Naam: Wiskundigen - math.leidenuniv.nldesmit/edu/la1na_2009/oude_tentamens.pdf · Tentamen Lineaire...

Naam:

WiskundigenTentamen Lineaire Algebra 1

Donderdag 18 december 2008, 10.00-13.00

(1) Bepaal voor alle reele waarden van a de rang van de matrix

Ca =

1 a 1a 0 21 −2 −4a

.

(2) Zij n ≥ 2 een geheel getal en laat Pn de vectorruimte van alle polynomenmet coefficienten in R zijn van graad ten hoogste n. Zij T : Pn → R3 delineaire afbeelding gegeven door

T (f) =(f(−1), f(0), f(1)

).

Je hoeft niet te bewijzen dat T lineair is. Laat E de standaardbasis van R3

zijn en B de basis (1, x, . . . , xn) van Pn.(a) Bepaal [T ]BE in het geval dat n = 3.(b) Zij v1 = (4, 1, 1), v2 = (0, 2,−1) en v3 = (1,−1, 1). Laat zien dat

C = (v1, v2, v3) een basis is voor R3 en bepaal [T ]BC in het geval datn = 3.

(c) Wat is de dimensie van de kern van T voor algemene n ≥ 2?

(3) Gegeven is de matrix A =(

1 22 −2

).

(a) Geef een inverteerbare matrix C en een diagonaalmatrix D zodanigdat D = C−1AC.

(b) Bereken An voor elk positief geheel getal n.

(4) Het vlak W ⊂ R3 is gegeven door x1 + 2x2 − x3 = 0 en b is de vector(−3,−1, 1).(a) Bepaal een orthonormale basis voor W (met betrekking tot het stan-

daard inproduct).(b) Bepaal b1 ∈ W en b2 ∈ W⊥ zodanig dat b = b1 + b2.(c) Bewijs dat voor alle x ∈ W geldt ||b− x|| ≥ ||b2||.(d) Bereken de afstand van het punt (−3,−1, 1) tot W .

(5) Zij n een positief geheel getal en a, b ∈ Rn vectoren zodanig dat 〈a, a〉 =〈b, b〉 = 1 en 〈a, b〉 = 0 (〈x, y〉 staat voor het standaard inproduct op Rn).De afbeelding L : Rn → Rn wordt gegeven door

L(x) = 〈a, x〉 · b.(a) Toon aan dat L een lineaire afbeelding is.(b) Laat zien dat L2 de nulafbeelding is.(c) Toon aan dat 0 de enige eigenwaarde van L is.(d) Leg uit of L diagonaliseerbaar is.

1

2

(6) WAAR of NIET WAAR? (geen uitleg nodig)(a) Als A een m × n matrix is van rang m, dan is de lineaire afbeelding

LA : Rn → Rm, x 7→ Ax injectief.(b) Als A een m × n matrix is van rang n, dan is de lineaire afbeelding

LA : Rn → Rm, x 7→ Ax injectief.(c) Als A een m × n matrix is van rang m, dan is de lineaire afbeelding

LA : Rn → Rm, x 7→ Ax surjectief.(d) Als A een m × n matrix is van rang n, dan is de lineaire afbeelding

LA : Rn → Rm, x 7→ Ax surjectief.(e) Als V een eindig voortgebrachte vectorruimte is met basis B en

f : V → V en g : V → V zijn lineaire afbeeldingen, dan geldt

[f ]BB · [g]BB = [f ◦ g]BB .

(f) Als V een vectorruimte is en v1, v2, v3 ∈ V zijn eigenvectoren vaneen lineaire afbeelding T : V → V , bijbehorende bij drie verschillendeeigenwaarden, dan zijn v1, v2, v3 lineair onafhankelijk.

(g) Als T : V → V een lineaire afbeelding is van een vectorruimte V naarzichzelf, dan is T−1(b) een lineaire deelruimte voor alle b ∈ V .

(h) Als een vierkante matrix A diagonaliseerbaar is, dan is A inverteerbaar.(i) Als een vierkante matrix A inverteerbaar is, dan is A diagonaliseerbaar.

TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 1A

maandag 16 december 2002, 10.00-12.00.

Coordinaten zijn gegeven t.o.v. een standaardbasis in Rn.

1. De matrix A en de vector b ∈ R4 zijn gegeven door

A =

1 0 1 2 0−1 1 4 3 −20 1 3 3 −12 −2 −2 0 1

, b =

164−3

.

a. Los de vergelijking Ax = b op voor x ∈ R5.

b. Bepaal een basis voor de rijruimte en voor de kolomruimte van A.

2. Voor de lineaire afbeelding T : R3 → R3 geldt:T (1, 2, 0) = (5,−2, 3), T (0, 1, 2) = (3, 5,−2), T (2, 0, 1) = (−2, 3, 5).

Ga na of T inverteerbaar is. (Het is niet nodig de matrix van T−1, indien dezebestaat, te berekenen.)

3. V ⊂ R4 is het 2-vlak door de punten A(1,−1, 2,−3), B(2, 2,−2, 0) en C(1, 4,−4, 2),en W is de lineaire deelruimte die parallel is met V .

a. Bepaal een parametervoorstelling voor V .

b. Bepaal een minimaal stelsel vergelijkingen voor W⊥.

b. Bepaal de coordinaten van het snijpunt van V met W⊥.

4. Beschouw de afbeelding S : R2 → R2 gegeven door S(x1, x2) = (x1, λx2) metλ ∈ R. Meetkundig stelt deze afbeelding een (lijn)vermenigvuldiging t.o.v. de lijnx2 = 0 in R2 voor.

a. Bewijs dat S een lineaire afbeelding is.

Analoog kunnen we lijnvermenigvuldiging t.o.v. een andere lijn door de oorsprongdefinieren. Zij ` de lijn in R2 met vergelijking 2x1 + x2 = 0 en S`,−2 : R2 → R2

de lijnvermenigvuldiging t.o.v. de lijn ` met een factor −2. S`,−2 is een lineaireafbeelding.

b. Bepaal de matrix van S`,−2 t.o.v. de standaardbasis.

5a. Ga na of er een 3× 3-matrix A bestaat zodat rang(A) = 2 en rang(A2) = 1.

b. Ga na of er een 3× 3-matrix A bestaat zodat rang(A) = 2 en A2 = 0.

LINEAIRE ALGEBRA 1A; 16 december 2002. Antwoorden.

1a. Een mogelijke rijtrapvorm is:

1 0 1 2 0 | 10 1 3 3 −1 | 40 0 2 2 −1 | 3

.

De oplossingsverzameling is span{(1, 0, 1,−1, 0), (−1,−1, 1, 0, 2)}+ (0, 0, 1, 0,−1).

b. Een basis voor de rijruimte is {(1, 0, 1, 2, 0), (0, 1, 3, 3,−1), (0, 0, 2, 2,−1)}.Een basis voor de kolomruimte wordt gegeven door de eerste drie kolomvectorenvan A.

2. T is inverteerbaar precies indien de rang van T gelijk is aan 3. Het is dus voldoendeom na te gaan dat de matrix van de beeldvectoren inverteerbaar is:

5 −2 33 5 −2−2 3 −5

.

Dit is in te zien door de matrix in rijtrapvorm te brengen. Uiteraard kan ookeerst de matrix van T worden bepaald en vervolgens kan hiervan de rang wordenbepaald. De matrix van T t.o.v. de standaardbasis is:

−1 3 00 −1 33 0 −1

.

3a. Een p.v. voor V is bijvoorbeeld

span{(1,−2, 2,−2), (1, 3,−4, 3)}+ (2, 2,−2, 0).

b. Een minimaal stelsel vergelijkingen voor W⊥ is dus:

{x1 − 2x2 + 2x3 − 2x4 = 0x1 + 3x2 − 4x3 + 3x4 = 0

c. Het snijpunt vinden we door de p.v. van V in te vullen in het stelsel vergelijkingenvan W⊥: dit geeft het stelsel vergelijkingen

{ 13t− 19u = 6−19t + 35u = −16

, waarvan de

oplossing is t = u = −1. Het snijpunt is (0, 1, 0,−1).

4a. Laten zien dat T (u+v) = T (u)+T (v) en T (λu) = λT (u) voor u, v ∈ R2 en λ ∈ R.

b. S′ := S`,−2 is bepaald door de beelden van twee basisvectoren: S′(1,−2) = (1,−2)en S′(2, 1) = (−4,−2). De matrix van S′ is dan

(1 −4−2 −2

)·(

1 2−2 1

)−1

=(−7/5 −6/5−6/5 2/5

).

5a. Een voorbeeld van zo’n matrix is A =

0 1 ∗0 0 10 0 0

.

b. Zo’n matrix bestaat niet: uit A2 = 0 volgt dat A(R3) ⊂Ker(A). Echter dimA(R3) = rang(A) = 2 en dim(Ker(A))=3-rang(A)=1, en dit geeft een tegenspraak(immers uit W ⊂ V volgt dim(W ) ≤ dim(V ) voor lineaire deelruimten V,W ).


dinsdag 28 januari 2003, 14.00-16.00.

Coordinaten zijn gegeven t.o.v. een standaardbasis in Rn.

1. De matrix A en de vector b ∈ R4 zijn gegeven door

A =

1 1 0 1 1−1 0 0 1 20 1 2 1 00 1 2 0 −1

, b =

070−3

.

a. Los de vergelijking Ax = b op voor x ∈ R5.

b. Heeft de matrix A een links- of een rechtsinverse? Verklaar je antwoord.

2. V ⊂ R4 is het 2-vlak door de punten A(2,−1,−1, 3), B(0, 1,−1, 1) en C(−1, 3,−2, 0).

a. Bepaal een parametervoorstelling van V .

b. Bepaal een minimaal stelsel vergelijkingen voor V .

3a. Bepaal voor alle a ∈ R de rang van de matrix

Da =

1 −a −3a 0 −11 1 1

.

b. Bereken de inverse matrix van D0.

4. Gegeven zijn in R2 de lijnen ` : 3x1 + x2 = 0 en m : 2x1 − x2 = 0. T : R2 → R2 isde projectie op ` langs m, m.a.w. het beeld T (P ) van een punt P wordt verkregendoor de lijn m′ door P en evenwijdig aan m te snijden met `. T is een lineaireafbeelding.

Bepaal de matrix van T t.o.v. de standaardbasis.

5. A is een m× n-matrix en B een n× n-matrix.

a. Bewijs dat rang(AB) ≤ rang(A).

b. Geef een voorbeeld van matrices A,B zodat B niet de nulmatrix is en rang(AB) <rang(A).

c. Laat zien dat voor B inverteerbaar geldt: rang(AB) = rang(A).

Antwoorden van het tentamen van 28 januari 2003:

1a. u(1,−1, 1,−1, 1) + (−2,−1, 0, 1, 2).

b. rang is 4 dus er is een rechtsinverse.

2a. s(1,−1, 0, 1) + t(1,−2, 1, 1) + (0, 1,−1, 1).

b. x1 + x2 + x3 = 0, x4 − x1 = 1.

3. rang(Da) = 3, behalve voor a = 1; dan is de rang 2.

b. D−10 =

1 −3 0−1 4 10 −1 0

.

4. T =(

2/5 −1/5−6/5 3/5

).

5a. Als b1, . . . , bn de kolomvectoren van B zijn dan is de rang van AB de dimensievan span{Ab1, . . . , Abn}. Deze lineaire deelruimte ligt in A(Rn) dus de dimensie iskleiner dan de rang van A. Anders: B(Rn) ⊂ Rn dus A(B(Rn)) ⊂ A(Rn), en dus

rang(AB) = dim A(B(Rn)) ≤ dim A(Rn) = rang(A).

b. Bijvoorbeeld A =(

1 00 0

)en B =

(0 00 1

).

c. Volgens (a) geldt: rang(A) = rang(ABB−1) ≤ rang(AB) ≤ rang(A).Dus geldt in de bovenstaande regel overal gelijkheid.

TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 1B

donderdag 3 april 2003, 9.00-11.00.

1. Gegeven is de matrix

A =

1 0 22 3 −22 2 5

a. Laat zien dat het karakteristieke polynoom χA(X) van A gelijk is aan−X3 + 9X2 − 23X + 15.

b. Bepaal de eigenwaarden en eigenvectoren van A.

c. Bepaal een inverteerbare matrix C en een diagonaalmatrix D zodat A = CDC−1.

d. Toon aan, m.b.v. (c), dat χA(A) = −A3 + 9A2 − 23A + 15 = 0.

2. Beschouw de differentiaalvergelijking

y′′(t) + 6y′(t) + 13y(t) = 0 (∗)voor t ∈ R.

a. Bepaal de algemene oplossing van de differentiaalvergelijking. Geef de oplossing alseen lineaire combinatie van reele functies.

b. Bepaal de oplossing y(t) van de differentiaalvergelijking (∗) waarvoor geldt:y(0) = 1 en y′(0) = −2.

3a. Bepaal de oplossing (y(t), z(t)) van het volgende stelsel eerste-orde-differentiaalvergelijkingen{

y′(t) = y(t) + 2z(t)z′(t) = 2y(t) + z(t)

zodat y(0) = z(0) = 1.

4. Bepaal in R5 de afstand tussen de lijn ` = span{(1, 1, 1, 0, 0)} en het 3-vlak V

gegeven door de vergelijkingen{

x2 − x4 = 0x1 − x5 = 1 .

5. Bewijs dat voor a1, a2, . . . , an ∈ R geldt dat∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1 + a1 1 1 . . . 11 1 + a2 1 . . . 11 1 1 + a3 . . . 1...

......

. . ....

1 1 1 . . . 1 + an

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

= a1a2a3 . . . an

(1 +

1a1

+1a2

+ . . . +1an

).


donderdag 28 augustus 2003, 10.00-12.00.

1. Los het volgende stelsel lineaire vergelijkingen op:

2x1 − x2 +2x3 = −2−x1 +2x3 − x4 = −7

x2 −6x3 +3x4 = 18x1 + x2 −8x3 +3x4 = 23

2. Gegeven zijn de 4× 4-matrices

Ma,b =

a b 0 00 a b 00 0 a bb 0 0 a

.

a. Bereken voor alle a, b ∈ R de rang van Ma,b.

b. Bereken de matrix (M0,3)−18.

3a. In R3 zijn gegeven de lijn ` :{

x1 − x3 = 1x2 − 3x3 = 2 en het vlak V : x1 − 5x2 + x3 = 4.

W is het vlak door de oorsprong dat evenwijdig is aan ` en loodrecht staat op V .

Bepaal een vergelijking voor W .

b. Bepaal een vergelijking van het hypervlak in R5 door de punten (1, 1, 0, 0, 0),(1, 0, 0,−1, 1), (0, 1, 1,−1, 1), (3,−2, 1,−1, 1) en (−1, 2,−1,−1, 3).

4. S : R2 → R2 is de (loodrechte) spiegeling in de lijn ` : 4x1 + x2 = 0 in R2. Bepaalde matrix van S t.o.v. de standaardbasis.


donderdag 28 augustus 2003, 14.00-16.00.

1. Gegeven is de matrix A =

1 2 −21 0 21 1 1

.

a. Laat zien dat het karakteristieke polynoom van A gelijk is aan −X3 +2X2 +X−2.

b. Bereken de eigenwaarden en eigenvectoren van A.

c. Bepaal een matrix F en een diagonaalmatrix D zodat FAF−1 = D.

d. Bereken A15.

2. Bepaal de oplossing van het volgende stelsel differentiaalvergelijkingen:

{y′(t) = 5y(t)− 2z(t)z′(t) = −y(t) + 4z(t)

zodat y(0) = 2, z(0) = 5.

3. Gegeven zijn twee lineair onafhankelijke vectoren a, b ∈ R3, en de afbeeldingT : R3 → R3 gegeven door T (x) = (x, b)a − (x, a)b waarbij ( , ) het standaard-inwendig produkt is op R3.

a. Toon aan dat T een lineaire afbeelding is.

b. Bepaal de nulruimte van T .

c. Laat zien dat T geen andere (reele) eigenwaarden heeft dan 0.

d. Is T diagonalizeerbaar? Verklaar je antwoord.

4. Gegeven is de n× n determinant

Dn =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

0 1 0 · · · 0 01 0 1 · · · 0 00 1 0 · · · 0 0...

......

. . ....

...0 0 0 · · · 0 10 0 0 · · · 1 0

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

(er staan enen op de diagonalen direkt onder en boven de hoofddiagonaal).Bewijs dat D2n = (−1)n en D2n−1 = 0 voor n ∈ N.

2. De lineaire afbeelding T : R3 → R3 is gegeven door T (2, 1, 1) = (3, 5, 4), T (0, 1,−1) =(1, 1, 4) en T (1, 0, 3) = (1, 4,−2).

Bereken de matrix van T t.o.v. de standaardbasis in R3.


maandag 16 juni 2003, 10.10-12.10.

1. Gegeven is de matrix

A =

−1 4 −2−3 4 0−3 1 3

a. Laat zien dat het karakteristieke polynoom χA(X) van A gelijk is aan−X3 + 6X2 − 11X + 6.

b. Bepaal de eigenwaarden en eigenvectoren van A.

c. Bepaal een inverteerbare matrix C en een diagonaalmatrix D zodat A = CDC−1.

d. Toon aan, m.b.v. (c), dat χA(A) = −A3 + 6A2 − 11A + 6 = 0.

2. Los m.b.v. de regel van Cramer het volgende stelsel vergelijkingen op:{ 14x1 − 9x2 = 20−8x1 + 11x2 = −13.

3. Bepaal de oplossing van het volgende stelsel differentiaalvergelijkingen:{

y′(t) = 3y(t)− 4z(t)z′(t) = −3y(t)− z(t)

zodat y(0) = 2, z(0) = −1.

4. In R5 zijn de 2-vlakken V en W gegeven door

V :

x1 + x2 = 0x3 + x4 = 0

x5 = 0

, W :

x1 = 1x2 + x4 = 0x3 + x5 = 0

.

a. Toon aan dat V en W geen gemeenschappelijke richtingsvector hebben.

b. Bepaal de afstand tussen V en W .

5. Laat a en n vectoren in R3 zijn met ‖a‖ = ‖n‖ = 1 en < a,n >= 1/2 (hierbij stelt< , > het standaard-inproduct in R3 voor). De lineaire afbeelding T : R3 → R3

wordt gegeven door T (x) = x− 4 < x,n > a.

a. Bepaal de eigenwaarden en eigenvectoren van T .

b. Ga na of T diagonalizeerbaar is.

TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 1

18 december 2003, 10.00-13.00.

Laat bij elke opgave duidelijk zien hoe je aan het antwoord komt. Het geven vanalleen de uitkomst is niet voldoende.


1 1 −1 05 1 −1 −10 1 −2 12 3 0 −2

en de vector bc =

520c15

.

a. Voor welke c ∈ R zit de vector bc in de kolomruimte van A? (7 pt)

b. Los het stelsel Ax = b0 op. (4 pt)

2. Bepaal in R3 de afstand tussen het punt P (1, 2,−1) en het vlak

V = span{

0−21

,

411

}+

110

. (7 pt)

3. Beschouw de matrix A =

1 −2 43 −6 12−2 4 −8

.

a. Bepaal de eigenwaarden en eigenvectoren van A. (8 pt)

b. Bepaal een inverteerbare matrix U en een diagonaalmatrix D zodat A = UDU−1.(3 pt)

c. Bereken A15. (5 pt)

4. In R4 is de lineaire deelruimte W gegeven door W = span{

120−3

,

−1021

}.

a. Bepaal een basis van W⊥. (2 pt)

b. Bepaal een orthonormale basis van W⊥. (4 pt)

c. Laat v =

132−1

. Schrijf v als v = w + w⊥ met w ∈ W en w⊥ ∈ W⊥. (4 pt)

Op de achterzijde van dit blad staat de rest van de opgaven.

5. De (lineaire) afbeelding S : R3 → R3 is een (loodrechte) spiegeling in het vlakV : x1 + x2 = 0.

a. Is S diagonalizeerbaar? Motiveer je antwoord. (3 pt)

b. Bepaal de matrix van S t.o.v. de standaardbasis. (9 pt)

6. Laat V en W eindig-dimensionale vectorruimten zijn met dim(V ) = dim(W ) = nen zij {b1, . . . ,bn} een lineair onafhankelijk stelsel in V . Zij verder T : V → Ween lineaire afbeelding.

Bewijs dat {T (b1), . . . , T (bn)} een lineair onafhankelijk stelsel is in W dan en alleendan als T inverteerbaar is. (7 pt)

TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 1. 18 december 2003.

ANTWOORDEN.

Opgaven 1,2,3 en 4 van het deeltentamen Lineaire Algebra 1b zijn gelijk aan op-gaven 3,4,5 en 6 van het tentamen Lineaire Algebra 1. De aangehouden nummering isdie van het volledige tentamen.

1. Gausz-eliminatie van de uitgebreide matrix (A|bc) geeft (bijvoorbeeld)

1 1 −1 0 | 50 1 2 −2 | 50 0 4 −3 | 50 0 −4 3 | c− 5

. (5pt)

Er is dus alleen een oplossing voor c = 0. (2 pt)

b. Terugsubstitutie geeft als oplossing van Ax = b0: x ∈ span{

1234

+

4321

. (4 pt)

2. Een vergelijking van V is −3x1 + 4x2 + 8x3 = 1. (4 pt). Nu is

d(P, V ) =∣∣∣∣−3 · 1 + 4 · 2− 8 · 1− 1√

32 + 42 + 82

∣∣∣∣ =4√89

. (3pt)

3. Het karakteristiek polynoom van A is −X2(X + 13). De eigenwaarden zijn dus 0(multipl. 2) en -13. (Ook meteen in te zien door op te merken dat de rang van

A 1 is en het spoor -13) (3 pt). Eigenvector bij e.w. -13 A is

13−2

(2 pt); de

eigenruimte bij 0 is het orthogonaal complement van span

1−24

(3 pt).

b. D =

0 0 00 0 00 0 −13

(1 pt) en U is een matrix van eigenvectoren, bijv.

U =

2 0 11 2 30 1 −2

(2 pt).

c. A15 = UD15U−1 (1 pt), rest van de berekening 4 pt. Het antwoord is A15 =(−13)14A. Een snellere manier is de volgende: merk op dat A te schrijven is alsA = abT . Dan is

A15 = abT abT . . .abT = a(bT a)14bT

en bT a = a · b = −13 dus A15 = (−13)14A.

4a. Een basis van W⊥ is bijvoorbeeld {

1101

,

3011

} (2 pt).

b. Gram-Schmidt toepassen (op de bovenstaande basis) geeft

{w1 =1√3

1101

, w2 =

1√51

5−43−1

}. (4pt)

c. w⊥ =v · w1

w1 · w1w1 +

v · w2

w2 · w2w2 =

1101

. Nu w = v −w⊥ =

022−2

. (4 pt)

5a. Ja, S heeft een basis van eigenvectoren, nl. V is eigenruimte van S bij e.w. 1, enV ⊥ is de eigenruimte bij e.w. -1 (3 pt)

b. Laat SEE en SB

B de matrices van S t.o.v. de standaardbasis, resp. een basis vaneigenvectoren zijn, en laat ME

B en MBE de basistransformatiematrices. (In het boek

heet MBE : PE←B .) Dan is SE

E = MBE SB

B MEB . Nu kies als basis van eigenvectoren

bijvoorbeeld

{ 1√2

110

,

1√2

1−10

,

001

} (3 pt). Dan

MBE =

1√2

1√2

01√2

− 1√2

00 0 1

, SB

B =

−1 0 00 1 00 0 1

(3pt)

en MEB is de inverse (en dus de getransponeerde) van de (orthogonale) matrix

MBE . Uiteindelijk vinden we SE

E =

0 −1 0−1 0 00 0 1

(3 pt). Een andere (en wsch.

snellere) methode is direct de beelden van de standaardbasisvectoren te bepalen.

6. Merk op dat {b1, . . . ,bn} een basis is van V . Stel λ1T (b1)+. . .+λnT (bn) = 0. Danis T (λ1b1 + . . . + λnbn) = 0, dus λ1b1 + . . . + λnbn ∈Ker(T ). Als T inverteerbaar,dan is Ker(T ) = {0}, dus λ1b1 + . . .+λnbn = 0 en uit de lineaire onafhankelijkheidvan de bi’s volgt dat alle λi nul zijn (4 pt). Als T niet inverteerbaar, dan is ereen a ∈ Ker(T ) met a 6= 0. Daar de bi’s een basis van V vormen is a een lineairecombinatie van de bi’s (met niet alle λi nul) (3 pt). (De laatste 3pt punten wordenalleen toegekend als is opgemerkt dat {b1, . . . ,bn} een basis van V is.)


23 oktober 2003, 10.00-12.00.

Laat bij elke opgave duidelijk zien hoe je aan het antwoord komt. Het geven vanalleen de uitkomst is niet voldoende.

1. Bepaal zowel een parametervoorstelling als een vergelijking van het vlak W in R3

door de punten A(1,−1, 0), B(2, 0,−1) en C(0, 1, 4).

2. In R3 is gegeven de lijn ` met parametervoorstelling

xyz

= t

12−1

+

0−13

.

Bereken de afstand van het punt Q(6, 1, 1) tot `.

3. De matrix A, de vector x en de vector b zijn gegeven door

A =

0 2 −1 11 1 1 12 −1 0 −33 1 1 −1

, x =

xyzw

, b =

0369

.

a. Los het stelsel Ax = b op.

b. Bepaal de rang van A en bepaal een basis van de kolomruimte en de rijruimte vanA (leg uit hoe je aan het antwoord komt!).

4. Bereken de inverse van de matrix B =

−1 1 −11 −1 −1−1 −1 1

.

5. Beschouw voor a ∈ R de matrices Ca =

a 1 −11 1 a1 a 1

.

Bepaal voor elke a de rang van Ca.

6. T : R2 → R2 is een spiegeling in de lijn y = −2x gevolgd door een projectie op delijn y = 1

2x.

Bepaal de standaardmatrix A van T .

Normering: 1: 10pt, 2: 10pt, 3a: 10pt, 3b: 8pt, 4: 12pt, 5: 16pt, 6: 15pt.

LINEAIRE ALGEBRA 1A, 23 oktober 2003

ANTWOORDEN.

1. Een parametervoorstelling is bijvoorbeeld

xyz

= t

11−1

+ u

−215

+

1−10

Het uitwendig product van de richtingsvectoren geeft een normaalvector. Het uit-

product is

6−33

, en een vergelijking is (dus) 2x− y + z = 3.

2. Transleer ` en Q over (0, 1,−3)T . De beelden zijn `′ =span{(1, 2,−1)T } en Q′(6, 2,−2).Nu is d(Q, `) = d(Q′, `′) = d(Q′, Q′′) met Q′′ de loodrechte projectie van Q′ op `′:

Deze is te bepalen d.m.v. q′′ =q′ · vv · v v =

24−2

. Nu d(Q′, Q′′) = ‖q′ − q′′‖ =

√20.

3a. Een rijtrapvorm van de uitgebreide matrix [A|b] is (bijvoorbeeld - de rijtrapvormis niet uniek) de matrix

[A′|b′] =

1 1 1 1 | 30 1 1 2 | 00 0 1 1 | 00 0 0 0 | 0

.

Oplossen van A′x = b′ geeft

xyzw

= t

1−1−11

+

3000

.

b. Aan de rijtrapvorm van de matrix zien we dat rang(A)=rang(A′) = 3, een basisvan de kolomruimte wordt gevormd door de eerste drie vectoren van A (nl. in deovereenkomstige ( de eerste drie) kolommen van A′ staat een pivotelement), en eenbasis van de rijruimte wordt gevormd door de niet-nul-rijen van A′, d.w.z. de eerstedrie.

4. B−1 =

−1/2 0 −1/2

0 −1/2 −1/2−1/2 −1/2 0

.

5. De matrix Ca is rij-equivalent met

1 1 a0 a− 1 1− a0 1− a −1− a2

. Als a = 1 wordt de

tweede rij nul, en de rang is dan 2. Als a 6= 1 kunnen we de tweede rij delen door

a− 1. De matrix is dan rij-equivalent met

1 1 a0 1 −10 0 −a− a2

. Deze matrix heeft

rang 2 als a + a2 = 0, en rang 3 anders. De rang van Ca is dus 2 als a = 0, 1 of −1en 3 anders.

6. De lijnen y = −2x en y = 12x staan onderling loodrecht. T is dus een projectie op

y = 12x, gevolgd door puntspiegeling in de oorsprong (de laatste afbeelding is gelijk

aan −idR2). Als we de formule voor projectie gebruiken vinden we

T (x) = −x · vv · vv met x =

(xy

), v =

(21

)

dus T (x) = −2x + y

5

(21

). De standaardmatrix van T is dus

(−4/5 −2/5−2/5 −1/5

).

Anders: de (standaard)matrix van spiegeling is S =(−3/5 −4/5−4/5 3/5

), de matrix

van projectie is P =(

4/5 2/52/5 1/5

). De productmatrix PS is de gevraagde matrix.

TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 1

12 augustus 2004, 10.00-13.00.

Studenten die alleen het deeltentamen Lineaire Algebra 1B willen afleggen makenalleen opgaven 3 t/m 6. De duur van het tentamen bedraagt in dit geval 2 uur. Hetvolledige tentamen Lineaire Algebra 1 bestaat uit opgaven 1 t/m 6.

1. Gegeven is het volgende stelsel lineaire vergelijkingen:

x1 + 2x2 + x3 = 12x1 + x2 − x4 = 3x1 − 3x2 − x3 − x4 = 0

3x2 + 4x3 + 2x4 = −5

.

a. Schrijf het stelsel in de vorm Ax = b met A een matrix en x, b vectoren. (1pt)

b. Los het stelsel op. (8pt)

c. Bepaal een basis van de kolomruimte van A. Motiveer je antwoord. (3pt)

2. Bepaal voor alle a, b ∈ R de rang van de matrix

Mab =

1 a a2

1 b aba 1 a

. (8pt)


3 1 01 2 10 1 3

.

a. Toon aan dat het karakteristieke polynoom van A gelijk is aan−X3 + 8X2 − 19X + 12. (2 pt)

b. Bereken de eigenwaarden van A. (4 pt)

c. Bepaal een inverteerbare matrix C en een diagonaalmatrix D zodat A = C−1DC.(Let op!) (12 pt)

De laatste drie opgaven staan op de ommezijde van het blad.

4. Laat de matrix A gegeven zijn door A =

1 0 1−1 1 0−1 1 1

.

Bepaal een QR-factorisatie van A, m.a.w. bepaal een orthogonale matrix Q en eenrechterbovendriehoeksmatrix R zodat A = QR. (10 pt)

5. Laat S : R3 → R3 de (loodrechte) spiegeling zijn in het vlak V : x1 + x2 − x3 = 0.Bepaal de matrix van S t.o.v. de standaardbasis. (10 pt)

6. Laat V = M(2×2,R) de vectorruimte van reele 2×2-matrices zijn en laat A ∈ V .Beschouw de afbeelding TA : V → V gegeven door TA(X) = AX −XA.

a. Bewijs dat TA een lineaire afbeelding is. (3 pt)

b. Toon aan dat TA voor geen enkele A ∈ V inverteerbaar is. (3 pt)

Laat nu A =(

0 −11 0

).

c. Geef de matrix van TA t.o.v. een zelfgekozen basis in V en bepaal de rang van TA.(4 pt)

d. Is TA diagonalizeerbaar? Motiveer je antwoord. (4 pt)

6. Laat Pn de vectorruimte van reele polynomen van graad hoogstens n. De afbeelding

T : Pn → Pn is gegeven door T (p) = 2p +dp

dx.

a. Bewijs dat T een lineaire afbeelding is. (4 pt)

b. Bepaal de matrix van T t.o.v. de basis {1, x, . . . , xn}. (4 pt)

c. Bepaal alle eigenwaarden en eigenvectoren van T . (4 pt)

d. Is T diagonalizeerbaar? Verklaar je antwoord. (3 pt)


17 maart 2004, 14.00-16.00.


3 1 01 2 10 1 3

.

a. Toon aan dat het karakteristieke polynoom van A gelijk is aan−X3 + 8X2 − 19X + 12. (2 pt)

b. Bereken de eigenwaarden van A. (4 pt)

c. Bepaal een inverteerbare matrix C en een diagonaalmatrix D zodat A = C−1DC.(Let op!) (12 pt)

2. Laat de matrix A gegeven zijn door A =

1 0 1−1 1 0−1 1 1

.

Bepaal een QR-factorisatie van A, m.a.w. bepaal een orthogonale matrix Q en eenrechterbovendriehoeksmatrix R zodat A = QR. (10 pt)

3. Laat S : R3 → R3 de (loodrechte) spiegeling zijn in het vlak V : x1 + x2 − x3 = 0.Bepaal de matrix van S t.o.v. de standaardbasis. (10 pt)

4. Laat Pn de vectorruimte van reele polynomen van graad hoogstens n. De afbeelding

T : Pn → Pn is gegeven door T (p) = 2p +dp

dx.

a. Bewijs dat T een lineaire afbeelding is. (4 pt)

b. Bepaal de matrix van T t.o.v. de basis {1, x, . . . , xn}. (4 pt)

c. De eigenvectoren van T noemen we meestal eigenfuncties. Bepaal alle eigenwaardenen eigenfuncties van T . (4 pt)

d. Is T surjectief? Verklaar je antwoord. (3 pt)

TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 1donderdag 23 december 2004, 10.00-13.00

Bij elke vraag dient een berekening of motivering worden opgeschreven.Het tentamen bestaat uit twee gedeelten: de eerste drie opgaven betreffen de stof van het

eerste gedeelte van het college. De laatste vier opgaven gaan over de stof van het tweede gedeeltevan het college. Voor beide onderdelen wordt een cijfer gegeven. Het totaalcijfer is gelijk aanhet gemiddelde van beide cijfers waarbij geldt dat het cijfer van het eerste gedeelte vervangenwordt door het toetscijfer indien dit laatste hoger uitvalt. Tenslotte worden bij het totaalcijfer debonuspunten van de quiz opgeteld.

1a. Gegeven zijn in R3 de lijnen m = span

012

en nx =

−25x

+ span

1−11

voor x ∈ R.

Bepaal x ∈ R zodanig dat m en nx elkaar snijden. (5 pt)

b. Bereken de cosinus van de hoek waaronder de lijnen m en nx in (a) elkaar snijden. (2 pt)

c. Zij v =

1−12

. Bereken in R3 een parametervoorstelling van de lijn ` die door het punt

(1, 0, 0) gaat en de lijn span(v) loodrecht snijdt. (8 pt)

2. Los het volgende stelsel vergelijkingen op (geef ook de tussenstappen aan!): (10 pt)

x1 −2x2 +4x3 = 2x2 −x3 −x4 = −4

2x1 −2x3 −x4 = 0.

3. A is een m× n-matrix met rang 1.

a. Bewijs dat er vectoren a ∈ Rm en b ∈ Rn bestaan zodanig dat A = abT . (5 pt)

b. Neem nu aan dat m = n. Laat zien dat er dan een λ ∈ R bestaat zodanig dat Ak = λk−1Avoor k = 1, 2, 3, . . .. (5 pt)

Opgaven 4-7 staan op de andere zijde van dit blad.

4. Beschouw de matrix A =(

0 1−6 5

).

a. Bepaal de eigenwaarden en eigenvectoren van A. (6 pt)

b. Bereken A2004. (6 pt)

5. Bereken de volgende determinanten (geef duidelijk aan hoe je aan het antwoord komt):

∣∣∣∣0 11 0

∣∣∣∣ ,

∣∣∣∣∣∣

0 1 11 0 11 1 0

∣∣∣∣∣∣,

∣∣∣∣∣∣∣

0 1 1 11 0 1 11 1 0 11 1 1 0

∣∣∣∣∣∣∣,

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

0 1 1 1 1 11 0 1 1 1 11 1 0 1 1 11 1 1 0 1 11 1 1 1 0 11 1 1 1 1 0

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

. (8 pt)

6. S : R3 → R3 is een lineaire afbeelding met eigenvectoren a1 =

10−1

, a2 =

12−3

,

a3 =

111

bij eigenwaarden resp. λ1 = 1, λ2 = 1, λ3 = −2.

a. Ga na dat er een orthonormale basis van eigenvectoren bestaat en geef zo’n orthonormalebasis. (7 pt)

b. Toon aan dat de standaardmatrix van S symmetrisch is. (6 pt)

7. In R2 zijn de vier punten (−2, 3), (−1, 1), (1, 1) en (2, 5) gegeven. Bepaal een parabooly = ax2 + bx die door de oorsprong gaat en die zo goed mogelijk bij deze punten past (in dezin van de kleinste-kwadratenbenadering.) (7 pt)

Antwoorden.

1a. u

012

=

−25x

+ t

1−11

geeft het stelsel vergelijkingen

0 = t− 2u = −t + 52u = t + x

. Oplossen

levert (t = 2, u = 3 en) x = 4.

b. De cosinus van de hoek is gelijk aan

012

·

1−11

∥∥∥∥∥∥

012

∥∥∥∥∥∥·

∥∥∥∥∥∥

1−11

∥∥∥∥∥∥

=1√15

.

c. Projecteren van (1, 0, 0) op v geeft het punt (1/6,−1/6, 1/3). Immers

projv

100

=

100

·

1−12

1−12

·

1−12

1−12

=

16

1−12

.

` is nu de lijn door de punten (1, 0, 0) en (1/6,−1/6, 1/3) dus een p.v. is x = t

51−2

+

100

.

Andere methode: het vlak V door (1, 0, 0) en loodrecht op v heeft vergelijking x1−x2+2x3 = 1.V snijden met span(v) door x1 = t, x2 = −t, x3 = 2t in de vergelijking van V in te vullenlevert t = 1/6, dus het snijpunt is (1/6,−1/6, 1/3). Nu is ` te bepalen als boven.

2. Gausz-Jordaneliminatie toepassen op de uitgebreide matrix

1 −2 4 0 | 20 1 −1 −1 | −42 0 −2 −1 | 0

geeft

de gereduceerde rijtrapvorm

1 0 0 −1 | 20 1 0 −3/2 | −60 0 1 −1/2 | −2

. De oplossing is dus

x1 = t− 2x2 = 3

2 t− 6x3 = 1

2 t− 2x4 = t

(t ∈ R) ofwel

x1

x2

x3

x4

= t

13/21/21

+

−2−6−20

.

3a. Aangezien de rang van A gelijk is aan 1 zijn alle kolomvectoren lineair afhankelijk (en niet allenul), dus alle kolomvectoren zijn parallel met een vaste vector a ∈ Rm: A = (λ1a, λ2a, . . . , λna).

Deze uitdrukking is gelijk aan a(λ1, λ2, . . . , λn) = abT met b =

λ1...

λn

∈ Rn.

b. Als m = n dan is

Ak = abT abT . . .abT = a(bT a)k−1bT = λk−1abT

waarbij λ = bT a (bT a is een 1× 1-matrix, dus een scalar!)

4a. Het karakteristieke polynoom is∣∣∣∣−X 1−6 5−X

∣∣∣∣ = X2− 5X +6, dus de eigenwaarden zijn 2 en

3. Ax = 2x oplossen (d.w.z. ker(−2 1−6 3

)bepalen) geeft de eigenvector

(12

); de eigenvector

bij e.w. 3 is(

13

).

b. Nu is A = UDU−1 met U =(

1 12 3

)de matrix van eigenvectoren en D =

(2 00 3

)de

diagonaalmatrix van eigenwaarden. Nu is voor n ∈ Z (en dus ook n = 2004)

An = UDnU−1 =(

1 12 3

)(2n 00 3n

)(3 −1−2 1

)=

(3 · 2n − 2 · 3n 3n − 2n

6 · 2n − 6 · 3n 3 · 3n − 2 · 2n

).

5. De antwoorden zijn resp. -1, 2, -3 en -5. De determinant van 6e orde is het eenvoudigst teberekenen door de 2e t/m 6e rij bij de eerste op te tellen; de eerste rij wordt dan een rij met5-en. Trek vervolgens de eerste rij 1/5 keer van de 2e t/m 6e rij af. De determinant wordt

dan

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

5 5 5 5 5 50 −1 0 0 0 00 0 −1 0 0 00 0 0 −1 0 00 0 0 0 −1 00 0 0 0 0 −1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

= 5(−1)5 = −5.

6. Merk op dat a3 orthogonaal is met a1 en a2 (dus a3 · a1 = a3 · a2 = 0). Nu kunnen we m.b.v.de methode van Gram-Schmidt een orthonormale basis maken uit de eigenvectoren a1,a2 en

vervolgens (de eigenvector) a3 normaliseren: laat a′2 = a2 − a1·a2a1·a1

a1 =

−12−1

. Nu vormt

{a1,a′2,a3} een orthogonale basis van eigenvectoren (a1 en a′2 bij e.w. 1; a3 bij e.w. -2). Omeen orthonormale basis te verkrijgen normalizeren we deze vectoren:

b1 :=a1

‖a1‖=

1√2

10−1

, b2 :=

a2

‖a′2‖=

1√6

−12−1

, b3 :=

a3

‖a3‖=

1√3

111

.

b. Uit de spectraalstelling voor symmetrische afbeeldingen volgt dat een lineaire afbeelding sym-metrisch is dan en slechts dan als er een orthonormale basis van eigenvectoren bestaat. Infeite is de standaardmatrix van S gelijk aan λ1b1bT

1 +λ2b2bT2 +λ3b3bT

3 (met de bi als bovengedefinieerd), dus

12

10−1

( 1 0 −1 )+

16

−12−1

(−1 2 −1 )+

−23

111

( 1 1 1 ) =

0 −1 −1−1 0 −1−1 −1 0

.

Deze matrix hoeft echter niet expliciet te worden uitgerekend.

7. We moeten in feite het stelsel vergelijkingen

4a− 2b = 3a− b = 1a + b = 1

4a + 2b = 5

oplossen, ofwel Ax = b waarbij

A =

4 −21 −11 14 2

, x =

(ab

)en b =

3115

. Dit stelsel is overbepaald en heeft i.h.a. geen

oplossing. De kleinste-kwadratenmethode bestaat erin, een x te zoeken zodanig dat ‖Ax−b‖minimaal is (als de norm nul is dan is x een echte oplossing). Als de rang van A (zoals hier)maximaal is en gelijk is aan het aantal kolommen, dan is er een unieke oplossing x, nl. Ax isde orthogonale projectie van b op de kolomruimte van A: dan geldt x = (AT A)−1AT b, ofwel

(AT A)x = AT b. We lossen deze laatste vergelijking op: AT A =(

34 00 10

), AT b =

(344

).

De oplossing is x =(

ab

)=

(1

2/5

). De gezochte vergelijking is dus y = x2 + 2

5x.

TOETS LINEAIRE ALGEBRA 1donderdag 21 oktober 2004, 10.00-12.00

Bij elke vraag dient een berekening of motivering worden opgeschreven.

1a. Het vlak V ⊂ R3 gaat door de punten (0, 1, 2), (1, 1,−3) en (−1, 0, 4). Bepaal zowel eenparametervoorstelling als een vergelijking van V . (10pt)

b. Bepaal in R3 de afstand tussen het punt P met coordinaten (2, 2, 2) en de lijn k met para-

metervoorstelling x = λ

013

+

1−20

, (λ ∈ R). (10pt)

c. Bepaal een parametervoorstelling van een lijn ` in R3 die evenwijdig is aan het vlak x1−x3 = 0en de lijn m door de punten (1, 0, 1) en (0, 1,−1) loodrecht snijdt. (10pt)

2. Beschouw het volgende stelsel vergelijkingen:

x1 −x2 −x3 +2x4 = 10x1 +2x2 −4x3 = 2x1 −2x3 +x4 = 6

x2 −x3 −2x4 = −8.

a. Schrijf het stelsel in de vorm Ax = b met A een matrix en x,b vectoren. Bepaal de oplossingvan het stelsel. (10pt)

b. Bepaal bases van de rijen kolomruimte van A (motiveer je keuze!) en geef de rang van A.(8pt)

c. Is A inverteerbaar? (2pt)

3. Zij {b1,b2,b3,b4,b5,b6} een basis van R6. Ga na of het stelsel{b1 + b2,b2 + b3,b3 + b4,b4 + b5,b5 + b6,b6 + b1} een basis van R6 is. (10pt)

4. Beschouw voor a ∈ R de matrices Aa =

a 1 −a1 a −1−2 −2 2a

.

a. Bepaal voor alle a ∈ R de rang van Aa. (10pt)

b. Bereken de inverse van A0. (10pt)

5. A en B zijn twee 2 × 2-matrices, beide ongelijk aan de nulmatrix O, zodanig dat AB = O.Laat zien dat zowel A als B niet-inverteerbaar is en geef een voorbeeld van zulke matrices Aen B. (10pt)

ANTWOORDEN.

1a. Richtingsvectoren zijn

10−5

en

11−2

. Een p.v. is dus

x = λ

10−5

+ µ

11−2

+

012

.

Een normaalvector van V wordt gegeven door het uitwendig product van de richtingsvectoren,

dit is ±

5−31

. Een vergelijking is dus 5x1 − 3x2 + x3 = −1.

b. Door translatie over de vector

−120

zien we dat de afstand gelijk is aan de afstand tussen

b =

142

en de lijn span{a} met a =

013

. Projectie van b op deze lijn geeft de vector

a · ba · aa =

013

. De afstand hiervan tot b is ‖a− b‖ =

√11.

c. ` staat loodrecht op de normaalvector van het vlak en een richtingsvector van m, dus voor de

richtingsvector van ` kunnen we het uitproduct nemen:

10−1

×

1−12

=

−1−3−1

. Een

p.v. is dus bijvoorbeeld x = λ

131

+

101

(voor een steunvector kunnen we een willekeurige

steunvector van m nemen).

2. A =

1 −1 −1 21 2 −4 01 0 −2 10 1 −1 −2

en b =

1026−8

. Een rijtrapvorm van de uitgebreide matrix (A|b)

is

1 −1 −1 2 | 100 1 −1 −1 | −40 0 0 1 | 40 0 0 0 | 0

en de gereduceerde rijtrapvorm is

1 0 −2 0 | 20 1 −1 0 | 00 0 0 1 | 40 0 0 0 | 0

(de laatste is uniek). De oplossing volgt nu meteen uit de gereduceerde rijtrapvorm:

x = λ

2110

+

2004

.

b. Een basis van de rijruimte is gelijk aan een basis van de rijruimte van de (gered.) rijtrapvorm,

dus {

10−20

,

01−10

,

0001

}. Uit de (gered.) rijtrapvorm zien we dat de 1e, 2e en 4e

kolomvector lin. onafh. zijn, dus de 1e, 2e en 4e kolomvector van A vormen een basis van dekolomruimte. (Uit de gereduceerde rijtrapvorm zien we direct dat de 3e kolom van A gelijk isaan −2× de 1e kolom plus −1× de 2e kolom). De rang is uiteraard gelijk aan 3.

c. A is niet inverteerbaar, want de rang is kleiner dan 4.

3. Zij λ1(b1 + b2) + λ2(b2 + b3) + λ3(b3 + b4) + λ4(b4 + b5) + λ5(b5 + b6) + λ6(b6 + b1) = 0Herschikking van termen levert:

(λ1 + λ6)b1 + (λ1 + λ2)b2 + (λ2 + λ3)b3 + (λ3 + λ4)b4 + (λ4 + λ5)b5 + (λ5 + λ6)b6 = 0

Omdat b1, . . . ,b6 lineair onafhankelijk zijn, is

λ1 + λ6 = λ1 + λ2 = . . . = λ5 + λ6 = 0.

Dit stelsel vergelijkingen heeft een oplossing λ1 = λ3 = λ5 = 1, λ2 = λ4 = λ6 = −1. Devectoren b1 + b2, . . . ,b6 + b1 zijn dus lineair afhankelijk.

4a. De rang verandert niet als we elementaire rij-operaties uitvoeren. Verwisselen van de 1e en 2e

rij en vegen van de eerste kolom geeft de matrix A′ =

1 a −10 1− a2 00 2a− 2 2a− 2

. Als 1− a2 6= 0

dan kunnen we de tweede rij door 1 − a2 delen en vervolgens 2a − 2 keer aftrekken van de

tweede en we krijgen dan

1 a −10 1 00 0 2a− 2

. Deze matrix heeft rang 3 als 2a − 2 6= 0. Als

2a − 2 = 0 dan is ook 1 − a2 = 0. De gevallen a = ±1 moeten we apart bekijken. Als a = 1dan worden de 2e en 3e rij van A′ nul en de rang is dan dus 1. Als a = −1 dan wordt detweede rij nul en de derde is lineair onafhankelijk van de eerste en de rang is dan 2.Samenvattend: de rang van A is 1 als a = 1, de rang is 2 als a = −1 en de rang is 3 in deoverige gevallen.

b. De inverse van A0 =

0 1 01 0 −1−2 −2 0

is gelijk aan

−1 0 −1/21 0 0−1 −1 −1/2

.

5. Als AB = O en A inverteerbaar is, dan is O = A−1AB = B, maar B 6= O gegeven, tegen-spraak. Net zo volgt uit B inverteerbaar dat O = ABB−1 = A. Twee dergelijke matrices zijn

bijvoorbeeld A = B =(

0 10 0

). Of ook: A =

(1 00 0

), B =

(0 00 1

).

TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 1donderdag 11 augustus 2005, 10.00-13.00

Bij elke vraag dient een berekening of motivering worden opgeschreven.Het tentamen bestaat uit twee gedeelten: de eerste drie opgaven betreffen de stof van het

eerste gedeelte van het college. De laatste vier opgaven gaan over de stof van het tweede gedeeltevan het college. Voor beide onderdelen wordt een cijfer gegeven. Het totaalcijfer is gelijk aanhet gemiddelde van beide cijfers waarbij geldt dat het cijfer van het eerste gedeelte vervangenwordt door het toetscijfer indien dit laatste hoger uitvalt. Tenslotte worden bij het totaalcijfer debonuspunten van de quiz opgeteld.

1. Beschouw het volgende stelsel vergelijkingen :

2x1 +2x2 = 4x2 +x3 = 10

3x1 −x2 +x3 = 11x1 −x3 = a

.

a. Bepaal a ∈ R zodanig dat het stelsel een oplossing heeft. (2 pt)

b. Los het stelsel voor de gevonden waarde van a op. (6 pt)

2a. Gegeven zijn in R3 de lijn m = span

−221

en het vlak V : x1 − x3 = 0. De lijn n ligt in

het vlak V en snijdt m onder een hoek θ (met 0◦ ≤ θ ≤ 90◦). Bereken de kleinste en grootstewaarde die θ kan aannemen. (5 pt)

b. Zij v =

−120

. Bereken in R3 een parametervoorstelling van de lijn ` die door het punt

(2,−1, 1) gaat en de lijn span(v) loodrecht snijdt. (7 pt)

3. Beschouw de matrices Ba,b =

a 1 12a a 2b 0 b

.

a. Bepaal a, b ∈ R zodanig dat de rang van de matrix Ba,b kleiner dan 3 is. (5 pt)

b. Ga na, of er a, b ∈ R bestaan zodanig dat de rang van Ba,b gelijk is aan 1. (3 pt)

c. Bereken (B3,1)−1 (5 pt)

Opgaven 4 t/m 7 staan op de achterzijde van de pagina.

4. Bereken m.b.v. de regel van Cramer de oplossing van het volgende stelsel vergelijkingen: (8pt)

x + 2y − z = 2−x + 3y = 12x − y + z = −1


1 1 −10 2 12 0 −3

.

a. Bepaal de eigenwaarden van A. (4 pt)

b. Is A diagonalizeerbaar? Motiveer je antwoord. (3 pt)

c. Bestaat er een geheel getal n > 0 zodat rang(An) ≤ 1? (4 pt)

6. In R4 is W de lineaire deelruimte opgespannen door de vectoren

11−1−1

en

−1052

.

a. Bepaal een orthonormale basis van W . (4 pt)

b. Bepaal een basis van het orthogonaal complement W⊥. (4 pt)

c. Laat v =

1234

. Bepaal w ∈ W en w′ ∈ W⊥ zodanig dat v = w + w′. (4 pt)

7. In deze opgave noteren we de determinant van de n× n-matrix met kolomvectoren a1, . . . ,an

als det(a1, . . . ,an). Laat nu a,b, c drie vectoren in R3 zijn met det(a,b, c) = −4.

Bereken det(3a− b,b + c, 2a− 4c). (5 pt)

TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 1donderdag 30 maart 2006, 10.00-13.00

Bij elke vraag dient een berekening of motivering worden opgeschreven.Het tentamen bestaat uit twee gedeelten: de eerste drie opgaven betreffen de stof van het eerstegedeelte van het college. De laatste vier opgaven gaan over de stof van het tweede gedeelte van hetcollege. Voor beide onderdelen wordt een cijfer gegeven. Het totaalcijfer is gelijk aan het gemid-delde van beide cijfers waarbij geldt dat het cijfer van het eerste gedeelte vervangen wordt door hettoetscijfer indien dit laatste hoger uitvalt. Tenslotte worden bij het totaalcijfer de bonuspuntenvan de quiz opgeteld.

1. Beschouw het stelsel vergelijkingen

x1 +2x2 +x3 = 12x1 +x2 −x4 = cx1 −3x2 −x3 −x4 = 0

3x2 +4x3 +2x4 = −5

.

a. Schrijf het stelsel in de vorm Ax = b met A een matrix en x,b vectoren. (1 pt)

b. Ga na voor welke c ∈ R het stelsel een oplossing heeft. (7 pt)

c. Bepaal een basis van de kolomruimte van A. Leg je werkwijze uit. (4 pt)

2. V is het vlak in R3 door de punten A(0, 1,−2), B(2, 3, 0) en C(1, 1, 1).

a. Bepaal zowel een parametervoorstelling als een vergelijking van V . (7 pt)

b. m is de lijn door A en B en ` is de lijn door C die m loodrecht snijdt. Bepaal een parameter-voorstelling van `. (7 pt)

c. Bepaal de oppervlakte van driehoek ABC. (6 pt)

3. Beschouw voor a, b ∈ R de matrices Ca,b =

a 1 0a2 a aa2 b a

.

a. Bepaal voor alle a, b ∈ R de rang van Ca,b. (7 pt)

b. Bereken C−11,0 . (5 pt)

4. Gegeven is de matrix B =

2 0 00 6 70 2 1

.

Bereken Bn voor n geheel. (10 pt)

De rest van de opgaven staat op de andere zijde van dit blad.

5. Zij n een positief geheel getal. De matrix Dn is de 2n× 2n-matrix zo, dat

(Dn)ij =

{ 1 als i = j2 als i + j = 2n + 10 anders.

. Zo is D1 =(

1 22 1

)en D2 =

1 0 0 20 1 2 00 2 1 02 0 0 1

.

Bereken de determinant van D7. (6 pt)

6. W is de lineaire deelruimte van R4, bestaande uit de vectoren (x1, x2, x3, x4)T waarvoor geldt datx1 − 2x2 + x4 = 0.

a. Bepaal orthonormale bases van W en W⊥. (8 pt)

b. Schrijf v =

4−234

als v = w + z met w ∈ W en z ∈ W⊥. (6 pt)

7. Beschouw de kwadratische vorm q(x) = 3x21 − 2x1x2 + 3x2

2.

a. Bepaal een symmetrische matrix A zodanig dat q(x) = xT Ax waarbij x =(

x1

x2

). (2 pt)

b. Toon aan dat q(x) positief definiet is, d.w.z. q(x) > 0 voor alle x ∈ R2 met x 6= 0. (4 pt)

Beschouw de ellips K ⊂ R2 met vergelijking 3x21 − 2x1x2 + 3x2

2 + 4x1 + 4x2 = 0.

c. Bepaal het middelpunt van de ellips en geef de richting van de lange as van de ellips aan. (8 pt)

ANTWOORDEN.

1a. A =

1 2 1 02 1 0 −11 −3 −1 −10 3 4 2

, b =

1c0−5

.

b. Een rijtrapvorm is

1 2 1 0 | 10 1 6 3 | −110 0 2 1 | −40 0 0 0 | c− 3

; er is dus een oplossing als c = 3.

c. De eerste drie kolommen in de rijtrapvorm (onderdeel b) zijn lin.onafhankelijk; de eerste driekolommen van A vormen dus een basis van col(A).

2a. Een p.v. is bijvoorbeeld x = λ

111

+ µ

12−1

+

01−2

(λ, µ ∈ R). Het uitproduct van de

richtingsvectoren geeft een normaalvector van het vlak

3−2−1

. Een vergelijking is dus

3x1 − 2x2 − x3 = 0.

b. Transleer over −OA =

0−12

. Projecteer nu c-a=

103

op b-a=

222

en transleer het resultaat

weer over OA =

01−2

. Dit levert de vector OC ′ op, waarbij C ′(4/3, 7/3,−2/3) de loodrechte

projectie van C op AB is. De lijn ` heeft richtingsvector CC ′ en een p.v. is dus

span{

14−5

}+

111

.

c. Door translatie over −OA gaat de driehoek over in driehoek ODE met D(2, 2, 2) en E(1, 0, 3). De

oppervlakte is de helft van de norm van het uitproduct

6−4−2

van OD met OE. Dit levert als

antwoord√

14.Een andere methode: opp(ODE) = 1

2 ·|OD|·|OE|·sin 6 DOE. Nu is cos 6 DOE = (OD·OE)/(|OD|·|OE|) = 4/

√30 en dus is sin 6 DOE =

√14/

√30 en de oppervlakte is 1

2 ·√

12·√

10·√

14/√

30 =√

14.Nog sneller is het om onderdeel b te gebuiken: immers is opp(ABC) = 1

2AB · CC ′.

3a. Als a = 0 dan is de rang 1. Als a 6= 0 dan levert Gausz-eliminatie de matrix

a 1 00 b− a a0 0 a

. De

rang is 2 als b = a en 3 als b 6= a. Anders: det(Ca,b) = a2(a − b) dus de rang is 3 als a 6= 0 ena 6= b. De gevallen a = 0 en a = b apart bekijken.

b. De inverse is 12

1 −1 10 1 −1−1 1 0

.

4. Het karakteristieke polynoom van B is (X − 2)(X − 8)(X + 1). Dus B = UDU−1 waarbij U =

1 0 00 7 −10 2 1

een matrix van eigenvectoren is en D =

2 0 00 8 00 0 −1

. Dan is Bn = UDnU−1 =

1 0 00 7 −10 2 1

2n 0 00 8n 00 0 (−1)n

1 0 00 1/9 1/90 −2/9 7/9

=

19

2n · 9 0 00 7 · 8n + 2 · (−1)n 7 · 8n − 7 · (−1)n

0 2 · 8n − 2 · (−1)n 2 · 8n + 7 · (−1)n

.

5. det D7 =∣∣∣∣1 22 1

∣∣∣∣ = (−3)7 = −2187.

6a. Een orthonormale basis van W⊥ is { 1√6

1−201

}; een orthonormale basis van W is (gebruik zo

nodig Gram-Schmidt) {

0010

,

1√2

100−1

,

1√3

1101

}.

b. z =

2−402

is de orthogonale projectie van v op W⊥; verder is w=v-z=

2232

. Uiteraard is w

ook te vinden door v orthogonaal op W te projecteren.

7. A =(

3 −1−1 3

).

b. De eigenwaarden van A zijn d1 = 2 en d2 = 4; daar A symmetrisch is, bestaat er een orthogonale

matrix U zodanig dat A = UDUT met D =(

2 00 4

). Dan is xT Ax = yT Dy = 2y2

1 + 4y22 waarbij

y = UT x (en x = Uy). Het is duidelijk dat yT Dy ≥ 0 en dat gelijkheid optreedt precies als y = 0dus x = 0.

c. De matrix U van onderdeel b is een matrix van eigenvectoren: U = 1√2

(1 −11 1

). De vergelijking

van K kan worden geschreven als xT Ax + bT x = 0 met b =(

44

). Met x = Uy wordt dit

yT Dy + bT Uy = 2y21 + 4y2

2 + 4√

2y1 = 0 dus (y1 +√

2)2 + 2y22 = 2. Dit is de vergelijking

van een ellips met middelpunt in het y1, y2-vlak gelijk aan (−√

2, 0) en de lange as is evenwijdigaan de y1-as. Daar x = Uy is het middelpunt in het (x1, x2)-vlak (−1,−1) en de lange as heeft

richtingsvector U

(10

)∼

(11

).

TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 1donderdag 22 december 2005, 10.00-13.00

Bij elke vraag dient een berekening of motivering worden opgeschreven.Het tentamen bestaat uit twee gedeelten: de eerste drie opgaven betreffen de stof van het eerstegedeelte van het college. De laatste vier opgaven gaan over de stof van het tweede gedeelte van hetcollege. Voor beide onderdelen wordt een cijfer gegeven. Het totaalcijfer is gelijk aan het gemid-delde van beide cijfers waarbij geldt dat het cijfer van het eerste gedeelte vervangen wordt door hettoetscijfer indien dit laatste hoger uitvalt. Tenslotte worden bij het totaalcijfer de bonuspuntenvan de quiz opgeteld.


x1 +x2 −x3 = 02x1 −x2 +x3 = c3x1 −2x2 +2x3 = 53x1 −4x2 +x3 = −2

.

a. Schrijf het stelsel in de vorm Ax = b met x = (x1, x2, x3)T , A een matrix en b een vector. (1 pt)

b. Ga na voor welke c het stelsel een oplossing heeft en bepaal deze oplossing. (7 pt)

c. Wat is de rang van de matrix A? (Motiveer je antwoord.) (2 pt)

2a. V is het vlak in R3 door de punten (1, 1, 0), (0,−3, 1) en (1,−1, 1). Bepaal zowel een vergelijkingals een parametervoorstelling van V . (6 pt)

b. Bereken de hoek die de lijn in R3 door de punten (2, 1, 1) en (1,−1, 0) maakt met het vlakx1 + x2 = 0. (6 pt)

c. Bepaal de coordinaten van het punt P in R3 dat van alle punten op de lijn span{

012

}+

101

de kleinste afstand heeft tot de oorsprong. (6 pt)

3. A is de matrix

1 12 01 −1

. In staat voor de n× n-eenheidsmatrix.

a. Bestaat er een matrix X zodanig dat AX = In voor zekere n? Zo ja, bepaal zo’n matrix X en zonee, leg uit waarom niet. (7 pt)

b. Bestaat er een matrix Y zodanig dat Y A = Im voor zekere m? Zo ja, bepaal zo’n matrix Y en zonee, leg uit waarom niet. (7 pt)

4. Bepaal de eigenwaarden van de matrix B =

2 1 10 1 10 0 1

met hun algebraısche en meetkundige

multipliciteit. Is B diagonaliseerbaar? (Verklaar je antwoord). (8 pt)

5. Beschouw in R4 de lineaire deelruimte W = span{

1110

,

2101

}. Verder is v =

2131

.

a. Bepaal een orthonormale basis van W . (5 pt)

b. Bepaal een basis van W⊥. (6 pt)

c. Bepaal w ∈ W en z ∈ W⊥ zo, dat v = w + z. (5 pt)

6. Beschouw de kwadratische vorm q(x) = 6x21 − 4x1x2 + 9x2

2.

a. Bepaal een symmetrische matrix A zodanig dat q(x) = xT Ax waarbij x =(

x1

x2

). (2 pt)

b. Toon aan dat q(x) positief definiet is, d.w.z. q(x) > 0 voor alle x ∈ R2 met x 6= 0. (4 pt)

Beschouw de tweedegraadskromme K ⊂ R2 met vergelijking 6x21 − 4x1x2 + 9x2

2 + 10x1 + 5x2 = 0.

c. Wat voor type kegelsnede is K? Geef een standaardvergelijking van K. (7 pt)

d. Teken K in het (x1, x2)-vlak. (4 pt)

Er zijn twee versies van opgave 7: 7A en 7B. Studenten die een propedeuse wiskunde doen - al danniet in combinatie met andere studies (dit is de groep van dr. Redig) maken opgave 7A; studentendie geen wiskunde doen (groep van dr. Kooman) maken opgave 7B.

7A. P is een n× n matrix die voldoet aan P k = P k−1 voor zekere k > 2 (bijv. P 5 = P 4). (4 pt)

a. Wat zijn de mogelijke eigenwaarden van P? (4 pt)

b. Indien P symmetrisch is, is P dan een orthogonale projectie ? (4 pt)

c. Indien P diagonaliseerbaar is, is P dan een projectie ? (4 pt)

7B. Zij a een vector in R3 met norm ‖a‖ = 1. Beschouw de afbeelding T : R3 → R3 gegeven doorT (x) = a× x (× geeft het uitwendig of vectorproduct aan).

a. Toon aan dat T een lineaire afbeelding is. (4 pt)

b. Leg uit dat T niet-inverteerbaar is. (4 pt)

c. Geef een basis van de nulruimte (of kern) van T . (4 pt)

ANTWOORDEN.

1a. A =

1 1 −12 −1 13 −2 23 −4 1

, b =

0c5−2

.

b. Er is een oplossing als c = 3: x1 = 1, x2 = 2, x3 = 3.

c. De rang van de matrix A is 3; in de rijtrapvorm zijn er drie pivots.

2a. Een p.v. is bijvoorbeeld x = λ

02−1

+ µ

120

+

110

(λ, µ ∈ R). De normaalvector van het

vlak

2−1−2

kan bijv. worden bepaald door het uitwendig product te nemen. Een vergelijking is

nu: 2x1 − x2 − 2x3 = 1.

b. Bereken eerst de hoek φ tussen de richtingsvector r =

121

van de lijn en de normaalvector

n =

110

van het vlak: cos φ =

n · r‖n‖ · ‖r‖ =

3√6 ·√

2=

12

√3, dus φ = 30o. De hoek tussen het

vlak zelf en de lijn is dan 60o.

c. Eerst transleren over

−10−1

zodat de lijn door de oorsprong gaat. Projectie van de vector

−10−1

op span{

012

} levert de vector

0−2/5−4/5

. Translatie over de plaatsvector

101

van de lijn geeft

het antwoord

1−2/51/5

. Een andere methode bestaat er in, het vlak door de oorsprong en loodrecht

op de lijn te snijden met de lijn.

3a. De enige mogelijkheid voor n is 3. Als X = (x y z), dan is AX = (Ax Ay Az) = (e1 e2 e3) = I3,dus de kolomruimte col(A) van A is R3. Anderzijds is de dimensie van col(A) gelijk aan de rangvan A en die is 2. Er bestaat dus niet zo’n matrix X.

b. De enige mogelijkheid voor m is 2. Om een matrix Y =(

y1 y2 y3

y4 y5 y6

)te vinden, moeten we het

stelsel vergelijkingen

y1 + 2y2 + y3 = 1y1 − y3 = 0

y4 + 2y5 + y6 = 0y4 − y6 = 1

oplossen. Een mogelijke oplossing is Y =(

1 −1/2 11 −1/2 0

), maar er zijn meer mogelijkheden.

Opmerking: zonder te rekenen kunnen we als volgt inzien dat Y bestaat: A heeft rang 2 en duskunnen we A aanvullen tot een inverteerbare 3×3-matrix A′ (door een derde kolom toe te voegen).Dus bestaat er een matrix B zodat BA′ = I3. Een matrix Y krijgen we nu door de bovenste tweerijen van B te nemen.

4. Het karakteristiek polynoom is (X − 2)2(X − 1). De eigenwaarden zijn 2 (met algebr. en meetk.

mult. gelijk aan 1) en 1 met algebr. multipliciteit 2. De rang van B − I =

1 1 10 0 10 0 0

is 2 dus

er is maar een lin.onafh. eigenvector bij eigenwaarde 1 en de meetkundige multipliciteit is 1. Dematrix is dus niet diagonaliseerbaar (er is immers geen basis van eigenvectoren).

5a. Een orthonormale basis is (gebruik Gram-Schmidt) { 1√3

1110

, 1√

3

10−11

}.

b. Oplossen van{

x1 + x2 + x3 = 02x1 + x2 + x4 = 0 geeft W⊥ = span{

−1101

,

0−111

}.

c. Orthogonale projectie van v op W geeft de vector

w =13

1110

·

2131

+

13

10−11

·

2131

=

2220

.

Dan z = v −w =

0−111

.

6a. A =(

6 −2−2 9

).

b. Diagonaliseren van A geeft A = UDUT met D =(

5 00 10

)en U = 1√

5

(2 −11 2

). Dan is

xT Ax = yT Dy met y = UT x, dus q(x) = q(y) = 5y21 + 10y2

2 . q is positief-definiet omdat q(y) > 0als y 6= 0 dus als x 6= 0.

c. De vergelijking van K in termen van y1, y2 is 5y21 +10y2

2 +5√

5y1 = 0 ofwel 5(y1 +√

5/2)2 +10y22 =

25/4. De normaalvergelijking is dan 5z21 + 10z2

2 = 25/4. Dit geeft een ellips weer.

d. de ellips gaat door (0, 0), heeft als middelpunt (−1,−1/2) (in y-coordinaten (−√

5/2, 0)) en heeftsymmetrieassen in de richting van de eigenvectoren van A (2, 1)T (de lange as) en (−1, 2)T .

7Aa. Als u een eigenvector is met eigenwaarde λ, dan is

P ku = λku = P k−1u = λk−1u

dit geeft λk = λk−1 of λk−1(λ− 1) = 0. De enig mogelijke eigenwaarden zijn dus λ = 0 of λ = 1.

b. Indien P symmetrisch is, dan is P orthogonaal diagonaliseerbaar, d.w.z,

P = QT DQ

met D een diagonaalmatrix met op de diagonaal enkel nullen of enen (dus D2 = D), en Q eenorthogonale matrix. Bijgevolg is dan P 2 = QT DQQT DQ = QT D2Q = QT DQ = P , dus is P eenprojectie. Omdat gegeven is dat P symmetrisch is, is P een orthogonale projectie.

c. Indien P diagonaliseerbaar is, dan is P = Q−1DQ met D een diagonaalmatrix met op de diagonaalenkel nullen of enen, en Q een orthogonale matrix. Bijgevolg is dan P 2 = Q−1DQQ−1DQ =Q−1D2Q = Q−1DQ = P dus is P een projectie.

7B.a. Uitschrijven dat T (x + y) = a× (x + y) = a× x + a× y = T (x) + T (y) en T (λx) = a× (λx) =

λ(a × x) = λT (x). Het is ook goed om T (x) als Bx te schrijven met B =

0 −a3 a2

a3 0 −a1

−a2 a1 0

de standaardmatrix van T .

b. Omdat T (a) = a × a = 0 bestaat de kern van T niet alleen uit de nulvector en dus is T nietinverteerbaar.

c. I.h.a. is het uitproduct van een vector x met a een vector orthogonaal met a en lengte gelijk aan‖x‖‖a‖ sin θ met θ de hoek tussen x en a. Alleen als x en a parallel zijn, is θ = 0 en dus a×x = 0.De kern van T is dus span{a}.Anders, m.b.v. de matrix: De matrix B heeft rang (minstens) 2 (immers als de rang 1 was, danzouden alle kolomvectoren parallel zijn), dus de dimensie van de nulruimte is maximaal 1. Dedimensie is ook minstens 1 vanwege (b) en de nulruimte wordt dus opgespannen door de vector a.

TOETS LINEAIRE ALGEBRA 1donderdag 20 oktober 2005, 10.00-12.00

Elk gegeven antwoord dient te worden gemotiveerd d.m.v. een berekening, redenering of verwijzingnaar de theorie.

1a. V is het vlak in R3 door de punten (0, 2, 0), (−1, 0,−1) en (−2, 1, 0). Bepaal zowel een vergelijkingals een parametervoorstelling van V . (8 pt)

b. W is het vlak in R3 met vergelijking x1−x2 +2x3 = 1. P is het punt met coordinaten (−3, 2,−3).Bepaal de afstand van P tot W en bepaal de coordinaten van het punt Q op W waarvan de afstandtot P zo klein mogelijk is. (9 pt)

c. Laat ` ⊂ R3 de lijn span{

1−11

}+

011

zijn. P is het punt (0,−2, 1). Bepaal een parameter-

voorstelling van de lijn door P die ` loodrecht snijdt. (8 pt)


−x1 +3x2 +2x4 = 4x1 +x2 +4x3 −2x5 = 4

4x2 +4x3 −x4 −5x5 = 2−x1 −3x3 +x4 +2x5 = −1

.

a. Schrijf het stelsel in de vorm Ax = b met x = (x1, x2, x3, x4, x5)T , A een matrix en b een vector.(1 pt)

b. Los het stelsel op. (9 pt)

c. Bepaal de rang van A, de dimensie van de nulruimte van A en geef bases van de rijruimte en dekolomruimte. (9 pt)

d. Heeft de vergelijking Ax = b voor elke b ∈ R4 een oplossing? (Motiveer je antwoord!) (4 pt)

3. Bepaal voor alle a ∈ R de rang van de matrix Ma =

a 0 −10 a 11 2 1

. (8 pt)


0 −1 01 0 00 0 −1

.

Ga na dat B een inverteerbare matrix is en bereken B−2005. (Opmerking: B−n = (B−1)n alsn > 0.) (8 pt)

5. Zij {a1,a2, . . . ,ak} een lineair onafhankelijk stel vectoren in Rn en zij C een k × k-matrix. Laatvectoren a′1, . . . , a

′k gedefinieerd zijn door a′i =

∑kj=1 Cijaj voor i = 1, . . . , k.

a. Bewijs dat a′1,a′2, . . . ,a

′k lineair onafhankelijke vectoren zijn dan en slechts dan als de matrix C

inverteerbaar is. (6 pt)

b. Zij {a1,a2,a3} een lineair onafhankelijk stel vectoren in R6. Ga na m.b.v. (a) of het stelsel{a1 + a2,a2 + a3,a3 + a1} lineair onafhankelijk is. (4 pt)

ANTWOORDEN.

1a. Een p.v. is x = λ

121

+ µ

210

+

020

. Het uitproduct van de richtingsvectoren is

−12−3

,

dit levert een normaalvector van V . Een vergelijking is dus −x1 + 2x2 − 3x3 = 4.

b. De afstand van P tot W is d(P, W ) =∣∣∣−3−2+2·−3−1√

12+12+22

∣∣∣ = 12/√

6 = 2√

6. Q(−1, 0, 1) is het snijpunt

van de lijn span{

1−12

}+

−32−3

door P loodrecht op W met W : x1 − x2 + 2x3 = 1.

Een tweede manier is om een punt op W te nemen (zeg S(1, 0, 0)); de vector −→SP =

−42−3

projecteren op de normaalvector

1−12

levert de vector −−→QP =

−22−4

. Nu is −−→OP −−−→QP = −−→

OQ =

−101

en dus is Q het punt (−1, 0, 1). De afstand van P tot W is d(P, Q) = 2

√6.

c. De gevraagde lijn is de lijn door P en het snijpunt R van ` met het vlak U door P loodrecht op`. Een vergelijking van U is x1 − x2 + x3 = 3. Snijden met ` geeft R(1, 0, 2). Een p.v. van de

gevraagde lijn is nu span{

121

}+

0−21

.

2a. A =

−1 3 0 2 01 1 4 0 −20 4 4 −1 −5−1 0 −3 1 2

en b =

442−1

.

b. Een gereduceerde rijtrapvorm van de uitgebreide matrix is

1 0 3 0 −1 | 30 1 1 0 −1 | 10 0 0 1 1 | 2

. De oploss-

ing is dus x = t

110−11

+ u

−3−1100

+

31020

ofwel

x1 = t− 3u + 3x2 = −u + t + 1x3 = ux4 = −t + 2x5 = t

(t, u ∈ R).

c. De rang van A is 3 (in de gereduceerde rijtrapvorm zijn er drie rijen), een p.v. van de nulruimte

is x = t

110−11

+ u

−3−1100

(vergelijk b), dus de dimensie is 2. (Of zo: dim ker(A)=5-rang(A)=5-

3=2.) Een basis van de rijruimte wordt gegeven door de rijvectoren in de (gereduceerde) rij-

trapvorm, dus {

1030−1

,

0110−1

,

00011

}. Een basis van de kolomruimte wordt (bijvoorbeeld)

gegeven door de kolomvectoren van A waar in de (gereduceerde) rijtrapvorm een pivot staat (dus

de 1e, 2e en 4e kolom) {

−110−1

,

3140

,

20−11

}.

d. De vergelijking Ax = b heeft een oplossing dan en slechts dan als b in de kolomruimte col(A) vanA ligt. De dimensie van de kolomruimte nu is 3 en dus ligt niet elke b ∈ R4 in col(A). Er is dusniet voor elke b een oplossing.

3. Een rijtrapvorm van Ma is

1 2 10 a 10 0 1− a

. De rang is dus 3 als a 6= 0, 1. Als a = 1 dan is de

rang 2, als a = 0 dan is de rijtrapvorm

1 2 10 0 10 0 0

en de rang is dan ook 2.

4. Merk op dat B4 = I dus B2005 = B en B−2005 = B−1 = B3 =

0 1 0−1 0 00 0 −1

.

5a. Laat λ1, . . . , λk reele getallen zijn zodanig dat∑k

i=1 λia′i = 0. Dan is∑k

i,j=1 λiCijaj = 0. Uit de

lineaire onafhankelijkheid van a1, . . . ,ak volgt∑k

i=1 λiCij = 0 voor j = 1, . . . , k. Dit is een stelselvan k vergelijkingen met k onbekenden met coefficientenmatrix CT en heeft alleen de nuloplossingprecies indien CT rang k heeft, dus indien CT inverteerbaar is. Maar CT is inverteerbaar dan enslechts dan als C inverteerbaar is.

b. De bijbehorende matrix is C =

1 1 00 1 11 0 1

. Een rijtrapvorm hiervan is

1 1 00 1 10 0 2

en C heeft

dus rang 3 en is inverteerbaar. Het stelsel {a1 + a2,a2 + a3,a3 + a1} is dus lineair onafhankelijk.

Tentamen Lineaire AlgebraDonderdag 21 december 2006, 10:00-13:00

a) Het tentamen bestaat uit twee delen. Het eerste deel bestaat uit opgaven 1,2en 3a),b); het tweede deel uit opgaven 3c),d),e),4,5.

b) Elk antwoord dient gemotiveerd te worden met een (bij voorkeur korte) bereken-ing, redenering of verwijzing naar de theorie.

c) Met alle onderdelen kunnen maximaal 2 punten verdiend worden, behalve on-derdelen 4a) en 5): hiermee kunnen maximaal 4 punten verdiend worden.

1. We beschouwen twee rechte lijnen in R3 met vergelijking in vectorvorm gegevendoor

xyz

=

111

+ t

1−12

(deze lijn noemen we L1) en

xyz

=

02−1

+ t

110

(deze lijn noemen we L2)

a) Toon aan dat L1 en L2 elkaar loodrecht snijden, en bepaal het snijpunt.

b) Bereken de afstand van het punt

4−27

tot de lijn L2.

c) Geef de vergelijking van het vlak α (in de vorm ax+ by + cz + d = 0) datde rechte lijnen L1 en L2 bevat.

d) Geef de vergelijking van de rechte lijn L3 (in vectorvorm) die beide lijnenL1 en L2 loodrecht snijdt.

e) Bepaal de vergelijking van een rechte lijn L4 door de oorsprong die hetvlak α snijdt onder een hoek van 45 graden. Is deze rechte lijn L4 uniekbepaald?

2. Beschouw de matrix

A =

1 1 1 11 2 1 13 1 2 11 −1 −1 −1

en de kolom

b =

458−2

1

a) Los het stelsel Ax = b op.

b) Is de matrix A inverteerbaar? Argumenteer.

3. Beschouw de lineaire transformatie T : R3 → R3 gedefinieerd door

T

xyz

=

2x+ y + z−x− z−x− y

a) Toon aan dat T een lineaire transformatie is en bepaal de matrix M horendbij T in de standaard orthonormale basis van R3.

b) Geef een basis van de kolomruimte en van de nulruimte van T .

c) Toon aan dat T ◦T = T . Volgt hieruit dat T een orthogonale projectie is?

d) Toon aan dat de matrix M uit onderdeel a) diagonaliseerbaar is.

e) Bereken (I +M)20 met I de eenheidsmatrix.

4. We noemen een n × n matrix met reele elementen een positieve matrix indienvoor alle x ∈ Rn het inproduct < x,Ax > positief is, i.e.,

< x,Ax >= xT (Ax) =n∑

i,j=1

xixjAij ≥ 0

a) Toon aan dat iedere matrix A van de vorm A = BTB symmetrisch enpositief is.

b) Zij A symmetrisch, positief en inverteerbaar. Toon aan dat dan voor allenatuurlijke getallen n de matrices An en (A−1)n symmetrisch en positiefzijn.

c) Zij A symmetrisch en positief. Toon aan dat er een symmetrische matrixB bestaat zodanig dat B2 = A. We noemen een dergelijke matrix B eenvierkantswortel van A.

d) Beschouw de matrix

A =

(3 11 3

)

Toon aan dat deze matrix positief is en bereken een vierkantswortel (vanA).

e) Geef een voorbeeld van een matrix die niet symmetrisch maar wel positiefis.

5. Beschouw de kwadratische kromme K in R2 met vergelijking

3x2 + 2xy + 3y2 = 1

Breng deze vergelijking in standaard vorm, geef aan welk type kegelsnede doordeze vergelijking beschreven wordt, en maak een schets van K.

2

Hertentamen Lineaire Algebra 1Donderdag 16 augustus 2007, 10:00-13:00

Elk antwoord dient gemotiveerd te worden met een (bij voorkeur korte) bereke-ning, redenering of verwijzing naar de theorie.

1. Bekijk de punten P1 =

10−1

en P2 =

010

.

a) Geef de vergelijking in vectorvorm voor de lijn L1 door de punten P1 enP2.

b) Bereken de afstand van het punt P3 =

055

tot de lijn L1.

c) Geef de vergelijking (in de vorm ax + by + cz = d) van het vlak α datloodrecht op de lijn L1 staat en door het punt P3 gaat.

d) Bereken de afstand van P2 tot α.

e) Geef de vergelijking in vectorvorm van een lijn door de oorsprong die hetvlak α snijdt onder een hoek van 45◦.


A =

1 −1 3 22 0 5 6−1 1 −2 −10 2 2 6

en de kolom

b =

−2112



c) Bereken det A en det(A2).

1

3. Beschouw de lineaire transformatie T : Rn → Rn gedefinieerd door

T

x1

x2...

xn

=

∑nj=1 aj+1xj∑nj=1 aj+2xj

...∑nj=1 aj+nxj

met a ∈ R.

a) Bepaal de standaardmatrix M van T .

b) Bepaal de rang (rank) van T als functie van de parameter a.

c) Bepaal voor a 6= 0 een basis voor de beeldruimte (range) en een basis voorde nulruimte (kernel) van T .

d) Bepaal voor a = 1 de standaardmatrix van T ◦ T .

4. Laat V en W twee lineaire deelruimten van Rn zijn. Laat P de matrix vanorthogonale projectie op V zijn en Q de matrix van orthogonale projectie opW .

a) Toon aan: als PQ = QP , dan is PQ de matrix van orthogonale projectieop V ∩W .

(Hint: A is een matrix van orthogonale projectie ⇐⇒ AT = A en A2 = A.)

b) Bewijs dat QP de matrix van een orthogonale projectie is of laat met eenvoorbeeld zien dat dat niet zo hoeft te zijn.

c) Toon aan: als er een orthogonale matrix U bestaat zo dat U T PU en UT QUbeide diagonaalmatrices zijn, dan PQ = QP .

d) Toon aan dat er een orthonormale basis u1, . . . , un van Rn bestaat en 1 ≤k ≤ m ≤ n zo dat

V ∩W = span (u1, . . . , uk) en W = span (u1, . . . , um).

e) Toon aan: als PQ = P , dan is er een orthogonale matrix U zo dat U T PUen UT QU beide diagonaalmatrices zijn. (Hint: gebruik a) en d).)

5. Beschouw de kwadratische kromme K in R2 met vergelijking

5x2 + 4xy + 2y2 − 28√5x− 4√

5y + 4 = 0.

Breng deze vergelijking in standaard vorm, geef aan welk type kegelsnede doordeze vergelijking beschreven wordt, en maak een schets van K.

Succes!

Puntenverdeling: de onderdelen van opgave 1 en 4 en 2b) en 3a)b)d) ieder 2 punten, 2a)c)en 3c) ieder 4 punten, en 10 punten voor opgave 5. (Totaal: 50 punten)

2

TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 1donderdag 10 augustus 2006, 10.00-13.00

Bij elke vraag dient een berekening of motivering worden opgeschreven.Het tentamen bestaat uit twee gedeelten: de eerste vier opgaven betreffen de stof van het eerstegedeelte van het college. De laatste vier opgaven gaan over de stof van het tweede gedeelte van hetcollege. Voor beide onderdelen wordt een cijfer gegeven. Het totaalcijfer is gelijk aan het gemid-delde van beide cijfers waarbij geldt dat het cijfer van het eerste gedeelte vervangen wordt door hettoetscijfer indien dit laatste hoger uitvalt. Tenslotte worden bij het totaalcijfer de bonuspuntenvan de quiz opgeteld.

1. Beschouw het volgende stelsel lineaire vergelijkingen:

2x1 − x2 + x3 − x4 = 5x1 −2x3 + x4 = 0

−3x1 + x2 + x4 = −6+2x2 − x3 −3x4 = −1

.

a. Geef een parametervoorstelling van de oplossing van het stelsel. (8 pt)

b. Hoeveel vergelijkingen zijn minimaal nodig om de oplossingsverzameling te beschrijven? Leg jeantwoord uit. Geef tevens een minimaal stelsel vergelijkingen dat dezelfde oplossing heeft als hetstelsel in (a). (4 pt)

2. ` is de lijn in R3 gegeven door de twee vergelijkingen{−x1 + x2 + x3 = 1

2x2 − x3 = −1 . Verder is gegeven

het punt B(1,−1, 2). V is het vlak dat loodrecht op ` staat en door B gaat.

a. Bepaal zowel een parametervoorstelling als een vergelijking van V . (6 pt)

b. Bereken de afstand van B tot de lijn `. (5 pt)

c. Het vlak W gaat door ` en staat loodrecht op het vlak x3 = 0. Bepaal een vergelijking van W . (5pt)

3. De lineaire afbeelding T : R2 → R2 is een (loodrechte) spiegeling in de lijn ` ⊂ R2 met vergelijkingx2 = 3x1.

a. Bepaal de standaardmatrix van T . (8 pt)

4. Gegeven zijn voor a, b ∈ R de matrices

Aa,b =

a 1 12a a 2b 0 b

.

a. Bepaal voor alle a en b de rang van de matrix Aa,b. (8 pt)


2 0 −20 3 0−2 0 −1

.

a. Bepaal de eigenwaarden en eigenvectoren van B. (8 pt)

b. Bereken Bn voor n geheel. (5 pt)

6. Bepaal alle viertallen a, b, c, d ∈ R zodanig dat de matrix Q = 17

3 a 22 3 bb c d

een orthogonale

matrix is. (8 pt)

7. W is de lineaire deelruimte van R3 opgespannen door

112

. P : R3 → R3 is de orthogonale

projectie op W⊥.

a. Bepaal een orthonormale basis van W⊥. (5 pt)

b. Bepaal de standaardmatrix van P . (5 pt)

8. Een n× n-matrix A heet antisymmetrisch als A = −AT .

a. Toon aan: als A een antisymmetrische n× n-matrix is, dan is xT Ax = 0 voor elke x ∈ Rn. (5 pt)

b. Bewijs dat een antisymmetrische matrix geen reele eigenwaarden ongelijk aan 0 heeft. (3 pt)

Hertentamen Lineaire Algebra 1Donderdag 5 april 2007, 14:00-17:00

Elk antwoord dient gemotiveerd te worden met een (bij voorkeur korte) bereke-ning, redenering of verwijzing naar de theorie.

1. Zij α het vlak in R3 met vergelijking 2x + y + z = 6.

a) Bepaal in vectorvorm de vergelijking van de rechte lijn L1 door de oor-sprong loodrecht op het vlak α.

b) Bepaal de cosinus van de hoek tussen L1 en de X-as.

c) Bepaal de coordinaten van het snijpunt van α met L1.

d) Stel de vergelijking op (in vectorvorm) van de rechte lijn L2 die in het vlakα ligt, L1 snijdt en door het punt (2,−1, 3) gaat.

e) Bepaal de afstand tussen de oorsprong en de rechte lijn L2.


A =

1 1 1 11 −1 −1 11 3 −2 21 2 2 2

en de kolom

b =

0491




A =

a a2 a3

a 1 a2

1 1 a

met a ∈ R.

a) Bepaal de rang van A als functie van de parameter a.

b) Los Ax =

100

op met de regel van Cramer voor die waarden van a

waarvoor det A 6= 0.

c) Bereken de inverse van A voor die waarden van a waarvoor de inversebestaat.

1

4. Bekijk de afbeelding∆ : Rn → Rn

gedefinieerd via

(∆(x))i =

2x1 − x2 − xn, i = 12xi − xi+1 − xi−1, i = 2, . . . , n− 12xn − x1 − xn−1, i = n,

voor i = 1, . . . , n.(De afbeelding −∆ heet de discrete Laplaciaan op n punten.)

a) Toon aan dat ∆ een lineaire afbeelding is.

b) Stel de standaardmatrix op van ∆ voor het geval n = 4.

c) Toon aan dat voor iedere vector x ∈ Rn

n∑

i=1

(∆(x))i xi =

n∑

i=1

(xi+1 − xi)2

waarbij we de conventie xn+1 = x1, x0 = xn hanteren.

d) Gebruik onderdeel c) om aan te tonen dat alle eigenwaarden van ∆ groterof gelijk aan nul zijn.

e) Laat l ∈ {1, . . . , n}. Bekijk de vector x in Rn met componenten

(x)i = cos

(2πli

n

), i = 1, . . . , n.

Toon aan dat x een eigenvector is van ∆ en bepaal de bijbehorende eigen-waarde.

f) Toon aan dat de eigenruimte van ∆ bij eigenwaarde 0 gelijk is aan

E0 =

t

11...1

: t ∈ R

.

2

Hertentamen Lineaire Algebra 121 augustus 2008, 10.00-13.00 uur, zaal 312, 412

1. Beschouw in R3 het vlak V1 resp. V2 met vergelijking x + y + z = 1 resp. x− y + z = 3en de lijn L = V1 ∩ V2.

(a) Bepaal een parametervoorstelling van L.

(b) Bereken de afstand tussen L en de oorsprong.

2. Beschouw het stelsel

x + y + z + w = 0

2x− z − w = 0

y + z + w = 0

a) Schrijf het stelsel in de vorm A ·X = B.

b) Wat volgt uit de theorie a priori (d.w.z. zonder enig rekenwerk) betreffende de dimensievan de kern van A?

c) Bereken de oplossingen van het stelsel m.b.v. ”vegen”, en een basis van de kern van A.

d) Bereken alle oplossingen van het stelsel

x + y + z + w = 1

2x− z − w = 0

y + z + w = 1

3. Beschouw voor a ∈ R de matrix

A =

1 0 1 00 1 0 11 1 0 00 0 1 a

.

a) Bereken de determinant van A(a).

b) Bepaal alle a ∈ R waarvoor A(a) niet inverteerbaar is.

c) Bereken de inverse van de matrix A(0).

Opgave 4. t/m 6. z.o.z.

1

4. Bepaal een orthonormale basis van het hypervlak H in R4 gegeven door de vergelijkingx− y + z − w = 0.


A =

1 2 −10 1 00 −1 2

Bereken de eigenwaarden en eigenruimten van A. Bestaat er een basis van de R3 bestaandeuit eigenvectoren van A?

6. Laat A een (n× n)-matrix zijn.

a) Bewijs dat2 · rang(A)− n ≤ rang(A2) ≤ rang(A) .

b) Stel dat rang(A) = n− 1; dan volgt uit a) dat

n− 2 ≤ rang(A2) ≤ n− 1 .

Geef (tenminste voor n = 2) voorbeelden van (n× n)-matrices A, B met

rang(A) = rang(B) = n− 1 , rang(A2) = n− 2 , rang(B2) = n− 1 .

2

Toets Lineaire algebra 1, 25-10-2007, 10.00-11.45

1. a) Bereken de vergelijking van het vlak V in R3 door de punten (1, 2, 2), (2, 1, 2) en(2, 2, 1).b) Bereken de coordinaten van het snijpunt van de lijn door het punt (2, 2, 2) in de richting(1, 0, 0) met het vlak V uit a).Indien je deel a) niet hebt opgelost, geef dan aan hoe je het snijpunt zou willen berekenenals de vergelijking van V zou zijn ax + by + cz = d.

2. a) Los het volgende stelsel lineaire vergelijkingen op.

x− 2w = −1

y = 4

y + z = 5

2x− z − 3w = −1

b) Laat zien dat het stelsel

x− 2w = 0

y = 0

y + z = 0

2x− z − 3w = 0

alleen de triviale oplossing (x, y, z, w) = (0, 0, 0, 0) heeft.

3. Laat M(m×n) de vektorruimte zijn van (m×n)-matrices, en K een vaste kolomvektorin Rn. Laat zien dat de deelverzameling U van alle A in M(m× n) met A ·K = 0 eenlineaire deelruimte van M(m× n) is.

4. a) Laat A een (n × n)-matrix zijn met de eigenschap A2 = A · A = A , en stel datX 6= 0 een kolomvektor in Rn is en a een getal zodat A ·X = aX . Laat zien dat a = 0of a = 1 .

b) Laat A een (n × n)-matrix zijn met de eigenschap A2 = A · A = In , waarbij In de(n×n)-eenheidsmatrix is. Stel verder dat X 6= 0 een kolomvektor in Rn is en a een getalzodat A ·X = aX . Laat zien dat a = 1 of a = −1 .

1

Tentamen Lineaire Algebra 1, 20 december 2007

1. a) Geef een parametervoorstelling van de lijn L in R3 door de punten (1, 2, 3) en(3, 1, 2).

b) Bereken de vergelijking van het vlak V in R dat loodrecht staat op L en door het punt(2, 1, 1) gaat.


x + 2y + z = 0

2x + 5y + z = 0

x + y + 2z = 0


b) Bereken alle oplossingen van het stelsel, en geef een basis van de kern van A.

c) Bepaal de determinant van A.

d) Bereken alle oplossingen van het stelsel

x + 2y + z = 2

2x + 5y + z = 1

x + y + 2z = 5


A(a) =

1 1 10 a a2 2 1

met a ∈ R.


b) Bepaal alle a ∈ R waarvoor A(a) inverteerbaar is, en bereken voor deze a de inversevan A(a).


1

4. Beschouw in R4 de vektoren

v1 = (1, 0, 0, 1) , v2 = (1, 0, 1, 0) , v3 = (0, 1, 0, 1) .

a) Laat zien dat v1, v2 en v3 lineair onafhankelijk zijn.

b) Bereken m.b.v. de methode van Gram-Schmidt een orthonormale basis van de deel-ruimte opgespannen door v1, v2 en v3.


A =

0 −2 −21 3 2

−1 −2 −1

Bereken de eigenwaarden en eigenruimten van A, en geef een basis van de R3 bestaandeuit eigenvektoren van A.

6. Laat V de vektorruimte zijn van alle oneindig vaak differentieerbare funkties op [0, π],en U de lineaire deelruimte van V opgespannen door de funkties sin(x), cos(x).

a) Laat zien dat sin(x) en cos(x) lineair onafhankelijk en dus een basis van U zijn.

b) Laat zien dat de afbeelding

L : V −→ V , L(f) =df

dx+ f voor alle f ∈ V ,

lineair is.

c) Laat zien dat L(U) ⊂ U , zodat L een lineaire afbeelding

L|U : U −→ U , L|U(f) =df

dx+ f voor alle f ∈ U ,

oplevert.

d) Bepaal de matrix A van L|U t.o.v. de basis sin(x), cos(x).

e) Laat zien dat A inverteerbaar is en bepaal de inverse matrix A−1.

f) Laat zien dat L|U inverteerbaar is met inverse

(L|U)−1(f) =1

2

(f − df

dx

)voor alle f ∈ U .

2

Hertentamen Lineaire Algebra 1

27 maart 2008, 14:00-17:00

Het gebruik van een rekenmachine is NIET toegestaan.

1. (a) Bepaal de vergelijking van het vlak V in R3 door de punten (1, 0, 1), (1, 1, 2) en(0, 2, 1).

(b) Bereken en parametervoorstelling van de lijn door het punt p = (1, 1, 1) die loodrechtstaat op V , en de afstand tussen p en V .


2x + 2y = 0

2y − z = 0

2x + y + z = 0


b) Bereken de oplossingen van het stelsel m.b.v. ”vegen”, en concludeer dat A inverteer-baar is.

c) Bereken de inverse A−1 van A.

d) Bereken m.b.v. A−1 de oplossing van het stelsel

2x + 2y = 2

2y − z = −3

2x + y + z = 4


A(a) =

1 1 01 1 a

−a 0 1

met a ∈ R.


b) Bepaal alle a ∈ R waarvoor A(a) niet inverteerbaar is, en bereken voor deze a de kernen de rang van A(a).

c) Bereken de inverse van A(1).


1

4. Laat L ⊂ R4 de lijn zijn opgespannen door de vector (1, 1, 1, 1). Bepaal een orthonor-male basis van het orthogonale complement van L.


A =

2 1 2−1 0 −1

0 0 1

Bereken de eigenwaarden en eigenruimten van A. Bestaat er een basis van de R3 bestaandeuit eigenvektoren van A?

6. Laat V de vectorruimte zijn van 2× 2 matrices, and laat A ∈ V . Beschouw de lineaireafbeelding LA : V −→ V gegeven door

LA(X) := A ·X .

(a) Laat zien dat de afbeelding LA inverteerbaar is dan en slechts dan als de matrix Ainverteerbaar is, en dat er in dit geval een matrix B ∈ V is zodat L−1

A = LB.

(b) Bepaal voor A =

(0 1−1 2

)de matrix van LA t.o.v. een basis van V .

2

Tentamen Lineaire Algebra 1.

Donderdag 20 augustus 2009, 10.00-13.00.

Versie voor studenten wiskunde.

Het gebruik van een rekenmachine is niet toegestaan.

Motiveer ieder antwoord met een berekening of een redenering.


ax1 +2x2 −x3 = b2x1 +ax2 = 45x1 +ax2 −x3 = −b

.

a. Schrijf het stelsel in de vorm Ax = b waarbij A een 3× 3-matrix is enwaarbij x en b vectoren zijn. (1 pt)

b. Ga na voor welke reele getallen a en b het stelsel precies een oplossingheeft. (5 pt)

c. Voor welke getallen a en b heeft het stelsel meer dan een oplossing? (5pt)

Laat nu a = −3 en b = −2.

d. Bepaal A−1. (6 pt)

e. Los het stelsel op. (3 pt)


−2 0 20 2 0−3 0 5

.

a) Bepaal de eigenwaarden en eigenvectoren van A. (9 pt)b) Bepaal een inverteerbare matrix B en een diagonalizeerbare ma-

trix D zodanig dat B−1AB = D. (2 pt)c) Toon aan dat er een uniek reeel getal α bestaat zodanig dat de

matrices αnAn naar een matrix C 6= O convergeren (m.a.w. C =limn→∞ αnAn). Geef tevens de waarde van α. (5 pt)

*** Z.O.Z ***

3. In R4 wordt het 2-vlak V gegeven door de vergelijkingen{

x1 − 2x3 = 0x1 + x2 + x4 = 0

a) Bepaal een orthonormale basis van V . (8 pt)b) Bepaal een basis van V ⊥. (3 pt)c) Bereken de projectie van de vector (1, 0, 0, 1) op V . (4 pt)

4. Zij n een positief geheel getal en zij P (n) de vectorruimte van poly-nomen met reele coefficienten van graad ten hoogste n. Zij

T : P (n)→ R2

de afbeelding gegeven door T (f) =(f(0), f(1)

).

a) Wat is de dimensie van P (n)? (4pt)b) Laat zien dat T een lineaire afbeelding is. (4pt)c) Wat is de dimensie van de kern van T? (6pt)

5. Laat M = Mat(2 × 2,R) de vectorruimte van 2 × 2-matrices metreele coefficienten zijn. S ⊂M is de deelverzameling bestaande uit de

symmetrische 2×2-matrices. Verder is J =(

0 −11 0

)en K =

(1 22 3

).

a. Toon aan dat S een lineaire deelruimte van M is en geef een basis vanS aan. (4 pt)

b. Bepaal de coordinaten van K t.o.v. de in onderdeel (a) gekozen basis.(3 pt)

De lineaire afbeelding T : M →M wordt gegeven door

T : X → −JXJ.

c. Laat zien: als X ∈ S, dan T (X) ∈ S. (3 pt)

Vanwege onderdeel (c) kunnen we T ook opvatten als een afbeeldingvan S naar S. We noemen deze afbeelding de restrictie van T tot Sen schrijven hiervoor T |S .

d. Bepaal nu de matrix van T |S t.o.v. de basis van onderdeel (a). (5 pt)

*** EINDE TENTAMEN ***

WiskundigenTentamen Lineaire Algebra 1

Donderdag 26 maart 2009, 14.00-17.00Geen rekenmachines. Motiveer elk antwoord.

(1) Bepaal voor alle reele waarden van a de determinant en de rangvan de matrix

Ca =

1 a a + 1a 0 11 −1 0

.

(2) Gegeven de matrix

A =

(2 41 −1

).

(a) Bepaal de eigenwaarden en eigenvectoren van A.(b) Bepaal een diagonale matrix D en een inverteerbare matrix

C zodanig dat A = CDC−1.(c) Bepaal An voor alle positieve gehele getallen n.

(3) Het vlak W ⊂ R4 is gegeven door{

x2 + x3 = 0x3 + x4 = 0

en a is de vector (0, 1, 0, 0).(a) Bepaal een orthonormale basis voor W (met betrekking tot

het standaard inproduct).(b) Bepaal een basis voor W⊥.(c) Bereken de orthogonale projectie van a op W .(d) Bereken de afstand van het punt (0, 1, 0, 0) tot W .

Op de volgende pagina staan meer opgaven.

(4) Zij T : R3 → R3 gegeven door T (x) = C2 · x met C2 als inopgave 1. Zij E de standaard basis voor R3. Definieer

v1 = (1, 2, 0),

v2 = (1, 0,−1),

v3 = (0, 1, 3).

(a) Laat zien dat B = (v1, v2, v3) een basis is voor R3.(b) Laat zien dat er geldt [T ]EE = C2.(c) Bepaal de matrix [T ]EB.

(5) Laat V de vectorruimte van alle 3 × 3 matrices zijn en W dedeelruimte van alle antisymmetrische matrices, dat wil zeggende matrices A waarvoor geldt At + A = 0. Je hoeft niet tebewijzen dat W een deelruimte is.

(a) Laat zien dat voor alle B,X ∈ W geldt XB −BX ∈ W .(b) Laat zien dat voor alle B ∈ W de afbeelding TB : W → W

gegeven door TB(X) = XB −BX lineair is.(c) Laat zien dat er geen B ∈ W is waarvoor TB injectief is.(d) Laat zien dat er geen B ∈ W is waarvoor TB surjectief is.

(6) Gegeven zijn de vectorruimtes V en W van dimensie respec-tievelijk n en m.

(a) Laat zien dat als S : V → W een lineaire afbeelding is, danis de dimensie van de kern ker S tenminste n−m.

(b) Laat S : V → W en T : V → W twee lineaire afbeeldingenzijn en neem aan dat geldt ker S ∩ker T = {0}. Bewijs datdan geldt n ≤ 2m.

Naam:

WiskundigenToets Lineaire Algebra 1

donderdag 23 oktober 2008, 10.00-12.00

(1) Gegeven zijn de vector

b =

−214

en de matrix

Ac =

0 3 41 0 1c 3 2

voor elke c ∈ R.(a) Bepaal alle c ∈ R waarvoor Ac inverteerbaar is.(b) Is de matrix A0 inverteerbaar? Zo ja, bepaal de inverse van A0.(c) Bepaal alle x ∈ R3 waarvoor geldt A0x = b.

(2) Waar of niet waar? Geef een korte uitleg als de uitspraak waar is eneen tegenvoorbeeld als ze niet waar is.(a) Als A en B twee n× n-matrices zijn en AB is inverteerbaar, dan zijn

A en B beide ook inverteerbaar.(b) Als U en V deelruimtes zijn van een vectorruimte W , dan is de verenig-

ing U ∪ V ook een deelruimte.(c) Zij V een vectorruimte. Als v1, . . . , vn ∈ V lineair onafhankelijk zijn,

dan vormen v1, . . . , vn een basis voor Sp({v1, . . . , vn}).(d) Zij V een vectorruimte over R. Als v1, v2, v3 ∈ V een basis vormen

voor V , dan vormen v1 + v2, v1 + v3, v2 + v3 ook een basis voor V .(e) Als A en B twee n×n-matrices zijn en AB is de nulmatrix, dan is BA

ook de nulmatrix.

(3) (meerkeuze, geef korte uitleg) Zij V een vectorruimte van dimensie n enk, m positieve gehele getallen. Als v1, v2, . . . , vk ∈ V lineair onafhankelijkzijn en w1, w2, . . . , wm ∈ V brengen V voort (m.a.w. ze spannen V op),dan geldt(a) k ≤ m ≤ n,(b) k ≤ n ≤ m,(c) m ≤ k ≤ n,(d) m ≤ n ≤ k,(e) n ≤ k ≤ m,(f) n ≤ m ≤ k.

Draai het blad om voor de rest van de toets

1

2

(4) Zij m een positief geheel getal. Bepaal de afstand van het punt

P = (1, 2, 1, 2, . . . , 1, 2) ∈ R2m

tot de lijnL = {(r, r, . . . , r) | r ∈ R} ⊂ R2m.

(5) Zij n een positief geheel getal. Gegeven een verzameling S ⊂ Rn definierenwe

S⊥ = {v ∈ Rn | ∀s ∈ S : s ⊥ v}.(a) Bewijs dat voor elke verzameling S ⊂ Rn de verzameling S⊥ een deel-

ruimte is.(b) Gegeven is de verzameling

S1 = {(0, 2, 1, 1), (1, 2, 2, 1), (1, 0, 1, 0)} ⊂ R4.

Bepaal een basis voor S⊥1 .

Lineaire algebra I (wiskundigen)Toets, donderdag 22 oktober, 2009

(1) Zij V het vlak in R3 door de punten

P1 = (1, 2, 1), P2 = (0, 1, 1) en P3 = (−1, 1, 3).

(a) Geef een parametrisatie voor V . Dat wil zeggen, vind vectoren p, v1, v2

zodanig dat geldt

V = {p + sv1 + tv2 : s, t ∈ R}.(b) Geef een vergelijking voor V .(c) Bepaal de afstand van het punt Q = (1, 2, 1) ∈ R3 tot het vlak gegeven

doorx + 2y − 3z = 1.

(d) Bepaal de hoek tussen de vectoren (1, 2, 3, 4) en (4, 3, 2, 1) in R4.

(2) Laat zien dat de vectoren

v1 = (1,−1, 2, 0), v2 = (1,−1,−2, 0), v3 = (3,−2, 1, 4)

in R4 lineair onafhankelijk zijn en breid het rijtje (v1, v2, v3) uit tot eenbasis voor R4.

(3) Gegeven een vectorruimte V en twee lineaire deelruimtes U1 en U2 van V .Bewijs dat de doorsnede U1 ∩ U2 weer een lineaire deelruimte is.

(4) Gegeven een vectorruimte V en complementaire lineaire deelruimtes U1 enU2 van V . Met andere woorden, er geldt U1 ∩ U2 = {0} en U1 + U2 = V .Laat zien dat er voor elke v ∈ V unieke vectoren u1 ∈ U1 en u2 ∈ U2 zijnzodanig dat v = u1 + u2.

Zie achterkant voor laatste opgave!1

2

(5) Waar of niet waar?Geef een tegenvoorbeeld of schets een korte uitleg (hooguit twee regels).(a) Zij V de vectorruimte van alle functies f : R → R. Dan is de verza-

meling

{f ∈ V : f(x) ≥ 0 voor alle x ∈ R}een lineaire deelruimte.

(b) Als (v1, v2, v3) een basis is voor een vectorruimte V dan is

(v1 − v2, v2 − v3, v3 − v1)

dat ook.(c) Als voor twee lineaire deelruimtes U en V van R9 geldt

dim U = dimV = 5,

dan bevat U ∩ V een vector v 6= 0.(d) In de vectorruimte van alle polynomen over Q zijn de zes polynomen

x + 1,

x− 2,

x2 − 3x + 2,

x3 − x,

x3 + x2 + x− 3,

x4 + x2 + 1

lineair afhankelijk.(e) Voor alle r, s ∈ Q is de verzameling

Wr,s = {(w, x, y, z) ∈ Q4 : x + ry = r2(z − w) + s}.een lineaire deelruimte van Q4 dan en slechts dan als s = 0.

Naam: Wiskundigen - math.leidenuniv.nldesmit/edu/la1na_2009/oude_tentamens.pdf · Tentamen Lineaire...

Documents

Transcript of Naam: Wiskundigen - math.leidenuniv.nldesmit/edu/la1na_2009/oude_tentamens.pdf · Tentamen Lineaire...