Hfdst.6 Richtingsafgeleide , gradient en kettingregels

Richtingsafgeleide

We hebben de partiële afgeleiden fx en fy gedefiniëerd als

fx(x,y) =

fy(x,y) =

Stel dat we nu de afgeleide in een punt P(a,b) in een willekeurige richting willen bepalen.

Bv. in de richting van ū =

De helling bij de verplaatsing is de richtingsafgeleide van f(x,y) in (a,b) in de richting van de vector ū.

Definitie:

De richtingsafgeleide van f in (a,b) in de richting van een vector is ū = is

Stel ū = Dit is de richting van de x-as

Duf(a,b) = = = fx(a,b)

Eigenschap

De richtingsafgeleide van f in (a,b) in de richting van een vector is ū = is

waarbij de hoek is tussen grad f(a,b) en ū

Toelichting:

= =

Toegepaste Analyse 26 juni 20081

Duf(a,b) =

Duf(a,b) = | grad f(a,b) | cos ,

Hfdst.6 Richtingsafgeleide , gradient en kettingregels

= | grad f(a,b) | cos

Speciale gevallen

1. = 0 Duf(a,b) = | grad f(a,b) | cos 0 = | grad f(a,b) | De richtingsafgeleide is maximaal in de richting van de gradiënt.De richtingsafgeleide in die richting is gelijk aan de lengte van de gradiënt.

2. = Duf(a,b) = | grad f(a,b) | cos = – | grad f(a,b) | De richtingsafgeleide is minimaal in de richting tegengesteld aan de gradiënt.De richtingsafgeleide in die richting is gelijk aan min de lengte van de gradiënt.

3. = ± ½Duf(a,b) = | grad f(a,b) | cos ½ = 0 De richtingsafgeleide is nul in elke richting loodrecht op de gradiënt.

Opg. 6.27 zelf maken

Opg. 6.38

f(x,y) = x2 + y2 P(2,1) v =

fx(x,y) = 2x fx(2,1) = 4fy(x,y) = 2y fy(2,1) = 2| v | = √2

Duf(2,1) = = 3√2

In de richting van het punt (1 , 2). v =

Duf(2,1) = = –√2

In de richting van de oorsprong (0,0) v =

Duf(2,1) = = –2√5

Toegepaste Analyse 26 juni 20082

Hfdst.6 Richtingsafgeleide , gradient en kettingregels

KettingregelsAls y = f(x) en x = g(t) dan is de afgeleide :

[f(x)] ´ = [f(g(t))] ´ = f’(g(t)) . g´(t) of

Voor functies met 2 variabelen heeft de kettingregel meerdere versies

I f(x(u,v))f is een functie van 1 variabele x enx is een functie van 2 variabelen u en v

fu(x(u,v)) = f´(x(u,v)) . xu(u,v)fv(x(u,v)) = f´(x(u,v)) . xv(u,v)

Vb. f(x) = sin(x) en x(u,v) = u2 + uv + v2

M.b.v. de formule : f´(x) = cos(x)xu(u,v) = 2u + vxv(u,v) = u + 2vfu(x(u,v)) = cos(u2 + uv + v2)(2u + v)fv(x(u,v)) = cos(u2 + uv + v2)( u + 2v)

Directf(x(u,v)) = g(u,v) = sin(u2 + uv + v2)gu(u,v) = cos(u2 + uv + v2)(2u + v)gv(u,v) = cos(u2 + uv + v2)( u + 2v)

II f(x(t),y(t)) f is een functie van 2 variabelen x en y x en y zijn functies van 1 variabele t

[f(x(t),y(t)) ] ´ = fx(x,y) x´(t) + fy(x,y)y´(t)

Vb. f(x,y) = x2 – y2

x(t) = cos(t) en y(t) = sin(t)M.b.v. de formule :fx(x,y) = 2x fy(x,y) = –2yx’(t) = -sin(t)y’(t) = cos(t)[f(x(t),y(t)) ] ´ = –2cos(t)sin(t) – 2sin(t)cos(t) = –4sin(t)cos(t)

Directg(t) = cos2(t) – sin2(t)g´(t) = –2cos(t)sin(t) – 2sin(t) cos(t) = –4sin(t)cos(t)

III f( x(u,v) , y(u,v) )f is een functie van 2 variabelen x en y x en y zijn functies van 2 variabelen u en v

Toegepaste Analyse 26 juni 20083

Hfdst.6 Richtingsafgeleide , gradient en kettingregels

fu( x(u,v) , y(u,v) ) = fx(x,y) xu(u,v) + fy(x,y)yu(u,v)fv( x(u,v) , y(u,v) ) = fx(x,y) xv(u,v) + fy(x,y)yv(u,v)

Vb. f(x,y) = x2 + 2xy + 2y2

x(u,v) = u + vy(u,v) = u – vM.b.v. de formule :fx(x,y) = 2x + 2yfy(x,y) = 2x + 4yxu(u,v) = 1xv(u,v) = 1yu(u,v) = 1yv(u,v) = –1fu( x(u,v) , y(u,v) ) = 2(u+v) + 2(u–v) + 2(u+v) + 4(u–v) = 10u –2vfv( x(u,v) , y(u,v) ) = 2(u+v) + 2(u–v) – (2(u+v) + 4(u–v) ) = –2u + 2v

Direct:g(u,v) = (u + v)2 + 2(u+v)(u–v) + 2(u–v)2 = 5u2 + v2 – 2uvgu(u,v) = 10u – 2vgv(u,v) = 2v – 2u

Toegepaste Analyse 26 juni 20084