1 Uitwerkingen Relativiteit, Referentiestelsels; Galileï-transformatie, www.roelhendriks.eu

Uitwerkingen § 1 Opgave 1 Een inertiaalstelsel is een referentiestelsel waarin de eerste wet van Newton geldt. Opgave 2 Een gebeurtenis is een fysische situatie of voorval op één bepaalde plaats en op één bepaald tijdstip. Een wereldlijn is een lijn in het tijd-plaats-diagram die het verband tussen tijd en plaats van een voorwerp (of iets anders) weergeeft. Opgave 3 a. Niet waar b. Waar c. Niet waar Opgave 4 a. 0 m/s b. 7/8 m/s = 0,875 m/s c. -9/3 m/s = -3 m/s d. ∞ (oneindig) Opgave 5 a.

m/s 4s 3m 12

==∆∆

=txv

b. t’ = 2 s x’ = 4 s (zie de stippellijn in het onderstaande diagram)

Opgave 6 a. x’ = x - v·t = 40 - 70·(20/60) = 17 km b. x = x’ + v·t’ = 6 + 70·(35/60) = 47 km

2 Uitwerkingen Relativiteit, Referentiestelsels; Galileï-transformatie, www.roelhendriks.eu

Opgave 7 a. en b. en c.

d. De voetbal en de schoen kruisen elkaar op x’ = 2,5 m (zie de stippellijn). Opgave 8 a.

b. 0 m

3 Uitwerkingen Relativiteit, Postulaten van de speciale relativiteitstheorie, www.roelhendriks.eu

Uitwerkingen § 2 Opgave 1

s 105,76103,00

2x8633 58

−⋅=⋅

=∆

=∆cst

Opgave 2 a. Eén omwenteling duurt 1 / 12,6 = 0,0794 s. Eén tand plus één opening duren 0,0794 / 720 = 0,000110 s. Eén tand duurt 0,000110 / 2 = 5,51·10-5 s. b.

m/s 103,13105,51

2x8633 85 ⋅=

⋅=

∆∆

= −tsc

Opgave 3 De wetten van de natuurkunde zijn in elk inertiaalstelsel dezelfde. De lichtsnelheid in vacuüm is in elk inertiaalstelsel gelijk. Opgave 4 Als persoon A met dezelfde snelheid als het licht van persoon B weggaat, zou het licht voor persoon A stilstaan. Opgave 5

m 103,001sm/s 103,00ls 1 88 ⋅=⋅⋅= m 109,46s 360024365m/s 103,00ly 1 158 ⋅=⋅⋅⋅⋅=

Opgave 6

m/s 102,126022102x140 8

9

⋅=⋅⋅

=∆∆

=tsc

De afwijking met de correcte snelheid is: %29%10000,3

12,200,3=

− x .

Opgave 7 a. Voor Jan legt het licht van L1 naar hem een even grote weg af als het licht van L2 naar hem. b. Voor Sjoerd legt het licht van L2 naar Jan een kortere weg af dan het licht van L1 naar Jan.

4 Uitwerkingen Relativiteit, Postulaten van de speciale relativiteitstheorie, www.roelhendriks.eu

Opgave 8 a. Voor Piet is de door het licht af te leggen afstand (zowel heen als terug) onafhankelijk van de treinsnelheid. b. De heenweg voor het licht wordt langer en de terugweg voor het licht wordt korter. De heenweg duurt dus langer en de terugweg korter.

5 Uitwerkingen Relativiteit, Tijdsduurverlenging, www.roelhendriks.eu

Uitwerkingen § 3 Opgave 1 Voor ons loopt de tijd van het verre sterrenstelsel langzamer. Opgave 2 Voor de stilstaande waarnemer is de valsnelheid van de druppels ook kleiner dan voor de meebewegende waarnemer. Opgave 3 A en C. A en C. Voor Jan verlopen alle processen van Jim langzamer en voor Jim verlopen alle processen van Jan langzamer. De speciale relativiteitstheorie gaat niet voor Jim op omdat zijn referentiestelsel geen inertiaalstelsel is. Hij versnelt (vertraagt) aan het begin, halverwege en aan het eind van zijn reis. Opgave 4 De tweede methode verdient de voorkeur omdat de draagbare klok langzamer gaat lopen (ten opzichte van het stilstaande referentiestelsel) als hij een snelheid krijgt. Opgave 5

s 9280,01

55

12

2

2=

−=

−

∆=∆

cv

tt o

Opgave 6 Voor de stilstaande waarnemer geldt:

s 100,1681000,399,0

50,0 88

−⋅=⋅

=∆

=∆xv

st

Voor de meebewegende waarnemer geldt:

s 100,23799,0110168,01 9282

2−− ⋅=−⋅⋅=−⋅∆=∆

cvtto

Opgave 7

2

2

1

1

cvt

to −

=∆∆ wordt

2

2

1

130,1

cv

−

= .

Hieruit volgt:

22

2

30,111 =−

cv

v/c = 0,64 dus 64%

6 Uitwerkingen Relativiteit, Tijdsduurverlenging, www.roelhendriks.eu

Opgave 8 a.

m 106,6102,21000,3 268 ⋅=⋅⋅⋅=∆⋅=∆ −tcs b.

s 49,2999,01

2,2

12

2

2µµ

=−

=

−

∆=∆

s

cv

tt o

c. Gemakshalve stellen we de snelheid van een muon op 100% van de lichtsnelheid.

km 14,8m 10148102,491000,3 268 =⋅=⋅⋅⋅=∆⋅=∆ −tcs Geen probleem dus om de dampkring te doorlopen. Opgave 9 Een tijdsduur van 1 s voor het atoom correspondeert met een tijdsduur van

s 1,510,751s 1

12

2

2=

−=

−

∆=∆

cv

tt o voor waarnemer W.

De door W waargenomen frequentie is dan Hz 100,661,51

101,0 1515

⋅=⋅ .

7 Uitwerkingen Relativiteit, Lengtekrimp, www.roelhendriks.eu

Uitwerkingen § 4 Opgave 1

m 4640,01501 22

2

=−⋅=−⋅=cvLL o

2

2

1cvLL o −⋅= wordt 2

2

15040cv

−⋅= . Hieruit volgt: v = 0,60·c.

Opgave 2

m 4470,9991km) (101 22

2

=−⋅=−⋅=cvLL o

Stel de snelheid van het muon gemakshalve gelijk aan c. Dan geldt: m 660102,21000,3 68 =⋅⋅⋅=∆⋅=∆ −tcs

Het aardoppervlak kan dus gemakkelijk bereikt worden. Opgave 3 Omdat de vliegsnelheid (2158 km/h = 599,4 m/s) veel kleiner is dan de lichtsnelheid, geldt:

⋅−⋅=

2

211

cvLL o

De verkorting ΔL is dan:

μm 11,1103,00

599,4km) (55762

821

2

21 =

⋅⋅⋅=

⋅⋅=−=∆

cvLLLL oo

Opgave 4 Het zit ‘m in het feit dat gelijktijdigheid geen absoluut begrip is. Voor waarnemer W’ zijn de deuren dus niet op hetzelfde moment gesloten. Eerst wordt de voordeur eventjes gesloten en daarna de achterdeur. Opgave 5 Er vindt alleen lengtekrimp in de rijrichting plaats, niet in de breedte of in de hoogte. Er geldt dan:

m 0,440,901m) (11 22

2

=−⋅=−⋅=cvLL o

Het volume is dan dus 0,44 m3.

8 Uitwerkingen Relativiteit, Lengtekrimp, www.roelhendriks.eu

Opgave 6 Pi wordt kleiner omdat de omtrek kleiner wordt. Opgave 7 vrachtwagen geen tunnel wel

9 Uitwerkingen Relativiteit, Minkowskidiagram, www.roelhendriks.eu

Uitwerkingen § 5 Opgave 1 en 2

Bij opgave 2a: raket A: 0,5·c en raket B: 0,25·c. Opgave 3

Opgave 4 Doordat de hoeken gelijk zijn, vallen de diagonalen van de ruitjes samen met wereldlijnen van fotonen (dus onder een hoek van 45°). Zodoende blijft de lichtsnelheid gelijk voor de stilstaande en de bewegende waarnemer.

10 Uitwerkingen Relativiteit, Minkowskidiagram, www.roelhendriks.eu

Opgave 5 Volgens waarnemer W: eerst P en dan Q. Volgens waarnemer W’: eerst Q en dan P. Opgave 6 a. en b. Voor waarnemer W knalt eerst rotje A, daarna rotje B en tot slot rotje C.

c. De tijdsvolgorde is voor de hond en voor waarnemer W gelijk. De hond heeft namelijk hetzelfde referentiestelsel als waarnemer W. Hooguit is de plaatsas (x-as) verschoven maar dat maakt niet uit. Opgave 7

Uit de stippellijnen behorend bij opgave c. volgt dat voor waarnemer W’ de voorste schuurdeur eerst even dichtgaat en de achterste schuurdeur daarna.

11 Uitwerkingen Relativiteit, Lorentztransformatie, www.roelhendriks.eu

Uitwerkingen § 6 Opgave 1 Als waarnemer W’ voor waarnemer W in de positieve x-richting beweegt, beweegt waarnemer W voor waarnemer W’ in de negatieve x’-richting. Stel bijvoorbeeld dat W en W’ ieder in een rijdende trein zitten en dat de trein van W’ de trein van W inhaalt. Voor W beweegt de trein van W’ dan vooruit en voor W’ beweegt de trein van W dan achteruit. Opgave 2 a. De hoek is 31°. b. v/c = tan(31°) = 0,60 dus het proton gaat met 60% van de lichtsnelheid.

25,160,01

1

1

12

2

2=

−=

−

=

cv

γ

c. 75,11960,025,1425,1'' =⋅⋅+⋅=⋅⋅⋅+⋅= tcxx βγγ 25,14460,025,1925,1'' =⋅⋅+⋅=⋅⋅+⋅⋅= xtcct βγγ

Klopt met het diagram (zie hieronder).

Opgave 3 a. Iets meer dan 11 miljard jaar b. Iets meer dan 11 miljard jaar

12 Uitwerkingen Relativiteit, Lorentztransformatie, www.roelhendriks.eu

Opgave 4 a. 6,5 + 6,0 = 12,5 jaar. b.

15,150,01

11

122=

−=

−=

βγ

c. ly 3,26,50,501,156,01,15' =⋅⋅−⋅=⋅⋅⋅−⋅= tcxx βγγ

d. ly 4,06,00,501,15 6,51,15' =⋅⋅−⋅=⋅⋅−⋅⋅= xtcct βγγ

Dus 4,0 jaar. Opgave 5

05,130,01

11

122=

−=

−=

βγ

a. 1,50,330,005,10,405,1'' =⋅⋅+⋅=⋅⋅+⋅⋅= xtcct βγγ

Dus het heeft 5,1 jaar geduurd. b.

4,40,430,005,10,305,1'' =⋅⋅+⋅=⋅⋅⋅+⋅= tcxx βγγ Dus 4,4 lichtjaar verwijderd. Opgave 6 a. Afgelegde afstand is 0,64 x 14 = 9,0 miljard lichtjaar.

b. jaar 1010,80,64110141' 9292

2

⋅=−⋅⋅=−⋅∆=∆cvtt

c. Zie diagram d. Lijnstuk PQ is 0,614 keer zo lang als lijnstuk PR (zie het onderstaande diagram). Het sterrenstelsel is dus 0,614 x 10,8 = 6,6 miljard jaar oud.

13 Uitwerkingen Relativiteit, Lorentztransformatie, www.roelhendriks.eu

Opgave 7 a. De factor γ is afkomstig van de tijdsduurverlenging. b. Bekijk alles vanuit waarnemer W. In γ seconde verplaatst de bron zich over een afstand Δx = β·γ lichtseconde. Het licht doet er vervolgens β·γ seconde over om terug te komen bij W. c.

ββ

βββ

βββγβγγ

−+

=−+

+=

−

+=+=+

11

)1)(1(1

11)1(

2

14 Uitwerkingen Relativiteit, Ruimtetijdinterval, www.roelhendriks.eu

Uitwerkingen § 7 Opgave 1 a. Neem de raket als waarnemer W’ en de aarde als waarnemer W.

222222 '' xtcxtc ∆−∆=∆−∆ 2222 200120100 −=∆− x

Δx = 189 ls. b. Het kwadraat van het ruimtetijdinterval is negatief dus er kan geen oorzakelijk verband tussen beide ontploffingen zijn. Opgave 2

222222 '' xtcxtc ∆−∆=∆−∆ 22222 30'200 −∆=− tc 5002030' 2222 =−=∆tc

Δt’ = 22 s. Opgave 3 a.

222222 '' xtcxtc ∆−∆=∆−∆ 2222 '201 x∆−=−

Δx’ = 1,7 ls b.

c0,85s 2,0ls 1,7

''

⋅==∆∆

=txv

Opgave 4 a.

222222 '' xtcxtc ∆−∆=∆−∆ 22222 0'4060 −∆=− tc 20004060' 2222 =−=∆tc

nls 44,7'=∆tc b.

c0,667ns 60nls 40

⋅==∆∆

=txv . Bedenk daarbij dat

ns 1nls 1

s 1ls 1c == .

Dus geldt 0,667=β .

34,1667,01

11

122=

−=

−=

βγ

nls 44,734,160' ==

∆=∆γtt

15 Uitwerkingen Relativiteit, Ruimtetijdinterval, www.roelhendriks.eu

Opgave 5 a. Positief; ja b. Negatief; nee c. Als de verbindingslijn tussen de twee gebeurtenissen steiler loopt dan de wereldlijn van een foton, kan er wel een causaal verband zijn. Bij minder steil kan het niet.

16 Uitwerkingen Relativiteit, Relativistisch optellen van snelheden, www.roelhendriks.eu

Uitwerkingen § 8 Opgave 1

c

ccc

cc

cuv

uvu ⋅=⋅⋅⋅

+

⋅+⋅=

⋅+

+= 75,05,04,01

5,04,0'1

'

22

Opgave 2 a. v = 0,333·c b. u = 0,6·c c. De twee getekende pijlen in de onderstaande figuur hebben een lengteverhouding van 1 staat tot 2. Dus u’ = 0,333·c.

d.

c

ccc

cc

cuv

uvu ⋅=⋅⋅⋅

+

⋅+⋅=

⋅+

+= 60,0333,0333,01

333,0333,0'1

'

22

.

Dit antwoord klopt met b. Opgave 3 Bekijk het vanuit kogel B.

c

ccc

cc

cuv

uvu ⋅=⋅⋅⋅

+

⋅+⋅=

⋅+

+= 92,07,06,01

7,06,0'1

'

22

17 Uitwerkingen Relativiteit, Relativistisch optellen van snelheden, www.roelhendriks.eu

Opgave 4

2'1

'

cuv

uvu⋅

+

+= wordt

2'40,01

'40,080,0

cuc

ucc⋅⋅

+

+⋅=⋅

Vereenvoudiging van de noemer geeft:

cuucc '40,01

'40,080,0⋅

+

+⋅=⋅

Dit geeft: '40,0'40,080,080,0 ucuc +⋅=⋅⋅+⋅

Hieruit volgt: '68,040,0 uc ⋅=⋅

Uiteindelijk vinden we: u’= 0,59·c. Opgave 5

Hieronder wordt niet op het teken van de snelheden gelet. De snelheid van A1 ten opzichte van M is:

c

ccc

cc

cuv

uvu ⋅=⋅⋅⋅

+

⋅+⋅=

⋅+

+= 80,050,050,01

50,050,0'1

'

22

De snelheid van M ten opzichte van A1 is dus ook 0,80·c. De snelheid van B2 ten opzichte van M is ook 0,80·c. De snelheid van B2 ten opzichte van A1 is dus:

c

ccc

cc

cuv

uvu ⋅=⋅⋅⋅

+

⋅+⋅=

⋅+

+= 97,080,080,01

80,080,0'1

'

22