1

Tentamen Water – 8 november 2007 13.30 – 17.00 uur Naam: ……………………………………………………

Studentnummer: …………………………………………

Algemene informatie • Dit is een gesloten-boek tentamen. Dat wil zeggen dat geen gebruik mag worden

gemaakt van het dictaat, aantekeningen of ander hulpmateriaal zoals laptop of mobiele telefoon.

• Er mag wel gebruik worden gemaakt van een rekenmachine en van het bijgevoegde formuleblad.

• Er zijn vier vragen die ieder evenveel meewegen in het eindcijfer. Per subvraag is aangegeven hoeveel punten je ermee kan verdienen. Het totaal aantal punten is 100.

• Als je klaar bent met het tentamen dan lever je niet alleen je antwoordbladen in, maar ook de vragen.

Vraag 1 – Hydrologie

Een meer is 20 ha groot en gemiddeld 3 m diep. Het neerslagoverschot boven het gebied dat op het meer afwatert bedraagt 350 mm/jaar. Dit leidt tot een totale afstroming naar het meer (via beekjes en grondwater) van 15 miljoen m3 per jaar. De neerslag op het meer is 750 mm per jaar, terwijl er 650 mm per jaar verdampt. Een klein riviertje zorgt voor de afwatering van het meer. Het waterniveau over het jaar blijft constant. a. Wat is het gemiddelde debiet van het riviertje dat het meer verlaat (in m3/s)? (4

punten) b. Wat is de gemiddelde verblijftijd van het water in het meer? (4 punten) c. Noem twee redenen waarom we praten over de gemiddelde verblijftijd van het

water in het meer. (3 punten) d. Hoe groot (in km2) is het stroomgebied dat op het meer afwatert? (3 punten) Tweederde van het meervolume bestaat uit dode berging. De rest is actieve berging, dat wil zeggen dat dit deel van het meer tot afstroming kan komen via het riviertje. Het rivierdebiet is lineair afhankelijk van het actieve bergingsvolume in het meer: Q = c × S. Waarin Q staat voor het rivierdebiet en S voor het actieve meervolume. e. Wat is de waarde van c? Vergeet niet de eenheid van c te vermelden. (3 punten) f. Stel de waterbalans van het stuwmeer op. Vul alle bekende waarden in de

waterbalans in en druk de verandering van het actieve-meervolume S over de tijd uit als functie van c en S. (4 punten)

g. Veronderstel dat vanaf een bepaald moment de instroom naar het meer nul is en

de netto neerslag ook nul. Men wil de afname van het meervolume berekenen door de waterbalansvergelijking numeriek op te lossen. Welke tijdstap zou daarvoor geschikt zijn? (4 punten)

2

Vraag 2 – Hoogwaterbescherming

Om de kans op overstromen van een rivier te verminderen worden er twee alterna-tieven bekeken: dijken verhogen of het winterbed (de uiterwaarden) verlagen. De ontwerpafvoer die gemiddeld eenmaal per 1250 jaar wordt overschreden is 15.400 m3/s. Het bestaande dwarsprofiel van de rivier ziet er als volgt uit:

1200 m + NAP 15 m dijk zomerbed winterbed 10 m

5 m 200 m

De bodemhelling is 2×10-4, de bodemwrijvingscoefficient cf = 0,004. De zwaartekrachtversnelling is: g = 9,81 m/s2. a. Bepaal en schets de Q-h kromme voor deze rivier. Zet Q op de x-as en h op de y-

as. (8 punten) b. Hoe hoog moet de dijk worden om de ontwerpafvoer zonder overstromingen te

kunnen verwerken? Antwoord op 10 cm nauwkeurig is voldoende. (8 punten) c. Hoeveel meter moeten de uiterwaarden worden afgegraven om bij de bestaande

dijkhoogte geen overstroming te krijgen bij de ontwerpafvoer? Antwoord op 5 cm nauwkeurig. (9 punten)

3

Vraag 3 – Watervoorziening

De vraag naar water langs de Crocodile River is groter dan het aanbod van de rivier. De gemiddelde jaarlijkse aanvoer van de rivier bedraagt 400 m3/s, maar in de droge tijd stroomt er maar 25 m3/s in de rivier. Zie de gemiddelde maandelijkse afvoeren en de watervraag in de onderstaande tabel.

Maand Debiet (m3/s)

Watervraag (m3/s)

Jan 1000 50 Feb 1000 50 Mrt 500 50 Apr 250 75 Mei 100 100 Jun 50 100 Jul 25 100

Aug 25 100 Sep 25 100 Okt 25 100 Nov 800 50 Dec 1000 50

Om de watervoorziening in de droge tijd te vergroten heeft Ingenieursbureau DamIt een stabiele stuwdam ontworpen zoals weergegeven in onderstaand figuur. De bergingscapaciteit van het stuwmeer bedraagt 1000 miljoen m3. De vereiste afvoer benedenstrooms van de dam bedraagt minimaal 40% van het natuurlijke debiet in de droge tijd (apr-okt) en minimaal 10% in de natte tijd (nov-mrt). [Dit betekent dat bijvoorbeeld in april 40% van het debiet van 250 m3/s doorgelaten moet worden om ook benedenstrooms van de dam nog water in de rivier te hebben.]

Verder is gegeven: • Afmetingen stuwdam: H = 25 m, X = 10 m, B = 0,5 km • Waterhoogte bij maximale berging en wateropstuwing: h = 24 m • De zwaartekrachtversnelling: 9,81 m/s2. • De dichtheid van water: 1000 kg/m3 • De dichtheid van het materiaal van de massieve stuwdam: 2500 kg/m3 a. Is de bergingscapaciteit voldoende om te allen tijde in de watervraag te kunnen

voorzien? Onderbouw je antwoord met een berekening. (6 punten) b. Gegeven een maximale waterstand achter de dam: Hoe groot is de horizontale

kracht die het water op de dam uitoefent? (6 punten) c. Hoe groot is de neerwaartse kracht die de dam op de ondergrond uitoefent? (6

punten) d. De grond wekt een opwaartse tegenkracht op die even groot is als de neerwaartse

kracht. Het middelpunt van die opwaartse kracht ligt rechts van het midden van de damconstructie. Hoeveel meter uit het midden precies? (7 punten)

waterspiegel

H h

X

4

Vraag 4 – Waterkwaliteit Een rivier stroomt door een meer. Het meer kan beschouwd worden als cirkelvor-

mig met diameter D (en dus omtrek πD en oppervlakte ¼ πD2) en diepte h. De stro-ming in de rivier is stationair. Zowel in de rivier als in het meer bevindt zich organisch materiaal, waarvan de concentratie wordt weergegeven met L, de concen-tratie BOD (biochemische zuurstofvraag). Via de oevers van het meer vindt een lozing van organisch materiaal plaats, veroorzaakt door de landbouw rondom het meer. De lozing is gemeten aan de oever van het meer en bedraagt qBOD (mg/s) per strekkende meter oever. Er wordt aangenomen dat de lozing overal rondom het meer dezelfde intensiteit heeft. De hoeveelheid water die door de lozing het meer inkomt is verwaarloosbaar. Neem aan dat in het meer volledige menging optreedt. Afmetingen meer: D = 860 m, h = 6 m Rivierdebiet: Q = 25,5 m3/s Afbraakcoëfficiënt voor BOD: K = 1,5 dag-1 a. Stel voor het meer de massabalans op voor organisch materiaal. Schrijf deze om

in een uitdrukking voor ΔL/Δt. (10 punten) b. Neem vanaf nu aan dat de hoeveelheid organisch materiaal dat het meer in-

stroomt via de rivier verwaarloosbaar klein is. Tot een tijdstip t=0 was boven-dien de lozing van organisch materiaal op het meer gelijk aan nul en was de concentratie BOD in het meer verwaarloosbaar. Vanaf t=0 wordt er door de omliggende landbouw een hoeveelheid organisch materiaal geloosd, gelijk aan qBOD = 325 mg/s/m. Het meer is volledig omringd door landbouwgrond. Vanuit milieu-oogpunt mag de concentratie BOD in meer niet hoger zijn dan 3 mg/l. Maak een schatting van de tijd die verloopt vanaf t=0 totdat de norm wordt overschreden. Bereken de toename van BOD in het meer in discrete tijdstappen en maak gebruik van een tijdstap van 0,05 dag. (10 punten)

c. Gegeven is dat het exacte concentratieverloop in het meer ook is te beschrijven

met behulp van de volgende vergelijking:

QK tVBODq * DL( t ) 1 e

K V Qπ ⎛ ⎞− +⎜ ⎟

⎝ ⎠⎡ ⎤∗

= −⎢ ⎥∗ + ⎢ ⎥⎣ ⎦

waarin V staat voor het volume van het meer. Stel dat de lozing niet gestopt wordt. Wat wordt dan uiteindelijk de concentratie in het meer? (5 punten)

5

Formuleblad

waterbalans (algemeen) S Instroom Uitstroomt

ΔΔ

= −

hoeveelheid neerslag t

0

d i dt= ∫ (i=regenintensiteit)

potentiële

evapotranspiratie p 0E Eα=

actuele

evapotranspiratie a pE E≤ en over een langere periode: aE P I≤ +

netto neerslag net aP P E= −

lineair reservoir SQk

= (Q=afvoer, S=bergingsvolume, k=verblijftijd)

waterbalans van een

stroomgebied netS P A Qt

ΔΔ

= × − (A=oppervlak)

afvoer uit een stroomgebied differentiaalvergelijking: ( )net

dQ 1 P A Qdt k

= × × −

numerieke oplossing: ( )n 1 n net n1Q Q P A Q tk

Δ+ = + × × − × , met t 0,1 kΔ ≤ ×

analytische oplossing: 1 1t tk k

net 0Q( t ) P A 1 e Q e− −⎛ ⎞

= × × − + ×⎜ ⎟⎝ ⎠

halveringstijd halft ln( 2 ) k= ×

relaxatietijd rt k=

overschrijdingskans

volgens Weibull ( )mmP Q QN 1

> =+

(N=totaal aantal metingen, m=aantal metingen waarin Q≥Qm)

overschrijdingskans in een periode van N jaar ( )( )NmJ 1 1 P Q Q= − − >

herhalingstijd ( )( )m

m

1T Q QP Q Q

> =>

stationaire uniforme oppervlaktewater-

stroming stroomsnelheid:

12

f

g h Iu c⎛ ⎞× ×

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

6

afvoer:

13 22

f

g IQ B h c⎛ ⎞×

= × ⎜ ⎟⎝ ⎠

grondwaterstroming

volgens de wet van Darcy filtersnelheid: dhq Kdx

= − ×

grondwaterdebiet: Q A q= ×

werkelijke stroomsnelheid: qvn

= , waarbij porositeit s

t

Vn 1 - V

=

kweldebiet door een dam ( )2 22 1

2 1

h h1Q K l2 x x

−= − × ×

−

waterbalans stuwmeer in uitS Q P A Q E At

ΔΔ

= + × − − ×

als stuwmeer rechthoekige bak is met oppervlak A: in uitQ Qh P Et A

ΔΔ

−= + −

numerieke oplossing: in,n 1 uit ,n 1n 1 n n 1 n 1

Q Qh h P E t

AΔ+ +

+ + +

−⎛ ⎞= + + − ×⎜ ⎟

⎝ ⎠

waterdruk ap p g hρ= + × ×

horizontale drukkracht

op dam 1 2

h 2F g h Bρ= × × × ×

stabiliteit stuwdam krachtenevenwicht: ∑ Fx = 0 en ∑ Fz = 0

momentenevenwicht: ∑ Ty = 0 tegengaan opdrijven: opw neerwF g V F door gewicht damρ= × × <

stofbalans 1 2M T T G Dt

ΔΔ

= − + − (T=transport, G=groei, D=afbraak, M=massa=S×c)

1 2T T G Dct S

ΔΔ

− + −=

stationaire toestand (Δc/Δt=0): 1 2T T G D 0− + − =

menglengte 2

mixBL 8 h≈ ×

menging bij

samenvloeiing 1 1 2 23

1 2

Q c Q ccQ Q× + ×

=+

7

lineaire afbraak D K M= ×

concentratieverloop over lengte van rivier

in stationaire toestand en bij afwezigheid van aanmaak: c K cx u

ΔΔ

= − ×

numerieke oplossing: nn 1 n

K cc c xu

Δ+

×⎡ ⎤= − ×⎢ ⎥⎣ ⎦

, met 0,1xK / u

Δ ≤

analytische oplossing: K xu

0c( x ) c e−

= ×

halveringsafstand ( )ln 2/hx K u

=

relaxatieafstand ruxK

=

verloop watertemp. over lengte van rivier ( )a

dT K T Tdx u h

= − × −×

T=watertemperatuur Ta=luchttemperatuur K=warmte-overdrachtscoëfficiënt u=stroomsnelheid h=waterdiepte

concentratieverloop

BOD over lengte rivier afbraak BOD: LD A K L xΔ= × × ×

in stationaire toestand en bij afwezigheid van aanmaak: LKL L( x )x u

ΔΔ

= − ×

numerieke oplossing: L nn 1 n

K LL L xu

Δ+

×⎡ ⎤= − ×⎢ ⎥⎣ ⎦

analytische oplossing: ( )LK xu

0L x L e×

−= ×

concentratieverloop O2 over lengte rivier

zuurstofopname uit de atmosfeer: c sG A K (c c ) xΔ= × × − ×

zuurstofverlies door oxidatie: LD A K L xΔ= × × ×

stationaire toestand: L c sK L K ( c c )cx u

ΔΔ

× − × −= −

analytische oplossing: cL K xK x

u us 0 0 s 0c( x ) c L e ( c c L ) e

− −= + × + − − ×

nutriëntenbalans in een meer

als aanmaak nul is: in in uitM Q c Q c K S ct

ΔΔ

= × − × − × ×

8

tijdsverloop nutriënten-concentratie in een meer in

c Q Qc K ct S S

ΔΔ

⎛ ⎞= × − + ×⎜ ⎟⎝ ⎠

(gegeven dat Qin = Quit = Q)

bij afbreekbare stof en Q=0: K t

0c( t ) c e−= ×

bij conservatieve stof en cin = 0: Q tS

0c( t ) c e− ×

= ×

tijdsverloop algen-concentratie in een meer

in in uitQ P Q PP ( g d ) Pt S

ΔΔ

× − ×= + − ×

stoftransport T Q c= ×

Shieldsparameter:

( )

2Dc u

s 1 g Dθ

×=

− × ×

sedimenttransport Meyer-Peter en Muller: ( ) ( )3 / 23sq 8 s 1 g D 0.047µ θ= × − × × × × −

Engelund en Hansen: ( )5 / 2

3s

D

q 0,05 s 1 g Dcθ

= × − × × ×

qs=sedimenttransport (volume korrels per tijdseenheid) per strekkende meter

foutenleer )x = x ( 1 - n

)x - x( = s gem

i2

n

=1i2∑

s n

1 = s s n 1 =

1) - n(n

) x - x ( = s gem

2

2 i

n

=1

i gem

2 ⋅ ⋅ ∑

kleinste kwadratenmethode

y=Ax x

y x = A

2i

n

=1i

ii

n

=1i

∑

∑

1 - nK

x

1 = s2i

n

=1i

2A

min

∑ ) Ax - y ( = K ii

2n

=1i. ∑min

Funktie z = f (a,b) relatie tussen Δa, Δb en Δz

z = a+b of z = a-b Δz = Δa+Δb

z = ab of z = a/b Δz/|z| = Δa/|a| + Δb/|b|

z = an (n reëel getal) Δz/|z| = |n| Δa/|a|

z = ln a Δz = Δa/|a|

z = log a = (0,434) ln a Δz = 0,434 Δa/|a|

z = ea Δz/|z| = Δa

Functie z = f(a,b) relatie tussen sa, sb en sz

z = a+b of z = a-b sz2 = sa2 + sb2

z = ab of z = a/b (sz/z)2 = (sa/a)2 + (sb/b)2

z = an (n reëel getal) sz/z = |n| sa/|a|

z = ln a sz = sa/a

z = log a = (0,434) ln a sz = 0,434 sa / a

z = ea sz / z = sa