Vectoren in de tweede graad - Regio West-Vlaanderen 2-3 2015/1447680427_ww6vectoren... · Vectoren...

Vectoren in de tweede graad

Els Vanlommel

Dag van de wiskunde, tweede en derde graadEekhoutcentrum, 14 november 2015

Deze syllabus bestaat uit

• artikels uit Uitwiskeling waaraan ik heb meegeschreven

• zelf gemaakt lesmateriaal

• stukken uit het materiaal van de nascholing ’Wiskunde en fysica: naar meer onderlingesamenhang’ die ik op 15 oktober 2014 in Antwerpen gaf (CNO).

Dank voor de fijne samenwerking aan Bruno Van Clemen, de redactieleden van Uitwiskeling,Anke Van Averbeke en Rita Van Peteghem.

1

Vectoren in de les wiskunde

1. Samenhang tussen wiskunde en fysica

Leerlingen hebben vaak problemen met de transfer van de leerstof i.v.m. vectoren die ze in de wiskundeles zien

naar de lessen fysica. Het is daarom belangrijk dat leerkrachten fysica en wiskunde weten wat er op dat vlak

gedaan wordt in mekaars lessen. Wellicht kunnen een aantal moeilijkheden worden opgevangen door goed

overleg tussen de vakleerkachten. Wij denken dat drie aspecten hierbij belangrijk zijn.

Ten eerste is het absoluut noodzakelijk dat leerkrachten fysica weten wat leerlingen op welk moment kennen uit

de les wiskunde. Als leerlingen in de les wiskunde nog niet geleerd hebben een vectorsom te maken, is het

uiteraard moeilijker om in fysica een vector te ontbinden in componenten en moet dat in de les fysica nog grondig

uitgelegd worden. Nadenken over de timing en die, waar mogelijk, op mekaar afstemmen is nodig.

Ten tweede moeten leraren wiskunde weten in welke context de leerstof van vectoren gebruikt wordt in de les

fysica. Het is volgens ons essentieel voor het begrip van de leerlingen en voor de transfer tussen de verschillende

vakken dat leerkrachten de verbanden met de leerstof fysica tonen. Herkenbare voorbeelden maken de leerstof

meer concreet en wekken de interesse van de leerlingen. Bovendien zullen leerkrachten wiskunde die weten in

welke context de leerstof gebruikt wordt in de lessen fysica meer het belang inzien van het inpassen van de

leerstof vectoren waar dat mogelijk en wenselijk is.

En ten derde denken wij dat er meer duidelijke afspraken moeten worden gemaakt wat betreft de gebruikte

notaties. Gebruiken we ‖��‖ of 𝐹 voor de norm van een vector? Met welke notaties creëren we zo weinig mogelijk

verwarring? Hierbij willen wij al onmiddellijk opmerken dat het niet evident is om heel consequent eenzelfde

notatie te hanteren. Zo bijvoorbeeld kennen de meeste leerlingen in de tweede graad niet het begrip norm van

een vector. Daar is het dan best mogelijk om 𝐹 te noteren i.p.v. ‖��‖, zoals ook vaak in handboeken wordt gedaan.

Het is uiteraard niet de bedoeling om het met de notatie nodeloos ingewikkeld te maken voor leerlingen.

2. Vectoren in de leerplannen wiskunde

In de jaren ’70 van de vorige eeuw speelden vectoren een prominente rol in de opbouw van theorie. Zowat de

hele meetkunde van het secundair onderwijs werd met vectoren opgebouwd. In de huidige leerplannen spelen

vectoren deze rol niet meer. En sindsdien komen ze slechts heel beperkt aan bod in de lessen wiskunde.

2.1 Tweede graad

In de eerste graad wordt het vectorbegrip ingeleid als geöriënteerd lijnstuk bij verschuivingen. In sommige

handboeken wordt al in de eerste graad het woord vector gebruikt voor een georiënteerd lijnstuk, maar dat is

zeker niet algemeen het geval. Pas in het derde jaar komt de concrete leerstof i.v.m. vectoren aan bod.

Derde jaar:

De leerstof i.v.m. vectoren is verdiepingsleerstof en zit niet in het basispakket van 4 uur wiskunde. Enkel de

leerlingen met 5 uur wiskunde in het lessenpakket krijgen MAXIMAAL de onderstaande leerstof. Niet elk

onderdeel ervan is verplicht en vaak wordt deze leerstof slechts heel summier behandeld. De leerplannen

adviseren ongeveer 6 lestijden voor vectoren.

- vectorbegrip (gebonden, vrije vector)

- tegengestelde van een vector

- constructie som van vectoren (methode parallellogram, kop-staartmethode)

- veelvoud van een vector

- ontbinding volgens assen

- verband met coördinaten

- vectoriële vergelijking van een rechte

- som, verschil, veelvoud berekenen met coördinaten

Vierde jaar:

Zelfde situatie. Enkel leerweg 5 heeft MOGELIJK volgende begrippen gezien.

- norm van een vector

- scalair product van vectoren

- uitdrukken van orthogonaliteit d.m.v. scalair product

De praktijk leert dat in heel wat scholen het scalair product in het vierde jaar niet wordt behandeld.

2.2 Derde graad

Minder dan 6 uur wiskunde in lessenpakket

In de studierichtingen met minder dan 6 uur wiskunde, zit de leerstof van vectoren NIET in het basispakket. Enkel

als gekozen wordt voor het keuze-onderwerp ruimtemeetkunde worden de begrippen norm en scalair product

behandeld.

Het is voor leerkrachten fysica heel belangrijk te beseffen dat deze leerlingen in de praktijk meestal enkel in het

derde middelbaar iets te horen kregen over vectoren in de les wiskunde! Het gaat hier ook om leerlingen die een

richting volgen met pool wetenschappen zoals moderne talen-wetenschappen, Latijn-wetenschappen…

6 uur wiskunde of meer in lessenpakket

De basiseigenschappen van vectoren en reële vectorruimten zijn hier verplichte leerstof. In de praktijk komt dit

vaak neer op een uitbreiding naar 3 (of meer) dimensies van wat al gezien werd in de vlakke meetkunde van het

derde jaar (zie hierboven). De aanpak is uiteraard meer abstract en de link met coördinaten wordt meer expliciet

gemaakt dan in het derde jaar het geval was. Vectoren worden hier ook gebruikt om problemen in ruimtelijke

situaties op te lossen.

Het scalair product en de link met orthogonaliteit is hier niet altijd verplichte leerstof. Ook het vectorieel product

is geen verplichte leerstof.

3. Mogelijkheden binnen wiskunde

Sinds vectoren in de leerplannen wiskunde niet meer de hoofdrol spelen in de opbouw van theorie horen ze er

niet echt meer bij. Ze staan vaak in een ‘laatste hoofdstuk’, vlak voor een vakantie of proefwerk, dat kan

sneuvelen in geval van tijdsnood. Anderzijds is de idee van een vector belangrijk, niet alleen binnen wiskunde

maar ook in heel wat fysische of technische toepassingen. Daarom pleiten wij ervoor om in de lessen wiskunde

vectoren meer aan bod te laten komen (het leerplan maximaal invullen) maar vectoren nadien ook meer terloops

aan bod te laten komen.

Om alle misverstanden te vermijden: dit is geen pleidooi om vectoren binnen de les wiskunde terug hun sleutelrol

in de opbouw van de theorie te geven. Wel willen we leerlingen meer vertrouwd maken met het vectorbegrip

en de kracht van vectoren illustreren (zowel binnen als buiten wiskunde).

Vectoren verbergen veel meetkundige informatie op een compacte manier, wat het voor leerlingen niet altijd

gemakkelijk maakt. Vectoren meer aan bod laten komen, wordt dus best enkel gedaan waar dat wenselijk, zinvol

en haalbaar is. Vaak spelen ook aspecten als tijdsdruk, niveau van de klas e.d. een belangrijke rol.

We bekijken hieronder enkele mogelijkheden die er binnen de leerplannen zijn om vectoren in wiskunde

(terloops) aan bod te laten komen. De bedoeling is niet om een cursus vectoren te geven, die vind je in zowat

alle handboeken wiskunde, meestal met toepassingen uit fysica (zowel derde, vierde jaar als derde graad). Het

gaat ook niet om een leerlijn vectoren. De aangehaalde voorbeelden zijn geen kant en klaar uitgewerkt

lesmateriaal, maar zijn eerder als inspiratiebron bedoeld. Er zijn uiteraard nog meer voorbeelden te bedenken.

3.1 Derde jaar

Voorbeeld 1: krachten, duwen en trekken

Het volgende voorbeeld kun je gebruiken om een klasgesprek mee te voeren. We gaan er van uit dat de leerlingen het begrip vector al kennen, in de context van ‘verschuiving’. In de vraagjes worden de bewerkingen som en veelvoud van een vector aangebracht, maar onmiddellijk in een context die bij fysica aansluit.

Amadee moet een vleugelpiano verplaatsen. Gelukkig staat het ding op wieltjes, maar dat wil nog niet zeggen dat hij het onmiddellijk in beweging krijgt; een vleugelpiano heeft allesbehalve vleugels. Amadee duwt op een plek die de piano laat schuiven zonder te draaien. Zijn duwkracht kan ook door een pijltje voorgesteld worden. Die kracht heeft immers een grootte (namelijk hoe hard hij duwt), een richting en een zin. De lengte van de pijl is hier geen ‘echte’ afstand zoals bij de vector van een verschuiving, maar stelt de grootte van de kracht voor: hoe langer de pijl, hoe harder hij duwt.

1. Amedee is niet zo’n spierbundel; hij krijgt de piano niet in beweging. Ludwig komt hem helpen. Nu komt de piano wel in beweging. In welke richting en zin zal de piano schuiven?

Opmerking:

kracht van L op

de piano

kracht van A op

de piano

m

om de piano niet de doen draaien, duwen A en L recht naar een centraal punt van de piano. Dit punt, het snijpunt van de dragers van hun krachtvectoren, is het massapunt van de piano. Alle lichamen hebben zo’n massapunt. Wanneer de massa homogeen verdeeld is, is dit gelijk aan het wiskundig gedefinieerde zwaartepunt. Bijvoorbeeld bij een kartonnen driehoek is dit het gekende zwaartepunt, het snijpunt van de zwaartelijnen. Je kunt de hele piano in gedachten vervangen door één zwaar punt, het massapunt, waarop de krachten inwerken. Het massapunt is dus een fictief begrip, het punt waarin we de volledige massa van het lichaam samengebald denken. In de figuur hebben we dit punt voorgesteld door m.

2. Kun je beide krachten vervangen door één (denkbeeldige) kracht die op zijn eentje hetzelfde effect zou hebben als beide krachten samen?

Hier ontstaat waarschijnlijk een discussie: hoe de lengte en richting van deze resultante kracht bepalen? Het is best mogelijk dat leerlingen voor de lengte van de resultante krachtvector de som nemen van beide lengten. In dat geval kan de leerkracht vertellen dat L en A niet 100% samenwerken maar elkaar ook een beetje tegenwerken. Een deel van hun kracht gaat dus verloren. Als leerlingen er zelf niet opkomen, illustreert de leerkracht hoe de resultante kracht kan worden bepaald: som van de vectoren met de parallellogramregel. De leerlingen kunnen nagaan dat die kracht voldoet aan de verwachtingen: ze houdt rekening met beide krachten, leunt iets meer aan bij de kracht van L, is langer dan de afzonderlijke krachten, maar ook korter dan de som van de lengten van beide krachten…

3. Jan en Fred komen mee helpen duwen. Wat zou men bedoelen met “de duwkracht van Jan is 2,5 keer de

duwkracht van Amadee”? En met “de duwkracht van Fred is 2 keer die van Amadee”? Hoe zie je dit aan de pijlen?

Voorbeeld 2: plaatsen verplaatsingsvector, gemiddelde snelheidsvector

Dit zijn heel belangrijke begrippen in fysica en daarom is het zinvol om in wiskunde, bij de studie van het

vectorbegrip, deze begrippen en de gebruikte notaties te behandelen.

Een fietser fietst langs een rechte baan van een punt 𝐴 naar punt 𝐵. Het gaat dan om een

eendimensionale beweging. De verplaatsing die de fietser verricht, kunnen we met vectoren noteren:

𝐴𝐵 .

In deze context gebruikt men in fysica volgende notaties en begrippen. We pleiten ervoor om deze in

de les wiskunde te vermelden, naast de gebruikelijke notaties uit het handboek.

De verplaatsing van een beginpositie 𝑃0 tot een eindpositie 𝑃, verricht gedurende een bepaalde

tijdsduur ∆𝑡 wordt weergegeven door een verplaatsingsvector Δ𝑟. Hierbij is ∆𝑡 = 𝑡 − 𝑡0 met 𝑡0 het

begintijdstip en 𝑡 het eindtijdstip. Er geldt dan ook dat 𝑃0 = 𝑃(𝑡0) en 𝑃 = 𝑃(𝑡). Wanneer we ergens

een oorsprong vastleggen, komen met de posities 𝑃0 en 𝑃 plaatsvectoren 𝑟0 = 𝑟(𝑡0) en 𝑟 = 𝑟(𝑡)

overeen.

A P0

. B P

.

We zien dan dat Δ𝑟 = 𝑟 − 𝑟0. In het tijdsinterval ∆𝑡 hebben we een verplaatsing Δ𝑟.

De verplaatsing per tijdseenheid noemen we de (gemiddelde) snelheid. Omdat de verplaatsing door een

verplaatsingsvector wordt weergegeven en de tijdsduur een scalar is, is ook de gemiddelde snelheid een

vectoriële grootheid:

Δ𝑟

∆𝑡= ⟨��⟩

De gemiddelde snelheid is dus een veelvoud van de verplaatsingsvector: ⟨��⟩ =1

Δ𝑡⋅ Δ𝑟

De notatie voor gemiddelde snelheid (met de haakjes) wordt in de lessen fysica van de tweede graad

vaak niet gebruikt om de notaties niet nodeloos te verzwaren. De leerlingen kennen immers nog niet

het begrip ogenblikkelijke snelheid. Wij denken dat best van bij het begin een zo consequent mogelijke

notatie wordt gebruikt. Al geldt ook hier uiteraard de regel: kies dat wat haalbaar, wenselijk en zinvol is

voor de leerlingen in kwestie.

Dezelfde situatie als hierboven, maar dan in twee dimensies waarbij de baan van de fietser niet een

rechte lijn is:

Ook hier geldt dat Δ𝑟 = 𝑟 − 𝑟0 en Δ𝑟

∆𝑡= ⟨��⟩. Dit levert een zinvolle context om het verschil en het

veelvoud van vectoren mee te illustreren. Een andere zinvolle context is die van snelheidsverandering.

Merk op dat we hier het begrip ogenblikkelijke snelheid (met afgeleiden) voorbereiden. Dit komt aan

bod in het vijfde jaar. De onderstaande figuur verduidelijkt dit. Voor sommige sterke leerlingen kun je

dit zeker al illustreren. Voor heel wat leerlingen is dit in het derde jaar nog te moeilijk.

We herkennen hier het afgeleide-begrip uit het vijfde jaar, maar dan met vectoren:

��(𝑡0) = lim∆𝑡→0

⟨��⟩

= lim𝑡→𝑡0

𝑟(𝑡) − 𝑟(𝑡0)

𝑡 − 𝑡0

= lim𝑡→𝑡0

Δ𝑟

∆𝑡

=𝑑𝑟

𝑑𝑡(𝑡0)

Aangezien 𝑡0 willekeurig gekozen is, kunnen we dus concluderen dat

��(𝑡) =𝑑𝑟

𝑑𝑡

Je kunt dit eventueel in het vierde jaar uitleggen wanneer je de begrippen differentie en

differentiequotiënt behandelt.

Voorbeeld 3: oplossen van rechthoekige driehoeken

We kwamen al het verschil en het veelvoud van vectoren tegen, maar contexten met snelheid lenen zich ook

goed om de som van vectoren te illustreren. Tegelijk heb je mooie oefeningen op het oplossen van (rechthoekige)

driehoeken. Eventueel kun je in deze context het begrip norm van een vector al laten vallen. Hieronder geven

we een voorbeeld.

De F-14 Tomcat was een marine-onderscheppingsjager die tussen 1972 en 2006 werd gebruikt door de

US Navy bij gevechtsoperaties. De F-14 Tomcats werden o.a. ingezet in de Golfoorlog (1990-1991) bij

verkenningsmissies.

Een gevechtspiloot vliegt met zijn F-14 noordwaarts met een snelheid van 400 km/h. In de luchtvaart

noemt men dit de werkelijke luchtsnelheid (snelheid t.o.v. de omringende luchtmassa). Een sterke

zijwind (straalstroom) komt uit het oosten en heeft een snelheid van 170 km/h t.o.v. de grond. Bereken

de grondsnelheid (zowel de richting als de grootte) van het vliegtuig, dit is de snelheid t.o.v. het

aardoppervlak.

We kunnen deze situatie schematisch voorstellen met vectoren als volgt. In A bevindt zich het

massapunt 𝑚. Hierbij is ��𝐹 de werkelijke luchtsnelheid van de F-14 en ��𝑊 de vector die de windsnelheid

voorstelt. De resultante ��𝐺 is de grondsnelheid van het vliegtuig. We lossen ∆𝐴𝐵𝐶 op en vinden dat de

F-14 onder een hoek van 23°1’ noordwestwaarts vliegt met een grondsnelheid van ongeveer 435 km/h.

Zeker bij het begin kan het voor leerlingen nuttig zijn dat je bij figuren een uitgebreide notatie gebruikt

waarbij je bij elke vector letterlijk schrijft wat hij voorstelt. Dit verduidelijkt voor hen aanzienlijk de

samenstelling van de verschillende bewegingen. Zoals al gezegd, worden bij vectoren immers veel

impliciete veronderstellingen gemaakt, wat het voor leerlingen extra moeilijk maakt. Uiteraard is het de

bedoeling dat op een bepaald moment de verkorte notatie gebruikt wordt, bijvoorbeeld bij het maken

van oefeningen (daar kan een te zware notatie net hinderlijk zijn).

Je kunt hier nog varianten bij bedenken waar de leerlingen zelf op moeten zoeken.

In welke richting en met welke luchtsnelheid moet de piloot vliegen opdat zijn grondsnelheid 450 km/h

noordwaarts is?

De leerlingen zien meestal wel in dat het vliegtuig tegen de wind in, richting NO, moet worden gestuurd.

Ook hier zijn vectoren heel handig om dit probleem op te lossen.

(��𝐹)

(��𝑊)

(��𝐺)

B C

. A (mvliegtuig) ��lucht t.o.v. grond

��vliegtuig t.o.v. lucht

��resultante = ��vliegtuig t.o.v. grond

Via het oplossen van rechthoekige driehoeken vinden we de richting en de grootte van ��𝐹.

Merk op dat het massapunt (vliegtuig) zich hier verplaatst in de ruimte.

Wat de notaties betreft, moeten we hier opmerken dat leerlingen in het derde jaar nog niet het begrip

norm van een vector kennen. Daarom is het aangewezen om hier nog niet de notatie ‖��‖ voor de

grootte van �� te gebruiken, maar wel gewoon 𝑣. Dit wordt in veel handboeken fysica ook zo gedaan met

als doel het geheel niet nodeloos ingewikkeld te maken.

3.2 Vierde jaar

Voorbeeld 1: oplossen van willekeurige driehoeken, de kajak

Bij de toepassingen op het oplossen van willekeurige driehoeken is het mogelijk om problemen met vectoren

aan bod te laten komen.

Een typisch probleem is het volgende:

Tijdens een sportdag krijgen de leerlingen van onze school bij het kajakken de opdracht om de kajak zó

te sturen dat ze zo snel mogelijk een aangeduid punt aan de andere oever van de rivier bereiken. Een

aartsmoeilijke opdracht! Hoe moeten de leerlingen hun boot sturen? Kun je een wiskundig model

opstellen om hen hierbij te helpen?

Een schematische voorstelling van deze situatie is de volgende. De kajak bevindt zich in punt B en moet de oever

in punt A bereiken.

��𝑊 A

��𝐺 ��𝐹

. (mvliegtuig)

De leerkracht kan de situatie verduidelijken door samen met de leerlingen de schets verder aan te vullen. Er is

het stromend water en de kajak. Om het model te vereenvoudigen, beschouwen we de kajak als een puntmassa.

Enkele vragen die in een onderwijsleergesprek kunnen worden gesteld:

Hoe kun je het sturen van de boot op de figuur voorstellen? En hoe de snelheid van het stromend water?

Hoe moet je sturen?

Hoe zal de boot uiteindelijk bewegen? En hoe stel je dit voor?

Uiteindelijk wordt het probleem herleid tot de onderstaande situatie waarbij 𝑣𝑤 de snelheid is van het water (die we constant veronderstellen) en 𝑣𝑏 de vector die de snelheid van de boot voorstelt. De grootte ervan is een maat voor de sterkte waarmee je peddelt en de richting wordt bepaald door het richten van het roer. We gaan er in dit probleem van uit dat je steeds aan maximale snelheid peddelt zodat de grootte van 𝑣𝑏 constant is.

Of, met bondiger notaties:

De vraag wordt nu: bepaal 𝛼 zodat de kajak in punt A de oever bereikt (bij gegeven grootte ‖𝑣𝑤 ‖ en ‖𝑣𝑏‖). We

zoeken dus de hoek 𝛼 zodat de resultante snelheidsvector de richting heeft van de rechte AB of, met de notaties

uit de figuur hierboven, zodat 𝛽 = 𝐴𝐵��. Je kunt hier een concrete invulling geven aan 𝐴𝐵�� (bijvoorbeeld door

.

(𝑚𝑘𝑎𝑗𝑎𝑘𝑘𝑒𝑟) B

��𝑏

��𝑟

��𝑤

��water t.o.v. grond

��boot t.o.v. water ��resultante = ��boot t.o.v. grond

(𝑚𝑘𝑎𝑗𝑎𝑘𝑘𝑒𝑟)

de opgave te formuleren als: de leerlingen moeten de rivier schuin oversteken onder een hoek van 100°) of je

kunt met letters blijven werken.

Een bijkomende vraag kan zijn: bereken de lengte van de resultante vector.

De hoek 𝛼 kan gevonden worden met verwisselende binnenhoeken en de sinusregel. De grootte van de

resultante vector vind je met de cosinusregel. Belangrijk is hier te wijzen op het feit dat de grootte van de

resultante niet gelijk is aan de som van de grootten van de twee snelheidsvectoren.

Je kunt hier eventueel een interessante bijkomende vraag stellen om het begrip component van een vector op te frissen. Bereken de hoek waaronder je moet varen om de rivier loodrecht op de oever over te steken.

Dit is het speciale geval waarbij 𝛽 = 90°. Met een beetje rekenwerk kun je volgende voorwaarde voor 𝛼 vinden: ‖𝑣𝑤 ‖ = −‖𝑣𝑏‖ cos 𝛼.

Deze formule is mooi om te interpreteren. Bekijk hiervoor volgende figuur.

De horizontale component van 𝑣𝑏 noteren we met 𝑣𝑏,𝑥 . De lengte van deze horizontale component is ‖𝑣𝑏‖ cos(180° − 𝛼) = −‖𝑣𝑏‖ cos 𝛼 . En dit was gelijk aan ‖𝑣𝑤 ‖.

De horizontale component van 𝑣𝑏 moet dus 𝑣𝑤 opheffen als je de rivier recht wil oversteken!

Voorbeeld 2: oplossen willekeurige driehoeken, reclamebord

.

B .

��𝑤 ��𝑏,𝑥

��𝑏

��𝑟

��𝑏,𝑥 ��𝑤

��𝑟 ��𝑏

We behandelen hier een ander probleem waarbij het ontbinden van vectoren in componenten essentieel is. Opnieuw kan dit worden ingepast bij de toepassingen van de sinus- en cosinusregel.

Boven in de straat is er een reclamebord opgehangen aan stalen kabels die aan de gevels van huizen zijn vastgemaakt. De kabels maken hoeken van 60° en 45° met de muren. Het bord weegt 25 kg. Bereken de kracht in elke kabel.

Je kunt de leerlingen laten voorspellen in welke kabel de kracht het grootst is (m.a.w. welke kabel trekt het meeste gewicht). Ook hier stellen we het reclamebord voor als een massapunt. In het punt R stellen we ons een denkbeeldige ring voor waaraan de stalen kabels en het reclamepaneel zijn vastgemaakt. De krachten werken dan op het knooppunt in zodat we kunnen spreken van de massa van het knooppunt.

We vermelden hier nog het verschil tussen zwaartekracht en gewicht omdat deze begrippen regelmatig fout worden gebruikt. De zwaartekracht is de kracht die de aarde uitoefent op een voorwerp. Het gewicht van dat voorwerp is de kracht die het voorwerp uitoefent op het ondersteunend oppervlak of op het punt waarin het is opgehangen. Vaak spreekt men van zwaartekracht terwijl eigenlijk het gewicht wordt bedoeld. Bij een systeem in rust zijn deze twee krachten even groot.

De leerlingen kennen de volgende formule voor het gewicht:

𝐹𝑔 = 𝑚 ∙ 𝑔 = 25 ∙ 9,81 N = 245,25 N.

Opdat het bord blijft hangen, moet de kracht 𝐹𝑔 worden gecompenseerd door een even grote kracht �� omhoog.

Dit is de kracht die door de kabels geleverd wordt en die nodig is opdat de resultante kracht nul is.

Om te weten wat de kracht is op elke kabel apart, moeten we �� ontbinden in componenten 𝐹1 en 𝐹2

volgens de richting van de kabels. We gebruiken de gekende parallellogramconstructie.

��𝑔 =��gewicht op knooppunt

��=��nodig

Door verwisselende binnenhoeken te gebruiken en de sinusregel toe te passen in ∆𝑃𝑄𝑅 uit de figuur hierboven, vinden we:

‖𝐹1 ‖ = 179,54 N.

Analoog vinden we dat ‖𝐹2 ‖ = 219,89 N.

De kracht is dus het grootst in de kabel die een hoek van 45° met de muur maakt!

Je kunt eventueel de krachten in de kabel nog ontbinden in een horizontale en een verticale component. De horizontale component kan namelijk zorgen voor het uit de muur trekken van de bout waaraan de kabel vastzit.

Je kunt bij dit voorbeeld uiteraard een andere context verzinnen. Maak er eventueel een spectaculaire reddingsactie van waarbij twee leerlingen een derde met touwen moeten vasthouden boven een ravijn. Of vertaal de context naar één van de vele klimtoestanden die op sportdagen wel eens worden georganiseerd. Welke leerling kan achteraf zeggen dat hij het hardst moest trekken? Een ander voorbeeld is dat van het dragen van bakken frisdrank of bier. Je kunt dan een context verzinnen van bijvoorbeeld de jeugdbeweging waarbij ze een fuif organiseren en per twee bakken tillen bij het handvat in het midden. Wie moet het hardst tillen?

Wil je deze opdrachten in het derde jaar kunnen gebruiken, dan moet je er voor zorgen dat je met rechthoekige driehoeken werkt. We geven hier een voorbeeld:

.

��𝑔

Boven een straat hangt een verkeerslicht met een massa van 10 kg aan twee stalen kabels. De kabels maken hoeken van 37° en 53° met de horizontale richting. Bereken de kracht in beide kabels. Maak eerste een schets van alle krachtvectoren.

Je kunt de krachtvectoren als volgt tekenen:

De driehoeken waarin je nu werkt, zijn rechthoekig.

Voorbeeld 3: oplossen van willekeurige driehoeken, vliegtuig

Ook volgend voorbeeld geeft aanleiding tot het gebruik van vectoren en is sterk vergelijkbaar met het voorbeeld van de kajakker.

Een vliegtuig vliegt van punt A naar punt B die 2400 km van elkaar verwijderd zijn. De straalstroom (dit is een luchtstroom op grote hoogte) heeft een snelheid van 150 km/h. De snelheid van het vliegtuig is 800 km/h. Welke richting moet het vliegtuig aanhouden om rechtstreeks naar B te vliegen? Hoe lang duurt de vlucht.

Voorbeeld 4: transformaties van grafieken

Bij de leerstof rond tweedegraadsfuncties en transformaties van grafieken, kun je de verschuivingen waarvan

sprake is met vectoren noteren of opgaven met vectoren herformuleren. Hier komen vectoren slechts heel

terloops aan bod, maar het draagt er wel toe bij dat leerlingen meer vertrouwd geraken met het vectorbegrip.

1. De grafiek van 𝑓(𝑥) = 𝑥² + 2𝑥 + 2 wordt verschoven volgens de vector met coördinaat (−1,3).

Bepaal de vergelijking van het schuifbeeld van 𝑓.

2. Gegeven is de parabool met vergelijking 𝑓(𝑥) = 3𝑥² en de punten 𝐴(5, −2) en 𝐵(−1,3). Bepaal

het voorschrift van de functie die je bekomt wanneer je de parabool verschuift volgens 𝐵𝐴 .

Voorbeeld 5: scalair product en arbeid (1)

Als je de uitbreidingsleerstof rond scalair product behandelt, is het zinvol om de link te leggen met het begrip

arbeid dat leerlingen op dat moment al kennen uit de les fysica. Zij kennen dat op dat moment echter enkel als

scalaire grootheid en behandelden het nog niet vectorieel. Ze bestudeerden immers enkel het geval waarbij de

kracht en de verplaatsing dezelfde richting hebben. Op de figuur hieronder zie je de situatie waarbij geduwd

wordt tegen een rotsblok. We vervangen ook hier weer het blok door het massapunt.

De geleverde arbeid is het scalair product van de krachtvector en de verplaatsingsvector:

𝑊 = �� ∙ ∆𝑟 = ‖��‖ ∙ ‖Δ𝑟‖ cos 0° = ‖��‖ ∙ ‖Δ𝑟‖.

Met de verkorte notatie:

𝑊 = �� ∙ ∆𝑟 = 𝐹 ⋅ ∆𝑟 ⋅ cos0° = 𝐹 ⋅ Δ𝑟.

Je kunt dit verder uitbreiden naar onderstaande situatie waarin we het bovenaanzicht van een wagentje op rails zien. Omdat het wagentje op de rails blijft bewegen, is het mogelijk dat de krachtvector en de verplaatsingsvector een andere richting hebben. De geleverde arbeid hangt hier alleen maar af van de projectie van de krachtvector op de verplaatsingsvector (het wagentje kan niet van de rails). Enkel de component evenwijdig met de verplaatsing is van belang. De component loodrecht op de verplaatsing heeft geen invloed. Zo kom je automatisch bij de gekende definitie van het scalair product.

We vinden voor de geleverde arbeid: 𝑊 = �� ∙ ∆𝑟 = ‖��‖ ⋅ ‖Δ𝑟‖ ⋅

cos 30° =√3

2⋅ ‖��‖ ⋅ ‖Δ𝑟‖ =

√3

2⋅ 200 ⋅ 100 = 17320,5 J.

Merk hier op dat ‖��‖ ⋅ cos 30° de lengte en zin van de loodrechte projectie van �� op Δ𝑟 (𝐹∥ in de figuur

hierboven) geeft. Dit verduidelijkt mooi de grafische betekenis van het scalair product.

Voorbeeld 6: scalair product en arbeid (2)

𝐹∥ (

√3

2⋅ 200 N)

In geval van loodrechte stand, is het scalair product nul. Een kracht loodrecht op een verplaatsing levert dan ook geen arbeid. In het volgende voorbeeld van een fietser die op een kruispunt te maken krijgt met zijwind, ontbinden we de verplaatsingsvector (i.p.v. de krachtvector) in componenten evenwijdig met en loodrecht op de krachtvector. Merk op dat we bij het voorbeeld met het wagentje omgekeerd werkten: daar hebben we de krachtvector ontbonden in componenten evenwijdig met en loodrecht op de verplaatsingsvector. Beide zijn mogelijk.

Hierbij is Δ𝑟 de resultante verplaatsingsvector en Δ𝑟⊥ de component die het gevolg is van de windstoot. We

weten nu dat

𝑊 = �� ⋅ Δr

= ‖��‖ ⋅ ‖Δ𝑟‖ ⋅ cos 𝛼

= ‖��‖ ⋅ ‖Δ𝑟∥‖

𝛼 is de hoek tussen �� en Δ𝑟. Enkel de component van de verplaatsingsvector die evenwijdig is met de

krachtvector is dus van belang voor de arbeid. De orthogonale component heeft geen effect.

Voorbeeld 7: vectorieel product

Hoewel deze leerstof niet op het leerplan wiskunde staat, kun je na de lessen i.v.m. het scalair product ook even

kort (ongeveer een half lesuur) het vectorieel product aanhalen.

In de lessen fysica van de derde graad komt het begrip vectorieel product aan bod bij de Lorentzkracht. Dit

kennen de leerlingen nog niet in het vierde jaar. Om niet in het vaarwater van de lessen fysica uit de derde graad

te komen kun je een andere context gebruiken waarbij leerlingen intuïtief het effect al kennen. Dit is een mooie

gelegenheid om een experimentje te doen tijdens een les wiskunde, wat door leerlingen goed gesmaakt wordt.

Bovendien is het voor leerlingen wel interessant om te weten dat er meerdere producten van vectoren bestaan.

Eerst wordt het begrip vectorieel product kort uitgelegd. Het is niet de bedoeling om dit heel uitgebreid in te

leiden omdat het geen ‘te kennen leerstof’ is. Daarna worden enkele oefeningen gemaakt op de linker- of

rechterhandregel (je kunt best met je collega van fysica afspreken welke regel wordt gebruikt). Dit vinden

leerlingen heel plezant, ze wringen zich hierbij werkelijk in bochten!

Het vectorieel product

Voor twee vectoren �� en �� definiëren we het vectorieel product �� × �� = �� met

�� loodrecht op �� en ��

‖��‖ = ‖��‖ ⋅ ‖��‖ ⋅ sin ( ��, �� )

de zin van �� wordt bepaald met de linker- of de rechterhandregel

Het vectorieel product is een vector en geen getal zoals bij het scalair product!

De linkerhandregel werkt als volgt:

Strek de vingers van je linkerhand volgens �� en draai je hand zo dat je een pijl die beweegt volgens �� opvangt met je handpalm. De zin van �� × �� = �� wordt nu bepaald door je gestrekte duim.

De rechterhandregel werkt als volgt:

Strek de wijsvinger van je rechterhand volgens �� en je middelvinger volgens ��. Je gestrekte duim bepaalt nu de zin van �� × �� = ��.

begin lesactiviteit

1. De grootte van het vectorieel product �� × �� is gelijk aan de oppervlakte van het parallellogram met zijden volgens �� en ��. Verklaar!

2. Verklaar de volgende eigenschap: �� ∥ �� ⟺ �� × �� = 0. Hierbij geldt de afspraak (die vaak erg nuttig is) dat de nulvector evenwijdig is met elke richting.

3. Vergelijk de vorige eigenschap met het scalair product. Wanneer is dat gelijk aan 0?

4. Verklaar: �� ⋅ �� = �� ⋅ �� en �� × �� = −�� × ��.

5. Teken op de onderstaande driedimensionale figuren telkens de ontbrekende vector als je weet dat �� × �� = ��. Alleen de richting en de zin van de gevraagde vector is belangrijk, je moet geen rekening houden met de grootte ervan.

M.b.v. het vectorieel product kan worden beschreven en verklaard hoe een racemotor terug recht komt na een

bocht. Blijkbaar gebeurt dat zonder dat de racepiloot daar veel moeite moet voor doen. Of je kunt aan

leerlingen ook vragen of ze zich nog herinneren hoe ze hebben leren fietsen. Sommigen weten misschien nog

dat papa steeds moest roepen dat ze moesten blijven trappen en niet stilvallen. Waarom val je gemakkelijker

om met je fiets als je te weinig snelheid hebt?

Na deze vragen die de interesse moeten wekken, is het tijd voor een experiment. Hierbij is het de bedoeling dat

je een wiel in een lus hangt. Je moet voor dit proefje dus op zoek naar een oud fietswiel en een touw (om de

lus mee te maken). De as van het wiel moet een beetje uitsteken.

Je houdt het touw met een lus vast in je linkerhand. Met je rechterhand hou je het wiel vast en je steunt dit

mee met je linkerhand. Je vraagt een leerling om het wiel snel te laten draaien. Terwijl het draait, hang je het

(met je rechterhand) in de lus die je met je linkerhand vast houdt. Je stelt vast dat het wiel begint te draaien

rond de lus.

I.p.v. de proef zelf te doen, kun je ook een filmpje ervan filmpje bekijken op youtube (bijvoorbeeld van MIT):

https://www.youtube.com/watch?v=8H98BgRzpOM

http://demolab.phys.virginia.edu/demos/pictures/1Q50-23.mpg

einde lesactiviteit

Tijdens het experiment kun je de leerlingen laten voorspellen wat er zal gebeuren.

Wat gebeurt er met het wiel als ik het los in de lus hang? Het antwoord op deze vraag is uiteraard dat het wiel

valt waarna je dit kort demonstreert.

Maar wat gebeurt er als je het wiel eerst snel ronddraait en het al draaiend in de lus hangt? Het wiel valt niet

maar begint rond de lus te draaien! Uiteraard verklap je dit niet, vraag je de leerlingen zelf vooraf wat ze

denken dat er zal gebeuren en laat je het experiment beslissen.

Zonder dieper op dit gyroscopisch effect in te gaan kun je de leerlingen wél uitleggen op welke manier dit

verschijnsel te maken heeft met het vectorieel product van twee vectoren die elk een draaiing voorstellen. De

richting en de zin van deze rotatievectoren wordt gegeven door de rechterhandregel. Er is enerzijds het

gewone ronddraaien van het wiel (doordat je assistent er een draai heeft aan gegeven) dat we beschrijven met

de vector ��wiel om as. Daarnaast hebben we ook nog de draaiing die het vallend wiel beschrijft als je dat los in de

lus hangt (zonder dat het draait). We noteren deze met ��wiel in lus.

De vector ��wiel in lus wijst in de bovenste tekening naar achter in het blad. Omdat dit moeilijk duidelijk te maken

is, tenzij eventueel door de vectoren op een kubus te tekenen, gebruikt men in fysica de symbolen en . Hierbij

staat voor een vector die in het blad (van je weg) gaat en voor een vector die uit het blad komt (naar je toe).

Het resultaat is een nieuwe draaiing die wordt beschreven door het vectorieel product van deze twee:

��wiel om as × ��wiel in lus = ��res

De leerlingen kunnen nu de richting en zin van deze productvector bepalen. Deze beschrijft de draaiing die we

hebben waargenomen bij het experiment!

Je kunt dus fysische verschijnselen, zoals deze draaiingen, beschrijven m.b.v. vectoren en het vectorieel product. Het is niet zo dat de natuur zich gedraagt als vectorieel product; je geeft met deze wiskunde geen verklaringen. Wel is het vectorieel product een model om te beschrijven wat er gebeurt. Vanuit dat model kun je dan voorspellingen doen.

��wiel om as

��wiel in lus ��res

��wiel om as

��res

��wiel in lus

Merk op dat je altijd de snelheidsvector die de snelheid waarmee het wiel draait als eerste factor neemt in het

vectorieel product.

Bij de racemotor die in een bocht gaat ‘liggen’ heb je ook twee draaiingen. Er is enerzijds het draaien van de

wielen en anderzijds de draaiing van het stuur. Op dezelfde manier als hierboven kun je nagaan dat het

resultaat een draaiing is die de motor recht houdt.

En voor de fietser die te weinig snelheid haalt? Als de draaisnelheid van de wielen van de fiets te klein is, dan is

ook het vectorieel product van hierboven klein waardoor het corrigerend effect ervan klein is.

Uiteraard is dit een intuïtieve uitleg. Het is absoluut niet de bedoeling om aan leerlingen het gyroscopisch

effect uit te leggen! Wel laat je ze zien dat het vectorieel product (en bij uitbreiding vectoren in het algemeen)

kan gebruikt worden om de wereld rondom ons te beschrijven.

Het gyroscopisch effect dat we hier beschreven, heeft veel toepassingen. Gyroscopen worden onder

andere gebruikt als instrument om vliegtuigen, schepen, torpedo’s, drones en raketten te richten. In

de film- en televisiewereld en in de game-industrie worden er camera’s mee gestabiliseerd. Op

cruiseschepen worden gyroscopen ingezet bij zelf-nivellerende pooltafels. En in de meer recentere

smartphones worden ze gebruikt om beweging te detecteren. Zelfs de stabiliteit van wolkenkrabbers

kan worden bevorderd met gyroscopen.

Voorbeeld 8: regen vangen en modelleren

Het regent, je hebt geen paraplu bij de hand, geen muts, geen regenkapje. En je moet er door! Hoe blijf je zo droog mogelijk? Moet je zo snel je kunt lopen of juist rustig stappen? Als je traag stapt, valt er immers meer regen boven op je hoofd en je schouders en vang je minder regen op met de voorkant van je lichaam (dat een grotere oppervlakte heeft). Is er misschien een optimale snelheid? En is het niet beter om onder een

bepaalde hoek te lopen, bijvoorbeeld een beetje voorovergebogen? Of loop je net beter mooi rechtop? Leerlingen vinden die vragen meestal wel intrigerend. In het populair-wetenschappelijk televisieprogramma MythBusters (2003, 2005) namen ze de proef op de som, twee keer zelfs. Er was namelijk veel commotie nadat de MythBusters in 2003 tot een heel verrassende conclusie kwamen. Aanhoudende kritiek op de gevolgde werkwijze bij het experiment heeft ertoe geleid dat ze het opnieuw testten in 2005, met een andere uitkomst.

Een eensluidend theoretisch antwoord op de bovenstaande vragen vinden, is niet zo evident. Toch zijn deze vragen een aanzet voor een mooie modelleeroefening waarmee je de kracht, maar tegelijk ook de beperkingen van eenvoudige modellen kunt illustreren.

De onderstaande lesactiviteit is gebaseerd op een lezing van Walter Lewin (2011) en op een filmpje van MinutePhysics. (2012). Je kunt de leerlingen er zelfstandig mee laten werken, maar de tekst kan ook gebruikt worden als leidraad bij een onderwijsleergesprek waarbij je samen met de leerlingen het model opstelt.

Dit onderdeel past goed bij de leerstof rond homografische functies in het vijfde jaar. Je kunt dit ook al doen in een sterke groep van het vierde jaar nadat je de elementaire functies en transformaties van grafieken hebt behandeld.

Regen vangen

Het regent, je hebt geen paraplu bij je, je hebt geen muts, niets om je droog te houden. Hoe blijf je zo droog mogelijk? Moet je zo snel je kunt, lopen? Of moet je net rustig stappen? Is er misschien een optimale loopsnelheid? En zou het kunnen helpen om onder een bepaalde hoek te stappen of lopen, bijvoorbeeld een beetje voorovergebogen? Zo ja, welke hoek is dat dan?

In deze tekst stellen we een wiskundig model op dat ons helpt bij het beantwoorden van deze vragen. Meer bepaald zoeken we de hoeveelheid water die je op je lichaam krijgt.

1. Wat denk je dat het antwoord zal zijn op de bovenstaande vragen? Heb je argumenten voor die hypothese? Welke?

Om dit probleem te modelleren, benader je het lichaam van de persoon die door de regen moet, door een parallellepipedum. Als die persoon volledig rechtop loopt, is dat parallellepipedum een balk. De afmetingen van het grondvlak noem je 𝑎 en 𝑏, de hoogte is ℎ. Stel dat er een afstand 𝑑 moet worden afgelegd en dat de regendruppels met een verticaal gerichte snelheid ��𝑟 uit de lucht vallen. De vector die de horizontale snelheid van de persoon beschrijft, is ��𝑝.

Als je de persoon als referentiepunt neemt, kun je stellen dat de regen beweegt met een snelheid �� die de som is van −��𝑝 en ��𝑟 .

begin lesactiviteit

We zoeken nu een formule voor de totale massa 𝑚 van het water dat wordt opgevangen als functie van de snelheid 𝑣𝑝.

Om vat te krijgen op het probleem bekijken we eerst de grensgevallen: extreem traag en extreem snel bewegen.

2. Hoeveel water wordt opgevangen als de persoon aan een extreem lage snelheid zou bewegen? M.a.w. wat gebeurt er met 𝑚 als 𝑣𝑝 → 0 m/s?

Als 𝑣𝑝 naar 0 gaat, dan zal de tijd dat de persoon onderweg is naar oneindig gaan (𝑡 =𝑑

𝑣𝑝). Bijgevolg zal

ook 𝑚 naar oneindig gaan.

3. En hoeveel water vangt de persoon op als 𝑣𝑝 extreem groot wordt? Stel bijvoorbeeld dat de persoon

zou bewegen aan een snelheid die gelijk is aan één tiende van de lichtsnelheid. Stel ook dat 𝑑 = 100 m en dat 𝑣𝑟 = 3 m/s. Wat gebeurt er nu met 𝑚?

Als 𝑣𝑝 = 0,1𝑐 ≈ 3 ⋅ 107 m/s dan is de persoon 𝑑

𝑣𝑝= 3,3 ⋅ 10−6𝑠 = 3,3 𝜇𝑠 onderweg. In die tijd heeft elke

vallende regendruppel een afstand ℎ = 𝑣𝑟 ⋅ 3,3 ⋅ 10−6 𝑚 = 9,9 ⋅ 10−6 𝑚 ≈ 10−5 𝑚 = 0,01 𝑚𝑚 afgelegd. Het is dus alsof de regen niet verder gevallen is in die tijd. Er valt dus nauwelijks regen op het hoofd en de schouders van de persoon. Uiteraard veegt de persoon met de voorkant van zijn lichaam wel de regendruppels mee. We kunnen dus stellen dat alleen de voorkant van zijn lichaam nat wordt. Het volume regen dat op die manier wordt ‘opgeveegd’ is 𝑉 = 𝑎𝑑ℎ. Op de figuur hieronder zie je de balk met regendruppels die wordt meegeveegd.

De massa regen die wordt opgevangen is dan 𝑚 = 𝑉𝜌 = 𝑎ℎ𝑑𝜌 met 𝜌 de dichtheid van de regen. Deze massa zal een eindig getal zijn en niet naar oneindig gaan zoals in het vorige grensgeval.

De ietwat hilarische conclusie: extreem snel bewegen is altijd beter dan stilstaan in de regen.

In de volgende vragen veralgemenen we de situatie en zoeken we de massa 𝑚 van de opgevangen regen als functie van 𝑣𝑝.

4. Bepaal de grootte 𝑣 van de vector die de relatieve snelheid van de regen t.o.v. de persoon voorstelt.

Met de stelling van Pythagoras vinden we heel eenvoudig: 𝑣 = √𝑣𝑝2 + 𝑣𝑟

2.

5. Bepaal de hoek 𝛼 uit de figuur hierboven als functie van 𝑣𝑝 en 𝑣𝑟 .

𝛼 = Bgtan (𝑣𝑝

𝑣𝑟

)

We bepalen eerst de massa regen die op het bovenvlak van de balk valt, op het hoofd en de schouders van de persoon dus. We noteren dit als 𝑚𝐵.

6. Stel 𝑦 (in kg/s) de massa die per seconde op het bovenvlak valt. Wat is dan de totale massa die op het hoofd en de schouders zal vallen gedurende het hele traject?

De tijd nodig om het traject af te leggen is 𝑑

𝑣𝑝. Dus: 𝑚𝐵 = 𝑦 ⋅

𝑑

𝑣𝑝.

7. Stel dat de massa van de regen homogeen verdeeld is en stel dat het volume regen dat per seconde op het bovenvlak komt, gelijk is aan 𝑧 (in m3/s). Schrijf dan 𝑦 als functie van 𝑧 en substitueer dit in de formule die je hierboven vond voor 𝑚𝐵.

Stel 𝜌 de massadichtheid van de regen, dan is 𝑦 = 𝑧 ⋅ 𝜌. Bijgevolg is 𝑚𝐵 = 𝑧 ⋅ 𝜌 ⋅𝑑

𝑣𝑝.

8. We zoeken nu 𝑧, het volume per tijdseenheid dat de persoon op zijn bovenvlak opvangt. Dit volume kun je zien als een parallellepipedum. Schets dit parallellepipedum en bereken de inhoud ervan.

Stel 𝐻 de hoogte van het parallellepipedum. Dan is het volume van het parallellepipedum:

𝑧 = 𝑎𝑏 ⋅ 𝐻 = 𝑎𝑏 ⋅ 𝑣 ⋅ 𝑐𝑜𝑠𝛼 = 𝑎𝑏 ⋅ 𝑣𝑟

9. Substitueer de formule die je in vorige vraag vond in de formule voor 𝑚𝐵.

𝑚𝐵 = 𝑎𝑏𝑣𝑟𝜌𝑑

𝑣𝑝

Vervolgens kun je volledig analoog de massa 𝑚𝑉 berekenen die meegeveegd wordt door het voorvlak van de balk. De som van de twee gevonden massa’s is de totale massa regen die wordt opgevangen.

10. Toon aan: 𝑚𝑉 = 𝑎ℎ𝑑𝜌.

Het parallellepipedum dat in deze redenering nodig is, zie je hieronder.

11. Is het logisch dat de formule uit vraag 10 niet afhangt van 𝑣𝑝, 𝑣𝑟 of 𝑣?

Ja, want de inhoud die je horizontaal meeveegt, is de inhoud van de balk die we bij vraag 3 hebben getekend. De inhoud van een balk is gelijk aan die van het parallellepipedum met dezelfde hoogte en grondvlak.

12. Schrijf de formule voor 𝑚, de totale massa regen die door de persoon wordt opgevangen. Let op: de enige veranderlijke die in deze formule mag voorkomen, is 𝑣𝑝.

𝑚 = 𝑚𝐵 + 𝑚𝑉

= 𝑎𝑏𝑣𝑟𝜌𝑑

𝑣𝑝

+ 𝑎ℎ𝜌𝑑

= 𝑎𝑑𝜌(𝑏𝑣𝑟

𝑣𝑝

+ ℎ)

13. Welk soort kromme bekom je? Bespreek de asymptoten van deze kromme en leg ook de link met de grensgevallen die je bij de vragen 2 en 3 hebt besproken.

𝑚(𝑣𝑝) = 𝑎𝑑𝜌(𝑏𝑣𝑟

𝑣𝑝+ ℎ) stelt een homografische functie voor met als grafiek een hyperbool. De

horizontale asymptoot is de rechte 𝑚 = 𝑎𝑑𝜌ℎ en de verticale asymptoot is de rechte 𝑣𝑝 = 0. De

horizontale asymptoot bekom je door de snelheid waarmee de persoon loopt ‘oneindig’ groot te maken. Dat is het grensgeval dat in vraag 3 is besproken. We vonden daar dezelfde massa 𝑎𝑑𝜌ℎ! De verticale asymptoot bekom je door die snelheid naar 0 te laten gaan. Dat geval hebben we in vraag 2 besproken.

14. Schets de grafiek van 𝑚 als functie van 𝑣𝑝. Stel hierbij 𝑑 = 100 m, 𝑣𝑟 = 2 m/s, 𝑎 = 0,20 m, 𝑏 = 0,50 m

en ℎ = 1,80 m. Welke waarde zou je voor 𝜌 nemen? Wat is je conclusie? Wat is de beste snelheid? Is er een optimale snelheid?

De massadichtheid van water is 1000 𝑘𝑔/𝑚3en die van lucht is 1,3 𝑘𝑔/𝑚3. De waarde voor 𝜌 zal daar zeker veel dichter bij die van lucht moeten liggen en hangt af van de sterkte van de regenbui. In de grafiek hieronder hebben we 𝜌 gelijk gesteld aan 2 𝑘𝑔/𝑚3.

De hyperbool daalt: zo snel mogelijk lopen is het meest efficiënt. Er is in dit model geen optimale snelheid.

15. Is je model realistisch?

Je ziet dat de massa die je opvangt, zelfs bij extreem snel lopen volgens dit model en met deze parameters bijna gelijk wordt aan 72 kg. Dat is enorm veel. Er zijn heel wat opmerkingen te geven bij ons model. Niemand loopt als een parallellepipedum. Is een regenbui homogeen verdeeld? Een deel van het water dat op je kledij terecht komt, spat ook terug op. We hebben geen rekening gehouden met de impact van wind (windrichting, intensiteit)…

16. Helpt het om voorover te buigen?

Stel dat je loopt onder een hoek 𝛼 dan zou je, volgens dit theoretisch model, enkel regen opvangen met je hoofd en schouders en niks met de voorkant van je lichaam! Als je er bijvoorbeeld voor zorgt dat je even snel loopt als de regen valt (𝑣𝑝 = 𝑣𝑟), dan is 𝛼 = 45°. Met de waarden van hierboven betekent dat dat je

loopsnelheid 7,2 km/h is. Als je dan goed vooroverbuigt zodat je lichaam een hoek van 45° maakt met de grond, vang je een minimum aan regen. Dus toch een optimum!

Op MinutePhysics vind je een heel mooi en kort filmpje dat de ideeën uit deze werktekst visualiseert.n European Journal of Physics verscheen in 2012 een artikel van Franco Bocci waarin het model verfijnd wordt. Er worden daarbij verschillende vormen van lichamen bekeken met verschillende oriëntaties. Bovendien wordt er ook rekening gehouden met de impact van de wind. Daaruit blijkt dat het in sommige gevallen best is om zo snel mogelijk te lopen terwijl er in andere gevallen een optimum is.

http://www.discovery.com/tv-shows/mythbusters/videos/running-in-the-rain-minimyth/

http://mythbustersresults.com/episode38

https://www.youtube.com/watch?v=3MqYE2UuN24

http://iopscience.iop.org/article/10.1088/0143-

0807/33/5/1321/meta;jsessionid=D93257B62356F7FEE9FA468F744AD395.c5.iopscience.cld.iop.org

einde lesactiviteit

http://www.discovery.com/tv-shows/mythbusters/videos/running-in-the-rain-minimyth/

http://mythbustersresults.com/episode38

https://www.youtube.com/watch?v=3MqYE2UuN24

http://iopscience.iop.org/article/10.1088/0143-0807/33/5/1321/meta;jsessionid=D93257B62356F7FEE9FA468F744AD395.c5.iopscience.cld.iop.org

http://iopscience.iop.org/article/10.1088/0143-0807/33/5/1321/meta;jsessionid=D93257B62356F7FEE9FA468F744AD395.c5.iopscience.cld.iop.org

Herhaling en aanvulling vectoren E. Vanlommel, B. Van Clemen

Herhaling en aanvulling vectoren

§1. Inleiding

In deze tekst worden enkele begrippen, notaties . . . met betrekking tot vectoren en sommigeaspecten van het gebruik ervan in wiskunde en fysica verduidelijkt en aangevuld. Het is nietde bedoeling om een volledige cursus vectoren te geven. Vanuit het derde en vierde jaar kenje al heel wat begrippen, sommige daarvan worden hier herhaald, andere veronderstellen we alsgekend.

De onderdelen rond het begrip vectoriele afgeleide, vectorintegraal, de link met parameterverge-lijkingen en de berekening van het vectorieel product met determinanten zijn enkel bedoeld voorde leerlingen van wetenschappen–wiskunde (8 uur). Deze leerstof zal vooral in de les wiskundeaan bod komen en beperkt wordt er ook naar verwezen in de les fyisca. De leerlingen van wewi8gebruiken deze bundel dus zowel in de les fysica als in wiskunde.

§2. Definitie

Een vector−−→AB met A 6= B, bepaalt een verschuiving

t−−→AB

en heeft

• een lengte (de afstand van A tot B)

• een richting (die van de rechte AB)

• een zin (van A naar B)

De nulvector ~0 =−→AA = . . . heeft lengte nul en heeft

geen richting en zin.

Vaak worden vectoren met een letter genoteerd i.p.v. met hun begin– en eindpunt. In wiskundegebruiken we dan meestal een kleine letter: ~u, ~a, ~r . . .. In fysica gebruikt men zowel kleine lettersals hoofdletters: verplaatsingsvector ∆~x, snelheidsvector ~v, krachtvector ~F . . .

I.p.v. het vectorpijltje kun je ook een streepje boven de naam van de vector noteren: u, F , ∆x,AB . . .

Twee vectoren zijn gelijk als ze dezelfde verschuiving bepalen. Ze moeten dus niet hetzelfdebegin– en eindpunt hebben. In de figuur hieronder is ~u = ~v.

- 1 -


§3. Eenheidsvector en norm van een vector

Stel dat we een willekeurige richting hebben die we aangeven met een vector ~u.De eenheidsvector in de richting van ~u is de vector met lengte een die dezelfde richting en zinheeft als ~u. We gebruiken hiervoor de notaties: ~eu of ~1u.

De grootte van een vector ~u wordt ook de norm van ~u genoemd en noteren we met ‖~u‖ of verkortsoms simpelweg u. Er geldt dus:

~u = ‖~u‖~1u = ‖~u‖~eu = u~eu.

In de figuur hieronder is ‖~u‖ = 3 en is ~u = 3~eu.

Het nut hiervan is dat men op die manier een middel heeft om de grootte en richting van eenvector weer op te splitsen. Bij de notatie ~u zitten grootte en richting beide in een symboolgeıntegreerd. Bij u~eu zijn ze beide apart zichtbaar. Dit is handig in bepaalde toepassingenbijvoorbeeld bij het berekenen van de vectoriele afgeleide.

Merk op dat u hier steeds een positief getal voorstelt. Om een tekst niet onnodig te verzwarenwordt deze notatie voor de grootte (of norm) van een vector in fysica vaak gebruikt. Om explicietduidelijk te maken dat het gaat om een positief getal wordt in wiskunde meestal de notatie ‖~u‖gebruikt.

Zo noteert men in fysica bij vraagstukken bijvoorbeeld F = 50 N.Men bedoelt hier eigenlijk ‖~F‖ = 50 N. F stelt dus altijd een positieve waarde voor.

Het is belangrijk dat je aandacht hebt voor de notaties: F stelt een positief getal voor en ~F iseen vector.

Meestal wordt gewerkt met een goed gekozen referentiestelsel dat door een as of een assenstelselwordt bepaald.

In een dimensieDe eenheidsvector ~ex of ~1x, is de eenheidsvector die dezelfde richting en zin heeft als de x–as.

In twee dimensiesHieronder zie je een referentiestelsel dat door een xy–assenkruis wordt bepaald.

- 2 -


In drie dimensiesWe kunnen dit uitbreiden naar drie dimensies. Hieronder zie je een referentiestelsel dat door eenxyz–assenstelsel wordt bepaald.

De eenheidsvectoren in de gekozen referentierichtingen worden meestal genoteerd als:

~ex , ~ey , ~ez of ~1x , ~1y , ~1z of ~i , ~j , ~k

§4. Component van een vector volgens een bepaalde richting

Algemeen noteren we de projectie van ~u op de x–as als ~ux.We noemen ~ux de vectorcomponent van ~u volgens x.

- 3 -


Merk op dat de zin van ~ux ook tegengesteld kan zijn aan die van de x–as.

In het bijzondere geval dat ~u loodrecht staat op de x–as is ~ux gelijk aan de nulvector ~0.Let hierbij op de notatie: 0 is niet hetzelfde als ~0.

Wanneer we de grootte en de zin van een vectorcomponent bedoelen, spreken we van component.De begrippen vectorcomponent en component hebben dus een sterk verschillende betekenis. Eenvectorcomponent is een vector, een component is een getal (dat positief of negatief kan zijn).Voor de component van ~u volgens de richting x noteren we ux. Het is gemakkelijk om in te ziendat voor de vectorcomponent ~ux geldt:

~ux = ux~ex.

Dit wordt geıllustreerd op de onderstaande figuur:

Hierbij is ux = −3 (want ~ux heeft een tegengestelde zin als ~ex).

Belangrijk is te beseffen dat een component zowel een grootte als een zin aanduidt (niet eenrichting want het is een getal). Het teken van de component is dus belangrijk. Dit moet altijdbekeken worden in verband tot een as of een assenstelsel. Dit referentiestelsel wordt vaak nietexpliciet vermeld.In de volgende figuren wordt dit teken verduidelijkt.

- 4 -


Om de component van een vector te berekenen, gebruiken we dat ux = u cosα (zie figuur).

Jullie kennen dit al uit de lessen fysica i.v.m. arbeid. Daar gebruikten jullie dat Fx = F cosα,in de formule W = F∆x cosα.

We wijzen er nogmaals op dat u gelijk is aan de lengte of norm van de vector ~u. u is dus eenpositief getal. Bij de schrijfwijze ux = u cosα zit het teken van de component dan ook helemaalvervat in de ‘cosα’–factor, zoals de tabel hieronder illustreert.

- 5 -


0 < α < 90◦ cosα > 0 ux > 0

90◦ < α < 180◦ cosα < 0 ux < 0

α = 90◦ cosα = 0 ux = 0

We bekijken nog een voorbeeld van een vectorcomponent volgens de y–as. In de figuur hieronderis ~uy de vectorcomponent van ~u volgens y. Daarnaast is uy de component van ~u volgens derichting y.Hierbij is uy = u cosβ of nog uy = u sinα (want α en β zijn complementair).

Speciaal geval: vectoren evenwijdig met een van de assenEen vector die bijvoorbeeld evenwijdig is met de x–as kun je noteren m.b.v. ~ex.

Op de figuur hieronder noteerden we−−→AB = ~u. We zien hier dat ~u = −2~ex.

- 6 -


Merk op dat in dit geval ~u = ~ux en dat ~uy = ~0.

Onthoud ook dat een eenheidsvector in een bepaalde richting de positieve zin langs die richtinggeeft. Een vector in de tegengestelde zin is dus een negatief veelvoud van de eenheidsvector.

Toegepast op fysica zie je in de figuur dat

~F = ~Fx

~Fx = −2 N ·~exFx = −2 N

Fy = 0 N

F = 2 N

Samenvatting

vector ~u grootte, zin, richting

vectorcomponent ~ux grootte, zin, richting

component ux grootte, zin (R)

norm of grootte ‖~u‖ of u grootte (R+)

• ~ux = ux~ex met ~ux is de projectie van ~u op de x–as

• ux = u cosα met ux is de component van ~u volgens de x–as

- 7 -


§5. Som van vectoren

Grafisch

Uit het derde jaar weet je dat de som van vectoren grafisch op twee manieren kan gemaaktworden: via de parallellogram–methode of via de kop–staart–methode.

Bij de parallellogram–methode tekent men een parallellogram met de op te tellen vectoren alszijden. De vectorsom is dan het georienteerde lijnstuk langs de diagonaal vanuit het beginpuntvan de vectoren.Dit wordt in de figuur hieronder geıllustreerd:

Als er meer dan twee vectoren moeten worden opgeteld, wordt best de kop–staart–methodegebruikt. De figuur hieronder illustreert deze methode:

- 8 -


Toegepast op meerdere vectoren, krijg je zo bijvoorbeeld

De somvector wordt ook de resultante vector of kortweg resultante genoemd.

Verschil

Het verschil van twee vectoren is niets anders dan de som van een vector met de tegengesteldevan een andere vector:

~u1 − ~u2 = ~u1 + (−~u2).

- 9 -


De grootte van een som van vectoren berekenen

Stel gegeven twee vectoren ~a en ~b die een hoek γ insluiten en die ~c als som hebben:

Op de figuur zie je dat de grootte van de somvector ~c gelijk is aan de zijde c van de driehoekABC. Uit het vierde jaar weten we dat we deze kunnen berekenen met de cosinusregel:

c2 = a2 + b2 − 2ab cos(180◦ − γ).

Supplementaire hoeken hebben tegengestelde cosinus en dus is

c2 = a2 + b2 + 2ab cos γ

of nog

c =√a2 + b2 + 2ab cos γ.

Grootte van de som van twee vectoren

De grootte c van de som van twee vectoren ~a en ~b die een hoek γ insluiten, is gelijk aan

c =√a2 + b2 + 2ab cos γ

Merk op: ~c = ~a+~b c 6= a+ b

Als ~a en ~b loodrecht op elkaar staan of m.a.w. γ = 90◦, dan is cos γ = 0 en dus c =√a2 + b2.

Dit is niets anders dan de stelling van Pythagoras.

Merk het verschil op in het gebruik van de cosinusregel in fysica en in wiskunde:

cosinusregel in fysica cosinusregel in wiskundea2 = b2 + c2 + 2bc cosα a2 = b2 + c2 − 2bc cosα

- 10 -


§6. Ontbinden van een vector in vectorcomponenten

Wanneer we omgekeerd redeneren als bij de vorige paragraaf, dan kunnen we elke vector ~vvervangen door de som van twee vectoren ~v1 + ~v2. We zeggen dan dat we de vector ~v hebbenontbonden in vectorcomponenten ~v1 en ~v2.

Merk op dat er oneindig veel mogelijkheden zijn om een vector in twee vectorcomponenten teontbinden. Je kunt immers oneindig veel richtingen kiezen voor ~v1 en ~v2 . Elke vector heeft dusoneindig veel paren vectorcomponenten.In de praktijk kiest men de richtingen op een manier die voordelig is binnen een gegeven context,bijvoorbeeld loodrecht op elkaar omdat men in een orthogonaal assenstelsel werkt.

x– en y–componenten van een vectorZoals hierboven beschreven kan een vector ~v in een tweedimensionaal assenstelsel ontbondenworden in twee vectorcomponenten:

~v = ~vx + ~vy

Hierbij weten we dat ~vx = vx~ex en ~vy = vy~ey. We vinden dus:

~v = vx~ex + vy~ey.

We noemen vx en vy de componenten van ~v volgens respectievelijk de x– en de y–as. Merk opdat dit positieve of negatieve getallen kunnen zijn (al naargelang hun zin). Uit het vierde jaar

- 11 -


weten we dat dit de coordinaten zijn van de vector ~v:

~v(vx, vy).

Op de figuur hierboven is vx = −6 en vy = 3 en dus ~v(−6, 3). Om van het beginpunt naarhet eindpunt van ~v te gaan, moet je 6 eenheden naar links gaan in de richting van de x-as en 3eenheden naar boven in de richting van de y-as.

In fysica gebruik je dit ook. Als bijvoorbeeld een krachtvector ~F (4,−5) gegeven is, dan ken jede componenten: Fx = 4 N en Fy = −5 N.

We kunnen de formule uit de vorige paragraaf gebruiken om de grootte van ~v te berekenen:

v =√v2x + v2

y.

Uit de formules voor rechthoekige driehoeken weten we dat vx = v cosα en vy = v sinα.

x–, y– en z–componenten van een vectorVolledig analoog kan elke vector ~v in een driedimensionale ruimte met Cartesiaans xyz–referentie-stelsel ontbonden worden in drie componenten:

~v = ~vx + ~vy + ~vz

of nog:~v = vx~ex + vy~ey + vz~ez.

Uit de lessen ruimtemeetkunde van het zesde jaar weten we dat

v =√v2x + v2

y + v2z .

De vector op de onderstaande figuur kan met de notaties van hierboven geschreven worden als~v(2, 4, 3) of ~v = ~vx + ~vy + ~vz = 2~ex + 4~ey + 3~ez.

- 12 -


Het ontbinden van vectoren in componenten wordt heel vaak gebruikt in fysica.

§7. Som van vectoren via de componenten

Stel gegeven twee vectoren ~u en ~v en hun som ~w = ~u+ ~v.Als ~u(ux, uy), ~v(vx, vy) en ~w(wx, wy) dan kan je op de figuur hieronder gemakkelijk inzien dat

wx = ux + vx en wy = uy + vy

of nog~w = (ux + vx)~ex + (uy + vy)~ey.

- 13 -


§8. Positievector en verplaatsingsvector

In fysica worden deze begrippen vaak gebruikt. In wat volgt, stelt t steeds de tijd voor.

De vector ~r(t) is de positievector of plaatsvector in A. Deze wordt ook wel puntvector of positie-vector genoemd. Het is de vector vanaf de oorsprong tot het punt A die de positie op het tijdstipt geeft. De vector ~r(t+ ∆t) geeft de positie op het tijdstip t+ ∆t.

Bij plaatsvectoren kunnen we de link leggen met parametervergelijkingen. We kunnen ~r(t) ont-binden in componenten:

~r(t) = rx~ex + ry~ey

waarbij {rx = x(t)ry = y(t)

een stelsel van parametervergelijkingen (met parameter t) is .

Je kan dan voor de ontbinding in componenten even goed noteren:

~r(t) = x(t)~ex + y(t)~ey

of kortweg~r(t) = x~ex + y~ey.

Merk op dat jullie in fysica voor de positievector meestal ~x(t) noteren i.p.v. ~r(t). Dit doe je zoomdat jullie meestal eendimensionaal werken. Bij de cirkelbeweging (twee dimensies) noteerdenjullie ook ~r(t).

De verplaatsingsvector is het verschil van de twee plaatsvectoren:

∆~r = ~r(t+ ∆t)− ~r(t).

Deze vector geeft de vectoriele verplaatsing of het verschil in positie gedurende het tijdsinterval∆t.

- 14 -


§9. Infinitesimale veranderingen

In de vorige paragraaf hadden we het over eindige veranderingen van vectoren, die met hetsymbool ∆ voorgesteld worden. Heel vaak gebruikt men echter infinitesimale1 veranderingenvan vectoren bij het definieren van ogenblikkelijke snelheden en versnellingen d.m.v. afgeleiden.

Net als voor getallen kunnen we ook voor vectoren een differentiaal definieren.

Nemen we bijvoorbeeld een cirkelbeweging en twee posities op een eindig tijdsinterval ∆t:

Op de figuur is de overeenkomstige eindige verplaatsing ∆~r te zien.

Als nu het tijdsinterval steeds korter gemaakt wordt, zien we ~r2 steeds dichter bij ~r1 komen,terwijl ∆~r steeds korter wordt en tegelijk steeds dichter naar de raaklijn aan de cirkel toegaat.

Bij sterke vergroting van het gebied rond ∆~r zien we dat ~r1 en ~r2 nagenoeg evenwijdig lopenen dat ∆~r nagenoeg rakend is aan de baan en dus nagenoeg loodrecht staat op ~r1 en ~r2. In delimiet voor ∆t→ 0 zal ook ∆~r → ~0. Een infinitesimaal (oneindig klein) tijdsinterval noteren wemet dt en de overeenkomstige infinitesimale verplaatsing noteren we met d~r. Merk op dat d~rsteeds de richting van de raaklijn aan de baan heeft. Eigenlijk is d~r niet te tekenen omdat dezeverplaatsing oneindig klein (infinitesimaal) is.

1Infinitesimaal: oneindig klein, maar toch niet 0.

- 15 -


§10. Gemiddelde verandering, differentiequotient

Om de gemiddelde verplaatsing gedurende een tijdsinterval ∆t te kennen, delen we de de ver-plaatsingsvector ∆~r door ∆t of anders gezegd: we vermenigvuldigen met 1

∆t (een getal!). We

bekomen zo de gemiddelde verplaatsing ∆~r∆t . Dit is een vector die een veelvoud is van ∆~r en die

bijgevolg dezelfde richting en zin (want ∆t > 0) heeft als ∆~r.

§11. Vectoriele afgeleide

Volledig analoog met de scalaire afgeleide, definieren we de vectoriele afgeleide van een (veran-

derlijke) vector ~A naar u als

lim∆u→0

∆ ~A

∆u=

d ~A

du.

Hierbij geldt: ~A(Ax(u), Ay(u), Az(u)

).

Aangezien de gemiddelde verandering ∆ ~A∆u een vector is, is ook d ~A

du een vector. Deze vector be-

schrijft de mate waarin ~A verandert in functie van u. Omdat een vector zowel een grootte alseen richting heeft, bestaat ook de vectoriele afgeleide zowel uit een verandering van grootte alseen verandering van richting.

We weten al dat we met vectoren vrijwel analoog kunnen rekenen als met getallen: we kunnensommen, verschillen, veelvouden, producten . . . berekenen. De rekenregels zijn nagenoeg dezelfde.Daarom2 zijn ook de rekenregels voor afgeleiden dezelfde.De berekening van de vectoriele afgeleide verloopt dan ook het eenvoudigst via de componenten:

~A = Ax~ex +Ay~ey +Az~ez

zodatd ~A

du=

d(Ax~ex +Ay~ey +Az~ez)

du=

d(Ax~ex)

du+

d(Ay~ey)

du+

d(Az~ez)

du.

Volgens de rekenregel voor de afgeleide van een product is

d(Ax~ex)

du=

dAx

du~ex +Ax

d~exdu

en analoog voor de andere termen. De eenheidsvector ~ex is constant (zowel in richting, grootte

als zin) en dus is d~exdu = ~0. Op die manier vinden we voor de vectoriele afgeleide van ~A naar u:

d ~A

du=

dAx

du~ex +

dAy

du~ey +

dAz

du~ez

Verkort kunnen we dit ook noteren als

d ~A

du

(dAx

du,

dAy

du,

dAz

du

).

2Dit kan vrij eenvoudig worden aangetoond, maar dat zou ons hier te ver leiden.

- 16 -


§12. Vectoriele afgeleide van de positievector, baansnelheid

We passen de theorie van hierboven toe in de fysica.De vectoriele afgeleide van de positievector naar de tijd is niets anders dan de (vector)snelheid~v:

~v = lim∆t→0

∆~r

∆t=

d~r

dt.

We leggen hier opnieuw de link met parametervergelijkingen. Stel dat

~r(t) = x(t)~ex + y(t)~ey

of nog~r (x(t), y(t)).

Hierbij is {rx = x(t)ry = y(t)

een stelsel van parametervergelijkingen (met parameter t) voor de kromme die de baan van eenobject beschrijft. Merk op dat we die kromme meestal tekenen in een xy–assenstelsel; we tekenendan y(x). Hierbij heeft elk punt P van die kromme een coordinaat

(x(t), y(t)

)of anders gezegd:

elke positievector ~r (=−−→OP ) heeft een coordinaat

(x(t), y(t)

).

We weten al dat de snelheidsvector ~v raakt aan de baan van het object, want d~r raakt aan debaan (zie pagina ??). De lengte van ~v wordt de omtreksnelheid of baansnelheid v genoemd enmet de afstandsformule vinden we heel eenvoudig:

v =√v2x + v2

y =

√√√√(dx

dt

)2

+

(dy

dt

)2

.

Merk op dat het begrip baansnelheid iets anders is dan de afgeleidedy

dx=

dy/dt

dx/dt.

Deze laatste is een maat voor de verandering van de baan y(x) van het object. We vinden hiermeeeen antwoord op vragen als ‘Waar stijgt/daalt die kromme?’, ‘Hoe snel stijgt/daalt ze?’. . . Hetis de richtingscoefficient van de raaklijn in een punt van die kromme.Dat is iets heel anders dan baansnelheid of vectorsnelheid: deze heeft namelijk alles te makenmet de snelheid van dat punt in functie van de tijd t. De snelheidsvector ~v(t) heeft de raaklijnals drager, maar de grootte van die snelheidsvector (de baansnelheid) is iets heel anders dan derichtingscoefficient (ook een soort snelheid) van die raaklijn.

- 17 -


Volledig analoog kunnen we het begrip vectorversnelling ~a(t) invoeren. De figuur hieronder toontenkele snelheidsvectoren op verschillende tijdstippen. ~v(0, 4 s) is de vectorsnelheid op tijdstipt = 0, 4 s.

We zien dat de vectorsnelheid verandert in functie van t, zowel in grootte als in richting. Wehebben dus opnieuw een vectoriele afgeleide nodig om de verandering van de snelheidsvector tebeschrijven:

~a(t) =d~v

dt.

§13. Voorbeeld: ECB

Bij de eenparig cirkelvormige beweging in fysica leerde je dat desnelheidsvector ~v loodrecht staat op de plaatsvector en dat degrootte v ervan constant is. De richting is niet constant, dus ~vis geen constante. De grootte van ~v (de baansnelheid dus) be-rekende je (analoog als hierboven beschreven) met de formule

v =√v2x + v2

y.

- 18 -


Je toonde ook aan dat de versnellingsvector ~a loodrecht staat op de snelheidsvector en eentegengestelde zin heeft als de plaatsvector (geen tangentiele, maar enkel een normale vectorcom-ponent).

Het is interessant op te merken dat we heel eenvoudig het stelsel van parametervergelijkingenvan de cirkelvormige baan kunnen opstellen.Stel bijvoorbeeld dat de baan als vergelijking heeft y(x) ↔ x2 + y2 = 1, dan is een stelsel vanparametervergelijkingen {

x(t) = cos ty(t) = sin t

waarbij t de tijd voorstelt (dus t > 0). De hoeksnelheid ω hebben we gelijkgesteld aan 1 rad/s.Een punt op die cirkel heeft dan als plaatsvector

~r(t) = (cos t)~ex + (sin t)~ey

of nog~r(cos t, sin t).

Een nadeel van de tweedimensionale voorstelling met een xy–assenstelsel waarin we y(x) af-beelden (zoals in de figuur hierboven) is dat je op die figuur niet direct de parameter t ‘ziet’.Eigenlijk is die tweedimensionale voorstelling een projectie van een driedimensionale ruimte–tijd–voorstelling, met een xyz–assenstelsel waarbij op de z–as de tijd wordt voorgesteld. Aangeziende tijd continu doorloopt krijg je een schroefbeweging langsheen een cilinder. De figuur die je zobekomt, noemt men een helix. Projecteer je deze helix loodrecht in het xy–vlak dan vind je decirkel van hierboven! Een punt op die helix kan met de volgende plaatsvector worden uitgedrukt:

~r(t) = (cos t)~ex + (sin t)~ey + t~ez

of nog~r(cos t, sin t, t).

Het stelsel parametervergelijkingen dat hiermeeovereenkomt, is dan: x(t) = cos t

y(t) = sin tz(t) = t

Elke keer als de tijd t is toegenomen met 2π radi-alen is de kromme een keer extra rond de cilindergedraaid.

- 19 -


§14. Vectorintegraal

We kunnen vectoren integreren, net zoals we dat doen met scalairen. De onbepaalde integraal∫~r(t)dt is ook hier de verzameling van alle primitieven:∫

~r(t)dt = ~R(t) + ~c

waarvoor geldt dat

d~R

dt= ~r(t).

Merk op dat ~c hier een constante vector voorstelt (de integratieconstante). Het rekenwerk ge-beurt, net als bij afgeleiden, via de componenten.

Zo is bijvoorbeeld de onbepaalde integraal van de plaatsvector op de helix van hiervoor:∫ ((cos t)~ex + (sin t)~ey + t~ez

)dt =

(∫cos t dt

)~ex +

(∫sin t dt

)~ey +

(∫t dt

)~ez

= (sin t+ c1)~ex + (− cos t+ c2)~ey + (t2

2+ c3)~ez

= (sin t)~ex + (− cos t)~ey + (t2

2)~ez + ~c

met ~c = c1~ex + c2~ey + c3~ez.

Ook de bepaalde integraal van t = a tot t = b wordt gedefinieerd in functie vanzijn componenten :∫ b

a

~r(t) dt =

(∫ b

a

x(t) dt

)~ex +

(∫ b

a

y(t) dt

)~ey +

(∫ b

a

z(t) dt

)~ez.

§15. Scalair product

We herhalen hier kort de leerstof van het vierde jaar.

Definitie

Voor twee vectoren ~u en ~v die verschillend zijn van de nulvector, is het scalair product w, met

w = ~u · ~v = ‖~u‖ · ‖~v‖ · cos (~u,~v)

Als ~u of ~v de nulvector is, dan is ~u · ~v = 0.

Opmerkingen:

- 20 -


• het scalair product van 2 vectoren is een getal

• i.p.v. scalair product gebruikt men soms ook de benaming inwendig product of inproduct

Grafische betekenis

Het scalair product van ~u en ~v is de lengte van ~u maal de lengte van de loodrechte projectie van~v op ~u.

Hieruit volgt duidelijk de volgende eigenschap:

~u ⊥ ~v ⇐⇒ ~u · ~v = 0

Met het scalair product kan je dus nagaan of 2 vectoren loodrecht op elkaar staan.

In het vierde jaar leidden we ook een formule af voor de berekening van het scalair productm.b.v. de componenten:

~u · ~v = uxvx + uyvy.

In drie dimensies wordt dit (zie ruimtemeetkunde zesde jaar):

~u · ~v = uxvx + uyvy + uzvz

§16. Vectorieel product

Jullie kennen uit het vierde jaar al de definitie van het vectorieel product:

Definitie

Voor twee vectoren ~u en ~v is het vectorieel product ~u× ~v = ~w met

• ~w loodrecht op ~u en op ~v

• ‖~w‖ = ‖~u‖ · ‖~v‖ · sin (~u,~v)

• de zin van ~w wordt bepaald met de linkerhandregel

- 21 -


Opmerkingen:

• het vectorieel product van 2 vectoren is een vector

• i.p.v. vectorieel product gebruikt men soms ook de benaming uitwendig product, uitproductof kruisproduct

• let op de notatie: ~u ·~v voor het scalair product en ~u× ~v voor het vectorieel product

Linkerhandregel

Strek de vingers van je linkerhand volgens ~u en vang ~v op in je handpalm.De zin van ~w = ~u× ~v wordt nu bepaald door je gestrekte duim.

Grafische betekenis

De grootte van het vectorieel product ~u× ~v is gelijk aan de oppervlakte van het parallellogrammet zijden volgens ~u en ~v.

Voor het vectorieel product geldt de volgende eigenschap:

~u ‖ ~v ⇐⇒ ~u× ~v = ~0

Dit levert dus een methode om na te gaan of 2 vectoren evenwijdig zijn.

Het vectorieel product uitgedrukt met componenten

Het vectorieel product is niet commutatief: ~u× ~v 6= ~v × ~u. Wel geldt dat ~u× ~v = −~v × ~u.De distributieve eigenschap geldt wel: ~u× (~v + ~w) = ~u× ~v + ~u× ~w.Deze eigenschap kunnen we gebruiken om het vectorproduct ~u × ~v via de componenten uit tedrukken:

- 22 -


~u× ~v = (ux~ex + uy~ey + uz~ez)× (vx~ex + vy~ey + vz~ez)

dus (distributiviteit):

~u× ~v = uxvx~ex × ~ex + uxvy~ex × ~ey + uxvz~ex × ~ez

+uyvx~ey × ~ex + uyvy~ey × ~ey + uyvz~ey × ~ez+uzvx~ez × ~ex + uzvy~ez × ~ey + uzvz~ez × ~ez.

Nu is ~ex × ~ex = ~0, ~ey × ~ey = ~0 en ~ez × ~ez = ~0 omdat het vectorieel product van evenwijdigevectoren de nulvector is. Bijgevolg:

~u× ~v = uxvy~ex × ~ey + uxvz~ex × ~ez + uyvx~ey × ~ex + uyvz~ey × ~ez + uzvx~ez × ~ex + uzvy~ez × ~ey.

Je kan makkelijk narekenen dat

~ex × ~ey = −~ey × ~ex = ~ez

~ey × ~ez = −~ez × ~ey = ~ex

~ez × ~ex = −~ex × ~ez = ~ey.

Als we dit toepassen vinden we:

~u× ~v = (uyvz − uzvy)~ex + (uzvx − uxvz)~ey + (uxvy − uyvx)~ez.

Of genoteerd met determinanten (ontwikkeling naar de eerste rij):

~u× ~v =

∣∣∣∣∣∣~ex ~ey ~ezux uy uzvx vy vz

∣∣∣∣∣∣ .Aangezien we nu de vectorcomponenten van het vectorieel product kennen, kunnen we ook degrootte van dat product m.b.v. de componenten berekenen.

BronnenVectoren in fysica, UA Leer ons kennenG. B Thomas, M. D. Weir e.a., Thomas’ calculus (11th edition), Pearson Education, 2005M. Roelens, L. Van den Broeck, Vectoren in de tweede graad, Uitwiskeling 25/1 p.10 e.v.

- 23 -

Uitwiskeling 25/1 (winter 2009)

22

dat dit bij de verschillende voorbeelden uitkomt (elke leerling heeft een ander voorbeeld getekend), maar door aan verschuivingen te denken, zien ze ook in waarom: zowel in de x- als in de y-richting volgen de verschuivingen elkaar op. Ze veralgemenen: als ),( bau en ),( dcv , dan heeft vu + coördinaten ),( dbca ++ .)

4. Onderzoek wat er met de coördinaten gebeurt als je een reëel veelvoud neemt van een vector. (Analoog. Besluit: als ),( bau en r is een getal, dan heeft ur coördinaat ),( rbra .)

5. Wat is de coördinaat van de vector AB met A(1, 7) en B(3, 2)?

( AB (2, −5). De leerlingen ontdekken dit waarschijnlijk op een tekening: twee stapjes naar rechts en vijf stapjes naar beneden. Algemeen: de coördinaat van een vector vinden we door de coördinaat van het beginpunt af te trekken van die van het eindpunt.)

6. Veralgemeen wat je in vraag 5 vond. Bewijs dit met vectoren. Aanwijzing: denk eraan dat de coördinaat van een punt ook de coördinaat is van een vector met beginpunt O (0, 0).

( OAOBOBAOAB −=+= .)

De wereld van de vectoren zit op die manier erg eenvoudig in elkaar. De bewerkingen met vectoren komen gewoon neer op dezelfde bewerkingen op de coördinaten. Het is dan ook niet verwonderlijk dat dezelfde eigenschappen gelden als bij de getallen. Je kunt de bewerkingen met vectoren bekijken als twee bewerkingen met getallen tegelijkertijd (met de x-coördinaten en met de y-coördinaten)! Toch vonden we het belangrijk om de vectoren eerst meetkundig in te voeren, vanwege het belang van de idee van een grootheid die behalve een grootte ook een richting en een zin heeft.

c. Bewijzen met vectoren

Bewijzen met vectoren zijn elegant maar compact. Een vector bevat veel informatie (lengte, richting en zin), waardoor je met een vectorberekening heel veel tegelijk zegt zonder dat dit voor de leerlingen altijd duidelijk is. Belangrijke eigenschappen bewijs je beter eerst zuiver meetkundig. Daarna kunnen de leerlingen de elegantie van een bewijs met vectoren wel appreciëren.

We beperken ons tot enkele voorbeelden om dit te illustreren.

Middenparallel

Een middenparallel van een driehoek is een lijstuk dat de middens van twee zijden verbindt. De eigenschap zegt dat een middenparallel altijd evenwijdig is met en half zo lang als de derde zijde. Op de figuur hieronder: M en N zijn de middens van de zijden [AB] en [AC]; de eigenschap zegt dat

MN // BC en |MN| = 21 |BC|.

onder de loep

23

De leerlingen hebben deze eigenschap al eerder bewezen met gelijkvormige driehoeken: de

driehoeken ABC en AMN zijn gelijkvormig (zz h

zz ) en de gelijkvormigheidsfactor is

21 . Dus zijn MN

en BC evenwijdig (overeenkomstige hoeken omgekeerd) en is [MN] half zo lang als [BC].

Merk op dat beide onderdelen van het te bewijzen afzonderlijk geargumenteerd moesten worden (weliswaar steunend op dezelfde gelijkvormigheid van driehoeken).

Met vectoren vang je twee vliegen in één klap! Daar gaan we:

BCACBAACBAANMAMN21)(

21

21

21

=+=+=+= .

De gevonden gelijkheid BCMN21

= zegt tegelijkertijd iets over lengten en over richtingen (en over

zin maar daar was het niet om te doen)! De gegeven middens werden uitgedrukt met vectoren. Voor de rest hebben we nergens hoeken nodig gehad; de hoeken zaten ‘verstopt’ in de richtingen van de vectoren.

Puntsymmetrische vierhoek

Als een vierhoek puntsymmetrisch is, kan men makkelijk aantonen dat het symmetriepunt het snijpunt is van de diagonalen. Alle puntsymmetrische vierhoeken zijn parallellogrammen! Deze eigenschap is de ‘omgekeerde eigenschap’ van “de diagonalen van een parallellogram snijden elkaar middendoor”. Deze eigenschap kan ook kort met vectoren bewezen worden.

Gegeven is een vierhoek ABCD. De diagonalen snijden elkaar in S en gegeven is dat SCAS = en SBDS = (de diagonalen snijden elkaar middendoor, of nog: S is symmetriepunt).

Welnu: = + = + = + =AB AS SB SC DS DS SC DC en we zijn klaar.

A

B

C

M

N

A B

C D

S


24

De middens van de diagonalen van een trapezium

Nu eens voor de verandering een eigenschap die de leerlingen niet noodzakelijk al vooraf hebben ontmoet. Deze opgave is een mooie uitdaging voor creatievere leerlingen. Andere leerlingen zullen misschien een handje geholpen moeten worden.

Een ontdekking in een trapezium

De diagonalen van een parallellogram snijden elkaar middendoor. Bij een trapezium is dit in het algemeen niet zo (enkel wanneer het trapezium een parallellogram is, geldt het). Wat gebeurt er als je de middens van de diagonalen van een trapezium met elkaar verbindt? Onderzoek dit met tekeningen of dynamische meetkunde en bewijs met vectoren.

(De leerlingen stellen vast dat de verbindingslijn van de middens P en Q van de diagonalen evenwijdig is met de basissen van het trapezium.

Best beginnen met vector PQ (want daar wil je iets over bewijzen). Net zoals in de vorige bewijzen maak je een ‘wandeling’ en druk je het gegeven over de middens uit met vectoren.

ACBADBAQBAPBPQ21

21

++=++=

We hebben BA21 teveel om de factor

21 buiten haken te kunnen zetten en binnen de

haken te kunnen optellen met de kop-staartregel. Daarom splitsen we de term BA in tweeën.

BADCBAACBADBBAACBADBPQ21

21

21)(

21

21

21

21

21

+=+++=+++=

Nu bevat het rechterlid enkel vectoren evenwijdig met de basissen! De eigenschap is dus bewezen. Bovendien krijgen we er nog een cadeau bovenop: het rechterlid kunnen we

herschrijven als )(21 ABDC − . De lengte van [PQ] is de helft van het verschil van de

lengten van de basissen. Bij een parallellogram is dit 0 en vallen P en Q dus samen, wat geen verrassing is.

A B

C D

P Q

onder de loep

25

Deze eigenschap kan ook korter bewezen worden steunend op middenparallellen. Dit vormt een alternatief voor de ‘wandeling’ hierboven. Noem R het midden van de zijde [BC]. Steunend op de middenparallellen in de driehoeken BCD en ABC vinden we:

1 1 .)2 2

PQ PR QR DC AB= − = −

Een variant (makkelijker maar saaier): het lijnstuk dat de middens van de zijden [AD] en [BC] verbindt, is ook evenwijdig met de basissen en heeft als lengte het gemiddelde van de lengten van de basissen (helft van de som in plaats van helft van het verschil). Ook deze eigenschap kan zowel met een ‘wandeling’ als steunend op middenparallellen worden aangetoond. Bovendien hebben beide eigenschappen als ‘limietgeval’ de eigenschap van de middenparallel wanneer een basis krimpt tot één punt…

d. Vectoren en zwaartepunten

Het zwaartepunt van een driehoek is niet alleen het snijpunt van de zwaartelijnen; het is ook het punt waarop je een kartonnen driehoek in evenwicht kunt houden: als je ervoor zorgt dat het zwaartepunt op een potloodpunt rust, kan de driehoek mits wat handigheid er mooi horizontaal op blijven balanceren. Niet alleen een driehoek heeft een zwaartepunt; we kunnen ook op zoek gaan naar zwaartepunten van andere veelhoeken. De theorie achter deze zwaartepunten maakt gebruik van vectoren. In een eerste werktekst zoeken we het zwaartepunt van een eindig aantal punten op één rechte. Dit veralgemenen we dan tot punten in het vlak en op het einde hebben we het eventjes over het zwaartepunten van een kartonnen driehoek. In de derde graad zou dit thema eventueel kunnen worden voortgezet: zwaartepunten van andere veelhoeken en van veelvlakken in de ruimte; zwaartepunten van vlakke of ruimtelijke figuren met gekromde randen (aan de hand van integralen)…

Gewichten op één rechte

Een wipplank in evenwicht

Op een wipplank leggen we even zware loden kubusjes. Het gewicht van de wipplank zelf verwaarlozen we (het is een ‘wiskundewip’). De wipplank hieronder is in evenwicht, want 3 · 4 = 2 · 6; het product van het gewicht met de afstand tot het steunpunt is aan beide kanten hetzelfde. Als deze producten niet gelijk zijn, helt de balans over naar de kant van het grootste product. Dit is het principe van de balans, dat al door Archimedes in de derde eeuw v.C. werd geformuleerd.


26

1. Welke eigenschap wordt op de foto hieronder geïllustreerd?

(De kegel en de cilinder hebben zelfde grondvlak en hoogte en zijn uit hetzelfde materiaal gemaakt. De cilinder weegt dus drie keer zoveel als de kegel. De balans is in evenwicht. Overigens: hoe kun je de bol in evenwicht leggen met één van de andere lichamen?)

2. Hoeveel kubusjes moet je op de plaats van het vraagteken plaatsen om evenwicht te hebben?

(1; 4,5; 6. In het laatste geval kunnen de twee kubusjes op afstanden 2 en 4 van het steunpunt vervangen worden door twee kubusjes op elkaar op afstand 3 van het steunpunt. Dit mag inderdaad (zie verderop).)

Het laatste geval van vraag 2 kunnen we samenvatten als volgt: als je op een balans met steunpunt S links gewichten g1 en g2 hebt in punten A1 en A2 en rechts een gewicht g3 in punt A3, dan is er evenwicht wanneer voldaan is aan

g1|SA1| + g2|SA2| = g3|SA3|.

3. Mag je in deze evenwichtsvoorwaarde vectoren nemen in plaats van afstanden? (Als je zomaar de afstanden door vectoren vervangt, klopt het niet. Het klopt wel wanneer je een verschillend teken toekent aan de vectoren aan één kant van het steunpunt.)

Het voordeel van vectoren is dat je geen onderscheid meer moet maken tussen de punten links en rechts van het steunpunt. Het onderscheid tussen de twee kanten zit dan verstopt in de ‘zin’ van de vectoren. De evenwichtsvoorwaarde kun je immers zo schrijven:

oSAgSAgSAg =++ 332211 .

?

?

?

onder de loep

27

Dit kan gemakkelijk veralgemeend worden tot n punten Ai met gewichten gi zonder te moeten weten aan welke kant ze liggen; de vectoren weten dit wel…

4. Waar moet je deze balans ondersteunen om evenwicht te hebben?

(Leerlingen zijn hier aangewezen op gissen en missen. Dit moet de eigenschap motiveren die in de volgende opgave wordt ontdekt en waarmee dit wel systematisch kan worden aangepakt. Verlos de leerlingen die dit gissen en missen niet leuk vinden, tijdig uit hun lijden. Na even proberen leid je hen eerst naar de vragen 5 en 6.)

Stel dat je zoals in opgave 4 een balans hebt met een aantal gewichten gi in punten Ai. We zoeken het steunpunt. Noem het linkse punt van de wipplank O. Stel je voor dat de wipplank links van O wordt uitgebreid en dat O het steunpunt is. Aan de rechterkant blijven de gegeven gewichten staan.

5. In welk punt T links van O moet je een gewicht gelijk aan de som van deze gewichten plaatsen om evenwicht te hebben? (Bepaal de vector OT ; hiermee ligt T immers vast.)

(Volgens de evenwichtsvoorwaarde moet gelden:

1 1 2 2 1 2

1 1 2 21 2

... ( ...)1 ( ...)

...

g OA g OA g g OT o

OT g OA g OA )g g

+ + + + + ⋅ =

= − + ++ +

6. Als je nu rechts van O alle gewichten in één punt moet concentreren om in evenwicht te blijven met het grote gewicht in T, in welk punt S moet dit gebeuren? (In het spiegelbeeld van T ten opzichte van O; dan heb je immers twee gelijke gewichten op gelijke afstanden van het steunpunt O. Het punt S is bepaald door

1 1 2 21 2

1 ( ...)...

OS OT g OA g OAg g

= − = + ++ +

7. Dit punt S is het steunpunt van de oorspronkelijke balans. Toon dit aan. (We hebben:

oOAgOAgOSgg

OAgOAgSOgSOg

OASOgOASOgSAgSAg

=+++++−=

+++++=

++++=++

......)(

......

...)()(...

221121

221121

22112211

en dus is er evenwicht met S als steunpunt.) 8. Los hiermee vraag 4 op. Neem bv. het linkse eindpunt als punt O en noteer de vector “één

stapje naar rechts” bv. als e . Als je de vector OS kunt uitdrukken als een veelvoud van e , dan weet je waar het steunpunt S ligt (zoveel stapjes rechts van O).

T O


28

(Hier gaan we:

eeeeeeeeeOS 8,71078)12211110272512211(

101

==⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=

Het steunpunt ligt dus 7,8 eenheden rechts van de linkerkant.)

Merk op dat 7,8 het gemiddelde is van {1, 2, 2, 5, 7, 7, 10, 10, 11, 12}. Hier kan het verband gelegd worden met beschrijvende statistiek: bij een histogram of staafdiagram is het gemiddelde het steunpunt waarmee je de histogram in evenwicht kunt houden (als je de staven opvat als gewichten). Onze balansen lijken trouwens sprekend op staafdiagrammen.

De naam steunpunt hoort bij de fysische context van de balans. In de wiskunde spreekt men van barycentrum. Als alle gewichten gelijk zijn, noemt men het barycentrum het zwaartepunt van de figuur die hier bestaat uit een eindig aantal punten Ai.

Algemeen

Als je op een rechte een eindig aantal punten A1 , … An hebt die voorzien zijn van ‘gewichten’ g1, … gn, dan is het barycentrum het punt S waarvoor

oSAgSAg nni =++ ...1 .

Dit barycentrum heeft de betekenis van het steunpunt waarop je deze gewichten in evenwicht kunt houden. Het heeft ook de betekenis van het ‘gemiddelde’ als je de gewichten opvat als staven van een histogram of staafdiagram.

Om het barycentrum te vinden, kies je een beginpunt O en bepaal je S zodanig dat

nnn OAgOAgOSgg ++=++ ...)...( 111 .

Als alle gewichten gelijk zijn, is S het zwaartepunt van de punten A1, … An.

Strikt genomen zou je moeten controleren dat er voor gegeven punten met gewichten maar één barycentrum bestaat, want S werd bepaald op basis van een willekeurig gekozen punt O. Wie een ander beginpunt neemt, zal hetzelfde punt S vinden. We doen hier geen moeite om dit te bewijzen, want binnen de context van de wipplank is dit overduidelijk: als de balans in evenwicht is met steunpunt S en je verschuift het steunpunt bv. naar rechts, dan zal de balans naar links overhellen…

Gewichten in het vlak

Wat we op één rechte deden, kan moeiteloos veralgemeend worden tot het vlak. In de vorige synthese moet “op een rechte” enkel vervangen worden door “in een vlak”. In plaats van de interpretatie van een wipplank of balans, moeten we nu denken aan gewichten op een gewichtloze vlakke plaat. Het barycentrum is dan de plaats van het steunpunt waarop we de plaat horizontaal in evenwicht kunnen houden. Het zwaartepunt van een (eindig) aantal punten is het barycentrum van deze punten met in elk punt hetzelfde gewicht.

onder de loep

29

Het zwaartepunt van de hoekpunten van een veelhoek

1. Teken een driehoek ABC. Wat is het zwaartepunt van de hoekpunten A, B, C ? Je mag voor de gelijke gewichten gerust 1 nemen. (Neem een beginpunt, bv. A. Het zwaartepunt is bepaald door

)(31

3

ACABAZ

ACABAAAZ

+=

++=

Met een tekening ontdekken de leerlingen dat dit het vertrouwde ‘zwaartepunt van de driehoek’ is: één derde van de diagonaal van het parallellogram is inderdaad twee derde van de zwaartelijn uit A.

Besluit: het zwaartepunt van de hoekpunten van een driehoek valt samen met het zwaartepunt van de driehoek).

Om een zwaartepunt te zoeken, mag je ook punten ‘groeperen’. Je kunt het zwaartepunt van de hoekpunten van een driehoek ABC ook zoeken door eerst het zwaartepunt te nemen van twee punten, bv. A en B en dan het barycentrum te nemen van dit punt, met dubbel gewicht, en het derde punt C.

2. Controleer of dit hetzelfde resultaat geeft. (Het zwaartepunt van A en B is natuurlijk het midden M van [AB]. Het barycentrum van M met gewicht 2 en C met gewicht 1 is het punt op [MC] dat dubbel zo ver van C ligt als van M. Dit is inderdaad hetzelfde zwaartepunt Z. De leerlingen kunnen ook met vectoren controleren dat het zwaartepunt gevonden door te groeperen, voldoet aan de definitie van zwaartepunt van de drie hoekpunten:

oZCZBZAoZCZM =++⇒=+2

Omdat M het midden is van [AB], mogen we immers ZM2 vervangen door ZBZA + . ) 3. Zoek het zwaartepunt van de hoekpunten van een willekeurige vierhoek ABCD.

(Groepeer je de punten twee aan twee, bv. A met B en C met D, dan vind je dat het zwaartepunt samenvalt met het midden van het lijnstuk [MN] op de tekening hieronder. Maar we hadden ook A met D en B met C kunnen samennemen, en dan hadden we het midden van [PQ] als zwaartepunt gevonden. We hadden ook de overstaande hoekpunten kunnen samennemen, A met C en B met D, en dan hadden we het midden van [ST] als zwaartepunt gevonden. Dit levert een mooie eigenschap op.

Z

A

B

C


30

In een vierhoek snijden de twee lijnstukken die de middens van overstaande zijden verbinden en het lijnstuk dat de middens van de diagonalen verbindt, elkaar alle drie middendoor in één punt: het zwaartepunt van de ‘hoekpuntenvierhoek’.

Je kon ook drie van de vier punten samennemen. Je vindt dan dat het zwaartepunt van de hoekpuntenvierhoek ook gelegen is op het lijnstuk tussen het zwaartepunt van de driehoek ABC en het punt D, drie keer zo ver van D als van dit zwaartepunt. En analoog voor andere deeldriehoeken.)

onder de loep

31

Zwaartepunt van een kartonnen driehoek

We hadden het steeds over een eindig aantal punten. Bij het zwaartepunt van een kartonnen figuur (gelijke gewichtsverdeling overal binnen de figuur) of van een figuur in ijzerdraad (gelijke gewichtsverdeling op de omtrek van de figuur) zit je in principe met een oneindig aantal punten. De sommen worden integralen. We moeten ons hier (derde jaar aso) dus beperken tot enkele resultaten die zonder integralen ‘voorspeld’ kunnen worden. Voor meer informatie verwijzen we naar [1].

Het zwaartepunt van een lijnstuk is het midden van dat lijnstuk. Als een figuur een symmetrieas heeft, dan ligt het zwaartepunt van het binnengebied van die figuur op deze symmetrieas. Deze eigenschap geldt ook voor een ‘scheve’ symmetrieas! Op die figuur hieronder is a een scheve symmetrieas van de scheefgezakte kerstboom: de kerstboom valt samen met zijn beeld wanneer je in de b-richting spiegelt ten opzichte van a. Het zwaartepunt van de kerstboom ligt dus op a.

Intuïtief is deze laatste eigenschap gemakkelijk in te zien: je kunt alle lijnstukken in de b-richting vervangen door hun midden (met een gewichtsdichtheid evenredig met hun lengte). Het gezochte zwaartepunt is een barycentrum van (oneindig veel) punten van a en zal dus op a liggen. Aangezien een zwaartelijn van een driehoek een schuine symmetrieas is van die driehoek, moet het zwaartepunt van een kartonnen driehoek op elke zwaartelijn liggen. Het moet dus het snijpunt zijn van de zwaartelijnen! Het zwaartepunt van een ‘volle’ driehoek valt samen met het zwaartepunt van de hoekpunten en met het snijpunt van de zwaartelijnen. In [1] kun je (her)lezen dat dit punt niet samenvalt met het zwaartepunt van een ijzerdraaddriehoek (waarbij het gewicht gelijk verdeeld is op de zijden).

Vectoren in de tweede graad - Regio West-Vlaanderen 2-3 2015/1447680427_ww6vectoren... · Vectoren...

Documents

Transcript of Vectoren in de tweede graad - Regio West-Vlaanderen 2-3 2015/1447680427_ww6vectoren... · Vectoren...