rekenonderwijs. En wel op een manier die past bij de visie ... · rekenonderwijs. En wel op een...

Basisscholen geven aan dat zij behoefte hebben aan verbetering van het rekenonderwijs. En wel op een manier die past bij de visie van de school.

Ze vragen APS om advies en ondersteuning bij visieontwikkeling, bij het formuleren van rekenbeleid, bij het begeleiden van leraren op de werk-vloer, bij het betekenisvol maken van het rekenonderwijs, bij het bereiken van betere resultaten of bij het opleiden van rekencoaches in de school.

Op basis van deze vragen en praktijkervaringen, is een aanpak voor het verbeteren van het rekenonderwijs ontwikkeld. Deze aanpak hebben we een ‘kwaliteitsslag rekenen’ genoemd.

De kwaliteitsslag rekenen, hier in beeld gebracht, is bedoeld als inspi-ratiebron voor leraren en schoolleiders die zo’n kwaliteitsslag rekenen willen maken. Maar ook voor alle betrokkenen in het onderwijs die van kinderen bewuste rekenaars willen maken. Kinderen die met vertrouwen en plezier goed kunnen rekenen.

Rekenen verbeteren? Begin bij de leraar!

Kees HooglandDolf JansonMadeleine VliegenthartRachel van VugtEllen ZonneveldAnnemieke Zwart

lereninspireren

Reke

nen ve

rbete

ren? B

egin

bij d

e le

raar!


Kees HooglandDolf Janson Madeleine Vliegenthart Rachel van VugtEllen ZonneveldAnnemieke Zwart

`

ColofonTitel Rekenen verbeteren? Begin bij de leraar!

Auteurs Kees Hoogland, Dolf Janson, Madeleine Vliegenthart, Rachel van Vugt,

Ellen Zonneveld, Annemieke Zwart

Eindredactie Rachel van Vugt

Vormgeving APS, Monique Maasse

Foto’s U-See, Shutterstock, APS-projectgroep rekenen

Druk Drukkerij Ten Brink, Meppel

Bestelnummer 962062

Bestellen Deze brochure is te bestellen bij BDC Meppel,

0522 23 75 55. Bestellen kan ook via www.aps.nl.

© 2011, APS Utrecht

Deze publicatie is geschreven door APS in opdracht van het Ministerie van OCW. Deze publicatie

dient ter inspiratie en ondersteuning van het basisonderwijs bij het verbeteren van het rekenonder-

wijs. Opdat alle kinderen goede rekenaars worden en plezier beleven aan rekenen.

Het is toegestaan om, in het kader van een educatieve doelstelling, niet bewerkte en niet te

bewerken (delen van) teksten uit deze publicatie te gebruiken, zodanig dat de intentie en aard van

het werk niet worden aangetast. Het is toegestaan om het werk in het kader van educatieve doel-

stellingen te verveelvoudigen, op te slaan in een geautomatiseerd gegevensbestand of openbaar te

maken in enige vorm, zoals elektronisch, mechanisch of door fotokopieën.

Bronvermelding is in alle gevallen vereist en dient als volgt plaats te vinden:

Bron: Hoogland, K. e.a. (2011). Rekenen verbeteren? Begin bij de leraar! Utrecht: APS. In opdracht

van het Ministerie van OCW

APS is een toonaangevend onderwijsadviesbureau op het gebied van leren, onderwijsvormgeving, schoolontwikkeling en leiderschap. Via advies, training, coaching en projectleiding werken we met docenten en leidinggevenden aan duurzame vernieuwing. Onze aanpak is geënt op wetenschappelijke inzichten, deelname aan innovatieprojecten en ervaring in de praktijk van alledag. We werken met 120 trainers/adviseurs.

3INHOUD

Inhoud

Inleiding 5

Deel 1 Opvattingen van de leraar 7Beginnen bij de opvattingen van de leraar 9Opbrengsten van interviews met leraren 11Visie op rekenonderwijs 15Wat is goed rekenonderwijs? 20

Deel 2 De praktijk in beeld 23Domeinen en doelen 25Rijke, betekenisvolle rekenopdrachten 35Rijke leeromgeving 43De rol van de leraar 44Prestaties en groei van leerlingen zichtbaar maken 52

Deel 3 Wat betekent deze aanpak voor het rekenbeleid? 55Schoolbreed rekenbeleid start van onderop 57

Inspirerende bronnen 61

Nawoord 64

5INLEIDING

Inleiding

Basisscholen geven aan dat zij behoefte hebben aan verbetering van het rekenonderwijs. En wel op een manier die past bij de visie van de school. Ze vragen APS om advies en ondersteuning bij visieontwikkeling, bij het for-muleren van rekenbeleid, bij het begeleiden van leraren op de werkvloer, bij het betekenisvol maken van het rekenonderwijs, bij het bereiken van betere resultaten of bij het opleiden van rekencoaches in de school. Op basis van deze vragen en praktijkervaringen, is een aanpak voor het verbeteren van het rekenonderwijs ontwikkeld. Deze aanpak hebben we een ‘kwaliteitsslag rekenen’ genoemd. De kwaliteitsslag rekenen, hier in beeld gebracht, is bedoeld als inspira-tiebron voor leraren en schoolleiders die zo’n kwaliteitsslag rekenen willen maken. Maar ook voor alle betrokkenen in het onderwijs die van kinderen bewuste rekenaars willen maken. Kinderen die met vertrouwen en plezier goed kunnen rekenen.

Deze publicatie bestaat uit drie delen. Startpunt van de kwaliteitsslag reke-nen is de leraar, iets preciezer gezegd: de opvattingen van de leraar. Eigen opvattingen over rekenonderwijs spelen een belangrijke rol in de manier waarop een leraar nu lesgeeft. Die opvattingen geven richting aan het han-delen van de leraar. In deel 1 valt hierover te lezen.

Naast deze opvattingen spelen ook andere elementen een rol in het realise-ren van een kwaliteitsslag. Het gaat dan om de volgende elementen van de kennisbasis van de leraar: zicht hebben op doelen, welke rol kies je als leraar, het in beeld brengen van prestaties en groei van leerlingen, en het verbinden van rekenen met de werkelijkheid. Door met deze elementen aan de slag te gaan in de praktijk treedt er verbreding en versterking van de kennisbasis van leraren op. Leraren zijn daardoor beter in staat om beredeneerd reken-onderwijs vorm te geven. In deel 2 worden de elementen van de kennisbasis uit- en toegelicht. Deel 3 biedt richtlijnen voor schoolbesturen, schoolleiding en ib’ers in de manier waarop ze die kwaliteitsslag rekenen kunnen realiseren. Er wordt een aanpak beschreven die uitmondt in schoolbreed rekenbeleid. Deze aanpak

6 REKENEN VERBETEREN? BEGIN BIJ DE LERAAR!

biedt kansen om professionele groei van leraren een permanente plaats in de school te geven.

Wij hopen van harte dat deze publicatie een inspiratiebron is voor leraren en teams die ook een kwaliteitsslag rekenen willen maken. Rachel van Vugt

7DE WERELD IS NIET VAN ONS, DE KINDEREN HEBBEN DIE AAN ONS GELEEND

Deel 1Opvattingen van de leraar

Startpunt van een kwaliteitsslag rekenen

9BEGINNEN BIJ DE OPVATTINGEN VAN DE LERAAR

Beginnen bij de opvattingen van de leraar

Door met een leraar in gesprek te gaan over de wijze waarop rekenlessen wor-den gegeven, wat succeservaringen zijn en wat er nodig is om het peil van het rekenonderwijs te verhogen, krijg je de opvattingen van de leraar in beeld.

In de gesprekken met leraren zijn twee elementen steeds aanwezig: 1. herinneringen van de leraren aan het rekenonderwijs dat zijzelf kregen en 2. hun beelden van een ‘Yés-les’, anders gezegd: van ideaal rekenonderwijs.

In de gesprekken komen herinneringen van leraren op tafel. In de verhalen hoor je leraren impliciet en expliciet spreken over wat zij goed rekenonder-wijs vinden. Het is het vertrekpunt dat hun gedrag tijdens rekenactiviteiten mede bepaalt. In veel gesprekken blijkt al snel dat leraren zich niet altijd bewust zijn van hun eigen opvattingen. Er zijn leraren die zich in het gesprek realiseren dat ze: • ook nu geen plezier beleven aan rekenlessen;• het nu 180 graden anders doen: “Zoals toen wil ik het niet, dat gun ik

mijn leerlingen niet!”;• hun eigen ervaringen benutten, hun eigen leraar als een voorbeeld

blijven zien. Door in gesprek te gaan treedt deze bewustwording op en zien leraren dat herinneringen aan hun eigen rekenonderwijs in grote mate hun drijfveren van nu bepalen. Als je je rekenonderwijs wilt verbeteren, helpt het om bewust stil te staan bij je overtuigingen. Je krijgt zicht op waarom je de dingen doet zoals je ze doet.

11OPBRENGSTEN VAN INTERVIEWS MET LERAREN

Opbrengsten van interviews met leraren

Herinneringen aan je rekenonderwijs als leerling

Rian, de Bosweide: “Ik herinner me hoe ik mij vroeger bij het rekenen alleen voelde. Ieder kind zat achter een eigen tafeltje en werkte uit z’n eigen boekje. Wie het niet goed snapte, kreeg uitleg van de meester. Ik zie nu dat ik in mijn rol als leerkracht aandacht voor alle kinderen wil hebben.”

Jasperina, de Sterrenwacht: “Rekenen was voor mij één grote brei waar ik doorheen moest. Een onzekere tijd, die basisschooltijd. Ik moest voor rekenen hard werken. Vooral staart-delingen en de breuken vond ik moeilijk. Op de pabo had ik een aha-erlebnis: ‘Oh, zit dat zo!’ Ik besef nu dat deze ervaring op de basisschool maakt dat ik, misschien wel te gestructureerd, leerlingen stap voor stap door de stof begeleid.”

Susanne, de Bosweide: “Rekenen was leuk en vooral ontspanning, omdat je alleen rekende! Ik kon het goed. We moesten vooral uit ons hoofd rekenen, ik paste een trucje toe. Bang om fouten te maken was ik niet. Tot het moment dat ik verhuisde en op een nieuwe school kwam. Die overgang was als een draaikolk. Daar deden ze het anders. Ik snapte niet hoe ze sommen oplosten. Ik werd angstig, onzeker en ongemotiveerd. Ik zie nu in dat deze ervaring maakt dat ik kinderen niet een strategie aanleer, maar ze flexibel met meerdere strategieën leer omgaan.”

13OPBRENGSTEN VAN INTERVIEWS MET LERAREN

Beelden van ideaal rekenonderwijs

Verschillende visies op rekenen leiden tot zeer verschillende aanpakken voor rekenen op school met verschillend resultaat, zeker op lange termijn. Daarom is het van belang dat scholen zich bezinnen op de richting die ze willen inslaan en op de benadering die ze willen kiezen. Het formuleren van een visie kan op verschillende manieren gebeuren. Een mogelijkheid is om de opvattingen van de leraren als startpunt te nemen: hoe ziet voor jou het ideale rekenonderwijs eruit?

De praktijk laat zien dat wanneer je met elkaar in gesprek gaat over idealen, er gemeenschappelijke uitspraken boven komen drijven die uitstekend als bouwstenen kunnen dienen voor de ontwikkeling van een visie op reken-onderwijs.

Susanne, de Bosweide: “Het interview prikkelde me om na te denken over wat ik nu eigenlijk belangrijk vind voor mijn leerlingen en hoe ik daaraan zou willen werken. Door de kritische vragen van toen, stel ik mezelf nu nog steeds de vraag: Waarom doe ik dit op deze manier? Wat is mijn doel? Wat wil ik bereiken?”

Rian, de Bosweide: “Mijn ideale les was een les waarbij we aan een thema werkten. De kinderen maakten prijslijsten, namen bestellingen op en rekenden af. Ieder kind wilde een bijdrage leveren en bedacht uitdagingen voor zichzelf. Het mooiste vond ik dat ze zeiden: ‘Juf, we hebben vandaag niet gerekend.’”

Sanne, het Plein:“Als ik het rekenonderwijs mag vormgeven? Alle kinderen zijn dan samen aan het ontdekken en met elkaar in gesprek. Ieder kan op eigen niveau en tempo meedoen, maar wel met hetzelfde doel voor ogen. Alle leerlingen zetten zich in en zijn gemotiveerd om met rekenen aan de slag te gaan.”


Wat vind je met elkaar goed rekenonderwijs?

Vanuit persoonlijke idealen zijn als team gemene delers te benoemen. Leraren noemen veelal: • rekenen met plezier en zelfvertrouwen;• voor alle kinderen positieve resultaten; • met en van elkaar leren; • zelf ontdekken door te doen;• een gezamenlijk doel als kader, daarbinnen ruimte voor ieder kind.

De bouwstenen die voortkomen uit de gesprekken bieden tevens aankno-pingspunten om het repertoire uit te breiden. Je kunt een proeftuintje star-ten in je eigen groep of bouw om het rekenonderwijs anders vorm te geven. In een proeftuintje pakken een paar leraren een en ander anders aan en proberen ze dingen uit. De (succes)ervaringen worden met elkaar gedeeld.Proeftuintjes zijn dan een manier om het eigen repertoire uit te breiden en leveren uiteindelijk beproefde bouwstenen op voor een gedeelde visie op goed rekenonderwijs.

15VISIE OP REKENONDERWIJS

Visie op rekenonderwijs

In de gesprekken over idealen komen, zoals eerder gezegd, opvattingen bovendrijven die als bouwstenen kunnen dienen voor een doordachte ver-nieuwde visie op rekenonderwijs. Vanuit de theorie zijn er globaal drie perspectieven te onderscheiden, drie verschillende manieren om naar rekenonderwijs te kijken:

Cijferen: sterke nadruk op oefenen van sommen Cijferen is het werken met kale getallen en algoritmische bewerkingen om te komen tot een antwoord. Eeuwenlang was dit de manier waarop rekenen plaatsvond in handel en nijverheid. Daardoor staat het ook wel bekend als ‘koopmansrekenen’. De school bereidde kinderen daarop voor. Cijferen leent zich goed voor eenvoudig testen en remediëren. Je bekijkt welke sommen leerlingen fout doen. De remedie is vervolgens veel oefenen van dergelijke sommen en op de eerstvolgende toets gaat het altijd een stukje beter, ernstige gevallen uitgezonderd. Het langetermijneffect is vaak laag. Een flinke dosis rekenangst en afkeer (math anxiety) is een bijproduct van deze aanpak. Oefenen is niet hetzelfde als cijferen, oefenen op zich is nuttig; geen enkele benadering van rekenen zal effectief zijn zonder oefenen. Realistisch rekenen: sterke nadruk op contextrijk rekenen Realistisch rekenen is op dit moment de meest gangbare manier waarop reken-wiskundeonderwijs in Nederland is ingericht. Leerlingen zien een rela-tie tussen het rekenen en de wereld om zich heen en daardoor de relevantie van het geleerde. Ruimte krijgen voor eigen oplossingsstrategieën is bij deze benadering van belang. Het draagt eraan bij dat kinderen de essenties in rekensituaties leren herkennen, scherp leren denken en de vaardigheid ontwikkelen om proble-men op te lossen. Uit vergelijkende internationale onderzoeken bleken juist deze vaardigheden in Nederland goed ontwikkeld. Het realistisch rekenen is zeker niet probleemloos. Leraren hebben veel ken-nis nodig over rekenstrategieën. Ze hebben ook vaardigheden nodig om het eigen denken van leerlingen te stimuleren. Soms is realistisch rekenen niet veel meer dan ploeteren door talige contexten om de daarin verstopte som-


men te achterhalen en op te lossen. Dat is niet uitdagend voor goede leer-lingen en niet effectief voor (taal)zwakke leerlingen.

Gecijferdheid: de kwantitatieve kant van de wereld als uitgangspuntBij gecijferdheid is, nog meer dan bij realistisch rekenen, de wereld om ons heen het uitgangspunt. Veel berekeningen zitten tegenwoordig verborgen in apparaten. Bewerkingen met grotere getallen gebeuren op een rekenmachine (binnen handbereik op je mobieltje). Alle informatiebronnen waar je in het dagelijks leven mee te maken hebt staan bol van de cijfers. Het kunnen interpreteren van al die getallen, diagrammen en grafieken is essentieel om de juiste keuzes te kunnen maken, zowel in toekomstige beroepen als in vrije tijd. Leerlingen hebben een uitgebreid repertoire nodig om zich in deze complexe kwantitatieve wereld te kunnen redden. Ook dat vraagt oefening, in een grote verscheidenheid aan vormen: rekenen uit het hoofd, op papier en digitaal, in spelsituaties, maar ook bijvoorbeeld bij het openbaar vervoer, verdienen en kopen.

17WERKVORMEN OM VISIE TE ONTWIKKELEN

Werkvormen om visie te ontwikkelen

Drie visies verkennenHet doel is de visie op rekenen van de aanwezigen helder in beeld te krijgen.

ProcedureJe bent met een groep mensen rondom rekenen bijeen in een lokaal of ruime kamer. Een van de personen is de gespreksleider.• De drie visies op rekenen (zie vorige pagina’s) worden toegelicht en

geïllustreerd met voorbeelden. Vervolgens worden bordjes met de visies opgehangen in het lokaal, liefst zo dat ze ongeveer een gelijkzijdige drie-hoek vormen.

• De vraag die voorligt is: ‘Welke visie heeft jouw voorkeur? Waar sta jij in relatie tot de drie visies?’

• Iedereen krijgt de gelegenheid door het lokaal te lopen en een plek in de driehoek te kiezen die het best past bij zijn/haar standpunt.

• Een aantal personen wordt gevraagd hun gekozen plek toe te lichten. Het gaat om argumenten geven, eigen beelden naar voren halen, zicht krijgen op hoe jij tegen rekenen aankijkt.

• De gespreksleider stelt vragen en geeft anderen de ruimte om vragen te stellen.

Muurtje bouwen bij rekenenHet doel is boven tafel te krijgen wat de aanwezigen belangrijk vinden ten aanzien van rekenen. Wat zijn belangrijke onderwerpen en vooral waarom. Werk in groepen van drie tot zes mensen.

ProcedureNeem een A4’tje met uitspraken over rekenen en een A4’tje met de opbouw van een muurtje.1. Bestudeer individueel de uitspraken, de bouwstenen.2. Als je bepaalde uitspraken, bouwstenen, mist die je belangrijk vindt,

voeg deze toe, het liefst met een korte toelichting.3. Nummer alle uitspraken en knip ze uit.4. Bouw je eigen muurtje.

- Begin door in de onderste rij die uitspraken neer te leggen die je essen-tieel vindt.

- Uitspraken die iets minder belangrijk zijn, leg je in de rij daarboven;


Nog minder belangrijke uitspraken komen in de derde rij.

19WERKVORMEN OM VISIE TE ONTWIKKELEN

- Uitspraken die je irrelevant vindt, doe je in de ‘prullenbak’.5. Vergelijk nu de muurtjes onderling.

- Stel vast welke uitspraken door iedereen belangrijk gevonden worden. - Stel ook vast over welke uitspraken grote verschillen van mening

bestaan. - Probeer tot consensus te komen, tot een muurtje voor de groep, maar

accepteer ook van elkaar als er verschillen blijven bestaan.

Bouwstenen voor het muurtje1. Bij rekenen zou ik het accent willen leggen op cijferen.2. Bij rekenen zou ik het accent willen leggen op realistisch rekenen.3. Bij rekenen zou ik het accent willen leggen op gecijferdheid.4. Het belang dat de maatschappij hecht aan goede beheersing van (taal- en) rekenvaardigheden vind ik een belangrijk motief.5. Aan wensen vanuit het vervolgonderwijs moeten we goed gevolg geven.6. Ik vind het belangrijk achterstanden op te sporen.7. Ik vind het belangrijk om vooral in te zetten op de groei van leerlingen. 8. Naast dat ik leerlingen toets op wat ze nog niet beheersen, vind ik het belangrijk dat ik observeer wat ze al wel kunnen. 9. Op termijn moet een school als de onze kunnen aantonen dat haar leerlingen voldoende rekenvaardig zijn.10. Rekenen wordt de leerlingen alleen aangeboden in rekenlessen.11. Ik zou apart rekenmateriaal in willen zetten.12. Ik zou digitaal rekenmateriaal willen gebruiken.13. Ik zou het liefst zelf materiaal ontwikkelen.14. Ik vind dat er door leraren op dezelfde manier gerekend moet worden.15. Ik vind dat rekenvaardigheden regelmatig getoetst moeten worden.16. Instructie moet alleen gegeven worden aan leerlingen met rekenachterstanden.17. Ik vind het belangrijk om goed te weten op welk niveau leerlingen groep 8 verlaten. 18. Ik werk graag vanuit rijke rekenopdrachten, zodat kinderen zelf kunnen ontdekken en ondervinden.


Wat is goed rekenonderwijs?

In de media en daarbuiten is veel discussie over het hedendaagse reken-onderwijs. In die discussie gaat het over resultaten, over de inhoud van het rekenonder-wijs (Wat?) en over de manier waarop dat in de klas wordt uitgevoerd (Hoe?). Maar wat is dan goed rekenonderwijs?

Realistisch rekenen is de afgelopen 20 tot 30 jaar ontwikkeld en de belang-rijkste aanpak geworden in het Nederlands rekenen wiskundeonderwijs. Realistisch rekenen wordt wereldwijd gezien als een goed gedocumenteerde en onderzochte instructietheorie voor het leren rekenen. Ook de resultaten zijn internationaal gezien van goede kwaliteit.Is dat dan dus goed rekenonderwijs?

Realistisch rekenen kent een aantal uitgangspunten die tot kwalitatief hoog-staand rekenonderwijs kunnen leiden. Dat zijn kwaliteiten. In de praktijk van alledag echter kunnen deze uitgangspunten soms ook doorslaan, niet goed begrepen worden of moeilijk onderwijsbaar zijn. Dan spreekt men van vervormingen. Deze kunnen een averechts en daarmee negatief effect hebben op het reken-onderwijs.In de discussie blijken tegenstanders voortdurend te hameren op de vervor-mingen die in de praktijk zichtbaar zijn. De voorstanders proberen vooral de kwaliteiten te benadrukken.Waar scholen ongetwijfeld behoefte aan hebben is de vervormingen bestrij-den en de kwaliteiten beter tot hun recht laten komen.

Hiernaast staan een aantal van die kwaliteiten en vervormingen op een rij-tje. Een ieder zal deze ongetwijfeld vanuit eigen ervaringen herkennen en kunnen aanvullen.

21KWALITEITEN EN VERVORMINGEN VAN REKENONDERWIJS

Kwaliteiten en vervormingen van rekenonderwijs

Kwaliteiten Vervormingen

Het gaat om meer dan alleen oefe-nen en automatiseren.

Oefenen en automatiseren is niet meer belangrijk.

Contexten zijn belangrijk om ver-binding te leggen met de wereld om je heen.

Alles moet in contexten.Contexten zijn talige omschrijvingen en tekeningen in het boek.

Gebruikmaken van verschillende oplossingsstrategieën van leerlin-gen is belangrijk.

Leerlingen te snel allerlei oplossingsstrate-gieën aanreiken.

Inzicht in de rekenbewerking is belangrijk.

Als je een som snapt hoef je niet meer te oefenen.

De rekenmachine moet goed worden ingezet: wanneer wel, wanneer niet, kritisch op de uitkomsten.

Je hoeft niet meer te rekenen, want je hebt toch een rekenmachine.

Alle schoolboeken zijn inmiddels op realistische leest geschoeid.

Het boek is heilig. Alles moet gedaan. Geen tijd voor zaken naast het boek.

Verbinding met de werkelijkheid maakt het voor leerlingen leuker en betekenisvoller.

Het moet altijd leuk en het mag nooit moeilijk.

Kolomsgewijs rekenen of de hap-methode blijft dicht bij het denken van het kind. Het is voor vele kinderen een mooi eindpunt, maar voor veel andere kinderen een opstap naar meer formeel rekenen.

Standaardalgoritmen, zoals de staartdeling, mogen aan geen enkele leerling meer onder-wezen worden, want die deugen niet.

Kinderen verschillen in denken, in oplossen en in tempo. Het is goed daar rekening mee te houden.

Tijdens de rekenles wordt individueel gewerkt uit het boek.

Alle kinderen moeten adequaat toegerust worden voor de kwanti-tatieve kant van de wereld om ons heen.

Alle kinderen moeten het gehele programma door, ook als blijkt dat ze daar in groep 7 en 8 weinig van bijleren.


Deel 2De praktijk in beeld

Impulsen voor het rekenonderwijs

25DOMEINEN EN DOELEN

Domeinen en doelen

Om de praktijk een impuls te geven helpt het om zicht te krijgen op domei-nen en doelen. In rekenmethodes worden regelmatig veel verschillende domeinen tegelij-kertijd aangepakt. Dit werkt niet altijd prettig. Zicht op de grote lijn is dan lastig.

Om grip te krijgen op de grote lijn kunnen de referentieniveaus rekenen onder-steunend zijn. Ze omschrijven wat leerlingen moeten kennen en kunnen op bepaalde momenten in hun schoolloopbaan, waardoor je beter zicht kunt krijgen op waar het uiteindelijk naartoe moet.De referentieniveaus zijn in de volgende vier domeinen verdeeld: Getallen, Ver-houdingen, Meten & Meetkunde, Verbanden.Door je te verdiepen in de methode, de doelen en de domeinen van de refe-rentieniveaus 1F en 1S krijg je als vanzelf meer inzicht in het rekenonderwijs. Dit kan helpen bij het maken van keuzes en het voorbereiden en uitvoeren van de rekenlessen.

Annette, de Fontein“Na een middag werken en stoeien met het boek, heb ik voor mezelf de domei-nen en doelen kort en bondig opgeschreven. Het zelf moeten doen maakt dat het van jezelf wordt en dat ik nu meer grip op de grote lijn heb.”

Sandrien, dr. Schaepmanschool “Ik heb de doelen en domeinen nu helder in mijn hoofd zitten, waardoor ik opgaven uit de methode aan elkaar kan koppelen.”

Door langere tijd aan hetzelfde domein te werken, zie je in de praktijk dat leerlingen met meer vertrouwen aan het werk zijn. En als leraar kun je beter omgaan met verschillen, doordat je leerlingen een langere tijd ziet werken aan een onderwerp. Je kunt ze dan observeren en inspringen op de aanwe-zige verschillen tussen de leerlingen.


Hoe kun je dit aanpakken?

• Organiseer een werkbijeenkomst met alle collega’s in je bouw of doe het voor jezelf om grip te krijgen op de grote lijn.

Ieder brengt de handleiding en andere methodematerialen van de eigen groep mee. Denk hierbij ook aan toetsen die worden gebruikt in de school.

• Ga uit van de referentieniveaus rekenen en bekijk per domein wat er in jouw groep aan de orde moet komen. Inventariseer bij elk domein wat de leerlingen moeten kennen, kunnen en begrijpen als ze bij jou binnenkomen én bij de overgang naar de volgende groep. Welke doelen zijn belangrijk in jouw leerjaar?

• Benoem grote stappen die leerlingen moeten nemen, cruciale momenten die ze nodig hebben om verder te gaan in hun rekenontwikkeling. Breng in de stappen enigszins een volgorde aan. Noteer wat jij verder belang-rijk vindt voor jouw leerlingen. Probeer de domeinen en doelen op twee A4’tjes te ordenen. Houd vooral de grote lijn voor ogen.

Door de verschillende domeinen van de opeenvolgende groepen achter elkaar te zetten creëer je met elkaar een doorgaande lijn.

Malika, het Plein “Als je weet waar een leerling ergens in een bepaald domein zit, d.w.z. wat hij al beheerst, dan heb je ook een idee wat de volgende stap in zijn leerproces zou moeten zijn. Dat is altijd aansluiten bij wat een leerling al wel kan.”

Susanne, de Bosweide“Continue hebben jullie van APS mij na laten denken waarom ik iets doe. Wat is je doel? Wat wil je bereiken?”

Terry, de Watertoren “Ik kijk nu kritischer naar de methode. Ik doe niet alles meer omdat het er staat, ik maak beredeneerde keuzes. Is dit nu voor deze kinderen de volgende stap? Kan ik dat geclusterd ook op een later moment aanbieden? Dat is een proces van leren loslaten, goed weten hoe de grote lijn eruitziet en weten waar de kinderen zitten in hun ontwikkeling.”


GETALLENweten waarom• Orde van grootte van getallen beredeneren.• Interpreteren van een uitkomst met rest bij

gebruik van een rekenmachine.• Structuur van het tientallig stelsel.

lereninspireren

weten waarom• Eigen referentiematen ontwikkelen.• Een vierkante meter hoeft geen vierkant te zijn.• Betekenis van voorvoegsels zoals ‘kubieke’.• (lengte)Maten en geld in verband brengen met decimale getallen.

vErhoudiNGEN

Vertalen van eenvoudige situatie naar berekening.

functioneel gebruiken functioneel gebruiken

Verstandige keuze maken tussen zelf uitrekenen of rekenmachine gebrui-ken (zowel kaal als in eenvoudige dagelijkse contexten zoals geld- en meetsituaties).

1F

Notatie van breuken (horizontale breuk-streep), decimale getallen (kommage-tal) en procenten (%) herkennen.

Beschrijven van een deel van een geheel met een breuk.

Verhoudingen herkennen in verschillende dage-lijkse situaties (recepten, snelheid, vergroten/ver-kleinen, schaal enz.).

weten waarom• Eenvoudige verhoudingen met elkaar vergelijken: 1 op de 3

kinderen gaat deze vakantie naar het buitenland. Is dat meer of minder dan de helft?

funct

ioneel g

ebru

iken

funct

ioneel g

ebru

iken

weten waarom• Uit beschrijving in woorden eenvoudig patroon

herkennen.• Informatie op veel verschillende manieren kan

worden geordend en weergegeven.

mETEN & mEETkuNdE vErbANdENDe inhoudelijke beschrijvingen zijn voorzien van voorbeelden. Deze voorbeelden en de vormgeving van deze poster zijn ontworpen door de APS–expertgroep rekenen-wiskunde gecijferdheid. Voor meer informatie kunt u contact opnemen met Kees Hoogland of Martin van Reeuwijk, APS.

Deze poster is een weergave van de referentieniveaus rekenen (rapport Meijerink). De inhoudelijke beschrijvingen zijn ontleend aan de referentieniveaus zoals die in de wet zijn vastgelegd (zie www.taalenrekenen.nl). De volledigheid van de teksten wordt niet gegarandeerd. Sommige teksten zijn vervangen door (voor)beelden of verkort met symbolen. Raadpleeg voor de oorspronkelijke teksten het originele document.

Uitspraak en schrijfwijze van gehele getallen, breuken, decimale getallen.

Kritisch beoordelen van een uitkomst.Getalbenamingen zoals driekwart, anderhalf, miljoen.

Tienstructuurgetallenrijgetallenlijn

1 cijfer x 3 cijfers2 cijfers x 2 cijfers3 cijfers : 2 cijfers (met of zonder rest)

Efficiënt rekenen (+, -, ×, :) gebruik makend van de eigen-schappen van getallen en bewer-kingen, met eenvoudige getallen.

235 + 3491268 – 385e 2,50 + e 1,25

12

1100

= 0,5 0,01 =

Binnen een betekenisvolle situatie:

+ + 12

34

18

18

In contexten de ‘rest’ (bij delen met rest) interpreteren of ver-werken.

6 pakken voor 18 euro,voor 5 pakken betaal je dan …

Problemen oplossen waarin de relatie niet direct te leggen is.

Breuken met noemer 2, 4, 10 omzetten in bijbehorende percentages.

Eenvoudige verhoudingspro-blemen (met mooie getallen) oplossen.

Eenvoudige verhoudingen in procenten omzetten bijv. 40 op de 400.

13

deel van 150 euro

Schaal 1 : 250

Een vijfde deel van alle Nederlanders korter schrijven als ‘ deel van ...’1

5

‘1 op de 4’ is 25%of ‘een kwart van’

14

= 25% 75% = 34

7,3 = 7 + 310

Eenvoudige relaties herkennen, bijvoorbeeld dat 50% nemen het-zelfde is als ‘de helft nemen’ of hetzelfde als ‘delen door 2’.

Rekenen met eenvoudige percen-tages (10%, 50%, ...).

3,5 is 3 en 510

Uitspraak en notatie van•(euro)bedragen•tijd (analoog en digitaal)•kalender, datum (23-11-2007)•lengte- oppervlakte- en

inhoudsmaten•gewicht•temperatuur

Omtrek, oppervlakte, inhoud.

Namen van enkele vlakke en ruimtelijke figuren, zoals recht-hoek, vierkant, cirkel, kubus, bol.

Rond, recht, vierkant, midden, horizontaal, etc.

1 dm 3 = 1 liter = 1000 ml

Schattingen maken over afme-tingen en hoeveelheden.

Oppervlakte benaderen via rooster.

Omtrek en oppervlakte berekenen van rechthoekige figuren.

Routes beschrijven en lezen op een kaart met behulp van een rooster.

2D representatie van een 3D object

Maten vergelijken en ordenen. Veel voorkomende maateenheden omrekenen.

Aantal standaard referentiematen gebruiken: een grote stap is ongeveer een meter; in een standaard melkpak zit 1 liter.

Meetinstrumenten aflezen en uitkomst noteren; liniaal, maatbeker, weegschaal, thermometer.

Liniaal en andere veel voorkomende meetinstrumenten gebruiken.

Afmetingen bepalen met behulp van afpassen, schaal, rekenen.

1,65m is 1 meter en 65 centimeter.e 1,65 is 1 euro en 65 eurocent.

Eenvoudige tabel gebruiken om infor-matie uit een situatiebeschrijving te ordenen.

Eenvoudig staafdiagram maken op basis van gegevens.

Kwantitatieve informatie uit tabel-len en grafieken gebruiken om eenvoudige berekeningen uit te voeren en conclusies te trekken.

100 %

Geheel is 100%

Vergelijken en ordenen van de grootte van eenvoudige breuken en deze in bete-kenisvolle situaties op de getallenlijn plaatsen.

In een betekenisvolle situatie: x 45013

Globaal beredeneren van uitkomsten.

16,789 miljoen

klopt dat wel?

In 1 kg appels zitten ongeveer 5 appels.

5 = 2+ 3

Groter dan, kleiner dan

tellernoemer

breukstreep

0,45 is vijfenveertig honderdsten

30 + 50 1200 – 80065 × 10 3600 : 1001000 × 2,5 0,25 × 100

Uit het hoofd

45 : 5 32 : 8

12 = 7 + 5 67 – 301 – 0,25 0,8 + 0,7

3 x 57 x 9

Eenvoudige globale gra-fieken en diagrammen lezen en interpreteren.

paraat hebben paraat hebben


Splitsen en samenstellen van getallen op basis van het tientallig stelsel.

Afronden van gehele getallen op ronde getallen.

Globaal (benaderend) rekenen (schatten) als de context zich daartoe leent of als controle voor rekenen met de rekenmachine.

Taal van verhoudingen (per, op, van de).

Verschillende tijdseenheden: uur, minuut, seconde, eeuw, jaar, maand, week.

In betekenisvolle situaties samenhang tussen enkele (standaard)maten.• km, m• m, dm, cm, mm• l, dl, cl, ml• kg, g, mg

in welk jaar is de bevolking het meest gegroeid t.o.v. het jaar daarvoor?

verspringen 2C

Afstand leerlingen

30 cm ii350 cm iiii400 cm ii450 cm i

Eenvoudige patronen (van-uit situatie) beschrijven in woorden.

Eenvoudige patronen (vanuit situatie) beschrijven in woorden.

vogels vliegen in v-vorm. Er komen er steeds 2 bij.

Eenvoudige legenda.

stad

industrie

grasland

Informatie uit veel voorkomende tabellen aflezen zoals dienstregeling, lesrooster.


Rekenposter 1 F over de hele breedte

GETALLENweten waarom• Orde van grootte van getallen beredeneren.• Interpreteren van een uitkomst met rest bij

gebruik van een rekenmachine.• Structuur van het tientallig stelsel.

lereninspireren

weten waarom• Eigen referentiematen ontwikkelen.• Een vierkante meter hoeft geen vierkant te zijn.• Betekenis van voorvoegsels zoals ‘kubieke’.• (lengte)Maten en geld in verband brengen met decimale getallen.

vErhoudiNGEN

Vertalen van eenvoudige situatie naar berekening.

functioneel gebruiken functioneel gebruiken

Verstandige keuze maken tussen zelf uitrekenen of rekenmachine gebrui-ken (zowel kaal als in eenvoudige dagelijkse contexten zoals geld- en meetsituaties).

1F

Notatie van breuken (horizontale breuk-streep), decimale getallen (kommage-tal) en procenten (%) herkennen.

Beschrijven van een deel van een geheel met een breuk.

Verhoudingen herkennen in verschillende dage-lijkse situaties (recepten, snelheid, vergroten/ver-kleinen, schaal enz.).

weten waarom• Eenvoudige verhoudingen met elkaar vergelijken: 1 op de 3

kinderen gaat deze vakantie naar het buitenland. Is dat meer of minder dan de helft?

funct

ioneel g

ebru

iken

funct

ioneel g

ebru

iken

weten waarom• Uit beschrijving in woorden eenvoudig patroon

herkennen.• Informatie op veel verschillende manieren kan

worden geordend en weergegeven.

mETEN & mEETkuNdE vErbANdENDe inhoudelijke beschrijvingen zijn voorzien van voorbeelden. Deze voorbeelden en de vormgeving van deze poster zijn ontworpen door de APS–expertgroep rekenen-wiskunde gecijferdheid. Voor meer informatie kunt u contact opnemen met Kees Hoogland of Martin van Reeuwijk, APS.


Uitspraak en schrijfwijze van gehele getallen, breuken, decimale getallen.

Kritisch beoordelen van een uitkomst.Getalbenamingen zoals driekwart, anderhalf, miljoen.

Tienstructuurgetallenrijgetallenlijn

1 cijfer x 3 cijfers2 cijfers x 2 cijfers3 cijfers : 2 cijfers (met of zonder rest)

Efficiënt rekenen (+, -, ×, :) gebruik makend van de eigen-schappen van getallen en bewer-kingen, met eenvoudige getallen.

235 + 3491268 – 385e 2,50 + e 1,25

12

1100

= 0,5 0,01 =

Binnen een betekenisvolle situatie:

+ + 12

34

18

18

In contexten de ‘rest’ (bij delen met rest) interpreteren of ver-werken.

6 pakken voor 18 euro,voor 5 pakken betaal je dan …

Problemen oplossen waarin de relatie niet direct te leggen is.

Breuken met noemer 2, 4, 10 omzetten in bijbehorende percentages.

Eenvoudige verhoudingspro-blemen (met mooie getallen) oplossen.

Eenvoudige verhoudingen in procenten omzetten bijv. 40 op de 400.

13

deel van 150 euro

Schaal 1 : 250

Een vijfde deel van alle Nederlanders korter schrijven als ‘ deel van ...’1

5

‘1 op de 4’ is 25%of ‘een kwart van’

14

= 25% 75% = 34

7,3 = 7 + 310

Eenvoudige relaties herkennen, bijvoorbeeld dat 50% nemen het-zelfde is als ‘de helft nemen’ of hetzelfde als ‘delen door 2’.

Rekenen met eenvoudige percen-tages (10%, 50%, ...).

3,5 is 3 en 510

Uitspraak en notatie van•(euro)bedragen•tijd (analoog en digitaal)•kalender, datum (23-11-2007)•lengte- oppervlakte- en

inhoudsmaten•gewicht•temperatuur

Omtrek, oppervlakte, inhoud.

Namen van enkele vlakke en ruimtelijke figuren, zoals recht-hoek, vierkant, cirkel, kubus, bol.

Rond, recht, vierkant, midden, horizontaal, etc.

1 dm 3 = 1 liter = 1000 ml

Schattingen maken over afme-tingen en hoeveelheden.

Oppervlakte benaderen via rooster.

Omtrek en oppervlakte berekenen van rechthoekige figuren.

Routes beschrijven en lezen op een kaart met behulp van een rooster.

2D representatie van een 3D object

Maten vergelijken en ordenen. Veel voorkomende maateenheden omrekenen.

Aantal standaard referentiematen gebruiken: een grote stap is ongeveer een meter; in een standaard melkpak zit 1 liter.

Meetinstrumenten aflezen en uitkomst noteren; liniaal, maatbeker, weegschaal, thermometer.

Liniaal en andere veel voorkomende meetinstrumenten gebruiken.

Afmetingen bepalen met behulp van afpassen, schaal, rekenen.

1,65m is 1 meter en 65 centimeter.e 1,65 is 1 euro en 65 eurocent.

Eenvoudige tabel gebruiken om infor-matie uit een situatiebeschrijving te ordenen.

Eenvoudig staafdiagram maken op basis van gegevens.

Kwantitatieve informatie uit tabel-len en grafieken gebruiken om eenvoudige berekeningen uit te voeren en conclusies te trekken.

100 %

Geheel is 100%

Vergelijken en ordenen van de grootte van eenvoudige breuken en deze in bete-kenisvolle situaties op de getallenlijn plaatsen.

In een betekenisvolle situatie: x 45013

Globaal beredeneren van uitkomsten.

16,789 miljoen

klopt dat wel?

In 1 kg appels zitten ongeveer 5 appels.

5 = 2+ 3

Groter dan, kleiner dan

tellernoemer

breukstreep

0,45 is vijfenveertig honderdsten

30 + 50 1200 – 80065 × 10 3600 : 1001000 × 2,5 0,25 × 100

Uit het hoofd

45 : 5 32 : 8

12 = 7 + 5 67 – 301 – 0,25 0,8 + 0,7

3 x 57 x 9

Eenvoudige globale gra-fieken en diagrammen lezen en interpreteren.



Splitsen en samenstellen van getallen op basis van het tientallig stelsel.

Afronden van gehele getallen op ronde getallen.

Globaal (benaderend) rekenen (schatten) als de context zich daartoe leent of als controle voor rekenen met de rekenmachine.

Taal van verhoudingen (per, op, van de).

Verschillende tijdseenheden: uur, minuut, seconde, eeuw, jaar, maand, week.

In betekenisvolle situaties samenhang tussen enkele (standaard)maten.• km, m• m, dm, cm, mm• l, dl, cl, ml• kg, g, mg

in welk jaar is de bevolking het meest gegroeid t.o.v. het jaar daarvoor?

verspringen 2C

Afstand leerlingen

30 cm ii350 cm iiii400 cm ii450 cm i

Eenvoudige patronen (van-uit situatie) beschrijven in woorden.

Eenvoudige patronen (vanuit situatie) beschrijven in woorden.

vogels vliegen in v-vorm. Er komen er steeds 2 bij.

Eenvoudige legenda.

stad

industrie

grasland

Informatie uit veel voorkomende tabellen aflezen zoals dienstregeling, lesrooster.


lereninspireren

34

= / = 3 : 43 4

2 = 2,33…

= 0,66…

5 = 5,11…

13

23

19

10% 0,1

25% 0,25

50% 0,5

100% 1

33% 0,33

40% 0,4

12,5% 0,125

1101412

1

132518

afstand

Piet

Jan

tijd

12,5% van 64

0,5 ha

Breuknotatie herkennen ook als ¾

18 : 100

1,8 : 1000

Ook met complexere getallen en decimale getallen.

Optellen en aftrekken ook via standaardprocedures, met moeilijker breuken en gemengde getallen zoals 6¾

34

x 1853

6 xOok een geheel getal vermenigvuldigen met een breuk of omgekeerd

10 : 2 12

Een geheel getal delen door een breuk of gemengd getal.

Een breuk of gemengd getal delen door een breuk, vooral binnen een situatie; hoeveel pakjes van 1/4 moet je kopen als je 1 1/2 liter slagroom nodig hebt.

Delen met rest of (afgerond) decimaal getal22 : 5 = 4 rest 2

22 : 5 = 4,4

1 : = 12

14

Vereenvoudigen en compliceren van breuken en breuken als gemengd getal schrijven

68

= 34

15

= 20 100

254

= 6 14

Een breuk met een breuk vermenigvuldigen of een deel van een deel nemen, met name in situaties.

12

van liter,12

34

x 58

para

at hebben paraat hebben


1Sfunctioneel gebruiken functioneel gebruiken

funct

ioneel g

ebru

iken

funct

ioneel g

ebru

iken

METEN & MEETKUNDE VERBANDENDeze posters worden u aangeboden door de Steunpunten Taal & Rekenen mbo en vo. Deze posters zijn samengesteld door Madeleine Vliegenthart, Lian Staal, Suzanne Sjoers, Martin van Reeuwijk en Kees Hoogland (APS). De posters vormen onderdeel van de inhaalslag rekenen, waarin onder andere ook CPS, KPC Groep, SLO, Cito en FI participeren.


VERHOUDINGENGETALLENweten waarom• Verschil tussen cijfer en getal• Belang van het getal 0• Opbouw decimale positiestelsel• Redeneren over breuken, bijvoorbeeld: is er een

kleinste breuk?• Weten dat er procedures zijn die altijd werken

en waarom• Decimale getallen als toepassing van (tiende-

lige) maatverfijning• Kennis over bewerkingen: 3 + 5 = 5 + 3, maar 3 – 5 = 5 – 3

weten waarom• Oppervlakte- en inhoudsmaten relateren aan

bijbehorende lengtematen• Redeneren welke maat in welke context past• Spiegelen in 2D en 3D• Redeneren over symmetrische figuren• Meetkundige patronen voortzetten (hoe weet je wat de volgende

figuur uit de rij moet zijn)• Decimale structuur van het metrieke stelsel• Structuur en samenhang van het metrieke stelsel• Relatie tussen 3D ruimtelijke figuren en bijbehorende bouwplaten • Formules voor het berekenen van oppervlakte en inhoud verklaren• Beredeneren welke vergrotingsfactor nodig is om de ene (eenvoudige) figuur uit de andere te

vormen• Verschillende omtrek mogelijk bij gelijkblijvende oppervlakte

weten waarom• Grafiek in de betekenis van ‘grafische voorstel-

ling’• Keuze om informatie te ordenen door middel

van tabel, grafiek, diagram • Op basis van een grafiek of diagram conclusies

trekken over een situatie• Op basis van een grafiek of diagram voorspel-

lingen doen over een toekomstige situatie

weten waarom• Relatieve vergelijking (term niet)• Relatie tussen breuken, verhoudingen en percentages• Breuken omzetten in een kommagetal, eindig of oneindig aan-

tal decimalen• Vergroting als toepassing van verhoudingen• Bij procenten mag je niet zomaar optellen en aftrekken (10%

erbij 10% eraf)• Betekenis van percentages boven de 100• Relatieve grootte: de helft van iets kan minder zijn dan een

kwart van iets anders

34

0,5

0 1 Getallenlijn, ook met decimale getallen en breuken

Standaardprocedures gebruiken ook met getal-len boven de 1000 met complexere decimale getallen in complexere situaties

Delingen uit de tafels (tot en met 10) uit het hoofd kennen

7 + 2 x 3 =Volgorde van bewerkingen

Efficiënt rekenen ook met grotere getallen

Vergelijken ook via stan-daardprocedures en met moeilijker breuken

Omzetten ook met moeilijker breuken eventueel met rekenmachine

Standaardprocedures met inzicht gebruiken binnen situaties waarin gehele getallen, breuken en decimale getallen voorkomen

Gemengd getal

Relatie tussen breuk en decimaal getal

Vertalen van complexe situatie naar berekening

Decimaal getal afronden op geheel getal

Afronden binnen gegeven situatie: 77,6 dozen berekend dus 78 dozen kopen Rekenen met percentages ook met moeilijker

getallen en minder ‘mooie’ percentages (eventu-eel met de rekenmachine)

Formele schrijfwijze 1 : 100 (‘staat tot’) herkennen en gebruiken

Verschillende schrijfwijzen (symbolen, woorden) met elkaar in verband brengen

Veel voorkomende omzettingen van percentages in breuken en omgekeerd

Gebruik dat ‘geheel’ 100% is

schrijfwijze1/4 x 260 of 260

4

Schaal

Breuken en procenten in elkaar omzetten

Breuken benaderen als eindige decimale getallen

Legenda

Berekeningen uitvoeren op basis van informatie uit tabellen, grafieken en diagrammen

Stippatronen

Eenvoudige patronen in rijen getallen en figuren herkennen en voortzetten: 1 – 3 – 5 – 7 - ... 100 – 93 – 86 – 79 – ...

Globale grafiek tekenen op basis van een beschrijving in woorden, bijvoorbeeld: tijd-afstandgrafiek

Eenvoudige tabellen en dia-grammen opstellen op basis van een beschrijving in woorden

Trend in gegevens onderkennen

Staafdiagram, cirkeldiagram

Conclusies trekken door gegevens uit ver-schillende informatiebronnen met elkaar in verband te brengen (alleen in eenvou-dige gevallen)

3

2

1

0

(2,3)

(1,2)

1 2 3

Punten in een assenstelsel plaatsen en coör-dinaten aflezen (alleen positieve getallen)

Globale grafieken vergelijken, bijvoorbeeld: wie is het eerst bij de finish?

Are, hectare

Omtrek en oppervlakte bepalen/berekenen van figuren (ook niet-rechthoekige) via (globaal) rekenen

1 m3 = 1000 liter

1 km2 = 1 000 000 m2 = 100 ha

Gegevens van meetinstrumenten interpreteren; 23,5 op een kilometerteller betekent …

Aanduidingen op windroos (N, NO, O, ZO, Z, ZW, W, NW)

Alledaagse taal herkennen (‘een kuub zand’)

Een hectare is ongeveer 2 voetbalvelden

Samenhang tussen (standaard)maten ook door terugrekenen, in complexere situaties en ook met decimale getallen. ‘Is 1750 g meer of minder dan 1,7 kg?’

Samengestelde grootheden gebruiken en interpreteren, zoals km/u

Kiezen van de juiste maateenheid bij een situatie of berekening

Formules gebruiken bij bereke-nen van oppervlakte en inhoud van eenvoudige figuren

Ton (1000 kg)

Betekenis van voorvoegsels zoals milli-, centi-, kilo-

(Standaard) oppervlaktematen km2, m2, dm2, cm2

(Standaard) inhoudsmaten m3, dm3, cm3

Ontbrekende afmeting bepalen van een foto die vergroot wordt

Rekenen met eenvoudige schaal

67% = 0,67

Procenten als decimale getallen (honderdsten)

Assenstelsel

/

Verhoudingen en breuken met een rekenmachine omzetten in een (afgerond) kommagetal


ReferentieniveausRapport-Meijerink: feiten en cijfers

Naast kerndoelen geven nu ook de referentieniveaus richting aan het reken-onderwijs. De kerndoelen beschrijven wat in de basisschool moet worden aangeboden. De referentieniveaus beschrijven wat de leerlingen aan het eind van de basisschool moeten beheersen. Voor het vo en mbo zijn voor de drem-pelmomenten ook dergelijke referentieniveaus beschreven (zie schema). De referentieniveaus zijn ontwikkeld om de prestaties van leerlingen op het gebied van rekenen te verbeteren.

1F en 1SHet fundamentele niveau richt zich op basale kennis en inzichten en op een meer toepassingsgerichte benadering van rekenen. Het streefniveau bereidt al voor op de meer abstracte wiskunde.

1FNu haalt 75% van de leerlingen in het basisonderwijs het niveau 1F. Zo is het niveau 1F gedefinieerd.De inzet is dat door extra inspanningen minimaal 85% van de leerlingen in het basisonderwijs het niveau 1F haalt.

1SNu haalt 50% van de leerlingen in het basisonderwijs het niveau 1S. Zo is het niveau 1S gedefinieerd.De inzet is dat door extra inspanningen minimaal 65% van de leerlingen in het basisonderwijs het niveau 1S haalt.

Zo’n 15% van de leerlingen zal ook na de gedane inzet niveau 1F dus niet kun-nen halen.Voor deze leerlingen wordt sterk aanbevolen een afzonderlijk en passend onderwijsaanbod te creëren zonder dat vast te leggen in een van bovenstaande niveaus.

DomeinenBinnen het gebied rekenen zijn er vier domeinen, die samen de relevante inhouden dekken:• Getallen• Verhoudingen• Meten & Meetkunde• Verbanden

Elk domein is bij rekenen opgebouwd uit de volgende onderdelen:


• notatie, taal en betekenis, waarbij het gaat om de uitspraak, schrijfwijze en betekenis van getallen, symbolen en relaties, en om het gebruik van wiskundetaal;

• met elkaar in verband brengen, waarbij het gaat om het verband tussen begrippen, notaties, getallen en dagelijks spraakgebruik;

• gebruiken, waarbij het erom gaat rekenvaardigheden in te zetten bij het oplossen van problemen.

Elk van deze onderdelen is opgebouwd uit drie typen kennis en vaardig-heden. Deze zijn als volgt te karakteriseren:• paraat hebben: kennis van feiten en begrippen, reproduceren, routines,

technieken;• functioneel gebruiken: kennis van een goede probleemaanpak, het toe-

passen, het gebruiken binnen en buiten het schoolvak;• weten waarom: begrijpen en verklaren van concepten en methoden, for-

maliseren, abstraheren en generaliseren, blijk geven van overzicht.Bron: www.taalenrekenen.nl

Ideeën om actief kennis te maken met de referentieniveaus• Zoek bij elk van de domeinen voorbeelden uit je rekenmethode.• Zoek bij elk van de doelen een voorbeeld (foto, anekdote, folder, tekst,

filmpje) van een echte context waarin dit doel een centrale rol speelt.• Kies tien opgaven uit je boek en sorteer ze naar fundamenteel en streef-

niveau. Bespreek waaraan dat verschil te zien is.• Maak foto’s uit de omgeving van de school waarop kwantitatieve zaken te

zien zijn en plak deze foto’s op de poster.

35RIJKE, BETEKENISVOLLE REKENOPDRACHTEN

Rijke, betekenisvolle rekenopdrachten

Als we de referentieniveaus als uitgangspunt voor ons rekenonderwijs nemen, dan gaat het erom dat leerlingen parate kennis hebben die ze kunnen toe-passen bij rekenen en in het dagelijks leven. En ook snappen waarom ze doen wat ze doen. Leerlingen zetten deze drie typen kennis en vaardigheden bewust en flexibel in en verbinden ze met elkaar. Een rijke leeromgeving met uitdagende opdrachten kan hiertoe een belangrijke bijdrage leveren. Er wordt aangesloten bij de belevingswereld en de interesses van de leerlingen. Rijke opdrachten zijn opdrachten waarbij leerlingen zich een voorstelling kunnen maken. Een rijke rekenomgeving biedt daarnaast veel mogelijkheden voor samenwerking, zelf ontdekken en experimenteren.

Samenvattend heeft een rijke leeromgeving de volgende kenmerken:• Inhoud heeft betekenis voor de leerlingen.• Leren door handelend bezig te zijn.• Samen leren, plannen bespreken van de aanpak.• Activiteiten op verschillende niveaus mogelijk.• Kinderen kunnen laten zien wat ze kunnen.• Integratie tussen domeinen, waarbij gestart wordt vanuit een bepaald domein.Bron: Verschuren & De Haan (2010)

Terry, de Watertoren “Door inhoud eerst betekenisvol aan te bieden hebben de kinderen later bij meer kale sommen een houvast. Ze kunnen zich de les dan vaak herinneren en kunnen daarnaar teruggrijpen.”

Kristel, het Plein “Door lessen te clusteren, bereik je meer. De kinderen hebben meer tijd om de stof in zich op te nemen en in te oefenen, als leraar kun je beter observeren en gerichter instructie geven.”

Malika, het Plein “‘Juf, gaan we nog rekenen vandaag?’ Een heerlijk moment. Dan hebben ze al zeker een uur heel intensief met elkaar gewerkt aan tabellen en grafieken. Alleen niet uit het boek, maar door met elkaar in gesprek te gaan en op onderzoek uit te gaan. En het leuke is, bijna iedereen snapt ook echt waar het over gaat.”


Voorbeeld van rijke, betekenisvolle opgaven

Begrotingen makenHerinrichting klaslokaalHet klaslokaal mag opnieuw worden gestoffeerd: nieuwe vloerbedekking, nieuwe luxaflex, opnieuw schilderen. De leerlingen mogen helpen met uit-zoeken van de verf, de vloerbedekking en de luxaflex. Er is een bepaald bud-get. Daarom moet het hele lokaal worden opgemeten en berekend.

SchoolreisjeGroep 1 en 2 gaan op schoolreis. Dat zijn vier groepen, 94 leerlingen. Er gaan vier leerkrachten en acht ouders mee. Ze gaan naar Dierenpark Rhenen, met bussen van vervoerbedrijf Van Dam. De kinderen krijgen een lunch in de dierentuin. Maak een plan met een berekening van de kosten. Denk aan de kosten van de bus, de entree van het park, de lunch.

OuderavondVolgende week is de jaarlijkse informatie-ouderavond.Zoek uit hoeveel ouders er komen. Richt de aula in met tafels en stoelen, doe dat eerst op papier. Er is koffie en thee als de ouders binnenkomen; in de pauze is er frisdrank. Hoeveel koffie, thee, koekjes en frisdrank moet er gekocht worden? Een winkel in de schoolEen winkel waarin echte, zelfgemaakte spullen verkocht worden.


IJsberg

Cijferen is, net als het topje van de ijsberg, het meest zichtbare en bekende deel van gecijferdheid. Het grootste deel, getalbegrip, verbindingen kunnen leggen, modelleren, herkennen in de praktijk, interpreteren en toepassen in de praktijk is vaak onzichtbaar of een onbekend deel van rekenen.Het drijfvermogen van de ijsberg is het rekenkundig en wiskundig denken en dat is veel omvangrijker en fundamenteler dan het topje.

Hoe meer binnen onderwijs wordt geïnvesteerd in het drijfvermogen, hoe stabieler de top wordt. Zonder drijfvermogen is er geen zichtbare top. Belangrijk blijft wel om ook in de ijsberg op en neer te blijven gaan; er is geen sprake van éénrichtingverkeer naar de top.

Na de onderbouw richten veel rekenmethodes zich vooral op het topje van de ijsberg.

Maar ook in de bovenbouw loont het de moeite te blijven investeren in het drijfvermogen en het verbinden van het rekenen met modellen en de werkelijk-heid om ons heen. Modellen en praktische situaties moeten dan aangepast wor-den aan de leefwereld van de kinderen, zodat ze voor hen betekenisvol worden.

Mirjam, het Plein “Het model van de ijsberg heeft mij inzicht gegeven in mijn handelen. Ik was eerst te veel in de top bezig, daarna richtte ik me juist erg op het drijfvermo-gen. Nu heb ik een balans gevonden en kan ik mij bewegen op de ijsberg.”


Rijke leeromgeving

Onder in de ijsberg vindt de wiskundige wereldoriëntatie plaats. Hier krijgen kinderen de gelegenheid kennis te maken met de verschijningsvormen van de getallen en daaraan gekoppeld de functionaliteit ervan. Kinderen krijgen gelegenheid dat in concrete, betekenisvolle situaties te onderzoeken.

Een uitdagende of een rijke leeromgeving is hiervoor een belangrijke voor-waarde. Als er genoeg te ervaren, te doen en te zien is, gaan kinderen vragen stellen, ontdekken en willen ze leren. De interactie die de leraar met de kin-deren heeft, maakt de leraar ook onderdeel van de uitdagende leeromgeving.

Hoe maak je een uitdagende leeromgeving?Je kunt jezelf de volgende vragen stellen:• Welk materiaal heb ik liggen, mag dat altijd gebruikt worden?• Wat is dat voor materiaal? Betekenisvol, rijk rekenmateriaal?• Wat hangt er aan de muren? Zit daar ook rekenwerk bij van mijn

leerlingen?• Roept wat ik heb hangen in het lokaal vragen over rekenen op?• Stel ik zelf wel eens rekenvragen over iets wat ik heb opgehangen?

Voorbeelden1. Laat kinderen bij een van de domeinen (bijvoorbeeld: Meten & Meet-

kunde) een poster maken. De opdracht luidt: laat op deze poster zien wat jij allemaal weet over meten. Deze poster kan je gedurende het jaar laten aanvullen (en dus gebruiken als groeidocument).

2. Maak een vaste hoek met materialen die verschillen qua inhoud of qua vorm. Laat leerlingen als ze willen deze vastpakken en ermee spelen. Na een paar weken zet je weer ander materiaal neer.

3. Het gesprek in de kring gaat over de datum. Je vraagt aan de kinderen nog meer voorbeelden te noemen waarin het getal 8 (de datum) te vinden is.

4. Maak met leerlingen een persoonlijk getallenboekje tot en met 20 of een honderdveld. Ik ben 7, wij wonen op nummer 84, ik heb 2 broers, 8x7= 56, een lastige tafelsom. Welke getallen kun jij vullen?


De rol van de leraar

Leerlingen zijn verschillend, leraren verschillen van elkaar en klassen zijn niet hetzelfde,…

Vragen beantwoorden

?Leerling:

Ik moet uitrekenen hoe groot de oppervlakte

van de muren van mijn kamer is! Dat snap ik

niet!

! Leraar 1: De oppervlakte van een

rechthoek is lengte x breedte.De muur is een rechthoek.

Zo reken je de oppervlakte van elke muur uit!

! Leraar 2: Hoe ziet je muur

eruit?

! Leraar 3: Wat weet je al van

oppervlakte?

! Leraar 4: Heb je het al

aan je buurman gevraagd?

Leraar 5: Zullen we eens in dit lokaal kijken naar de

muren en bedenken wat je dan moet weten?

!Leraar 6:

Zoek maar op, het staat op blz. 34.!

WELKE REACTIE PAST BIJ

JOU?

45DE ROL VAN DE LERAAR

De lesopzet

Keuzes in de les

Les A: De leraar geeft 10 minuten uitleg op het bord over de oppervlakte van een rechthoek en een driehoek. Daarna moeten de leerlingen sommen maken. Na 10-20 minuten legt de leraar enkele sommen uit op het bord en laat de leerlingen de sommen nakijken met een antwoordenboekje.

Les B: De leraar vraagt wat leerlingen nog weten van oppervlakte.Hij gaat het gesprek aan over wat oppervlakte is. Daarna volgt de klassikale uitleg over oppervlakte.

Les C: De leerlingen worden allemaal aan het meten gezet. Het hele lokaal moet worden gemeten. “Hoe groot is de oppervlakte van de vloer, want er moet nieuw laminaat op?”, vraagt de leraar.

Les D: Iedere leerling is aan het werk ergens in zijn/haar boek of werk-boek. Op het moment dat een leerling een vraag heeft stapt de leraar eropaf en zegt: “Vertel eens, wat weet je al van oppervlakte?”

Les E: De leraar geeft de leerlingen de volgende opdracht:‘Plak met tape maar eens een vierkante meter op de grond.’

Welke lesopzet past bij jou?

• Laatjeleerlingenalleenwerkenofingroepjes?• Gajevertellenenuitleggenofgaandeleerlingenzelfaanhetwerk

om te ontdekken?• Observeerjeopafstandofdoejemeemetdeactiviteit?• Gajeéénrekenstrategieaanbiedenofmeerdere?• Gajetoetsentussendoorofaanhetbegineneind?• Geefjeklassikaalinstructieofgerichteinstructieaanbepaaldeleerlingen?• Voerjeklassengesprekkenendiscussies?

Welke keuzes maak jij?


Verschillende rollen van de leraar

De rol van de leraar is essentieel in de rijke rekenomgeving. Met name feed-back geven, het aanleren van strategieën, een taak leren aanpakken en het geven van goede instructie zijn van grote invloed op de prestaties van de leerling.

Als leraar heb je verschillende rollen:• Instructeur • Vraagbaak• Coach• Vragensteller• Observator

Een paar rollen nader uitgewerkt:

InstructeurIn een goede instructie worden leerlingen aan het denken gezet zodat ze ver-der komen in hun ontwikkeling. Als je weet waar de leerling zich bevindt in zijn ontwikkeling kun je heel doelgericht begeleiden. Door gepaste instructie te geven voeg je iets nieuws toe aan de bestaande kennis van de leerling.

CoachAls coach help je de leerling om het zelf te doen. Je stelt daarbij veel vragen. Je kunt ook meedoen met een rekenactiviteit en de leerling tegelijkertijd coachen. Vragen van de leerling worden niet meteen beantwoord, maar door vragen te stellen of materiaal aan te bieden wordt de leerling op een goed spoor gezet.

ObservatorTijdens observaties en gesprekken verzamel je allerlei gegevens van de leer-lingen. Van belang is goede vragen te stellen, reflecteren met de leerlingen en feedback geven.Het doel is om vast te stellen wat een leerling kan en kent zodat het acti-viteitenaanbod en de instructie daarop wordt afgestemd. Je observeert om doelgericht te kunnen begeleiden.


Zwakke rekenaars

Kinderen die veel fouten maken, veel tijd gebruiken om hun taak af te maken, weinig rekenfeiten uit het hoofd kennen, lopen het risico al snel het etiket ‘zwak’ opgeplakt te krijgen.

Rekenproblemen, wat zijn dat eigenlijk? En wiens probleem is het eigenlijk?

Gemiddelde en achterstandElk kind ontwikkelt zich op zijn eigen niveau. Als het gemiddelde over alle leerlingen van een bepaalde leeftijd wordt genomen, komt daar een gemiddelde uit: de bovenste rode lijn in de figuur hieronder.In het onderwijs heerst vaak de gedachte dat het gemiddelde niveau de norm is en dat alle leerlingen moeten voldoen aan die norm.Die gedachte van ‘moeten voldoen aan de norm’ wordt versterkt, omdat de meeste rekenen wiskundemethoden geschreven zijn op het gemiddelde; omdat de meeste toetsen zijn afgestemd op het gemiddelde en omdat de schoolorga-nisatie en leerstofplanning vaak gemaakt is voor de gemiddelde leerling. Een afwijking op dat gemiddelde is dus lastig. Lastig omdat de methode en de toet-sen geen rekening houden met leerlingen die niet aan het gemiddelde voldoen.Daarom zie je vaak een tendens om alles onder het gemiddelde te benoemen als probleem en te etiketteren als een achterstand. Een achterstand bij rekenen wordt zo dus een probleem van de individuele leerling gemaakt, terwijl het probleem niet aanwijsbaar in het kind zélf zit.De leerling van de gele lijn ontwikkelt zich op zijn eigen niveau. Zolang het een stijgende lijn is, is er sprake van ontwikkeling. Dit is een heel wat positievere kijk dan wanneer gezegd wordt dat de achterstand van de leerling van de gele lijn, ten opzichte van het gemiddelde (de rode lijn) steeds groter wordt.Voor succes in rekenen is het cruciaal dat de leerling het plezier in rekenen en zelfvertrouwen in eigen capaciteiten weer terugkrijgt. Ook is het belangrijk de leerling in zijn rekenontwikkeling te stimuleren. Van belang is dat leerlingen inzien dat rekenvaardigheid nodig is om je te redden in de maatschappij en nodig is voor je toekomstige beroep.Als dat je lukt als leraar, dan is het mogelijk dat de leerling van de onderste, gele lijn, de middelste, groene lijn gaat volgen. Dat heeft zeker invloed op hoe de leerling in zijn vel zit bij rekenen.

120

100

80

60

40

20

0


Tips en suggestiesEr zijn heel veel praktische tips, materialen en mogelijkheden om zwakke rekenaars, maar eigenlijk ook wel alle rekenaars, vooruit te helpen:

• Laat de leerling op zijn eigen niveau starten en laat door succes ervaringen het plezier in rekenen weer terugkomen. Toets dus niet onnodig, bena-druk de sterke kanten van de leerling, benut deze sterke kanten en ver-sterk zo het zelfvertrouwen.

• Er wordt veel geschreven over rekenproblemen. Wees kritisch in wat je leest: Wat blijkt uit onderzoek, wat zijn ervaringen en wat zijn opvat-tingen? Wat past bij je eigen visie en bij de visie van de school? Houd de ontwikkelingen bij; op dit gebied gaan deze erg snel.

• Maak het probleem niet groter dan het is; veel ‘rekenproblemen’ verdwij-nen met het toenemend inzicht van de rekenaar.

• Laat leerlingen materialen en hulpmiddelen gebruiken als hen dat (tijde-lijk) steun geeft. Denk aan speelgeld, rekenmachine, tafelkaart, onthoud-kaartjes met de basisleerstof. Dit alles zal de leerling meer zelfvertrouwen geven.

• Het is goed om te weten welke basisvaardigheden de leerling nog niet beheerst. Dit kan door middel van toetsen, observaties of gesprekken met de leerling. Stel een maatwerkprogramma voor de leerling op. Heeft de leerling behoefte aan veel oefenen of moet de leerling juist met heel praktische opdrachten aan de slag?

Malika, het Plein “Ik ben nu zelf ook meer een wiskundige (rekenende) leraar geworden. Ik heb meer handvatten om kinderen vanuit het rekenen zelf te helpen.”


Goede rekenaars

Er is een groep leerlingen die gemakkelijk meekomt in de rekenles: deze leerlin-gen snappen al snel hoe de rekenopgaven in elkaar zitten, stellen nooit vragen, halen altijd goede cijfers en vervelen zich zelfs een beetje…

Tips en suggestiesHoe kun je rekening houden met begaafde leerlingen in de rekenles:

• Goede rekenaars hebben stof nodig die hen uitdaagt de grenzen van hun kunnen op te zoeken.

• Goede rekenaars moeten kunnen overleggen, zodat ze kritisch blijven en de eigen oplossingen leren onderbouwen met argumenten en bewijzen.

• Wie goed is in rekenen heeft ook behoefte aan ondersteuning en belang-stelling van een leraar.

• Deze leerlingen maken snellere en grotere denksprongen, waardoor ze de stof veel sneller begrijpen. De didactiek in veel lesmethoden is meestal van deel naar geheel: eerst worden de losse onderdeeltjes behandeld en aan het einde valt alles samen. Laat deze leerlingen de stof op hun eigen manier doorwerken: geef de leerlingen bijvoorbeeld eerst de eindtoets of de samenvatting over breuken, dan hebben ze het kader en kunnen ze de weg naar het einddoel meer zelf invullen.

• Goede rekenaars leggen de weg naar het einddoel over het algemeen snel-ler af. Als zij een onderdeel begrijpen, is herhaling en inoefening bij deze leerlingen zelden nodig; dat motiveert hen vaak ook niet.

• Zeer goede rekenaars gaan sneller door de leerstof heen en zullen tijd overhouden. Er is veel extra lesmateriaal op de markt gebracht voor deze leerlingen. Als leraar kun je ook je eigen creativiteit gebruiken om opdrachten te verzinnen. Stel de opdrachten erg open, laat het geen les-stof uit hogere jaren vervangen en geef de opdrachten niet vrijblijvend. Een presentatie van het resultaat en goede feedback is nodig voor hun leerproces.


Prestaties en groei van leerlingen zichtbaar maken

Beredeneerd aanbod valt of staat bij het in beeld hebben van de prestaties en groei van je leerlingen. Waar gaat het dan om?Belangrijke vragen zijn:• Is de leerling in staat om in een bepaalde aangewezen situatie een

bepaalde strategie foutloos in te zetten?• Kan de leerling zelf, in eigen woorden vertellen hoe hij tot een bepaald

resultaat is gekomen? Met andere woorden: is er inzicht en begrip, snapt de leerling waarom hij doet wat hij doet?

• Kan de leerling vertellen waarom hij een bepaalde strategie of een bepaald model inzet in een bepaalde situatie? Met andere woorden: kan de leerling zijn kennis/vaardigheden functioneel gebruiken in de echte wereld?

• Is de leerling in staat om bepaalde kennis en vaardigheden ook in nieuwe situaties in te zetten? Met andere woorden: hoe wendbaar gaat de leer-ling om met de kennis en de vaardigheden?

• Is de leerling met vertrouwen aan het rekenen? Durft de leerling fouten te maken?

Deze vragen kunnen je helpen de ontwikkeling van de leerling zichtbaar maken.

Susanne, de Bosweide “Ik heb gisteren bij drie leerlingen gezien dat het splitsen erg lastig was, ze ble-ven tellen. Ik ga met deze drie leerlingen vandaag met de eierdozen aan de slag.”

Marcella, dr. Schaepmanschool“Ik wil nu weten wat leerlingen beheersen op de verschillende domeinen, ik neem geen genoegen meer met het feit dat iemand moeite heeft met rekenen. Ik wil weten hoever de leerling is in zijn ontwikkeling en hoe ik hem verder kan helpen.”

Malika, het Plein “Mijn observaties doe ik nu per domein, leerlingen heb ik hierdoor beter in beeld. Ik toets leerlingen zo dat ik vooral weet wat ze wel kunnen en minder dat wat ze nog niet kunnen.”


naam

Stim

uler

ende

/be

lem

mer

ende

fact

oren

Kan

kwar

tier

en e

n ha

lve

uren

aan

ge

ven

op d

e kl

ok

Kan

leng

te s

chat

ten

en p

reci

es m

eten

Kan

leng

te w

eerg

eve

n in

m e

n cm

Kan

gew

icht

sch

atte

n en

pre

cies

weg

enKa

n ve

rsch

illen

de

vorm

en b

enoe

men

Gebr

uikt

term

en a

ls

lang

, bre

ed, h

oog,

in

houd

, gew

icht

AIs

erg

onz

eker

. Vr

aagt

vee

l be

vest

igin

g va

n de

lera

ar. Ze

gt

vaak

dat

hij

iets

nie

t ka

n ui

t on

zeke

rhei

d.

Wee

t da

t er

mee

r-de

re k

lokk

en z

ijn.

Wee

t w

at d

e fu

ncti

e va

n ti

jd is

. Ka

n kw

arti

eren

en

halv

e ur

en a

ange

ven.

Hee

ft m

oeit

e m

et

scha

tten

, ha

ntee

rt

daar

bij n

og n

iet

de

juis

te m

aat.

Wee

t da

t af

stan

d ka

n w

orde

n ge

met

en m

et e

en li

ni-

aal.

Kan

het

linia

al n

og

niet

pre

cies

han

tere

n.

Wee

t da

t af

stan

d w

ordt

wee

rgeg

even

in

cm,

m,

km e

nz.

Hee

ft

moe

ite

deze

not

atie

go

ed t

e ge

brui

ken.

Hee

ft m

oeit

e ge

wic

h-te

n ui

t el

kaar

te

houd

en,

kan

moe

ilijk

ee

n m

aat

geve

n.

Wee

t da

t er

mee

r-de

re v

orm

en z

ijn e

n ka

n de

ze b

enoe

men

.

Wee

t de

ter

men

in

de

reke

nles

te

gebr

uike

n.

BH

eeft

vee

l be

hoef

te a

an

houv

ast.

Hee

ft

opst

artp

ro-

blem

en b

ij ee

n ni

euw

on

derd

eel,

maa

r al

s he

t lu

kt d

an

gaat

het

goe

d.

Wee

t da

t er

mee

r-de

re k

lokk

en z

ijn.

Wee

t w

at d

e fu

ncti

e va

n ti

jd is

. Ka

n kw

arti

eren

en

halv

e ur

en a

ange

ven.

Hee

ft m

oeit

e m

et

scha

tten

, ge

brui

kt d

e ju

iste

maa

t. W

eet

dat

afst

and

kan

wor

den

gem

eten

met

een

lin

iaal

.Ka

n he

t lin

iaal

pre

cies

ha

nter

en.

Wee

t da

t af

stan

d w

ordt

wee

rgeg

even

in

cm

, m

, km

enz

. Ge

brui

kt d

eze

nota

-ti

es,

kan

nog

geen

m

aten

om

zett

en.

Hee

ft m

oeit

e m

et

scha

tten

, ge

brui

kt

niet

alt

ijd d

e ju

iste

ee

nhei

d vo

or g

ewic

h-te

n. W

eet

dat

weg

en

gebe

urt

met

een

w

eegs

chaa

l.

Wee

t da

t er

mee

r-de

re v

orm

en z

ijn e

n ka

n de

ze b

enoe

men

.

Wee

t de

ter

men

in

de

reke

nles

te

gebr

uike

n.

CH

eeft

ple

zier

in

rek

enen

. Is

ze

ker

in z

ijn

wer

k, d

urft

st

rate

gieë

n to

e te

pas

sen.

Wee

t da

t er

mee

r-de

re k

lokk

en z

ijn.

Wee

t w

at d

e fu

ncti

e va

n ti

jd is

. Ka

n kw

arti

eren

en

halv

e ur

en a

ange

ven.

Scha

tten

is in

ord

e,

gebr

uikt

de

juis

te

maa

t. H

ante

ert

het

linia

al p

reci

es.

Wee

t da

t af

stan

d w

ordt

wee

rgeg

even

in

cm

, m

, km

enz

. Ge

brui

kt d

eze

nota

-ti

es,

kan

mat

en o

ok

omze

tten

.

Wee

t vo

orbe

elde

n te

ge

ven

bij g

ewic

ht-

mat

en.

Wee

t da

t g.

de

eenh

eid

voor

ge

wic

hten

is.

Kan

exac

t w

egen

met

een

w

eegs

chaa

l.

Wee

t da

t er

mee

r-de

re v

orm

en z

ijn e

n ka

n de

ze b

enoe

men

.

Gebr

uikt

de

term

en

ook

buit

en d

e re

kenl

esse

n in

de

juis

te c

onte

xt.

Gro

ep 5

Do

me

in: M

ete

n &

Me

etk

un

de

naam

Stim

uler

ende

/be

lem

mer

ende

fact

oren

Gebr

uikt

ha

ndig

e re

ken

stra

tegi

eën

Posi

tion

eren

op

de g

etal

lenl

ijn

tot

1000

Kent

de

tafe

lsH

alve

ren

en v

erdu

bbe

len

Rela

tie

tuss

en

dele

n en

ver

me

nigv

uldi

gen

Kan

dele

n m

et

rest

Kolo

msg

ewij

s

opte

llen

en d

elen

AIs

erg

onz

eker

. Vr

aagt

vee

l be

vest

igin

g va

n de

le

raar

. Ze

gt v

aak

dat

hij i

ets

niet

ka

n ui

t on

zeke

r-he

id.

Gebr

uikt

alle

en

de s

trat

egie

aa

nvul

len

tot

he

t ti

enta

l.

Kan

posi

tion

e-re

n w

anne

er e

r hu

lplij

nen

staa

n, o

p de

hon

derd

talle

n.

Begr

ijpt

het

prin

cipe

va

n de

get

alle

nlijn

.

Kent

de

tafe

ls

1,2,

5 en

10.

Kan

met

ee

nvou

dige

ge

talle

n ha

lver

en e

n ve

rdub

be-

len.

Hee

ft m

oeit

e de

ko

ppel

ing

tuss

en

dele

n en

ver

me-

nigv

uldi

gen

te

legg

en.

Begr

ijpt

het

prin

-ci

pe v

an d

elen

nog

ni

et g

oed

geno

eg.

Hee

ft m

oeit

e m

et

de r

est.

Som

men

gaa

n go

ed

zola

ng z

e ni

et o

ver

tien

talle

n he

en g

aan.

BH

eeft

vee

l beh

oeft

e aa

n ho

uvas

t. H

eeft

op

star

tpro

blem

en

bij e

en n

ieuw

on

derd

eel,

maa

r al

s he

t lu

kt d

an g

aat

het

goed

.

Gebr

uikt

vee

l st

rate

gieë

n do

or

elka

ar.

Kan

posi

tion

eren

op

de le

ge g

etal

lenl

ijn.

De g

etal

lenl

ijn g

eeft

ho

uvas

t.

Kent

de

tafe

ls

1 t/

m 1

0,

beha

lve

de

tafe

ls 7

en

8.

Kan

met

ee

nvou

dige

ge

talle

n ha

lver

en e

n ve

rdub

be-

len.

Ziet

de

kopp

e-lin

g en

geb

ruik

t de

‘om

keer

som

’.

Begr

ijpt

wat

er

gebe

urt

bij e

en

deel

som

en

wee

t w

anne

er e

r ov

er-

blijf

t. H

ante

ert

de

verk

eerd

e no

tati

e.

Wee

t w

elke

som

men

op

dez

e m

anie

r ku

n-ne

n w

orde

n ui

tger

e-ke

nd e

n w

elke

bet

er

niet

.Op

telle

n en

aft

rekk

en

gaat

goe

d, o

ok o

ver

het

tien

tal.

Som

men

al

s 50

0-12

8 ge

ven

prob

lem

en.

CH

eeft

ple

zier

in

reke

nen.

Is

zeke

r in

zijn

wer

k, d

urft

st

rate

gieë

n to

e te

pa

ssen

.

Gebr

uikt

de

juis

te

stra

tegi

eën.

Kan

posi

tion

eren

op

de le

ge g

etal

lenl

ijn.

De g

etal

lenl

ijn g

eeft

ho

uvas

t.

Kent

de

tafe

ls

1 t/

m 1

0.Ka

n m

et

moe

ilijk

e ge

talle

n ha

lver

en e

n ve

rdub

be-

len.

Ziet

de

kopp

e-lin

g en

geb

ruik

t de

‘om

keer

som

’.

Past

de

stra

tegi

e to

e en

sna

pt w

at

er g

ebeu

rt.

Zow

el o

ptel

len

als

aftr

ekke

n ga

at g

oed.

Wee

t w

elke

som

men

op

dez

e m

anie

r ku

n-ne

n w

orde

n ui

tger

e-ke

nd e

n w

elke

bet

er

niet

.

Do

me

in: G

eta

llen


Deel 3Wat betekent deze aanpak voor het

rekenbeleid?

Richtlijnen voor schoolbesturen, schoolleiding

en ib’ers

foto voorkant start

57SCHOOLBREED REKENBELEID START VAN ONDEROP

Schoolbreed rekenbeleid start van onderop

Een geïnspireerd groepje mensen en een goed doordacht en gedragen plan, zijn kritische succesfactoren voor een kwaliteitsslag rekenen. Zo’n kwali-teitsslag rekenen kan uitmonden in goed rekenbeleid. Hieronder volgt een beschrijving van een dergelijk proces.

Starten met een geïnspireerd groepje Een kleine groep leraren die graag de eigen praktijk wil verbeteren, start met de kwaliteitsslag. Op basis van een startinterview en een lesobservatie wordt een persoonlijk werkplan opgesteld. De eigen bestaande praktijk, waarin persoonlijke opvattingen zichtbaar worden, is daarbij het uitgangspunt. Leraren zetten het werkplan om in activiteiten, zogenaamde proeftuintjes. Deze proeftuintjes zijn niet geïsoleerd. Er is verbinding tussen wat leraren wensen voor hun praktijk en wat de school voor ogen heeft als het gaat om het rekenonderwijs. Door te werken vanuit ieders persoonlijke kwaliteiten en uit te gaan van groei in plaats van het wegwerken van tekorten, genereer je, als vanzelf, beweging. Samen reflecteren op de eigen praktijk en op het eigen gedrag maakt dat leraren zich bewust worden van hun cruciale rol. Zij zijn sleutelfiguur in deze ont wikkeling. Ieder breidt zijn eigen repertoire uit. Daarbij hoeft niet ieder alles zelf te ontdek-ken. Soms is het noodzakelijk om de rugzak te vullen met kennis van buiten. Om enthousiast te blijven is het belangrijk dat de deelnemende leraren succes-ervaringen opdoen. Successen delen met andere collega’s, georganiseerd en ter-loops, blijkt een extra stimulans. Zo zie je steeds meer enthousiasme en nieuws-gierigheid ontstaan, ook bij collega’s die nog niet deelnemen. Dit enthousiasme wordt sterk gevoed wanneer ook de rekenresultaten van leerlingen stijgen.

Kennisbasis leraar uitgangspuntNaast opvattingen speelt ook de persoonlijke kennisbasis van de leraar op het gebied van doelen, cruciale leermomenten, datagestuurd werken en het verbinden van rekenen met de werkelijkheid, een rol in het realiseren van een kwaliteitsslag. Door expliciet te maken hoe de kennisbasis van leraren eruitziet, dat wat goed gaat te behouden en lacunes aan te pakken, gaan leraren bewuster, meer bere-deneerd en met meer zelfvertrouwen keuzes maken bij het lesgeven in rekenen.


Olievlek Nadat de kennisbasis van de starters is verrijkt en ontwikkelingen in de prak-tijk te zien zijn, sluiten andere collega’s aan in het verbetertraject. Samenwer-ken stimuleert dat leraren het traject in gang blijven houden. In een flow van samen ontwerpen, uitvoeren, reflecteren, verrijken en uiteindelijk verankeren, groeit een individuele aanpak uit naar een gedeelde aanpak in de bouwen. Het helpt om structureel aandacht te besteden aan de ingezette kwaliteitsslag. Bij-voorbeeld door iedere bouwvergadering successen met elkaar uit te wisselen. Zo ontstaat ten slotte een doorgaande lijn die ontwikkeld wordt door de hele schoolorganisatie. De professionele groei van leraren en het ontstaan van een lerende gemeenschap krijgt op deze manier een permanente plaats in de school.Dit intensieve proces leidt uiteindelijk tot breed gedragen rekenbeleid op school.

Sanne, het Plein “Het begeleiden van collega’s is moeilijker dan ik dacht. Toen ik meer mijn eigen ervaringen uitwisselde ging het beter.”

Frans, directeur de Bosweide “De opbouw van de kwaliteitsslag is een strategische en bewuste keuze geweest. Je voelt en ziet het effect. Leraren geven uit zichzelf aan: ‘Ik wil nu ook graag starten! Mag ik nu ook begeleiding?’”

Loes, adjunctdirecteur het Plein “Er is heel veel gebeurd zonder mijn sturen. Iedere leraar is met eigen kwesties aan de slag gegaan. Leraren zochten elkaar tussentijds op. Wel heb ik op gezette tijden alle betrokkenen bij elkaar gehaald om de koers weer scherp te hebben.”

Nicole, de Bosweide “Als ik nu terugkijk op een rekenles, dan doe ik dat vanuit vertrouwen. Ik weet welke keuzes ik heb gemaakt en daarom ben ik minder bang om afgerekend te worden door de Inspectie of ouders.”

Landelijke normenMet elkaar hebben leraren een vernieuwde praktijk ontwikkeld. Een praktijk die je gerust kunt meten aan landelijke normen. Rekenwinst zie je op verschillende lagen. Leerlingen zijn meer gemotiveerd om te rekenen en rekenen met meer vertrouwen. Daarnaast weten leerlingen beter waarom ze de dingen doen zoals ze die doen en kunnen ze hun kennis toepassen in dagelijkse situaties. Rekenwinst is er ook voor leraren. Ook zij worden rekenbewuster, kijken kriti-scher naar de methode, hun manier van lesgeven en maken beredeneerde keuzes.

59SCHOOLBREED REKENBELEID START VAN ONDEROP

Proces begeleidenOm het gehele proces in goede banen te leiden is het goed om als directeur, ib’er en of rekencoördinator in je hoofd grote lijnen uit te zetten. Onder-staand plaatje is daar een voorbeeld van:

onvrede overrekenonderwijs

prestaties van de leerlingen

enthousiasme

praten met collega’s over

succes

proeftuin

positieve bevestiging

begeleidingnulmeting

nadenken over...praten met...

betrokkenheid en welbevinden

duurzaam leren

+

+

+

+

olievlek

Uitgangspunten bij veranderen van onderop: • opvattingen leerkracht startpunt; • opvattingen veranderen via gedrag leerkracht; • door reflectie op de praktijk en op eigen gedrag; • vanuit bestaande situatie;• in de praktijk: leerkracht sleutelfiguur in ontwikkeling;• uitgaan van kwaliteiten en groei;• klein starten met leerkrachten die willen;• niet alles zelf ontdekken;• successen ervaren is cruciaal.

stetoscoop rekenen 008

61INSPIRERENDE BRONNEN

Inspirerende bronnen

Rekenwebsites

Er zijn veel websites met bruikbare informatie, bronnen, achtergronden, ideeën, ervaringen en materialen voor het rekenonderwijs. Er zijn er te veel om op te noemen. Hieronder zetten we een aantal sites bij elkaar waar we van weten dat scholen ze bruikbaar vinden.

Websites met (digitaal) lesmateriaalAlle rekenen wiskundemethoden hebben hun eigen websites. Daar staan naast informatie ook digitaal lesmateriaal en toetsen die bij de methode te gebruiken zijn. Voor de meeste materialen moet je betalen, maar soms mag je ook delen gratis gebruiken.

Hieronder een aantal andere websites met materialen:- www.rekenweb.nl rekenspelletjes en meer- www.wisweb.nl wiskunde-applets en spelletjes- www.gecijferd.nl digitaal multimediaal lesmateriaal rekenen voor vmbo en mbo- www.math4all.nl gevarieerd materiaal voor wiskunde en rekenen- www.bovenbouw.kennisnet.nl links naar verschillende rekenoefeningen voor de basisschool- www.onlineklas.nl rekenoefeningen voor de basisschool- proto.thinkquest.nl/~klb045 digitaal rekenboek voor onderbouw voortgezet onderwijs - users.skynet.be/thiran/rekentaal/masterform.htm oefeningen voor bewerkingen, getallenkennis, meetkunde en metend rekenen- www.volgens-bartjens.nl Volgens Bartjens is de combinatie van een tijdschrift en een website, vol

met informatie en inspiratie voor reken-wiksundeonderwijs op de basis-school.

http://www.volgens-bartjens.nl


- http://portal.rdmc.ou.nl/kbWiskunde/kbWapp/portal_v3.jsp De kennisbank rekenen is ontwikkeld voor leerkrachten en studenten van

de pabo’s en is bedoeld om leerkrachten te ondersteunen bij het voor-bereiden en uitvoeren van hun rekenlessen.

- www.leraar24.nl Leraar24 biedt informatie rondom talloze thema’s. Elk thema is uitgewerkt

in informatieve video’s die samen met verdiepende informatie een rijk dossier vormen. De informatie die Leraar24 biedt, kun je direct toepassen in je dagelijkse lespraktijk.

Websites met achtergronden- www.taalenrekenen.nl informatie van verschillende instellingen die zich met rekenen bezig-

houden bij elkaar gebracht- www.fi.uu.nl/wiki veel verschillende informatie over rekenen, een nieuwsbrief en veel links - www.fi.uu.nl/dll dossier doorlopende leerlijnen rekenen-wiskunde- www.gecijferdheid.nl voorbeelden en achtergronden bij gecijferdheid- tule.slo.nl kerndoelen en leerlijnen basisonderwijs- www.nvorwo.nl website van de Nederlandse Vereniging tot Ontwikkeling van het Reken-

WiskundeOnderwijs- www.nvvw.nl website van de Nederlandse Vereniging van Wiskundeleraren - www.ctwo.nl informatie en materialen (examens, eindtermen, voorbeelden...) van de

commissie toekomst wiskundeonderwijs

Andere nuttige en leuke sites- www.wiskundeonderwijs.nl de wiskundeonderwijs-webwijzer met links naar niet-commerciële

wiskunde(onderwijs)-websites in Nederland- www.wisfaq.nl de plek voor reken-wiskundevragen en -antwoorden

http://portal.rdmc.ou.nl/kbWiskunde/kbWapp/portal_v3.jsp

http://www.leraar24.nl

63INSPIRERENDE BRONNEN

- www.fi.uu.nl/kb reken-wiskundeonderwijs, veel gestelde vragen- www.wisactueel.nl website van JetNet met veel ideeën voor toepassingen van rekenen en

wiskunde

Inspirerende tijdschriften

- Volgens Bartjens tijdschrift voor reken-wiskundeonderwijs met informatie, bronnen, ach-

tergronden, ideeën en materialen voor het rekenonderwijs (Van Gorcum)- Tijdschrift Zone tijdschrift van de ogo-academie (Van Gorcum) met ook dikwijls praktische

artikelen om betekenisvol rekenonderwijs vorm te geven - Panama-Post tijdschrift van het Freudenthal Instituut: onderzoek, ontwikkeling, prak-

tijk richt zich op het gehele reken-wiskundeonderwijs voor kinderen tot en met 14 jaar


Nawoord

Deze publicatie is in de praktijk ontstaan vanuit gedeelde ervaringen. We willen alle leraren en schoolleiders bedanken die hun eigen ervaringen rond het werken aan een kwaliteitsslag rekenen hebben willen delen. De quotes in deze publicatie zijn hiervan het tastbare resultaat.

De Bosweide, RidderkerkHet Plein, Rotterdam De Fontein, RotterdamDe Watertoren, Rotterdam Dr. Schaepmanschool, Barendrecht en RidderkerkDe Sterrenwacht, Hellevoetsluis

Ook bedanken we Rian Zijderveld voor haar inhoudelijke bijdrage en feed-back.

Verantwoording In deze publicatie hebben wij fotomateriaal gebruikt van eigen makelij of uit publieke bronnen. Mocht er onverhoopt beeldmateriaal gebruikt zijn waarop rechten liggen, dan verzoeken we de rechthebbende contact op te nemen met [email protected].

Basisscholen geven aan dat zij behoefte hebben aan verbetering van het rekenonderwijs. En wel op een manier die past bij de visie van de school.

Ze vragen APS om advies en ondersteuning bij visieontwikkeling, bij het formuleren van rekenbeleid, bij het begeleiden van leraren op de werk-vloer, bij het betekenisvol maken van het rekenonderwijs, bij het bereiken van betere resultaten of bij het opleiden van rekencoaches in de school.

Op basis van deze vragen en praktijkervaringen, is een aanpak voor het verbeteren van het rekenonderwijs ontwikkeld. Deze aanpak hebben we een ‘kwaliteitsslag rekenen’ genoemd.

De kwaliteitsslag rekenen, hier in beeld gebracht, is bedoeld als inspi-ratiebron voor leraren en schoolleiders die zo’n kwaliteitsslag rekenen willen maken. Maar ook voor alle betrokkenen in het onderwijs die van kinderen bewuste rekenaars willen maken. Kinderen die met vertrouwen en plezier goed kunnen rekenen.


Kees HooglandDolf JansonMadeleine VliegenthartRachel van VugtEllen ZonneveldAnnemieke Zwart

lereninspireren

Reke

nen ve

rbete

ren? B

egin

bij d

e le

raar!

rekenonderwijs. En wel op een manier die past bij de visie ... · rekenonderwijs. En wel op een...

Documents

Transcript of rekenonderwijs. En wel op een manier die past bij de visie ... · rekenonderwijs. En wel op een...