Tran Ferenc i a Calor

8/13/2019 Tran Ferenc i a Calor

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Instituto de Fsica Facultad de Ingeniera Universidad de la RepblicaMDULO: TRANSFERENCIA de CALOR.

(Ao 2002- Sandra Kahan).

INTRODUCCIN.

Siempre que existe un gradiente de temperaturas en un sistema o siempre que doscuerpos con diferentes temperaturas se ponen en contacto, se transfiere energa. Este procesose conoce como transferencia de calor.

Desde el punto de vista de la Ingeniera, el problema es determinar, dada una diferenciade temperatura, cunto calor se transfiere. En ese sentido, se reconocen tres modos distintos detransferencia de calor: conduccin, conveccin y radiacin.

En los tres procesos la temperatura del sistema es una variable que depende tanto de laposicin como del tiempo T(r,t) y por lo tanto un anlisis matemtico de esos procesosinvolucra ecuaciones diferenciales de varias variables.

Estos apuntes tienen como objetivo que el estudiante se familiarice con los procesos detransferencia de calor, sepa identificar cules son los ms relevantes para modelar determinadosistema y sea un usuario inteligente de sus aplicaciones tecnolgicas.

Por eso, se ha planificado abordar el tema en dos etapas:Primer abordaje: En la primera seccin introduciremos los conceptos ms relevantes de lostres tipos de transferencia de calor, cuando la temperatura no depende del tiempo (casoestacionario) y en geometras sencillas T(x). En la segunda seccin analizaremos la relevanciadel problema en el contexto del primer principio de la termodinmica, cuando la nicavariable relevante para la temperatura es la temporal T(t).Segundo abordaje: En la seccin 3, volveremos a estudiar el mecanismo de conduccin delcalor, deduciendo la llamada ecuacin del calor: una ecuacin diferencial que involucra a latemperatura T(r,t) como variable en el espacio y en el tiempo. En esa seccin tambinestudiaremos cmo se combinan la conduccin y la conveccin sobre una superficieextendida, como son las aletas de un disipador. En la seccin 4, nos proponemos comentaralgunos resultados de mecnica de fluidos, que influyen en la toma de decisiones, a la hora decalcular el mecanismo de conveccin.

El cursillo usar el problema de la disipacin de la potencia generada por un circuitoelectrnico, como el del microprocesador que se observa en la figura, como motivacin alplanteamiento de los temas. Sin embargo, los conceptos se discutirn en un marco general porlo que el estudiante podr reconocerlos en otro tipo de problema que los involucre.

1


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1.1.a Conduccin. Caso Estacionario y Unidimensional.

l

Siempre que existe un gradiente de temperaturas en unmedio slido, el calor fluir desde la regin con mayor

temperatura a la regin con menor temperatura. La Ley deFourierindica que potencia calorfica que se transfiere porconduccin qkes proporcional al gradiente de temperatura y area a travs de la cual se transfiere el calor1:

dx

dTAkqk = (1)

donde kes la constante de proporcionalidad llamadaconductividad trmicay refleja las propiedades conductorasdel material2; el signo negativo indica que cuando latemperatura aumenta con la posicin, el calor fluye haciaregiones de menor temperatura.

La figura 1a muestra esta situacin en un sistema dondelas paredes paralelas al plano (y,z), separadas una distanciaL,se encuentran a temperaturas T1y T2>T1conocidas. El calorfluir en la direccinx(porque no existe gradiente detemperaturas en las otras direcciones) y puede expresarsecomo:

(2)L

TTAkqk

12=

trmico (fig.1b) que permita

siempre que la conductividad trmica ksea constante a loancho del material.

Observando esta ecuacin se puede definir un circuito

representar al sistema como una resistencia trmica con elflujo de calor anlogo a la corriente elctrica y la diferencia de temperaturas anloga a ladiferencia de potencial. Dicho circuito verificar una ley que, a semejanza de la ley deOhm, expresa:

kA

LR

R

Tq k

k

k =

= / (3)

donde Rkes la resistencia trmica del sistema.El modelo aqu expuesto tiene ciertas limitaciones que hay que tener en cuenta: Estamos estudiando un caso estacionario, donde las temperaturas no varan en

el tiempo. Ms adelante estudiaremos, aplicando el primer principio de la termodinmica, quela transferencia desde o hacia el sistema, provoca cambios de temperatura en el sistema.

La resistencia trmica calculada en la ecuacin (3), al igual que la ley deFourier (1) y la relacin entre calor y temperatura de la ecuacin (2), responde a una geometraparticularmente sencilla. Ms adelante, veremos la ecuacin de conduccin en su forma msanaltica y observaremos que estas ecuaciones pueden generalizarse para otras geometras,siempre que el problema sea estacionario.

Habiendo sealado las limitantes de esta representacin del problema de laconductividad en forma de circuito trmico, hacemos notar que, de todas formas es tilpuesto que permite calcular rpidamente cul es el calor que fluye a travs de materialesque se colocan en serie o paralelo (fig. 2a y fig, 2b, resp).

1La notacin de los libros de transferencia de calor sealan a la potencia calorfica con minscula: q en lugar desealarla con mayscula y un punto, como es usual en los libros de termodinmica En estos apuntes se opt porseguir aquella notacin.2Obsrvese que cuando mayor es la conductividad trmica del material, mayor ser la cantidad de calor queatraviesa el sistema, para un mismo gradiente de temperatura.

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1.1.b Resistencia de Contacto.

Cuando dos diferentes superficiesconductoras se ponen en contacto(fig.3), se presenta una resistencia

adicional: la resistencia de contacto.Como las superficies no sonperfectamente pulidas, en medio de

capa de aire que provoca una cada de la temperaturaadicional. Esa cada de temperatura se representa,tambin como una nueva resistencia en el circuito

trmico.

ellas siempre existir una pequea

Suponga que el sistema de la figura 3 representalas distintas etapas de disipacin de potencia de uncircuito electrnico (chip) cuya temperatura deoperacin est representada por T2. Si la temperaturaT1es fija y se conoce la cantidad de calor qkquedisipa el chip, la existencia de una resistencia decontacto, provoca el aumento de la resistencia trmicadel sistema y por lo tanto el aumento de latemperatura T2.

Para evitar este inconveniente, entre el chip y el disipador, entre las diferentes etapas

de disipacin, se coloca una resina conductora que disminuye la resistencia de contacto ypor lo tanto la cada de temperatura (T2 T1)que ella produce.

1.2 Conveccin.La conveccin es el proceso de transferencia de calor que interviene cuando entran en

contacto un fluido y un slido. El fluido puede moverse sobre la superficie impulsado por unafuerza externa (por ejemplo un ventilador) en cuyo caso se trata de una conveccin forzada, opuede simplemente alejarse de la superficie impulsado por una diferencia de presiones, encuyo caso se trata de la conveccin natural.

Tanto en la conveccin forzada como en la natural, actan dos mecanismos. Suponiendoque el slido est a mayor temperatura que el fluido el mecanismo que se observa en la

interfase entre ambos es el de conduccin: las molculas de la superficie slida transmitenenerga cintica a las molculas del fluido que se encuentran cerca de la interfase y latransferencia de calor verifica la ecuacin (1), evaluada en la interfase:

0=

=x

fluidocdx

dTAkq (4)

El segundo mecanismo de transferencia de calor, involucra el movimiento macroscpicode fracciones de fluido cuyas molculas arrastran el calor a regiones alejadas de la superficiey que se encuentran a temperaturas ms bajas.

Tomando en cuenta ambos mecanismo, la potencia calorfica que se transfiere porconveccin es proporcional al rea de contacto entre el slido y el fluido y a la diferencia detemperaturas de la superficie Tsy la del fluido en un punto alejado de esa superficie T

( )= TTAhq sc (5)

3


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siendo hla constante de proporcionalidad, llamado coeficiente de conveccin.

Es importante sealar que la expresin (5) es una expresin fenomenolgica que,planteada porNewtonen 1701, se sigue usando hasta nuestros das. El valor de hdepende dela velocidad del fluido, de la forma de la superficie, de las propiedades fsicas del fluido.

Por el momento, se advierte que, dado el coeficiente h, se puede definir una resistenciatrmica de conveccin:( )

AhR

R

TTq c

c

s

c

1/ =

= (6)

Esa resistencia trmica completa un circuito trmico equivalente para el problema de ladisipacin de potencia desde un chip, dado que un disipador siempre presenta una superficieexpuesta al aire del ambiente.

1.2.a Conveccin forzada. (Anlisis Cualitativo).Las relaciones (5) y (6) presentan limitaciones en su aplicacin. En la figura 4 se observa

una superficie a temperatura Ts> Tpor encima de la cual circula una corriente de aire

provocada por un ventilador que no se dibuja) y que le imprime velocidad u, paralela a lasuperficie. Debido a la viscosidad del aire3, la corriente al ingresar a la zona donde est lasuperficie no puede tener la velocidad uen toda la regin puesto que, particularmente sobrela superficie y al estar sta quieta, la velocidad del aire tambin debe ser nula. Del mismomodo, si la temperatura del aire es Ten regiones alejadas de la superficie, esta temperatura

no puedemantenerse enregiones cercanas ala superficie dondela temperatura es Ts> T.

Estascondiciones deborde, impuestas pla presencia de lasuperficie a enfgeneran una zonallamada capa lmite,entre la superficuna lnea imaginadonde se conoce qla velocidad y la

temperatura delfluido coinciden couy T,re

or

riar,

ie yriaue

n

mente.e

dibu

isipa

n la

y T,

ca (5)r

spectivaEn la figura 5 sja el lmite de la

capa lmite en elcaso en que lasuperficie que dcalor por conveccincumple cohiptesis de flujolibre: ms all de lacapa lmite, el fluidotiene velocidad ytemperatura upor lo que larelacinfenomenolgi

es vlida. Pero si la superficie (como se observa en la figura inferior, la superficie a enfria

4

3La viscosidad de un fluido es la magnitud fsica que indica que el fluido pierde energa, en su trayectoria. Es elanlogo de la fuerza de rozamiento en el movimiento de los slidos.


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1.3 Radiacin.

Todos los cuerpos que se encuentran a una temperatura T > 0 K, emiten radiacintrmica que es transportada por ondas electromagnticas de diferentes frecuencias olongitudes de onda (c = ). Del mismo modo, todos los cuerpos absorben radiacintrmicade los alrededores o de otros cuerpos que se encuentran a temperatura T T. Lacombinacin de estos dos fenmenos determina la transferencia de calor por radiacin, nicomecanismo de transferencia de calor que no necesita de un medio fsico.

1.3.a Radiacin de un cuerpo negro.La teora que permite modelar la potencia emitida por un cuerpo a temperatura T, se

relaciona estrechamente con la radiacin de un cuerpo negro(B). Un cuerpo negro es unacavidad que emite radiacin por un pequeo orificio, de acuerdo a la siguiente ley.

)12(

Boltzmanndeconstante/10381,1

Planckdeconstante10626,6

vacoelenluzladevelocidad/10998,2

1

2)(

23

34

8

5

2

,

=

=

=

=

KJxk

sJxh

smxc

e

hcTE

TkhcB

Esta relacin (que se demuestra con argumentos estadsticos, fuera del alcance de este

curso), fue determinada porPlancken 1900 e indica cmo es la potencia emitida por unidadde rea de un cuerpo negro que se encuentra a temperatura T y en determinada longitud deonda, razn por la cual se la conoce comopotencia espectral emitida: En la figura 9 se graficaesta relacin para cuerpos negros a diferentes temperaturas.

En la figura 9, tambin se observa que, a determinada temperatura, existe un mximoen la potencia espectral emitida. La longitud de onda y la intensidad de ese mximo vara conla temperatura del cuerpo. La longitud de onda maxpara la cual la potencia espectral esmxima, se determina fcilmente, derivando la expresin (12), respecto de la longitud deonda.

)13(Wien.deLey8,28970)(

max,

KmTd

TEd B

==

6


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La potencia total emitida por unidad de rea, se determina integrando la expresin (12)en todas las longitudes de onda del espectro:

)14(Boltzmann-StefandeLey/1067,5/)( 428

0

4, KmWxTdTEE BB

===

1.3.b Emisin de un cuerpo real.La teora que permite modelar la potencia emitida por parte que un cuerpo real, es similar a la

del cuerpo negro, excepto quepara el cuerpo real, se agrega unfactor (0<


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)15()( 4

0

TAdTEAqG ==

donde se ha tenido en cuenta el rea de la superficie4. Sin embargo, para superficies reales, laintegral no es tan sencilla porque la emitancia depende de la longitud de onda y no puedesacarse afuera de la integral. No obstante ello y siendo tan sencilla la expresin (15), en loscasos reales se define una emitancia media. En la figura 10 se observa que el rea debajo de lacurva de la potencia espectral del cuerpo gris, es aproximadamente igual al encerrada por lapotencia espectral de la superficie real.

1.3.c. Absorcin de un cuerpo realLa potencia disipada por un cuerpo real, no slo depende de la energa que emite, sino

tambin de la energa que absorbe. Supongamos que sobre la superficie de un cuerpo incide lapotencia irradiada por otro cuerpo G(T)que se encuentra a temperatura T

5. Parte de lapotencia incidente ser absorbida por el cuerpo, parte de la potencia incidente ser reflejadapor el cuerpo, parte de la potencia incidente, ser transmitida.

)16(1

ciatransmitan

iareflectanc

aabsortanci

)()()()( =++

++=

TGTGTGTG

donde los factores definidos son espectrales, pues depende de la longitud de onda de laradiancia espectral incidente. Ejemplos de la vida diaria, tomando como fuente de energa elSol, ilustran ese hecho:

Agujero de la Capa de Ozono: La capa de ozono, cuando tiene un anchosignificativo, tiene una transmitancia casi nula en regiones del espectro ultravioleta, mientrasque atena relativamente poco las longitudes de onda del espectro visible. La disminucin delancho de la capa de ozono, tiene como consecuencia el aumento de esa transmitancia yperjudica la salud de nuestra piel.

Colores: Los colores que observamos en los diferentes objetos, se deben aque esos objetos reflejan la luz incidente en determinadas longitudes de onda y no en otras 6. Elnegro, tiene una reflectancia casi nula en todo el espectro. El blanco, tiene una reflectanciamuy alta en la regin del espectro visible. El rojo tiene una reflectancia muy alta en la regindel espectro visible correspondiente a ese color.

Cuando los cuerpos son opacos (no son transparentes, = 0) se verifica: + = 1.Esto se observa cuando se usa ropa negra en el verano. La reflectancia de la tela es muy baja ypor lo tanto, la absortancia muy alta, razn por la cual se siente ms calor que usando ropaclara.

1.3.d Potencia transferida por un cuerpo real.

Nos proponemos demostrar que la emitancia y absortancia espectrales de un cuerporeal son iguales (Ley de Kirchhoff) Para ello, volveremos a trabajar con un cuerpo negro, cuyocomportamiento terico es bien conocido (ecs. 12 y 15, fig.9).

Supongamos que nuestro sistema es un cuerpo real opaco y rgido a temperatura T quese encuentra adentro de una cavidad y que esa cavidad, se comporta como cuerpo negro atemperatura T. El sistema debe verificar el primer principio de la termodinmica.

rgidocuerpoundesepor tratar0/ === wqwqdt

dU

donde la variacin de energa interna depende de las variaciones de temperatura. El sistemaemite calor por radiacin (calor saliente): E(T) es la potencia espectral emitida por tratarsede un cuerpo real a temperatura T, donde E(T) est dada por la ecuacin (12). La cavidademite calor por radiacin G(T), dada por la ecuacin (12). Pero el sistema absorbe slo partede esa radiacin (calor entrante): G(T).

Si nuestro sistema est en equilibrio trmico con la cavidad (T = T), toda la potenciacalorfica que el sistema absorbe del cuerpo negro debe ser igual a la potencia calorfica que elsistema emite. As, para cada longitud de onda, se verifica:

)()( TETG = (17)

4Recordar que la ecuacin (12) expresa la potencia espectral por unidad de rea.5Para esa potencia incidente sobre el sistema, usamos otra letra de modo tal de distinguirla claramente de la

potencia emitida por el sistema.

6Es importante no confundir la potencia reflejada: G(T), con la potencia emitida: E(T).

8


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Como la potencia incidente G(T) sobre el sistema es la potencia espectral emitida porun cuerpo negro que actualmente est a temperatura T, la emitancia y absortancia espectralesde un cuerpo real son iguales.

== y)()( TETG (18)

La emitancia y absortancia de un cuerpo no dependen de la temperatura, slo

depende de la longitud de onda. Por lo tanto la absortancia y emitancia espectrales serniguales, an cuando el cuerpo real y el cuerpo negro estn a diferente temperatura T T. Eneste caso, la radiacin que emite el cuerpo negro es igual a la que incide sobre el sistema, perodiferente a la que el sistema emite:

)()()( TETGTE = (19)

En particular, si el sistema est a mayor temperatura que el cuerpo negro y la cavidad(T > T), el primer principio de la termodinmica indica que el sistema pierde calor. Y por lotanto la potencia neta transmitida por radiacin ser:

)( 4444 TTATATqr == (20)donde A es el rea del cuerpo que disipa calor (q r


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2. Primer Principio de la Termodinmicaaplicado a la Transferencia de Calor.La aplicacin del primer principio de latermodinmica nos permitir determinar cmo vara latemperatura de un sistema con el tiempo T(t)

Si suponemos que la temperatura del sistema euniforme (un punto del sistema est a la mismatemperatura que otro punto del sistema), la nicavariable que rige el anlisis del problema de latransferencia de calor es la temporal. Esta hiptesis,llamada sistema de mosaico, permite calcular T(t) eel caso no estacionario. Sobre el final de esta seccveremos cundo es vlida esa hiptesis.

s

nin,

La figura muestra un sistema cerrado queintercambia calor y trabajo (en forma de potencia) con el ambiente qamby wamby, adems,potencia elctrica welect, a travs de una resistencia. El primer principio de la termodinmicaindica:

electambamb wwqdt

dU= (1)

donde la potencia elctrica, en mdulo, est dada por: IVR

VRIwelect ===

22

El primer principio expresado en (1) considera que el trabajo entrante es negativo y porlo tanto, siguiendo esa convencin:

Gambambambambelect qwqRIwqdt

dURIw +=+== 22 / (2)

definindose as qG=I2R, la potencia calorfica generada por el sistema. Si, adems, el

sistema se encuentra en un ambiente a presin constante la suma de los calores es igual a lavariacin de entalpa:

RIqqqdt

dHGGamb

2/ =+= (3)

En particular, cuando el sistema es un slido de masa my calor especfico c:

Gamb qqdt

dTmc += (4)

En la primera seccin de estos apuntes, se describieron las distintas formas detransferencia de calor entre el sistema y el ambiente. Por lo tanto, dado un problema particular,se estar en condiciones de resolver la ecuacin (3), sustituyendo qambpor el mecanismo msadecuado. En ese sentido, se seala que la ecuacin (3) tiene en cuenta que la potencia q ambes

positiva cuando entra al sistema.Supongamos que el sistema es simplemente el conductor de resistencia R y queintercambia calor por conveccin con el ambiente. Cuando por l no circula corriente elctrica,su temperatura es T0, la temperatura del ambiente. Cuando comienza a circular una corriente Ipor el alambre, es de esperar que aumente su temperatura. Demostraremos eso planteando laecuacin (4) para el conductor de masa my calor especfico cy usando la relacin detransferencia de calor por conveccin:

( ) RITThAdt

dTcm 20 +=

donde hes el coeficiente de transferencia de calor por conveccin,Aes la superficie externadel conductor, T0es la temperatura del ambiente y Tes la temperatura que vara con el tiempo.

Obsrvese que la diferencia de temperaturas se ha tomado de modo tal que la potenciacalorfica intercambiada con el ambiente sea saliente al sistema y por lo tanto negativa:recuerde que la temperatura del conductor aumentar en el tiempo.

La ecuacin que surge de esta aplicacin sencilla, es una ecuacin diferencial que tienela siguiente solucin, si se toma en cuenta que la condicin inicial de la temperatura delalambre es la temperatura del ambiente:

Ah

cmTe

hA

RItT T

t

=+

=

/1)( 02

Analizando esa solucin, se observa que el conductor tiene una temperatura dergimen:

0

2

)( ThARItT +=

10


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y, como era de esperar, esa temperatura es mayor, cuanto mayor sea la potencia generada porel conductor y menor sea el coeficiente de transferencia de calor por conveccin o la superficieexterna a travs de la cual se produzca la disipacin.

La constante indica cun rpidamente llega el conductor a su temperatura de rgimen.Fijada la potencia elctrica y las propiedades fsicas del conductor, se observa que cuanto

mayor sea al producto hA(la transferencia de calor hacia el ambiente sea ms eficiente), elsistema tarda menos en llegar a su temperatura de rgimen.En el anlisis anterior, se ha ignorado el hecho de que el conductor tiene un radio o

espesor afinito y que la temperatura en su centro T(r=0) no tiene por qu ser la misma que latemperatura en la superficie T(r=a). Veremos en qu condiciones esta diferencia detemperaturas puede ser ignorada, o sea cundo es vlida la hiptesis de mosaico.

El circuito trmico del conductor que disipa potencia por conveccin, consiste en dosresistencias en serie: una resistencia trmica que representa los efectos de la conduccinRk(enel interior) y una resistencia trmica que representa los efectos de la conveccinRc.(en elexterior). Si bien el clculo de esas resistencias depende de factores geomtricos, podemosestimar su orden de magnitud como:

hAR

kA

aR ck

1

donde, para la conduccin se ha usado un ancho caracterstico del conductor (su radio a) ysu superficie externaA. Considerando que la potencia transferida debe ser la misma (ambasresistencias trmicas estn en serie) la diferencia de temperatura entre el centro del conductory su superficie, puede ignorarse, si:

1y1


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3. Ecuacin de Conduccin.

Hasta este momento, hemos expuesto los modos de transferencia de calor, haciendoincapi especial en los conceptos que ellos implican. En esta seccin, nos proponemos ampliarlo estudiado con referencia a la conduccin, combinando la variables tiempo y espacio en una

ecuacin que permita calcular T(r,t) y resolviendo esa ecuacin en algunos casos particularesde utilidad en el anlisis de problemas elctricos. En el curso de Ecuaciones Diferenciales seestudia ms detalladamente la solucin de la ecuacin de conduccin, tambin llamadaecuacin del calor.

3.1 Caso unidimensional.Comenzaremos analizando un sistema que

transfiere calor por conduccin en una direccin y encoordenadas rectangulares. La figura 1 muestra unsistema de ancho xque, adems de conducir calor (enforma de potencia) en la direccinx,genera calor (enforma de potencia) q

G. Aplicando el primer principio al

sistema, resulta:

dt

dHx + )xqqxq G +=+ ()( (1)

Dicho en palabras: el calor entrante y el calor generadotienen que ser igual al calor saliente y a los cambio deentalpa del sistema (dado que la presin es constante).Determinaremos la forma de cada unos de esos trminos:

Segn la ley de Fourier, el calor entrantees proporcional al gradiente de temperatura que seobserva en el punto de coordenadax 8:

xxTAkxq=)( (2)

Vale notar que se ha usado para el gradiente de temperatura la derivada parcial puesto que latemperatura ahora ser funcin de dos variables T(x,t). Para el calor saliente se tendr unarelacin muy similar, pero evaluada en (x+x).

En lugar de trabajar con la potencia qGgenerada por todo el sistema, convieneconsiderar la potencia genera por unidad de volumen: qG y si esa potencia estuniformemente distribuida en el sistema:

xAqq GG = (3)

Los cambios temporales de la energa del sistema, representados como cambios

de entalpa, dependern de la masa del sistema m (o su densidad = m/V), del calor especficodel sistema cy de las variaciones de la temperatura con el tiempo. Pero la temperatura no slovara en el tiempo sino que tambin vara en el espacio. Optamos por evaluar sus variacionestemporales en el punto medio del sistema:

22

xx

xx t

TcxA

t

Tcm

dt

dH

+

+

=

= (4)

Sustituyendo las ecuaciones (2),(3),(4) en la ecuacin (1) y dividiendo entre el reaAque figura en todos los trminos se tiene:

2

xx

G

xxx t

Tcxxq

x

Tk

x

Tk

++

=+

+

(5)

Dividiendo la ecuacin (5) entre xy tomando el lmite cuando x0, se tiene laecuacin del calor:

)6(1

lim0 t

Tcq

x

Tk

x

Tk

x

Tk

x

Tk

x G

xxxx

=+

=

+

Si adems, si la conductividad trmica kes constante, podemos definir la difusividadtrmicacomo9:

8No confunda la notacin empleada con la usada en el tema Potenciales Termodinmicos del curso FsicaTrmica.9La difusividad trmica es la capacidad que tiene un sistema de transportar energa y es muy importante en elestudio de la conveccin.

12


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c

k

t

T

k

q

x

T

t

Tcq

x

Tk GG

=

+

=+

/

12

2

2

2

(7)

3.2 Caso general.La ecuacin (7) ahora se puede generalizar para un caso general, sin importar la

geometra del problema, dado que el primer trmino, en una geometra ms compleja no es

otra cosa que el operador Laplaciano:

t

TcqTk G

=+ 2 (8)

donde se debe recordar que qG es la generacin de calor por unidad de volumen, la cual seconsider uniforme en todo el sistema.

La ecuacin general (8), puede resolverse computacionalmente para cualquiergeometra, dadas las condiciones de frontera adecuadas (ver demos de Matlab 6.0: pdex1.mque resuelve la ecuacin unidimensional, sin trmino de generacin). En este curso,comentaremos la solucin de la ecuacin en algunos casos particulares.

3.2.a Ecuacin de Laplace. Resistencia Trmica.Si se tiene un tubo cilndrico muy largo y hueco

por el que circula un fluido que lo mantiene atemperatura T1constante en su interior (radio interior a1),mientras el exterior est a temperatura constante T2T1(radio exterior a2). El sistema no genera calor, ni tienevariaciones de temperatura con el tiempo. La ecuacin deconduccin del calor es estacionaria y se llama ecuacinde Laplace. Como adems, el sistema tiene simetracilndrica, la temperatura slo depender de la distanciaradial rde un punto dentro del tubo.

0= drdTr

drd/0)(2 = rT (9)

donde se expresa la el operador laplaciano en coordenada cilndricas con simetra axial10.Es sencillo demostrar que la solucin de la ecuacin (9) es:

=

=

+=

1112

1

2

121

21

log

log

log)(

aCTC

aa

TTC

CrCrT (10)

donde la evaluacin de las constantes de integracin C1y C2deben verificar:T(a1) = T1 y T(a2) = T2

Si deseamos calcular la potencia calorfica que se trasmite por conduccin en el tubo,debemos considerar la ley de Fourier, pero en coordenadas cilndricas (con simetra axial):

)11(log

2)2()2()()(

1

2

211

==

=

=

aa

TTk

r

Crk

L

q

r

dTLrk

r

dTrAkrq k

rr

donde se hace notar que el reaA(r) a travs de la cual se transfiere calor vara con el radiopero, la potencia calorfica no depende de la posicin ry por lo tanto, se puede definir unaresistencia trmica para el tubo de largo L, dada por.

)12(2

log/ 1

2

21

Lk

aa

RR

TTq k

k

k

=

=

10Vale notar que esta ecuacin (sustituyendo la temperatura por el potencial elctrico) es idntica a la ecuacinque permite determinar cmo son las lneas equipotenciales en el interior de un medio dielctrico cilndrico einfinitamente largo.

13


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3.2 Superficies extendidas.Otra aplicacin de la ecuacin de conduccin

tiene que ver con la transferencia de calor combinada deconduccin y conveccin que tiene lugar en una aleta;por ejemplo las aletas de un disipador. Trataremos el c

en que la seccin de la aleta Ses recta (no depende dex),como muestra la figura 3. Otra variable importante en elanlisis ser el permetroPde la aleta que rodea laseccin. El material de la aleta tiene conductividadtrmica ky adems es enfriada por el aire circundantecon un coeficiente de conveccin h.

aso

La temperatura a lo largo de la aleta T(x), variarcon la coordenadaxmedida desde la base de la aleta queest a temperatura TB= T(x=0). El ambiente se encuentraa una temperatura T< TB.

En el interior de la aleta se conduce calor porconduccin, mientras que la aleta pierde calor porconveccin, a travs de su superficie externa. En la parteinferior de la figura se representa esa situacin para unelemento de la aleta de ancho x. La ecuacin de

conservacin del calor (ver figura inferior) indica que:

cqxxqxq ++= )()( (1)

Los calores de conduccin: q(x) y q(x+x) verifican la ley de Fourier. El calor que se disipapor conveccin verifica la ley de Newton pero es importante notar que la temperatura delelemento de ancho x, depende de su posicinxy debemos evaluarla, por ejemplo, en elpunto medio del elemento:

( )

+

++= TxxTAhdx

dTSk

dx

dTSk

xxx

)2

( (2)

donde de ha distinguido la seccin de la aleta Sde la superficieA=Pxque rodea al elementoy que es la que est expuesta a la corriente de conveccin. Dividiendo la ecuacin entre A:

( )+

+=

TxxTh

dx

dT

dx

dT

xP

Sk

xxx

)2( (3)

Tomando el lmite x0 surge la siguiente ecuacin diferencial:

( )= TxThdx

Td

P

Sk)(

2

2

(4)

Para resolverla ser ms sencillo hacer un cambio de variable (x) y sintetizar todas las

constantes del problema en una sola variable m:

kS

hPmxm

dx

dxh

dx

d

P

SkTxTx ===

222

2

2

2

/)()()()(

(5)

La solucin de esta ecuacin diferencial es de la forma:

kS

hPmeCeCx xmxm =+= /)( 21 (6)

Y, como en otros casos ya estudiados, las constantes de integracin C1y C2se evalanconsiderando las condiciones de borde de cada problema, en particular.

CASO 1:El problema ms sencillo de analizar es el de una aleta muy largade modo tal que

la temperatura de su extremo sea igual a la temperatura del ambiente11

:xmeCxTxTx == 2)(0)()( (7)donde el trmino con exponente positivo (creciente segnx) debe ser nulo. Considerando,adems, que en la base de la aleta, la temperatura en conocida, es fcil ver que:

xm

BBB exTTTxTx

==== )()0()0( (8)Ahora determinaremos una expresin de la resistencia trmica para la aleta. El calor

que entra a la aleta, desde su base y que se transfiere por conduccin, verifica la ley deFourier, evaluando el gradiente de temperatura en la base de la aleta:

14

11Es obvio que una aleta tiene un largo no infinito. Para aletas de largo L, existen soluciones de la ecuacin (6)ms complejas (ver bibliografa).


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( ==

==== TTkSPhSkmdx

dSk

dx

dTSkq BB

xx

B

00

) (9)

donde se ha derivado la expresin (8) y se la ha evaluado en x = 0. De ecuacin (9) surgeclaramente que toda la aleta puede considerarse como una resistencia trmica entre lastemperatura TBy-Tpor la que se disipa el calor qB:

( )kSPh

RR

TTq t

t

B

B1/ == (10)

la cual tiene en cuenta la combinacin de la transferencia de calor por conduccin a travs dela seccin Sy la conductividad trmica kde la aleta y la transferencia de calor por conveccina travs de el permetroPy el coeficiente h.

Por ltimo, para el sistema de aleta infinita, vale sealar que todo el calor que entra porconduccin desde la base, es igual a todo el calor que la aleta disipa por conveccin:

( )

== TTkSPhdxxPhq BtotalC0

, )( (11)

como se puede demostrar usando la solucin (x), dada por la ecuacin (8).

CASO 2: Cuando la temperatura en el extremo de la aleta no coincide con la temperatura delambiente, el calor que llega por conduccin al extremo, tiene que disiparse por conveccin:

(( )==

=== TLThLhdx

dk

dx

dTk

LxLx

))(

) (12)

Sustituyendo esta condicin en la solucin general (6) se determina que la resistenciatrmica de una aleta es:

( )( )

+

+=

mLmkhmL

mLmkhmL

kSPhRt coshsinh

sinhcosh1 (13)

donde se ha usado adems que:21)0( CCxTTB +=== (14)

Y la expresin (13) en la mayora de las aplicaciones prcticas es del mismo orden quela resistencia trmica calculada por fuerza bruta, o sea aquella que solamente tiene en cuentala transferencia de calor por conveccin en la aleta:

Tt

AhR

1 (15)

siendoATel rea total expuesta a la corriente convectiva. Por esta razn, muchos programascomerciales que ayudan a calcular la disipacin en sistemas electrnicos, usan esaaproximacin, sin entrar en el estudio detallado que hasta aqu se ha desarrollado.

15


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4. CONVECCIN

4.1 Nociones de Mecnica de losFluidos.

Para entender mejor los

parmetros significativos de laconveccin, se definirn (aunque no sedemostrarn) algunas conceptosimportantes en el campo de laMecnica de los Fluidos.En la figura se observa una superficieque transfiere calor al ambiente atemperatura T< Tspor conveccin. Lacorriente de aire, propulsada por unventilador viene desde la izquierda ytiene velocidad mxima u. El ancho de la capa lmite crece con lacoordenadax(medida desde el borde dentrada de la superficie). Se distdos regimenes de comportamiregin laminar(ordenada), que seobserva cerca del borde y la reginturbulenta(desordenada), queobserva ms all de una reginintermedia, llamada regin detransicin.

einguen

ento: la

se

4.1.a Ecuaciones de conservacin.El tratamiento clsico de la

conveccin utiliza tres leyes deconservacin muy conocidas en otroscampos de la Fsica y que provienen deaplicarlas al volumen de control

sealado en la figura. El VC est definido en el plano (x,y) porque se supone que las variablesno dependen de la coordenadaz. Determinaremos solamente de qu variables dependen esasecuaciones, para ver cules son relevantes al problema.

Conservacin de la masa. La velocidad del fluido que entra al VC segnxesu(x,y), y hay fluido que se desplaza segnycon velocidad v(x,y). Del curso de Fsica Trmicasabemos:

dt

dmmm vcse =

Pero, adems, sabemos que la masa que entra o sale del VC depende de la densidad del fluido, de su velocidad y del rea que atraviesa. Por lo tanto, la densidad del fluido juega un rollimportante (1,0kg/m3).

Conservacin de la cantidad de movimiento. La segunda ley de Newtonhabla de lasfuerzas inercialesque actan sobre el fluido y que son aquellas que verifican elteorema del trabajo y la energa o sea la ecuacin de Bernoulli, cuando el fluido esincompresible e irrotacional:

cteygu

P =++

2

2

dondePes la presin esttica del fluido,gla aceleracin gravitatoria y el segundo trmino dela ecuacin, corresponde a lafuerza inercial.

Pero adems, para un fluido existen otros dos tipos de fuerzas: los esfuerzos normales,perpendiculares a la superficie del VC (como las correspondientes a la presin estticaP) y losesfuerzos cortantes, paralelos a la superficie del volumen de control. En la figura se muestra,cules son las deformaciones que sufre el fluido, debido a esas fuerzas. Entonces, la presin esimportante en esta ecuacin. Los esfuerzos cortantes estn directamente relacionados con laviscosidad del fluido, la definen formalmente y se las conoce como fuerzas viscosas:

x

u

16


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Por lo tanto la viscosidad del fluido juega un roll importante ( 2 x 10-5N s/m2)12. Conservacin de la energa.Del curso de Fsica Trmica sabemos:

dt

dEhmhmWQ vcsseevcvc =+

y que la energa de un gas ideal (el aire) est relacionada con su calor especfico cpy la

temperatura del sistema. Por lo tanto la capacidad calorfica del aire juega un roll importante(cp 1,0kJ/kg K).

4.1.b. Nmeros adimensionados y la capa lmite.En el estudio de un fluido y muy especialmente en el clculo del ancho de la capa

lmite, tanto en rgimen laminar como en rgimen turbulento, se usan tres nmerosadimensionados que miden relaciones entre propiedades fsicas del fluido. Es importante notarque el ancho de la capa lmite vara con la coordenadax, medida desde el borde de lasuperficie que se desea enfriar y, por lo tanto, esos nmeros tambin dependern de esacoordenada.

Para definirlos, recordemos que son importantes: la densidad del fluido, la viscosidad, el calor especfico cpy dado que queremos observar el comportamiento del fluido en unproceso de transferencia de calor, sern importantes, tambin: la velocidad del fluido (usamosu, que es la que conocemos), la conductividad trmica del fluido kf y el coeficiente deconveccin h.

Nmero de Reynolds: compara cmo son las fuerzas inerciales, respecto de lasfuerzas viscosas. Usando las definiciones del prrafo conservacin de la cantidad demovimiento:

xu

u

u

x

= Re2viscosasfuerzas

inercialesfuerzas2

El nmero de Reynolds determina hasta qu distancia el fluido es laminar (Rex< 105) y a

partir de qu distancia, el fluido es turbulento (Rex> 2 x 105)13. Por ejemplo, si la velocidad

del fluido es de 7 m/s, se puede determinar que sobre una aleta existir rgimen laminar, sloen el caso en que la aleta tenga un largoL:

cmu

L 6,28105 =

Tran Ferenc i a Calor

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