Met dank aan Hans Jordens

Einstein en Gödel lopen op de campus van Princeton University, New Jersey

OpzetDeel 1

Geschiedenis Duidelijke voorbeeldenLorentz-transformaties

Deel 2Veel handige formulesTrucs voor opgaves

Annus Mirabilis artikelenHet foto-elektrisch effectDe Brownse bewegingDe speciale relativiteitstheorieDe relatie tussen massa en energie

Onnodige assymetrie• It is known that Maxwell's electrodynamics—as usually

understood at the present time—when applied to moving bodies, leads to asymmetries which do not appear to be inherent in the phenomena.

• Doelt op magneet en geleider

• Einstein: er is niet zoiets als “absolute rust” (ether)

Albert Einstein, Zur Elektrodynamik bewegter Körper, in Annalen der Physik (1905)

LichtsnelheidLichtsnelheid is constant

Metingen op aardeDubbelsterren

Michelson-MorleyEther bestaat niet

Fizeau in 1849

Michelson-Morley in 1887

De lichtklokAls je aanneemt dat lichtsnelheid constant is,

dan moet tijd langzamer gaan in raketten!

Je gebruikt hier al dat lengtes loodrecht op de bewegingsrichting niet veranderen

VoorbeeldIn raket: 1 nseconde Vanaf aarde: 1,5

nseconde

150.000 km per seconde

Conclusie: in raket word je minder snel ouder; de tijd gaat langzamer!

BerekeningNoem tik klok in raket: tNoem tik klok op aarde: T

222 tcd

c

dt

Lichtsnelheid is cSnelheid raket is v

cT

vT

22222222

22222

)( TvcTvTcd

TcTvd

Conclusie

De formule voor tijddilatie:

Let op: zien/observeren

2222

222

)( Tvcd

tcd

//1 22 TTcvt

Tc

vct

2

22

222 /1

1

1

1

cv

cv /

Voorbeeld berekeningRaket met 200.000 km/seconde (67%

lichtsnelheid)

200.000/300.000 = 0.667 Dus als op aarde 1 seconde voorbij gaat,

gaat in raket 0.745 seconde voorbij.

Klassiek is erg dichtbij 1

745.0667.01 2

TcvTt 22 /1/

ExperimentenMuonen uit atmosfeer: levensduur

normaal 2.2s, maar door snelheid langer (98% van lichtsnelheid)

Maar hoe ziet dit eruit vanuit de muonen? atmosfeer is korter Lorentzcontractie

Opgave: leid dit af door lichtklok te draaien.

Gelijktijdigheid

Definieer gelijktijdig:Licht van A B kost zelfde tijd als licht van B

A

link

t-x diagram:Makkelijkst in diagram:

Vergelijking voor t' = 0:(zelfde hoek)x

c

vct

Transformatie van coördinaten - klassiek

z

OO

y

S

dan volgt:

'

'

'

'

tt

zz

yy

vtxx

)0()0(' OO

tt

zz

yy

vtxx

'

'

'

'

SS’S’S

x

z’

y’

O’ x’

xvv ˆ

S’

z’

y’

O’ x’

xvv ˆ

S’

Lichtsnelheid is constant!

z

OO

y

Sx

z’

y’

O’ x’

xvv ˆ

S’

foton

z’

y’

O’ x’

xvv ˆ

S’

foton

S’:S:

0)'(''' 2222 ctzyx

0)( 22 ctx

22 )(ctx

0)( 2222 ctzyxalgemeen

Transformatie van coördinaten - RelativistischLichtpuls vanaf oorsprong (t=t'=0)

Afstanden loodrecht veranderen nietGebruikt definitie van gelijktijdigheid (en keuze O)Gebruikt tijdsvertraging

)('

'

'

)('

2

1

xctact

zz

yy

vtxax

0)'(''' 2222 ctzyx0)( 2222 ctzyx

ctx

21

222

221 0)()(

aa

ctctavtcta

Lorentz-transformatiesNaar bewegend coordinatenstelsel:

Tijddilatatie, lengtecontractie en gelijktijdigheid speciale gevallen!

Inverse transformatie: (vector!)Opgave: check dit explicietHint: altijd handig:

)(' xctct

)(' ctxx

222 1

Snelheden optellenDe simpele manier, invullen:

Loodrechte in y-richting (of z): dy'=dy

)1(

)(

dtdx

c

cdtdx

'

''

dt

dxv x

dtdtdtdx

'

'

21c

vvvv

x

x

)/1('

2cvv

vv

x

yy

Snelheden optellenOpgave: vind formule door consistentie

g is Dopplerformule (slide 26)

Opgave: bewijs dat niks sneller dan het licht reist

)()'()( xx vgvgvg

CausaliteitSubtiel door gelijktijdigheid

Sneller dan licht terug in de tijd! (mag niet)

ct

1xx

1ctniet-causaal

causaal

niet-causaal

naar links gaand foton naar rechts gaand foton

ImpulsKlassiek:

mc

vmp

Relativistisch:

v

neem voor t de eigentijd van het systeem

vervang dan dt door d

dtd uit zodat

t

volgt

dxd

mp

n

vmdt

xdmp

dtxd

m

vmdt

xdm

S’

‘Echte’ tijd van klok die met object beweegt.

Impuls en energieDe truc: impuls ~ beweging in ruimteenergie ~ beweging in tijd

Relativiteit geeft ruimtetijd én ‘4-impuls’Garandeert impulsbehoudDus: impulsbehoud in S impulsbehoud in S’

Kinetische energie: energie - rustenergie

mcd

ctdmcEmc

d

xdmp

)(

/

)1(2 mcK

Impuls en energie (2)Samenvatting + extreem handige formule

d blijft hetzelfde, dit geeft Lorentz-transformatie:

)('

)('

xctct

ctxx

)('

)('

pcEE

Epccp

d

ctdmcE

d

xdmp

)(/

c

Emcp

mcE

2

42222 cmcpE 222 1

Dé formuleDe rustenergie is nu gegeven door:

Geldig voor alle soorten energie

Vorige dia: m in zekere zin zo gedefinieerd

Over 2 dia’s: m is ‘normale’ m (door klassieke limiet)

2mcE

Krachten en kinetische energieTweede wet van Newton blijft hetzelfde:

Als functie van :

mcdt

dp

dt

dF

mc

dt

dmc

dt

d

dtvda /

dt

d

dt

d

32/32 )1(dt

ddt

d

d

d

dt

d

d

d

21

1

dt

dvmF 3

mcdt

dmc

dt

d 322 )1( mcdt

dmc

dt

dF

3

Krachten en kinetische energieNu kunnen we de kinetische energie uitrekenen:

Dus definities zijn consistent Opgave: laat zien dat voor kleine snelheden

2/323 )1(

vdvm

0

23

2

1

]1)1[(2 2/12

)1(2 mcK

v

dxFK0

vvdt

dt

dvm

0

3 vdmc

0

232

2

1

vvd

0

2/12

0

23 )1(2 )1(2

2

2

1mvK

'ff

Doppler-effectin sterrenstelsel S’

'' hfE

v

x̂ xc

Ep foton ˆ

''

)'

'(1

12

cc

EE

Roodverschuiving

1

1'ff

)''( cpEE

1

1'E

S’

S

foton

foton:

Doppler-effectOpgave: alternatieve afleiding

Als bij geluid: bekijk frequentie golffrontenRelativistisch: tijd gaat langzamer in stelsel

Opgave 2:

grootste gemeten roodverschuiving: z = 7hoe groot is de snelheid?

11

1

z

BonusparadoxenDe spaceship-paradox van John Bell

De ladder in de schuur

Ook interessantAlgemene relativiteit:

Zwaartekracht in theorieRuimte en tijd vormen samen ruimtetijdRuimtetijd is gekromdZwarte gaten zijn onvermijdelijk

BelangrijkImpuls én energiebehoud geldt in elk stelsel

Kies dus handigste stelsel (center of mass?)

Er zijn vaak verschillende snelhedenDe -factor gebruikt de snelheid tussen stelselsDe andere snelheden zijn snelheden in stelsels

Onthoud belangrijkste formules

(Paradoxen: meestal hebben beide waarnemers gelijk)

Samenvatting formulesLorentztransformaties

(tijdvertraging/lengtecontractie/gelijktijdigheid!)

Energie en impuls

Massaloze deeltjes (foton, heel snel deeltje):Kinetische energie:

Optellen snelheden

Doppler-effect

)1(2 mcK

1

1'ff

2mcEmcp 42222 cmcpE

)(' xctct )(' ctxx 222 1

pcE

2)( /1)('

cvv

vvv

x

xyx

21

1/

cv