Dictaat bij het college Kwantummechanica 3:de kwantummechanica van veeldeeltjessystemenW.J.P. BeenakkerJaargang 2013 2014

Inhoud van het college:1) Bezettingsgetalrepresentatie en tweede kwantisatie2) Kwantumstatistiek3) Relativistische 1-deeltjes kwantummechanica4) Kwantisatie van het elektromagnetisch veld5) Veeldeeltjesinterpretatie van de relativistische QM

De volgende literatuur is gebruikt :F. Schwabl, Advanced Quantum Mechanics, third edition (Springer, 2005);David J. Griffiths, Introduction to Quantum Mechanics, second edition(Prentice Hall, Pearson Education Ltd, 2005);Eugen Merzbacher, Quantum Mechanics, third edition (John Wiley & Sons, 2003);B.H. Bransden and C.J. Joachain, Quantum Mechanics, second edition(Prentice Hall, Pearson Education Ltd, 2000).

Inhoudsopgave1 Bezettingsgetalrepresentatie en tweede kwantisatie1.1 Resume identieke deeltjes in de kwantummechanica . . . . . . . . . . . .1.2 Bezettingsgetalrepresentatie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.2.1 Constructie van de Fock-ruimte . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.3 Overgang naar een continue 1-deeltjesrepresentatie . . . . . . . . . . . .1.3.1 Plaats- en impulsrepresentatie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.4 Additieve veeldeeltjesgrootheden en deeltjesbehoud . . . . . . . . . . . .1.4.1 Additieve 1-deeltjes grootheden . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.4.2 Additieve 2-deeltjes grootheden . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.5 Heisenbergbeeld en tweede kwantisatie . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.6 Voorbeelden en toepassingen: bosonische systemen . . . . . . . . . . . .1.6.1 De lineaire harmonische oscillator als identiek veeldeeltjessysteem1.6.2 Gedwongen oscillatoren: coherente toestanden en quasi-deeltjes .1.6.3 Superfluditeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.6.4 Superfluditeit voor zwak-repulsieve spin-0 bosonen (deel 1) . . . .1.6.5 Intermezzo: de Bogolyubov-transformatie voor bosonen . . . . . .1.6.6 Superfluditeit voor zwak-repulsieve spin-0 bosonen (deel 2) . . . .1.6.7 Het rariteitenkabinet van superflude 4 He: het two-fluid model .1.7 Voorbeelden en toepassingen: fermionische systemen . . . . . . . . . . .1.7.1 Fermi-zee en gatentheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.7.2 De Bogolyubov-transformatie voor fermionen . . . . . . . . . . . .2 Kwantumstatistiek2.1 De dichtheidsoperator (J. von Neumann, 1927) . . . . . . . . . .2.2 Voorbeeld: polarisatie van een spin-1/2 ensemble . . . . . . . .2.3 De bewegingsvergelijking voor de dichtheidsoperator . . . . . . .2.4 Kwantummechanische ensembles in thermisch evenwicht . . . .2.4.1 Thermisch evenwicht (thermodynamisch postulaat) . . .2.4.2 Kanonieke ensembles (J.W. Gibbs, 1902) . . . . . . . . .2.4.3 Microkanonieke ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . .2.4.4 Grootkanonieke ensembles (J.W. Gibbs, 1902) . . . . . .2.4.5 Even alles op een rijtje gezet . . . . . . . . . . . . . . . .2.5 Fermi-gassen bij T = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.5.1 Grondtoestand van een Fermi-gas . . . . . . . . . . . . .2.5.2 Fermi-gas met periodieke randvoorwaarden . . . . . . . .2.5.3 Fermi-gas model voor geleidingselektronen in een metaal2.5.4 Fermi-gas model voor zware kernen . . . . . . . . . . . .2.5.5 Sterren in het eindstadium van de sterevolutie . . . . . .

...............

...............

...............

...............

...............

....................

11551315161619212424263233384042454547

...............

50535659606262666770707577788185

2.62.7

..........

8891939499102104105107110

........

113114119121122123126128132

4 Kwantisatie van het elektromagnetisch veld4.1 Klassieke elektromagnetische velden: covariante formulering . . . . . . . .4.1.1 Oplossing van de vrije elektromagnetische golfvergelijking . . . . . .4.1.2 Elektromagnetische golven in termen van harmonische oscillaties . .4.2 Kwantisatie en fotonen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.2.1 Deeltjesinterpretatie bij het gekwantiseerde elektromagnetische veld4.2.2 Fotontoestanden en toestandsdichtheid voor fotonen . . . . . . . . .4.2.3 Nulpuntsenergie en het Casimir-effect . . . . . . . . . . . . . . . . .4.2.4 Continuumlimiet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.3 Een nieuwe kijk op deeltjesgolf dualiteit . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.4 Interacties met niet-relativistische QM systemen . . . . . . . . . . . . . . .4.4.1 Klassieke limiet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.4.2 Spontane fotonemissie (geen tentamenstof) . . . . . . . . . . . . . .4.4.3 Het fotongas: kwantumstatistiek voor fotonen . . . . . . . . . . . .

136136138140142143144145146147148151152155

2.8

Systemen bestaande uit niet-interagerende deeltjes . . . . . . . .Ideale gassen in drie dimensies . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.7.1 Klassieke gassen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.7.2 Bose-gassen en BoseEinstein condensatie (1925) . . . .2.7.3 Fermi-gassen bij T 6= 0 (geen tentamenstof) . . . . . . .2.7.4 Experimentele realisatie van BoseEinstein condensatenLage-temperatuur supergeleiding (geen tentamenstof) . . . . . .2.8.1 Welke elektronen vormen Cooper-paren? . . . . . . . . .2.8.2 Het energiegat en superfluditeit . . . . . . . . . . . . . .2.8.3 Excitatiespectrum en quasi-deeltjes . . . . . . . . . . . .

..........

3 Relativistische 1-deeltjes kwantummechanica3.1 Eerste poging: de KleinGordon vergelijking (1926) . . . . . . . .3.2 Tweede poging: de Dirac-vergelijking (1928) . . . . . . . . . . . .3.2.1 De waarschijnlijkheidsinterpretatie bij de Dirac-vergelijking3.2.2 Covariante formulering van de Dirac-vergelijking . . . . . .3.2.3 Dirac-spinoren en Poincare-transformaties . . . . . . . . .3.2.4 Oplossingen van de Dirac-vergelijking . . . . . . . . . . . .3.2.5 Het succesverhaal van de Dirac-theorie . . . . . . . . . . .3.2.6 Problemen met de 1-deeltjes Dirac-theorie . . . . . . . . .

..........

........

..........

........

..........

........

..........

........

5 Veeldeeltjesinterpretatie van de relativistische QM1575.1 Kwantisatie van het KleinGordon veld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1585.2 Kwantisatie van het Dirac-veld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1625.2.1 Toegift: de 1-(quasi)deeltjesbenadering voor elektronen . . . . . . . 166

A Fourier-reeksen en Fourier-integralenA.1 Fourier-reeksen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .A.2 Fourier-integralen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .A.2.1 Definitie van de -functie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

iiiiiii

B Eigenschappen van de Pauli-spinmatrices

iv

C Multiplicatorenmethode van Lagrange

v

D Speciale relativiteit: conventies en definities

v

E Elektromagnetische orthonormaliteitsrelaties

ix

1

Bezettingsgetalrepresentatie en tweede kwantisatieIn dit hoofdstuk zal de kwantummechanica van identieke veeldeeltjessystemenverder worden uitgewerkt. De bijbehorende toestandsruimte zal worden geconstrueerd in termen van creatie- en annihilatie-operatoren, gebruik makende vande bezettingsgetalrepresentatie. Daarbij zullen nieuwe concepten zoals quasideeltjes en tweede kwantisatie worden gentroduceerd.Overeenkomstig materiaal is te vinden in Schwabl (Hst. 1,2 en 3) en Merzbacher (Hst. 21,22 en oscillatordeel van Hst. 14).

1.1

Resume identieke deeltjes in de kwantummechanica

Deeltjes heten identiek als ze niet van elkaar kunnen worden onderscheiden aan de handvan een intrinsieke eigenschap (zoals spin, lading, massa, ).Deze ononderscheidbaarheid heeft belangrijke kwantummechanische implicaties in situatieswaarbij de golffuncties van de identieke deeltjes overlappen, zodat de deeltjes gelijktijdigin een bepaald ruimtelijk gebied kunnen worden gevonden. Denk hierbij aan het interactiegebied van een verstrooiingsexperiment of een afgesloten ruimte. Als de deeltjes effectiefgelocaliseerd zijn, zoals metaalionen in een metaalrooster, dan zal de identiteitsvraag geenrol spelen. In zon situatie zijn de deeltjes praktisch gezien onderscheidbaar op basis vanhun plaatscoordinaat en hebben de golffuncties een verwaarloosbare overlap.Voor identieke deeltjes worden twee extra eisen aan de kwantummechanica (QM) opgelegd. Voor een systeem met identieke deeltjes moet gelden dat een willekeurige verwisseling van de deeltjes geen observabele consequenties mag hebben, anders warende deeltjes namelijk wel onderscheidbaar geweest. Dit impliceert het concept vanverwisselingsontaarding , hetgeen inhoudt dat de verwachtingswaarden van het systeem voor willekeurige veeldeeltjesobservabelen niet zullen mogen veranderen als deidentieke deeltjes worden verwisseld in de toestandsfunctie. Hieruit volgt dan datde relevante kwantummechanische observabelen voor identieke veeldeeltjessystemensymmetrische functies zijn van de afzonderlijke 1-deeltjes observabelen. De kwantumtoestand van een identiek veeldeeltjessysteem lijkt ten gevolge van deverwisselingsontaarding niet door een maximale meting te kunnen worden vastgelegd.De manier waarop de natuur dit heeft opgelost is samen te vatten in hetsymmetrisatie-postulaat : identieke veeldeeltjessystemen worden beschreven dooroftewel volledig symmetrische toestandsfuncties als de deeltjes bosonen zijn oftewelvolledig antisymmetrische toestandsfuncties als de deeltjes fermionen zijn. Voor deniet-relativistische QM is het een empirisch feit dat een gemengde symmetrie nietvoorkomt in de natuur.1

In dit hoofdstuk zal dit postulaat op een alternatieve manier worden geformuleerd enzal daaruit worden afgeleid dat uitsluitend volledig symmetrische/antisymmetrischetoestandsfuncties aan de gewenste eisen voldoen.Volledig symmetrische toestandsfuncties worden in de zogenaamde q-representatie aangegeven met S (q1 , , qN , t), waarbij q1 , , qN de coordinaten zijn van de N afzonderlijkeidentieke deeltjes. Deze coordinaten zijn eigenwaarden behorende bij een complete setcommensurabele 1-deeltjes observabelen q. Er zijn natuurlijk vele mogelijkheden om dezecoordinaten geschikt te kiezen. Een veel gebruikte keuze voor de coordinaten is bijvoorbeeld qj = (plaatscoordinaat ~rj , magnetisch spinkwantumgetal msj j , ), waarbijmet de stippels mogelijke andere interne (intrinsieke) vrijheidsgraden van deeltje j worden aangegeven. Voor de symmetrische toestandsfuncties moet gelden dat P S (q1 , , qN , t) = S (qP (1) , , qP (N) , t) = S (q1 , , qN , t) ,

(1)

P

met P een permutatie-operator die alle coordinaten van de identieke deeltjes verwisseltovereenkomstigq1 qP (1) , q2 qP (2) , , qN qP (N) .(2)De deeltjes met toestanden beschreven door volledig symmetrische toestandsfuncties hetenbosonen en hebben de volgende eigenschappen:- bosonen hebben geheeltallige spin (zie Hst. 4 en 5);- bosonen voldoen aan de zogenaamde BoseEinstein statistiek (zie Hst. 2);- bosonen zitten graag in dezelfde toestand.Volledig antisymmetrische toestandsfuncties worden in de q-representatie aangegeven metA (q1 , , qN , t). Voor deze antisymmetrische toestandsfuncties moet gelden dat + A (q1 , , qN , t) even P P A (q1 , , qN , t) = A (qP (1) , , qP (N) , t) =.P A (q1 , , qN , t) oneven P

(3)

Een permutatie P heet even/oneven als het is opgebouwd uit een even/oneven aantalverwisselingen van twee deeltjes. De deeltjes met toestanden beschreven door volledigantisymmetrische toestandsfuncties heten fermionen en hebben de volgende eigenschappen:- fermionen hebben halftallige spin (zie Hst. 5);- fermionen voldoen aan de zogenaamde FermiDirac statistiek (zie Hst. 2);- fermionen kunnen niet in dezelfde toestand zitten.2

Als bovenstaande (anti)symmetrisatieprocedure resulteert in een ruimtelijke symmetrisatie,dan is er een verhoogde kans dat de deeltjes bij elkaar in de buurt zitten. Let wel: dit kanbijvoorbeeld optreden bij identieke fermionen die in een antisymmetrische spintoestandzitten. Een ruimtelijke antisymmetrisatie geeft daarentegen aanleiding tot een verlaagdekans dat de deeltjes bij elkaar in de buurt zitten. Let wel: dit kan bijvoorbeeld optredenbij identieke spin-1 bosonen die in een antisymmetrische spintoestand zitten.Gesoleerde niet-interagerende veeldeeltjessystemen: veeldeeltjessystemen waarbijde onderlinge interacties tussen de deeltjes verwaarloosd mogen worden heten niet-interagerende veeldeeltjessystemen . De eigenschappen van zulke systemen worden bepaald doorhet soort deeltjes en door de mogelijke invloed van een externe potentiaal die op hetsysteem werkt (bijvoorbeeld ten gevolge van een magneetveld). Als zon niet-interagerendveeldeeltjessysteem in een macroscopisch eindig volume zit opgesloten en uit een grootaantal deeltjes bestaat, dan spreken we van een ideaal gas.Gesoleerde niet-interagerende veeldeeltjessystemen (zoals vrije-deeltjessystemen,ideale gassen, . . . ) spelen een centrale rol in het college Kwantummechanica 3,zowel bij het bepalen van de fysische eigenschappen van systemen bestaande uitidentieke bosonen/fermionen als bij het opzetten van de relativistische QM.Omdat we hier dus te maken hebben met gesoleerde systemen is er sprake van behoud vantotale energie en kan de toestandsfunctie van het systeem uitgedrukt worden in termenvan de stationaire toestandenE (q1 , , qN , t) = exp(iEt/~) E (q1 , , qN ) ,met

E (q1 , , qN ) = E E (q1 , , qN ) .H

(4)

De Hamilton-operator van een niet-interagerend veeldeeltjessysteem is opgebouwd uit pure1-deeltjes Hamilton-operatoren, d.w.z. Hamilton-operatoren die uitsluitend afhangen vanobservabelen behorende bij een en hetzelfde deeltje. Als we de 1-deeltjes Hamilton-operator j , dan geldt voor N deeltjes datvan deeltje j aangeven met H =H

NXj =1

j ,H

met

j , HkH

= 0 voor alle j , k = 1, , N .

(5)

De Hamilton-operatoren van de afzonderlijke deeltjes zijn dus commensurabel. Stel de1-deeltjes energie-eigenwaardenvergelijking j (qj ) = E (qj )Hjjj

(6)

heeft als oplossing de orthonormale set energie-eigenfuncties {j (qj )} bij de energieeigenwaarden Ej die gelabeld worden door een complete set kwantumgetallen. Voorbeelden van zon complete set kwantumgetallen zijn j = nj voor een lineaire harmonische3

oscillator of j = (nj , j , mj , msj ) voor een 1-elektron atoom. Voor de orthonormale setenergie-eigentoestanden van het volledige niet-interagerende N-deeltjessysteem moeten wedan drie scenarios onderscheiden.A) De deeltjes zijn onderscheidbaar . De orthonormale set N-deeltjes energie-eigentoestanden bestaat uit toestanden van de vormE (q1 , , qN ) = 1 (q1 ) 2 (q2 ) N (qN ) ,

met

E =

NX

Ej .

(7)

j =1

Zulke producttoestandsfuncties beschrijven een ongecorreleerd systeem waarvoor demeting van de eigenschappen van een specifiek deeltje geheel onafhankelijk van deandere deeltjes kan worden uitgevoerd.De complete set producttoestandsfuncties spannen samen de N-deeltjes toestandsruimte voor onderscheidbare deeltjes op.B) De deeltjes zijn ononderscheidbare bosonen. De orthonormale set N-deeltjes energie-eigentoestanden bestaat uit volledig symmetrische toestanden van de vormS (q1 , , qN ) =met

NS =

p

1NS

X

versch.perm.

1 (qP (1) ) 2 (qP (2) ) N (qP (N) ) ,

aantal verschillende permutaties van 1 , , N .

(8)

De mogelijke energie-eigenwaarden zijn dezelfde als in vergelijking (7).De bosonische N-deeltjes toestandsruimte wordt opgespannen door een gereduceerde set lineaire combinaties van producttoestandsfuncties. Zoals verwacht beschrijft dit een gecorreleerd systeem waarvoor de meting van de eigenschappen van een specifiek deeltje wordt benvloed door de andere deeltjes.C) De deeltjes zijn ononderscheidbare fermionen. De orthonormale set N-deeltjes energie-eigentoestanden bestaat uit volledig antisymmetrische toestanden van de vorm1 XA (q1 , , qN ) = (1)P 1 (qP (1) ) 2 (qP (2) ) N (qP (N) )N! perm.

(q1 ) (q1 )12

1 1 (q2 ) 2 (q2 )=

....N! ..

1 (qN ) 2 (qN )4

N (q1 )

N (q2 ) ,....

..

N (qN )

(9)

waarbij de determinant bekend staat onder de naam Slater-determinant. De mogelijke energie-eigenwaarden zijn weer dezelfde als in vergelijking (7), met dien verstande dat 1 , , N allemaal verschillend moeten zijn. Als namelijk twee completesets kwantumgetallen j en k hetzelfde zijn, dan zijn twee kolommen in de Slaterdeterminant aan elkaar gelijk en verdwijnt de volledig antisymmetrische eigenfunctie A . Dit staat bekend als hetPauli-uitsluitingsprincipe voor identieke fermionen: slechts een fermion kan in eengegeven volledig gespecificeerde 1-deeltjeskwantumtoestand zitten.Ook de fermionische N-deeltjes toestandsruimte wordt opgespannen dooreen gereduceerde set lineaire combinaties van producttoestandsfuncties. Ookdit beschrijft een gecorreleerd systeem waarvoor de meting van de eigenschappen van een specifiek deeltje wordt benvloed door de andere deeltjes.

1.2

BezettingsgetalrepresentatieDoelstelling: we gaan nu de toestandsruimte (Fock-ruimte) construeren vaneen veeldeeltjessysteem bestaande uit een willekeurig aantal identieke deeltjesvan een niet nader gespecificeerd type. Deze Fock-ruimte zegt niets over hetfysische scenario waarin de beschouwde deeltjes zich bevinden, zoals onderlingeinteracties, externe invloeden, etc.. Het is simpelweg de complexe vectorruimte(Hilbert-ruimte, om precies te zijn) die alle mogelijke veeldeeltjes toestandsfuncties omvat en waarin de kwantummechanische veeldeeltjestheorie geformuleerdmoet woren. De feitelijke constructie van de Fock-ruimte bestaat uit het vinden van een complete set basistoestanden ten opzichte waarvan een willekeurigeveeldeeltjes toestandsfunctie ontbonden kan worden. De eigenschappen van dezebasistoestanden leggen dan de eigenschappen van de Fock-ruimte vast.

De algemene constructievoorschriften voor de Fock-ruimte zijn: toestanden mogen niet veranderen onder deeltjesverwisseling; om het superpositieprincipe te garanderen mag de vorm van de Fock-ruimte nietveranderen bij overgang naar een alternatieve representatie van de basistoestanden.1.2.1

Constructie van de Fock-ruimte

Beschouw identieke deeltjes van een niet nader gespecificeerd type en neem aan dat q eenbijbehorende complete set commensurabele 1-deeltjes observabelen is. Neem aan dat degekozen complete set commensurabele 1-deeltjes observabelen q uitsluitend discrete volledig gespecificeerde eigenwaarden qj heeft die worden genummerd volgens j = 1, 2, .5

De bijbehorende 1-deeltjes basis van genormeerde eigentoestanden wordt gegeven door{|qj i, j = 1, 2, }. Vervolgens gaan we de veeldeeltjes toestandsruimte opspannendoor middel van (speciale) lineaire combinaties van producttoestandsfuncties bestaandeuit deze 1-deeltjes basistoestanden. Denk hierbij aan de 1-deeltjes Hamilton-operatorenen bijbehorende eigenfuncties die in 1.1 werden gebruikt om de toestandsruimte voorniet-interagerende deeltjes op te spannen. Omdat er sprake is van een identiek veeldeeltjessysteem is het uitgesloten dat een legitieme veeldeeltjestoestand een uitspraak kandoen over de identiteit van een deeltje in een specifieke 1-deeltjes eigentoestand. Zonveeldeeltjestoestand kan hooguit iets zeggen over het aantal deeltjes nj dat in een vollediggespecificeerde 1-deeltjes eigentoestand bij de eigenwaarde qj zit. Deze getallen nj wordenbezettingsgetallen genoemd en kunnen, mits toegestaan, de waarden 0, 1, doorlopen.Postulaat (ter vervanging van het symmetrisatie-postulaat): de hermitische teloperatorenn1 , n 2 , , die het aantal identieke deeltjes in de 1-deeltjeskwantumtoestand met eigenwaarde q1 , q2 , tellen, vormen samen een complete set commensurabele veeldeeltjesobservabelen. De complete set 1-deeltjes observabelen q is hierbij vrij te kiezen.Het postulaataspect is hier dat de toestandsruimte voor interagerende deeltjesis op te bouwen aan de hand van niet-interagerende bouwblokken, die gebaseerdzijn op 1-deeltjes observabelen. Omdat de complete set 1-deeltjes observabelenvrij kan worden gekozen, is automatisch ook het superpositieprincipe zonderenige restrictie ingebouwd. Dit laatste zal garanderen dat de Fock-ruimte geenaanleiding zal geven tot gemengde symmetrie.De bijbehorende genormeerde eigentoestanden |n1 , n2 , i spannen dus samen de volledigeFock-ruimte op:0-deeltjestoestand

:

|(0) i |0, 0, i vacuumtoestand ,

1-deeltjestoestanden

:

|j i |0, , 0, nj = 1, 0, i |qj i ,

(1)

(10)

...metn j | , nj , i = nj | , nj , i ,

(11)

waarbij met de overige bezettingsgetallen worden aangegeven. De representatie van detoestandsfuncties die correspondeert met zon type basis wordt bezettingsgetalrepresentatiegenoemd.Vervolgens gaan we de Fock-ruimte vanuit het vacuum opbouwen door stap voor stap meerdeeltjes aan de basistoestanden toe te voegen. Voer hiertoe de creatie-operator aj in die6

aan een basistoestand | , nj , i een deeltje met kwantumgetal qj toevoegt volgensp

(12)aj | , nj , i =nj +1 exp ij ( , nj , ) | , nj +1, i .

De fasefactor exp ij ( , nj , ) kan hier dus in principe zowel van de basistoestand| , nj , i als van de label j afhangen. Uit de orthonormaliteit van de veeldeeltjesbasisvolgt dan automatisch datq

(12)h , nj , | aj | , nj , i ====nj +1 exp ij ( , nj , ) nj ,nj +1definitie

====

zodataj | , nj , i =

h , nj , | aj | , nj , i ,

nj exp ij ( , nj 1, ) | , nj 1, i

(13)

voor de annihilatie-operator aj . Deze definitie voor de creatie- en annihilatie-operatoren isconsistent met de notie van een vacuumtoestand als een toestand zonder deeltjes, immers(10),(13)

aj |(0) i ==== 0

h(0) | aj = 0 .

(14)

Let wel, aj 6= aj , zodat de creatie- en annihilatie-operatoren zelf geen observabelen zijn.Een eerste deel van de faseconventie voor de veeldeeltjes basistoestanden wordt vastgelegddoor de werking van aj en aj op de basistoestanden |(0) i respectievelijk |(1) i tespecificeren:

(1)(1)aj |(0) i |j i , aj |k i jk |(0) i exp ij (0, 0, ) = 1 .(15)Voor willekeurige basistoestanden geldt nu dat

(11),(12)k6=j | , nj , , nk , i = 0 ,nj , ak6=j | , nj , , nk , i ==== nj nj a

(11),(12)nj , aj | , nj , i ====

resulterend in de commutatierelaties

nj , ak = jk ak

[nj +1] nj aj | , nj , i = aj | , nj , i ,herm. conj.

======

nj , ak

= jk ak .

(16)

Verder kan er een direct verband worden afgeleid tussen de teloperatoren en de op bovenstaande wijze gedefinieerde creatie/annihilatie-operatoren. Hiertoe beschouwen we devolgende matrixelementen voor willekeurige basistoestanden:(13)

h , nj , | aj aj | , nj , i ==== nj nj ,nj .Deze matrix is diagonaal en heeft de correcte bezettingsgetallen als eigenwaarden, ofteweln j = aj aj .7

(17)

Overgang naar een andere discrete 1-deeltjesrepresentatie.Ga over van de 1-deeltjes basis {|qj i, j = 1, 2, } bij de complete set observabelen qnaar de basis {|pr i, r = 1, 2, } bij de alternatieve complete set observabelen p. Opgrond van de bijbehorende volledigheidsrelaties geldt danX

|qj i =

r

|pr ihpr |qj i

|pr i =

en

Xj

|qj ihqj |pr i ,

(18)

waarbij de basisovergangsmatrix (crj ) (hpr |qj i) voldoet aan de unitariteitsconditiesXr

hqk |pr ihpr |qj i = hqk |qj i = jk

X

en

j

hpr |qj ihqj |pv i = hpr |pv i = rv . (19)

De Fock-ruimte kan nu op volledig analoge wijze worden opgezet in termen van de 1-deeltjeseigentoestanden |pr i en bijbehorende creatie/annihilatie-operatoren br en br . Als de tweevacuumtoestanden in beide representaties aan elkaar gelijk worden gesteld, dan moeten(1)de volgende relaties gelden tussen de oude basistoestanden |(0) i, |j i en de nieuwe(1)basistoestanden |(0) i, |r i :vacuumtoestand : |(0) i |0, 0, i = |(0) i ,(18)

(1)

1-deeltjestoestanden : aj |(0) i = |j i = |qj i =====

Xr

hpr |qj i|(1)r i =

Xr

Xr

|pr ihpr |qj i

hpr |qj i br |(0) i =

Xr

(20)b hpr |qj i|(0) i .r

Zonder verlies van algemeenheid kan de resulterende (1-deeltjes)relatie tussen de twee setscreatie/annihilatie-operatoren tot de volledige Fock-ruimte worden uitgebreid:aj =

X

b hpr |qj ir

======

X

aj hqj |pr i

======

r

b =r

j

herm. conj.

aj =

X

br hqj |pr i ,

X

aj hpr |qj i .

r

herm. conj.

br =

j

(21)

Op deze manier is de creatie van een deeltje met kwantumgetal qj netjes equivalent meteen lineaire superpositie van afzonderlijk gecreeerde deeltjes met alle mogelijke kwantumgetallen pr , elk met een eigen amplitude hpr |qj i.Een belangrijke cross-check op de tot nu toe gevolgde procedure wordt gegeven door dezogenaamde totale teloperator =N

Pj

8

nj .

(22)

Deze operator telt het totale aantal deeltjes van een gegeven identiek veeldeeltjessysteem,hetgeen natuurlijk invariant moet zijn onder een willekeurige 1-deeltjes basisovergang. Nugeldt inderdaad datX XXX(17)(21)(19)b bv hpr |qj ihqj |pv i ====b bv rv =b br . ====Naj aj ====rrrj

r,v

j,r,v

r

Constructie van de Fock-ruimte: eerste stap.Voor een willekeurige veeldeeltjestoestand |i geldt dat aj ak |i en ak aj |i dezelfdetoestand beschrijven. Dit houdt in dat er een relatie van het type

aj ak exp i(, j, k) ak aj |i = 0

moet gelden, waarbij de fasefactor exp i(, j, k) zowel van de veeldeeltjestoestand |ials van de labels j en k zou kunnen afhangen.

We gaan eerst met behulp van het superpositieprincipe bewijzen dat exp i(, j, k) onafhankelijk moet zijn van de veeldeeltjestoestand |i. Beschouw hiertoe twee willekeurigeverschillende veeldeeltjes basistoestanden |1 i en |2 i, dan beschrijft op grond van hetsuperpositieprincipe ook |i = c1 |1 i + c2 |2 i met c1,2 C een mogelijke veeldeeltjestoestand. Hieruit volgt dan dat c1 exp i(, j, k) ak aj |1 i + c2 exp i(, j, k) ak aj |2 i

= exp i(, j, k) ak aj |i = aj ak |i = aj ak (c1 |1 i + c2 |2 i)

zodat

= c1 exp i(1 , j, k) ak aj |1 i + c2 exp i(2 , j, k) ak aj |2 i,

exp i(1 , j, k) = exp i(2 , j, k) exp i(j, k) .1 ,2

Dit houdt in dat

aj ak exp i(j, k) ak aj |i = 0

aj ak exp i(j, k) ak aj = 0 .

Vervolgens kan de representatie-onafhankelijkheid van de Fock-ruimte worden gebruiktdoor deze operatoridentiteit met behulp van vergelijking (21) om te schrijven naar eenwillekeurige alternatieve 1-deeltjesrepresentatie :X

hpr |qj ihpv |qk i br bv exp i(j, k) bv br = 0 .r,v

In deze uitdrukking zijn de nieuwe creatie-operatoren br en bv onafhankelijk van de oorspronkelijke creatie-operatoren aj en ak . Verder weten we dat de producten hpr |qj ihpv |qk i9

niet op een representatie-onafhankelijke manier tot 0 te combineren zijn, aangezien daarvoor alleen de unitariteitsconditie (19) gebruikt zou kunnen worden. Derhalve moet geldendat

r, v

b b = exp i(j, k) b b = exp 2i(j, k) b b exp i(j, k) exp(i) = 1 ,r vv rr v

waarbij in de tweede stap is gebruikt dat exp i(j, k) per definitie onafhankelijk is vanb en b . Hiermee hebben we gevonden dat de fasefactor exp(i) universeel is. Er zijnrvdus twee takken van oplossingen:

j , ak = 0k = aaj , ak |i = 0 commutatierelaties : aj , aof

(23)

k = 0 ,aj , aaj , ak = aj , ak |i = 0 anticommutatierelaties :

gebruik makende van de zogenaamde anticommutator

B AB +B A .A,

(24)

Constructie van de Fock-ruimte: tweede stap.

Tenslotte kan dit resultaat gecombineerd worden met de algemene commutatierelaties (16).

C zowelHiertoe maken we gebruik van het feit dat een commutator van het type AB,in termen van commutatoren als anticommutatoren kan worden uitgeschreven:

C = A B, C + A, C B = A B, C A, C B .AB,

(25)

Voor de commuterende set oplossingen uit vergelijking (23) vinden we zo

n j , ak

(16)

(23)(17)j ==== aj aj aj , aj , ak aj , ak ==== jk aj ,==== aj aj , ak = ak + a

en voor de anticommuterende set oplossingen

(17)

(16)

(23)j aj , ak = aj aj , aj anj , ak ==== aj , ak aj ==== ak aj .j , ak ==== jk aAlles bij elkaar moeten de creatie/annihilatie-operatoren dus voldoen aan oftewel

j , ak = 0 ,commutatierelaties : aj , ak = a

aj , ak = jk 1 ,

de bijbehorende identieke deeltjes worden bosonen genoemd,

oftewel10

(26)

anticommutatierelaties :

j , ak = 0 ,aj , ak = a

aj , ak = jk 1 ,

(27)

de bijbehorende identieke deeltjes worden fermionen genoemd.

In het volgende hoofdstuk zal worden afgeleid dat deze twee verschijningsvormen voor decreatie/annihilatie-operatoren van identieke veeldeeltjessystemen aanleiding geven tot volstrekt verschillende statistische theorieen. Zoals in het werkcollege zal worden aangetoondgelden de (anti)commutatierelaties in identieke vorm voor alle representaties, zodat bij eengegeven soort deeltje precies een van de twee soorten statistiek hoort en een gemengdestatistiek dus is uitgesloten.In het werkcollege zal tevens worden aangetoond dat de veeldeeltjestoestandenY (aj )nj(a1 )n1 (a2 )n2(0)p|n1 , n2 , i | i |(0) in1 !n2 !n!jj

(28)

samen de gezochte orthonormale basis van de Fock-ruimte vormen. Deze universele basisheeft precies dezelfde vorm voor bosonen en fermionen. Let wel op de volgorde van decreatie-operatoren, die is namelijk van belang voor fermionische systemen!Eigenschappen voor bosonische veeldeeltjessystemen (zie opgave 1): Bovenstaande basis komt overeen met de faseconventie

exp ij ( , nj , ) 1

(29)

in vergelijking (12), zodat geldt

aj | , nj , i =aj | , nj , i

=

nj | , nj 1, i ,

p

(30)

nj +1 | , nj +1, i .

Bij k-voudige annihilatie (k = 0, 1, ) wordt ditqnj (nj 1) (nj k+1) | , nj k, i ,(aj )k | , nj , i =

hetgeen alleen tot een zinvol resultaat leidt als de reeks stopt zodra nj k < 0.Hieruit volgt dan onmiddellijk dat nj uitsluitend de waardennj = 0, 1, 2,

(31)

kan doorlopen, zoals verwacht voor de eigenwaarden van een teloperator. In de basistoestanden is de volgorde van de creatie-operatoren niet belangrijk. Detoestandsfuncties zullen in deze versie van de Fock-ruimte volledig symmetrisch blijken te zijn onder deeltjesverwisseling, zoals verwacht voor bosonische toestanden.Dit aspect zal in 1.3 worden toegelicht.11

Eigenschappen voor fermionische veeldeeltjessystemen (zie opgave 2): Op grond van vergelijking (27) moet gelden dat (aj )2 = 21 aj , aj = 0. Dus geentwee fermionen kunnen in dezelfde volledig gespecificeerde 1-deeltjestoestand zitten,zoals verwacht op basis van het Pauli-uitsluitingsprincipe . De bezettingsgetallen kunnen slechts twee waarden aannemen, namelijknj = 0, 1 .

(32)

Dit volgt uit het feit dat de teloperatoren in dit geval projectie-operatoren zijn:a2 = 0

(17)(27)jj ==== aj ( 1 aj aj ) aj ==== aj aj = nj .n 2j ==== aj aj aj a

Ook dit is in overeenstemming met het Pauli-uitsluitingsprincipe. Bovenstaande basis komt overeen met de faseconventieexp ij ( , nj , )

(1)

N 0

E 2 2 = C 2 (u21 v12 )2 ==== C 2

======

|| < E

en C =

E 2 2 .

Zoals aan het begin van dit intermezzo werd beloofd hebben we de Hamilton-operatornu in een vorm gekregen die uitsluitend bestaat uit de eenheidsoperator en teloperatorenvoor de quasi-deeltjes. In opgave 8 van het werkcollege zal tenslotte worden aangetoonddat de bijbehorende grondtoestand, d.w.z. de toestand zonder quasi-deeltjes excitaties,opgebouwd is uit coherent gecreeerde deeltjesparen . In 1.7.2 zal aan de hand van eensoortgelijke procedure de fermionische versie van dit alles worden afgeleid.1.6.6

Superfluditeit voor zwak-repulsieve spin-0 bosonen (deel 2)

De benadering (100) voor de totale Hamilton-operator aan het eind van 1.6.4 is nou preciesvan de vorm beschreven in het voorgaande intermezzo. Met behulp van een geschikte setBogolyubov-transformaties kan de Hamilton-operator dan ook worden omgeschreven tot

X ~2 q 21 X N(N 1) U(0) 1~q (c~q c~q + c~q c~q)+ N U(q) ~q +H222m2q 6= ~0~

=

q 6= ~0~

XN(N 1)1 X ~2 q 2U(0) + N U(q) ~q +~q c~q c~q ,222mq 6= ~0~

(110)

q 6= ~0~

met bijbehorend quasi-deeltjes excitatiespectrum2 2

~q = ~q =

~q2m

s

1+

4mN U(q).~2 q 2

(111)

Voor elk paar impulsen ~q en ~q met ~q 6= ~0 dient daartoe een bosonische Bogolyubovtransformatie te worden gebruikt van het typec~q u~q b~q + v~q b~q

,

40

c~q u~q b~q + v~q b~q

gebaseerd op de volgende energieparameters in vergelijkingen (102) en (109):E

1 ~2 q 2+ N U(q),2 2m

1N U(q) .2

Voor de totale-impulsoperator geldt op grond van benaderingsstap 2 op pagina 37 data~0 a~0

1 X1 X(96)~Ptot ====~~q a~q a~q a~q a~q ~~qa~q a~q a~q a~q22Nq 6= ~0~

(101)

====

(112)

q~ 6= ~0

X (107) 1 X

1 X~~q c~q c~q ,~~q b~q b~q b~q b~q ====~~q c~q c~q c~q c~q =22q 6= ~0~

q 6= ~0~

q 6= ~0~

zodat we de nieuwe deeltjesinterpretatie kunnen aflezen. Quasi-deeltjes met energie ~q enimpuls ~~q worden gecreeerd door c~q , geannihileerd door c~q en geteld door c~q c~q . Degrondtoestand van het nieuwe veeldeeltjessysteem bevat nog steeds geen kwanta met impuls ~~q 6= ~0 . Echter, zowel de samenstelling van deze grondtoestand in termen van deoorspronkelijke deeltjes als de vorm (dispersierelatie) van het elementaire excitatiespectrum hebben een verandering ondergaan onder invloed van de interactie.1) Benadering van het excitatiespectrum voor zwak-repulsieve spin-0 bosonen: Voor hoge excitatie-energieen ~2 q 2 mN |U(q)| verschilt het quasi-deeltjes excitatiespectrum ~q ~2 q 2 /(2m)+N U(q) niet wezenlijk van het niet-interagerende spectrum, zodat de quasi-deeltjes dezelfde eigenschappen hebben als de oorspronkelijkebosonen. Voor lage excitatie-energieen ~2 q 2 mN U(q) verandert het quasi-deeltjes excitapptiespectrum in ~q ~q N U(q)/m ~q N U(0)/m . De quasi-deeltjes beschrijven dan massaloze kwanta , namelijk gekwantiseerde geluidsgolven in het beschouwdemedium met voortplantingssnelheidrZ~qN U(0)1cs = limd~r U(r) .(113)=,met U(0) =q 0 ~qmVV

De laag-energetische quasi-deeltjesinterpretatie van hetinteragerende systeem verschilt zo dus wezenlijk vande oorspronkelijke deeltjesinterpretatie van het nietinteragerende systeem. We zien tevens dat we hiermeeinderdaad een systeem hebben gevonden dat aanleidingkan geven tot superfluditeit als u < uc cs .

~q

kwadratisch

lineair|~q |

41

2) Benadering van de grondtoestand voor zwak-repulsieve spin-0 bosonen: ook de samenstelling van de grondtoestand van het interagerende veeldeeltjessysteem in termen van deoorspronkelijke deeltjes is wezenlijk veranderd (zie opgave 8 van het werkcollege). In het niet-interagerende geval zitten alle deeltjes in de 1-deeltjes grondtoestand(0)(0)met impuls ~0 en energie 0 (d.w.z. n~0 = N en n~k 6= ~0 = 0). Dit condensaat heeftruimtelijke correlaties op alle afstanden (zie opgave 7 van het werkcollege). In het interagerende geval geldt dit laatste nog steeds, maar de deeltjesexcitatiesvoor ~k 6= ~0 maken plaats voor quasi-deeltjes excitaties met dezelfde impuls, zodat in de nieuwe grondtoestand deze 1-quasi-deeltjes excitaties geen van allen bezetzijn (d.w.z. n~k = ~0 N en voor de quasi-deeltjes n~k 6= ~0 = 0). Deze situatie zonderaangeslagen quasi-deeltjes verschilt nu wezenlijk van een situatie zonder aangeslagendeeltjes. In de oorspronkelijke deeltjesinterpretatie bevat het nieuwe condensaat namelijk weldegelijk deeltjes buiten de 1-deeltjes grondtoestand in de vorm van coherentgeexciteerde deeltjesparen met tegengestelde impuls. De kinetische-energie toenamewordt hierbij gecompenseerd door de afname van de repulsieve interactie-energie.Opmerking: als de ruimtelijk gemiddelde paarinteractie U(0) attractief was geweest,d.w.z. U(0) < 0, dan was de grondtoestand niet stabiel geweest. Dit is rechtstreeks afte lezen uit het complex worden van het spectrum (111) bij zeer lage energieen. Het is dannamelijk energetisch gunstiger voor het systeem om een zeer groot aantal laag-energetischedeeltjesparen buiten de 1-deeltjes grondtoestand te bevatten, zodat bovenstaande aanpakvoor lage energieen niet meer geldig is. De fermionische versie van zon pairing effecten de bijbehorende instabiliteit voor de vorming van gebonden deeltjesparen zal in hoofdstuk 2 worden bekeken in de context van supergeleiding. Een eerste kennismaking met ditfenomeen is in opgave 9 van het werkcollege te vinden.1.6.7

Het rariteitenkabinet van superflude 4 He: het two-fluid model

Bovenstaand veeldeeltjessysteem staat bijvoorbeeld model voor de laag-energetische excitaties~q kB1in vloeibaar 4 He, dat superflude wordt bij temperaturen beneden T = 2.18 K (P.L. Kapitsa,[K]J.F. Allen en A.D. Misener, 1937). Er dient welde kanttekening te worden geplaatst dat in datgeval de paarinteractie niet echt zwak is, omdater per slot van rekening sprake is van een vloeistof. Dientengevolge treedt voor hogere energieeneen tweede tak met excitaties op, die de kritischesnelheid voor superfluditeit verlaagt (zie plaatje).42

fononen

rotonen

1 ]|~q | [A

fractie helium IIBij het absolute nulpunt van temperatuur is 4 Hevolledig superflude, d.w.z. er zijn geen laagenergetische excitaties thermisch aangeslagen.Voor toenemende temperatuur begint vanaf ongeveer 0.9 K een merkbare invloed van de thermisch aangeslagen excitaties te ontstaan. Opfractie helium Ihet temperatuurinterval 0 < T < T is er effectief sprake van twee vloeistoffen. Enerzijdsis er het condensaat zonder aangeslagen quasideeltjes excitaties. Deze vloeistof, helium II geheten, is superflude en draagt geen thermische energie. Anderzijds is er de collectie van thermisch aangeslagen quasi-deeltjes excitaties. Deze vloeistof, helium I geheten, draagt de thermische energie en geeft aanleiding totwrijving. Voor T > T is de invloed van de helium II component verwaarloosbaar. Metbehulp van dit zogenaamde two-fluid model kan een aantal soms verrassende fenomenenworden begrepen.

Herkenbaarheid van T (P.L. Kapitsa, 1937): een markant superflude verschijnsel is datbij verlaging van de temperatuur beneden T het vloeibare helium abrupt ophoudt te kokenen tot rust komt. De reden hiervoor is dat helium I zal wegstromen van plaatsen waar devloeistof lokaal warmer is om zo thermische energie af te voeren, terwijl het niet-thermischehelium II juist naar zulke plaatsen zal toestromen om de massadichtheid constant te houden.Het superflude Helium II wordt daarbij gekenmerkt door een oneindig goede warmtegeleiding, zodat het feitelijk niet mogelijk is om in deze vloeistof een temperatuurgradient op tezetten. Dit leidt ertoe dat in vloeibaar helium al voor temperaturen net beneden T eenmiljoenvoudig efficienter warmtetransport optreedt, zodat gasbellen geen tijd meer krijgenom zich te vormen.Wrijving voor T < T : objecten die zich bij een temperatuur beneden T door 4 He bewegen ondervinden uitsluitend wrijving ten gevolge van de helium I component en nietten gevolge van de helium II component. Op basis van dit gegeven kunnen bijvoorbeeldde helium I en helium II vloeistoffracties experimenteel worden bepaald (zie bovenstaandplaatje). Voor temperaturen beneden ongeveer 0.9 K gedraagt de vloeistof zich nagenoegvolledig superflude, zodat het blijft stromen als het eenmaal (bijvoorbeeld bij hogere T )in beweging is gebracht (persistent current).Wrijvingsloze stroming door een poreuze begrenzing: ten gevolge van wrijving kan de helium I component niet door zeer nauwe kanalen heenstromen. De superflude helium IIcomponent daarentegen kan dat wel, zonder dat daarbij sprake moet zijn van een drukverschil tussen beide zijden van zon kanaal. Dus voor T < T kan 4 He door poreuzebegrenzingen stromen en gedraagt deze stroming zich 100% wrijvingsloos. Zon situatiewaarbij een selectieve superflude stroming optreedt wordt een superlek genoemd.43

Fisher and Pickett, Nature 444, 2006Het fonteineffect (J.F. Allen en H. Jones, 1938):beschouw een experimentele opstelling bestaande uit twee containers met 4 He die doormiddel van een superlek met elkaar zijn verbonden. Beide containers zijn afgekoeld tot dezelfdetemperatuur beneden T . Als nu een van decontainers iets warmer wordt gemaakt (bijvoorbeeld door er met een zaklamp op te schijnen),dan zal in die container het aantal aangeslagenexcitaties toenemen. Dit betekent dat de helium I component toeneemt ten koste van de helium II component. Om het verschil in helium IIconcentratie te compenseren zal er vanuit de andere container helium II door het superlek gaanstromen. Omgekeerd is er geen compenserendestroming van helium I naar de andere containermogelijk waar de helium I concentratie lager is. Hierdoor vindt er een vloeistofophopingplaats in de verwarmde container (warmtepomp). Door de verwarmde container van eencapillaire uitlaatklep te voorzien kan een spectaculaire fontein (fonteineffect ) worden geconstrueerd.

Kruipende heliumfilm: 4 He heeft de eigenschapdat de onderlinge van der Waals-bindingen zwakker zijn dan de van der Waals-bindingen metandere atomen. Derhalve hecht zich makkelijk een 30 nm dikke 2-dimensionale heliumfilm(Rollin film) aan alle wanden van een afgeslotenheliumcontainer. Indien een deel van deze filmnaar een lager niveau kan stromen/druppelenbinnen de container (zie plaatje), dan zal er eensuperflude helium II stroming ontstaan die pasophoudt als het heliumniveau overal in de container een energetisch optimum bereikt. Hierbij lijkt het dan alsof het helium de zwaartekracht trotseert.Als je wat interessant filmmateriaal wil bekijken met betrekking tot de hierbovengeschetste bizarre wereld van superflude 4 He, dan raad ik je aan om eens naarhttp://www.youtube.com/watch?v=2Z6UJbwxBZI te gaan of elders rond te snuffelen opYouTube.44

1.71.7.1

Voorbeelden en toepassingen: fermionische systemenFermi-zee en gatentheorie

Beschouw een systeem bestaande uit een zeer groot, constant aantal N elektronen metmassa m. De elektronen zitten opgesloten in een grote kubus met ribben L en periodiekerandvoorwaarden, zodat er sprake is van een discreet impulsspectrum{~p = ~~k : kx,y,z = 0, 2/L, 4/L, } .

(114)

Zonder onderlinge interacties tussen de elektronen: de totale kinetische-energieoperator van het niet-interagerende identieke veeldeeltjessysteem kan in diagonaalvormworden geschreven in de impulsrepresentatie:Ttot =

X~k

X

ms = 1/2

~2~k 2 ,~a a2m ~k,ms k,ms

(115)

met kinetische energie-eigenwaardenE =

X ~2~k 2n~.2m k,ms

(116)

~k,ms

Met behulp van de totale-impulsoperator en totale spinoperator in de z-richtingXX~tot ~ez =~~k a~k,m aP~tot =~k,msms ~ a~k,m a~k,msenSs

s

~k,ms

(117)

~k,ms

kan zo de (triviale) deeltjesinterpretatie behorende bij de gebruikte creatie- en annihilatieoperatoren worden afgelezen. Deeltjes met kinetische energie ~2~k 2 /(2m), impuls ~~k enspincomponent ms ~ langs de z-as worden gecreeerd door a~k,m , geannihileerd door a~k,mss

~ .a~k,m as k,ms

en geteld door n~k,ms =Het bezettingsgetal n~k,ms geeft aan hoeveel van deniet-interagerende deeltjes er in de aangegeven impuls- en spineigentoestand zitten.Grondtoestand : voor de grondtoestand van het niet-interagerende N-elektronsysteemgeldt nu dat n~k,ms = 1 als |~k | kF en n~k,ms = 0 als |~k | > kF . Zon systeem wordteen volledig gedegenereerd elektrongas genoemd. De volledig gespecificeerde 1-deeltjesenergieniveaus zijn dan van onder af aan bezet met een elektron tot aan de Fermi-energieEF = ~2 kF2 /(2m). In dat geval geldtN =

X

n~k,ms = 2

X

en

X ~2~k 2.2m

De bijbehorende grondtoestandsfunctie wordt dus gegeven doorY ~k, 1 |(0) i a~k,ms |grond i = 0 als |~k | > kF .|grond i =a~k, 1 a|~k | kF

2

(118)

|~k | kF

|~k | kF

~k,ms

Egrond = 2

2

45

(119)

Deze grondtoestand, die Fermi-zee wordt genoemd, heeft een verdwijnende totale impulsen spin, en heeft een substantiele kinetische energie. In de grondtoestand oefent het elektrongas dus weldegelijk druk uit (zie Hst. 2)!leegAangeslagen toestanden : de simpelste aan~k2geslagen toestanden worden verkregen door~k1een van de elektronen in de Fermi-zee te excitekFren tot boven de Fermi-zee (zie plaatje). Aanbezetgezien alle toestanden binnen de Fermi-zee albezet zijn is zon excitatie makkelijker vanuitenergieniveaus aan de rand van de Fermi-zeeelektrongatgrondtoestand:dan vanuit dieper gelegen energieniveaus, omexcitatievolle Fermi-zeedat daarvoor beduidend meer energie nodig is.Deze eigenschap zal bepalend blijken te zijn voor het thermische gedrag van fermionischeveeldeeltjessystemen bij niet te hoge temperaturen (zie Hst. 2). Een excitatie van dit typeis als volgt weer te geven in creatie- en annihilatietaal:

|ex i = a~k

2 ,ms2

a~k1 ,ms |grond i1

|~k1 | kF < |~k2 | .

als

(120)

Omdat ten gevolge van de excitatie een gat in de Fermi-zee ontstaat wordt ook wel determinologie elektrongat excitatie gebruikt. In de zogenaamde gatentheorie wordt ditaspect verder uitgewerkt door met behulp van de Bogolyubov-transformatiesa~k,ms c~k,m

s

als |~k | kF

en

a~k,m c~k,ms

s

als |~k | > kF

(121)

over te gaan op een beschrijving waarbij een gat in de Fermi-zee de status krijgt van eenquasi-deeltje met tegengestelde kwantumgetallen. De Fermi-zee is in dat geval een toestand zonder gaten in de zee en zonder excitaties boven de zee, d.w.z. de Fermi-zee is debijbehorende quasi-deeltjes vacuumtoestand! Een aangeslagen toestand van bovenstaandtype komt dan overeen met quasi-deeltjes paarcreatie. De gatentheorie-aanpak speelt metname een belangrijke rol bij de beschrijving van elektrische geleiding en bij Diracs pogingtot het opzetten van de relativistische kwantummechanica.Deze aanpak kan alleen met fermionen: we hebben namelijk gebruik gemaaktvan het Pauli-uitsluitingsprincipe, dat zegt dat n~k,ms [0, 1], om de rol van bezeten leeg te verwisselen in de deeltjesinterpretatie van de gatentheorie. Het voordeel hiervan is dat de Fermi-zee (grondtoestand) de vacuumtoestand is binnendeze alternatieve deeltjesinterpretatie en dat een aangeslagen toestand overeenkomt met de creatie van een quasi-deeltjes paar. Men verkiest binnen degatentheorie dus bewust gebruikersvriendelijkheid boven (quasi-)deeltjesbehoud!

46

Zwakke interacties tussen de elektronen: voor zwakke repulsieve interacties kan inhet algemeen storingstheorie worden gebruikt, waarbij bovenstaande niet-interagerendesituatie als ongestoord startpunt fungeert. Met behulp van gatentheorie kan daarbij deFermi-zee als vacuumtoestand worden gehanteerd. Voor zwakke attractieve interacties isde situatie volledig anders. In opgave 9 van het werkcollege zal worden aangetoond hoe deaanwezigheid van de Fermi-zee van bezette toestanden aanleiding geeft tot de zogenaamdeCooper-instabiliteit. Dit houdt in dat twee elektronen die zich boven een Fermi-zee vanbezette toestanden bevinden een gebonden paar met eindige bindingsenergie kunnenvormen als hun onderlinge interactie maar attractief is. In tegenstelling tot een 1-deeltjesgebonden toestand in een potentiaalput treedt dit veeldeeltjesbindingseffect op ongeachtde sterkte van de interactie en is het niet met een storingsreeks te beschrijven (zie de bespreking van het lage-temperatuurfenomeen van supergeleiding in 2.8).1.7.2

De Bogolyubov-transformatie voor fermionen

Voor later gebruik wordt tenslotte de fermionische versie van de Bogolyubov-transformatieuit 1.6.5 afgeleid. We gaan hierbij uit van exact hetzelfde 2-niveau systeem als beschrevenop pagina 38, waarbij pas na vergelijking (103) iets afwijkends gaat optreden. Dus ook indit geval wordt de transformatie gegeven door c1 = u1 a1 + v1 a2 en c2 = u2 a2 + v2 a1 .1,2 als c1,2 , c1,2 aanIn tegenstelling tot het bosonische geval willen we nu dat zowel a1,2 , afermionische anticommutatierelaties voldoen. Dan moet het volgende gelden voor de reeleconstanten u1,2 en v1,2 :u1 v2 + v1 u2 = 0

en

u21 + v12 = u22 + v22 = 1

u1 = + u2

,

v1 = v2

en

u21 + v12 = 1

of u1 = u2

,

v1 = + v2

en

u21 + v12 = 1 .

(122)

Bewijs: de anticommutatierelaties c1 , c1 = c2 , c2 = c1 , c2 = 0 volgen rechtstreeks1,2 . Uit de eis dat de overigeuit de fermionische anticommutatierelaties voor a1,2 en aanticommutatoren

(27) (103) c1 , c2 ==== u1 a2 + v2 a1 ==== (u1 v2 + v1 u2) 1 ,1 + v1 a2 , u2 a

(103)

(27)c1 , c1 ==== u1 a1 + v1 a2 , u1 a1 + v1 a2 ==== (u21 + v12 ) 1 ,

(103) (27)c2 , c2 ==== u2 a2 + v2 a1 , u2 a2 + v2 a1 ==== (u22 + v22 ) 1 ,

aan de gebruikelijke fermionische anticommutatierelaties moeten voldoen, volgen tenslottede aangegeven condities voor u1,2 en v1,2 .47

In bovenstaande transformatie wordt voor het vrij te kiezen teken meestal het bovensteteken genomen (d.w.z. u1 = u2 en v1 = v2 ). Deze specifieke keuze geeft dan aanleidingtot de volgende generieke vorm voor de fermionische Bogolyubov-transformatie:c1 u1 a1 + v1 a2

,

c2 u1 a2 v1 a1

(123)

a2 = u1 c2 + v1 c1 .

(124)

met inversea1 = u1 c1 v1 c2

,

In de literatuur wordt er verder meestal voor gekozen om u1 en v1 te parametriseren intermen van de reele parameter volgens u1 = cos en v1 = sin om op die manierautomatisch aan de conditie u21 + v12 = 1 te voldoen.Speciaal geval: als u1 = u2 = 0, dan zijn de tekens van zowel v1 als v2 vrij te kiezen.Meestal zal dan v1 = v2 = 1 worden gekozen, zoals in 1.7.1 is gedaan bij de quasi-deeltjesbeschrijving van gatentheorie.Het fermionische quasi-deeltjesvacuum : in het geval van fermionen is het verwijderenvan een deeltje uit een bepaalde toestand equivalent met het creeren van een gat in de bezetting van die toestand. Het type quasi-deeltje waarmee we hier dus te maken hebben iseen lineaire combinatie van een deeltje en een gat. Dit type quasi-deeltje wordt veelvuldiggebruikt in met name de vaste-stoffysica bij de beschrijving van interagerende fermionsystemen (zie 1.7.1 en 2.8). In opgave 10 van het werkcollege zal het fermionische quasideeltjesvacuum |0i worden uitgedrukt in termen van de oorspronkelijke basistoestanden|n1 , n2 i:

op fasefactor na2 |0, 0i .|0i ========= u1 |0, 0i v1 |1, 1i = u1 v1 a1 a(125)Het additief maken van de niet-additieve Hamilton-operator in vergelijking (102).

Om deze operator door middel van een Bogolyubov-transformatie in een additieve vorm tekrijgen bekijken we twee combinaties van quasi-deeltjes teloperatoren. Ten eerste geldt(123)

c1 c1 c2 c2 ==== (u1 a1 + v1 a2 )(u1 a1 + v1 a2 ) (u1 a2 v1 a1 )(u1 a2 v1 a1 )(27)

2 a2 )2 ) v12 (a1 a1 a2 a==== u21 (a1 a1 a(27)

(122)

==== (u21 + v12 )(a1 a1 a2 a2 ) ==== a1 a1 a2 a2 .

(126)

Deze relatie zegt wederom dat onder de overgang van deeltjes naar quasi-deeltjes bepaaldekwantumgetallen behouden kunnen worden gehouden, vooropgesteld dat die kwantumgetallen een tegengestelde waarde hebben in de toestanden |q1 i en |q2 i. Zon situatie zijnwe in feite al bij het voorbeeld van gatentheorie in 1.7.1 tegengekomen.48

Op analoge wijze is af te leiden datc1 c1 + c2 c2 1 = (u21 v12 )(a1 a1 + a2 a2 1) + 2u1 v1 (a1 a2 + a2 a1 ) .

(127)

in vergelijking (102) is nu om te schrijven totDe niet-additieve Hamilton-operator H = E (a a1 + aH2 a2 1) + (a1 a2 + a2 a1 ) + E 11c1 c1 + c2 c2 1) + E 1 .= E 2 + 2 (

(128)

Bewijs: op basis van vergelijking (127) zijn we op zoek naar een factor C zodanig dat(122)

C(u21 v12 ) = E en 2Cu1 v1 = . Hieruit volgt dat E 2 + 2 = C 2 (u21 + v12 )2 ==== C 2 ,waarbij het teken van C wordt bepaald door het teken van (u21 v12 )/E .Zoals gewenst bestaat de Hamilton-operator in deze vorm uitsluitend uit de eenheidsoperator en teloperatoren voor de quasi-deeltjes. De hier beschreven diagonalisatiemethode zal in 2.8 expliciet gebruikt gaan worden bij de bespreking van het lage-temperatuurfenomeenvan supergeleiding. Voor de beschrijving van de elektrongaten in 1.7.1 hebben we gebruik gemaakt van een speciaal geval van de Bogolyubov-transformatie waarbij c1 = a2 enc2 c2 + c1 c1 2).2 2) = E (1 + a2 ac2 = a1 . In dat geval geldt E (a1 a1 + a2 a2 ) = E (a1 aDe creatie van een gat in de Fermi-zee resulteert namelijk in een negatieve energiebijdrageten opzichte van de Fermi-energie. Zoals boven is opgemerkt wordt het teken van de energie van de quasi-deeltjes bepaald door het teken van (u21 v12 )/E, hetgeen aangeeft of hetbeschouwde type quasi-deeltje meer deeltje is dan gat (plusteken) of meer gat is dan deeltje(minteken).

49

2

KwantumstatistiekIn dit hoofdstuk zal kennis worden gemaakt met het concept van gemengde kwantummechanische ensembles. Aan de hand hiervan zullen de verschillende vormen van kwantumstatistiek worden afgeleid voor zich in thermisch evenwichtbevindende veeldeeltjessystemen.Overeenkomstig materiaal is te vinden in Griffiths (kwantumstatistiek in Hst. 5),Merzbacher (Hst. 15,16,22) en Bransden & Joachain (Hst. 10,14).

Tot nu toe is er gewerkt met pure kwantummechanische ensembles behorende bij een purekwantumtoestand , d.w.z. een collectie identieke, onafhankelijke, identiek geprepareerdesystemen die door een toestandsfunctie |i worden beschreven. Deze toestandsfunctie is op een fase na te bepalen met behulp van een maximale meting aan een complete set commensurabele observabelen. De systemen waaruit het ensemble is opgebouwdzijn onafhankelijk van elkaar en kunnen bestaan uit deeltjes, interagerende deeltjesclusters(zoals atomen/moleculen) of zelfs volledige identieke veeldeeltjessystemen (zoals gassen).Zulke pure kwantumtoestanden zijn experimenteel te realiseren door geschikte filters te gebruiken, zoals een SternGerlach filter om een pure spintoestand te selecteren.Vraag: Wat gebeurt er als niet alle voor de systemen relevante vrijheidsgraden wordenmeegenomen in de beschouwing en dus kwantuminformatie wordt weggelaten?Deze situatie is in feite de onvermijdelijke realiteitvan de kwantumwereld zoals wij die ervaren. Tijgekoeld gasreservoir:dens een kwantummechanisch experiment wordt hetO(1023 ) deeltjeste beschouwen systeem bijvoorbeeld geprepareerddoor middel van filters en vervolgens blootgesteldaan de omgevingsinvloeden van de experimenteleons favoriete systeemopstelling (gassen, elektromagnetische velden, etc.).Al deze omgevingsinvloeden ten gevolge van hetcontact met een macroscopische buitenwereld leggende eigenschappen vast van het kwantummechanischkoelingselementenensemble waaraan uiteindelijk de metingen wordenverricht. Denk hierbij aan een kwantumsysteem waarvan de thermodynamische eigenschappen worden vastgelegd door het contact met een macroscopisch gasreservoir dat zichbinnen het vaste volume van de meetopstelling bevindt, of een deeltjesbundel die geproduceerd wordt door een deeltjesbron en daarna door een paar filters heengaat. Het isnatuurlijk niet haalbaar om de toestandsfunctie van de hele experimentele opstelling doormiddel van een maximale meting te bepalen. De macroscopische buitenwereld heeft simpelweg teveel vrijheidsgraden. In zulke gevallen moeten we de vrijheidsgraden van de50

buitenwereld uitintegreren (lees: weglaten), zodat er een kwantummechanisch beschrijvingskader ontstaat dat van toepassing is op de gereduceerde ruimte opgespannen doorde vrijheidsgraden van het beschouwde type systeem. Let wel: soms is het helemaal nietnoodzakelijk om bepaalde vrijheidsgraden uit te integreren, maar is het simpelweg handiger om die vrijheidsgraden buiten de beschouwing te houden. Een voorbeeld hiervan is de(spin)polarisatie van een deeltjesbundel, waarbij het gewoon handiger is om niet te hoevenpraten over de ruimtelijke vrijheidsgraden (zie 2.2).Het uitintegreren van vrijheidsgraden: om een idee te geven van wat er gebeurt bijhet uitintegreren van kwantummechanische vrijheidsgraden beschouwen we een spin-1/2systeem beschreven door de volgende genormeerde, pure toestandsfunctie in de plaatsrepresentatie:!+ (~r )(~r ) == + (~r ) 1 , 1 + (~r ) 1 , 1 ,2 222 (~r )met

Z

d~r (~r ) (~r ) = W

(, = )

en normering

W+ + W = 1 .

Gemakshalve zijn hierbij (~r ) orthogonaal gekozen. Vervolgens gaan we de ruimtelijkevrijheidsgraden uitintegreren om zo met een tot de spinruimte gereduceerd systeem kwantumfysica te gaan bedrijven. Hiertoe beschouwen we een willekeurige spinobservabele Adie als een 22 matrix A werkt in die 2-dimensionale spinruimte en geen werking heeft inde plaatsruimte. De bijbehorende verwachtingswaarde voor de toestand (~r ) wordt danZ Z

hAi =d~r (~r )A (~r ) = Tr A d~r (~r ) (~r ) Tr(A) ,met

en

W+ 00 W

=

!

= dichtheidsmatrix in de spinruimte

Tr = spoor in de spinruimte ,

waarbij gebruik is gemaakt van het feit dat voor D-dimensionale vectoren v en op dezevectoren werkende DD matrices M geldt datDX

vi Mij vj

=

DX

Mij (vj vi )

i,j = 1

i,j = 1

DX

Mij Wji = Tr(MW ) .

i,j = 1

De verwachtingswaarde voor het volledige systeem splitst nu op volgens

+ + W hAi = W+ Tr A 1 1 1 1 + W Tr A 1 1 1 1 = W+ hAihAi,,,,2 2

2

2 2

2

2

2

in twee onafhankelijke verwachtingswaarden, een bij de pure spintoestand 1 , 1 met gewicht2 2W+ 0 en een bij de pure spintoestand 1 , 1 met gewicht W = 1 W+ 0. De2

51

2

kwantumfysica in de spinruimte wordt dus vastgelegd door de dichtheidsmatrix die isopgebouwd uit statistische gewichten en projectie-operatoren op pure toestanden:!!1000.+ W = W+ 1 , 1 1 , 1 + W 1 , 1 1 , 1 = W+2 2222 2220 00 1Gemengde ensembles : het uitintegreren van kwantummechanische vrijheidsgraden geeftaanleiding tot zogenaamde gemengde ensembles. Zulke ensembles zijn een incoherentmengsel (d.w.z. een statistisch mengsel) van pure deelensembles, zodat er sprake is vaneen dubbele statistiek: enerzijds is er de statistische interpretatie van de pure kwantummechanische toestandsfuncties die de pure deelensembles beschrijven; anderzijds is er een statistisch mengsel van zulke deelensembles binnen het gemengde ensemble.De kwantumfysica wordt in dit soort situaties vastgelegd door de dichtheidsoperator ,die de relevante eigenschappen van het gemengde ensemble bevat. Deze relevante eigenschappen zijn de pure kwantummechanische toestandsfuncties die de pure deelensemblesbeschrijven en de bijbehorende statistische gewichten.Misschien zou je denken dat er bij gemengde ensembles sprake zou kunnen zijnvan een soort superpositie van pure toestandsfuncties. Zoals uit onderstaandvoorbeeld zal blijken is dat echter niet het geval.Gemengde ensembles vs pure ensembles: beschouw het voorgaande voorbeeld metgelijke statistische gewichten W = 0.5, zodat een statistisch mengsel ontstaat met dichtheidsmatrix = 12 I waarbij 50% van de deeltjes in de spintoestand 1 , 1 zit en 50%2 2in de spintoestand 1 , 1 . Zon incoherent mengsel van de pure spintoestanden 1 , 1222 2kan niet met behulp van een lineaire combinatie van toestanden zoals ( 1 , 1 + 1 , 1 )/ 22 222worden beschreven , ook al resulteert zon pure toestand inderdaad in een 50% kans om dedeeltjes in elk van beide spintoestanden te meten. Er zijn echter andere meetbare grootheden die wel tot wezenlijk verschillende meetresultaten zullen leiden in beide situaties. Detoestand ( 1 , 1 + 1 , 1 )/ 2 is bijvoorbeeld een pure eigentoestand van de spinoperator2 222Sx bij de eigenwaarde ~/2. Bij meting van de spin in de x-richting zal het meetresultaat indat geval vast moeten liggen: 100% van de deeltjes zullen de meetwaarde ~/2 opleveren!Voor het gemengde ensemble geldt daarentegen dathSx i =

= 21 1~Tr(x ) =======2

52

~~Tr(x ) = 0 6=,42

aangezien geen van beide type deeltjes waaraan de meting wordt uitgevoerd in de aangegeven eigentoestand zit. Een incoherent mengsel houdt in feite in dat de fases vande afzonderlijke bestanddelen niet gerelateerd zijn, hetgeen een lineaire combinatie vanpure toestandsfuncties uitsluit. Het ensemble splitst op in onafhankelijke deelensemblesmet elk een specifieke spintoestandsfunctie en statistisch gewicht.Dichtheidsoperatoren worden gebruikt in vele takken van de fysica. Verderop in dit hoofdstuk zullen we een aantal karakteristieke voorbeelden zien uit de verstrooiingsfysica en uitde statistische fysica (met toepassingen in de vaste-stoffysica, kernfysica, astrofysica enlage-temperatuurfysica). Dichtheidsoperatoren zijn verder ook een belangrijk stuk gereedschap bij de beschrijving van de toestandsfunctie-collapse van een microscopisch systeemten gevolge van de invloed van een macroscopisch stuk meetapparatuur.

2.1

De dichtheidsoperator (J. von Neumann, 1927)

Beschouw een ensemble bestaande uit een statistisch mengsel van N onafhankelijke deelensembles, die elk beschreven worden door een pure genormeerde toestandsfunctie| () i |i ,

met

h|i = 1

( = 1, , N ) .

(129)

Elk deelensemble is een collectie identieke, onafhankelijke, identiek geprepareerde systemendie door de desbetreffende toestandsfunctie |i worden beschreven. De onafhankelijkesystemen beschreven door de verschillende toestandsfuncties |i zijn qua samenstellingidentiek, maar bevinden zich in een andere toestand. Deze toestanden hoeven geen eigentoestanden te zijn bij dezelfde observabele, zodat in het algemeen geldt dat h|i =6 0 als 6= . Denk hierbij aan een elektronbundel waarvan 40% van de deeltjes langs de z-aszijn gepolariseerd, 30% langs de y-as en 30% langs de x-as. De bundel bestaat uit drieonafhankelijke deelensembles, die elk beschreven worden door een pure spintoestandsfunctie. De drie typen systemen die door deze pure spintoestandsfuncties worden beschrevenbestaan alle drie uit een elektron, maar de spin wijst in elk van de drie gevallen in eenandere richting.Van verwachtingswaarde naar ensemblegemiddelde: laat {|ni} een orthonormaleset eigentoestanden zijn bij een complete set observabelen van het beschouwde type systeem, dan geldt voor discrete waarden van n datXen|nihn| = 1 .(130)hn|n i = nnn

Voor waarden van n die behoren tot het continue spectrum moet op de gebruikelijke wijzenn vervangen worden door (n n ) en de som door een integraal. De genormeerde puretoestandsfuncties |i kunnen nu ontbonden worden in termen van deze basis:XXX(130)2|i ====|nihn|i c()met h|i =|c()(131)n |ni ,n | = 1 .n

n

n

53

Laat A een observabele zijn met bijbehorende dynamische variabele A die betrekkingheeft op het beschouwde type systeem. Voor elk van de genormeerde toestanden |iwordt de verwachtingswaarde (= kwantummechanisch gemiddelde) van de dynamische variabele A gegeven doorXX(130)(131)() h|A|ihAi====h|nihn |A|nihn|i====c()n cn hn |A|ni . (132)n,n

n,n

Vervolgens brengen we in rekening dat we een statistisch mengsel van pure deelensembleshebben. Geef hiertoe het statistisch gewicht van de pure toestand |i in het ensemble aanmet W , hetgeen overeenkomt met de fractie van systemen die in de toestand |i zitten.Kortweg, de factor W is de waarschijnlijkheid dat een systeem in de toestand |i zit. van de dynamische variabele AHet ensemblegemiddelde (= statistisch gemiddelde) [A]laat zich dan representatie-onafhankelijk uitdrukken in termen van =[A]

NX

=1

,W hAi

W [0, 1]

met

en

NX

W = 1 .

(133)

=1

Definitie van de dichtheidsoperator: de uitdrukking voor het ensemblegemiddelde ismet behulp van vergelijking (132) te herschrijven tot =[A]

N XX

= 1 n,n

W hn|ih|nihn |A|ni

Xn,n

hn||n ihn |A|ni,

(134)

waarbij de dichtheidsoperator van het ensemble is opgebouwd uit projectie-operatorenop de verschillende pure toestanden: =

NX

=1

W |ih| .

(135)

Deze dichtheidsoperator is hermitisch aangezien W IR , zodat

(135)

h2 ||1 i ====1 ,2

NX

=1

W h2 |i h|1 i

=

NX

=1

W h1 |ih|2i = h1 ||2 i .

In de n-representatie wordt de dichtheidsoperator gekarakteriseerd door de zogenaamdedichtheidsmatrixNX(131),(135)() |n i =======W c().(136)nn = hn|n cn =1

Het ensemblegemiddelde van de dynamische variabele A wordt in matrixtaal simpelweggegeven doorXX(134)(130) = [A] . ====A)(137)[A]hn||n ihn |A|ni====hn|A|ni= Tr(n,n

n

54

Eigenschappen van de dichtheidsoperator: Aangezien de dichtheidsoperator hermitisch is bestaat er een orthonormale basis{|ki} van eigentoestanden bij de reele eigenwaarden {k }. Zon eigenwaarde(136)

k = hk||ki ====

NX

=1

()

W |ck |2 [0, 1]

(138)

is te interpreteren als de waarschijnlijkheid om een systeem in de pure toestand |kite vinden. Op grond van behoud van waarschijnlijkheid geldtTr() = 1 .(137)

(133)Bewijs: Tr() ==== [1] ====

NX

=1

(139)

h|i = 1W h1i ====

NX

(133)

W ==== 1 .

=1

Voor willekeurige ensembles geldtTr(2 ) 1 .

(140)

Bewijs: in termen van de eigenwaarden k [0, 1] van geldt automatisch datXX(137)(139)[ ] ==== Tr(2 ) =2k k = Tr() ==== 1 .k

k

Tenslotte geldt het volgende criterium voor een systeem in een pure toestand:Tr(2 ) = 1

2 =

het systeem zit in een pure toestand .

(141)

Bewijs (): stel het systeem zit in de pure toestand |i, dan geldt W = en is(135)

de dichtheidsoperator ==== |ih| een projectie-operator op |i. Dit houdt indat 2 = , zodat automatisch geldt dat Tr(2 ) = Tr() = 1.Bewijs (): stel Tr(2 ) = Tr() = 1. Ten opzichte van de orthonormale basis {|ki}van eigentoestanden van geldt danXX2k k k = k2k =k = 1 ===k

k

spectrale decompositie : =

Xk

k |kihk| = |ih| = 2 .

Aangezien de dichtheidsoperator te schrijven moet zijn als een projectie-operator = |ih| is hiermee tevens bewezen dat er sprake moet zijn van een puur ensemble,waarbij het systeem in de pure toestand |i zit.55

Als het systeem in een pure toestand |i zit, dan geldt dus dat = |ih| ,

(142)

zodat alle eigenwaarden van gelijk zijn aan 0 behalve een eigenwaarde 1 behorende bijde eigentoestand |i. Het ensemblegemiddelde van de dynamische variabele A is in dezesituatie natuurlijk gelijk aan de verwachtingswaarde voor de toestand |i:(133)

= Tr( ==== hAi = h|A|i[A] A).

2.2

(143)

Voorbeeld: polarisatie van een spin-1/2 ensemble

Als eerste toepassing van het dichtheidsmatrixformalisme beschouwen we een bundel bestaande uit spin-1/2 deeltjes. Een goed begrip van de eigenschappen van zon bundel ismet name belangrijk voor verstrooiingsexperimenten in de hoge-energiefysica, waar meestalsprake is van tenminste een bundel met spin-1/2 deeltjes (zoals elektronen, positronen, protonen of antiprotonen). In verstrooiingsexperimenten worden bundels met een zodanig lagedichtheid gebruikt dat de deeltjes als onafhankelijk mogen worden beschouwd. Hierdoorwordt het zinvol om de bundel niet meer te zien als een identiek veeldeeltjessysteem, maarals een (gemengd) ensemble van bundeldeeltjes waarmee vervolgens een herhaald kwantummechanisch verstrooiingsexperiment kan worden uitgevoerd.De pure toestanden voor de bundeldeeltjes zijn bijvoorbeeld te ontbinden ten opzichte vande basis {|~p , ms i : p~ IR3 en ms = 1/2}, waarbij ~p de impulseigenwaarde van een bundeldeeltje is en ms ~ de spincomponent langs de z-as. Laat nu de impulsvariabelen weg inde beschouwing en ga werken met de gereduceerde dichtheidsmatrix in de 2-dimensionalespinruimte. Spininformatie is namelijk een belangrijk stuk gereedschap om verstrooiingsdata in detail te kunnen analyseren.Ter voorbereiding: het samenvoegen van twee pure bundels.Beschouw twee bundels. Bundel a bestaat uit Na spin-1/2 deeltjes geprepareerd in depure spintoestand |(a) i en bundel b bestaat uit Nb spin-1/2 deeltjes geprepareerd in depure spintoestand |(b) i. Vervolgens worden de bundels samengevoegd. Zo ontstaat eenstatistisch mengsel van de twee gegeven deelensembles, met gewichten Wa = Na /(Na+Nb )en Wb = Nb /(Na + Nb ). De dichtheidsoperator van dit gemengde ensemble wordt dangegeven door = Wa |(a) ih(a) | + Wb |(b) ih(b) | .(144)Ten opzichte van de gebruikelijke basis {|1 i 1 , 1 , |2 i 1 , 1 } geldt2 2

(a)

(a)

|(a) i = c1 |1 i + c2 |2 i

en

56

2

(b)

2

(b)

|(b) i = c1 |1 i + c2 |2 i ,

(145)

zodat de dichtheidsmatrix van de vorm(a)(b)Wa |c1 |2 + Wb |c1 |2(136) ==== (a) (a)(b) (b)Wa c1 c2 + Wb c1 c2

(a) (a)

+ Wb c1 c2

(a)Wa |c2 |2

(b)Wb |c2 |2

Wa c1 c2

(b) (b)

+

(146)

is in de spinruimte. Als de oorspronkelijke pure bundeltoestanden samenvallen met degekozen basis van de spinruimte, d.w.z. |(a) i = |1 i en |(b) i = |2 i, dan simplificeertde dichtheidsmatrix tot een diagonale matrixNa!0Wa 0(147) == Na +Nb.Nb0 Wb0Na +NbPolarisatie van een willekeurig spin-1/2 ensemble: beschouw de 22 dichtheidsmatrix in de spinruimte. Deze matrix is te ontbinden als~ ~ = A0 I + A

(A0 C en Ax,y,z C ) ,

(148)

in termen van de eenheidsmatrix I en de Pauli-spinmatrices x , y en z die samen eenbasis vormen van 22 matrices (zie App. B). Uit de spooreigenschappen (B.5) voor dezebasismatrices kunnen we afleiden dat(B.5)(139)~ Tr(~ ) ====Tr() = A0 Tr(I) + A2A0 ==== 1 ,

[j ] = Tr(j ) = A0 Tr(j ) +

X

(B.5)

Ak Tr(k j ) ====

k

X

2Ak jk = 2Aj

(j , k = x, y, z ) .

k

~ = ~~/2 wordt de dichtheidsmatrix dan gegeven doorIn termen van de spinoperator S

=

12

I + P~ ~

=

1+Pz

12 Px + iPy

Px iPy1Pz

,

2 ~P~ = [~ ] = [ S] IR3 . (149)~

De dichtheidsmatrix wordt vastgelegd door drie (reele) parameters Px,y,z , die samen depolarisatievector P~ van het ensemble vormen. Dat drie vrijheidsgraden heeft is relatiefeenvoudig te begrijpen. Een complexe 22 matrix die hermitisch is en waarvan het spoorgelijk is aan 1 wordt vastgelegd door 2(22) 21 1 = 3 onafhankelijke reele parameters.De fysische interpretatie van de polarisatievector P~ : hiertoe maken we gebruik van hetfeit dat de eigenwaarden van de matrix 2 moeten voldoen aan(1 + Pz )(1 Pz ) Px2 Py2 = (1 )2 P~ 2 = 057

= 1 |P~ | . (150)

Dus in diagonaalvorm ziet de dichtheidsmatrix er als volgt uit!~|1+|P01diag =,201 |P~ |

(151)

hetgeen wordt verkregen uit vergelijking (149) door de kwantisatie-as (z-as) parallel aanP~ te leggen. Definieer nu de spineigenvectoren en voor spinkwantisatie langs P~ ,zodat (P~ ~ ) = |P~ | en (P~ ~ ) = |P~ | . Dan volgt uit vergelijking (147) datN1(1 + |P~ |) = W =2N + N

|P~ | =

1N(1 |P~ |) = W =2N + N

en

N N [0, 1] ,N + N

(152)

waarbij N en N het aantal spin-1/2 deeltjes telt in de spintoestanden en . Op diemanier is |P~ | dus te interpreteren als de polarisatiegraad van het beschouwde ensembleen ~eP = P~ /|P~ | als de polarisatierichting.Speciale gevallen: Als het ensemble in een pure spintoestand zit, dan geldt op grond van vergelijking(141) dat = 2 . Hieruit leiden we onmiddellijk af dat nu vastgelegd moet zijndoor slechts twee reele parameters en een teken (vanwege het kwadrateren). Metbehulp van vergelijking (149) alsmede de relatie(B.6)~ )(~ B~ ) ====~B~ )I + i~ (A~ B~)(~ A(A

~ B~ IR3 )( A,

kan de eis = 2 namelijk worden uitgewerkt tot

211 1 + P~ 212~~~I + P ~ = =I + P ~ =I + P ~ =2422

(153)

|P~ | = 1 .

In diagonaalvorm wordt de dichtheidsmatrix dan gegeven door de projectie-operator!10diag: volledige polarisatie met kwantisatie-as parallel aan P~ . (154)puur =0 0Er is dus sprake van maximale orde (lees: maximale kwantuminformatie), met alledeeltjes gepolariseerd in de richting van de polarisatievector P~ . Voor 0 < |P~ | < 1 is het ensemble gedeeltelijk gepolariseerd en geldt de ongelijkheid1< Tr(2 ) = 21 (1 + P~ 2 ) < 1.2 We spreken van een ongepolariseerd ensemble als |P~ | = 0. In dat geval geldt datP~ =~0 =58

12

I ,

(155)

zodat Tr(2 ) de minimale waarde Tr(2 ) = 12 aanneemt. In deze situatie zittener evenveel deeltjes in de spin toestand als in de spin toestand. Er isdus sprake van een gelijk mengsel van twee volledig gepolariseerde deelensembles,een met spin parallel aan de kwantisatie-as en een met spin antiparallel aan dekwantisatie-as. Let wel: de richting van de kwantisatie-as kan hier willekeurig gekozen worden! Een ongepolariseerd spin-1/2 ensemble is in feite een voorbeeld van eenvolledig random ensemble met maximale wanorde (zie 2.4). Een ensemble (bundel) met polarisatiegraad |P~ | kan nu worden opgevat als zijndesamengesteld uit een volledig gepolariseerd deel en een volledig ongepolariseerd deel.In diagonaalvorm geldt immers:!!~|10101|P(151).diag ==== |P~ |+20 10 0Keuzevrijheid: de dichtheidsmatrix (155) voor een volledig random ensemble hangt nietaf van de gekozen representatie van de beschouwde ruimte, in tegenstelling tot de dichtheidsmatrix (154) voor een puur ensemble. Verder is een gegeven gemengd ensemble opverschillende manieren te ontbinden in pure ensembles . Bijvoorbeeld resulteert een mengsel waarin 20% van de deeltjes in de positieve x-richting gepolariseerd zijn, 20% in denegatieve x-richting, 30% in de positieve z-richting en 30% in de negatieve z-richting ineen netto ongepolariseerd ensemble, want 0.2 (P~ = ~ex+ P~ = ~ex ) + 0.3 (P~ =~ez+ P~ = ~ez ) = 21 I .

2.3

De bewegingsvergelijking voor de dichtheidsoperator

De volgende stap op weg naar de kwantumstatistiek is het bepalen van de bewegingsvergelijking voor de dichtheidsoperator in het Schrodingerbeeld. Beschouw hiertoe eenstatistisch mengsel van pure toestanden dat op t = t0 wordt gekarakteriseerd door dedichtheidsoperatorNX(t0 ) =W |(t0 )ih(t0 )| .(156)=1

Neem aan dat de gewichten W van het statistische mengsel niet van de tijd afhangen,dan geldt voor de tijdsevolutie van de dichtheidsoperator|(t)i = U (t, t0 )|(t0 )i (t) =

NX

=1

W |(t)ih(t)| = U (t, t0 ) (t0 ) U (t, t0 ) . (157)

Zoals in het college Kwantummechanica 2 is aangetoond voldoet bovenstaande evolutie t0 ) aan de differentiaalvergelijkingoperator U(t,i~

U (t, t0 ) ,U(t, t0 ) = H(t)t59

(158)

waarbij H(t)de Hamilton-operator is behorende bij het type systeem waaruit het ensembleis opgebouwd. Hieruit volgt dan de bewegingsvergelijking voor de dichtheidsoperator:i~

d(t) = H(t),(t) ,dt

(159)

hetgeen bekend staat onder de naam Liouville-vergelijking . Dit is het kwantummechanische analogon van de bewegingsvergelijking voor de faseruimtewaarschijnlijkheidsdichtheidin de klassieke statistische mechanica, die in termen van een Poissonhaakje te schrijven isals cl /t = {cl , Hcl }. Vandaar dat de dichtheidsoperator wordt genoemd.Let wel: (t) heeft niet de typische tijdsevolutie die je zou verwachten voor een kwantummechanische operator, immers (t) is gedefinieerd in termen van toestandsfuncties. Derhalve is de dichtheidsoperator tijdsonafhankelijk in het Heisenbergbeeld en tijdsafhankelijkin het Schrodingerbeeld, in tegenstelling tot een normale kwantummechanische operator.Tijdsevolutie van het ensemblegemiddelde van de dynamische variabele A: het zoals gedefinieerd in 2.1 voldoet aan de evolutievergelijkingensemblegemiddelde [A]d d(137) = Tr A + Tr dA[A ] ====Tr(A)dtdttdt(159)

==== Tr (137)

====

i A A H A = Tr A i Tr AH H A Tr Ht~t~

A i H A] = d [A ] , [AHt~dt

(160)

In de voorwaarbij A/tbetrekking heeft op de expliciete tijdsafhankelijkheid van A.laatste stap is gebruikt dat het spoor niet verandert onder cyclische permutaties van de C) = Tr(C AB) = Tr(B C A). De evolutievergelijking (160) heeftoperatoren, d.w.z. Tr(ABhiermee dezelfde vorm als de evolutievergelijking voor de kwantummechanische verwachtingswaarde van de dynamische variabele A . Echter, nu is er wel twee keer gemiddeld!

2.4

Kwantummechanische ensembles in thermisch evenwichtZoals we hebben gezien is er een enorm verschil tussen pure ensembles (metmaximale orde) en volledig random ensembles (met maximale wanorde). Wegaan dit verschil nu eerst in wat meer algemeenheid onder de loep nemen.

Laat {|ki} een orthonormale set eigentoestanden zijn van bij de eigenwaarden {k },zodanig dat deze eigentoestanden samen de (gereduceerde) D-dimensionale ruimte opspannen waarop de mogelijke pure toestandsfuncties van de deelensembles gedefinieerd zijn.Deze dimensionaliteit D geeft dus het aantal onafhankelijke kwantumtoestanden aan die60

mogelijk zijn binnen de ruimte waarop de systemen worden beschouwd. Zo heeft de dichtheidsmatrix in de spin-1/2 spinruimte bijvoorbeeld dimensionaliteit D = 2. Ten opzichtevan bovenstaande basis geldt0..1.101 ..vsrandom =puur = 1..D01...10Voorbeelden van deze beide extreme vormen van de dichtheidsmatrix zijn gegeven invergelijkingen (154) en (155) in 2.2. Bij het pure ensemble is de dichtheidsmatrix deprojectie-operator op de bijbehorende pure toestand, hetgeen afhangt van de gekozen representatie van de D-dimensionale ruimte. Bij het volledig random ensemble krijgt elkvan de orthonormale basistoestanden hetzelfde statistische gewicht 1/D , zodat Tr() = 1.Elke toestand is dan even waarschijnlijk en de dichtheidsmatrix is proportioneel met deD-dimensionale eenheidsmatrix, hetgeen nou juist niet verandert bij overgang naar eenandere representatie.Om het verschil beter te kunnen kwantificeren voeren we de volgende grootheid in:voll.

Tr( ln ) ====

DX

k,k = 1

hk||k ihk | ln |ki =

DX

k=1

k ln(k )

SkB

, (161)

waarbij k de waarschijnlijkheid is om een systeem in de pure basistoestand |ki te vinden.Deze grootheid is minimaal voor pure toestanden en maximaal voor een volledig randomensemble :

puur = 0

vs

random =

DX1ln(1/D) = ln(D) .Dk=1

(162)

Dat random maximaal is zal in 2.4.3 worden bewezen. In overeenstemming met de klassieke thermodynamica kan uit = S/kB en random = ln(D) worden afgeleid dat degrootheid S te interpreteren is als de kwantummechanische entropie4 en dat kB niets anders is dan de welbekende constante van Boltzmann. Je zou zelfs kunnen zeggen dat dezedefinitie beter is dan de klassieke definitie. In de klassieke mechanica bestaat het concept4

Deze entropiedefinitie wordt ook in de informatietheorie gebruikt in de vorm van de zogenaamdePShannon-entropie k Pk ln(Pk ), hetgeen de inverse maat is voor de hoeveelheid informatie die beslotenligt in de waarschijnlijkheidsverdeling {P1 , , PN } . Bij elk type waarschijnlijkheidsverdeling hoort zo eenbepaald type ensemble. Voor een kanoniek ensemble zal in het college Statistische Mechanica een explicietverband worden gelegd tussen de thermodynamische en kwantummechanische entropiedefinities.

61

van tellen van toestanden helemaal niet en kan er hooguit worden gewerkt met faseruimtevolumen die door een willekeurige normeringsfactor dimensieloos moeten worden gemaakt.Derhalve is de klassieke entropie slechts op een additieve constante na te definieren. In deQM is er wel een natuurlijke tel/normeringseenheid in de vorm van ~.2.4.1

Thermisch evenwicht (thermodynamisch postulaat)

Een kwantummechanisch ensemble heet in thermisch evenwicht te zijn als het effectief aande evenwichtsvoorwaarden

d(159) = 0===H,(163)H = 0en = 0tdtvoldoet en als de bijbehorende constante entropie maximaal is. Deze laatste voorwaardevoor de entropie is het kwantummechanische analogon van de klassieke wet van entropietoename voor macroscopische systemen in niet-evenwichtsconfiguraties (tweede wet van dethermodynamica).

constant, voorIn thermisch evenwicht zijn nu alle gemiddelde systeemgrootheden [A]opgesteld dat A/t= 0. Een voorbeeld hiervan is de gemiddelde systeemenergie,d.w.z. A = H .d (163)d (160), A/t=0A ==== 0 .[A] ========= TrBewijs :dtdt

In thermisch evenwicht commuteert de dichtheidsoperator dus met de Hamilton-operator als :en is er een simultane orthonormale set eigenfuncties {|ki} bij zowel H |ki = Ek |kiH

en

|ki = k |ki .

(164)

Aan de hand van deze basis gaan we in 2.4.2 2.4.4 de entropie maximaliseren voor eendrietal verschillende situaties.2.4.2

Kanonieke ensembles (J.W. Gibbs, 1902)

warmtebadNR , VR , T

systeemN , V, T

E

gesloten fles in een waterreservoir

(N,V,T)-ensemble

62

Beschouw nu een systeem met een vast aantal N identieke deeltjes in een vast volume V .Neem verder aan dat het beschouwde systeem in thermisch evenwicht is met een qua vrijheidsgraden veel groter warmtebad, waarmee het in zwak energiecontact staat en waarmeehet samen een gesoleerd geheel (gesloten systeem) vormt.Zwak energiecontact: met een zwak energiecontact wordt bedoeld dat het ingebeddesysteem en het warmtebad energie kunnen uitwisselen, aangezien alleen de totale energievan het volledige gesloten systeem behouden is, maar dat de energieniveaus en energieenvan warmtebad en ingebed systeem daarbij nauwelijks benvloed worden. Omdat de onderlinge interactie zo zwak is kunnen zowel het warmtebad als het systeem dan op elk willekeurig moment in een definiete energie-eigentoestand zitten (scheiding van variabelen).Het systeem en warmtebad zijn dan nagenoeg onafhankelijk van elkaar op het zwakkeenergiecontact na, hetgeen de energie van het systeem tijdsafhankelijk maakt. Dit zwakkeenergiecontact is niet onbelangrijk, aangezien het systeem hierdoor in thermisch evenwichtkan komen met het warmtebad. Een zwak energiecontact ontstaat bijvoorbeeld als hetsysteem en warmtebad door een wand van elkaar gescheiden zijn, waarbij de energie doormiddel van botsingen met de atomen in de scheidingswand kan worden overgedragen. Indat geval voelt slechts een verwaarloosbare fractie van de opgesloten deeltjes de aanwezigheid van de scheidingswand als de gemiddelde de Broglie-golflengte van de deeltjes veelkleiner is dan de afmeting van het systeem (zie 2.5). Dit is bijvoorbeeld van toepassingop systemen met een voldoende grote afmeting en/of een voldoende hoge temperatuur.Het warmtebad bepaalt het mengsel: we zullen zien dat in thermisch evenwichtalle energietoestanden van een gesloten systeem gelijke waarschijnlijkheid hebben, d.w.z. er is sprake van een volledig random ensemble. Voor een vaste totaleenergie van het volledige gesloten systeem zal het aantal energietoestanden vanhet warmtebad het grootst zijn bij de hoogste energie van het warmtebad en dusde laagste energie van het ingebedde N-deeltjessysteem. De vrijheidsgraden vanhet grote warmtebad worden vervolgens uitgentegreerd, zodat ingebedde N-deeltjessystemen met de laagste energieen automatisch het hoogste statistische gewicht zullen krijgen. Dit geeft aanleiding tot een zogenaamd kanoniek ensembledat ook wel (N , V, T )-ensemble wordt genoemd, hetgeen een statistisch mengsel is van N-deeltjessystemen in specifieke energie-eigentoestanden. Door hetzwakke energiecontact met het warmtebad heeft zon N-deeltjessysteem in thermisch evenwicht namelijk geen vaste energiewaarde, maar is er wel sprake vaneen vast ensemblegemiddelde dat we zullen aangeven met E .De kanonieke dichtheidsoperator: om de dichtheidsoperator van een kanoniek ensemble in thermisch evenwicht te bepalen moeten we de entropie maximaliseren met als ad = [H ] E = constant. Gebruikditionele randvoorwaarden dat Tr() = 1 en Tr(H)63

hiervoor de Lagrange-multiplier methode (zie App. C) en varieer naar zowel de eigenwaarden k als de Lagrange-multipliers, d.w.z.

X

(164) E Tr( + 0 = Tr(H))1==== Ek ln(k )+Ek +k

voor alle variaties k , en . Let wel: er hoeft hier niet gevarieerd te worden naar deenergie-eigenwaarden Ek , aangezien die energie-eigenwaarden bij een zwak energiecontactonafhankelijk zijn van het statistische mengsel. Uit de Lagrange-multiplier methode volgtautomatisch dat aan de randvoorwaarden is voldaan en dat tevensX

k ln(k ) + 1 + Ek + = 0k = exp(1) exp(Ek ) .k

k

De Lagrange-multiplier kan nu geelimineerd worden door middel vanXTr() = exp(1)exp(Ek ) = 1 ,k

zodat voor de eigenwaarden k geldt dat

exp(Ek )k = P.exp(Ek )

(165)

k

In deze sommen loopt de sommatie over alle verschillende N-deeltjes energie-eigenwaarden,inclusief de volledige ontaarding van de energieniveaus. Aan de hand van de Lagrangemultiplier definieren we vervolgens de temperatuur van het beschouwde ensemble:T

1kB

.

(166)

Door het contact met het warmtebad is er uit de volledige wanorde van het gesloten systeem orde geschapen in de energiedistributie van het ingebedde N-deeltjessysteem. Let wel: als de N-deeltjesgrondtoestand niet ontaard is, dan kan hetkanoniek ensemble in de lage-temperatuurlimiet T 0 ( ) overgaan ineen puur ensemble waarbij alle N-deeltjessystemen in de grondtoestand zitten.Tenslotte wordt de kanonieke partitiefunctie (normeringsfactor)ZN (T )

X

exp(Ek ) =

k

Xk

i = Tr exp( H)hk | exp( H)|k

(167)

ingevoerd, zodat de dichtheidsoperator van een kanoniek ensemble in spectrale decompositie te schrijven is alsXXX exp(Ek )1(164)(165)|kihk| =exp( H)|kihk| ====k |kihk| ====ZN (T )ZN (T )k

voll.

===

=(H)

k

k

exp( H)1 =exp( H) .ZN (T )Tr exp( H)64

(168)

De label N in ZN (T ) slaat op het aantal deeltjes waaruit het beschouwde type ingebeddesysteem bestaat. Een gemiddelde fysische grootheid van het ingebedde systeem wordt dangegeven door het ensemblegemiddelde =[A]

1,Tr A exp( H)ZN (T )

zodat de gemiddelde systeemenergie uit de partitiefunctie kan worden afgeleid:

exp( H)

TrH ZN (T )/] === ln ZN (T ) .E = [HZN (T )ZN (T )

(169)

(170)

Deeltjesaantal en het kanoniek-ensembleconcept: de vaste systemen van een kanoniek ensemble kunnen even zo goed uit een enkel deeltje bestaan als uit een macroscopischaantal deeltjes (zoals een gas). Bedenk wel dat voor een 1-deeltjessysteem het kanoniekensembleconcept inhoudt dat het beschouwde deeltje uitsluitend zwak energiecontact maghebben met de deeltjes van het warmtebad. Elke verdere invloed van het warmtebad isper definitie weggelaten. Dit is over het algemeen niet correct als het beschouwde deeltjein contact staat met identieke soortgenoten en de deeltjesdichtheid niet laag is, zodat dekwantummechanische overlap van de deeltjes relevant wordt. Dan moet namelijk ook de effectieve kwantummechanische interactie genduceerd door de (anti)symmetrisatieprocedureworden meegenomen. Vooral bij grote deeltjesaantallen gaan de speciale kwantummechanische eigenschappen van identieke veeldeeltjessystemen dan een rol spelen (zie 2.5 2.7).In onderstaande twee voorbeelden gaan we nu desondanks twee kanonieke ensembles bekijken waarvan de systemen uit een enkel deeltje bestaan. De reden hiervoor is dat we eerstde link willen leggen met de klassieke statistische fysica alvorens de specifieke kwantummechanische aspecten onder de loep te nemen. Het zal eenvoudiger blijken te zijn om datlaatste met het grootkanoniek-ensembleconcept aan te pakken.Equipartitie van energie: als standaardvoorbeeld van een kanoniek ensemble beschouwen we een kanoniek ensemble waarvan de systemen bestaan uit een enkel vrij spin-0deeltje met massa m dat opgesloten zit in een macroscopische afgesloten ruimte (doos).Omdat kwantummechanische veeldeeltjesaspecten bij een 1-deeltjessysteem natuurlijk noggeen rol spelen, zal de gemiddelde energie per deeltje in dat geval moeten voldoen aanhet klassieke principe van equipartitie van energie voor een ideaal gas. Dit zegt datelke kinetische en elastische vrijheidsgraad van het beschouwde type systeem (d.w.z. eenplaats/impulsvrijheidsgraad die kwadratisch voorkomt in de Hamiltoniaan) een bijdragekB T /2 zal leveren tot de gemiddelde energie. Dit wordt inderdaad bevestigd door dekwantummechanische berekening (zie opgave 14 van het werkcollege), zodat onze kwantummechanische definities van de entropie, temperatuur en constante van Boltzmann dusin ieder geval consistent zijn met de klassieke thermodynamische definities.65

Voorbeeld: magnetisatie. Beschouw een kanoniek ensemble waarvan de systemen bestaan uit een enkel vrij elektron dat onder invloed staat van een constant homogeen magneetveld in de z-richting, B~ = B~ez . In de spinruimte geeft dit aanleiding tot een interactie spin = M~ S B~ = 2B B Sz ,HB~

(171)

=H plaats + H spinin term