UNIVERSIDAD NACIONAL AUTNOMA DE MXICO PROGRAMA DE POSGRADO

PROGRAMA DE MTRA. Y DOC. EN CIENCIAS MATEMTICAS Y DE LA ESP. EN EST. APL.

Programa de actividad acadmica

Denominacin: TOPOLOGA ALGEBRAICA

Clave: 62561 Semestre(s): 1,2,3,4 Campo de Conocimiento: Topologa No. Crditos: 9

Carcter: Obligatoria de eleccin Horas Horas por semana Horas al Semestre

Tipo: Terica Teora: 4.5 Prctica: 0 4.5 72 Modalidad: Curso Bsico Duracin del programa: Semestral

Seriacin: Sin Seriacin ( X ) Obligatoria ( ) Indicativa ( ) Actividad acadmica antecedente: Actividad acadmica subsecuente: Objetivo general: La topologa algebraica estudia los espacios topolgicos utilizando como herramienta al lgebra. A cada espacio topolgico X, se le asocia un grupo H(X), y a cada funcin continua f de X en Y, se le asocia un homomorfismo H (f) de H(X) en H(Y). Estos invariantes deben ser invariantes topolgicos, en el sentido de que, si el espacio X es homeomorfo al espacio Y, entonces los grupos H(X) y H(Y) deben ser isomorfos. El objetivo del curso es estudiar dos de los invariantes ms importantes: los grupos de homotopa y los grupos de homologa. Objetivos especficos: Estudiar los grupos de homotopa y su relacin con las aplicaciones cubrientes. Estudiar los grupos de homologa y las propiedades que permiten caracterizar una teora de homologa. Calcular los grupos de homologa de los espacios llamados complejos CW y ver algunas aplicaciones geomtricas de estos clculos.

ndice Temtico

Horas Unidad Tema Tericas Prcticas 1 Unidad I. 11 0 2 Unidad II. 11 0 3 Unidad III. 11 0 4 Unidad IV. 10 0 5 Unidad V. 10 0 6 Unidad VI. 10 0 7 Unidad VII. 9 0

Total de horas: 72 0 Suma total de horas: 72

Contenido Temtico

Unidad Tema y Subtemas

1

Unidad I. Grupo fundamental 1.1 Propiedades bsicas. 1.2 Teorema de Seifert-Van Kampen.

2

Unidad II. Espacios cubrientes 2.1 Ejemplos (R S y XX/G) 2.2 Teoremas del levantamiento y de existencia de espacios cubrientes. 2.3 Clculo del grupo fundamental de S y de RPn 2.4 Aplicaciones. 2.4.1 Teoremas del punto fijo de Brouwer en dimensin de

2 y de Borsuk-Ulam para S

3

Unidad III. Espacios de lazos y grupos de homotropa (X, x0) si n es mayor o igual a 2. Definiciones y conmutatividad para estos grupos.

4

Unidad IV. Homologa singular 4.1 Invariancia homotpica. 4.2 Relacin entre Relacin entre 1 (X, x0) y H1(X)

5

Unidad V. Sucesin exacta de homologa 5.1 Teorema de escisin. 5.2 Sucesin de Mayer-Vietoris.

6

Unidad VI. La homologa de Sn 6.1 Aplicaciones. 6.1.1 Teoremas de campos vectoriales sobre Sn6.1.2 Teorema de separacin de Jordan- Brouwer. 6.1.3 Teorema de invariancia del dominio. 6.1.4 Teorema fundamental de lgebra. 6.1.5 Teorema de punto de Brouwer.

7

Unidad VII. Complejos esfricos y celulares (CW- complejos) 7.1 Clculo de la homologa de RPn, CPn; y superficies cerradas. 7.2 Nmeros de Betti. 7.3 Caracterstica de Euler-Poincar.

Bibliografa Bsica:

- MASSEY, W, A BASIC COURSE IN ALGEBRAIC TOPOLOGY, SPRINGER-VERLAG, -------------------------, 1991. - SPANIER, E, ALGEBRAIC TOPOLOGY, SPRINGER-VERLAG, -------------------------, 1981. - AGUILAR, M. A., S. GITLER y C. PRIETO, TOPOLOGIA ALGEBRAICA: UN ENFOQUE HOMOTOPICO, MCGRAW HILL-UNAM, MEXICO, 1998. Bibliografa Complementara: - GREENBERG, M y J. HARPER, ALGEBRAIC TOPOLOGY, A FIRST COURSE, ADDISON WESLEY, -----------------------, 1981.

Sugerencias didcticas: Exposicin oral (X) Exposicin audiovisual ( ) Ejercicios dentro de clase (X) Ejercicios fuera del aula (X) Seminarios (X) Lecturas obligatorias ( ) Trabajo de Investigacin ( ) Prcticas de taller o laboratorio ( ) Prcticas de campo ( ) Otros:

Mecanismos de evaluacin de aprendizaje de los alumnos: Exmenes Parciales (X) Examen final escrito (X) Trabajos y tareas fuera del aula (X) Exposicin de seminarios por los alumnos ( ) Participacin en clase (X) Asistencia ( ) Seminario ( ) Otras:

Lnea de investigacin: Perfil profesiogrfico: Maestro o Doctor en Ciencias Matemticas.