Lineaire Algebra A en B - Faculteit Wiskunde en Informaticasterk/2WF07/lala10-H0.pdf · Hoofdstuk 0...

Lineaire Algebra A en B

Faculteit Wiskunde en Informatica

Technische Universiteit Eindhoven

2010 – 2011

ii

Syllabus bij Lineaire Algebra A (2WF07) en Lineaire Algebra B (2WF08)

Inhoudsopgave

0 Vectorrekening in dimensies 2 en 3 1

0.1 Vectoren in het vlak en in de ruimte . . . . . . . . . . . . . . 1

0.2 Rechten en vlakken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

0.3 Bases, coordinaten en vergelijkingen . . . . . . . . . . . . . . 8

0.4 Afstanden, hoeken en het inproduct . . . . . . . . . . . . . . 12

0.5 Het uitproduct . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

0.6 Vectoren en meetkunde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

0.7 Aantekeningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

0.8 Opgaven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

0.8.1 Oefenen op tentamenniveau . . . . . . . . . . . . . . . 31

1 Complexe getallen 33

1.1 Rekenen met complexe getallen . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

1.2 De complexe e–macht, sinus en cosinus . . . . . . . . . . . . . 40

1.3 Complexe polynomen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

1.4 Complexwaardige functies van een reele variabele, harmoni-sche trillingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

1.5 Aantekeningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

1.6 Opgaven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58


2 Differentiaalvergelijkingen 65

2.1 Eerste orde lineaire differentiaalvergelijkingen . . . . . . . . . 65

2.2 Tweede orde lineaire differentiaalvergelijkingen met constantecoefficienten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

2.3 Aantekeningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

2.4 Opgaven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78


i

ii INHOUDSOPGAVE

3 Matrices en stelsels lineaire vergelijkingen 81

3.1 Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

3.2 Rijreductie (vegen) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

3.3 Stelsels lineaire vergelijkingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

3.4 Aantekeningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

3.5 Opgaven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97


4 Vectorruimten 103

4.1 Vectorruimten en lineaire deelruimten . . . . . . . . . . . . . 103

4.2 Opspansels, (on)afhankelijke stelsels . . . . . . . . . . . . . . 113

4.3 Aantekeningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

4.4 Opgaven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129


5 Rang en inverse van een matrix, determinanten 137

5.1 Rang en inverse van een matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

5.2 Determinanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

5.3 Aantekeningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

5.4 Opgaven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157


6 Inproductruimten 163

6.1 Inproduct, lengte en hoek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

6.2 Orthoplementen en orthonormale bases . . . . . . . . . . . . 172

6.3 Afstandsbepalingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

6.4 Aantekeningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

6.5 Opgaven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187


7 Lineaire afbeeldingen 193

7.1 Lineaire afbeeldingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

7.2 Matrices van lineaire afbeeldingen I . . . . . . . . . . . . . . . 204

7.3 Matrices van lineaire afbeeldingen II . . . . . . . . . . . . . . 209

7.4 Eigenwaarden en eigenvectoren, diagonaliseren . . . . . . . . 217

7.5 Invariante deelruimten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

7.6 Duale ruimten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

7.7 Aantekeningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236

7.8 Opgaven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237


INHOUDSOPGAVE iii

8 Orthogonale en symmetrische afbeeldingen 2518.1 Orthogonale afbeeldingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2518.2 Symmetrische afbeeldingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2618.3 Aantekeningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2708.4 Opgaven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270


9 Differentiaalvergelijkingen 2779.1 Stelsels differentiaalvergelijkingen . . . . . . . . . . . . . . . . 2779.2 Laplace-transformaties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2879.3 Tabel Laplace–transformaties . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2979.4 Aantekeningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2989.5 Opgaven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298


A Voorkennis 303A.1 Notaties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303

A.1.1 Verzamelingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303A.1.2 Afbeeldingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304

A.2 Partieel integreren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305A.3 Gonioformules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306A.4 Het Griekse alphabet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306A.5 Ellips, hyperbool, parabool . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307

B Antwoorden van de opgaven 311

iv INHOUDSOPGAVE

Voorwoord

Deze syllabus hoort bij de vakken Lineaire Algebra A en Lineaire Algebra B(2WF07 en 2WF08) van de Technische Universiteit Eindhoven. De syllabusis een bijgewerkte versie van een syllabus eertijds samengesteld door Prof.dr. F. Simons met medewerking van ondergetekende.

In de editie 2008-2009 is aan het begin een nieuw hoofdstuk over vector-meetkunde in dimensies 2 en 3 opgenomen. In elk hoofdstuk is een paragraafopgenomen waarin in kort bestek wordt aangeduid waar de geıntroduceerdebegrippen en technieken vandaan komen en voor welke vakken en vakgebie-den de begrippen van belang zijn; historische gegevens komen voornamelijkuit [1] (zie de literatuurlijst achter in de syllabus). Van de meeste opgaven indeze syllabus zijn achterin antwoorden opgenomen, maar geen uitwerkingen.Ook is een bijlage opgenomen met begrippen en notaties die gebruikt wor-den bij Lineaire Algebra A en B. In de editie 2010-2011 zijn nog wat kleineverbeteringen in de tekst aangebracht (met dank aan Benne de Weger).

Naast deze syllabus is een studiewijzer op het web beschikbaar met in-formatie over de specifieke gang van zaken bij Lineaire Algebra A en B.

Hans Sterkjuli 2010

v

Hoofdstuk 0

Vectorrekening in dimensies

2 en 3

0.1 Vectoren in het vlak en in de ruimte

0.1.1 Het begrip vector is oorspronkelijk bedoeld om over grootheden te kunnenspreken die naast een grootte ook een richting hebben. De inspiratie er-voor komt vooral uit de natuurkunde waar bijvoorbeeld snelheid en krachttypische grootheden met grootte en richting zijn. In dit hoofdstuk voerenwe vectoren in het platte vlak en in de driedimensionale ruimte in. In late-re hoofdstukken introduceren we het abstracte begrip vectorruimte dat vanbelang is voor vrijwel elke tak van wiskunde. Het vlak en de ruimte zijnspeciale gevallen van vectorruimten.

0.1.2 Het begrip vectorOnder een vector verstaan we een pijl in het vlak of in de ruimte met eenzekere richting en grootte. Verslepen we een vector zodat zijn beginpuntelders komt te liggen (maar richting en grootte onveranderd blijven), danbeschouwen we deze nieuwe pijl toch als een representant van dezelfde vector.Een vector kunnen we dan op verschillende plekken in het vlak of in de ruimtetekenen.

In het vervolg zal het vaak voorkomen dat we een oorsprong in het vlakof in de ruimte gekozen hebben. In die situatie is het gebruikelijk vectorente laten starten in de oorsprong.

Soms zijn we niet consequent in het gebruik van beide zienswijzen, maardat blijkt niet snel tot verwarring of fouten te leiden.

1

2 Vectorrekening in dimensies 2 en 3

O

Figuur 1: Links zijn representanten van dezelfde vector getekend: richting

en grootte zijn hetzelfde. Rechts vectoren met hetzelfde beginpunt, namelijk

een in het vlak gekozen oorsprong O.

Vectoren noteren we doorgaans door een letter met een streep eronder:

v.

In de literatuur kom je diverse andere notaties tegen, zoals v, ~v of v.

0.1.3 De nulvectorEr is een bijzondere vector, namelijk een vector van lengte 0. Deze vectorbepaalt geen richting. We geven de nulvector aan met 0.

0.1.4 Scalaire vermenigvuldigingWe noteren met λv de vector die uit de vector v ontstaat door deze vanuitzijn beginpunt met een factor λ te vermenigvuldigen, met dien verstandedat we de richting van de vector v eerst omkeren als λ < 0. We noemen λveen scalair veelvoud van v of kortweg veelvoud van v. De (schaal)factor λwaarmee we de vector vermenigvuldigen noemen we wel een scalar. Scalairengeven we vaak aan met Griekse letters, maar het is geen verplichting Griekseletters te gebruiken. Doorgaans schrijven we v in plaats van 1 v, −v in plaatsvan (−1)v, −3v in plaats van (−3)v enzovoort. De vector −v heet wel detegengestelde van v.

Soms is het zinvol de scalaire vermenigvuldiging duidelijk te laten uit-komen, bijvoorbeeld met een vermenigvuldigingspunt: 3 · v. We zetten descalar altijd links van de vector.

Voor de scalaire vermenigvuldiging gelden de volgende rekenregels.

• 0 · v = 0 voor elke vector v.

0.1 Vectoren in het vlak en in de ruimte 3

u 2 u −u

Figuur 2: Scalaire vermenigvuldiging.

• λ(µv) = (λµ)v voor elke vector v en alle scalairen λ en µ.

In woorden: als je de vector v eerst met µ vermenigvuldigt en hetresultaat vervolgens met λ, dan is het resultaat gelijk aan de vectordie je verkrijgt door v met het product λµ te vermenigvuldigen.

0.1.5 Optelling van vectorenAls u en v twee vectoren zijn met hetzelfde beginpunt (daar kun je door ver-plaatsing altijd voor zorgen), dan is u+v de vector met hetzelfde beginpunten met als eindpunt het vierde punt van het parallellogram opgespannendoor u en v. De som van twee vectoren u en v is ook te bepalen door u en vkop aan staart te leggen. Als een van beide vectoren een scalair veelvoud isvan de ander, dan kun je enkel de tweede constructie gebruiken. Merk nogop dat u + 0 = u.

u

v

u+v

u

v

u+v

Figuur 3: Vectoroptelling: links via de parallellogramconstructie, rechts door

de vectoren kop-aan-staart te leggen.

Hier volgen de voor ons relevante rekenregels en afspraken voor de op-telling van vectoren (we gaan niet op bewijzen in):


• Associativiteit van de optelling:

(u + v) + w = u + (v + w)

voor alle vectoren u, v en w. Dit is een rekenregel waarvan de betekenisje misschien ontgaat. Optelling van vectoren is echter beschreven voortwee vectoren. Wil je bijvoorbeeld drie vectoren optellen, dan moet jeeerst twee van de drie vectoren uitkiezen om op te tellen, bijvoorbeeldde eerste en de tweede, en daarna het resultaat hiervan bij de derdevector optellen. Associativiteit vertelt je dan dat het niet uitmaaktmet welke twee opeenvolgende vectoren je start, welke twee je daarnaoptelt enz. In de praktijk zullen we haakjes doorgaans weglaten tenzijdat voor de context van belang is, bijvoorbeeld in een redenering. Hieris een voorbeeld met haakjes:

v1 + ((v2 + v3) + v4)

lees je als volgt: tel eerst v2 en v3 op, tel het resultaat hiervan op bijv4, en tel tenslotte v1 bij het resultaat van deze laatste berekening.

• Commutativiteit van de optelling:

v + w = w + v

voor alle vectoren v en w. In de praktijk gebruik je deze rekenregel alsvolgt. Bij het optellen van twee of meer vectoren mag je de volgordevan de termen naar eigen inzicht veranderen. Dat blijkt soms handigbij berekeningen.

• In plaats van v + −w schrijven we doorgaans v − w.

Er zijn ook rekenregels waarin scalaire vermenigvuldiging en optelling beideeen rol spelen:

• Distributiviteit van de vermenigvuldiging over de optelling:

λ(v + w) = λv + λw

voor alle vectoren v, w en voor alle scalairen λ.

• Distributiviteit van de scalaire optelling over de scalaire vermenig-vuldiging:

(λ + µ)v = λv + µv

voor alle scalairen λ, µ en alle vectoren v.

0.1 Vectoren in het vlak en in de ruimte 5

Optellen van een vector v en zijn tegengestelde −v levert de nulvector:

v − v = 0.

0.1.6 Lineaire combinatiesIs v1, v2, . . . , vn

een n-tal vectoren en zijn λ1, λ2, . . . , λn reele getallen, danheet

λ1v1 + λ2v2 + · · · + λnvn

een lineaire combinatie van de vectoren v1, v2, . . . , vn. Met de term lineaire

combinatie geven we een naam aan vectoren die we kunnen bouwen uit eengegeven stelletje vectoren met behulp van de twee operaties vectoroptellingen scalaire vermenigvuldiging.

0.1.7 Voorbeelden. Rekenen met vectoren valt reuze mee. Na verloop van tijdzul je merken dat je bij berekeningen vaak enkele stappen overslaat. Paswel op dat we vectoren niet met elkaar kunnen vermenigvuldigen (maar zie§0.5).

a) 3v − w + 2v + 3w = 5v + 2w. Met tussenstappen verloopt deze bere-kening bijvoorbeeld als volgt. Vanwege commutativiteit mogen we devier termen herschikken:

3v − w + 2v + 3w = 3v + 2v − w + 3w.

Vervolgens gebruiken we distributiviteit en het feit dat −w = (−1)w:

3v + 2v − w + 3w = (3 + 2)v + (−1 + 3)w = 5v + 2w.

In dit voorbeeld hebben we het plaatsen van haken achterwege gelaten;dat is vanwege associativiteit in orde. Met plaatsen van haakjes zoude berekening bijvoorbeeld als volgt kunnen starten:

(3v+(−w+2v))+3w = (3v+(2v−w))+3w = ((3v+2v)−w)+3w = . . .

b) De tegengestelde van λ v is −λv. Hier is λ een willekeurige scalar.

c) In de berekening v + 1

2(w − v) = 1

2(v + w) zitten twee manieren ver-

borgen om naar het midden van een lijnstuk te kijken. Zie je welke?

d) Door de diverse rekenregels te gebruiken vind je:

(−u + 2v + 3w) + (2u − v + w) = u + v + 4w.


0.2 Rechten en vlakken

0.2.1 Na keuze van een oorsprong O in het vlak of in de ruimte bepaalt elk puntde vector van O naar dit punt. Omgekeerd bepaalt ook elke vector metbeginpunt in de oorsprong precies een punt, namelijk het eindpunt. Opdeze manier corresponderen punten met vectoren. Soms gebruiken we dewoorden punt en vector dan wel eens door elkaar. Dat blijkt geen problemenop te leveren en is bijvoorbeeld handig als we het over de rechte door tweepunten hebben.

We nemen vanaf nu aan dat we een oorsprong gekozen hebben. Deoorsprong zelf correspondeert met de nulvector 0.

0.2.2 RechtenDe veelvouden x = λv van een vector v die zelf niet gelijk is aan 0, doorlopenprecies de punten/vectoren van een rechte of lijn ℓ door de oorsprong.

+ λ

av

a v

Figuur 4: Parametervoorstelling van een rechte met steunvector a en rich-

tingsvector v. Elke vector op de rechte is te verkrijgen door een geschikt

veelvoud van v op te tellen bij a.

Is a een tweede vector, dan doorloopt, voor varierende λ, het punt

x = a + λv

de rechte m door a parallel met ℓ. We noemen

ℓ : x = λv en m : x = a + λv

een parametervoorstelling of vectorvoorstelling van de rechte ℓ respectievelijkm. De vector v is een zogenaamde richtingsvector in beide gevallen. Devector a is een steunvector van de rechte m (je mag eventueel 0 steunvectorvan de rechte ℓ noemen). We noemen λ wel de parameter.

0.2 Rechten en vlakken 7

Samenvattend: voor de parametervoorstelling van een rechte heb je eensteunvector nodig en een richtingsvector. Steun- en richtingsvector zijn nietuniek bepaald.

0.2.3 Voorbeeld. (Steun- en richtingsvector zijn niet uniek)De vector p+v ligt op de rechte ℓ met parametervoorstelling x = p+λv. Vulmaar λ = 1 in. De vector p+v kan net zo goed als steunvector fungeren. Deparametervoorstelling x = p+v+µv is net zo goed een parametervoorstellingvan de rechte ℓ. Bij varierende µ doorloopt p + v + µv dezelfde vectoren alsp+λv bij varierende λ. In feite kan elke vector op ℓ als steunvector fungeren.

Naast v zijn ook 2v, −3v, π v richtingsvectoren van ℓ. De vectoren vanp + µ(2v) doorlopen bij varierende µ precies de punten van ℓ.

0.2.4 VlakkenOok vlakken in de 3-dimensionale ruimte kunnen we beschrijven met behulpvan parametervoorstellingen. Voor een vlak hebben we een steunvector no-dig, twee richtingsvectoren en (dus) twee parameters. Om werkelijk een vlakop te spannen, mogen de twee richtingsvectoren geen veelvoud van elkaarzijn.

u

v

u

v

a

Figuur 5: Links het geval van een vlak door de oorsprong. Rechts het geval

met steunvector a en richtingsvectoren u en v.

Het vlak U met richtingsvectoren u en v heeft parametervoorstelling

U : x = λu + µv.

Het vlak V met steunvector a en richtingsvectoren u en v heeft parameter-voorstelling

V : x = a + λu + µv.


Net als bij rechten zijn steun- en richtingsvectoren niet uniek bepaald: eenvlak kan op meerdere manieren met steun- en richtingsvectoren beschrevenworden.

0.2.5 Voorbeeld. (Steun- en richtingsvectoren zijn niet uniek)Het vlak V met parametervoorstelling V : x = a+λu+µv kan ook beschrevenworden met de parametervoorstelling

x = a + ρ(u + v) + σ(u − v).

Dit betekent dat je elke vector van de vorm a + λu + µv ook in de vorma + ρ(u + v) + σ(u − v) moet kunnen schrijven en omgekeerd. Dat dit zo isvolgt uit de gelijkheden

a + λu + µv = a + 1

2(λ + µ)(u + v) + 1

2)(λ − µ)(u − v)

a + ρ(u + v) + σ(u − v) = a = (ρ + σ)u + (ρ − σ)v.

0.3 Bases, coordinaten en vergelijkingen

0.3.1 Om concrete berekeningen te kunnen uitvoeren is het handig om vectorenmet behulp van getallen te beschrijven. De begrippen die we daarvoor nodighebben zijn basis en coordinaat.

0.3.2 Basis

• Het vlakIn het vlak hebben we twee basisvectoren nodig, bijvoorbeeld e1 en e2.

e

e1

2

v e + v e1 1 2 2

Figuur 6: Met behulp van de basis e1, e2 kunnen we elke vector uit het vlak

beschrijven met behulp van een tweetal coordinaten.

Die twee vectoren mogen geen veelvoud van elkaar zijn. Elke vector v

0.3 Bases, coordinaten en vergelijkingen 9

uit het vlak is nu op unieke wijze te schrijven als lineaire combinatievan de vectoren e1, e2:

v = v1 e1 + v2 e2

voor zekere getallen v1 en v2 die uniek zijn voor v.

• De ruimteIn de ruimte kiezen we drie vectoren e1, e2, e3 die niet samen met 0in een vlak liggen. Elke vector x kunnen we dan schrijven als lineairecombinatie van deze drie vectoren:

v = v1 e1 + v2 e2 + v3 e3,

waarin de scalairen v1, v2 en v3 eenduidig bepaald zijn (v1e1 is een soort‘projectie’ van v op de rechte x = λe1, zodat v1 vast ligt, enzovoort).

De vectoren e1, e2, e3 vormen een basis van de ruimte en de getallenv1, v2, v3 heten de coordinaten van de vector v ten opzichte van debasis. Als de vectoren e1, e2, e3 onderling loodrecht zijn en lengte 1hebben, spreken we van een orthonormale basis.

0.3.3 De vectorruimten R2 en R

3

Via de coordinaten correspondeert elke vector in de ruimte met een drie-tal coordinaten v1, v2, v3 zeg. Zo’n drietal reele getallen, genoteerd als(v1, v2, v3), is een element van R

3. Zo’n drietal noemen we wel een coordi-

naatvector . Optelling van vectoren en scalaire vermenigvuldiging vertalenals volgt naar coordinaten:

v + w ↔ (v1 + w1, v2 + w2, v3 + w3)λ v ↔ (λv1, λv2, λv3)

(waarbij w correspondeert met (w1, w2, w3)). Via de keuze van een basis isde verzameling R

3 de coordinaatruimte van de ruimte geworden. Let welop dat de vertaling naar coordinaten afhangt van de keuze van oorsprongen basis! In deze coordinaatruimte kunnen we coordinaatvectoren optellen(coordinaatsgewijs) en met scalairen vermenigvuldigen (ook coordinaatsge-wijs). In Hoofdstuk 4 zullen we zien dat ruimte en coordinaatruimte specialegevallen zijn van het begrip vectorruimte. Op soortgelijke wijze kan R

2 derol van coordinaatvlak van het platte vlak spelen. Het coordinaatvlak R

2 ende coordinaatruimte R

3 zijn voornamelijk bedoeld om expliciet met getallente kunnen rekenen. In R

2 respectievelijk R3 spelen (0, 0) en (0, 0, 0) de rol

van nulvector.


In de praktijk ‘identificeren’ we vaak de coordinaatruimte met de ruimte(via de gekozen basis). We spreken dan rustig van de rechte in R

2 of R3, van

vectoren in R2 of R

3, het vlak R2, de ruimte R

3, een parametervoorstellingvan een rechte in R

2 enz. We zullen zelfs wel schrijven a = (a1, a2, a3) als(a1, a2, a3) de coordinaatvector is van a, ook al is dat strikt genomen niet inorde.

0.3.4 Rechten in het vlak in coordinatenIs ℓ : x = a + λv een rechte in het vlak met een zekere basis e1, e2, en zijn(a1, a2) en (v1, v2) achtereenvolgens de coordinaatvectoren van de steunvec-tor en richtingsvector, dan krijgen we in coordinaten de volgende parame-tervoorstelling van de rechte:

ℓ : (x1, x2) = (a1, a2) + λ(v1, v2).

Soms blijkt het handig bij deze beschrijvingen in kolommen te werken:

(

x1

x2

)

=

(

a1

a2

)

+ λ

(

v1

v2

)

.

Natuurlijk kunnen we ook gewoon schrijven: x1 = a1+λv1 en x2 = a2+λv2.

Door λ te elimineren uit deze twee relaties vinden we een vergelijkingvan de rechte. Vermenigvuldig x1 = a1 + λv1 met v2 en x2 = a2 + λv2 metv1 en trek af:

v2x1 − v1x2 = v2a1 − v1a2,

een lineaire vergelijking in de onbekenden x1 en x2. Vergelijkingen van rech-ten zijn niet uniek, net zo min als parametervoorstellingen. Vermenigvuldigje bijvoorbeeld een vergelijking met 2, dan beschrijft het resultaat natuurlijkdezelfde rechte. Een parametervoorstelling van een rechte beschrijft de vec-toren/punten van een rechte expliciet: voor elke λ vind je een vector/puntop de rechte (of de coordinaten daarvan). Een vergelijking van een rechtebeschrijft de rechte impliciet: (y1, y2) ligt op de rechte dan en slechts danals de coordinaten aan de vergelijking voldoen.

0.3.5 Rechten in de ruimte in coordinatenEen parametervoorstelling ℓ : x = a + λv met a = (a1, a2, a3) en v =(v1, v2, v3) is

ℓ : (x1, x2, x3) = (a1, a2, a3) + λ(v1, v2, v3)

0.3 Bases, coordinaten en vergelijkingen 11

of, in kolomnotatie:

x1

x2

x3

=

a1

a2

a3

+ λ

v1

v2

v3

.

Een rechte in de ruimte kun je ook door middel van twee lineaire vergelij-kingen beschrijven. We gaan er hier nu niet op in.

0.3.6 Vlakken in de ruimte in coordinatenEen parametervoorstelling V : x = a + λu + µv van een vlak kan op diversemanieren in coordinaten uitgeschreven worden.

• Parametervoorstelling in ‘rijennotatie’:

(x1, x2, x3) = (a1, a2, a3) + λ(u1, u2, u3) + µ(v1, v2, v3).

• Parametervoorstelling in kolomnotatie:

x1

x2

x3

=

a1

a2

a3

+ λ

u1

u2

u3

+ µ

v1

v2

v3

.

• Of gewoon elke coordinaat apart:

x1 = a1 + λu1 + µv1

x2 = a2 + λu2 + µv2

x3 = a3 + λu3 + µv3.

Na eliminatie van de parameters λ en µ ontstaat een vergelijking van hetvlak, een lineaire vergelijking in de onbekenden x1, x2, x3,

d1x1 + d2x2 + d3x3 = d4,

voor zekere d1, d2, d3, d4. Minstens een van de coefficienten d1, d2, d3 moethierbij ongelijk 0 zijn.

0.3.7 Voorbeelden. a) x = (1, 2)+λ(3,−1) en x = (1, 2)+µ(−6, 2) beschrij-ven dezelfde rechte. Waarom?

b) Om een vergelijking van de rechte ℓ : x = (1, 2) + λ(3,−1) te bepalen,starten we met x1 = 1 + 3λ en x2 = 2 − λ. Vermenigvuldig de tweedevergelijking met 3 en tel het resultaat op bij de eerste:

x1 + 3x2 = 1 + 3λ + 3(2 − λ) = 7.

Een vergelijking van de rechte is dus x1 + 3x2 = 7.


c) Het vlak V heeft 2x1 − x2 + 3x3 = 4 als vergelijking. Om hieruit eenparametervoorstelling af te leiden, gaan we als volgt te werk. Aan devergelijking zie je dat je bij elke waarde die je toekent aan x2 en x3

precies een bijpassende x1 krijgt. Kennen we aan x2 de waarde λ toeen aan x3 de waarde µ, dan wordt x1 = 2 + λ/2 − 3µ/2. Dus

x1 = 2 + λ/2 − 3µ/2, x2 = λ, x3 = µ.

In vectornotatie:

(x1, x2, x3) = (2+λ/2−3µ/2, λ, µ) = (2, 0, 0)+λ(1/2, 1, 0)+µ(−3/2, 0, 1).

Een parametervoorstelling is dan

V : x = (2, 0, 0) + λ(1

2, 1, 0) + µ(−3

2, 0, 1).

Om van de breuken af te komen kun je ook als parametervoorstellingnemen:

V : x = (2, 0, 0) + ρ(1, 2, 0) + σ(−3, 0, 2).

Zie je in waarom?

d) Om een vergelijking te vinden van het vlak V met parametervoorstel-ling x = (2, 0, 0) + λ(1, 1, 0) + µ(0, 2, 1) elimineren we λ en µ uit dedrie betrekkingen x1 = 2 + λ, x2 = λ + 2µ en x3 = µ, bijvoorbeeldals volgt (meer systematische methoden komen in latere hoofdstukkenaan de orde):

– Vanwege x3 = µ kunnen we µ in x2 = λ + 2µ vervangen door x3:x2 = λ + 2x3.

– Trek de betrekkingen x1 = 2 + λ en x2 = λ + 2x3 van elkaar af:x1 − x2 = 2 − 2x3. Een vergelijking is dus

x1 − x2 + 2x3 = 2.

0.4 Afstanden, hoeken en het inproduct

0.4.1 Met het oog op het vervolg blijkt het nuttig te zijn de begrippen afstand,lengte en hoek in verband te brengen met het begrip inproduct. Daartoestarten we in het vlak of de ruimte met een vaste oorsprong. De lengte vaneen vector x is de afstand van de oorsprong tot het eindpunt van x. Delengte geven we aan met ‖ x ‖. De afstand tussen twee vectoren u en v isde lengte van de verschilvector u − v, dus ‖ u − v ‖.

0.4 Afstanden, hoeken en het inproduct 13

0.4.2 Het inproductHet inproduct van twee vectoren u en v, beide ongelijk aan 0, is gedefinieerdals

‖ u ‖ · ‖ v ‖ · cos ϕ,

waarin ϕ de hoek is die de twee vectoren u en v met elkaar maken. Is eenvan beide vectoren de nulvector, dan is het inproduct per definitie gelijk aan0. We noteren het inproduct met

(u, v).

Hebben de vectoren u en v bijvoorbeeld allebei lengte 4 en is de hoek tussen

u

v

v cos φ

φ

Figuur 7: Als de hoek tussen de vectoren u en v hooguit π/2 is, dan is het

inproduct gelijk aan het product van de lengte van u en de lengte van de

projectie van v op de rechte x = λu.

de twee vectoren gelijk aan 60◦, dan is

(u, v) = 4 · 4 cos 60◦ = 4 · 4 · 1

2= 8.

Bij een hoek van 120◦ wordt het inproduct −8. In het bijzonder kan het in-product negatief zijn. In de literatuur komen ook andere notaties voor zoalsu • v (Engelse naam: dot product). Het inproduct wordt ook wel inwendigproduct of scalair product genoemd. Enkele opmerkingen en eigenschappen(die we niet in detail uitwerken):

• Nemen we voor v ook u, dan is natuurlijk de cosinus gelijk aan 1 zodat(u, u) =‖ u ‖2. Dus

‖ u ‖=√

(u, u).

In het bijzonder is (u, u) ≥ 0 voor elke vector u en treedt gelijkheidalleen op als u = 0.


• Als je het inproduct van twee vectoren (ongelijk 0) kent en hun lengten,dan kun je de cosinus van de hoek tussen de vectoren berekenen:

cos ϕ =(u, v)

‖ u ‖ · ‖ v ‖ .

Zodra we het inproduct in coordinaten hebben uitgedrukt, blijkt ditvaak bruikbaar.

• Symmetrie van het inproduct:(u, v) = (v, u) voor alle vectoren u en v.

• Gedrag ten aanzien van scalairen: λ(u, v) = (λu, v) = (u, λv) voor alleu, v en elke scalair λ.

• Gedrag ten aanzien van de vectoroptelling:

(u + v, w) = (u, w) + (v, w),(u, v + w) = (u, v) + (u, w)

voor alle vectoren u, v en w.

• Orthogonaliteit:Het inproduct van twee vectoren is precies gelijk aan 0 als de tweevectoren loodrecht op elkaar staan (men zegt ook wel: orthogonaal

zijn). Merk op dat het inproduct sowieso gelijk aan 0 is als een vanbeide vectoren de nulvector is. De nulvector staat loodrecht op elkevector (voor het geval je tegenwerpt dat de nulvector geen richtingheeft: beschouw het dan als een handige afspraak).

0.4.3 Voorbeelden. a) Veronderstel dat (u, v) = 2. Met de rekenregels vindje bijvoorbeeld dat

(3u,−4 v) = 3(u,−4 v) = 3 · −4 (u, v) = −12 · 2 = −24.

b) Als ‖ u ‖= 2, ‖ v ‖= 3 en (u, v) = 1, dan kun je met de rekenregelsbepalen wat bijvoorbeeld (u + v, u − 2v) is. Kijk maar:

(u + v, u − 2v) = (u, u − 2v) + (v, u − 2v).

Vervolgens pakken we de term eerste term uit het rechterlid, (u, u−2v),aan:

(u, u − 2v) = (u, u) + (u,−2v) = (u, u) − 2(u, v).


Nu is (u, u) =‖ u ‖2= 4 en (u, v) = 1, dus vinden we (u, u − 2v) =4 − 2 = 2. Net zo pakken we de term (v, u − 2v) aan:

(v, u − 2v) = (v, u) + (v,−2v) = (v, u) − 2(v, v) = 1 − 2 · 9 = −17.

We vinden dus: (u + v, u − 2v) = 2 − 17 = −15.

0.4.4 Het inproduct en coordinatenLaat e1, e2 een basis van het vlak zijn waarbij e1, e2 beide lengte 1 hebbenen de twee vectoren loodrecht op elkaar staan (een orthonormale basis dus).Vertalen we dit geval naar coordinaten, dan krijgen we een eenvoudig teonthouden uitdrukking (in de gevallen waarin de basis niet orthonormaalis, is de beschrijving in coordinaten wat lastiger; we laten die beschrijvinghier achterwege). Zijn namelijk v = v1e1 + v2e2 en w = w1e1 + w2e2 tweevectoren in het vlak, dan vinden we, met gebruikmaking van de rekenregelsvoor het inproduct en van het feit dat (e1, e1) = 1, (e1, e2) = 0, (e2, e1) = 0,(e2, e2) = 1:

(v, w) = (v1e1 + v2e2, w1e1 + w2e2)= v1w1(e1, e1) + v1w2(e1, e2) + v2w1(e2, e1) + v2w2(e2, e2)= v1w1 + v2w2.

Dus:

(v, w) = v1w1 + v2w2.

In het bijzonder vinden we een gemakkelijke (en bekende) uitdrukking voorde lengte van de vector v = v1e1 + v2e2:

‖ v ‖=√

v21

+ v22.

Voor de afstand tussen u = (u1, u2) en v = (v1, v2) krijgen we

‖ u − v ‖=√

(u1 − v1)2 + (u2 − v2)2.

Voor de cosinus van de hoek ϕ tussen de vectoren (beide ongelijk 0) v =v1e1 + v2e2 en w = w1e1 + w2e2 vinden we

cos ϕ =(v, w)

‖ v ‖ · ‖ w ‖ =v1w1 + v2w2

√

v21

+ v22·√

w21

+ w22

.

Bij gebruikmaking van een orthonormale basis e1, e2, e3 in de ruimte (dusvectoren van lengte 1 die twee aan twee loodrecht op elkaar staan), vinden we


de volgende uitdrukking in coordinaten voor het inproduct van de vectorenv = v1e1 + v2e2 + v3e3 en w = w1e1 + w2e2 + w3e3:

v1w1 + v2w2 + v3w3.

Voor de lengte van de vector v krijgen we

‖ v ‖=√

v21

+ v22

+ v23.

De afstand tussen u en v is gelijk aan

‖ u − v ‖=√

(u1 − v1)2 + (u2 − v2)2 + (u3 − v3)2.

En voor de cosinus van de hoek tussen de vectoren v en w (beide ongelijk0) geldt:

cos ϕ =(v, w)

‖ v ‖ · ‖ w ‖ =v1w1 + v2w2 + v3w3

√

v21

+ v22

+ v23·√

w21

+ w22

+ w23

.

0.4.5 R2, R

3 en het standaardinproductGemotiveerd door voorgaande discussie introduceren we het zogenaamdestandaardinproduct in R

2 en R3, beschouwd als zelfstandige vectorruimte.

Een vector in R2 is een paar reele getallen, zoals (a1, a2). Het standaardin-

product van twee vectoren a = (a1, a2) en b = (b1, b2) in R2 is gedefinieerd

als

(a, b) := a1b1 + a2b2.

In R3 luidt de definitie van het standaardinproduct van de vectoren a =

(a1, a2, a3) en b = (b1, b2, b3):

(a, b) := a1b1 + a2b2 + a3b3.

0.4.6 Voorbeeld. De hoek ϕ tussen de twee vectoren u = (1, 0) en v = (1, 1) inR

2 bepalen we als volgt:

cos ϕ =(u, v)

‖ u ‖ · ‖ v ‖ =1 · 1 + 0 · 1√

12 + 02 ·√

12 + 12=

1√2

=1

2

√2.

De hoek die hierbij hoort is π/4 of 45◦.

0.4.7 NormaalvectorenZijn u = (u1, u2, u3) en v = (v1, v2, v3) twee vectoren in het vlak V met


vergelijking 2x1 − x2 + 3x3 = 6, dan geldt dus 2u1 − u2 + 3u3 = 6 en2v1 − v2 + 3v3 = 6. Aftrekken van deze twee gelijkheden levert

2(u1 − v1) − (u2 − v2) + 3(u3 − v3) = 0.

Deze gelijkheid kunnen we ook als volgt lezen:

((2,−1, 3), (u1 − v1, u2 − v2, u3 − v3)) = 0,

ofwel, de verschilvector u− v staat loodrecht op de vector (2,−1, 3). In hetbijzonder is (2,−1, 3) een vector die loodrecht staat op alle richtingsvectorenvan het vlak. We noemen (2,−1, 3) wel een normaalvector van het vlak.

Wat we net in een concrete situatie hebben doorgerekend, blijkt ookalgemeen te kunnen. Is a1x1 +a2x2 +a3x3 = d een vergelijking van het vlakV , dan kunnen we dit herschrijven als

(a, x) = d,

waarbij a = (a1, a2, a3) en x = (x1, x2, x3). Zijn nu u en v twee vectorenin het vlak, dan geldt dus (a, u) = d en (a, v) = d. Aftrekken van dezegelijkheden levert (a, u) − (a, v) = 0 en dus, via eigenschappen van hetinproduct (welke?):

(a, u − v) = 0.

Met andere woorden: de verschilvector u−v staat loodrecht op a. In het bij-zonder staan richtingsvectoren van het vlak V loodrecht op V . We noemena een normaalvector van het vlak.

Ook voor rechten in het vlak geldt iets soortgelijks: is a1x1+a2x2 = d devergelijking van een rechte, dan is (a1, a2) een normaalvector van de rechte.De vector staat loodrecht op elke richtingsvector van de rechte.

0.4.8 PythagorasAls u en v loodrecht op elkaar staan, dan vinden we voor het kwadraat vande lengte van de somvector u + v:

‖ u + v ‖2 = (u + v, u + v)= (u, u) + 2(u, v) + (v, v)= (u, u) + (v, v)=‖ u ‖2 + ‖ v ‖2 .

Op dezelfde manier vinden we voor de verschilvector: ‖ u − v ‖2=‖ u ‖2

+ ‖ v ‖2. Dit is een vectorvorm van de stelling van Pythagoras: de driehoek


u

v

u − v

u

v

u v+

Figuur 8: Als u en v loodrecht op elkaar staan, dan gelden de gelijkheden

‖ u + v ‖2=‖ u ‖2 + ‖ v ‖2 en ‖ u − v ‖2=‖ u ‖2 + ‖ v ‖2. De plaatjes

illustreren de relatie met de stelling van Pythagoras.

met als hoekpunten de (eind)punten 0, u en v is een rechthoekige driehoekmet rechthoekszijden ter lengte ‖ u ‖ en ‖ v ‖. De schuine zijde, dat wilzeggen het lijnstuk dat u en v verbindt, heeft lengte gelijk aan ‖ u − v ‖.

Geef zelf een vergelijkbare interpretatie van ‖ u + v ‖2=‖ u ‖2 + ‖ v ‖2.

0.4.9 Voorbeeld. We bepalen de afstand van (het eindpunt van) p = (1, 2) totde rechte ℓ : x = (8, 1) + λ(3,−4). Hiertoe zoeken we eerst een vector q opℓ zodat p − q loodrecht op ℓ staat, dat wil zeggen loodrecht op a. Om q tevinden lossen we op:

((1, 2)−(8, 1)−λ(3,−4), (3,−4)) = 0 ofwel (−7) ·3−9λ+1 ·(−4)−16λ = 0.

Hieruit volgt dat λ = −1. Dus q = (5, 5). De afstand van p tot q is√

(5 − 1)2 + (5 − 2)2 = 5. Dit is ook de afstand tussen p en de rechte ℓ:voor elke andere vector op ℓ blijkt de afstand tot p groter te zijn. Kijkmaar. Is r een andere vector op ℓ, dan moeten we ‖ p − r ‖ en ‖ p − q ‖vergelijken. Omdat p− q loodrecht staat op q − r (waarom?) kunnen we destelling van Pythagoras toepassen op de driehoek met hoekpunten p, q en r.In vectortaal: we passen Pythagoras toe op de vectoren u = p− q, v = q− ren hun som u + v = p − r. We vinden dus:

‖ p − r ‖2=‖ p − q ‖2 + ‖ q − r ‖2 .

Kennelijk is ‖ p − r ‖>‖ p − q ‖. We kunnen dus ‖ p − q ‖ met recht deafstand van p tot de rechte ℓ noemen.

0.5 Het uitproduct 19

p

q

rp

r

q

Figuur 9: Om de afstand van p tot de rechte ℓ te bepalen zoeken we een

vector q op ℓ zodat p − q loodrecht op ℓ staat. Is r een willekeurige andere

vector op ℓ, dan illustreert het rechterplaatje dat de afstand tussen p en rgroter is dan de afstand tussen p en q vanwege de stelling van Pythagoras.

0.5 Het uitproduct

0.5.1 Definitie van het uitproductHet inproduct van twee vectoren is een getal. Er is echter ook een nutti-ge constructie, die bij twee vectoren in de ruimte een vector aflevert metbijzondere eigenschappen. We beperken ons hier tot een bespreking op hetniveau van coordinaatvectoren ofwel een bespreking van de situatie in R

3.

Het uitproduct v×w van de vectoren v = (v1, v2, v3) en w = (w1, w2, w3)is per definitie de vector

(v2w3 − v3w2, v3w1 − v1w3, v1w2 − v2w1).

Dit is een lastige uitdrukking die niet direct te doorgronden is. Het uit-product v × w blijkt een vector te zijn die loodrecht staat op zowel v alsw en waarvan de lengte gelijk is aan ‖ v ‖ · ‖ w ‖ · sinϕ, waarbij ϕ dehoek (0 ≤ ϕ ≤ π) is tussen v en w. Bovendien is deze lengte gelijk aan deoppervlakte van het parallellogram opgespannen door v en w.

Hier is een lijstje met eigenschappen die allemaal door uitschrijven teverifieren zijn (er zijn nog meer eigenschappen, maar die voeren nu te ver).

a) v × v = 0.

b) Het uitproduct van v en w staat loodrecht op v en op w, dat wil zeggenhet inproduct met deze twee vectoren is gelijk aan 0:

(v × w, v) = 0 en (v × w, w) = 0.


Deze eigenschap is handig om bijvoorbeeld, gegeven twee richtingsvec-toren van een vlak, een normaalvector te bepalen.

c) Antisymmetrie van het uitproduct:

v × w = −(w × v).

φ

sin φw

v

Figuur 10: De lengte van het uitproduct van v en w is de oppervlakte van

het parallellogram opgespannen door v en w.

d) De lengte van het uitproduct in termen van de lengten van v, w en dehoek ϕ tussen v en w:

‖ v × w ‖=‖ v ‖ · ‖ w ‖ · sinϕ.

Dit is precies de oppervlakte van het parallellogram opgespannen doorv en w (uit ‘lengte maal hoogte’, waarbij de lengte gelijk is aan ‖ v ‖en de hoogte gelijk is aan ‖ w ‖ · ‖ sinϕ ‖).

e) Relatie met vectoroptelling:

u × (v + w) = u × v + u × w en (v + w) × u = v × u + w × u.

f) Relatie met scalaire vermenigvuldiging:

λ(v × w) = (λv) × w = v × (λw).

De onderdelen b) en d) leggen het uitproduct van twee vectoren net niethelemaal vast: op grond van deze twee onderdelen kan het uitproduct nogtwee kanten uitwijzen (loodrecht uit het vlak opgespannen door v en w).We zullen in de context van de ruimte aanduiden hoe je meetkundig kuntbeschrijven naar welke kant het uitproduct wijst. In het algemeen blijktnamelijk het volgende te gelden: als de basis e1, e2, e3 zo gekozen is dat

0.5 Het uitproduct 21

een kurketrekker die van e1 naar e2 gedraaid wordt in de richting van e3

beweegt, dan beweegt een kurketrekker die van v naar w gedraaid wordt inde richting van v ×w. Beweegt de kurketrekker die van e1 naar e2 gedraaidwordt in de richting van −e3, dan beweegt een kurketrekker die van v naarw gedraaid wordt in de richting van −v × w.

0.5.2 Over het bewijs van eigenschap d)Zoals gezegd volgen de bewijzen door uitschrijven met behulp van de defi-nitie. Bij onderdeel d) moet je wel subtiel manoeuvreren om de gelijkheidvoor elkaar te krijgen. Vandaar dat we hier het idee achter de berekeningtoelichten. Als je wilt bewijzen dat ‖ v × w ‖=‖ v ‖ · ‖ w ‖ · sinϕ, is hethandig om op de kwadraten over te stappen en aan te tonen dat ‖ v ×w ‖2

gelijk is aan

‖ v ‖2 · ‖ w ‖2 · sin2 ϕ.

Als je hierin sin2 ϕ vervangt door 1 − cos2 ϕ, dan kom je op het spoor vanhet inproduct:

‖ v ‖2 · ‖ w ‖2 · sin2 ϕ =‖ v ‖2 · ‖ w ‖2 ·(1−cos2 ϕ) =‖ v ‖2 · ‖ w ‖2 −(v, w)2.

Wat je dus doet is, door uitschrijven bewijzen dat ‖ v × w ‖2 gelijk is aan‖ v ‖2 · ‖ w ‖2 −(v, w)2, dus dat (v2w3 − v3w2)

2 + (v3w1 − v1w3)2 + (v1w2 −

v2w1)2 gelijk is aan

(v2

1 + v2

2 + v2

3)(w2

1 + w2

2 + w2

3) − (v1w1 + v2w2 + v3w3)2.

Dat laten we aan de lezer over.

0.5.3 De inhoud van een parallellepipedumIs P een parallellepipedum opgespannen door de vectoren a, b en c, dan is

a

b

c

a x b

c cos φ

Figuur 11: De inhoud van het parallellepipedum is gelijk aan de absolute

waarde van (a × b, c).


de inhoud ervan uit te drukken met behulp van een in- en een uitproduct.Uitgangspunt is dat de inhoud gelijk is aan de oppervlakte van een basis-parallellogram, laten we zeggen opgespannen door a en b, vermenigvuldigdmet de hoogte. De oppervlakte van het parallellogram is gelijk aan ‖ a× b ‖zoals we al zagen. Omdat a × b loodrecht staat op het parallellogram, is dehoogte gelijk aan de (lengte van de) projectie van c op a × b, dus aan deabsolute waarde van ‖ c ‖ · cos ϕ waarbij ϕ de hoek is tussen c en a × b. Deinhoud is dus

‖ a × b ‖ · ‖ c ‖ ·| cos ϕ| = |(a × b, c)|.Samengevat: de inhoud van het parallellepipedum opgespannen door devectoren a, b en c is gelijk aan

|(a × b, c)|.

0.5.4 Voorbeelden. a) Een normaalvector van het vlak V met parameter-voorstelling x = (1, 2, 3) + λ(1, 2, 1) + µ(3, 1, 0) is

(1, 2, 1) × (3, 1, 0) = (−1, 3,−5).

Een vergelijking van het vlak is dus −x1 + 3x2 − 5x3 = d voor eenof andere d. Vullen we (1, 2, 3) in, dan vinden we dat d = −10. Eenvergelijking is dus −x1 + 3x2 − 5x3 = −10.

b) De oppervlakte van de driehoek met hoekpunten (0, 0, 0), (1, 2, 1) en(2,−1, 3) is gelijk aan

1

2‖ (1, 2, 1) × (2,−1, 3) ‖= 1

2‖ (7,−1,−5) ‖= 1

2

√65 .

0.6 Vectoren en meetkunde

0.6.1 Vectoren kunnen ook nuttig zijn bij het bestuderen van meetkundige kwes-ties. Met behulp van vectoren vertaal je meetkundige situaties naar vec-torrekening. Op die manier komt de meer algebraısche machinerie rondomvectoren tot je beschikking en dus weer een andere mogelijkheid om eenprobleem aan te pakken.

0.6.2 Zwaartelijnen in een driehoekEen bekende stelling uit de vlakke meetkunde spreekt uit dat de drie zwaar-telijnen in een driehoek door een punt gaan. Een zwaartelijn in een driehoekis een rechte door een hoekpunt en door het midden van de tegenover dithoekpunt liggende zijde van de driehoek.

0.6 Vectoren en meetkunde 23

A B

C

1

2(b + c)

1

2(a + c)

1

2(a + b)

Figuur 12: In driehoek △ABC gaan de drie zwaartelijnen door een punt.

Van de middens van de zijden zijn de vectorbeschrijvingen aangegeven.

Laat △ABC een driehoek zijn. De bij de hoekpunten horende vectorengeven we aan met a, b en c. Het midden van de zijde BC correspondeert

met de vector1

2(b + c). Een parametervoorstelling van de zwaartelijn door

A is dan

x = a + λ

(

1

2(b + c) − a

)

.

De twee andere zwaartelijnen hebben de parametervoorstellingen

x = b + µ

(

1

2(a + c) − b

)

x = c + ρ

(

1

2(a + b) − c

)

.

De vraag naar een gemeenschappelijk punt van de drie zwaartelijnen komtneer op de vraag of de parameters λ, µ en ρ zo te kiezen zijn dat de drieparametervoorstellingen dezelfde vector opleveren. Het is niet moeilijk omin te zien dat als we voor λ, µ en ρ elk 2/3 kiezen, de drie parametervoor-

stellingen de vector1

3(a+ b + c) produceren. Het hiermee corresponderende

punt heet het zwaartepunt van driehoek △ABC.In feite levert de vectoraanpak meer op: het feit dat we voor de drie

parameters de waarden 2/3 nodig hebben, laat zien dat het zwaartepunt elkvan de drie linstukken van de zwaartelijnen binnen de driehoek verdeelt inde verhouding 2 : 1. Aan de vectorexpressie voor het zwaartepunt zien wedat het zwaartepunt een soort gemiddelde van de drie vectoren a, b en c is.


0.6.3 Een parallellogram in een vierhoekAls tweede voorbeeld bekijken we een willekeurige vierhoek ABCD in hetvlak, waarbij geen twee van de vier punten samenvallen. Laat E het middenzijn van AB, F het midden van BC, G het midden van CD en H het middenvan AD. Uit het plaatje kun je de stelling al raden: vierhoek EFGH is eenparallellogram (ongeacht de ligging van de punten A, B, C en D)!

A B

C

D

E

F

G

H

Figuur 13: De middens van de zijden van vierhoek ABCD vormen een

parallellogram.

Om deze stelling te bewijzen, zetten we onze vectoren weer in en vragenons af wat we eigenlijk dienen te bewijzen. We moeten laten zien dat dezijden EF en HG parallel zijn en even lang. In vectortaal: e−f = ±(h−g),waarbij we de met de punten corresponderende vectoren op de gebruikelijkewijze aangeven. Eerst drukken we de vier vectoren e, f , g, h uit in devectoren a, b, c, d:

e =1

2(a + b), f =

1

2(b + c), g =

1

2(c + d), h =

1

2(a + d).

Hiermee werken we e − f en h − g uit:

e − f =1

2(a + b) − 1

2(b + c) =

1

2(a − c)

en

h − g =1

2(a + d) − 1

2(c + d) =

1

2(a − c).

Hieraan zien we dat we onze stelling bewezen hebben.

0.6 Vectoren en meetkunde 25

0.6.4 De hoogtelijnen van een driehoek gaan door een puntEen hoogtelijn in een driehoek is een rechte die door een hoekpunt gaaten bovendien loodrecht staat op de tegenover het hoekpunt liggende zijde.Met behulp van eigenschappen van het inproduct laten we zien dat de driehoogtelijnen in driehoek △ABC door een punt gaan.

BA

C

P

Figuur 14: De hoogtelijnen in driehoek △ABC gaan door een punt. De

hoogtelijn uit B is gestippeld.

Laat P het snijpunt van de hoogtelijnen uit A en uit C zijn en duid metp de bijbehorende vector aan. Er geldt dan

p − a ⊥ b − c ofwel (p − a, b − c) = 0,

p − c ⊥ a − b ofwel (p − c, a − b) = 0.

We moeten nu aantonen dat p ook op de hoogtelijn uit B ligt, dus dat p− bloodrecht staat op a − c. In de volgende berekening herschrijven we hetinproduct (p− b, a− c) met behulp van de gegevens tot 0. In de eerste stapbrengen we p−a in de berekening door p− b te herschrijven als p−a+a− ben de expressie te zien als de som van p − a en a − b. Vervolgens passen wein de tweede stap de rekenregel (u + v, w) = (u, w) + (v, w) toe. In de derdestap vervangen we in de eerste term a − c door a − b + b − c. Zo ontstaatonder meer de term (p − a, b − c) die gelijk is aan 0 en dus geschrapt kan


worden. Enz.

(p − b, a − c) = (p − a + a − b, a − c)

= (p − a, a − c) + (a − b, a − c)

= (p − a, a − b) + (p − a, b − c) + (a − b, a − c)

= (p − a, a − b) + (a − b, a − c)

= (a − b, p − a + a − c)

= (a − b, p − c) = 0.

0.6.5 Zodra we ook rotaties en spiegelingen in onze vectorrekening hebben inge-bouwd, kunnen we nog meer situaties behandelen.

0.7 Aantekeningen

Dit hoofdstuk fungeert als een snelle inleiding in de vectormeetkunde: het gebruik

van vectoren in meetkundige situaties. In Hoofdstuk 4 volgt een preciese introductie

van het begrip vectorruimte. De technieken uit dit hoofdstuk zijn ook direct nuttig

voor het vak Mechanica. De meeste begrippen in dit hoofdstuk zijn hier enigszins

informeel geıntroduceerd. Die begrippen zult in steeds ruimere kaders terugzien bij

vervolgvakken in uw studie, zowel bij analysevakken, algebravakken, als vakken uit

de hoek van de kansrekening, statistiek en optimalisering.

0.8 Opgaven

§1

1 Teken, uitgaande van de vectoren u en v, de vectoren

a. 2u + 3v,

b. u − v.

2 Ga met behulp van de rekenregels voor vectoren na dat

v1 + ((v2 + v3) + v4) = (v2 + v1) + (v4 + v3).

§2

3 Gegeven zijn de (verschillende) vectoren u en v.

0.8 Opgaven 27

a. Waarom is

x = u + λ(v − u)

een parametervoorstelling van de rechte door u en v?

b. Welke van de volgende uitdrukkingen is ook een parametervoorstellingvan deze rechte?

x = (1 − λ)u + λv, x = v + µ(u − v), x = 2v − u + ρ(u − v).

c. Ga na of −2u + 3v op de rechte ligt.

4 Gegeven zijn de verschillende vectoren u, v, w (in de ruimte).

a. Laat zien dat

x = u + λ(v − u) + µ(w − u)

een parametervoorstelling is van het vlak door u, v en w (waarbij weaannemen dat geen van de drie vectoren op de rechte door de anderetwee ligt).

b. Welke van de volgende uitdrukkingen is ook een parametervoorstellingvan dit vlak?

x = (1 − λ − µ)u + λv + µw,x = v + λ(v − u) + µ(w − u),x = u + λ(w − v) + µ(w − u).

5 De rechte ℓ heeft parametervoorstelling x = u + λ(v − u).

a. Voor welke waarden van λ ligt x tussen u en v?

b. Voor welke waarde van λ is x het midden van lijnstuk uv?

c. Voor welke waarde van λ verdeelt x het lijnstuk uv in de verhouding2 : 1?

§3

6 Bepaal een parametervoorstelling van elk van de rechten in a) en b) en voorelk van de vlakken in c) en d).

a. De rechte door (2, 1, 5) en (5,−1, 4).

b. De rechte door (1, 2) en (2, 4).


c. Het vlak door (1, 2, 2), (0, 1, 1) en (1, 3, 2).

d. Het vlak dat zowel de rechte x = (−2, 1, 3) + λ(1, 2,−1) bevat als hetpunt (4, 0, 3).

7 Ga na of (3, 4, 0) op de rechte met parametervoorstelling x = (1, 2, 1) +λ(2, 2,−1) ligt. Zijn x = (3, 4, 0) + λ(2, 2,−1) en x = (1, 2, 1) + µ(−2,−2, 1)parametervoorstellingen van dezelfde rechte?

8 Bepaal een vergelijking voor elk van de volgende rechten.

a. x = (1, 3) + λ(2,−1).

b. x = (2, 2) + λ(1,−1).

c. x = (3, 4) + λ(0, 2).

9 Bepaal een parametervoorstelling voor elk van de volgende rechten in R2.

a. 2x1 + 3x2 = 3.

b. 3x1 − 4x2 + 7 = 0.

c. 2x2 = 5.

10 Bepaal een vergelijking van elk van de volgende vlakken.

a. x = (2, 0, 1) + λ(1, 0, 2) + µ(1,−1, 0).

b. x = (1, 1, 1) + λ(1, 1, 0) + µ(0, 1, 1).

c. x = λ(4, 1, 1) + µ(0, 1,−1).

11 Bepaal een parametervoorstelling voor elk van de volgende vlakken.

a. x1 + x2 − 3x3 = 5.

b. 2x1 + 3x2 + 5x3 = 0.

c. x2 = 5.

§4

12 Teken een vector u in het vlak met lengte 2. Schets alle vectoren in het vlakwaarvan het inproduct met u gelijk is aan 1.

0.8 Opgaven 29

13 Toon met behulp van de rekenregels voor het inproduct aan dat geldt:

a. (λu, µv) = λµ(u, v) voor alle vectoren u, v en scalairen λ en µ.

b. (u + v, u − v) =‖ u ‖2 − ‖ v ‖2 voor alle vectoren u en v.

14 a. Bepaal de lengte van de vector (−2, 2, 1).

b. Bepaal de afstand tussen de vectoren (1,−1, 1) en (1,−4, 5).

c. Bepaal de hoek tussen de vectoren (1, 1, 2) en (1, 1,−1).

d. Bepaal het getal a zo dat de vector (1,−2, a) loodrecht staat op devector (3, 1,−1).

15 Bepaal in elk van de volgende gevallen een vergelijking van de rechte doorhet aangegeven punt en loodrecht op de gegeven rechte. Bepaal ook deafstand van het punt tot de rechte.

a. P = (3, 2) en ℓ : x = (2, 1) + λ(1,−1).

b. P = (1, 2) en ℓ : 3x1 − 4x2 = 20.

16 Het vlak V heeft vergelijking 2x − y + 2z = 18.

a. Bepaal de afstand van (0, 0, 0) tot V .

b. Het vlak W : 2x − y + 2z = 24 is parallel met V . Bepaal de afstandtussen V en W .

§5

17 Gebruik het uitproduct om een normaalvector en een vergelijking van elkvan de volgende vlakken te bepalen.

a. x = (1, 2, 2) + λ(1,−1, 0) + µ(0, 1, 1).

b. x = (2, 1, 0) + λ(1, 2, 0) + µ(0, 2, 3).

18 Bereken met behulp van het uitproduct:

a. de oppervlakte van de driehoek met hoekpunten (1, 1, 0), (2, 1, 1),(1, 3, 3).

b. de oppervlakte van de driehoek met hoekpunten (2, 0), (5, 1), (1, 4).


c. de inhoud van het parallellepipedum opgespannen door (1, 1, 1), (2, 2, 3),(1, 0, 1).

§6

19 In 0.6.2 hebben we parametervoorstellingen van de drie zwaartelijnen gege-ven. De waarden van de parameters die bij het gemeenschappelijke snijpunthoren, hebben we niet afgeleid, maar eenvoudigweg geponeerd. In deze op-gave bekijken we hoe we je die parameterwaarden kunt afleiden.

a) Laat zien dat snijden van de zwaartelijnen door A en door B leidt totde vergelijking

(2 − 2λ − µ)a + (λ − 2 + 2µ)b + (λ − µ)c = 0.

b) Aan de vergelijking uit a) is voldaan als alle coefficienten gelijk zijnaan 0. Wat betekent dit voor λ en µ? Laat zien dat je op soortgelijkewijze aan de waarde van ρ kunt komen?

c) Volgt noodzakelijkerwijs uit de vergelijking in a) dat de drie coefficientengelijk moeten zijn aan 0?

d) Bekijk onderdeel c) nog eens onder de aanname dat de oorsprong niet

in het vlak van de driehoek ligt.

20 Zoals drie niet op een lijn gelegen punten een driehoek bepalen, zo bepalenvier niet in een vlak gelegen punten in de ruimte een viervlak.

a) Definieer het begrip zwaartelijn in een viervlak ABCD naar analogiemet het begrip zwaartelijn in een driehoek.

b) Laat zien dat de vier zwaartelijnen in een viervlak door een punt gaanen beschrijf dit punt met vectoren.

21 De middelloodlijn van een lijnsegment is een rechte door het midden vanhet segment, die bovendien loodrecht staat op het segment. In deze opgavebewijzen we dat de drie middelloodlijnen in een driehoek door een puntgaan.

Laat P , Q en R de middens zijn van achtereenvolgens de zijden BC, ACen AB van driehoek △ABC.

a) Laat S het snijpunt zijn van de middelloodlijnen van AC en BC.Welke inproducten met de vectoren s − p en s − q zijn dan gelijk aan0?

0.8 Opgaven 31

A B

C

R

PQ

S

Figuur 15: De middelloodlijnen in een driehoek gaan door een punt.

b) Bewijs dat s − r loodrecht staat op a − b. Conclusie?

c) Een andere eigenschap van een middelloodlijn is dat voor elk puntop de middelloodlijn van een segment de afstanden tot de eindpuntenvan het segment gelijk zijn. Stel de parametervoorstelling op van demiddelloodlijn van het segment AC en laat zien dat de afstand vanelk punt op deze middelloodlijn tot A en tot C gelijk is.

0.8.1 Oefenen op tentamenniveau

22 (Januari 2007) Gegeven zijn de rechte ℓ: x = (3, 1, 2)+λ(1, 3,−2), de vectorp = (6, 10,−4) en het vlak V met vergelijking x + y + z = 0.

a) Laat zien dat p op ℓ ligt en bepaal het snijpunt van ℓ en V .

b) De loodrechte projectie van de rechte ℓ op V (d.w.z. de verzamelingloodrechte projecties op V van alle vectoren op ℓ) is een rechte. Bepaaleen parametervoorstelling van deze rechte.

23 (Januari 2007) Gegeven is driehoek △ABC (de punten A, B en C liggenniet op een rechte). Punt P is het midden van BC en punt R is het punt opde rechte AB zo dat A het midden is van lijnstuk BR. Bepaal met behulpvan vectoren het snijpunt Q van de rechten PR en AC en laat zien datAQ : QC = 1 : 2.

24 (Januari 2008) In R3 zijn gegeven de rechte ℓ: x = (3, 0, 3) + λ(1,−2, 2) en

het vlak V : 2x + 2y + z = 0.


a) Laat zien dat ℓ en V elkaar niet snijden.

b) Bepaal de afstand van ℓ tot V .

c) Het vlak W bevat ℓ en heeft ook (1, 0, 7) als richtingsvector. Bepaaleen parametervoorstelling van de snijlijn van V en W .

25 (Januari 2008) In het platte vlak zijn twee verschillende rechten ℓ : x = λaen m : x = µb gegeven. De vectoren a en b hebben beide lengte 1. De vectorp 6= 0 maakt gelijke hoeken met a en met b. Bereken voor elke (reele) scalarα de loodrechte projecties van de vector α p op ℓ respectievelijk m en toondaarmee aan dat de afstand van α p tot ℓ gelijk is aan de afstand van α · ptot m.

Lineaire Algebra A en B - Faculteit Wiskunde en Informaticasterk/2WF07/lala10-H0.pdf · Hoofdstuk 0...

Documents

Transcript of Lineaire Algebra A en B - Faculteit Wiskunde en Informaticasterk/2WF07/lala10-H0.pdf · Hoofdstuk 0...