Hoofdstuk 3 - Transformatieswiskunde.stmichaelcollege.nl/mw/hb/Mw9_havo_B2_uitwH3.pdf61 Hoofdstuk 3...

⁄59

Hoofdstuk 3 - Transformaties

Voorkennis: Standaardfuncties

bladzijde 70

V-1a

f (x ) = x g (x) = sin x h (x ) = 2x

k (x ) = 2 log x

p (x ) = x 3

m (x ) = 4 n (x ) = x 2x

b Df = [0, →〉 en Bf = [0, →〉; Dg = en Bg = [ , ]−1 1 ; Dh = en Bh = 〈0, →〉; Dk = 〈0, →〉 en Bk = ; Dm = 〈←, 0〉 ∪〈0, →〉 en Bm = 〈←, 0〉 ∪〈0, →〉; Dn = en Bn = [0, →〉;

Dp = en Bp = c De grafiek van functie f heeft randpunt (0, 0). d De grafiek van functie h heeft een horizontale asymptoot y = 0 ; De grafiek van functie k heeft een verticale asymptoot x = 0 ; De grafiek van functie m heeft een horizontale asymptoot y = 0 en een verticale

asymptoot x = 0 . e De grafiek van functie g heeft periode 2π .

bladzijde 71

V-2a De wortel uit een negatief getal bestaat niet dus de grafiek “start” in x = 0 . b De functie m bestaat niet voor x = 0 maar als x nadert naar nul, nadert de

functiewaarde naar oneindig of min-oneindig, daarom heeft m een verticale asymptoot. c De functie g doorloopt op het interval [0, 2π] de functiewaarden van 0 naar 1 naar 0

naar –1 naar 0 en dan begint de cyclus weer opnieuw.

V-3a Functiewaarden zijn nooit negatief. De grafieken hebben als top (0, 0) en zijn symmetrisch ten opzichte van de y-as.

MW9_havobb_wiskb_2_1-Uitw.indd 59 31-03-2008 10:57:31

Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo B deel 2 © Noordhoff Uitgevers bv © N

oord

hoff U

itgev

ers

bv

⁄60


b Alle grafieken zijn puntsymmetrisch ten opzichte van (0, 0). Als x negatief is, is de functiewaarde negatief. Als x positief is, is de functiewaarde positief.

c Alle grafieken gaan door (0, 0) en (1, 1).

V-4a Voor g > 1 zijn de kenmerken hetzelfde. b Voor 0 1< <g is de grafiek van f afnemend dalend met de x-as als horizontale

asymptoot en de grafiek gaat altijd door (0, 1). c Voor 0 1< <g is de grafiek van k afnemend dalend met de y-as als verticale

asymptoot en de grafiek gaat altijd door (1, 0).

V-5 Plot steeds de grafieken van f en g en laat de grafische rekenmachine vervolgens de oplossingen berekenen.

a t ≈ −0 77, ; t = 2 en t = 4. De functie f stijgt op den duur het snelst. b t ≈ −0 90, ; t ≈ 1 14, en t ≈ 29 21, . De functie f stijgt ook hier op den duur het snelst. c t ≈ 1 01, en t ≈ 20 95, . De functie f stijgt op den duur het snelst. Denk er wel aan om

functie g in te voeren als log( ) : log( )x 2 .

V-6a Als x < −2 of x > 2 heeft p x x( ) = 2 de meeste invloed omdat 1x

dan heel snel naar nul nadert.

b In de buurt van x = 0 wordt q xx

( ) = 1 groot positief of groot negatief terwijl x2 juist naar nul nadert en dus weinig invloed heeft.

3.1 Grafieken verschuiven

bladzijde 72

1a De coördinaten van het punt waar de raaklijn aan de grafiek horizontaal loopt zijn: s: (0, 0); t: (–2, 0); u: (3, 5); v: (–4, –7); w: (0, 10). b De grafiek van functie t ontstaat door de grafiek van functie s 2 naar links te

schuiven. De grafiek van functie u ontstaat door de grafiek van functie s 3 naar rechts en 5 naar

boven te schuiven. De grafiek van functie v ontstaat door de grafiek van functie s 4 naar links en 7 naar

beneden te schuiven. De grafiek van functie w ontstaat door de grafiek van functie s 10 naar boven te

schuiven.

2ab

6 7 8 9 101 2 3 54–1 O

1

2

3

–1

x

y



oord

hoff U

itgev

ers

bv

⁄61


c g( )7 7 3 2= − = d f x g( ) ( )= =7 2 geeft x = 2 dus x = 4 e x = − =17 3 14 dus x = 14 f x a= − 3 dus x a= − 3

bladzijde 73

3a De grafiek van functie f ontstaat door de grafiek van standaardfunctie cos x 1 omhoog te schuiven.

De grafiek van functie g ontstaat door de grafiek van standaardfunctie x 1 naar rechts en 4 naar beneden te schuiven.

De grafiek van functie h ontstaat door de grafiek van standaardfunctie 1x

1 naar links te schuiven.

De grafiek van functie k ontstaat door de grafiek van standaardfunctie 2 log x 6 naar rechts en 8 omhoog te schuiven.

b -

4a k x x( ) = +3 3 ; m x x( ) log( )= +3 3 en n x x( ) cos( )= + 3 b t x x( ) = −−3 22π ; r x x( ) log= −( ) −3 2 2π en s x x( ) cos( )= − −2 2π c

De grafiek van s x x( ) cos( )= − −2 2π lijkt alleen naar beneden geschoven te zijn. Dat komt omdat de grafiek precies één periode naar rechts is geschoven.

5a De standaardfunctie is 1x

.

b De grafiek van de standaardfunctie heeft x = 0 en y = 0 als asymptoten. De grafiek van f heeft x = −3 en y = 5 als asymptoten.

c De standaardgrafiek is 3 naar links en 5 omhoog geschoven.

6a Hier wordt standaardfunctie x bedoeld. b Randpunt (0, 0) is verplaatst naar randpunt (1, 4). c Er is 1 naar rechts en 4 omhoog geschoven. d f x x( ) = − +1 4



oord

hoff U

itgev

ers

bv

⁄62


3.2 Grafieken vervormen

bladzijde 74

7ab

6 7 8 9 10 11 121 2 3 54–1 O

1

2

3

4

5

6

7

8

9

–1

x

y

c g x x( ) = 3

8ab

6 7 8 9 10 111 2 3 54–1 O

1

2

3

–1

x

y

c h( )12 2= d f x h( ) ( )= 12 voor x = 4 e f x h( ) ( )= 34 voor x = 11 1

3 want 3 11 3413× =

bladzijde 75

9a g x x( ) = 14

b g x x x x( ) = = ⋅ =14

14

12

10a g x x( ) = −2 , de grafiek van f wordt gespiegeld in de x-as. b h x x( ) = −2 , de grafiek van f wordt gespiegeld in de y-as. c Ja, ook bij g x x( ) log= is het effect hetzelfde.

11a f x x( ) sin= horizontaal vermenigvuldigen met factor 1π

b f x x( ) log=2 horizontaal vermenigvuldigen met factor 4

c f xx

( ) = 1 verticaal vermenigvuldigen met factor 2



oord

hoff U

itgev

ers

bv

⁄63


d f x x( ) = achtereenvolgens horizontaal vermenigvuldigen met factor 13 en dan

verticaal vermenigvuldigen met factor 3 e f x x( ) cos= achtereenvolgens horizontaal vermenigvuldigen met − 1

2 en dan verticaal vermenigvuldigen met factor 1

4

f f x x( ) = 3 achtereenvolgens horizontaal vermenigvuldigen met 2 en dan verticaal vermenigvuldigen met factor 2

12a g x x( ) = +2 4

b Punt (0, 1) komt op punt (0, 16) dus de factor is 16. c 16 2 2 2 24 4⋅ = ⋅ = +x x x

13a Factor 16. bc Factor 1

4 want h x x x( ) ( )= =16 42 2

d g xx x

( ) = = ⋅14

14

1 dus horizontaal met factor 14 of verticaal met factor 1

4 .

3.3 Transformaties combineren

bladzijde 76

14a

61 2 3 54–6 –5 –4 –2–3 –1 O

1

2

–1

x

y

4

2

6

3

f g

b g x x( ) = +2 112

c Als je de volgorde omdraait krijg je hetzelfde resultaat.



oord

hoff U

itgev

ers

bv

⁄64


15abc

61 2 3 54–6 –5 –4 –2–3 –1 O

1

2

–1

x

y

4

2

6

3

f

g

h

d Onderdeel b: f x x k x x g x k x x( ) ( ) ( ) ( )= ⇒ + = + ⇒ = = +3 3 3 3 3 Onderdeel c: f x x k x x h x k x x( ) ( ) ( ) ( ) ( )= ⇒ = ⇒ = + = +3 3 3 3 3

bladzijde 77

16 f x x g x x x h x g x( ) ( ) ( ) ( ) ( )= ⇒ = = ⇒ = + =2 14

14

2 116

2 1163 (( )x + 3 2

De grafiek van h heeft (–3, 0) als top.

17ab f x x g x f x x h x g x x( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (= ⇒ = − = − ⇒ = = −3 3 12

12

34 4 44 212

3) = −x of f x x g x f x x h x g x x( ) ( ) ( ) ( ) ( )= ⇒ = = ⇒ = − = −3 1

212

3 12

34 4

18 In alle 3 de gevallen is de standaardgrafiek k x x( ) log=2 . De grafiek van f ontstaat uit de standaardgrafiek door eerst horizontaal te

vermenigvuldigen met 5 en vervolgens 3 naar rechts te schuiven. De grafiek van h ontstaat door de standaardgrafiek eerst 3 naar rechts te schuiven en

dan horizontaal te vermenigvuldigen met 5. De grafiek van m ontstaat door de standaardgrafiek horizontaal met 5 te

vermenigvuldigen en 3 naar beneden te schuiven.



oord

hoff U

itgev

ers

bv

⁄65


19a 75 naar rechts schuiven en verticaal vermenigvuldigen met 0,8465. b

punt

en

500 100 150 250200

100

0

200

300

400

500

600

hoogte in cm

Een atleet moet meer dan 75 cm hoogspringen om punten te halen. c Elke cm die de atleet hoger springt levert steeds meer punten op. d

punt

en

1000 200 300 500400

200

0

400

600

800

1000

tijd in seconden

Een atleet moet sneller zijn dan 480 seconden om punten te halen. e Elke seconde die een atleet sneller loopt levert steeds meer punten op. f Op de 1500 meter krijg je P = − =0 03768 480 255 8461 85, ( ) , punten. Met de grafische rekenmachine oplossen van 0 8465 75 846

1 42,

,h −( ) = levert een

hoogte op van ongeveer 205 cm.

20a Het randpunt is (0, 0). b Het randpunt is nu (2, –2). c De steilheid van de gegeven grafiek is veel groter. d Verticale vermenigvuldiging met factor 8 en vervolgens 2 naar rechts en 2 naar

beneden schuiven. Het functievoorschrift is dan g x x( ) = − −8 2 2 .



oord

hoff U

itgev

ers

bv

⁄66


3.4 Transformaties van sinusoïden

bladzijde 78

21a h x x( ) sin( ) ,= +2 0 6 b De periode van h is 1

2 2× =π π . c h( ) ,0 0 6= dus (0; 0,6) d y = 0 6, is de evenwichtslijn van de grafiek van h

22a

6 71 2 3 54–6 –5 –4 –2–3 –1 O–7

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

–1,2

–1,0

–0,8

–0,6

–0,4

0,2

x

y

gf

f ( ) cos0 0 1= = dus (0, 1) ligt op de grafiek van f. b Eerst horizontaal vermenigvuldigen met factor 1

3 en daarna 4 naar rechts schuiven. c De periode wordt 1

3 keer zo groot dus 13

232× =π π .

d g( ) cos ( ) cos0 3 4 4 0 1= − = =

23a De periode van h is 4 2 8× =π π en de grafiek gaat onder andere door (–1, 1). b De periode van k is 1

2 2× =π π en de grafiek gaat onder andere door (0,3; 0). c De periode van l is 1

4122× =π π en de grafiek gaat onder andere door ( 1 1

2 , 1). Functie l is ook te schrijven als l x x( ) cos ( )= −4 1 1

2 .

24a Het maximum is 20 en het minimum is –10.

b d = + − =20 102

5

c a = − =20 5 15

d De periode is 80 dus b = =280

140

π π .

e Om de grafiek bij x = 60 te laten beginnen moet de standaardgrafiek g x x( ) sin= 60 naar rechts schuiven dus c = 60.

f x x( ) sin ( )= + −5 15 60140 π

f Om te beginnen bij x = −20 moet c = −20 zijn dus f x x( ) sin ( )= + +5 15 20140 π .



oord

hoff U

itgev

ers

bv

⁄67


bladzijde 79

25 Voor de eerste grafiek geldt f x d a b x c( ) sin ( )= + − met d = =+0 22 1 en a = − =2 1 1 .

De periode is π dus b = =2 2ππ

en de grafiek ‘start’ bij x = 0 dus c = 0 . f x x( ) sin= +1 2

Voor de tweede grafiek geldt g x d a b x c( ) sin ( )= + − met d = + − =600 1002

250 en

a = − =600 250 350 . De periode is 52 dus b = =252

126

π π en de grafiek start bij x = −13 dus c = −13 .

g x sin x( ) ( )= + +250 350 13126 π

26a d = − + − = −40 102

25 en a = − − − =10 25 15( ) De periode is 20 dus b = =2

201

10π π . f ( )0 10= − dus het maximum ligt bij x = 0 , de

grafiek is dan 14 periode naar links geschoven (net als bij de tweede grafiek van

opdracht 25) dus c = −5 . f x x( ) sin ( )= − + +25 15 51

10 π b f ( )0 40= − dus het minimum ligt bij x = 0 , de grafiek is nu 1

4 periode naar rechts geschoven dus c = 5 . De rest blijft hetzelfde.

f x x( ) sin ( )= − + −25 15 5110 π

3.5 Gemengde opdrachten

bladzijde 80

27a Om ongeveer op hetzelfde puntenaantal uit te komen zal er bij het kogelstoten dus met een groter getal moeten worden vermenigvuldigd. Formule A hoort dus bij het kogelstoten en formule B bij het speerwerpen.

b Er moet gelden 15 9803 3 80 8001 04, ( , ) ,d − = .

Met algebra: ( , ),

,d − =3 80 80015 9803

1 04

d − =

3 80 80015 9803

11 04

,,

,

d =

+ ≈80015 9803

3 80 46 87

11 04

,, ,

,

Je kunt de vergelijking natuurlijk ook met de grafische rekenmachine oplossen. Je moet dus minstens 46,87 meter gooien. c Of: c ⋅ −( ) =45 3 80 800

1 04,

, geeft c =

−( )≈800

45 3 8016 7339

1 04,

,,

dus A d= ⋅ −( )16 7339 3 801 04

, ,,

of: 15 9803 45 3 80 800, .⋅ −( ) = geeft 41 2 0015 9803

,,

c = dus

c =

=41 2 80015 9803

50 061641 2

, log,

log ,log ,

≈≈~ ,1 05

dus A d= ⋅ −( )15 9803 3 801 05

, ,,

of: 15 9803 45 8001 04

,,

⋅ −( ) =c geeft 45 80015 9803

11 04

− =

c,

,

dus c ≈ − =45 43 07 1 93, , dus

A d= −( )15 9803 1 931 04

, ,,



oord

hoff U

itgev

ers

bv

⁄68


28a c( )0 10= mg/liter en c( ) , ,8 10 0 8 1 688= ⋅ ≈ mg/liter. b Na de eerste herhaling is de concentratie 1 68 10 11 68, ,+ = mg/liter. c Voor 16 24< <t geldt C t t t= ⋅ + ⋅ + ⋅− −10 0 8 10 0 8 10 0 88 16, , , . d De concentratie blijft steeds toenemen. e Dan moet men steeds na 8 uur 10 1 68 8 32− =, , mg/liter inspuiten. f Als de eerste injectie nog 10 mg/liter is geldt C t= ⋅10 0 8, . Als C = 1 mag men er weer

9 inspuiten. 10 0 8 1⋅ =, t geeft

0 8 110, t = dus t =

( )≈

log

log ,,

110

0 810 32 .

Er moet steeds minimaal 10 uur en 0 32 60 20, × ≈ minuten tussen de injecties zitten.

bladzijde 81

29a Ga weer uit van W t d a b t c( ) sin ( )= + − . De gemiddelde top ligt op 181 cm. Het gemiddelde dal op –165 cm.

Er geldt dan d = − =81 1652

8 en a = − =181 8 173 .

De periode is 12 uur en 10 minuten ofwel 12 16 uur. Dus b = ≈2

120 52

16

π , . c = − × =4 12 12

314

16

58 dus W t t( ) sin , ( )= + −8 173 0 52 1 5

8

b In werkelijkheid is de stijging sneller dan bij de gevonden benadering terwijl de afname van het tij aardig overeenkomt.

c De gemiddelde top ligt op 34,5 cm. Het dal ligt op –55 cm.

Er geldt dan d = − ≈ −34 5 552

10 25, , en

a = + =34 5 10 35 44 75, , , . De periode is weer 12 uur en 10 minuten dus b ≈ 0 52, . c = − ⋅ = ≈6 12 3 3 713

414

16

1724 , .

W t t( ) , , sin , ( , )= − + −10 25 44 75 0 52 3 71 d De laatste grafiek lijkt veel meer een sinusoïde. De amplitude bij de eerste grafiek is

veel groter dus een veel groter verschil tussen hoog en laag water. De periode komt overeen.

ICT Grafieken verschuiven

bladzijde 82

I_1 A: f x x( ) = 3 heeft domein ; bereik ; snijpunten met de assen (0, 0); stijgt op B: f x

x( ) = 1 heeft domein 〈←, 0〉 ∪ 〈0, →〉; bereik 〈←, 0〉 ∪ 〈0, →〉; heeft geen

snijpunten met de assen; verticale asymptoot y-as; horizontale asymptoot de x-as; daalt op het domein.

C: f x x( ) = 2 heeft domein ; bereik 〈0, →〉; snijpunt met y-as (0, 1); horizontale asymptoot x-as; stijgt op het hele domein.

D: f x x( ) log=3 heeft domein 〈0, →〉; bereik ; snijpunt met de x-as (1, 0); verticale asymptoot y-as; stijgt op het hele domein.

E: f x x( ) = 4 heeft domein ; bereik [0, →〉; snijpunt met x-as en y-as is (0, 0); top (0, 0). De grafiek daalt op

〈←, 0〉 en stijgt op 〈0, →〉.



oord

hoff U

itgev

ers

bv

⁄69


F: f x x( ) sin= heeft domein ; het bereik is [ , ]−1 1 ; de x-as wordt gesneden in de punten ( , )0 0+ kπ waarbij k een geheel getal is; de y-as wordt gesneden in het punt (0, 0); de functie is periodiek met periode 2π ; f stijgt op de intervallen ⟨− + + ⟩1

2122 2π π π πk k, en daalt op de intervallen ⟨ + + ⟩1

2122 1 2π π π πk k,

G: f x x( ) = heeft domein [0, →〉 en bereik [0, →〉; het randpunt is (0, 0); f stijgt op het hele domein.

I_2a Open het bestand dat hoort bij opdracht 2. y f x= − ( ) betekent dat de grafiek gespiegeld wordt in de x-as. Het veranderen in

y f x= −( ) betekent dat de grafiek gespiegeld wordt in de y-as. b Bij sommige functies heeft het veranderen in y f x= −( ) geen zichtbaar effect omdat

deze grafieken al symmetrisch zijn in de y-as. Bij het spiegelen valt het beeld dan over het origineel. Geen enkele grafiek is symmetrisch in de x-as.

I_3a g x x( ) = +2 2 b g x x( ) = −2 3 c De formule van de nieuwe parabool ontstaat door bij de functie f 2 op te tellen,

respectievelijk 3 af te trekken. d Het resultaat is een verschuiving van 1 naar beneden. Dus g x x( ) = −2 1 .

I_4a f x x x x x x x x x( ) ( ) ( )( )= − = − − = − − + = − +2 2 2 2 2 4 4 42 2 2

b De standaardparabool heeft top (0, 0). De nieuwe parabool heeft top (2, 0). f ( ) ( )2 2 2 0 02 2= − = = klopt; f ( )2 2 4 2 4 4 8 4 02= − ⋅ + = − + = klopt. c f x x x x x x x x x( ) ( ) ( )( )= + = + + = + + + = + +3 3 3 3 3 9 6 92 2 2 . De top van de nieuwe

parabool is (–3, 0); f ( ) ( )− = − + = =3 3 3 0 02 2 ; f ( ) ( )− = − + ⋅ − + = − + =3 3 6 3 9 9 18 9 02

. Beide controles kloppen. d De notatie met haakjes is het handigst, omdat je dan eenvoudig de top kunt

ontdekken.

I_5 De nieuwe parabool heeft de formule g x x( ) ( )= − +3 22 .

bladzijde 83

I_6a De parameter c geeft de horizontale verschuiving van de standaardgrafiek aan. Wanneer c > 0 dan is er sprake van een verschuiving naar rechts en wanneer c < 0

dan is er sprake van een verschuiving naar links. De parameter d bepaalt de verticale verschuiving van de standaardgrafiek, d > 0 is een verschuiving omhoog, d < 0 een verschuiving naar beneden.

b Neem c = 2 ; het functievoorschrift wordt y x= −( )2 3 . c Neem d = −2 ; het nieuwe functievoorschrift wordt y x= −3 2 . d Het functievoorschrift wordt: y x= + +sin( )2 1 .

I_7 -

I_8a De standaardfunctie g x x( ) = is 1 naar rechts geschoven. b De standaardfunctie g x x( ) = is 1 naar beneden geschoven. c De standaardfunctie h x x( ) = 3 is 2 naar links geschoven.



oord

hoff U

itgev

ers

bv

⁄70


d De standaardfunctie f x x( ) sin= is 3 naar beneden geschoven. e De standaardfunctie f x x( ) sin= is 2 naar rechts geschoven. f De standaardfunctie g x x( ) log=2 is 3 omhoog geschoven.

I_9 De verschoven grafiek heeft als voorschrift: f xx

( ) =−

−12

3 .

De volgorde waarop je dit doet maakt geen verschil.

ICT Grafieken vervormen

bladzijde 84

I_10a y x= 2 2

b y x= −3 2

c De nieuwe parabool ontstaat door de standaard parabool verticaal te vermenigvuldigen met 2 respectievelijk met –3.

I_11a Bij een waarde van a die groter is dan 1 wordt de grafiek verticaal uitgerekt. a > 1 b Bij een waarde van a tussen 0 en 1 wordt de grafiek verticaal ingekrompen. 0 1< <a c Wanneer a negatief wordt dan wordt de grafiek gespiegeld in de x-as en uitgerekt of

ingekrompen. Bij de waarde a = –1 wordt de standaardgrafiek alleen gespiegeld in de x-as.

d Alle functiewaarden worden met a vermenigvuldigd, vandaar dat deze transformatie ook vermenigvuldiging ten opzichte van de x-as genoemd wordt.

I_12a De standaardfunctie g x x( ) sin= is met factor –3 vermenigvuldigd.

b De standaardfunctie f xx

( ) = 1 is met factor 3 vermenigvuldigd.

c De standaardfunctie g x x( ) log=2 is vermenigvuldigd met factor 3. d De standaardfunctie h x x( ) = 3 is met factor 1,7 vermenigvuldigd. e De standaardfunctie f x x( ) = 2 is met factor 40 vermenigvuldigd want

10 2 10 2 2 40 22 2⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅+x x x . f De standaardfunctie g x x( ) = 2 is met factor –3 vermenigvuldigd.

I_13 -

bladzijde 85

I_14a Waarden van b tussen 0 en 1 rekken de grafiek van sin x horizontaal uit. 0 1< <b b Waarden van b groter dan 1 laten de grafiek inkrimpen in de richting van de y-as.

b > 1 c Wanneer b negatief is wordt de grafiek eerst gespiegeld in de y-as en vervolgens

horizontaal ingekrompen of uitgerekt. b = –1 heeft alleen een spiegeling in de y-as tot gevolg.

d De x-waarden worden met een factor vermenigvuldigd, vandaar dat deze transformatie ook wel vermenigvuldiging ten opzichte van de y-as wordt genoemd.



oord

hoff U

itgev

ers

bv

⁄71


I_15a g x x x x( ) ( ) ( )= + = ⋅ + = +2 3 2 3 313

5 13

5 5 2243

5

b h xx x

( )( )

= =3 913

c f x x( ) sin( )= − 13

d m x x x( ) log( ) log( ) log= = +2 13

2 13

2

e n x x x( ) = + = +1 13

13

f k xx x x( ) = − = ⋅ − = ⋅ −3 4 3 3 4 3 3 4

13

13 3

I_16 -

I_17a Vermenigvuldigen met factor 116 ten opzichte van de y-as geeft f x x( ) = 16 .

b f x x x x( ) = = ⋅ =16 16 4 . De grafiek kan dus ook door een verticale vermenigvuldiging met factor 4 ontstaan uit de standaardgrafiek.

c Ja. f x ax( ) = ontstaat door een horizontale vermenigvuldiging ten opzichte van de y-as met factor 1

a . Omdat f x ax a x( ) = = ⋅ ontstaat f ook uit de standaardgrafiek door een verticale vermenigvuldiging met factor a , met a > 0 .

ICT Transformaties combineren

bladzijde 86

I_18a f x x( ) ( )= −3 1 2

b f x x( ) ( )= −3 1 2

c Ja.

I_19a f x x x( ) ( ) ( )= − = −13

2 19

21 3 de afleiding staat op bladzijde 86 van het boek bij de grafiek.

b f x x x( ) ( ( )) ( )= − = −13

2 19

21 1 c Verschuiven 1 naar rechts: g x x( ) = 2

wordt h x g x x( ) ( ) ( )= − = −1 1 2 vervolgens horizontaal vermenigvuldigen met 3:

h x x f x h x x x( ) ( ) ( ) ( ) (( ) )= − → = = − = −

1 1 33

2 13

13

2

= −( )2

19

23x

d Horizontaal vermenigvuldigen met 3: g x x( ) = 2 wordt h x g x x x( ) ( ) ( )= = =13

13

2 19

2 . Verschuiven 1 naar rechts: f x h x x( ) ( ) ( )= − = −1 11

92 .

I_20a f x x( ) = +19

2 1 b f x x( ) = +1

92 1

c Verschuiven 1 naar boven: g x x( ) = 2 wordt h x g x x( ) ( )= + = +1 12 . Vervolgens horizontaal met 3 vermenigvuldigen: f x g x x x( ) ( ) ( )= = + = +1

313

2 19

21 1 Horizontaal vermenigvuldigen met 3: g x x( ) = 2 wordt h x g x x x( ) ( ) ( )= = =1

313

2 19

2 . Vervolgens 1 omhoog schuiven: f x g x x( ) ( )= + = +1 11

92 .

I_21a f x x( ) = +3 32

b f x x( ) = +3 12



oord

hoff U

itgev

ers

bv

⁄72


c Verschuiven 1 omhoog: g x x( ) = 2 wordt h x g x x( ) ( )= + = +1 12 . Vervolgens verticaal met 3 vermenigvuldigen: f x h x x x( ) ( ) ( )= ⋅ = + = +3 3 1 3 32 2 .

Verticaal vermenigvuldigen met factor 3: g x x( ) = 2 wordt h x g x x( ) ( )= ⋅ =3 3 2 . Vervolgens 1 omhoog schuiven: f x h x x( ) ( )= + = +1 3 12 .

I_22 A: De grafiek van 2 log x wordt eerst horizontaal met 5 vermenigvuldigd en vervolgens 3 naar rechts geschoven.

B: De grafiek van 2 log x wordt eerst horizontaal 3 naar rechts geschoven en vervolgens horizontaal met 5 vermenigvuldigd want y x= −2 1

5 3log( ) . C: De grafiek van 2 log x wordt eerst horizontaal vermenigvuldigd met factor 5 en

vervolgens 3 naar beneden geschoven (hierbij kun je de volgorde ook verwisselen).

bladzijde 87

I_23 De parameter a bepaalt de amplitude van de grafiek. Wanneer a > 0 wordt de standaardgrafiek niet gespiegeld in de x-as, wanneer a < 0 wordt de standaardgrafiek ook nog gespiegeld in de x-as.

De parameter b heeft invloed op de periode. Wanneer 0 1< <b wordt de periode groter, b > 1 heeft een kortere periode tot gevolg.

Parameter c bepaalt een horizontale verschuiving. c > 0 een verschuiving naar rechts, c < 0 een verschuiving naar links.

Parameter d tenslotte zorgt voor een verticale verschuiving van de standaardgrafiek. d > 0 is een verschuiving naar beneden.

I_24a Het maximum is 20 en het minimum is –10. b De evenwichtslijn ligt precies tussen het maximum en het minimum dus is de lijn

y = 5 . c De amplitude is 15. d De sinusgolf begint in het punt (60, 5).

I_25 -

I_26 f x x( ) sin= +2 1

I_27 g x d a b x c( ) sin ( )= + − ;

evenwichtsstand y = − =600 1002

250 dus d = 250 ; maximum is 600 dan is a = 350

periode is 52 dan is b = =252

126

π π ; startpunt (–13, 250), de verschuiving 13 naar links dus c = −13 .

g x x( ) sin ( )= + +250 350 13126 π



oord

hoff U

itgev

ers

bv

⁄73


Test jezelf

bladzijde 90

T-1a Punt (0, 0) komt zo op (–4, 2) terecht. b (–1+4, –25–2) dus P(3, –27) c g x x( ) ( )= + +4 22

d De y-coördinaat op de grafiek van f is dan − − = −6 2 8 dus moet gelden − = −x3 8 wat betekent dat x = 2 dus punt (2, –8).

T-2a Punt (1, –1) komt zo op (2, –3) terecht. b ( , )−4

2243

dus P(–2, 8)

c g x x x x( ) ( ) ( )= −( ) ⋅ = − = −12

3 12

3 38

33 3

d De y-coördinaat op de grafiek van f is dan − = −6 3 2: dus moet gelden − = −x3 2 wat betekent dan x = 23 dus punt ( , )2 23 −

T-3a De standaardgrafiek van f x x( ) log=2 2 naar links en 2 naar boven schuiven. b De standaardgrafiek van g x x( ) = 2 eerst 4 naar links schuiven, vervolgens verticaal

vermenigvuldigen met 0,2 en dan 4 naar beneden schuiven. c De standaardgrafiek van h x

x( ) = 1 6 naar rechts schuiven, vervolgens verticaal met 5

vermenigvuldigen en dan 7 naar boven schuiven. d De standaardgrafiek van j x x( ) = 2 horizontaal vermenigvuldigen met 10.

T-4ab y = −2 is de evenwichtslijn dus d = −2 met a = 3 . De periode is 10 dus b = =210

15

π π en de grafiek gaat door (6, –2) dus c = 6 .

Het functievoorschrift is dus f x x( ) sin( ( ))= − + −2 3 615 π .

De transformaties zijn dan achtereenvolgens: verticaal vermenigvuldigen met 3, horizontaal vermenigvuldigen met 5

π, 6 naar rechts en 2 naar beneden schuiven.

bladzijde 91

T-5a Verticaal vermenigvuldigen met –3 en dan 4 naar links en 6 naar boven schuiven. b g x x( ) = − + +3 4 6

T-6a



oord

hoff U

itgev

ers

bv

⁄74


b Ga uit van f x d a b t c( ) sin ( )= + − . Het maximum is 17 en het minimum 2 dus d = =+17 2

2 9 5, met een amplitude a = − =17 9 5 7 5, , .

De periode is 12 maanden dus b = =212

16

π π .

Op t = 4 gaat de grafiek door de evenwichtsstand dus c = 4. Hieruit volgt f t t( ) , , sin( ( ))= + −9 5 7 5 41

6 π . c Bereken met de grafische rekenmachine wanneer D = 5.

Dit geeft t ≈ 155 7, en t ≈ 226 8, . De temperatuur was dus van dag 156 tot en met dag 226 boven de 5 °C dus

gedurende 71 dagen.

T-7 Ga uit van f t d a b t c( ) sin ( )= + − . Het maximum is 58 en het minimum –78 dus d = = −−57 78

2 10 met a = − − =58 10 68 .

De periode is 12 uur en 20 minuten dus b = ≈212

0 5113

π , .

Het minimum is om 4.10 uur en het maximum om 10.14 uur. De grafiek gaat dus om

4 10 10 142

7 12. . .+ = uur door de evenwichtsstand dus c = 7 20, .

Dus f t t( ) sin( , ( , ))= − + −10 68 0 51 7 20 .

T-8a Verticaal vermenigvuldigen met –1 komt neer op spiegelen in de x-as. Horizontaal vermenigvuldigen met –1 komt neer op spiegelen in de y-as. b Horizontaal vermenigvuldigen met 3 of –3 geeft hetzelfde resultaat.



oord

hoff U

itgev

ers

bv

Hoofdstuk 3 - Transformatieswiskunde.stmichaelcollege.nl/mw/hb/Mw9_havo_B2_uitwH3.pdf61 Hoofdstuk 3...

Documents

Transcript of Hoofdstuk 3 - Transformatieswiskunde.stmichaelcollege.nl/mw/hb/Mw9_havo_B2_uitwH3.pdf61 Hoofdstuk 3...