Voorbeeld examen 1Vraag 1 (5 punten):

Bespreek zo volledig mogelijk de binomiaal verdeling

(definitie, kansverdeling met uitleg, grafische voorstelling, verwachtingswaarde en variantie, verband met andere verdelingen, toepassingen, steekproefverdeling…)

Vraag 2 (4 punten):

a) Definieer de begrippen covariantie en correlatie voor twee continue toevallige variabelen X en Y, en leg kort uit waarvoor je deze begrippen gebruikt.

b) Onderstaande scatterplots tonen de resultaten van twee steekproeven. Zowel in Zuid-Amerika als in Afrika werd van enkele landen de gemiddelde levensverwachting en de gemiddelde dagelijkse calorie inname opgezocht.

In welk werelddeel is de steekproefcorrelatie het sterkst? Leg uit waarom. Verwacht je, op basis van onderstaande steekproef, dat de variabelen levensverwachting en

calorie inname onafhankelijk zijn? Leg opnieuw uit waarom wel/niet.

gemiddelde dagelijkse calorie inname

3000280026002400220020001800

gem

idde

lde

leve

nsve

rwac

htin

g

80

70

60

50

40

Zuid-Amerika

(calorie,levensverw)

Afrika

(calorie,levensverw)

Vraag 3 (3 punten):

Onderstaand frequentiehistogram toont de verdeling van het bruto binnenlands product per capita (gross domestic product per capita) van 109 landen.

a) Welke maatstaven kan je gebruiken om de ligging van het bbp/capita te bestuderen?

b) Welke maatstaf voor ligging lijkt jou het meest aangewezen in deze concrete situatie? Leg uit waarom.

c) Welke andere grafische voorstellingen kan je gebruiken om de ligging voor te stellen?

Gross domestic product / capita

22000,0

20000,0

18000,0

16000,0

14000,0

12000,0

10000,0

8000,0

6000,0

4000,0

2000,0

0,0

Histogram

Freq

uenc

y

30

20

10

0

Std. Dev = 6479,84

Mean = 5860,0

N = 109,00

Descriptives

5859,98 620,664629,73

7090,23

5349,742995,004,2E+076479,84

1222347423352

6674,501,146 ,231-,028 ,459

MeanLower BoundUpper Bound

95% ConfidenceInterval for Mean

5% Trimmed MeanMedianVarianceStd. DeviationMinimumMaximumRangeInterquartile RangeSkewnessKurtosis

Gross domesticproduct / capita

Statistic Std. Error

Vraag 4 (4 punten):

Een verzekeringsmaatschappij geeft voor de opslagplaats van een bepaalde kunsthandel een brandpolis uit ter waarde van 85000 EUR en met een looptijd van 1 jaar. Uit ervaring weet men dat de kans dat in dit welbepaalde jaar een brand alle goederen in deze opslagruimte verwoest 0.1% is, de kans dat er voor 50% schade aangebracht wordt 1% is, terwijl de kans dat er voor 25% schade is, 3% bedraagt. Veronderstel tenslotte dat er naast deze drie schadegevallen geen andere schadegevallen mogelijk zijn. Bovendien zal de verzekeringsmaatschappij nooit een volledige vergoeding uitbetalen voor de beschadigde goederen: de klant betaalt steeds de eerste schijf van 2500 EUR (onafhankelijk van de grootte van de schadeclaim).

a) Geef de kansverdeling van het bedrag dat de verzekeringsmaatschappij zal uitbetalen aan de kunsthandelaar.

b) Welk bedrag moet de verzekeringsmaatschappij voor dergelijke polissen (met zelfde bedrag, looptijd, risico’s) vragen om gemiddeld een break-even resultaat te halen op deze polissen (dus geen winst, geen verlies).

Vraag 5 (4 punten):

Een firma die medische apparatuur produceert brengt een nieuw type sonde op de markt, ontwikkeld voor kijkoperaties. Deze sonde bevat een zeer gevoelige vitale elektronische component waarvan de gemiddelde levensduur slechts 15 minuten is.

a) Als je weet dat een gemiddelde kijkoperatie waarvoor dit toestel ontwikkeld is 20 minuten duurt, is het gebruik van dergelijke sonde dan zinvol? Hou enkel rekening met de levensduur en niet met economische of medische overwegingen om de sonde wel/niet te gebruiken.

b) Zou je dergelijke sonde kopen als je weet dat er niet 1, maar 2 dergelijke componenten inzitten, die beide onafhankelijk van mekaar werken?

Voorbeeld examen 2Vraag 1 (5 punten):

Bespreek zo volledig mogelijk volgende items voor de exponentiële verdeling (maar zonder bewijzen):

definitie, veronderstellingen, dichtheidsfunctie, grafiek van de dichtheidsfucntie, verwachtingswaarde en variantie, geheugenloosheid, verband met andere verdelingen, veralgemening, zinnige toepassingen.

Vraag 2 (3 punten):

Bespreek zo volledig mogelijk (maar zonder bewijzen) de verdeling van het steekproefgemiddelde X in geval van grote steekproeven uit een niet normaal verdeelde populatie: overloop de belangrijkste

eigenschappen van de toevallige variabele X (met uitleg en tekeningen) en geef een zinnige toepassing.

Vraag 3 (4 punten):

In een socio-economische enquête, afgenomen bij 2654 personen, werd o.a. gepeild naar een aantal persoonlijkheidskenmerken van de Vlaming.Eén van de uitspraken die tot de enquête behoorde, is

« Streven naar persoonlijk succes is belangrijker

dan een goede relatie met je naaste »

(verder afgekort als “persoonlijk succes is belangrijker”).De ondervraagde moest zijn mening over deze uitspraak weergeven door middel van een ordinale vijfpuntenschaal, waarbij

1 = volledig mee eens

2 = mee eens

3 = neutraal

4 = niet mee eens

5 = helemaal niet mee eens

In een eerste fase van het onderzoek vraagt men zich af of mannen anders dan vrouwen oordelen over deze uitspraak. De resultaten van de enquête werden afzonderlijk voor mannen en vrouwen verwerkt in SPSS. Hieronder vind je een aantal beschrijvende datastatistieken en een aantal grafische voorstellingen

Gevraagd: Hebben, in onderstaande steekproef, mannen duidelijk een andere houding dan vrouwen t.o.v. het streven naar persoonlijk succes? Zo ja, leg uit in welk opzicht er (duidelijke) verschillen zijn en leg uit waarop je uw conclusie baseert. Oordeel eerst zelf of alle geleverde berekeningen/grafieken zinvol zijn of niet (en dus al of niet mogen gebruikt worden). Bespreek zowel ligging, spreiding als scheefheid.

persoonlijk succes is belangrijker

5,04,03,02,01,0

Histogram

For GESLACHT= man

Freq

uenc

y

800

600

400

200

0

Std. Dev = ,98

Mean = 3,7

N = 1352,00

persoonlijk succes is belangrijker

5,04,03,02,01,0

Histogram

For GESLACHT= vrouw

Freq

uenc

y

800

600

400

200

0

Std. Dev = ,96

Mean = 3,8

N = 1302,00

13021352N =

GESLACHT

vrouwman

pers

oonl

ijk s

ucce

s is

bel

angr

ijker

6

5

4

3

2

1

0

Descriptives

3,69164,0000

,961,98031,005,004,00

1,0000-,891,488

3,84104,0000

,926,96201,005,004,00

,0000-1,1151,130

MeanMedianVarianceStd. DeviationMinimumMaximumRangeInterquartile RangeSkewnessKurtosisMeanMedianVarianceStd. DeviationMinimumMaximumRangeInterquartile RangeSkewnessKurtosis

GESLACHTman

vrouw

persoonlijk succesis belangrijker

Statistic

Vraag 4 (4 punten):

Een pompstation stelt vast dat het verkoopspercentage van hun loodvrije benzine super95 ( = X ) en super98 ( = Y ) beschreven kan worden door de dichtheidsfunctie

f X , Y ( x , y )=9 x2 y2 met

0≤x≤10≤ y≤1 .

a) Bewijs dat bovenstaande functie inderdaad een dichtheidsfunctie is.b) Wat is de kans dat meer dan 75% van super98 en minder dan 25% van super95 verkocht wordt?c) Zijn super95- en super98- verkoopscijfers onafhankelijk van elkaar?

Vraag 5 (4 punten):

Een vensterraam producerend bedrijf Vesco bestelt gewalste aluminium-platen met een dikte van 0.2mm. De kans dat een plaat niet voldoet aan de gestelde voorwaarden is 10%. De platen worden verkocht in pakketten van 10 platen. Vesco zal een pakket terugsturen wanneer minstens 2 platen niet voldoen aan hun voorwaarden.

a) Bereken de kans dat een pakket wordt teruggestuurd.b) Als het bedrijf Vesco nu 100 pakketten bestelt, hoeveel slechte pakketten zouden er dan

gemiddeld genomen teruggestuurd worden?

c) Veronderstel nu dat de platen worden verkocht in pakketten van 20 platen. Hoeveel slechte platen mogen er maximaal in zo’n pakket zitten, wil de kans dat het pakket wordt teruggestuurd kleiner zijn dan de kans dat een pakket met 10 platen wordt teruggestuurd.

Voorbeeld examen 3Theorie:

MEERKEUZEVRAGEN

1) Van een reeks waarnemingen wordt een boxplot geconstrueerd. Hoeveel procent van deze waarnemingen heeft een warde die groter is dan de bovenrand van de doos in de boxplot?

A: 15%B: 25% xC: 50%D: 75%

2) Voor de steekproef met waarneming (6,4) en 7,1) bedraagt de Pearson correlatiecoëfficiënt tussen de geobserveerde variabelen X en Y

A: 1B:-1 xC: -0,5D:0,5

3) Vraag met een BMW: Verkochte eenheden: 40 50 60Kans: 0,3 0,2 0,5

Wat is de variantie van het aantal verkochte eenheden?A: 45B: 76 xC: 1234D: 3456

4) Voor een steekproef met waarnemingen (75, 70), (80, 77)en (76, 67) bedraagt de Spearman rangcorrelatiecoëffieciënt tussen de geobserveerde variabelen X en Y

A: 1B:-1C: -0,5 xD:0,5

5) De hoeveelheid reiskoffers op een passagiersvliegtuig heeft een gemiddelde van 200 en een standaardafwijking van 220. De kans dat de gemiddelde hoeveelheid reiskoffers van een lukraak samengestelde groep van 100 vliegtuigen minstens 250 reiskoffers bedraagt is

A: 0,5673B: 0,0116 xC: 0,8334D: 0,0236

6) De eerste Fries Elfsteden vond plaats op 5 januari 1909. In januari 1997 werd de 15de en voorlopig laatste Elfstedentocht. Gemiddeld betekent dit dat de schaatstocht om de ..103... / 15 ≈ ..6,87.. jaar plaats vindt. Ga ervan uit dat het aantal Elfstedentochten per jaar Poisson verdeeld is. Wat is de kans dat er de volgende 5 jaar geen Elfstedentocht zal plaatsvinden?

A: 0,07B: 0,48 x

C: 0,83D: 0,02

7) Vraag ivm bekendste Belgische statisticus -> Adolphe Quetelet8) Lange maar makkelijke vraag waarbij je gwn 1/6! moest doen.9) Vraag met variantie berekenen10) Een student beweert dat de covariantie tussen twee kansvariabelen X en Y gelijk is E(XY), is dit waar?

A: Neen dat is nooit waar.B: Ja, indien E(X)=0 en E(Y)=0 xC: Ja, dit is altijd waar.D: Ja, indien X en Y onafhankelijk kansvariabelen zijn.

Grote vragen:

-Een kansvariabele X is beta verdeeld met parameters α en β . De kansdichtheid van een beta

verdeelde kansvariabele X is gelijk aan: f ( x )= Γ (α+ β)Γ (α )Γ (β)

xα−1(1−x )β−1

In deze uitdrukking is 0 ≤ x ≤ 1, stelt Γ ( ) de gamma fucntie voor, en zijn Γ (α ), Γ ( β) en Γ (α +β ) constanten. De verwachte waarde en de variantie van een beta verdeelde kansvariabele zijn gelijk aan:

μx=E ( X )=¿ α

α+β en σ x2=¿ var(X) =

α β(α+β )2(α+β+1)

Wat is de kansdichtheid van Y = 1- X ? Hoe heet deze en wat zijn de parameters ervan? Wat is de verwachte waarde van Y? Wat is de variantie van Y?

Oplossing:Via transformatiestelling oplossen!

° y = g(x) = 1-n : Strikt dalend, dus ok° g−1(y) = n = 1-y

° |g−1( y )dy | = |−1|

° f y ( y )= Γ (α +β )Γ ( α ) Γ ( β )

(1− y)α−1(1−1+ y )β−1

= ... y β−1 (1− y)α−1

y Beta verdeeld met parameters β en α

E(y) = β

α+β

Var(y) = αβ

(α+β )2(α+β+1)

OEFENINGEN   : -Oefening uit ‘Kansen en verwachtingen’ van de duivenmelker, met X= reistijd snelste duif etc.-Kansboom opstellen en tekenen-Goed het verschil tussen ratio/interval/kwalitatief/kwantitatief geschaald kennen.