(i) Bepaal un voor 1 ≤ n ≤ 10. Maak een tabel.

(ii) Misschien zie je nu al een patroon in de tabel uit (a), en heb je een ver-moeden hoe je un kan bepalen voor een willekeurige n. Zo ja, bepaal u2013.Zo neen, dan beantwoord je deze vraag later wel.

(b) Het eerste doel is om een recursief voorschrift van de rij (un) te bepalen.

(i) Je kan u19 en u20 bepalen enkel door de gegevens uit (a) te gebruiken.

(ii) Veralgemeen dit idee door een formule van de vorm un = . . . um + . . . op te stellen, waarbij m < n. Wat ism in functie van n? Test je vermoeden met behulp van andere voorbeelden. Bewijs daarna je vermoeden.

(c) Het tweede doel is om een expliciet voorschrift van de rij (un) te bepalen.

(i) Maak je tabel uit (a) wat groter door un voor 1 ≤ n ≤ 16 te berekenen. Dat kan handig met behulp van(b). Groepeer de tabel volgens opeenvolgende machten van 2, en zoek een patroon.

(ii) Probeer met dat patroon nu een expliciet voorschrift voor un te maken. Begrippen als de 2-logaritme en defloor-functie kunnen van pas komen. Test je vermoeden met behulp van (a). Bewijs daarna je vermoeden.

Onderzoeksvraag 2

Stel n personen staan in een kring staan en elke tweede wordt vermoord. Nadien blijkt nummer 2013 als laatste overte blijven. Wat is de waarde van n?

Op basis van een expliciet voorschrift van de rij (un) uit Onderzoeksvraag 1 kun je nu een vermoeden formuleren enbewijzen voor het oorspronkelijke probleem van Josephus:

Onderzoeksvraag 3

Als er n personen in een kring staan en elke derde wordt vermoord, welk nummer un blijft er dan als laatste over?

1Ware het niet dat Josephus beschikte over zijn wiskundige talenten, zo zegt de legende, dan zou hij bijlange na niet beschikt hebbenover de levensjaren die hem toegelaten hebben om beroemd te worden. Josephus zelf schreef dat hij ‘als bij wonder’ gespaard bleef.

A-136

Page 170: Deel Portfolio wiskunde, Deel Problem Solving wiskunde, deel Practicum wiskunde (recto-verso)
Page 171: Deel Portfolio wiskunde, Deel Problem Solving wiskunde, deel Practicum wiskunde (recto-verso)

Onderzoeksopdracht 3 - Omtrek, oppervlakte, dimensie van een fractaal

Mandelbrot verzameling

Een fractaal is een verzameling van punten in het vlak die voldoet aan de eigenschapschaalinvariantie, dat wil zeggen de figuur ziet er steeds ‘van hetzelfde type’ uit,ongeacht in welk punt (en hoeveel) je inzoomt. Zo is bijvoorbeeld een lijnstuk eenfractaal, want ongeacht in welk punt we inzoomen, de figuur heeft steeds dezelfdevorm.

Over fractalen werd reeds in de 17de eeuw gefilosofeerd, maar het wachten op KarlWeierstrass die in 1872 een eerste voorbeeld van een niet-triviale fractaal gaf. Eensdeze figuren gevisualiseerd konden worden dankzij computers, werden ze een echtehype. De term fractaal werd geıntroduceerd in 1975 door Benoıt Mandelbrot enis afgeleid van het Latijnse fractus (gebroken). Niet-triviale fractalen zijn bijvoorbeeldde Mandelbrot verzameling en de Julia verzameling. Zoek op het internet afbeeldingen van deze fractalen. Het film-pje op de link http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/e9/Fractal-zoom-1-15-rupture.ogg laatzien dat in sommige fractalen motieven voorkomen die zich op steeds kleinere schaal herhalen.

In deze opdracht werken we met twee fractalen: de driehoek van Sierpinski en de sneeuwvlok van Koch. Daarna latenwe zien hoe je kan spreken over de dimensie van een fractaal.

3 De driehoek van Sierpinski Deze fractaal werd in 1915 beschreven door de Poolse wiskundige WaclawSierpinski . Om de fractaal te bekomen, starten we met een gelijkzijdige driehoek (bijvoorbeeld met hoogte1), waarbij we de volgende drie stappen herhaaldelijk blijven toepassen.

Stap 1 Neem het middelpunt van elke zijde.

Stap 2 Verbind de drie middelpunten tot een nieuwe driehoek.

Stap 3 Laat die nieuwe driehoek weg.

Voor elke nieuwe figuur doorloop je de drie stappen opnieuw. Hieronder zie je de bekomen figuur na 1 keer, 2keer, 3 keer en 4 keer. De driehoek van Sierpinski bestaat uit de punten die nooit verwijderd worden.

Dynamische applets met de constructie van de fractaal en inzoomfunctie zijn terug te vinden op de websitehttp://en.wikipedia.org/wiki/Sierpi%C5%84ski−triangle .

3 De sneeuwvlok van Koch Deze fractaal werd in 1904 bestudeerd door Helge von Koch . Om de fractaalte bekomen, starten we opnieuw met een gelijkzijdige driehoek, waarbij we de volgende drie stappen herhaaldelijkblijven toepassen.

Stap 1 Verdeel elke zijde in drie gelijke delen.

Stap 2 Op elke zijde teken je een gelijkzijdige driehoek op het middelste deel, dat naar buiten wijst.

Stap 3 Het middelste deel laat je weg.

Voor elke nieuwe figuur doorloop je de drie stappen opnieuw. Hieronder zie je de bekomen figuur na 1 keer, 2keer, 3 keer en 4 keer. De sneeuwvlok van Koch bestaat uit de punten die nooit verwijderd worden.

1We geven hier slechts een vage omschrijving van het begrip fractaal, dat volstaat voor onze doeleinden.

A-137

Page 172: Deel Portfolio wiskunde, Deel Problem Solving wiskunde, deel Practicum wiskunde (recto-verso)

Dynamische applets zijn te vinden op de website http://en.wikipedia.org/wiki/Koch−snowflake .

3 Fractale dimensie In de Euclidische meetkunde is een rechte lijn eendimensionaal, een vlak tweedimensionaalen een ruimtelijke vorm driedimensionaal. Voor fractalen kan de dimensie niet zo eenvoudig aangegeven worden:bij het iteratieve proces waarbij een lijnenfiguur een fractaal benadert, kan een tweedimensionaal gebied steedsmeer opgevuld geraken, en benadert de eendimensionale vorm een tweedimensionale. In 1967 bedacht Mandelbroteen manier om toch te spreken over de dimensie van een fractaal, die men als volgt berekent:

Stap 1 Deel de fractaal in een (eindig) aantal gelijke figuren, die allen gelijkvormig zijn met de oorspron-kelijke fractaal. Noem N het aantal figuren (afhankelijk van geval tot geval).

Stap 2 Noem S de schaalvergroting (of gelijkvormigheidsfactor) die nodig is om elke deelfiguur te vergrotentot de oorspronkelijke figuur.

Stap 3 De (fractale) dimensie van de figuur is het getal d waarvoor N = Sd.

Men kan aantonen dat deze definitie onafhankelijk is van het aantal figuren N .

Voor een lijnstuk bekomen we: (1) deel het lijnstuk in N = 2 gelijke delen; (2) dan is de gelijkvormigheidsfactorS = 2; (3) de fractale dimensie d voldoet aan 2 = 2d dus d = 1. Bepaal nu zelf de fractale dimensie van een(opgevuld) vierkant.

Onderzoeksvraag 1

Bepaal de omtrek en de oppervlakte van de driehoek van Sierpinski en de sneeuwvlok van Koch.

Aanwijzing. Voor de driehoek van Sierpinski kun je als volgt te werk gaan (analoog voor de sneeuwvlok van Koch).

(a) Duid een punt aan dat behoort tot de driehoek van Sierpinski (een punt dat nooit verwijderd zal worden).

(b) Noem (un) de rij die we bekomen door de overblijvende oppervlakte te berekenen (na 1 keer, 2 keer, etc.).

(i) Bepaal een expliciet voorschrift van de rij (un).

(ii) Naar wat evolueert de oppervlakte? Toon aan met een berekening.

(iii) Wat kun je besluiten over de oppervlakte van de driehoek van Sierpinski?

(c) Noem (vn) de rij die we bekomen door de overblijvende omtrek te berekenen, dat wil zeggen de som van delengtes van alle overblijvende zijden.

(i) Bepaal een expliciet voorschrift van de rij (vn).

(ii) Naar wat evolueert de omtrek? Toon aan met een berekening.

(iii) Wat kun je besluiten over de omtrek van de driehoek van Sierpinski?

Onderzoeksvraag 2

Bereken de fractale dimensie van de driehoek van Sierpinski en de sneeuwvlok van Koch.

A-138

Page 173: Deel Portfolio wiskunde, Deel Problem Solving wiskunde, deel Practicum wiskunde (recto-verso)

Onderzoeksopdracht 4 - Winnende strategieen

Een kansspel is een spel waar winst of verlies wordt bepaald door toeval, bijvoorbeeldhet spelen van een krasspel of een deelname aan de lotto. In deze onderzoeksopdrachthebben we het niet over kansspellen maar over wiskundige spellen met twee spelers,waar de winst of het verlies van een speler enkel afhangt van de beslissingen die beidespelers tijdens het spel nemen. Voor zo’n wiskundig spel is een van de belangrijkstevragen of er een winnende strategie bestaat: een stappenplan zodat een speler,ongeacht de beslissingen van de andere speler, het spel gegarandeerd wint. Bestaater zo’n winnende strategie, en zijn beide spelers hiervan op de hoogte, dan is deuitkomst van het spel afhankelijk van wie het spel als eerste begint. We noemeneen spelsituatie winnend als de eerstvolgende speler die aan zet is gegarandeerd wint indien hij zo’n winnende strategietoepast. Een spelsituatie is verliezend als de eerstvolgende speler die aan zet is gegarandeerd verliest indien de tegen-speler zo’n winnende strategie toepast. De tak van de wiskunde die zich met het bestaan van winnende strategieen ende beslisbaarheid van winnende en verliezende spelsituaties bezig houdt, is de zogenaamde speltheorie.

In wat volgt bespreken we het spel Nim, waarin we laten zien dat een winnende strategie afhangt van de beginsituatie.Is die beginsituatie gunstig, en past de speler die het eerst aan zet is deze strategie toe, dan wint hij/zij gegarandeerdhet spel. Is de beginsituatie ongunstig, en past de tweede speler die aan zet is zijn/haar strategie toe, dan verliest deeerste speler gegarandeerd.

In de onderzoeksvraag hebben we het over een ander spel, waarbij het bestaan van zo’n winnende strategie ook afhangtvan de beginsituatie.

een opgave van het spelNim

3 Nim is een spel voor twee spelers, waarbij de spelers om beurten een aantalvoorwerpen (bijvoorbeeld schijven) moeten wegnemen van een aantal stapels.De spelers doen om de beurt een zet, die er uit bestaat dat van een stapelminimaal een schijf en maximaal de hele stapel wordt weggenomen. De winnaaris degene die de laatste schijven wegneemt. Je kan het spel Nim spelen via delink http://www.koendenaeghel.be/Nim.htm .

In wat volgt houden we het op ten hoogste twee stapels. We gaan naof er een winnende strategie bestaat, en in welke beginsituaties de eerste spelerkan winnen.

1. Hoe kunnen we de spelsituatie op een eenvoudige manier noteren?

We kiezen voor een koppel getallen dat het aantal schijven op de stapels weergeeft. Dus de spelsituatie inbovenstaande afbeelding wordt genoteerd als (5, 7).

2. Bepaal eenvoudige spelsituaties die winnend of verliezend zijn, en zoek een patroon.

Als er maar een stapel is, dan win je door alle schijven weg te nemen. Dus

winnend: (1, 0), (2, 0), (3, 0), . . .

(0, 1), (0, 2), (0, 3), . . .

Als er twee stapels met stenen liggen, dan mogen we vooral niet een stapel volledig weg nemen, omdat detegenspeler dan voorgaande strategie kan toepassen om te winnen. De spelsituatie (1, 1) is dus verliezend,terwijl (2, 1) dan weer winnend is. Op die manier is ook (3, 1) winnend, want dan nemen we gewoon tweeschijven van de eerste stapel weg. Voorlopig bekomen we

verliezend: (1, 1)

winnend: (2, 1), (3, 1), (4, 1), . . .

(1, 2), (1, 3), (1, 4), . . .

Analoog kunnen we ook redeneren op andere spelsituaties, zoals (2, 2), (3, 2), etc. We kunnen een lijstmaken waarin we proberen om een patroon te herkennen in de winnende en verliezende situaties. Om hetoverzicht te bewaren, kiezen we een andere weg.

A-139

Page 174: Deel Portfolio wiskunde, Deel Problem Solving wiskunde, deel Practicum wiskunde (recto-verso)

Nu komt een meetkundige interpretatie van pas. Elke spelsituatie (m,n) kunnen we associeren met een puntP (m,n) in een Cartesisch assenstelsel. Schrijven we • voor een winnende situatie en ◦ voor een verliezendesituatie, dan bekomen we voorlopig de onderstaande Figuur 1.

0 1 2 3 4 5

0

1

2

3

4

5

• • • • •

• • • •

Figuur 1: spelsituatie (3, 1) is winnend

0 1 2 3 4 5

0

1

2

3

4

5

• • • • •

• • • •

• • •

• •

Figuur 2: een mogelijk spelverloop bij (3, 5)

Bij een spelsituatie (m,n) komt het spelen van een zet overeen met een verschuiving van punt P (m,n) naarlinks of naar onder. Zo zien we in waarom (1, 1) verliezend is: elke verschuiving naar links of naar ondergeeft winnende situatie ◦ voor de andere speler. En zo zien we ook in waarom spelsituatie (3, 1) winnend is:er is een verschuiving naar links dat een verliezende situatie ◦ voor de tegenspeler geeft. Breiden we dezeredenering uit, dan bekomen we de andere roosterpunten zoals in Figuur 2.

De winnende spelsituaties (m,n) komen overeen met de roosterpunten die niet op de diagonaal liggen, dusprecies wanneer m 6= n.

3. Beschrijf voor elke winnende spelsituatie een winnende strategie.

Bij een winnende spelsituatie (m,n) met m 6= n verloopt een winnende strategie als volgt: zorg dat je naelke zet een verliezende situatie doorgeeft aan de tegenspeler. Dat doe je door een verschuiving naar linksof naar onder uit te voeren zodat je een punt op de diagonaal bekomt. In de praktijk maak je bij elke zetbeide stapels gelijk. Een mogelijk spelverloop bij (3, 5) is bijvoorbeeld (zie Figuur 2):

(3, 5)→ (3,3)→ (2, 3)→ (2,2)→ (2, 0)→ (0,0)

een opgave van het spelCookies

3 Cookies is een ander spel, dat als volgt verloopt. Op tafel staan twee sta-pels met koekjes. Twee spelers nemen om beurten koekjes van de stapels, endat kan alleen als volgt: ofwel neem je een aantal koekjes uit een stapel, of-wel neem je van beide stapels hetzelfde aantal koekjes. De winnaar is degenedie de laatste koekjes wegneemt. Je kan het spel Cookies spelen via de linkhttp://www.koendenaeghel.be/Cookies.htm .

Onderzoeksvraag

Bepaal welke spelsituaties bij Cookies winnend zijn, en beschrijf een winnendestrategie.

Aanwijzing.

(a) Door enkele kleine gevallen na te gaan kun je inzien waarom een spelsituatie winnend is, en wat in dat geval dewinnende strategie is. Het moeilijk deel is om alle winnende spelsituaties te beschijven.

(b) Een eerste uitdaging is om een patroon2 te vinden in de winnende (of verliezende) koppels. Formuleer eenvermoeden.

(c) Als tweede uitdaging kun je een elegante formule zoeken die voor een beginsituatie meteen beslist of de eerstespeler gegarandeerd kan winnen. Zijn de situaties (19, 30) en (3198, 5175) winnend?

2Veelvoorkomende rijen kun je terug vinden op de online encyclopedie van getallenrijen http://oeis.org/?language=dutch , diemeer dan 200 000 rijen met gehele termen herkent.

A-140

Page 175: Deel Portfolio wiskunde, Deel Problem Solving wiskunde, deel Practicum wiskunde (recto-verso)

Wiskundig door de bocht1

Inleiding

Soms dringt wiskunde zich spontaan op, bijvoorbeeld in een stukje speelgoed. Je hoeft het alleen maar ter hand tenemen om uren te construeren en aan de hand daarvan te redeneren en te rekenen. Bij dit onderwerp gaan we datdoen aan de hand van een set van zogenaamde ‘elleboogjes’.

elleboogje

Een elleboogje is een kwartcirkel. Met een klik kunnen de elleboogjes worden geschakeld. Webekijken alleen gesloten schakelingen van elleboogjes (dus zonder begin- en eindpunt). Zo’ngesloten schakeling noemen we een circuit. Onderstaande foto’s tonen een aantal voorbeeldenvan circuits. Je ziet vier vlakke circuits, bestaande uit 8, 12, 16 en 28 elleboogjes: ze kunnenplat op tafel worden gelegd.

8-circuit 12-circuit 16-circuit 28-circuit

niet vlak

Maar hiernaast is ook een ruimtelijk circuit gegeven met 7 elleboogjes. Deze vorm kan nietplat op tafel gelegd worden. We noemen een circuit dus alleen vlak als alle elleboogjes vanhet circuit in hun geheel plat op tafel liggen. Om misverstanden te voorkomen: de tweeonderstaande foto’s tonen twee circuits met 8 elleboogjes. Links is sprake van een vlakcircuit; rechts ligt het circuit niet in zijn geheel plat op tafel en daarom is het dus niet vlak.

vlak niet vlak

Wiskundige representaties van elleboogjes

gezamelijke raaklijn

De elleboogjes kunnen we wiskundig representeren als kwartcirkels met straal 1.Bij deze wiskundige weergave verwaarlozen we de dikte van het materiaal vande elleboogjes. In de verbindingen zitten de kwartcirkels met hun eindpuntenaan elkaar en hebben daar een gezamenlijke raaklijn. Soms lijkt een plasticcircuit wel te kunnen (met een beetje wringen), maar als je het op bovenstaandewijze met kwartcirkels probeert weer te geven, blijkt het wiskundig gezien nietmogelijk. Wij zullen dat dan niet als ‘circuit’ erkennen. De raaklijneigenschapvan de wiskundige representatie betekent voor de concrete elleboogjes: vantwee geschakelde elleboogjes sluiten de grensvlakken naadloos op elkaar aan.Een wiskundige omschrijving van een circuit van n elleboogjes (met n ∈ N) luidt dus:

Een n-circuit is een gesloten kromme, bestaande uit n kwartcirkels die in alle verbindingspuntensteeds een gezamenlijke raaklijn hebben.

snavel en dubbelpunt

Het lijkt overbodig (omdat de elleboogjes het niet toelaten), maar wiskundigmoet het nog worden uitgesloten: in een gesloten kromme staan we geen ’sna-vels’ toe en ook geen ‘dubbelpunten’.

1Wiskunde B-dag opgave 2003, Freudenthal instituut 1991-2013 [43].

A-142

Page 176: Deel Portfolio wiskunde, Deel Problem Solving wiskunde, deel Practicum wiskunde (recto-verso)

Opgave

Bij deze onderzoeksopdracht ga je op zoek naar mogelijkheden en onmogelijkheden van vlakke en ruimtelijke circuitsvan elleboogjes en eigenschappen daarvan. Het setje van 24 elleboogjes is bedoeld om daadwerkelijk constructies uit tevoeren die het denken en redeneren over circuits in algemene zin (dus ook voor circuits met meer dan 24 elleboogjes)kunnen ondersteunen. De opdracht is gesplitst in drie delen.

In deel A worden de vlakke circuits onderzocht. In deel B worden ruimtelijke circuits bekeken die aan bepaaldevoorwaarden moeten voldoen; je krijgt daar dus maar beperkt de ruimte. Daarna krijg je in deel C de volledig vrijeruimte. De genummerde vragen in de delen A, B en C zijn bedoeld om richting te geven aan je onderzoekingen. Zehoeven niet in de gegeven volgorde bekeken te worden; het werk daaraan kan ook worden verdeeld binnen de groep.In elk deel worden ook algemene vragen gesteld. Dat zijn de onderzoeksvragen waarmee je jezelf kunt onderscheidenvan anderen in wiskundige diepgang en volledigheid.

Eindopdracht

Van je bevindingen in de delen A, B en C maak je een zelfstandig leesbaar werkstuk. Dit houdt in dat een lezer,die zelf beschikt over een setje elleboogjes, aan de hand van je verslag duidelijk zicht krijgt op de mogelijkheden,onmogelijkheden en eigenschappen van vlakke en ruimtelijke circuits. In het verslag speelt de volgorde van de vragenzoals ze in deze onderzoeksopdracht zijn gezet geen enkele rol. Zorg er wel voor dat je bevindingen bij de verschillendevragen aan bod komen, maar voorkom dat je verslag alleen maar een beantwoording is van de afzonderlijke vragen.

Deel A: Vlakke circuits

Duidelijk is dat het kleinst mogelijke vlakke circuit uit vier elleboogjes bestaat. We noemen dit een vlak 4-circuit.

Vlakke n-circuits

Een vlak n-circuit is dus een gesloten kromme zonder dubbelpunten van precies n elleboogjes, waarvan alle elleboogjesplat op tafel liggen. In dit deel bekijken we eerst welke vlakke n-circuits mogelijk zijn. Je hebt de beschikking over eensetje van 24 echte elleboogjes om mee te experimenteren. Bedenk dat een deel van de vragen ook gaat over waardenvan n die groter zijn dan 24.

1. Leg met 8 elleboogjes een vlak 8-circuit. Zijn er meerdere mogelijkheden? Geef ook alle mogelijkheden voor eenvlak 12-circuit. Toon daarbij overtuigend aan dat je ze allemaal hebt gevonden.

2. Circuits daadwerkelijk maken is een kwestie van proberen. Daarbij zal het setje elleboogjes zeker helpen. Maarop papier communiceren over een circuit, zonder dat je daarbij steeds zo’n circuit tekent, is een ander verhaal.Bij het beantwoorden van veel vragen is het daarom nuttig om een manier te hebben waarmee je een willekeurigcircuit kunt beschrijven. Dat kan op velerlei manieren. Aan jullie de taak om zelf een handige beschrijvingswijzete zoeken, waarmee je makkelijk kunt communiceren. Zorg er wel voor dat je de gekozen beschrijving preciesvastlegt voor de lezer.

3. Je kunt heel wat 16-circuits maken. Bedenk een systematiek om ze allemaal te vinden en beschrijf die systematiek.

4. Met een oneven aantal elleboogjes kun je nooit een vlak circuit leggen. Leg dat uit.

schakeling

5. Maak een schakeling van drie elleboogjes. De grenspunten nummeren we0, 1, 2 en 3 zoals hier schematisch is weergegeven. Houd nu de punten 0en 1 (dus het eerste elleboogje) vast. Beschrijf waar de eindpunten vanvolgende elleboogjes 2, 3, 4, . . . dan kunnen komen te liggen, inclusief derichting waarin een nieuw elleboogje in zo’n eindpunt moet aansluiten.

6. Is een vlak 6-circuit mogelijk?

Algemene vraag I. Voor welke waarden van n is een vlak n-circuit mogelijk? Kun je dit ook hard maken?

Bonusvraag Gegeven een waarde n, stel een formule op die het aantal verschillende mogelijkheden geeft voorhet maken van een vlak n-circuit.

A-143

Page 177: Deel Portfolio wiskunde, Deel Problem Solving wiskunde, deel Practicum wiskunde (recto-verso)

Omsloten oppervlakte van een vlak n-circuit

We bekijken nu alleen de wiskundige representatie van de elleboogjes, waarbij de materiele dikte van de elleboogjeswordt verwaarloosd. Dat zijn kwartcirkels met straal 1. De omsloten oppervlakte van het 4-circuit is dus π. Natuurlijkhangt de oppervlakte van een vlak n-circuit samen met de waarde van n, maar daarnaast is ook de vorm van hetcircuit van invloed op de omsloten oppervlakte.

7. Laat zien dat de oppervlakte binnen een vlak 8-circuit gelijk is aan π + 4.

Algemene vraag II. Wat is de maximale oppervlakte die kan voorkomen bij vlakke n-circuits? En wat is deminimale waarde? Bewijs dit.

Bonusvraag Gegeven een willekeurig vlak n-circuit, stel een formule op die de oppervlakte geeft, eventueel infunctie van parameters die geassocieerd worden met de vorm van het n-circuit.

Deel B: Beperkte ruimte

Met de elleboogjes kunnen ook ruimtelijke circuits worden gevormd. In de ruimte heb je eindeloos veel constructie-mogelijkheden, omdat een elleboogje dat vast zit aan een ander in de ruimte over elke hoek kan worden gedraaid.Daarom leggen we in dit deel voorlopig een beperking aan de bewegingsruimte op:

De elleboogjes liggen in de vlakken van een kubisch rooster, met de eindpunten van de elleboogjessteeds op de middens van ribben van de kubussen van dat rooster.

deel van een circuit op een kubischrooster

Hiernaast is een klein deel van zo’n kubisch rooster getekend, met daarin eenvoorbeeld van 5 geschakelde elleboogjes die aan de eis voldoen. In principe zijnde kubussen van zo’n rooster ook stapelbaar.

8. Er zijn twee verschillende ruimtelijke 6-circuits mogelijk die aan de ge-stelde beperking voldoen. Probeer ze te maken en beschrijf ze met behulpvan het rooster. Onderzoek welke 8- en 10-circuits voldoen aan de opge-legde beperking.

9. Is het mogelijk een ruimtelijk n-circuit te maken, binnen de beperkingenvan het rooster, voor oneven waarden van n? Leg uit.

Algemene vraag III. Voor welke waarden van n is een ruimtelijk n-circuit op een kubisch rooster mogelijk? Kunje dit ook hard maken?

Deel C: De vrije ruimte

In dit deel krijg je echt vrije speelruimte. Zoals eerder is gezegd maakt dat het geheel veel complexer, omdat er zoveelbewegingsvrijheid is. Bij onbeperkte bewegingsruimte blijken ook ruimtelijke circuits mogelijk voor bepaalde onevenwaarden van n. Bij het experimenteren met de elleboogjes moet je bedenken dat het materiaal altijd wat spelingtoelaat. Daardoor kun je plastic circuits maken met wat wringen, die wiskundig niet als circuit mogelijk zijn. Houdje dus bij het construeren van ruimtelijke circuits aan de wiskundige beschrijving van een n-circuit zoals die in deinleiding is gegeven.

Een geval apart: n = 5

Het blijkt onmogelijk te zijn om, zonder vervorming bij de grensvlakjes, een ruimtelijk circuit te maken met 5 elle-boogjes. De volgende activiteit kan wellicht helpen om een idee te krijgen waarom het niet mogelijk is.

Leg 5 geschakelde elleboogjes op tafel. Houd het middelste elleboogje (CDin nevenstaande figuur) goed vast op zijn plaats en bekijk hoe eindpunt A inde ruimte kan bewegen door de twee elleboogjes CB en BA te draaien. Allemogelijke posities voor punt A blijken een zelfde karaktertrek te hebben: zeliggen allemaal op een vaste afstand van het snijpunt P van de raaklijnen inB en C. Hetzelfde geldt voor alle mogelijke posities van punt F : die liggenallemaal op een vaste afstand van punt Q.

10. Toon aan dat voor alle mogelijke posities van punt A steeds geldt dat de afstand tot punt P constant is. Berekenook die afstand.

A-144

Page 178: Deel Portfolio wiskunde, Deel Problem Solving wiskunde, deel Practicum wiskunde (recto-verso)

De laatste opdracht is weer een algemene en daarbij heb je ook nog eens vrijheid van keuze. De ruimtelijke circuitsgeven alle aanleiding tot het jezelf vragen stellen. Mogelijke vragen:

3 Kun je het idee van vraag 10 gebruiken om aannemelijk te maken dat een 5-circuit niet mogelijk is?

3 Er zijn twee ruimtelijke 6-circuits. De ene is flexibel (kan in verschillende vormen worden gedraaid zonder tewringen. De andere is star en kan dus niet worden overgevoerd in een andere vorm. Hoe zit dat? Zijn er nogmeer starre ruimtelijke circuits?

3 Voor welke oneven waarden van n is een ruimtelijk circuit mogelijk?

Vragen van dit soort zijn beslist niet makkelijk te beantwoorden, maar wellicht kan het gericht experimenteren methet concrete materiaal je nog op goede gedachten brengen.

Algemene vraag IV. Doe nog wat onderzoek aan ruimtelijke vormen en probeer uitdagende problemen op hetspoor te komen die met het setje ellebogen kunnen worden aangepakt. Ook als je die problemen niet zelf oplost,kun je ze in het werkstuk van de eindopdracht beschrijven.

Ten slotte

Voer de eindopdracht uit op de manier die beschreven is op bladzijde 2. Bedenk daarbij nogmaals dat het niet debedoeling is dat je de afzonderlijke vragen van de delen A, B en C beantwoordt. Zorg dat je een samenhangendverslag geeft van de bevindingen rond vlakke en ruimtelijke circuits en schroom zeker niet om uitdagende problemenin je verslag op te nemen.

Veel succes!

A-145

Page 179: Deel Portfolio wiskunde, Deel Problem Solving wiskunde, deel Practicum wiskunde (recto-verso)

Er

isgee

nen

kele

red

enw

aaro

mw

ed

eri

jre

chte

rsom

men

zou

den

‘bev

oor

del

en’

(ten

opzi

chte

van

lin

kers

om

men

,m

idd

enso

mm

en,

etc.

)en

enke

ld

eco

nver

genti

eva

nd

eri

jre

chte

rsom

men

zou

den

bek

ijken

.D

aar

omd

evo

lgen

de

3A

lgem

en

ew

erk

wij

ze.

Zijf

een

beg

ren

sde

fun

ctie

ena,b∈R

zod

atf

bes

taat

in[a,b

].E

en

rij

van

Rie

man

n-s

omm

enR

1,R

2,R

3,...

wor

dt

als

volg

tb

ekom

en.

x0

x1

x1

x0

x1

x2

x1

x2

x0

x1

x2

x3

x1

x2

x3

.V

erd

eel

[a,b

]in

een

geli

jkd

eel:

V1

=[a,b

]=

[x0,x

1]

kie

sx

1∈

[x0,x

1]

R1

=ge

ort

.op

p.

=f

(x1)·(x

1−x

0)

.V

erd

eel

[a,b

]in

twee

gel

ijke

del

en:

V2

=[x

0,x

1],

[x1,x

2]

kie

sx

1∈

[x0,x

1]

enx

2∈

[x1,x

2]

R2

=ge

ort

.op

p.

=f

(x1)·(x

1−x

0)

+f

(x2)·(x

2−x

1)

.V

erd

eel

[a,b

]in

dri

ege

lijk

ed

elen

:

V3

=[x

0,x

1],

[x1,x

2],

[x2,x

3]

kie

sx

1∈

[x0,x

1],x

2∈

[x1,x

2]

enx

3∈

[x2,x

3]

R3

=ge

ort

.op

p.

=f

(x1)·(x

1−x

0)

+f

(x2)·(x

2−x

1)

+f

(x3)·(x

3−x

2)

Den

-de

term

inee

nri

jva

nR

iem

ann

-som

menR

1,R

2,R

3,...

isd

us

geli

jkaan

Rn

=f

(x1)·(x

1−x

0︸︷︷

︸∆x1

)+f

(x2)·(x

2−x

1︸︷︷

︸∆x2

)+...+f

(xn)·(xn−xn−

1︸

︷︷︸

∆xn

)

=

n ∑ i=1

f(xi)

∆xi

metxi∈

[xi−

1,xi]

Elk

ete

rmf

(xi)

∆xi

isd

ege

orie

nte

erd

eop

per

vla

kte

van

de

rech

thoek

met

bas

is∆xi=xi−xi−

1en

hoogte|f

(xi)|.

Als

we

bij

elke

verd

elin

gd

exi

telk

ens

opee

nb

ijzo

nd

ere

man

ier

kie

zen

,d

anb

ekom

enw

eee

nri

jva

nre

chte

rsom

-m

en,

lin

ker

som

men

,b

oven

som

men

ofon

der

som

men

.D

itzi

jnd

us

bij

zon

der

eri

jen

van

Rie

man

n-s

omm

en.

Bij

de

fun

ctief

hor

end

us

on

ein

dig

veel

rije

nva

nR

iem

ann

-som

men

,w

aaro

nd

eren

kele

bij

zon

der

ezo

als

de

rij

rech

ters

omm

en,

de

rij

lin

ker

som

men

,d

eri

jb

oven

som

men

end

eri

jon

der

som

men

.

Als

elk

eri

jR

iem

ann

-som

menR

1,R

2,R

3,...

conve

rgee

rt,

dan

zegg

enw

ed

atd

eto

tale

geo

rien

teer

de

opp

ervla

kte

van

het

geb

ied

gele

gen

tuss

end

egr

afiek

vanf

,d

ex

-as

end

ere

chte

nx

=a

enx

=b

bes

taat

.A

lsd

at

zois

,d

an

ku

nje

gem

akke

lijk

inzi

end

atal

dez

eri

jen

nood

zake

lijk

naar

het

zelf

de

geta

lco

nve

rger

en(z

ieoef

enin

g8).

Sam

enge

vat

met

de

defi

nit

ieva

nb

epaa

lde

inte

graa

l(z

iepag

ina

3)ve

rkri

jgen

we

Geo

rgF

ried

rich

Ber

nhard

Rie

mann

(1826

-1866)

Defi

nit

ie(I

nte

gre

erb

aarh

eid

).Z

ijf

een

fun

ctie

ena,b∈R

zod

atf

bes

taat

enb

egre

nd

isov

er[a,b

].D

efu

nct

ief

noem

t(R

iem

ann

-)in

tegr

eerb

aar

over

[a,b

]als

voor

elk

eri

jva

nR

iem

an

n-

som

men

de

volg

end

eli

mie

t3b

esta

atin

R

lim

n→

+∞

n ∑ i=1

f(xi)

∆xi

Ind

at

gev

alzi

jnal

dez

eli

mie

ten

geli

jk,

enn

oem

tm

end

eu

itko

mst

van

dez

e

lim

iet

de

bep

aald

ein

tegr

aal

vanf

tuss

enx

=a

enx

=b,

not

ati

e

∫b

a

f(x

)dx

.

3O

pd

itp

unt

veg

enw

eee

nte

chn

isch

eco

nd

itie

on

der

de

mat:

de

coll

ecti

evan

rije

nvan

Rie

man

n-s

om

men

moet

engel

ijkm

ati

gco

nver

ger

en.

De

form

ele

defi

nit

ielu

idt:∃s∈

R:∀ε>

0:∃N∈

N:∀

Rie

man

n-r

ijR

1,R

2,...

:n>N⇒|Rn−s|<ε.

XI-

7

Werk

wij

ze1

om

een

bepaald

ein

tegra

al

teb

ere

kenen

Hoofd

stel

lin

g1

van

de

inte

graa

lrek

enin

gla

aton

sto

eb

epaa

lde

inte

gra

len

(van

conti

nue

fun

ctie

s)te

ber

eken

en:

Werk

wij

ze

1.

Geg

even

isee

nfu

nct

ief

(x),

conti

nu

over

[a,b

].O

md

eb

epaa

lde

inte

gra

al

∫b

a

f(x

)dx

teb

erek

enen

gaan

we

als

volg

tte

wer

k.

Sta

p1.

Zoek

de

opp

ervla

kte

fun

ctieA

(t)

uit

de

voor

waa

rden

A′ (t)

=f

(t)

enA

(a)

=0.

Sta

p2.

Dan

is

∫b

a

f(x

)dx

=A

(b).

De

zoek

toch

tn

aar

een

fun

ctie

wie

ns

afge

leid

ef

(t)

is,

noem

tm

enook

wel

‘inte

grer

en’.

functie

f(x)

deoppervlaktefunctie

A(t)

integreren

afleiden

bepaaldeintegraal

∫b

a

f(x)dx=

A(b)

invullen

ab

y

x

y=

f(x)

at

b

y

x

y=

f(x)

A(t)

ab

y

x

y=

f(x)

∫b

a

f(x)dx

3M

od

elv

oorb

eeld

1.

Geg

even

isd

efu

nct

ief

(x)

=x

2.

(a)

Bep

aal

de

opp

ervla

kte

fun

ctieA

(t)

vanf

tuss

enx

=0

enx

=2.

(b)

Ber

eken

∫2

0

f(x

)dx

met

beh

ulp

van

de

opp

ervla

kte

fun

ctie

.C

ontr

olee

rm

etje

grafi

sch

ere

ken

mach

ine

zoals

opp

agi

na

9.

Oplo

ssin

g.

3M

od

elv

oorb

eeld

2.

Geg

even

isd

efu

nct

ief

(x)

=1 4x

3.

(a)

Bep

aal

de

opp

ervla

kte

fun

ctieA

(t)

vanf

tuss

enx

=1

enx

=2.

(b)

Ber

eken

∫2

1

f(x

)dx

met

beh

ulp

van

de

opp

ervla

kte

fun

ctie

.C

ontr

olee

rm

etje

gra

fisc

he

reke

nm

ach

ine.

Oplo

ssin

g.

3B

esl

uit

.H

oof

dst

elli

ng

1m

aak

th

etm

ogel

ijk

omb

epaa

lde

inte

gral

ente

ber

eken

en.

Maa

rte

lken

sco

ntr

ole

ren

ofA

(a)

=0

maa

kt

de

wer

kw

ijze

wat

omsl

achti

g.In§1

.5zi

enw

eee

ntw

eed

ew

erkw

ijze

waar

bij

de

contr

ole

‘A(a

)=

0’ov

erb

od

igza

lb

lijk

en.

XI-

12

Page 180: Deel Portfolio wiskunde, Deel Problem Solving wiskunde, deel Practicum wiskunde (recto-verso)
Page 181: Deel Portfolio wiskunde, Deel Problem Solving wiskunde, deel Practicum wiskunde (recto-verso)

Onderwerpen

Onderwerp 1. Ruimtelijke ordening

ontwerp van een woning

In een gemeente met 30 000 inwoners staan 10 000 woningen. De gemeente schat dathet gemiddeld aantal bewoners per woning gelijk blijft aan drie, en bouwt er 200woningen per jaar bij.

Uit gegevens uit het verleden wordt een empirisch model voor de veranderingen in debevolkingsomvang afgeleid. De prognose voor het aantal geboorten is

g(t) = 734 + 55t+ 2t2 per jaar,

en die voor het aantal sterfgevallen is

s(t) = 350 + 37t− t2 per jaar.

In beide formules is t uitgedrukt in jaren na het begin van de planningsperiode. De overige effecten, zoals migratie,houden elkaar volgens de schattingen in evenwicht.

Model Het aantal inwoners als functie van de tijd geven we aan met N(t). De afgeleide van N(t) is de veranderingvan het aantal inwoners per tijdseenheid (jaar). De netto bevolkingstoename per jaar is het aantal geboorten minushet aantal sterfgevallen, ofwel

N ′(t) = g(t)− s(t)Opgave

1. Bepaal het aantal inwoners als functie van de tijd.

2. Hoeveel inwoners kwamen er tijdens het eerste jaar bij?

Antwoord. 394

3. Wat is het aantal woningen W als functie van t?

4. Wanneer zal de woningbehoefte even hard groeien als de woningvoorraad?

Antwoord. Na 6 jaar.

5. Wanneer ontstaat er volgens de norm van de gemeente een woningtekort?

A-152

Page 182: Deel Portfolio wiskunde, Deel Problem Solving wiskunde, deel Practicum wiskunde (recto-verso)

Onderwerp 2. Milieukunde

lozen van afvalwater

Een chemische fabriek heeft een verguning voor het lozen van 1000 kg van een afvalstofper week op een rivier. De rivier heeft een constant debiet van 0, 2 m3/s. Per weekstroomt dan 120 960 m3 water voorbij. Een gelijkmatige lozing van 1000 kg per weekzou dus een constante concentratie

1000 kg/week

120 960 m3/week≈ 8, 267 · 10−3 kg/m3

in het water stroomafwaarts van de fabriek geven.

Ter controle wordt stroomafwaarts van de lozingpijp de concentratie afvalstof geme-ten, en die afvalstof wordt toegeschreven aan de fabriek. Het gemeten verloop wordtbeschreven door de functie

c(t) = c0 e0,0125 t kg/m3,

met t in weken na het begin van de metingen en c0 = 7·10−3 kg/m3. In het begin geldtc(0) = c0 = 7 · 10−3 kg/m3, dus op dat moment is de fabriek binnen de lozingsnorm.Blijft dat ook zo?

Model We nemen t = 0 bij het begin van de metingen. De hoeveelheid gepasseerde afvalstof op tijdstip t sinds hetbegin van de metingen duiden we aan met G(t). De afgeleide G′(t) is dan de toename per tijdseenheid (week), endat is de hoeveelheid afvalstof die er (per tijdseenheid) in de rivier stroomt. Die hoeveelheid is het product van deconcentratie c(t), in kg/m3, en het debiet D = 120 960 m3/week.

Opgave

1. Bepaal de hoeveelheid gepasseerde afvalstof op tijdstip t.

2. Hoeveel afvalstof is er in de eerste week geloosd?

Antwoord. 852, 0341 . . . kg

3. Hoeveel afvalstof is er in de vierde week geloosd?

Antwoord. 884, 5920 . . . kg

4. We duiden met H(t) de hoeveelheid afval aan die de week voorafgaand aan tijdstip t is geloosd. Geef eenuitdrukking voor H(t).

5. Op welk tijdstip T geldt H(T ) = 1000? Wat gebeurt er als t > T?

A-153

Page 183: Deel Portfolio wiskunde, Deel Problem Solving wiskunde, deel Practicum wiskunde (recto-verso)

Onderwerp 3. Celbiologie

plantencel

Een vacuole is een met vocht gevuld blaasje, dat zich in het cytoplasma van eencel bevindt. Plantencellen bevatten meerdere kleine vacuolen. Deze vacuolen nemenwater op en verenigen zich later tot een grote vacuole. Het vocht in de vacuolen bestaatuit water met daarin opgeloste stoffen, o.a. reservestoffen, kleurstoffen en afvalstoffen.De kleurstoffen zorgen voor de kleur van bijvoorbeeld planten en bloemen.

Model Een plantencel neemt water op in een vacuole, die aanvankelijk een volumeV (0) = 10µm3 heeft. De opnamesnelheid wordt gemodelleerd als

V ′(t) = 20 e−2t

met t de tijd in uren.

Opgave

1. Bepaal het volume van de plantencel in functie van de tijd t.

2. Hoeveel water bevat de vacuole na een kwartier?

Antwoord. 13, 9346 . . . µm3

3. Wat wordt volgens dit model het volume van de vacuole op den duur?

4. Hoeveel water werd er door de vacuole in het eerste uur opgenomen?

5. Hoeveel water werd er door de vacuole in het derde uur opgenomen?

Antwoord. 0, 1583 . . . µm3

6. We duiden met H(t) de hoeveelheid water aan die het uur voorafgaand aan tijdstip t werd opgenomen.Geef een uitdrukking voor H(t).

7. Op welk tijdstip T geldt H(T ) = 0, 001?

A-154

Page 184: Deel Portfolio wiskunde, Deel Problem Solving wiskunde, deel Practicum wiskunde (recto-verso)

Onderwerp 4. Visteelt

viskwekerij

Visteelt is een vorm van aquacultuur, waarbij vissen op een commerciele manier wor-den gekweekt voor consumptie. Door teruglopende visvangsten, veroorzaakt dooroverbevissing, wordt de visteelt een steeds belangrijkere tak in de visserij. Om eenoptimale visteelt te garanderen is het van belang de groei van vissen in kweek temodelleren.

Model Veronderstel dat de massa van een vis groeit volgens de modelvergelijking

m′(t) =α√t

met m de massa uitgedrukt in gram, t de tijd in dagen en α = 2 g · d− 12 .

Opgave

1. Ga na dat de eenheden in deze vergelijking met elkaar overeenstemmen.

2. Bepaal m(t) als m(0) = 1.

3. Wat gebeurt er volgens dit model op den duur met de massa van de vis?

4. Hoeveel gram nam de vis toe tijdens de eerste dag?

Antwoord. 4g

5. Hoeveel gram nam de vis toe tijdens de vijfde dag?

Antwoord. 0, 94427 . . . g

6. We duiden met V (t) het aantal gram aan waarmee de vis toeneemt op de dag voorafgaand aan tijdstip t.Geef een uitdrukking voor V (t).

7. Van zodra de aangroei van de vis per dag kleiner is dan 0, 5 gram per dag is het niet langer rendabel om devissen in kweek te houden. Op welke dag kan men het best deze vissoort oogsten?

A-155

Page 185: Deel Portfolio wiskunde, Deel Problem Solving wiskunde, deel Practicum wiskunde (recto-verso)

Onderwerp 5. Plantenteelt I

zomertarwe

Een akker wordt op 1 april met zomertarwe ingezaaid. Aanvankelijk groeien de plan-ten vrijstaand op, ze beconcurreren elkaar niet op voedingsstoffen en licht.

Model We modelleren deze eerste fase met een constante relatieve groeisnelheid, wekrijgen dan een exponentiele functie. De groeisnelheid van de tarwe in het modelwordt gegeven door

y′(t) = 0, 0672 e0,2 t

in kg drooggewicht per ha per dag, t in dagen. Deze fase duurt 40 dagen, tot en met10 mei.

In de tweede fase, tot en met 19 juli (70 dagen) neemt de onderlinge concurrentie toe. De groeisnelheid is dan constant.In de laatste fase is de tarwe volgroeit, en alle energie wordt gebruikt voor het rijpen van het graan. De groeisnelheidneemt af. De laatste 10 dagen tot de oogst op 29 juli wordt de groeisnelheid gemodelleerd met

y′(t) = 200 e−0,53 (t−110)

Opgave

1. Schets de grafiek van de groeisnelheid van de tarwe als functie van de tijd, voor 0 ≤ t ≤ 120.

2. Wat is het drooggewicht per hectare aan het eind van de eerste fase?

Antwoord. 1001, 2658 . . . kg/ha

3. Bereken de groeisnelheid aan het eind van de exponentiele fase.

4. Bereken de gewichtstoename van de tarwe in de fase van constante groei.

5. Bereken ten slotte de gewichtstoename in de derde fase, de rijping.

Antwoord. 375, 4748 . . . kg/ha

6. Schets een grafiek van het drooggewicht van de tarwe als functie van de tijd over de gehele periode. Neem daarbijaan dat het begingewicht te verwaarlozen is. Verklaar ook hoe je deze grafiek gevonden hebt.

7. Wat mag men verwachten voor de opbrengst van de oogst, als je weet dat de akker een oppervlakte heeft van80 hectare?

A-156

Page 186: Deel Portfolio wiskunde, Deel Problem Solving wiskunde, deel Practicum wiskunde (recto-verso)

Onderwerp 6. Plantenteelt II

vrouwentongen(Sansevieria trifasciata)

Planten slaan door assimilatie energie in hun bladeren op. Hierbij wordt kooldioxide(C02) gebonden en komt zuurstof (O2) vrij:

CO2 + energie −→ suiker + O2

De assimilatiesnelheid is evenredig met de lichtintensiteit (fotosynthese), assimila-tie heeft dus alleen overdag plaats. Hierbij neemt het gewicht y van de plant (debiomassa) toe.

Model De groei van de biomassa van een kamerplant door assimilatie modelleren wemet

y′a(t) = 10 sin

(1

12(t− 6)π

)(in mg/uur) voor 6 ≤ t ≤ 18

waarin t gemeten is in uren na middernacht. Buiten de genoemde uren is y′a(t) nul.Bij het omgekeerde proces, ademen of respiratie, komt de opgeslagen energie weervrij, en neemt het gewicht af. De ademhalingssnelheid veronderstellen we gedurendehet hele etmaal constant, de bijhorende gewichtsverandering is

y′r(t) = −1 (in mg/uur)Opgave

1. Teken in een figuur de functies y′a(t) en y′r(t) voor t = 0 tot t = 24.

2. Bereken de gewichtstoename per dag door assimilatie en het gewichtsverlies door respiratie.Hoeveel neemt de plant per dag aan gewicht toe?

Antwoord. Gewichtstoename per dag is 52, 39 . . .mg

3. Voor respiratie is zuurstof nodig, elke milligram gewichtsvermindering verbruikt 1, 7 mg zuurstof. Een kubiekemeter lucht bevat 0, 4 kg zuurstof. Hoeveel kubieke meter lucht gebruikt deze plant per nacht (van 18.00 u. tot6.00 u.)?

Antwoord. 0, 000051m3

4. Moet je daarmee rekening houden als je tien van deze kamerplanten op een slaapkamer van 5m op 4m op 2mzet? Fundeer je antwoord.

5. Op zeeniveau bevat lucht gemiddeld 21% zuurstof. Van zodra de hoeveelheid zuurstof 10% minder is dangemiddeld, dan dreigt er gevaar voor de gezondheid. Hoeveel van deze kamerplanten moet je in een slaapkamervan 5m op 4m op 2m zetten opdat er gevaar zou dreigen?

A-157

Page 187: Deel Portfolio wiskunde, Deel Problem Solving wiskunde, deel Practicum wiskunde (recto-verso)

Extra problemen

Probleem 7. Bepaal telkens de vergelijking van de familie van krommen met de gegeven helling, en de kromme uitdie familie die het gegeven punt bevat.

(a) m =tanx

yen A(0, 2) (c) m = −2y lnx en C(2, 8)

(b) m =23x−1

y3en B(1,−1) (d) m =

xy

1 + x2en D(3, 5)

Probleem 8. Voor een kromme y = f(x) geldt dat y′′ = 2. Bovendien bevat die kromme het punt P (2, 6) en is dehelling in P aan de kromme gelijk aan 10. Bepaal de vergelijking van die kromme.

Probleem 9. Voor een kromme y = f(x) geldt dat y′′ = 6x − 8. Bovendien bevat die kromme het punt P (1, 0) enwordt de normaal in dat punt gegeven door 2x− 3y = 2. Bepaal de vergelijking van die kromme.

Probleem 10 (biologie). Een kolonie bacterien wordt blootgesteld aan ultraviolet licht, die het DNA van de bacterienaantast zodat de kolonie uitsterft. In een laboratorium-experiment heeft men ontdekt dat de mate van de afname vanhet aantal levende bacterien evenredig is met het aantal nog levende bacterien op dat moment. Na 7 seconden levener nog 70, 5% van hen.

(a) Hoeveel bacterien leven er nog na een 20 seconden?

(b) Hoe lang duurt het voordat 95% van de bacterien dood zijn?

Probleem 11 (natuurkunde). De temperatuur van een fles melk daalt met een snelheid van 0, 0837 keer het ver-schil tussen de melktemperatuur op dat moment en de kamertemperatuur die 20◦ bedraagt. Onderstel dat de melkaanvankelijk 80◦ warm is. Na hoeveel tijd is de melktemperatuur tot 50◦ gezakt?

Aanwijzing. Als y(t) de melktemperatuur op tijdstip t is, zal y′(t) dan positief of negatief zijn? Dus schrijf je dany′ = . . . · (. . .− y) of y′ = . . . · (y − . . .)?Probleem 12 (bevolkingsleer). Een gebied heeft een maximale bevolkingscapaciteit van 200 miljoen mensen. Opelk tijdstip t is de mate van de toename van de bevolking evenredig met het verschil van de bevolkingscapaciteit en debevolking op dat moment. Aanvankelijk leven er 50 miljoen mensen, en tien jaar later zijn er al 109 miljoen mensen.

(a) Bepaal de bevolking na 20 jaar.

(b) In welk jaar zal 90% van de bevolkingscapaciteit bereikt worden?

Probleem 13 (economie). Bij het opstarten van een bedrijf verwacht men dat op elk ogenblik de mate van detoename van de jaarlijkse verkoopcijfers evenredig zal zijn met het verschil tussen de verkoopcijfers op dat ogenbliken een bovengrens van 20 miljoen euro. Initieel zijn de verkoopcijfers uiteraard 0 en ze zijn 4 miljoen voor het tweedeoperationele jaar.

(a) Welke verkoop mag men verwachten na 10 jaar?

(b) In welk jaar zullen de verkoopcijfers 15 miljoen euro bedragen?

Probleem 14 (besmettingsleer). Een gemeenschap van 1000 mensen is homogeen samengesteld. Een persoon keertuit het buitenland terug met een griepvirus. Onderstel dat de thuisgemeenschap niet ingeent is tegen griep en allenvatbaar zijn voor deze ziekte. Bovendien is de mate van de verandering van het aantal besmette personen evenredigmet het product van het aantal besmette en het aantal niet besmette personen. Na 7 dagen zijn er tien personenbesmet.

(a) Hoeveel mensen zijn na 20 dagen besmet door het virus?

(b) Hoeveel dagen duurt het tot de helft van de gemeenschap is aangetast door het griepvirus?

Aanwijzing. Om de integraal te berekenen gebruik je data

y(a− y)=

1

a− y +1

y.

Probleem 15 (sociologie). Een groep van 800 mensen - studenten, vrienden, verloofden, ouders, etc. - zit op heteinde van het academiejaar gespannen te wachten op de proclamatie van de resultaten. Iemand uit deze groep beweertdat hij/zij het - uiteraard foutieve - gerucht heeft opgevangen dat slechts 15% van de studenten geslaagd is. Ditonrustbarende nieuws verspreidt zich als een lopend vuurtje. Sociologen beweren dat de mate van de toename van hetaantal mensen dat het gerucht vernomen heeft evenredig is met het product van het aantal mensen die het geruchtgehoord hebben en het aantal mensen die het gerucht nog niet gehoord hebben. Als na een minuut al 50 mensen hetgerucht opgevangen hebben, na hoeveel tijd heeft 95% van de aanwezigen het gerucht gehoord?

Aanwijzing. Om de integraal te berekenen gebruik je data

y(a− y)=

1

a− y +1

y.

A-160

Page 188: Deel Portfolio wiskunde, Deel Problem Solving wiskunde, deel Practicum wiskunde (recto-verso)
Page 189: Deel Portfolio wiskunde, Deel Problem Solving wiskunde, deel Practicum wiskunde (recto-verso)

naam: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . nr: . . . . . . . . . klas: . . . . . . . schooljaar: . . . . . . . . . . . . . .

Zelfevaluatiekaart Practicum 14

Zelfevaluatie

3 Kruis aan wat van toepassing is;

3 gebruik deze checklist om bij te sturen waar nodig.

Proces Aandachtspunten + +/- -

Opdracht . duidelijk

. boeiend

Bronnen . betrouwbaar

. gevarieerd

. doeltreffend

. voldoende

Materiaal . voldoende

. gevarieerd

. doeltreffend

. alle aspecten

Groepswerk . doeltreffend

. iedereen heeft zijn/haar deel gedaan

. afspraken nageleefd

. aangenaam

. boeiend

Product (po-werpoint)

Aandachtspunten + +/- -

. logisch opgebouwd

. hoofdzaken onderscheiden van bijzaken

. kernboodschap

. less is more

. boeiend

. persoonlijk

. rekening gehouden met doelpubliek

. besluit

Conclusies

3 Bekijk aandachtig je minpunten, welke aspecten verdienen meer aandacht?Vraag hulp aan je leeraar of medeleerlingen, indien nodig.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 Wat zijn je grootste troeven? Hoe ga je die in de verf zetten?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

A-164

Page 190: Deel Portfolio wiskunde, Deel Problem Solving wiskunde, deel Practicum wiskunde (recto-verso)
Page 191: Deel Portfolio wiskunde, Deel Problem Solving wiskunde, deel Practicum wiskunde (recto-verso)

Referentielijst, bibliografie en websites

[1] M. Aigner, G.M. Ziegler, Proofs from the book, Springer, 1998.

[2] M. Alonso, E.J. Finn, Fundamentele natuurkunde deel 1 Mechanica, Delta Press, 1994.

[3] M. Alonso, E.J. Finn, Fundamentele natuurkunde deel 2 Elektromagnetisme, Delta Press, 1994.

[4] M. Alonso, E.J. Finn, Fundamentele natuurkunde deel 3 Golven, Delta Press, 1994.

[5] D. Arnold, M. Butler, M. Haley, D. Harrow, A. Ives, S. Jackson, C. Kutil, T. Matsumoto, J.M. Prystowsky, T.Olsen, D. Tuttle, B. Wagner, Intermediate Algebra, College of the Redwoods Department of Mathematics, 2007.

[6] E. Aronson, T.D. Wilson, R.M. Akert, Social Psychology, Pearson Education, Limited, 2010.

[7] M. Artin, Algebra, Pearson Prentice Hall, 1991.

[8] F. Ayres , E. Mendelson, Schaum’s Outline of theory and problems of differential and integral calculus, McGraw-Hill, 1990.

[9] D. Batens, Logicaboek: praktijk en theorie van het redeneren, Antwerpen - Apeldoorn Garant, zevende druk, 2008.

[10] J. Billiet, H. Waege, Een samenleving onderzocht: Methoden van sociaal-wetenschappelijk onderzoek, UitgeverijDe Boeck nv, Antwerpen, 2005.

[11] P. Bogaert, F. Geeurickx, E. Willockx, R. Van Nieuwenhuyze, M. De Feyter, Van Basis tot Limiet 5 leerweg 6/8leerboek analyse 1: reele functies, Die Keure.

[12] D. Bollaerts, Wiskundige toelatingsexamens, Standaard Educatieve Uitgeverij, 1991.

[13] P. E. Bourne, Ten Simple Rules for Making Good Oral Presentations PLoS Comput Biol 3(4): e77.doi:10.1371/journal.pcbi.0030077 (2007).

[14] A. Buijs, Statistiek om mee te werken, Wolters-Noodhoff, 2008.

[15] P. Coppens, V. Descheemaeker, G. Gijbels, T. Jansen, P. Janssen, S. Janssens, P. Matthijs, F. Michiels, F.Roggeman, J. Schepers, Pienter leerboek wiskunde voor het derde jaar 5, Van In, 2006.

[16] P. Coppens, G. Finoulst, G. Gijbels, F. Roggeman, J. Schepers, R. Vanbuel, Pienter leerboek integraalrekeningen differentiaalvergelijkingen voor het zesde jaar 6/8, Van In, 2006.

[17] M. de Gee, Wiskunde in werking, deel 1, Epsilon Uitgaven 48, 2002.

[18] M. de Gee, Wiskunde in werking, deel 2, Epsilon Uitgaven 49, 2002.

[19] M. de Gee, Wiskunde in werking, deel 3, Epsilon Uitgaven 50, 2002.

[20] H.G. Dehling, J.N. Kalma Kansrekening, Epsilon Uitgaven 36, 2005.

[21] G. Delaleeuw, Mathematiseren en oplossen van problemen voor de derde graad tso/kso, Cahiers T3 Europe Vlaan-deren nr.9 (2006).

[22] I. De Pauw, B. Masselis Wiskunde voor IT, Lannoo Campus, 2010.

[23] I. De Pauw, B. Masselis Wiskunde voor multimedia, Lannoo Campus, 2009.

[24] A. Depover, W. Herreman, N. Persoone, A. Vandekerckhove, Foton 4.3 - Elektriciteit, magnetisme, trillingen,Uitgeverij Pelckmans, 1988.

[25] A. Depover, W. Herreman, N. Persoone, A. Vandekerckhove, Fysica Vandaag 5.2/3, Uitgeverij Pelckmans, 1988.

[26] J. Deprez, H. Eggermont, E. Van Emelen, Met de krant in de hand, Uitwiskeling 23, Nr. 4, 14-49 (2007).

[27] J. Deprez, G. Verbeeck, Onderzoekscompetenties wiskunde in de derde graad, 03/03/2010, DPB Brugge.

xxii

Page 192: Deel Portfolio wiskunde, Deel Problem Solving wiskunde, deel Practicum wiskunde (recto-verso)

[28] K. Devlin, Wiskunde Wetenschap van patronen en structuren, Natuur & Techniek, SEGMENT Uitgeverij, Beek,1998.

[29] D. Domen, G. Finoulst, G. Gijbels, H. Put, J. Schepers, A. Vertenten, P. Weyenberg, Pienter leerboek reelefuncties precalculus voor het vijfde jaar 6/8, Van In, 2004.

[30] R. Donckels, L. Grootaert, D. Tant, L. Vandenbroucke, A. Van de Velde, V. Van de Walle, N. Vanhaverbeke, R.Vereecke, Richting: Telproblemen - Kansrekening - Statistiek, Uitgeverij Pelckmans, 1993.

[31] T. Dorissen, W. Jacquet, G. Sonck, Wiskundige basisvaardigheden, Uitgeverij VUBPRESS, 2008.

[32] W. Dunham, Euler: The master of us all, Dolciani Mathematical Expositions 22, 1999.

[33] W. Dunham, Journey through genius, Penguin books, 1990.

[34] W. Dunham, The calculus gallery, Princeton University Press, 2005.

[35] M. Du Sautoy, De getalmysteries, Uitgeverij Nieuwezijds, 2011.

[36] G. Finoulst, G. Gijbels, S. Janssens, H. Put, J. Schepers, A. Vertenten, P. Weyenberg, Pienter leerboek rijen enafgeleiden voor het vijfde jaar 6/8, Van In, 2005.

[37] P. Gevers, J. De Langhe, e.a. Delta 5/6 Analytische meetkunde A (6-8 lesuren), Mechelen (Wolters Plantyn)(2006).

[38] M. Gardner, Sphere Packing, Lewis Carroll and Reversi, Cambridge University Press, 2009.

[39] G. Gijbels, E. Goemaere, D. Taecke, S. Wellecomme, Pienter leerwerkschrift voor de derde graad 2/3/4, Van In,2005.

[40] G. Gijbels, E. Govaert, M. Jaenen, S. Janssens, B. Sevenhant, I. Vanderstichel, P. Weyenberg, Pienter leerboekstatistiek I voor de derde graad 6/8, Van In, 2005.

[41] G. Gijbels, E. Govaert, M. Jaenen, S. Janssens, B. Sevenhant, I. Vanderstichel, P. Weyenberg, Pienter leerboektelproblemen en kansrekening statistiek II voor de derde graad 6/8, Van In, 2005.

[42] G. Gijbels, M. Jaenen, S. Janssens, B. Sevenhant, I. Vanderstichel, P. Weyenberg, Pienter leerboek ruimtemeet-kunde voor de derde graad 6/8, Van In, 2005.

[43] E. Goetghebeur, Statistiek, Universiteit Gent, uitgave 1997-1998.

[44] M. Goossens, F. Mittelbach, A. Samarin, The LATEX Companion, Addison-Wesley Publishing Compagny, 1994.

[45] R.L. Graham, D.E. Knuth, O. Patashnik, Concrete Mathematics, Addison-Wesley, 1994.

[46] E. Hairer, G. Wanner, Analysis by its history, Springer, 2000.

[47] G.H. Hardy, Apologie van een wiskundige, Uitgeverij Nieuwezijds, 2011.

[48] J. Havil, Gamma, Princeton University Press, 2003.

[49] J. Havil, The irrationals, Princeton University Press, 2012.

[50] S. Hawking, God created the integers: The mathematical breakthroughs that changed history, Penguin Books, 2005.

[51] C. Impens, Analyse I, Universiteit Gent, uitgave 1996-1997.

[52] K. Janich, Linear Algebra, Springer-Verlag, 1994.

[53] D.W. Jordan, P. Smith, Mathematical techniques, Oxford University Press, 2002.

[54] D. Keppens, Algebra voor ingenieurs, Uitgeverij Acco, 2007.

[55] D. Keppens, Analyse voor ingenieurs, Uitgeverij Acco, 2006.

[56] M. Kindt, E. de Moor, Wiskunde in een notendop, Uitgeverij Bert Bakker, 2008.

[57] L. Kirkup, Experimental methods: An introduction to the analysis and presentation of data, Singapore, 1994.

[58] H. Kopla, P.W. Daly A guide to LATEX, Addison-Wesley Publishing Compagny, 1993.

[59] S. Lehoczky, R. Rusczyk, The art of problem solving: Volume 1: the Basics, AoPS Incorporated, 2008.

[60] S. Lipschutz, Schaum’s Outline of linear algbebra, McGraw-Hill, 1991.

xxiii

Page 193: Deel Portfolio wiskunde, Deel Problem Solving wiskunde, deel Practicum wiskunde (recto-verso)

[61] M. Mashaal, Bourbaki, Veen Magazine, Amsterdam, 2009.

[62] E. Mathijs, Schrijfstijl wetenschappelijke tekst, KU Leuven, 2006.

[63] J.T McClave, P.G. Benson, T. Sincich, S. Knypstra, Statistiek: een inleiding, elfde editie, Pearson EducationBenelux, 2011.

[64] R. Mersch, Oogklepdenken, De Bezige Bij Antwerpen, 2012.

[65] M. Nachtegael, Data-Analyse I: Wiskundige Principes, Faculteit Geneeskunde en Gezondheidswetenschappen,Universiteit Gent, 2009.

[66] I. Newton, Method of fluxions, 1736.

[67] B.M. Oliver, Heron’s remarkable triangular area formula, Mathematics Teacher 86 (1993), pp. 161-163.

[68] J.M.H. Olmsted, C.G. Townsend, On the Sum of Two Periodic Functions, The Two-Year College MathematicsJournal, Vol. 3, No. 1 (Spring, 1972), pp. 33-38.

[69] L. Papula, Wiskunde voor het hoger technisch onderwijs deel 1, Academic Service, 2009.

[70] L. Papula, Wiskunde voor het hoger technisch onderwijs deel 2, Academic Service, 2009.

[71] J.A. Paulos Ongecijferdheid, Uitgeverij Ooievaar Amsterdam, 1999.

[72] C.A. Pickover, Het wiskunde boek, Librero Nederland, 2010.

[73] G. Polya, How to solve it, Princeton University Press, 1945.

[74] S.E. Rigdon, E.J. Purcell, D. Varberg, Calculus, Pearson Prentice Hall, 2007.

[75] J. Rosenhause, The Monty Hall problem, Oxford University Press, 2009.

[76] R. Rusczyk, The art of problem solving: Precalculus, AoPS Incorporated, 2009.

[77] R. Rusczyk, M. Crawford, The art of problem solving: Intermediate Algebra, AoPS Incorporated, 2008.

[78] M.R. Spiegel, Schaum’s Outline of theory and problems of advanced calculus, McGraw-Hill, 1962.

[79] E. Steiner, The Chemestry Maths Book, Oxford University Press, 2008.

[80] I. Steward, Concepts of modern mathematics, Dover Publication, 1975.

[81] D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde, Het Spectrum, 1990.

[82] K. Sydsæter, P. Hammond, Essential Mathematics for Economic Analysis, Prentice Hall, 2006.

[83] J. Tinbergen, Vertragingsgolven en levensduurgolven, Strijdenskracht door Wetensmacht pp. 143 - 150 (1938).

[84] J. van de Craats, Vectoren en Matrices, Epsilon Uitgaven 45, Utrecht, 2005.

[85] J. van de Craats, R. Bosch Basisboek wiskunde, Pearson Education, 2010.

[86] M. Van den Berghe, Inleiding tot zelfstandig onderzoek, Onze-Lieve-Vrouwecollege Assebroek, 2006.

[87] V. van der Noort, Getallen zijn je beste vrienden, Athenaeum - Polak & Van Gennep, Amsterdam, 2011.

[88] Th.M. van Pelt, R.B.J. Pijlgroms, W.V. Smeets, J.L. Walter, Wiskunde voor het hoger onderwijs deel 1, Wolters-Noordhoff, 2006.

[89] P. Wauters, Wiskunde Deel 1, Faculteit Toegepaste Economische Wetenschappen, Universiteit Hasselt, 2002.

[90] D.T. Whiteside, The Mathematical Papers of Isaac Newton, Vol. 1, 1664-1666, Ed. Cambridge University Press,New York, 1967.

[91] A.J. Wiles, Modular elliptic curves and Fermat’s Last Theorem, Annals of Mathematics, 141 (1995), pp. 443-551.

[92] Website ADSEI, http://statbel.fgov.be/ .

[93] Website American Mathematical Association of Two-Year Colleges - Students Mathematics League,http://www.amatyc.org/SML/ .

[94] Website American Mathematics Competitions, http://amc.maa.org/ .

xxiv

Page 194: Deel Portfolio wiskunde, Deel Problem Solving wiskunde, deel Practicum wiskunde (recto-verso)

[95] Website D. Arnold, M. Butler, M. Haley, D. Harrow, A. Ives, S. Jackson, C. Kutil, T. Matsumoto, J.M. Prysto-wsky, T. Olsen, D. Tuttle, B. Wagner, Intermediate Algebra http://facweb.northseattle.edu/dli/IntAlgebraText/

.

[96] Website arXiv, http://xxx.lanl.gov/ .

[97] Website carrieretijger, http://www.carrieretijger.nl/ .

[98] Website C. Cambre, http://users.telenet.be/chris.cambre/chris.cambre/ .

[99] Website J. Claeys, http://home.scarlet.be/math/ .

[100] Website M. Davidson, J. Dethridge, H. Kociemba, T. Rokicki, God’s Number is 20, http://www.cube20.org/ .

[101] Website K. De Naeghel, http://www.koendenaeghel.be/ .

[102] Website GeoGebra, http://www.geogebra.org/ .

[103] Website kennislink.nl, http://www.kennislink.nl/publicaties/wiskundige-bijsluiter-van-opiniepeilingen .

[104] Website Leerplan A derde graad ASO: studierichtingen met component wiskunde D/2004/0279/019,http://ond.vvkso-ict.com/leerplannen/doc/Wiskunde-2004-019.pdf .

[105] Website leren.nl, http://www.leren.nl/cursus/leren−en−studeren/portfolio/wat-is-portfolio.html/ .

[106] Website leren.nl, http://www.leren.nl/cursus/professionele-vaardigheden/presentatie/ .

[107] Website McGraw-Hill Professional, http://www.mhprofessional.com/templates/index.php?cat=145/ .

[108] Website ticalc.org voor het downloaden van programma’s op de grafische rekenmachine,http://www.ticalc.org/pub/83plus/basic/math/ .

[109] Website USolv-IT, http://www.usolvit.be/ .

[110] Website Vlaamse Wiskunde Olympiade, http://www.vwo.be/ .

[111] Website Wikipedia, http://en.wikipedia.org/ en http://en.wikipedia.org/ .

[112] Website wiskunde B-dag, http://www.fisme.science.uu.nl/wisbdag/ .

xxv

Page 195: Deel Portfolio wiskunde, Deel Problem Solving wiskunde, deel Practicum wiskunde (recto-verso)
Page 196: Deel Portfolio wiskunde, Deel Problem Solving wiskunde, deel Practicum wiskunde (recto-verso)

c©2013 Koen De Naeghelroyalty percentage: 0%

Wiskunde in zicht is een cursus wiskunde bestemd voor leerlingen vande derde graad algemeen secundair onderwijs in de studierichtingen metzes of acht wekelijkse lestijden wiskunde. Het werd ontworpen vanuit debehoefte aan een natuurlijke en correcte, maar toch haalbare benaderingvan basisconcepten in de wiskunde. Er werd bewust gekozen voor

3 een invulcursus, zodat de leerling ervaart hoe bepaalde oplossingsme-thoden opgebouwd worden, terwijl de leerkracht nog voldoende vrijheidheeft die methoden op zijn of haar eigen manier aan te brengen;

3 differentiatie door de oefeningen in verschillende niveaus op te delen,zodat de leerling zelfstandig kan werken, afgestemd op eigen niveau enwerktempo (Deel Portfolio wiskunde);

3 ontwikkelen van vaardigheden en attitudes waarbij getracht werdde kwaliteit van de wiskunde te respecteren (Deel Problem Solving,Deel Practicum, Deel GeoGebra en Deel Sage).