Overzicht te kennen bewijzen Statistiek 1

De cursusdienst van de faculteit Toegepaste Economische Wetenschappen aan de Universiteit Antwerpen.

Op het Weduc forum vind je een groot aanbod van samenvattingen, examenvragen, voorbeeldexamens en veel meer, bijgehouden door je medestudenten.

www.weduc.be

OVERZICHT VAN ALLE BEWIJZENSTATISTIEK

STEEKPROEFVARIANTIE P81-82

VARIANTIE LINEAIRE TRANSFORMATIE P83-84In de notities staat een vereenvoudigd bewijs

STANDAARDDEVIATIE (P84)

2

LINEAIRE COMBINATIES VAN VARIABELEN( P105)

STELLING VAN DE TOTALE KANS (P138)+ REGEL VAN BAYES

(P141)

TRANSFORMATIESTELLING VOOR CONTINUE

KANSVARIABELEN (ZIE SLIDES)

VERWACHTE WAARDE LINEAIRE FUNCTIE KANSVARIABELE

(P181)

VERWACHTE WAARDE DISCRETE KANSVARIABELE Y ( P181)

VARIANTIE LINEAIRE FUCNTIE (P 184)

MOMENTGENERENDE FUNCTIE (P188)

KANS OP X SUCCESSEN BINOMIALE VERDELING (P194-198) Zie slides Powerpoint voor volledige bewijs!

VERWACHT

E WAARDE UNIFORME KANSVERDELINGZie slides H8 !!!!!

VERWACHTE WAARDE + VARIANTIE BERNOULLI-VERDELINGZie slides H8 !!!!

VERWACHTE WAARDE + VARIANTIE BINOMIALE VERDELING

VERWACHTE WAARDE POISSON-VERDELING (P. 209)

VERWACHTE WAARDE + VARIATIE GEOMETRISCHE VERDELING (P. 213 – 216)

De verwachte waarde en variantie van S zijn gelijk aan:

μX=E (X )=1π en σ X=var (X )=1−π

π2

Om aan te tonen dat de verwachte waarde van een geometrisch verdeelde kansvariabele gelijk is aan 1/π kan men gebruikmaken van de MacLaurin-reeksontwikkeling, die stelt dat, voor y-waarden tussen 0 en 1,

1(1− y )2

=∑i=1

+∞

i y i−1.

Indien we in deze uitdrukking de variabele y vervangen door 1 - π en i vervangen door x, dan krijgen we

1(1−(1−π ) )2=

1π2 =∑

i=1

+∞

x (1−π )x−1 .

De verwachte waarde van een geometrisch verdeelde kansvariabele kan dan bepaald worden als

μX=∑i=1

+∞

x px (x ;π )=∑i=1

+∞

x (1−π )x−1π=π∑i=1

+∞

x (1−π )x−1= π∗1π 2 = 1

π

VERWACHTE WAARDE + VARIANTIE CONTINUE UNIFORME

DICHTHEID (P. 232)

VERWACHTE WAARDE + VARIANTIE EXPONENTIËLE

DICHTHEID(P234)

MEDIAAN EXPONENTIËLE DICHTHEID

1

GEHEUGENLOOSHEID EXPONENTIËLE DICHTHEID

VERBAND EXPONENTIËLE EN POISSON-VERDELING

Stel dat de kansvariabele X het minimum voorstelt van k onafhankelijkeexponentieel verdeelde kansvariabele X1, X2,...Xk, die allen parameter λ hebben. Om de verdeling van dit minimum te bepalen, vertrekken we van de cumulatieve verdelingsfunctie:

Opdat het minimum van k kansvariabelen groter zou zijn dan x,moet uiteraard elk van de kansvariabelen X1 t.e.m. Xk afzonderlijk ook groter zijn dan x. Zo geldt:

Fx(x) = 1 - P( X1 > x en X2 > x en ...en Xk > x)De onafhankelijkheid van de kansvariabelen X1, Xi, ...Xk leidt tot:

Fx(x) = 1 - P( X1 > x)* P( X2 > x) * ... * P(Xk > x)Omdat de k kansvariabelen X1, Xi,...Xk alle exponentieel verdeeld zijn met parameter λ, geldt voor elke individuele xi dat:

waarbij i varieert van 1 tot k. Bijgevolg is:

Fx(x) = Dit is de cumulatieve verdelingsfunctie van een exponentieel verdeelde kansvariabele met parameter kλ.Besluit: Het minimum van k onafhankelijke exponentieel verdeelde kansvariabelen is eveneensexponentieel verdeeld.

STELLING EXPONENTIËLE VERDELINGSFUCTIE (P239)Stelling:

Het minimum van k onafhankelijke exponentieel verdeelde kansvariabelen met parameter λ is exponentieel verdeeld met parameter kλ.

BEWIJS v.d. stelling:

LINEAIRE FUNCTIE BIJ NORMALE VERDELING (P255)

EIGENSCHAPPEN LOGNORMALE VERDELING (P269)

E(XY}= E(X)E(Y}= E(XY) - µxµy = E(X)E(Y) - µxµy = µxµy - µxµy = 0

VERWACHTE WAARDE MEERDERE KANSVARIABELEN (P302)Zie notities !!!

COVARIANTIE (P322)

VARIANTIE LINEAIRE FUNCTIES MEERDERE KANSVARIABELEN (P324)

BEWIJS: onafhankelijke kansvariabelen