Uitwerkingen oefeningen bij hoofdstuk 4 van Rekenen en wiskunde uitgelegd

1 van 13

Uitwerkingen oefeningen hoofdstuk 4

4.4.1 Basis

Lijnen en hoeken

1 Het assenstelsel met genoemde lijnen ziet er als volgt uit:

Hieruit volgt:a Lijn k en lijn l snijden elkaar, namelijk in punt (3,3). Dat geldt ook voor lijn l en lijn n in

(0,0), lijn k en lijn n in (3,–5), lijn l en lijn m in (–3, –3) en lijn m en lijn n in (1,8, −3).b Lijn k loopt evenwijdig aan de verticale as. Dat zie je al aan de punten waardoor deze

lijn gaat: bij een toenemende y-waarde blijft namelijk de x-waarde gelijk (zie coördina-ten van de punten).

c Lijn m loopt evenwijdig aan de horizontale as. Dat zie je al aan de punten waardoor deze lijn gaat: bij een toenemende x-waarde blijft namelijk de y-waarde gelijk (zie coör-dinaten van de punten). Dat maakt dat deze lijn een horizontale lijn is.

d Omdat lijn k verticaal is (en daarmee evenwijdig aan de verticale as), maakt lijn k een-zelfde hoek met de horizontale as als met de verticale, namelijk: 90⁰.

e Lijn l gaat precies door de punten (2,2) en (4,4) en dus ook door de punten (1,1), (0,0), (−1,−1) enzovoort. Deze lijn snijdt dus ieder hokje precies doormidden: het is de dia-gonaal van elk rastervierkantje. De lijn halveert dus de hoek tussen de horizontale as

0

1

2

4

3

5

-1

-2

-3

-4

-5

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

kl

n

m

Uitwerkingen oefeningen bij hoofdstuk 4 van Rekenen en wiskunde uitgelegd

2 van 13

en de verticale as en maakt daarom een hoek van 45⁰ met zowel de horizontale as als de verticale as.

f Zie antwoord bij e.g Omdat lijn m horizontaal is (en daarmee evenwijdig aan de horizontale as), maakt lijn

m eenzelfde hoek met de verticale as als met de horizontale, namelijk: 90⁰. 2 Figuur 1

Dit is een driehoek. Van een driehoek is bekend dat de som van de drie hoeken altijd 180˚ is. Dus ? + 89 + 48 = 180, waaruit volgt: ? = 180 − 89 − 48 = 43˚.

Figuur 2Dit is een vierhoek. Een vierhoek is te verdelen in twee driehoeken. Alle hoeken samen zijn dus 360˚. 92˚ + 92˚ + ? + ? = 360˚, waaruit volgt: ? + ? = 176˚ en dus ? = 88˚.

Figuur 3Dit is een vierhoek. Een vierhoek is te verdelen in twee driehoeken. Gezamenlijk vormen alle vier de hoeken dus 360˚: 2 × ? + 96˚ + 87˚ = 360˚, waaruit volgt: 2 × ? = 177˚, ofwel: ? = 88,5˚.

3 Als je van twee kanten iets dichtvouwt, vouw je het eigenlijk in tweeën. 180° in tweeën is 90°.

Dit kan als volgt getekend worden.

Als je het A4’tje van bovenstaande tekening openvouwt, krijg je:

De twee hoeken links zijn even groot. De twee driehoeken links zijn namelijk ook gelijk. We noe-men deze hoeken α. Analoog volgen rechts twee hoeken β.

Je ziet dat 2α + 2β = 180°. Waaruit volgt dat a + b dan 90° is.

αα β

β

Uitwerkingen oefeningen bij hoofdstuk 4 van Rekenen en wiskunde uitgelegd

3 van 13

Veelhoeken

4 a a rechthoek of vierhoek (een rechthoek is een bijzondere vierhoek) b driehoek c vijfhoek of pentagram d ruit of vlieger e trapezium f vierkant, vierhoek of rechthoek g parallellogram h vliegerb Dat zijn de figuren c en f. Zij hebben gelijke zijden en gelijke hoeken. Figuur d heeft wel

gelijke zijden, maar niet gelijke hoeken en is daardoor niet geheel regelmatig. Figuur a heeft wel gelijke hoeken, maar niet gelijke zijden.

c Een trapezium is een vierhoek waarvan ten minste één paar tegenoverliggende zijden evenwijdig is. In de afbeelding geldt dat voor figuren a, d, e, f en g.

d Er zijn meerdere antwoorden mogelijk. Let erop dat de figuur die je moet tekenen een vierhoek moet zijn. Een figuur dus met vier hoeken en vier zijden. Verder hebben bijzondere vierhoeken of gelijke zijden en/of gelijke hoeken. In dit geval moet dat dus juist niet zo zijn, het moet juist onregelmatig zijn.

5 Dit antwoord is gemakkelijker te vinden wanneer je zoekt naar regelmaat. In een vierhoek kun je minimaal twee driehoeken tekenen. In een vijfhoek heb je minimaal drie driehoe-ken nodig om het figuur te verdelen in driehoeken. Voor een zeshoek geldt dat er mini-maal vier driehoeken nodig zijn. Kennelijk is het kleinste aantal driehoeken dus het aantal hoeken – 2. Voor een 37-hoek zijn dus minimaal 35 driehoeken nodig.

6 a Een diagonaal verbindt twee niet-aangrenzende hoeken in een veelhoek. In een drie-hoek is er dus geen diagonaal te tekenen. In een vierhoek zijn twee diagonalen te teke-nen, door in beide gevallen niet de aanliggende hoeken met elkaar te verbinden, maar juist de andere twee. Vanuit elk hoekpunt van een vijfhoek kun je vier lijnstukken naar de andere punten trekken. Dat zijn in totaal (5 × 4)/2 = 10 lijnstukken. (We delen door 2 omdat je alle lijnstukken anders twee keer meetelt). Vijf daarvan zijn zijden van de vijfhoek zelf (en verbinden dus twee aanliggende hoeken met elkaar), er zijn dus altijd vijf diagonalen te tekenen in een vijfhoek.

b Dan zijn er (10 × 9)/2 – 10 = 35.c (100 × 99)/2 – 100 = 4850d Neem a = aantal hoeken. Dan geldt (a × a – 1)12 – a.

7 a Waar. In elk vierkant staan de aangrenzende zijden loodrecht op elkaar. b Waar. In elk vierkant zijn de zijden even lang. c Onwaar. In een ruit hoeven de aangrenzende zijden niet loodrecht op elkaar te staan. d Waar. Dit geldt in elke ruit en ook in elke vlieger. e Onwaar voor alle rechthoeken die niet ook een vierkant vormen.

Uitwerkingen oefeningen bij hoofdstuk 4 van Rekenen en wiskunde uitgelegd

4 van 13

8 Een praktische manier om dit te doen is drie bakstenen op een rijtje leggen en dan de middelste weghalen. Dan kun je de lichaamsdiagonaal meten met een liniaal.

Je kunt het natuurlijk ook formeel uitrekenen door twee keer Pythagoras uit te voeren. Je hebt namelijk eerst de diagonaal van het voorvlak nodig, om vervolgens de diagonaal van het ‘zo ontstane bovenvlak’ te berekenen.

Voorvlak baksteen:

schuine zijde = basis2 + hoogte2

Zo ontstane bovenvlak:

schuine zijde ‘zo ontstane bovenvlak’= (basis voorvlak2 + (basis 'zo ontstane bovenvlak)2

basis

hoog

te

basis

schuine zijde voorvlak*

*merk op dat deze in dit vlakloodrecht op de basis staat

Uitwerkingen oefeningen bij hoofdstuk 4 van Rekenen en wiskunde uitgelegd

5 van 13

Dat leidt tot een lichaamsdiagonaal van

schuine zijde voorvlak 2 + (hoogte voorvlak) 2 + basis 'zo ontstane bovenvlak') 2

Lokaliseren en oriënteren

9 a Nee. Zoals je ziet wordt er elke 50 meter een nieuwe kring op de kaart getekend. De kring waarbinnen de camping van Sarah zich bevindt, ligt op een hoogte tussen 400 en 450 meter. 460 meter is dus niet mogelijk.

b Kijk hiervoor in de hoogtekaart. De pijl wijst het hoogste gedeelte van dit gebied aan. Dit gebied heeft een hoogte van 450 tot (maximaal) 500 meter.

c Nee. Sarah staat dan wel op een hoogte van 350 meter, terwijl de trekkershut op een hoogte tussen de 300 en 350 meter ligt. Maar tussen punt A en de trekkershut zit nog wel een gedeelte van meer dan 350 meter.

d Sarah gaat van 350 m hoogte naar 300 m hoogte. Zij zal dus in totaal 50 m dalen. De temperatuur stijgt bij elke 100 m dalen met 0,4 graden. Sarah gaat 50 m naar beneden. De temperatuur zal dus 1

2 × 0,4 graden = 0,2 graden stijgen.e Martijn gaat van een hoogte van 250 m naar een hoogte van 300 m. Hij stijgt dus 50

meter. Zoals hiervoor aangegeven komt 50 m stijgen overeen met −0,2 graden. Zijn horloge gaf aan dat het in punt P 18,9 graden was. In punt Q zal het dus 18,7 graden zijn.

Visualiseren en representeren

10 Francien heeft weer 54 cl verf nodig. Van de kleine kubussen zijn namelijk al drie van de zes vlakken geverfd. Dat kostte haar 54 cl verf. Nu wil zij ook de andere drie vlakken van alle kubussen blauw verven. Daar zal ze dus weer 54 cl verf voor nodig hebben.

300

300

250

350 400C

350

400

450

250300

350 A

Q

P

Z

Uitwerkingen oefeningen bij hoofdstuk 4 van Rekenen en wiskunde uitgelegd

6 van 13

Transformeren, spiegelen en symmetrie

11

De twee driehoeken zijn gelijkvormig. Op de kant kun je alle (delen van) zijden meten. Door de verhoudingen te gebruiken kun je ook de (delen van) zijden uitrekenen die je niet kunt meten.

Als a = 6 m, b = 5 m en c = 18 m, dan kan in een verhoudingstabel de oplossing zichtbaar gemaakt worden:

a = 6 c = 18

b = 5 d = 15

Hieruit volgt d = 15 m.Er geldt dus altijd: als je de landdelen a, b en c meet en je vult de drie gevonden waarden in in de verhouding a : b = c : d, dan kun je uitrekenen hoe ver het schip uit de kust ligt. Je ziet dat de basis van de kleine driehoek (a) 6 m is. De basis van de grote driehoek (c) is drie keer zo groot. De hoogte van de grote driehoek (d) zal dus ook drie keer zo groot zijn als de hoogte van de kleine driehoek (b).

kustlijn

observatiepunt

d

c

a

b

Uitwerkingen oefeningen bij hoofdstuk 4 van Rekenen en wiskunde uitgelegd

7 van 13

Construeren

12 Bij deze opgave kun je kiezen voor een exacte weergave. Dat wil zeggen dat we de hoogte van de driehoeken die de zijvlakken van de piramide vormen, moeten uitrekenen. Als we ons beperken tot de kern, het maken van uitslagen van een piramide, dan is dat minder noodzakelijk. Voor de volledigheid laten hier beide aanpakken zien.De hoogte van een zijvlak is: 6,25+36 = 42,25 = 6,5.

13 Om dit precies te tekenen, is de omtrek van de cirkel nodig: 2 × π × 4 ≈ 25,1.

5

5

5

5

5

5

5

5

6,56,5

6,5

6,5

Uitwerkingen oefeningen bij hoofdstuk 4 van Rekenen en wiskunde uitgelegd

8 van 13

14 Er zijn minimaal zes plakranden nodig:

De plakranden kunnen ook getekend worden op een iets andere plaats, namelijk op de andere zijde die met bovenstaande plakrand verbonden wordt

4.4.2 Repertoire

Bijzondere veelvlakken

15 Aangezien hier sprake is van ruimtelijke figuren, moet je minimaal drie vlakken aan elkaar laten grenzen in één hoekpunt. Omdat deze vlakken allemaal hetzelfde moeten zijn (dat ligt besloten in de definitie van ‘platonische figuur’) en ook nog regelmatig, zijn er een aantal opties: ■ regelmatige driehoek ■ regelmatige vierhoek ■ regelmatige vijfhoek ■ …

Eerst kijken we naar de regelmatige (d.w.z. gelijkzijdige) driehoek. Wanneer we er drie la-ten samenkomen in ieder punt kunnen we het volgende Platonische figuur maken:

Wanneer we 4 regelmatige driehoeken in ieder punt laten samenkomen ontstaat het vol-gende Platonische figuur:

Uitwerkingen oefeningen bij hoofdstuk 4 van Rekenen en wiskunde uitgelegd

9 van 13

Wanneer we 5 regelmatige driehoeken in ieder punt laten samenkomen ontstaat het vol-gende Platonische figuur:

Je zou kunnen denken dat je ook zes regelmatige driehoeken kunt laten samenkomen in ieder punt. De hoeken binnen een regelmatige driehoek zijn echter alle drie 60⁰. Omdat iedere ruimtelijk figuur uit vlakken bestaat kan er een uitslag van gemaakt worden. Dit be-tekent dat als er in een punt zes van deze hoeken tegen elkaar komen te liggen. Dat zou bij elkaar 360⁰ zijn. Dan is er geen hoekpunt meer, maar er ontstaat een plat vlak.

Analoog volgt met de regelmatige vierhoek (drie in ieder punt) de volgende platonische figuur:

Analoog volgt ook dat het niet mogelijk is om vier regelmatige vierhoeken (4 × 90⁰ = 360⁰) in ieder punt te laten samen komen.

Analoog volgt met de regelmatige vijfhoek (drie in ieder punt) de volgende platonische figuur:

Merk op dat hier elke hoek wel 108⁰ moet zijn en dat er dus slechts drie in ieder punt kun-nen samenkomen.

Uitwerkingen oefeningen bij hoofdstuk 4 van Rekenen en wiskunde uitgelegd

10 van 13

Voor de zekerheid proberen we ook een platonisch lichaam te maken met regelmatige zeshoeken. Een regelmatige zeshoek is opgebouwd uit regelmatige driehoeken. Hierdoor is elke hoek van een regelmatige zeshoek 1200. Drie regelmatige zeshoeken tegen elkaar aan levert weer een hoek van 3600, dus een plat vlak. Er is dus geen Platonisch lichaam te maken uit regelmatige zeshoeken.

16 Het parallellepipidum bestaat uit zes dezelfde veelvlakken, namelijk allen pallellogram-men. Daarentegen is het parallellogram geen regelmatig veelvlak. Op zich zou ieder pa-rallellogram wel gelijke zijden kunnen bevatten, maar de hoeken zijn nooit gelijk in een parallellogram (voor zover het geen vierkant is).

Functies

17 a

b De oppervlakte is nu het eenvoudigst te berekenen wanneer we de driehoek inkaderen.

6

5

4

3

2

1

01 2 3 4 5 6

A

B

C

6

5

4

3

2

1

01 2 3 4 5 6

A

B

CF

D

Uitwerkingen oefeningen bij hoofdstuk 4 van Rekenen en wiskunde uitgelegd

11 van 13

Zo ontstaat vierhoek CDEF van 4 cm × 4 cm = 16 cm2

Vervolgens is driehoek ABC de oppervlakte van deze vierhoek min de drie driehoeken (ABE, BDC en ACF).Zo krijgen we:

Δ ABE = 1

2 × 2 × 3 = 3 cm2,

Δ BDC = 1

2 × 2 × 4 = 4 cm2,

Δ ACF = 1

2 × 1 × 4 = 2 cm2.

Zodat: Δ ABC = 16 cm2 – 9 cm2 = 7 cm2.

4.4.3 Landelijke kennisbasis

Oefeningen kennisbasistoets

18 a (gebaseerd op paragraaf 4.2.5)

19 b (gebaseerd op paragraaf 4.2.1)

20 a (gebaseerd op paragraaf 4.2.2)

21 a (gebaseerd op paragraaf 4.2.1)

22 a De twee rechthoeken zijn gelijkvormig: de zijden zijn namelijk naar verhouding gelijk. De driehoeken lijken misschien gelijkvormig, maar hebben geen hoeken van dezelfde grootte en zijn daardoor juist niet gelijkvormig.

b De vergrotingsfactor is 12042,5 = 179,3

63,5 = 2,8.

23 De poster is gelijkvormig aan het glas van de deur (70 bij 126). De breedte van de poster is 20 cm smaller dan het glas en dus 50 cm breed. De verhouding breedte glas : breedte pos-ter = 70 : 50. We zien dan dat de breedte van de poster 1,4 keer zo klein is dan de breedte van het glas (70 : 1,4 = 50). De lengte van de poster zal dus ook 1,4 keer zo klein zijn als de lengte van het glas. Hieruit volgt voor de lengte 126 : 1,4 = 90 cm.

Uitwerkingen oefeningen bij hoofdstuk 4 van Rekenen en wiskunde uitgelegd

12 van 13

24 De afmetingen van een baksteen zijn: 190 × 90 × 50 mm. Hoe groot is de lengte van de lichaamsdiagonaal?De baksteen ziet er als volgt uit (de donkerblauwe stippellijn stelt de lichaamsdiagonaal voor):

Samen met de lijn BG vormt ABG een driehoek waarvan de lichaamsdiagonaal de schuine zijde is:

AB = 190 mm

BG = schuine zijde van driehoek BCG, waarvan:

BC = 50 mm en CG = 90 mm.

190 mm

H G

BA

E F

CD

50 mm

90 mm

190 mm BA

G

?

Uitwerkingen oefeningen bij hoofdstuk 4 van Rekenen en wiskunde uitgelegd

13 van 13

Dan volgt via de stelling van Pythagoras dat BG2 = 502 + 902 = 2500 + 8100 = 10.600 enAG2 = AB2 + BG2 = 1902 + 10.600 = 36.100 + 10.600 = 46.700.

Dus AG = 46.700 = 216 mm.

(gebaseerd op paragraaf 4.2.1)

25 De middens van ieder vlak kun je het beste (en het nauwkeurigst) bepalen door in ieder vlak de diagonalen te tekenen. Het snijpunt van de diagonalen zijn de middens van ieder vlak.Wanneer je vervolgens deze punten met elkaar verbindt, ontstaat de volgende figuur:

Een octaëder dus.

(gebaseerd op paragrafen 4.2.1 en 4.3.1)