Loek van Reij 10 maart 2006 - Eindhoven University of Technology · 2009-08-28 · Dictaat...
59
12 Dictaat Rekenvaardigheden Loek van Reij 10 maart 2006 i
Transcript of Loek van Reij 10 maart 2006 - Eindhoven University of Technology · 2009-08-28 · Dictaat...
12
Dictaat Rekenvaardigheden
Loek van Reij
10 maart 2006
i
ii
Voorwoord
In het middelbaar onderwijs hebben zich de laatste jaren grote veranderingen voltrokken: detweede fase met de daaraan verbonden profielkeuze en het studiehuis zijn ingevoerd. In som-mige opzichten is daardoor de aansluiting tussen vwo en universiteit verbeterd. Echter, niet vooralle studies is dit het geval. Bij de technische studies is gebleken dat een deel van de instromendestudenten deficiënties heeft. Dit geldt zowel voor studenten met het profiel "Natuur en Techniek"als voor studenten met het profiel "Natuur en Gezondheid". Eén van de deficiënties betreft dealgebraïsche vaardigheden oftewel het manipuleren met formules. Het efficiënt omgaan met énhet inzicht krijgen in formules wordt op het vwo nauwelijks meer geoefend. Dit hangt samenmet het aantal beschikbare uren en met het invoeren van de formulekaart en de grafische reken-machine. Doordat veel aankomende studenten deze vaardigheden ontberen, besteden zij in heteerste jaar op de universiteit vaak veel te veel tijd aan het maken van vraagstukken of blijven daarzelfs in steken. Het is veel beter om je op de essentie van een vraagstuk te concentreren danom teveel tijd aan rekenwerk te besteden. Voor de eerstejaars met genoemde deficiënties is dezesyllabus Rekenvaardigheden gemaakt.
Deze syllabus is bedoeld voor het aanleren van de algebraïsche vaardigheden die benodigd zijnvoor een technische studie op universitair niveau. Aan de opgaven uit de eerste 10 paragrafenkan men zien wat men aan rekenvaardigheden van eerstejaars verwacht. De paragrafen 11 t/m 14bevatten opgaven over onderwerpen die niet tot de standaard VWO-stof behoren, maar bijzondernuttig zijn voor een technische studie. De wiskundestof wordt steeds kort herhaald, waarna ereen groot aantal opgaven volgt. Door het (met de hand!) maken hiervan maakt de student zichde stof eigen en verkrijgt hij/zij inzicht in formules en rekenregels.
Gebrek aan rekenvaardigheden en formulekennis los je niet binnen een paar maanden op. Extratraining in het eerste tri- of semester zal waarschijnlijk niet genoeg zijn. In dat geval moet je zelfaandacht blijven besteden aan rekenvaardigheden en formulekennis. Deze syllabus is geschiktvoor zelfwerkzaamheid: de antwoorden op de opgaven staan achterin.
iii
Voorwoord
iv
Inhoudsopgave
Voorwoord iii
Inhoudsopgave v
1 Factoren en veeltermen 1
2 Machten 3
2.1 Opgaven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
3 Herleiden 5
3.1 Opgaven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3.2 Opgaven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3.3 Opgaven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
4 Rationale breuken 9
4.1 Opgaven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
5 Goniometrie 11
5.1 Opgaven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
6 Goniometrische formules 15
6.1 Opgaven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
6.2 Opgaven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
6.3 Opgaven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
7 Differentiëren 19
7.1 Differentiëren van goniometrische functies: . . . . . . . . . . . 19
7.2 Kettingregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
7.3 Opgaven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
v
Inhoudsopgave
8 Primitiveren 23
8.1 Opgaven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
9 Oefening grafieken tekenen 25
10 vergelijkingen en ongelijkheden 27
10.1 Polynoomvergelijkingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
10.2 Polynoomongelijkheden . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
10.3 Breukvergelijkingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
10.4 Breukongelijkheden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
10.5 Exponentiële vergelijkingen . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
10.6 Exponentiële ongelijkheden . . . . . . . . . . . . . . . . 33
10.7 Logaritmische vergelijkingen . . . . . . . . . . . . . . . . 34
10.8 Logaritmische ongelijkheden . . . . . . . . . . . . . . . . 34
10.9 Goniometrische vergelijkingen . . . . . . . . . . . . . . . . 35
10.10Wortelvergelijkingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
10.11Wortelongelijkheden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
11 Noemer wortelvrij maken (extra stof) 39
11.1 Opgaven. Maak telkens de noemer wortelvrij . . . . . . . . . . . 39
12 Breuksplitsen A (extra stof) 41
12.1 Opgaven. Splits onderstaande uitdrukking in breuken . . . . . . . . 41
13 Breuksplisen B (extra stof) 43
13.1 Opgaven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
14 Cyclometrische functies (extra stof) 45
14.1 Opgaven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
14.2 Opgaven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
15 Antwoorden 47
vi
Hoofdstuk 1
Factoren en veeltermen
We onderscheiden factoren en termen. Een factor is een onderdeel van een vermenigvuldiging;een term is een onderdeel van een som (of verschil). Bijvoorbeeld, 3a is een eenterm die bestaatuit de factoren 3 en a; 3 − a is een tweeterm die bestaat uit de termen 3 en −a.
Voorbeelden:
2a2b − 3c bestaat uit twee termen, namelijk 2a2b en −3c. 2a2b bestaat uit drie factoren: 2, a2
en b. −2c bestaat uit twee factoren: −2 en 4c. 2a(3b − 2cd) bestaat uit drie factoren: 2, a en(3b − 2cd). 3b − 2cd is een tweeterm waarvan de eerste term bestaat uit de factoren 3 en b; detweede term uit −2, c en d .
Waarschuwing
Bij de vraag: "Ontbind 3a − 6ab in factoren"zou je kunnen antwoorden:
3a − 6ab = 3(a − 2ab).
Echter, met ontbind in factoren wordt altijd bedoeld Ontbind in zoveel mogelijk factoren.". Daar-om:
3a − 6ab = 3a(1 − 2b).
1
1. Factoren en veeltermen
2
Hoofdstuk 2
Machten
De volgende regels gelden onder de voorwaarden a > 0 en b > 0:
a p· aq
= a p+q,a p
aq= a p−q, (a p)q
= a pq
(ab)p= a pbp,
√an = a
n2 ,
p√
aq = aqp
Een voorbeeld waarbij van het bovenstaande gebruik wordt gemaakt:
(3a2b)13
2a4b−12
=3
13 a
23 b
13
2a4b−12
=3
13
2a−
103 b
56
De uitdrukking is teruggebracht tot een product van getallen enmachten van de vormC ·anbmco . . .
2.1 Opgaven
Herleid onderstaande uitdrukkingen tot een vorm C · anbmco . . ..
Serie A
1. (p4q2)3· (p2q5)2
=
2. (−a5b2)4
(a3b)3 =
3. (−2cd4)3
2(3c2d)2 =
4. (−3a√
b)3=
5.√
2ab2 · 2√
a =
6. 2p 3√
q2
4√
p3q=
7. (a2b−3)2· −3a−7b−2
=
8. (3a2b)−14 · (6a3b2)
12 =
9. 3a−23 b2
2a2b−13
=
10. (2a)−
14
2a−12
=
3
2. Machten
Serie B
1. (p3q4)2· (p3q2)4
=
2. (−a3b2)4
(−a4b)3 =
3. (−2c2d4)4
−2(3c2d)3 =
4. (−2ab√
b)5=
5.√
2ab3 · 3√ a
b =
6. 2p 3√
q4√
p3q=
7. (a−2b3)2· −3a3b−2
=
8. (3a2b)−13 · (6a3b2)
14 =
9. 3a−25 b2
2a3b−12
=
10. (2a)−
13
2a−12
=
4
Hoofdstuk 3
Herleiden
Er geldt:
(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd
Speciale gevallen van deze regel zijn de zogenaamde ’merkwaardige producten’:
(a + b)2= a2
+ 2ab + b2, (a − b)2= a2
− 2ab + b2 en (a − b)(a + b) = a2+ b2
Voorbeeld: (3a − 2√
b)2= 9a2
− 12a√
b + 4b Verder moeten we ook wortels kunnen herleiden:Voorbeelden:
√72 =
√36 ·
√2 = 6
√2;
3√
7=
3√
77 =
37
√7
3.1 Opgaven
Herleid onderstaande uitdrukkingen met behulp van bovenstaande regels. Zorg ervoor dat ergeen wortels in de noemer blijven staan. Herleid wortels zoveel mogelijk.
Serie A
1. (3a − b)2=
2. (−2a2+ 3a)2
=
3. (3√
6 − 6√
3)2=
4. (m − 2n)(3m + n) =
5. (6 − 2√
3)(√
3 + 2) =
6. (−3a2b3+
13 a4b)2
=
7. (−2a√
3 +√
21)(2a√
3 +√
21) =
8. (2a − b + 1)(3a + 2b − 5) =
9. ( 2√
20+
3√
5)2
=
10. (3a − 1)(3a + 1)(9a2+ 1) =
5
3. Herleiden
Serie B
1. (−3a + 2b)2=
2. (2a3− 3a)2
=
3. (3√
15 − 2√
3)2=
4. (2m − 3n)(3m + 2n) =
5. (1 − 2√
5)(√
5 + 2) =
6. (−2a4b3+
14 a2b)2
=
7. (−2a√
3 +√
30)(2a√
3 +√
30) =
8. (2a − 3b + 1)(3a + 2b − 4) =
9. ( 2√
20+
3√
45)2
=
10. (2a − 1)(2a + 1)(4a2+ 1) =
3.2 Opgaven
Ontbind in zoveel mogelijk factoren.
Voorbeeld 1: x3− 3x2
− 28x = x(x2− 3x − 28) = x(x + 4)(x − 7). Voorbeeld 2: x4
− 16 =
(x2+ 4)(x2
− 4) = (x2+ 4)(x + 2)(x − 2).
In deze voorbeelden treden steeds gehele getallen op. Echter, wees erop bedacht dat dit lang nietaltijd het geval is. Bijvoorbeeld: (2x2
− 1) = (√
2x − 1)(√
2x + 1).
Serie A.
1. 16x4− 81 =
2. 3x5− 12x4
− 63x3=
3. x16− 1 =
4. x4+ x2
− 6 =
5. x2− 19x + 34 =
6. x2− 15x − 34 =
7. x(x − 1) − (x − 1) =
8. x(x2− 1) + (x − 1) =
9. (3x − 2)2− (2x + 3)2
=
10. x6− 6x3
+ 9 =
Serie B.
1. 81x4− 16 =
2. 3x4− 15x3
+ 12x2=
3. x12− 16 =
4. x4− x2
− 20 =
5. x2− 21x + 38 =
6. x2− 17x − 38 =
7. 2x(x + 1) + 2(x + 1) =
8. x(x2− 1) − (x − 1) =
9. (5x − 3)2− (3x + 5)2
=
10. x10+ 8x5
+ 16 =
3.3 Opgaven
De sommen die nu volgen hebben ook betrekking op ’ontbinden in factoren’.
Voorbeeld 1: 6x3− 18x2
− x + 3 = 6x2(x − 3) − (x − 3) = (6x62 − 10(x − 3)
Voorbeeld 2: 2x2+ x − 10 = 2x2
− 4x + 5x − 10 = 2x(x − 2) + 5(x − 2) = (2x = 5)(x − 2)
6
3.3 Opgaven
Serie A.
1. 3x2− 20x + 12 =
2. 2x2+ 7x + 6 =
3. 3x4− 11x2
+ 6
4. −2x2+ 7x + 15 =
5. 2x4− x2
− 3 =
6. x3− 4x2
− x + 4 =
7. 2x3− 6x2
+ x − 3 =
8. x3+ 5x2
− 4x − 20 =
9. −3x3+ 6x2
+ 2x − 4 =
10. x7− 2x4
− 15x =
Serie B
1. 3x2− 14x + 15 =
2. 2x2+ 9x + 9 =
3. 3x4− 13x2
+ 12
4. −2x2+ x + 21 =
5. 2x4+ 2x2
− 4 =
6. x3− 8x2
− x + 8 =
7. 3x3− 12x2
+ 2x − 8 =
8. 3x3+ 15x2
− 4x − 20 =
9. −2x3+ 4x2
+ 3x − 6 =
10. x8− 4x5
− 12x2=
7
3. Herleiden
8
Hoofdstuk 4
Rationale breuken
4.1 Opgaven
Bij de volgende serie opgaven dien je de uitkomst te schrijven als één breuk. We noemen dezebewerking onder ’één noemer brengen’.
Voorbeeld: 1x−1 −
22x−3 =
2x−3(x−1)(2x−3)
−2(x−1)
(x−1)(2x−3)=
2x−3−2(x−1)
(x−1)(2x−3)= −
1(x−1)(2x−3)
Serie A.
1. 32x−1 +
xx+1 =
2. 1√
x−1 +1
√x+1 =
3. 1x−1 +
3x+3 =
4. −31−x −
6xx+3 =
5. 132x+3 −
5x+1 =
6. xx−2 −
32x−4 =
7. −x
x2−3 +2
2x+1 =
8. 1x+1 −
2x(x+1)3
9. 1x−1 +
1(x−1)2 +
1x+1 =
10. 1 −1
2x +3
x+3 =
Serie B.
1. 22x−1 −
2xx+1 =
2. 1√
2x−3+
1√
2x+3=
3. xx2−3 +
22x+3 =
4. −31−x +
6xx+2 =
5. 72x+3 −
5x2+1 =
6. xx+3 −
32x+6 =
7. −x
x−3 +2x
2x+1 =
8. 1x−1 +
2x(x−1)3
9. 1x−1 +
1(x2−1)
+1
x+1 =
10. 1 −2x +
3x−3 =
9
4. Rationale breuken
10
Hoofdstuk 5
Goniometrie
In eerste instantie voert men gewoonlijk de sinus, cosinus als verhoudingen van zijden in eenrechthoekige driehoek. Dit betekent dat de hoek tussen de 0◦ en 90◦ ligt. Vervolgens voert mende tangens in als tangens(x) = sinus(x) / cosinus(x). Een natuurlijke uitbreiding voor willekeu-rige hoeken krijgen we met behulp van de eenheidscirkel. We definiëren: Een punt P op deeenheidscirkel heeft x-coördinaat cos(α) en y-coördinaat sin(α), dus P = (cos(α), sin(α)), of iniets andere notatie P = (cos α, sin α).
P : ( c o s a , s i n a )
O 1
1
x
y
a
Er blijft dan gelden: tan α =sin αcos α
en sin2 α + cos2 α = 1.
De hoek α wordt meestal uitgedrukt in radialen. Bij een hoek van één radiaal hoort een cirkelboogmet een lengte die gelijk is aan de straal van de cirkel. Dat is elegant, omdat daarmee de lengte vaneen cirkelboog gelijk is aan het product van straal en hoek (in radialen). Daaruit volgt bijvoorbeelddat 2π rad overeenkomt met 360◦. In deze cursus worden hoeken altijd in radialen uitgedrukt.
Het verdient aanbeveling onderstaande tabel van buiten te kennen.
11
5. Goniometrie
x 0 16π
14π
13π
12π
sin x 0 12
12
√2 1
2
√3 1
cos x 1 12
√3 1
2
√2 1
2 0tan x 0 1
3
√3 1
√3 n.g.
Voor x =12π is tan x niet gedefinieerd (n.g.).
Bij hoeken groter dan 12π rad horen goniometrische verhoudingen die rechtstreeks af te leiden
zijn uit de definities.
Voorbeeld: De coördinaten van Q welke horen bij een hoek van 76π rad kun je afleiden uit de
coördinaten van P die horen bij een hoek van 16π rad.
O 1
1
x
y
p16
p76
P
Daarom
sin76π = − sin
16π = −
12
cos76π = − cos
16π = −
12
√3
tan76π =
sin 76π
cos 76π
=−
12
−12
√3=
13
√3
We noemen dit ’herleiden naar een hoek in het eerste kwadrant’.
5.1 Opgaven
Herleid tot hoeken in het eerste kwadrant. Je kunt daarbij bovenstaande tabel gebruiken.
12
5.1 Opgaven
Serie A
1. sin( 43π) =
2. tan(− 14) =
3. cos( 56π) =
4. sin( 23π) =
5. tan( 854 π) =
6. sin( 32π) =
7. cos(− 74π) =
8. tan( 56π) =
9. cos( 23π) =
10. sin( 374 π) =
Serie B
1. cos( 43π) =
2. sin(− 14) =
3. tan( 56π) =
4. cos( 23π) =
5. sin(− 854 π) =
6. tan( 32π) =
7. sin(− 74π) =
8. cos(− 56π) =
9. tan( 23π) =
10. sin( 343 π) =
Een ander type vraag gaat als volgt:
Gegeven: sin x = −12
√3. Hoe groot is x , indien we de afspraak maken dat 0 ≤ x < 2π?
O 1
1
x
y
12 3-
Gebruik de eenheidscirkel:
Per definitie is sin x de y-coördinaat van een punt op de eenheidscirkel. Omdat −12
√3 negatief
is, weten we dat de y-coördinaat negatief is, De y-coördinaat is negatief in het derde of vierdekwadrant, daar moeten we de hoek x dus zoeken.
13
5. Goniometrie
Bekend is: sin 13π =
12
√3.
Met behulp van de tekening en bovenstaande tabel is vlot in te zien dat bij sin x = −12
√3 hoeken
horen van π +13π en 2π −
13π .
Het antwoord luidt dus: x =43π ∨ x =
53π .
14
Hoofdstuk 6
Goniometrische formules
Met behulp van de definitie via de eenheidscirkel zijn de volgende uitdrukkingen eenvoudig in tezien:
sin(−x) = − sin x, cos(−x) = cos x, tan(−x) = − tan xsin x = cos( 1
2π − x), cos x = sin( 12π − x)
De volgende formules worden niet afgeleid of bewezen. ze hangen sterk met elkaar samen.Bijvoorbeeld, indien je er één als uitgangspunt neemt, kun je met behulp van bovenstaandeformules de andere uitdrukkingen afleiden:
sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin ysin(x − y) = sin x cos y − cos x sin ycos(x + y) = cos x cos y − sin x sin ycos(x − y) = cos x cos y + sin x sin ytan(x + y) =
tan x+tan y1−tan x tan y
tan(x − y) =tan x−tan y
1+tan x tan y
6.1 Opgaven
1. Leid uit de formule voor sin(x + y) de formules voor sin(x − y), cos(x + y) en cos(x − y)
af.
2. Leid zelf af: tan(x + y) =tan x+tan y
1−tan x tan y en tan(x − y) =tan x−tan y
1+tan x tan y
3. Leid uit bovenstaande uitdrukkingen af:sin 2x = 2 sin x cos xcos 2x = cos2 x − sin2 x = 2 cos2 x − 1 = 1 − 2 sin2 xtan 2x =
2 tan x1−tan2 x
4. Voor een hoek x ∈ [0, 12π ] geldt: cos x =
12
√2. Bereken cos(x −
16π).
5. Voor een hoek x ∈ [12π, π] geldt: cos 2x =
13 . Bereken sin x .
6. Voor een hoek x ∈ [0, 12π ] geldt: cos x =
34 . Bereken tan 2x .
15
6. Goniometrische formules
6.2 Opgaven
Bij de volgende opgaven dient gebruik te worden gemaakt van bovenstaande goniometrischeformules:
Serie A
1. Ontbind in factoren: sin(x) + sin(2x) =
2. Ontbind in factoren: sin(x + y) + sin(x −
y) =
3. Ontbind in factoren: cos 2x + sin2 x =
4. Ontbind in factoren: 1+sin 2x −cos2 x =
5. Ontbind in factoren: cos 2x − 1 =
6. Ontbind in factoren: sin2 x −5 sin x +4 =
7. Ontbind in factoren: sin2 x +5 cos x +5 =
8. Bereken exact een uitkomst voor cos 18π
9. Vereenvoudig cos2 x1−sin x −
cos2 x1+sin x
10. f (x) = 1 − cos 2x − sin2 x is te schrijvenals f (x) = a + b cos(cx). Bepaal a, b enc.
Serie B
1. Ontbind in factoren: 2 sin2 x − sin 2x =
2. Ontbind in factoren: cos 2x − cos2 x =
3. Ontbind in factoren: 1 − sin 2x − sin2 x =
4. Ontbind in factoren: cos 2x + 7 =
5. Ontbind in factoren: sin2 x − sin x − 6 =
6. Ontbind in factoren: cos2 x +3 sin x +9 =
7. Schrijf zonder wortel:√
1−cos x1+cos x =
8. Bereken exact een uitkomst voor sin 18π
9. Vereenvoudig cos4 x − 2 cos2 x sin2 x +
sin4 x
10. f (x) = 3 cos2 x − sin2 x is te schrijven alsf (x) = a + b cos(cx). Bepaal a, b en c.
6.3 Opgaven
Bij de volgende opgaven dient gebruik te worden gemaakt van bovenstaande goniometrischeformules:
Serie A
1. Toon aan dat cos2 12 x =
12 +
12 cos x
2. Toon aan dat cos4 x − sin4 x = cos 2x
3. Toon aan dat cos4 x+12 sin2 2x+sin4 x = 1
4. Toon aan dat cos2 x(1 + tan2 x) = 1
5. Toon aan dat tan x =sin 2x
1+cos 2x
6. Toon aan dat tan x+tan ytan x−tan y =
sin(x+y)
sin(x−y)
7. Toon aan dat tan2 x − sin2 x =
tan2 x . sin2 x
8. Toon aan dat tan2 x−1tan2 x+1 = sin2 x − cos2 x
9. Toon aan dat tan( 14π + x) =
1+tan x1−tan x
10. toon aan dat 2 cos2 x − cos 2x = 1
16
6.3 Opgaven
Serie B
1. Toon aan dat sin2 12 x =
12 −
12 cos x
2. Toon aan dat cos4 x(1 − tan4 x) = cos 2x
3. Toon aan dat 4 sin2 x − 4 sin4 x = sin2 2x
4. Toon aan dat cos4 x(1 + tan4 x) = 1 −
2 sin2 x cos2 x
5. Toon aan dat tan x =1−cos 2x
sin 2x
6. Toon aan dat 1+tan x tan y1−tan x tan y =
cos(x−y)
cos(x+y)
7. Toon aan dat sin 2x − tan x = tan x cos 2x
8. Toon aan dat sin 2x1+cos 2x =
1−cos 2xsin 2x
9. Toon aan dat tan( 14π + x)+ tan( 1
4π − x) =2
cos2 x−sin2 x
10. toon aan dat cos x−sin xcos x+sin x +
cos x+sin xcos x−sin x =
2cos 2x
17
6. Goniometrische formules
18
Hoofdstuk 7
Differentiëren
Bij het differentiëren maken we gebruik van een aantal basisregels:
y = axn⇒ y′
= naxn−1
y(x) = u(x)v(x) ⇒ y′= u′v + v′u (productregel)
y(x) =t (x)
n(x)⇒ y′
=nt ′
− tn′
n2(quotientregel)
7.1 Differentiëren van goniometrische functies:
ddx
sin x = cos x,d
dxcos x = − sin x,
ddx
tan x = 1 + tan2 x
7.2 Kettingregel
Als de functies y(x) en u(x) gegeven zijn dan geldt voor de samengestelde functie y(u(x)):
dydx
=dydu
·dudx
Voorbeeld: Bereken de afgeleide van de functie y = 6(3x2− 2)2.
Definieer: u = 3x2− 2.
We moeten nu eerst y = 6u2 differentiëren naar u en het resultaat vermenigvuldigen met deafgeleide van u = 3x2
− 2 naar x .Er geldt: dy
du = 12u en dudx = 6x . Dus dy
dx =dydu ·
dudx = 12u · 6x = 12(3x2
− 2) · 6xKortom: y′
= 72x(3x2− 2)
Voorbeeld: y = 3(x2− 5)5
⇒ y′= 15(x2
− x)4(2x − 1).
Handig om van buiten te kennen
y = un⇒ y′
= nun−1u′
y =1u
⇒ y′= −
1u2
u′
19
7. Differentiëren
y =√
u ⇒ y′=
12√
uu′
Voorbeelden
y = 4(3x2− 1)2
⇒ y′= 8(3x2
− 1) · 6x = 48x(3x2− 1)
y =√
6x − 1 ⇒ y′=
1
2√
6x − 1· 6 =
3√
6x − 1
y =3
2x3 − 1⇒ y′
= −3
(2x3 − 1)2· 6x2
= −18x2
(2x3 − 1)2
y = ln(1 − x) ⇒ y′=
11 − x
· −1 = −1
(1 − x)=
1x − 1
y = 3x2−5
⇒ y′= 3x2
−5· ln 3 · 2x = 2x · ln 3 · 3x2
−5
y = (2 sin2 x − 1)3⇒ y′
= 3(2 sin2 x − 1)2· 4 sin x · cos x = 12 sin x cos x · (2 sin2 x − 1)2
7.3 Opgaven
Bereken de afgeleiden van:
Serie A
1. y = −3(1 − 2x)5
2. y =x√
x2−1
3. y =3
5−x2
4. y =3
(3x−1)3
5. y = 6 · 32x−1
6. y = 2ex2−1
7. y = x ln(3x + 4)
8. y = ln( xx+1)
9. y = x3· 22x
10. y = 3x√
3x − 1
11. y =ln x
1−ln x
12. y = (x2− 3x) · ex
13. y = tan3 x
14. y =sin x−cos xsin x+cos x
15. y =sin x
cos2 x−1
20
7.3 Opgaven
Serie B
1. y = 2x ln 3x
2. y =ln xx
3. y =√
sin 2x
4. y =1
√(3x2+1)
5. y =x2
−7x−8x2−1
6. y = sin2(2x −16π)
7. y =ln2 xsin x
8. y =x√
x2+1
9. y = ln(√
3x − 1)
10. y = e2 sin2 x−1
11. y =ex
+1ex
12. y = ln4 x
13. y = sin2 x · cos x
14. y =sin x
1−cos x
15. y =cos x
cos2 x−1
21
7. Differentiëren
22
Hoofdstuk 8
Primitiveren
In de integraalrekening neemt primitiveren een essentiële plaats in. Het is de inverse bewerkingvan differentiëren. Kennis van differentiëren is daarom vereist.Basisformules (met c een onbepaalde integratieconstante):∫
axndx =a
n + 1xn+1
+ c;∫
(ax + b)ndx =1a
·1
n + 1(ax + b)n+1
+ c
∫eax dx =
1a
eax+ c;
∫1
ax + bdx =
1a
ln |ax + b| + c∫1
cos2xdx = tan x + c (want
ddx
tan x =1
cos2 x)
cos(ax)dx =1a
sin(ax) + c
Controleer altijd of je goed geprimitiveerd hebt door de uitkomst te differentiëren.
8.1 Opgaven
Primitiveer de volgende functies.
Serie A
1. (2x − 1)3
2. (5 − x)2
3.√
3x − 4
4. 1(2x+3)4
5. sin 2(x −16π)
6. 1√
x+3
7. x2+1x
8. sin x + e3x
9. tan2 x
10. 23−2x
23
8. Primitiveren
Serie B
1. (3x + 2)3
2. (8 − 2x)2
3.√
2x − 3
4. 1(2x−1)5
5. cos 12(x −
13π)
6. 2√
x−5
7. x3−1x
8. cos 2x + e2x
9. tan2 x + 2
10. 32−3x
24
Hoofdstuk 9
Oefening grafieken tekenen
De bedoeling van deze oefening is dat je bij een aantal functies de grafiek schetst zonder gebruikte maken van elektronische hulpmiddelen.Afstanden tussen eenheden op de x -as hoeven niet noodzakelijk gelijk te zijn aan die tussen deeenheden op de y-as.Kies het domein telkens zó dat de eigenschappen van de grafiek duidelijk te zien zijn, zoalssnijpunten met de assen, asymptoten, perioden, enz.zet bij snijpunten en asymptoten ook getallen indien deze vlot uit het hoofd te berekenen zijn.
Voorbeeld:
f (x) = (x − 3)2 :
We gebruiken hier de notatie f (x) voor een functie van x .
Serie A
1. f (x) = (x + 2)4
2. f (x) = (x − 2)2+ 3
3. f (x) = −x3+ 8
4. f (x) = x2+ 6x + 9
5. f (x) = 6(x + 1)5
25
9. Oefening grafieken tekenen
Serie B
1. f (x) =1x
2. f (x) =4
x−2
3. f (x) = 3 +1
x−3
4. f (x) =3x2
5. f (x) =4
(2−x)2
Serie C
1. f (x) = 2x
2. f (x) = ( 12)
x+ 3
3. f (x) = 2x−2+ 1
4. f (x) = 3−x− 1
5. f (x) = ex−1
Serie D
1. f (x) =2 log x
2. f (x) =2 log(x + 2)
3. f (x) = log x2
4. f (x) = 2 log x
5. f (x) = ln(x − e)
Serie E
1. f (x) =√
x + 2
2. f (x) = 4 − 2√
x
3. f (x) = 2 +√
x + 4
4. f (x) = 3√
x
5. f (x) =6√
x2 − 1
Serie F
1. f (x) = sin 3x
2. f (x) = 2 cos πx
3. f (x) = 12 + 8 sin 2π6 (x − 1)
4. f (x) = 3 − 2 cos 3(x −13π)
5. f (x) = −1 − 3 sin 110π(x + 5)
26
Hoofdstuk 10
vergelijkingen en ongelijkheden
10.1 Polynoomvergelijkingen
Polynoomvergelijkingen kunnen algemeen worden geschreven als:anxn
+ an−1xn−1+ an−2xn−2
+ . . . = 0, met n een geheel getal.Oplossingen kunnen soms gevonden worden door in factoren te ontbinden.
Voorbeeld 1: Los op: x5− 4x3
− 27x2+ 108 = 0
x3(x2− 4) − 27(x2
− 4) = 0(x3
− 27)(x2− 4) = 0
(x3− 27)(x − 2)(x + 2) = 0
x = 3 ∨ x = 2 ∨ x = −2Voorbeeld 2: Los op: (x2
− 14)(x + 4) = 5x(x + 4)
(x2− 14)(x + 4) − 5x(x + 4) = 0
(x2− 14 − 5x)(x + 4) = 0
(x + 2)(x − 7)(x − 4) = 0x = −2 ∨ x = 7 ∨ x = −4
Los de volgende vergelijkingen op:
Serie A
1. 2x2+ 7x − 4 = 0
2. x4+ 6 = 7x2
3. x4+ 6x = 7x2
4. x4− 42 = x2
5. x4− 39x2
= 10x3
6. x3− 3x2
= (x − 3)(x + 20)
7. (x − 2)3= x − 2
8. 3x3− x2
− 12x + 4 = 0
9. (x2− 4)(x + 3) = (x − 2)(4 − x2)
10. x6− 4x4
= 4x2− 16
27
10. vergelijkingen en ongelijkheden
Serie B
1. 3x2+ 7x − 6 = 0
2. x4= 2x2
+ 24
3. x4− 24x2
= 10x3
4. x4− 12 = x2
5. x4− 33x2
= 8x3
6. x3+ x2
= (x + 1)(x + 2)
7. 3x2+ 4x − 4 = 0
8. x3− 3x2
= (x − 3)(x + 12)
9. (x2− 4)(x − 3) = (x + 2)(x − 3)
10. 3(x − 1)2(x + 1) = (x + 1)2)
10.2 Polynoomongelijkheden
Een handig hulpmiddel bij ongelijkheden is een tekenschema. Tekenschema’s geven op eengetallenrechte met plussen en minnen aan waar een uitdrukking positief of negatief is. daarwaar de uitdrukking nul is zetten we één of meerdere nullen op de getallenrechte. Bij elke nul opde getallenrechte is er sprake van tekenverandering.
Twee voorbeelden van tekenschema’s:
f (x) = (x + 3)(x − 1)(x − 2) heeft als tekenschema: -0++0-0++-3 1 2
Kijk bij één bepaalde gemakkelijke waarde van x (anders dan een nulpunt)naar de uitkomst f (x).Als de uitkomst positief of negatief is geldt dat overal tussen de naburige nulpunten. Bij een 0op de getallenrechte verandert het teken.
g(x) = (x + 3)3(x − 1)(x − 2)2 heeft als tekenschema: -000++0-00++-3 1 2
Bij −3 op de getallenrechte staat 3 keer een 0 omdat je daar een oplossing krijgt van (x + 3)3= 0
oftewel (x + 3)(x + 3)(x + 3) = 0. Zo’n nulpunt noemen we drievoudig. Dat betekent ook dat erdrie keer tekenwisseling plaats vindt, want bij elke 0 verandert het teken.Als g(x) dus positief isvoor x < 3 zal g(x) negatief zijn als x > −3.Bij 2 op de getallenrechte moet 2 keer een 0 komen, want (x −2)2 is te schrijven als (x −2)(x −2).Er vindt daarom 2 keer tekenwisseling plaats wat in feite betekent dat er geen tekenwisseling isbij de 2.
Kortom, een n-voudig nulpunt geeft geen tekenwisseling als n even is en wel een tekenwisselingals n oneven is.
Voorbeeld 1: Los op: x3+ 8x ≤ 6x2.
Herleid eerst op: x3− 6x2
+ 8x ≤ 0. Ontbind vervolgens in factoren:x(x2
− 6x = 8) = 0x(x − 2)(x − 4) = 0Tekenschema:-0++0-0++0 2 4
28
10.3 Breukvergelijkingen
De oplossing is dus: x ≤ 0 ∨ 2 ≤ x ≤ 4of in intervalnotatie: (−∞, 0] ∪ [2, 4]
Voorbeeld 2: Los op: x(x + 3)3(x − 2)2≤ (x + 3)3(x − 2)2
x(x + 3)3(x − 2)2− 1(x + 3)3(x − 2)2
≥ 0(x − 1)(x + 3)3(x − 2)2
= 0Tekenschema:++000-0++00++-3 1 2
De oplossing is: x ≤ −3 ∨ x ≥ 1of in intervalnotatie: (−∞, −3] ∪ [1, ∞)
Los de volgende ongelijkheden op:
Serie A
1. x2≤ 25
2. (x − 3)2≥ 1
3. (x − 2)2≤
14
4. 8 < x2+ 2x
5. 3(x + 1) − 2(2x + 3) > −(x − 2)
6. 35 < x2+ 2x
7. (x2− 4)(x − 4)2
≤ 0
8. 3(x + 1) − 2(2x + 3) > 5(x − 2)
9. (x2− 7x + 12)(x2
+ 2x − 24) ≤ 0
10. x6− 9x3
+ 8 ≤ 0
Serie B
1. x2≥ 16
2. 9x2≤ 16
3. (x − 2)2≥
19
4. 15 < x2+ 2x
5. 3(x − 1) − 2(2x + 3) > 5(x − 2)
6. x2− 1 ≥ 9 − 3x
7. (x2− 9)(x − 3)2
≤ 0
8. x2(3x − 5) − (2x + 3)(3x − 5) > 0
9. (x − 1)(x − 2)2(x − 3)3≥ 0
10. 3x3− 12x ≥ x4
− 4x2
10.3 Breukvergelijkingen
Bij breukvergelijkingen zijn ’kruiselings vermenigvuldigen’ en ’onder één noemer brengen’ be-langrijke technieken.
Voorbeeld 1: 2x+83x−6 =
x+55
Kruiselings vermenigvuldigen geeft:(3x − 6)(x + 5) = 5(2x + 8)
3x3+ 9x − 30 = 10x + 40
3x(x − 5) + 14(x − 5) = 0(3x + 14)(x − 5) = 0x = −
143 ∨ x = 5
Voorbeeld 2: 6x−1 +
5x+1 = 3
6(x+1)+5(x−1)
(x−1)(x+1)= 3
29
10. vergelijkingen en ongelijkheden
11x+1x2−1 = 3
11x + 1 = 3x2− 3
3x2− 11x − 4 = 0
3x2− 12x + x − 4 = 0
3x(x − 4) + 1(x − 4) = 0(x − 4)(3x + 1) = 0x = −
13 ∨ x = 4
Los de volgende vergelijkingen op.
Serie A
1. 3x+1 =
2x+2
2. x−3x−1 − 3 =
xx+2
3. x−3x−1 − 2 =
x−1x−3
4. x3−4x2
x−4 = 3
5. 1x2 − 2 =
1x
6. 32x−1 + x = 4
7. 2x+3x −
x+1x−2 = 7
8. 2x−15 +
x2−3
2x = 2
9. 9(x+1)2 =
x+8x3+2
10. 3x−42 +
x2
x+2 = 2
Serie B
1. x2+3x−2x+1 = 4
2. 3x2+5x−2
x2+3x+2 = 2
3. 3x2+6x+1
x2+2 = 2
4. 3x3+6x
x2+2 = 2
5. 4x2 +
4x = 3
6. 3x−1x−5 − 3 = x
7. xx−4 −
xx+3 = −
72
8. x2−4
x2+4 −1
x−3 = 1
9. xx−1 +
2xx+2 = 3
10. 1x +
1x2 −
1x3 = 1
10.4 Breukongelijkheden
Bij breuken niet alleen bij een nulpunt van de teller, maar ook bij een nulpunt van de noemerkan het teken omwisselen. Bij tekenschema’s worden daarom zowel de nulpunten van de tellerals de nulpunten van de noemer aangegeven; deze laatste met een *. Overigens, in zo’n nulpuntvan de noemer bestaat de functie dus niet.
Voorbeeld:2
x − 1−
5x + 3
≤ 1
2(x + 3)
(x − 1)(x + 3)−
5(x − 1)
(x − 1)(x + 3)−
(x − 1)(x + 3)
(x − 1)(x + 3)≤ 0
−x2− 5x + 14
(x − 1)(x + 3)≤ 0
30
10.4 Breukongelijkheden
(x + 7)(x − 2)
(x − 1)(x + 3)≥ 0
Tekenschema: ++0-*++*-0++,.-7.-3..1..2
dus x ≤ −7 ∨ −3 < x < 1 ∨ x ≥ 1
Los de volgende ongelijkheden met breuken op.
Serie A
1.
x2− 2x − 15
x2 + 4x + 3≤ 0
2.1
x2 − 3x − 28≥ 0
3.
52x + 1
−2
x − 3≤ 3
4.
2x2
2x + 3−
x2
x + 2> −3
5.
3x2x − 1
≥2x − 5x − 2
6.x − 2
x≤
x − 1x − 3
+ 1
7.
3x − x2
2x − 2≤ 1
8.1
x − 1+
1(x − 1)2
−1
(x − 1)3< 1
9.
x2− 2x − 15
x2 − 4x + 3− 1 > 0
10.2x + 3
x− 2 >
3x − 8x − 2
Serie B
1.
x − 3x2 − 3x − 28
< 0
2.
10xx3 + x
> 1
3.
x2− 1
x2 + 1−
x + 3x − 2
≤ 4
4.
x2x − 5
+6
x + 1≤ 2
5.
6x + 4
≤5x + 1x + 1
6.
xx + 4
− 1 ≤x − 3
3
7.
x2− 4x + 3
x2 − x − 12>
56
31
10. vergelijkingen en ongelijkheden
8.x
3x − 1+
32x + 1
≥ 1
9.
xx3 − 2x
≥12
10.
24x + 3
−3
x − 4<
76
10.5 Exponentiële vergelijkingen
Bij onderstaande opgaven is het de bedoeling dat je herleidt tot een vergelijking met machtenoftewel een uitdrukking van de vorm auitdrukkingmetx
= agetal . Je mag dan de machten gelijkstellen, waarna je de resulterende vergelijking nog dient op te lossen.
Gebruik de regels bij machten, bijvoorbeeld 4x= (22)x
= (2x)2= 22x .
Voorbeeld 1: 2x+3− 3 · 2x
= 8023
· 2x− 3 · 2x
= 808 · 2x
− 3 · 2x= 80
5 · 2x= 80
2x= 16 = 24
x = 4Voorbeeld 2: 2x
+ 23−x= 6
2x+ 8 · 2−x
= 6. Stel 2x= a, dan
a + 8 · a−1= 6
a2− 6a + 8 = 0
(a − 2)(a − 4) = 0a = 2 ∨ a = 42x
= 2 ∨ 2x= 4
x = 1 ∨ x = 2
Los de volgende exponentiële vergelijkingen op.
Serie A
1. 2x+1+ 2x+3
= 320
2. 3x+1= ( 1
3)x−2
3. 3x+3= 2160 + 3x−1
4. 4x− 12 · 2x
+ 25= 0
5. 2x+3= 60 + 2x−1
6. 163x+3= 8x2
+4
7. 22x+ 64 = 2x+4
8. 33x− 2 · 32x+1
= 3x+3
9. 2x+ 23−x
= 6
10. ex= 2 · e−x
+ 1
32
10.6 Exponentiële ongelijkheden
Serie B
1. 3x+3= 6 + 3x+2
2. 9x=
13
√3
3. 3x+2+ 3x−1
=2827
4. 4 · 3x+1− 32x
= 27
5. 2x−1= 5 − 4x
6. 4 · 32x+1− 33x
= 3x+3
7. 23 log x
=14
8. ( 13
√3)x
= 9
9. 6 · ( 14)
x=
32(
12)
x
10. 600 · (0.4)x= 150 · (0.8)x
10.6 Exponentiële ongelijkheden
Bij exponentiële ongelijkheden moet je met grondtallen kleiner dan 1 oppassen.Bijvoorbeeld, 2x > 24
⇔ x > 4 maar ( 12)
x > ( 12)
4⇔ x < 4.
Je had deze laatste conclusie ook als volgt kunnen trekken:(2−1)x > (2−1)4
⇔ 2−x > 2−4⇔ −x > −4 ⇔ x < 4.
Voorbeeld 1: 5x−1+ 5x−2 > 6
√5 ⇔ 5x
· 5−1+ 5x
· 5−2 > 6 · 512
Vermenigvuldig beide zijden met 52:5 · 5x
+ 5x > 6 · 552 ⇔ 6 · 5x > 6 · 5
52 ⇔ x > 5
2Voorbeeld 2: 3x
+ ( 13)
x−3≤ 12 ⇔ 3x
+ (3−1)x−3≤ 12 ⇔ 3x
+ 33−x≤ 12
3x+ 33
· 3−x≤ 12 ⇔ 3x
+ (27/3x) ≤ 12. Stel 3x= a en bedenk dat dan a > 0!
a + (27/a) ≤ 12 ⇔ a2+ 27 ≤ 12a. Dat mag omdat a > 0.
a2− 12a + 27 ≤ 0 ⇔ (a − 3)(a − 9) ≤ 0 ⇔ 3 ≤ a ≤ 9
Dus 31≤ 3x
≤ 32⇔ 1 ≤ x ≤ 2
Los de volgende exponentiële ongelijkheden op.
Serie A.
1. ( 12)
2x−1 < 8
2. 3 + 2x≤ 2x+2
− 3
3. (2x− 4)(2x
− 8) > 0
4. 8x−1≥ ( 1
4)x
5. 2x+ 32 · 2−x
≥ 12
6. (6 − 5x)/51−x < 1
7. 4x > 14 · 23x
8. 2x+ 8 · 2−x
≥ 6
9. 26x− 4x+1 > 0
10. 33−2x− 4 · 31−x
+ 3 > 0
Serie B
1. 1 − ( 12)
2x−2≥ 0
2. 9x+ 3x+1 > 18
3. (22x− 8)/(2x
− 4) ≤ 0
4. 9x+1≥
127
5. 2x+ 8 · 2−x
≥ 9
6. 3x+ 33−x < 12
7. 5x− 2 · 5x−1 < 75
8. ( 12)
3x− ( 1
2)2x
≥ 0
9. 6 · 5x− 52x < 5
10. ( 13)
2x−3− 4 · ( 1
3)x−1
− 15 < 0
33
10. vergelijkingen en ongelijkheden
10.7 Logaritmische vergelijkingen
De definitie van logaritme is: ac= b ⇔
a log b = c.Bekende regels zijn:a log x bestaat alleen als x > 0,a log 1 = 0log a + log b = log ablog a − log b = log(a/b)
log ar= r log a
Voorbeeld 1: 2 log(x + 2) = 2 +2 log(2x − 1)
2 log(x + 2) =2 log 4 +
2 log(2x1) =2 log 4(2x − 1)
x + 2 = 8x − 4 ⇔ 6 = 7x ⇔ x =67
Voorbeeld 2: log2 x − log x2= 3 ⇔ log2 x − 2 log x − 3 = 0. Stel log x = a
a2− 2a − 3 = 0 ⇔ (a + 1)(a − 3) = 0 ⇔ a = −1 ∨ a = 3
⇔ log x = −1 ∨ log x = 3 ⇔ x =1
10 ∨ x = 1000
Los de volgende vergelijkingen op.
Serie A
1. x log 16 = 8
2. 32 log(x−1)
= 9
3. ln(x2− 7x + 7) = 0
4. 2 log x − 5 =12 log(x + 14)
5. 2 log(x − 1) +2 log(x + 13) = 5
6. log(x2− 20x) = 2
7. log(7 − x) =12 log(x − 1)
8. 2 log(x + 1) − 2 ·2 log 5 = 3
9. log2 x + 6 = log x5
10. ln2 x + 2 ln x − 3 = 0
Serie B
1. 2x log 27 = 3
2. 44 log(8−2x)
= 2
3. ln(x + e) − 2 = ln x
4. 2 log(5 − x) +2 log x = 2
5. 2 +13 log(2x − 1) = 1
6. log x + log(x +32) = 1
7. 2 log(x + 1) +12 log(1/(x − 3)) = 5
8. log(x + 3) − log(x + 1) = 1
9. log2 x − log x3+ 2 = 0
10. log(x2− 8) = − log(1/(−2 − x))
10.8 Logaritmische ongelijkheden
Een belangrijke stap bij het oplossen van logaritmische ongelijkheden is het bepalen van hetdomein. Oplossingen dienen uiteraard binnen het domein te liggen.Ook hier opletten met bijvoorbeeld:
12 log x <
12 log 4 ⇒ x > 4!
Net zoals bij machten is er sprake van het omdraaien van het ongelijkheidsteken als het grondtalkleiner dan 1 is.
34
10.9 Goniometrische vergelijkingen
Voorbeeld 1:12 log x ≥ 3 +
12 log(x + 3). Hier geldt: x > 0 ∧ x > −3, dus D = (0, ∞).
12 log x ≥
12 log 1
8 +12 log(x + 3) ⇔
12 log x ≥
12 log 1
8(x + 3)
x ≤18(x + 3) ⇔ 8x ≤ x + 3 ⇔ 7x ≤ 3 ⇔ x ≤
37
Rekening houdend met het domein D is de oplossing: (0, 37 ]
Voorbeeld 2: 3 log(2x − 3) < 3 −3 log x . Hier moet gelden: x > 3
2 ∧ x > 0 ⇒ D = ( 32 , ∞)
3 log(2x − 3) +3 log x <3 log 27 ⇔
3 log x(2x − 3) <3 log 272x2
− 3x − 27 < 0 ⇔ (2x − 9)(x + 3) < 0 ⇔ −3 < x < 92
Rekening houdend met het domein D is de oplossing: ( 32 ,
92)
Los de volgende logaritmische ongelijkheden op.
Serie A
1. 5 log(2x + 1) ≥ 2
2. 4 log(x2− 3x) > 1
3. 2 log(x2− 4x − 5) ≤ 4
4. (2 − ln x)/(2 + ln x) ≤ 0
5. 3 −3 log x ≥
3 log(x − 6)
6.13 log x2 > −2
7. ln(x − e)2 > 1
8. x ln x3− ln x > 0
9. 3 log(x − 1) ≤ 2 −3 log(x + 7)
10. ln |x | ≥ ln(3 −12 x)
Serie B
1. 2 log(x2− x) ≤ 1
2. 4 log(x2+ 6x) ≤ 2
3. 2 log(x2− 8x + 7) ≤ 4
4. (2 − ln x)/(1 + ln x) > 0
5. 2 log(x − 2) < 3 −2 log x
6. (ln(x − 3) − 1)/ ln x ≤ 0
7. 3 log(22x+ 1) ≤ 2
8. x log(x + 4) + 4 log(x + 4) ≤ 0
9. 2 log(2x− 8) < 3
10. log(2x + 3)/ log x < 2
10.9 Goniometrische vergelijkingen
Enkele regels: sin x = sin a ⇒ x = a + k · 2π ∨ x = π − a + k · 2π
cos x = cos a ⇒ x = ±a + k · 2π
tan x = tan a ⇒ x = a + k · π
Hierbij geldt steeds dat kεZ , dus k = 0, ±1, ±2, . . .
Voorbeeld 1: cos(x −34π) = sin 2x ⇔ cos(x −
34π) = cos( 1
2π − 2x)
x −34π =
12π − 2x + k · 2π ∨ x −
34π = −
12π + 2x + k · 2π
3x =54π + k · 2π ∨ −x =
14π + k · 2π
x =5
12π + k ·23π ∨ x = −
14π + k · 2π
Voorbeeld 2: 2 sin2 x = 3 cos x ⇔ 2(1 − cos2 x) = 3 cos x ⇔ 2 cos2 x + 3 cos x − 2 = 0Stel cos x = a dan 2a2
+ 3a − 2 = 0 ⇔ (a + 2)(2a − 1) = 0 ⇔ a = −2 ∨ a =12
Merk op dat cos x = −2 niet is toegestaan, dus cos x =12 ⇔ x = ±
13π + k · 2π
35
10. vergelijkingen en ongelijkheden
Los de volgende goniometrische vergelijkingen op. Kies < als domein.
Serie A.
1. sin 2x = sin x
2. tan 2x + tan x = 0
3. sin(2x +π4 ) + sin(3x −
π4 ) = 0
4. cos 2x + cos 3x = 0
5. cos2 x + 3 sin x = 3
6. 2 sin2 x cos x − sin x = 0
7. tan 2x = 3 tan x
8. sin 2x = tan−1 x
9. 3 cos2 x − sin2 x = 0
10. 2 sin2 x + sin 2x = 1
11. sin 2x − cos 2x = 1
12. 2 cos x + 3 tan x = 0
13.√
2 − 2 cos 2x = − sin x
14. (tan x − sin x)(tan x + sin x) = cos2 x
15. sin x · sin 2x = cos x
Serie B
1. cos 2x = cos 3x
2. tan x = sin 2x
3. cos(2x −13π) + sin(x −
16π) = 0
4. sin x − sin 3x = 0
5. cos2 x + 2 sin x cos x = sin2 x
6. sin 2x = 2 cos2 x
7. 2 tan x = tan 2x
8. 2 sin 2x = tan−1 x
9. cos2 x + cos x = sin2 x
10. 2 sin2 2x + 6 sin2 x = 3
11. 6 cos2 x + 11 sin x = 10
12. sin 2x − cos 2x = 1
13. sin2 x + 2 cos2 x = 1 + sin x cos x
14. sin 2x − tan x = sin x
15. sin x + cos x = 0
10.10 Wortelvergelijkingen
Bij vergelijkingen met wortels moeten we steeds bedenken dat de uitdrukking onder het wortelte-ken niet negatief mag zijn en dat de wortel een niet-negatief getal als uitkomst heeft. Controleereen gevonden oplossing altijd door deze in de oorspronkelijke vergelijking in te vullen:
Voorbeeld 1:√
2x + 1 = 2x − 5 ⇒ 2x + 1 = (2x − 5)2
2x + 1 = 4x2− 20x + 25 ⇔ 4x2
− 22x + 24 = 02x2
− 11x + 12 = 0 ⇔ (x − 4)(2x − 3) = 0x = 4 ∨ x =
32
Aangezien x =32 een negatieve uitkomst voor een
wortel geeft, blijft x = 4 als enige oplossing over.
Voorbeeld 2:√
x +√
2x + 1 = 5 ⇒ x + 2√
2x2 + x + 2x + 1 = 252√
2x2 + x = 24 − 3x ⇒ 8x2+ 4x = 576 − 144x + 9x2
x2− 148x + 576 = 0 ⇔ (x − 4)(x − 144) = 0
x = 4 ∨ x = 144. Alleen x = 4 is een oplossing.
36
10.11 Wortelongelijkheden
Los de volgende vergelijkingen met wortels op.
Serie A
1.√
4x + 1 = x − 1
2.√
2x − 1 = x − 8
3.√
x − 2 =√
2x + 3 − 2
4. 2x − 3√
14 − x = 8
5. (x + 3)/(√
2x + 1) = 3
6. x√
x + 3 =√
x + 3/x
7. x2− 3
√13 + x2 + 3 = 0
8.√
x −√
x − 1 = x
9. 4√
4 − p −13(
√4 − p)3
− p√
4 − p =83
10. Voor welke p raken de grafieken vanf (x) = 3x −
√2x + 1 en g(x) = 2x + p
elkaar?
Serie B
1.√
2x + 1 = x − 7
2.√
2x + 11 = 12 − x
3.√
x − 1 =√
2x + 5 − 2
4. (x +√
x)/(x −√
x) = 2
5. (x +√
13 − x)/(2x − 1) = 1
6.√
4x2 + x/(x − 1) =√
x
7. x2/√
2x2 + 3 =√
2x2 + 3/x2
8.√
32 x −
√8 − x = 2
9. 4√
2 + x − (√
2 + x)3+ 2x
√2 + x = 27
10. Voor welke p raken de grafieken vanf (x) =
√5 − x en g(x) = p −
12 x + 1
elkaar?
10.11 Wortelongelijkheden
Ook hier moet rekening worden gehouden met het domein.Bijvoorbeeld, als
√x − 1 < 2, dan luidt de oplossing[1, 5) omdat x ≥ 1.
Voorbeeld 1: 2x + 3√
x < 20 ⇔ 2x + 3√
x − 20 < 0 met x ≥ 0Los op: 3
√x = 20 − 2x ⇒ 9x = 400 − 80x + 4x2
4x2− 89x + 400 = 0 ⇔ 4x2
− 64x − 25x + 400 = 04x(x − 16) − 25(x − 16) = 0 ⇔ (4x − 25)(x − 16) = 0x =
254 ∨ x = 16. Alleen x =
254 is mogelijk.
De oplossing is: [0, 254 ).
Voorbeeld 2: (3 +√
x)/√
x − 5 ≤ 3. Het domein is D = (5, ∞). Dan is de breuk altijd positief.
Voorbeeld 3: Los op: (3 +√
x)/√
x − 5 = 3 ⇔ 3 +√
x = 3√
x − 5 ⇒ 9 + 6√
x + x = 9(x − 5)
6√
x = 8x − 54 ⇔ 3√
x = 4x − 27 ⇒ 9x = 16x2− 216x + 729
16x2− 225x + 729 = 0 ⇔ 16x2
− 144x − 81x + 729 = 016x(x − 9) − 81(x − 9) = 0 ⇔ (16x − 81)(x − 9) = 0x =
8116 ∨ x = 9
Alleen x = 9 voldoet. Vullen we namelijk in de ongelijkheid bijvoorbeeldx = 6 (6 < 9) in, dan krijgen we een uitkomst die groter is dan 3.Maar als we bijvoorbeeld x = 14 invullen, krijgen we een oplossing die groter is dan 3.
37
10. vergelijkingen en ongelijkheden
Dat betekent dat we getallen moeten hebben groter dan 9. Oplossing: (9, ∞).
Los de volgende ongelijkheden met wortels op.
Serie A
1.√
2x + 7 ≤ x − 4
2. x − 5√
x + 6 < 0
3.√
5 − x/√
5 + x > 1
4. x −√
2x + 1 ≤ 1
5.√
(x − 3)2 > 13
6. 7 +√
3x − 6 > 2x
7.√
x2 + x + 5 ≤ x + 1
8.√
(x − 3)2 + x ≤√
6x + 1
9. (x +√
x)/(x −√
x) < 3
10.√
x + 1 < |x − 5|
Serie B
1.√
x − 3 < 12 x − 1
2. x −√
x − 3 < 5
3.√
3x + 4/√
2x − 4 ≥ 2
4. x −√
x − 4 ≤ 6
5.√
(x − 3)2 > 1
6. 12
√x2 + 3 <
√x
7. (x − 1)√
x − 1/√
x + 4 > 1
8.√
x ≥√
2x − 7 − 3
9. 6/√
x2 − 1 > 3
10.√
x − 3 < |2x − 9|
38
Hoofdstuk 11
Noemer wortelvrij maken (extra stof)
Bij onderstaande opgaven dien je de noemer van de breuk wortelvrij te maken.Gebruik hiervoor bijvoorbeeld de regel: (a − b)(a + b) = a2
− b2.
Voorbeeld:
1
3 −√
3=
3 +√
3
(3 −√
3)(3 +√
3)=
3 +√
3
32 − (√
3)2=
3 +√
36
=12
+16
√3
11.1 Opgaven. Maak telkens de noemer wortelvrij
Serie A
1.
1√
5−
2√
2 − 1=
2.
1√
3−
2√
6=
3.
3
2√
3+
1√
3=
4.
2 +√
3√
3=
5.√
3 +√
2√
3 −√
2=
6.
1
3√
2 − 2√
3=
7.
√2
√18 −
√8
=
8.
1
(1 +√
2)2=
9.
1√
2 − 1=
10.√
3
2 +√
3=
39
11. Noemer wortelvrij maken (extra stof)
Serie B
1.
2√
3−
3√
5 − 1=
2.
1√
2−
3√
6=
3.
3
2√
5−
1√
5=
4.
3 +√
6√
3=
5.√
5 −√
2√
5 +√
2=
6.
2
2√
5 −√
3=
7.
√3
√48 −
√12
=
8.
1
(3 −√
2)2=
9.
1√
3 − 1=
10.√
5
1 −√
5=
40
Hoofdstuk 12
Breuksplitsen A (extra stof)
Bij de volgende serie breuken is de noemer een product van factoren of kan er een product vanfactoren van worden gemaakt.Het is de bedoeling dat er twee breuken van worden gemaakt met als noemers de afzonderlijkefactoren. Dit heet breuksplitsing.
Voorbeeld 1 :x + 10
(2x − 1)(x + 3)=
32x − 1
−1
x + 3
Nu is dit eenvoudig te controleren maar hoe kom je aan de tellers?x+10
(2x−1)(x+3)vervangen we door A
2x−1 +B
x+3 waarbij we A en B moeten berekenen.Maak van de uitdrukking weer één breuk:
A(x + 3) + B(2x − 1)
(2x − 1)(x + 3)=
(A + 2B)x + (3A − B)
(2x − 1)(x + 3)
Nu moet A + 2B = 1 en 3A − B = 10. Als je dit stelsel van twee vergelijkingen oplost, krijg jeA = 3 en B = −1.
Voorbeeld 2 :3
(2x + 3)(x + 4)= ?
We stellen:
3(2x + 3)(x + 4)
=A
2x + 3+
Bx + 4
=A(x + 4) + B(2x + 3)
(2x + 3)(x + 4)=
(A + 2B)x + (4A + 3B)
(2x + 3)(x + 4)
Nu moet A + 2B = 0 en 4A + 3B = 3. Dit stelsel oplossen geeft A =65 en B = −
35 .
We kunnen daarom 3(2x+3)(x+4)
vervangen door 65(2x+3)
−3
5(x+4).
Voorbeeld 3 : (vanwege het bijzondere karakter) :2x + 1(x − 3)2
= ?
De teller veranderen we in een vorm waarin x − 3 voorkomt:2x+1
(x−3)2 =2(x−3)+7(x−3)2 =
2x−3 +
7(x−3)2
12.1 Opgaven. Splits onderstaande uitdrukking in breuken
41
12. Breuksplitsen A (extra stof)
Serie A
1.
5(2x − 1)(x − 3)
=
2.
1x2 − 1
=
3.
2x(x − 1)(x − 3)
=
4.
xx2 − x − 2
=
5.
2xx2 − 2x
=
6.
2x(x − 2)2
=
7.
x + 49x2 − 6x + 1
=
8.
x2− 1
(x − 1)2=
9.
2x(x − 1)2
=
10.
x4− 4
(x2 + 1)2=
Serie B
1.
5(2x + 1)(x + 3)
=
2.
14x2 − 9
=
3.
4x(x + 1)(x − 3)
=
4.
3xx2 − x − 6
=
5.
3x−x2 + 3x
=
6.
6x(x − 3)2
=
7.
x + 44x2 − 4x + 1
=
8.
x2− 4
(x − 2)2=
9.
6x(x − 3)2
=
10.
x4− 9
(x2 + 3)2=
42
Hoofdstuk 13
Breuksplisen B (extra stof)
Hieronder staat nog een aantal voorbeelden met opgaven waarbij een breuk wordt opgesplitst inmeerdere delen.Voorbeeld 1: zo is 23
7 = 3 +27 .
We kunnen op 2 manieren aan die uitkomst komen:237 =
21+27 =
217 +
27 = 3 +
27 .
7/ 23\3 dus 237 = 3 +
27 .
212
Dit kan altijd als de teller groter is dan de noemer.
Voorbeeld 2: Ditzelfde kunnen we ook doen met gebroken functies:
3x + 1x + 3
=3x + 9 − 8
x + 3= 3 −
8x + 3
Of: x + 3/ 3x + 1\3 dus (3x + 1)/(x + 3) = 3 − 8/(x + 3)
3x + 9−8
Voorbeeld 3:
2x − 1/ 12 x2
− 3x + 1\14 x −
118 dus ( 1
2 x2− 3x + 1)/(2x − 1) =
14 x −
118 −
38/(2x − 1)
12 x2
−14 x
−114 x + 1
−114 x +
118
−38
De methode uit de voorbeelden 2 en 3 kan worden toegepast als de graad van de teller groter danof gelijk is aan de graad van de noemer.
43
13. Breuksplisen B (extra stof)
13.1 Opgaven
Pas op onderstaande opgaven breuksplitsen toe zoals hierboven.
Serie A
1.
6x2− 11x + 5x − 1
=
2.
x2+ 8x
2x − 1=
3.
x2− 3x + 2x − 2
=
4.
x3
x2 − 1=
5.
x4− 1
x − 1=
6.
x2+ 2x − 31 − x
=
7.
2x2− 4x + 5x − 1
=
8.
x3− 3x2
+ 3x − 1x − 1
=
9.
x3− 2x2
+ 3x − 2x2 − 4
=
10.
x4+ x2
− 2x3− 2x + 1
x2 + 1=
Serie B
1.
4x2+ x − 5
x − 1=
2.
x2+ 4x
2x − 1=
3.
x2+ 5x − 14x − 2
=
4.
x4
x2 + 1=
5.
x4− 16
x + 2=
6.
x2+ 2x − 33 + x
=
7.
2x2− 4x + 5x − 2
=
8.
x3− 6x2
+ 5x + 6x − 2
=
9.
2x3− 2x2
+ 3x − 1x2 − 1
=
10.
x4+ x2
+ 2x3− 2x + 1
x2 + 1=
44
Hoofdstuk 14
Cyclometrische functies (extra stof)
In het voortgezet onderwijs hebben we al met inverse functies te maken gekregen.Zo zijn log x en 10x inverse functies van elkaar evenals bijvoorbeeld
√x en x2 voor x ≥ 0.
Op de rekenmachine staan deze functies op een toets en daarboven.Je ziet dan dat ln x en ex ook elkaars inversen zijn.Een eigenschap van inverse functies is dat de grafieken elkaars spiegelbeeld zijn indien gespie-geld wordt in de lijn y = x .Domein en bereik hoeven voor een functie en zijn inverse niet hetzelfde te zijn, controleer maarvoor bovenstaande functies.De functies sin x , cos x en tan x hebben inverse functies op een beperkt domein.sin−1 x, cos−1 x en tan−1 x staat er vaak op rekenmachines; wij zullen het hebben over arcsin x ,arccos x en arctan x .We gaan na wat voor de laatste functies het domein en bereik is door te spiegelen.De tekening links hieronder toont de grafiek van y = sin x gespiegeld in de lijn y = x .
?
p
p x y
12 p- 1
2 p
12 p-
12 p x y
We zien in de linkerfiguur duidelijk dat de gespiegelde grafiek geen functie meer voorstelt indienhet domein gelijk is aan [0, π].Indien het domein voor sin x gelijk is aan D = [−
12π, 1
2π ], is de inverse wél een functie.Bij deze keuze van het domein zitten we zo dicht mogelijk in de buurt van de oorsprong en zijnalle uitkomsten van sin x mogelijk mogelijk (van −1 tot en met 1). Zie de figuur daarnaast.
45
14. Cyclometrische functies (extra stof)
Het bereik van y = sin x is B = [−1, 1].De inverse functie van y = sin(x) noemen we y = arcsin x .Hiervoor geldt het domein D = [−1, 1], terwijl B = [−
12π, 1
2π ].Zo kunnen we ook de grafieken van y = cos x en y = tan x spiegelen in de grafiek van y = x .
14.1 Opgaven
1. Ga op dezelfde manier na dat voor y = arccos x geldt dat D = [−1, 1] en gekozen bereikB = [0, π].
2. Ga verder na dat voor y = arctan x geldt dat D = (−∞, ∞) en gekozen bereik B =
(− 12π, 1
2π).
Zoals we hiervoor bepaald hebben welke mogelijke uitkomsten er waren bij sin x = −12
√3, zo
kunnen we nu een uitkomst geven van arcsin(− 12
√3).
Het grote verschil is dat we nu maar één uitkomst hebben, logisch omdat dit eigen is aan hetfunctiebegrip.Daarom: arcsin(− 1
2
√3) = −
13π .
14.2 Opgaven
Geef telkens de uitkomst uitgedrukt in π (radialen).
Serie A
1. arcsin( 12) =
2. arccos(− 12
√2) =
3. arctan(√
3) =
4. arccos( 12
√3) =
5. arctan(1) =
6. arcsin(−1) =
7. arccos( 12
√2) =
8. arctan( 13
√3) =
9. arcsin(0) =
10. arccos(−1) =
Serie B
1. arccos( 12) =
2. arcsin(− 12
√2) =
3. arctan(−√
3) =
4. arcsin( 12
√3) =
5. arccos(1) =
6. arctan(−1) =
7. arcsin( 12
√2) =
8. arccos( 12
√3) =
9. arctan(0) =
10. arcsin(−1) =
46
Hoofdstuk 15
Antwoorden
2.1 Machten
Serie A
1. p16q16
2. a11b5
3. −49 c−1d10
4. −27a3b−32
5. 2√
2ab
6. 2p14 q
512
7. −3a−3b−8
8. 1214 ab
34
9. 32 a−
83 b
73
10. 2−54 a
14
Serie B
1. p18q16
2. −b5
3. −827 c2d13
4. −32a5b512
5. 3√
2ab
6. 2p−12 q
56
7. −3a−1b4
8. ( 83)
112 a
112 b
16
9. 32 a−
175 b
52
10. 2−43 a
16
3.1 Herleiden
Serie A
1. 9a2− 6ab + b2
2. 9a2− 12a3
+ 4a4
3. 162 − 108√
2
4. 3m2− 5mn − 2n2
5. 2√
3 + 6
6. 9a4b6− 2a6b4
+19 a8b2
7. 21 − 12a2
8. 7b − 7a + ab + 6a2− 2b2
− 5
9. 165
10. 81a4− 1
11. (2x − 3)(2x + 3)(4x2+ 9)
47
15. Antwoorden
12. 3x3(x + 3)(x − 7)
13. 9x − 1)(x + 1)(x2+ 1)(x4
+ 1)(x8+ 1)
14. (x2− 2)(x2
+ 3)
15. (x − 2)(x − 17)
16. (x + 2)(x − 17)
17. (x − 1)2
18. (x − 1)(x + x2+ 1)
19. (5x + 1)(x − 5)
20. (x3− 3)2
Serie B
1. 9a2− 12ab + 4b2
2. 9a2− 12a4
+ 4a6
3. 147 − 36√
5
4. 6m2− 5mn − 6n2
5. −3√
5 − 8
6. 116 a4b2
− a6b4+ 4a8b6
7. 30 − 12a2
8. 14b − 5a − 5ab + 6a2− 6b2
− 4
9. 45
10. 16a4− 1
3.2Herleiden
Serie A
1. (2x − 3)(2x + 3)(4x2+ 9)
2. 3x3(x + 3)(x − 7)
3. (x − 1)(x + 1)(x2+ 1)(x4
+ 1)(x8+ 1)
4. (x2− 2)(x2
+ 3)
5. (x − 2)(x − 17)
6. (x + 2)(x − 17)
7. (x − 1)2
8. (x − 1)(x + x2+ 1)
9. (5x + 1)(x − 5)
10. (x3− 3)2
Serie B
1. (3x − 2)(3x + 2)(9x2+ 4)
2. 3x2(x − 1)(x − 4)
3. (x3− 2)(x3
+ 2)(x6+ 4)
4. (x2+ 4)(x2
− 5)
5. (x − 2)(x − 19)
6. (x + 2)(x − 19)
7. 2(x + 1)2
8. (x − 1)(x + x2− 1)
9. 4(4x + 1)(x − 4)
10. (x5+ 4)2
3.3 Herleiden
Serie A
1. (3x − 2)(x − 6)
2. (x + 2)(2x + 3)
3. (3x2− 2)(x2
− 3)
4. (2x + 3)(5 − x)
5. (2x2− 3)(x2
+ 1)
48
15.0 Opgaven
6. (x − 1)(x − 4)(x + 1)
7. (x − 3)(2x2+ 1)
8. (x + 5)(x − 2)(x + 2)
9. (2 − x)(3x2− 2)
10. x(x3− 3)(x3
+ 5)
Serie B
1. (3x − 5)(x − 3)
2. (x + 3)(2x + 3)
3. (3x2− 4)(x2
− 3)
4. (x + 3)(7 − 2x)
5. 2(x2+ 2)(x − 1)(x + 1)
6. (x − 1)(x − 8)(x + 1)
7. (x − 4)(3x2+ 2)
8. (x + 5)(3x2− 4)
9. (2 − x)(2x2− 3)
10. x2(x3+ 2)(x3
− 6)
4.1 Rationale breuken
Serie A
1.
2x2+ 2x + 3
(2x − 1)(x + 1)
2.
2√
xx − 1
3.
4x(x − 1)(x + 3)
4.
−3(2x2
− 3x − 3)
(x − 1)(x + 3)
5.
3x − 2(x + 1)(2x + 3)
6.
2x − 32(x − 2)
7.
x + 6(3 − x2)(2x + 1)
8.
x2+ 1
(x + 1)3
9.
2x2− x + 1
(x − 1)2(x + 1)
10.
2x2+ 11x − 3
2x(x + 3)
49
15. Antwoorden
Serie B
1.
−2(2x2
− 2x − 1)
(2x − 1)(x + 1)
2.
2√
2x2x − 9
3.
4x2+ 3x − 6
(x2 − 3)(2x + 3)
4.
3(2x2− x + 2)
(x − 1)(x + 2)
5.
(x − 2)(7x + 4)
(x2 + 1)(2x + 3)
6.
2x − 32(x + 3)
7.
−7x
(x − 3)(2x + 1)
8.
x2+ 1
(x − 1)3
9.
2x + 1(x − 1)(x + 1)
10.
x2− 2x + 6
x(x − 3)
Goniometrie
Serie A
1. −12
√3
2. −1
3. −12
√3
4. 12
√3
5. 1
6. −1
7. 12
√2
8. −13
√3
9. −12
10. −12
√2
Serie B
1. −12
2. −12
√2
3. −13
√3
4. 12
5. 12
√2
6. niet gedefinieerd.
7. 12
√2
8. −12
√3
9. −√
3
10. −12
√3
6.1 Goniometrische formules
50
15.0 Opgaven
1. sin(x − y) = sin(x + (−y)) = sin x cos(−y) + cos x sin(−y) = sin x cos y − cos x sin ycos(x + y) = sin( 1
2π − x − y) = sin(( 12π − x) − y) =
= sin( 12π − x) cos y − cos( 1
2π − x) sin y = cos x cos y − sin x sin ycos(x − y) = cos(x + (−y)) = cos x cos(−y) − sin x sin(−y) = cos x cos y + sin x sin y
2.
tan(x + y) =sin(x + y)
cos(x + y)=
sin x cos y + cos x sin ycos x cos y − sin x sin y
=
(deel boven en onder door cos x cos y)
=tan x + tan y
1 − tan x tan y
tan(x − y) = tan(x + (−y)) =tan x + tan(−y)
1 − tan x tan(−y)=
tan x − tan y1 + tan x tan y
3. sin 2x = sin(x + x) = sin x cos x + cos x sin x = 2 sin x cos xcos 2x = cos(x + x) = cos x cos x − sin x sin x = cos2 x − sin2 x =
= (1 − sin2 x) − sin2 x = 1 − 2 sin2 x = cos2 x − (1 − cos2 x) = 2 cos2 x − 1tan 2x = tan(x + x) = (tan x + tan x)/(1 − tan x tan x) = 2 tan x/(1 − tan2 x)
4. cos(x −16π) = cos x cos 1
6π + sin x sin 16π
Omdat x in het eerste kwadrant ligt is ook sin x =12
√2.
cos x cos 16π = sin x sin 1
6π =12
√2 ·
12
√3 +
12
√2 ·
12 =
14
√6 +
14
√2
5. cos 2x = 1 − 2 sin2 x =13 ⇒
13 = 1 − 2 sin2 x ⇒ sin2 x =
13 ⇒ sin x = ±
13
√3
Omdat x ε [12π, π] geldt: sin x =
13
√3
6. tan2 x + 1 = 1/(cos2 x) =169 ⇒ tan2 x =
79 ⇒ tan x = ±
13
√7
Omdat x ε [0, 12π ] geldt: tan x =
13
√7
tan 2x = 2 tan x/(1 − tan2 x) =23
√7/(1 −
79) =
23 ·
92
√7 = 3
√7
6.2 Goniometrische formules
Serie A
1. (2 cos x + 1) sin x
2. 2 sin x cos y
3. (1 − sin x)(1 + sin x) = cos2 x
4. sin x(sin x + 2 cos x)
5. 2(cos x − 1)(cos x + 1) = −2 sin2 x
6. (sin x − 1)(sin x − 4)
7. (cos x + 1)(6 − cos x)
8. 12
√2 +
√2
9. 2 sin x
10. 12 , −
12 en 2
51
15. Antwoorden
Serie B
1. 2 sin x(sin x − cos x)
2. (cos x − 1)(cos x + 1) = − sin2 x
3. (cos x − 2 sin x) cos x
4. −2(sin x − 2)(sin x + 2)
5. (sin x + 2)(sin x − 3)
6. (sin x + 2)(5 − sin x)
7. (1 − cos x)/| sin x |
8. 12
√2 −
√2
9. cos2 2x
10. −1, 1, − 12π of 1, −1, 1
2π
9. Oefening grafieken tekenen
52
15.0 Opgaven
f ( x )
x- 2
1 6
f ( x )
x2
7
3
f ( x )
x
8
f ( x )
x
9
- 3
f ( x )
x
6
- 1
A1 A2 A3 A4 A5
f ( x )
x
f ( x )
x- 2
2
f ( x )
x3
3
f ( x )
x
f ( x )
x1
2
B1 B2 B3 B4 B5
f ( x )
x1
f ( x )
x
43
f ( x )
x
5 / 4
1
f ( x )
x- 1
f ( x )
x1 / e
C1 C2 C3 C4 C5
f ( x )
x1
f ( x )
x- 1
1
- 2
f ( x )
x1- 1
f ( x )
x1
f ( x )
xe + 1e
D1 D2 D3 D4 D5
f ( x )
x
2
f ( x )
x
4
4
f ( x )
x- 4
4
2
f ( x )
x
f ( x )
x- 1
E1 E2 E3 E4 E5
f ( x )
x
f ( x )
x
f ( x )
x
f ( x )
x
f ( x )
x
F1 F2 F3 F4 F5
53
