dictaat Rekenvaardigheden

Dictaat Rekenvaardigheden

Faculteit Wiskunde en Informatica

7 mei 2007

Voorwoord

Voorwoord

In het middelbaar onderwijs hebben zich de laatste jaren grote veranderingen voltrokken:de tweede fase met de daaraan verbonden pro�elkeuze en het studiehuis zijn ingevoerd. Insommige opzichten is daardoor de aansluiting tussen vwo en universiteit verbeterd. Echter,niet voor alle studies is dit het geval. Bij de technische studies is gebleken dat een deel vande instromende studenten de�ciï¾ 1

2ties heeft. Dit geldt zowel voor studenten met het pro�el"Natuur en Techniek" als voor studenten met het pro�el "Natuur en Gezondheid". Eï¾ 1

2 vande de�ciï¾ 1

2ties betreft de algebraï¾12che vaardigheden oftewel het manipuleren met formules.

Het e�ciï¾ 12t omgaan met ï¾ 1

2 het inzicht krijgen in formules wordt op het vwo nauwelijksmeer geoefend. Dit hangt samen met het aantal beschikbare uren en met het invoeren vande formulekaart en de gra�sche rekenmachine. Doordat veel aankomende studenten dezevaardigheden ontberen, besteden zij in het eerste jaar op de universiteit vaak veel te veel tijdaan het maken van vraagstukken of blijven daar zelfs in steken. Het is veel beter om je opde essentie van een vraagstuk te concentreren dan om teveel tijd aan rekenwerk te besteden.Voor de eerstejaars met genoemde de�ciï¾ 1

2ties is deze syllabus Rekenvaardigheden gemaakt.

Deze syllabus is bedoeld voor het aanleren van de algebraï¾ 12che vaardigheden die benodigd zijn

voor een technische studie op universitair niveau. Aan de opgaven uit de eerste 10 paragrafenkan men zien wat men aan rekenvaardigheden van eerstejaars verwacht. De paragrafen 11 t/m14 bevatten opgaven over onderwerpen die niet tot de standaard VWO-stof behoren, maarbijzonder nuttig zijn voor een technische studie. De wiskundestof wordt steeds kort herhaald,waarna er een groot aantal opgaven volgt. Door het (met de hand!) maken hiervan maakt destudent zich de stof eigen en verkrijgt hij/zij inzicht in formules en rekenregels.

Gebrek aan rekenvaardigheden en formulekennis los je niet binnen een paar maanden op.Extra training in het eerste tri- of semester zal waarschijnlijk niet genoeg zijn. In dat gevalmoet je zelf aandacht blijven besteden aan rekenvaardigheden en formulekennis. Deze syllabusis geschikt voor zelfwerkzaamheid: de antwoorden op de opgaven staan achterin.

ii

Voorwoord ii

1 Factoren en veeltermen 1

2 Machten 2

2.1 Opgaven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

3 Herleiden 4

3.1 Opgaven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3.2 Opgaven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3.3 Opgaven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

4 Rationale breuken 8

4.1 Opgaven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

5 Goniometrie 10

5.1 Opgaven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

6 Goniometrische formules 14

6.1 Opgaven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

6.2 Opgaven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

6.3 Opgaven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

7 Di�erentiëren 18

7.1 Di�erentiëren van goniometrische functies: . . . . . . . . . . . 18

7.2 Kettingregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

7.3 Opgaven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

8 Primitiveren 21

8.1 Opgaven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

9 Oefening gra�eken tekenen 23

10 Vergelijkingen en ongelijkheden 25

10.1 Polynoomvergelijkingen . . . . . . . . . . . . . . . . 25

10.2 Polynoomongelijkheden . . . . . . . . . . . . . . . . 27

10.3 Breukvergelijkingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

10.4 Breukongelijkheden . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

10.5 Exponentiële vergelijkingen . . . . . . . . . . . . . . . 33

iii

Inhoudsopgave

10.6 Exponentiële ongelijkheden . . . . . . . . . . . . . . . 35

10.7 Logaritmische vergelijkingen . . . . . . . . . . . . . . . 37

10.8 Logaritmische ongelijkheden . . . . . . . . . . . . . . . 39

10.9 Goniometrische vergelijkingen . . . . . . . . . . . . . . 41

10.10 Wortelvergelijkingen . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

10.11 Wortelongelijkheden . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

11 Noemer wortelvrij maken (extra stof) 47

12 Breuksplitsen A (extra stof) 49

13 Breuksplitsen B (extra stof) 52

14 Cyclometrische functies (extra stof) 55

15 Antwoorden 58

iv

Hoofdstuk 1

Factoren en veeltermen

We onderscheiden factoren en termen. Een factor is een onderdeel van een vermenigvuldiging;een term is een onderdeel van een som (of verschil). Bijvoorbeeld, 3a is een eenterm die bestaatuit de factoren 3 en a; 3 − a is een tweeterm die bestaat uit de termen 3 en −a.

Voorbeelden:

• 2a2b − 3c bestaat uit twee termen, namelijk 2a2b en −3c.

• 2a2b bestaat uit drie factoren: 2, a2 en b.

• −2c bestaat uit twee factoren: −2 en c.

• 2a(3b − 2cd) bestaat uit drie factoren: 2, a en (3b − 2cd).

• 3b − 2cd is een tweeterm waarvan de eerste term bestaat uit de factoren 3 en b; detweede term uit −2, c en d.

Waarschuwing:

Bij de vraag: "Ontbind 3a − 6ab in factoren"zou je kunnen antwoorden:

3a − 6ab = 3(a − 2ab).

Echter, met ontbind in factoren wordt altijd bedoeld �Ontbind in zoveel mogelijk factoren�.Daarom:

3a − 6ab = 3a(1 − 2b).

1

2. Machten

Hoofdstuk 2

Machten

De volgende regels gelden onder de voorwaarden a > 0 en b > 0:

a p· aq

= a p+q,a p

aq= a p−q, (a p)q

= a pq

(ab)p= a pbp,

√an = a

n2 ,

p√

aq = aqp

Een voorbeeld waarbij van het bovenstaande gebruik wordt gemaakt:

(3a2b)13

2a4b−12

=3

13 a

23 b

13

2a4b−12

=3

13

2a−

103 b

56

De uitdrukking is teruggebracht tot een product van getallen en machten van de vorm

C · anbmco· · ·

2

2.1 Opgaven

2.1 Opgaven

Herleid onderstaande uitdrukkingen tot een vorm C · anbmco . . ..

Alle variabelen zijn positieve getallen.

Serie A

1. (p4q2)3· (p2q5)2

=

2.(−a5b2)4

(a3b)3=

3.(−2cd4)3

2(3c2d)2=

4. (−3a√

b)3=

5.√

2ab2 · 2√

a =

6.2p 3

√q2

4√

p3q=

7. (a2b−3)2· −3a−7b−2

=

8. (3a2b)−14 · (6a3b2)

12 =

9.3a−

23 b2

2a2b−13

=

10.(2a)−

14

2a−12

=

Serie B

1. (p3q4)2· (p3q2)4

=

2.(−a3b2)4

(−a4b)3=

3.(−2c2d4)4

−2(3c2d)3=

4. (−2ab√

b)5=

5.√

2ab3 · 3√ a

b =

6.2p 3

√q4√

p3q=

7. (a−2b3)2· −3a3b−2

=

8. (3a2b)−13 · (6a3b2)

14 =

9.3a−

25 b2

2a3b−12

=

10.(2a)−

13

2a−12

=

3

3. Herleiden

Hoofdstuk 3

Herleiden

Er geldt:

(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd

Speciale gevallen van deze regel zijn de zogenaamde 'merkwaardige producten':

(a + b)2= a2

+ 2ab + b2,

(a − b)2= a2

− 2ab + b2 en

(a − b)(a + b) = a2− b2

Voorbeeld:

• (3a − 2√

b)2= 9a2

− 12a√

b + 4b

Verder moeten we ook wortels kunnen herleiden.

Voorbeelden:

•√

72 =√

36 ·√

2 = 6√

2,

•3

√7

=3√

77

=37

√7

4

3.1 Opgaven

3.1 Opgaven

Herleid onderstaande uitdrukkingen met behulp van bovenstaande regels. Zorg ervoor dat ergeen wortels in de noemer blijven staan. Herleid wortels zoveel mogelijk.

Serie A

1. (3a − b)2=

2. (−2a2+ 3a)2

=

3. (3√

6 − 6√

3)2=

4. (m − 2n)(3m + n) =

5. (6 − 2√

3)(√

3 + 2) =

6. (−3a2b3+

13 a4b)2

=

7. (−2a√

3 +√

21)(2a√

3 +√

21) =

8. (2a − b + 1)(3a + 2b − 5) =

9. ( 2√

20+

3√

5)2

=

10. (3a − 1)(3a + 1)(9a2+ 1) =

Serie B

1. (−3a + 2b)2=

2. (2a3− 3a)2

=

3. (3√

15 − 2√

3)2=

4. (2m − 3n)(3m + 2n) =

5. (1 − 2√

5)(√

5 + 2) =

6. (−2a4b3+

14 a2b)2

=

7. (−2a√

3 +√

30)(2a√

3 +√

30) =

8. (2a − 3b + 1)(3a + 2b − 4) =

9. ( 2√

20+

3√

45)2

=

10. (2a − 1)(2a + 1)(4a2+ 1) =

5

3. Herleiden

Voorbeelden:

• x3− 3x2

− 28x = x(x2− 3x − 28) = x(x + 4)(x − 7).

• x4− 16 = (x2

+ 4)(x2− 4) = (x2

+ 4)(x + 2)(x − 2).

In deze voorbeelden treden steeds gehele getallen op. Echter, wees erop bedacht dat dit langniet altijd het geval is. Bijvoorbeeld:

(2x2− 1) = (

√2x − 1)(

√2x + 1).

3.2 Opgaven

Ontbind in zoveel mogelijk factoren, uitgedrukt met gehele getallen.

Serie A.

1. 16x4− 81 =

2. 3x5− 12x4

− 63x3=

3. x16− 1 =

4. x4+ x2

− 6 =

5. x2− 19x + 34 =

6. x2− 15x − 34 =

7. x(x − 1) − (x − 1) =

8. x(x2− 1) + (x − 1) =

9. (3x − 2)2− (2x + 3)2

=

10. x6− 6x3

+ 9 =

Serie B.

1. 81x4− 16 =

2. 3x4− 15x3

+ 12x2=

3. x12− 16 =

4. x4− x2

− 20 =

5. x2− 21x + 38 =

6. x2− 17x − 38 =

7. 2x(x + 1) + 2(x + 1) =

8. x(x2− 1) − (x − 1) =

9. (5x − 3)2− (3x + 5)2

=

10. x10+ 8x5

+ 16 =

6

3.3 Opgaven

De sommen die nu volgen hebben ook betrekking op 'ontbinden in factoren'.

Voorbeelden:

• 6x3− 18x2

− x + 3 = 6x2(x − 3) − (x − 3) = (6x2− 1)(x − 3)

• 2x2+ x − 10 = 2x2

− 4x + 5x − 10 = 2x(x − 2) + 5(x − 2) = (2x + 5)(x − 2)

3.3 Opgaven

Ontbind in zoveel mogelijk factoren, uitgedrukt met gehele getallen.

Serie A.

1. 3x2− 20x + 12 =

2. 2x2+ 7x + 6 =

3. 3x4− 11x2

+ 6 =

4. −2x2+ 7x + 15 =

5. 2x4− x2

− 3 =

6. x3− 4x2

− x + 4 =

7. 2x3− 6x2

+ x − 3 =

8. x3+ 5x2

− 4x − 20 =

9. −3x3+ 6x2

+ 2x − 4 =

10. x7+ 2x4

− 15x =

Serie B

1. 3x2− 14x + 15 =

2. 2x2+ 9x + 9 =

3. 3x4− 13x2

+ 12 =

4. −2x2+ x + 21 =

5. 2x4+ 2x2

− 4 =

6. x3− 8x2

− x + 8 =

7. 3x3− 12x2

+ 2x − 8 =

8. 3x3+ 15x2

− 4x − 20 =

9. −2x3+ 4x2

+ 3x − 6 =

10. x8− 4x5

− 12x2=

7

4. Rationale breuken

Hoofdstuk 4

Rationale breuken

Bij de volgende serie opgaven dien je de uitkomst te schrijven als één breuk. We noemen dezebewerking onder 'één noemer brengen'.

Voorbeeld:

1x − 1

−2

2x − 3=

2x − 3(x − 1)(2x − 3)

−2(x − 1)

(x − 1)(2x − 3)=

2x − 3 − 2(x − 1)

(x − 1)(2x − 3)= −

1(x − 1)(2x − 3)

8

4.1 Opgaven

4.1 Opgaven

Serie A.

1.3

2x − 1+

xx + 1

=

2.1

√x − 1

+1

√x + 1

=

3.1

x − 1+

3x + 3

=

4.−3

1 − x−

6xx + 3

=

5.13

2x + 3−

5x + 1

=

6.x

x − 2−

32x − 4

=

7. −x

x2 − 3+

22x + 1

=

8.1

x + 1−

2x(x + 1)3

9.1

x − 1+

1(x − 1)2

+1

x + 1=

10. 1 −1

2x+

3x + 3

=

Serie B.

1.2

2x − 1−

2xx + 1

=

2.1

√2x − 3

+1

√2x + 3

=

3.x

x2 − 3+

22x + 3

=

4.−3

1 − x+

6xx + 2

=

5.7

2x + 3−

5x2 + 1

=

6.x

x + 3−

32x + 6

=

7. −x

x − 3+

2x2x + 1

=

8.1

x − 1+

2x(x − 1)3

9.1

x − 1+

1(x2 − 1)

+1

x + 1=

10. 1 −2x

+3

x − 3=

9

5. Goniometrie

Hoofdstuk 5

Goniometrie

In eerste instantie voert men gewoonlijk de sinus, cosinus als verhoudingen van zijden in eenrechthoekige driehoek. Dit betekent dat de hoek tussen de 0◦ en 90◦ ligt. Vervolgens voertmen de tangens in als tangens(x) = sinus(x) / cosinus(x). Een natuurlijke uitbreiding voorwillekeurige hoeken krijgen we met behulp van de eenheidscirkel.

We de�niï¾ 12en:

Een punt P op de eenheidscirkel heeft x-coördinaat cos(α) en y-coördinaat sin(α),dus P = (cos(α), sin(α)), of in iets andere notatie P = (cos α, sin α).

x

y

O

P : Hcos Α, sin ΑL

Α

1

1

Er blijft dan gelden:

tan α =sin α

cos αen sin2 α + cos2 α = 1.

De hoek α wordt meestal uitgedrukt in radialen. Bij een hoek van ï¾ 12n radiaal hoort een

cirkelboog met een lengte die gelijk is aan de straal van de cirkel. Dat is elegant, omdatdaarmee de lengte van een cirkelboog gelijk is aan het product van straal en hoek (in radialen).

10

Daaruit volgt bijvoorbeeld dat 2π rad overeenkomt met 360◦. In deze cursus worden hoekenaltijd in radialen uitgedrukt.

Het verdient aanbeveling onderstaande tabel van buiten te kennen.

x 0 16π

14π

13π

12π

sin x 0 12

12

√2 1

2

√3 1

cos x 1 12

√3 1

2

√2 1

2 0

tan x 0 13

√3 1

√3 n.g.

Voor x =12π is tan x niet gede�nieerd (n.g.).

Bij hoeken groter dan 12π rad horen goniometrische verhoudingen die rechtstreeks af te leiden

zijn uit de de�nities.

Voorbeeld:

• De coördinaten van Q welke horen bij een hoek van 76π rad kun je a�eiden uit de

coördinaten van P die horen bij een hoek van 16π rad.

O

P

Q

Π

��

6

7 Π��

6

1

1

Daarom

sin76π = − sin

16π = −

12

cos76π = − cos

16π = −

12

√3

tan76π =

sin 76π

cos 76π

=−

12

−12

√3=

13

√3

We noemen dit 'herleiden naar een hoek in het eerste kwadrant'.

11

5. Goniometrie

5.1 Opgaven

Herleid tot hoeken in het eerste kwadrant. Je kunt daarbij bovenstaande tabel gebruiken.

Serie A

1. sin( 43π) =

2. tan(− 14π) =

3. cos( 56π) =

4. sin( 23π) =

5. tan( 854 π) =

6. sin( 32π) =

7. cos(− 74π) =

8. tan( 56π) =

9. cos( 23π) =

10. sin( 374 π) =

Serie B

1. cos( 43π) =

2. sin(− 14π) =

3. tan( 56π) =

4. cos( 23π) =

5. sin(− 854 π) =

6. tan( 32π) =

7. sin(− 74π) =

8. cos(− 56π) =

9. tan( 23π) =

10. sin( 343 π) =

12

5.1 Opgaven

Een ander type vraag gaat als volgt:

Gegeven: sin x = −12

√3. Hoe groot is x , indien we de afspraak maken dat 0 ≤ x < 2π?

0

1

-

1��

2�!!!

3

1

Gebruik de eenheidscirkel:

Per de�nitie is sin x de y-coördinaat van een punt op de eenheidscirkel. Omdat −12

√3 negatief

is, weten we dat de y-coördinaat negatief is, De y-coördinaat is negatief in het derde of vierdekwadrant, daar moeten we de hoek x dus zoeken.

Bekend is:

sin13π =

12

√3.

Met behulp van de tekening en bovenstaande tabel is vlot in te zien dat bij sin x = −12

√3

hoeken horen van

π +13π en 2π −

13π.

Het antwoord luidt dus: x =43π ∨ x =

53π .

13

6. Goniometrische formules

Hoofdstuk 6

Goniometrische formules

Met behulp van de de�nitie via de eenheidscirkel zijn de volgende uitdrukkingen eenvoudig inte zien:

sin(−x) = − sin x, cos(−x) = cos x, tan(−x) = − tan x

en

sin x = cos(12π − x), cos x = sin(

12π − x).

De volgende formules worden niet afgeleid of bewezen. Ze hangen sterk met elkaar samen.Bijvoorbeeld, indien je er één als uitgangspunt neemt, kun je met behulp van bovenstaandeformules de andere uitdrukkingen a�eiden:

sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y

sin(x − y) = sin x cos y − cos x sin y

cos(x + y) = cos x cos y − sin x sin y

cos(x − y) = cos x cos y + sin x sin y

tan(x + y) =tan x + tan y

1 − tan x tan y

tan(x − y) =tan x − tan y

1 + tan x tan y

14

6.1 Opgaven

6.1 Opgaven

1. Leid uit de formule voor sin(x + y) de formules voor sin(x − y), cos(x + y) en cos(x − y)

af.

2. Leid zelf af:

tan(x + y) =tan x + tan y

1 − tan x tan y

en

tan(x − y) =tan x − tan y

1 + tan x tan y

3. Leid uit bovenstaande uitdrukkingen af:

• sin 2x = 2 sin x cos x

• cos 2x = cos2 x − sin2 x = 2 cos2 x − 1 = 1 − 2 sin2 x

• tan 2x =2 tan x

1 − tan2 x

4. Voor een hoek x ∈ 0, 12π geldt:

cos x =12

√2.

Bereken cos(x −16π).

5. Voor een hoek x ∈12π, π geldt:

cos 2x =13.

Bereken sin x .

6. Voor een hoek x ∈ 0, 12π geldt:

cos x =34.

Bereken tan 2x .

15

6. Goniometrische formules

6.2 Opgaven

Bij de volgende opgaven dient gebruik te worden gemaakt van bovenstaande goniometrischeformules:

Serie A

1. Ontbind in factoren: sin(x) + sin(2x) =

2. Ontbind in factoren:

sin(x + y) + sin(x − y) =

3. Ontbind in factoren: cos 2x + sin2 x =

4. Ontbind in factoren: 1+sin 2x−cos2 x =

5. Ontbind in factoren: cos 2x − 1 =

6. Ontbind in factoren: sin2 x−5 sin x+4 =

7. Ontbind in factoren: sin2 x+5 cos x+5 =

8. Bereken exact een uitkomst voor cos 18π

9. Vereenvoudigcos2 x

1 − sin x−

cos2 x1 + sin x

10. f (x) = 1 − cos 2x − sin2 x is te schrijvenals f (x) = a + b cos(cx).

Bepaal a, b en c.

Serie B

1. Ontbind in factoren: 2 sin2 x − sin 2x =

2. Ontbind in factoren: cos 2x − cos2 x =

3. Ontbind in factoren: 1−sin 2x −sin2 x =

4. Ontbind in factoren: cos 2x + 7 =

5. Ontbind in factoren: sin2 x − sin x − 6 =

6. Ontbind in factoren: cos2 x+3 sin x+9 =

7. Schrijf zonder wortel:

√1 − cos x1 + cos x

=

8. Bereken exact een uitkomst voor sin 18π

9. Vereenvoudig

cos4 x − 2 cos2 x sin2 x + sin4 x

10. f (x) = 3 cos2 x −sin2 x is te schrijven alsf (x) = a + b cos(cx).

Bepaal a, b en c.

16

6.3 Opgaven

6.3 Opgaven

Bij de volgende opgaven dient gebruik te worden gemaakt van bovenstaande goniometrischeformules:

Serie A

1. Toon aan dat cos2 12 x =

12 +

12 cos x

2. Toon aan dat cos4 x − sin4 x = cos 2x

3. Toon aan dat cos4 x +12 sin2 2x +sin4 x =

1

4. Toon aan dat cos2 x(1 + tan2 x) = 1

5. Toon aan dat tan x =sin 2x

1 + cos 2x

6. Toon aan dat

tan x + tan ytan x − tan y

=sin(x + y)

sin(x − y)

7. Toon aan dat

tan2 x − sin2 x = tan2 x · sin2 x

8. Toon aan dat

tan2 x − 1tan2 x + 1

= sin2 x − cos2 x

9. Toon aan dat

tan( 14π + x) =

1 + tan x1 − tan x

10. Toon aan dat 2 cos2 x − cos 2x = 1

Serie B

1. Toon aan dat sin2 12 x =

12 −

12 cos x

2. Toon aan dat cos4 x(1 − tan4 x) = cos 2x

3. Toon aan dat 4 sin2 x − 4 sin4 x = sin2 2x

4. Toon aan dat

cos4 x(1 + tan4 x) = 1 − 2 sin2 x cos2 x

5. Toon aan dat tan x =1 − cos 2x

sin 2x

6. Toon aan dat

1 + tan x tan y1 − tan x tan y

=cos(x − y)

cos(x + y)

7. Toon aan dat sin 2x −tan x = tan x cos 2x

8. Toon aan dat

sin 2x1 + cos 2x

=1 − cos 2x

sin 2x

9. Toon aan dat

tan(14π +x)+tan(

14π −x) =

2cos2 x − sin2 x

10. Toon aan dat

cos x − sin xcos x + sin x

+cos x + sin xcos x − sin x

=2

cos 2x

17

7. Di�erentiëren

Hoofdstuk 7

Di�erentiëren

Bij het di�erentiëren maken we gebruik van een aantal basisregels:

y = axn⇒ y′

= naxn−1

y(x) = u(x)v(x) ⇒ y′= u′v + v′u (productregel)

en

y(x) =t (x)

n(x)⇒ y′

=nt ′

− tn′

n2(quotiëntregel)

7.1 Di�erentiëren van goniometrische functies:

ddx

sin x = cos x,d

dxcos x = − sin x,

ddx

tan x =1

cos2 x= 1 + tan2 x

7.2 Kettingregel

Als de functies y(x) en u(x) gegeven zijn dan geldt voor de samengestelde functie y(u(x)):

dydx

=dydu

·dudx

Voorbeelden:

• Bereken de afgeleide van de functie y = 6(3x2− 2)2.

De�nieer: u = 3x2− 2.

We moeten nu eerst y = 6u2 di�erentiëren naar u en het resultaat vermenigvuldigen metde afgeleide van u = 3x2

− 2 naar x .

Er geldt: dydu = 12u en du

dx = 6x . Dus

dydx

=dydu

·dudx

= 12u · 6x = 12(3x2− 2) · 6x

Kortom: y′= 72x(3x2

− 2)

18

7.2 Kettingregel

• y = 3(x2− 5)5

⇒ y′= 15(x2

− x)4(2x − 1).

Handig om van buiten te kennen

y = un⇒ y′

= nun−1u′

y =1u

⇒ y′= −

1u2

u′

y =√

u ⇒ y′=

12√

uu′

Voorbeelden:

• y = 4(3x2− 1)2

⇒ y′= 8(3x2

− 1) · 6x = 48x(3x2− 1)

• y =√

6x − 1 ⇒ y′=

1

2√

6x − 1· 6 =

3√

6x − 1

• y =3

2x3 − 1⇒ y′

= −3

(2x3 − 1)2· 6x2

= −18x2

(2x3 − 1)2

• y = ln(1 − x) ⇒ y′=

11 − x

· −1 = −1

(1 − x)=

1x − 1

• y = 3x2−5

⇒ y′= 3x2

−5· ln 3 · 2x = 2x · ln 3 · 3x2

−5

• y = (2 sin2 x − 1)3⇒ y′

= 3(2 sin2 x − 1)2· 4 sin x · cos x = 12 sin x cos x · (2 sin2 x − 1)2

19

7. Di�erentiëren

7.3 Opgaven

Bereken de afgeleiden van:

Serie A

1. y = −3(1 − 2x)5

2. y =x

√x2 − 1

3. y =3

5 − x2

4. y =3

(3x − 1)3

5. y = 6 · 32x−1

6. y = 2ex2−1

7. y = x ln(3x + 4)

8. y = ln(x

x + 1)

9. y = x3· 22x

10. y = 3x√

3x − 1

11. y =ln x

1 − ln x

12. y = (x2− 3x) · ex

13. y = tan3 x

14. y =sin x − cos xsin x + cos x

15. y =sin x

cos2 x − 1

Serie B

1. y = 2x ln 3x

2. y =ln xx

3. y =√

sin 2x

4. y =1

√3x2 + 1

5. y =x2

− 7x − 8x2 − 1

6. y = sin2(2x −16π)

7. y =ln2 xsin x

8. y =x

√x2 + 1

9. y = ln(√

3x − 1)

10. y = e2 sin2 x−1

11. y =ex

+ 1ex

12. y = ln4 x

13. y = sin2 x · cos x

14. y =sin x

1 − cos x

15. y =cos x

cos2 x − 1

20

Hoofdstuk 8

Primitiveren

In de integraalrekening neemt primitiveren een essentiële plaats in. Het is de inverse bewerkingvan di�erentiëren.

Kennis van di�erentiëren is daarom vereist.

Basisformules (met c een onbepaalde integratieconstante):∫axndx =

an + 1

xn+1+ c;

∫(ax + b)ndx =

1a

·1

n + 1(ax + b)n+1

+ c

∫eax dx =

1a

eax+ c;

∫1

ax + bdx =

1a

ln |ax + b| + c∫1

cos2 xdx = tan x + c (want

ddx

tan x =1

cos2 x)∫

cos(ax)dx =1a

sin(ax) + c;∫

sin(ax)dx = −1a

cos(ax) + c

Controleer altijd of je goed geprimitiveerd hebt door de uitkomst te di�erentiëren.

21

8. Primitiveren

8.1 Opgaven

Primitiveer de volgende functies.

Serie A

1. (2x − 1)3

2. (5 − x)2

3.√

3x − 4

4.1

(2x + 3)4

5. sin 2(x −16π)

6.1

√x + 3

7.x2

+ 1x

8. sin x + e3x

9. tan2 x

10.2

3 − 2x

Serie B

1. (3x + 2)3

2. (8 − 2x)2

3.√

2x − 3

4.1

(2x − 1)5

5. cos 12(x −

13π)

6.2

√x − 5

7.x3

− 1x

8. cos 2x + e2x

9. tan2 x + 2

10.3

2 − 3x

22

Hoofdstuk 9

Oefening gra�eken tekenen

De bedoeling van deze oefening is dat je bij een aantal functies de gra�ek schetst zondergebruik te maken van elektronische hulpmiddelen.

Afstanden tussen eenheden op de x-as hoeven niet noodzakelijk gelijk te zijn aan die tussende eenheden op de y-as.

Kies het domein telkens zó dat de eigenschappen van de gra�ek duidelijk te zien zijn, zoalssnijpunten met de assen, asymptoten, perioden, enz.

Zet bij snijpunten en asymptoten ook getallen indien deze vlot uit het hoofd te berekenen zijn.

Voorbeeld:

• f (x) = (x − 3)2

x

f HxL

0 3

9

f HxL = Hx - 3L2

We gebruiken hier de notatie f (x) voor een functie van x .

23

9. Oefening gra�eken tekenen

Serie A

1. f (x) = (x + 2)4

2. f (x) = (x − 2)2+ 3

3. f (x) = −x3+ 8

4. f (x) = x2+ 6x + 9

5. f (x) = 6(x + 1)5

Serie B

1. f (x) =1x

2. f (x) =4

x − 2

3. f (x) = 3 +1

x − 3

4. f (x) =3x2

5. f (x) =4

(2 − x)2

Serie C

1. f (x) = 2x

2. f (x) = ( 12)

x+ 3

3. f (x) = 2x−2+ 1

4. f (x) = 3−x− 1

5. f (x) = ex−1

Serie D

1. f (x) =2log x

2. f (x) =2log(x + 2)

3. f (x) = log x2

4. f (x) = 2 log x

5. f (x) = ln(x − e)

Serie E

1. f (x) =√

x + 2

2. f (x) = 4 − 2√

x

3. f (x) = 2 +√

x + 4

4. f (x) = 3√

x

5. f (x) =6√

x2 − 1

Serie F

1. f (x) = sin 3x

2. f (x) = 2 cos πx

3. f (x) = 12 + 8 sin 2π6 (x − 1)

4. f (x) = 3 − 2 cos 3(x −13π)

5. f (x) = −1 − 3 sin 110π(x + 5)

24

Hoofdstuk 10

Vergelijkingen en ongelijkheden

10.1 Polynoomvergelijkingen

Polynoomvergelijkingen kunnen algemeen worden geschreven als:

anxn+ an−1xn−1

+ an−2xn−2+ . . . = 0,

met n een geheel getal.

Oplossingen kunnen soms gevonden worden door in factoren te ontbinden.

Voorbeelden:

• Los op: x5− 4x3

− 27x2+ 108 = 0

x3(x2− 4) − 27(x2

− 4) = 0

(x3− 27)(x2

− 4) = 0

(x3− 27)(x − 2)(x + 2) = 0

x = 3 ∨ x = 2 ∨ x = −2

• Los op: (x2− 14)(x + 4) = 5x(x + 4):

(x2− 14)(x + 4) − 5x(x + 4) = 0

(x2− 14 − 5x)(x + 4) = 0

(x + 2)(x − 7)(x − 4) = 0

x = −2 ∨ x = 7 ∨ x = −4

25

10. Vergelijkingen en ongelijkheden

Los de volgende vergelijkingen op:

Serie A

1. 2x2+ 7x − 4 = 0

2. x4+ 6 = 7x2

3. x3+ 6x = 7x2

4. x4− 42 = x2

5. x4− 39x2

= 10x3

6. x3− 3x2

= (x − 3)(x + 20)

7. (x − 2)3= x − 2

8. 3x3− x2

− 12x + 4 = 0

9. (x2− 4)(x + 3) = (x − 2)(4 − x2)

10. x6− 4x4

= 4x2− 16

Serie B

1. 3x2+ 7x − 6 = 0

2. x4= 2x2

+ 24

3. x4− 24x2

= 10x3

4. x4− 12 = x2

5. x4− 33x2

= 8x3

6. x3+ x2

= (x + 1)(x + 2)

7. 3x2+ 4x − 4 = 0

8. x3− 3x2

= (x − 3)(x + 12)

9. (x2− 4)(x − 3) = (x + 2)(x − 3)

10. 3(x − 1)2(x + 1) = (x + 1)2)

26

10.2 Polynoomongelijkheden


Een handig hulpmiddel bij ongelijkheden is een tekenschema. Tekenschema's geven op eengetallenrechte met plussen en minnen aan waar een uitdrukking positief of negatief is. daarwaar de uitdrukking nul is zetten we één of meerdere nullen op de getallenrechte. Bij elke nulop de getallenrechte is er sprake van tekenverandering.

Twee voorbeelden van tekenschema's:

• f (x) = (x + 3)(x − 1)(x − 2) heeft als tekenschema:

Kijk bij één bepaalde gemakkelijke waarde van x (anders dan een nulpunt)naar de uit-komst f (x). Als de uitkomst positief of negatief is geldt dat overal tussen de naburigenulpunten. Bij een 0 op de getallenrechte verandert het teken.

• g(x) = (x + 3)3(x − 1)(x − 2)2 heeft als tekenschema:

Bij −3 op de getallenrechte staat 3 keer een 0 omdat je daar een oplossing krijgt van(x + 3)3

= 0 oftewel (x + 3)(x + 3)(x + 3) = 0. Zo'n nulpunt noemen we drievoudig. Datbetekent ook dat er drie keer tekenwisseling plaats vindt, want bij elke 0 verandert hetteken.Als g(x) dus positief is voor x < 3 zal g(x) negatief zijn als x > −3.

Bij 2 op de getallenrechte moet 2 keer een 0 komen, want (x − 2)2 is te schrijven als(x − 2)(x − 2). Er vindt daarom 2 keer tekenwisseling plaats wat in feite betekent dater geen tekenwisseling is bij de 2.

Kortom, een n-voudig nulpunt geeft geen tekenwisseling als n even is en wel een teken-wisseling als n oneven is.

Voorbeelden

• Los op: x3+ 8x ≤ 6x2.

Herleid eerst op: x3− 6x2

+ 8x ≤ 0. Ontbind vervolgens in factoren:

x(x2− 6x + 8) = 0

x(x − 2)(x − 4) = 0

Tekenschema:

De oplossing is dus: x ≤ 0 ∨ 2 ≤ x ≤ 4

of in intervalnotatie: (−∞, 0 ∪ 2, 4

27


• Los op: x(x + 3)3(x − 2)2≥ (x + 3)3(x − 2)2

x(x + 3)3(x − 2)2− 1(x + 3)3(x − 2)2

≥ 0

(x − 1)(x + 3)3(x − 2)2= 0

Tekenschema:

De oplossing is: x ≤ −3 ∨ x ≥ 1

of in intervalnotatie: (−∞, −3 ∪ 1, ∞)

Los de volgende ongelijkheden op:

Serie A

1. x2≤ 25

2. (x − 3)2≥ 1

3. (x − 2)2≤

14

4. 8 < x2+ 2x

5. 3(x + 1) − 2(2x + 3) > −(x − 2)

6. 35 < x2+ 2x

7. (x2− 4)(x − 4)2

≤ 0

8. 3(x + 1) − 2(2x + 3) > 5(x − 2)

9. (x2− 7x + 12)(x2

+ 2x − 24) ≤ 0

10. x6− 9x3

+ 8 ≤ 0

Serie B

1. x2≥ 16

2. 9x2≤ 16

3. (x − 2)2≥

19

4. 15 < x2+ 2x

5. 3(x − 1) − 2(2x + 3) > 5(x − 2)

6. x2− 1 ≥ 9 − 3x

7. (x2− 9)(x − 3)2

≤ 0

8. x2(3x − 5) − (2x + 3)(3x − 5) > 0

9. (x − 1)(x − 2)2(x − 3)3≥ 0

10. 3x3− 12x ≥ x4

− 4x2

28

10.3 Breukvergelijkingen


Bij breukvergelijkingen zijn 'kruiselings vermenigvuldigen' en 'onder één noemer brengen'belangrijke technieken.

Voorbeelden:

•2x + 83x − 6

=x + 5

5Kruiselings vermenigvuldigen geeft:

(3x − 6)(x + 5) = 5(2x + 8)

3x2+ 9x − 30 = 10x + 40

3x2− x − 70 = 0

3x(x − 5) + 14(x − 5) = 0

(3x + 14)(x − 5) = 0

x = −143 ∨ x = 5

•6

x − 1+

5x + 1

= 3

We krijgen:

6(x + 1) + 5(x − 1)

(x − 1)(x + 1)= 3

11x + 1x2 − 1

= 3

11x + 1 = 3x2− 3

3x2− 11x − 4 = 0

3x2− 12x + x − 4 = 0

3x(x − 4) + 1(x − 4) = 0

(x − 4)(3x + 1) = 0

x = −13 ∨ x = 4

29


Los de volgende vergelijkingen op.

Serie A

1.3

x + 1=

2x + 2

2.x − 3x − 1

− 3 =x

x + 2

3.x − 3x − 1

− 2 =x − 1x − 3

4.x3

− 4x2

x − 4= 3

5.1x2

− 2 =1x

6.3

2x − 1+ x = 4

7.2x + 3

x−

x + 1x − 2

= 7

8.2x − 1

5+

x2− 3

2x= 2

9.1

(x + 1)2=

x + 8x3 + 2

10.3x − 4

2+

x2

x + 2= 2

Serie B

1.x2

+ 3x − 2x + 1

= 4

2.3x2

+ 5x − 2x2 + 3x + 2

= 2

3.3x2

+ 6x + 1x2 + 2

= 2

4.3x3

+ 6xx2 + 2

= 2

5.4x2

+4x

= 3

6.3x − 1x − 5

− 3 = x

7.x

x − 4−

xx + 3

= −72

8.x2

− 4x2 + 4

−1

x − 3= 1

9.x

x − 1+

2xx + 2

= 3

10.1x

+1x2

−1x3

= 1

30

10.4 Breukongelijkheden


Bij breuken niet alleen bij een nulpunt van de teller, maar ook bij een nulpunt van de noemerkan het teken omwisselen. Bij tekenschema's worden daarom zowel de nulpunten van de tellerals de nulpunten van de noemer aangegeven; deze laatste met een *. Overigens, in zo'n nulpuntvan de noemer bestaat de functie dus niet.

Voorbeeld

•2

x − 1−

5x + 3

≤ 1

2(x + 3)

(x − 1)(x + 3)−

5(x − 1)

(x − 1)(x + 3)−

(x − 1)(x + 3)

(x − 1)(x + 3)≤ 0

−x2− 5x + 14

(x − 1)(x + 3)≤ 0

(x + 7)(x − 2)

(x − 1)(x + 3)≥ 0

Tekenschema:

dus x ≤ −7 ∨ −3 < x < 1 ∨ x ≥ 1

31


Los de volgende ongelijkheden met breuken op.

Serie A

1.x2

− 2x − 15x2 + 4x + 3

≤ 0

2.1

x2 − 3x − 28≥ 0

3.5

2x + 1−

2x − 3

≤ 3

4.2x2

2x + 3−

x2

x + 2> −3

5.3x

2x − 1≥

2x − 5x − 2

6.x − 2

x≤

x − 1x − 3

+ 1

7.3x − x2

2x − 2≤ 1

8.1

x − 1+

1(x − 1)2

−1

(x − 1)3< 1

9.x2

− 2x − 15x2 − 4x + 3

− 1 > 0

10.2x + 3

x− 2 >

3x − 8x − 2

Serie B

1.x − 3

x2 − 3x − 28< 0

2.10x

x3 + x> 1

3.x2

− 1x2 + 1

−x + 3x − 2

≤ 4

4.x

2x − 5+

6x + 1

≤ 2

5.6

x + 4≤

5x + 1x + 1

6.x

x + 4− 1 ≤

x − 33

7.x2

− 4x + 3x2 − x − 12

>56

8.x

3x − 1+

32x + 1

≥ 1

9.x

x3 − 2x≥

12

10.24

x + 3−

3x − 4

<76

32

10.5 Exponentiële vergelijkingen


Bij onderstaande opgaven is het de bedoeling dat je herleidt tot een vergelijking met machtenoftewel een uitdrukking van de vorm auitdrukking met x

= agetal. Je mag dan de machten gelijkstellen, waarna je de resulterende vergelijking nog dient op te lossen.

Gebruik de regels bij machten, bijvoorbeeld 4x= (22)x

= (2x)2= 22x .

Voorbeelden

• 2x+3− 3 · 2x

= 80

23· 2x

− 3 · 2x= 80

8 · 2x− 3 · 2x

= 80

5 · 2x= 80

2x= 16 = 24

x = 4

• 2x+ 23−x

= 6

2x+ 8 · 2−x

= 6.

Stel 2x= a, dan

a + 8 · a−1= 6

a2− 6a + 8 = 0

(a − 2)(a − 4) = 0

a = 2 ∨ a = 4

2x= 2 ∨ 2x

= 4

x = 1 ∨ x = 2

33


Los de volgende exponentiële vergelijkingen op.

Serie A

1. 2x+1+ 2x+3

= 320

2. 3x+1= ( 1

3)x−2

3. 3x+3= 2160 + 3x−1

4. 4x− 12 · 2x

+ 25= 0

5. 2x+3= 60 + 2x−1

6. 163x+3= 8x2

+4

7. 22x+ 64 = 2x+4

8. 33x− 2 · 32x+1

= 3x+3

9. 2x+ 23−x

= 6

10. ex= 2 · e−x

+ 1

Serie B

1. 3x+3= 6 + 3x+2

2. 9x=

13

√3

3. 3x+2+ 3x−1

=2827

4. 4 · 3x+1− 32x

= 27

5. 2x−1= 5 − 4x

6. 4 · 32x+1− 33x

= 3x+3

7. 23 log x

=14

8. ( 13

√3)x

= 9

9. 6 · ( 14)

x=

32(

12)

x

10. 600 · (0.4)x= 150 · (0.8)x

34

10.6 Exponentiële ongelijkheden


Bij exponentiële ongelijkheden moet je met grondtallen kleiner dan 1 oppassen.

Bijvoorbeeld, 2x > 24⇔ x > 4 maar ( 1

2)x > ( 1

2)4

⇔ x < 4.

Je had deze laatste conclusie ook als volgt kunnen trekken:

(2−1)x > (2−1)4⇔ 2−x > 2−4

⇔ −x > −4 ⇔ x < 4.

Voorbeelden

• We hebben

5x−1+ 5x−2 > 6

√5 ⇔ 5x

· 5−1+ 5x

· 5−2 > 6 · 512

Vermenigvuldig beide zijden met 52:

5 · 5x+ 5x > 6 · 5

52 ⇔ 6 · 5x > 6 · 5

52 ⇔ x >

52

• We hebben:

3x+ ( 1

3)x−3

≤ 12 ⇔ 3x+ (3−1)x−3

≤ 12 ⇔ 3x+ 33−x

≤ 12

en

3x+ 33

· 3−x≤ 12 ⇔ 3x

+273x

≤ 12.

Stel 3x= a en bedenk dat dan a > 0!

a +27a

≤ 12 ⇔ a2+ 27 ≤ 12a.

Dat mag omdat a > 0.

a2− 12a + 27 ≤ 0 ⇔ (a − 3)(a − 9) ≤ 0 ⇔ 3 ≤ a ≤ 9

Dus

31≤ 3x

≤ 32⇔ 1 ≤ x ≤ 2

35


Los de volgende exponentiële ongelijkheden op.

Serie A.

1. ( 12)

2x−1 < 8

2. 3 + 2x≤ 2x+2

− 3

3. (2x− 4)(2x

− 8) > 0

4. 8x−1≥ ( 1

4)x

5. 2x+ 32 · 2−x

≥ 12

6.6 − 5x

51−x< 1

7. 4x > 14 · 23x

8. 2x+ 8 · 2−x

≥ 6

9. 26x− 4x+1 > 0

10. 33−2x− 4 · 31−x

+ 3 > 0

Serie B

1. 1 − ( 12)

2x−2≥ 0

2. 9x+ 3x+1 > 18

3.22x

− 82x − 4

≤ 0

4. 9x+1≥

127

5. 2x+ 8 · 2−x

≥ 9

6. 3x+ 33−x < 12

7. 5x− 2 · 5x−1 < 75

8. ( 12)

3x− ( 1

2)2x

≥ 0

9. 6 · 5x− 52x < 5

10. ( 13)

2x−3− 4 · ( 1

3)x−1

− 15 < 0

36

10.7 Logaritmische vergelijkingen


De de�nitie van logaritme is: ac= b ⇔

alog b = c.

Bekende regels zijn:

alog x bestaat alleen als x > 0,alog 1 = 0,

log a + log b = log ab,

log a − log b = log( ab ),

log ar= r log a,

alog b =ln bln a

Voorbeelden:

• Stel 2log(x + 2) = 2 +2log(2x − 1)

Dan geldt:

2log(x + 2) =2 log 4 +

2log(2x − 1) =2log 4(2x − 1)

x + 2 = 8x − 4 ⇔ 6 = 7x ⇔ x =67

• We hebben log2 x − log x2= 3 ⇔ log2 x − 2 log x − 3 = 0.

Stel log x = a

a2− 2a − 3 = 0 ⇔ (a + 1)(a − 3) = 0 ⇔ a = −1 ∨ a = 3

⇔ log x = −1 ∨ log x = 3 ⇔ x =1

10∨ x = 1000

37


Los de volgende vergelijkingen op.

Serie A

1. x log 16 = 8

2. 32log(x−1)

= 9

3. ln(x2− 7x + 7) = 0

4. 2log x − 5 =12 log(x + 14)

5. 2log(x − 1) +2log(x + 13) = 5

6. log(x2− 20x) = 2

7. log(7 − x) =12 log(x − 1)

8. 2log(x + 1) − 2 ·2 log 5 = 3

9. log2 x + 6 = log x5

10. ln2 x + 2 ln x − 3 = 0

Serie B

1. 2x log 27 = 3

2. 44log(8−2x)

= 2

3. ln(x + e) − 2 = ln x

4. 2log(5 − x) +2log x = 2

5. 2 +13 log(2x − 1) = 1

6. log x + log(x +32) = 1

7. 2log(x + 1) +12 log(

1x − 3

) = 5

8. log(x + 3) − log(x + 1) = 1

9. log2 x − log x3+ 2 = 0

10. log(x2− 8) = − log(

1−2 − x

)

38

10.8 Logaritmische ongelijkheden


Een belangrijke stap bij het oplossen van logaritmische ongelijkheden is het bepalen van hetdomein. Oplossingen dienen uiteraard binnen het domein te liggen.

Ook hier opletten met bijvoorbeeld:

12 log x <

12 log 4 ⇒ x > 4

Net zoals bij machten is er sprake van het omdraaien van het ongelijkheidsteken als hetgrondtal kleiner dan 1 is.

Voorbeelden:

•12 log x ≥ 3 +

12 log(x + 3).

Hier geldt: x > 0 ∧ x > −3, dus D = (0, ∞).

12 log x ≥

12 log

18

+12 log(x + 3) ⇔

12 log x ≥

12 log

18(x + 3)

en dus

x ≤18(x + 3) ⇔ 8x ≤ x + 3 ⇔ 7x ≤ 3 ⇔ x ≤

37

Rekening houdend met het domein D is de oplossing: (0, 37

•3log(2x − 3) < 3 −

3log x .

We hebben:

x >32

∧ x > 0 ⇒ D = (32, ∞)

Hier moet gelden:

3log(2x − 3) +3log x < 3log 27 ⇔

3log x(2x − 3) < 3log 27

2x2− 3x − 27 < 0 ⇔ (2x − 9)(x + 3) < 0 ⇔ −3 < x <

92

Rekening houdend met het domein D is de oplossing: ( 32 ,

92)

39


Los de volgende logaritmische ongelijkheden op.

Serie A

1. 5log(2x + 1) ≤ 2

2. 4log(x2− 3x) > 1

3. 2log(x2− 4x − 5) ≤ 4

4.2 − ln x2 + ln x

≤ 0

5. 3 −3log x ≥

3log(x − 6)

6.13 log x2 > −2

7. ln(x − e)2 > 1

8. x ln x3− ln x > 0

9. 3log(x − 1) ≤ 2 −3log(x + 7)

10. ln |x | ≥ ln(3 −12 x)

Serie B

1. 2log(x2− x) ≤ 1

2. 4log(x2+ 6x) ≤ 2

3. 2log(x2− 8x + 7) ≤ 4

4.2 − ln x1 + ln x

> 0

5. 2log(x − 2) < 3 −2 log x

6.ln(x − 3) − 1

ln x≤ 0

7. 3log(22x+ 1) ≤ 2

8. x log(x + 4) + 4 log(x + 4) ≤ 0

9. 2log(2x− 8) < 3

10.log(2x + 3)

log x< 2

40

10.9 Goniometrische vergelijkingen


Enkele regels:

sin x = sin a ⇒ x = a + k · 2π ∨ x = π − a + k · 2π

cos x = cos a ⇒ x = ±a + k · 2π

tan x = tan a ⇒ x = a + k · π

Hierbij geldt steeds dat kεZ, dus k = 0, ±1, ±2, . . .

Voorbeelden:

• We hebben:

cos(x −34π) = sin 2x ⇔ cos(x −

34π) = cos(

12π − 2x)

x −34π =

12π − 2x + k · 2π ∨ x −

34π = −

12π + 2x + k · 2π

3x =54π + k · 2π ∨ −x =

14π + k · 2π

x =512

π + k ·23π ∨ x = −

14π + k · 2π

• We hebben

2 sin2 x = 3 cos x ⇔ 2(1 − cos2 x) = 3 cos x ⇔ 2 cos2 x + 3 cos x − 2 = 0

Stel cos x = a dan

2a2+ 3a − 2 = 0 ⇔ (a + 2)(2a − 1) = 0 ⇔ a = −2 ∨ a =

12

Merk op dat cos x = −2 niet is toegestaan, dus

cos x =12

⇔ x = ±13π + k · 2π

41


Los de volgende goniometrische vergelijkingen op. Kies R als domein.

Serie A.

1. sin 2x = sin x

2. tan 2x + tan x = 0

3. sin(2x +π4 ) + sin(3x −

π4 ) = 0

4. cos 2x + cos 3x = 0

5. cos2 x + 3 sin x = 3

6. 2 sin2 x cos x − sin x = 0

7. tan 2x = 3 tan x

8. sin 2x =1

tan x

9. 3 cos2 x − sin2 x = 0

10. 2 sin2 x + sin 2x = 1

11. sin 2x − cos 2x = 1

12. 2 cos x + 3 tan x = 0

13.√

2 − 2 cos 2x = − sin x

14. (tan x − sin x)(tan x + sin x) = cos2 x

15. sin x · sin 2x = cos x

Serie B

1. cos 2x = cos 3x

2. tan x = sin 2x

3. cos(2x −13π) + sin(x −

16π) = 0

4. sin x − sin 3x = 0

5. cos2 x + 2 sin x cos x = sin2 x

6. sin 2x = 2 cos2 x

7. 2 tan x = tan 2x

8. 2 sin 2x =1

tan x

9. cos2 x + cos x = sin2 x

10. 2 sin2 2x + 6 sin2 x = 3

11. 6 cos2 x + 11 sin x = 10

12. sin 2x − cos 2x = 1

13. sin2 x + 2 cos2 x = 1 + sin x cos x

14. sin 2x − tan x = sin x

15. sin x + cos x = 0

42

10.10 Wortelvergelijkingen


Bij vergelijkingen met wortels moeten we steeds bedenken dat de uitdrukking onder het wor-telteken niet negatief mag zijn en dat de wortel een niet-negatief getal als uitkomst heeft.Controleer een gevonden oplossing altijd door deze in de oorspronkelijke vergelijking in tevullen:

Voorbeelden:

• We hebben:

√2x + 1 = 2x − 5 ⇒ 2x + 1 = (2x − 5)2

2x + 1 = 4x2− 20x + 25 ⇔ 4x2

− 22x + 24 = 0

2x2− 11x + 12 = 0 ⇔ (x − 4)(2x − 3) = 0

x = 4 ∨ x =32

Aangezien x =32 een negatieve uitkomst voor een wortel geeft, blijft x = 4 als enige

oplossing over.

• We hebben:

√x +

√2x + 1 = 5 ⇒ x + 2

√2x2 + x + 2x + 1 = 25

2√

2x2 + x = 24 − 3x ⇒ 8x2+ 4x = 576 − 144x + 9x2

x2− 148x + 576 = 0 ⇔ (x − 4)(x − 144) = 0

x = 4 ∨ x = 144.

Alleen x = 4 is een oplossing.

43


Los de volgende vergelijkingen met wortels op.

Serie A

1.√

4x + 1 = x − 1

2.√

2x − 1 = x − 8

3.√

x − 2 =√

2x + 3 − 2

4. 2x − 3√

14 − x = 8

5.x + 3)

√2x + 1

= 3

6. x√

x + 3 =

√x + 3x

7. x2− 3

√13 + x2 + 3 = 0

8.√

x −√

x − 1 = x

9. 4√

4 − p −13(

√4 − p)3

− p√

4 − p =83

10. Voor welke p raken de gra�eken vanf (x) = 3x −

√2x + 1 en g(x) = 2x + p

elkaar?

Serie B

1.√

2x + 1 = x − 7

2.√

2x + 11 = 12 − x

3.√

x − 1 =√

2x + 5 − 2

4.x +

√x

x −√

x= 2

5.x +

√13 − x

2x − 1= 1

6.

√4x2 + xx − 1

=√

x

7.x2

√2x2 + 3

=

√2x2 + 3

x2

8.√

32 x −

√8 − x = 2

9. 4√

2 + x − (√

2 + x)3+ 2x

√2 + x = 27

10. Voor welke p raken de gra�eken vanf (x) =

√5 − x en g(x) = p −

12 x + 1

elkaar?

44

10.11 Wortelongelijkheden


Ook hier moet rekening worden gehouden met het domein.

Bijvoorbeeld, als√

x − 1 < 2, dan luidt de oplossing 1, 5) omdat x ≥ 1.

Voorbeelden:

• We hebben:

2x + 3√

x < 20 ⇔ 2x + 3√

x − 20 < 0

met x ≥ 0. Los op:

3√

x = 20 − 2x ⇒ 9x = 400 − 80x + 4x2

4x2− 89x + 400 = 0 ⇔ 4x2

− 64x − 25x + 400 = 0

4x(x − 16) − 25(x − 16) = 0 ⇔ (4x − 25)(x − 16) = 0

x =254

∨ x = 16.

Alleen x =254 is mogelijk. De oplossing is: 0, 25

4 ).

• We hebben:

3 +√

x)√

x − 5≤ 3.

Het domein is D = (5, ∞). Dan is de breuk altijd positief.

• Los op:

(3 +√

x)/√

x − 5 = 3

We hebben:

3 +√

x√

x − 5= 3 ⇔ 3 +

√x = 3

√x − 5 ⇒ 9 + 6

√x + x = 9(x − 5)

6√

x = 8x − 54 ⇔ 3√

x = 4x − 27 ⇒ 9x = 16x2− 216x + 729

16x2− 225x + 729 = 0 ⇔ 16x2

− 144x − 81x + 729 = 0

16x(x − 9) − 81(x − 9) = 0 ⇔ (16x − 81)(x − 9) = 0

x =8116

∨ x = 9

Alleen x = 9 voldoet. Vullen we namelijk in de ongelijkheid bijvoorbeeld x = 6 (6 < 9)

in, dan krijgen we een uitkomst die groter is dan 3. Maar als we bijvoorbeeld x = 14invullen, krijgen we een oplossing die groter is dan 3. Dat betekent dat we getallenmoeten hebben groter dan 9.

Oplossing: (9, ∞).

45


Los de volgende ongelijkheden met wortels op.

Serie A

1.√

2x + 7 ≤ x − 4

2. x − 5√

x + 6 < 0

3.

√5 − x

√5 + x

> 1

4. x −√

2x + 1 ≤ 1

5.√

(x − 3)2 > 13

6. 7 +√

3x − 6 > 2x

7.√

x2 + x + 5 ≤ x + 1

8.√

(x − 3)2 + x ≤√

6x + 1

9.x +

√x

x −√

x< 3

10.√

x + 1 < |x − 5|

Serie B

1.√

x − 3 < 12 x − 1

2. x −√

x − 3 < 5

3.

√3x + 4

√2x − 4

≥ 2

4. x −√

x − 4 ≤ 6

5.√

(x − 3)2 > 1

6. 12

√x2 + 3 <

√x

7.(x − 1)

√x − 1

√x + 4

> 1

8.√

x ≥√

2x − 7 − 3

9.6

√x2 − 1

> 3

10.√

x − 3 < |2x − 9|

46

Hoofdstuk 11

Noemer wortelvrij maken (extra stof)

Bij onderstaande opgaven dien je de noemer van de breuk wortelvrij te maken.

Gebruik hiervoor bijvoorbeeld de regel: (a − b)(a + b) = a2− b2.

Voorbeeld:

1

3 −√

3=

3 +√

3

(3 −√

3)(3 +√

3)=

3 +√

3

32 − (√

3)2=

3 +√

36

=12

+16

√3

47

11. Noemer wortelvrij maken (extra stof)

Maak telkens de noemer wortelvrij:

Serie A

1.1

√5

−2

√2 − 1

=

2.1

√3

−2

√6

=

3.3

2√

3+

1√

3=

4.2 +

√3

√3

=

5.

√3 +

√2

√3 −

√2

=

6.1

3√

2 − 2√

3=

7.

√2

√18 −

√8

=

8.1

(1 +√

2)2=

9.1

√2 − 1

=

10.

√3

2 +√

3=

Serie B

1.2

√3

−3

√5 − 1

=

2.1

√2

−3

√6

=

3.3

2√

5−

1√

5=

4.3 +

√6

√3

=

5.

√5 −

√2

√5 +

√2

=

6.2

2√

5 −√

3=

7.

√3

√48 −

√12

=

8.1

(3 −√

2)2=

9.1

√3 − 1

=

10.

√5

1 −√

5=

48

Hoofdstuk 12

Breuksplitsen A (extra stof)

Bij de volgende serie breuken is de noemer een product van factoren of kan er een productvan factoren van worden gemaakt.

Het is de bedoeling dat er twee breuken van worden gemaakt met als noemers de afzonderlijkefactoren. Dit heet breuksplitsing.

Voorbeelden:

• We hebben:

x + 10(2x − 1)(x + 3)

=3

2x − 1−

1x + 3

Nu is dit eenvoudig te controleren maar hoe kom je aan de tellers?

x + 10(2x − 1)(x + 3)

vervangen we doorA

2x − 1+

Bx + 3

waarbij we A en B moeten berekenen.

Maak van de uitdrukking weer één breuk:

A(x + 3) + B(2x − 1)

(2x − 1)(x + 3)=

(A + 2B)x + (3A − B)

(2x − 1)(x + 3)

Nu moet A + 2B = 1 en 3A − B = 10. Als je dit stelsel van twee vergelijkingen oplost,krijg je A = 3 en B = −1.

• Los op:

3(2x + 3)(x + 4)

= ?

We stellen:

3(2x + 3)(x + 4)

=A

2x + 3+

Bx + 4

=A(x + 4) + B(2x + 3)

(2x + 3)(x + 4)=

(A + 2B)x + (4A + 3B)

(2x + 3)(x + 4)

Nu moet A + 2B = 0 en 4A + 3B = 3. Dit stelsel oplossen geeft A =65 en B = −

35 .

We kunnen daarom3

(2x + 3)(x + 4)vervangen door

65(2x + 3)

−3

5(x + 4).

49

12. Breuksplitsen A (extra stof)

• Vanwege het dubbele nulpunt in de teller gaat de volgende breuk iets anders:

2x + 1(x − 3)2

= ?

De teller veranderen we in een vorm waarin x − 3 voorkomt:

2x + 1(x − 3)2

=2(x − 3) + 7

(x − 3)2=

2x − 3

+7

(x − 3)2

50

Splits onderstaande uitdrukking in breuken:

Serie A

1.5

(2x − 1)(x − 3)=

2.1

x2 − 1=

3.2x

(x − 1)(x − 3)=

4.x

x2 − x − 2=

5.2x

x2 − 2x=

6.2x

(x − 2)2=

7.x + 4

9x2 − 6x + 1=

8.x2

− 1(x − 1)2

=

9.2x

(x − 1)2=

10.x4

− 4(x2 + 1)2

=

Serie B

1.5

(2x + 1)(x + 3)=

2.1

4x2 − 9=

3.4x

(x + 1)(x − 3)=

4.3x

x2 − x − 6=

5.3x

−x2 + 3x=

6.6x

(x − 3)2=

7.x + 4

4x2 − 4x + 1=

8.x2

− 4(x − 2)2

=

9.6x

(x − 3)2=

10.x4

− 9(x2 + 3)2

=

51

13. Breuksplitsen B (extra stof)

Hoofdstuk 13

Breuksplitsen B (extra stof)

Hieronder staat nog een aantal voorbeelden met opgaven waarbij een breuk wordt opgesplitstin meerdere delen.

Voorbeelden

• Zo is

237

= 3 +27.

We kunnen op 2 manieren aan die uitkomst komen:

237

=21 + 2

7=

217

+27

= 3 +27.

We hebben:

7/23\3

21

2

en dus

237

= 3 +27.

Dit kan altijd als de teller groter is dan de noemer.

• Ditzelfde kunnen we ook doen met gebroken functies:

3x + 1x + 3

=3x + 9 − 8

x + 3= 3 −

8x + 3

Of:

x + 3/3x + 1\3

3x + 9

−8

52

en dus

3x + 1x + 3

= 3 −8

x + 3

• We hebben:

2x − 1/ 12 x2

−3x + 1\14 x −

118

12 x2

−14 x

−114 x +1

−114 x +

118

−38

en dus

12 x2

− 3x + 12x − 1

=14 x −

118 −

38

12x − 1

De methode uit de laatste twee voorbeelden kan worden toegepast als de graad van de tellergroter dan of gelijk is aan de graad van de noemer.

53

13. Breuksplitsen B (extra stof)

Pas op onderstaande opgaven breuksplitsen toe zoals hierboven.

Serie A

1.6x2

− 11x + 5x − 1

=

2.x2

+ 8x2x − 1

=

3.x2

− 3x + 2x − 2

=

4.x3

x2 − 1=

5.x4

− 1x − 1

=

6.x2

+ 2x − 31 − x

=

7.2x2

− 4x + 5x − 1

=

8.x3

− 3x2+ 3x − 1

x − 1=

9.x3

− 2x2+ 3x − 2

x2 − 4=

10.x4

+ x2− 2x3

− 2x + 1x2 + 1

=

Serie B

1.4x2

+ x − 5x − 1

=

2.x2

+ 4x2x − 1

=

3.x2

+ 5x − 14x − 2

=

4.x4

x2 + 1=

5.x4

− 16x + 2

=

6.x2

+ 2x − 33 + x

=

7.2x2

− 4x + 5x − 2

=

8.x3

− 6x2+ 5x + 6

x − 2=

9.2x3

− 2x2+ 3x − 1

x2 − 1=

10.x4

+ x2+ 2x3

− 2x + 1x2 + 1

=

54

Hoofdstuk 14

Cyclometrische functies (extra stof)

In het voortgezet onderwijs hebben we al met inverse functies te maken gekregen. Zo zijnlog x en 10x inverse functies van elkaar evenals bijvoorbeeld

√x en x2 voor x ≥ 0. Op de

rekenmachine staan deze functies op een toets en daarboven. Je ziet dan dat ln x en ex ookelkaars inversen zijn.

Een eigenschap van inverse functies is dat de gra�eken elkaars spiegelbeeld zijn indien gespie-geld wordt in de lijn y = x . Domein en bereik hoeven voor een functie en zijn inverse niethetzelfde te zijn, controleer maar voor bovenstaande functies. De functies sin x , cos x en tan xhebben inverse functies op een beperkt domein. sin−1 x, cos−1 x en tan−1 x staat er vaak oprekenmachines; wij zullen het hebben over arcsin x , arccos x en arctan x .

We gaan na wat voor de laatste functies het domein en bereik is door te spiegelen. De tekeninglinks hieronder toont de gra�ek van y = sin x gespiegeld in de lijn y = x .

0 Π

0

Π

-

Π

��

2Π

��

2

-

Π

��

2

Π

��

2

We zien in de linker�guur duidelijk dat de gespiegelde gra�ek geen functie meer voorsteltindien het domein gelijk is aan 0, π .

Indien het domein voor sin x gelijk is aan D = −12π, 1

2π , is de inverse wél een functie.

Bij deze keuze van het domein zitten we zo dicht mogelijk in de buurt van de oorsprong en

55

14. Cyclometrische functies (extra stof)

zijn alle uitkomsten van sin x mogelijk mogelijk (van −1 tot en met 1). Zie de bovenstaande�guur.

Het bereik van y = sin x is B = −1, 1.

De inverse functie van y = sin(x) noemen we y = arcsin x . Hiervoor geldt het domein D =

−1, 1, terwijl B = −12π, 1

2π .

Zo kunnen we ook de gra�eken van y = cos x en y = tan x spiegelen in de gra�ek van y = x .

1. Ga op dezelfde manier na dat voor y = arccos x geldt dat D = −1, 1 en gekozen bereikB = 0, π .

2. Ga verder na dat voor y = arctan x geldt dat D = (−∞, ∞) en gekozen bereik B =

(− 12π, 1

2π).

Zoals we hiervoor bepaald hebben welke mogelijke uitkomsten er waren bij sin x = −12

√3, zo

kunnen we nu een uitkomst geven van arcsin(− 12

√3).

Het grote verschil is dat we nu maar één uitkomst hebben, logisch omdat dit eigen is aan hetfunctiebegrip.

Daarom:

arcsin(−12

√3) = −

13π.

56

Geef telkens de uitkomst uitgedrukt in π (radialen).

Serie A

1. arcsin( 12) =

2. arccos(− 12

√2) =

3. arctan(√

3) =

4. arccos( 12

√3) =

5. arctan(1) =

6. arcsin(−1) =

7. arccos( 12

√2) =

8. arctan( 13

√3) =

9. arcsin(0) =

10. arccos(−1) =

Serie B

1. arccos( 12) =

2. arcsin(− 12

√2) =

3. arctan(−√

3) =

4. arcsin( 12

√3) =

5. arccos(1) =

6. arctan(−1) =

7. arcsin( 12

√2) =

8. arccos( 12

√3) =

9. arctan(0) =

10. arcsin(−1) =

57

15. Antwoorden

Hoofdstuk 15

Antwoorden

2.1 Machten

Serie A

1. p16q16

2. a11b5

3. −49 c−1d10

4. −27a3b32

5. 2√

2ab

6. 2p14 q

512

7. −3a−3b−8

8. 1214 ab

34

9. 32 a−

83 b

73

10. 2−54 a

14

Serie B

1. p18q16

2. −b5

3. −827 c2d13

4. −32a5b152

5. 3√

2ab

6. 2p−12 q

56

7. −3a−1b4

8. ( 83)

112 a

112 b

16

9. 32 a−

175 b

52

10. 2−43 a

16

58

3.1 Herleiden

Serie A

1. 9a2− 6ab + b2

2. 9a2− 12a3

+ 4a4

3. 162 − 108√

2

4. 3m2− 5mn − 2n2

5. 2√

3 + 6

6. 9a4b6− 2a6b4

+19 a8b2

7. 21 − 12a2

8. 7b − 7a + ab + 6a2− 2b2

− 5

9. 165

10. 81a4− 1

Serie B

1. 9a2− 12ab + 4b2

2. 9a2− 12a4

+ 4a6

3. 147 − 36√

5

4. 6m2− 5mn − 6n2

5. −3√

5 − 8

6. 116 a4b2

− a6b4+ 4a8b6

7. 30 − 12a2

8. 14b − 5a − 5ab + 6a2− 6b2

− 4

9. 45

10. 16a4− 1

3.2 Herleiden

Serie A

1. (2x − 3)(2x + 3)(4x2+ 9)

2. 3x3(x + 3)(x − 7)

3. (x − 1)(x + 1)(x2+ 1)(x4

+ 1)(x8+ 1)

4. (x2− 2)(x2

+ 3)

5. (x − 2)(x − 17)

6. (x + 2)(x − 17)

7. (x − 1)2

8. (x − 1)(x + x2+ 1)

9. (5x + 1)(x − 5)

10. (x3− 3)2

Serie B

1. (3x − 2)(3x + 2)(9x2+ 4)

2. 3x2(x − 1)(x − 4)

3. (x3− 2)(x3

+ 2)(x6+ 4)

4. (x2+ 4)(x2

− 5)

5. (x − 2)(x − 19)

6. (x + 2)(x − 19)

7. 2(x + 1)2

8. (x − 1)(x + x2− 1)

9. 4(4x + 1)(x − 4)

10. (x5+ 4)2

59

15. Antwoorden

3.3 Herleiden

Serie A

1. (3x − 2)(x − 6)

2. (x + 2)(2x + 3)

3. (3x2− 2)(x2

− 3)

4. (2x + 3)(5 − x)

5. (2x2− 3)(x2

+ 1)

6. (x − 1)(x − 4)(x + 1)

7. (x − 3)(2x2+ 1)

8. (x + 5)(x − 2)(x + 2)

9. (2 − x)(3x2− 2)

10. x(x3− 3)(x3

+ 5)

Serie B

1. (3x − 5)(x − 3)

2. (x + 3)(2x + 3)

3. (3x2− 4)(x2

− 3)

4. (x + 3)(7 − 2x)

5. 2(x2+ 2)(x − 1)(x + 1)

6. (x − 1)(x − 8)(x + 1)

7. (x − 4)(3x2+ 2)

8. (x + 5)(3x2− 4)

9. (2 − x)(2x2− 3)

10. x2(x3+ 2)(x3

− 6)

4.1 Rationale breuken

Serie A

1. 2x2+2x+3

(2x−1)(x+1)

2. 2√

xx−1

3. 4x(x−1)(x+3)

4. −3(2x2

−3x−3)(x−1)(x+3)

5. 3x−2(x+1)(2x+3)

6. 2x−32(x−2)

7. x+6(3−x2)(2x+1)

8. x2+1

(x+1)3

9. 2x2−x+1

(x−1)2(x+1)

10. 2x2+11x−3

2x(x+3)

Serie B

1. −2(2x2

−2x−1)(2x−1)(x+1)

2. 2√

2x2x−9

3. 4x2+3x−6

(x2−3)(2x+3)

4. 3(2x2−x+2)

(x−1)(x+2)

5. (x−2)(7x+4)(x2+1)(2x+3)

6. 2x−32(x+3)

7. −7x

(x−3)(2x+1)

8. x2+1

(x−1)3

9. 2x+1(x−1)(x+1)

10. x2−2x+6

x(x−3)

60

5.1 Goniometrie

Serie A

1. −12

√3

2. −1

3. −12

√3

4. 12

√3

5. 1

6. −1

7. 12

√2

8. −13

√3

9. −12

10. −12

√2

Serie B

1. −12

2. −12

√2

3. −13

√3

4. −12

5. 12

√2

6. niet gede�nieerd.

7. 12

√2

8. −12

√3

9. −√

3

10. −12

√3

6.1 Goniometrische formules

1. We hebben:

sin(x − y) = sin(x + (−y)) = sin x cos(−y) + cos x sin(−y) = sin x cos y − cos x sin y

cos(x + y) = sin( 12π − x − y) = sin(( 1

2π − x) − y)

= sin( 12π − x) cos y − cos( 1

2π − x) sin y = cos x cos y − sin x sin y

cos(x − y) = cos(x + (−y)) = cos x cos(−y) − sin x sin(−y) = cos x cos y + sin x sin y

2. We hebben:

tan(x + y) =sin(x + y)

cos(x + y)=

sin x cos y + cos x sin ycos x cos y − sin x sin y

(deel boven en onder door cos x cos y)

=tan x + tan y

1 − tan x tan y

tan(x − y) = tan(x + (−y)) =tan x + tan(−y)

1 − tan x tan(−y)=

tan x − tan y1 + tan x tan y

61

15. Antwoorden

3. We hebben:

sin 2x = sin(x + x) = sin x cos x + cos x sin x = 2 sin x cos x

cos 2x = cos(x + x) = cos x cos x − sin x sin x = cos2 x − sin2 x =

= (1 − sin2 x) − sin2 x = 1 − 2 sin2 x = cos2 x − (1 − cos2 x) = 2 cos2 x − 1

tan 2x = tan(x + x) =tan x + tan x

1 − tan x tan x=

2 tan x1 − tan2 x

4. We hebben:

cos(x −16π) = cos x cos

16π + sin x sin

16π

Omdat x in het eerste kwadrant ligt is ook sin x =12

√2.

cos x cos 16π = sin x sin 1

6π =12

√2 ·

12

√3 +

12

√2 ·

12 =

14

√6 +

14

√2

5. We hebben:

cos 2x = 1 − 2 sin2 x =13

⇒13

= 1 − 2 sin2 x ⇒ sin2 x =13

⇒ sin x = ±13

√3

Omdat x ∈12π, π geldt: sin x =

13

√3

6. We hebben:

tan2 x + 1 =1

cos2 x=

169

⇒ tan2 x =79

⇒ tan x = ±13

√7

Omdat x ∈ 0, 12π geldt: tan x =

13

√7 en dus

tan 2x =2 tan x

1 − tan2 x=

23

√7

1 −79

=23

·92

√7 = 3

√7

62

6.2 Goniometrische formules

Serie A

1. (2 cos x + 1) sin x

2. 2 sin x cos y

3. (1 − sin x)(1 + sin x) = cos2 x

4. sin x(sin x + 2 cos x)

5. 2(cos x − 1)(cos x + 1) = −2 sin2 x

6. (sin x − 1)(sin x − 4)

7. (cos x + 1)(6 − cos x)

8. 12

√2 +

√2

9. 2 sin x

10. 12 , −

12 en 2

Serie B

1. 2 sin x(sin x − cos x)

2. (cos x − 1)(cos x + 1) = − sin2 x

3. (cos x − 2 sin x) cos x

4. −2(sin x − 2)(sin x + 2)

5. (sin x + 2)(sin x − 3)

6. (sin x + 2)(5 − sin x)

7.

∣∣∣∣1 − cos xsin x

∣∣∣∣8. 1

2

√2 −

√2

9. cos2 2x

10. −1, 1, − 12π of 1, −1, 1

2π

63

15. Antwoorden

7.3 Di�erentiëren

Serie A.

1. 30(1 − 2x)4

2. −1

(x2 − 1)32

3. 6x(x2− 5)−2

4. −27(3x − 1)−4

5. 4 ln 3 · 32x

6. 4xex2−1

7. ln(3x + 4) +3x

3x + 4

8.1

x + x2

9. x2· 22x(2x ln 2 + 3)

10. 32

9x − 2√

3x − 1

11.1

x(ln x − 1)2

12. ex(x2− x − 3)

13. 3(tan2 x)(tan2 x + 1)

14.2

sin 2x + 1

15. −cos x

cos2 x − 1

Serie B

1. 2 ln x + 2 ln 3 + 2

2.1 − ln x

x2

3. cos 2x(sin 2x)−12

4. −3x(3x2+ 1)−

32

5. 7(x − 1)−2

6. −2 cos(4x +16π)

7.2 ln x sin x − x ln2 x cos x

x sin2 x

8. (x2+ 1)−

32

9. 3(6x − 2)−1

10. 2 sin(2x)e− cos 2x

11. −e−x

12.4 ln3 x

x

13. sin x(2 cos2 x − sin2 x)

14.cos x − cos 2x(1 − cos x)2

15.sin x

sin2 x − 1

64

8.1 Primitiveren

Serie A

1. 18(2x − 1)4

2. −13(5 − x)3

3. 29(3x − 4)

32

4. −16(2x + 3)−3

5. −12 cos 2(x −

16π)

6. 2√

x + 3

7. 12 x2

+ ln |x |

8. − cos x +13 e3x

9. tan x − x

10. − ln |x −32 |

Serie B

1. 112(3x + 2)4

2. −16(8 − 2x)3

3. 13(2x − 3)

32

4. 18(2x − 1)−4

5. 2 sin 12(x −

13π)

6. 4√

x − 5

7. 13 x3

− ln |x |

8. 12 sin 2x +

12 e2x

9. x + tan x

10. − ln |x −23 |

9. Oefening gra�eken tekenen

x

f HxL

O-2

f HxL = Hx + 2L4

x

f HxL

O

3

7

2

f HxL = Hx - 2L2 + 3x

f HxL

8

2f HxL = 8 - x3

x

f HxL

O-3

9

f HxL = x2+ 6 x + 9

x

f HxL

O-1

f HxL = 6 Hx + 1L5

A1 A2 A3 A4 A5

65

15. Antwoorden

x

f HxL

O

f HxL =

1��

x

x

f HxL

O

-2

2

f HxL =

4��

x - 2

x

f HxL

O

3

3

f HxL = 3 +

1��

x - 3

x

f HxL

O

f HxL =

3��

x2

x

f HxL

O

1

2 4

f HxL =

4��

H2 - xL2

B1 B2 B3 B4 B5

x

f HxL

O

1

f HxL = 2x

x

f HxL

O

3

f HxL = 3 + 2-x

x

f HxL

O

1

f HxL = 1 + 2x-2

x

f HxL

O

-1f HxL = -1 + 3-x

x

f HxL

O

1�ã

f HxL = ãx-1

C1 C2 C3 C4 C5

x

f HxL

O 1

f HxL =

2logHxL

x

f HxL

O-1-2

f HxL =

2logHx + 2L

x

f HxL

O

1

f HxL = logHx2L

x

f HxL

O 1

f HxL = 2 logHxL

x

f HxL

O ã ã + 1

f HxL = 2 lnHx - ãL

D1 D2 D3 D4 D5

x

f HxL

O

2

f HxL = �!!!

x + 2

x

f HxL

O

4

4

f HxL = 4 - 2�!!!

x

x

f HxL

O

2

4

-4

f HxL = �!!!!!!!!!!!

x + 4 + 2

x

f HxL

O

f HxL =

�!!!x

3

x

f HxL

O

-1

1-1

f HxL =

�!!!!!x2

6- 1

E1 E2 E3 E4 E5

66

x

f HxL

O Π

��

32 Π

��

3

1

-1

f HxL = sinH3 xL

x

f HxL

O 1��

23��

2

2

-2

f HxL = 2 cosHΠ xL

x

f HxL

O 1 7

20

4

f HxL = 8 sinJ 1��

3Π Hx - 1LN + 12

x

f HxL

O Π

��

3Π

5

1

f HxL = 3 - 2 cosJ3 Jx -

Π

��

3NN

x

f HxL

O 10-10

2

-4

f HxL = -3 sinJ 1��

10Π Hx + 5LN - 1

F1 F2 F3 F4 F5

10.1 Polynoomvergelijkingen

Serie A

1. {x = −4}, {x =12}

2. {x = 1}, {x = −1}, {x =√

6},

{x = −√

6}

3. {x = 0}, {x = 1}, {x = 6}

4. {x =√

7}, {x = −√

7}

5. {x = 0}, {x = 0}, {x = −3}, {x = 13}

6. {x = 5}, {x = −4}, {x = 3}

7. {x = 1}, {x = 2}, {x = 3}

8. {x = 2}, {x =13}, {x = −2}

9. {x = 2}, {x = −12}, {x = −2}

10. {x = 2}, {x = −2}, {x =√

2},

{x = −√

2}

Serie B

1. {x = −3}, {x =23}

2. {x =√

6}, {x = −√

6}

3. {x = 0}, {x = 0}, {x = −2}, {x = 12}

4. {x = 2}, {x = −2}

5. {x = 0}, {x = 0}, {x = −3}, {x = 11}

6. {x = 2}, {x = −1}, {x = −1}

7. {x = −2}, {x =23}

8. {x = −3}, {x = 3}, {x = 4}

9. {x = −2}, {x = 3}, {x = 3}

10. {x = 2}, {x =13}, {x = −1}

67

15. Antwoorden


Serie A

1. −5, 5

2. (−∞, 2 ∪ 4, ∞)

3. 32 ,

52

4. (2, ∞) ∪ (−∞, −4)

5. ∅

6. (5, ∞) ∪ (−∞, −7)

7. {4} ∪ −2, 2

8. (−∞, 76)

9. {4} ∪ −6, 3

10. 1, 2

Serie B

1. 4, ∞) ∪ (−∞, −4

2. −43 ,

43

3. (−∞, 53 ∪

73 , ∞)

4. (3, ∞) ∪ −∞, −5)

5. (−∞, 16)

6. 2, ∞) ∪ (−∞, −5

7. −3, 3

8. (−1, 53) ∪ (3, ∞)

9. {2} ∪ (−∞, 1 ∪ 3, ∞)

10. −2, 0 ∪ 2, 3


Serie A

1. {x = −4}

2. {x = 0}, {x = −1}

3. {x =√

2 + 1}, {x = 1 −√

2}

4. {x =√

3}, {x = −√

3}

5. {x = −1}, {x =12}

6. {x = 1}, {x =72}

7. {x = 1}, {x = 1}

8. {x = −59}, {x = 3}

9. {x = −65}, {x = −

12}

10. {x = −85}, {x = 2}

Serie B

1. {x = −2}, {x = 3}

2. {x = 3}

3. {x = 2√

3 − 3}, {x = −2√

3 − 3}

4. {x =23}

5. {x = −23}, {x = 2}

6. {x = −2}, {x = 7}

7. {x = −4}, {x = 3}

8. {x = −10}, {x = 2}

9. {x = 2}

10. {x = −1}, {x = 1}, {x = 1}

68


Serie A

1. (−1, 5

2. (−∞, −4) ∪ (7, ∞)

3. 23 , 2 ∪ (3, ∞) ∪ (−∞, − 1

2)

4. (−∞, −2) ∪ (− 32 , ∞)

5. (2, 5 ∪ ( 12 , 1

6. (0, 2 ∪ (3, ∞) ∪ (−∞, −3

7. −1, 1) ∪ 2, ∞)

8. (1, 2) ∪ (−∞, 0) ∪ (2, ∞)

9. (1, 3) ∪ (9, ∞)

10. (2, 3) ∪ (0, 23)

Serie B

1. (3, 7) ∪ (−∞, −4)

2. (−3, 3)

3. (2, ∞) ∪ (−∞, 1

4. (−∞, −1) ∪ 5, ∞) ∪43 ,

52)

5. −2, −1 ∪ (1, ∞) ∪ (−∞, −4)

6. (−4, −1 ∪ 0, ∞)

7. (4, 6) ∪ (−∞, −3) ∪ (13, ∞)

8. ( 13 , 2 ∪ (− 1

2 ,14

9. (√

2, 2 ∪ −2, −√

2)

10. (4, 6) ∪ (−∞, −3) ∪ (13, ∞)


Serie A

1. {x = 5}

2. {x =12}

3. {x = 4}

4. {x = 2}, {x = 3}

5. {x = 3}

6. {x = 0}, {x = 4}

7. {x = 3}

8. {x = 2}

9. {x = 1}, {x = 2}

10. {x = ln 2}

Serie B

1. {x = −1}

2. {x = −14}

3. {x = −2}

4. {x = 1}, {x = 2}

5. {x = 1}

6. {x = 1}, {x = 2}

7. {x =19}

8. {x = −4}

9. {x = 2}

10. {x = 2}

69

15. Antwoorden


Serie A

1. (−1, ∞)

2. 1, ∞)

3. (−∞, 2) ∪ (3, ∞)

4. 35 , ∞)

5. (−∞, 2 ∪ 3, ∞)

6. (−∞, 0) ∪ (1, ∞)

7. (−∞, 2)

8. (−∞, 1 ∪ 2, ∞)

9. ( 12 , ∞)

10. (−∞, 0)

Serie B

1. 1, ∞)

2. 1, ∞)

3. 32 , 2)

4. −52 , ∞)

5. (−∞, 0 ∪ (3, ∞)

6. (1, 2)

7. (−∞, 3)

8. −∞, 0

9. (−∞, 0) ∪ (1, ∞)

10. (0, ∞)


Serie A

1. {x =√

2}

2. {x = 5}

3. {x = 1}, {x = 6}

4. {x = 2}

5. {x = 3}

6. {x = 10 − 10√

2}, {x = 10 + 10√

2}

7. {x = 5}

8. {x = 199}

9. {x = 100}, {x = 1000}

10. {x = e},{x = e−3}

Serie B

1. {x =32}

2. {x = 3}

3. {x = e/(e2− 1)}

4. {x = 1}, {x = 4}

5. {x = 2}

6. {x =52}

7. {x = 7}

8. {x = −79}

9. {x = 10}, {x = 100}

10. {x = −3}

70


Serie A

1. (− 12 , 12

2. (−∞, −1) ∪ (4, ∞)

3. −3, −1) ∪ (5, 7

4. (0, e−2) ∪ (e2, ∞)

5. (6, 9

6. (−3, 0) ∪ (0, 3)

7. (−∞, e −√

e) ∪ (e +√

e, ∞)

8. (0, 13) ∪ (1, ∞)

9. (1, 2

10. (−∞, −6 ∪ 2, 6)

Serie B

1. −1, 0) ∪ (1, 2

2. −8, −6) ∪ (0, 2

3. −1, −1) ∪ (7, 9

4. (e−1, e2)

5. (2, 4)

6. (3, e + 3

7. (−∞, 32)

8. (−4, −3 ∪ (−1, ∞)

9. (3, 4)

10. (0, 1) ∪ (3, ∞)

71

15. Antwoorden


Serie A

1. {2kπ} ∪ {13π +

23 kπ}

2. {13 kπ}

3. {25 kπ} ∪ {

32π + 2kπ}

4. {15π +

25 kπ}

5. {12π + 2kπ}

6. {kπ} ∪ {14π + kπ}

7. {kπ} ∪ {16π + kπ} ∪ {

56π + kπ}

8. {12π + kπ} ∪ {

14π +

12 kπ}

9. {13π + kπ} ∪ {

23π + kπ}

10. {18π +

12 kπ}

11. {14π + kπ} ∪ {

12π + kπ}

12. {76π + 2kπ} ∪ {

116 kπ + 2kπ}

13. {kπ}

14. {14π +

12 kπ}

15. {12π + kπ} ∪ {

14π +

12 kπ}

Serie B

1. {2kπ} ∪ {25 kπ}

2. {kπ} ∪ {14π +

12 kπ}

3. {23 kπ}

4. {kπ} ∪ {14π +

12 kπ}

5. {38π +

12 kπ}

6. {12π + kπ} ∪ {

14π + kπ}

7. {kπ}

8. {16π +

13 kπ}

9. {13π +

23 kπ}

10. {16π + kπ} ∪ {

56π + kπ}

11. {16π + 2kπ} ∪ {

56π + 2kπ}

12. {14π + kπ} ∪ {

12π + kπ}

13. {14π + kπ} ∪ {

12π + kπ}

14. {23 kπ}

15. {34π + kπ}

72


Serie A

1. {x = 6}

2. {x = 13}

3. {x = 3}, {x = 11}

4. {x =314 }

5. {x = 12}, {x = 0}

6. {x = −3}, {x = 1}, {x = −1}

7. {x = 2√

3}, {x = −2√

3}

8. {x = 1}

9. {p = 4 − 2 3√

2}

10. {p = −1}

Serie B

1. {x = 12}

2. {x = 7}

3. {x = 10}, {x = 2}

4. {x = 9}

5. {x = 4}

6. {x = 0}, {x = 6}

7. {x =√

3}, {x = −√

3}

8. {x = 4}

9. {x = 7}

10. {p = 2}


Serie A

1. 9, ∞)

2. −6, 30)

3. (−5, 0)

4. −12 , 4

5. (−∞, 83) ∪ ( 10

3 , ∞)

6. 2, 5)

7. 4, ∞)

8. 43 , 4

9. (0, 1) ∪ (4, ∞)

10. −1, 3) ∪ (8, ∞)

Serie B

1. 3, 4) ∪ (4, ∞)

2. 3, 7)

3. (2, 4

4. 4, 8

5. (−∞, 2) ∪ (4, ∞)

6. (1, 3)

7. 5, ∞)

8. 72 , 64

9. (−√

5, −1) ∪ (1,√

5)

10. 3, 4) ∪ ( 214 , ∞)

73

15. Antwoorden

11.1 Noemer wortelvrij maken (extra stof)

Serie A

1. 2√

3 − 3

2. 13

√3 −

13

√6

3. 56

√3

4. 23

√3 + 1

5. 2√

6 + 5

6. 12

√2 +

13

√3

7. 1

8. 3 − 2√

2

9.√

2 + 1

10. 15

√5 − 2

√2 − 2

Serie B

1. −14

√5 −

54

2. 12

√2 −

12

√6

3. 110

√5

4.√

3 +√

2

5. 73 −

23

√10

6. 217

√3 +

417

√5

7. 12

8. 649

√2 +

1149

9. 12

√3 +

12

10. 23

√3 −

34

√5 −

34

12 Breuksplitsen A (extra stof)

Serie A

1. (x − 3)−1− 2(2x − 1)−1

2. 12(x − 1)−1

−12(x + 1)−1

3. 3(x − 3)−1− (x − 1)−1

4. 13(x + 1)−1

+23(x − 2)−1

5. 2(x − 2)−1

6. 2(x − 2)−1+ 4(x − 2)−2

7. 13(3x − 1)−1

+133 (3x − 1)−2

8. 2(x − 1)−1+ 1

9. 2(x − 1)−1+ 2(x − 1)−2

10. 1 − 3(x2+ 1)−2

− 2(x2+ 1)−1

Serie B

1. 2(2x + 1)−1− (x + 3)−1

2. 16(2x − 3)−1

−16(2x + 3)−1

3. (x + 1)−1+ 3(x − 3)−1

4. 65(x + 2)−1

+95(x − 3)−1

5. 3(3 − x)−1

6. 6(x − 3)−1+ 18(x − 3)−2

7. 12(2x − 1)−1

+92(2x − 1)−2

8. 4(x − 2)−1+ 1

9. 6(x − 3)−1+ 18(x − 3)−2

10. 1 − 6(x2+ 3)−1

74

13 Breuksplitsen B(extra stof)

Serie A

1. 6x − 5

2. 2x + 17 + 17(2x − 1)−1

3. x − 1

4. x +12(x − 1)−1

+12(x + 1)−1

5. x + x2+ x3

+ 1

6. −x − 3

7. 2x − 2 + 3(x − 1)−1

8. x2− 2x + 1 = (x − 1)2

9. x − 2 + (7x − 10)/(x2− 4)

= x + (x − 2)−1+ 6(x + 2)−1

− 2

10. x2− 2x + (x2

+ 1)−1

Serie B

1. 4x + 5

2. 2x + 9 + 9(2x − 1)−1

3. x + 7

4. x2− 1 + (x2

+ 1)−1

5. x3− 2x2

+ 4x − 8

6. x − 1

7. 2x + 5(x − 2)−1

8. x2− 4x − 3

9. 2x − 2 + (5x − 3)/(x2− 1)

10. x2+ 2x + (1 − 4x)/(x2

+ 1)

14 Cyclometrische functies (extra stof)

1. De gra�ek van y = sin x kon gespiegeld worden in de lijn y = x waarbij de beeld�guureen gra�ek van een functie bleef als we voor x het domein −

12π, 1

2π kozen. Bij datdomein hadden we te maken met een gra�ek die overal stijgend is.

Het moet geen probleem zijn dat dit ook geldt voor een gra�ek die overal daalt. Dusmet een domein 1

2π, 32π zou de beeld�guur ook een gra�ek van een functie zijn.

Dit is met een gra�sche rekenmachine te controleren door voor de TI-83 in te voeren:

y1=sin(x)

en dan met DrawInv y1 uit het Draw-menu te kijken naar de gespiegelde gra�ek.Datzelfde kun je gaan controleren voor y = cos x binnen 0, π .

2. Zie boven.

75

15. Antwoorden

14 Cyclometrische functies (extra stof)

Serie A

1. 16π

2. 34π

3. 13π

4. 16π

5. 14π

6. −12π

7. 14π

8. 16π

9. 0

10. π

Serie B

1. 13π

2. −14π

3. −13π

4. 13π

5. 0

6. −14π

7. 14π

8. 16π

9. 0

10. −12π

76

dictaat Rekenvaardigheden

Documents

Transcript of dictaat Rekenvaardigheden