Warmteleer

Week

12

Warmteleer

Warmtetransport

Warmteleer

De kennis van warmtetransport kent tweetoepassingen:

Bevordering van het transport;Belemmering van het transport

Warmteleer

Bevordering van het transport vindt plaatsdoor:

Afvoeren van afvalwarmte;Toevoeren van reactie warmteVerwarmen van stoffen;Afkoelen van stoffen;

Warmteleer

Belemmering van het transport vindt plaatsdoor isolatie van:

(koel)huizen;Transportbuizen.

Warmteleer

Warmtetransport vindt plaats door 4Mechanismen te weten:Geleiding;Convectie;Straling ;Verdampen en Condenseren.

Warmteleer

Warmtetransport wordt beschreven met tweebegrippen namelijk:

Warmte(stroom) Φ = Q/t (dit is de getrans-porteerde thermische energie per tijdseenheid);

Warmtestroomdichtheid Ψ = Φ/A ( dit is de ge-transporteerde thermische energie per tijds- en oppervlakte eenheid).

Warmteleer

Warmtetransport processen kunnen zijn:Stationair (Φ verandert niet in de tijd, de temperatuur in het systeem verandert niet.)

Instationair (Φ verandert in de tijd, de temperatuur in het systeem verandert wel.)

Warmteleer

Stationair procesEen stationair proces is een proces waarbij:

De warmtestroom niet verandert in de tijd →Φin= Φuit = Φ = konstant door het systeem;De temperatuur op een willekeurige plaats inhet systeem verandert niet;De temperatuur in het medium vertoont eengradiënt, dwz. T(x1) ≠ T(x2) en ΔT/Δx = konst.

Warmteleer

Warmteleer

Instationair procesEen instationair proces is een proces waarbij:

De warmtestroom verandert met de tijd →Φin ≠ Φuit. Φ ≠ konstant;dwz de gradiënt (ΔT/Δx) ≠ konstant.

Er vind opwarming van het medium plaats,

Warmteleer

Stationaire geleidingsprocessenDe stationaire geleidingsprocessen kunnen zijn:

Eén-dimensionaal, door een Vlakke wand;Twee-dimensionaal, door een cilindrischewand;Drie-dimensionaal, door een bolvormigewand.

Warmteleer

GeleidingGeleiding is het proces waarbij gebieden met grotere moleculaire bewegingsenergie hunthermische energie doorgeven aan gebiedenmet een kleinere moleculaire bewegings-energie door middel van moleculaire botsingen.

Warmteleer

Eéndimensionaal warmtetransportKies een vlakke wand waarvan de lengte en breedte heel veelgroter zijn dan de dikte van de wand. De grensvlakken van de wand worden op een konstante temperatuur gehouden. Hierbijis Tx1 > Tx2. De warmtestroom staat loodrecht op de wand. Kies een deel van het oppervlak (noem dit A) waardoor de warmte-stroom gemeten wordt.

Warmteleer

De warmtestroom ontstaat vanwege hetTemperatuurverschil Tx1- Tx2 = - ΔT →Φ ~ -ΔT. De grootte van de warmtestroom is groter naarmateA groter is →Φ ~ A.Hoe dikker de wand des te kleiner is Φ bijgelijkblijvende ΔT →Φ ~ 1/Δx.→Φ = - λ A (ΔT/Δx) = - λ A [(Tx1-Tx2)/(x2-x1)]

Warmteleer

In de vergelijking Φ = - λ A (ΔT/Δx) is λ de evenredigheidskonstante met de eenheidW/m.K.

Ф wordt steeds positief gekozen, we werkendan het minteken weg →Ф wordt dan:Ф = λ A (ΔT/Δx) = λ A (Tx1- Tx2)/(x2-x1)

Warmteleer

In differentiaalvorm zien de vergelijkingenvoor Φ en Ψ alsvolgt uit:

dxdTen

dxdTA λψλφ ==

Warmteleer

Oplossing van een dergelijk stationair procesis afhankelijk van de zogeheten rand-voorwaarden(dit zijn de begincondities en gegevens). Dat zijn de randvoorwaarden van de eerste en tweede soort.

RvW 1e soort: de temperatuur op de grensvlakken is bekend.RvW 2e soort: de warmtestroom Φ is bekend.

Warmteleer

Voor een willekeurig plaats in de wand geldtdan bij zo’n stationair proces:

( )( )

( )( )

( ) ( )

( )lhhx

xhlh

xh

l

lh

TTdxTT

xTTA

dTTA

xxTTA

xxTTAkonst

−−=

⇒−

=−

=

⇒−−

=−−

=⇒=

λλφ

λλφφ00

Warmteleer

Het verloop van de temperatuur in de wand verandertdus lineair met x.

( ) xd

TTTT lhhx

−−=

Warmteleer

In de elektriciteit geldt:

( )A

dV

Axx

VR

VVI

weersteelektrischverschilpotentiaalelektrischstroomeElektrisch

el

el

el

el

el

laagelhoogelel

.

.

.

01.

.

.

..

λρ

Δ=

−Δ

=−

=

⇒=

Warmteleer

In de warmteleer geldt:

( )( )

( ).

.

.

01..

.

therm

therm

therm

lhlhthermtherm R

V

Ad

TTxxTTAI

weerstthermischeverschilpotentiaalthermischomwarmtestro

Δ=

−=

−−

==

⇒=

λ

λφ

Warmteleer

Bestaat de vlakke wand uit meerdere lagen van verschillende λ, dan kan de warmtestroom beschouwd als te gaan door eenserieschakeling van thermische weerstanden. Er geldt dan:

( ) ( ) ( ) ( ) ⇒=−+++−+−

⇒=Δ

∑i

itherm

thermlwiwwwh

serietherm

thermtotaaltherm

R

ITTTTTT

RIV

1.

.322

.

..

...

Warmteleer

De totale thermische weerstand is dan:

i

ii

itherm dA

dA

dAR

λλλ+++=∑ .....

2

2

1

1

1.

( )∑

=− i

itherm

thermlh

R

ITT

1.

.

Warmteleer

Tweedimensionaal warmtetransportKies een cilindrische wand waarvan de lengte heel veelgroter is dan de dikte van de wand. De grensvlakken van de wand worden op een konstante temperatuur gehouden. Hierbijis Tr1 > Tr2. De warmtestroom staat loodrecht op de wand. Kies een deel van de lengte, het oppervlak A, waardoor de warmtestroom gemeten wordt.

Warmteleer

Ook voor het tweedimensionale stationaire procesgeldt de vergelijking in differentiaalvorm:Φ = λ Acil. (dT/dr). Herschreven wordt dit dan:Φ = λ 2ЛrL(dT/dr) →

( )1

2ln22

22

1rr

LTT

rdr

LdT

LrdrdT

lh

r

r

T

T

h

lπλφ

πλφ

πλφ

=−⇒=

⇒=

∫∫

Warmteleer

( )

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛−

=

LrrTT lh

cil

πλ

φ

2

ln1

2.

Warmteleer

Driedimensionaal warmtetransportKies een bolvormige wand. De grensvlakkenvan de wand worden op een konstantetemperatuur gehouden. Hierbij is Tr1 > Tr2. De warmtestroom staat loodrecht op de wand.

Warmteleer

Ook voor het driedimensionale stationaire procesgeldt de vergelijking in differentiaalvorm:Φ = λ Abol. (dT/dr). Herschreven wordt dit dan:Φ = λ 4Лr2 (dT/dr) →

( ) ⎟⎟⎠

⎜⎜⎝

=−214 rr

TT lh πλ⎞⎛ −

⇒=⇒=

⇒==

∫∫

12

22

2

44

4

2

1

rr

rdrdT

rdrdT

drdTr

drdTA

r

r

T

T

bol

h

l

φ

πλφ

πλφ

πλλφ

Warmteleer

( ) ( )

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−

=

21

12

21

12

4

4 rrrr

TT

rrrrTT lhlh πλ

πλ

φ

Warmteleer

ConvectieEr is sprake van convectie indien plaatselijk ineen stilstaand fluïdum warmte overdrachtplaats vind. Hierdoor vind er lokale uitzettingvan een volume element plaats. Dit element ondervindt dan een opdrijvende kracht. Hierdoorwordt warmte door stroming getransporteerd.

Warmteleer

Eéndimensionaal warmtetransportKies een vlakke wand waarvan de lengte en breedte heel veelgroter zijn dan de dikte van de wand. De grensvlakken van de wand worden op een konstante temperatuur gehouden. Hierbijis Tx1 > Tx2. De warmtestroom staat loodrecht op de wand. Kies een deel van het oppervlak (noem dit A) waardoor de warmte-stroom gemeten wordt.

Warmteleer

Oplossing van een dergelijk stationair procesis afhankelijk van de zogeheten rand-voorwaarde ( dit is de beginconditie en hetgegeven). Dat is de randvoorwaarden van de derde soort.

RvW 3e soort stelt dat de warmte stroom door een begrenzend oppervlak evenredig is met hettemperatuurverschil tussen dit oppervlak en hetfluïdum.

Warmteleer

Er geldt:Φ = α A (Tw – Tfl),Hierin is α de warmte overdrachtscoëffiënt, met de eenheid W/m2K. A is het kontakt oppervlak tussenwand en fluïdum. Tegelijker tijd moet eveneens gelden:Φ = λ A (dT/dx)

Warmteleer

Φ = λ A (dT/dx) = α A (Tfl – Tw) →OfΦ = λ A (Tw1-Tw2)/(x2-x1) = α A (Tfl-Tw1)OfΦ = λ A (Tw1-Tw2)/d = α A (Tfl-Tw1)

Warmteleer

Warmteleer

( )

( )

( ) ( )⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+

−=⇒⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=−

⇒=−

=−

Ad

A

TTA

dA

TT

resultaathetisoptellingnaAdTT

ATT

wflwfl

ww

wfl

λα

φλα

φ

λφαφ

11 2

2

21

1

Warmteleer

( )⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+

−=

Ad

A

TT wfl

λα

φ 12