Uitwerkingen opgaven hoofdstuk 5 5.1 Arbeidmembers.home.nl/h.d.kloppenburg/natuurkunde...

UITWERKINGEN OPGAVEN VWO HOOFDSTUK 5 1 van 39

Uitwerkingen opgaven hoofdstuk 5

5.1 Arbeid

Opgave 1 Bij alle vragen geldt, dat de arbeid bepaald wordt door kracht, verplaatsing en de hoek tussen de kracht en de verplaatsing. Door het tekenen van de kracht en de verplaatsing kun je zonder formule bepalen of er arbeid is verricht, en, als er arbeid is verricht, wat het teken van die arbeid is. Hiervoor gelden de volgende regels: – 0 ≤ α < 90°; er is arbeid verricht, het teken is positief; – als de verplaatsing 0 m is, of als α = 90°, is er geen arbeid verricht; – 90° < α ≤ 180°; er is arbeid verricht, het teken is negatief. Maak dus bij elke situatie een schets, teken daarin de krachten, en geef met een pijl de richting van de verplaatsing aan.

situatie welke krachten treden er op?

verricht de kracht arbeid?

is de arbeid positief of negatief?

a omhoog tillen boekentas

spierkracht zwaartekracht

ja ja

positief negatief

b boekentas hangt aan kapstok

‘kapstokkracht’ zwaartekracht

nee nee

– –

c zelf omhooghouden van tas

spierkracht zwaartekracht

nee nee

– –

d vallen van een ei zwaartekracht wrijvingskracht

ja ja

positief negatief

e fietsen met constante snelheid

spierkracht wrijvingskracht zwaartekracht normaalkracht

ja ja nee nee

positief negatief – –

f optrekken auto motorkracht wrijvingskracht zwaartekracht normaalkracht

ja ja nee nee

positief negatief – –

g kogel beweegt recht omhoog

zwaartekracht wrijvingskracht

ja ja

negatief negatief

Opgave 2 a De arbeid verricht door de zwaartekracht kun je berekenen met

Wzw = Fzw · s · cos α. Fzw = m · g; omdat het altijd om dezelfde bal gaat, is Fzw in alle situaties gelijk. Het verschil in arbeid verricht door de zwaartekracht wordt dus bepaald door de verplaatsing s. In situatie c is de verplaatsing het kleinst.

b De arbeid verricht door de wrijvingskracht wordt berekend met Wwr = Fwr · s · cos α. De grootte van de wrijvingskracht Fwr is in alle situaties gelijk. Het verschil in arbeid verricht door de wrijvingskracht wordt bepaald door de doorlopen weg. De doorlopen weg is het langst in situatie b.

Opgave 3 a Fzw = m · g = 120 × 9,81= 1,18 · 103 N


→ Wzw = Fzw · s · cos α = 1,18 · 103 × 4,30 × cos 180° = –5,06 · 103 Nm b Op de massa werken twee krachten, de zwaartekracht en de spankracht. De

snelheid is constant, dus de versnelling is nul. Dan is de resulterende kracht nul. De spankracht is dus in grootte gelijk aan de zwaartekracht.

c Wtrek = Ftrek · s · cos α = 1,18 · 103 × 4,30 × cos 0° = +5,06 · 103 Nm Opmerking Je had ook meteen kunnen zeggen dat de arbeid +5,06·103 Nm was. Het enige verschil met vraag a is de richting van de kracht, waardoor de arbeid van Fspan positief is.

Opgave 4 a Zie figuur 5.1. Wwr = Fwr · s · cos α = 0,40 · 103 × 84 × cos 180° = –3,4 · 104 Nm

Figuur 5.1

b Zie figuur 5.1.

Eerste manier De kar beweegt omhoog; de zwaartekracht werkt naar beneden → de door de zwaartekracht verrichte arbeid is negatief. Wzw = –Fzw · ∆h Fzw = m · g m = mkar + 8 · minzittende = 250 + 8 × 70 = 810 kg Fzw = 810 × 9,81 = 7,95 · 103 N We bepalen ∆h met behulp van ∆ABC.

BCsin 60 BC AB sin 60

ABBC 84 sin 60 72,7 mh

° = → = ⋅ °

= ∆ = × ° =

→ Wzw = –Fzw · ∆h = –7,95 · 103 × 72,7 = –5,8 · 105 Nm Tweede manier Wzw = Fzw · s · cos α Fzw = m · g m = mkar + 8 · minzittende = 250 + 8 × 70 = 810 kg Fzw = 810 × 9,81 = 7,95 · 103 N → Wzw = 7,95 · 103 × 84 × cos 150° = –5,8 · 105 Nm

c Zie figuur 5.1. Fspan = Fzw,x + Fwr

We bepalen Fzw,x met behulp van ∆ABC.

zw,xzw,x zw

zw

ZQsin 60 sin 60

ZP

FF F

F° = = → = ⋅ °


3 3zw,x zw sin 60 7,95 10 sin 60 6,88 10 NF F= × ° = ⋅ × ° = ⋅

→ Fspan = Fzw,x + Fwr = 6,88 · 103 + 0,40 · 103 = 7,3 · 103 N d Zie figuur 5.1.

Wspan = Fspan · s · cos α = 7,3 · 103 × 84 × cos 0° = +6,1 · 105 Nm

Opgave 5 a Zie figuur 5.2. De slee beweegt met constante snelheid in de X-richting. Er zijn vier krachten die een rol spelen. De zwaartekracht en de normaalkracht werken verticaal, de trekkracht werkt schuin omhoog, en de wrijvingskracht werkt horizontaal. De trekkracht moet ontbonden worden in een X- en een Y-component. Uit de constante snelheid volgt dat de resulterende kracht in horizontale richting 0 is → Ftrek,x = Fwr In de Y-richting vindt geen beweging plaats → Fres,y = 0 N → Ftrek,y + Fn – Fzw = 0

Figuur 5.2

b Ftrek,x = Fwr = 80 N Zie figuur 5.2. We bepalen Ftrek met behulp van ∆ABC.

trek,xtrek

AB ABcos35 AC

AC cos3580

98 Ncos35 cos35

FF

° = → =°

→ = = =° °

c Ftrek,y + Fn – Fzw = 0 We bepalen Ftrek,y met behulp van ∆ABC. Zie figuur 5.2. Eerste manier

trek,y trek

BCsin 35 BC AC sin 35

AC sin 35 97,7 sin 35 56,0 NF F

° = → = ⋅ °

→ = ⋅ ° = × ° =

Tweede manier De stelling van Pythagoras: AC2 = AB2 + BC2 2 2 2

trek trek,x trek,yF F F→ = +

2 2 2 2 2trek,y trek,y97,7 80 97,7 80 56,1 NF F→ = + → = − =

Fzw = 22 × 9,81 = 216 N → Fn = Fzw – Ftrek,y = 216 – 56 = 1,6 · 102 N


d Wtrek = Ftrek,x · s · cos 0° = 80 × 5,0 × 1 = +4,0 · 102 Nm e Wwr = Fwr · s · cos α = 80 × 5,0 × (–1) = –4,0 · 102 Nm f Wn = Fn · s · cos α; Wzw = Fzw · s · cos α

Voor beide krachten geldt: α = 90°, want zowel Fn als Fzw staan loodrecht op de bewegingsrichting; cos 90° = 0 → Wn = 0 Nm en Wzw = 0 Nm

Opgave 6 a s = 12 · a · t2 = 1

2 × 0,89 × 602 = 1,6 · 103 m

b Fmotor = Fres = m · a = 3,69 · 105 × 0,89 = 3,3 · 105 N c Wmotor = Fmotor · s · cos α = 3,3 · 105 × 1,6 · 103 × (+1) = +5,3 · 108 Nm d Wmotor = Fmotor · s · cos α

De arbeid die verricht wordt door de motorkracht wordt bepaald door de grootte van de motorkracht Fmotor en de verplaatsing s. De motorkracht is in beide situaties gelijk, maar de verplaatsing in de eerste seconde is minder dan de verplaatsing in de zestigste seconde → Wmotor is gedurende de zestigste seconde groter dan gedurende de eerste seconde.

Opgave 7 a Eerste manier Zie figuur 5.3a. De arbeid die de spierkracht verricht, volgt uit de oppervlakte onder de (F,u)-grafiek van 3,0 cm tot 9,0 cm. Wspier = oppervlakte A1 + oppervlakte A2

A1 = (9,0 – 3,0) · 10–2 × 0,42 = 0,0252 Nm A2 = 1

2 × (9,0 – 3,0) · 10–2 × (1,26 – 0,42) = 0,0252 Nm

→ Wspier = 0,0252 + 0,0252 = +5,0 · 10–2 Nm Tweede manier Zie figuur 5.3b. De gemiddelde trekkracht: Fgem = 0,84 N De arbeid die de spierkracht verricht, volgt uit de oppervlakte onder de (F,u)-grafiek van 3,0 cm tot 9,0 cm. Wspier = oppervlakte A3

A3 = (9,0 – 3,0) · 10–2 × 0,84 = 0,0504 Nm → Wspier = +5,0 · 10–2 Nm

Figuur 5.3a Figuur 5.3b


b Eerste manier Zie figuur 5.4a. De arbeid die de spierkracht verricht, volgt uit de oppervlakte onder de (F,u)-grafiek van 0,0 cm tot 4,0 cm. Wspier = oppervlakte A = 10,4 cm2 1,0 cm2 komt overeen met 2 N × 0,01 m = 0,02 Nm → Wspier = 10,4 × 0,02 = +0,21 Nm Tweede manier Zie figuur 5.4b. De gemiddelde trekkracht: Fgem = 5,2 N De arbeid die de spierkracht verricht, volgt uit de oppervlakte onder de (F,u)-grafiek van 0,0 cm tot 4,0 cm. Wspier = oppervlakte A4 + A5

→ Wspier = A4 + A5 = (4,0) · 10–2 × 5,2 = +0,21 Nm


5.2 Energievormen

Opgave 8 a Ekin = 12 mv2 → de grootte van Ekin wordt bepaald door de massa m en

snelheid v. b De grootste invloed heeft de snelheid, want in de formule staat v2. c Ezw = m⋅g⋅h. Die grootheden zijn: massa m, valversnelling g en de hoogte h van

het voorwerp ten opzichte van de grond.

Opgave 9 a Zie figuur 5.5. Ezw = m⋅g⋅h: de eenheid van zwaarte-energie in basiseenheden: [Ezw] = Nm; de

eenheid van versnelling: [g] = 2

m

s; de eenheid van hoogte: [h] = m.

b Ekin = 12 mv2: de eenheid van bewegingsenergie in basiseenheden: [Ekin] = Nm;

de eenheid van massa: [m] = kg; de eenheid van snelheid: m

[ ] .s

v =

c Q = Fwr · s: de eenheid van warmte Q: [Q] = Nm; de eenheid van kracht: [F] = N; de eenheid van afgelegde weg: [s] = m.

d Eveer = 12 Cu2: de eenheid van veerenergie in basiseenheden: [Eveer] = Nm; de

eenheid van veerconstante: N

[ ] ;m

C = de eenheid van uitrekking: [u] = m.


Figuur 5.5

Opgave 10 a Wdozen = Fdozen × s × cos α; Fdozen = m × g, waarbij m de totale massa van de

dozen is. Of de tegelzetter de dozen nu in twee keer (2 × 3 dozen) of in drie keer (3 × 2 dozen) naar boven brengt, maakt voor de totale massa van de dozen niet uit. De totale massa van de dozen is in beide gevallen hetzelfde. In beide gevallen is de te verrichten arbeid dus even groot.

b De totale arbeid die de tegelzetter heeft verricht, wordt bepaald door de verticale verplaatsing en door de zwaartekracht op de dozen en zijn eigen lichaam samen. Hij moet ook arbeid verrichten om zijn eigen lichaam naar boven te brengen.

Opgave 11 a Zie figuur 5.6. ∆Ezw = Fzw · ∆h Fzw = m · g = 44 × 9,81 = 432 N I: van H naar O ∆h = –13 m → ∆Ezw = 432 × (–13) = –5,6 · 103 J II: van L naar R ∆h = 0 m → ∆Ezw = 0 J III: van R naar H ∆h = 6,5 m → ∆Ezw =432 × (6,5) = 2,8 · 103 J IV: van H geheel rond naar H ∆h = 0 m → ∆Ezw = 0 J


Figuur 5.6

b I: Wzw = 5,6 · 103 J, want de zwaartekracht en de verplaatsing wijzen beide dezelfde kant op (naar beneden). II: Wzw = 0 J, want er is geen verticale verplaatsing. III: Wzw = –2,8 · 103 J, want de zwaartekracht en de verplaatsing wijzen een verschillende kant op (de zwaartekracht naar beneden en de verticale verplaatsing omhoog). IV: Wzw = 0 J, want er is geen verticale verplaatsing.

c De zwaartekracht verandert niet bij het omkeren van de draairichting in vergelijking met vraag a en b. Ook de hoogteverschillen veranderen in alle vier de gevallen niet. De antwoorden veranderen dus ook niet.

Opgave 12 a ∆Ezw = Fzw · ∆h Fzw = mtotaal · g = (55 + 10) × 9,81 = 638 N We bepalen ∆h met behulp van ∆ABC. Zie figuur 5.7a.

BCsin 5,0 BC AC sin 5,0 100 sin 5,0 8,72 m

ACh° = → = ⋅ ° → ∆ = × ° =

∆Ezw = Fzw · ∆h = 638 × 8,72 = 5,6 · 103 J

Figuur 5.7a

b Ekin = 12 mv2

2525 km/h m/s 6,94 m/s

3,6v = = =

2 31kin 2 65 6,94 1,6 10 JE→ = × × = ⋅

c Q = Fwr · s → 4,0 · 103 = Fwr × 100 → Fwr = 40 N d Etotaal,chem = ∆Ezw + Q ∆Ezw = 5,6 · 103 J (zie onderdeel a van deze opgave) Q = Fwr · s = 25 × 100 = 2,50 · 103 J → Etotaal,chem = 5,6 · 103 + 2,50 · 103 = 8,1 · 103 J

e Eerste manier Zie figuur 5.7b. Noem de bedoelde kracht F.


Bekijk alleen de krachten en krachtcomponenten die langs de helling werken. Samen met F zijn dat er drie. De grootte van de resulterende kracht langs de helling is 0, omdat de snelheid constant is. → F = Fzw,x + Fwr

Nu moeten we Fzw,x bepalen met behulp van ∆ABZ. Zie figuur 5.7b.

zw,x

BZsin BZ AZ sin

AZ638 sin 5,0 55,6 NF

α α= → = ⋅

→ = × ° =

Fwr = 25 N → F = 55,6 + 25 = 81 N

Figuur 5.7b Tweede manier De chemische energie zorgt ervoor dat Kirsten arbeid kan verrichten. De arbeid die Kirsten heeft verricht, wordt bepaald door de voortstuwingskracht langs de helling en de verplaatsing langs de helling. De benodigde chemische energie heb je berekend bij vraag d. Etotaal,chem = F · s = 8,1 · 103 J → F × 100 = 8,1 · 103 → F = 81 N

f Bij een chemisch proces wordt slechts een gedeelte van de energie gebruikt voor nuttige arbeid (het nuttige arbeidsdeel). Het andere deel wordt omgezet in warmte. Er moet dus altijd meer chemische energie omgezet worden dan gebruikt kan worden voor nuttige arbeid.

5.3 Arbeid en kinetische energie; wet behoud van energie

Opgave 13 Ezw Ekin Eveer Q Wzw Wwr Wveer Echem

(arbeidsdeel) a – + x + + – x x b + – x x – x x x c 0 0 x + 0 – x – d – 0 x + + – x x e 0 x 0 x 0 x 0 x


Opgave 14 a s(t) = 12 at2 → 10 = 1

2 × 9,81 × t2 → t = 1,43 s

v(t) = at = 9,81 × 1,43 = 14 m/s b 2 21 1

zw kin,eind kin,begin eind begin2 2F s E E m v m v⋅ = − = ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅

Fzw = m · g = 0,020 × 9,81 = 0,196 N 2 21 1eind2 2

2eind

eind

0,196 10 0,020 0,020 0

1,96 0,010

14 m/s

v

v

v

→ × = × × − × ×

→ = ×→ =

De oplossingen van opgave 14, vraag c en d, met de TI

c Voor de zwaarte-energie geldt: Ezw = mgh. Vul in voor h: h(t) = 10 – s(t) → Ezw = mg(10 – s(t)). Vul in voor s(t): s(t) = 1

2 · 9,81 · t2 → Ezw = mg · (10 – 12 · 9,81 · t2).

Op de grafische rekenmachine is Ezw = Y1 en t = X. Het resultaat is Y1 = 0.02 * 9.81 * (10 – 4.905X2). Zie figuur 5.8a.

Figuur 5.8a Figuur 5.8b Figuur 5.8c

d Voor de kinetische energie geldt: Ekin = 1

2 mv2.

Vul voor de snelheid in v(t) = at: Ekin = 12 m · (a · t)2.

Op de grafische rekenmachine is Ekin = Y2 en t = X. Denk aan het bereik. Het resultaat is Y2 = 1

2 * 0.02 * (9.81 * X)2. Zie figuur 5.9a en b.

Laat je beide grafieken tekenen door je GR; dan krijg je figuur 5.9c en d.


Figuur 5.9c Figuur 5.9d


De oplossingen van opgave 14, vraag c en d, met de Casio c Voor de zwaarte-energie geldt: Ezw = mgh.

Vul in voor h: h(t) = 10 – s(t) → Ezw = mg(10 – s(t)). Vul in voor s(t): s(t) = 1

2 · 9,81 · t2 → Ezw = mg · (10 – 12 · 9,81 · t2).

Op de grafische rekenmachine is Ezw = Y1 en t = X. Het resultaat is Y1 = 0.02*9.81*(10 – 4.905 × X2). Zie figuur 5.10a, b en c.


d Voor de kinetische energie geldt: Ekin = 12 mv2.

Vul voor de snelheid in v(t) = at: Ekin = 12 m · (a · t)2.

Op de grafische rekenmachine is Ekin = Y2 en t = X. Denk aan het bereik. Het resultaat is Y2 = 1

2 * 0.02 * (9.81 * X)2. Zie figuur 5.11a en b.

Laat je beide grafieken tekenen door je GR; dan krijg je figuur 5.11c en d.

Opgave 15 vbegin = 36 km/h = 10 m/s; veind = 0 m/s

De remafstand: s = 15 m. De massa van Xander en zijn fiets: mtotaal = 75 kg.

wr kin

2 2 2 21 1 1 1kin eind begin2 2 2 2

wr

2wr

75 0 75 10 3750 J

15 3750

2,5 10 N

F s E

E m v m v

F

F

⋅ = ∆

∆ = ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ = × × − × × = −

→ × =

→ = ⋅

Opgave 16 De snelheid is constant, dus de versnelling is nul. Dan is de resulterende

kracht nul. Er is een trekkracht, dus er moet een tegenwerkende kracht zijn die even groot is als de trekkracht, maar tegengesteld gericht. Dat is de wrijvingskracht.


Figuur 5.11c Figuur 5.11d


Opgave 17 Wzw + Wwr = Ekin,eind – Ekin,begin

Wzw = Fzw · ∆h Fzw = m · g = 75 × 9,81 = 736 N → Wzw = 736 × 15 = 11,04 · 103 J Wwr = Fwr · s = –25 × 80 = –2,0 · 103 J, want de wrijvingskracht en de verplaatsing wijzen een verschillende kant op. Ekin,begin = 0, want de beginsnelheid is 0 m/s → Ekin,eind = 11,04 · 103 – 2,0 · 103 = 9,04 · 103 J

2 3 2 31 1eind eind2 2

eind

9,04 10 75 9,04 10

16 m/s

m v v

v

→ ⋅ ⋅ = ⋅ → × × = ⋅→ =

Opgave 18 Zie de figuren 5.12a en b.

In figuur 5.12a bewegen de armen van de speelster omhoog, dus er wordt tegen de bal geslagen. In figuur 5.12b bewegen de armen juist iets omlaag. De snelheidsverandering zal in het eerste geval dus groter zijn dan in het tweede geval. De kinetische energie van de teruggespeelde bal is dus in het eerste geval groter dan in het tweede geval.


Opgave 19 a De snelheid is constant, dus de versnelling is nul. Dan is de resulterende

kracht nul. Er is een wrijvingskracht, dus er moet een voortbewegende kracht zijn die even groot is als de wrijvingskracht, maar tegengesteld gericht. Dus Fvoortbeweging = 14 N.

b vbegin = 20 km/h = 5,56 m/s; veind = 0 m/s De massa van Anita en haar fiets: m = 75 kg. Fwr = 14 N

kin wr

2 2 2 21 1 1 1kin eind begin2 2 2 275 0 75 5,56 1159 J

E F s

E m v m v

∆ = ⋅

∆ = ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ = × × − × × = −

→ 14 × s = 1159 → s = 83 m

Opgave 20 vbegin = 50 m/s; veind = 0 m/s De massa van de bal: mbal = 0,15 kg. De remafstand: s = 10 cm = 0,10 m.

kin rem

2 2 2 21 1 1 1kin bal eind bal begin2 2 2 20,15 0 0,15 50 187,5 J

E F s

E m v m v

∆ = ⋅

∆ = ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ = × × − × × = −

rem

3rem

0,10 187,5

1,9 10 N 1,9 kN

F

F

→ × =

→ = ⋅ =


Opgave 21 a Wtotaal = Wzw,Joep + Wspier,Maremca + Wwr Wzw,Joep = Fzw,Joep · ∆h Fzw,Joep = mJoep · g = 96 × 9,81 = 942 N → Wzw,Joep = 942 × 5,0 = 4,71 · 103 J = 4,71 kJ → Wtotaal = 4,71 + 2,2 – 0,30 = 6,6 kJ.

b Wtotaal = Ekin,eind – Ekin,begin Ekin,begin = 0, want de beginsnelheid is 0 m/s → Ekin,eind = 6,61 kJ = 6,61 · 103 J Ekin,eind = Ekin,Maremca+kar,hor + Ekin,Joep,hor + Ekin,Joep,vert Ekin,Maremca+kar,hor = 1

2 · mMaremca+kar · 2horv ; Ekin,Joep,hor = 21

Joep hor2 m v⋅ ⋅ ;

Ekin,Joep,vert = 21Joep vert2 m v⋅ ⋅

De verticale snelheid van Joep is gelijk aan 0,25 keer de horizontale snelheid

Joep,vert Joep,hor0,25v v→ = ⋅

→ Ekin,Joep,vert = 2 2 21 1Joep vert Joep hor Joep hor2 2 (0,25 ) 0,03125m v m v m v⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

→ Wtotaal = Ekin,eind – Ekin,begin = 1

2 · mMaremca+kar · 2horv + 21

Joep hor2 m v⋅ ⋅ + 2Joep hor0,03125m v⋅ ⋅

→ 6,61 · 103 = 21hor2 106 v× × + 21

hor2 96 v× × + 2hor0,03125 96 v× ×

→ 6,61 · 103 = 2hor53 v× + 2

hor48 v× + 2hor3 v× = 2

hor104 v×

→ vhor = 8,0 m/s

Opgave 22 Wzw = Fzw · ∆h Fzw = mtotaal · g = 980 × 9,81 = 9614 N Nu bepalen we ∆h met behulp van ∆ABC. Zie figuur 5.13.

BCsin10 BC AC sin10

AC° = → = ⋅ °

100 sin10 17,36 mh→ ∆ = × ° = Wzw = Fzw · ∆h = 9614 × 17,36 = 167 · 103 J vbegin = 120 km/h = 33,33 m/s; veind = 80 km/h = 22,22 m/s

2 2 31 1kin,begin begin2 2 980 33,33 544 10 JE m v= ⋅ ⋅ = × × = ⋅

2 2 31 1kin,eind eind2 2 980 22,22 242 10 JE m v= ⋅ ⋅ = × × = ⋅

zw wr kin,eind kin,beginW W E E+ = −

→ 167 · 103 + Wwr = 242 · 103 – 544 · 103 → Wwr = – 469 · 103 J Wwr = Fwr · s → Fwr × 100 = 469 · 103 → Fwr = 4,69 · 103 N

Figuur 5.13


5.4 Wet van behoud van energie Opmerking Alle vragen die met behulp van de energiebalans worden opgelost, kunnen in principe ook met behulp van de wet van arbeid en kinetische energie worden opgelost.

Opgave 23 Om de hoogte van de lat te bepalen moet je kijken naar: 1 het zwaartepunt van Eef op het moment dat hij over de lat gaat, en 2 de hoogte van de lat. De hoogte van het zwaartepunt wordt bepaald door de afzet en de hoeveelheid bewegingsenergie van Eef. Deze is bij de twee sprongen gelijk. Dat betekent dat bij beide sprongen het zwaartepunt dezelfde maximale hoogte krijgt: hZ,A = hZ,B = hZ. Uit de figuren blijkt dat bij sprong B de afstand tussen het zwaartepunt en de lat kleiner is dan bij sprong A, dus is hZ – hB < hZ – hA. Dan is hB > hA. Bij B ligt de lat dus hoger.

Figuur 5.14a

Figuur 5.14b

Opgave 24 a Je ondervindt rolweerstand en luchtweerstand. Deze wrijvingskrachten werken

tegen de bewegingsrichting in. De resulterende kracht op jou en je fiets is nul. Dat betekent dat er ook een kracht moet zijn met de bewegingsrichting mee. Dat is de trapkracht die het gevolg is van je spierkracht.

b Warmte c Proces 1: chemische energie → warmte + chemische energie (arbeidsdeel)

[of: chemische energie → warmte + spierarbeid] Proces 2: chemische energie (arbeidsdeel) → warmte [of: spierarbeid → warmte]

d Proces 1: in de balans staan dezelfde grootheden, maar daarvan zijn de waarden veranderd Proces 2: chemische energie (arbeidsdeel) → warmte + zwaarte-energie


Opgave 25 a Zie figuur 5.15.

Figuur 5.15

Ezw,A + Ekin,A = Ezw,B

21A A B2m g h m v m g h⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ ⋅

Delen door m levert: 21A A B2g h v g h⋅ + ⋅ = ⋅

9,81 × 35 + 12 × 222 = 9,81 × hB → hB = 60 m

b Volgens de wet van behoud van energie verandert de totale hoeveelheid energie niet. Er is geen wrijvingskracht, dus is er onderweg geen warmte geproduceerd. De totale energie bij het passeren van A is daarom gelijk aan die bij de start. Dan is [Ezw,A + Ekin,A]omhoog = [Ezw,A + Ekin,A]omlaag. In beide gevallen is Ezw,A even groot, dus is in beide gevallen Ekin,A even groot. Dan is de snelheid in beide gevallen 22 m/s.

c De energiebalans: Ezw,A + Ekin,A = Ezw,max + Q. De maximale hoogte hangt samen met de maximale zwaarte-energie Ezw,max. Door de wrijving wordt een deel van de beschikbare energie in warmte Q omgezet → de maximale zwaarte-energie Ezw,max is dus kleiner dan bij vraag a → hmax is kleiner dan bij vraag a.

d Er zijn twee redenen waarom de snelheid kleiner is dan 22 m/s: 1 de valhoogte van het hoogste punt naar A is kleiner dan bij vraag a is

berekend; 2 de luchtweerstand werkt ook tijdens de val, waardoor er weer warmte

ontstaat, ten koste van de andere energiesoorten.

Opgave 26 Zie figuur 5.16. De energiebalans: Ezw,A = Ekin,B + Q. Hierbij is de zwaarte-energie in B gelijk aan nul gesteld. Ezw,A = Fzw · ∆h = m · g · MC

Figuur 5.16

Bereken MC met behulp van ∆MCB. Zie figuur 5.16.


MCcos70 MB MC cos70 MC 0,42 cos70 0,144 m

MB° = → = ⋅ ° → = × ° =

→ Ezw,A = m · g · MC = 31 · 10–3 × 9,81 × 0,144 = 4,38 · 10–2 J Q = Fwr · s = Fwr × cirkelboog AB Bepaal de cirkelboog AB met behulp van figuur 5.16. ∠AMB = 90° + 70° = 160°

→ cirkelboog AB is het e

160

360

deel van één cirkelomtrek

→ cirkelboog AB =160 160

2 π 2 π 0,42 1,17 m360 360

r ⋅ ⋅ ⋅ = × ⋅ × =

→ Q = Fwr × cirkelboog AB = 0,015 × 1,17 =1,76 · 10–2 J → Ezw,A = Ekin,B + Q 4,38 · 10–2 = 21

B2 m v⋅ ⋅ + 1,76 · 10–2

→ 3 21B2 31 10 v−× ⋅ × = 2,62 · 10–2

→ 2Bv = 1,69

→ vB = 1,3 m/s

Opgave 27 a Zie figuur 5.17a. De energiebalans: Ekin,A = Ekin,B + Ezw,B. Hierbij is de zwaarte-energie in A gelijk aan nul gesteld.

2 21 1A B2 2m v m v m g h⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅

Delen door m levert: 2 21 1A B2 2v v g h⋅ = ⋅ + ⋅

12 × 7,42 = 21

B2 v⋅ + 9,81 × (3,30 – 2,65)

→ 2Bv = 42,0

→ vB = 6,5 m/s


b Zie figuur 5.17b.

Bepaal vhor met behulp van ∆BSR.

hor A

APcos AP AQ cos

AQ

cos 7,4 cos60 3,7 m/sv v

α α

α

= → = ⋅

→ = × = × ° =


De snelheid in horizontale richting vhor verandert niet, omdat de wrijving wordt verwaarloosd. Bepaal β met behulp van ∆BSR.

hor

B

BS 3,7cos 0,569 55

BR 6,5

v

vβ β= = = = → = °

Opgave 28 a De energiebalans: Ezw,A = Ekin,B.

Hierbij is de zwaarte-energie in B gelijk aan nul gesteld. Ezw,A = Fzw · h = m · g · AD Bepaal AD met behulp van ∆ADB. Zie figuur 5.18.

ADcos55 AD AB cos55 AD 50 cos55 28,7 m

AB° = → = ⋅ ° → = × ° =

→ 21B2ADm g m v⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

Delen door m levert: 21B2ADg v⋅ = ⋅

9,81 × 28,7 = 21B2 v⋅ → 2

Bv = 563 → vB = 24 m/s

Figuur 5.18

b Zie figuur 5.18.

De algemene energiebalans is Ezw,A = Ezw,C + Ekin,C + Q. Als C hoger zou liggen dan A, dan zou Ezw,C > Ezw,A. Dat kan niet, want de kinetische energie en de ontwikkelde warmte zijn beide altijd positief. Als C even hoog zou liggen als A, dan zou Ezw,C = Ezw,A. Dat kan alleen als zowel Ekin,C als Q nul is. In de praktijk is Q niet nul, en dan zou dus de kinetische energie negatief moeten zijn.

Opgave 29 De snelheid voor het botsen met de vloer: vvoor = 6,0 m/s → de bewegingsenergie vlak voor het botsen

2 21 1kin,voor voor2 2 6,0 18,0E m v m m= ⋅ ⋅ = × × = ⋅

Tijdens de botsing met de grond raakt de bal 56% van zijn energie kwijt → vlak na de botsing is er nog 44% van de bewegingsenergie over → Ekin,na = 0,44 × 18,0 · m = 7,92 · m De energiebalans: Ekin,na = Ezw Ezw = Fzw · h = m · g · h → m · g · h = 7,92 · m Delen door m levert: g · h = 7,92

→ 7,92

0,81 m9,81

h = =


Opgave 30 a De gevraagde energiebalans volgt uit de algemene balans: Etotaal,begin = Etotaal,eind (Ezw,A + Ezw,B + Ekin,B + Ekin,A )begin = (Ezw,A + Ezw,B + Ekin,B + Ekin,A)eind

Zie figuur 5.19a. In de beginsituatie staat blok B op de grond → (Ezw,B)begin = 0 In de beginsituatie bewegen blokken A en B nog niet → (Ekin,B + Ekin,A)begin = 0 Zie figuur 5.19b. In de eindsituatie raakt blok A de grond → (Ezw,A)eind = 0 → de energiebalans wordt dus: (Ezw,A)begin = (Ezw,B + Ekin,B + Ekin,A)eind


b De energiebalans: (Ezw,A)begin = (Ezw,B + Ekin,B + Ekin,A)eind

→ 2 21 1A B B A2 2m g h m g h m v m v⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅

→ 3,5 × 9,81 × 4,0 = 2,5 × 9,81 × 4,0 + 12 × 2,5 × v2 + 1

2 × 3,5 × v2

→ 137,3 = 98,1 + 3,0 · v2 → v2 = 13,1 → v = 3,6 m/s

Opgave 31 a Zie figuur 5.20. Etotaal = Ezw,A = 0,51 × 9,81 × 1,80 = 9,0 J

Figuur 5.20

De oplossingen van opgave 31, vraag b t/m f met de TI

b Y1 = de zwaarte-energie = Ezw Gebruik in je rekenmachine X in plaats van h. Y1 = 0.51 * 9.81 * X, waarbij 0.60 m ≤ X ≤ 1.80 m


c Y2 = de kinetische energie = Ekin Etotaal = Ezw + Ekin = 9,0 → Y1 + Y2 = 9,0 → Y2 = 9,0 – Y1 Y2 = 9.0 – 0.51 * 9.81 * X, waarbij 0.60 m ≤ X ≤ 1.80 m Zie figuur 5.21a, b en c.


d Natuurkundig gezien hebben in deze opgave de waarden X < 0.60 en

X > 1.80 geen betekenis. Dit betekent wiskundig dat voor het domein van X geldt 0.60 m ≤ X ≤ 1.80 m. Plot de grafieken en bepaal het snijpunt: X = 0,90 m. Zie figuur 5.22a en b.


e De horizontale as begint bij 0,60 m en begint dus in punt B. In B is de snelheid

maximaal, en op 1,80 m hoogte (bij A) is de snelheid nul. Dat betekent dat je moet kiezen tussen de figuren a, b en c. Na het loslaten van de kogel in A (op 1,80 m hoogte) valt hij eerst vrij steil naar beneden, waardoor de snelheid snel toeneemt. Bij het naderen van B is het hoogteverschil niet meer zo groot, en neemt de snelheid steeds langzamer toe. Als je de diagrammen dus van rechts naar links leest, zie je dat figuur 5.53a in het kernboek de situatie het best weergeeft.

f Y2 = de kinetische energie = Ekin Ekin = 1

2 · m · v2 = 12 × 0.51 × v2 = 0.255 × v2

→ Y2 = ∗ 20.255 v

∗ = → = → =2 2 2 22

Y Y0.255 Y

0.255 0.255v v v

= 23

YY

0.255

Plot de grafiek. Zie figuur 5.23a en b. Conclusie: de juiste weergave is figuur 5.53a in het kernboek.



De oplossingen van vraag b t/m f met de Casio

b Y1 = de zwaarte-energie = Ezw Gebruik in je rekenmachine X in plaats van h. Y1 = 0.51 × 9.81 × X, waarbij 0.60 m ≤ X ≤ 1.80 m

c Y2 = de kinetische energie = Ekin Etotaal = Ezw + Ekin = 9,0 → Y1 + Y2 = 9,0 → Y2 = 9,0 – Y1 Y2 = 9.0 – 0.51 * 9.81 * X, waarbij 0.60 m ≤ X ≤ 1.80 m Zie figuur 5.24a, b en c.


d Natuurkundig gezien hebben in deze opgave de waarden X < 0.60 en

X > 1.80 geen betekenis. Dit betekent wiskundig dat voor het domein van X geldt 0.60 m ≤ X ≤ 1.80 m. Plot de grafieken en bepaal het snijpunt: X = 0,90 m. Zie figuur 5.25.

Figuur 5.25

e De horizontale as begint bij 0,60 m en begint dus in punt B. In B is de snelheid

maximaal, en op 1,80 m hoogte (bij A) is de snelheid nul. Dat betekent dat je moet kiezen tussen de figuren a, b en c. Na het loslaten van de kogel in A (op 1,80 m hoogte) valt hij eerst vrij steil naar beneden, waardoor de snelheid snel toeneemt. Bij het naderen van B is het hoogteverschil niet meer zo groot, en neemt de snelheid steeds langzamer toe. Als je de diagrammen dus van rechts naar links leest, zie je dat figuur 5.53a in het kernboek de situatie het best weergeeft.

f Y2 = de kinetische energie = Ekin Ekin = 1

2 · m · v2 = 12 × 0.51 × v2 = 0.255 × v2

→ Y2 = ∗ 20.255 v


∗ = → = → =2 2 2 22

Y Y0.255 Y

0.255 0.255v v v

= 23

YY

0.255

Plot de grafiek. Zie figuur 5.26a en b. Je conclusie is dat de juiste weergave is: figuur 5.53a in het kernboek.


Opgave 32 a De energievormen zijn:

– bewegingsenergie van de polsstokhoogspringer + stok; – zwaarte-energie van de polsstokhoogspringer + stok; – veerenergie van de polsstok; – wrijvingsenergie met de lucht; – veerenergie van het matras; – warmte.

b Zie figuur 5.27a en b.


De energiebalans voor de situaties A en B: (Ezw,polsstok)A + (Ezw,atleet)A + (Ekin,polsstok)A + (Ekin,atleet)A = (Ezw,polsstok)B + (Ezw,atleet)B (Ezw,polsstok)A = mpolstok · g · hA = 2,3 × 9,81 × 0,90 = 20,3 J (Ezw,atleet)A = matleet · g · hA = 80 × 9,81 × 0,90 = 706,3 J (Ekin,polsstok)A = 2 21 1

polstok polstok2 2 2,3 8,8 89,1 Jm v⋅ ⋅ = × × =

(Ekin,atleet)A = 2 21 1atleet atleet2 2 80 8,8 3097,6 Jm v⋅ ⋅ = × × =

(Ezw,polsstok)B = mpolstok · g · hB,stok= 2,3 × 9,81 × 4,80

2 = 54,2 J

(het zwaartepunt van de stok ligt in het midden van de stok) → 20,3 + 706,3 + 89,1 + 3097,6 = 54,2 + (Ezw,atleet)B → (Ezw,atleet)B = 3859 J (Ezw,atleet)B = matleet · g · hatleet = 80 × 9,81 × hatleet = 3859 J → hatleet = 4,9 m


Opgave 33 a Lees in figuur 5.57 in het kernboek de zwaarte-energie af van Joop op het platform: Ezw,P = 23,3 · 103 J, en het hoogteverschil tussen P en het laagste punt: h = 35 m. Ezw,P = Fzw · h = m · g · h → 23,3 · 103 = m × 9,81 × 35 → m = 68 kg

b Zie figuur 5.28. De energiebalans voor de val van P naar R: Ezw,P = Ezw,R + Ekin,R

Hierbij is de zwaarte-energie in D gelijk aan nul gesteld. Ezw,P = m · g · hR = 68 × 9,81 × 35 = 23,3 · 103 J Ezw,R = m · g · hR = 68 × 9,81 × 20 = 13,3 · 103 J → Ekin,R = 10,0 · 103 J

3 21R2

2R

R

10,0 10 68

294

17 m/s

v

v

v

⋅ = × ×

→ =→ =

Figuur 5.28

c De kinetische energie vind je met behulp van de energiebalans. Van nul tot 15 m staan alleen de zwaarte-energie en de kinetische energie in de energiebalans. Van 15 m tot 35 m speelt ook de veerenergie een rol. De energiebalans voor het traject 0-15 m: Ezw,P = Ekin,x + Ezw,x → Ekin,x = Ezw,P – Ezw,x

Teken de grafiek van Ekin voor 0-15 m Zie de lichtgroene lijn in figuur 5.29.

Figuur 5.29


De energiebalans voor het traject 15-35 m: Ezw,P = Ekin,x + Ezw,x + Eveer,x → Ekin,x = Ezw,P – Ezw,x – Eveer,x

Teken de grafiek van Ekin voor 15-35 m. Zie de donkergroene lijn in figuur 5.29.

d Als wrijvingskrachten een rol spelen, wordt niet alle veerenergie weer omgezet in zwaarte-energie. Dat betekent dat de springer minder hoog terugveert dan waar hij is begonnen. De oplossingen van opgave 33, vraag d met de TI Bepaal het maximum van de snelheid. Dit kan op verschillende manieren. Vul allereerst bovenstaande vergelijking in op je GR (zie figuur 5.30a). Eerste manier Gebruik TRACE. Zie figuur 5.30b.


Tweede manier Gebruik TBLSET en TABLE. Zie figuur 5.31a en b.


Derde manier Gebruik CALC 4:maximum. Zie figuur 5.31c.

Figuur 5.31c

vmax = 19 m/s


De oplossingen van opgave 33, vraag d met de Casio Bepaal het maximum van de snelheid. Dit kan op verschillende manieren. Vul allereerst de vergelijking in op je GR.

( )( )( )

× × − × − = ×

2

1 12

68 9.81 X 58 X 15Y

68

Laat dan de GR je grafiek tekenen. Zie figuur 5.32a en b. Eerste manier Gebruik TRACE. Zie figuur 5.32c. Tweede manier Gebruik G-Solv F2 MAX. Zie figuur 5.32d. vmax = 19 m/s

e Voor de kinetische energie geldt: Ekin,x = Ezw,P – Ezw,x

Ezw,P = m · g · hR = 23,3 · 103 J → Ekin(x) = 23,3 · 103 – Ezw(x) – Eveer(x) Voor de zwaarte-energie geldt voor 15 m ≤ x < 35 m: Ezw(x) = 23,3 · 103 – m · g · x = 23,3 · 103 – 68 · 9,81 · x Voor de veerenergie geldt voor 15 m ≤ x < 35 m: Eveer(x) = 58 · (x – 15)2 → Ekin(x) = 23,3 · 103 – Ezw(x) – Eveer(x) → Ekin(x) = 23,3 · 103 – (23,3 · 103 – 68 · 9,81 · x) – 58 · (x – 15)2 → Ekin(x) = 23,3 · 103 – 23,3 · 103 + 68 · 9,81 · x – 58 · (x – 15)2 → Ekin(x) = 68 · 9,81 · x – 58 · (x – 15)2

Figuur 5.32a

Figuur 5.32b

Figuur 5.32c


21x2 m v→ ⋅ ⋅ = 68 · 9,81 · x – 58 · (x – 15)2

21x2 68 v→ × × = 68 · 9,81 · x – 58 · (x – 15)2

→ ( )( )

( )

2

x 1 12

68 9.81 X 58 X 15 Y

68v

∗ ∗ − ∗ − = = ∗

f De maximale waarde van de kinetische energie volgt uit het diagram van figuur 5.29: Ekin,max = 12 · 103 J Ekin,max = 21

max2 m v⋅ ⋅ 2 31max2

2max

max

68 12 10

353

19 m/s

v

v

v

→ × × = ⋅

→ =→ =

Opgave 34 Zie figuur 5.33.

vA = 50 km/h = 13,9 m/s; vB = 70 km/h = 19,4 m/s Twee precies dezelfde auto’s A en B → mA = mB = m De energiebalans voor auto A: (Ekin,A)begin = Q

( )221 1A,begin2 2 13,9 96,6Q m v m m→ = ⋅ ⋅ = × × = ⋅

De energiebalans voor auto B: (Ekin,B)begin = Q + (Ekin,B)bij file

( )

2 21 1B,begin B bij file2 2

2 21 1B bij file2 219,4 96,6

m v Q m v

m m m v

→ ⋅ ⋅ = + ⋅ ⋅

→ × × = ⋅ + ⋅ ⋅

21B bij file2

21B bij file2

188,2 96,6

91,6

m m m v

m v m

→ ⋅ = ⋅ + ⋅ ⋅

→ ⋅ ⋅ = ⋅

Delen door m: 21B bij file2

2B bij file

B

91,6

183,2

14 m/s 49 km/h

v

v

v

→ ⋅ =

→ =

→ = =

Figuur 5.33

5.5 Vermogen en rendement

Opgave 35 a Met het rendement van de gloeilamp wordt bedoeld het percentage van de opgenomen elektrische energie dat wordt omgezet in zichtbaar licht.

b Bij een kuikenbroedmachine gaat het om de hoeveelheid geleverde warmte, en niet om de hoeveelheid zichtbaar licht. De hoeveelheid geleverde warmte is 95% van de opgenomen energie uit het stopcontact. Dus is het rendement van een gloeilamp als warmtebron groter dan als lichtbron.


Opgave 36 De gebruikte eenheid, kW, is de eenheid van vermogen. Als een installatie een vermogen levert van 685 kW betekent dat, dat de installatie iedere seconde 685 kJ energie levert. Dus is het niet juist dat in het artikel staat dat dit in een jaar gebeurt. De toevoeging ‘per jaar’ moet dus weggelaten worden.

Opgave 37 De energieomzetting vindt in zeer korte tijd plaats. In de formule omgezet

t

EP =

is de noemer dus erg klein, en daardoor is het vermogen groot.

Opgave 38 P = Fvogel · v Fzw = m · g = 40 · 10–3 × 9,81 = 0,392 N Deze vogel stijgt met een constante snelheid → Fvogel = Fzw = 0,392 N → P = 0,392 × 1,33 = 0,52 W

Opgave 39 zwEP

t

∆=

∆Ezw = m · g · ∆h De massa van het per minuut verplaatste water: m = ρ · V = 0,998 · 103 × 130 = 1,30 · 105 kg ∆Ezw = 1,30 · 105 × 9,81 × 6,0 = 7,65 · 106 J

657,65 10

1,3 10 W60

P⋅→ = = ⋅

Opgave 40 v = 315 km/h = 87,5 m/s

P = Fwr,totaal · v → 397 · 103 = Fwr,totaal × 87,5 → Fwr,totaal = 4,54 · 103 N Fwr,totaal = Fwr,rol + Fwr,lucht → 4,54 · 103 = 0,80 · 103 + Fwr,lucht → Fwr,lucht = 3,74 · 103 N

21wr,lucht w2F c A vρ= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

De cw-waarde voor de Ferrari is 0,33. De dichtheid van lucht kun je opzoeken in BINAS: ρ = 1,293 kgm–3 → 3,74 · 103 = 1

2 × 0,33 × 1,293 × A × (87,5)2

→ A = 2,3 m2

Opgave 41 In de vorige opgave heb je gelezen, dat de luchtwrijving afhankelijk is van de snelheid van de auto. Dat betekent dat, als de snelheid van de auto toeneemt, de luchtwrijving toeneemt. En dat betekent weer dat de motorkracht ook moet toenemen. In de formule P = F · v wordt behalve v dus ook F groter. Hierdoor kan de snelheid niet zes keer zo groot worden.

Opgave 42 ∆Ezw = m · g · ∆h = 1530 × 9,81 × 10 = 1,50 · 105 J 5

4zwnuttig

1,50 102,50 10 W

6,0

EP

t

∆ ⋅→ = = = ⋅


nuttig

in

4nuttig 4

in

100%

2,50 10100% 100% 2,8 10 W

90%

P

P

PP

η

η

= ⋅

⋅→ = ⋅ = ⋅ = ⋅

Opgave 43 ∆Ezw,totaal = mtotaal · g · ∆h = (60 + 15) × 9,81 × 5,8 = 4,27 · 103 J

nuttig zw,totaal

in sjouwen

3zw,totaal 3

sjouwen

100% 100%

4,27 10100% 100% 21,3 10 J

20%

E E

E E

EE

η

η

∆= ⋅ = ⋅

∆ ⋅→ = ⋅ = × = ⋅

De energie die Inges lichaam in 1,1 minuut in rust omzet: Erust = 65 × 1,1 × 60 = 4,29 · 103 J De totale energie die Inges lichaam moet leveren: Etot = Erust + Esjouwen = 21,3 · 103 + 4,29 · 103 = 2,6 · 104 J

Opgave 44 a vauto = 90 km/h → de auto legt in één uur een afstand af van 90 km. Zie figuur 5.62 in het kernboek. Bij een snelheid van 90 km/h is het benzineverbruik 6,0 liter per 100 km.

→ het aantal liters nodig om 90 km te rijden = 90

6,0 5,4100

× =

→ het benzineverbruik in 1 uur = 5,4 liter

→ het benzineverbruik in 1 seconde = 35,41,5 10

3600−= ⋅ liter

b De chemische energie van de benzine per seconde: Echem = 1,5 · 10–3 × 33 · 106 = 4,95 · 104 J

44chem

in

4,95 104,95 10 W

1,00

EP

t

⋅→ = = = ⋅

c vauto = 90 km/h → de auto legt in één uur een afstand af van 90 km. Zie figuur 5.62 in het kernboek. Bij een snelheid van 180 km/h is het benzineverbruik 16,3 liter per 100 km.

→ het aantal liters nodig om 180 km te rijden = 180

16,3 29,34100

× =

→ het benzineverbruik in 1 uur = 29,3 liter

→ het benzineverbruik in 1 seconde = 329,348,15 10

3600−= ⋅ liter

De chemische energie van de benzine per seconde: Echem = 8,15 · 10–3 × 33 · 106 = 2,69 · 105 J

55chem

in

2,69 102,69 10 W

1,00

EP

t

⋅→ = = = ⋅

Het topvermogen Ptop = 76 kW. Zie figuur 5.62 in het kernboek.

3top

5in

76 10100% 100% 28%

2,69 10

P

Pη ⋅→ = ⋅ = × =

⋅


Opgave 45 De remweg is 20 m. De buitenstraal van de band is 29 cm. → de omtrek van de band = 2 · π · rband = 2 × π × 0,29 = 1,82 m

→ het voorwiel heeft tijdens het remmen 20

111,82

= keer rondgedraaid

→ de remschijf ter hoogte van de remblokjes heeft ook 11 keer rondgedraaid. → de afgelegde weg van de remschijf ter hoogte van de remblokjes: s = ( ) ( )11 2 π 11 2 π 0,13 8,98 mr× ⋅ ⋅ = × ⋅ × =

De kinetische energie van de auto met inzittenden: 2 2 41 1

kin,tot 2 2 850 15 9,56 10 JE m v= ⋅ ⋅ = × × = ⋅

→ de warmte die in de remschijf ontstaat: Q = 0,34 × 9,56 · 104 = 3,25 · 104 J Q = Fwr · s → 3,25 · 104 = Fwr × 8,98 → Fwr = 3,6 · 103 N

5.6 Toepassingen in het dagelijks leven

Opgave 46 a Bij verwaarlozing van de massa van de katrol is de verandering van zwaarte-energie voor beide situaties gelijk.

b In beide gevallen moet de spierkracht een gelijke arbeid verrichten: Wspier bij takel = –Wzw = Wspier bij katrol

Noem s de lengte van het touw dat ‘ingehaald’ moet worden. Dan is, met W = F · s, Fspier bij takel × sbij takel = Fspier bij katrtol × sbij katrol De spierkracht bij de takel (losse katrol) is de helft van de spierkracht bij de vaste katrol: Fspier bij takel = 1

2 · Fspier bij katrol

Dan is sbij takel = 2 · sbij katrol

Opgave 47 a Op de balk werken telkens twee krachten, de zwaartekracht Fzw en de spierkracht Fspier. De grootte van de spierkracht wordt bepaald met behulp van de momentenwet. Het draaipunt van de balk is punt D (zie figuur 5.34). De momentenwet voor Piet (P): Fzw · Z′D = Fspier,P · PD De momentenwet voor Richard (R): Fzw · Z′D = Fspier,R · RD Fzw is in beide situaties hetzelfde. RD < PD → Fspier,R > Fspier,P

Figuur 5.34


b Veronderstel dat het optillen van de balk met constante snelheid gebeurt. Dan geldt de wet van kinetische energie en arbeid ∑W = ∆Ekin = 0. Noem nu het hoogteverschil van einde P hP, en het hoogteverschil van R hR. Er is gegeven dat het einde P in beide gevallen tot dezelfde hoogte wordt opgetild, dus ook Z komt in beide gevallen even hoog. Noteer: hZ = hoogteverschil van Z. Dan geldt: – voor het optillen bij P: ∑W = Fspier,P · hP – Fzw · hZ = 0 – voor het optillen bij Q: ∑W = Fspier,R · hR – Fzw · hZ = 0 Dan moet er gelden Fspier,P · hP = Fspier,R · hR In beide gevallen is dus door de spierkracht even veel arbeid verricht. Opmerking Uit het bovenstaande blijkt dat de arbeid die de spierkracht verricht in beide gevallen gelijk is aan Fzw · hZ. Maar Fzw · hZ = mg·hZ = zwaarte-energie van de balk ten opzichte van de grond. De arbeid die de spierkracht verricht, vinden we dus terug als toename van de zwaarte-energie van de balk.

Opgave 48 Van een auto die frontaal tegen een boom botst, zal de kreukelzone ingedeukt worden. Door de kreukelzone is de remafstand van de auto groter dan de remafstand van iemand die zonder veiligheidsgordel voorin zit en tegen het stuur en de ruit tot stilstand komt.

Opgave 49 – Bij een kleine auto is de rolweerstand kleiner dan bij een grote auto. – Bij een kleine auto is de totale luchtweerstand kleiner dan bij een grote auto. – Een kleinere auto heeft een kleinere massa, en dat betekent minder

motorarbeid. Vergelijk daarvoor twee auto’s met verschillende massa, die vanuit stilstand optrekken tot dezelfde eindsnelheid veind. Afgezien van de wrijvingskracht levert de motorkracht de arbeid die zorgt voor de toename van de kinetische energie, dus:

Wmotor = Ekin,eind – Ekin,begin = 12 mv2

eind – 0 = 12 mv2

eind

Bij gelijke eindsnelheid wordt de arbeid die de motorkracht moet verrichten dus bepaald door de massa van de auto. Een kleinere massa betekent minder motorarbeid, dus een lager energieverbruik.

Opgave 50 a Wrem = ∆Ekin

Wrem = Frem · s · cos 180º = –Frem · s ∆Ekin = Ekin,eind – Ekin,begin = 0 – 21

begin2 mv = – 21begin2 mv

→ –Frem · s = – 21begin2 mv

→ Frem · s = 21begin2 mv

b Frem · s = 21begin2 mv →

21begin2 mv

sF

=

21A2

A

mvs

F= en

21B2

B

mvs

F=

vA = 50 km/h; vB = 70 km/h


21B2

2 2B B

2 221A AA2

( ) (70)2,0

( ) (50)

mv

Fs v

s vmv

F

→ = = = =

→ de remafstand bij 70 km/h is dus 2,0 keer zo groot als bij 50 km/h.

Opgave 51 a Wzw = Fzw · h · cos α Fzw = m · g = 20 × 9,81 = 196 N → Wzw = 196 × 0,8 × cos 180° = –1,6 · 102 J De wet van kinetische energie en arbeid: Wspier + Wzw = ∆Ekin ∆Ekin = Ekin,eind – Ekin,begin = 21

eind2 mv – 21begin2 mv = 0, want veind = vbegin

→ Wspier + Wzw = 0 → Wspier = 1,6 · 102 J Opmerking Uit ∆Ekin = 0 J en de wet van kinetische energie en arbeid volgt: Wspier = Fzw · hQ Maar Wspier = mg · hQ = zwaarte-energie van de koffer op hoogte Q ten opzichte van P. De arbeid die de spierkracht van de reiziger verricht, is dus gelijk aan de toename van de zwaarte-energie van de koffer.

b Wspier = Fspier · s · cos α → 1,6 · 102 = Fspier × 6,1 × cos 0° → Fspier = 26 N

Opgave 52 a De wet van kinetische energie en arbeid: Wrem = ∆Ekin Kies in figuur 5.79 van het kernboek een bepaalde beginsnelheid: vbegin = 30 m/s Lees bij deze snelheid de bijbehorende waarde voor de remweg af: srem = 66 m ∆Ekin = Ekin,eind – Ekin,begin = 21

eind2 mv – 21begin2 mv

veind = 0 m/s en vbegin = 30 m/s → ∆Ekin = 2 2 51 1

2 2800 0 800 30 3,6 10 J× × − × × = − ⋅

Wrem = Frem · srem · cos α → –3,6 · 105 = Frem × 66 × (–1) → Frem = 5,4 · 103 N

b De stopafstand = de afstand afgelegd in de reactietijd + remafstand. De stopafstand is de blauwe lijn in figuur 5.80 van het kernboek. De remafstand is de rode lijn in figuur 5.80 van het kernboek → het verschil in afstand tussen de blauwe en de rode lijn is de afstand die wordt afgelegd in de reactietijd. Kies in figuur 5.80 van het kernboek een bepaalde beginsnelheid: vbegin = 30 m/s Bepaal het verschil in afstand afgelegd in de reactietijd: sextra = 11,0 m

→ de reactietijd reactie

11,00,37 s

30t = =

c sstop = srem + sreactie vbegin = 120 km/h = 33,3 m/s sreactie = vbegin · treactie = 33,3 × 0,36 = 12 m


De wet van kinetische energie en arbeid: Wrem = ∆Ekin ∆Ekin = 21

eind2 mv – 21begin2 mv = 2 2 51 1

2 2800 0 800 33,3 4,4 10 J× × − × × = − ⋅

→ Frem · srem · cos α = –4,4 · 105 → 5,4 · 103 × srem × (–1) = –4,4 · 105 → srem = 82 m → sstop = srem + sreactie = 82 + 12 = 94 m

d De twee-secondenregel bij normale omstandigheden: sveilig = v · t = 33,3 × 2 = 67 m

Opgave 53 a De remafstand is afhankelijk van de grip van de banden op het wegdek. Van belang hierbij zijn: de grootte van het contactoppervlak van de band met het wegdek, het profiel van de band en de temperatuur van de band.

b Redenen zijn: – auto’s die over klinkers rijden produceren meer geluid dan auto’s die over

asfalt of beton rijden; – het aanleggen van de bestrating in een woonerf is makkelijker; – het is makkelijker om reparaties aan bijvoorbeeld de riolering uit te voeren; – het regenwater kan makkelijk tussen de klinkers weg.

c De wet van kinetische energie en arbeid: Wrem = ∆Ekin ∆Ekin = 21

eind2 mv – 21begin2 mv = 2 2 21 1

begin begin2 21000 0 1000 500v v× × − × × = − ⋅

In woonerven bestaat het wegdek meestal uit klinkers. Lees in figuur 5.81 van het kernboek af bij klinkers: Fwr = 9,0 kN = 9,0 · 103 N Wrem = ∆Ekin → Frem · srem · cos α = –500 · 2

beginv

→ 9,0 · 103 × srem × cos 180° = –500 · 2beginv

→ 2rem begin0,0556s v= ⋅

sveilig = srem + sreactie sreactie = vbegin · treactie = vbegin × 0,50 = 0,50 · vbegin → sveilig = 0,0556 · 2

beginv + 0,50 · vbegin

Een veilige stopafstand in een woonerf zou 4,0 m kunnen zijn: sveilig = 4,0 m srem + sreactie = sveilig → 0,0556 · 2

beginv + 0,5 · vbegin = 4,0

Los deze vergelijking met behulp van de GR grafisch op: Y1 = 0.0556X2 + 0.5X Y2 = 4.0 Met de GR van TI en Intersection Druk op Y=. Voer beide vergelijkingen in (zie figuur 5.35a).

Druk op WINDOW en pas het scherm aan (zie figuur 5.35b).

Druk op GRAPH (zie figuur 5.35c).

Druk op 2ND CALC en vervolgens op 5.

Druk drie keer op ENTER (zie figuur 5.35d).

De veilige snelheid is dus: v = 5,1 m/s = 18 km/h.


Figuur 5.35d

Met de GR van TI en Solver Druk op MATH.

Ga naar 0:Solver.

Vul in achter eqn: 0=0.0556X2 + 0.5X – 4 (zie figuur 5.36a).

Druk op ENTER.

Zet een willekeurige waarde achter X= en zet de knipperende cursor achter dit

getal.

Druk op ALPHA SOLVE, en je krijgt voor X de waarde 5,1… (zie figuur

5.36b).

De veilige snelheid is dus v = 5,1 m/s = 18 km/h.


Met de GR van Casio en Intersect

Ga naar en druk op EXE of druk op 5.

Voer beide vergelijkingen in (zie figuur 5.37a).

Druk op SHIFT F3 (V-WIN); pas het scherm aan (zie figuur 5.37b).

Druk op EXIT.

Druk op F6 (DRAW) (zie figuur 5.37c).

Druk op SHIFT F5 (G-SLV), en vervolgens nog een keer op F5 (ISCT) (zie

figuur 5.37d).


Figuur 5.35a Figuur 5.35c Figuur 5.35b


Figuur 5.37d

Met de GR van Casio en Solver

Ga naar en druk op EXE of druk op ALPHA en vervolgens op A.

Druk op F3 (SOLV).

Vul in achter eq: 0.0556X2 + 0.5X=4.0 (zie figuur 5.38a).

Druk op EXE.

Zet een willekeurige waarde achter X= en druk op EXE en vervolgens op ▲.

(De zwarte balk moet op X= staan.)

Druk op F6 (SOLV).

X=5,1… (zie figuur 5.38b).



Met de GR van Casio en polynomen aX2 + bX + c = 0 (de a,b,c-formule)

Ga naar en druk op EXE of druk op ALPHA en vervolgens op A.

Druk op F2 (Polynomial) (zie figuur 5.39a).

Druk op F1 (2).

Vul in onder a: 0.0556.

Druk op EXE.

Vul in onder b: 0.5.

Druk op EXE.

Vul in onder c: –4.0 (de vergelijking is immers: 0.0556X2 + 0.5X – 4.0 = 0) (zie

figuur 5.39b).

Druk op EXE of druk op F1 (SOLV).

X=5,1… (zie figuur 5.39c).

Figuur 5.37a Figuur 5.37c

Figuur 5.37b


(Met de (a,b,c)-formule vind je altijd twee oplossingen; de negatieve oplossing

vervalt in dit geval.)



d De snelheid in vraag c was 5,1 m/s → de snelheid wordt de helft

→ v = 2,55 m/s De wet van kinetische energie en arbeid: Wrem = ∆Ekin ∆Ekin = 21

eind2 mv – 21begin2 mv = 2 2 31 1

2 21000 0 1000 2,55 3,25 10 J× × − × × = − ⋅

De klinkers zijn nu nat geworden → lees in figuur 5.81 van het kernboek af bij natte klinkers: Fwr = 4,5 kN = 4,5 · 103 N Wrem = ∆Ekin → Frem · srem · cos α = –500 · 2

beginv

→ 4,5 · 103 × srem × cos 180° = –3,25 · 103 J → srem = 0,723 m sreactie = vbegin · treactie = 2,55 × 0,50 = 1,28 m sstop = srem + sreactie = 0,723 + 1,28 = 2,0 m → de snelheid mag groter zijn dan de helft van 5,1 m/s als men binnen dezelfde afstand (4,0 m) tot stilstand wil komen.

Opgave 54 a Deze verplaatsing is gelijk aan de oppervlakte onder de (snelheid, tijd)- grafiek.

1 (0,02) 12 0,24 mA = × = 1

2 2 (0,02) (16,0 12,0) 0,04 mA = × × − = 1

2 2 (0,04 0,02) (12,0) 0,12 mA = × − × =

→ s = A1 + A2 + A3 = 0,40 m b Gedurende die tijd ondervindt de pop geen afremmende kracht. De pop blijft

dan voortbewegen met de snelheid die de auto voor de botsing had, en die is in figuur 5.40a af te lezen: vbegin = 16,0 m/s.

c De wet van kinetische energie en arbeid: Wrem = ∆Ekin ∆Ekin = 21

eind2 mv – 21begin2 mv = 2 21 1

2 24,2 4,0 4,2 16 504 J× × − × × = −

Wrem = ∆Ekin = –504 J → Frem × 0,10 × cos 180° = –504 → Frem = 5,0 kN

d Zie figuur 5.40b. De versnelling kun je bepalen in een (v,t)-diagram door de steilheid te bepalen:


eind begin

eind begin

2

( )

( )

(16,0 4,0)1200 m/s

(0,07 0,06)

v vva

t t t

a

−∆→ = =∆ −

−→ = = −−

Tweede wet van Newton: F = m · a → Frem = 4,2 × 1200 = 5,0 kN

Figuur 5.40a

Figuur 5.40b

e De veiligheidsgordel dient om de kracht tijdens de botsing te verkleinen.

Om dit te bereiken wordt getracht de remweg te verlengen.


Wrem = ∆Ekin = 21eind2 mv – 21

begin2 mv

Wrem = Frem · srem · cos α Bij een bepaalde beginsnelheid wordt Wrem bepaald door de remkracht en de remweg. Maak je de remweg langer, dan wordt de remkracht dus kleiner.

f Bij het uitrekken van een autogordel wordt een deel van de bewegingsenergie van de bestuurder omgezet in veerenergie van de veiligheidsgordel.

g Zie figuur 5.40c. De afstand die het poppenhoofd aflegt ten opzichte van de grond bij gebruik van de gordel, sgordel, is gelijk aan de oppervlakte onder de (v,t)-grafiek voor het poppenhoofd met gordel. sgordel = A1 + A2 + A3

periode 1: 0 ≤ t ≤ 0,02 s; v1,gem = 15,5 m/s → A1 = 0,02 × 15,5 = 0,31 m periode 2: 0,02 s ≤ t ≤ 0,04 s; v2,gem = 13,5 m/s → A2 = (0,04 – 0,02) × 13,5 = 0,27 m periode 3: 0,04 s ≤ t ≤ 0,09 s; v3,gem = 6,0 m/s → A3 = (0,09 – 0,04) × 6,0 = 0,30 m → sgordel = 0,31 + 0,27 + 0,30 = 0,88 m

Zie figuur 5.40d. De afstand ten opzichte van de grond die het poppenhoofd aflegt: smax = A4 = 0,06 × 16,0 = 0,96 m → de kleinste afstand d tussen het hoofd en de voorruit: d = smax – sgordel = 0,96 – 0,88 = 0,08 m (8 cm)

Figuur 5.40c


Figuur 5.40d

h Zie figuur 5.40e.

Figuur 5.40e De kracht die optrad bij de botsing van het poppenhoofd zonder gordel: F1 = m · a1

211

1

(16,0 4,0)1200 m/s

(0,07 0,06)

va

t

∆ −= = = −∆ −

De kracht waarmee het poppenhoofd wordt vertraagd met gordel: F2 = m · a2 22

22

(0,0 12,0)240 m/s

(0,09 0,04)

va

t

∆ −= = = −∆ −


2 2 2

1 1 1

2400,2

1200

F m a a

F m a a

⋅ −→ = = = =⋅ −

→ F2 is 20% van F1

Opgave 55 a Zie figuur 5.41.

Figuur 5.41

De overbrengingsverhouding is de verhouding tussen het aantal omwentelingen van de motoras en het aantal omwentelingen van de wielas. Bedenk daarbij dat de tandwielen die contact met elkaar hebben een gelijk aantal tanden verdraaien. Als wielas (1) één keer ronddraait, dan draait as (2) drie keer rond. Als as (2) drie keer ronddraait, dan draait as (3) zes keer rond. Als as (3) zes keer ronddraait, dan draait de motoras (4) 12 keer rond → aantal omwentelingen motoras : aantal omwentelingen wielas = 12 : 1

b De motorkracht verandert niet. Als wrijvingskrachten buiten beschouwing worden gelaten, dan is de arbeid bij de motoras gelijk aan de arbeid bij de wielas: Fmotoras · smotoras = Fwielas · swielas Als de overbrenging kleiner wordt, dan wordt het aantal omwentelingen van de wielas groter bij gelijkblijvend aantal omwentelingen van de motoras. Dat betekent dat swielas groter wordt, en daarmee dat Fwielas kleiner wordt.

c Zie figuur 5.84 in het kernboek. Bij 50 km/h is het benzineverbruik in de derde versnelling: 8,4 liter per 100 km. Bij 50 km/h is het benzineverbruik in de tweede versnelling: 14,4 liter per 100 km. → het verschil in verbruik: 6,0 liter

→ de procentuele toename:6,0

100% 71%8,4

× =

d Figuur 5.84 in het kernboek is gemaakt door een auto op een rollenbank te plaatsen. De auto blijft dan op zijn plaats staan. De enige wrijvingskracht die dan optreedt, is de rolwrijving. Er treedt geen luchtwrijving op. Normaal neemt de luchtwrijving toe bij hogere snelheden, en dit heeft een groter brandstofgebruik tot gevolg.

Opgave 56 a Auto 1 rijdt met een constante snelheid van 100 km/h → de motorkracht is even groot als de wrijvingskracht. v1 = 100 km/h = 27,8 m/s De totale weerstand bij deze snelheid (zie figuur 5.85 in het kernboek): Fwr = 580 N → Fmotor = 580 N


→ het vermogen van de auto Pauto,1 = Fwr · v1 = 580 × 27,8 = 1,60 · 104 W = 16,0 kW

b Als de snelheid groter wordt, dan neemt de totale weerstand verhoudingsgewijs meer toe. Als de snelheid bijvoorbeeld twee keer zo groot wordt, wordt de luchtweerstand vier keer zo groot. Hierdoor zal bij een vermogen van 45 kW de snelheid minder dan 280 km/h zijn.

c De auto rijdt met een constante snelheid van 100 km/h → auto 1 legt een afstand van 100 km af in 1 uur = 3600 s Pauto,1 = 1,60 · 104 W = 1,60 · 104 J per seconde De nuttig verbruikte energie in 1 uur: Enuttig = 1,60 · 104 × 3600 = 5,76 · 107 J Het rendement = 21% De totaal verbruikte energie in 1 uur:

7nuttig 8

totaal

5,67 10100% 100% 2,74 10 J

21

EE

η⋅= ⋅ = × = ⋅

→ het aantal liters benzine dat nodig is om die energie te leveren: 8

6

2,74 108,3 per 100 km

33 10n

⋅= =⋅

→ het benzineverbruik is dus 8,3 liter per 100 km. d De snelheid wordt vergroot van 80 km/h tot 120 km/h

→ ∆v = 40 km/h = 11,1 m/s. De versnelling van auto 2: a = 1,0 m/s2

11,111,1 s

1,0

v va t

t a

∆ ∆→ = → ∆ = = =∆

vbegin = 80 km/h = 22,22 m/s; veind = 100 km/h = 33,33 m/s ∆Ekin = 21

eind2 mv – 21begin2 mv = 2 21 1

2 2900 33,33 900 22,22× × − × × = 2,78 · 105 J

→ 5

kin 2,78 10

11,1

EP

t

∆ ⋅= =∆

= 2,50 · 104 W = 25,0 kW

Het vermogen bij 80 km/h vinden we als volgt. De totale weerstand bij deze snelheid (zie figuur 5.85 in het kernboek): Fwr = 430 N → Fmotor = 430 N → Pmotor bij 80 km/h = 430 × 22,22 = 9,56 · 104 W = 9,56 kW De toename van het vermogen = 25,0 – 9,56 = 15,44 kW

De procentuele toename: 3

23

15,44 10100% 1,6 10 %

9,56 10

⋅ × = ⋅⋅

e De totale weerstand bij 80 km/h (zie figuur 5.85 in het kernboek): Fwr,80 = 430 N → Fmotor,80 = 430 N De nuttig verbruikte energie bij 80 km/h gedurende een half uur: E80 = Fmotor,80 × 40 · 103 = 1,72 · 107 J De totale weerstand bij 100 km/h (zie figuur 5.85 in het kernboek): Fwr,120 = 800 N → Fmotor,120 = 430 N


De nuttig verbruikte energie bij 80 km/h gedurende een half uur: E120 = Fmotor,120 × 60 · 103 = 4,80 · 107 J → de in totaal nuttig verbruikte energie over 100 km: Enuttig = E80 + E120 = 1,72 · 107 + 4,80 · 107 = 6,52 · 107 J Het rendement = 21% De totaal verbruikte energie in een half uur:

7nuttig 8

totaal

6,52 10100% 100% 3,10 10 J

21

EE

η⋅= ⋅ = × = ⋅

→ het aantal liters benzine dat nodig is om die energie te leveren: 8

6

3,10 109,4 liter

33 10n

⋅= =⋅

De toename van het aantal liters = 9,4 – 8,3 = 1,1 liter

→ de procentuele toename: 1,1

100% 13%8,3

× =

Uitwerkingen opgaven hoofdstuk 5 5.1 Arbeidmembers.home.nl/h.d.kloppenburg/natuurkunde...

Documents

Transcript of Uitwerkingen opgaven hoofdstuk 5 5.1 Arbeidmembers.home.nl/h.d.kloppenburg/natuurkunde...