1

Vectoren

2

Symbolen in de cursus

Fysica

wiskunde

Inhoudsopgave

Hoofdstuk 1: Herhaling............................................................................................................................ 3

Hoofdstuk 2: Vrije vectoren in de wiskunde ........................................................................................... 4

Hoofdstuk 3: Gebonden vectoren in de fysica ...................................................................................... 10

Hoofdstuk 4: Verschil fysica wiskunde ............................................................................................. 15

Hoofdstuk 5: Bronvermelding ............................................................................................................... 16

3

Hoofdstuk 1: Herhaling 1.1 Wat je al weet: georiënteerde lijnstukken 1.1.1 Definitie In het tweede jaar leerde je hoe je figuren kan verschuiven. Elke verschuiving wordt bepaald door

een georiënteerd lijnstuk.

a) Teken vierhoek 𝐾𝐿𝑀𝑁, schuifbeeld van vierhoek 𝐴𝐵𝐶𝐷 volgens het georiënteerde lijnstuk 𝐸𝐹 .

b) Hoe worden georiënteerde lijnstukken genoteerd?

1.1.2 Benamingen

De lengte van het georiënteerde lijnstuk 𝐴𝐵 is de lengte van het lijnstuk [𝐴𝐵] .

De richting van het georiënteerde lijnstuk 𝐴𝐵 is de richting van de rechte 𝐴𝐵.

De zin van het georiënteerde lijnstuk 𝐴𝐵 wordt bepaald door de volgorde waarin je de letters 𝐴 en 𝐵

opnoemt. Een georiënteerd lijnstuk heeft een beginpunt en een eindpunt. De zin wordt op de

tekening aangeduid door een pijl.

4

Hoofdstuk 2: Vrije vectoren in de wiskunde 2.1 Definitie

a) Wat hebben de georiënteerde lijnstukken 𝐴1𝐵1 , 𝐴2𝐵2

, 𝐴3𝐵3 , … gemeenschappelijk met het

georiënteerde lijnstuk 𝐴𝐵 ?

b) Hoe verschillen de georiënteerde lijnstukken 𝐴1𝐵1 , 𝐴2𝐵2

, 𝐴3𝐵3 , … van het georiënteerde

lijnstuk 𝐴𝐵 ?

De verzameling van alle georiënteerde lijnstukken met dezelfde richting, zin en lengte als 𝐴𝐵 noemen we een vector. We kiezen één georiënteerd lijnstuk als vertegenwoordiger voor de vector. We

spreken dan van de vector 𝐴𝐵 .

Notatie: 𝐴𝐵 (dit is dezelfde notatie als een georiënteerd lijnstuk) of 𝑣 .

2.2 Vrije vectoren

De georiënteerde lijnstukken 𝐴𝐵 , 𝐴1𝐵1 , 𝐴2𝐵2

, 𝐴3𝐵3 , … zijn allemaal vertegenwoordigers van de

vector 𝐴𝐵 . Aangezien je een vertegenwoordiger van de vector 𝐴𝐵 vrij mag kiezen, heeft een vector

geen aangrijpingspunt. Daarom noemen we 𝐴𝐵 een vrije vector.

De rechte 𝐴𝐵 is een drager van de vector 𝐴𝐵 .

2.3 Lengte, richting en zin van een vector De lengte of grootte van de vector 𝐴𝐵 is gelijk aan de lengte van het lijnstuk [𝐴𝐵] .

|𝐴𝐵 | = |𝐴𝐵|

De richting van de vector 𝐴𝐵 is dezelfde als de richting van zijn drager 𝐴𝐵.

De zin van de vector 𝐴𝐵 is dezelfde als de zin van het georiënteerd lijnstuk 𝐴𝐵 .

5

2.4 Soorten vectoren 2.4.1 Gelijke vectoren

Gelijke vectoren zijn vectoren met o dezelfde lengte o dezelfde richting o dezelfde zin.

2.4.2 Tegengestelde vectoren

Tegengestelde vectoren zijn vectoren met o dezelfde lengte o dezelfde richting o tegengestelde zin.

Notatie: −𝑣 is tegengestelde vector van 𝑣 .

2.4.3 Nulvector

De nulvector is een vector waarvan de lengte nul is.

Notatie: 0

2.4.4 Oefeningen a) Welke vectoren van de figuur hierboven zijn gelijk?

b) Welke vectoren van de figuur hierboven zijn tegengesteld?

c) Duid in de figuur hierboven de nulvector aan.

d) Maak een tekening zodat beide voorwaarden gelden: 𝐾𝑀 = 𝐴𝐿 ; 𝐴𝐾 = 𝐿𝑀

6

e) Teken F, G en H zodat:

𝐴𝐹 = 𝐵𝐶

𝐵𝐺 = 𝐴𝐶

𝐻𝐶 = 𝐴𝐵

f) Als 𝐴𝐵𝐶𝐷 een parallellogram is, welke vectoren zijn dan gelijk en welke tegengesteld?

A 𝐴𝑀 = 𝑀𝐶 E 𝐵𝐶 = 𝐷𝐴

B 𝐴𝑀 = 𝐶𝑀 F 𝐶𝑀 = 𝐵𝑀

C 𝐴𝐵 = 𝐷𝐶 G 𝐶𝐷 = 𝐵𝐴

D 𝐵𝑀 = 𝑀𝐷 H 𝐶𝐴 = 𝐷𝐵

7

2.5 Som van twee vectoren 2.5.1 Definitie

De som van de vector 𝐴𝐵 en de vector 𝐵𝐶 is

de vector 𝐴𝐶 .

𝐴𝐵 + 𝐵𝐶 = 𝐴𝐶

2.5.2 Werkwijze

Om twee vectoren 𝑣 en �� op te tellen, ga je als volgt te werk.

Noem 𝐴 het beginpunt en 𝐵 het eindpunt van 𝑣 .

Teken de vector 𝐵𝐶 zodat 𝐵𝐶 = �� .

De vector 𝐴𝐶 is de som van 𝑣 en �� .

8

2.5.3 Oefeningen a) Teken de som van de gegeven vectoren in het rood.

9

10

Hoofdstuk 3: Gebonden vectoren in de fysica 3.1 Op schattenjacht! Je gaat op zoek naar een schat. De schat ligt verborgen in een onbekende stad. Vooraleer je op zoek

kan gaan naar de schat, moet je een aantal opdrachten moeten oplossen.

Tijdens een schattenjacht moet de ploeg van Peter opdrachten uitvoeren om de plaats van de schat

te weten te komen. Na elke gelukte opdracht krijgen ze een kaartje met informatie. Als ze denken te

weten waar de schat ligt, moeten ze die zo snel mogelijk opsporen.

Na de eerste gelukte opdracht

Krijgen ze kaartje één:

Annelies denkt: ‘Oei, maar zo snel kan ik niet lopen.’

Peter denkt na en zegt daarop: ‘Dat is geen probleem!’

a) Waarom heeft Peter gelijk?

b) Weten ze met dit kaartje genoeg om te vertrekken? Zo ja, waar ligt de schat?

Het tweede kaartje zegt:

c) Weten ze nu genoeg om te vertrekken?

Daarna krijgen ze kaartje drie:

d) Weten ze met dit kaartje genoeg om te vertrekken? Zo ja, waar ligt de schat?

………………………………..

………………………………..

………………………………..

11

e) Kan Peter en zijn ploeg van om het even welke plaats vertrekken met deze gegevens? Waarom

wel / niet?

Het starpunt of het aangrijpingspunt is dus heel belangrijk.

Een grootheid is iets wat je kunt meten. Sommige grootheden worden volledig gekenmerkt door hun

grootte. Dat zijn scalaire grootheden.

f) Geef enkele voorbeelden van scalaire grootheden:

Om de schat te vinden, moet de ploeg van Peter niet alleen de juiste afstand afleggen, maar ook in

de juiste richting en zin lopen.

g) Deze drie gegevens vindt de ploeg van Peter op de kaartjes op de vorige pagina. Benoem de

kaartjes met grootte, zin of richting.

Zo’n grootheid is een vectoriële grootheid.

Sommige grootheden worden niet alleen gekenmerkt door hun grootte, een richting en een zin, maar ook door een aangrijpingspunt. Dat zijn vectoriële grootheden. Snelheid en kracht zijn vectoriële grootheden.

3.2 Kracht Experiment

Neem een lat en laat de lat vallen tussen de open vingers van een vriend of vriendin. Kan hij of zij de lat vangen door zijn vingers dicht te knijpen?

12

a) Welke kracht werkt in op de lat?

b) Geef in eigen woorden een definitie van die kracht.

c) Wat is de richting van die kracht?

d) Wat is de zin van die kracht?

e) Teken op de afbeelding hoe de zwaartekracht werkt op de parachutist met behulp van een

vector.

f) Doe hetzelfde voor de trekkrachten dat het schip ondergaat wanneer het naar de open zee

getrokken wordt.

13

g) Op de caravan werken twee trekkrachten in met een zelfde aangrijpingspunt A. Teken de

resulterende kracht.

3.3 Snelheid De snelheid van een voorwerp kan ook aan de hand van een vector weergegeven worden.

a) Geef op onderstaande afbeelding de snelheid van de persoon weer aan de hand van een

vector.

b) Een trein in een pretpark rijdt met een snelheid van 𝟐𝟎 𝒌𝒎/𝒉, weergegeven door

snelheidsvector 𝒗𝟐 . In die trein wandel je met een snelheid van 𝟒 𝒌𝒎/𝒉 in de zin en de

rijrichting van de trein, weergegeven door snelheidsvector 𝒗𝟏 . Teken de resulterende

vector 𝒗𝑹 (onder 𝒗𝟐 ). Hoe groot is 𝒗𝑹 ?

14

c) Doe hetzelfde als bij b, alleen is 𝒗𝟏 nu tegengesteld aan 𝒗𝟐 .

3.4 Besluit

Bij grootheden zoals snelheid en kracht zijn niet alleen de grootte, richting en zin belangrijk

maar ook het …………………………………. .

Deze grootheden kunnen we weergeven met behulp van een vector. Daarom noemen we ze

vectoriële grootheden.

Vectoren die afhankelijk zijn van

o ………………………………………..;

o ………………………………………..;

o ……………………………………….. en

o ………………………………………..

noemen we gebonden vectoren.

15

Hoofdstuk 4: Verschil fysica wiskunde

Vectoren

Fysica Wiskunde

MET / ZONDER aangrijpingspunt

⇓

……………………………………………

MET / ZONDER aangrijpingspunt

⇓

……………………………………………

16

Hoofdstuk 5: Bronvermelding

112ink. (sd). Opgeroepen op mei 12, 2016, van 112ink: http://www.112ink.nl/image/Oorkonde-

papier-perkament-DP235.jpg

Aspeele, M.-J., Decock, G., Delagrange, N., Rubben, J., & Van Hijfte, J. (2011). Nieuwe TOP 3.2

Meetkunde. Mechelen: Plantyn. Opgeroepen op december 11, 2015

Bogaert, P., Geeurickx, F., Muylaert, M., Van Nieuwenhuyze, R., Willockx, E., & Carreyn, B. (2011).

VBTL 3 Meetkunde. Brugge: die Keure. Opgeroepen op mei 25, 2016

Bogaert, P., Geeurickx, F., Muylaert, M., Van Nieuwenhuyze, R., Willockx, E., & Carreyn, B. (2012).

VBTL 4 Meetkunde. Brugge: Die Keure. Opgeroepen op december 15, 2015

Brown, R. (2004, juni 20). Opgeroepen op november 28, 2015, van pbase:

http://www.pbase.com/image/30430367

De Coster, A., Levrier, J., Meesschaert, R., Soete, O., Vande Keere, W., Van Dessel, W., & Willem, M.

(2007). WP+ 3.2 Meetkunde. Mechelen: Wolters Plantyn. Opgeroepen op mei 2, 2016

mathima. (sd). Opgeroepen op december 22, 2015, van mathima: http://www.mathima.be/3FR/fy3-

krachten/extra_vector_of_scalair.html

Pastiche 560/4. (2015). Opgeroepen op juni 1, 2016, van granthamcaravans:

http://www.granthamcaravans.co.uk/shop/2015-caravans/pastiche-5604/

Selalp. (2014, januari 6). Opgeroepen op december 11, 2015, van skiinfo:

http://m.skiinfo.nl/skinieuws/a/585458/de-mooiste-skiliften

Telder, R. (2015, december 23). Opgeroepen op januari 12, 2016, van kotug:

http://www.kotug.com/en-GB/news-media/145_kotug-and-boskalis-establish-european-

harbour-towage-joint-venture.html

Van Echelpoel, L., De Cock, M., Dejaeger, M., Mertens, G., & Van Acker, S. (2012). Interactie 3².

Brugge: Die Keure. Opgeroepen op december 15, 2015

Vandenbussche, K., Vergaert, A., & Verreycken, W. (2013). Fysica Xpert 3.2. Kalmthout: Pelckmans.

Opgeroepen op december 15, 2015

Wees, J. V. (2009, augustus 2). Opgeroepen op november 25, 2015, van nikon-club-nederland:

http://www.nikon-club-nederland.nl/forum/viewtopic.php?t=19738