Wi1605

Caleidoscoop Deel 2A: Wiskunde en Samenleving editie 2010 dr. E.Glas TUDelft, faculteit EWI

4

5

Inhoud I. Problemen en de ontwikkeling van wiskunde 1. Inleiding 7 2. Oorsprong van de wiskundige theorie 8 3. Wiskundig inzicht: een opvoedkundige dialoog 9 4. Herziening van begrippen 14 5. Bedrieglijkheid van de verschijnselen 17 6. Het redden der verschijnselen 18 7. Axiomatiek: het Euklidische systeem 20 8. Wiskunde en mechanica: Archimedes 22 9. Wiskunde en kosmografie: Ptolemaios 24 10. De Ouden voorbij 26 II. Organisatie van de wiskunde 1. Inleiding 29 2. Modernisering van de wetenschap 29 3. Wetenschappelijke hervorming 31 4. Idolen 32 5. Inductieve methode 33 6. Wetenschap als collectieve onderneming 34 7. Baconiaanse wetenschap 37 8. Wetenschap als kennisindustrie 38 9. Regels van Merton 40 III. Een werkstuk maken 1. Gebieden voor keuze onderwerp werkstuk 49 2. Studietaak 50 3. Stappenplan 51 4. Opbouw van het verslag 52 5. Vormgeving van het verslag 54 6. Beoordeling 58

6

7

Wiskunde en Samenleving

I. Problemen en de ontwikkeling van wiskunde 1. Inleiding Sommige wiskundige begrippen lijken in eerste aanleg ontleend aan vormen en pa-tronen in de natuur. De omtrek van de volle maan suggereert bijvoorbeeld de cirkel, de waterspiegel het platte vlak. Maar afgezien van de oorsprong van sommige ter-men kan men toch nauwelijks van ‘wiskunde’ spreken vóórdat dergelijke begrippen daadwerkelijk werden gebruikt in de praktijk van het meten en tellen. Wiskunde is in die zin niet voortgekomen uit passieve waarneming, maar uit de actieve aanpak van praktische problemen.

In vrijwel alle culturen zijn wiskundige technieken en stelsels van regels of voorschriften ontwikkeld voor de aanpak van allerhande praktische opgaven. De Egyptenaren, bijvoorbeeld, beschikten over een (land-) meetkunde die hen in staat stelde na de jaarlijkse overstroming van de Nijl de landerijen opnieuw in kaart te brengen. Deze meetkunde had dus een juridische functie bij het opnieuw vaststellen van de landeigendomsrechten nadat de rivier de fysieke afgrenzingen had uitgewist.

Het getalbegrip is vermoedelijk voortgekomen uit de praktijk van het ‘tur-ven’ van eenheden uit een veelheid (bijvoorbeeld stuks vee uit een kudde). Om te kunnen vergelijken zullen de ‘turven’ in groepjes en volgens bepaalde patronen zijn geordend, en zo kunnen de eerste rekenkundige waarheden zijn ontdekt. Ook de Griekse wiskunde is begonnen met de figuratieve voorstelling van getallen als (steentjes)patronen, waarvan zodadelijk voorbeelden zullen worden gegeven. Ter-wijl echter buiten de Griekse cultuurkring wiskunde een regelgeleide praktijk bleef waaraan geen abstracte theorie werd opgehangen, zijn de Grieken ertoe overgegaan de mathematische ‘objecten’ (getallen, figuren) uit de handelingspraktijk los te ma-ken om er vervolgens abstracte beschouwingen aan te gaan wijden.

Delen van de inhoud van de meetkunde die door de Grieken in de vorm van een exacte theorie is gebracht waren al honderden jaren bekend bij de Babyloniërs, lang voordat de Egyptenaren er kennis van kregen. Dit weten wij dankzij de duur-zaamheid van kleitabletten en de ontcijfering van het spijkerschrift erop. De Ba-byloniërs treden uit deze bronnen naar voren als meesters in het rekenen. Zij hebben ‘algoritmen’ (voorschriften, regels) ontwikkeld voor de afwikkeling van ingewik-kelde algebraïsche en aritmetische vraagstukken, bijvoorbeeld vergelijkingen tot zelfs van de derde graad. Die algoritmen vinden wij echter niet formeel omschreven, doch moeten worden gereconstrueerd uit lange tabellen met cijfers, die blijkbaar met

8

behulp van algoritmen zijn berekend en die ongetwijfeld voor uiteenlopende prak-tische zaken zijn gebruikt. Ook zijn er vele teksten bekend die meetkundige zaken behandelen (de stelling van Pythagoras werd bijvoorbeeld al veelvuldig gebruikt), maar net als in Egypte was deze meetkunst volstrekt praktisch georiënteerd. Veel-zeggend in dit verband is dat goede benaderingen en exacte resultaten niet prin-cipieel van elkaar werden onderscheiden. Dit onderscheid, dat zoveel als het verschil tussen praktische kunst en theoretische kennis uitmaakt, bestond in de wereld van de Babyloniërs evenmin als in Egypte. 2. Oorsprong van de wiskundige theorie In de Griekse wereld gaat de wiskunde terug tot Thales en Pythagoras, die omstreeks de zesde of zevende eeuw voor onze jaartelling geleefd zouden hebben. Het betreft niet meer dan namen waaromheen tal van mythen zijn gesponnen. De naam van Py-thagoras bleef evenwel verbonden aan een historisch aanwijsbare school, die een aanvang maakte met de theoretische ontwikkeling van de wiskunde als een belang-rijk aspect van hun religieuze filosofie. De Pythagorische School was een besloten broederschap (bijna een kloosterorde), die zich had teruggetrokken uit het openbare leven. De wiskunde werd als een ‘vrije’ kunst beoefend en als zodanig scherp afge-zet tegen de ‘onvrije’ – want praktijkgebonden – wiskunde van de Babyloniërs en andere barbaren.

Muziek speelde in de School een hoofdrol. Muziek nu heeft alles te maken met wiskunde. Zo berust bijvoorbeeld de werking van harp- of fluitachtige muziek-instrumenten op verhoudingen. Snaren of pijpen waarvan de lengten in de ver-houding 1:2 staan, brengen tonen voort die in octaafverhouding – de meest volmaak-te samenklank – staan; de reine kwint – het op één na meest ‘consonante’ interval – staat voor de verhouding 2:3, en zo verder. In het algemeen kan worden gezegd dat ‘mooie’ verhoudingen corresponderen met ‘mooie’ harmonieën: hoe mooier de ver-houdingen, des te harmonieuzer de samenklanken.

De Pythagoreeërs zagen in de sterrenhemel ook tal van mooie mathemati-sche verhoudingen, waaraan zij een hemelse muziek, de Harmonie der Sferen, toe-schreven. De muziek der sferen had een weerklank op aarde; de kosmische harmonie resoneerde als het ware in ieder ding. Alle relaties tussen dingen werden dan ook opgevat als (getals)verhoudingen.

Meetkundige en rekenkundige beschouwingen werden nauw aan elkaar ge-koppeld met behulp van zogenaamde gefigureerde getallen, dat wil zeggen: getallen voorgesteld door meetkundige patronen. Getallen waren ‘aantallen ..’, waarbij ‘..’ staat voor al datgene waarvan men een aantal kan hebben, en deze ‘puntjes’ kan men in geometrische patronen rangschikken. Zo kenden de Pythagoreeërs vierkante ge-tallen (kwadraten), rechthoekige (deelbare) en rechtlijnige (ondeelbare) getallen en

9

nog meer. Met behulp van gefigureerde getallen ontdekten zij tal van getalwetten, bijvoorbeeld:

1+2+3+...+n=½n(n+1) 1+3+5+...+(2n-1)=n2 Opgave 1 1. Bewijs deze twee wetten. 2. Bedenk zelf een patroon waarvan kan worden afgelezen dat 2+4+6+..+2n=n(n+1), en geef een bewijs. Getallen waren dus voor de Pythagoreeërs ‘aantallen’. In deze uitdrukkingswijze komt uiteraard geen 0 te pas. Evenmin is 1 een getal: het is een teken dat staat voor de eenheid waarvan een aantal wordt genomen. Een getal ‘kleiner dan 1’ is al hele-maal onzin als men ‘getal’ als ‘aantal’ opvat.

In hun wiskundige terminologie waren de verhoudingen tussen grootheden dus altijd de numerieke verhoudingen tussen de aantallen eenheden waarin die grootheden waren uitgedrukt. In het geval van lijnstukken, bijvoorbeeld, ging het om de aantallen lengte-eenheden. De ontdekking nu dat tussen sommige goed gedefini-eerde lijnstukken, zoals de diagonaal en de zijde van een vierkant, niet van zulke verhoudingen bleken te kunnen bestaan, bracht hun hele opvatting van wiskunde aan het wankelen. 3. Wiskundig inzicht: een opvoedkundige dialoog Het geval gaat terug op het allervroegste meetkundige bewijs dat ons schriftelijk is overgeleverd. Dit betreft de zogenaamde ‘verdubbeling van het vierkant’, die wij in een uitgesproken pedagogisch-filosofische context aantreffen in Plato’s dialoog Meno.

In de genoemde dialoog is de wijze Sokrates in gesprek met zijn gastheer Meno. Sokrates betoogt dat het onmogelijk is mensen iets te leren wat zij tevoren nog niet wisten (!) en gaat dit toelichten door een slaafje – een volstrekt onwetend schepsel – te ondervragen. Er ontspint zich het volgende boeiende gesprek. Sok: Welnu, jongen, je weet dat een vierkant er zó uitziet? Sl: Ja. Sok: En dat alle vier zijden gelijk zijn?

10

Sl: Ja. Sok: En dat deze lijnen door het midden ook gelijk zijn? Sl: Ja. Sok: Zo’n figuur kan groter of kleiner zijn, nietwaar? Sl: Ja. Sok: Als nu deze zijde 2 voet is, en deze zijde ook, hoeveel voet is dan het geheel? Laat ik het zo zeggen: als hij 2 voet was in deze richting en slechts 1 voet in die, moet dan de op-pervlakte niet eenmaal 2 voet zijn? Sl: Ja. Sok: Maar omdat hij ook in die richting 2 voet is, moet de oppervlakte tweemaal 2 voet worden, nietwaar? Sl: Ja. Sok: En hoeveel is tweemaal 2? Denk erover na en vertel het mij. Sl: Vier. Sok: Zou het mogelijk zijn een figuur te tekenen die dubbel zo groot is maar van dezelfde vorm, dus met vier gelijke zijden? Sl: Ja. Sok: Hoeveel voet zal de oppervlakte moeten zijn? Sl: Acht. Sok: Nu dan, probeer me eens te vertellen hoe lang de zijden zullen moeten zijn. Wat is de zijde van het dubbel-zo-grote vierkant? Sl: Het dubbele, Sokrates, dat ligt voor de hand. Sok: Je ziet, Meno, dat ik hem niets leer maar alleen vraag. Nu denkt hij dat hij de zijde van het achtvoetsvierkant weet. Meno: Ja. Sok: Maar weet hij het echt? Meno: Absoluut niet. Sok: Hij denkt dat hij tweemaal zo lang is als de andere. Meno: Ja. Sok: Let nu op hoe hij zich dingen in de goede volgorde gaat herinneren, de juiste wijze van herinneren. – Je zegt dat de zijde met dubbele lengte de dubbele oppervlakte oplevert? Ik bedoel zó, niet lang in deze richting en kort in die. Net als de eerdere figuur moet de nieuwe aan alle kanten gelijk zijn, maar de dubbele oppervlakte hebben, namelijk 8 voet. Denk even na of je nog steeds verwacht dit te bereiken door de zijde te verdubbelen. Sl: Ja, dat doe ik. Sok: Welnu, zullen wij een lijn van dubbele lengte krijgen als wij hem met zijn eigen lengte verlengen? Sl: Ja. Sok: Dus volgens jou moeten wij met deze lijn het vierkant van 8 voet verkrijgen, namelijk door vier zijden van deze lengte te nemen? Sl: Ja.

11

Sok: Laten wij er vier gelijke lijnen in trekken, met de eerste als basis. Geeft dit niet wat jij noemt het achtvoetsvierkant? Sl: Zeker. Sok: Maar bevat het niet deze vier vierkanten die elk gelijk zijn aan het oorspronkelijke vierkant van 4 voet? Sl: Ja. Sok: Hoe groot is het dan? Is het niet viermaal zo groot? Sl: Natuurlijk. Sok: En is viermaal hetzelfde als tweemaal? Sl: Natuurlijk niet. Sok: Hoeveel is het dan echt? Sl: Vier keer. Sok: Dus door de zijde te verdubbelen hebben wij de oppervlakte van de figuur niet verdub-beld maar verviervoudigd? Sl: Dat is waar. Sok: En vier maal vier is zestien, nietwaar? Sl: Ja. Sok: Hoe groot is de zijde van het vierkant van 8 voet dan wel? Deze met dubbele zijde heeft ons viermaal de oppervlakte van het origineel opgeleverd nietwaar? Sl: Ja. Sok: En de helft van de zijde gaf ons het vierkant van 4 voet? Sl: Ja. Sok: Goed. En is een vierkant van 8 voet niet tweemaal 4 en de helft van 16 voet? Sl: Ja. Sok: Moet dan de zijde niet groter zijn dan 2 maar kleiner dan 4 voet? Sl: Ik denk van wel. .... Sok: Probeer eens te zeggen hoe lang je denkt dat dat is. Sl: 3 voet. .... Sok: Als het vierkant 3 voet is in deze richting, en 3 voet in die richting, zal dan het oppervlak niet gelijk zijn aan driemaal 3 voet? Sl: Dat ziet er naar uit. Sok: En hoeveel is dat? Sl: 9 Sok: En hij moest zijn? Sl: 8 Sok: Dan hebben wij dus toch niet het gevraagde vierkant verkregen, zelfs niet door de zijde 3 voet te maken? Sl: Nee. Sok: Welke lengte moeten wij hem dan geven? Probeer het precies te zeggen. Als je het niet door optelling wilt doen, wijs het dan alleen maar aan in het diagram. Sl: Het heeft geen zin, Sokrates, ik weet het gewoon niet.

12

Sok: Merk op, Meno, welke fase hij bereikt heeft op de weg der herinnering. In het begin wist hij de zijde van het vierkant van 8 voet niet. Thans weet hij het natuurlijk evenmin, maar eerst meende hij het wel degelijk te weten en antwoordde hij onbekommerd, en te-recht: hij voelde geen verlegenheid. Nu echter is hij in verlegenheid. Niet alleen weet hij het antwoord niet; hij meent zelfs niet dat hij het weet. Meno: Volstrekt juist. Sok: Staat hij er dan nu niet gunstiger voor met betrekking tot wat hij niet wist? Meno: Ook dat geef ik toe. .... Sok: In feite hebben wij hem tot op zekere hoogte op weg geholpen om het juiste antwoord te vinden, want hij weet het niet en zal het graag uitzoeken. Tot dusver meende hij over het onderwerp van de verdubbeling van het vierkant bij allerlei gelegenheden met iedereen goed en vlot te kunnen meepraten, bewerende dat het een tweemaal zo lange zijde moest hebben. Meno: Ongetwijfeld. Sok: Denk je dan dat hij zich zou hebben ingespannen om datgene uit te zoeken of te leren wat hij dacht reeds te weten (al wist hij het niet) voordat hij in verlegenheid gebracht was, zich van zijn onwetendheid bewust werd, en het verlangen kreeg het te weten te komen? Meno: Nee. .... Sok: Let nu op wat hij, uitgaande van deze staat van verwondering, gaat ontdekken door samen met mij de waarheid te zoeken, hoewel ik hem eenvoudig vragen stel zonder hem iets te onderwijzen. Houd je gereed om mij te betrappen zodra ik hem enige aanwijzing of uitleg geef in plaats van alleen naar zijn eigen opinies te vragen. Zeg mij, jongen, is dit hier niet ons vierkant van vier voet? Begrijp je dat? Sl: Ja. Sok: En kunnen we er op deze manier nog een aan toevoegen dat net zo groot is? Sl: Ja. Sok: En hier nog een derde, even groot als alle andere? Sl: Ja. Sok: En dan kunnen wij deze in de hoek ook aanvullen? Sl: Ja. Sok: Dan hebben wij hier vier gelijke vierkanten? Sl: Ja. Sok: En hoeveel keer het oorspronkelijke vierkant is het geheel? Sl: Vier keer. Sok: Je herinnert je dat wij er één wilden dat tweemaal zo groot is? Sl: Ja. Sok: Welnu, deelt deze lijn van hoek naar hoek niet elk van de vierkanten door midden? Sl: Ja. Sok: En dit zijn vier gelijke lijnstukken die de oppervlakte begrenzen? Sl: Ja. Sok: Denk eens na. Hoe groot is die oppervlakte? Sl: Dat begrijp ik niet.

13

Sok: Hier zijn vier vierkanten. Heeft niet elk lijnstuk de binnenste helft van elk vierkant af-gesneden? Sl: Ja. Sok: En hoeveel van die helften zijn er in deze figuur? Sl: Vier. .... Sok: Hoe groot is deze figuur dan? Sl: Acht voet. Sok: Op welke basis? Sl: Deze hier. .... Sok: De technische naam is ‘diagonaal’; als we dus die naam gebruiken, dan is jouw per-soonlijke mening dat het vierkant op de diagonaal van het oorspronkelijke vierkant een tweemaal zo grote oppervlakte heeft. Sl: Dat is zo, Sokrates. Sok: Wat denk je, Meno? Heeft hij geantwoord met het geven van meningen die niet van hemzelf waren? Meno: Nee, het waren alle zijn eigen meningen. Sok: Toch waren wij het er zo-even over eens dat hij het niet wist. Meno: Dat is waar. Sok: Maar deze meningen waren ergens in hemzelf, nietwaar? Meno: Ja. Sok: Dus iemand die niet weet heeft in zichzelf ware meningen over een onderwerp zonder er kennis van te hebben? Meno: Daar ziet het naar uit. Sok: Thans hebben deze meningen, omdat zij nog maar net zijn ontwaakt, het karakter van een droom. Maar als hem deze vragen bij meerdere gelegenheden opnieuw, en in steeds an-dere vorm worden gesteld, zul je zien dat hij uiteindelijk kennis van het onderwerp blijkt te bezitten die op het punt van juistheid niet onderdoet voor de kennis van wie dan ook. Hoewel Sokrates in deze dialoog sprekend optreedt, is het een typisch geval van lite-raire fictie, omstreeks 385 v.C. door Plato neergeschreven. Terwijl de historische Sokrates zelf niet de minste zweem van wiskundige belangstelling vertoonde, zag Plato wiskunde als het maatgevende voorbeeld voor alle ware kennis. In de dialoog betoogt hij blijkbaar dat wiskundige objecten (getallen, figuren) niet door mensen zijn bedacht, maar op zichzelf bestaan en altijd al bestaan hebben. De menselijke geest, hoewel huizend in een stoffelijk lichaam, heeft kennelijk weet (ofschoon niet altijd even bewust) van deze op zichzelf bestaande Ideeënwereld. Door voortdurende zorg om het materiële bestaan is echter de ‘domme’ slaaf veel meer van zijn aange-boren kennis van deze ideële werkelijkheid vergeten dan de ‘wijze’ filosoof, die zich zo veel mogelijk met ideële, en zo min mogelijk met materiële zaken inlaat. Toch is kennis van de mathematische ideeën blijkbaar ‘ergens’ in de geest zelfs van een on-

14

wetende slaaf aanwezig, want anders zou deze kennis niet door alleen maar stimu-lerende vragen te stellen kunnen worden ‘opgewekt’, zoals de dialoog laat zien. 4. Herziening van begrippen In de dialoog speelt de ‘verdubbeling van het vierkant’ een centrale rol, en dit is een bijzonder geval van de stelling van Pythagoras. De meest natuurlijke volgende vraag voor de Pythagoreeërs was nu: als de kwadraten van zijde en diagonaal van een vierkant in de verhouding 1:2 staan, wat is dan de verhouding tussen de zijde en de diagonaal zelf? In hun wereldbeeld waren immers alle betrekkingen tussen ‘dingen’ in laatste instantie te herleiden tot verhoudingen tussen getallen!

Zij zouden echter ontdekken dat de gevraagde verhouding ‘onzegbaar’ en ‘ondenkbaar’ was. Hoe zij nu precies de irrationaliteit van ‘de vierkantswortel uit twee’ hebben aangetoond is niet meer te achterhalen, maar de filosoof Aristoteles bericht hierover als volgt:

Zij bewijzen dat de diagonaal en de zijde van een vierkant incommensurabel zijn door aan te tonen dat, indien zij commensurabel zouden zijn, oneven getallen gelijk aan even getallen zouden moeten zijn.

Wij kunnen hieraan de volgende interpretatie geven. Laat ons aannemen dat de ge-zochte verhouding p:q is; dan geldt dus p2=2q2 (p en q zijn uiteraard positieve gehele getallen). Nu bevat p2 blijkbaar een even aantal priemfactoren, want het is triviaal dat als men pp in factoren ontbindt, elke factor tweemaal, of een veelvoud van twee-maal, voorkomt. Om dezelfde reden is het aantal priemfactoren waarin q2 ontbonden kan worden eveneens even, waaruit volgt dat 2q2 een oneven aantal priemfactoren bevat, namelijk een even aantal plus één (de factor 2). Er kunnen dus geen getallen p en q bestaan zodanig dat p2=2q2.

Iets minder direct kunnen wij ook als volgt redeneren. Als de twee lijnstuk-ken in dezelfde maat gemeten zouden kunnen worden, moet er een grootste gemeen-schappelijke maat m bestaan, zodanig dat de diagonaal pm en de zijde qm lang is. p en q kunnen dan niet beide even zijn, want in dat geval zou 2m een grotere gemene maat zijn. Uit p2=2q2 volgt meteen dat p2 door 2 deelbaar moet zijn, en dus een vier-voud is. Maar dan is ook 2q2 een viervoud en q2 bijgevolg een tweevoud. En dit be-tekent weer dat q eveneens even moet zijn, in strijd met de aanname dat p en q niet beide even zijn.

De ‘betrekking’ (want van een ‘verhouding’ in pythagorische zin kan blijk-baar niet worden gesproken) tussen de zijde en de diagonaal van een vierkant werd ‘onzegbaar’ (illogisch), ‘redeloos’ (irrationaal) genoemd. Er bestaat geen lengtemaat waarin beide tegelijk kunnen worden uitgedrukt, zij zijn onderling onmeetbaar, ‘in-commensurabel’. Zodra men aan het ene lijnstuk een lengte heeft toegekend (door een bepaalde fractie ervan als lengte-eenheid te nemen), kan de lengte van het ande-

15

re niet meer (exact) door enig getal worden weergegeven!

Opgave 2 1. Bewijs op analoge wijze de irrationaliteit van √3, √6 en √8. 2. In ∆ABC zijn de hoeken bij A, B en C respectievelijk 900, 600 en 300. Toon aan dat de zijden AC en AB incommensurabel zijn. Alle bewijzen van de Pythagoreeërs die waren gebaseerd op verhoudingen en gelijk-heid van verhoudingen (evenredigheden), kwamen nu in de lucht te hangen. Precies het basisbegrip van hun wiskundige theorie, dat door zijn vermeende doorzichtig-heid moest dienen om de mathematische structuur van de Kosmos onwankelbaar te funderen, bleek zelf te wankelen.

Omtrent de reactie van de Pythagoreeërs op dit tegelijk fascinerende en scandaleuze probleem valt historisch vrijwel niets te zeggen. Schrijvers zoals Aris-toteles lijken incommensurabiliteit meer als een curiosum op te vatten dan als een serieus probleem voor de wiskunde. Inmiddels was er dan ook in het beeld van de wiskunde een grondige wijziging aangebracht, waardoor de crisis was bezworen.

De pythagorische theorie, waarin verhoudingen waren gedefinieerd als ge-talsverhoudingen tussen aantallen eenheden, had aanleiding gegeven tot subtiele maar ernstige problemen in verband met de gebleken incommensurabiliteit van som-mige grootheden. Het was dus nu de vraag of het mogelijk was een (nieuw) begrip ‘verhouding’ in te voeren dat ons in staat zou stellen de betrekkingen tussen groot-heden exact weer te geven zelfs wanneer die grootheden incommensurabel zijn! De-ze vraag werd opgepakt, en doeltreffend beantwoord, door de Atheense wiskundige Eudoxos, tijdgenoot van Plato en verbonden aan diens filosofie-instituut (de ‘Akade-mie’).

Beschouw nevenstaande figuur. De opper-vlakten A en B van rechthoeken met gelijke hoogte h, verhouden zich als de lengten a resp. b van hun bases, want per definitie geldt: A=ah en B=bh.

Als a en b commensurabel zijn, bestaan er getallen n en m zodanig dat a:b=m:n, of-tewel na=mb, oftewel nah=mbh, oftewel nA=mB, waaruit volgt A:B=m:n=a:b. In-dien echter a en b incommensurabel zijn (bijvoorbeeld de zijde en diagonaal van een vierkant), bestaan er geen getallen m en n die aan deze voorwaarde voldoen. Noch van a:b, noch van A:B kan in dat geval worden gezegd wat zij ‘zijn’ – beide zijn ‘onzegbaar’, ‘onuitsprekelijk’ in de taal der wiskunde – terwijl het toch zo moet zijn dat ook in dat geval de evenredigheid A:B=a:b opgaat! Uiteindelijk gaat het dus om een uitspraak over de gelijkheid van ‘dingen’ die zelf ‘onuitsprekelijk’ zijn. Deze

16

uitspraak luidt als volgt:

Grootheden staan in dezelfde verhouding, de eerste tot de tweede en de derde tot de vierde, als gelijke veelvouden van de eerste en de derde tegelijk groter zijn dan, of ge-lijk zijn aan, of kleiner zijn dan gelijke veelvouden van de tweede en de vierde, als zij stuk voor stuk met elkaar worden vergeleken, welke veelvouden men ook neemt.

[A:B=a:b, dan en slechts dan wanneer voor elk willekeurig paar natuurlijke ge-tallen m,n geldt:

als nA>mB dan is na>mb als nA=mB dan is na=mb als nA<mB dan is na<mb]

Behalve gelijkheid, kon ook de ordening van verhoudingen nu exact worden be-paald:

a:b>c:d wanneer er natuurlijke getallen m en n bestaan zodanig dat ma>nb en mc<nd

‘Hoe groot’ een bepaalde verhouding is kan niet altijd exact worden gezegd, maar wij kunnen blijkbaar wèl exact zeggen wanneer de ene groter is dan de andere, en wanneer zij aan elkaar gelijk zijn. Wij vinden dan ook de volgende omschrijving:

Van grootheden die, verveelvoudigd, elkaar kunnen overtreffen, wordt gezegd dat zij tot elkaar in een zekere verhouding staan.

Eudoxos’ manier van werken toont in briljante helderheid wat de ‘uitbreiding’ van wiskundige begrippen nu eigenlijk inhoudt. Het begrip ‘verhouding’ werd als het ware opgerekt om de eerdere beperktheid te overwinnen, waarbij het ‘goede’ van de oudere theorie als ‘bijzonder geval’ bewaard bleef (namelijk het rationale geval na=mb). Vanuit het perspectief van dit nieuwe begrip kon incommensurabiliteit nu inderdaad als een curiosum worden beschouwd dat aan de ontwikkeling van de theo-rie verder geen onoverkomelijke moeilijkheden in de weg kon leggen.

Maar vanuit het gezichtspunt van de oudere, pythagorische theorie stond de zaak er heel anders voor! Precies het meest fundamentele uitgangspunt, namelijk dat de gehele wereld was opgebouwd uit getalsverhoudingen waarin de Harmonie der Sferen resoneerde, was niet meer te verdedigen.

Eudoxos beschouwde de wereld als een stelsel van welgeordende verhou-dingen tussen geometrische grootheden, niet getallen. Het aritmetische universum van de Pythagoreeërs werd vervangen door een bouwwerk opgetrokken uit meetkun-dige elementen. Niet-numerieke verhoudingen tussen grootheden-met-een-dimensie (lengtes, oppervlaktes, inhouden) werden voortaan gezien als de uiteindelijke ele-menten waarin de zichtbare werkelijkheid kon worden uiteengelegd. Het klassieke boek van Eukleides, De Elementen (waarover straks meer) was dan ook net zozeer een boek over kosmografie als over meetkunde.

17

5. Bedrieglijkheid van de verschijnselen In de mathematische praktijk kan nooit zoiets als ‘onmeetbaarheid’ aan de orde ko-men, want de lengte van ieder lijnstuk kan in elke eenheid worden uitgedrukt binnen willekeurig smalle nauwkeurigheidsmarges. De Babyloniërs beschikten bijvoorbeeld al over een verbluffend goede benadering van de waarde van √2. Binnen de prakti-sche context van hun rekenkunde was de ontdekking van de ‘irrationaliteit’ van deze wortel uitgesloten. Alleen binnen een theoretische context, zoals die van de onprak-tische speculaties van de Pythagoreeërs, kon dit theoretische probleem ontstaan. En de oplossing van dit probleem door Eudoxos betekende weer een belangrijke theore-tische vooruitgang.

Meteen al bij het begin van de ontwikkeling van de wiskundige theorie kwam dus aan het licht dat zaken wiskundig heel anders kunnen liggen dan wij op grond van zintuiglijke ervaringen zouden verwachten. Empirisch inzicht is onbe-trouwbaar. Afgaande op empirisch inzicht zou men bijvoorbeeld denken dat alle lijnstukken in elke maat gemeten moeten kunnen worden. Maar wij weten nu dat er onmeetbare lengtes bestaan. Evenmin is aanschouwelijkheid een waarborg voor wa-re inzichten. Sommige mathematische inzichten, bijvoorbeeld in ‘verhoudingen’, zijn zeer aanschouwelijk maar niettemin feilbaar.

De Grieken maakten dan ook een strikt onderscheid tussen ‘ware kennis’, die door zuiver redeneren wordt verworven, en ‘wankelbare mening’, die slechts op het wisselvallige en bedrieglijke karakter van de zintuiglijke gewaarwording berust. De absolute tegenstelling tussen de zintuiglijke ervaring, waarover men hoogstens een mening kan hebben, en het zuivere denken, dat alléén tot de waarheid kan lei-den, is met nietsontziende consequentie doorgevoerd door de zogenaamde ‘Eleati-sche School’. In moderne ogen zijn de Eleatische argumenten tegen de houdbaarheid van empirische overtuigingen op hun best in meer mathematisch toegespitste be-schouwingen. De zogenaamde ‘paradoxen van Zeno’ hebben op dit gebied terecht wereldvermaardheid verworven. Hier volgen er enkele.

Het pijlargument. Een vliegende pijl is op ieder moment precies op één plaats: het schijnbaar voortsuizende voorwerp staat dus in werkelijkheid op ieder moment (de hele tijd) stil!

Achilles en de schildpad. De spreekwoordelijk snelle Achilles treedt hier in het krijt tegen de even spreekwoordelijk trage schildpad. Hij is echter zo sportief de schild-pad een voorsprong te geven. Om deze te overbruggen heeft Achilles tijd nodig. De schildpad zit echter niet stil maar legt in diezelfde tijd ook een zekere afstand af. Zodra Achilles is aangekomen waar de schildpad begon, is de situatie dus weer vol-komen hetzelfde: de schildpad heeft nog steeds een voorspong. Nooit zal Achilles de schildpad kunnen inhalen, laat staan passeren!

18

In de genoemde gevallen werd uitgegaan van beweging om vervolgens aan te tonen dat onze voorstelling daarvan tot tegenstrijdigheden voert. Gaat men daarentegen uit van stilstand, dan kan worden ‘bewezen’ dat een voorwerp nooit van zijn plaats kan komen. Stel wij zijn op plaats A en willen naar plaats B, verschillend van A. Tussen A en B ligt altijd een derde punt, zeg C, waar wij eerst langs moeten. Tussen A en C ligt ook altijd een derde punt, zeg D; tussen A en D... enz. enz. Zeno’s argument is hier blijkbaar dat ieder lijnstuk, hoe klein dan ook, oneindig veel punten bevat, en dat het ondenkbaar is dat men in een eindige tijd oneindig veel stations kan passeren.

Deze en soortgelijke paradoxen werden geacht aan te tonen dat alle veranderingen, dus in feite alle verschijnselen, inderdaad slechts schijn zijn. Een voorname culturele functie van de wiskunde was in dit verband het zogenaamde redden der verschijn-selen, dat wil zeggen: laten zien dat achter de bedrieglijke en bedreigende chaos van veranderingen in de wereld een onveranderlijke en eeuwige mathematische orde schuilgaat. 6. Het redden van de verschijnselen In de waarneembare wereld is de sterrenhemel het ‘hoogste’, hetgeen voor een Griek betekende: het minst onderhevig aan verandering. De vaste sterren bewegen zich dan ook naar mathematisch voorschrift keurig eenparig in circulaire banen. Een een-parig wentelende bol blijft immers eeuwig volmaakt aan zichzelf gelijk.

Een probleem vormen echter de gedragingen van de planeten in dit model. Deze dwaalsterren lo-pen met onregelmatige snelheden langs kromme paden en wankelen zelfs jaarlijks enige tijd ach-teruit, niet bepaald de verheven gang van ‘he-melse’ objecten.

De eerdergenoemde Plato legde dit probleem voor aan de wiskundigen in de vol-gende karakteristieke bewoordingen:

Welke cirkelbewegingen, eenparig en volgens een vaste ordening, moeten worden aan-genomen om het mogelijk te maken de door de planeten vertoonde verschijnselen te red-den?

De schijnbare losbandigheid van deze hemelverschijnselen moest worden opge-heven door ze terug te brengen tot projecties van mathematisch betamelijke en orde-lijke, dus eenparige circulaire bewegingen. De planetenbewegingen werden als volgt gered door Eudoxos:

Baan van de planeet Mars

19

Ten opzichte van de vaste sterren legt de zon jaarlijks een baan af die weliswaar eveneens circulair is, doch met de draaiingsas iets ver-schoven ten opzichte van de noord-zuid as van de sterrensfeer. Deze onregelmatigheid wordt ‘gered’ door de zon te plaatsen op de evenaar van een eenparig wentelende bol die met zijn polen vastzit aan de vaste-sterrenbol op enige afstand van de hemelpolen.

Door slechts twee eenparige cirkelbewegingen te superponeren is zodoende het ver-schijnsel der jaargetijden afdoende ‘gered’.

Heel wat meer doorzicht was nodig voor de redding van de merkwaardige lussen die de planeten beschrijven om de zonnebaan (ecliptica).

Zij maken beide tot nog toe ingevoerde bewegingen mee, maar deze lussen vragen per planeet nog eens twee bollen, opgehangen aan de ecliptica. Deze twee bollen draaien met gelijke snelheid tegen elkaar in. Daar de vierde bol scheef zit in de derde, heffen deze bewegingen elkaar niet op doch veroorzaken de 8-vormige lussen die de planeten lijken te beschrijven, met het ‘kruispunt’ op de ecliptica.

Hiermee heeft Eudoxos een onderzoeksprogramma voor de mathematische astro-nomie opgesteld dat twintig eeuwen lang de harde kern van deze wetenschap is blij-ven uitmaken. Tot in de 17e eeuw werd het onomstotelijk geacht dat alle hemelbe-wegingen noodzakelijk tot combinaties van cirkelbewegingen dienden te worden teruggebracht. Naarmate de waarnemingen in nauwkeurigheid toenamen, moest naar steeds vernuftiger mathematische constructies worden gegrepen. Maar de idee dat het stelsel met behulp van uitsluitend de cirkel als basiselement moest worden opge-bouwd, bleef onbetwistbaar. Het ‘redden’ der verschijnselen moet niet verward worden met het ‘ver-klaren’ van verschijnselen. Er werd slechts een mathematische structuur ontworpen zonder dat iets over de fysische realiteit werd gezegd (uit wat voor soort stof de voorgestelde bollen bestaan, hoe zij aan elkaar bevestigd zijn, hoe de beweging wordt overgebracht, enz). Dergelijke vragen kwamen in het geheel niet aan de orde omdat wiskunde als kennis van de ware werkelijkheid werd beschouwd, en de fysi-sche realiteit slechts als een schijnwereld van zintuiglijke illusies. 7. Axiomatiek: het Euklidische systeem Niet de vroegste en enige, maar wel de vroegste en enige bekende axiomatisering van de wiskunde treffen wij aan in het boek Elementen, omstreeks 300 v.C. vervaar-

20

digd door ene Eukleides, die was verbonden aan het Mouseion (‘Museum’) te Alexandrië. Het bevat geen nieuwe onderzoeksresultaten, maar een logisch samen-hangende uiteenzetting van de opbouw van de wiskunde uit ‘elementen’, ‘bouw-stenen’. Dit boek gold tot in de vorige eeuw als de bijbel van de wiskunde.

Eukleides gaf inhoudelijke definities van de betekenis van mathematische termen, en postulaten ten aanzien van de correcte omgang ermee. Hij definieerde bijvoorbeeld ‘punt’ als: ‘datgene wat geen plaats inneemt’, en ‘lijn’ (=lijnstuk) als: ‘breedteloze lengte’. Deze definities zijn duister als men niet reeds van te voren zou weten waar het om gaat. Wat zij zeggen is voornamelijk negatief (‘geen’, ‘-loze’), terwijl tegen het gebruik van de onbestemde uitdrukking ‘datgene wat’ in een defini-tie tal van logische bezwaren kunnen worden ingebracht (en door de logicus Aristo-teles ook inderdaad waren ingebracht). Blijkbaar ging Eukleides ervan uit dat ieder-een wel ongeveer juiste intuïties had en bepaalde hij zich ertoe aan te geven welke aspecten van deze intuïties wel, en welke niet in de wiskunde thuishoorden. Men mocht zich een punt wel als een stip, en een lijn als een streep voorstellen, mits men maar wist dat een meetkundig punt geen afmetingen, en een meetkundige lijn geen dikte heeft. Deze definities hebben daardoor de vorm van ‘stipulaties’, dat is: de na-dere bepaling van oorspronkelijk intuïtieve noties door ze aan nauwkeurig gespecifi-ceerde voorwaarden te binden. In de postulaten wordt vervolgens gestipuleerd (geëist):

1 dat van elk punt naar elk punt een lijn kan worden getrokken; 2 dat elk lijnstuk verlengd kan worden; 3 dat om elk punt met elke straal een cirkel kan worden getrokken; 4 dat alle rechte hoeken aan elkaar gelijk zijn; 5 dat, indien een rechte twee andere rechten snijdt, waarbij de binnenhoeken aan één

kant tezamen minder zijn dan twee rechte hoeken, de twee rechten elkaar aan diezelf-de kant zullen snijden als men ze voldoende verlengt.

Opmerkelijk is, dat de postulaten van de meetkunde nog duidelijk het karakter van geïdealiseerde handelingsvoorschriften vertonen. Zij geven aan van welke handelin-gen met passer en liniaal (zonder schaalverdelingen) de mogelijkheid moet worden voorondersteld om meetkunde te kunnen bedrijven. Het zijn zeer elementaire aan-namen, die de basis vormen voor het construeren met passer en liniaal. In tegenstelling tot de postulaten, hebben de axioma’s duidelijk de pretentie van noodzakelijke waarheden. Zij verwijzen dan ook niet naar specifieke figuren en li-chamen, maar zijn als een soort universele waarheden geformuleerd. De navolgende lijst mag redelijkerwijs als de oorspronkelijke worden beschouwd:

21

1 Wat aan hetzelfde gelijk is, is onderling gelijk. 2 Als gelijken met gelijken worden vermeerderd zijn de totalen gelijk. 3 Als gelijken met gelijken worden verminderd zijn de resten gelijk. 4 Verdubbelingen van gelijken zijn onderling gelijk. 5 Halveringen van gelijken zijn onderling gelijk. 6 Wat elkaar dekt is onderling gelijk. 7 Het geheel is groter dan het deel.

Zoals wij hebben gezien werd vanaf Eudoxos de werkelijkheid geacht te zijn opge-bouwd uit geometrische bouwstenen. Hoewel het getal als ‘aantal van iets’ natuur-lijk niet werd afgeschaft, werden grootheden niet meer als getallen behandeld maar als ‘elementen’ met een dimensie. De grootheid a werd de ‘grootte’ (lengte) van een lijnstuk; het product ab werd de ‘grootte’ (oppervlakte) van een rechthoek met zij-den ter grootte van a en b; het product abc werd de ‘grootte’ (inhoud) van een recht-hoekig parallellepipedum met ribben ter grootte van a, b en c (het product van vier grootheden is uiteraard niet gedefinieerd). In de Elementen wordt dan ook gezegd dat twee figuren ‘even groot’ of ‘gelijk’ zijn, waar wij zouden zeggen dat zij dezelf-de lengte, oppervlakte of inhoud hebben (zo moeten ook de genoemde axioma’s worden gelezen; axioma 6 zegt bijvoorbeeld dat congruente figuren of lichamen de-zelfde oppervlakte of inhoud hebben).

Zo vinden wij in de Elementen ook vraagstukken die wij als algebraïsche vraagstukken zouden opvatten, bijvoorbeeld een complete theorie van lineaire en vierkantsvergelijkingen, die echter door Eukleides consequent als meetkundige op-gaven worden behandeld. Hier volgen enkele voorbeelden. Gegeven lijnstukken a, b en c, construeer een lijnstuk x zodanig dat cx=ab. Bedenk dat ab de oppervlakte is van een rechthoek met zijden ter lengte van a en b. Het vraagstuk komt dan neer op het vinden van het lijnstuk x dat gecombineerd met lijnstuk c een rechthoek oplevert ‘gelijk aan’ ab (dus met dezelfde oppervlakte).

De constructie berust op de ‘aanvulling’, via de diagonaal, van de figuur die men krijgt door de gegeven lijnstukken op nevenstaande wijze aan elkaar te leggen. Op deze wijze kunnen rechthoeken dus met behoud van grootte worden ‘vervormd’.

22

Gevraagd de constructie van een vierkant x2 even groot als een rechthoek ac (de zoge-naamde ‘kwadratuur van een rechthoek). Leg c in het verlengde van a, bepaald het middel-punt van a+c en cirkel om. x is de halve koor-de zoals aangegeven in de figuur.

Opgave 3 Bewijs dat x2=ac 8. Wiskunde en mechanica: Archimedes Wie er het eenvoudige denkbeeld op na houdt dat wiskundige theorieën worden ont-wikkeld om deze vervolgens in de praktijk te kunnen toepassen, zal zich erover ver-bazen dat de volgorde van theorie en praktijk nogal eens precies omgekeerd heeft gelegen. De Griekse wiskunde berustte op de ‘theoretisering’ van reeds bestaande praktijken, en hetzelfde kan van vele latere ontwikkelingen worden gezegd. Zelfs in fantasie bestond er niet zoiets als toepassing van wetenschap. Praktisch nuttige tech-niek was iets dat aan wetenschap voorafging, niet iets dat uit wetenschap voortvloei-de. Praktische toepassing van de wiskunde is een denkbeeld dat thuishoort in het moderne denken in termen van wetenschappelijke vooruitgang en daaruit voort-vloeiende nieuwe toepassingen. De idee van wetenschappelijke vooruitgang, die in-houdt dat het weten nooit volledig is en steeds voor verbetering vatbaar, dateert pas van de Renaissance (omstreeks de 16e eeuw). Voor de Grieken was wetenschap niet het soort ‘ding’ waarop het denkbeeld van vooruitgang (dus beweging, verandering) betrekking kon hebben. Alleen lagere activiteiten, bijvoorbeeld praktische en techni-sche kunsten, waren voor herziening vatbaar. Niettemin maakten grote wiskundigen als Archimedes in hun onderzoeks-methode gebruik van praktische en empirische technieken die – anders dan de axio-matische bewijsmethode – vrijwel universeel in alle culturen zijn ontwikkeld.

Archimedes (287-212 v.C.) heeft het grootste deel van zijn leven doorge-bracht in zijn geboorteplaats Syracuse op Sicilië, maar is ook werkzaam geweest in Alexandrië. Hij zou daar betrokken zijn geweest bij de bouw van dijken en bruggen, en hydraulische pompen hebben ontworpen ten behoeve van de Egyptische water-huishouding. Ook zou hij het principe van de hefboom en de spiraal (schroef) op zeer indrukwekkende wijze hebben gedemonstreerd door in zijn eentje een zwaar schip het strand op te trekken. Zijn onderzoek van de evenwichten van paraboloïden

23

in vloeistoffen zou veel hebben bijgedragen aan de technologie van de scheepsbouw. In Syracuse maakte hij tijdens de Romeinse belegering naam bij vriend en vijand als militair ingenieur.

In een pas in 1906 teruggevonden brief, gericht aan zijn collega Eratosthe-nes en handelend ‘over de methode’, beschreef Archimedes de technische en fysi-sche onderzoekingen waardoor hij zijn naderhand vlekkeloos bewezen stellingen in eerste instantie had gevonden. Dergelijke ontboezemingen zijn in de mathematische literatuur een grote zeldzaamheid, want voor de opname van een stelling in het ken-nisbestand van de wetenschap is uitsluitend het exacte bewijs van belang. De feite-lijke gedachtegangen die tot de ‘ontdekking’ van de stelling hebben geleid zijn niet van belang voor hen die de wiskunde beschouwen als een collectie eeuwige waar-heden. Dat wij nu over zo’n ‘menselijk’ document, uitgerekend van ‘de grootste meetkundige aller tijden’, beschikken, moet dan ook als een uitzonderlijk gelukkige omstandigheid worden bestempeld.

De beschreven onderzoeksmethoden waren gebaseerd op gedachte-experi-menten. In gedachten sneed Archimedes de meetkundige objecten in ‘plakjes’ of ‘strookjes’, waaraan hij een gewicht toekende. Met behulp van de hefboomwet (waarvan de juiste formulering aan hem wordt toegeschreven) werd een lichaam of figuur dan stukje voor stukje in balans gebracht met een gegeven figuur of lichaam. Uit de zo verkregen evenredigheden konden stellingen over inhouden en opper-vlakten worden afgeleid.

Als voorbeeld volgt hier een korte beschrijving van het gedachte-experi-ment waardoor Archimedes de inhoud van een bol in verband bracht met de reeds bekende inhouden van een cilinder en een kegel.

In nevenstaande figuur zijn een bol en een recht-hoekige kegel binnen een cilinder geplaatst, zodanig dat de grondvlakken van kegel en cilinder samen-vallen.

LA=AC=d=2r, AR=RS=x, RT=y. Dan geldt 2r:x=d:x=d2:dx=d2:AT2 (wegens gelijkvormigheid van driehoeken ART en ATC). Nu is volgens Pythagoras AT2=x2+y2 , dus 2r:x=d2:(x2+y2). Het rechterlid staat voor de verhouding tussen de oppervlakten van de doorsneden door respec-tievelijk de cilinder, de kegel en de bol ter hoogte van R. Als nu aan deze ‘schijven’ een gewicht (dat overeenkomt met hun oppervlakte) wordt toegekend, houden een schijf van de bol en een schijf van de kegel, opgehangen aan L, samen de correspon-

24

derende schijf van de cilinder in evenwicht (met A als steunpunt van de balans). Aangezien dit geldt voor ‘alle’ schijven (als men R van A naar C beweegt), blijft het evenwicht behouden als kegel en bol samen aan L worden opgehangen, en het ge-wicht van de cilinder geconcentreerd wordt gedacht in zijn zwaartepunt M. Volgens de hefboomwet geldt dan (Vbol+Vkegel):r=Vcil:d, oftewel, daar d=2r,

2Vbol+2Vkegel=Vcil

Bekend was reeds dat Vcil=3Vkegel. Dus 2Vbol+2Vkegel=3Vkegel, waaruit volgt dat

Vbol=21 Vkegel =

61 Vcilinder

Opgave 4 Leid uit het door Archimedes verkregen resultaat de verhouding af tussen de inhoud van een bol en zijn omgeschreven cilinder.

9. Wiskunde en kosmografie: Ptolemaios Deze ‘quasi-empirische’ (‘gedachte-experimentele’) inkleding maakte van Archime-des’ wiskunde veel méér dan een verzameling leerstellingen: er werd immers óók en vooral in getoond hoe wiskunde gedaan diende te worden. Als zodanig vertegen-woordigde zijn werk een geheel van mathematische theorie en onderzoekstechniek en bewijsmethode, dat in deze geïntegreerde vorm werd bewaard en doorgegeven. Terwijl bijvoorbeeld de Latijnse heruitgave van Eukleides (12e eeuw) de Euro-peanen een collectie definities, stellingen en bewijzen bood waar zij niets mee ‘kon-den’, leverde de ontsluiting van Archimedes’ werken in de 16e eeuw de aankno-pingspunten voor de herleving en verdere ontwikkeling van de wiskunde.

Naast fysica en mechanica was nog een andere, zelfs oudere vorm van inge-klede wiskunde van buitengewoon groot belang. Zoals al vermeld, werd de wiskun-de geacht de ‘elementen’ te beschrijven waaruit de Kosmos was opgebouwd. De

25

kosmografie, de wiskundige beschrijving van de bewegingen van de sterrenhemel, was vanouds hèt ‘toepassingsgebied’ bij uitstek van de wiskunde. Wat Archimedes was voor de mechanica, was de Alexandrijnse sterrenkundige Ptolemaios (tweede eeuw van de jaartelling) voor de kosmografie.

Het boek van Ptolemaios, bekend onder de titel van de Arabische vertaling, Almagest, is het eerste voorbeeld van een afdoende en volledige mathematische ver-antwoording van een zeer ingewikkeld complex van verschijnselen. Als zodanig stond het model voor de mathematische benadering van natuurverschijnselen die in de 17e eeuw overheersend zou worden. Tevens was het van kapitaal belang voor de overdracht van ‘praktisch’ ingeklede wiskundige inzichten en methoden, die in deze kosmografische context werden bewaard en doorgegeven.

Om hemelopmetingen geometrisch in model te kunnen brengen heeft men een bolmeetkunde nodig, evenals een hoekmeetkunde (goniometrie) om hoeken met ‘maten’ te verbinden. Als voorbeeld zullen wij de afleiding geven van de belangrijk-ste goniometrische ‘wetten’ op de manier van Ptolemaios.

De volgende bewering is eenvoudig te bewijzen:

Hoeken die vanaf de omtrek van een cirkel op de-zelfde koorde staan, zijn onderling gelijk en gelijk aan de helft van de hoek die vanaf het middelpunt van de cirkel op de desbetreffende koorde staat. In het bijzonder geldt dan dat hoeken die vanaf de omtrek op de middellijn van de cirkel staan, recht zijn. Hiermee bewijst men dan de belangrijke stel-ling van Ptolemaios:

In een vierhoek ABCD waarvan de hoekpunten op een cirkel liggen, geldt dat de som van de pro-ducten van tegenover elkaar liggende zijden gelijk is aan het product van de diagonalen:

AB.DC+BC.AD=AC.BD Voor het bewijs (zie figuur) moet men de hulplijn BF trekken zó dat de hoek BFC gelijk is aan de hoek BAD. De driehoeken BFA en BCD blijken dan gelijkvormig te zijn, evenals de driehoeken BFC en BAD. Uit FA:CD=BA:BD en FC:AD=BC:BD volgt meteen dat

FA.BD=BA.CD

26

FC.BD=AD.BC.

Optelling geeft: (FA+FC).BD=AC.BD=BA.CD+AD.BC

De zogenaamde ‘regels van Ptolemaios’ kunnen nu eenvoudig uit de stelling worden verkregen. Wordt bij-voorbeeld in nevenstaande figuur AB=1 gesteld, dan geldt: AC=cosp, CB=sinp, BD=sinq, AD=cosq en CD=sin(p+q). De stelling geeft dan onmiddellijk:

sin(p+q)=sinpcosq+cospsinq,

met als bijzonder geval: sin(2p)=2sinpcosp. Opgave 5 Leid zelf op analoge wijze een formule af voor sin(p-q)

10. De Ouden voorbij In het begin van de 16e eeuw werd door Italiaanse wiskundigen voor het eerst een resultaat geboekt dat met recht mag worden beschouwd als een ‘teken’ dat men de Ouden niet alleen kon evenaren, maar zelfs overtreffen. Men slaagde er namelijk in een oplosmethode te ontwikkelen voor vergelijkingen van de derde en zelfs van de vierde graad. Deze ontdekkingen vonden niet plaats in een academische en evenmin in een praktische sfeer, maar ontsproten aan de intense intellectuele competitie tus-sen aan de Italiaanse Renaissancehoven verbonden artiesten. Om ons niet in histo-rische details te verliezen, zal nu eerst de essentie van de werkwijze worden uit-eengezet. Iedere derdegraads vergelijking kan in de standaardvorm

x3+ax2+bx+c=0

worden gebracht. Vervolgens wordt de kwadratische term verwijderd door een ge-schikte substitutie. Stel x=y+am, dan geeft x3 de kwadratische term 3amy2 en ax2 de kwadratische term ay2. Tezamen worden deze kwadratische termen 0 indien men m=−1/3 kiest. Dus door de substitutie x=y−a/3 gaat de vergelijking over in y3+py+q=0, waarbij p en q uitdrukkingen zijn in a, b en c.

Voorbeeld: De vergelijking 3x3−6x2+6x−3=0 geeft na deling door 3 x3−2x2+2x−1=0, en gaat door de substitutie x=y+2/3 over in y3+(2/3)y−7/27=0.

Wij kunnen ons dus beperken tot de vereenvoudigde vergelijking y3+py+q=0. De oplosmethode, die duidelijk op ‘trial and error’ berust, begint er nu mee dat men de

27

onbekende y vervangt door de som van twee nieuwe onbekenden, y=u+v. De verge-lijking wordt dan: (u+v)3+p(u+v)+q=u3+v3+(3uv+p)(u+v)+q=0. Het nut hiervan is dat uv binnen zekere grenzen vrij gekozen kan worden (alleen de som u+v ligt im-mers vast). Het ligt dan in de rede uv zó te kiezen dat 3uv+p=0, waardoor de ver-gelijking wordt gesplitst in twee eenvoudiger vergelijkingen met twee onbekenden:

u3+v3=−q u3v3=(−p/3)3

oftewel, als wij u3 door s en v3 door t vervangen:

s+t=−q st=(−p/3)3 Voorbeeld:

De vergelijking uit bovenstaand voorbeeld levert op de aangegeven wijze het stelsel s+t=7/27, st=(−2/9)3. Men vindt voor s en t als oplossingen 8/27 en −1/27, voor u en v derhalve 2/3 en −1/3, dus y=2/3−1/3=1/3 en x=1/3+2/3=1. Door de oorspronkelijke vergelijking nu te delen door x-1 krijgt men een vierkants-vergelijking waaruit de andere twee wortels kunnen worden bepaald (die echter niet reëel kunnen zijn).

Genoemde methode vinden wij, van geval tot geval in detail uitgewerkt, in het boek Ars Magna (1545) van Cardano (1501-1576), die hem echter had ontfutseld aan de free-lance rekenmeester Tartaglia (1499-1557). Aangezien laatstgenoemde als een soort rekenartiest in zijn levensonderhoud voorzag, had hij Cardano doen beloven de methode geheim te houden, maar deze had hem niettemin gepubliceerd en er zijn eigen reputatie op gevestigd. Cardano verdedigde zich door te beweren dat Tartaglia zelf schatplichtig was aan de Bolognese professor Ferro (1465-1526).

Wij hebben dus een recept waarvan de geldigheid is bewezen, en toch leidt dit niet automatisch tot de oplossing. De vergelijking x3=15x+4, bijvoorbeeld, heeft x=4 als reële wortel. De methode geeft echter t+s=4, ts=125, dus t(4−t)=125 oftewel t2−4t+125=0, en deze vierkantsvergelijking heeft geen reële wortels, want de discri-minant is negatief. Hier staan wij blijkbaar voor een diep mysterie.

De Italiaanse wiskundige Bombelli onderzocht (in zijn Algebra van 1572) wat er zou gebeuren als wij gewoon de normale rekenregels op het geval toepassen, zon-der ons erom te bekommeren dat sommige uitdrukkingen iets onmogelijks voor-stellen. De vierkantsvergelijking geeft dan als oplossingen s,t=2±11 1− , en voor x

vinden wij x= 3 1112 −+ + 3 1112 −− . Deze (letterlijk) ‘complexe’ uitdrukking zou dus het reële getal 4 moeten voorstellen!

Wetende dat x=4 kunnen wij op grond van de symmetrie vermoeden dat de

28

beide derdemachtswortels van de vorm 2±q 1− zullen zijn (namelijk samen 4, ter-wijl de imaginaire delen tegen elkaar wegvallen). Tot de derde macht verheven is dit (2±q 1− )3=(8−6q2)±(12q−q3) 1− en uit 8−6q2=2 en 12q−q3=11 vinden wij dat q=1. En dus:

x= 3 1112 −+ + 3 1112 −− =2+ 1− +2− 1− =4

Indien de oplossingsalgoritme van een tweedegraads vergelijking tot een negatief getal onder het wortelteken leidt, kunnen wij er zeker van zijn dat de vergelijking geen reële wortels heeft. Maar als hetzelfde gebeurt ingeval van een derdegraads vergelijking, is deze conclusie blijkbaar onjuist. Rekenen met wat men noemde on-mogelijke grootheden bleek in de algebra onmisbaar! Opgave 6 Los op: x3=3x-2 Opgave 7

Toon aan dat 313

31

27103

31

2710

33 =−−++− ii

29

II. Organisatie van wiskunde 1. Inleiding In de moderne zienswijze vormen wetenschap en techniek de basis voor maatschap-pelijke vernieuwing en vooruitgang. In de ‘premoderne’ tijd (Oudheid en Middel-eeuwen) werd er nog geen verband gelegd tussen techniek en wetenschap, en was de idee van maatschappelijke vernieuwing en vooruitgang op technisch-wetenschappe-lijke grondslag afwezig. De wetenschap werd geacht intellectueel inzicht te ver-schaffen in de gegeven natuurlijke orde en stond daarmee ver boven de technische praktijk. De techniek bewoog zich binnen een vastomlijnd kader van overgeleverde werkwijzen, los van theoretische beschouwingen. Het denkbeeld van wetenschappe-lijke, technische en maatschappelijke vernieuwing, en van de onderlinge koppeling van deze processen, behoort typisch tot het ‘moderne’ gedachtegoed.

De term ‘modern’ slaat hier dus niet op ‘het allernieuwste’, maar op een geheel van opvattingen en denkwijzen dat typerend is voor het historische tijdvak dat om-streeks 1600 is begonnen en mogelijk in de (naaste?) toekomst achter ons zal liggen. In de jongste tijd zijn namelijk veel typisch ‘moderne’ ideeën over de aard en reik-wijdte van wetenschap en techniek, en daarop gebaseerde verwachtingen ten aanzien van de verbetering van de menselijke levensomstandigheden, zwaar onder vuur ko-men te liggen. Wellicht zijn wij begonnen aan een ‘postmodern’ tijdvak. 2. Modernisering van de wetenschap De moderne zienswijze op wetenschap, techniek en samenleving is voor het eerst omstandig uiteengezet door de Engelse jurist en diplomaat Francis Bacon (1561-1626). Veel van zijn denkbeelden zijn sindsdien onder moderne denkers gemeen-goed geworden. Zij werden echter voor het eerst onder woorden gebracht in een tijd dat er van moderne wetenschap en techniek nog hoegenaamd geen sprake was. Wel-ke ontwikkelingen in zijn eigen tijd hebben Bacon dan op de gedachte gebracht van een alomvattende hervorming van wetenschap, techniek en samenleving?

In de eerste plaats waren dat de ontdekkingsreizen, waardoor geheel nieuwe werelden waren ontsloten en (handels)contacten gelegd met niet-westerse samen-levingen. Hier lag een immense bron van nieuwe kennis van de levende en levenloze natuur, alsmede van de technieken en andere culturele praktijken van vreemde vol-keren. In de tweede plaats waren er, mede in samenhang met de expansie van zee-vaart en handel, belangrijke vorderingen gemaakt in de praktische en technische kunsten, die evenzovele aanleidingen tot nieuwe kennisvorming boden. Zo waren bijvoorbeeld ontwikkelingen in de kaartmakerij van grote betekenis voor de (projec-tieve) meetkunde; de vaardigheden en technieken van werktuigbouwers en instru-mentmakers waren bronnen van kennis op het gebied van de mechanica, enz. Be-

30

denk ook hoezeer ontdekkingen en uitvindingen als van het buskruit, het kompas en de boekdrukkunst het aanzien van de wereld hadden gewijzigd. Tegen deze achter-grond dienen wij Bacons hervormingsvoorstellen te begrijpen: de wetenschap moest als een ‘ontdekkingsonderneming’ worden georganiseerd en zodanig ingericht dat de samenleving daar de praktische vruchten van kon plukken. Dit betekende een radica-le breuk met de traditionele wetenschapsopvatting in die tijd.

Traditioneel was ‘wetenschap’ een logisch gesloten systeem dat het geheel van het weten omvatte, en een ‘geleerde’ iemand die met behulp van de logica in dit sys-teem zijn weg wist te vinden. De wereld werd hierin voorgesteld als een organisch samenhangend geheel. Alle dingen werden in klassen ingedeeld op basis van be-paalde eigenschappen die essentieel werden geacht. Klassen zijn weer onderklassen van omvattender klassen en kunnen ook zelf onderklassen omvatten. Zo behoren runderen tot de klasse van de herkauwers, terwijl zij zelf diverse soorten koeien, buf-fels, enz. omvatten. Alles wat essentieel is voor herkauwers, bijvoorbeeld het ont-breken van snijtanden, is essentieel voor runderen, alsmede voor alle onderklassen van de runderen. De gehele natuur (niet alleen de levende) werd aldus geordend als een hiërarchisch systeem van (sub)klassen van hogere en lagere orde, waarin alles zijn ‘natuurlijke’ plaats had. Alle betrekkingen tussen dingen werden dus begrepen in termen van onderschikking of bovenschikking in dit stelsel.

Iets ‘verklaren’ betekende: demonstreren hoe het logisch voortvloeide uit een eigenschap hogerop in het systeem (waarom heeft Annie geen tanden? Welnu, An-nie is een koe, alle koeien zijn runderen, alle runderen zijn herkauwers, alle herkau-wers zijn tandeloos, dus is Annie tandeloos). De methode van deze wetenschap was de logische deductie, de afleiding van bijzondere uitspraken over speciale gevallen uit algemenere uitspraken over omvattender klassen van verschijnselen. Die alge-menere uitspraken konden dan weer worden opgehangen aan nog algemenere waar-heden, enz., totdat men bij de meest algemene uitgangspunten was aangeland. Deze ‘eerste beginselen’ moesten op gezag van de gesanctioneerde traditie worden aan-vaard als onwrikbare waarheden. In de oude wetenschap konden de uitgangspunten waar het deductieve systeem op steunde dus nooit zelf ter discussie komen en was vooruitgang, in de zin van theoretische vernieuwing op basis van nieuwe uitvin-dingen en ontdekkingen, ondenkbaar. Vandaar dat Bacon de bestaande wetenschap-pelijke traditie door iets volkomen nieuws wilde vervangen.

Nu was Bacon beslist niet de enige die grote bezwaren had tegen het tradi-tionele geleerdendom. De grote uitvinders en ontdekkers van de voorafgaande peri-ode (de Renaissance, c.1450-1600) stonden al uiterst kritisch tegenover de schoolse wetenschap die aan de universiteiten werd geleerd. Humanisten stelden het individu-ele, tijd- en plaatsgebonden denken en handelen van mensen centraal, en geloofden

31

niet langer in een wetenschap die tijdloze, algemeen geldende waarheden verkon-digde.

Evenmin was Bacon de enige die dit algemene intellectuele scepticisme uit de Renaissance verving door een positief geloof in nieuwe wetenschappelijke mogelijk-heden. Zijn Italiaanse tijdgenoot Galilei (1564-1642), bijvoorbeeld, werd door soort-gelijke motieven gedreven bij zijn ontwerp van de ‘nieuwe wetenschap’ der kinema-tica. Galilei had zijn wiskundeonderwijs ontvangen aan een technisch instituut (te-kenacademie), onderwierp de mechanische technieken van zijn tijd aan uitgebreid wetenschappelijk onderzoek, en hield er als hoogleraar in Pisa nog steeds een tech-nische werkplaats op na. Andere voorbeelden van bij uitstek technisch en wiskundig geïnspireerde wetenschappelijke onderzoekers zijn de Vlaming Stevin (1548-1620) en de Duitser Kepler (1571-1630). De wiskundige aanpak van de (hemel) mechanica en de fysica leidde tot de ‘mechanisering van het wereldbeeld’, die de weten-schappelijke omwenteling van de 17e eeuw inluidde. Dit was feitelijk de meest suc-cesvolle wetenschappelijke ontwikkeling van die tijd, een ontwikkeling waaraan Ba-con part noch deel had. Het belang van Bacon ligt dan ook niet in enige bijdrage van zijn hand aan de feitelijke wetenschappelijke ontwikkeling. Hij was geen vakspecia-list zoals Kepler en Galilei, en had met name van de exacte wetenschappen – de eni-ge die al in de Oudheid een hoog niveau hadden bereikt – geen kaas gegeten. Maar precies om die reden lag zijn niet te miskennen invloed op een veel algemener, dis-ciplineoverstijgend vlak. Zelfs een bij uitstek exacte denker als de Fransman Descar-tes (1596-1650) citeerde met instemming uit Bacons werken, en coryfeeën van de exacte wetenschap als Huygens (1629-1695) en Newton (1642-1727) beschouwden zichzelf als baconianen. Als wij greep willen krijgen op het moderne denken over wetenschap, techniek en samenleving, kunnen wij dus niet om Bacon heen. 3. Wetenschappelijke hervorming In de intellectuele kringen waarin Bacon verkeerde werd de hervorming van de we-tenschap gezien als noodzakelijk verlengstuk van de godsdienstige hervorming. Met de Reformatie zou een nieuw heilstijdperk zijn aangebroken, waarin de mens door de juiste religieuze houding zijn oorspronkelijk door God bedoelde rentmeesterschap over de schepping kon herwinnen. Door de juiste wetenschappelijke instelling zou de mens kennis kunnen verwerven om de natuur aan zich te onderwerpen ‘tot glorie van God en heil van de mensheid’. Het nutteloze getheoretiseer in de rust en af-geslotenheid van kloostercellen moest worden vervangen door actief speurwerk in de werkelijke wereld, ‘in het zweet des aanschijns’ en met het oog op de verbetering van de menselijke levensomstandigheden.

Een ontdekkende en praktische wetenschap heeft weinig baat bij de methode der logische deductie. Deze methode stelt ons weliswaar in staat om foutloos de ge-

32

volgen van bepaalde premissen af te leiden, maar niet om de juistheid van die pre-missen zelf te beoordelen, noch om nieuwe, betere premissen op te stellen. Met logi-ca alleen kan men nooit nieuwe waarheden ontdekken. De beoogde nieuwe weten-schap moest daarom worden gebaseerd op een andere, een ontdekkingsmethode. Ba-con ontwikkelde deze methode in een boek dat de naam ‘Nieuw Organon’ kreeg. ‘Organon’ was de gangbare aanduiding van het deductieve logische apparaat, dat in de vierde eeuw voor de jaartelling door de Griekse filosoof Aristoteles was ont-wikkeld, en tot ver in de 19e eeuw wezenlijk onveranderd bleef. Door zijn boek ‘Nieuw Organon’ te noemen, gaf Bacon aan dat hij de ontdekkingsmethode even-eens als een logisch apparaat beschouwde, maar een ander dan de deductieve versie van het traditionele Organon. De nieuwe wetenschap moest op een inductieve me-thode worden gebaseerd.

Terwijl bij deductie het bijzondere uit het algemene wordt afgeleid, gebeurt bij inductie het omgekeerde. De inductieve methode gaat uit van afzonderlijke waarne-mingsfeiten, spoort verbanden op en ‘generaliseert’ deze stapje voor stapje in steeds algemenere theorieën. Aan de basis staan dus de waarnemingen, maar iedereen weet dat waarnemingsrapporten niet altijd betrouwbaar zijn. Veel van de ‘waarnemingen’ uit de verslagen van ontdekkingsreizigers moesten bijvoorbeeld met een grote korrel zout worden genomen. Waaraan ontleende Bacon dan het vertrouwen dat door naar-stig speurwerk een betrouwbaar fundament van harde feiten voor het gebouw der wetenschappen kon worden gelegd? Zijn optimisme wortelde in zijn geloof – dat hij met vrijwel alle vernieuwers deelde – dat de ‘waarheid’ ons vanzelf deelachtig wordt mits wij ‘dwaling’ weten te vermijden. De menselijke dwalingen die de waar-heid verhinderen aan het licht te treden, noemde Bacon dan ook ‘afgoden’ (idolen), en de wetenschappelijke methode diende om deze afgoden te vernietigen opdat de waarheid zich kon tonen. 4. Idolen Hier volgen vijf soorten afgoderijen, met een korte aanduiding van de wetenschap-pelijke hoofdzonden die ermee verbonden zijn: - De idola tribus (afgoden van de stam) hebben betrekking op onze al te menselijke aard: wij zijn van nature te zeer geneigd in de dingen een orde en een doel te zien, te veel op eerste indrukken af te gaan en alles aan onszelf af te meten. - De idola specus (afgoden van de grot) verwijzen naar het gevaar dat wij de vaak schimmige en subjectief gekleurde indrukken die de zintuigen ons voorspiegelen te grif voor objectieve werkelijkheid houden. - De idola fori (afgoden van de markt) hangen samen met de eigenaardigheden van het taalgebruik, waardoor wij soms met woorden werken die niet aan concrete zaken

33

beantwoorden, of ons verliezen in logische spitsvondigheden zonder inhoudelijke betekenis. - De idola theatri (afgoden van het theater) verwijzen naar het vasthouden aan over-geleverde opvattingen en denkwijzen die dikwijls sterk cultuurbepaald zijn. - De idola scholae (afgoden van de school), ten slotte, betreffen het klakkeloos vol-gen van gezaghebbende doctrines in plaats van zelf kritisch na te denken. Wij worden dus op vele manieren misleid door de beperktheid van onze zintuigen en de eigenaardigheden van de taal, door de dogma’s van onze cultuur en de indoc-trinatie van leermeesters. Alleen door methodisch waarnemen kunnen wij onze ruwe ervaringen zuiveren van al deze inmengingen en vervalsingen en de ‘waarheid’ op het spoor komen. Hiertoe dient de inductieve methode: de inductief vastgestelde ‘al-gemene feiten’ kunnen worden gebruikt om valse aanspraken (onwaarheden, non-feiten) als zodanig te ontmaskeren. Hoe gaat dit in zijn werk? 5. Inductieve methode De inductieve methode begint met de systematische samenstelling van wat Bacon noemt ‘natuurhistorische tabellen’. Als voorbeeld behandelt hij het inductieve on-derzoek van het verschijnsel ‘warmte’. Er worden drie tabellen aangelegd. De eerste tabel bevat een systematische opsomming (‘natuurlijke historie’) van verschijnselen die typisch met warmte gepaard gaan (vuur, het toevoegen van water aan ongebluste kalk, hooibroei, enz.). De tweede tabel bevat een dito opsomming van verschijnselen die juist niet met warmte gepaard gaan (ijs, het oplossen van soda, enz.). In de derde tabel staan zaken die alle gradaties tussen koud en warm kunnen doorlopen. Aan de hand van deze tabellen kan dan, door ‘inductie’, worden nagegaan ‘wat’ het ken-merkende is dat ieder verschijnsel in de eerste tabel en geen enkel in de tweede tabel vertoont, en ‘wat’ zaken in de derde tabel meer hebben naarmate zij warmer, en minder naarmate zij kouder zijn. De conclusie luidt in dit geval dat ‘the form (essen-tie) of heat is motion’.

Door ijverig feiten te verzamelen en op de aangegeven manier systematisch te ordenen in natuurlijke histories, verwerven wij dus algemenere inzichten (bij-voorbeeld in de aard van warmte), die weer kunnen dienen om de betrouwbaarheid van andere waarnemingen te beoordelen. ‘De zintuigen misleiden, maar leveren te-gelijkertijd de middelen om hun eigen dwalingen bloot te leggen’, aldus Bacon. 6. Wetenschap als collectieve onderneming Volgens een modern sprookje, dat nog steeds verteld wordt, kreeg de wetenschap pas in de 17e eeuw een empirische basis, terwijl voordien de ervaring werd gene-geerd omdat men dacht alles zuiver verstandelijk te kunnen beredeneren. Zoals de

34

meeste sprookjes, is ook dit een verdichtsel met een verborgen kern van waarheid. De oude wetenschap was wel degelijk op ervaringen gebaseerd, en er bestond in de middeleeuwen ook al een omvangrijke experimentele traditie. Men had eerder – zo-als Bacon met zijn idolenleer betoogde – een te groot vertrouwen in het menselijke waarnemingsvermogen en hield ten onrechte datgene wat iedereen dagelijks kon zien (dat de zon om ons heen draait, dat voorwerpen waarop geen kracht werkt tot stilstand komen, dat uit rot fruit vliegen ontstaan, dat er bij verbranding materie ver-nietigd wordt, enz.) voor onomstotelijke feiten. Experimenten werden gezien als ‘kunstmatige’ effecten die tegen de ‘natuurlijke’ loop der dingen ingingen: zij be-hoorden daardoor niet tot de natuurwetenschap maar tot de magie. (Het heeft lang geduurd voordat werd aanvaard dat chemisch bereide stoffen niet wezenlijk ver-schillen van natuurstoffen, en er zijn nog steeds mensen die daar niet aan willen.)

Het nieuwe van de baconiaanse wetenschap was dus niet de aanwezigheid van een empirische basis als zodanig – want de oude wetenschap was evenzeer zo niet méér op ervaring gebaseerd – maar de aard van de ervaring waaruit die basis moest worden opgebouwd. Ervaring bestond niet langer uit de alledaagse ondervinding van Jan en alleman, maar uit zorgvuldig van subjectiviteit, vooringenomenheid en ande-re inmengingen gezuiverde feiten. De feiten waarop wetenschap gebouwd kan wor-den liggen niet voor het oprapen: zij kunnen slechts worden vastgesteld langs de moeizame weg van de inductieve methode. die voor zijn implementatie afhankelijk is van een goed georganiseerde onderzoeksgemeenschap.

Het is immers duidelijk dat het aanleggen van de benodigde omvangrijke na-tuurlijke histories, waarop de inductieve methode berust, geen zaak is van individu-eel onderzoek, maar van de collectieve en gecoördineerde inspanningen van velen. Wetenschappelijke onderzoekers dienen niet als solitaire spinnen vadsig in het cen-trum van het eigen (hersen)spinsel te gaan zitten, noch als sociale mieren ijverig ma-teriaal aan te slepen om dit vervolgens slechts op de grote (mieren) hoop te gooien. Het goede voorbeeld leveren in deze kriebelige beeldspraak de bijen: zij verzamelen ijverig en in perfecte samenwerking veel materiaal, en verwerken dit tot bouwstoffen (was) en voedsel (honing). De methode vergt dus een aangepaste organisatie van de wetenschapsbeoefening, en om er de praktische vruchten van te kunnen plukken te-vens daartoe geëigende maatschappelijke instituties. ‘Kennis is macht’, zo luidde Bacons boodschap, en wel een macht die op inzicht en redelijkheid is gebaseerd, en waaraan politieke invloed zou moeten worden verleend om langs geweldloze weg een betere maatschappij tot stand te kunnen brengen.

Bacon schetste het beeld van zo’n door wetenschap en techniek geregeerde samenleving in zijn boek ‘Het nieuwe Atlantis’. Volgens een oude, door de Griekse filosoof Plato doorvertelde mythe hadden de Grieken hun cultuur te danken aan een invasie van zeevolkeren, overlevenden van een Atlantisch kennisparadijs dat door

35

een natuurramp ten onder was gegaan. Bacons nieuwe Atlantis is dus een herwonnen kennisparadijs, dat door de wetenschappelijke hervorming binnen ons bereik zou komen.

De toekomstige ideale kennismaatschappij wordt bestuurd en beheerd vanuit het ‘Huis van Salomo’, dat de ideale organisatie van de wetenschapsbeoefening be-lichaamt en tevens de ideale manier om aan de noden en wensen van de samenleving tegemoet te komen. In het Huis zijn afdelingen waar gegevens worden verzameld over de levende en levenloze natuur, over bestaande technieken en uitkomsten van proefnemingen; in andere afdelingen doet men zelf proeven en ontwikkelt men nieuwe procedures; hierboven staan afdelingen waar de gegevens tot natuurlijke his-tories worden geordend, de eerste theoretische generalisaties worden afgeleid en met toepassingen wordt geëxperimenteerd; aan de top staan de ‘natuurvertolkers’ die op basis van al dit werk algemene theorieën, wetten, principes, enz. opstellen. Het we-tenschappelijke onderzoek is in het Huis van Salomo niet disciplinematig, maar pro-jectmatig afgestemd op praktische behoeften: voeding, gezondheid, behuizing, transport, enz.

Bacons beschrijving van de ideale wetenschapsorganisatie in ‘het nieuwe At-lantis’ was slechts een utopische fantasie. In de historische realiteit treffen wij een dergelijke onderzoeksgemeenschap voor het eerst aan in de in 1667 opgerichte Roy-al Society. Volgens een tijdgenoot werd met de oprichting van dit baconiaanse ge-nootschap beoogd

‘bijzondere verschijnselen te onderzoeken en vast te leggen, en vandaaruit door geleide-lijke inductie op te klimmen tot algemene uitspraken, die dan als richtsnoer dienen voor nieuwe onderzoekingen, nog meer ontdekkingen, weer andere principes, opdat de natuur door onze kennis kan worden onderworpen, beheerd en gebruikt ten dienste van het men-selijke leven.. Maar om dit te bewerkstelligen waren vele hoofden en vele handen nodig, en deze sloten zich aaneen tot een gemeenschap, waardoor zij konden samenwerken, proefnemingen en waarnemingen met elkaar konden uitwisselen, en gezamenlijk tot oor-delen konden komen’.

In nog sterkere mate dan bij Bacon zelf wordt hier benadrukt dat de vaststelling van feiten een collectief proces is, gedragen door de samenwerking en communicatie tussen vele hoofden en handen. Iets werd pas als feit aanvaard als alle leden de rele-vante waarnemingen voor zichzelf hadden kunnen doen, zich van de juistheid van desbetreffende beweringen hadden kunnen overtuigen, en gezamenlijk tot een eens-luidend oordeel waren gekomen. Experimenten moesten reproduceerbaar zijn; zij werden opgevoerd voor een publiek van betrouwbare getuigen, die ze op elk wille-keurig tijdstip onder andere omstandigheden, met andere proefmonsters en andere apparaten, moesten kunnen herhalen.

36

Niet toevallig lijkt de gang van zaken op juryrechtspraak (Bacon was tenslotte juridisch geschoold). Men kan de natuurhistorische tabellen opvatten als rapporten van getuige-deskundigen, waarover de bevoegde jury tot een eensluidend oordeel dient te komen. Essentieel is dat alle feiten te allen tijde kunnen worden gecon-troleerd, zodat de invloed van individuele subjectiviteit, vooringenomenheid en an-dere ‘idolen’ kan worden geneutraliseerd. Ook de argumentatie bij de uiteindelijke oordeelsvorming wordt op deze manier zoveel mogelijk gezuiverd van individuele denkfouten en andere insluipselen. Experimenten dienen in dit verband als ‘recon-structies’ van de voor de oordeelsvorming meest relevante situaties: mits de uit-komsten reproduceerbaar zijn, leveren zij de doorslaggevende feitelijke argumenten voor het eindoordeel.

In overeenstemming met deze juridische connotaties, was de baconiaanse me-thode afgestemd op de wetten der natuur, letterlijk opgevat als ‘verordeningen’ van een supreme Wetgever. Alleen door deze wetten te ‘gehoorzamen’ kon de mens de natuur onderwerpen en dienstbaar maken aan menselijke behoeften. Techniek werd niet langer als ‘kunst’ tegenover ‘natuur’ gezet, maar gezien als ‘natuur beheerst door de mens’ op basis van de natuurwetten. Zowel theoretisch als praktisch werd daarmee het achterhalen van natuurwetten de spil waarom de baconiaanse weten-schap draaide.

De opkomst van de moderne wetenschap ging dus gepaard met het geloof

• dat alles in de natuur verloopt volgens strikte wetten die door methodisch speur-werk, langs inductieve weg, achterhaald kunnen worden,

• dat ware wetenschap gekenmerkt wordt door vooruitgang, door steeds groeiende kennis van de wetmatigheden der natuur,

• dat deze kennis de grondslag vormt voor de verbetering van de menselijke le-vensomstandigheden en voor de oplossing van maatschappelijke vraagstukken.

In het verlengde van deze opvatting lag het ideaalbeeld van een ‘moderne’ maat-schappij, gebaseerd – als Bacons Nieuwe Atlantis – op wetenschap en techniek, en zodanig ingericht dat wetenschappelijke vooruitgang direct in nieuwe technisch-industriële mogelijkheden voor de samenleving kon worden omgezet. Ook zaken als economie en politiek werden met de baconiaanse methode benaderd door gegevens (bijvoorbeeld betreffende in- en uitvoer van goederen) te kwantificeren, de relevante tabellen op te stellen en vervolgens ‘de balans op te maken’.

37

7. Baconiaanse wetenschap De 18e eeuw werd typisch de eeuw van de baconiaanse wetenschap. Eenieder die maatschappelijk wilde meetellen hield zich bezig met het aanleggen van verza-melingen planten, dieren, mineralen, fossielen, enz., alsmede van instrumenten als microscopen, vacuümpompen en dergelijke. Het ordenen en classificeren nam een hoge vlucht en leidde tot de opstelling van ‘natuurlijke histories’, die de basis vorm-den voor een alomvattend ‘systeem der natuur’. Ook experimenteren, kijken wat er gebeurt onder bijzondere omstandigheden (bijvoorbeeld onder vacuüm), was onder aanzienlijken zeer in trek: zo ontwikkelden de scheikunde en de natuurkunde van elektriciteit en magnetisme zich in die tijd vooral als liefhebberij van de wel-gestelden.

De ‘moderne’ intellectuelen van de Verlichting (zoals deze periode cultuur-historisch bekendstaat) namen de hogere fases van het baconiaanse programma ter hand, namelijk de omzetting van de nieuwe wetenschappelijke beloften in maat-schappelijke realiteit. Het monument van deze beweging was de grote Encyclopedie, bedoeld om de verworvenheden van wetenschap en techniek voor de bevolking toe-gankelijk, en aldus praktisch effectief te maken. Naast meer theoretische verhande-lingen over bijvoorbeeld wiskundige onderwerpen en natuurlijke histories, vindt men in de Encyclopedie dan ook systematische besprekingen van allerhande am-bachtelijke en industriële werktuigen en technieken.

Werkelijke maatschappelijke vernieuwing op technisch-wetenschappelijke grondslag kwam echter in de 18e eeuw niet tot stand. De verlichtingsdenkers weten dit aan het feit dat de inrichting van staat en maatschappij nog goeddeels ‘middel-eeuws’ was gebaseerd op de macht van adel en kerk. Zij keerden zich daarom tegen de bestaande gezagsverhoudingen, waarin autoriteit, dogma en traditie prevaleerden boven redelijk inzicht en zelfstandig oordeel. De meer radicalen onder hen streefden naar de totale omverwerping van het bestaande bestel. Zowel in de Amerikaanse als in de Franse Revolutie wilde men alle banden met de traditie doorbreken om met een schone lei te beginnen aan een nieuwe maatschappij, waarin mensen gelijke kansen zouden hebben om zich door scholing en opleiding een goed bestaan te ver-zekeren in een ‘moderne’ samenleving. Bacons ontwerp is de grondslag gebleven van de verzamelende, beschrij-vende, experimenterende en classificerende takken van, bijvoorbeeld, plant- en dier-kunde, volkenkunde, aardkunde, weerkunde, enz., alsmede van de leer van werk-tuigen, instrumenten en technieken. Het is typisch het soort wetenschap dat men ook heden ten dage nog aantreft in natuurhistorische musea en in tijdschriften zoals ‘Na-tional Geographic’.

38

Opgave 8 Welke van Bacons idolen is het meest van toepassing op de volgende gedragingen:

a. Op subjectieve indrukken afgaan b. Geloof hechten aan eeuwenoude tradities c. Zweren bij het woord van de meester d. Overhaaste conclusies trekken e. Overreden door logische trucs f. Bevooroordeeld zijn 8. Wetenschap als kennisindustrie

‘Ik heb het geluk gehad te zijn geboren en opgegroeid voor de eerste wereldoorlog, in een tijd dat de geestelijke kracht en het elan van de internationale wetenschappelijke we-reld nog niet door veertig jaar van catastrofes waren ondermijnd. Het was een bijzonder geluk voor mij dat ik nooit voor noemenswaardige tijd een radertje in een moderne we-tenschapsfabriek behoefde te blijven, dat doen moet wat hem opgedragen wordt, dat aan problemen moet werken die hem door zijn superieuren worden toegewezen, en zijn eigen verstand slechts ‘in beheer’ heeft, zoals een middeleeuwse vazal zijn leven. Als ik in het huidige feodale wetenschapssysteem zou zijn geboren was er, denk ik, niet veel van mij terechtgekomen. Uit de grond van mijn hart beklaag ik de huidige generatie weten-schapsmensen, waarvan er velen, of zij nu willen of niet, gedoemd zijn als intellectuele lakeien of prikklokkers te leven.. Tegenwoordig werken veel Amerikaanse wetenschapslui in grote laboratoria van de staat en de industrie, waar geheimhouding aan de orde van de dag is, en worden door op-zettelijke probleemversnippering zozeer afgeschermd dat niemand meer een duidelijk idee heeft van de draagwijdte van zijn eigen werk.. Wetenschap wordt tegenwoordig beter betaald dan ooit tevoren. Deze betaling heeft ertoe geleid dat veel mensen in een wetenschappelijk beroep worden gelokt die voor-namelijk in geld zijn geïnteresseerd en er zelfs in hun dromen niet aan denken hun on-middellijke profijt op te geven voor de vrijheid hun eigen denkwereld te ontwikkelen. Immers, deze innerlijke ontwikkeling, hoe belangrijk en onmisbaar voor wetenschap-pelijke vooruitgang ook, levert de broodheren geen stuiver op.’

Dit citaat is afkomstig uit de autobiografie van de bekende wiskundige Norbert Wie-ner (1894-1964). Hij stelt erin vast dat wetenschap ‘thans’ (hij schrijft in 1956) niet meer is wat het was geweest vóór de eerste wereldoorlog. Het gaat hier duidelijk om

39

méér dan de bekende verzuchtingen van mensen op leeftijd over de ‘goede oude tijd’. Wat Wiener beschrijft is namelijk een volkomen reële, ingrijpende verandering in het karakter van de wetenschapsbeoefening, met tal van serieuze implicaties voor de maatschappij en voor de gezondheid van het wetenschapsbedrijf zelf.

De moderne wetenschap heeft onze mogelijkheden om de werkelijkheid te beheersen en te veranderen enorm vergroot, maar heeft ook nieuwe problemen ge-schapen. Zo heeft de technische vooruitgang bijvoorbeeld naast vele zegeningen óók geleid tot een wereldomvattend bewapeningsvraagstuk, tot bedreiging van de per-soonlijke levenssfeer en het natuurlijke milieu, tot de teloorgang van cultureel en ecologisch erfgoed, alsmede tot vergroting van de sociale en economische ongelijk-heid tussen bevolkingsgroepen in verschillende delen van de wereld. De weten-schapsbeoefening zelf is daarbij niet ongemoeid gebleven, maar als economische factor van het allergrootste gewicht steeds meer speelbal geworden van het beleid van (grote) bedrijven en van overheden. Naarmate het economische wel en wee van de industriële samenleving afhankelijker is geworden van de resultaten van weten-schap en techniek, heeft de productie van die resultaten zelf steeds meer het karakter gekregen van een grootschalige en kapitaalintensieve industrie, met alle kenmerken van dien (vergelijk Wieners opmerkingen over de ‘wetenschapsfabriek’). De opvat-ting van een zuivere wetenschap die naast en los van de maatschappij bestaat ver-dwijnt snel, en er is tegenwoordig een sterke neiging om over wetenschap te spreken alsof het om niets anders gaat dan een tak van commerciële of militaire ‘kennis’-industrie.

Maar het product van wetenschap – kennis – is geen gewoon industrieel pro-duct dat ‘machinaal’, aan de lopende band, door nauwelijks geschoolde mankracht kan worden voortgebracht en vervolgens verhandeld. Het is veeleer het product van een uiterst gespecialiseerde en delicate ambachtelijke methode, die aan uitzonderlijk strenge eisen van nauwgezetheid en betrouwbaarheid dient te zijn onderworpen. De kwaliteit van wetenschappelijke kennis kan niet door anderen dan wetenschappers zelf worden beoordeeld; van een marktmechanisme dat ‘automatisch’ minder-waardige kennisproducten wegselecteert is geen sprake. Hoe kan de kwaliteit van wetenschappelijke kennis dan worden gewaarborgd?

Voor het handhaven van de kwaliteit van de voortbrengselen van wetenschap is nodig dat er in de wetenschappelijke gemeenschap een collectief bewustzijn blijft bestaan van de wetenschappelijke standaarden die nodig zijn om waardevolle resul-taten te kunnen behalen, en een collectieve bereidheid om het naleven van die stan-daarden af te dwingen door de informele sancties waarover die gemeenschap be-

40

schikt. Dit gemeenschappelijke patroon van wetenschappelijke waarden en normen, het ethos van de wetenschap, is door de Amerikaan Merton onder woorden gebracht in de zogenaamde

9. Regels van Merton Wetenschap is een sociale activiteit van een gemeenschap van onderzoekers, die samengehouden wordt doordat men zich aan bepaalde standaarden van vakbe-kwaamheid gebonden weet. Het betreft dus zelfopgelegde normen, die zelden expli-ciet aan de orde komen maar impliciet het verschil tussen ‘goed’ en ‘slecht’ in de wetenschap uitmaken. Onderzoekers moeten zich dit normbesef hebben eigen ge-maakt om volwaardig in de wetenschap mee te kunnen doen. Merton heeft na gron-dig onderzoek het impliciete ethos van de moderne wetenschap expliciet gekarak-teriseerd in termen van vier soorten institutionele normen: universalism, commu-nism, disinterestedness en organized scepticism. Universalisme Het universalisme van de wetenschap drukt uit dat de criteria op grond waarvan over de aanvaardbaarheid van beweringen wordt beslist volstrekt onpersoonlijk dienen te zijn en dus onafhankelijk van ras, geslacht, godsdienst, nationaliteit, maatschappe-lijke klasse, enz. Als iemand een bijdrage aan de wetenschap levert, wordt uit-sluitend die bijdrage beoordeeld, niet de persoon die deze bijdrage geleverd heeft, en deze beoordeling geschiedt ook uitsluitend op objectieve gronden. Is de theorie vol-doende getest, is hij coherent en consistent, levert hij een goede oplossing van de problemen waarvoor hij ontwikkeld is, verklaart hij verschijnselen beter dan voor-afgaande of concurrerende theorieën? enz.. Dit zijn objectieve vragen, die kunnen worden beantwoord zonder de bedenker van de theorie en diens maatschappelijke, politieke, godsdienstige, enz. achtergrond erbij te betrekken. De maatstaven waar-mee wetenschappelijk werk wordt beoordeeld behoren dus onafhankelijk te zijn van welke ‘particuliere’ opvattingen dan ook.

Universalisme is een norm, niet een feit. Er is en wordt tegen gezondigd. De relativiteitstheorie werd ooit door Duitse geleerden afgewezen als een joods ver-dichtsel, in strijd met de principes van de ware (‘echt-deutsche’) fysica. Ongeveer in dezelfde tijd werd de klassieke erfelijkheidsleer, waarin de overerving van individu-ele eigenschappen en competitie tussen nakomelingen centraal stond, door de Rus-sische Academie van Wetenschappen in de ban gedaan als een ‘burgerlijke’ theorie. Er werd door ene Lysenko een alternatieve, ‘socialistische’ leer opgesteld, waarin van samenwerking binnen een collectief van erfelijke varianten werd uitgegaan. De

41

ontwikkeling van kernwapens (op basis van de relativiteitstheorie) en het fiasco van de op Lysenko gebaseerde Russische landbouw hebben ervoor gezorgd dat men in beide gevallen op de genomen beslissingen is moeten terugkomen.

Het feit dat er in de wetenschap (als overal) ook wel nationalistische, racis-tische, sexistische, enz. tendensen aanwezig zijn maakt de universalistische norm niet ongeldig, integendeel. De wetenschappelijke gemeenschap maakt deel uit van de wijdere maatschappij, en als deze als geheel (al dan niet met geweld) door ‘parti-cularistische’ ideeën wordt beheerst, heeft dat uiteraard zijn weerslag in de weten-schap. Onder zulke omstandigheden zijn wetenschappers zich er ofwel van bewust geen objectieve criteria maar de dwang der omstandigheden te volgen, ofwel zij zijn zodanig geïndoctrineerd dat zij hun ideologische ideeën ten onrechte universaliteit toeschrijven. In beide gevallen betekent dit dus in feite een bevestiging dat universa-lisme de norm is: hetzij door een slecht geweten, hetzij door zelfmisleiding. Communisme Aangezien wetenschappelijke resultaten wezenlijk berusten op de collectieve in-spanningen van een wetenschappelijke gemeenschap, die daarvoor afhankelijk is van de vrije beschikbaarheid van alle bevindingen die waar dan ook zijn verzameld, dient tevens communisme de norm te zijn. Niemand kan aanspraak maken op privé-bezit van wetenschappelijke kennis; alle ‘waarlijk’ wetenschappelijke kennis is ge-meenschapsbezit. Anders gezegd: alleen kennis die vrijelijk en volledig met de openbare wetenschapsgemeenschap wordt gecommuniceerd kan aanspraak maken op de status van ‘waarlijk’ wetenschappelijke kennis.

Ook hier is er een groot verschil tussen norm en feit. Veel fundamentele re-search wordt tegenwoordig in het kader van militaire projecten uitgevoerd, en er kunnen goede redenen zijn om in dat geval de resultaten binnenskamers te houden. Weliswaar is dit slecht voor de wetenschap, maar men meent dat het nog slechter zou zijn als deze resultaten in verkeerde handen zouden vallen: een kwestie van kie-zen tussen twee kwaden. Hiermee wordt dus bevestigd dat het onttrekken van we-tenschappelijk werk aan de vrije wetenschappelijke communicatie op zichzelf een kwaad is, en slechts kan worden gerechtvaardigd indien openbaarmaking tot nog groter kwaad zou leiden.

Omdat moderne wetenschap slechts goed kan functioneren als alle resul-taten direct in het gemeenschapsbezit van de publieke wetenschapsorganisatie over-gaan, is de enige directe beloning voor wetenschappelijk werk gelegen in erkenning en reputatie. Hier doet zich dus de paradoxale omstandigheid voor dat een weten-

42

schapper zich slechts van de exclusieve intellectuele eigendom van zijn producten kan verzekeren door deze zo snel en volledig mogelijk te ‘onteigenen’ en aan het publieke domein van objectieve kennis toe te voegen. Alleen indirect kunnen van deze intellectuele eigendomsrechten de vruchten worden geplukt in de vorm van car-rièrevooruitzichten en navenante beloning.

Tegelijkertijd vertegenwoordigen wetenschappelijke resultaten echter ook grote commerciële belangen. In het bedrijfsleven dienen academici soms de onver-enigbare rollen van wetenschapper en koopman te spelen, hetgeen ernstige frustra-ties kan opleveren. Als wetenschapper streeft men immers naar erkenning door een originele bijdrage te leveren aan de vermeerdering van publieke wetenschappelijke kennis, maar de belangen van het bedrijfsleven liggen vaak ergens anders. Gedesinteresseerdheid De gedesinteresseerdheid of belangeloosheid van de wetenschap houdt in dat weten-schap uitsluitend wordt beoefend met het oog op de vermeerdering van kennis, zon-der daar de belangen van wie dan ook bij te betrekken. Natuurlijk hebben individue-le wetenschappers, universiteiten en de wetenschappelijke afdelingen van bedrijven wel degelijk grote belangen bij hun wetenschappelijke resultaten. Maar om tot het domein van publiekelijk erkende wetenschappelijke kennis toegelaten te worden telt alleen of de resultaten voldoen aan de streng objectieve eisen die aan zulke kennis worden gesteld, eisen waarin belangen geen rol mogen spelen.

Gedesinteresseerdheid is geen psychologische karaktertrek van individuele wetenschappers maar een institutionele norm, die zo goed mogelijk dient te waar-borgen dat wetenschappelijke standaards niet in het gedrang komen doordat er grote belangen op het spel staan. Wetenschappers zijn niet onbaatzuchtiger, eerlijker, rechtschapener, enz. dan anderen, maar weten zich voortdurend zeer scherp gecon-troleerd door hun vakgenoten-concurrenten. Als blijkt dat belangen in de totstandko-ming van een wetenschappelijke claim hebben meegespeeld, dat ‘wishful thinking’ bijvoorbeeld tot een minder stringente of selectieve toepassing van beoordelings-criteria heeft geleid, loopt de desbetreffende onderzoeker een goede kans zijn repu-tatie te verspelen – waar hij het als wetenschapper geheel van moet hebben. De we-tenschappelijke gemeenschap kan dergelijk gedrag niet tolereren omdat daardoor haar geloofwaardigheid, en dus haar bestaansrecht, op het spel komt te staan.

Fraude en moedwillige misleiding komen in het door de openbare weten-schapsgemeenschap gecontroleerde onderzoek dan ook nauwelijks voor; maar onder academici die een vrij beroep uitoefenen en met een lekenpubliek te maken hebben,

43

komen kwakzalverij, belanghebbende partijdigheid en oneerlijkheid om het eigen gewin evenveel voor als in andere beroepsgroepen. Georganiseerde scepsis De moderne (westerse) maatschappij onderscheidt zich van andere maatschappijvor-men doordat zij niet op geloof, traditie en onfeilbaar gezag, maar op wetenschap en techniek is gebaseerd. En kenmerkend voor deze wetenschappelijke en technische basis zijn nu juist ongeloof, vernieuwingsbereidheid en kritisch onderzoek. Vandaar dat Merton zijn vierde en laatste norm van wetenschappelijkheid georganiseerde scepsis heeft gedoopt. Een wetenschapper dient niets op gezag te geloven, maar alles kritisch te onderzoeken en te beproeven; er staat een premie op originele ideeën die een vernieuwing zijn ten opzichte van overgeleverde denkbeelden. Wetenschap kan alleen haar opdracht – de vermeerdering van betrouwbare kennis – waarmaken doordat niets en niemand boven kritiek en correctie verheven is. Universalisme, communisme, belangeloosheid en geïnstitutionaliseerde scepsis zijn de normatieve codes van het wetenschapsbedrijf. In de wijdere maatschappij, waarin wetenschappers ook moeten functioneren, gelden echter vaak heel andere normen. Communisme, bijvoorbeeld, vindt men buiten de wetenschap vrijwel nergens meer, en de normen van universalisme en georganiseerde scepsis werden nu juist in de voormalige communistische landen zelfs binnen de wetenschap met voeten getre-den. Wetenschap als instituut is antinationalistisch, antidogmatisch en anti-autoritair, laat nuttigheids- en belangenoverwegingen buiten beschouwing en staat sceptisch tegenover zelfs de meest geliefkoosde overleveringen. In al deze opzichten kan er dus een conflict ontstaan tussen wat er van een wetenschapper qua wetenschapper, en wat er van hem qua staatsburger, gelovige, vertegenwoordiger van een beroeps- of belangengroep, medewerker van een commercieel bedrijf, enz., wordt verwacht.

Speciaal ten aanzien van de norm van gedesinteresseerdheid bestaat er ook een dergelijk spanningsveld tussen de beoefening van zuivere wetenschap en de technisch-industriële uitbating van wetenschappelijke kennis. De eenduidige relatie die Bacon in de 17e eeuw zag tussen wetenschappelijke, technische en maatschap-pelijke vooruitgang, is in de loop van de feitelijke ontwikkeling heel wat gecompli-ceerder gebleken.

44

Opgave 9

Toets de volgende gedragingen aan de regels van Merton: 1. Testresultaten publiceren die in strijd zijn met de meest gezaghebbende theo-

rie. 2. De wetenschappelijke evolutietheorie toetsen aan de bijbel. 3. De theorie van een kapitalistische economie opstellen. 4. Vrouwelijke onderzoekers aansporen meer te publiceren. 5. Patent nemen op een wetenschappelijke vinding. 6. Het bijbelse scheppingsverhaal wetenschappelijk toetsen. 7. Militair relevante onderzoeksgegevens geheimhouden.

45

Antwoorden Opgave 1

1. 1+2+..+n=½n(n+1) blijkt te gelden voor n=1.

Als de uitspraak geldt voor n, dan ook voor n+1, want 1+2+..+n+n+1=½n(n+1)+n+1=½(n+1)(n+2) Dus geldt de uitspraak voor ieder positief geheel getal. 1+3+5+..+(2n-1)=n2 blijkt te gelden voor n=1. Als de uitspraak geldt voor n, dan ook voor n+1, want 1+3+5+..+(2n-1)+2(n+1)-1=n2+2n+1=(n+1)2 Dus geldt de uitspraak voor ieder positief geheel getal.

2.

Bewijs: 2+4+..+2n=2(1+2+..+n)=n(n+1) (zie 1)

Opgave 2

1. Stel er bestaan positieve gehele getallen p en q zó dat √3=p/q, dan moet gelden dat p2=3q2. Het aantal factoren 3 in p2 is nul of even. Het aantal factoren 3 in 3q2 is 1 of oneven. Er kunnen dus geen getallen p en q bestaan zó dat p2=3q2, oftewel √3 is irra-tionaal. Bij √6 krijgt men p2=2.3q2. Zowel het aantal factoren 2 als het aantal factoren 3 kunnen links en rechts niet aan elkaar gelijk zijn. Bij √8 krijgt men p2=2.2.2q2. Het aantal factoren 2 links is nul of even, terwijl rechts een oneven aantal groter of gelijk aan 3 staat.

2. In deze driehoek is BC=2AB. Volgens Pythagoras geldt dus (2AB)2=AB2+AC2, oftewel AC2=3AB2. Stel dat AC en AB met dezelfde maat gemeten kunnen worden en dat m de grootste gemene maat is waarmee dat kan. Stel verder dat AC pm lang is

46

en AB qm. Dan geldt (pm)2=3(qm)2, oftewel p2=3q2. Nu kunnen p en q niet beide door 3 deelbaar zijn, want in dat geval zou er een grotere gemene maat 3m bestaan, terwijl wij hebben geëist dat m de grootste is. Echter, p2 moet zeker door 3 deelbaar zijn (p2/3=q2), en dat kan alleen indien p zelf door 3 deelbaar is, zeg p=3n. Maar dan geldt 3q2=9n2, waaruit volgt dat q2 , en dus ook q zelf, eveneens door 3 deelbaar is. Contradictie. (Men kan natuurlijk ook kortweg de redenering onder 1 volgen.) Opgave 3

ΔADC is gelijkvormig met ΔCDB (drie gelijke hoeken), dus AD:CD=DC:DB oftewel ac=x2

Opgave 4 De straal van de cilinder wordt gehalveerd, dus de oppervlakte van het grondvlak wordt viermaal zo klein, terwijl de hoogte gelijk blijft. De inhoud van de cilinder wordt dus eveneens viermaal zo klein. De verhouding wordt dan 1:6/4 oftewel 2:3. Opgave 5 AB=1, DC=sin(p−q), CB=sinq, BD=sinp, AD=cosp, AC=cosq, dus sin(p−q)=sinpcosq−cospsinq. Opgave 6 De algoritme geeft s=−1 en t=−1, dus ook u=−1 en v=−1. Zo vinden wij de oplos-sing x=u+v=−2. Delen door x+2 geeft x2−2x+1=0, (x−1)2=0, x=1. De oplossingen zijn –2 en 1.

47

Opgave 7 Op grond van de symmetrie kan men vermoeden dat uit de beide derdemachtwortels

iets van de vorm 361 ni± zal komen (de imaginaire delen vallen tegen elkaar weg,

terwijl de reële delen samen ⅓ zijn).

( 361 ni+ )3 = 3)3

121(

23

2161 32 innn −+−

n moet dus voldoen aan:

2710

23

2161 2 −=− n → n=±

21

Alleen n=21

− blijkt ook te voldoen aan 313

121 3 =− nn

Dus: =−−++− 33 331

27103

31

2710 ii 3

21

61 i− + 3

21

61 i+ =

31

Opgave 8 a. Grot b. Theater c. School d. Stam e. Markt f. Stam Opgave 9 1. Prima (georganiseerde scepsis) 2. In strijd met universalisme 3. Niets op tegen 4. Niets op tegen 5. In strijd met communisme en gedesinteresseerdheid 6. Prima (georganiseerde scepsis) 7. In strijd met communisme

48

49

III. Een werkstuk maken

Inleiding

Voor het onderdeel Wiskunde en Samenleving dient een werkstuk te worden gemaakt over een onderwerp naar keuze op een van de gebieden uit de navolgende lijst. Hierbij worden, naast verdieping van vakinhoudelijk inzicht, de verwerving van vaardigheden in het opzoeken, ordenen en verwerken van informatie en het schrijven van een verslag (in LaTeX) nagestreefd. De studielast bedraagt ongeveer 40 uren. Er wordt gewerkt in groepjes van twee of hoogstens drie, naar keuze van de studenten.

1. Gebieden waaruit een onderwerp voor een werkstuk gekozen wordt

• Wiskunde in niet-westerse culturen; culturele afhankelijkheid van (sommige) wiskundige praktijken (ethnomathematics)

• Wiskunde en oorlog; militaire motivatie van wiskundige ontwikkelingen (bijv. Operations Research), opvattingen van wiskundigen en hun organisaties hierom-trent

• Wiskunde en de kunsten (bijv. perspectief, kaartprojectie, bouwkunst, muziek) • Wiskunde en gender; de (mogelijke) sekseafhankelijkheid van wiskundige waar-

den zoals exactheid, objectiviteit, zekerheid; rol van vrouwen in de wiskunde (geen biografieën)

• Wiskunde als taal; ontwikkeling van symbolen en notatiesystemen, rol van (bijv. meetkundige) figuren

• Wiskunde en het publiek; rol van tijdschriften en andere communicatiemiddelen bij de verspreiding van kennis; maatschappelijke rol van genootschappen en an-dere wiskundige organisaties

• Rol van wiskunde in (andere) wetenschap en techniek (bijv. natuurkunde, eco-nomie, elektrotechniek, informatica)

• Beroepspraktijk van wiskundigen; rol van wiskundigen in de kenniseconomie, effecten van overheids(wan)beleid.

50

2. Studietaak

Ga te werk volgens het ‘stappenplan’ dat in de volgende paragraaf beschreven wordt. Houd steeds rekening met de inhoudelijke aandachtspunten die volgens § 6 bij de beoordeling van het werkstuk veel gewicht in de schaal leggen. Houd je wat de opbouw van het verslag betreft aan de aanwijzingen die in § 4 gege-ven worden. De gewenste omvang van wat in die paragraaf de ‘hoofdtekst’ van het verslag wordt genoemd, bedraagt circa vijf A4-tjes. Maak het verslag verder, in La-TeX, op volgens de richtlijnen in § 5.

3. Stappenplan

Stap 1: samenstelling van een groepje en keuze van een gebied Vorm met een of twee medestudenten een groepje dat eenzelfde voorkeur heeft voor een of meer van de in de vorige paragraaf genoemde gebieden en dat over een hieruit nog te kiezen onderwerp samen een werkstuk zou willen maken. Stap 2: oriëntatie op en keuze van het onderwerp (± 3 uren) Oriënteer je op onderwerpen binnen het gekozen gebied door te grasduinen in de bibliotheek of op internet en vraag eventueel de docent om advies. Kies een onderwerp en baken dit, als het te breed is voor de bedoelde studiebelasting, af door er een bepaald aspect uit te lichten. Stap 3: verdere oriëntatie op het onderwerp, een onderzoeksvraag en deelvragen formuleren, eventuele hypothesen opstellen (± 3 uren) Oriënteer je verder op het gekozen onderwerp aan de hand van tijdschriften, boeken en/of internet. Stel een concreet doel voor de bestudering van het onderwerp vast door een onderzoeksvraag te formuleren. De onderzoeksvraag is de hoofdvraag die over het gekozen onderwerp beantwoord zal worden. Leid uit de onderzoeksvraag de nodige deelvragen af. De deelvragen belichten elk een bepaald aspect van de hoofdvraag. Formuleer eventuele hypothesen over de uitkomsten van de deelvragen en de hoofdvraag. Stap 4: een plan van aanpak opstellen (± 3 uren) Bedenk welke activiteiten kunnen leiden tot antwoorden op de onderzoeksvraag en de deelvragen. Denk daarbij aan activiteiten op het gebied van informatie verzamelen, literatuur bestuderen, ordenen en verwerken van de informatie, en het trekken van conclusies. Schrap activiteiten waarvan duidelijk is dat ze in de beschikbare tijd en met de beschikbare middelen niet te realiseren zijn en vervang deze zo nodig door andere.

51

Maak nu een plan van aanpak waarin de activiteiten in chronologische volgorde opgesomd worden en bij elke activiteit is aangegeven hoeveel tijd hieraan besteed zal worden. Noteer dit plan samen met de onderzoeksvraag, de deelvragen en de eventuele hypothese(n) overzichtelijk op een A4-tje. Stap 5: uitvoeren van de geplande activiteiten (± 18 uren) Voer de activiteiten zo veel mogelijk volgens het plan van aanpak uit. Houd in deze fase een beknopt logboek bij. Dit is een A4-tje met een schema waarin per dag ingevuld wordt op welke tijden en op welke plaatsen welke werkzaamheden zijn verricht, en wat daarvan in enkele woorden samengevat het resultaat was. Vergelijk het logboekje regelmatig met het plan van aanpak. Als de verschillen groot worden, stel dan het plan van aanpak bij. Let er daarbij op dat de totale tijdsbesteding gelijk blijft. Pas desnoods ook de onderzoeksvraag of één of meer deelvragen aan. Stap 6: een verslag in klad schrijven(± 4 uren) Maak eerst een globale opzet voor het verslag. Let daarbij op de aanwijzingen in § 4 van deze handleiding. Schrijf kladversies van de verschillende onderdelen, waarbij in gedachten gehouden wordt dat het resultaat uiteindelijk geschikt zou moeten zijn om door medestudenten gelezen te worden. Stap 7: de eindversie van het verslag in LaTeX schrijven (± 6 uren) Maak ten slotte de eindversie in LaTeX, waarbij ook de nodige aandacht wordt be-steed aan het taalgebruik (stijl, spelling, leestekens), eventuele figuren die de tekst ondersteunen, en de lay-out. Raadpleeg hiervoor en voor de opmaak van de litera-tuurlijst § 5.

4. Opbouw van het verslag

Schriftelijke onderzoeksverslagen zijn over het algemeen opgebouwd zoals in het volgende overzicht is aangegeven. Gebruik dit overzicht bij het maken van de opzet voor het verslag. Nadere aanwijzingen over de vormgeving van het verslag zijn te vinden in § 5. Voorwerk (waarvan de onderdelen in het verslag niet genummerd worden)

Als het verslag niet (alleen) in elektronische vorm, maar (ook) op papier wordt aangeleverd, is dit het eerste onderdeel dat in het oog springt:

52

a. Omslag, waarop aan de voorzijde ten minste de titel en de naam/namen van de auteur(s) vermeld zijn of die - als de omslag (gedeeltelijk) doorzichtig is - ten minste deze gegevens van de titelpagina zichtbaar maakt.

Het voorwerk bevat in elk geval achtereenvolgens:

b. Titelpagina met titel en eventuele ondertitel, voorletter(s) en naam/namen van de auteur(s), plaats, jaar en instelling waaraan de auteur(s) werken/studeren.

c. Voorwoord, waarin zaken beschreven zijn die niet tot het onderwerp van het onderzoek behoren, zoals het kader waarin onderzoek is verricht en eventueel nadere gegevens over de auteur(s), de motivatie achter het onderzoek en het beoogde lezerspubliek.

d. Inhoudsopgave, waarin de titels en de eerste paginanummers van alle hieronder genoemde onderdelen van het verslag (ook de paragrafen waaruit de genummerde hoofdstukken bestaan) overzichtelijk opgesomd zijn.

Soms volgt na de inhoudsopgave al direct de Samenvatting, die in dit overzicht als onderdeel van het nawerk genoemd wordt. Aan het voorwerk kunnen eventueel nog worden toegevoegd:

e. Lijst van symbolen, waarin symbolen die voor de doelgroep van het verslag nieuw zijn en die meermalen in het verslag voorkomen (en daarin alleen de eerste keer van een toelichting voorzien zijn), verklaard worden.

f. Verklarende woordenlijst, waarin (vak)termen waarmee de doelgroep niet vertrouwd is, verklaard worden.

Kern (bestaande uit genummerde hoofdstukken) Vaste onderdelen zijn:

a. Inleiding, waarin de relevante achtergrondinformatie, de probleemstelling en het belang hiervan, de hoofdvraag en de deelvragen van het onderzoek, eventuele hypothese(n), een karakterisering van de gehanteerde onderzoeksmethode(n), de randvoorwaarden en (een toelichting op) de opbouw van de rest van het verslag zijn gegeven.

b. Hoofdtekst, waarin - verdeeld over de nodige hoofdstukken - per deelvraag na een korte inleiding is beschreven hoe het onderzoek precies is uitgevoerd, welke resultaten dit heeft opgeleverd en welke conclusies hieruit getrokken kunnen worden.

53

c. Conclusies, waarin uit de antwoorden op de deelvragen die in de voorafgaande hoofdstukken als conclusies geformuleerd zijn, een antwoord op hoofdvraag van het onderzoek afgeleid wordt en overeenkomsten / verschillen met de eventuele hypothese(n) gesignaleerd worden.

De kern van het verslag wordt vaak afgesloten met:

d. Discussie, waarin besproken wordt wat de positieve en de negatieve kanten van het onderzoek zijn geweest en/of resultaten die niet overeestemmen met de hypothese(n) verklaard worden. De discussie kan ook worden opgenomen in hetzelfde hoofdstuk als de conclusies, mits discussiepunten en conclusies duidelijk zijn te onderscheiden.

Nawerk (waarvan de onderdelen niet genummerd zijn) Als geen voetnoten, maar eindnoten gebruikt zijn, begint het nawerk met:

a. Noten, die relevante opmerkingen bevatten die de tekst te veel zouden onderbre-ken.

In elk geval bevat het nawerk:

b. Literatuurlijst, waarin van elk boek, boekdeel, verslag of artikel waarnaar in het verslag verwezen wordt de nodige gegevens zijn opgenomen.

Als geen samenvatting in het voorwerk is opgenomen, volgt deze na de literatuur-lijst:

c. Samenvatting, waarin de achtergrondinformatie, de probleemstelling en het belang hiervan, de hoofdvraag, een karakterisering van de onderzoeksmethode(n) en de conclusie(s) ten aanzien van de hoofdvraag beknopt zijn weergegeven.

Ten slotte volgen eventueel nog:

d. Bijlagen, die afzondelijk genummerd en van titels voorzien zijn en waarin gede-tailleerde onderzoeksgegevens waarnaar in het verslag verwezen is, onderge-bracht zijn.

5. Vormgeving van het verslag

Een verslag is bedoeld om derden te informeren of om gegevens aan te dragen om beslissingen te kunnen nemen. De manier waarop een verslag is vormgegeven is medebepalend voor de vraag of het verslag de bedoelde functie goed kan vervullen. Bij cursussen “schriftelijk rapporteren” wordt aan de vormgeving dan ook veel aandacht besteed.

54

Hieronder volgt een lijst met aandachtspunten die aan het materiaal dat dit soort cursussen ondersteunt, zijn ontleend. Aan de opmaak van de literatuurlijst wordt vervolgens nog afzonderlijk aandacht besteed. Probeer bij de vormgeving van je verslag met dit alles rekening te houden. Aandachtspunten vormgeving

Indeling en omvang van het verslag: - Bevatten het voorwerk, de kern en het nawerk alle vaste onderdelen in een

geschikte volgorde? - Bevatten het voorwerk, de kern en het nawerk de nodige extra onderdelen in een

geschikte volgorde? - Is de hoofdtekst op een geschikte manier in hoofdstukken ingedeeld? - Heeft de hoofdtekst de gewenste omvang (in dit geval circa vijf A4-tjes)?

Uiterlijke verzorging: - Is de typografie (lettertype en -grootte, gebruik vette letters en cursivering,

uitvullen regels, printkwaliteit) overzichtelijk? - Is de lay-out (marges, alinea-indeling, kopjes, witregels) voldoende aantrekke-

lijk? - Zijn tabellen en figuren overzichtelijk en zijn ze voorzien van volgnummer, titel

en eventuele bronvermelding? - Zijn verwijzingen in de tekst naar tabellen, figuren, noten, literatuur, bijlagen

duidelijk? - Is de literatuurlijst op de gebruikelijke manier opgemaakt? - Zijn de eventuele bijlagen elk van een nummer en een titel voorzien? Taalgebruik: - Zijn woordkeus en zinsbouw afgestemd op de doelgroep? - Is de tekst beknopt (maar niet in telegramstijl)? - Is de tekst voldoende levendig door afwisseling in zinslengte en het gebruik van

voorbeelden? - Bevat de tekst geen taal- of typfouten? - Zijn leestekens correct gebruikt?

Titelpagina: - Bevat de titelpagina de gewenste onderdelen (titel en eventuele ondertitel,

voorletter(s) en naam/namen van de auteur(s), plaats, jaar en instelling)? - Is de titel niet te lang? - Is de titel samen met de eventuele ondertitel voldoende informatief?

55

Voorwoord: - Bevat het voorwoord de gewenste gegevens (kader waarin onderzoek is verricht

en eventueel: gegevens over auteur(s) en keuze onderwerp, doelgroep verslag en dankwoorden)?

Inhoudsopgave: - Bevat de inhoudsopgave alle gewenste informatie (eventuele nummers en in elk

geval de titels en eerste paginanummers van alle volgende onderdelen van het verslag, ook van de paragrafen van de genummerde hoofdstukken en van de af-zonderlijke bijlagen)?

- Is de inhoudsopgave overzichtelijk?

Inleiding: - Bevat de inleiding de nodige informatie (achtergrond-informatie, probleemstel-

ling en belang hiervan, hoofdvraag en deelvragen, eventuele hypothese(n), onder-zoeks-methode(n) en randvoorwaarden, opbouw verslag)?

Hoofdtekst: - Bevat deze tekst per hoofdstuk alle gewenste informatie (welke deelvraag/vragen,

gehanteerde onderzoeksmethode, verzamelde gegevens, conclusies en antwoor-den op deelvraag/vragen)?

- Is de inhoud van de hoofdstukken goed opgebouwd? - Zijn de stappen in het betoog steeds goed te volgen, worden ter toelichting vol-

doende voorbeelden gegeven? - Is de verzamelde informatie correct weergegeven? - Wordt niet alleen uit bronnen geciteerd, maar worden de verzamelde gegevens

ook op een nieuwe manier bewerkt? - Wordt uitgelegd dat de conclusies uit de gegevens volgen?

Afronding kern: - Is bij de conclusies kernachtig en duidelijk beschreven hoe uit de antwoorden op

de deelvragen een antwoord op hoofdvraag afgeleid wordt? - Wordt ook gesignaleerd in hoeverre de antwoorden overeenstemmen met de hy-

pothese(n)? - Bevat de discussie een goed doordachte terugblik op het onderzoek en/of

verklaring voor discrepanties tussen de resultaten en de hypothese(n)? - Zijn de aanbevelingen goed beargumenteerd?

Literatuurlijst: - Bevat deze lijst gegevens van alle literatuur waarnaar in het verslag verwezen is

en ook niet meer dan dat? - Zijn van elk werk alle gewenste gegevens (zie de pagina’s 13 en 14) vermeld?

56

- Bevat de literatuurlijst geen fouten?

Samenvatting: - Bevat de samenvatting de gewenste gegevens (achtergrond-informatie, probleem-

stelling en het belang hiervan, hoofdvraag, onderzoeksmethode(n), conclusie(s) bij de hoofdvraag)?

- Is de samenvatting beknopt en duidelijk?

Noten, bijlagen: - Is in de tekst naar alle noten en bijlagen verwezen? - Bevatten de noten relevante opmerkingen die de tekst te veel zouden onderbre-

ken? - Bevatten de bijlagen relevante onderzoeksgegevens die zo gedetailleerd zijn dat

ze de tekst te veel zouden onderbreken? De literatuurlijst De literatuurlijst in het verslag bevat gegevens over de boeken of verslagen, boekde-len en artikelen die bij het onderzoek gebruikt zijn en waarnaar in het verslag ver-wezen is. Literatuurverwijzingen in het verslag bestaan uit een nummer, dat meestal tussen rechte haken gezet wordt: [.], of uit de naam van de (eerstgenoemde) auteur en – als de literatuurlijst meerdere werken van de dezelfde auteur(s) bevat – het jaar van ver-schijnen. In het eerste geval wordt de literatuur in de lijst genummerd, in het tweede geval niet. Een lange literatuurlijst wordt alfabetisch, op de achternaam van de (eerstgenoemde) auteur, geordend. Voor een korte literatuurlijst kan ook de volgorde gehanteerd worden waarin de verwijzingen in de tekst van het verslag hebben plaats gevonden. Een vermelding in de literatuurlijst begint met de voornaam/namen en/of voorletter(s) en de achternaam/namen van de auteur(s). Van de eerste auteur wordt eerst de achternaam genoemd, na een komma volgen de voornaam/voorletter(s) en de eventuele voorvoegsels van de achternaam. Na de gegevens over de auteur(s), hiervan gescheiden door een komma, volgt de volledige titel (inclusief ondertitel) van het boek(deel) of artikel. Of deze titel cursief gezet wordt of niet, welke gegevens na de titel nog vermeld worden en de manier waarop dat gebeurt, hangt ervan af of de vermelding een verslag of boek of verslag, een boekdeel of een artikel betreft. Over het algemeen worden hierbij de volgende richtlijnen aangehouden.

57

Boek of verslag De titel cursief. Als het niet de eerste druk van het boek is, wordt na de titel - eventueel tussen haakjes - vermeld om welke druk het hier gaat. Als het een dissertatie is, wordt dit soms ook vermeld. Na een afsluitende punt volgen de plaats van verschijnen, een komma of dubbele punt, de naam van de uitgever (van het boek) of de instelling (in het geval van een verslag), een komma, het jaar van verschijnen en een afsluitende punt. Bijvoorbeeld: [2] Smid, Harm Jan, Een onbekookte nieuwigheid? Invoering, omvang, inhoud en

betekenis van het wiskundeonderwijs op de Franse en Latijnse scholen 1815-1863, proefschrift. Delft: Delft University Press, 1997.

Boekdeel De titel van het betreffende hoofdstuk niet cursief, vaak tussen enkele aanhalingstekens. Na een afsluitende punt volgen na “In: “ de gegevens over het boek (zie boven). Bijvoorbeeld: [1] Walberg, H.J., ‘Synthesis of research on teaching’. In: Wittrock, Merlin C. (ed.),

Handbook of research on teaching, 3rd edition. New York: Macmillan, 1986. Artikel De titel van het artikel niet cursief, vaak tussen enkele aanhalingstekens, afgesloten met een punt. Nu volgen na “In:” de gecursiveerde naam van het tijdschrift, een komma, het jaartal, een komma, de jaargang, die - als deze niet voorafgegaan wordt door “jg” of “Vol.” - vaak vet of cursief gedrukt wordt, en het nummer van het tijd-schrift binnen de jaargang, voorafgegaan door “nr” of een komma. Ten slotte vol-gen, na een komma en eventueel voorafgegaan door “p.” het eerste, een verbindings-streepje en het laatste paginanummer van het artikel. Bijvoorbeeld: [5] Streun, A. van, ‘Bewijzen als denkmethode’. In: Euclides, 1997, jg 72 nr 8, p. 295-301

6. Beoordeling

Bij de beoordeling van het werkstuk speelt een rol in hoeverre de aanwijzingen in de vorige paragrafen over het plan van aanpak, het logboekje en de verslaggeving opgevolgd zijn. Maar het belangrijkste is natuurlijk de kwaliteit van de inhoud van het onderzoek zoals blijkt uit het verslag. Hieronder worden, in de vorm van vragen, de inhoudelijke aandachtspunten gegeven die bij de beoordeling gehanteerd worden. Gebruik deze ter controle als je bezig bent met de planning en de uitvoering van het werkstuk en bij de invulling van de vaste onderdelen van de kern van het verslag.

58

Inhoudelijke aandachtspunten Onderwerp en probleemstelling: - Zijn de hoofdvraag en de deelvragen duidelijk? - Hebben de onderzoeksvragen voldoende diepgang? - Zijn (indien van toepassing) de hypothesen duidelijk en correct? - Passen de hypothesen bij de probleemstelling? Verzameling en verwerking van de gegevens: - Zijn geschikte informatiebronnen en/of relevante waarnemingen verricht? - Zijn voldoende gegevens verzameld om de deelvragen en de hoofdvraag te kun-

nen beantwoorden? - Zijn de verzamelde gegevens op een geschikte manier geordend? Beantwoording van de onderzoeksvragen: - Volgt de beantwoording van de onderzoeksvragen uit de verzamelde gegevens? - Geven de conclusies antwoord op de gestelde deelvragen en/of de hoofdvraag? - Wordt verband gelegd tussen de gevonden antwoorden en de eventuele hypothe-

sen?